7/23/2019 4. Grede (1)

1/54

77

Gree su elementi konstrukcija koji (kao i tapovi) imaju jednu dimeziju znaajno vedu o

ostale dvije dimenzije. Za razliku o tapova imenzije poprenog presjeka gree su tako

dizajnirane da mogu da nose opteredenje bono na uzdunu osu gree, to jest, mogu biti

opteredene na savijanje.Gree takoer mogu biti izloene uvijanju i aksijalnom naprezanju.

Gree su najzastupljeniji konstrukcioni element koje se nalaze u velikom broju razliitihveliina i oblika, sa namjenom da nose lateralno opteredenje, a buu dio mehanizma koji

prenosi silu, ili a buu nosede gree koje prvenstveno trpe aksijalni pritisak. Gree mogu

biti promjenjivog ili konstantnog poprenog presjeka, sa pravom ili zakrivljenom osom grede,

sa velikim varijacijama oblika i veliine poprenog presjeka koji mogu biti i stanarizovani.

Konstrukcije ili elementi konstrukcije koji su sastavljeni o vie grea koje su meusobno

spojene zovu se ramovi. Ramovi mogu biti ravanski ili prostorni. Primjeri greda i ramova, kao

i elemenata konstrukcije koji se mogu analizirati kao grede dati su na slici 4.1.

Dimenzija gree koja je znatno veda o ostale vije imenzije naziva se longituinalna

imenzija i oreuje longitudinalni ili aksijalni pravac grede. Pravac normalan na aksijalni

MKE u analizi greda i ramova

7/23/2019 4. Grede (1)

2/54

78

pravac grede zove se transverzalni pravac. Presjek grede sa ravni normalnom na

longituinalni pravac gree naziva se popreni presjek gree. Longituinalnu osu gree in i

skup taaka koje prolaze kroz geometrijsko sreite poprenih presjeka gree.

U narenom poglavlju ate su efinicije presjenih sila u poprenom presjeku gree.Potom

je opisan Euler-Bernoullijev matematski model grede. Izvedena je matrica krutosti KE gredesa va vora i objanjeno je formiranje globalne matrice krutosti sistema.

4.1 Sile u poprenom presjeku grede

Na slici 4.2(a) prikazan je greni nosa po ejstvom opteredenja. Za analizu opteredenja

gree oreuju se presjene sile u poprenom presjeku gree koje se ijele na aksijalne (ili

uzune) i transferzalne (ili poprene) sile i momenti savijanja. Aksijalna sila u poprenompresjeku grede jednaka je algebarskom zbiru svih aksijalnih sila, odnosno projekcija sila na

Slika 4.1 Primjeri greda i ramova u konstrukcijama

7/23/2019 4. Grede (1)

3/54

79

osu koja je paralelna sa uzunom osom gree, sa lijeve ili esne strane poprenog presjeka

gree. Transferzalna sila u poprenom presjeku gree jenaka je sumi svih transferzalnih

sila koje djeluju na gredu, odnosno projekcija sila na osu normalnu na uzunu osu gree, sa

lijeve ili esne strane poprenog presjeka gree. Moment savijanja u poprenom presjeku

grede jednak je algebarskom zbiru momenata spoljanjih silakoje djeluju na grede za taku

poprenog presjeka gree sa lijeve ili esne strane poprenog presjeka gree.

Za analizu naprezanja gree vano je znati i smjer sila koje jeluju u poprenom presjeku

grede. Ovo pitanje oreuje se dogovorom o znaku unutranjih sila. Naprimjer, ako u

poprenom presjeku gree jeluje aksijalna sila koja istee greu ona u poprenom

presjeku djeluje pozitivna aksijalna sila, odnosno negativna vrijednost aksijalne sile u

poprenom presjeku znai a je grea u tom poprenom presjeku izloena sabijanju. Na slici4.3 prikazana je uobiajena konvencija o znaku presjenih sila u poprenom presjeku gree

koja je koriena u aljem tekstu.

Slika 4.2Grea po ejstvom opteredenja (a) i sile u

poprenom presjeku gree

(a) (b)

A Bx dx

A B

dx

Slika 4.3 Dogovor o znacima unutranjih sila u poprenompresjeku grede (a) i aksijalne i transferzalne sile, odnosno spregovi

sila, sa lijeve i esne strane gree koji izazivaju u poprenom

presjeku pozitivne aksijalne i transferzalne sile, odnosno momentesavijanja (b)

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)

4/54

80

Slika 4.4Euler-Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka

Vana veza izmeu momenata savijanja i transferzalnih sila obije se analizom ravnotee

iferencijalno male uine gree prikazane na slici 4.2(b). Iz jenaine , zanemarivanjem diferencijalno malog lana, slijedi relacija

.

Za analizu napona i eformacija gree izloene savijanju karakteristina su va matematska

modela: Euler-Bernoullijev i Timoshenkov model. U narednom poglavlju opisan je Euler-

Bernoullijev matematski model.

4.2 Euler-Bernoullijev matematski model grede

Euler-Bernoullijev model naziva se i klasina teorija gree ili ininjerska (tehnika) teorija

grede. Osnovna pretpostavka u klasinoj teoriji gree je a ravni popreni presjek gree

normalan na longitudinalnu ose grede ostaje ravan i normalan na longitudinalnu osu grede i

nakon deformacije grede (hipoteza ravnih presjeka), slika 4.4.

Posmatrat de se greda koja je izloena samo ejstvu spregova sila koji jeluju u ravnisimetrije grede, slika 4.5. U ovom sluaju opteredenja, transferzalne sile u grei su jenakenuli i kae se a je grea izloena istom savijanju. Na slici se vii a su za atu orjentacijuspregova sila gornja longituinalna vlakna gree izloena sabijanju dok su donja vlakna gredeizloena zatezanju. To znai a postoje vlakna na poprenom presjeku gree koja nisuizloena eformaciji u longituinalnom pravcu gree. Skup ovih vlakana ine neutralnupovrinu, slika 4.5. Linija presjeka neutralne povrine i ravni savijanja zove se elastina linijagrede. Linija presjeka neutralne povrine i nekog poprenog presjeka gree zove seneutralna osa poprenog presjeka.

A

B

A

B

7/23/2019 4. Grede (1)

5/54

81

4.2.1 Normalni naponi u gredi

Dilatacija vlakna ab(slika 4.6(a)) u pravcu

ose koje se nalazi na rastojanju

od neutralne

linije iznosi:

gdje jepoluprenik krivine elastine linije.

(4.1)

y

x

A B

C D

ya b

c d

A'

D'C'

B'

ya' b'

c' d'

Slika 4.6Grea izloena istom savijanju (a) i eformacija greeizloene istom savijanju (b)

(a) (b)

Slika 4.5 Poloaj neutralne povrine, elastine i neutralne linije

grede u odnosu na ravan savijanja grede

Mz

Mz

x

C

neutralna osa

y

z

7/23/2019 4. Grede (1)

6/54

82

Zanemarivanjem napone u gredi, na osnovu generalisanog Hookeovog zakona ( )(vidjetijenaine 2.15), dobija se napon . Imajujudi u viuprethonu jenainu iz izraza (4.1) slijedi:

Vrijednost i raspored napona u takama poprenog presjeka grede mora zadovoljitijenaine ravnotee. Za sistem prikazan na slici 4.7 statike jenaine ravnotee su:

Uvrtavanjem izraza (4.2) u jenainu (4.3) slijedijenaina . Imajudi u viua poluprenik krivine nije funkcija koorinata y i z, za sluaj homogenog materijala

prethona jenaina ima oblik

Jenaina (4.9) bit de zaovoljena samo ako osa prolazi kroz geometrijsko sreitepoprenog presjeka grede, odakle proizilazi da neutralna osa prolazi kroz geometrijsko

sreite poprenog presjeka grede. Na slian nain, jenostavno se okazuje a se uslov

ravnotee at jenainom (4.7) svoi na jenainu

Slika 4.7Analiza statike ravnotee ijela

grede

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

A

xC

y

z

y zdA

x

Mz

7/23/2019 4. Grede (1)

7/54

83

Integral

prestavlja centrifugalni moment inercije povrine poprenog

presjeka gree. Uslov ravnotee at jenainom (4.7), a koji se svodi na izraz (4.10), bit dezaovoljen samo ako je centrifugalni moment inercija povrine poprenog presjeka jenak

nuli. Poznato je a je centrifugalni moment inercije povrine za glavne centralne ose inercije

jenak nuli. Ovo znai a de uslov (4.7) bit zadovoljen samo ako su i glavne centralne oseinercije povrine poprenog presjeka gree.

Koritenjem jenaine (4.2), jenaina (4.8) moe se pisati u obliku . Iz

posljednjejenaine slijei jenaina

gdje aksijalni moment inercije povrine za osu , , predstavlja geometrijskukarakteristiku povrine poprenog presjeka gree. Uvrtavanjem izraza (4.11) u jenainu

(4.2) slijedi izraz za normalni napon u takama ravni poprenog presjeka gree u sljeedem

obliku:

Iz jenaine (4.12) vidi se da se napon mijenja linearno po visini poprenog presjekagrede, to jest , slika (4.8). Treba voiti rauna a izraz za napon u jenaini (4.12)vrijedi za odabrani koordinatni sistem i usvojeni dogovor o znaku momenta savijanja.

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Slika 4.8 Raspored normalnih napona

u takama poprenog presjeka

grede u sluaju savijanja grede.

Mz

xC

y

z

x

x

y

x

7/23/2019 4. Grede (1)

8/54

84

Dominantan kriterij za dizajn greda po pitanju nosivosti su maksimni normalni naponi u

grei. Smiudi naponi, koji de biti analizirani u narenom poglavlju,mogu biti vani po pitanju

nosivosti grea posebno za sluaj kratkih grea.

4.2.2 Smiui naponi u gredi

U prethonom poglavlju izvrena je analiza napona u poprenom presjeku gree za sluaj

istog savijanja, to jest, za sluaj odsutnosti transverzalnih sila u poprenom presjeku gree.

Ovakve situacije u praksi su rijetke i gree su u optem sluaju tako izloene savijanju silama

da u poprenom presjeku gree jeluju transferzalne sile. U sluaju a u ravni savijanja

grede date na slici 4.7 djeluju sile koje izazivaju transferzalne sile u poprenom presjeku

grede, u ovom presjeku javit de se tangencijalni naponi

i

, slika 4.9.

Za razliku o istog savijanja, gje su jenaine ravnotee (4.4) i (4.5) za gredu datu na slici

4.7 bile ientiki zaovoljene, u sluaju savijanja silama ove vije jenaine ravnotee imaju

sljeedi oblik:

gdje izraz

predstavlja sumu svih transferzalnih sila u ravni savijanja sa lijeve strane

grede (slike 4.7 i 4.9), onosno jenak je transferzalnoj sili u poprenom presjeku gree.

Slika 4.9 Komponente vektora napona na povrini poprenogpresjeka gree izloene savijanju silama.

, (4.13)

(4.14)

dAx

C

y

xz

xz

xy

y

7/23/2019 4. Grede (1)

9/54

85

Iz jenaine (4.13) je oigleno a u poprenom presjeku gree izloene savijanju silama

postoje smiudi naponi kao rezultat djelovanja transverzalnih sila. Meutim, na osnovujenaine (4.14) ne moe se zakljuiti a su naponi jenaki nuli u svakoj taki poprenogpresjeka, ved samo a suma svih sila u poprenom presjeku gree koje su rezultat ovih

napona mora biti jednaka nuli (ovo je mogude samo ako napon

mijenja znak na

presjeku).

Postojanje napona u poprenom presjeku gree moe se dokazati jednostavnimeksperimentom. Naprimjer, ukoliko je konzola sastavljena o vie grea meusobno

spojenih samo na mjestu ukljetenja (slika 4.10(a)) opteredena silom kao na slici 4.10(b),

esit de se tokom deformacije relativno klizanje povrina grea u kontaktu. U odsustvu

trenja nede postojati tangencijalni naponi na povrinama kontakta grea. Meutim, u sluaju

da se grede spoje lijepljenjem u povrina kontakta (slika 4.10(c)), oigleno je a de biti

sprijeeno relativno klizanje povrina u kontaktu vije susjene gree , a to de rezultirati

smiudom silom u ljepilu na mjestu spoja greda. Dakle, kaa je rije o homogenoj grei

unutranji otpor materijala deformaciji kao na slici 4.10(b) rezultirat de pojavu tangencijalnih

napona u ravnima , odnosno, u skladu sa stavom o konjugovanosti tangencijalnihnapona, tangencijalnih napona u ravnima kao to je to prikazano na elementu naslici 4.10(d).

Da bi se odredio raspored tangencijalnih napona

u poprenom presjeku gree posmatrat

de se ravnotea elementa iferencijalno male uine koji je prikazan na slici 4.11(b), a

Slika 4.10 Grea kombinovana o vie grea (a), eformacijakombinovane gree kaa gree nisu meusobno vezane (b), ieformacija kombinovane gree kaa su gree vrsto meusobnovezane (c) i napon na elementu ove grede (d)

A

(a) (b)

(c) (d)Element A

7/23/2019 4. Grede (1)

10/54

86

isjeen je iz gree ate na slici 4.11(a).Na elementu na slici 4.11(b) uneseni su samo oni

komponentni naponi koji djeluju u pravcu ose.

Iz statikog uslova ravnotee a suma svih sila koje jeluju na element na slici 4.11(b) mora

biti jenaka nuli slijei sljeeda jenaina:

Koritenjem jenaine (4.12), i veze izmeu momenta savijanja i transferzalne sile u

poprenom presjeku gree , iz jenaine (4.15) slijei izraz za tangencijalni napon

gdje je statiki moment povrine A za teinu osu . Iz izraza (4.16) vidi se da setangencijalni napon u poprenom presjeku gree mijenja sa koordinatom obzirom da sestatiki moment povrine mijenja sa ovom koorinatom kao to se u optem sluajumijenja i irina poprenog presjeka sa koordinatom. Uobiajeno je a se u jenaini(4.16) izostavi znak minus, a statiki moment povrine se rauna uvijek za povrinu ijela

presjaka za koju je pozitivan.

(4.15)

(4.16)

Slika 4.11 Element gree iferencijalno male uine (a) ikomponentni naponi u pravcu ose koji djeluju na elementu (b)

(a) (b)

dA yx

A

A'x

C

y

x

z

xy

y

y

7/23/2019 4. Grede (1)

11/54

87

U sluaju savijanja gree pravougaonog poprenog presjeka ate na slici 4.1 2 koritenjem

jenaine (4.16) jenostavno se okazuje a vrijei sljeedi izraz za tangencijalni napon:

Iz jenaine (4.17) vidi se da se tangencijalni napona u presjeku pravougaone gredemijenja po jenaini kvaratne parabole. Tangencijalni napon jednak je nuli u krajnjimtakama presjeka ( ) to je i oekivano obzirom a je njemu konjugovani napon jer nema tangencijalnog opteredenja u ravnima . Maksimalni tangencijalninapon

je u teine ose (

) gdje iznosi

, odakle se vidi da je maksimalni

tangencijalni napon u poprenom presjeku gree vedi za 50% o vrijednosti napona koja bise obila pretpostavkom o ravnomjernoj raspojeli tangencijalnih napona u poprenog

presjeka grede.

Prilikom izvoenja izraza (4.16) za raspore tangencijalnih napona u poprenom presjekugree pretpostavljeno je a je tangencijalni napon konstantan po irini presjeka (slika4.11(b)), to jest, nije funkcija koorinate. Analitiko rjeenje teorije elastinosti(Timoshenko i Goodier, 1970) za sluaj konzole pravougaonog poprenog presjeka pokazuje

a se ovaj napon mijenja po irini poprenog presjeka, slika 4.12(b), i a je razlika izmeu

maksimalne vrijednosti tangencijalnog napona () i srednje vrijednosti ovog napona()po irini presjeka funkcija onosa irine i visine poprenog presjeka gree. to jemanji odnos

to je pretpostavka o konstantnom tangencijalnom naponu

po irini

presjeka manje tana. Za odnos odnos ()() , to jest, maksimalni

(4.17)

yx

xy

Slika 4.12 Raspored tangencijalnih napona u poprenom presjekugree pravougaonog poprenog presjeka izloene savijanju silama(a) i raspore tangencijalnih napona po irini gree u sklau sateorijom elastinosti (b)

(a) b

h

b

7/23/2019 4. Grede (1)

12/54

88

tangencijalni napon je vedi za 3.3% o prosjenog tangencijalnog napona u teine ose ,za odnos

vrijedi ()() , dok za odnos odnos ()() to znaia je maksimalni napon vedi za oko 40% o srenje vrijenosti ovog napona. Navedeni

onosi napona zavise i o vrijenosti Poissonovog koeficijenta, a pomenute numerike

vrijednosti se odnose za .U prethonom tekstu reeno je a se na osnovu jenaine (4.14) ne moe zakljuiti a su

naponi jenaki nuli u svakoj taki poprenog presjeka, ved samo a suma svih sila upoprenom presjeku gree koje su rezultat ovih napona mora biti jenaka nuli . Rjeenje

teorije elastinosti za sluaj konzole pravougaonog poprenog presjeka pokazuje a su ovi

naponi razliiti o nule i a su za sluaj poprenog presjeka ko kojih je visina veda o irine

mnogo manji od tangencijalnih napona . Za sluaj veoma irokih poprenih presjekagrede odnosa

maksimalni tangencijalni napon

vedi je od maksimalnog

tangencijalnog napona , ok su oba napona veda za preko pet puta o maksimalnognapona dobijenog prema izrazu (4.17) (Timoshenko i Goodier, 1970).4.2.3 Elastina linija grede

Sa stanovita izajna gree vano je poznavati eformisani oblik gree. Za poznavanje

deformisanog oblika grede potrebno je poznavati jenainu elastine linije gree (slika 4.5).

Poluprenik krivine elastine linije gree u sluaju istog savijanja je konstantan i dat je

izrazom (4.11). U sluaju pravog savijanja silama, Euler-Bernulijeva teorija grede, u skladu sa

hipotezom ravnih presjeka, zanemaruje deformacije usljed dejstva tangencijalnih napona u

poprenom presjeku gree, i na osnovu izraz (4.11) moe se, imajudi u viu oznake na slici

4.7, pisati:

gdje poluprenik krivine elastine linije vie nija konstantan i mijenja se sa koordinatom. Usklau sa iferencijalnom geometrijom poluprenik krivine krive u ravni moe se izraunatipoznavajudi jenainu krive na osnovu izraza

(4.18)

(4.19)

7/23/2019 4. Grede (1)

13/54

89

gje je jenaina krive linijeu ravni, onosno u sluaju gree jenaina elastinelinije. Na osnovu izraza (4.19) izraz (4.18) moe se pisati u sljeedem obliku:

Izraz (4.20) prestavlja iferencijalnu jenainu elastine linije gree koja je nelinearna

iferencijalna jenaina rugog rea. Izraz prestavlja nagib elastine linije gree, i u

mnogim sluajevima prilikom izajna gree njegova vrijenost je ograniena. U sluaju kaa

je

izraz (4.20) moe se aproksimirati jenostavnijim izrazom

U sljeedim primjerima oreit de se uz pomod jenaine (4.21) jenaina elastine linije

konzole opteredene koncentrisanom silom i kontinuiranim opteredenjem.

Primjer 4.1

Za konzolu uine i aksijalnog momenta inercije poprenog presjeka za centralnuosu inercije , opteredenu koncentrisanom silom intenziteta kao na slici 4.13(a), potrebno je oreiti jenainu elastine linije. Materijal konzole je

linearno elastian, modula elastinosti .

(4.20)

(4.21)

Slika 4.13 Elastina linija konzole opteredene koncentrisanomsilom (a) i statiki ijagrami za konzolu (b)

(kNm)

(kN)(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)

14/54

90

U proizvoljnom poprenom presjeku gree oreenom koorinatom vrijedi izraz zamoment savijanja . Uvrtavanjem prethonog izraza u jenainu (4.21)slijedi iferencijalna jenaina elastine linije:

Integracijom izraza (4.22) slijei opte rjeenje za elastinu liniju gree u ijem poprenom

presjeku vlada moment savijanja :

Nakon oreivanja integracionih konstante i , koje se oreuju iz graninih uslova, za , elastina linija konzole opteredene na slobonom krajukoncentrisanom silom oreena je sljeedom jenainom:

Maksimalno pomjeranje konzole je na njezinom slobodnom kraju, to jest, za izjenaine (4.24) slijei:

Nagib elastine linije oreen je jenainom

odakle se za dobija nagib na slobodnom kraju konzole:

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

7/23/2019 4. Grede (1)

15/54

91

Primjer 4.2

Za konzolu uine i aksijalnog momenta inercije poprenog presjeka za centralnuosu inercije , opteredenu konstantnim kontinuiranim opteredenjem

kao na slici 4.14, potrebno je oreiti jenainu elastine linije. Materijal

konzole je linearno elastian , modula elastinosti .

U proizvoljnom poprenom presjeku gree oreenom koorinatom vrijedi izraz zamoment savijanja . Uvrtavanjem prethonog izraza u jenainu(4.21) slijedi iferencijalna jenaina elastine linije:

Integracijom izraza (4.28) dobija se opte rjeenje za elastinu liniju gree u ijem

poprenom presjeku vlaa moment savijanja :

Nakon oreivanja integracionih konstanti primjenom graninih uslova, za

, elastina linija konzole opteredene konstantnim kontinuiranim opteredenjem

oreena je sljeedom jenainom:

(4.28)

(4.29)

Slika 4.14 Elastina linija konzole opteredene konstantnimkontinuiranim opteredenjem (a) i statiki ijagrami za konzolu (b)

(kNm)

(kN)

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)

16/54

92

Maksimalno pomjeranje konzole je na njezinom slobodnom kraju. Za

iz jenaine

(4.30) slijedi:

Nagib elastine linije oreen je jenainom

odakle se za dobija nagib na slobodnom kraju konzole:

U prethodna dva primjera izraz za moment savijanja bio je jedinstven za cijeli domen

integracije. Ukoliko se u gree izraz za moment savijanja mijenja na ijelovima gree,

potrebno je greu poijeliti na ijelove (polja) u kojih vrijei jeinstven izra z za moment

savijanja i integraliti iferencijalnu jenainu elastine linije za svako polje gree.

Na osnovu prethona va primjera vii se a se jenaina elastine linije gree mijenja u

gree po jenaini kubne parabole (jenaina (4.24)) ako na polju grede ne djeluje

kontinuirano opteredenje, onosno, u sluaju konstantnog kontinuiranog opteredenja na

polju, elastina linija gree opisana je polinomom etvrtog rea(jenaina (4.30)).

4.3 Matrica krutosti konanog elementa grede

Na slici 4.15 prikazana je grea izloena transferzalnim silama i , i momentimasavijanja i . Grea uine , povrine poprenog presjeka , aksijalnog momentainercije poprenog presjeka gree

za teinu osu paralelnu

osi koja je ujedno i glavna

centralna osa inercije, lei u ravni .

(4.30)

(4.31)

(4.32)

(4.33)

7/23/2019 4. Grede (1)

17/54

93

Da bi se izvela veza izmeu generalisanih sila (koncentrisane sile i spregovi sila) i

generalisanih pomjeranja (translacije vorova i rotacije poprenog presjeka gree u

vorovima) pretpostavit de se a se elastina linija gree mijenja po jenaini kubne

parabole,

Nagib elastine linije obija se iferenciranjem jenaine (4.34),

Nepoznati koeficijenti mogu se izraziti u funkciji pomjeranja i rotacija poprenog presjekakrajeva (vorova) gree iz sljeedeg sistema jenaina:

za

iz jenaine (4.34) slijedi

,za , iz jenaine (4.35) slijedi ,za , iz jenaine (4.34) slijedi

Slika 4.15 Konani elementgree izloene na krajevima silama

(4.34)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

(4.38)

1 2x

y

z

7/23/2019 4. Grede (1)

18/54

94

za izjenaine (4.35) slijedi Sistem jenaina (4.36)-(4.39) prestavlja sistem o 4 jenaine sa 4 nepoznata koeficijentaijim rjeenjem slijei:

Uvrtavanjem jenaina (4.40) u jenainu (4.34) slijedi izraz za ugib grede u funkciji

nepoznatih translatornih pomjeranja vorova gree i rotacija poprenog presjeka grede u

vorovima:

Deformacioni rad sila uslje ejstva normalnog napona u poprenom presjeku gree (slika

4.7 i 4.10()) moe se izraunati na osnovu jenaine (2.26):

gdje je pretpostavljeno a vrijei konstitutivna relacija za linearno elastino tijelo, .Na slici 4.16 prikazana je veza izmeu pomjeranja take u poprenom presjeku grede u

pravcu ose i eformacije elastine linije gree u sklau sa Euler-Bernoullijevom teorijomgrede, prema kojoj ravni presjeci gree normalni na uzunu osu gree ostaju nakon

eformacije ravni i normalni na eformisanu uzunu osu gree . U sluaju malih nagiba

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

7/23/2019 4. Grede (1)

19/54

95

elastine linije , odnosno pomjeranja u pravcu uzune ose gree mogu se izraziti u funkciji ugiba grede koristedi jenainu (4.41):

Na osnovu jenaine (4.43) slijedi:

Uvrtavanjem izraza (4.44) u jenainu (4.42) obija se sljeedi izraz:

A

B

A

B

Slika 4.16 Veza izmeu komponente vektora pomjeranja takena poprenom presjeku gree i eformacije elastine linije gree

{ }

(4.43)

{ }

(4.44)

7/23/2019 4. Grede (1)

20/54

96

gdje je aksijalni moment inercije za glavnu centralnu osu inercije . Nakon integracije ujenaini (4.45) dobija se izraz za eformacioni ra u sljeedem obliku:

Ukupna potencijalna energija sistema za sluaj sistema koji se sastoji o gree i generalisanih

sila u vorovima gree (slika 4.15) jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije

(deformacionom radu) grede i potencijala vanjskog opteredenja u skladu sajenainom (2.27). Potencijal vanjskog opteredenja za greu na slici 4.14 jenak je (vijeti

jenainu 2.28):

Ukupna potencijalna energija za sistem greu i sile u vorovima gree moe se na osnovu

izraza (4.46) i (4.47) pisati u sljeedem obliku:

Prema principu o minimumu ukupne potencijalne energije sistema vrijei sljeeda jenaina

(vidjetijenainu 2.35):

{

}

{ }

(4.45)

B D

(4.46)

(4.47)

(4.48)

(4.49)

7/23/2019 4. Grede (1)

21/54

97

odnosno,

Na osnovu prve o jenaina (4.50) i izraza (4.48) slijedi:

onosno, nakon sreivanja prethodnog izraza

Iz preostale tri jenaine (4.50) slijedejotri jenaine koje aju veze izmeu transferzalnih

sila i momenata savijanja u vorovima gree i generalisanih pomjeranja u tim vorovima:

Treba primijetiti a izrazi na lijevoj strani jenaina (4.52) (4.55) predstavljaju parcijalneizvode potencijalne energije deformacije po generalisanim pomjeranjima (stepenima

sloboe) u vorovima, to jest,

(4.51)

(4.52)

(4.53)

(4.54) (4.55)

(4.50)

(4.57)

(4.56)

7/23/2019 4. Grede (1)

22/54

98

Sistem jenaina (4.52)-(4.55) moe senapisati u matrinom obliku na sljeedi nain:

Sistem jenaina (4.60) izveen je po uslovom a sile i spregovi sila jeluju u vorovima

gree. U sluaju kaa u gree jeluje kontinuirano opteredenje (slika 4.17(a)) potrebno je

u izraz za potencijal vanjskog opteredenja efinisanog jenainom (4.47) oati i lan okontinuiranog opteredenja u sklau sa posljenjim lanom u jenaini (2.28):

Za konstantno kontinuirano opteredenje, , i pretpostavljenu funkciju pomjeranjaefinisanu jenainom (4.34), iz (4.61) slijedi:

[

]

(4.60)

Slika 4.17 Kontinuirano opteredenje na KE gree (a) i njegovoekvivalentno opteredenje na vorove KE (b)

(a) (b)

(4.61)

(4.62)

(4.58)

(4.59)

7/23/2019 4. Grede (1)

23/54

99

U sklau sa prvom o jenaina (4.50), imajudi u viu a je , doprinos od uovojjenaini je na osnovu (4.62)

odakle nakon diferenciranja parametara oreenih jenainama (4.40) slijei:

Ponavljanjem prethonog postupka za preostale tri jenaine (4.50) obijaju se parcijalni

izvoi potencijala kontinuiranog opteredenja za preostala tri stepena sloboe u vorima

grede:

Na osnovu jenaina (4.64) i (4.65) moe se zakljuiti a bi ekvivalentan uinak

kontinuiranog opteredenja u jenainama (4.48) i (4.50) bio ako bi se kontinuirano

opteredenje zamijenilo sistemom koncentrisanih sila i spregova sila u vorovima gree kaoto je prikazano na slici 4.17(b).

Na sljeedim primjerima pokazanaje primjena jenaina (4.60).

Primjer 4.3

Za konzolu opteredenu koncentrisanom silom, atu u primjeru 4.1, potrebno je odrediti

reakcije veze i statike ijagrame iskretizacijom konzole KE gree.

(4.63)

(4.64)

(4.65)

7/23/2019 4. Grede (1)

24/54

100

Na slici 4.18 prikazana je konzola osloboena o veza. U sklau sa oznakama sila na KE grede

prikazanom na slici 4.15 i jenainama (4.60), za vrijednosti transferzalnih sila i momenata

spregova sila za konzolu na slici 4.18 vrijee sljeedi izrazi: , , , . Uvrtavanjem prethonih izraza u sistem jenaina (4.60) obija se sljeedi sistemjenaina:

Prethoni sistem jenaina nije mogude rijeiti ok se ne primijene granini uslovi.

Primjenom graninih uslova, i , posljenje vije jenaine sistema jenaina(4.66) mogu se pisati u sljeedem obliku:

ijim rjeenjem slijei: i to je ientino izrazima (4.25) i (4.27) urjeenju u primjeru 4.1.

Uvrtavanjem u prve vije jenaine sistema jenaina (4.66) graninih uslova i izraunatih

vrijednosti za i slijede reakcije veze:

(4.66)

*

+ *+ *

+ (4.67)

*

+ *

+ *

+

(4.68)

Slika 4.18Konzola osloboena o veza

1

2

7/23/2019 4. Grede (1)

25/54

101

iji rezultati su ientini analitikom rjeenju.

Na osnovu jenaine (4.21) moe se izraunati moment savijanja u poprenom presjeku

grede,

gdje se na osnovu izraza (4.35), , , vidi da se

moment mijenja po jenaini pravca u KE grede. Na osnovu vrijednosti posljednja dva

izraza za koeficijente i u jenainama (4.40) moment u poprenom presjeku KE greemoe se raunati na osnovu sljeedegizraza:

Iz izraza (4.70), za , i , dobija se nakon sreivanja to je taan izraz za moment savijanja u konzole kao to je prikazano nana slici 4.13(b). Transferzalna sila u KE gree jenaka je to je taan izraz zatransferzalnu silu u konzole kao to je prikazano na slici 4.13(b).

Treba primijetiti da se jenaina elastine linije za io gree u koga nema kontinuiranog

opteredenja mijenja po jenaini kubne parabole kao to je to bio sluaj u pr imjeru 4.1 za

konzolu opteredenu koncentrisanom silom (vijeti jenainu 4.24). Prilikom izvoenja

jenaina za KE gree prepostavljeno je polje pomjeranja u obliku kubne parabole

(jenaine (4.34)) te su iz toga razloga rjeenja problema pomodu KE gree jednaka

analitikim rjeenjima u sklau sa teorijom gree.

Primjer 4.4

Za konzolu opteredenu konstantnim kontinuiranim opteredenjem, atu u primjeru 4.2,

potrebno je oreiti reakcije veze i statike ijagrame iskretizacijom konzole KE gree.

Na slici 4.19 prikazana je konzola sa reakcijama veze na mjestu ukljetenja, a kontinuirano

opteredenje zamijenjeno je ekvivalentnim opteredenjem u vorovima KE u sklau sa slikom

4.17(b). U skladu sa oznakama sila na KE grede prikazanom na slici 4.14 i jenainama (4.60)

vrijednosti transferzalnih sila i momenata spregova sila za konzolu na slici 4.17 vrijede

sljeedi izrazi:

,

,

,

. Uvrtavanjem prethonih

izraza u sistem jenaina (4.60) obija se sljeedi sistem jenaina:

(4.69)

{ } (4.70)

7/23/2019 4. Grede (1)

26/54

102

Primjenom graninih uslova, i , posljenje vije jenaine sistema jenaina(4.71) mogu se pisati u sljeedem obliku:

ijim rjeenjem slijei: i to je ientino izrazima (4.31) i (4.33) urjeenju u primjeru 4.2. Vano je primijetiti a su pomjeranja i uglovi rotacije poprenog

presjeka u vorovima KE grede jednaki analitikom rjeenju prikazanom u primjeru 4.2.

Meutim, u skladu sa teorijom grede jenaina elastine linije gree je opisana sa

polinomom etvrtog rea (vijeti jenainu (4.30)), ok je prilikom izvoenja jenaina KE

gree pretpostavljeno polje pomjeranja elastine linije u sklau sa polinom tredeg rea

(vijeti jenainu (4.34)) tako a se polje pomjeranja obijeno pomodu KE gree razlikuje o

analitikog rjeenja izuzev u vorovimaKE grede.

[

]

(4.71)

*

+ *+

(4.72)

Slika 4.19Reakcije veze na konzolu i ekvivalentno opteredenje okonstantnog kontinuiranog opteredenja (a) i statiki ijagrami za

sluaj analitikog rjeenja i rjeenja obijenog MKE sa 1 KE gree(isprekidane linije) (b)

1 2

a

(kNm)

(kN)

(b)

7/23/2019 4. Grede (1)

27/54

103

Uvrtavanjem graninih uslova i izraunatih vrijenosti za i u prve vije jenainesistema jenaina (4.71) slijede reakcije veze:

ije veliine su jednake analitikom rjeenju.

Moment savijanja u poprenom presjeku greemoe se izraunati na osnovu izraza (4.70)

uvrtavanjem vrijenosti pomjeranja u vorovima za , i .Moment savijanja u poprenom presjeku gree je . Za zadanenumerike vrijenosti u primjeru 4.2, za

, i za . Transferzalna sila uKE grede jednaka je . Na slici 4.19(b) dati su statiki ijagrami za sluajanalitikog rjeenja i rjeenja obijenog MKE. Greka numerikog prorauna maksimalnog

napona iznosi oko 17%, ok greka u ijagramu transferzalnih sila iznosi 50%.

Da bi se popravio lo numeriki rezultat prethona analiza de se ponoviti tako a se poveda

stepen iskretizacije, to dese uraditi tako da se u prvom koraku konzola podjeli na dva KE

grede, (Slika 4.20). Na slici 4.20(a) i 4.20(b) prikazana su va konana elementa kojima je

diskretizovana konzola data na slici 4.14. KE 1 ima poetni vor broj 1 i krajnji vor broj 2. KE2 ima poetni vor 2 i krajnji vor 3. Dakle, oba KE imaju zajeniki vor 2.

* + *+ [ ]

(4.73)

Slika 4.20 KE grede broj 1 (a) i KE grede broj 2 (b) kojima jeikretizovana konzola, i sile u vorovima KE broj 1 (c) i KE broj 2 ()

1

1 2

2

2 3

2

32

11 2

(a) (b)

(c) (d)

7/23/2019 4. Grede (1)

28/54

104

Na slikama 4.18(c) i 4.18(d) ucrtane su rekakcije veze ( ) o ukljetenja u voru 1 KE 1,kao i ekvivalentno opteredenje u vorovima KE usljed ejstva kontinuiranog opteredenja. U

voru 2 oba konana elementa nisu ucrtane unutranje sile kojima KE meusobno jeluju

jedan na drugi.

Ukupna potencijalna energija sistema jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije zaKE 1 i 2, i , i potencijala vanjskog opteredenja u sklau sa jenainom(2.27). Potencijal vanjskog opteredenja za KE 1 i 2 na slikama 4.20(c) i 4.20(d) jednak je

(vijeti jenainu 2.28):

Treba primijetiti da u izrazu (4.74) nisu pisani potencijali uslje spregova sila u voru 2 za oba

KE obzirom da imaju istu vrijednost momenta a suprotnih su smjerova. Ukupna potencijalna

energija sistema o va KE i opteredenja na njima moe se napisati u obliku

Prema principu o minimumu ukupne potencijalne energije sistema vrijei sljeeda jenaina

(vidjetijenainu 2.35):

odnosno,

Na osnovu prve o jenaina (4.77) i izraza (4.75) slijedi:

Izraz ved je izveen i dat izrazom (4.56) izuzev to je potrebno uinu zamjeniti sa

:

(4.78)

(4.74)

(4.75)

(4.76) (4.77)

7/23/2019 4. Grede (1)

29/54

105

Potencijalna energija eformacije za KE 2 moese na osnovu izraza (4.46) pisati na sljeedi

nain

gje su u sklau sa globalnim oznakama vorova KE 2 (za koji je poetni vor broj 2 a krajnji

vor broj 3) veliine i ate sljeedim izrazima (vijeti izraz (4.45)):

Na osnovu izraza (4.80) i (4.81) vidi se da potencijalna energija deformacije za KE 2nije funkcija

tako da je

, i na osnovu izraza (4.76) slijei jenaina:

Na osnovu drugog izraza ujenainama (4.77) i izraza (4.75) slijedi:

Prvi izraz u jenaini (4.79) ved je izveden i oreen je jenainom (4.57), drugi izraz je

jednak nuli, jer nije funkcija , dok na osnovu izraza (4.74) vrijedi , onosno iz jenaine (4.83) slijedi:

(4.79)

(4.80)

(4.81)

(4.82)

(4.83)

(4.84)

7/23/2019 4. Grede (1)

30/54

106

Na osnovu tredeg izraza u jenainama (4.77) i izraza (4.75) slijedi:

Prvi izraz u jenaini (4.85) ved je izveden i oreen je jenainom (4.58). Kao to je ved

reeno, KE 2 ima prvi vor broj 2, a rugi vor broj 3, tako a se moe iskoristiti izraz (4.56)

koji je izveen za sluaj KE sa poetnim vorom broj 1 i krajnjim vorom broj 2. Dakle u izrazu

(4.56) indeks 1 je potrebno zamijeniti sa indeksom 2, a indeks 2 sa indeksom 3:

Na osnovu izraza (4.74) vrijedi . Uvrtavanjem posljenjeg izraza kao i izraza(4.58) i (4.86) u jenainu (4.85) slijedi:

Nakon sreivanja posljenjeg izraza obija se

Na osnovu etvrtog izraza u jenainama (4.77) i izraza (4.75) ponavljajudi prethoni

postupak olazi se o jenaine:

Na osnovu petog izraza ujenainama (4.77) ponavljajudi prethoni postupak olazi se o

jenaine:

Na osnovu estog izraza u jenainama (4.77) olazi se o jenaine:

(4.85)

(4.86)

(4.87)

(4.89)

(4.90)

(4.91)

7/23/2019 4. Grede (1)

31/54

107

Sistem jenaina (4.82), (4.84), (4.89)-(4.92) se moe rjeiti nakon zaavanja graninih uslova

.Nakon rjeavanja sistema jenaina (4.89)-(4.92) dobija se:

Jenostavno se moe provjeriti pomodu izraza za analitiko rjeenje (4.30) i (4.32) da sunumeriki obijene vrijenosti za pomjeranje i rotacije poprenih presjeka u vorovima KE u

izrazima (4.93) jenake analitikim vrijednostima.

Moment savijanja u poprenom presjeku KE 1 moe se izraunati na osnovu izraza (4.70)

uvrtavanjem vrijenosti pomjeranja u vorovima za , i u skladu saizrazima (4.93) i zamjenjujudi . Na ovaj nain za obije se moment savijanja u voru1, , a za obija se moment savijanja u voru 2, .Transferzalna sila u KE grede jednaka je

, i nakon diferenciranja izraza (4.70)

* +i uvrtavanjem numerikih vrijenosti za pomjeranjavorova i uglova zaokretanja poprenog presjeka gree u vorovima obija se .Moment savijanja u poprenom presjeku KE 2 dobije se analogno izrazu (4.70) na osnovu

sljeedeg izraza:

U prethodnom izrazu prestavlja koorinatu u KE gree u lokalnom koordinatnomsistemu ije je ishoite u poetnom voru KE (vor 2) a osa je u pravcu ose KE. Na osnovuizraza (4.94) za moment savijanja u voru 2 KE broj 2, , a za obija se moment savijanja u voru 3 , .Transferzalna sila u KE gree obije se iferenciranjem izraza (4.94), * +

, i uvrtavanjem numerikih vrijenosti za pomjeranja vorova i uglove

zaokretanja poprenog presjeka gree u vorovima obija se .

(4.92)

(4.93)

,

-

(4.94)

7/23/2019 4. Grede (1)

32/54

108

Na slici 4.21 dati su statiki ijagrami za sluaj analitikog rjeenja i rjeenja obijenog MKE

iskretizacijom konzole sa 2 KE gree. Greka numerikog prorauna maksimalnog napona

iznosi oko 4%, ok greka za maksimalnu transferzalnu silu iznosi 25%. Vano je primijetiti a

rjeenje obijeno numeriki aje tane vrijednosti za transferzalne sile na polovini KE.

Da bi se obilo jo tanije numeriko rjeenje, konzola je podijeljena na deset KE grede.

Proraun je proveen pomodu softverskog paketa ADINA. Na slici 4.22 prikazani su rezultati

prorauna statikih ijagrama obijenih diskretizacijom konzole sa 10 KE. Vidi se da su

rezultati numerikog prorauna veoma bliski analitikim vrijenostima.

Slika 4.22 Statiki ijagrami za sluaj konzole opteredenekontinuiranim opteredenjem obijeni pojelom konzole na esetKE i prikazani u post-procesoru softverskog paketa ADINA

Slika 4.21 Uporeni rezultati analitikog i numerikog proraunadiskretizacijom konzole sa 2 KE grede za moment savijanja (a) i

transferzalnu silu (b) u poprenom presjeku gree

(a) b

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 0.5 1 1.5 2

M(Nm)

x(m)

Analitiko

rjeenje

MKE 2 KE0

500

1000

1500

2000

0 0.5 1 1.5 2

FT

(N)

x(m)

Analitiko

rjeenje

MKE 2 KE

7/23/2019 4. Grede (1)

33/54

109

4.4 Matrica krutosti konanog elementa grede u globalnom

koordinatnom sistemu i matrica krutosti sistema

U prethonom poglavlju izveene su jenaine (4.60) koje aju vezu izmeu pomjeranja i

rotacija poprenog presjeka grede u njezinim vorovima i sila koje jeluju u tim vorovima.Jenaine su izveene za sluaj gree prikazane na slici 4.15, koja je leala u ravni , a osagrede se podudarala sa jednom od osa globalnog koordinatnog sistema. Potrebno je izvesti

ovu vezu za sluaj gree prikazane na slici 4.23 gdje su ose lokalnog koordinatnogsistema vezanog za KE grede. Osa je u pravcu ose grede, dok se ose podudaraju sapravcima glavnih centralnih osa inercije poprenog presjeka gree.

Jenaine (4.60) imaju za KE na slici 4.23 sljeedioblik:

gdje su i pomjeranja vorova 1 i 2 u pravcu ose a i komponente sila uvorovima 1 i 2 u pravcu ose . Matrica krutosti KE grede oreuje vezu izmeutransferzalnih pomjeranja i rotacija poprenih presjeka gree i transferzalnih sila i momenata

savijanja u vorovima gree. Da bi se u matricu krutosti KE gree ukljuile i aksijalne sile

onosno pomjeranja iskoristit de se veza izmeu aksijalnih sila u vorovima tapa i

pomjeranja vorova u pravcu ose tapa,to je efinisano sistemom jenaina (3.11) ili (3.47)

koje su izveene za sluaj KE tapa:

(4.95)

Slika 4.23 Konani elementgrede, pomjeranja i komponente sila uvorovima u lokalnom koorinatnom sistemu

1

2

7/23/2019 4. Grede (1)

34/54

110

Sistemijenaina (4.95) i (4.96) mogu se napisati zajeno u sljeedem obliku:

gdje je matrica krutosti KE gree u lokalnom koorinatnom sistemu, koja aje vezu izmeugeneralisanih pomjeranja u vorovima KE i sila koje jeluju u voru. Matrica vektor kolona saripo tri stepena slobode (dvije translacije i jednu rotaciju) za svaki vor tako a konani element gree

u ravni ima ukupno est stepeni sloboe.

Sistemom jenaina (3.49) oreena je veza izmeu komponenti pomjeranja u vorovima KE

pisanim u loklnom i globalnom koorinatnom sistemu. Za sluaj KE gree veza izmeu

pomjeranja u vorovima u lokalnom i globalnom koorinatnom sistemu oreena je

sljeedim sistemom jenaina:

gdje u matrici transformacija dijagonalni elementi koji su jednaki jedinici odgovarajutransformaciji uglova rotacije. Pri zadatoj rotaciji koordinatnog sistema vrijede izrazi:

i . Kao to je matricom transformacije oreena veza izmeu komponenti vektora

(4.98)

* + (4.96)

(4.97)

[

]

,

[

]

[

]

7/23/2019 4. Grede (1)

35/54

111

pomjeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu, , istom matricomjeoreena veza izmeu komponenti vektora sila u lokalnom i globalnom koordinatnom

sistemu, , gdje je .Imajudi u viu vezu izmeu komponenti vektora pomjeranja i sila u lokalnom i globalnom

koordinatnom sistemu, sistem jenaina (4.97) moe se pisati u obliku:

Mnoenjem obje strane sistema jenaina (4.99) sa lijeve strane sa slijedi:

Jenostavno se moe provjeriti a vrijei jenakost . Uvoenjem smjene

sistem jenaina (4.100) moe se pisati u obliku:

gdje matrica krutosti KE grede u globalnom koordinatnom sistemu oreuje vezu izmeukomponenti vektora pomjeranja i komponenti vektora sila u globalnom koordinatnom

sistemu u vorovima grede.

U sluaju analize ramova globalna matrica krutosti formira se kao zbir matrica krutosti KE

grede kojima je diskretizovan ram. Matrica krutosti sistema za sluaj rama je simetrinakvaratna matrica rea jenaka proizvou broja vorova i stepeni sloboe po voru.

Formiranje globalne matrice krutosti sistema bide objanjeno na sljeedem primjeru.

Primjer 4.5

Za konstrukciju sastavljenu od grenih nosaa i opteredenu silom intenziteta F= 10 kN kao

na slici 4.24(a) potrebno je odrediti pomjeranje konstrukcije na mjestu dejstva sile. Povrina

poprenog presjeka greda je A = 5 cm2, a aksijalni centralni moment inercije poprenog

presjeka greda . Duine grea su i , a modulelastinosti materijala o kojeg su napravljene grede E= 2105MPa.

(4.99)

(4.100)

(4.102)

(4.101)

7/23/2019 4. Grede (1)

36/54

112

Na slici 4.24(b) prikazana je konstrukcija sa reakcijama veze u osloncima i podjelom na dva

konana elementa gree. Konani element broj 1 ima poetni vor 1 i krajnji vor broj 2. Za

konani element broj 2 usvojit dese a je poetni vor broj 3 a krajnji vor broj 2.

Veza izmeu sila i stepeni sloboe u vorovima KE 1 moe se na osnovi izraza (4.97) pisati u

sljeedem obliku:

gdje su sa , i oznaeni intenziteti sila i moment sprega sila u voru 2 konanogelementa 1. Obzirom da su ose lokalnog koordinatnog sistema KE 1 paralelne s osama

globalnog koordinatnog sistema, matrica transformacija (vijeti jenaine (4.98)) jejeinina matricatako a iz jenaine (4.101) slijei a je globalna matrica krutosti za KE 1

jednaka matrici krutosti KE 1 u lokalnom koordinatnom sistemu, to jest, .Uvrtavanjem vrijenosti za uinu KE1, povrinu poprenog presjeka, aksijalnog momenta

inercije, i moula elastinosti u sistem jenaina (4.103) obija se sljeedi sistem jenaina:

FA B

C

Slika 4.24 Konstrukcija sastavljena od grenih nosaa (a) idiskretizacija konstrukcije sa 2 KE grede i reakcije veze (b)

(a) (b)

1 2

F

2

3

1

(4.103)

[

]

[

],

7/23/2019 4. Grede (1)

37/54

113

100 0 0 -100 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4

-100 0 0 100 0 0

0 -2.4 -1.2 0 2.4 -1.2

0 1.2 0.4 0 -1.2 0.8

Veza izmeu sila i stepeni sloboe u vorovima KE 2 moe se na osnovi izraza (4.97) pisati u

sljeedem obliku:

gdje su sa , i oznaeni intenziteti sila i moment sprega sila u voru 2 konanogelementa 2. Nakon uvrtavanja numerikih vrijenosti u matricu krutosti sistem jenaina(4.105) ima sljeedi oblik:

57.735 0 0 -57.74 0 0

0 0.4619 0.4 0 -0.462 0.4

0 0.4 0.4619 0 -0.4 0.2309

-57.74 0 0 57.735 0 0

0 -0.462 -0.4 0 0.4619 -0.4

0 0.4 0.2309 0 -0.4 0.4619

Lokalna osa KE 2 usmjerena je o vora 3 prema voru 2 ovog elementa i grai sa globalnom

osom ugao od kojim je oreena matrica transformacija . Globalna matrica krutostiza KE 2 slijei na osnovu jenaine (4.101):

(4.104)

(4.105)

[

],

(4.106)

7/23/2019 4. Grede (1)

38/54

114

0 - 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 - 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

57.735 0 0 -57.74 0 0

0 0.4619 0.4 0 -0.462 0.4

0 0.4 0.4619 0 -0.4 0.2309

-57.74 0 0 57.735 0 0

0 -0.462 -0.4 0 0.4619 -0.4

0 0.4 0.2309 0 -0.4 0.4619

0 1 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 1

tako a sistem jenaina (4.102) za KE 2 ima sljeedi oblik:

0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 57.735 0 0 -57.74 0

-0.4 0 0.4619 0.4 0 0.2309

-0.462 0 0.4 0.4619 0 0.4

0 -57.74 0 0 57.735 0

-0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

Kada su poznate matrice krutosti KE kojim je diskretizovana konstrukcija formira se globalna

matrica krutosti sistema. Osnovni principi za formiranje matrice krutosti sistema ved su

objanjeni u poglavlju 3.3 za sluaj formiranja matrice krutosti pri analizi reetki. Obzirom da

je matrica krutosti sistema kvaratna matrica rea jenakog proizvou broja vorova i broja

stepeni sloboe po voru, za ovaj primjer globalna matrica krutosti sistema ima (prije

primjene graninih uslova) tri vora i tri stepena sloboe po voru, onosno, rea je 9x9.

Globalna matrica krutosti formira se kao zbir matrica krutosti KE grede . Potrebno je voditirauna da se ogovarajude vrste u matrici krutosti KE koje ogovaraju izvodima po pojedinim

stepenima slobode kretanja (odnosno sili u pojeinom voru) sabiraju sa pripaajudom

vrstom u globalnoj matrici krutosti sistema. Naprimjer, u sistemu jenaina(4.109) u prvoj

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

(4.107)

[]

(4.108)

[

]

(4.109)

7/23/2019 4. Grede (1)

39/54

115

jenaini u sistemu jenaina izraz sa lijeve strane jenakosti prestavlja izvod potencijalne

energije sistema po stepenu slobode u voru 1, a sa esne strane vrijenost sile u tomvoru u pravcu pomjeranjana (u pravcu ose). Prva jenaina u sistemu jenaina(4.104), koja se odnosi na KE 1, predstavlja izvod potencijalne energije KE 1 po pomjeranju i ova jenaina se sabira sa prvom o jenaina (4.109). Po istom principu se sabiraju i ostale

jenaine sistema (4.104), onosno pojeini elementi matrice krutosti, sa ogovarajudim

elementima globalne matrice krutosti u sistemu jenaina (4.109):

100 0 0 -100 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0

-100 0 0 100 0 0 0 0 0

0 -2.4 -1.2 0 2.4 -1.2 0 0 0

0 1.2 0.4 0 -1.2 0.8 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ponavljanjem prethodnog postupka, elementi matrice krutosti KE 2 koji su dati u sistemu

jenaina (4.108) sabiraju se sa ogovarajudim elementima globalne matrice krutosti:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.4619 0 0.4 -0.462 0 0.4

0 0 0 0 57.735 0 0 -57.74 0

0 0 0 0.4 0 0.4619 -0.4 0.2309 0.2309

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

Prilikom sabiranja pojedinih elemanata matrice krutosti KE 2 sa globalnom matricom krutosti

potrebno je voiti rauna o reosljeu pojeinih pomjeranja u matrici vektor koloni

pomjeranja u sistemu jenaina (4.108) to se jenostavno usklauje sa matricom vektor

kolonom u sistemu (4.111) zamjenom pojedinih kolona u sistemu (4.108).

Sabiranjem sistema jenaina (4.110) i (4.111) obija se sistem jenaina u kojem

predstavlja globalnu matricu krutosti sistema.

(4.110)

[

]

(4.111)

7/23/2019 4. Grede (1)

40/54

116

100 0 0 -100 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0

-100 0 0 100.46 0 0.4 -0.462 0 0.4

0 -2.4 -1.2 0 60.135 -1.2 0 -57.74 0

0 1.2 0.4 0.4 -1.2 1.2619 -0.4 0.2309 0.2309

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

Prilikom formiranja sistema jenaina (4.110) i (4.111) izostavljene su sile i momentispregova sila , , , , i koji djeluju u voru 2 oba konana elementa. Ove silei momenti spregova sila prestavljaju unutranje sile kojima konani elementi jeluju jean

na rugi preko vora 2 i mausobno se ponitavaju. U voru 2 konstrukcije jeluju vanjske

sile: , i . Sistem jenaina (4.112) mogude je rijeiti tekprimjenom geometrijskih graninih uslova. Na mjestima ukljetenja u takama A i C (slika

4.24) vrijedi:== = == . Imajudi u viu granine uslove, sistem jenaina(4.112) svoi se na sljeedi sistem jenaina (markiran u sistemu jenaina (4.112)):

100.46 0 0.4

0 60.135 -1.2

0.4 -1.2 1.2619

Rjeenje sistema jenaina (4.113) je: , , .Nakon to su oreena pomjeranja u voru 2, iz prve tri jenaine sistema (4.112) iposljenje tri jenaine ovog sistema oreuju se rekacije veze , , , , i uosloncima A i C (vidjeti sliku 4.24(b)).

Na slici 4.25 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja (rezultati obraeni u post-procesoru ADINA softvera). Na

slici 4.25(b) se vidi da intenzitet aksijalne sila u vertikalnoj gredi iznosi 9787 N, odakle se da

zakljuiti a vedinu opteredenja o 10000 N nosi ova grea. Maksimalni moment savijanja je

u horizontalnoj gredi i iznosu 138.9 Nm.

(4.112)

(4.113)

7/23/2019 4. Grede (1)

41/54

117

Primjer 4.6

Za konstrukciju sastavljenu od tri grede ije se ose sijeku u napanoj taki sile intenziteta F=

10 kN kao na slici 4.26(a) potrebno je odrediti pomjeranje konstrukcije na mjestu dejstva

sile. Povrina poprenog presjeka greda je A = 5 cm2, a aksijalni centralni moment inercije

poprenog presjeka grea . Duine grea su , i , a moul elastinosti materijala o kojeg su napravljene grede E= 2105MPa.

Slika 4.25Uvedana eformacija grea (a), ijagram aksijalnih sila(b) i dijagram momenata savijanja (c)

(a) (b) (c)

Slika 4.26 Konstrukcija sastavljena o grenih nosaa (a) idiskretizacija konstrukcijena KE grede i reakcije veze (b)

A B

C

(a) (b)

F

1 2

F

2

3

1

43

D

7/23/2019 4. Grede (1)

42/54

118

Na slici 4.26(b) prikazana je konstrukcija sa reakcijama veze u osloncima i podjelom na tri

konana elementa gree. Konani element broj 1 ima poetni vor 1 i krajnji vor broj 2. Za

konani element broj 2 usvojit dese a je poetni vor broj 3 a krajnji vor broj 2 , dok se za

KE broj 3 usvaja za poetni vor broj 4 a krajnji vor broj 2.

Za razliku od prethodnog primjera u ovom primjeru dodata je greda BD. Za analizu problemapotrebno je dodatno analizirati samo doprinos globalnoj matrici krutosti KE broj 3. Veza

izmeu sila i stepeni sloboe u vorovima KE 3 moe se na osnovi izraza (4.97) pisati u

sljeedem obliku:

gdje su sa

,

i

oznaeni intenziteti sila i moment sprega sila u voru 2 konanog

elementa 3. Nakon uvrtavanja numerikih vrijenosti u matricu krutosti sistem jenaina(4.114) ima sljeedi oblik:50 0 0 -50 0 0

0 0.3 0.3 0 -0.3 0.3

0 0.3 0.4 0 -0.3 0.2

-50 0 0 50 0 0

0 -0.3 -0.3 0 0.3 -0.3

0 0.3 0.2 0 -0.3 0.4

Lokalna osa KE 3 usmjerena je o vora 4 prema voru 2 ovog elementa i grai sa globalnom

osom ugao od kojim je oreena matrica transformacija (vidjeti izraz (4.98)).Globalna matrica krutosti za KE 3 slijei na osnovu jenaine (4.101):

(4.114)

[

]

,

[

]

[

]

(4.115)

7/23/2019 4. Grede (1)

43/54

119

12.725 21.521 -0.26 -12.73 -21.52 -0.26

21.521 37.575 0.15 -21.52 -37.58 0.15

-0.26 0.15 0.4 0.2598 -0.15 0.2

-12.73 -21.52 0.2598 12.725 21.521 0.2598

-21.52 -37.58 -0.15 21.521 37.575 -0.15

-0.26 0.15 0.2 0.2598 -0.15 0.4

Elementi matrice krutosti konanog elementa 3 koji su ati u sistemu jenaina (4.116)sabiraju se sa ogovarajudim elementima globalne matrice krutosti koja je za izabranu

dikretizaciju problema sa 4 vora reda 12x12:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 12.725 21.521 0.2598 0 0 0 -12.73 -21.52 0.2598

0 0 0 21.521 37.575 -0.15 0 0 0 -21.52 -37.58 -0.15

0 0 0 0.2598 -0.15 0.4 0 0 0 -0.26 0.15 0.2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -12.73 -21.52 -0.26 0 0 0 12.725 21.521 -0.26

0 0 0 -21.52 -37.58 0.15 0 0 0 21.521 37.575 0.15

0 0 0 0.2598 -0.15 0.2 0 0 0 -0.26 0.15 0.4

Doprinos globalnoj matrici krutosti KE 1 i 2 ved je analiziran u prethonom primjeru i opisan

sistemom jenaina (4.112). Da bi se uzeo njihov doprinos u datom zadatku potrebno je

samo proiriti globalnu matricu krutosti u sistemu jenaina (4.112) sa tri oatne vrste i

kolone a bi uzeli u obzir tri oatna stepena sloboe vora 4:

100 0 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0 0 0 0

-100 0 0 100.46 0 0.4 -0.462 0 0.4 0 0 0

0 -2.4 -1.2 0 60.135 -1.2 0 -57.74 0 0 0 0

0 1.2 0.4 0.4 -1.2 1.2619 -0.4 0.2309 0.2309 0 0 0

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4 0 0 0

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0 0 0 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(4.116)

[

]

(4.117)

[

]

(4.118)

7/23/2019 4. Grede (1)

44/54

120

Sabiranjem globalnih matrica krutosti sistema u jenainama (4.117) i (4.118) slijei globalna

matrica sistema za sistem o 3 KE i opteredenjem kao na slici 4.26(b):

100 0 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0 0 0 0

-100 0 0 113.19 21.521 0.6598 -0.462 0 0.4 -12.73 -21.52 0.2598

0 -2.4 -1.2 21.521 97.71 -1.35 0 -57.74 0 -21.52 - 37.58 -0.15

0 1.2 0.4 0.6598 -1.35 1.6619 -0.4 0.2309 0.2309 -0.26 0.15 0.2

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4 0 0 0

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0 0 0 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619 0 0 0

0 0 0 -12.73 -21.52 -0.26 0 0 0 12.725 21.521 -0.26

0 0 0 -21.52 -37.58 0.15 0 0 0 21.521 37.575 0 .15

0 0 0 0.2598 -0.15 0.2 0 0 0 -0.26 0.15 0.4

U voru 2 konstrukcije jeluju vanjske sile: , i . Sistemjenaina (4.119) mogude je rijeiti nakon primjene geometrijskih graninih uslova. Na

mjestima ukljetenja u takama A i C (slika 4.26) vrijedi:== = == ==

. Imajudi u viu granine uslove, sistem jenaina (4.119) svoi se na sljeedi sistem

jenaina (koji je oznaen u sistemu jenaina (4.119)):

113.19 21.521 0.6598

21.521 97.71 -1.35

0.6598 -1.35 1.6619

Rjeenje sistema jenaina (4.113) je: , , .Nakon to su oreena pomjeranja u voru 2, iz prve tri jenaine sistema (4.119) iposljednjih estjenaina ovog sistema oreuju se rekacije veze , , , , , ,, i u osloncima A, C i D.Na slici 4.27 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja. Na slici 4.27(b) se vidi da intenzitet aksijalne sila u

vertikalnoj gredi iznosi 6254.8 N, dok je maksimalni moment savijanja u horizontalnoj gredi i

iznosu 91.44 Nm.

(4.119)

(4.120)

7/23/2019 4. Grede (1)

45/54

121

Na slici 4.28 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagram aksijalnih

sila za sluaj kaa je isti problem rjeavan iskretizacijom sa KE tapa. Obzirom a KE tapa

moe a bue optereden samo aksijalnim silama i nema mogudnost a prenese momen t

savijanja podrazumijevaju se zglobne veze u svim vorovima.Ovakav problem ved je rijeen

u primjeru 3.3 (slika 3.15), gje su opteredenje, geometrija problema ukljuujudi popreni

presjek tapova i moul elastinosti bilijednaki kao u ovom primjeru analiziranom KE grede.

Razlika u maksimalnoj aksijalnoj sili izmeu rjeenja obijenih analizom problema KE grea i

KE tapova je oko 1.4%. Rjeenje iskretizacijom KE tapova takoe aje vede maksimalno

pomjeranje za oko 1.4%.

U analizi problema sa KE grede postojali su i momenti savijanja (slika 4.27(c)) koji su

rezultirali normalnim naponima u poprenom presjeku. Ovi naponi su za zaate vrijenosti

povrine poprenog presjeka i aksijalnog momenta inercije za sluaj pravougaonogpoprenog presjeka bili istog rea veliine kao naponi uslje aksijalnih sila. U ovom sluaju

Slika 4.28 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) za sluaj analize konstrukcije KE tapa

6339.8 N

2113.3 N

4226.5 N

(b)(a)

Slika 4.27 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i dijagram momenata savijanja (c)

(a) (b) (c)

7/23/2019 4. Grede (1)

46/54

122

odnos visine poprenog presjeka i uine gree bio je 1:6.5. Na slici 4.29 prikazani su

rezultati za isti problem za sluaj pravougaonog poprenog presjeka imenzija 1x5 cm. U

ovom sluaju povrina poprenog presjeka grea je ostala ista, ok je aksijalni moment

inercije bio

za raliku o prethonog sluaja kaa je iznosio

. U ovom sluaju gree su bile mnogo vitkije i onos visine poprenogpresjeka i uine gree bio je 1:20.Na slici 4.29 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja za posljenji sluaj. Razlika u maksimalnoj aksijalnoj sili kao

i pomjeranju izmeu rjeenja obijenih analizom problema KE grea i KE tapova je u ovom

sluaju ispo 0.15%. Maksimalni moment savijanja u ovom sluaju iznosi 9.646 Nm, to je za

oko deset puta manje nego sa prethodnim poprenim presjekom, to znai a su i normalni

naponi uslje momenata savijanja eset puta manji, onosno manji su za re veliine od

napona usljed aksijalnih sila.

U narenom poglavlju analizirat de se primjena graninih uslova za sluaj iskretizacije

konstrukcije KE grede.

4.5 Granini uslovi za sluaj diskretizacije KE grede

Na slici 4.30 ati su najedi sluajevi veza izmeu grea ili konstrukcija o grea na primjeru

konstrukcije date u primjeru 4.5. Granini uslovi za sluaj ukljetenja ved su objanjeni u

primjeru 4.5, gje su u voru KE gree na mjestu ukljeenja vrijenosti sve tri varijable,

kojima ogovaraju tri stepena sloboe, izjenaene sa nulom. Ovo znai a je

pretpostavljeno da veza ukljetenja ne ozvoljava translaciju vora u pravcu osa globalnog

Slika 4.29 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i dijagram momenata savijanja (c)

6330.8 N

(a) (b) (c)

2113.6

4219.7 N

7/23/2019 4. Grede (1)

47/54

123

koorinatnog sistema, niti ozvoljava ugaono zeokretanje poprenog presjeka gree na

mjestu ukljetenja.

Na slici 4.30(a) prikazana je ematski veza u vorovima 1 i 3 koja prestavlja nepokretni

oslonac. Nepokretni oslonac sprijeava translatorne stepene sloboe kretanja, ok

dozvoljava rotaciju grede (ne prua otpor rotaciji oko ose na mjestu zglobne veze. Dakle,za dati primjer geometrijski granini uslovi su . Za razliku odproblema datog na slici 4.24, gje su na mjestima vorova 1 i 3 bila ukljetenja, i koji je imao

ukupno tri stepena slobode kretanja, u primjeru na slici 4.30(a) postoji pet stepeni slobode, Obzirom a se preko zglobne veze ne moe prenijeti moment savijanja,momenti savijanja u vorovima 1 i 3 jenaki su nuli, to jest, (vidjeti sliku4.24(b).

Primjenom prethonih graninih uslova na sistem jenaina (4.112) obija se sistem o pet

jenaina sa 5 nepoznatih veliina. Ovaj sistem jenaina je markiran u izrazima (4.121) (na

sljeedoj strani). U ovom sistemu u matrici vektor koloni opteredenja vrijedi: , , i .100 0 0 -100 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0

-100 0 0 100.46 0 0.4 -0.462 0 0.4

0 -2.4 -1.2 0 60.135 -1.2 0 -57.74 0

0 1.2 0.4 0.4 -1.2 1.2619 -0.4 0.2309 0.2309

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

(4.121)

F FF1 1 12 2 2

3 3 3

(a) (c)(b)

Slika 4.30Primjeri veza za KE grede

7/23/2019 4. Grede (1)

48/54

124

Na slici 4.31 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja za sluaj veza atih na slici 4.30(a). Na slici se vidi da su

momenti savijanja na mjestu zglobnih veza jednaki nuli.

Na slici 4.30(b) prikazana je ematski veza u voru 1 koja prestavlja pokretni oslonac.Pokretni oslonac sprijeava translatorni stepen sloboe kretanja u pravcu normalnom na

pravac kretanja oslonca, ok ne prua otpor kretanju u pravcu klizanja i rotaciji grede na

mjestu zglobne veze. Dakle, za dati primjer geometrijski granini uslovi u voru 1 su ok za opteredenje u voru 1 u matrici koloni opteredenja vrijei i .Na slici 4.32 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja za sluaj veza atih na slici 4.30(b). Na slici se vidi da grede

nisu izloene savijanju (momenti savijanja su jenaki nuli) i a cjelokupno opteredenjenosi

vertikalna greda to je u sklau sa graninim uslovima.

Modeliranje zglobne veze prikazane na slici 4.30(c), kojom je horizontalna greda vezana za

ostatak konstrukcije (u ovom sluaju samo za vertikalni tap), zahtijeva posebnu panju. Za

razliku o vrste veze izmeu grea kaa je ugao zaokretanja poprenog presjeka obje gree

jednak na mjestu spoja, u ovom sluaju uglovi zaokretanja poprenih presjeka vije gree na

mjestu vora 2 su razliiti. Ovo znai a sistem u voru va ima etiri stepena sloboe: , gdje je sa oznaen ugao zaokretanja poprenog presjeka horizontalnegree u voru 2, dok je sa

oznaen ugao zaokretanja poprenog presjeka vertikalne gree

u voru 2. U ovom sluaju se sistem jenaina (4.104), kojim je uz pomod matrice krutosti KE

Slika 4.31 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za sluajproblema na slici 4.30(a)

(a) (b) (c)

7/23/2019 4. Grede (1)

49/54

125

1 efinisana veza izmeu sila u vorovima ovog konanog elementa i stepena sloboeu ovim

vorovima, moe pisati u sljeedem obliku:

100 0 0 -100 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4

-100 0 0 100 0 0

0 -2.4 -1.2 0 2.4 -1.2

0 1.2 0.4 0 -1.2 0.8

gdje je zamijenjeno sa a moment savijanja u voru 2 je u ovom primjeru jednaknuli, jer preko zglobne veze ne moe a se prenese moment savijanjana gredu od ostatka

konstrukcije sa kojom je u kontaktu preko vora 2. Ostatak postupka za rjeavanje ovog

problema je isti kao to je to pokazano u primjeru 4.5 stim to je u ovom sluaju povedan re

globalne matrice krutosti za jean. Efikasniji pristup je a se zari re globalne matrice

krutosti kao u problemu bez zgloba, to je mogude na nain a se eliminie varijabla

iz

sistema jenaina (4.104). Naime, posljenja jenaina je nasta la iz izraza .Potencijalna energija eformacije ostalih konanih elemenata kojim je iskretizovana

konstrukcija ne zavisi od varijable tako a se ova varijabla vie ne pojavljuje u matricamakrutosti ovih konanih elemenata na osnovu kojih se formira globalna matrica krutosti.

Na slici 4.33 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statiki ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja za sluaj unutranjeg zgloba kao na slici 4.3 0(c). Na slici

4.33(a) se vidi da dolazi do promjene pravog ugla na spoju vije gree uslje razliitih uglova

rotacije poprenih presjeka grea na mjestu spoja. Na slici 4.33(c) se takoe vii a jemoment savijanja na mjestu zglobne veze jednak nuli.

Slika 4.32 Uvedana eformacija konstrukcije (a) i ijagramaksijalnih sila (b) i za sluaj problema na slici 4.30(b) (prikaz uADINA postprocesoru)

(4.104)

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)

50/54

126

Na slian nain kako je moeliran unutranji zglob (spoj koji ne prenosi moment savijanja)

mogu se moelirati i veze grea koje ne prenose transferzalne ili aksijalne sile izmeu grea

u kontaktu.

Na slici 4.34(a) prikazan je problem koji posjeduje ravan simetrije po osnovu geometrije,

materijala, opteredenja i geometrijskih graninih uslova. Za analizu ovog problema dovoljnoje razmatrati samo io konstrukcije sa jene strane ravni simetrije uz ogovarajude granine

uslove na mjestu ravni simetrije. U ravni simetrije sve take poprenog presjeka A (slika

4.34(b)) ostat de i nakon eformacije u ravni simetrije, to jest, pomjeranja svih taaka u

poprenom presjeku u pravcu ose bide jenaka nuli , a time de i rotacijapoprenog presjaka oko ose normale na ravan konstrukcijebiti jednaka nuli .

Slika 4.33 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za sluajproblema na slici 4.30(c)

(a) (b) (c)

Slika 4.34 Konstrukcija sa osobinom simetrije (a) i modeliranje

konstrukcije tako da se iskoristi osobina simetrije (b)

A

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)

51/54

127

Na slikama 4.35 i 4.36 prikazani su rezultati prorauna eformacija, aksijalnih sila i

momenata savijanja za sluaj moeliranja cijele konstrukcije i dijela konstrukcije sa jedne

strane ravni simetrije. Na slikama se vidi da oba modela daju jednake rezulate.

4.6 Konani element grede izloene uvijanju

Na slici 4.37 prikazana je grea krunog poprenog presjeka po ejstvom momenata

uvijanja.

Slika 4.35 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za sluajproblema na slici 4.34(a)

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

Slika 4.36 Uvedana eformacija konstrukcije (a), dijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za sluajproblema na slici 4.34(b)

7/23/2019 4. Grede (1)

52/54

128

Da bi se izvela matrica krutosti KE izloenog uvijanju pretpostavit dese linearna promjena

ugla uvijanja u poune ose gree:

.Koristedi uslov a je za , odnosno za , dobija se iz (4.105) i ( ). Uvrtavanjem koeficijenata i u jenainu (4.105) slijei:

Na osnovu slike 4.38 moe se pisati

odakle slijedi:

.

odnosno na osnovu (4.106) prethodni izraz

se moe pisati u obliku

Uslje ejstva momenta uvijanja u poprenom presjeku elementa javit de se tangencijalni

napon. Deformacioni rad usljed dejstva tangencijalnih napona u elementu moe se izraunati

na osnovu izraza (2.26) koristedi izraze (4.108) i konstitutivnu relaciju u (2.15) za linearno

elastino tijelo:

(4.105)

(4.106)

x

z

y

rA

B

B' (4.107)

(4.108)Slika 4.38 Element diferencijalneuine izloen uvijanju

(4.109)

Slika 4.37Element izloen uvijanju

2tM

1tM

x

x

z

y

rA B

B'

7/23/2019 4. Grede (1)

53/54

129

gdje je polarni moment inercije povrine poprenog presjeka elementa.Na osnovuCastiglianove teoreme i izraza (4.109) vrijee jenaine:

to u matrinoj formi moe biti pisano

gje je matrica krutosti KE izloenom uvijanju koja aje vezu izmeu momenata uvijanja uvorovima i uglova uvijanja poprenog presjeka gree u ovim vorovima.4.7 Konani element grede u prostoru

Na slici 4.39 prikazan je KE gree, konstantnog poprenog presjeka koji ima 6 stepeni

sloboe kretanja u svakom voru: tri translacije i tri rotacije. Osa se podudara sa aksijalnomosom grede, a ose i paralelene su glavnim centralnim osama inercije poprenog presjeka.

(4.110)

* + *+ *+ (4.111)

rs

t

k

S1

S2

S4

S3

S6

S5

S7

S10

S9

S12

S11

S8

Slika 4.39 Konani element gree uprostoru

7/23/2019 4. Grede (1)

54/54

U vorovima elementa jeluju aksijalne sile S1i S7, transferzalne sile S2i S8, odnosno S3i S9, u

pravcu vaju glavnih centralnih osa inercije poprenog presjeka gree, momenti savijanja S5

i S6, odnosno S11 i S12, oko vaju glavnih centralnih osa inercije poprenog presjeka gree i

momenti uvijanja S4 i S7. Svakoj od ovih generelisanih sila ogovara ogovarajudegeneralisano pomjeranje .Na osnovu matrica krutosti u izrazu (4.95) (savijanje grede), (4.96) (aksijalno naprezanje

gree) i (4.111) (uvijanje gree) veza izmeu generalisanih sila i pomjeranja za KE gree na

slici 4.39 ata je sljeedim sistemom jenaina:

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4

0002

6

0

2

0002

6

0

4

02

6

000

2

02

6

00

00000000

3

12

0002

6

03

12

00

3

12

02

6

0003

12

0

00000

4

0002

6

0

4

02

6

00

000

3

12

00

3

12

0

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

l

tIE

l

tIE

l

tIE

l

tIE

l

sIE

l

sIE

l

sIE

l

sIE

l

rIG

l

rIG

l

sIE

l

sIE

l

sIE

l

tIE

l

tIE

l

tIE

l

EA

l

EA

l

tIE

l

tIE

l

sIE

l

sIE

l

rIG

l

sIE

l

IE

l

EA

t

gdje su uina gree, povrina poprenog presjeka gree, aksijalni glavni centralnimomenti inercije poprenog presjeka gree, polarni moment inercije povrine poprenogpresjeka grede.

(4.112)