Elasti̇k Plasti̇k Geri̇lme Anali̇zi̇

Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. J. Fac. Eng. Arch. Gazi Univ. Cilt 18, No 4, 33-44, 2003 Vol 18, No 4, 33-44, 2003

ÜN FORM OLMAYAN Ç ISI ÜRET M ETK S NDE UÇLARI SAB T B RS L ND RDE ELAST K-PLAST K GER LME ANAL Z

Müfit GÜLGEÇ Makina Mühendisli i Bölümü, Mühendislik-Mimarlõk Fakültesi, Gazi Üniversitesi, Maltepe, 06570 ANKARA [email protected]

ÖZET

Bu çalõ mada, uçlarõ sabit bir silindirde üniform olmayan iç õsõ üretimi nedeniyle olu an elastik-plastik gerilme da õlõmlarõ incelenmi tir. Üniform olmayan iç õsõüretim miktarõ )(rq , silindirin yarõçapõnõn fonksiyonu olarak

sbrnqrq 1)( 0 eklinde alõnmõ tõr. Bu ifadede 0q , n ve s sabit katsayõlardõr. Analiz, Tresca akma artõ ve yardõmcõ akõ kuralõna dayanmaktadõr.Analize göre iç õsõ üretimi miktarõ artõrõldõ õnda silindir içerisinde üç farklõ plastik bölge olu maktadõr. Çalõ mada üniform olmayan iç õsõ üretimi için sayõsal sonuçlar elde edilip, üniform iç õsõ üretimi durumu ile kar õla tõrma yapõlmõ tõr.

Anahtar Kelimeler: Üniform olmayan iç õsõ kayna õ, içi dolu silindir, Tresca akma artõ

ELASTIC-PLASTIC STRESS ANALYSIS OF A FIXED-END CYLINDER SUBJECTED TO NON-UNIFORM HEAT SOURCE

ABSTRACT

The elastic-plastic stress distribution of a solid cylinder with fixed-ends subjected to non-uniform heat source is investigated in this study. The nonuniform heat generation rate )(rq is taken to be a function of the radial position in the form

sbrnqrq 1)( 0 , where b denotes radius of the cylinder; 0q , n and s are constants. The analysis is based on Tresca�s yield condition and the associated flow rule. According to this analysis, three different plastic regions occur. The solution is illustrated by numerical results and is compared with uniform heat generation case.

Keywords: Non-uniform heat source, solid cylinder, Tresca�s yield condition

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

mailto:[email protected]

http://www.Muhendisim.net

http://www.fineprint.com

M. Gülgeç Üniform Olmayan ç Isõ Üretimi Etkisinde Uçlarõ Sabit Bir Silindirde Elastik-Plastik...

34 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 18, No 4, 2003

1. G R

Üniform olmayan sõcaklõk da õlõmõnõn etkisi altõndaki cisimlerde olu an termal gerilmeler ile pek çok mühendislik tasarõmõnda kar õla õlmaktadõr. Geni uygulama alanõna örnek olarak nükleer füzyonla iç õsõ enerjisinin üretildi i nükleer yakõtelemanlarõ verilebilir. Mühendislikteki önemi nedeniyle içi bo ve dolu silindirik çubuklarõn farklõ uç artlarõ ve farklõ sõcaklõk da õlõmõ etkisindeki elastik-plastik gerilme analizi pek çok bilimsel çalõ manõn konusu olmu tur. Bu çalõ ma ile ilgili daha önce yapõlan çalõ malar a a õda özetlenmi tir.

Orçan [1] çalõ masõnda, uçlarõ serbest, üniform iç õsõ üretimi etkisindeki bir silindir için elastik-plastik gerilme da õlõmlarõnõ belirlemi tir. Uçlarõ serbest ve sabit tüplerdeki iç õsõ üretimi nedeniyle olu an elastik-plastik gerilme da õlõmlarõ Gülgeç ve Orçan [2,3] tarafõndan incelenmi tir. Bu iki çalõ mada tüpün akma dayanõmõsõcaklõ õn lineer fonksiyonu olarak alõnmõ di er malzeme özelliklerinin ise sõcaklõknedeniyle de i medi i varsayõlmõ tõr. Uçlarõ sabit, üniform iç õsõ üretimi etkisinde bir silindirde elastik plastik gerilme analizi Gülgeç [4] tarafõndan yapõlmõ , bu çalõ mada da akma dayanõmõ sõcaklõ õn lineer fonksiyonu olarak alõnmõ tõr.

Bu çalõ mada ise uçlarõ sabit, içerisinde üniform olmayan iç õsõ üretimi olan bir silindir için elastik-plastik gerilme analizi yapõlmõ tõr. Çalõ manõn amacõ uniform olmayan iç õsõ üretiminin akmaya, gerilme, plastik birim ekil de i tirme ve radyal deplasman da õlõmõna olan etkisini incelemektir. Üniform olmayan iç õsõ üretim miktarõ )(rq , silindirin yarõçapõnõn fonksiyonu olarak sbrnqrq 1)( 0

eklinde alõnmõ tõr. Bu fonksiyonda, n ve s katsayõlarõ de i tirilerek farklõ iç õsõüretim durumlarõ elde edilebilir. Örne in 0n olarak alõndõ õnda üniform iç õsõüretimi, 1n , 1s alõndõ õnda silindirin merkezinden dõ õna do ru lineer olarak azalan iç õsõ üretimi ve 1n , 2s alõndõ õnda ise silindirin merkezinden dõ õnado ru parabolik olarak azalan iç õsõ üretimi elde edilebilir.

2. TEMEL DENKLEMLER

)r(T sõcaklõk da õlõmõ etkisinde uçlarõ sabit ( 0z ) bir silindirik çubuk için elastik deplasman ve gerilme bile enleri a a õdaki gibi yazõlabilir [4].

rC211E21T

11

rC

E1u 1

2 (1)

221

21 rCCE

r (2)

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬




Üniform Olmayan ç Isõ Üretimi Etkisinde Uçlarõ Sabit Bir Silindirde Elastik-Plastik... M. Gülgeç

Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 18, No 4, 2003 35

221

21 rCCTE (3)

11CTE

z (4)

Bu ifadelerde drTrr

r

02

1: olarak tanõmlanmõ tõr. 1C ve 2C integral sabitleri

radyal deplasmanõn silindir ekseninde sonlu olmasõ ve silindirin dõ yüzeyinde br r �nin sõfõr olmasõ artlarõ kullanõlarak a a õdaki gibi bulunabilir.

bEC12

1 , 02C (5)

1C ifadesinde drTrr

r

02

1: olarak tanõmlanmõ tõr. Bu çalõ mada üniform olmayan

iç õsõ üretimi miktarõ )(rq , silindirin ekseninden olan uzaklõ õn )(r fonksiyonu olarak a a õdaki gibi alõnmõ tõr:

s

brnqrq 1)( 0 (6)

Bu ifadede 0q silindir sentroid eksenindeki iç õsõ üretim miktarõnõ, b silindirin yarõçapõnõ göstermekte olup, n ve s sabit katsayõlardõr. ç õsõ üretimi etkisinde tek boyutlu kararlõ õsõ akõ õ

0)()(1 rqdrrdTr

drd

r (7)

denklemi ile verilir [5]. 0r �da 0)( drrdT ve br � de 0)(rT sõnõr artlarõkullanõlarak, kararlõ sõcaklõk da õlõmõ

22

220 )(1

)2(41

4)( s

br

sn

brbqrT (8)

eklinde elde edilebilir. Bu ifadede õsõ iletim katsayõsõdõr. (5) ile verilen 1C ve 2C integral sabitleri ve yukarõda verilen sõcaklõk da õlõmõ denklemi, (1)-(4)�te

yerine konularak, elastik durum için radyal deplasman ve gerilme ifadeleri elde edilir. Silindir içerisindeki iç õsõ üretim miktarõ artõrõldõkça silindir içerisindeki

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






sõcaklõkta artacak ve 1qq oldu unda silindirin ekseninde akma ba layacaktõr.Bu iç õsõ üretimi de erinde silindirin ekseninde gerilmeler zr e itsizli ini sa lar. Tresca akma kriterine göre

00000 zrz (9) artõ sa landõ õnda silindirin merkezinde akma ba lar. Elde edilen elastik gerilme

ifadeleri (9) denkleminde yerine yazõlõrsa silindirin merkezinde akmanõnba lamasõna neden olan iç õsõ üretimi miktarõ

41)21(16)42)23()42)1(16

2

2

1snss

ssq (10)

eklinde elde edilebilir. Bu ifadede silindirin ekseninde akmaya neden olan boyutsuz iç õsõ üretimi miktarõ 1q (boyutsuz yük parametresi) 0

211 bqEq olarak

tanõmlanmõ tõr. ç õsõ üretimi miktarõnõn sabit olmasõ durumunda ( 0n ) akma

)23()1(16

1q (11)

de erinde ba lamakta 0n oldu unda ise akma (11) ile verilen yük parametresinden daha büyük yük parametrelerinde ba lamaktadõr. Boyutsuz yük parametresi 1q �den daha yüksek bir de ere arttõrõldõ õnda silindir ekseninde bir ba ka plastik bölge daha olu makta, yük parametresi daha da arttõrõldõ õndasilindirin yüzeyinde üçüncü plastik bölge meydana gelmektedir. A a õda bu plastik bölgeler için gerilme, radyal deplasman ve plastik birim ekil de i tirme ifadeleri elde edilecektir.

Plastik Bölge I : 10 rr

Bu plastik bölgede, Tresca akma artõ a a õdaki ekilde yazõlabilir;

Tzr 10 , Tz 10 . (12)

Denge denklemi ve akma artõ kullanõlarak gerilme bile enleri

3Cr (13) TCz 103 (14)

eklinde bulunabilir. Plastik sõkõ tõrõlamazlõk artõ kullanõlarak, toplam birim ekil de i tirme bile enleri elastik, plastik ve termal bile enlerinin toplamõ eklinde yazõlõrsa radyal deplasman cinsinden a a õdaki diferansiyel denklem yazõlabilir;

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






TCEr

udrdu 3321

03 (15)

Bu diferansiyel denklemin genel çözümü

rErCrCEu 3321

21 4

03 (16)

olup, toplam birim ekil de i tirme ifadelerinden elastik ve termal birim ekil de i tirme bile enlerini çõkararak plastik birim ekil de i tirme ifadeleri

TECE pr 2321

21

03 (17)

TECE p 232121

03 (18)

TECE pz 0321 (19)

eklinde elde edilebilir.

Plastik Bölge II : 21 rrr

Bu bölgede rz e itsizli inden dolayõ Tresca akma artõ

0z (20) eklinde yazõlabilir. Akma artõ ile yardõmcõ akõ kuralõ birlikte de erlendirildi inde,

plastik birim ekil de i tirme bile enleri arasõnda a a õdaki ba õntõlar elde edilebilir;

01 pr

pz

p ddd (21)

drrdr uygunluk denkleminde r ve birim ekil de i tirme ifadelerinin gerilmeler cinsinden kar õlõklarõ yazõlarak, (20) akma artõ ve denge denklemi kullanõlõrsa için a a õdaki diferansiyel denklem elde edilebilir;

2

22

02

22 25

121

12213

drTdr

drdtrTE

drdr

drdr (22)

Bu denklemin çözümü

)21(42121

140

211

61

5 TMMErCrC MM (23)

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






olarak bulunabilir. Bu denklemde, drTrr MM11 : , drTrr MM1

2 : ,

121:2M olarak tanõmlanmõ tõr.

te etsel gerilme bile eni bulunduktan sonra, denge denklemi ve akma artõkullanõlarak z ve r a a õdaki gibi bulunabilir;

212121

141 0

211

61

5 MMErCrCM

MMr (24)

0211

61

5 21242121

14TMMErCrC MM

z (25)

Daha sonra radyal deplasman ve plastik birim ekil de i tirme bile enleri

rrEMrCM

rEMrCM

Eu

M

M

026

15

114

211

142112

(26)

21

6

11

5

14211

14211

EMrCM

EMrCM

EE

M

Mpz

p

(27)

olarak elde edilebilir.

Plastik Bölge III : brr3

Silindirin dõ õnda olu an bu plastik bölgede gerilme bile enleri rz

e itsizli ini sa lar ve Tresca akma artõ

0r (28) eklinde yazõlabilir. Denge denklemi integre edilirse radyal ve te etsel gerilme

bile enleri a a õdaki gibi elde edilir.

70 ln Crr , (29)

70 ln1 Cr . (30)

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






Akõ kuralõndan plastik birim ekil de i tirme bile enleri arasõnda

01 pz

ppr ddd (31)

ba õntõlarõ bulunabilir. 0ez oldu u da dikkate alõnarak eksenel gerilme bile eni

bulunabilir.

TECrz 70 2ln21 (32)

Birim ekil de i tirme bile enlerini elastik, plastik ve termal bile enlerinin toplamõolarak yazmak mümkündür. Bu i lemi radyal ve te etsel birim ekil de i tirme ifadeleri için yapacak olursak, radyal ve te etsel birim ekil de i tirme bile enlerinin toplamõnda sadece elastik ve termal bile enler kalacaktõr. Bu yakla õmla ve (29,30,32) denklemlerinin yardõmõyla deplasman cinsinden a a õdakidiferansiyel denklem elde edilebilir.

TECrru

drduE 221ln2211 70 (33)

Bu diferansiyel denklemin çözümü

rCrECrEu 8

70 2ln211 (34)

eklinde elde edilir. Plastik birim ekil de i tirmeler ise

28

0 211rCTTEE pp

r (35)

olarak bulunabilir.

3. B R NC A AMA PLAST K DEFORMASYON

Birinci a ama plastik deformasyonda silindirin merkezinde iki farklõ plastik bölge ve plastik bölgelerin dõ õnda ise elastik bölge bulunmaktadõr.. Daha önce 1. plastik, 2. plastik ve elastik bölgeler için elde edilen gerilme, plastik birim ekil de i tirme ve deplasman ifadelerine bakõlacak olursa, bu ifadelerin 654321 ,,,,, CCCCCC . integral sabitlerini içerdi i anla õlabilir. Bunlara ek olarak 1. plastik ile 2. plastik bölgeyi ayõran 1r elastik-plastik yarõçapõ ve 2. plastik bölge ile elastik bölgeyi ayõran 2relastik-plastik yarõçapõ problemin di er bilinmeyenleridir. Problemin toplam sekiz bilinmeyenini belirlemek için sekiz sõnõr ve süreklilik artõnõn yazõlmasõ gereklidir. Silindir ekseninde deplasmanõn sonlu olmasõ artõ kullanõlarak 4C sõfõr olarak bulunur. Di er be integral sabiti için u sõnõr ve süreklilik artlarõ kullanõlõr:

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






1rr �de r , sürekli olmalõ, 1rr �de 0pr olmalõ, 2rr �de 0

IIp

olmalõ ve silindirin dõ yüzeyinde br , r sõfõr olmalõdõr. Bu sõnõr ve süreklilik artlarõ kullanõlarak integral sabitleri a a õdaki gibi bulunabilir:

0113 23221

1 rTrEC (36)

111

15 1324416

2121 rTEMMrEMrC M (37)

111

16 1324416

2121 rTEMMrEMrC M (38)

212

211,

121

2 002

2

22

1brE

br

C (39)

02

2

22

22

2 ,1

21

121brE

br

rC (40)

Bu ifadelerde b

rdrTr

bbr

2

221, olarak tanõmlanmõ tõr. 1r ve 2r elastik-plastik

yarõçaplarõ ise 022 )()( rr z ve 22 rr IIr

er sõnõr artlarõ kullanõlarak

elde edilen denklemlerin sayõsal çözümü ile elde edilir. Yük parametresinin daha fazla arttõrõlmasõ ile birlikte plastik bölgeler dõ a do ru ilerler ve 2qq oldu undasilindirin dõ yüzeyinde üçüncü plastik bölge olu ur.

4. K NC A AMA PLAST K DEFORMASYON

Silindirin dõ yüzeyinde üçüncü plastik bölgenin olu umu ile ikinci a ama plastik deformasyon ba lamõ olur. Bu a amada silindirin merkezinde iki plastik bölge, arada elastik bölge, silindirin dõ õnda ise üçüncü plastik bölge bulunmaktadõr ( ekil 1). Üçüncü plastik bölgenin olu masõ ile birlikte probleme bilinmeyen olarak iki integral sabiti ( 7C ve 8C ) ve 3r elastik-plastik yarõçapõ eklenir. Böylece toplam

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






bilinmeyen sayõsõ onbir olur. Birinci a ama plastik deformasyon için yazõlan sõnõr

artlarõna u sõnõr artlarõ eklenebilir; 3rr �de 0IIIp ,

0er

e , IIIr

er . Birinci a ama plastik deformasyon için elde edilen

653 ,, CCC integral sabitleri ikinci a ama plastik deformasyon için de geçerlidir. Di er integral sabitleri ise a a õdaki gibi bulunabilir:

bC ln07 (41)

23308 11 rrTEC (42)

33202 1,

12

21 rTErrEC (43)

03301 1ln2 rTEbrC (44)

5. SAYISAL SONUÇLAR VE TARTI MA

Sayõsal sonuçlar elde edilirken 295.0 olarak alõnmõ ve boyutsuz parametreler kullanõlmõ tõr. Boyutsuz gerilme bile enleri 0ijij , boyutsuz deplasman

bEuu 0 boyutsuz yarõçap brr ve boyutsuz plastik birim ekil de i tirme

I.Plastik Bölge

II..Plastik Bölge

Elastik Bölge

III.Plastik Bölge

2r1r 3r b

ekil 1. kinci a ama plastik deformasyonda plastik bölgelerin gösterimi

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






bile enleri 0Epijpij olarak tanõmlanmõ tõr. ekil 2�de 0n (üniform iç õsõ

üretimi) ve 1n , 2s (üniform olmayan iç õsõ üretimi) durumlarõ için, boyutsuz yük parametresi ,,,q arttõrõldõ õnda, silindirde olu an plastik bölgelerin geli imi verilmi tir. ekil 2�ye göre; 0n (üniform iç õsõ üretimi) durumu için akma

6805.4,,,q oldu unda ba lamakta, 1n , 2s (üniform olmayan iç õsõ üretimi)

durumu için ise akma daha büyük yük parametresinde ( 36090.6,,,q )ba lamaktadõr. Her iki durum içinde, yük parametresinin arttõrõlmasõyla silindir merkezindeki iki plastik bölge silindirin dõ yüzeyine do ru ilerlemektedir. 0n(üniform iç õsõ üretimi) durumunda 59349.5,,,q , 1n , 2s (üniform olmayan

iç õsõ üretimi) durumu için ise 34631.8,,,q yük parametresinde silindirin dõyüzeyinde üçüncü plastik bölge olu maktadõr. Boyutsuz yük parametresi daha da arttõrõldõ õnda 0n (üniform iç õsõ üretimi) durumunda 77169.6,,,q , 1n ,

2s (üniform olmayan iç õsõ üretimi) durumu için ise 68067.9,,,q yük parametresi de erinde silindir tamamen plastik olmaktadõr.

ekil 3�de 77169.6,,,q yük parametresi de erinde 0n (üniform iç õsõ üretimi) ve 1n , 2s (üniform olmayan iç õsõ üretimi) durumlarõ için boyusuz gerilme bile enlerinin silindir içerisindeki da õlõmõ verilmi tir. Bu yük parametresinde

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0BOYUTSUZ ELASTIK- PLASTIK YARICAP

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0 I IIIII

I II

III

Elastik Bölge

ekil 2. 0n (üniform iç õsõ üretimi) ve 1n , 2s (üniform olmayan iç õsõüretimi) durumlarõ için boyutsuz yük parametresine göre plastik bölgelerin geli imi

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






üniform iç õsõ üretimi etkisindeki ( 0n ) silindir tamamen plastik olurken, üniform olmayan iç õsõ üretimi etkisindeki silindir ikinci a ama plastik deformasyon durumundadõr. ekil 4�de ise aynõ yük parametresi için boyutsuz radyal deplasman ve plastik birim ekil de i tirme da õlõmlarõ verilmi tir.

Yukarõda sadece 1n , 2s için sayõsal sonuçlar verilmekle birlikte bu çalõ mada elde edilen denklemler istenilen n ve s katsayõlarõ için çözülerek farklõ üniform olmayan iç õsõ üretiminin etkisi altõndaki silindirler için elastik-plastik gerilme da õlõmlarõ elde edilebilir. Bu çalõ ma sonucunda silindirin merkezinde maksimum ve silindirin dõ yüzeyine do ru azalan iç õsõ üretiminin etkisi ile akmanõn, üniform iç õsõ üretimi etkisindeki akmaya göre daha büyük yük parametrelerinde olu aca õgörülmü tür. Bu durum silindirin tamamen plastik olma süreci için de geçerlidir. Yani üniform olmayan iç õsõ üretimi etkisindeki bir silindir, üniform iç õsõ üretimi etkisindeki bir silindire göre daha yüksek yük parametresinde tamamen plastik olmaktadõr.

KAYNAKÇA

1. Orçan, Y.,�Thermal Stresses in a Heat Generating Elastic-plastic Cylinder with Free Ends�, Int. J. Engng. Sci. 32 (1994) 6, 883-898.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0BOYUTSUZ YARICAP

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

ekil 3. 77169.6,,,q yük parametresi de erinde 0n (üniform iç õsõ üretimi) ve 1n , 2s (üniform olmayan iç õsõ üretimi) durumlarõ için boyusuz gerilme

bile enlerinin silindir içerisindeki da õlõmõ

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬






2. Gülgeç, M. and Orçan, Y. �Elastic-plastic Deformation of a Heat Generating Tube with Temperature-dependent Yield Stress�, Int. J. Engng. Sci. 38 (2000), 89-106.

3. Orçan, Y. and Gülgeç, M., �Influence of the Temperature Dependence of the Yield Stress on the Stress Distribution in a Tube with Free ends�, J. Thermal Stresses 23 (2000,) 529-547.

4. Gülgeç, M., �Influence of the Temperature Dependence of the Yield Stress on the Stress Distribution in a Heat Generating Elastic-plastic Cylinder�, ZAMM,79 (1999) 3, 210-216.

5. Carslaw, H. S. and Jaeger, J.C., Conduction of Heat in Solids, 2. Ed., London, Oxford, 1959.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0BOYUTSUZ YARICAP

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

ekil 4. 77169.6,,,q yük parametresi de erinde 0n (üniform iç õsõ üretimi) ve 1n , 2s (üniform olmayan iç õsõ üretimi) durumlarõ için boyutsuz deplasman ve

birim ekil de i tirme bile enlerinin silindir içerisindeki da õlõmõ

www.Muhendisim.net

©©©òÓ«¸»²¼··³ò²»¬




Documents

Elasti̇k Plasti̇k Geri̇lme Anali̇zi̇