Slide 1Ordinate el. linije su ugibi grede v
Z
v




Koristimo za odreivanje ugiba i nagiba elastine linije. Bazira se na matematikoj analogiji izmeu diferencijalne jednaine elastine linije
i diferencijalne zavisnosti izmeu napadnog momenta i spoljašnjeg optereenja
zq z
M 2


Znai ugib mozemo odrediti tretirajui desnu stranu jednaine 1 kao optereenje fiktivnog grednog nosaa, pa za njega nacrtati dijagram momenata. Tako dobijene vrednosti momenata su ugibi elastine linije.
.........1
.........2
2
5/5/2020
2
Nagibi su jednaki transverzalnoj sili na fiktivnom nosau zT z
M y


Fiktivni nosa mora da ispuni analogiju graninih uslova Ugibu odgovara momenat a nagibu transverzalna sila
a b c d e
Stvarni nosa vor a Fiktivni nosa
0M0v f
Stvarni nosa
0T0 f
Fiktivni oslonac
vor b
Fiktivni nosa
0M0v f
Stvarni nosa
L=D
Reakcija je sila koja menja vrednost T sile Nema promene T sile nema oslonca
3
Stvarni nosa vor c Fiktivni nosa
0M0v f
Stvarni nosa
Fiktivni oslonac
vor d
Fiktivni nosa
0M0v f
Stvarni nosa
D
L
DL Reakcija je sila koja menja vrednost T sile Ima promene T sile ima oslonac-reakcija
Reakcija je sila koja menja vrednost T sile Ima promene T sile ima oslonac-reakcija
4
5/5/2020
3
5
7.1 Za zadati nosa odrediti ugib vora A i nagibe tangente u takama A i C
Postupak:
1. Na stvarnom nosau nacrtamo dijagram momenata usled spoljašnjeg optereenja
2. Usvojimo i nacrtamo fiktivni nosa
3. Opteretimo fiktivni nosa sa fiktivnim optereenjem odnosno dijagramom momenata iz take 1 sa predznakom minus.
F
L L
4. Vrednost fiktivnog momenta u voru A je vrednost ugiba u voru A
5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila u vorovima A i C je vrednost nagiba u tim vorovima
F
DL
- Fiktivni nosa
- MFL
FL
L L Vf C
Prenesemo dijagram momenata na fiktivni nosa, obrnemo strelice i tako dobijemo fiktivno optereenje
4. Vrednost fiktivnog momenta u voru A je vrednost ugiba u voru A
FLL/2 FLL/2
Potrebno je da odredimo reakcije fiktivnog nosaa
Trougaono podeljeno optereenje zamenimo silama.
2/3L 2/3L 2/3L
2/3L 2/3L 2/3L
5/5/2020
5
Vrednost fiktivnog momenta u voru A je vrednost ugiba u voru A
x
3
DL
Ugib je pozitivan ako se fiktivni momenat poklapa sa pozitivnim smerom momenta
5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila u vorovima A i C je vrednost nagiba u tim vorovima
x
2
pozitivnom smeru T sile
sa pozitivnim smerom T sile
Vrednost Eix se naziva krutost na savijanje i zavisi od materijala grede (E) i njenog poprenog preseka (Ix)
9
A
Pozitivan ugib je ugib na dole
Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru kazaljke na asovniku
5/5/2020
6
7.2 Odrediti metodom fiktivnog nosaa ugib i nagib u voru C
AC D B E z
1) Hi=0
Uslovi ravnotee
kN20V06104V40610;0M)3 BBA
kN0V010VV10;0V)2 ABA
sila.hornema;0H)1 11
12
5/5/2020
7
Prosta greda u sredini sa optereenjem
Konzole na krajevima sa optereenjem
F f A
F f A
F f B
F f B
Q1=202=40 kN
Q2=202/2=20 kN Q2=202/2=20 kN
04V2 3
5 Q2
0M2 3
Mx(z) –momenti usled jedinine sile na mestu traene deformacije

l
0
17
M
MM
l
0
M-ordinata dijagrama momenata usled jedinine sile na mestu teišta dijagrama momenata od spoljašnjeg optereenja
18
M
M
5/5/2020
10
7.3 Odrediti metodom Verešagina ugib i nagib kraja konzole usled dejstva vertikalne sile F na kraju konzole
F
L
1
L
- M
Dijagram momenata od jedinine sile na mestu i u pravcu traenog pomeranja
Ugib kraja konzole
Odreivanje ugiba kraja konzole: Opteretimo nosa sa jedininom silom na mestu traenog pomeranja i u pravcu traenog pomeranja
Zadati nosa
T
Znak pri mnoenju dijagrama: U ovom sluaju oba dijagrama momenata su negativna pa je proizvoda pozitivan - - =+
Zakljuak: Ako su dijagrami sa iste strane proizvod je +, a ako su sa suprotnih strana nulte linije proizvod je -
20
5/5/2020
11
7.4 Odreivanje nagiba kraja konzole: Opteretimo nosa sa jedininim momentom na mestu traenog pomeranja i u pravcu traenog pomeranja
F
L
MM
l
0
Pozitivan ugib je ugib na dole
Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru kretanja kazaljke na asovniku
22
5/5/2020
12
7.5 Odrediti metodom Verešagina ugib u sredini proste grede usled dejstva koncentrisane sile F u sredini grede
Dijagrami momenata usled spoljašnjeg optereenja
F
L
+ M
FL/4
Reakcije u A i B su jednake i vrednost im je F/2
Vrednost momenta u sredini proste grede je F/2l/2=FL/4
23
1
L
1/2 1/2
Reakcije u A i B su jednake i vrednost im je 1/2
Vrednost momenta u sredini proste grede je 1/2L/2=L/4
MM x
24
5/5/2020
13
7.6 Odrediti pomeranje vora C i obrtanje poprenog preseka B nosaa na slici. Takoe odrediti i promenu rastojanja izmeu taaka B i C.
Dato je: F1=10 kN F2=20 kN E=20 MN/cm2 I=3000 cm4
F1=10 kN
F2=20 kN
Crtanje dijagrama momenata
Za rešenje zadatka potrebni su nam samo dijagrami momenata. Odrediemo dijagrame momenata bez odreivanja reakcija oslonaca.
25
Mdesno A=-102-202=-60 kNm
mora imati suprotan smer da bi suma bila O (vor u ravnotei)
izjednaavanje momenata u uglu
26
5/5/2020
14
2
Horizontalno pomeranje vora C
Opteretimo nosa sa jedininom silom na mestu traenog pomeranja. Smer pomeranja pretpostavimo (smer strelice).
1
Odreivanje pomeranja
MM x
1 f
za odreivanje vrednosti integrala koristiemo tablice u kojima su dati obrasci za mnoenje dijagrama
27
Vertikalno pomeranje vora C
Opteretimo nosa sa jedininom silom na mestu traenog pomeranja. Smer pomeranja pretpostavimo (smer strelice).
4
1
Odreivanje pomeranja
MM x
Opteretimo nosa sa jedininim momentom na mestu traenog obrtanja. Smer obrtanja pretpostavimo (smer strelice).
MA=-1 (nema jedinice)
Opteretimo nosa sa jedininim silama u pravcu B-C
Momenti se javljaju samo izmeu sila
Odreivanje pomeranja
MM x
5/5/2020
18
7.7 Za zadati nosa odrediti: a) Dijagrame M, N, T b) Ugib zgloba E EI=const.
q=10 kN/m
q=10 kN/m
0H00H;0H)1 AAi
kN42,51V07V360;0M)3 BBA
kN58,8V042,5160V;0V)2 AAi
Štap A-C N=-8,58sin=-6,86
Štap B-D N=-51,42 Štap D-E N=0 Štap C-D N=0
- 5
8 ,5
vor E TE=0
vor CL ML C=8,583=25,74
vor CD MD C=ML
C
ML D=-20 kNm
MD D=-20 kNm
vor E ME=0
f1=1042/8=20
f2=1022/8=5
x=0,86 Mx=8,58(3+0,86)-100,862/2= Mx=29,42 kNm
Maksimalna vrednost momenta