Elasticidad TRANSCRIPCION

8/18/2019 Elasticidad TRANSCRIPCION

1/26

ELASTICIDAD

ElasticidadIntroducción. 1Tracción y compresión de barras. 2Esfuerzo normal deformación unitaria ley de !oo"e. 2Ener#$a el%stica. &El coeficiente de 'oisson. (Aplicaciones e)emplos problemas. 1*El módulo de compresibilidad. 1&La cizalladura. 1+La torsión. 2&La fle,ión. 2('roblemas Capitulo 1 ELASTICIDAD1.1 Introducción

Todos los cuerpos reales son deformables. -a)o la acción de fuerzas modifican su forma o suolumen. Esas modificaciones se llaman deformaciones. En el caso de los cuerpos sólidos /aydos casos l$mites importantes0 las deformaciones el%sticas y las deformaciones pl%sticas. Lasdeformaciones se llaman el%sticas cuando desaparecen al cesar la acción de las fuerzasaplicadas. Las deformaciones son pl%sticas o residuales si permanecen al menos

parcialmente al suprimir las fuerzas aplicadas.Las deformaciones dependen de la naturaleza del sólido y de la intensidad de las fuerzasaplicadas. En ri#or en los cuerpos reales /ay siempre al#unas deformaciones residuales

pero en muc/os casos son muy peueas y suelen despreciarse. Au$ estudiaremos un modeloidealizado de cuerpos perfectamente el%sticos. !aremos este estudio desde el punto de istamacroscópico considerando los cuerpos como continuos cuyas propiedades el%sticas se

determinan mediante unas constantes el%sticas determinadas emp$ricamente y ue dependende la naturaleza del cuerpo. En la teor$a del estado sólido se estudian las propiedades el%sticasdesde le punto de ista microscópico es decir teniendo en cuenta la naturaleza atómico3molecular de los cuerpos.Estudiaremos sólidos el%sticos con deformaciones suficientemente peueas para ue sea%lida la ley de !oo"e ue establece la proporcionalidad entre las fuerzas aplicadas y lasdeformaciones inducidas.Los sólidos pueden ser isotrópicos o anisotrópicos. 4n cuerpo es isotrópico si sus

propiedades en este caso las propiedades el%sticas son las mismas en todas las direcciones.En un cuerpo anisotrópico las propiedades dependen de la dirección. 'or e)emplo muc/oscristales son anisotrópicos. Los metales presentan #eneralmente una estructura

policristalina. Est%n formados por peue$simos cristales pero orientados de maneradesordenada de modo ue macroscópicamente se comportan isotrópicamente.'resentaremos de manera elemental el modelo de un sólido el%stico isotrópico ue si#ue laley de !oo"e. Cuatro constantes el%sticas caracterizan su comportamiento0

El módulo de 5oun# 5 El coeficiente de 'oisson 6 El módulo de Compresibilidad - El módulo de Cizalladura 7Como eremos e,isten entre esas constantes dos relaciones de modo ue sólo dos de ellasson independientes.'ara presentar de manera elemental las propiedades el%sticas estudiaremos deformacionessencillas de cuerpos de formas simples y sim8tricos. El estudio #eneral le corresponde a lamec%nica de los medios continuos y en especial a la teor$a de la Elasticidad.


2/26


3/26

1 'a @ 1 B m32

Se encuentran an en diersos te,tos y aplicaciones otras unidades como el "#fcm2 y launidad in#lesa p.s.i 9pounds per suare inc/: @ lbf 9pul#ada:2 pero la tendencia es aluso #eneralizado del Sistema Internacional y el 'ascal.

Consideremos de nueo toda la barra cuya lon#itud en el estado inicial sin deformación es

L. En la situación de euilibrio ba)o las fuerzas de tracción F en sus e,tremos la barra /asufrido una deformación por tracción un alar#amiento ΔL y su lon#itud es L" # L $ ΔL.A/ora bien la deformación ΔL es la deformación de toda la barra de lon#itud L. En una

barra /omo#8nea como la ue estamos considerando la mitad de la barra de lon#itud L%2sufrir% una deformación ΔL%2 en fin de modo ue para caracterizar la deformación de unamanera ue no dependa de la lon#itud concreta de la barra se define la deformaciónunitaria por tracción escrita 98psilon: como0

L

L∆=ε

Se le llama tambi8n a eces deformación relatia en in#l8s strain y es una ma#nitudadimensional0 si L y ΔL se e,presan en las mismas unidades de lon#itud es un puro

nmero.En diersos materiales el%sticos como por e)emplo en las barras de acero usadas enconstrucción los alores de & son inferiores a 1'() ue corresponde a estiramientosinferiores a 1 mm en una barra de 1 m. 'or esta razón los t8rminos de orden &2&)pueden despreciarse.Si calculamos ΔL%L" con L" # L $ ΔL tendremos0

( ) 1

1

1

1 −+=

∆+

∆=

∆+∆

=′

∆ε ε

L

L L

L

L L

L

L

L

ue usando el binomio de BeFton ueda0

( ) ...........1 G22 ε ε ε ε ε ε +−=++−=′

∆ L

L

y despreciando los t8rminos 2 G da0

L

L

L

L ∆==

′∆

ε

es decir la deformación unitaria & puede calcularse diidiendo por la lon#itud de la barrasin deformar o ya deformada.La e,periencia muestra ue para peueas deformaciones e,iste la proporcionalidad entreel esfuerzo normal y la deformación unitaria. Esta es la Ley de !oo"e ue se escribecomo0 ? @ 5

La constante de proporcionalidad * se llama Hódulo de 5oun# y sólo depende delmaterial de la barra y no de su tamao.4na consecuencia muy importante de la Ley de !oo"e ue establece una relación lineal

entre el esfuerzo y la deformación es el principio de superposición0 si un cuerpo est%sometido a la acción de un esfuerzo ue es la suma de arios esfuerzos diferentes ladeformación unitaria resultante ser% la suma de las deformaciones unitarias debidas a cada


4/26

una de los diferentes esfuerzos por separado. En efecto sea un esfuerzo +1 ue produceuna deformación &1. Tendremos +1 # *&1. Sea un esfuerzo +2 ue produce unadeformación &2. Se#n la ley de !oo"e +2 # *&2. Sumando las dos e,presiones +1 $ +2 #*&1 $ &2- es decir al sumar los esfuerzos la deformación es la suma de las deformaciones.Si se realiza e,perimentalmente la tracción de una barra de acero del usado en estructurasde concreto reforzado se obtienen curas del si#uiente tipo0

El punto a llamado l$mite de proporcionalidad marca el l$mite de alidez de la Ley de!oo"e. 4n alor t$pico de * para el acero es * # 2'' /a +a puede tener un alor apro,imado de 20' /a 2.0 3 1') k4f%cm2 con lo cual &a # +a%*#1.2031'()deformaciones realmente peueas como ya lo /ab$amos sealado.El punto b llamado l$mite el%stico marca el punto /asta el cual el acero tiene uncomportamiento el%stico en el sentido de ue si se suspende la fuerza el acero recupera suforma ori#inal. A partir de ese punto el comportamiento es pl%stico es decir si sesuprimieran las fuerzas uedan deformaciones permanentes. El punto c es le punto de

ruptura +c puede tener alores de unos 0'' /a 031') k4f%cm2

.Si la barra se encuentra sometida en sus e,tremos no a una fuerza de tracción sino decompresión

; ;

en una sección transersal de la barra se presentar% una fuerza distribuida normal decompresión0

=;

Si tomamos como positias las fuerzas de tracción las de compresión ser%n ne#atias. Elesfuerzo normal de compresión ser% entonces ne#atio0

A

F

∆∆

−=σ

Asumiendo una distribución uniforme + es constante y0

A

F −=σ

siendo F la fuerza total y ! el %rea total de la sección.Se llama presión p al esfuerzo normal de compresión tomado como positio de modo ue/ # ΔF%Δ! y entonces + # (p.


5/26

El comportamiento de la barra del sólido isotrópico a compresión es an%lo#o alcomportamiento a tracción. Es %lida la Ley de !oo"e con el mismo módulo de 5oun# *+ # *& sólo ue a/ora como + 5 ' & 5 ' y por tanto ΔL 5 ' y la barra por supuesto seacorta debido a la compresión.

1.2.2 Ener46a el7stica

Del estudio de la ener#$a potencial el%stica de un resorte sabemos ue para estirarlo ocomprimirlo es necesario efectuar un traba)o y ue la ener#$a potencial para unadeterminada deformación ue tiene el resorte es i#ual al traba)o efectuado sobre 8l parallearlo desde la lon#itud natural /asta la deformación dada.De manera an%lo#a para deformar por tracción o compresión una barra es necesarioefectuar un traba)o y la ener#$a potencial para una determinada deformación ue tiene la

barra y ue llamaremos simplemente ener#$a el%stica es i#ual al traba)o /ec/o sobre la barra para deformarla.A/ora bien este traba)o debe realizarse muy lentamente de modo ue en cada instante lasfuerzas internas ue aparecen en cada sección de la barra sean i#uales a lo lar#o de ella ei#uales a las fuerzas aplicadas en los e,tremos. Es decir ue en cada instante la barra est8

pr%cticamente en euilibrio y la fuerza aplicada sólo aumente #radualmente. Tal procesode deformación se llama un proceso cuasiest%tico. De otra forma si la barra 9o el resorte:se deforma bruscamente las diersas partes de ella no estar%n en euilibrio estar% en )ue#ono sólo la ener#$a potencial sino la cin8tica y se propa#ar%n ondas el%sticas a lo lar#o de la

barra 9o del resorte:.Asumamos pues ue sometemos a tracción una barra de lon#itud inicial L y de %rea desección transersal ! cuasiest%ticamente con una fuerza f ue aria #radualmente desde '/asta F.De)emos fi)o el e,tremo izuierdo de la barra y eli)amos un e)e 3 /acia la derec/a conori#en en el e,tremo derec/o de la barra sin deformar. En una situación #eneral ba)o lafuerza f la deformación ser% 3. En la situación final cuando la fuerza aplicada ale F ladeformación es ΔL.

Situación inicial L

Situación #eneral f , f

situación final ; =L ;La Ley de !oo"e en al situación #eneral es0

x L

AY f

L

xY

A

f

=⇒=

Calculemos a/ora el traba)o /ec/o por la fuerza ariable f ue acta sobre la barra desdela situación inicial /asta la final traba)o i#ual a la ener#$a potencial o ener#$a el%stica 8 dela barra.

( ) L F L L

AY xdx

L

AY fdxU

L L

∆=∆=== ∫ ∫ ∆∆

2

1

2

1 2

**

La densidad de ener#$a el%stica u ener#$a el%stica por unidad de olumen de la barra ser%

2

2

1

∆== L

LY

AL

U u

ue llamando & a la distribución unitaria final & # ΔL%L puede escribirse como0


6/26

22

1ε Y u =

4sando la Ley de !oo"e la densidad de ener#$a potencial el%stica puede tambi8n escribirseComo

Y

u2

2

1

2

1 σ σε ==

En el caso bien conocido de un resorte la ley de !oo"e ue establece la proporcionalidadentre fuerza y deformación suele escribirse como ; @ " ddonde k es la constante de ri#idez del resorte y d la deformación. Aunue la ley e,presadaas$ es til tiene el inconeniente de ue la constante k es un a caracter$stica #lobal de todoel sistema y no de uno cualuiera de los trozos ue lo forman como se#uramente se sabedel estudio de los resortes en serie0 la constante de ri#idez de medio resorte es 2k . 'arae,presar la ley de !oo"e aplicada a un resorte en t8rminos de una constante el%stica ue seala misma para el resorte completo o para cualuier trazo de 8l llamemos L la lon#itudnatural es decir sin deformación del resorte. 'odemos escribir

( ) Ld

kL F =y si llamamos deformación unitaria & a dL la ley de !oo"e ueda

; @ 9"L:.

La constante de elasticidad k L es a/ora una caracter$stica inariable de cualuier trozo delresorte en cuestión. La elasticidad de un resorte espiral de tracción proiene de la fle,ión yla torsión de un alambre y su estudio detallado es comple)o pero el resorte puedeconsiderarse como un dispositio unidimensional ue cumple la ley de !oo"e como/ab$amos sealado. La bien conocida ener#$a el%stica del resorte es

221 kd U =La densidad lineal de ener#$a el%stica u ener#$a el%stica por unidad de lon#itud del resorteser%

( )2

2

1

== L

d kL

L

U u

ue puede escribirse como

( ) 22

1ε kLu =

en estrec/a analo#$a con la densidad olum8trica de ener#$a el%stica de la barra.

1.2.) El coeficiente de /oissonSi una barra se somete a tracción o a compresión no sólo ar$an sus dimensiones en ladirección lon#itudinal en la cual se aplica la fuerza sino ue ar$an tambi8n lasdimensiones transersales de la barra.As$ una barra sometida a tracción no sólo se alar#a en dirección lon#itudinal sino ue seacorta en dirección transersal0 sus dimensiones transersales disminuyen si la seccióntransersal es rectan#ular podemos tomar como dirección transersal cualuiera de loslados del rect%n#ulo. Si es circular podemos tomar como dirección trasersal el di%metro.Se llama deformación unitaria transersal &t al cociente de la deformación en una direccióntransersal y el alor sin deformar en dic/a dirección. En los cuerpos isotrópicos dic/adeformación unitaria transersal es la misma para todas las dimensiones transersales.Si llamamos &L a la deformación unitaria lon#itudinal en la dirección de la fuerza aplicadael Coeficiente de 'oisson 9 se define como


7/26

L

t

ε

ε µ −=

El si#no 9menos: se introduce ya ue un alar#amiento lon#itudinal 9&L : ': correspondesiempre un acortamiento transersal 9&t 5 ': y rec$procamente y as$ el coeficiente de'oisson 9 es positio.Consideremos una barra de sección rectan#ular cuyas dimensiones sin deformar son 3, y yz sometida a una fuerza de tracción F en dirección 3.

El esfuerzo normal de tracción en dirección lon#itudinal 3 es + # F%yz. de acuerdo a la

ley de !oo"e la deformación unitaria lon#itudinal &3# Δ3%3 ser%

Y

x

σ ε

y las deformaciones unitarias transersales se#n el coeficiente de 'oisson ser%n

Y y y

x y

µσ µε ε −=−==∆

Y z

z x z

µσ µε ε −=−==

∆=

As$ Δ3 : ' 9alar#amiento: Δy 5 ' Δz 5 ' 9acortamiento:.El coeficiente de 'oisson sólo depende de la naturaleza del material y es una de lasconstantes fundamentales ue caracterizan el comportamiento el%stico de dic/o material.Es m%s el módulo de 5oun# * y el coeficiente de 'oisson 9 caracterizan completamentelas propiedades el%sticas de un material isotrópico y las otras constantes el%sticas importantesue definiremos lue#o pueden e,presarse en t8rminos de * y de 9.El coeficiente de 'oisson 9 es siempre menor ue ; como eremos lue#o al estudiar el

módulo de compresibilidad. En metales como el acero el coeficiente tiene un alor apro,imado de '.).

1.2.< !plicaciones. E=emplos. /roblemas

1. E=emplo.Se dice ue una estructura es est%ticamente determinada cuando bastan las ecuaciones de laest%tica 9condiciones de euilibrio de los cuerpos r$#idos: para determinar las reacciones enlos apoyos y en #eneral las fuerzas entre sus diersos elementos.Si las ecuaciones de la est%tica de los cuerpos no son suficientes para /allar las reaccionesse dice ue la estructura es est%ticamente indeterminada. en este caso es necesario estudiar las deformaciones ue sean peueas de la estructura para obtener ecuaciones adicionales

ue permitan /allar las reacciones incó#nitas.En las estructuras est%ticamente determinadas las reacciones son independientes delmaterial de la estructura. 'ero en las est%ticamente indeterminadas al incluirse el estudio


8/26

de las deformaciones las otras incó#nitas dependen del tipo de materiales con los cuales sefabriue.Este tipo de problemas se estudian en detalle en cursos de >esistencia de Hateriales o deHec%nica de Hateriales o en cursos aplicados de teor$a de elasticidad y de estructuras.Au$ nos interesa nicamente el concepto b%sico y al#unas aplicaciones elementales ueilustran como el estudio de las deformaciones permiten /allar las fuerzas.

onsideremos un cilindro de acero de di7metro d, rodeado por un cilindro />ueco de cobre de di7metro e3terior ?, de modo @ue >ay una pe@ueAa

>ol4ura entre ellos. Los cilindros est7n comprimidos entre los platos de una

prensa, @ue asumiremos como indeformables, y @ue est7n sometidos a una

fuerza de compresión /.

' @ J**** K#f 5 @ 2** 7'ad @ 1* cm 5 @ 11* 7'aD @ 2* cm

=;a ;a '

Sistema Euialente ⇒

=;a ;a

Consideremos como sistema mec%nico el cilindro de aceroLos platos de la prensa e)ercen fuerzas distribuidas sobre el acero. Asumamos unadistribución uniforme es decir esfuerzo constante en toda la sección. El sistemaeuialente de fuerzas /ec/as por la prensa sobre el acero se ilustra a la derec/a. !emosdespreciado el peso y debido a la peuea /ol#ura entre los cilindros podemosi#ualmente despreciar los efectos laterales debidos a la e,pansión transersal. Si Fa es la ma#nitud de la fuerza resultante /ec/a sobre el acero este esta sometido a un

esfuerzo de compresióna

aa

A

F −=σ ;c

Siendo !a el %rea de la sección del cilindro.>azonamiento an%lo#o puede /acerse para el cobre.A la izuierda ilustramos la fuerza distribuidauniforme /ec/a por el efecto de la prensa sobre elcobre y a la derec/a el sistema euialente de unafuerza resultante de ma#nitud Fc.El esfuerzo de compresión sobre el cobre es

c

cc

A

F −=σ ;c

con !c %rea de la sección del cilindro /ueco de cobre.Si consideramos como sistema uno de los platos de la prensadespreciando su peso tenemos0


9/26

;a ;cLa condición de euilibrio de un e)e ertical /acia arriba establece0 ** =−+⇒=∑ P F F F ca 91:ecuación con dos incó#nitas Fa y Fc.'ara /allar otra ecuación ue permita encontrar las fuerzas estudiaremos las deformacionesdel acero y del cobre.

Como asumimos indeformables los platos de la prensa las deformaciones del acero y delcobre son i#uales =La @ =Lcy como la lon#itud es la misma

cca

a

L

L

L

Lε ε =

∆=

∆=

y por tanto se#uir% la ley de !oo"e

cc

c

aa

a

c

c

a

a

Y A

F

Y A

F

Y Y

−=

−⇒=

σ σ 92:

ue constituye la se#unda ecuación necesaria para /allar la fuerza Fa y Fc. >esoliendo se

obtiene

a

c

aa

ca

Y

Y

d

d D

P

Y A

Y A

P F

c

2

22 :911

−+

=+

=

Aunue los datos del problema no est%n todos en sistema internacional de unidades no esnecesario /acer conersiones puesto ue /ay cocientes adimensionales0

( )

G1*

1*2*

2

2

G

22

2

22

=−

=−

cm

cm

d

d D

2*

11

2**

11*==

GPa

GPa

Y

Y

a

c

As$ ;a @ 1(.(,1*G "#f ;c @ G1.1G ,1*G "#f

2. E=emplo Estudiar el alar#amiento de una barra col#adaerticalmente ba)o la acción de su propio peso.

Sea una barra de lon#itud L %rea de seccióntrasersal ! 9constante: módulo de 5oun# * y peso

total /.Mamos a considerar deformaciones en procesos dealar#amiento cuasiest%ticos 9sin inolucrarelocidades ni ener#$as cin8ticas es decir sin inolucrar las ondas el%sticas en la barra:.Sealemos ue las deformaciones de sólidos soncomo ya imos peue$simas de modo ue losdibu)os no son a escala. Las deformaciones est%ne,a#eradas en los esuemas para darles claridad.

.Identificaremos una sección de la arilla mediante la posición 3 ue ocupa en la situación

no deformada en un e)e como se indica en la fi#ura. Sea B3- el desplazamiento de dic/asección /asta el estado final deformado. B función de 3 es tambi8n la deformación del trozode barra C de modo ue la deformación total de la barra es BL-.


10/26

La ley de !oo"e como la /emos conocido es aplicable a una barra de lon#itud finita a lolar#o de la cual acta una fuerza constante. 'ero en el caso de la barra col#ante la fuerza noes constante y no podemos aplicar la ley de !oo"e a toda la barra ni a un trozo como C. Mamos a elaborar la ley de !oo"e para

transformarla en una ley local %lida para la

sección situada en 3. Tomemos para ello comosistema mec%nico un peueo trozo de barracomprendido en el estado sin deformar entre lasección ubicada en 3 y 3 $ Δ3.Estudiaremos la deformación unitaria de un trozode barra. La lon#itud inicial es Δ3 y la lon#itudfinal es Δ3 $ B" ( B siendo B"#B3 $ Δ3- eldesplazamiento de la sección 3 $ Δ3. Ladeformación unitaria del peueo trozo de barraes entonces

Si /acemos cada ez mas peueo el trozo de barra en el l$mite cuando Δ3D' ladeformación ser%

Es importante tambi8n er este l$mite usando el desarrollo en serie de Taylor de la funciónN9,: alrededor de ,

con lo cual

y el l$mite cuando =,O* es de nueo

Meamos ue sucede con las fuerzas sobre el trozo de barra. Como la fuerza es ariable con3 las fuerzas en las secciones ue limitan el trozo ser%n F 3- y F" # F 3$Δ3- cuyadiferencia es

es decir proporcional a Δ3. Hientras mas peueo sea Δ3 menor ser% la discrepanciaentre las fuerzas sobre los dos e,tremos del peueo trazo de barra.Cuando Δ3D' F"( F- D' podemos entonces escribir la ley de !oo"e como

ley a/ora %lida no ya para un trozo de barra sino para una sección 3 cuyo desplazamientoes B. Esta formulación de la ley de !oo"e ser% de #ran importancia en el estudio de lasondas el%sticas en una barra en las cuales F y B no sólo son funciones de la ubicación 3 en

el estado sin deformar sino tambi8n del tiempo t. En ese caso la ley de !oo"e %lida parauna sección 3 ser%


11/26

en la ue a/ora fi#ura la deriada parcial de la función B3, t- respecto a 3. >etornemos a la barra col#ante en euilibrioy calculemos la fuerza F actuante en una

sección 3.El euilibrio del trozo de barra por deba)o de, conduce a

con lo cual la ley de !oo"e llea a

con B'- # ' inte#rando /asta una seccióncualuiera 3

El desplazamiento del punto mas ba)o de la barra es decir la deformación total de la barraSer%

ue es la mitad de la deformación ue tendr$a la barra ba)o una fuerza constante /.

G. E=emplo.Consideremos un sólido en forma de

paralelep$pedo rect%n#ulo en euilibrio ba)o la acción de fuerzas erpendiculares asus caras. Bo tendremos en cuenta el peso

propio del cuerpo.Sean +3, +y, +z los esfuerzos de traccióncorrespondientes a las direcciones 3, y yz. !3 es el %rea de las caras

perpendiculares a 3 y an%lo#amente para!y y !z.

Sean 3,y y z las lon#itudes de las aristas.Debido a la presencia e,clusia de +3 aparecen deformaciones unitarias en 3 se#n la leyde !oo"e y en las direcciones transersales y y z se#n el coeficiente de 'oisson as$0Debido a +3

Si esta presente e,clusiamente +y aparecen an%lo#amente deformaciones unitarias.Debido a +y


12/26

'resente sólo +z las deformaciones son0Debido a +z

Cuando est%n presentes simult%neamente las tres deformaciones se#n el principio desuperposición las deformaciones totales ser%n

Si sometemos el sólido a una tracción cuasiest%tica en dirección 3 con una fuerza +3 !3 eltraba)o /ec/o es se#n imos en el numeral 1.2.2 ; +3!3- Δ3 ue con !3 # y z y # 3y z puede escribirse como ; +3 &3- . De modo an%lo#o se escriben los traba)os pararealizar las tracciones cuasiest%ticas en y y z. Sumando los traba)os y diidiendo por el

olumen obtenemos la densidad de ener#$a el%stica del cuerpo

Si sólo uno de los esfuerzos es diferente de cero retornamos a la e,presión m%s simplededucida en 1.2.2.La e,presión de la densidad de ener#$a es %lida tanto para esfuerzos de tracción 9+ : '-como de compresión 9+ 5 '-.1.) El ódulo de compresibilidad

onsideremos un sólido en forma de

paralelep6pedo rect7n4ulo, sometido a una presión

uniforme p. Gecordemos @ue la presión es un

esfuerzo normal de compresión, tomado positio.

Esta situación puede presentarse por e)emplo cuandoel sólido se encuentra inmerso en un fluido sidespreciamos la ariación de la presión con la

profundidad en el fluido de modo ue p es uniformeDebido a la presión p el sólido e,perimentar% uncambio de olumen Δ con Δ 5 ' ya ue el sólidoal ser sometido a una presión disminuye su olumen.

.Si llamamos al olumen inicial sin deformar la deformación olum8trica unitaria & ser%

con & 5 ' y siendo & una cantidad adimensional. La ley de !oo"e ue establece la


13/26

proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria se escribe en este caso como

o bien

La constante el%stica I ue depende del material se llama el módulo de compresibilidadse le dice tambi8n módulo olum8trico de elasticidad. Como p : ' y & 5 ' se introduceel si#no menos para ue el módulo I sea positio.Se#n lo estudiado en el e)emplo G del numeral 1.2.P si /acemos +3 # +y # +z # J p, lasdeformaciones unitarias son

Llamando 3, y y z a las dimensiones iniciales del sólido su olumen sin deformar es M @ , y z .!aciendo diferenciación lo#ar$tmica es decir tomando lo#aritmo natural a ambos lados ydiferenciando tenemos asimilando las peueas deformaciones a diferenciales

es decir

Al reemplazar en la ley de !oo"e se obtiene

relación entre las constantes el%sticas I * 9 para un sólido el%stico isotrópico /oo"eano.

La ley de !oo"e p # (I & es aplicable a cuerpos sólidos de forma cualuiera.

En efecto un cuerpo cualuiera puede ser subdiidido en peueos bloues rectan#ularescada uno sometido a una presión uniforme p y as$ para el bloue p8simo

y sumando para todos

Que es la ley de !oo"e para la deformación olum8trica del cuerpo de cualuier forma.De la e,presión para la deformación olum8trica unitaria en t8rminos de p *9 se obseraue para ue & sea ne#atio es decir para ue el cuerpo al estar sometido a presión


14/26

disminuya su olumen como en efecto se cumple se reuiere ue 1(2 9 : ' es decir 9 51%2.'ara el acero 9 ale apro,imadamente '.). As$ si * # 2'' /a I # 1K /a.Se#n la densidad de ener#$a obtenida en el e)emplo G del numeral 1.2.P remplazando losalores para el caso de una presión uniforme tendremos para la densidad de ener#$a0

Se usa a eces el llamado coeficiente de compresibilidad ue es el inerso del módulo decompresibilidad 1%I.En el caso de los fluidos no /ay módulo de 5oun# ni coeficiente de 'oisson y elcomportamiento el%stico esta caracterizado por una nica constante ue es le módulo decompresibilidad I como se er% con mayor detalle al estudiar las propiedades de losfluidos.1.< La izalladura

Tomemos un cubo de un cuerpo sólido el%stico /omo#8neo e isotrópico y apliuemosfuerzas tan#enciales de i#ual ma#nitud y sentido contrario en las caras opuestas ? y IE.Tales fuerzas tan#enciales se llaman tambi8n fuerzas de cizalladura o fuerzas cortantes.Esas dos fuerzas forman un par ue

producir$a una rotación del cubo. 'araimpedir esta rotación apliuemos otras dosfuerzas tan#enciales de i#ual ma#nitud F alas caras I y ?E fuerzas ue producen un

par contrario al primero0El cubo se encuentra a/ora en euilibrio y

ba)o la acción de esas fuerzas tan#encialessufrir% una deformación.Sea L la arista del cubo y ! el %rea de unacara. El esfuerzo tan#encial llamado tambi8nesfuerzo de cizalladura o esfuerzo cortante M9tau: se define como la fuerza tan#encial por unidad de %rea0

En la dirección perpendicular al plano deldibu)o el cubo no sufre nin#una deformaciónde modo ue estudiaremos sólo la

deformación de la sección cuadrada I?E.Dada la simetr$a de la fi#ura el cuadrado aldeformarse ueda como el rombo INN?NEN0

R @ ; y as$ ; @ RA

Si suponemos una distribución uniforme deesfuerzos las fuerzas tan#enciales sobre elcubo ser%n0 =; @ R =A

con M constante.


15/26

>eacu8rdese ue las deformaciones de lossólidos reales son muy peueas de modoue en el dibu)o est%n e,a#erados porclaridad #r%fica como mas adelantemostraremos con detalle para la peueadeformación por cizalladura el %rea del

cuadrado ori#inal es pr%cticamente i#ual al%rea del rombo en el estado deformado y porende el olumen del cubo inicial es i#ual alolumen del cuerpo deformado.

An%lo#amente las aristas del cuadrado son pr%cticamente i#uales a las del rombo. Ladeformación por cizalladura es fundamentalmente un cambio de forma y no de tamao. 'aracuantificar la deformación por cizalladura compararemos el cuadrado inicial con el rombofinal /aciendo coincidir las aristas IE y INEN ue como de)imos y probaremos lue#o son

pr%cticamente i#uales.

La deformación por cizalladura puede erse as$ como un deslizamiento de la cara ? /astaN?N. Se llama %n#ulo de cizalladura o tambi8n deformación unitaria por cizalladura al%n#ulo O 9#ama: formado entre las caras I en estado no deformado y IN en estadodeformado.Como el %n#ulo O es muy peueo podemosusar la apro,imación

y por eso O puede interpretarse como unadeformación unitaria0 la deformación pordesplazamiento de la capa superior Ndiidida por la arista ori#inal I.

La ley de !oo"e para la cizalladura %lida para peueas deformaciones se e,presacomo R @ 7 donde la constante el%stica ue dependede la naturaleza del sólido se llama módulo

de cizalladura llamado tambi8n en ocasionesmódulo de ri#idez.

Calculemos la densidad de ener#$a el%stica acumulada en el material debida a unadeformación por cizalladura. Hanteniendo fi)a la base IE el traba)o cuasiest%tico /ec/osobre el cuerpo para producir el desplazamiento Δ3 desde ? /asta N?N ser% comosabemos ; F Δ3 ue con F # M ! y O tan O- # Δ3%L puede escribirse como ; M O siendo el olumen del cubo. La densidad de ener#$a puede escribirse entoncesusando la ley de !oo"e de arias maneras como


16/26

E,presiones an%lo#as a las estudiadas en las deformaciones por tracción y por presiónuniforme.La deformación por cizalladura es euialente a la superposición de un alar#amiento por tracción en la dia#onal I? y de un acortamiento por compresión en la dia#onal E y por esta razón el módulo de cizalladura esta relacionado con el módulo de 5oun# * y con elcoeficiente de 'oisson 9.

En efecto sobre cualuier trazo del cuerpo se e)ercen fuerzas de contacto debidas a la parteadyacente del cuerpo. As$ sobre la cara dia#onal E del trozo IE se e)ercen fuerzas decontacto debidas al trozo ?E. 'ara e,aminar la fuerza sobre la cara E 9 ue en nuestro

corte se e simplemente como una l$nea: tomemos como sistema mec%nico el trozo IEen euilibrio.

Sobre la cara E cuya %rea es acta una fuerza normal de tracción de ma#nitud

. El esfuerzo normal de tracción tiene as$ un alor

y por tanto es num8ricamente i#ual al esfuerzo cortante sobre las caras I y IE.De manara an%lo#a se estudia el trozo I? para mostrar ue la cara I? esta sometida a

una fuerza normal de compresión a la ue corresponde un esfuerzo normal decompresión de alor R.Las fuerzas distribuidas sobre las caras dia#onales son entonces0

=; @ R =A =; @ R =A

A/ora bien consideremos un cuerpo prism%tico de profundidad i#ual al lado de nuestrocubo ori#inal y cuya sección cuadrada ue est% rotada PJU respecto a la sección del cubo


17/26

ori#inal se muestra en la fi#ura.

En el nueo cuerpo prism%tico emos ue I? se alar#a mientras E se acorta y dada lasimetr$a de nuestra fi#ura el cuadrado I?E se deforma y ueda como el romboINN?NEN como ya /ab$amos indicado.

Calculemos las deformaciones unitarias en las direcciones I? y E0Debido al esfuerzo de tracción R y se#n la ley de !oo"e en dirección I? /ay unadeformación unitaria R % *.!ay tambi8n se#n el coeficiente de 'oisson 9 una deformación unitaria transersal endirección E i#ual a J 9 R % *.2GDebido al esfuerzo de compresión J R /ay se#n la ley de !oo"e en la dirección E unadeformación unitaria J R % *.Tambi8n /ay se#n el coeficiente de 'oisson una deformación unitaria transersal endirección I? i#ual a 9 R %*.4sando el principio de superposición las deformaciones unitarias totales ser%n0En dirección I?0

9


18/26

9En dirección E0

En el tri%n#ulo rect%n#ulo INCEN0

Siendo L el lado del cubo

4sando el binomio de BeFton

ue con & muy peueo y despreciando los t8rminos de orden &2

y superiores ueda -VEV@Ly as$ el lado del cuadrado en la sección ori#inal sin deformar es i#ual al lado del rombo enla sección deformada.El olumen del cuerpo sometido a cizalladura y ya deformado es M@ Wrea >ombo , LL0 profundidad perpendicular al plano de la sección

ue despreciando los t8rminos de orden &2

es i#ual a L) es decir el olumen inicial delcubo. En una deformación por cizalladura pura el olumen pr%cticamente no cambia sólocambia la forma del cuerpo.El %n#ulo de deformación por cizalladura ue definimos antes es

siendo X el %n#ulo NINEN. As$

y por tanto

'ero de la fi#ura el %n#ulo CINEN # P%2 y

I#ualando las dos e,presiones para tan P%2-


19/26

ue como es muy peueo puede escribirse como

y as$

con lo cual

ue es la relación ue /ab$amos anunciado entre los módulos de cizalladura , de *oun4 *y el coeficiente de /oisson 9.El estado de esfuerzos ue /emos presentado suele llamarse cizalladura pura ya ue sobrelas caras del cubo actan solamente fuerzas cortantes o de cizalladura y no fuerzas

normales. En #eneral sin embar#o sobre una superficie en el interior de un cuerpo /ay presentes tantas fuerzas normales como tan#enciales.Meamos un caso sencillo. Consideremos un barra de sección transersal ! sometida a unafuerza de tracción F en sus e,tremos'or un punto / interior a la barra tomemos una sección perpendicular al e)e de la barra.

Como el trozo izuierdo de barra delimitado por la sección est% en euilibrio la fuerza de

contacto /ec/a por el trazo derec/o sobre el izuierdo es una fuerza F perpendicular a lasección ue es la resultante de una fuerza distribuida con esfuerzo normal + # F%! demodo ue la fuerza sobre una peuea %rea Δ! alrededor del punto / es ΔF # + Δ!.

Tomemos a/ora por el mismo punto / una sección ue forma un %n#ulo Q con la seccióntransersal como se indica en la fi#ura

Como el trozo izuierdo esta en euilibrio la fuerza resultante en / es F fuerza ue sedescompone en una componente Fn normal a la sección y una componente Tt tan#encial ala sección con ;n @ ; Cos 9Y: ;t @ ; Sen 9Y:

Como el %rea de la nuea sección es !N # ! % os Q- /ay en ella esfuerzos tanto normal+ como tan#encial o de cizalladura R ue alen


20/26

Sobre una peuea %rea Δ! de la sección inclinada actan pues fuerza normal y tan#encial

DIA7>AHA

De un modo m%s #eneral si consideramos una superficie en separación entre dos partes enle interior de un cuerpo y tomamos alrededor de un punto / un elemento de %rea d! La parte RR del cuerpo e)erce sobre esa

peuea superficie de la parte R una fuerzad; ue en #eneral tendr% componentenormal y tan#encial a la superficie.Si definimos el ector elemento de %reacomo dA @ dA nZ con nZ 0 ector unitarionormal a la superficie los ectores d;y dA no tienen entonces en #eneral lamisma dirección. En cursos m%s aanzadosde medios continuos o de elasticidad seestudia la relación #eneral entre d; y dA ue es una relación tensoriald; @ [ dAen donde T es el llamado tensor deesfuerzos.

1.0 La Torsión

Los esfuerzos ue /emos presentado /asta a/ora son constantes en toda una sección en uncuerpo0 no ar$an de un punto a otro de la sección y por tanto la fuerza distribuida sobre lasección es uniforme. !ay casos m%s comple)os muy importantes como los ue amos a

presentar breemente en los cuales el esfuerzo ar$a de un punto a otro en una determinadasección.

Consideremos una arilla cil$ndrica macizade radio G y lon#itud L sometida a pares detorsión cuyo momento o torue tiene unalor y en euilibrio.>ecordemos ue un par de fuerzas es unsistema de fuerzas cuya resultante es nula demodo ue un par esta caracterizado por un

puro torue o momento. En la fi#uraderec/a representamos los ectores momentoo torue /ec/os sobre los e,tremos del

cilindro y en la izuierda las direcciones de#iro asociadas a esos ectores momento.

El cilindro en cuestión puede ser bien un e)e de transmisión en una mauina bien el


21/26

del#ado /ilo de una balanza de torsión.Si mantenemos fi)o el e,tremo superior del cilindro al aplicar el torue o momento detorsión a la sección inferior el cilindro se deforma de modo ue una #eneratriz inicial !I

pasa a ocupar la posición !IN. El %n#ulo de torsión del cilindro es QConsideremos el cilindro macizo como formado por tubos de radio r espesor dr. El %n#ulode torsión Q es le mismo para todos los tubos. Si tomamos un peueo elemento en la

superficie lateral del tubo emos ue e,perimenta una deformación por cizalladura dada por el %n#ulo . La relación entre y Q es

Llamemos R al esfuerzo de cizalladura en la base del tubo cil$ndrico de espesor dr. As$ sobreun peueo trozo de %rea de la base del tubo cil$ndrico cuya %rea es r dS dr acta una fuerzatan#encial dada por R r dS dr- fuerza cuyo torue respecto al e)e del cilindro es r R r dS r-.

La suma de los torues de todas las fuerzas tan#enciales distribuidas en la corona circular de la base del tubo como el %n#ulo S de toda la corona es 2 ser% dH @ R \ 2r 2 dr A/ora se#n la ley de !oo"e para la cizalladura con %n#ulo de deformación R @ 7 ue con O # r Q % L conduce a M # r Q % L y as$

ue es la contribución al momento de torsión debida a las fuerzas de cizalladura actuantes

sobre la base del tubo cil$ndrico de radio r y espesor dr. 'ar /allar el momento de torsióntotal de todos los tubos ue componen el cilindro macizo inte#ramos de ' a G 0


22/26

ue puede escribirse como H @ " Ymomento de torsión proporcional al %n#ulo de torsión.

1.K La Fle3ión

Consideremos una i#a simplemente apoyada en sus e,tremos ! y I y sometida a unacar#a ertical / en su centro. Despreciando el peso propio de la i#a las condiciones deeuilibrio muestran ue /ay reacciones con los e,tremos i#uales a /%2.

Si tomamos una sección a una distancia 3 de ! y /acemos el euilibrio del trozo de i#a! emos ue sobre la sección acta una fuerza cortante o cizalladura y un par de

torue o momento llamado momento flector. En nuestro caso concreto

En una i#a diferente o con otras car#as actuantes y tendr%n alores diferentes pero/abr% siempre en una sección una cizalladura y un momento flector.A/ora ]de dónde proiene esa cizalladura y ese momento flector^ 'roienen del sistemade fuerzas distribuidas de contacto /ec/as en la sección por el trozo de i#a de la derec/asobre el de la izuierda.'or una parte /ay una fuerza distribuida cortante a la ue corresponde un esfuerzo decizalladura de modo ue la resultante es .

Con el momento flector sucede lo si#uiente0

La i#a se deforma por fle,ión de modo ue las fibras de la parte superior se contraen y lasde la parte inferior se alar#an. !ay una l$nea UUN llamada el e)e neutro cuya lon#itud nocambia. En la parte superior de una sección de la i#a /ay pues una fuerza distribuida decompresión y en la parte inferior una de tracción.

Bo amos a realizar el estudio cuantitatio de la fle,ión pero podemos e,poner al#unosresultados sencillos0 los esfuerzos de compresión y tracción ar$an linealmente desde ceroen el e)e neutro 9ue pasa por el centroide de la sección de la sección transersal: /asta sus


23/26

alores m%,imos en las fibras superior e inferior.

Las fuerzas resultantes de la compresión y de la tracción T forman un par de fuerzascuyo momento es el momento flector .En una i#a en oladizo

el momento flector tiene dirección contraria y las fibras superiores est%n a tracción y lasinferiores a compresión.En estudios m%s aanzados se estudia cuantitatiamente la ecuación del e)e neutro su

relación con el momento flector con la #eometr$a y con el módulo de 5oun# del materialde la i#a./roblemas


24/26

14na barra r$#ida de 1'0 cm de lon#itud de peso despreciable est% sostenida en sus e,tremos por /ilos ! y I de i#ual lon#itud. Las %reas delas secciones rectas de ! y I son 1 mm2 y 2mm2 respectiamente y suscorrespondientes módulos de 5oun# son 2''

/a y 1

). !allar los esfuerzos en un perno de acero y enun tubo de cobre ue lo rodea al apretar la tuercaun cuarto de uelta. La lon#itud del perno es 0cm el paso del tornillo es ) mm las %reas de lassecciones rectas de perno y tubo son K cm2 y 12cm2 respectiamente y los módulos de 5oun# deacero y cobre son 2'' /a y 11' /a.

> +a#1'


25/26

suspendida erticalmente ba)o la acción de su propio peso.

Sugerencia0 estudiar la densidad de ener#$a .

Calcular cu%l ser% la ener#$a el%stica de la barra si se suspende erticalmente de ella otra

barra id8ntica. > Ser% eces la ener#$a inicial.K. 4n sólido en forma de placa rectan#ular esta

bloueado entre dos paredes completamente r$#idas perpendiculares al e)e 3 de modo ue en esa dirección la placa no puede tener nin#n tipo de deformación. En ele)e z la placa esta sometida a una presión uniforme p.Calcule la presión pN ue e)ercen las paredes r$#idassobre la placa y las deformaciones unitarias en y y z enfunción del módulo de 5oun# * al coeficiente de'oisson 9 y la presión p. ]En y y z /ay acortamiento oalar#amiento^ Sugerencia0 /alle primero las deformaciones con +z # (p y lue#o con +3 # ( pN apliue el principio desuperposición y /a#a ue la deformación en 3 se anule.

. Considere un sólido en forma de ca)a rectan#ular con aristas paralelas a unos e)es 3 y y zcon módulo de 5oun# * y coeficiente de 'oisson 9.Determine las deformaciones unitarias en dirección 3 y y z debidas a un esfuerzo normal

de tracción sobre las caras perpendiculares al e)e 3. !a#a un traba)o an%lo#o para lasdeformaciones unitarias cuando /ay esfuerzos normal de tracción sobre las caras perpendiculares a los e)es y y z. Aplicando el principio de superposición calcule lasdeformaciones unitarias cuando est%n simult%neamente presentes los tres esfuerzos.Calcule a/ora cu%les deben ser los esfuerzos en las direcciones y y z para ue lasdeformaciones #lobales en esas mismas direcciones se anulen. Huestre ue en este caso

puede definirse un módulo el%stico *N llamado módulo de tracción unia,ial ue inculaesfuerzo y deformación unitaria en 3 tal ue

El módulo *N es importante al estudiar la propa#ación de ondas lon#itudinales en mediosel%sticos.Si I y son los módulos de compresibilidad y cizalladura muestre ue usando lasrelaciones ue los inculan con * y 9


26/26

W. El módulo de compresibilidad del sodio puede medirse obserando el desplazamientodel 8mbolo de la fi#ura al aplicar una fuerza.El sodio esta sumer#ido en aceite ue llena elcilindro por deba)o del 8mbolo. Supón#aseue el 8mbolo y las paredes del cilindro son

perfectamente r$#idos y ue no /ayrozamiento ni perdidas de aceite. Calcular elmódulo de compresibilidad del sodio enfunción de la fuerza aplicada F deldesplazamiento del 8mbolo d del %reade este ltimo ! del olumen inicial delaceite a del olumen inicial del sodio s ydel módulo de compresibilidad del aceite Ia

.

+. Se aplican fuerzas de compresión a dos caras opuestas de un bloue rectan#ular. Ladisminución relatia de la lon#itud del bloue es '.''1 y la disminución relatia deolumen es '.'''0. Calcule el coeficiente de 'oisson 9 del material del cubo. > 9 # '.201*. Considere una barra sometida a fuerzas detracción F en sus e,tremos. El %rea de lasección trasersal es !.!alle los esfuerzos e,istentes en una secciónue forma un %n#ulo Q con la sección

transersal en t8rminos de F ! y Q. ]'ara u8alor de Q es m%,imo el esfuerzo normal^ ]y

para cu%l alor es m%,imo el esfuerzo cortante^

Documents

Elasticidad TRANSCRIPCION