Tema 03 - Teorema de Bayes - Ingenieria Quimica

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TEOREMA DE BAYES

Thomas Bayes (1702-1761)

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Explicación del Teorema de Bayes (Fácil).

Es la probabilidad que se utiliza cuando tenemos dos eventos dependientes, o sea la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia de otro. Y queremos saber la probabilidad de ocurra el primer evento dado que se sabe el segundo.

Evento(A)

Evento(B)

Este evento se conoce y se

quiere determinar “A”.

Ejemplo de usos de la Probabilidad de Bayes.• Se sabe que la probabilidad de que llueva en Santa Cruz un dia de

marzo es 25%. cuando llueve la probabilidad de que la empresa “Toldito” alquile un Toldo es 80%, mientras si no llueve la probabilidad de alquiler es 25% ¿Cuál es la probabilidad de que halla llovido si se sabe que se alquiló un toldo?

0.25

0.75

0.80

0.25

0.20

0.75

Evento A Evento B

P (LL/ T) = P( T ∩ LL)

P (T∩LL) = P(LL) * P(T/LL)= 0.25*0.80=0.2

P (T∩S) = P(S) * P(T/S)= 0.75*0.25= 0.187

P(T∩LL) + P (T ∩ S)

Como podemos ver nos piden la probabilidad de que halla sucedido un evento “A” diciéndonos que uno “B” que es dependiente de “A” ya sucedió.

Respuesta) Hay un 51.67% de probabilidad que haya llovido si se sabe que se alquilo un toldo.

Ejemplo de teorema de Bayes.Se asume que Dunmham Manufacturing utiliza dos máquinas para producir

su producto. La máquina “A” produce el 60% de la producción total, y la máquina “B” produce el restante 40%. El 2% de las unidades producidas por “A” son defectuosas, mientras que B tiene una tasa de defectos del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea de la máquina “A” dado que se sabe que es defectuoso”

P(A) = 0.60

Maquina A

Maquina BP(B) = 0.40

P(Ď/A) = 0.98

P(Ď/B) = 0.96

P(D/A) = 0.02

Unidad no defectuosa de la máquina A

Unidad defectuosa de la máquina A

Unidad no defectuosa de la máquina B

Unidad defectuosa de la máquina BP(D/B) = 0.04

P (A∩Ď) = P(A) * P(Ď/A) = (0.6) (0.98) = 0.588

P (A∩D) = P(A) * P(D/A) = (0.6) (0.02) = 0.012

P (B∩Ď) = P(B) * P(Ď/B) = (0.40) (0.96) = 0.384

P (B∩D) = P(B) * P(D/B) = (0.40) (0.04) = 0.016

Teorema de Bayes

Hagamos los cálculos juntos: ¡¡VAMOS!!

Ejemplo de Teorema de BayesLa probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1.

La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

Ejemplo de Teorema de Bayes. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado sea ingeniero si se sabe que es directivo?

Existen 3 profesores de Estadística Inferencial. La probabilidad que le toque el profesor Evelio es del 35%, y la probabilidad de que usted apruebe con Evelio es 80%. La probabilidad de que le toque con el profesor Carlos es 25% y de todos los estudiantes que pasan con este docente el 70% aprueba. La probabilidad de que le toque con el profesor Pedro es 40%, pero a Pedro solo le aprueba el 60% de los inscritos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea del profesor Evelio si se sabe que aprobó la materia?

0.35

0.25

0.40

0.80

0.70

0.60

0.20

0.30

0.40

0.35 * 0.8 = 0.28

0.35 * 0.2 = 0.07

0.25 * 0.7 = 0.175

0.25 * 0.3 = 0.075

0.40 * 0.6 = 0.24

0.40 * 0.4 = 0.16

Ejemplo de Teorema de Bayes.

0.35

0.25

0.40

0.80

0.70

0.60

0.20

0.30

0.40

0.35 * 0.8 = 0.28

0.35 * 0.2 = 0.07

0.25 * 0.7 = 0.175

0.25 * 0.3 = 0.075

0.40 * 0.6 = 0.24

0.40 * 0.4 = 0.16

=

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Ejemplo: La textilera “Ecotexa”, compra un cargamento de telas de tres casas proveedoras.Un 30% de las telas se adquieren en “Casa Ochoa”, 20% a “Casa Textiles del Sur”, y el 50% sobrante a “Tituanatex”.Ecotexa posee información de las tres casas y sabe que 3% de la mercadería de “Casa Ochoa” son defectuosas,5% de telas de “Casa Textiles del Sur” no son aceptables, y que 4% de telas de “Tituanatex” tienen algún tipo de defecto.Al llegar a bodega no son seleccionados y se toma un paquete de telas que resultan ser defectuosas. Cual es la probabilidad de que esta mercadería sea de “Casa Ochoa”?.

Ejemplo de Teorema de Bayes.

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Solución: Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que son las tres casas:

A1 mercadería de compro en “Casa Ochoa”, A2 mercadería de compro en “Casa Textiles del Sur”, A3 mercadería de compro en “Tituanatex”.

•Las probabilidades a priori son:P(A1) =(30/100)= 0.30 probabilidad de mercadería adquirida en “Casa Ochoa”, P(A2) =(20/100)= 0.20 probabilidad de mercadería adquirida en “Casa Textiles del Sur”, P(A3) =(40/100)= 0.40 probabilidad de mercadería adquirida en “Tituanatex”.

PROBABILIDADES CONDICIONALES:

P(B|A1) = (3/100)= 0.03 mercadería de

“Casa Ochoa ”, sea defectuosa.


“Textiles de Sur ”, sea defectuosa.


“Tituanatex ”, sea defectuosa.

La información se la puede resumir en la siguiente tabla:Evento Ai Probabilid

ad a Priori, P(Ai)

Probabilidad

condicional, P(B1|Ai)

Probabilidad

conjunta, P(Ai|B1)

Probabilidad posteriori, P(Ai|B1)

“Casa Ochoa”

0.30 0.03 0.009 0.009/0.039=0.2308

“Textiles de Sur”

0.20 0.05 0.010 0.010/0.039=0.2564

“Tituanatex”

0.50 0.04 0.020 0.020/0.039=0.5128

0.039

Para obtener la probabilidad posteriori, dividimos la probabilidad de cada evento para el total de probabilidades conjuntas.

«Aplicaciones del Teorema de Bayes»

• Supongamos que la probabilidad de encontrar una mujer morocha en Sudamérica sea P(m|s)=0.7. En Centroamérica P(m|c)= 0.9 y en América del Norte P(m|n)=0.4.

• Ahora bien; se realiza un concurso de belleza para elegir Mis América. De las participantes el 30% son sudamericanas, el 20% de Centroamérica y el 50% restante del norte.

• De golpe a Ud. le presentan una morocha. Apostaría de que parte del continente proviene?

Aplicación del Teorema de Bayes 01

Extraemos la información y observamos las siguientes probabilidades "a priori" de hallar una mujer de c/u de las regiones del continente del total de las participantes del concurso:- P(s) = 0.3- P(c) = 0.2

-P(n) = 0.5• A su vez la probabilidad de hallar una

morocha según la región continental será:– P(m|s) = 0.7– P(m|c) = 0.9 P(m|n) = 0.4

Aplicando la regla de Bayes debemos hallar P(s|m), P(c|m) , y P(n|m); bajo la certeza que ocurrió el suceso : {MOROCHA} Resulta:– P(s|m) = P(m|s) x P(s) / (P(m|s).P(s)+P(m|c).P(c)+P(m|n).P(n))– P(s|m) = 0.7 x 0.3 / (0.7x0.3 + 0.9x0.2 + 0.4x0.5)

• Generando una tabla de doble entrada como vimos en otra nota anterior, nos queda:

• Así las probabilidades marginales nos informan de la probabilidad del color de tez independientemente del origen geográfico y viceversa P(origen), sin tomar en cuenta el tipo de tez. Usando los valores de tabla podemos hallar las probabilidades a posteriori :–P(s|m) = 0.21 / 0.59 = 0.36–P(c|m) = 0.18 / 0.59 = 0.31–P(n|m) = 0.20 / 0.59 = 0.33De donde se induce que lo mas probable es que se trate de una sudamericana.

• A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución: Definamos los eventos:• H: Sea un hombre• M: Sea una mujer• E: La persona sea especialista en

computación


• Por lo tanto:

• En la UAEH se cuenta con un total de 700 alumnos; de los cuales 220 Son de Sistemas Computacionales (120 Mujeres, 100 Hombres), 300 Son de Derecho (140 Mujeres, 160 Hombres) y 180 Son de Administración (95 Mujeres, 85 Hombres).

SEXO/CARRERA SISTEMAS COMP. ADMÓN. DERECHO TOTAL

HOMBRES 100 85 160 345

MUJERES 120 95 140 355

TOTAL 220 180 300 700


Suceso A:A(Probabilidad de que se obtenga un alumno de Sistemas, Administración o de Derecho).

Suceso B:B(que se obtenga una Mujer).

• Supongamos que ya obtuvimos el suceso B es decir a una mujer.

• Calculamos por medio del teorema de Bayes, la probabilidad de que la mujer que obtuvimos sea de Sistemas.

• Para solucionar el problema debemos Calcular con anticipación cada una de las probabilidades de las carreras en base a la tabla anterior.

P(Sist)=(220/700)*100 = 31.42%P(Admi)=(180/700)*100 = 25.71 %P(Derecho)=(300/700)*100 = 42.85 %• También necesitamos la probabilidad de

obtener una mujer en cada carrera «condicional».

P(M S)= ((120/700)/(220/700))*100 = 54.54%P(M A)= ((95/700)/(180/700))*100 = 52.77%P(M D)= ((140/700)/(300/700))*100 = 46.66%

Agrupando datos:SISTEMAS 31.42% 54.54%ADMINISTRACIÓN 25.71% 52.77%DERECHO 42.85% 46.66%

Solucionando problema:

1. Probabilidad de que la mujer que se obtuvo sea de Sistemas.

Aplicando formula:

P(A D) = 31.42 * 54.54 (31.42*54.54)+ (25.71*52.77)+(42.85*46.66)

P(A D) =0.33*100= 33% La probabilidad de que sea de sistemas la mujer que se obtuvo es de 33%.

P(A D) = P(A)* P(D A ) ∑ P(An)* P(D An)

En sorteo se rifan 1000 Automóviles, de los cuales 500 son jettas (250 Mod. 2008, 155 Mod 2009 y 95 Mod. 2010); 300 Son Passat (150 Mod. 2008, 100 Mod 2009 y 50 Mod. 2010) y 200 son Golf (75 Mod. 2008, 60 Mod 2009 y 65 Mod. 2010).

MARCA/MOD. 2008 2009 2010 TOTAL

JETTA 250 155 95 500

PASSAT 150 100 50 300

GOLF 75 60 65 200

TOTAL 475 315 210 1000


MODELO/MARCA 2008 TOTALES

JETTA 50% 50%

PASSAT 50% 30%

GOLF 37.5% 20%

El problema dice suponiendo que obtuvimos un modelo 2008 cual es la probabilidad de que sea Jetta:

Solución:Probabilidad de que automóvil Jetta fuera 2008 es:

P(2008/J)

• Una fabrica tiene 3 maquinas. La maquina 1 produce el 50% del total, la maquina 2 produce el 20% y la maquina 3 produce el 30%. De la producción se sabe que la maquina 1 produce el 1% defectuoso, la maquina 2 produce el 4% defectuoso y la 3 produce el 2% defectuoso. Se selecciona aleatoriamente un articulo y de encuentra que es defectuoso ¿Cual es la probabilidad de que lo haya producido la maquina 1?

1 2 3


• Si el espacio muestral es la producción total que ha sido divido en tres eventos

• A1: Lo producido por la maquina 1

P(A1)=0.50• A2: Lo producido por

la maquina 2 P(A2)=0.20• A3: Lo producido por

la maquina 3 P(A3)=0.30

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(B|A

1)

P(B|A3)

P(B|A2)

S

• También se conoce la probabilidad de que un articulo sea defectuoso dado que lo produjo la maquina 1 es P(B|A1)=0.01

• la probabilidad de que un articulo sea defectuoso dado que lo produjo la maquina 1 es P(B|A2)=0.04

• la probabilidad de que un articulo sea defectuoso dado que lo produjo la maquina 1 es P(B|A3)=0.02

• Por lo tanto la probabilidad de que lo haya producido la maquina 1 dado que es defectuoso, es de acuerdo al Teorema de Bayes

• Un acueducto que esta en construcción requiere tubería de pvc hidráulico. Para esto se contrata a 3 Plantas productoras {1,2,3} dichas plantas surten tubería en el sig. porcentaje {60,25,15}% respectivamente.

• Las plantas producen tuberías defectuosas en este porcentaje respectivamente {1, 5.5, 3.6}%

• Al realizar un control de calidad se tomo una pieza defectuosa, el laboratorio desea saber ¿Cual es la probabilidad de que la pieza sea de la planta no 2?


ResultadosPlanta (i) P(Ai) P(B|Ai) P(B|Ai)P(Ai)

1 0.60 0.01 0.006

2 0.25 0.055 0.0138

3 0.15 0.036 0.0054

• Por lo tanto la probabilidad de que sea de la planta 2 es de un 23.81%

• Nótese como la probabilidad es alta debido a que el porcentaje que surte es poco y su probabilidad de defecto es mayor

𝟎 .𝟓𝟒𝟕𝟔=0.0138

0.006+0.0138+0.0054

• Un tiradero a cielo abierto, se va a cubrir para poder aprovechar el biogás que este genere.

• Se estima que la cantidad de basura orgánica es de un 58% y de inorgánica es de un 42%, Dentro de este porcentajes existen residuos de tipo CRETIB, los cuales se estiman en 3% para la orgánica y un 12% para la inorgánica.

• El laboratorio se pregunta ¿cual es la probabilidad de que de 1m³ de muestra se extraiga un residuo tipo CRETIB y haya pertenecido a basura orgánica?


• La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

• En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:• SUCESO A= I ( Producirse incidente)• SUCESO B= A( Sonar la alarma)


HACIENDO UN DIAGRAMA DE ARBOL:

• Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso de cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:


25 %

35 %

40 %

2 APARATO (S)

1 APARATO (P)

3 APARATO (T)97%

2%

1%

98%

3%

99%

SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:Suceso P: seleccionar el primer aparatoSuceso S: seleccionar el segundo aparatoSuceso T: seleccionar el tercer aparatoSuceso E: seleccionar un resultado con error

Determine la probabilidad de que se ha usado el 1er aparato (sabiendo que hay un error)

ERROR

ERROR

ERROR

SIN ERROR

SIN ERROR

SIN ERROR

• El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?


En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20 alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía, porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar.• a) ¿Qué probabilidad hay de que sea de un

alumno de quinto?• b) Si tiene faltas de ortografía, ¿qué

probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?


0.5 NO(5°) 50 90 0.5 SI 0.7 N0(6°) 40 90 0..3 SI

a) 5/9b) se aplica teorema de bayes: P(5°/SI) = 5/9 *0.5 = 25/37 5/9*.5 + 4/9 *0.3

• 1. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que el suplente solo para 5. el portero suplente juega, por termino medio, 15 minutos en cada partido (90 minutos).

• a) Si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad de que se paren los tres?

• b) Si se lanza un penalti y no se para ¿cuál es la probabilidad de que estuviera jugando el portero titular?


Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?


Solución:Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

• La Fruit Computer Company fabrica chips de memoria en lotes de diez. Según su experiencia, Fruit sabe que el 80% de todos los lotes son buenos y el 20% malos. Si se tiene un lote bueno y se extrae un chips, hay una probabilidad de 10% de que el chips sea defectuoso. Si se tiene un lote malo, y se extrae un chips, hay una probabilidad de 50% de que el chips sea defectuoso. Si un lote es bueno, se manda a la siguiente etapa de producción, los costos de proceso en que se incurra serán de 1000 dólares. Si un es lote malo, se manda a la siguiente etapa de producción, se incurre en 4000 dólares de costos.

Caso del Teorema de Bayes

• Fruit tiene también la opción de reprocesar un lote a un costo de 1000 dólares. Es seguro que un lote reprocesado será después un lote bueno. Otra opción es que, por un costo de 100 dólares, Fruit puede probar un chip de cada lote para tratar de determinar si es defectuoso ese lote.

• Se requiere determine cómo puede Fruit reducir al mínimo el costo total esperado por lote aplicando el criterio bayesiano.

Caso del Teorema de Bayes

SOLUCIÓN:

Existen dos estados de naturaleza:• Lote Bueno • Lote Malo

Fruit tiene la opción de llevar a cabo un experimento: inspeccionar un chip por lote.

Los resultados posibles del experimento son: • Chip Bueno• Chip Malo

Donde:LB = Lote BuenoLM = Lote MaloChB = Chip BuenoChM = Chip Malo

Nos proporcionan las siguientes probabilidades con respecto a los estados de naturaleza:• P(LB) = 0.80 • P(LM) = 0.20

• P(ChM/LB) = 0.10, P(ChB/LB) = 0.90 • P(ChM/LM) = 0.50, P(ChB/LM) = 0.50

• Calculamos la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales:

P (ChB) = P (LB) P (ChB/LB) + P (LM) P (ChB/LM) P (ChB) = (0, 80) (0, 90) + (0, 20) (0, 50) P (ChB) = 0.72 + 0.10 P (ChB) = 0.82

• Calculamos la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales:

P (ChM) = P (LB) P (ChM/LB) + P (LM) P (ChM/LM)P (ChM) = (0, 80) (0, 10) + (0, 20) (0, 50)

P (ChM) = 0.08 + 0.10P (ChM) = 0.18

Podemos comprobar utilizando WinQSB

Luego tenemos lo necesario para resolver el Árbol de decisiones:

Luego tenemos lo necesario para resolver el Árbol de decisiones:

CONCLUSION:

• El cálculo directo indica que la estrategia óptima es probar un chip. Si resulta defectuoso, se procesa el lote. Si no resulta defectuoso, el lote puede proseguir. Se incurre en un costo esperado de 1575 dólares.

Una compañía de transporte explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los buses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un bús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un bus sufra una avería.

Solución: El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025


La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esa población?Solución:

A1 = {ser hipertenso}; A2 = {no serlo} estos sucesos constituyen un sistema competo de

sucesos B = {padecer infarto}

datos: p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25

evidentemente p(A2) = 1-p(A1)=0,75 p(B) = p(B|A1)x p(A1)+ p(B|A2)x p(A2) =

= 0,001 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015


Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.

P(D)=0.03: P(NB)=0.97Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. P(HG/D)=0.95P(HG/ND)=0.02¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética? P(HG)=P(HG/D)xP(D)+P(HG/ND)xP(ND)=0.95x0.03+0.02x0.97=0.0479


P(HG)=P(HG/D)xP(D)+P(HG/ND)xP(ND)== 0.95x0.03+0.02x0.97=0.0479

Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

595.00479.0

95.003.0

)(

)/()()/(

HGP

DHGPDPHGDP

Estudiamos 1000 alumnos en tres facultades de la UAM. En la 1ª hay un neurótico por cada 10 alumnos, en la 2ª 1 por cada 15 y en la 3ª 1 por cada 20. El número de alumnos por facultad es de 200, 300 y 500. Tomamos un individuo al azar y vemos que es neurótico ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la facultad número 3?Solución:

Lo que tenemos que calcular es p(F3/N), por el Teorema de Bayes tenemos

En primer lugar calculamos la probabilidad de pertenecer a cada Facultad:P(F1) = 200/1000=0.2; P(F2)=300/1000=0.3; P(F3)=500/1000=0.5.


En segundo lugar las probabilidades de ser neurótico en cada una de ellas:P(N/F1)=1/10=0.1; P(N/F2)=1/15=0.066; P(N/F3)=1/20=0.05

Podemos calcular por tanto la “Probabilidad Total” de ser neurótico

P(N)=P(F1) · P(N/F1) + P(F2) · P(N/F2) + P(F3) · P(N/F3) == 0.2 · 0.1 +0.3 · 0.066 + 0.5 · 0.05 = 0.064

Por último, utilizando el teorema de Bayes3906.0

064.0

025.0

P(N/F3) · P(F3) P(N/F2) · P(F2) P(N/F1) · P(F1)

)3()3/()/3(

FPFNP

NFP

Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no esté enferma.

Solución:Sea NE = {la mujer no está enferma}, + = {el resultado de la prueba es positivo} y -= {el resultado de la prueba es negativo}. La pregunta pide P(NE|-). Los datos que se dan son p(+|NE)=0,05; p(-|E)=0,10 y p(E)=0,15. Del primero se deduce que p(-|NE)=0,95 y del último p(NE)=0,85, por lo tanto aplicando el teorema de Bayes .


El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovio o hubo niebla


El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:Suceso H: seleccionar una niña.Suceso V: seleccionar un niño.Suceso M: infante menor de 24 meses.En los ejercicios de probabilidad total y teorema de Bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.


a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al Teorema de Bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

Problema 01: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

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Solución al problema 01: Sea D = "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa".La información del problema se expresa en el diagrama de árbol adjunto.

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a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

Solución al problema 01(sigue): b) Debemos calcular P(B/D), Por el teorema de Bayes,

c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Problema 02: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

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Solución del Problema 02: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

Solución al problema 02: La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

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Problema 03: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Problema 04: La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

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Sean los sucesos:I = Producirse incidente.A = Sonar la alarma.

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Problema 05: Considera una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas. En esa fábrica se producen 10,000 botellas al día. La máquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas.Si un inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que esta defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya ha sido producida por la maquina A?

A

B

D

DD

D

C

C

MAQUINA BOTELLA

0.65

0.35

0.02

0.98

0.01

0.99

P(A │ D) =P(A) P(D│A)

P(D│A) P(A) + P(D│B)P(B)

6,500

10,000x 0.02

6,500

10,000x 0.02

3,500

10,000x 0.01+

P(A │ D) =

P(A │ D) =0.013

0.013 + 0.0035= 0.788

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE

TEOREMA DE BAYES

1.- Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de bronce?2.- En tres plantas, A, B y C, fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 %, respectivamente, del total de los objetos de una empresa. Los porcentajes de producción defectuosa de estas plantas son, respectivamente, el 3 %, el 4 % y el 5 %. a) Si se selecciona un objeto al azar, ¿qué probabilidad tiene de salir defectuoso?b) Suponiendo que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya producido en la planta A?

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3.- En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, M, P y Q, y dos idiomas excluyentes, alemán y francés. La modalidad M es elegida por un 50 % de los alumnos, la P por un 30 % y la Q por un 20 %. También se conoce que han elegido alemán el 80 % de los alumnos de la modalidad M, el 90 % de la modalidad P y el 75 % de la Q, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) ¿Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad M?

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4.- En un IES hay tres profesores de Matemáticas. Cuando un alumno se matricula en el centro tiene igual probabilidad de que le asignen uno y otro profesor de Matemáticas. La probabilidad de obtener como nota final un sobresaliente con el profesor A es 0,3: la de obtenerlo con el profesor B es de 0,28; y la de obtenerlo con el profesor C es 0,35. a) Calcular la probabilidad de que un alumno matriculado en Matemáticas obtenga como nota final un sobresaliente. b) Sabiendo que un alumno ha obtenido un sobresaliente como nota final en Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que le hubiesen asignado al profesor C?

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5.- Un club tiene un 75 % de sus miembros que son mujeres y un 25 % que son hombres. De este club tiene celular un 25 % de las mujeres y un 50 % de las hombres. a) Calcular el porcentaje de miembros de este club que no tienen teléfono móvil. b) Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. 6.- Dos amigos comparten piso. El primero prepara la comida el 40 % de los días y el resto de los días lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5 %, mientras que el del segundo es el 8 %. a) Calcular la probabilidad de que un día, elegido al azar, la comida esté quemada. b)Si cierto día se ha quemado, calcular la probabilidad de que haya cocinado el primero.

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7.- Hay 2 cines. En el 1ero el 50% de las películas son de acción mientras que en el 2do lo son el 70%. Un espectador elige al azar un cine siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir le primero es el triple que la de elegir el segundo. Una vez llega al. a) Calcular la probabilidad de que la película que vea sea de acción. b) Sabiendo que la película que ha visto es de acción, obtener la probabilidad de que haya acudido al primer cine.8.- En una urna A hay 5 bolas blanca y 2 roja, y en otra B hay 3 bolas verdes, 6 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado trucado, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es el doble que la de obtener cualquier otro número. Si al lanzar el dado sale un número par, se saca una bola de la urna A, y si sale un número impar, la bola se saca de la urna B. Determinar la probabilidad de que la bola que se saque sea roja.

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9.- Dos amigos A y B comparten un número de teléfono. De las llamadas que llegan, 2/5 son para A y 3/5 son para B. Sus ocupaciones les alejan de este teléfono, de modo que A está fuera de este teléfono el 50 % de l tiempo y B el 25 % . Calcula la probabilidad de que alguien conteste el teléfono cuando suene.

10.- Tenemos la urna A con 4 bolas rojas y 6 blancas la urna B con 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. continuación se extrae una bola de la segunda urna . calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean el mismo color.

11.- En un mercado, el 70 % de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera los 20 €, mientras que las compras realizadas por los hombres sólo el 30 % supera esa cantidad. a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?

12.- Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no esté enferma.

Solución:

1. 0,485 5. a: 0,6875 b: 0,4 9. 0,65

2. a: 0,037 b: 0,405 6. a: 0,068 b: 0,294 10. 0,509

3. a: 0,18 b: 0,55 7. a: 0,55 b: 0,68 11. 0,35

4. a: 0,31 b: 0,376 8. 0,316 12. 0,982

• Una empresa de consultoría se ha presentado a un concurso para un gran proyecto de investigación. Inicialmente la dirección de la empresa pensó que tenía una oportunidad de 50% de obtener el contrato. Sin embargo, la dependencia a la que fue presentada la propuesta ha solicitado información adicional al respecto. Por la experiencia se sabe que la dependencia solicitó información adicional en el 75% de las propuestas aceptadas y en el 40% de las propuestas rechazadas.

1. ¿Cuál es la probabilidad previa de tener éxito?

2. ¿Cuál es la probabilidad condicional de tener una solicitud de informes adicionales, dado que al final la oferta será seleccionada?

3. ¿Calcule la probabilidad posterior de que la oferta tenga éxito dado que se ha recibido información adicional?

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PROBLEMA PROPUESTO

Documents

Tema 03 - Teorema de Bayes - Ingenieria Quimica