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III
TRABAJO ESPECIAL DE GRADO
ELABORACIÓN DE UN ALGORITMO PARA GENERAR MAPAS DE HETEROGENEIDAD A PARTIR DE DATOS PETROFÍSICOS
DE UN YACIMIENTO.
Trabajo Especial de grado
Presentado ante la Ilustre
Universidad Central de Venezuela
Por el Br. Martínez C., Manuel O.
Para optar al título
de Ingeniero Geofísico
Caracas, junio de 2013
IV
TRABAJO ESPECIAL DE GRADO
ELABORACIÓN DE UN ALGORITMO PARA GENERAR MAPAS DE HETEROGENEIDAD A PARTIR DE DATOS PETROFÍSICOS
DE UN YACIMIENTO.
Tutor Académico: Prof. Ricardo Ambrosio.
Trabajo Especial de grado
Presentado ante la Ilustre
Universidad Central de Venezuela
Por el Br. Martínez C., Manuel O.
Para optar al título
de Ingeniero Geofísico
Caracas, junio de 2013
III
III
DEDICATORIA
Por el apoyo y la amistad
incondicional, por la fortaleza,
el empuje y la voluntad, por
cada sonrisa, cada carcajada,
cada abrazo y cada consejo,
por cada candil de enseñanza,
y cada escalón necesario, por
cada sueño dibujado en el aire
y cada meta alcanzada, por
cada batalla librada, por la
humildad, la paz y la felicidad,
por las piscinas cruzadas a lo
largo de nuestras vidas, por la
sabiduría de vida, por el
ejemplo forjador; este logro es
de ustedes… este logro es
nuestro.
A Yayi, a Manuel y a Raúl, mis tres mosqueteros, mi
relevo del 400 combinado…
mis tres hojas de trébol.
A Pedrimar Díaz, por su amor
y apoyo incondicional a lo
largo de esta meta, por su
infinita y radiante luz.
IV
AGRADECIMIENTOS
A mí querida Universidad Central de Venezuela, incluyendo al núcleo
Armando Mendoza (Cagua), por sus enseñanzas dentro y fuera de las aulas,
bajo sus techos y bajo sus árboles. Por forjarme valores académicos y
humanos.
A Yayi, Manuel, Raúl y Pedrimar, por toda su atención, colaboración y
tiempo.
A mi tutor, Ricardo, por tenderme la mano y darme la oportunidad de lograr
esta meta, por contribuir con mi formación académica y profesional.
A Morella Mikaty, centinela del templo la luz. Por su amistad y sus consejos.
Por soportar a este insurgente dentro de su equipo.
A Denis, a Dani, a las Marías Auxiliadoras (Geología y Eléctrica), a
Camacho, al negro y a la Sra. Josefina, por ir mucho más allá de su labor
cotidiano, y solidarizarse por buenas causas.
A todos los profesores que contribuyeron con mi formación académica y
humana, por ir más allá de un programa de clases y apostar al futuro de los
estudiantes, en especial a: Alba Castillo, Nuris Orihuela, Ander De
Abrisqueta, Ennodio Reina, Luis Chacón, Mariano Arnaiz, Andrés Espeso y
Raúl Arreaza.
A mis compañeros: Ileana y Gustavo, por ser hermanos incondicionales a lo
largo de este camino. Igualmente a la vieja escuela: Ángel Pototo, Benjamín
Monstruo y Lucy Lilo, por tantas batallas libradas.
Igualmente a: Halis, Zuliangel, Carlos y Sara (el resto de los guru-guru). A
Alberti, Manuel Bravo, Nestor, Andres, Cesar, Luisely Karma, Lailyn, Yuniev,
V
Airam, Atilio, Sofía, Silvimar, Laura, los 3 Luises, Jorge, Krizia, Miguel Castro,
Rossi, Gaby, Fabián, Manu Medina, Gissel, Andrea y al resto de compañeros
de clases, de pasillos, de comedor, de banquitos, de café…
Igualmente a Carlitos a Ronald y a Lusito por su amistad y compañía cuando
esta meta apenas nacía.
A todos ustedes, muchas gracias.
VI
Martínez C., Manuel O.
ELABORACIÓN DE UN ALGORITMO PARA GENERAR MAPAS DE HETEROGENEIDAD A PARTIR DE DATOS PETROFÍSICOS
DE UN YACIMIENTO.
Tutor académico: Prof. Ricardo Ambrosio. Tesis. Caracas, U.C.V. Facultad de Ingeniería,
Escuela de Geología, Minas y Geofísica. 2013, 102 p.
Palabras clave: Heterogeneidad, yacimiento, Coeficiente de Lorenz,
Coeficiente de Dykstra Parsons, Permeabilidad, Algoritmos.
Resumen: Al momento de modelar un yacimiento juega un papel importante la resolución que se utilice, es necesario para un estudio eficaz tomar en cuenta la tasa de variación de las propiedades petrofísicas en función de su ubicación espacial. A través del cálculo de la heterogeneidad en el yacimiento, es posible cuantificar dichas variaciones; y así, adecuar el grado de resolución necesaria para el estudio, lo que garantiza como resultado un modelo numérico más ajustado y de mejor calidad. Por otro lado, sabemos que en el estudio de propiedades del subsuelo la geoestadística cumple un rol indispensable, ya que la misma permite predecir, estimar y simular valores en una región a partir de los datos conocidos de lugares adyacentes, disminuyendo de manera eficaz la incertidumbre del estudio, permitiendo así, la elaboración de mapas que suministren la información necesaria para la localización de propiedades en los yacimientos y por ende para su delimitación espacial. En este sentido, el objetivo del siguiente Trabajo Especial de Grado se basa en la elaboración de un algoritmo para generar mapas de heterogeneidad a partir de datos petrofísicos. Para cumplir con tal fin, el trabajo se esquematizó en 3 etapas. Programar una rutina para obtener los valores de heterogeneidad por Lorenz y Dykstra Parsons, generar una rutina que transforma los datos discretos de heterogeneidad en mapas a través del uso de la geoestadistica y por último generar mapas donde se relacionan los valores de heterogeneidad, con espesores de arena y con la permeabilidad, evidenciando a través de ellos las zonas mejor calificadas en cuanto a las propiedades de estudio.
VII
ÍNDICE DE CONTENIDO
DEDICATORIA .............................................................................................. III
AGRADECIMIENTOS .................................................................................... IV
ÍNDICE DE CONTENIDO ............................................................................. VII
ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................... X
ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................... XIII
CAPÍTULO I .................................................................................................... 1
INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 1
1.1 Planteamiento De Problema .............................................................. 1
1.2.1. Objetivo general. ......................................................................... 2
1.2.2. Objetivos específicos. ................................................................. 3
1.3. Justificación ....................................................................................... 3
CAPITULO II ................................................................................................... 5
MARCO TEÓRICO ......................................................................................... 5
2.1. Caracterización de yacimientos ......................................................... 5
2.1.1. Modelo estático del yacimiento ................................................... 5
2.1.2. Modelo Dinámico del yacimiento. ................................................ 6
2.2. Petrofísica .......................................................................................... 7
2.2.1. Porosidad (Ø) .............................................................................. 8
2.2.2. Porosidad Efectiva (Øef) .............................................................. 9
2.2.3. Permeabilidad. ............................................................................ 9
2.2.4. Correlación entre la porosidad y permeabilidad. ....................... 12
VIII
2.3. Homogeneidad y Heterogeneidad. .................................................. 13
2.3.1. Coeficiente de Variación Dykstra & Parsons (VDP) .................. 14
2.3.2. Coeficiente de Lorenz ............................................................... 17
2.4. Interpolación y Geoestadistica ......................................................... 19
2.4.1. Variograma ................................................................................ 21
2.4.2. Kriging ....................................................................................... 24
2.5. Regresión. ....................................................................................... 25
2.6. Algoritmo. ......................................................................................... 27
CAPÍTULO III ................................................................................................ 28
MARCO METODOLÓGICO .......................................................................... 28
3.1. Cargar y adecuar los datos de entrada. ........................................... 31
3.2. Análisis estadístico. ......................................................................... 32
3.3. Elaboración de los algoritmos para calcular la heterogeneidad. ...... 34
3.3.1. Variación Dykstra Parsons (VDP). ............................................ 35
3.3.2. Coeficiente de Lorenz (Lz) ........................................................ 38
3.4 Relación entre los coeficientes de heterogeneidad. ......................... 43
3.5. Mapas Isópacos y Geoestadística. .................................................. 46
3.5.1. Mapas Isópacos ........................................................................ 46
3.5.2. Geoestadística .......................................................................... 47
3.5.3. Kriging. ...................................................................................... 49
3.6. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. ...... 50
CAPITULO IV ................................................................................................ 54
RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................... 54
4.1. Análisis estadístico de los datos. ..................................................... 54
IX
4.2. Calculo de los coeficientes de heterogeneidad. ............................... 58
4.2.1. Coeficiente de Lorenz. .............................................................. 59
4.2.2. Coeficiente de Variación Dykstra Parsons. ............................... 60
4.3. Relación entre los coeficientes. ....................................................... 62
4.4. Registros de Pozo y heterogeneidad. .............................................. 63
4.5. Mapas Isópacos. .............................................................................. 69
4.6. Geoestadística. ................................................................................ 72
4.6.1. Variografía. ................................................................................ 72
4.6.2. Kriging. ...................................................................................... 76
4.7. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. ...... 83
CAPITULO V ................................................................................................. 96
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................ 96
5.1. Conclusiones ................................................................................... 96
5.2. Recomendaciones. .......................................................................... 99
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 100
X
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2. 1. Gráfico de los puntos de permeabilidad vs. El porcentaje acumulado y la recta de ajuste. ........................................................................................................ 15 Figura 2. 2. Distribución de capacidad de flujo. Coeficiente de Lorenz.................... 18 Figura 2. 3. Ejemplo de variograma gráfico. ............................................................ 22
Figura 3. 1. Ubicación relativa de los pozos. ........................................................... 28 Figura 3. 2. Unidades estratigráficas y pozos. .......................................................... 29 Figura 3. 3. Metodología a desarrollar para alcanzar los objetivos propuestos y sus respectivos análisis. ................................................................................................ 30 Figura 3. 4. Diagrama del análisis estadístico de las propiedades petrofísicas.(Para los registros del yacimiento, por pozos y/o unidades estratigráficas). ............................ 33 Figura 3. 5. Histogramas, diagramas de caja y bigote y gráficos QQ, correspondientes a los datos de cada unidad estratigráfica. ................................................................. 34 Figura 3. 6. Distribución de frecuencia vs. Log(k) para el pozo 13 en la unidad estratigráfica B. ....................................................................................................... 37 Figura 3. 7. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la regresión logarítmica decimal. ............................................................................................................................... 40 Figura 3. 8. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos. (Sin regresión). ............................................................................................................... 42 Figura 3. 9. Gráficos cruzados de Coeficiente de Variación Dykstra Parsons vs Coeficiente de Lorenz, para cada unidad estratigráfica, con su respectivo coeficiente de correlación. ........................................................................................................ 44 Figura 3. 10. Log-permeabilidad vs profundidad, asociada a la gráfica de indicador de arena y la de porosidad, para el pozo 16 de la unidad estratigráfica B. ..................... 45 Figura 3. 11. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies). ....... 46 Figura 3. 12. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz. ................................................................................................................... 47 Figura 3. 13. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz, en la unidad estratigráfica B. ............................................... 49 Figura 3. 14. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. Interpolación por kriging de los coeficientes de Lorenz. ..................................................................... 50 Figura 3. 15. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ................. 51 Figura 3. 16. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A. ............................................................................................................................... 52 Figura 3. 17. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ...................................................................................................... 53
XI
Figura 4. 1. Histogramas, Diagramas de caja y bigotes y Gráficos QQ normal, de la porosidad en cada unidad estratigráfica. .................................................................. 55 Figura 4. 2. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica. ............................................................................................... 56 Figura 4. 3. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes del logaritmo base 10 de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica. ........................................................... 57 Figura 4. 4. Tabulación de los valores de permeabilidad con respecto a la profundidad Unidad estratigráfica C. .......................................................................................... 58 Figura 4. 5. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 6 de la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos sin regresión. ................................................................................................................ 60 Figura 4. 6. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, para cada unidad estratigráfica. .................................................... 62 Figura 4. 7. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, Unidad estratigráfica B. Pozos favorables para la comparación. ... 64 Figura 4. 8. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 26. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................... 65 Figura 4. 9. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 12. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................... 66 Figura 4. 10. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 5. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................ 67 Figura 4. 11. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 16. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................ 68 Figura 4. 12. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies) ........ 70 Figura 4. 13. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica B. (Medidos en pies) ........ 71 Figura 4. 14. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica C. (Medidos en pies) ........ 72 Figura 4. 15. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz. ................................................................................................................... 73 Figura 4. 16. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz en la unidad estratigráfica A. ................................................ 75 Figura 4. 17. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Log-Permeabilidad. ............................................................................................................................... 76 Figura 4. 18. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Lorenz. ............................................................................................. 77 Figura 4. 19. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons. ............................................................... 78 Figura 4. 20. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Lorenz. ............................................................................................. 79 Figura 4. 21. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons. ............................................................... 80
XII
Figura 4. 22. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Lorenz. ............................................................................................. 81 Figura 4. 23. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons. ............................................................... 82 Figura 4. 24. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ................. 84 Figura 4. 25. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B. ................. 85 Figura 4. 26. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C. ................. 86 Figura 4. 27. Relación entre la log-permeabilidad y la porosidad. ............................ 87 Figura 4. 28. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A. ............................................................................................................................... 90 Figura 4. 29. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ...................................................................................................... 91 Figura 4. 30. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................... 92 Figura 4. 31. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B. ....................................................................................................... 93 Figura 4. 32. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica C. ............................................................................................................................... 94 Figura 4. 33. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C. ....................................................................................................... 95
XIII
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 3. 1. Parámetros utilizados para generar el variograma bidimensional teórico ajustado para los coeficientes de Lorenz en la unidad estratigráfica B. ...................................................................................................................... 48
Tabla 4. 1. Valores resaltantes de los coeficientes de heterogeneidad para cada método en cada unidad estratigráfica. ................................................. 61 Tabla 4. 2. Factores cualitativos de los yacimientos en función a la permeabilidad y a la heterogeneidad. ........................................................... 88
1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
1.1 Planteamiento De Problema
En la industria petrolera juega un papel importante los cálculos que permiten
inferir la cuantificación de hidrocarburos in situ y los posibles métodos
aplicables para su extracción, para ello es preciso estudiar diversos
parámetros necesarios que deben presentarse de manera simultánea en un
yacimiento para que el mismo sea económicamente explotable; algunos de
estos parámetros, están relacionados directamente con el volumen, la
continuidad, los tipos de litología y la capacidad de almacenamiento de la
roca, así como también su capacidad para permitir la circulación de fluidos
(Craft y Hawkins 1977).
Las propiedades petrofísicas son calculadas a partir de datos de pozos, lo
que garantiza una excelente resolución vertical del estudio del yacimiento,
sin embargo, la resolución horizontal pierde fidelidad a medida que la
distancia entre los pozos se hace mayor o a medida que la densidad de
sondeo (relación entre el número de pozos con información y el área
horizontal del yacimiento en estudio) disminuye (Schlumberger, 1989).
En el estudio del subsuelo a través de los métodos de prospección, se debe
tomar en cuenta el valor agregado de la geoestadística, puesto que la misma
permite predecir valores en una región a partir de los datos conocidos de
lugares adyacentes, disminuyendo de manera eficaz la incertidumbre del
estudio, permitiendo así, la elaboración de mapas que suministren la
información necesaria para la localización de propiedades en los yacimientos
y por ende para su delimitación espacial.
2
Es necesario tomar en cuenta que existe una relación directa entre la
resolución que se define para cada sector de un modelo numérico (grupo de
celdas) y la heterogeneidad de la propiedad que se modela.
El estudio del yacimiento depende de la resolución que se aplique en el
mismo, es necesario para un estudio eficaz tomar en cuenta la tasa de
variación de las propiedades petrofísicas en función de su ubicación
espacial. A través del cálculo de la heterogeneidad en el yacimiento, es
posible cuantificar dichas variaciones. (Miranda 2009). Y así a través de ello
generar un modelo numérico más eficiente en cuanto a la resolución y
calidad, procurando que este represente fidedignamente la variabilidad de la
geología del medio.
En otras palabras, y de manera general, el cálculo de la heterogeneidad es
una herramienta importante para la simulación numérica de yacimientos, con
la finalidad de aportar información al modelo estático y posteriormente al
modelo dinámico. (Toyo, 2009).
En este sentido el siguiente trabajo especial de grado plantea la elaboración
de un algoritmo con la finalidad de generar mapas de heterogeneidad a partir
de datos de porosidad y permeabilidad obtenidos en un yacimiento, haciendo
uso de herramientas como la geoestadística y el análisis numérico.
1.2. Objetivos
1.2.1. Objetivo general.
Elaborar un algoritmo para generar mapas de heterogeneidad a partir de
valores de permeabilidad de un yacimiento.
3
1.2.2. Objetivos específicos.
• Calcular a través del coeficiente de variación Dykstra-Parsons la
heterogeneidad vertical para cada pozo en base a la permeabilidad de
los mismos.
• Calcular a través del coeficiente de Lorenz la heterogeneidad vertical
para cada pozo en base a la porosidad y permeabilidad de los
mismos.
• Desarrollar un algoritmo para generar los mapas de heterogeneidad
tomando en cuenta los valores obtenidos de heterogeneidad vertical.
• Generar mapas de heterogeneidad a partir de los datos de
permeabilidad haciendo uso del algoritmo planteado.
1.3. Justificación
Tomando en cuenta que una inapropiada resolución de estudio representa
un riesgo a perder información útil al momento de ajustar un modelo
numérico al geológico (necesario para el modelo estático), es necesario
aplicar adecuadamente la resolución, lo que a su vez amerita conocer la
heterogeneidad de las propiedades a modelar.
La presente investigación plantea beneficios al estudio de yacimientos en
función de la representación espacial de la heterogeneidad. Como se
mencionó anteriormente, los mapas de heterogeneidad son una herramienta
útil tanto al momento de ajustar la resolución adecuada, como para generar
simulaciones para el modelo dinámico del yacimiento, lo que conlleva a la
cuantificación de riesgos y por ende a la disminución de la incertidumbre del
4
estudio, lo que a fin de cuenta convergen información valiosa para el estudio
económico asociado a la producción de los yacimientos.
Este trabajo también pretende plasmar un algoritmo eficaz para la
elaboración de mapas de heterogeneidad en un yacimiento a partir de datos
petrofísicos (porosidad y permeabilidad), y con ello permitir el desarrollo de
posteriores estudios y avances en cuanto a algoritmos computacionales, y a
estudios de heterogeneidad.
5
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. Caracterización de yacimientos
La caracterización de yacimientos se define fundamentalmente como el
análisis interpretativo y multidisciplinario de un yacimiento, estudiando al
mismo como un sistema geológico e hidráulico, con la finalidad de detallar su
geometría y comportamiento; calificar y cuantificar sus propiedades de roca y
fluidos, y por último, establecer distribución y volúmenes recuperables de
hidrocarburos, integrando para ello, el modelo estático y el modelo dinámico
en un modelo final, que permita establecer un plan de explotación que
garantice la máxima recuperación económica de sus reservas. (Reverón,
2006).
Explica Reverón (2006), que en un estudio de esta magnitud es necesario el
aporte de información en diferentes áreas, asociadas lógicamente a la
explotación de hidrocarburos, tales como la Ingeniería Geológica, la
Ingeniería Geofísica, la Petrofísica, la Ingeniería de Yacimientos y la
Ingeniería de Producción. El modelo final del yacimiento permitirá la
predicción del comportamiento de producción basados en las diversas
opciones de recobro.
2.1.1. Modelo estático del yacimiento
Reverón 2006, enfatiza que el modelo estático de yacimiento es aquel que
representa de manera integrada las propiedades del yacimiento que no
varían en función del tiempo, como es el caso de la permeabilidad,
6
porosidad, espesor, topes, limites, fallas, ambiente de sedimentación,
continuidad vertical y lateral de las arenas, litología y límites de la roca, que
unidos a pruebas de yacimientos enmarcadas en el modelo dinámico (datos
de presión, producción, pruebas de presión), permiten definir con mayor
claridad el yacimiento. A diferencia del modelo estático, el dinámico conjuga
las propiedades que varían en función de tiempo. En otras palabras, el
modelo estático comprende a su vez los modelos estructurales,
estratigráficos, sedimentológicos, geoestadísticos y petrofísicos.
Uno de los objetivos del modelo estático es determinar la heterogeneidad del
yacimiento e identificar su influencia en las propiedades petrofísicas de las
rocas (principalmente en la permeabilidad) y en las características que tendrá
el flujo de fluidos o barrido al momento de la producción de hidrocarburos.
(Wouterlood, 2002).
2.1.2. Modelo Dinámico del yacimiento.
En este modelo se analiza la interacción dinámica roca-fluido del yacimiento;
el propósito fundamental es desarrollar metodologías que permitan
comprender de una manera integral como se desplazan los fluidos en la
roca. Tales parámetros servirán para alimentar los modelos de simulación
numérica de yacimientos. (Villalobos, 2010).
Para ensamblar el modelo dinámico, es necesario contar con los modelos de
fluido, P.V.T. (presión, volumen, temperatura). En este modelo, la
producción, inyección y comportamiento de presión son analizados, el
balance de materiales es elaborado, para determinar finalmente el estado
inicial de yacimiento y el mecanismo de producción del mismo. (Faiz, 2009).
7
Jackson y otros (1986) mencionan que para el estudio final de recuperación
y/o recuperación mejorada de hidrocarburos es necesario identificar las
heterogeneidades.
Por otro lado Wouterlood, (2002) explica que de los factores que afectan un
proyecto de recuperación (primordialmente los de recuperación secundaria),
la heterogeneidad de la formación es una característica adversa y difícil de
controlar.
2.2. Petrofísica
Las propiedades petrofísicas de las rocas son las características físicas de
las mismas, entiéndase, espacio poroso, tamaño de los poros, conectividad
de estos poros, volumen de agua en los poros, etc. Todos estos parámetros
indican la configuración del sistema poroso y como el fluido circula a través
de él, estando relacionados y originados por los procesos sedimentarios,
tectónicos y físico-químicos sobre la roca. (Reverón, 2006).
El objetivo de la petrofísica es estudiar las características físicas de la roca y
entender como influyen en la calidad de los yacimientos de hidrocarburos.
(WEC, 1997). Por otro lado, Peters (2007) menciona que la petrofísica
estudia cuantitativamente las propiedades de las rocas y sus interacciones
con los fluidos presentes en las mismas (gases, líquidos, hidrocarburos).
La gran mayoría de hidrocarburos en la actualidad se extrae de
acumulaciones en los espacios porosos de las rocas de yacimiento,
generalmente areniscas calizas, y dolomitas. La cantidad de petróleo o gas
contenidos en una unidad volumétrica es proporcional al producto de la
porosidad por la saturación de hidrocarburos. Para evaluar la productividad
de un yacimiento también es necesario saber con qué facilidad puede fluir el
8
hidrocarburo a través del sistema poroso. (Schlumberger, 1989). Por lo que
dentro de las características más importantes en el estudio de yacimientos a
través de la petrofísica, se encuentran la porosidad (Ø) y la permeabilidad
(k).
2.2.1. Porosidad (Ø)
Los granos de sedimentos que conforman las rocas sedimentarias no suelen
encajar a la perfección debido a la forma geométrica de los mismos. El
espacio vacío formado entre los granos es llamado poros o intersticios, en los
mismos se alojan los fluidos (gases, agua, hidrocarburos).La porosidad de
una roca yacimiento se define como la fracción del volumen total de la roca
que corresponde a espacios que pueden almacenar fluidos (Tiab y
Donaldson, 2004).
Ø = V pV t
(2.1)
Donde:
Ø = Porosidad [adim].
Vp = Volumen poroso. [cc]
Vt = Volumen total de la roca [cc]
Como el volumen de espacios disponibles para almacenar fluidos no puede
ser mayor que el volumen total de la roca, la porosidad es una fracción y el
máximo valor teórico que puede alcanzar es 1. Muchas veces la porosidad
es expresada como un porcentaje, esta cantidad resulta de multiplicar la
fracción por 100.
9
Los valores de porosidad suelen ser inferidos de núcleos o registros de
pozos: densidad, neutrón, sónico, etc.
2.2.2. Porosidad Efectiva (Øef) Esta es la fracción de volumen poroso interconectado, es decir, es la
porosidad total (calculada anteriormente) menos la porción de poros no
conectados. En la evaluación petrofísica se obtiene al multiplicar la porosidad
total por el porcentaje de arcilla. (Tiab y Donaldson, 2004).
Ø𝑒𝑓 = Ø𝑡 × 𝑉𝑠ℎ (2.2)
Donde:
Øef = Porosidad efectiva [Adim.].
Øt = Porosidad total [Adim.].
Vsh = Porcentaje de arcilla [ohm].
2.2.3. Permeabilidad.
Además de ser porosa, una buena roca yacimiento debe tener la capacidad
de permitir que los hidrocarburos presentes fluyan a través de los poros
interconectados. La capacidad de la roca para conducir los fluidos se
denomina permeabilidad. Esto indica que las rocas no porosas no tienen
permeabilidad. La permeabilidad de una roca depende de su porosidad
efectiva, en consecuencia, se ve afectada por el tamaño de grano, la forma
del grano, la distribución de tamaño de grano (escogimiento) y el grado de
consolidación y cementación (Tiab y Donaldson, 2004).
10
En 1856 Henry D`Arcy determinó, basado en estudios experimentales, que la
velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional al
gradiente de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido.
(Craft y Hawkins, 1977). Dicho enunciado puede ser expresado por la
siguiente ecuación:
𝑣 = 𝑘µ∗ 𝛥𝑃𝛥𝐿
(2.3)
Donde v es la velocidad aparente del flujo, expresada en centímetros por
segundos (cm/s); k es la permeabilidad expresada en Darcy; µ es la
viscosidad expresada en centipoises (cp) y ΔP/ΔL es el gradiente de presión
tomado en la misma dirección que la velocidad del flujo, en atmosferas por
centímetros. (Craft y Hawkins, 1977).
Por lo general a mayor porosidad corresponde mayor permeabilidad, pero
esto no siempre es cierto, porque los factores como el tamaño, forma y
continuidad de los poros también influyen decisivamente en la permeabilidad.
(WEC, 1997). Existen rocas de granos muy finos con alto índice de porosidad
interconectada, aunque los poros individuales y sus (conexiones de poros)
gargantas sean pequeños. Esto hace que el fluido no se desplace fácilmente,
dando como resultado una baja permeabilidad. Otro ejemplo similar, son las
lutitas que son arreglos cuasi-simétricos de granos de arcilla que poseen alta
porosidad pero permeabilidad casi nula, pues el espacio de poro como sus
gargantas son muy pequeños o nulos. (Reverón, 2006).
WEC (1997) menciona que la permeabilidad de una roca para el flujo de un
solo fluido homogéneo se denomina permeabilidad absoluta o intrínseca, k; y
es constante si el fluido no interactúa con la roca. En el caso de que existan
dos o más fluidos inmiscibles (por ejemplo, agua y petróleo) en una roca,
estos interfieren entre sí. Por lo tanto, ahora se tendrá una permeabilidad
11
efectiva al agua, kw, y una permeabilidad efectiva al petróleo, ko, siendo su
suma menos o igual que la permeabilidad absoluta. Las permeabilidades
efectivas dependen no solo de la roca en sí, sino también de las saturaciones
relativas y propiedades de los diferentes fluidos en los poros. Estas
permeabilidades que dependen de las saturaciones de fluidos son llamadas
permeabilidades relativas. Así para un sistema agua petróleo, la
permeabilidad relativa al agua, krw, es igual a kw/k, la permeabilidad relativa al
petróleo, ko, es igual a ko/k.
El cálculo de la permeabilidad es una de las tareas más complicadas en la
petrofísica, porque esta propiedad está controlada por muchos factores:
porosidad, tamaño de poro, tamaño de garganta de poro, etc. Por esta razón
se han desarrollado diversas técnicas para determinar los valores de
permeabilidad en los yacimientos, una de ellas es la ecuación empírica de
Wyllie and Rose.
𝐾 = 𝐶 × Ø𝑥 × 𝑆𝑤𝑖𝑟𝑟−𝑦 (2.4)
Donde C es una constante empírica, Ø es la porosidad, Swirr es la saturación
de agua irreducible, y X y Y son variables exponenciales.
A partir de esta ecuación Timur construye la siguiente ecuación:
𝐾𝑡 = 104 × (Ø)4.5
(𝑆𝑤𝑖)2 (2.5)
Donde:
Kt = Permeabilidad de timur. [mD]
Ø = Porosidad. [Adim.].
Swi = Saturación de agua irreducible [Adim.].
12
Tanto la permeabilidad como la porosidad son características de toda roca y
a través de las mismas y según sea su distribución se puede detallar la roca
o el yacimiento a partir de su heterogeneidad.
Según Peters (2007), la permeabilidad puede ser descrita de manera general
de la siguiente manera:
Muy baja: k <mD.
Baja: mD< k < 10 mD
Razonable: 10 mD< k < 50 mD
Promedio: 50 mD< k < 200 mD
Buena: 200 mD< k < 500 mD
Excelente: k > 500 mD.
2.2.4. Correlación entre la porosidad y permeabilidad.
Dado que la permeabilidad depende de la continuidad de espacios porosos,
no existe una relación única entre la porosidad de una roca y su
permeabilidad. Para arenas no consolidadas, es posible establecer
relaciones entre la porosidad y, o bien alguna medida de diámetro de poro
aparente o área de superficie específica y la permeabilidad. Sin embargo,
estos tienen aplicaciones limitadas. Para un mismo ambiente de depósito hay
a veces una relación razonable entre la porosidad y la permeabilidad, sin
embargo para una determinada porosidad, las permeabilidades pueden
variar ampliamente.
Se han hecho intentos para correlacionar la permeabilidad y porosidad
utilizando una ecuación de la forma: log k = a Ø + b
Kozeny como pionero de las relaciones porosidad y permeabilidad, relacionó,
en 1927, las propiedades de la roca con la permeabilidad. Formuló una
13
ecuación empírica que asociaba la permeabilidad con la porosidad y el área
por unidad de volumen (Balan et al., 1995)
𝐾 = 𝐴 ∗ Ø𝑆2
(2.6)
Donde A es una constante empírica conocida como la constante de Kozeny,
Ø es la porosidad y S el área de la superficie por unidad de volumen.
Posteriormente dicha ecuación fue modificada por Carman (Balan et al.,
1995).
𝐾 = 𝐴 ∗ Ø𝟑
𝑆𝑜 (1−Ø)2 (2.7)
Donde So es el área de la superficie por unidad de volumen de material
sólido. La función de la porosidad es la medida de la textura de la roca
relacionada a la permeabilidad con el diámetro promedio de los granos.
A partir de los trabajos pioneros de Kozeny y Carman, han sido muchos los
investigadores que desarrollaron relaciones teórico empíricas entre la
porosidad y permeabilidad.
2.3. Homogeneidad y Heterogeneidad.
Todo medio es heterogéneo con respecto a cierta propiedad si la misma
varía en función de la ubicación espacial dentro del medio. En caso de ser
invariante, el medio será homogéneo (Peters, 2007). La homogeneidad y la
heterogeneidad son parámetros que suelen utilizarse en la geología para la
definición cualitativa de medios, sin embargo al profundizar más en el tema
se observa que los mismos están asociados a cálculos y por ende también
pueden denotar aspectos cuantitativos.
14
Como se mencionó antes, conocer la heterogeneidad de un yacimiento es
fundamental para el estudio del flujo de hidrocarburos en el sistema dinámico
del reservorio, sin embargo son ciertas propiedades del modelo estático
quienes nos permiten llegar a ello.
Ordoñez (2007) menciona que en los simuladores numéricos, el yacimiento
es representado por una serie de celdas interconectadas, y el flujo entre las
celdas es resuelto numéricamente. Los simuladores calculan el flujo de
fluidos a través del yacimiento, basándose en los principios básicos de la Ley
de Conservación de la Masa y la Ley de Darcy, tomando en cuenta
principalmente la heterogeneidad del yacimiento.
Al estudiar la tasa de heterogeneidad para cada pozo (heterogeneidad
vertical) es posible generar mapas que reflejen la heterogeneidad del
yacimiento (heterogeneidad areal) a partir de los datos obtenidos en cada
pozo. Esto a través de las herramientas de interpolación.
Alrededor del año 1950 se introducen dos métodos para la cuantificación de
la heterogeneidad vertical en los yacimientos, en una escala de 0
(homogéneo totalmente) a 1 (heterogéneo totalmente). Dichos métodos son:
el Coeficiente de Variación Dykstra & Parsons y el Coeficiente de Lorenz.
Estos métodos se aplican para el cálculo de heterogeneidad en cada pozo
muestreado y a través de la geoestadistica se pueden inferir
matemáticamente los valores de heterogeneidad para todo el yacimiento.
2.3.1. Coeficiente de Variación Dykstra & Parsons (VDP)
Una medida para la variación de la permeabilidad que se utiliza ampliamente
en la industria petrolera es la del coeficiente de variación Dykstra-Parsons.
Peters (2007) explica que este coeficiente se determina basándose en la
15
suposición que los datos de permeabilidad se han extraído de una
distribución logarítmica normal (log-normal). El cálculo se hace mediante la
tabulación de la valores de permeabilidad en orden decreciente y luego
calcular para cada permeabilidad, el porcentaje de las muestras con
permeabilidades mayores o iguales a ese valor. Luego de la tabulación es
necesario el trazado de la distribución de frecuencia de los datos de
permeabilidad en un papel semi-logarítmico de probabilidad. Para evitar
valores de 0 ó 100%, que no están presentes en la escala de probabilidad, el
porcentaje mayor o igual al valor, se normaliza entre N+1, donde N es el
número de muestras.
Como se observa en la figura 2.1, se traza la línea recta con mejor ajuste a
los puntos graficados. El punto medio de la distribución de la permeabilidad
(porcentaje acumulado = 50) es la mediana de los valores de permeabilidad.
Mientras que el punto de porcentaje acumulado correspondiente a 84.1,
pertenece a la desviación estándar de los valores de permeabilidad menores
a la mediana.
Figura 2. 1. Gráfico de los puntos de permeabilidad vs. El porcentaje acumulado y la recta de ajuste.
16
El coeficiente de variación Dykstra-Parsons (VDP) se calcula a través de la
siguiente ecuación:
𝑉𝐷𝑃 = K[50%] − K[84.1%]K[50%]
(2.8)
Donde:
K[50%] es la permeabilidad correspondiente a la mediana del conjunto
logarítmico. Es decir, con la probabilidad logarítmica igual a 0.5
(K[50%] - K[84.1%]) es la permeabilidad correspondiente a la desviación
estándar (84.1%) del conjunto logarítmico. Es decir, con la probabilidad
logarítmica igual a 0.841.
Sin necesidad de graficar, el cálculo del coeficiente de variación Dykstra
Parsons puede efectuarse a través del método numérico, donde la relación
se efectuá a través de los percentiles 50 y 84.1, para la mediana y la
desviación estándar de los registros de log-permeabilidad respectivamente.
El coeficiente de variación Dykstra Parsons es una excelente herramienta
para caracterizar el grado de heterogeneidad en los yacimientos. El termino
VDP es también denominado índice de heterogeneidad del yacimiento.
(Tiab,2004)
Dentro del rango (0,1) en el que existe VDP, Tiab (2004) clasifica la
heterogeneidad de la siguiente manera:
• VDP = 0, yacimiento totalmente homogéneo (valor ideal).
• 0 < VDP < 0.25, yacimiento ligeramente heterogéneo, puede ser
aproximado por un modelo homogéneo en la simulación del
yacimiento, con un mínimo error.
17
• 0.25 < VDP < 0.50, el yacimiento es heterogéneo, si el coeficiente se
acerca a 0.50 o sobre pasa ese valor, el simulador numérico debe
correrse con un modelo heterogéneo completo.
• 0.50 < VDP < 0.75, el yacimiento es muy heterogéneo.
• 0.75 < VDP < 1, el yacimiento es extremadamente heterogéneo.
• VDP = 1. El yacimiento es totalmente heterogéneo, este caso al igual
que el totalmente homogéneo, son ideales, puesto que los procesos
geológicos de depositación y la acumulación de sedimentos no son
acontecimientos extremos.
Según Peter 2007, la mayoría de los yacimientos de hidrocarburos cuentan
con un VDP típico entre 0.5 y 0.9.
2.3.2. Coeficiente de Lorenz
Otro método para el cálculo de la heterogeneidad utilizado en la industria
petrolera es el coeficiente de Lorenz. Este se obtiene a través de un cálculo
aplicado al gráfico de distribución de la capacidad de flujo. Dicho grafico
representa los valores acumulados del producto de la permeabilidad por la
profundidad (k*h) en función de los valores acumulados del producto de la
porosidad por la profundidad (Ø*h). (Peter 2007)
Según Sharma (1993), alrededor de 1950 Schmalz y Rahme introdujeron el
Coeficiente de Lorenz como un parámetro simple que describe el grado de
heterogeneidad dentro de una sección de arena neta petrolífera. Al igual que
el Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, el Coeficiente de Lorenz varía
entre 0, para sistemas idealmente homogéneos, y uno para sistemas
idealmente heterogéneos.
A continuación se resume la metodología según Sharma, utilizada para
calcular el coeficiente de Lorenz:
18
• Ordenar todos los valores de permeabilidad en orden descendiente.
• Calcular la capacidad de permeabilidad acumulada ΣKh y la
capacidad de volumen acumulada Σ Ø h.
• Normalizar ambas capacidades acumuladas hasta que cada
capacidad se encuentre en un rango entre 0 y 1.
• Graficar la capacidad de permeabilidad acumulada normalizada
versus la capacidad de volumen acumulado normalizado en una
escala cartesiana.
Figura 2. 2. Distribución de capacidad de flujo. Coeficiente de Lorenz.
La figura 2.2, muestra una ilustración de la distribución de capacidad de flujo
(curva azul). Un sistema completamente uniforme tendría todas las
permeabilidades iguales, y el gráfico normalizado de Σ (k*h) vs Σ (Ø*h) sería
una línea recta que cruza de (0,0) a (1,1) sobrepuesta a la línea de referencia
19
(roja). A medida que aumenta la heterogeneidad, incrementa la concavidad
del gráfico, es decir la curva azul se aleja de la recta roja.
El valor del Coeficiente de Lorenz es la relación entre el área inscrita entre la
curva de la distribución de capacidad de flujo y la recta de referencia, con
respecto al área del triángulo formado por la recta de referencia, el eje
inferior y el eje derecho. A través de la gráfica es fácil deducir que el área de
este triángulo es 0.5 u.a. (unidades de área). De manera tal que la ecuación
matemática se reduce a:
𝐿𝑧 =(∫ 𝑑𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥)−0.5)10
0.5 = � 2∫ 𝑑𝑓𝑐(𝑥)𝑑𝑥1
0 � − 1 (2.9)
Donde:
Lz = Coeficiente de Lorenz
dfc(x) equivale a la función de distribución de capacidad de flujo.
2.4. Interpolación y Geoestadistica
Se puede suponer que el yacimiento es homogéneo y utilizar el mismo valor
de cada propiedad para cada cubo de la simulación, sin embargo dicho
modelo ignora la geología del yacimiento y por consiguiente dará resultados
errados. También se puede recurrir a simular la red de cubos a partir de
valores de propiedad de un generador numérico aleatorio; este modelo,
asegura cierta heterogeneidad, pero también hace caso omiso a la geología
del yacimiento y a la observación general de que los datos de lugares
cercanos tienden a ser similares mientras que datos de lugares que están
muy alejados tienden a ser diferentes. Tiab y Donaldson (2004).
En otro Palabras, las propiedades petrofísicas tienden a estar
correlacionadas espacialmente, algunas de estas se obtienen a partir de
registros de pozos, sin embargo, el estudio de pozos no cubre toda la
20
información necesaria para el estudio del yacimiento, por ende, las
propiedades en la mayor parte del campo siguen siendo desconocidas y
suelen ser calculadas a través de otros medios. Es decir, siempre existe la
necesidad de idear una manera coherente para estimarlas; pues razones
económicas y operativas hacen imposible medir una variable regionalizada
en más que un conjunto limitado de puntos. Entonces a partir de dichos
puntos se desea calcular el valor de la variable en cualquier otro punto
(donde no se conoce). Esta operación puede llamarse estimación, predicción
o interpolación según el contexto en que se realiza. (Usandivaras, 2006).
La geoestadística presenta como propósito esencial, estimar, predecir y
simular variables regionalizadas. Cada observación pertenece a dos
espacios: el geográfico (coordenadas espaciales hasta tres dimensiones) y el
espacio de las propiedades (Atributo o variable observada), que puede tener
tantas dimensiones como número de variables observadas (Ambrosio, 2007).
La geoestadística en si se basa en la aplicación práctica de la teoría de la
variables regionalizadas desarrollado por Georges Matheron. La principal
diferencia entre la estadística y geoestadística es que la estadística se basa
en el estudio de datos aleatorios, independientes y generalmente poco
correlacionados, mientras que la geoestadística trata los datos bajo un patrón
espacialmente correlacionados. Peters (2007).
Como se mencionó anteriormente, el término geoestadística fue acuñado por
Matheron en 1962, donde formalizó y generalizó matemáticamente un
conjunto de técnicas basadas en la correlación espacial para predicciones en
la evaluación de reservas de las minas de oro en Sudáfrica, desarrolladas en
1941 por Danie Krige. (Díaz, 2002).
Matheron definió la geoestadística como la aplicación del formalismo de las
funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de los fenómenos
naturales.
21
Se conoce como función aleatoria a un grupo de valores de una variable
aleatoria, cada uno ubicado en un punto del espacio y en los que la
dependencia entre uno y otro viene dada por el mismo mecanismo
probabilístico que determina cada uno de los valores de la variable aleatoria.
(Hernández, 2002)
Es posible generar los mapas de propiedades de un yacimiento (por ejemplo,
porosidad promedio) a partir de diversos métodos de interpolación, entre los
principales métodos tenemos al método de kriging.
Cuando el objetivo es hacer predicción, la geoestadística opera básicamente
en dos etapas. La primera es el análisis estructural, en la cual se describe la
correlación entre puntos en el espacio (utilizando comúnmente los
variogramas). En la segunda fase se hace predicción en sitios de la región no
muestreados por medio de la técnica kriging.
2.4.1. Variograma
La geoestadística se fundamenta principalmente en el variograma, el cual es
una herramienta para analizar la continuidad o comportamiento espacial de
las variables distribuidas es un área.
El mismo se define mediante la ecuación:
Y(h) = Var[Z(x) – Z(x+h)] = E[Z(x) – Z(x+h)]2 (2.10)
Donde,
Y(h) es la función del variograma.
h: distancia entre dos observaciones.
Z(x): Valor de la propiedad observada en la posición x.
Var: Varianza. E: Esperanza.
22
Lo anterior señala que el variograma es el valor promedio del cuadrado de la
diferencia entre dos valores de la propiedad que se analiza, estos puntos en
el espacio se encuentran separados por una distancia “h” en la dirección del
vector “h”. “x” y “h” pueden ser vectores o puntos, por lo tanto el valor del
variograma dependerá de la magnitud y dirección de “h”. Es por ello que se
usa el variograma para analizar la variable en función de su dirección y
distancia y no de la localización de los puntos.
Figura 2. 3. Ejemplo de variograma gráfico.
Donde:
Rango (range): Distancia a la cual el variograma se estabiliza (pendiente 0)
Meseta (sill): Valor constante que toma el variograma para distancias iguales
o mayores al rango.
23
Efecto pepita (nugget): Representa la variabilidad en las distancias más
pequeñas que el espaciado de muestra típica, incluyendo el error de
medición.
Propiedades del variograma
• Si h=0, Y(h)=0.
• Y(- h)= Y(h) es una función par, es decir, tiene el mismo valor en
direcciones opuestas.
• Relación con la función covarianza. Cuando la variable en estudio es
estacionaria, entonces el variograma Y(h) y la covarianza C(h) se
relacionan por medio de la siguiente ecuación Y(h) = C(0) - C(h). Esto
indica que para funciones aleatorias estacionarias, el variograma y la
covarianza son equivalentes.
• Comportamiento a grandes distancias: Si para una distancia d, Z(x) y
Z(x+h) no están correlacionadas, entonces el variograma se estabiliza
tomando el valor C(0), esto se deduce por la propiedad anterior. La
distancia d se conoce como rango. Pero no todos los variogramas se
estabilizan para grandes distancias, lo cual podría ser una
consecuencia de la presencia de una tendencia en la variable o
simplemente que generalmente estén correlacionados.
• Comportamiento a pequeñas distancias. Este comportamiento es más
importante porque se encuentra ligado al comportamiento de la
variabilidad espacial. Si para valores cercanos, Z(x) y Z(x+h) varían
mucho, entonces el variograma crecerá muy rápido indicando una alta
variabilidad y viceversa.
24
2.4.2. Kriging
La correlación espacial entre los datos mediante funciones de variograma o
de covarianza es considerada por el método “Kriging”. Eso permite describir y
respetar de cierta manera la continuidad de los cuerpos.
El Kriging es un estimado lineal que utiliza como criterio la minimización de la
varianza en la estimación, es decir, a partir de una combinación lineal de
valores medidos Z(xi) en los puntos de observación (xi), permite obtener la
estimación de valores desconocidos Z(x0) en un punto (x0), así como la
varianza estimada.
El desarrollo de las ecuaciones de “Kriging” se basa en las siguientes
propiedades:
1. Estimación Lineal: es el valor estimado de la variable Z(x0) que se obtiene
por combinación lineal de los valores observados de las variables aleatorias
Z(xi).
Z* = ∑ λi ∗ Zi𝑛𝑖=1 (2.11)
Donde,
Z* = Valor estimado de la variable regionalizada.
λi = coeficiente de ponderación o de Kriging.
Z = Valores observados de la variable regionalizada.
2. Sesgo nulo: E(Z*) = E(Z), es decir, ∑ λi𝑛𝑖=1 = 1
3. Varianza Mínima: Var (Z*-Z) = E((Z*-Z)2) sea mínima.
25
Las ecuaciones del método Kriging no dependen de los valores medidos de
las variables, sino solamente de sus posiciones y del variograma, por lo
tanto, es un interpolador exacto.
Una de las ventajas del Kriging sobre la mayoría de los interpoladores es la
forma en que tiene en cuenta la distribución de los datos y la anisotropía
cuantificada por el variograma.
2.5. Regresión.
Son frecuentes en la práctica situaciones en las que se cuenta con
observaciones de diversas variables, y es razonable pensar en una relación
entre ellas. El poder determinar si existe esta relación y, en su caso, una
forma funcional para la misma es de sumo interés. Por una parte, ello permite
predecir valores desconocidos a partir de valores conocidos, como también
responder con criterio estadístico a cuestiones acerca de la relación de una
variable sobre otra. (Tusell y Núñez, 2007). La regresión es esa técnica
estadística, que permite construir modelos que representan la dependencia
entre variables o hacer predicciones de una variable “Y” en función de las
observaciones de otras variables “X”.
Consideramos una variable aleatoria Y (regresando, respuesta, o variable
endógena) de la que suponemos que se genera así:
𝐘 = 𝛃𝟎𝐗𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏 + · · · + 𝛃(𝐩 − 𝟏)𝐗(𝐩 − 𝟏) + 𝛏 (2.12)
Donde:
β0, β1,. . . , βp−1, son parámetros fijos desconocidos.
26
X0, X1,. . . ,Xp−1, son variables explicativas no estocásticas, regresores,
cuyos valores son fijados por el experimentador. Frecuentemente X0 toma el
valor constante “uno”.
ξ, es una variable aleatoria inobservable. Suele suponerse por conveniencia
como un termino de error con media 0 y varianza constante. (Tusell y Núñez,
2007).
La ecuación 2.11 indica que la variable aleatoria Y se genera como
combinación lineal de las variables explicativas, salvo en una perturbación
aleatoria “e”.
Las ecuaciones mas comunes que se utilizan para expresar estas relaciones
son:
Lineal 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑒
Cuadrática 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑐𝑋2 + 𝑒
Polinomica 𝑌 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋2 + ⋯+ 𝑎𝑝𝑋𝑝 + 𝑒
Logarítmica 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝐿𝑛(𝑋) + 𝑒
Exponencial 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑒𝑏𝑋 + 𝑒
Potencial 𝑌 = 𝑎𝑋𝑏 + 𝑒
Luego de seleccionar el metodo de regresión y obtener la curva según el tipo
de regresion que se halla selecionado,, es necesario el calculo de la bondad
de ajuste (R2).
La bondad de ajuste (R2) es un metodo para medir la aproximación de la
curva de regresión obtenida a la nube de puntos o datos originales. Es decir,
R2 mide qué tan buen ajuste efectúa el modelo de regresión a los datos. El
rango de R2 es [0,1] o lo que en porcentaje seria [0% a 100%]. Mientras
mayor sea R2 mejor es el ajuste de la regresion a la nube de datos. (Barón,
2011)
27
2.6. Algoritmo.
Euclides, el gran matemático griego (del siglo IV antes de Cristo) que inventó
un método para encontrar el máximo común divisor de dos números, se
considera uno de los grandes padres de la algoritmia (Joyanes, 2003). Lo
que evidencia que aunque la popularización del término ha llegado con el
advenimiento de la era informática, un algoritmo es un método para resolver
un problema.
Según Stori, M. y otros (2012) al momento de planear una estrategia para
solucionar un problema puede hacerse a través de un algoritmo, es decir por
medio de una secuencia de instrucciones cada una de las cuales representa
una tarea bien definida y puede ser llevada a cabo en una cantidad finita de
tiempo y con un número finito de recursos computacionales (de hacerse uso
de los mismos). Los pasos para la resolución de un problema a través de un
algoritmo son:
1. Diseño del algoritmo, que describe la secuencia ordenada de
pasos (sin ambigüedades) que conducen a la solución de un
problema dado. (Análisis del problema y desarrollo del algoritmo.)
2. Expresar el algoritmo como un programa en un lenguaje de
programación adecuado. (Fase de codificación.)
3. Ejecución y validación del programa por la computadora.
28
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
Como en todo trabajo de investigación, la revisión bibliográfica antes y
durante el desarrollo es necesaria, los principales tópicos de estudio fueron:
propiedades petrofísicas, coeficientes de heterogeneidad en pozos,
estadística descriptiva y geoestadística; los mismos se expusieron junto a
otros tópicos pertinentes en el anterior capitulo.
En cuanto a los datos utilizados, se contó con un archivo que dispone de los
registros de permeabilidad, porosidad profundidad e indicador de arena de
43 pozos verticales, ubicados espacialmente en un área aproximada de
13000 m2, como se muestra en la figura 3.1. Las coordenadas de los pozos
fueron alteradas para mantener la confidencialidad de los datos.
Figura 3. 1. Ubicación relativa de los pozos.
29
El estudio también contempla 3 unidades estratigráficas (de la menos
profunda a la más profunda: A, B, y C). Las coordenadas de las mallas que
modelan las 6 superficies (tope y base de cada unidad estratigráfica) también
fueron alteradas manteniendo la relación con la ubicación de los pozos. En la
figura 3.2 se observan los topes y bases de las unidades y los pozos.
Figura 3. 2. Unidades estratigráficas y pozos.
Con el fin de alcanzar los objetivos planteados, la metodología de este
trabajo se dispuso bajo las etapas señaladas en la figura 3.3.
30
Figura 3. 3. Metodología a desarrollar para alcanzar los objetivos propuestos y sus respectivos análisis.
Cargar y adecuar
datos
• Cargar archivos. • Desglosar archivos y unificar. • crear tabla con las propiedades por cada pozo en
cada unidad estratigráfica.
Análisis estadistico.
• Estadística descriptiva. • Gráficos para análisis estadístico. • Datos de salida.
Cálculo de la heteroge-neidad.
• Cálculo del coeficiente de Dystra Parsons. • Cálculo del coeficiente de Lorenz.
Relación entre los
coeficientes.
• Gráficos cruzados entre Lorenz y Dykstra Parsons. • Evaluación de la log-permeabilidad en los pozos
caracteristicos de baja y alta heterogeneidad.
Isopacos y Geoestadísti-
ca
• Elaboración de los mapas isopacos para cada unidad. • Variografía (mapas de variograma y variogramas
bidimencionales). • Kriging. • Mapas de heterogeneidad. (lorenz y Dykstra Parsons).
Análisis de resultados.
• Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre.
• Relación entre la heterogeneidad la permeabilidad y el espesor de arena.
31
3.1. Cargar y adecuar los datos de entrada.
A partir de los registros de pozos y los datos de cada horizonte que se
involucran en el estudio, se elaboró un algoritmo que permite cargar los
archivos al programa computacional (R Project) y allí separar los registros de
cada pozo dentro de las unidades de interés.
Tomando en cuenta que los datos petrofísicos provienen de un archivo único
para los 43 pozos, y otros 6 archivos contienen los puntos que definen las
superficies de cada tope y cada base de las 3 unidades estratigráficas, fue
necesario elaborar un algoritmo para desglosar los datos de interés, es decir
los registros petrofísicos de cada pozo, dentro de cada unidad estratigráfica.
Del archivo que contiene los registros de pozo, son de interés para la
elaboración de esta investigación los datos de la ubicación espacial de cada
medición, lo que involucra la profundidad donde fue tomado cada registro, y
las coordenadas de latitud y longitud para cada pozo, es necesario
mencionar que por motivos de confidencialidad de datos, estas coordenadas
fueron alteradas, conservando entre ellas las distancias originales. También
son de interés los datos de permeabilidad y porosidad. Luego de cargar los
archivos, es necesario introducir como variable el número de unidades
estratigráficas (3). El número de pozos es calculado a través de una de las
rutinas que conforman el algoritmo; se debe tener en cuenta que todos los
pozos utilizados fueron verticales.
Posterior a esto, se reordena el archivo de pozos en una tabla, de manera
que los valores de las coordenadas este y norte, y los valores de profundidad
aumenten a medida que descienden los valores en la tabla, manteniendo el
resto de las propiedades en cada medición. Luego a través de distintos
32
procedimientos se generó una tabla que contenga las coordenadas de cada
pozo.
Luego de cargar los archivos de tope y base de cada estrato a estudiar, se
evaluó a través de una rutina, si cada nodo de cada mallado de superficie
presenta las mismas coordenadas norte y este, al cumplirse, el algoritmo
notifica con la frase: “corresponden los nodos (x,y)”. Luego, al saber que las
6 mallas presentan los mismos nodos (con diferentes profundidades), se
procedió a crear otra rutina que elabore una tabla que contenga las
coordenadas de cada pozo con las coordenadas de los respectivos nodos
más cercanos y la distancia que los separa.
El siguiente paso consistió en generar una tabla donde a cada pozo se le
asignan los nodos correspondientes, uno por cada malla (base y tope) que el
pozo intercepta, lo que permite obtener la profundidad en la cual cada pozo
alcanza las unidades estratigráficas, y así enfatizar el estudio dentro de las
mismas. Luego a través de una secuencia de rutinas se crea una tabla final
de las propiedades de los pozos, semejante a la inicial, a diferencia que no
se incluyen las mediciones de los pozos fuera de las unidades que
deseamos estudiar, se resalta a que unidad estratigráfica pertenece cada
registro de los pozos y por último a todos los registros de heterogeneidad se
le sumó un valor distribuido uniformemente en el intervalo (0 , 1E-5], con la
finalidad de poder calcular valores de logaritmo de la heterogeneidad más
adelante.
3.2. Análisis estadístico.
Luego de haber desglosado los datos iniciales y haberlos separado por
pozos y unidades estratigráficas, se aplicó un análisis de estadístico de los
datos en cada unidad estratigráfica. Eso con la finalidad de comprender el
33
comportamiento de las propiedades petrofísicas medidas. Se calcularon las
principales medidas de tendencia, al igual que se elaboró un conjunto de
histogramas, diagramas de caja y bigotes y gráficos QQ (cuantil - cuantil),
cuya finalidad es resaltar de manera visual el comportamiento del grupo de
cada conjunto de datos.
Figura 3. 4. Diagrama del análisis estadístico de las propiedades petrofísicas.(Para los registros del yacimiento, por pozos y/o unidades estratigráficas).
Datos de entrada. Registros
(propiedades petrofísicas).
Estadística descriptiva.
Gráficos de distribución y
representación estadistica.
Datos de salida. Registros
(propiedades petrofísicas).
34
Figura 3. 5. Histogramas, diagramas de caja y bigote y gráficos QQ, correspondientes a los datos de cada unidad estratigráfica.
En las tres unidades estratigráficas se puede observar la existencia de
valores atípicos conocidos como “outliers”, los mismos pueden ser tomados
en cuenta para el estudio, posterior a un análisis de la posible naturaleza.
3.3. Elaboración de los algoritmos para calcular la heterogeneidad.
Para el cálculo de la heterogeneidad a partir de los registros de
permeabilidad y porosidad correspondiente a cada pozo en cada unidad
estratigráfica, se tomaron en cuenta dos métodos, Coeficiente de Variación
35
Dykstra Parsons y Coeficiente de Lorenz. Ambos registran la heterogeneidad
dentro del intervalo (0-1). A continuación se detallan:
3.3.1. Variación Dykstra Parsons (VDP).
Para el cálculo de VDP solo es necesario contar con las mediciones de
permeabilidad. Se elaboró una rutina donde se ordenaron las mediciones de
permeabilidad en una tabla en sentido decreciente, en el cual cada valor esta
enumerado de mayor a menor, correspondiendo al valor de mayor
permeabilidad el número uno; las mediciones de igual valor se cuentan pero
solo se le asigna número de conteo a la última repetida.
Luego se agregó a la tabla una columna de porcentaje acumulado, el cual
corresponde a:
pa = 100∗n1+rn
(3.1)
Donde:
pa : corresponde al valor de porcentaje acumulado.
n : Vector de conteo de los valores de permeabilidad.
rn : longitud o rango del vector n.
Según Peters, J. (2007), se debe graficar los valores de permeabilidad con
respecto a la distribución de frecuencia de los datos de permeabilidad en un
papel semilogarítmico (esto para aseguran una dispersión o nube de puntos
factible de ajustar a través de una recta. Dicha recta de ajuste nos permite
ubicar los valores de permeabilidad correspondiente al 50% y al 84.1% de la
distribución de frecuencias. (Km y Ke respectivamente).
Según la ecuación 2.7:
𝑉𝐷𝑃 =K[50%] − K[84.1%]
K[50%]
36
Donde:
Km = (K[50%]), es la mediana de la permeabilidad
(Km – Ke) = (K[50%]- K[84.1%]), es la desviación estándar, menor a la
mediana, en un grafico log-probabilístico.
Sin embargo, la rutina puede programarse de otra manera, para evitar
graficar en hojas semi-logarítmicas. Dicho método igualmente asegura una
dispersión posible de ajustar a través de una recta. El mismo consiste en
graficar bajo unos ejes decimales (ambos), la distribución de frecuencia vs el
logaritmo decimal base 10 de la permeabilidad (Log10(K)).Tomando en
cuenta que para invertir el efecto generado por el logaritmo, los resultados
serán:
𝐾𝑒 = 10K[84.1%]) 𝐾𝑚 = 10K[50%])
Por lo que desarrollando la formula, tendremos
𝑉𝐷𝑃 = 10K[50%]−10K[84.1%]
10K[50%] = 1 − (10(K[84.1%]− K[50%] ) ) (3.2)
A continuación se detalla en la figura 3.6 la gráfica B13. La cual corresponde
al estudio de los valores de permeabilidad medidos en la unidad
estratigráfica B, a través del pozo 13
En eje de las abscisas se representa el porcentaje acumulado de muestras
mayores o iguales al logaritmo de la permeabilidad correspondiente.
En el eje de las ordenadas se representa el logaritmo base 10 de las
permeabilidades medidas (Log10 (k)). La unidad de la permeabilidad es el
mDarcy.
37
Figura 3. 6. Distribución de frecuencia vs. Log(k) para el pozo 13 en la unidad estratigráfica B.
La curva de color azul (fun_B13) representa la variación logarítmica de la
permeabilidad con respecto al porcentaje acumulado de valores, como se
indicó en el marco teórico.
La recta de color rojo (fun_rB13) representa la recta de mejor ajuste para la
curva azul (variación logarítmica de la permeabilidad con respecto al
porcentaje acumulado de valores). Dicha recta se obtuvo a través de una
subrutina de regresión lineal aplicada a los datos originales, con la finalidad
38
de calcular por métodos numéricos el valor de logarítmico de k al cual
corresponden los porcentajes 50 y 84.1 respectivamente. (Según la teoría de
la variación de la permeabilidad a través de Dykstra-Parsons (VDP).
Junto a la recta de regresión es necesario conocer la calidad del ajuste de la
misma sobre la curva inicial. Es decir, se cuantifica la calidad del modelo de
ajuste, para ello se utilizó la medida del coeficiente de determinación 𝑅2.
Luego de obtener los valores de Dykstra Parsons se le agregó una línea a la
rutina para que generara una tabla donde asocie cada valor de VDP a las
coordenadas de su pozo correspondiente y a su unidad estratigráfica.
A pesar de lo eficiente que puede parecer este método, el error o calidad de
ajuste en muchas curvas fue un inconveniente para la aplicación del mismo.
En última instancia se dejó a un lado el método geométrico para dar paso al
método numérico estadístico, este consistió en efectuar los cálculos
directamente según lo que se requería. Partiendo de la ecuación 3.2, donde
K[84.1%] es el percentil 84.1 del logaritmo base 10 de los datos de
permeabilidad. Y K[50%], es la mediana o percentil 50 del logaritmo base 10
de los datos de permeabilidad
3.3.2. Coeficiente de Lorenz (Lz) Para el cálculo del Coeficiente de Lorenz es necesario contar con las
mediciones de permeabilidad y porosidad, al igual que la profundidad de las
mismas en cada pozo.
Se elaboró una rutina en la cual se crea una tabla con los registros de
permeabilidad y porosidad, donde los valores se ajustaron en sentido
decreciente de la permeabilidad. Luego a partir de los cálculos mencionados
en el marco teórico, apartado 3.2, se completa la tabla final.
39
Como se mencionó anteriormente, se debe graficar la fracción de la
capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen. Tomando en cuenta
que debe incluirse el punto origen (0,0) en la gráfica. El crecimiento de la
curvase asemeja al patrón de una curva logarítmica.
Se debe calcular el área bajo la función graficada (calcular la integral
definida) por lo que se indicó en la rutina que la gráfica arroje también una
curva de ajuste con el patrón de la función logarítmica, esto para obtener la
ecuación de la curva de ajuste y así poder calcular la integral. Dicha curva de
ajuste resultó algo distante de la original (en la mayoría de los casos), a
pesar de que el coeficiente de determinación fue relativamente alto, lo que
traería un error al calcular la integral definida y posteriormente arrastraría el
error al cálculo del coeficiente de Lorenz.
A continuación se muestra en la figura 3.7 la gráfica que se obtuvo con la
rutina programada según la anterior metodología, para el conjunto de datos
del pozo 18, en la unidad estratigráfica A.
En eje de las abscisas se representa fracción del total de volumen
En el eje de las ordenadas se representa la fracción de la capacidad de flujo.
40
Figura 3. 7. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la regresión logarítmica decimal.
La curva de color azul (Lz_A18) representa la fracción de la capacidad de
flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad
estratigráfica A.
La curva de color rojo (F_rA18) representa la recta de ajuste para la curva
azul (curva de la fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de
volumen), obtenida a través de una regresión lineal (función logaritmo base
10) aplicada a los datos originales, con la finalidad de calcular por métodos
numéricos el valor de la integral de la curva.
41
Junto a la curva de regresión es necesario saber la calidad del ajuste de la
misma sobre la curva inicial. Es decir, se cuantifica la calidad del modelo de
ajuste, para ello se utilizó la Medida del coeficiente de determinación 𝑅2.
Como ya se mencionó, para calcular el Coeficiente de Lorenz es necesario
calcular el área bajo la función original, pero al no tener su ecuación, se
utilizó la ecuación de la curva de ajuste. El método empleado para calcular la
integral a través del algoritmo, fue la Regla de Simpson, la cual se aplicó en
una nueva rutina para todos los conjuntos de datos.
A pesar de que el intento de aproximar la curva original a través de una
regresión logarítmica generó resultados aceptables en la mayoría de las
funciones, en otras, no se evidencio una buena aproximación, por lo cual se
reformulo una nueva metodología para el cálculo del Coeficiente Lorenz.
Se creó un algoritmo que calculara el área formada entre la recta que une a
cada punto graficado, (fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total
de volumen), las verticales que pasan por dichos puntos, y el eje horizontal,
formando trapezoides (o triángulos en el caso del primer punto (0,0) que
estaría sobre el eje horizontal). A continuación se muestra la gráfica que se
obtiene con la segunda metodología expuesta para el conjunto de datos del
pozo 18, en la unidad estratigráfica A.
La rutina incluyó en el gráfico los aspectos se detallan a continuación:
En eje de las abscisas se representa fracción del total de volumen
En el eje de las ordenadas se representa la fracción de la capacidad de flujo.
42
Figura 3. 8. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos. (Sin regresión).
La curva de color azul (Lz_A18) representa la fracción de la capacidad de
flujo vs la fracción del total de volumen. Para crear los polígonos cuyas áreas
sumadas definirán la integral, cada curva de la función debe simularse como
la unión de segmentos de línea recta.
Los segmentos de color verde (Int_sr_A18) representan los límites laterales
de cada polígono bajo la curva azul (fracción de la capacidad de flujo vs la
fracción del total de volumen).
43
La suma total de todas las áreas se convierte en el valor de la integral, al que
nuevamente se le aplica el cálculo de coeficiente de Lorenz, donde este será
igual al doble de la integral de la curva, menos uno.
Esta última metodología para el cálculo de los coeficiente de Lorenz arrojó
errores despreciables en cuanto al ancho de los rectángulos, por ende fue
tomada en cuenta por como metodología final para este paso.
Al igual que para los valores de la Variación Dykstra Parsons, luego de
obtener los valores, se le agregó una línea a la rutina para que generara una
tabla donde asocie cada coeficiente de Lorenz a las coordenadas de su pozo
correspondiente y a su unidad estratigráfica.
3.4 Relación entre los coeficientes de heterogeneidad.
Luego de tener los coeficientes de Lorenz y de Variación Dykstra Parsons
para cada pozo, se prosiguió a elaborar una rutina para comparar las
mediciones estadísticas principales (mínimo, promedio y máximo) de cada
coeficiente en cada unidad estratigráfica. Igualmente se formuló una rutina
para obtener los gráficos cruzados entre ellos y calcular los coeficientes de
correlación, de tal modo de facilitar la comparación y resaltar las diferencias
entre los mismos. En la figura 3.9 se observan los gráficos cruzados.
44
Figura 3. 9. Gráficos cruzados de Coeficiente de Variación Dykstra Parsons vs Coeficiente de Lorenz, para cada unidad estratigráfica, con su respectivo coeficiente de correlación.
En el eje horizontal inferior se encuentra como variable el coeficiente de
Lorenz mientras que en el eje vertical el de Dykstra Parsons.
En otra rutina se obtuvo el mismo grafico cruzado, indicando los pozos en
cada punto de heterogeneidad, a través de ello, se observaron los pozos con
valores extremos de heterogeneidad (altos y bajos) para cada unidad
estratigráfica. Y con la finalidad de analizar el comportamiento de la
permeabilidad con respecto a la heterogeneidad de dichos pozos calculada
45
por ambos métodos, se escogió la unidad de menor coeficiente de
correlación (unidad estratigráfica B).
A continuación se muestra en la figura 3.10 la gráfica de la log-
permeabilidad, vs la profundidad, asociada a la gráfica de indicador de arena
y la de porosidad, para el pozo 16 de la unidad estratigráfica B.
. Figura 3. 10. Log-permeabilidad vs profundidad, asociada a la gráfica de indicador de arena y la de porosidad, para el pozo 16 de la unidad estratigráfica B.
En la misma se observa que para secciones de arena, la log permeabilidad
se comporta relativamente variable al igual que la porosidad.
46
3.5. Mapas Isópacos y Geoestadística. 3.5.1. Mapas Isópacos Para tener una idea de los espesores de las unidades estratigráficas, se
elaboró una rutina que calculara la diferencia de cotas entre ellas a través de
las mallas originales que definían a los topes y bases de estas. Posterior a
ello, se elaboraron los mapas isópacos. En la figura 3.11 se observa el mapa
isópaco de la unidad estratigráfica A.
Figura 3. 11. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies).
47
3.5.2. Geoestadística
Para crear lo concerniente a la variografía se prosiguió a crear las rutinas
necesarias para ello:
Primero se generó la rutina para crear los mapas de variograma, partiendo
de la distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y del ancho de las
ventanas para la búsqueda de puntos (width). Dichos valores fueron
reajustables para cada mapa de variograma. Para obtener el mapa de la
figura 3.12 el cutoff empleado fue de 12000 y el width de 1100.
Figura 3. 12. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz.
48
Como se observa en el mapa de variograma, los datos muestran una
dirección de máxima continuidad a 45º y de mínima continuidad a 135º
(ambos en sentido dextrógiro con respecto al norte).
Luego de obtener los mapas de variograma, con sus respectivas tendencias,
se generó otra rutina para obtener los variogramas experimentales junto a su
respectivo ajuste teórico.
Para obtener los variogramas teórico-experimentales, y el ajuste respectivo,
se definieron ciertos parámetros para cada caso. Para obtener el variograma
experimental, es necesario aparte de la distancia máxima de alcance del
variograma (cutoff) y el ancho de las ventanas (width), incluir los valores en
grados de las tendencias de mayor y menor continuidad. Para el caso del
variograma teórico y el respectivo ajuste, se requiere especificar la meseta
(sill), el modelo de curva, el efecto pepita (nugget), el rango y por último
definir la anisotropía(en función de la dirección de la tendencia dominante y
la relación rango menor / rango mayor). En la tabla 3.1, se detallan los
parámetros utilizados para generar el variograma bidimensional teórico
ajustado para los coeficientes de Lorenz en la unidad estratigráfica B. Ver
figura 3.13.
Tabla 3. 1. Parámetros utilizados para generar el variograma bidimensional teórico ajustado
para los coeficientes de Lorenz en la unidad estratigráfica B.
VARIOGRAMAS
Experimental Teórico
Cutoff 8000 Sill 0.027
Width 1000 Modelo Exponencial
Tendencia mayor 45 Nugget 0
Tendencia menor 135 Rango 1150
- - Anisotropía 45º / 0.5
49
Figura 3. 13. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz, en la unidad estratigráfica B.
3.5.3. Kriging. Luego de obtener los variogramas bidimensionales para los coeficientes en
cada unidad estratigráfica, se generó una rutina en la cual se crea un
mallado de nodos equidistantes (200 x 200 celdas), a dichas celdas se le
asignaron los valores de heterogeneidad distribuidos según las relaciones
obtenidas mediante los cómputos de variogramas a través de método de
50
kriging, convirtiendo finalmente los datos discretos de heterogeneidad en
mapas de heterogeneidad. Ver figura 3.14.
Figura 3. 14. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. Interpolación por kriging de los coeficientes de Lorenz.
En la figura 3.12 se observan la distribución de la heterogeneidad de manera
continua, gracias a la interpolación aplicada de los valores de
heterogeneidad en pozos.
3.6. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre.
Con la finalidad de observar cómo se relaciona la heterogeneidad con los
valores de log-permeabilidad y espesor de arena para cada unidad
estratigráfica, y a través de ello localizar las zonas de mayor interés, se
elaboraron diversas rutinas que permitieron identificar lo siguiente:
51
La primera rutina consistió en generar gráficos cruzados para cada unidad
estratigráfica. Donde se observa la relación entre la log-permeabilidad, el
espesor de arena, y a su vez, los pozos asociados con su respectiva
heterogeneidad relativa de Lorenz en cada unidad estratigráfica. Ver figura
3.15.
Figura 3. 15. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A.
En la figura 3.15 se evidencia que la utilidad del grafico en cuanto a la
representación de los valores asociados a cada pozo, permitiendo así, inferir
los pozos asociados a zonas de gran interés. La información que aporta este
tipo de gráfico se puede desglosar y asociar a la ubicación espacial, para ello
52
se toman los mapas de heterogeneidad y se sobreponen a los mapas de
espesor de arena o de log-permeabilidad promedio, incluyendo a su vez los
pozos. Se presenta a continuación dos de los resultados. Ver figuras 3.16 y
3.17.
Figura 3. 16. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A.
En la figura 3.16, se presenta un mapa donde se correlaciona la ubicación
espacial de los pozos, el espesor de arena y la heterogeneidad, permitiendo
al igual que el grafico cruzado de la figura 3.15 una herramienta que sintetiza
información de interés para el estudio de yacimiento.
53
Figura 3. 17. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A.
Al igual que en la figura 3.16, en la figura 3.17 se condensa y correlaciona
información en cuanto a la ubicación de los pozos, la heterogeneidad vertical
y los valores de log-permeabilidad. Propiedades necesarias para una
interpretación adecuada del yacimiento.
54
CAPITULO IV
RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
Para generar los mapas como objetivo principal de la investigación, fue
necesario cumplir con una secuencia de pasos previos. Es de gran
importancia mencionar que todos los resultados fueron alcanzados a través
de algoritmos diseñados para tales fines, permitiendo así la sistematización
de cada uno de los procesos que integran la totalidad de este trabajo.
La primera rutina consistió en adecuar los registros de pozos a sus
respectivas coordenadas, mostrando así, que se contaba con registros de 43
pozos verticales, a los cuales se identificó como P1, P2, P3,… P43. Luego se
relacionan los pozos con las superficies de las unidades estratigráficas,
acotando los registros de pozos solo en los estratos de interés (unidades A,
B y C). El cruce de información da como resultado 125 tablas de
propiedades, que responden al producto de las 3 unidades estratigráficas por
los 43 pozos, y descontando de allí 4 pozos que no atraviesan la unidad
estratigráfica más profunda (C).
4.1. Análisis estadístico de los datos.
En esta etapa se diseña un algoritmo mediante el cual se obtiene la
estadística descriptiva más esencial de los datos principales (registros de
porosidad y permeabilidad); el análisis de dichos valores se realizó para las
arenas de cada unidad estratigráfica, como se observa en las figuras 4.1 y
4.2.
En la figura 4.1 se observa como la porosidad en las unidades estratigráficas
A, B y C sigue una distribución gaussiana aproximadamente. En teoría la
distribución de la porosidad debe ser gaussiana, sin embargo, la misma está
55
sujeta a diversos factores que pueden alterarla; principalmente las
variaciones litológicas (como por ejemplo el contenido de arcilla) tienden a
ser las causas principales de las distribuciones multimodales de la porosidad
en los yacimientos. Se observa en los gráficos cuantil-cuantil (QQ) la
normalidad de las variables, al presentar un buen ajuste a la recta teórica
normal. Solo para los valores extremos existe una desviación considerable
de los datos, lo cual a su vez es evidente en los histogramas de frecuencia.
Figura 4. 1. Histogramas, Diagramas de caja y bigotes y Gráficos QQ normal, de la porosidad en cada unidad estratigráfica.
En cuanto a la distribución de la permeabilidad, se puede observar en la
figura 4.2, que existe una pronunciada asimetría, y sabiendo que esta
propiedad suele tener una distribución lognormal, se procedió a realizar el
56
histograma y el diagrama de caja y bigotes a los valores logarítmicos (base
10) de la permeabilidad, con la finalidad de visualizar mejor su
comportamiento. En la figura 4.3, se observan los resultados.
Figura 4. 2. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica.
57
Figura 4. 3. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes del logaritmo base 10 de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica.
Se evidencia en las tres unidades, que el logaritmo base 10 de la
permeabilidad se aproxima una distribución normal, lo que corresponde,
pues la permeabilidad como se mencionó antes, tiene distribución lognormal.
Nuevamente se observa en los gráficos cuantil-cuantil (QQ) buen ajuste a la
recta teórica, que para el caso de datos logarítmicos, se ajusta a una variable
lognormal; para los valores extremos se presenta una divergencia, lo cual se
asocia a los datos atípicos.
En las figuras 4.2 y 4.3 se observan datos atípicos (outliers) presentes en la
distribución de la permeabilidad, sin embargo, antes de invalidar dichos datos
por su inconsistencia, sería necesario conocer la naturaleza de los mismos.
58
Esto condujo a la representación espacial de dichos datos, utilizando como
herramienta una tabla numérica en Excel. En la figura 4.4 se observa como
los datos atípicos guardan una relación espacial entre ellos, se concluye
entonces, que estos resultados son válidos y producto de cambios litológicos
y/o de variaciones en el contenido de los poros.
Figura 4. 4. Tabulación de los valores de permeabilidad con respecto a la profundidad Unidad estratigráfica C.
4.2. Calculo de los coeficientes de heterogeneidad.
El cálculo de los coeficientes, Variación Dykstra Parsons (VDP) y Lorenz
(Lz), se efectuó a través de las rutinas implementadas en este proyecto
utilizando el software R Project; obteniendo como resultado 120 valores por
cada método. Se trabajó con 43 pozos y 3 unidades estratigráficas, lo que
59
debería producir 129 valores por cada método, sin embargo, 4 pozos no
alcanzan cruzar la unidad estratigráfica C (UEC), (la más profunda) y para la
unidad A, 2 pozos no cuentan con ningún registro de arena y 3 pozos solo
cuentan con un solo registro de arena, lo que impide el cálculo de ambos
coeficientes.
4.2.1. Coeficiente de Lorenz. A manera de visualizar el procedimiento para el cálculo de Lorenz, se
presenta en la figura 4.5 la gráfica de capacidad de flujo vs volumen total
para un segmento de pozo, se observa como la curva de Lorenz (azul
oscuro) cruza los rectángulos y prácticamente los bisecta. Tomando en
cuenta la ecuación 2.8, tenemos que:
𝐿𝑧 =(∫ 𝑑𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥) − 0.5)10
0.5 = � 2� 𝑑𝑓𝑐(𝑥)𝑑𝑥1
0� − 1
60
Figura 4. 5. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 6 de la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos sin regresión.
Donde la integral se efectúa a través del método de suma de Riemann, sin
generar un error apreciable dado la densidad de los puntos continuos.
La rutina programable consistió en el cálculo del coeficiente de Lorenz y en
adjuntar la gráfica de capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen,
para cada pozo en cada unidad estratigráfica.
4.2.2. Coeficiente de Variación Dykstra Parsons.
Para el cálculo de los coeficientes de Dykstra Parsons se trabajó en base a
las relaciones algebraicas que incluyen la relación entre la diferencia de la
mediana y la desviación estándar (percentil 84.1) con respecto a la mediana,
suponiendo una distribución log normal de la permeabilidad, lo que es
61
semejante en la estadística paramétrica al cálculo de la inversa de la función
de distribución acumulada con respecto a una probabilidad de ocurrencia
mayor a la desviación estándar de 0.841, es decir una probabilidad de 0.159.
Como ya se mencionó, el coeficiente de variación Dykstra-Parsons (VDP) se
calculó a través de la ecuación 2.7:
𝑉𝐷𝑃 =K[50%] − K[84.1%]
K[50%]
Donde:
K[50%] es la log-permeabilidad correspondiente a la mediana del conjunto
logarítmico, y K[84.1%] es la log-permeabilidad correspondiente a la
desviación estándar (84.1%) del conjunto logarítmico.
A continuación se muestra en la tabla 4.1, en ella algunos valores resaltantes
de cada método.
Tabla 4. 1. Valores resaltantes de los coeficientes de heterogeneidad para cada método en
cada unidad estratigráfica.
VDP Lz UE
Min 0.0353 0.0203
A Prom 0.4935 0.3194
Max 0.8471 0.8474
Min 0.2792 0.1187
B Prom 0.6987 0.4782
Max 0.9804 0.8886
Min 0.2157 0.1011
C Prom 0.5751 0.3123
Max 0.9832 0.7540 Min = Mínimo. Prom= Promedio. Max= Máximo.
VDP = Variación Dykstra Parsons.
Lz = Coeficiente de Lorenz.
62
De lo mostrado en la tabla 4.1, se puede observar que Dykstra Parsons
tiende a presentar valores superiores a Lorenz.
4.3. Relación entre los coeficientes.
Luego de los cálculos de los coeficientes Dykstra Parsons y Lorenz, se
realizó una rutina programada para visualizar la correlación entre ellos, a
través de gráficos cruzados, esto para los valores obtenidos en cada pozo
para cada unidad estratigráfica. Ver figura 4.6.
Figura 4. 6. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, para cada unidad estratigráfica.
En la figura 4.6, se observa como en los gráficos cruzados, para las tres
unidades estratigráficas juntas y separadas, con sus respectivos coeficientes
63
de correlación. Los coeficientes de Dykstra Parsons cuentan con valores
mayores a los de Lorenz, algo que se razonaba luego de ver los valores
promedios en la tabla 4.1.
4.4. Registros de Pozo y heterogeneidad.
Para continuar la comparación entre ambos métodos de heterogeneidad, se
tomó como referencia el gráfico cruzado de los coeficientes para la unidad
estratigráfk8ica B, está por ser la de menor factor de correlación (0.284). Los
pozos útiles para el análisis comparativo son el P 26, P 16, P 12 y P 5; por
ser ellos los valores extremos en cada situación: Lorenz y VDP máximo,
Lorenz máximo y VDP mínimo, Lorenz y VDP mínimo y, Lorenz mínimo y
VDP máximo, respectivamente. Ver figura 4.7. Se elaboró entonces una
rutina para los registros de pozo donde en función de la profundidad, se
grafican el logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la
porosidad para cada uno de los pozos mencionados. Ver figuras 4.8, 4.9,
4.10 y 4.11.
64
Figura 4. 7. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, Unidad estratigráfica B. Pozos favorables para la comparación.
65
Figura 4. 8. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 26. Unidad estratigráfica B.
Se observa como en la figura 4.8, con los coeficientes altos de VDP y Lz (es
decir alta heterogeneidad en ambos) como la porosidad y el logaritmo de la
permeabilidad varían notablemente, no solo dentro de cada sección de
interés (indicador de arena = 1), sino que respecto a las otras secciones de
interés también presentan altas variaciones.
66
Figura 4. 9. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 12. Unidad estratigráfica B.
Se observa como en la figura 4.9, con los coeficientes bajos de VDP y Lz
(alta homogeneidad en ambos) como el logaritmo de la permeabilidad tiene
un comportamiento de poca variación (tendencia homogénea) dentro de la
única sección de interés; mientras la porosidad varía levemente entre valores
de 0.2 y 0.3.
67
Figura 4. 10. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 5. Unidad estratigráfica B.
Se observa en la figura 4.10, que a pesar de ser valores de heterogeneidad
incongruentes, con el coeficiente bajo de Lz y alto de VDP, el logaritmo de la
permeabilidad tiene un comportamiento de poca variación (tendencia
homogénea) dentro de la sección de interés con mayor espesor; mientras la
porosidad varía levemente entre valores de 0.3 y 0.4. Y en los otros registros
de arena (todos de mínimo espesor), igualmente mantienen un valor de log-
permeabilidad con baja variación. Lo que evidencia que el valor del
coeficiente de Lorenz se mantiene sobre el de VDP.
68
Figura 4. 11. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 16. Unidad estratigráfica B.
Por último, se observa como en la figura 4.11 el otro caso de coeficientes
incongruentes, con el coeficiente alto de Lz y bajo de VDP, acá se muestra
como el logaritmo de la permeabilidad tiene un comportamiento variable
(heterogéneo) dentro de las secciones de interés; mientras la porosidad varía
levemente entre valores de 0.2 y 0.4. Igualmente el contenido de arena es
mucho mayor que el de no arena, por lo que obviando dichos registro de no
arena, se observa más aún la total heterogeneidad en el registro completo de
log-permeabilidad, por ende, el valor del coeficiente de Lorenz (alto, es decir
heterogéneo) se mantiene nuevamente sobre el de VDP.
69
Observamos entonces como el coeficiente de Lorenz (Lz) predomina sobre el
de Dykstra Parsons (VDP) para los 4 casos extremos, siendo este quien
responde mejor a situaciones de alta o baja tasa de variación del logaritmo
decimal de la permeabilidad, ya sea para los casos de alta o baja
heterogeneidad respectivamente.
Igualmente haciendo énfasis en la teoría, observamos que el cálculo de
heterogeneidad a través del método de Variación Dykstra Parsons es
netamente estadístico (siendo este un algoritmo aplicado a la permeabilidad
de las arenas reconocidas a través de los registros de pozos), a diferencia
del método por coeficiente de Lorenz, donde intervienen los registros de
porosidad y permeabilidad para crear valores que relacionan directamente la
capacidad de permeabilidad acumulada con la capacidad de volumen
acumulada y así modelar la distribución de la capacidad de flujo.
Tomando en cuenta estos resultados, en nuestro caso de estudio se decidió
utilizar para la posterior interpretación solo el coeficiente de Lorenz, sin
embargo, los objetivos en cuanto a la elaboración del algoritmo para generar
los mapas por medio del coeficiente de Dykstra Parsons fueron efectuados.
4.5. Mapas Isópacos.
Con la finalidad de tener en cuenta los espesores de cada unidad
estratigráfica, se programó una rutina para obtener las diferencias de cota
entre los nodos del mallado de tope y base de cada unidad. A continuación
en las figuras 4.12, 4.13, y 4.14, se observan los mapas isópacos para cada
unidad estratigráfica.
70
Figura 4. 12. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies)
Se observa que los mayores espesores se encuentran al norte del mapa,
especialmente al NE (entre 80 y 110 pies). Igualmente al oeste y sur de la
región se aprecian valores bajos de espesor (entre 30 y 80 pies). Y un
mínimo al este con espesor de 20 pies.
71
Figura 4. 13. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica B. (Medidos en pies)
Se observa que para la unidad estratigráfica B, se encuentran valores de
máximo espesor al centro y norte de la región, oscilando entre 115 y 165
pies. Mientras al sur está la zona de medio y bajo espesor (15 a 115 pies).
72
Figura 4. 14. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica C. (Medidos en pies)
En cuanto a la unidad estratigráfica C, se evidencian bajos espesores al sur
de la región (de 15 a 40 pies) y altos en la zona central y norte (de 40 a 110
pies).
4.6. Geoestadística.
4.6.1. Variografía.
Con el fin de convertir los datos discretos de heterogeneidad vertical en
valores continuos y de este modo predecir los valores y tendencias de la
heterogeneidad vertical en el resto del yacimiento, se crean los mapas a
partir de las interpolaciones necesarias.
Para llegar a los mapas de heterogeneidad utilizando kriging, fue necesario
elaborar una rutina que produjera la variografía de los datos, pues a partir de
los mapas de variograma se observan las tendencias preferenciales de
73
continuidad. Para la elaboración de dicha rutina se utilizaron las funciones de
la librería Gstat a través de R Project.
A continuación en la figura 4.15 se observa el mapa de variograma para la
unidad estratigráfica A, obtenida a partir de los coeficientes de Lorenz. En
dicho mapa se aprecia como existe una tendencia dominante para los datos
a 45º y la tendencia de menor continuidad a 135º (ambos en sentido
dextrógiro con respecto al norte). Los valores utilizados en este caso, para la
distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y para el ancho de las
ventanas para la búsqueda de puntos (width) fueron de 12000 y 1100
respectivamente. La misma rutina fue utilizada para crear los mapas de
variograma de cada unidad estratigráfica, por cada método, siempre
reajustando el cutoff y el width para cada caso.
Figura 4. 15. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz.
74
Luego de obtener los mapas de variograma, se generó otra rutina para
obtener los variogramas experimentales junto a su respectivo ajuste teórico.
Al igual que para los mapas de variograma, para obtener los variogramas
experimentales, y el ajuste teórico, fue necesario definir ciertos parámetros
para cada caso. Para obtener el variograma experimental, es necesario
aparte de la distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y el ancho
de las ventanas (width), incluir las direcciones o rumbo de las tendencias
mayor y menor. Para el caso del ajuste teórico, se requiere especificar la
meseta (sill), el modelo de curva, el efecto pepita (nugget), el rango y por
último definir la anisotropía en función del ángulo de la tendencia dominante
y la relación rango menor / rango mayor.
Para el caso de la heterogeneidad la unidad estratigráfica A, por coeficiente
de Lorenz, se obtuvo el variograma bidimensional de la figura 4.16, utilizando
los ajustes presentados en la tabla 4.2
Tabla 4.2. Parámetros para obtener el variograma experimental y su ajuste teórico para la unidad estratigráfica A, dado los coeficientes de Lorenz.
VARIOGRAMAS
Experimental Teórico
Cutoff 12000 Sill 0.03
Width 1100 Modelo Exponencial
Tendencia mayor 45º Nugget 0
Tendencia menor 135º Rango 1500
Anisotropía
(ángulo y tasa) 45º / 0.5
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Figura 4. 16. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz en la unidad estratigráfica A.
Con la finalidad de comparar el comportamiento especial de la
heterogeneidad y el de la log-permeabilidad, se elaboró una rutina para
obtener el mapa de variograma de los valores promedios de los registros de
log-permeabilidad. Ver figura 4.17. A través del mapa de variograma se
observa la semejanza en cuanto a las tendencias de mínima y máxima
continuidad, la relación anisotropía entre ellas y la geometría romboédrica.
Todo eso sumado a la baja densidad de datos (43 puntos o pozos, en
aproximadamente 13000 m2) sugiere la posibilidad que los resultados de los
mapas están altamente influenciados por la disposición espacial de los
pozos.
76
Figura 4. 17. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Log-Permeabilidad.
4.6.2. Kriging.
Para obtener los mapas finales, se generó una rutina donde se creó un
mallado de nodos equidistantes (200 x 200 celdas), a dichas celdas se le
asignaron los valores de heterogeneidad distribuidos según las relaciones
obtenidas mediante los cómputos de variogramas (kriging), convirtiendo
finalmente los datos discretos de heterogeneidad en mapas de
heterogeneidad.
77
A continuación se presentan los mapas como resultado final del trabajo de
investigación:
Unidad estratigráfica A:
Figura 4. 18. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Lorenz.
En la figura 4.18 se observa un alto de heterogeneidad en la zona SO de la
región, y un área de media y baja heterogeneidad en el resto del mapa.
78
Figura 4. 19. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons.
Como se evidencia en la figura 4.19, se observa un alto de heterogeneidad
en la zona NE de la región, consecuente con los valores altos de la tendencia
con rumbo NE. Los valores de la heterogeneidad disminuyen a los lados de
dicha tendencia, llegando a presentar mínimos al SO.
Comparando ambos mapas de la unidad estratigráfica A, obtenidos por
ambos coeficientes, se detallan valores puntuales que se respetan como por
ejemplo el máximo al SO, igualmente el conjunto de mínimos en la parte sur
central.
79
Unidad estratigráfica B:
Figura 4. 20. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Lorenz.
En la figura 4.20 se observan los mayores valores de heterogeneidad en una
franja con orientación NNE, y de ambos lados se encuentran franjas con
valores bajos de heterogeneidad. Cabe resaltar que en la zona inferior
central se encuentra un bajo de heterogeneidad.
80
Figura 4. 21. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons.
En la figura 4.21 el mapa muestra una tendencia de baja heterogeneidad con
sentido NE, y a ambos flancos de esta, valores de alta heterogeneidad. En la
parte sur de la región se encuentra un bajo de heterogeneidad.
Igual que para la unidad estratigráfica A, a pesar de la baja correlación entre
los valores arrojados por los dos métodos de cálculo de heterogeneidad, es
posible identificar ciertos valores puntuales que se mantienen en ambos
mapas de la unidad estratigráfica B (figuras 4.20 y 4.21). Igualmente la
tendencia de valores altos con rumbo NE.
81
Unidad estratigráfica C:
Figura 4. 22. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Lorenz.
En la figura 4.22 se observa una clara tendencia que divide al mapa en 2
partes, al oeste valores bajos de heterogeneidad, y al este valores medios;
sin embargo al NE se evidencia un alto de heterogeneidad y al SO un bajo
significativo.
82
Figura 4. 23. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons.
En este mapa se puede observar un alto de heterogeneidad en la parte NE
de la región, con un valor aproximado de 0.95, mientras que el bajo
heterogéneo se encuentra en la parte SO con un valor de 0.25. En cuanto a
las tendencias, se evidencia una posible con dirección NE.
Cuando se comparan los mapas para la unidad estratigráfica C (figuras 4.22
y 4.23), se logra apreciar que ciertas partes de las tendencias se conservan
junto a ciertos valores de heterogeneidad, tal es el caso para la zona NE del
83
mapa, donde el contorno de la tendencia es muy semejante incluyendo los
valores de heterogeneidad.
De manera general y como ya se mencionó antes, a pesar de los bajos
valores de correlación entre los coeficientes arrojados por los dos métodos
aplicados para el cálculo de heterogeneidad (Lorenz y Variación Dykstra
Parsons), ver figura 4.6, es posible identificar ciertas tendencias que se
mantienen para cada unidad estratigráfica, como también se evidencian
subregiones sin tendencias comunes pero con valores semejantes de
heterogeneidad.
Nuevamente se resalta que el objetivo planteado para generar los mapas de
heterogeneidad por ambos métodos ha sido alcanzado; igualmente se
demostró que no siempre el cálculo de valores de heterogeneidad por ambos
métodos tiende a dar resultados semejantes.
4.7. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre.
Con la finalidad de observar cómo se relaciona la heterogeneidad con los
valores de log-permeabilidad y espesor de arena para cada unidad
estratigráfica, y a través de ello localizar las zonas de mayor interés, se
elaboraron diversas rutinas que permitieron identificar lo siguiente:
En la figuras 4.24, 4.25 y 4.26, se observa la relación entre la log-
permeabilidad, el espesor de arena y la heterogeneidad relativa de Lorenz en
cada unidad estratigráfica.
84
Figura 4. 24. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A.
Se observa en la figura 4.24, que los máximos valores de heterogeneidad
están asociados a altos valores de permeabilidad (pozos 4, 10 y 17),
igualmente que para valores bajos de permeabilidad y de espesor de arena,
se encuentran los valores más bajos de heterogeneidad (pozos 9, 29, 33).
Los pozos con mayor interés son aquellos con alto espesor, baja
heterogeneidad y buena permeabilidad, como es el caso de los pozos P 30,
P32 y P 35.
85
Figura 4. 25. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B.
En la figura 4.25 se observa que los máximos valores de heterogeneidad
están asociados a valores medios y altos de permeabilidad y espesor de
arena (pozos P 2, P 20, P 16 y P 26). Para valores bajos de permeabilidad y
espesor de arena, se encuentran heterogeneidades bajas y medias (pozos P
38, P 28, P 34 y P 4). Los pozos con mayor interés son P 6, P 7 y P 15,
tomando en cuenta su alto espesor, baja heterogeneidad y buena
permeabilidad.
86
Figura 4. 26. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C.
En la figura 4.26 se evidencia que los máximos valores de heterogeneidad
están asociados a valores medios y altos de permeabilidad y valores bajos y
medios de espesor de arena (pozos P 43, P 42, P 29 y P 25). Los valores
bajos de heterogeneidad se encuentran asociados a lo largo de los diferentes
valores de espesor de arena, excepto en los valores altos de permeabilidad.
(Pozos P 33, P 41, P 4, P 15, P 3, P 21 y P 19). Los pozos con mayor interés
son aquellos con alto espesor, baja heterogeneidad y buena permeabilidad,
como es el caso de los pozos P 18, P 21, P 9 y P 6.
87
De manera general, no se puede obtener una tendencia universal específica
que asocie el comportamiento de la heterogeneidad en función del espesor
de arena y/o de la permeabilidad. Sin embargo como dichos valores de
permeabilidad son obtenidos a través del promedio de los registros dentro de
las arenas (secciones de interés), y estos si están asociados al espesor de
las mismas en cada pozo, se logra evidenciar para los 3 gráficos anteriores
como el incremento de el espesor influye directamente al promedio de la log-
permeabilidad.
El motivo por el que la heterogeneidad y el espesor de arena no se evalúan
con respecto a los valores de porosidad, es debido a que los registros de
esta última están asociados directamente a la permeabilidad. Esto se
evidencia en la siguiente figura.
Figura 4. 27. Relación entre la log-permeabilidad y la porosidad.
88
Como se mencionó anteriormente, el estudio de yacimientos está asociado al
nivel de resolución necesario para evaluar sus propiedades, es necesario
para un estudio eficiente, tomar en cuenta las propiedades petrofísicas y la
tasa de variación de las mismas en función de su ubicación espacial.
A través de los mapas de heterogeneidad vertical en el yacimiento y
contando con los mapas de la permeabilidad promedio de las arenas por
unidad estratigráfica, es posible cualificar las localidades de los mapas,
utilizando para ello la tabla 4.3.
Tabla 4. 2. Factores cualitativos de los yacimientos en función a la permeabilidad y a la
heterogeneidad.
Calidad Permeabilidad K [mD]
Alta Baja
Heterogeneidad Baja Muy Bueno Medio
Alta Medio Deficiente
De manera general, la resolución indica cuánto detalle puede observarse en
de una propiedad en función espacial. La función espacial suele ser
representada por celdas de dos o 3 dimensiones, dependiendo del estudio. A
menor resolución, habrá celdas de mayor tamaño representando cada una
un único valor de propiedad promedio, mientras que a mayor resolución,
disminuye el tamaño de las celdas, permitiendo obtener mayor densidad de
muestra de la propiedad.
Las zonas de baja heterogeneidad representan bandas donde no es
necesario acentuar mucho en cuanto a la resolución, por lo que en el análisis
espacial del yacimiento podría traducirse en celdas de mayor tamaño que
conservan la robustez del estudio, lo que se traduciría en disminución del
89
tiempo de cómputo al no ser necesario estudiar la sección con una mayor
resolución. Sumado a ello, si la localidad cuenta a su vez con altos valores
de permeabilidad, se tendría una zona de muy buena capacidad de
reservorio y con alta calidad de flujo y cuyo estudio no se dificulta daba su
homogeneidad.
Por otro lado, en localidades de alta heterogeneidad y baja permeabilidad es
necesario aumentar la resolución al máximo (disminución del tamaño de
celdas de estudio y aumento del número de celdas), con la finalidad de
enfatizar el estudio en posibles zonas de mayor permeabilidad opacadas por
una permeabilidad media de valor bajo.
En el caso de una localidad de baja heterogeneidad y baja permeabilidad se
cuenta con arreglos de permeabilidad de poco interés, donde por su alta
homogeneidad se sugiere no aumentar la resolución, puesto a que los
valores de heterogeneidad se mantienen constantes.
Por último, los casos de alta heterogeneidad y alta permeabilidad, donde es
importante aumentar la resolución, en este caso para enfatizar el estudio en
esas permeabilidades altas, como el valor medio, y descartar las
permeabilidades bajas.
Sumado a esta clasificación, se tomó en cuenta los espesores de arena para
cada unidad estratigráfica, el valor agregado de ello permite enfatizar en la
localidad de mayor espesor y mejor calidad de roca (en cuanto a
heterogeneidad y permeabilidad).
A continuación se muestran los mapas de sobreposición (log-permeabilidad
media con heterogeneidad, y espesor de arena con heterogeneidad) para
cada unidad estratigráfica. Ver figuras 4.28 a 4.33. Para las 6 figuras se
observa la heterogeneidad a través de los contornos superpuestos a los
contornos con relleno, estos últimos referentes al espesor de arena o a la
media geométrica de la log-permeabilidad, según sea el caso de
comparación.. Igualmente se muestran los pozos relacionados a la
90
información. Es necesario mencionar que por motivos de la superposición de
los mapas el software crea espacios vacíos (carentes de información) debido
al cruce de las fronteras de información, reduciendo está a las coordenadas
de los pozos extremos, y dejando los índices originales de la propiedad
representada a través del mapa de contorno con relleno (o mapa de calor)..
Unidad estratigráfica A:
Figura 4. 28. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A.
91
Tomando en cuenta la sobreposición de información que se presenta en la
figura 4.28, se evidencia que la zona de mayor interés se encuentra al NE del
mapa, pues presenta los mayores espesores de arena (70 pies
aproximadamente) asociados a bajos valores de heterogeneidad (0.3); los
pozos presentes allí son el P 30, P 32, P 35, P 36 y P 37. En la zona central
del mapa se observa una tendencia NNO de muy bajos espesores de arena,
asociados a diversos valores de heterogeneidad que oscilan entre 0.1 y 0.3.
Los valores más altos de heterogeneidad están al SO del mapa y giran
alrededor de 0.5 y 0.7, en un espesor de arena medio (40 pies
aproximadamente), los pozos presentes son P 1, P 4, P 3 y P 17.
Figura 4. 29. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A.
92
En la figura 4.29 se observa que para la zona SO del mapa se encentran los
valores de mayor permeabilidad, sin embargo asociados a valores de media
y alta heterogeneidad (pozos P 4, P 17, P 20, P 10). Sin embargo al NE se
encuentran valores medios de permeabilidad asociados a una baja
heterogeneidad (pozos P 36, P 37, P 40, P 42).
Unidad estratigráfica B:
Figura 4. 30. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica B.
93
Para el caso de la unidad estratigráfica B, podemos observar en la figura
4.30, que los mayores espesores de arena se encuentran al NO de la región,
con valores entre los 95 y 120 pies, asociados a su vez a bajos valores de
heterogeneidad (0.25 a 0.4). Los pozos presentes son P 7, P 6 y P 15.
Figura 4. 31. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B.
En la figura 4.31 se observó al NO una localidad de muy buenos valores en
cuanto al espesor de arenas, la misma se asocia a través del mapa de la
figura 4.31 a valores medios de permeabilidad.
94
Los valores de mayor permeabilidad se encuentran al centro del mapa,
asociados a valores medio altos de heterogeneidad (0.6).
Unidad estratigráfica C:
Figura 4. 32. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica C.
En la unidad estratigráfica C, podemos observar en la figura 4.32, que los
mayores espesores de arena se encuentran en la parte norcentral del mapa
(pozo P 19) la misma asociada a un valor de heterogeneidad de 0.2.
Igualmente se evidencia que el mapa está dividido por la diagonal con rumbo
NE. Al norte de dicha diagonal se encuentra valores medios de espesor
95
(alrededor de 60 pies) y en la parte inferior descienden los valores de
espesor desde los 30 pies. En la región de mayores espesores, la
heterogeneidad dominante es de 0.3.
Figura 4. 33. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C.
En la figura 4.33 se observa al NE una localidad de muy buenos valores de
permeabilidad, al igual que en la parte central sur, ambos asociados a
valores de heterogeneidad cercanos a 0.4. Los valores de permeabilidad en
la mayor parte del mapa son valores medios. Exceptuando los valores
ubicados al oeste (bajos de permeabilidad).
96
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. Conclusiones
• Los coeficientes de variación Dykstra Parsons y Lorenz solo pueden
calcularse para los pozos que presenten más de un registro de
propiedades asociadas a las arenas, y a mayor cantidad de registros
más confiable serán los coeficientes. Igualmente es necesario que el
pozo presente lectura de todas las arenas de la unidad estratigráfica
estudiada.
• El cálculo del coeficiente de variación Dykstra Parsons (VDP) es más
rápido por métodos numéricos que por métodos geométricos.
• El método de Dykstra Parsons tiene como desventaja que solo trata
los valores de permeabilidad en cuanto a su distribución estadística
(mediana y desviación estándar), a diferencia del método de Lorenz
que incluye información en cuanto a la capacidad de flujo.
• Dada la cercanía de los puntos en los gráficos de Lorenz, el cálculo de
coeficiente de Lorenz (Lz) es más preciso por el método que incluye la
Suma de Riemann, que intentar crear una curva de ajuste e integrarla
por la regla de Simpson.
• La correlación entre los coeficientes de Lorenz y Dykstra Parsons,
muestra que no siempre se obtienen resultados similares por ambos
métodos, lo que amerita evaluar para los pozos extremos el
comportamiento de los registros de log-permeabilidad y verificar que
97
método es más confiable para el caso de estudio. Resultando en
nuestro caso el método de Lorenz.
• La unidad estratigráfica C presento el mayor coeficiente de correlación
entre los valores de heterogeneidad (0.597). mientras la unidad
estratigráfica A cuenta con 0.463 y la B con 0.284.
• La heterogeneidad no solo se observa tomando en cuenta el
comportamiento de la permeabilidad dentro de cada bloque de
arenisca, sino que también debe compararse entre todos los bloques
de arenisca que conforman la unidad estratigráfica.
• De manera general, los mapas isópacos de cada unidad estratigráfica
revelaron mayores espesores al norte del yacimiento (alrededor de
100 pies para las unidades A y C, y 165 pies para la B). Mientras que
al sur un bajo espesor (alrededor de 20 pies).
• Los mapas de variograma para la heterogeneidad de Lorenz y para la
de Dykstra Parsons muestran para todas la unidades estratigráficas
una tendencia de mayor continuidad a 45º en sentido dextrógiro con
respecto al norte. Se presume que ello este influenciado por arreglo
de los pozos.
• Los ajustes de variogramas teórico experimental, muestran en sus
parámetros la influencia que genera la baja densidad de datos; 39
valores para la unidad estratigráfica A, 43 para la B, y 38 para C
dispersos en aproximadamente 13000 m2. En cada unidad.
• Programar para calcular los valores de heterogeneidad y
posteriormente los mapas, optimiza el tiempo de computo al poder
98
efectuar de manera rutinaria los procedimientos que involucran
mismos cálculos para pozos y unidades distintas.
• En la unidad estratigráfica A se evidencia que la zona de mayor
interés se encuentra al NE del mapa, pues presenta los mayores
espesores de arena (70 pies aproximadamente) asociados a bajos
valores de heterogeneidad (0.3); los pozos presentes allí son el P 30,
P 32, P 35, P 36 y P 37. Sumado a esto, dicha zona presenta valores
de log-permeabilidad clasificados entre promedio y buenos.
• En la unidad estratigráfica B los mayores espesores de arena se
encuentran al NO de la región, con valores entre los 95 y 120 pies,
asociados a su vez a bajos valores de heterogeneidad (0.25 a 0.4).
Los pozos presentes son P 7, P 6 y P 15. En dicha zona encontramos
valores de log-permeabilidad que oscilan entre 2.1 y 2.4 clasificados
entre promedio y buenos.
• En la unidad estratigráfica C los mayores espesores de arena se
encuentran en la parte norcentral del mapa (pozo P 19 y sus
periferias) la misma está asociada a valores de heterogeneidad entre
0.2 y 0.3. En dicha zona se encentran valores de log-permeabilidad
que oscilan entre 2.3 y 2.7 clasificados como buenos.
• El coeficiente de heterogeneidad representa la cuantificación de los
cambios en las propiedades de la roca (como la permeabilidad y
porosidad). Por ende, los mapas de heterogeneidad vertical
representan las variaciones laterales de la heterogeneidad vertical
para cada unidad estratigráfica.
99
5.2. Recomendaciones.
• Se sugiere elaborar e implementar un indicador de calidad que tome
en cuenta las variables de interés, como la permeabilidad, la
heterogeneidad, la porosidad, el espesor de arena, entre otras, con la
finalidad de sintetizar y ponderar la información valiosa en el
yacimiento.
• Aplicar el estudio a un yacimiento con mayor densidad de datos
(número de pozos por área de estudio) para así mejorar la resolución
geoestadística de la investigación.
• Aplicar el estudio a un yacimiento que cuente con información
geológica (geología regional, ambiente sedimentario) y otras
propiedades petrofísicas con la finalidad de aprovechar más aun la
información referente a la heterogeneidad y mejorar la interpretación
del yacimiento.
100
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Universidad de Cantabria. Dpto. de Matemática Aplicada y
Ciencias de la Computación.
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