Elektricitet i Magnetiyam

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTA U ZAGREBU

Essert, Grilec, Žilić:

ELEKTRICITET i MAGNETIZAM

- fizikalne osnove -

Ver. 1.0 – priprava (nije za objavljivanje)

Zagreb, 2006.

SADRŽAJ

1. ELEKTROSTATIKA ....................................................................................... 9 1.1. Struktura materije............................................................................................... 9

1.1.1. Elementarni naboj ...................................................................................................11 1.1.2. Električna svojstva tvari.................................................................................. 12

1.2. Električno polje naboja..................................................................................... 13 1.2.1. Polarizacija i influencija ................................................................................... 16 1.2.2. Gustoća električnog toka ................................................................................. 18 1.2.3. Homogeno električno polje .............................................................................. 18 1.2.4. Coulombov zakon................................................................................................. 19

1.3. Električni potencijal .......................................................................................... 19 1.4. Električni kapacitet ........................................................................................... 21 1.5. Kondenzator ...................................................................................................... 22

1.5.1. Spojevi kondenzatora....................................................................................... 23 1.5.2. Serijski spoj....................................................................................................... 24 1.5.3. Paralelni spoj ...................................................................................................... 25 1.5.4. Mješoviti spoj..................................................................................................... 26 1.5.5. Energija nabijenog kondenzatora.................................................................. 27 1.5.6. Prirodni kondenzator........................................................................................ 29

1.6. Appleti................................................................................................................ 30 1.6.1. Električno polje naboja ................................................................................... 30 1.6.2. Test naboj u električnom polju....................................................................... 31 1.6.3. Elektroskop ........................................................................................................ 32 1.6.4. Kapacitet pločastog kondenzatora................................................................ 32 1.6.5. Prirodni kondenzator........................................................................................ 33

1.7. Zadaci ................................................................................................................. 34 2. ISTOSMJERNA STRUJA............................................................................. 37

2.1. Električni napon................................................................................................ 37 2.2. Električni izvori................................................................................................. 38 2.3. Električna struja ................................................................................................ 40 2.4. Električni otpor ................................................................................................. 40

2.4.1. Promjena otpora s temperaturom .................................................................. 41 2.5. Ohm-ov zakon................................................................................................... 43 2.6. Kirchhoff-ovi zakoni ........................................................................................ 44

2.6.1. I. Kirchhoff-ov zakon....................................................................................... 45 2.6.2. II. Kirchhoff-ov zakon .................................................................................... 46

2.7. Spajanje električnog otpora u strujnom krugu............................................. 47 2.7.1. Serijski spoj otpora ......................................................................................... 47 2.7.2. Paralelni spoj otpora......................................................................................... 48

2.8. Električna struja u ioniziranom plinu............................................................ 50 2.9. Elektrokemijske pojave .................................................................................... 52

2.9.1. Faraday-evi zakoni elektrolize....................................................................... 52 2.9.2. Primarni elementi .............................................................................................. 53 2.9.3. Sekundarni elementi......................................................................................... 55

ELEKTRICITET i MAGNETIZAM _______________________________________________________________________________

4

2.10. Jednostavni strujni krug .................................................................................. 57 2.11. Realni jednostavni strujni krug ...................................................................... 58 2.12. Složeni strujni krug .......................................................................................... 59 2.13. Realni naponski izvori ..................................................................................... 61

2.13.1. Vanjska karakteristika realnih izvora .......................................................... 62 2.13.2. Spojevi električnih izvora............................................................................... 63

2.14. Mjerenje struje, napona i otpora..................................................................... 66 2.15. Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar .............................. 67 2.16. Rad i snaga istosmjerne struje ........................................................................ 70 2.17. Appleti ............................................................................................................... 73

2.17.1. Ohmov zakon ...................................................................................................... 73 2.17.2. Jednostavni strujni krug ................................................................................. 73 2.17.3. Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu ................................... 74 2.17.4. Multimetar .......................................................................................................... 75 2.17.5. Serijski spoj otpora.......................................................................................... 75 2.17.6. Paralelni spoj otpora......................................................................................... 76 2.17.7. Kirchhoff-ovi zakoni......................................................................................... 76

2.18. Zadaci................................................................................................................. 78 3. MAGNETIZAM .............................................................................................. 81

3.1. Magnetsko polje................................................................................................ 81 3.2. Zakon protjecanja ............................................................................................. 82

3.2.1. Magnetsko polje ravnog vodiča...................................................................... 83 3.3. Magnetske veličine........................................................................................... 85 3.4. Magnetska histereza ........................................................................................ 89 3.5. Magnetski krug................................................................................................. 90 3.6. Djelovanje magnetskog polja.......................................................................... 92

3.6.1. Sila na gibljivi naboj ......................................................................................... 92 3.6.2. Sila na vodič kojim teče struja...................................................................... 94 3.6.3. Sila između dva vodiča kroz koje teče struja............................................ 96

3.7. Elektromagnetska indukcija ........................................................................... 98 3.7.1. Lenz-ovo pravilo................................................................................................100 3.7.2. Samoindukcija ................................................................................................... 101 3.7.3. Međuindukcija ...................................................................................................102

3.8. Energija magnetskog polja ............................................................................ 104 3.8.1. Izmjenično magnetiziranje željeza .............................................................105 3.8.2. Privlačna sila magneta .....................................................................................106

3.9. Appleti ............................................................................................................. 108 3.9.1. Naboj u magnetskom polju .............................................................................108 3.9.2. Lorentz-ova sila ................................................................................................108 3.9.3. Faraday-ev zakon .............................................................................................109 3.9.4. Lennz-ovo pravilo.............................................................................................. 110

3.10. Zadaci............................................................................................................... 111 4. PRIJELAZNE POJAVE............................................................................... 113

4.1. RC-krug............................................................................................................ 113

Sadržaj ________________________________________________________________________

5

4.1.1. Energija nabijenog kondenzatora................................................................. 113 4.1.2. Energija na otporu ........................................................................................... 113 4.1.3. Nabijanje (punjenje) kondenzatora ............................................................. 114 4.1.4. Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora.......................................................... 115

4.2. RL-krug ............................................................................................................ 116 4.2.1. Energija svitka.................................................................................................. 116 4.2.2. Ukapčanje RL – kruga...................................................................................... 117 4.2.3. Iskapčanje RL – kruga..................................................................................... 118

4.3. Elektromagnetski oscilirajući krug .............................................................. 119 4.4. Elektromagnetski valovi ................................................................................ 121 4.5. Appleti.............................................................................................................. 123

4.5.1. RC-krug...............................................................................................................123 4.5.2. RL-krug ...............................................................................................................124 4.5.3. Elektromagnetski oscilirajući krug ..............................................................124

4.6. Zadaci ............................................................................................................... 126 5. IZMJENIČNE STRUJE ............................................................................... 129

5.1. Harmonijski oblik ........................................................................................... 130 5.1.1. Frekvencija i kružna frekvencija.................................................................. 131 5.1.2. Srednja i efektivna vrijednost .....................................................................134 5.1.3. Faza i razlika faza............................................................................................136

5.2. Predočavanje izmjeničnih veličina ............................................................... 138 5.2.1. Prikazivanje rotirajućim dužinama i vektorima .........................................138 5.2.2. Fazni pomak u vektorskom prikazu .............................................................. 141

5.3. Jednostavni krug izmjenične struje.............................................................. 142 5.3.1. Otpor u krugu izmjenične struje..................................................................142 5.3.2. Kapacitet u krugu izmjenične struje ...........................................................143 5.3.3. Induktivitet u krugu izmjenične struje ......................................................145

5.4. Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje.................................................. 147 5.4.1. Serijski RL - krug.............................................................................................148 5.4.2. Serijski RC – krug ............................................................................................149 5.4.3. Serijski RLC –krug ...........................................................................................150 5.4.4. Paralelni RL – krug............................................................................................152 5.4.5. Paralelni RC – krug ...........................................................................................153 5.4.6. Paralelni RLC – krug .........................................................................................154

5.5. Rezonancija...................................................................................................... 155 5.6. Snaga izmjenične struje i faktor snage......................................................... 157

5.6.1. Trokut snaga .....................................................................................................158 5.7. Trofazni sustav................................................................................................ 160

5.7.1. Naponi i struje u spoju zvijezda................................................................... 161 5.7.2. Naponi i struje u spoju trokut ...................................................................... 161 5.7.3. Snaga trofaznog sustava................................................................................162

5.8. Appleti.............................................................................................................. 163 5.8.1. Električni elementi u krugu izmjenične struje .........................................163 5.8.2. Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje.........................................164


6

5.9. Zadaci............................................................................................................... 165 6. Dodatak - WEB-adrese applet-a ............................................................... 169 7. Literatura.................................................................................................... 171 8. Stvarno kazalo ........................................................................................... 173

Sadržaj ________________________________________________________________________

7

PREDGOVOR

Ovaj udžbenik iz područja elektrotehnike, želi pomoći studentima obnoviti

srednjoškolsko znanje elektrotehnike, koja se uči u fizici, kako bi lakše svladali predmet ELEKTROTEHNIKA na studiju. Namijenjen je ponajprije studentima Fakulteta strojarstva i brodogradnje, ali može korisno poslužiti i drugima.

Pojam elektrotehnika, uključuje u sebi dva pojma. Prvi je upoznavanje osnovnih fizikalnih zakona o elektricitetu i magnetizmu, a drugi njihovu primjenu u tehničkoj praksi. Upoznati fizikalni zakon najčešće znači opisati posljedice njegova djelovanja, dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni. Matematički aparat kojim se u teoriji služimo i instrumenti kojima mjerimo ovise dakako o dubini naših proučavanja. Gradivo izneseno u ovom udžbeniku koristi matematički aparat primjeren srednjoškolskoj matematici.

Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena područja, čije se discipline znatno isprepleću, od mjeriteljstva do automatskog vođenja proizvodnih procesa. Budući da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane uz elektrotehniku, ovaj udžbenik može poslužiti i strojarskim stručnjacima u njihovoj svakodnevnoj praksi.

Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhvaćaju osnovna elektrotehnička područja: elektrostatika, istosmjernu struju, magnetizam, prijelazne pojave i izmjenične struje. Udžbenik koristi većinu gradiva obrađenog u rasprodanom izdanju udžbenika M. Essert, Z. Valter: "Osnove elektrotehnike", SNL Liber 1991. god., a praktičnu orjentaciju interaktivnim applet-ima na CD-u zahvaljuje diplomskom radu Valentine Franković, prof. fizike. Svako poglavlje uključuje i niz zadataka s rješenjima, za provjeru naučenog gradiva.

Kvalitetan prijenos znanja traži danas i nove alate. Oni su prisutni ponajviše zahvaljujući računalima i različitim edukacijskim programima. Temeljna značajka takvih programa je interaktivnost i usmjerenost na fizikalne modele. Računala i programi omogućuju da korisnik više razmišlja o tomu 'što' i 'zašto', nego o 'kako'. Sam izračun - dobivanje numeričkog ili grafičkog rezultata, u takvim je metodama, programima, manje značajan.

Java applet-i su popularni programi koji nude sve nabrojeno i danas su zahvaljujući Internetu dostupni na mnogim sveučilištima i školama. Pisani su u besplatnom Java okruženju pa su već od samih početaka (oko 1995.) postali osnovna nastavna pomagala.

Iako postoje applet-i za mnoga područja fizike (i ne samo nje), u ovom radu pokušalo se prikupiti najbolje uzorke za područje fizikalnih osnova elektrotehnike. Poštujući autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilagođeni su našim prilikama (za slučaj da u nastavi nema mogućnosti korištenja Interneta i/ili da korisnici ne znaju engleski).

ELEKTROSTATIKA

Elektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izučavanjem i primjenom električnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izučavanjem pripada prirodnim znanostima i čini njezinu fizikalnu osnovu, a dio koji se bavi primjenom u korisne i praktične svakodnevne svrhe čini nadgradnju i pripada tehničkim znanostima.

U tumačenju električnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja strukture materije i njezinih električnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju postojanju električnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Električni naboji mogu se smatrati svojevrsnim elementarnim česticama, djelićima materije i nosiocima njezinih električnih svojstava. Spoznat ih se može preko njihovih vanjskih manifestacija, a to su električne i magnetske sile.

Za cjelovitu spoznaju prisutnosti djelovanja električnih naboja pored položaja u strukturi materije potrebno je poznavati i osobitosti prostora oko njih, prostora u kojem se izražavaju njihove manifestacije.

Električni naboji mogu u prostoru mirovati ili biti u pokretu. Naboji u mirovanju nazivaju se statički naboji. Naboji u gibanju mogu imati različite smjerove, a oni u usmjerenom gibanju nazivaju se električnom strujom.

U prostoru oko statičkih naboja zbivaju se električne pojave, pa se to stanje prostora naziva električnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju se uz električne i magnetske pojave. U njemu se pored električnog javlja i magnetsko polje, a zajednički se naziva elektromagnetskim poljem.

Elektrostatika opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko mirujućih električnih naboja. Djelovanje naboja u prostoru tumači se električnim poljem koje svaki naboj stvara u svom okolišu.

1.1. Struktura materije

Poznato je da se materija sastoji od tvari u čistom stanju i od onih u obliku smjesa. Čiste tvari mogu biti jednostavne i složene. Jednostavne se nazivaju kemijskim elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razložiti na jednostavnije. Složene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno nova svojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od različitih elemenata i spojeva.

Najsitnije su čestice elementa koje još predstavljaju element atomi. Danas je poznato 105 elemenata, a time i 105 različitih vrsta atoma. Najmanji među njima je atom vodika i može ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 ·10-10, a najveći je atom cezija, promjera 5.3 10-10 m. Veličina svih ostalih atoma kreće se u spomenutim granicama.

Svi atomi izgrađeni su od elementarnih čestica, a njihovu građu utvrdili su fizičari E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omotača (slika 1-1). U središtu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne čestice koje čine njegovu jezgru. To su protoni, neutroni i ostale čestice. Oko jezgre atoma kreću se velikim brzinama elektroni tako da čine omotač oko nje.


10

Elektroni su elementarne čestice koje posjeduju negativni električni naboj. Masa elektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno mase koju ima najmanji atom, atom vodika.

Protoni su elementarne čestice koje posjeduju naboj jednak po veličini naboju elektrona, ali suprotnog predznaka. Masa protona približno je jednaka jedinici atomske mase.

atom

omotač

jezgra

elektroni

neutroni

protoni

česticeostale

naboj

naboj

Slika 1-1. Sastav atoma

Količina naboja koju posjeduje elektron i proton označuje se kao elementarni naboj, jer ga u prirodi nema manjeg.

Neutroni nemaju električnog naboja, a masa im je približno jednaka masi protona, odnosno jedinici atomske mase. Ostale čestice u jezgri kao npr. pozitron, mezon, neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno, dosta su nestabilne i brzo se raspadaju. Pri raspadanju pretvaraju se jedne u druge. Bez značenja su za električne pojave.

U normalnim uvjetima broj elektrona u omotaču jednak je broju protona u jezgri, što znači da svaki atom sadrži jednaku količinu pozitivnog i negativnog naboja i promatrano izvana električki je neutralan.

Dimenzije elektrona i protona nije moguće pouzdano odrediti, jer te čestice nemaju oštre granice. Nije ih moguće ni vidjeti, već je moguće u određenim uvjetima vidjeti i snimiti trag koji one ostavljaju pri prolazu kroz određena sredstva. Iz tih tragova moguće je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj.

Između protona, neutrona i ostalih čestica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje ih drže na okupu. To su nuklearne sile. Između protona i elektrona, međutim, vladaju električne sile koje zajedno s nuklearnim drže atom jednom cjelinom.

Gibanje elektrona u atomu ima složen karakter, jer oni pored gibanja u omotaču istovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski spin. Uz to se mijenja i položaj omotača u odnosu na jezgru.

Atomi različitih elemenata međusobno se razlikuju po broju protona u jezgri, odnosno broju elektrona u omotaču. Tako atom vodika kao najjednostavniji ima jedan proton u jezgri i jedan elektron u omotaču. Atom helija ima dva protona i dva elektrona, litija tri protona i tri elektrona itd.

Atomi istog elementa mogu se međusobno razlikovati samo po broju neutrona što ih sadrži jezgra. Oni pritom imaju isti atomski broj jer posjeduju isti broj protona, ali se razlikuju u masi zbog različitog broja neutrona. Takvi atomi se nazivaju izotopi. Najsloženiji atom je izotop urana U koji ima 146 neutrona, 92 protona i 92 elektrona. Neki jednostavniji primjeri modela atoma prikazani su na slici 1-2.

Elektrostatika ________________________________________________________________________

11

Jedino je jezgra atoma običnog vodika bez neutrona, dok jezgre svih ostalih atoma pored protona sadrže i neutrone. Svi elektroni u omotaču nemaju jednaku energiju. S obzirom na sadržaj energije pojedinih elektrona u atomu, elektroni se mogu u omotaču raspodjeliti u 7 ljusaka ili ovojnica.

Hvodik 11 Hehelij Lilitij

p

p

p

n nn

p

L

K

ee

ee

Slika 1-2 Modeli jednostavnih atoma

(e-elektron, p-proton, n-neutron)

Te se ljuske prema svojem redoslijedu označavaju slovima K, L, M, N, O, P i Q, pri čemu se ljuska najbliža jezgri označava s K, a najudaljenija s Q. Elektroni u ljuskama bližim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama. Vanjska ljuska sadrži najviše do 8 elektrona, a unutrašnje do 2 n2, gdje je n broj ljuske računajući od jezgre. Na slici 1-2 prva dva atoma imaju jednu, a treći dvije ljuske.

1.1.1. Elementarni naboj

U prirodi, dakle, postoje dvije vrste elementarnih naboja, jednima je dogovorno pridodan naziv 'pozitivni' (kod protona), a drugima 'negativni' (kod elektrona). Iako je masa protona veća od mase elektrona, njihov naboj je po apsolutnom iznosu jednak i iznosi:

[ ] [ ]CiliAsQ 190 106,1 −⋅=

Veličinu elementarnog naboja utvrdio je 1917. fizičar R.A.Millikan, a izražava se u ampersekundama [As] ili kulonima [C].

Proton je čvrsto vezan u jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijama među jezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do fizičke transformacije jezgre, a traju vrlo kratko.

Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu ionizacije atoma može osloboditi veze s jezgrom. Njegovo sudjelovanje u električnim pojavama je stoga aktivnije.

Elektroni u atomu mogu posjedovati samo određenu konačnu količinu energije i gibati se putanjama određenim njihovom energijom. Oni nastoje zaposjesti putanje koje odgovaraju najnižoj energetskoj razini i popunjavaju ljuske bliže atomskoj jezgri. Takav se atom nalazi u normalnom stanju.


12

Dovođenjem energije atomu izvana u obliku npr. topline ili svjetlosti, postiže se njegovo uzbuđeno stanje, pri čemu elektroni mogu primiti toliko energije da mogu promijeniti ljusku i prijeći u ljuske dalje od atomske jezgre.

Mogu se i osloboditi veze s jezgrom i biti izbačeni izvan atoma. Ili obratno, mogu izvana biti ubačeni u putanje oko jezgre. Takav postupak koji vodi do promjene broja elektrona naziva se ionizacijom.

Ako iz atoma izleti jedan elektron, narušava se nabojska ravnoteža atoma, jer ukupni pozitivni naboj protona postane veći od ukupnog negativnog naboja preostalih elektrona. Atom izvana više nije neutralan, a zbog prevladavanja pozitivnih naboja postaje pozitivni ion. Ako međutim u atom uđe jedan elektron i time ukupni negativni naboj elektrona postane veći od ukupnog pozitivnog naboja protona, on postaje negativni ion (slika 1-3).

ionpozitivni ionnegativni

e eatom atom

Slika 1-3 Ionizacija atoma

Svaka kemijska veza među atomima osniva se na razmjeni elektrona među njima. U tako nastaloj skupini atoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj mjeri pripadati svim atomima u njoj. Kako i skupina atoma može biti izvrgnuta procesu ionizacije, ionima se smatraju električki nabijeni atomi ili njihove skupine.

Dok negativni naboj u normalnim uvjetima može biti prisutan ili kao naboj elektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao naboj pozitivnih iona.

1.1.2. Električna svojstva tvari

Pokretljivost elektrona, oslobođenih ionizacijom, među atomima ili molekulama pojedinih tvari određuje osnovno električno svojstvo tvari, električnu vodljivost.

Tvari koje se odlikuju velikom električnom vodljivošću nazivaju se vodičima. U njih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi međusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom vezivanju javlja se veliki broj slobodnih elektrona koji se lako stavljaju u gibanje i pritom nailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj rešeci. To su kruti vodiči.

U vodiče se uvrštavaju i elektroliti i vodljivi plinovi. Elektroliti su soli odnosno krute tvari kristalne strukture s ionskom vezom među atomima, te

Elektrostatika ________________________________________________________________________

13

kiseline i lužine otopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se određeni broj suprotno nabijenih iona. Slično se stanje javlja i kod nekih plinova.

Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena pokretljivost i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, čega pri gibanju elektrona nema.

Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodičima.

Pored vodiča postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom električnom vodljivošću. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima. U njih se ubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi međusobno povezuju kovalentnom vezom. U toj vezi elektroni su čvrsto vezani uz jezgre fiksirane u kristalnoj rešeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u izolatore se ubrajaju i neke tvari nekristalne strukture kao npr. guma, papir, staklo, mineralna ulja, te uz njih čista voda, nevodljivi plinovi i vakuum.

Među tvarima s kristalnom strukturom nalaze se i tvari u kojih veza među atomima može biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno manjom vodljivošću nego što je imaju vodiči, ali većom od one izolatora, pa se nazivaju poluvodičima. Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim fizičkim i kemijskim utjecajima. Tu se ubrajaju npr. olovni sulfid i neki spojevi silicija, germanija i selena. Kod krutih vodiča koji električnu struju vode slobodnim elektronima javlja se njihovo kaotično gibanje između atoma, koje podsjeća na gibanje molekula plina. Slobodni elektroni se pritom rasporede tako da je vodič izvana promatrano električki neutralan. Usmjereno gibanje slobodnih elektrona javlja se u vodiču tek pod vanjskim utjecajem, kojim se elektronu privodi dodatna energija. Srednja brzina kaotičnog gibanja elektrona u vodiču reda je veličine 106m/s, a brzina njihova usmjerenog gibanja 10-2 m/s.

Pri prolazu struje kroz pojedine tvari opažaju se sljedeći učinci: toplinski, magnetski, kemijski, svjetlosni i fiziološki. Oni se mogu vrlo uspješno koristiti i njima se bavi tehnički dio elektrotehnike. Toplinski učinci koriste se u elektrotermiji, magnetski kod električnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a fiziološki u utvrđivanju korisnog i štetnog djelovanja električne struje na žive organizme.

1.2. Električno polje naboja

Proučavanje elektriciteta povijesno se odvijalo proučavanjem sila koje se uočavaju između nabijenih, elektriziranih tijela. Najpoznatiji način elektriziranja (odvođenja ili dovođenja naboja nekom tijelu) bio je trenjem. Analiza uočenih sila dovela je do zaključka da u električnim pojavama postoje dvije električne veličine: naboj i polje. Električni naboj javlja se kao svojstvo čestica, a električno polje se zamjećuje kao polje sila oko nabijenih čestica, oko naboja.

A.Coulomb je još 1785. godine uočio i formulirao osnovni zakon o sili između električki nabijenih tijela. Coulombova sila se oblikom izraza podudara s Newtonovom gravitacijskom silom, samo što u njoj umjesto masa dolaze električni naboji, a s obzirom da mogu biti i pozitivni i negativni, slijedi da se elektrizirana tijela mogu i odbijati, a ne samo privlačiti.

Zakon se može eksperimentalno potvrditi samo za silu između vrlo malih električnih tijela, koja se mogu smatrati matematičkim točkama (tzv. točkasti


14

naboj ili test-naboj; eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju jednostavne za proučavanje i mjerenje kad se točkasti naboj nađe u okolišu velikog, na primjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1-4). Neka se pretpostavi da su i tijelo i kuglica nabijeni pozitivnim električnim nabojem. Pokusom se opaža da je sila na nabijenu kuglicu to veća što je veći iznos naboja kojim je nabijena i to u bilo kojoj točki prostora.

++

+

++

+

++

+ +

2P

3P

1P

Slika 1-4 Električna sila u okolišu nabijenog tijela

Umjesto promjene naboja kuglice moguće je mijenjati njezin položaj oko metalnog tijela (P1, P2, P3, ...). U svakoj točki prostora sila na kuglicu imat će općenito različitu veličinu i smjer.

Sila ovisi dakle i o fizikalnoj veličini stvorenoj prisutnošću nabijenog tijela. Ta se veličina zove električno polje nabijenog tijela i njen iznos označuje se s E. Sila na točkasti naboj može se prema tome izraziti umnoškom dviju nezavisnih veličina:

[ ]F Q E N= ⋅ (1.1)

gdje su: Q - naboj [As], E - jakost električnog polja [V/m].

Električno polje zamjećuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih čestica. Kad se u okolišu nekog naboja nalazi više drugih naboja, tada se ukupna sila na taj naboj može dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od okolnih naboja po smjeru i po iznosu (vektorski zbroj). Električno polje je rezultat djelovanja svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unošenjem dodatnog naboja u taj prostor mijenja se i polje).

Jakost električnog polja E, u nekoj točki (prije stavljanja naboja Q) jednaka je omjeru sile F na naboj (postavljen u tu točku) i veličine naboja Q, a smjer polja jednak je smjeru koji bi imala električna sila na pozitivni naboj postavljen u tu točku.

Jakost polja u određenoj točki prostora može se odrediti, poznavajući silu F na naboj Q (doveden u tu točku) pomoću jednadžbe

Elektrostatika ________________________________________________________________________

15

FEQ

= (1.2)

Jedinica za jakost električnog polja je volt po metru (V/m).

Silnice električnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem električne sile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i usmjerene su prema negativnim nabojima u kojima završavaju (poniru). Gustoća silnica razmjerna je gustoći električnog polja.

Obično se pod pojmom "električno polje" misli na "jakost električnog polja", tj. na iznos vektora. Budući da se sila u svakoj točki općenito mijenja (po smjeru i/ili iznosu), znači da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj točki prostora, može se izravno iz izraza (1.1) izračunati sila na bilo koji električni naboj koji se dovede u bilo koju točku tog prostora. Odavde se razabire praktična korist električnih polja, koja se zbog toga i grafički predočuju.

Električno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja posebno. Budući da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, može se predočiti linijama polja ili silnicama. Smjer električnog polja jednak je smjeru djelovanja električne sile na pozitivan naboj (slika 1-5), pa je u okolišu pozitivnog naboja suprotan od onog u okolišu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile na test naboj koji je doveden u njihov okoliš.

Slika 1-5 Električno polje naboja a) pozitivnog b) negativnog

Električno polje dvaju naboja prikazano je na slici 1-6.

Tu je polje u svakoj točki vektorski zbroj polja iz slike 1-5. Tangenta u svakoj točki silnice pokazuje pravac djelovanja sile. I ovdje se ta sila zorno uočava kao vektor sile test naboja.

Dugo vremena su polja bila shvaćana kao matematičke konstrukcije kojima su se pregledno mogle prikazati sile u okolišu električnih naboja. Realnim su smatrane samo sile i naboji. Zahvaljujući Maxwell-u i Faraday-u, polja dobivaju realna obilježja, ništa manje stvarna nego su vidljivi mehanički predmeti koji nas okružuju. Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su proučavanjem elektromagnetskih valova.


16

Slika 1-6 Električno polje dvaju naboja

a) suprotnog polariteta b) istog polariteta

Tu naboji nemaju više svoja primarna značenja, već polje. Naboji postaju

samo mjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru električne silnice. Za pozitivan naboj kaže se da je izvor, a za negativan da je ponor električnog polja (slika 1-6).

Za električno polje veli se da je homogeno ako u svakoj točki ima jakost jednakog inteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Q u homogeno električno polje (slika 1-7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj -Q suprotna je smjeru polja. Budući da i dovedeni električni naboj stvara vlastito električno polje, redovito se pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je njegovo djelovanje zanemarivo.

→

E

F Q

Q F+

-

Slika 1-7 Homogeno električno polje

Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, počinje i završava

na nabojima smještenim na površini. Budući da se naboji kojim je elektroda nabijena (zbog istog polariteta) međusobno odbijaju, sav se naboj rasporedi po površini, pa u unutrašnjosti elektrode nema električnog polja. Svojstvo električnih polja da završavaju na površinama vodiča koristi se kod zaštite tijela od djelovanja električnih polja zastorima od metalnih limova ili metalnih mreža. To je načelo tzv. Faraday-evog kaveza.

1.2.1. Polarizacija i influencija

Kao neposredni rezultat djelovanja sile u električnom polju uočavaju se dvije važne pojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i influencijski učinci u vodljivim tijelima.

Statička električna polja pri mirujućim nabojima moguća su samo u električki nevodljivim sredstvima, tj. izolatorima. Izolatori se stoga nazivaju i dielektrici (grčki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju električne sile.

Elektrostatika ________________________________________________________________________

17

U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se takvi materijali unesu u električno polje, u njima može doći samo do određenog razmještanja naboja u atomima i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja, negativni u suprotnom, stvarajući tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija (slika 1-8).

Slika 1-8 Polarizacija dielektrika

S druge pak strane, djelovanje polja na vodiče, koji imaju slobodne naboje, manifestirat će se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka.

Ta se pojava zove influencija (slika 1-9). Količina influenciranog naboja (razdvojenog) jednaka je količini naboja koje je influenciju izazvalo (slučaj a).

→

E→

E

α

a) pod 900 b) pod 450

Slika 1-9 Električna influencija

Može se pokazati da količina influenciranog naboja ovisi i o površini na koju

je polje djelovalo. Metalne pločice postavljene u homogeno polje na slici 1-9 b) pod kutem od 45°, zatim razdvojene u polju, pa izvučene van, primit će svaka otprilike 71 % naboja u odnosu na pokus a).


18

1.2.2. Gustoća električnog toka

Sve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q, čine u prostoru oko naboja električni tok Ф. Radi lakšeg proučavanja pojava u polju pri različitim dielektricima uvodi se nova vektorska veličina D . Istog je smjera kao i jakost polja, a iznos joj je jednak gustoći influenciranog naboja koji bi se na vodiču u toj točki električnog polja izdvojio, inducirao. Naziv tog vektora je gustoća električnog toka, dielektrični pomak, ili električna indukcija.

Gustoća električnog toka D u nekoj točki prostora razmjerna je jakosti polja E :

D Eε= ⋅ (1.3)

Faktor razmjernosti ε, naziva se dielektričnost (ili dielektrična konstanta) i značajka je tvari u kojoj je električno polje uspostavljeno. Dielektričnost vakuma je ε0 = 8,85⋅10-12 As/Vm.

Dielektričnost tvari iskazuje se pomoću dielektričnosti vakuma i relativne dielektričnosti εr

0 rε ε ε= ⋅ (1.4)

Reletivna dielektričnost εr je značajka pojedine tvari, koja pokazuje koliko puta je veća gustoća električnog toka u toj tvari nego što bi, uz istu jakost polja, bila u vakumu. Relativna dielektričnost εr je bezdimenzionalni broj i za većinu materijala manji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2-4 za staklo), u nekim keramičkim masama do 100, a najveće vijednosti idu čak i do 10000.

Poznavanjem naboja, geometrije tijela i materijala u prostoru električno je polje u svakoj točki potpuno određeno.

1.2.3. Homogeno električno polje

Polje je homogeno ako mu je gustoća silnica jednolika. Homogeno polje ima u svakom dijelu prostora jednoliku gustoću toka D i jednaku jakost E tj. za svaku točku polja vrijedi

.D konst= i .E konst= (1.5)

Smjer homogenog polja svugdje je isti, a silnice su ravne, paralelne, jednoliko razmaknute crte.

Uz naboj na jednoj ploči Q i površinu ploče A, za gustoću električnog toka D u homogenom polju vrijedi jednadžba

QDA

= (1.6)

U slučaju nabijene kugle površinska gustoća naboja je iz razloga simetrije istog iznosa u svakoj točki površine:

[ ]220

/4

mCRQDπ

= (1.7)

Elektrostatika ________________________________________________________________________

19

gdje je R0 polumjer kugle.

U homogenom polju napon ravnomjerno opada u smjeru polja. Jakost polja može se odrediti ako znamo napon V i udaljenost d između ploča

1.2.4. Coulombov zakon

Sila F kojom električno polje jakosti E stvoreno od naboja Q djeluje na naboj točkasti naboj Q' (u točki A, slika 1-10 a) jednaka je:

[ ]2 24Q Q QF Q E Q k N

r rπ ε′

′ ′= ⋅ = = ⋅⋅ ⋅

(1.8)

je konstanta.

Ovaj izraz (1.8) zove se Coulombov zakon, a dobiven je povezivanjem izraza

(1.1), (1.3) i (1.7).

Q+ 'Q+

Ar →→

FE,

2,1

→

E

2Q+

1Q+

A2

→

E

rezE→

1

→

E

3

→

E

3Q−

Slika 1-10 Sila na naboj Vidi se da se sila između dvaju naboja smanjuje, ako izolator zamijenimo s

nekim veće dielektričnosti. Ovisnost električnih sila o prisutnosti materije jedan je od osnovnih utjecaja materije izolatora na prilike u električnom polju.

Ako se u prostoru nalazi više točkastih naboja, kao na primjer +Q1, +Q2 i -Q3 na slici 1-10 b), jakost polja u nekoj točki A određuje se vektorskom superpozicijom jakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj QA u točki A imala bi iznos i smjer prema (1.9) jednak F=QA Erez.

1.3. Električni potencijal

Određivanje jakosti polja u nekoj točki kao rezultat djelovanja više polja pojedinačnih naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva zbog svoje vektorske prirode složeni matematički aparat i duži račun. Očita je potreba za jednostavnijom, lako mjerljivom skalarnom veličinom, koja bi ipak pružala bitne

0

14 r

kπ ε ε

=


20

informacije o prilikama u električnom polju. Tu potrebu zadovoljava električni potencijal.

Do pojma električnog potencijala može se doći ako se električni naboj Q pod utjecajem vektora jakosti polja E slobodno ili djelovanjem sile giba po nekoj stazi.

Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se jednaka "potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske sile, na novoj razini pripisuje mu se energija niža za onoliko koliko se rada dobije kod tog spuštanja. S druge pak strane pomaci tijela po putu okomitom na smjer djelovanja sile ne daju rad.

Slično se i naboju u električnom polju, a i samim točkama u kojima se naboj nalazi ili ga tamo zamišljamo, mogu pripisati različite potencijalne energije, odnosno energetske razine. Matematički je najjednostavnije da se početni nivo potencijalne energije uzima u beskonačnosti. Tamo je jakost električnog polja jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energije pri pomicanju. Ako se pozitivni naboj Q dovede iz beskonačnosti u neku točku električnog polja izvršeni rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u toj točki. Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja.

Ako bi pak pozitivan naboj pod utjecajem polja bio odveden u beskonačnost, na tom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad.

Omjer između rada i naboja na kome je rad izvršen zove se električni potencijal. Potencijal φ u nekoj točki polja je:

[ ]cosE ds E dl Vϕ α= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅∫ ∫ (1.9)

a potencijalna energija naboja Q u nekoj točki električnog polja bit će:

[ ]W Q Jϕ= ⋅ (1.10)

Prema tome, ako se kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje točke potencijala φ do bilo koje točke potencijala φ1 , potencijal promijeni za

1 d E dlϕ ϕ ϕ− = − = ⋅ (1.11)

onda iz gornjih izraza (1.9 i 1.11) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izražen s pomoću potencijala:

dEdlϕ

= − (1.12)

Razlika potencijala dviju točaka u električnom polju zove se napon i označuje se s V. Napon je jedan od najvažnijih pojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se mjeri.

Treba uočiti da bi rad između dviju točaka u električnom polju E bio isti bez obzira na krivulju s (s1, ...) po kojoj bi se naboj gibao. Drugim riječima, to znači da rad ovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu:

( ) ( )1

1...s ss s

E ds E ds Vϕ ϕ⋅ = ⋅ = = − =∫ ∫ (1.13)

U posebnom slučaju, kad su izvorišna i odredišna točka iste, tj. kad je krivulja puta zatvorena, krivuljni integral vektora E po bilo kakvoj zatvorenoj krivulji imat će vrijednost nula:

Elektrostatika ________________________________________________________________________

21

∫ =⋅ 0dsEs (1.14)

Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika potencijala između dviju točaka jednaka nuli), ne troši se (niti dobiva) rad. Linije istog potencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije (slika 1-11).

Slika 1-11 Ekvipotencijalne linije

S obzirom da je prostiranje električnog polja trodimenzionalano, govorimo o

ekvipotencijalnim plohama. Budući da za gibanje naboja po ekvipotencijalnoj plohi nije potreban rad, vektori jakosti električnog polja (električne silnice) okomiti su na ekvipotencijalne plohe.

1.4. Električni kapacitet

Priključimo li pločaste elektrode na električki izvor (npr. na bateriju ili akumulator), na njima će se pod utjecajem napona izvora razdvojiti jednake količine naboja suprotnog predznaka, koji će u dielektriku među pločama stvoriti električno polje.

Odspojimo li potom elektrode od izvora, razdvojeni naboji ostat će i dalje na pločama vezani međusobno električnom silom, a odvojeni dielektrikom u kojem stvaraju električno polje.

Na taj način, u ovom sustavu vodljivih elektroda razdvojenih dielektrikom, može se pohraniti električni naboj. Količina pohranjenog naboja Q pritom je razmjerna naponu V između elektroda.

To znači da je za određeni sustav elektroda (i vrstu dielektrika) stalan omjer pohranjenog naboja Q i napona V između elektroda. Taj omjer naziva se električni kapacitet sustava. Oznaka kapaciteta je C, a jedinica je farad (F).

QCV

= (1.15)

Kapacitet pokazuje sposobnost tijela da se pod utjecajem napona pohranjuje naboj. To sad možemo izvesti.

Između pločastih, različito nabijenih elektroda, paralelno razmaknutih za udaljenost d, jakost električnog polja može se odrediti s pomoću izraza:


22

sdEdsϕ

= − (1.16)

Kako je polje homogeno, svuda konstantnog iznosa, može se uzeti da je ds=d, a dφ = φa - φb = V, pa slijedi da je jakost polja unutar elektroda jednaka:

[ ]/VE V md

= (1.17)

Na slici 1-12 vidi se homogeno polje unutar elektroda i potencijal svake točke između njih. Rad utrošen u pomaku pozitivnog naboja iz točke M1 u točku M2 bit će:

( )1 2 1 2 12W Q Q Q Q Vϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ − ⋅ = − = ⋅ (1.18)

Treba uočiti da je φ1<φ2, pa je V12<0, što daje negativan rezultat: rad je utrošen, a ne dobiven pomicanjem pozitivnog naboja.

→

EQ− Q+

Q

d

V

1V

2V

1M 2M l

Slika 1-12 Električno polje i potencijal kondenzatora

1.5. Kondenzator

Pločaste elektrode između kojih se nalazi izolator tvore kondenzator. Izvedbe kondenzatora razlikuju se s obzirom na oblik elektroda (pločasti, cilindrični, kuglasti...) i vrstu izolatora (zračni, keramički, elektrolitski, ...).

Elektrostatika ________________________________________________________________________

23

Ako se kondenzator priključi na izvor napona V, naboj iz izvora strujat će prema elektrodama dok se između njih ne uspostavi isti napon. Taj proces zovemo nabijanje kondenzatora. Na svakoj elektrodi naći će se jednaka količina naboja, samo suprotnog predznaka. Izolator između elektroda spriječava da se naboji ponište.

Polazeći od površinske gustoće naboja na pločama D=Q/A (izraz 1.6) i njezine veze s jakošću električnog polja D=ε·E (izraz 1.3), te odnosa jakosti polja s primijenjenim naponom E=V/d (izraz 1.17), slijedi:

V AQ D A E A A V C Vd d

ε ε ε= ⋅ = ⋅ ⋅ = = = ⋅ (1.19)

Konstanta C zove se kapacitet kondenzatora, i ona za pločasti kondenzator, kako se vidi iz izraza (2.27) ovisi o površini ploča, razmaku ploča i dielektriku.

Kapacitet se mjeri u faradima F [As/V], a realne izvedbe kondenzatora imaju kapacitete u iznosima μF (10-6F), nF (10-9F) i pF(10-12F).

S obzirom na stalnost kapaciteta razlikuju se nepromjenljivi i promjenljivi kondenzatori. Simboli kondenzatora prikazani su na slici 1-13.

a) stalnog kapaciteta b) promjenljivog c) elektrolitski

Slika 1-13 Simboli kondenzatora

Osnovna obilježja kondenzatora su:

• nazivni kapacitet Cn u [F],

• tolerancija (dopušteno odstupanje od Cn ) u postocima,

• dopušteno temperaturno područje u °C,

• nazivni radni napon [V] i napon proboja.

Vrijednosti kapaciteta standardizirane su u nizove.

1.5.1. Spojevi kondenzatora

Ako su u praksi potrebni kapaciteti čija vrijednost se ne nalazi u nizu raspoloživih, moguće je različitim spajanjem više kondenzatora postići željenu vrijednost kapaciteta. Spajanje dvaju kondenzatora moguće je na dva osnovna načina: serijski i paralelno. Složeni ili mješoviti spojevi dobiju se kombinacijom osnovnih načina s tri i više kondenzatora.


24

Serijski spoj postiže se tako da se jedna stezaljka kondenzatora (jedna elektroda) spoji s jednom stezaljkom drugog, a paralelni da se međusobno povežu obje stezaljke. Paralelnim spajanjem kondenzatora povećava se kapacitet spoja, a serijskim se smanjuje. S obzirom da kapacitet kondenzatora predstavlja vezu dovedenog naboja i dobivenog napona na kondenzatoru, prema izrazu 1.20, za razumijevanje spojeva kondenzatora potrebno je dva ili više kondenzatora spojiti (priključiti) na izvor napona.

1.5.2. Serijski spoj

Priključi li se serijski spoj triju kondenzatora na izvor napona V (slika 1-14), lijeva ploča kondenzatora C1 i desna ploča kondenzatora C3 nabit će se u kratkom vremenu nabojima istog iznosa i suprotnog predznaka.

Influencijom će se i na desnoj ploči kondenzatora C1, kao i na lijevoj ploči kondenzatora C3, pojaviti jednak naboj, dakako suprotnog predznaka. Lijeva ploča kondenzatora C2 osiromašena odlaskom negativnog naboja na desnu ploču C1 postaje pozitivna, a njegova druga ploča s istog razloga negativna. Tako se nakon nabijanja (prijelaznog procesa strujanja naboja) na svakom kondenzatoru nalazi jednak iznos naboja, i to je ujedno ukupni naboj Qs serijskog spoja doveden iz izvora napona V :

1C 2C 3C

1V 2V 3V

V+ −

+ + +− − −

Slika 1-14 Serijski spoj triju kondenzatora

sQQQQ === 321 (1.20)

gdje je Qs očevidno onaj naboj kojim bi se i kondenzator ekvivalentnog kapaciteta Cs nabio na isti napon izvora V, prema:

ss

s

QV VC

= = (1.21)

Cs se naziva kapacitet serijskog spoja kondenzatora.

Ukupna razlika potencijala jednaka je zbroju pojedinačnih:

1 2 3V V V V= + + (1.22)

Iz (1.20) mora i za svaki kondenzator vrijediti:

Elektrostatika ________________________________________________________________________

25

31 21 2 3

1 2 3

QQ QV V VC C C

= = = (1.23)

što zajedno s (1.21) i (1.22) daje za spoj na slici 1-14:

321

1111CCCCs

++= (1.24)

odnosno općenito:

∑=n ns CC

11 (1.25)

Kapacitet serijskog spoja dva kondenzatora prema (1.25) iznosi tako:

21

21

CCCCCs +

= (1.26)

a za n jednakih kondenzatora C1 :

nCCs

1= (1.27)

1.5.3. Paralelni spoj

Priključe li se dva ili više kondenzatora paralelno spojena na izvor napona V, kao na slici 1-15, na svakom će od njih postojati isti napon:

1 2 3V V V V= = = (1.28)

a naboj na pojedinom kondenzatoru ovisit će od veličine njegova kapaciteta.

Za pojedine kondenzatore vrijedi:

1 1 1 2 2 2 3 3 3Q C V Q C V Q C V= ⋅ = ⋅ = ⋅ (1.29)

+++

V+− 1C 2C 3C

Slika 1-15 Paralelni spoj kondenzatora


26

Za ekvivalentni kondenzator kapaciteta Cp bilo bi:

p pQ C V= ⋅ (1.30)

S obzirom da je naboj paralelnog spoja zbroja naboja pojedinih kondenzatora:

1 2 3pQ Q Q Q= + + (1.31)

iz izraza (1.28), (1.29) i (1.30) slijedi da ekvivalentni kapacitet Cp paralelno spojenih kondenzatora jednak:

1 2 3pC C C C= + + (1.32)

odnosno općenito:

∑=n

np CC (1.33)

Za paralelni spoj n kondenzatora jednakog kapaciteta C, ekvivalentni Cp jednak je:

nCC p = (1.34)

1.5.4. Mješoviti spoj

Paralelnim spajanjem povećava se ukupni kapacitet spoja, a serijskim smanjuje. Kod serijskog spoja ukupni priključeni napon dijeli se na pojedine kondenzatore, a kod paralelnog spoja je napon na svim kondenzatorima isti. Ponekad je potrebno realizirati kapacitet čija vrijednost nije u standardiziranom nizu. U tu svrhu koriste se različiti mješoviti spojevi, od kojih jedan prikazuje slika 1-16.

Elektrostatika ________________________________________________________________________

27

32

3223 CC

CCC+⋅

=

1C

2C 3C

4C 5C

V

1C

23C

45C

V

54

5445 CC

CCC+⋅

=

4523 CCCp +=p

p

CCCC

C+⋅

=1

1

1C PC

V V

C

Slika 1-16 Mješoviti spoj kondenzatora

Mogu se ostvariti različite kombinacije. Ukupni kapacitet mješovitog spoja dobije se postupnim određivanjem kapaciteta pojedinih paralelnih i serijskih grupa. On može biti manji ili veći od kapaciteta pojedinog kondenzatora ili pojedine skupine kondenzatora, već prema tome da li prevladava utjecaj serijskih ili paralelnih skupina.

1.5.5. Energija nabijenog kondenzatora

Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona V, kao na slici 1-17, kondenzatoru se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala V među pločama. Nakon određenog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem Q=C·V, i poprimi napon izvora V.


28

+ −CQ

V+ −

i

Slika 1-17 Nabijanje kondenzatora

Tijekom nabijanja kondenzatora porast naboja za dq uzrokuje porast napona za dv, prema:

dq C dv= ⋅ (1.35)

Malim slovima označuju se trenutne vrijednosti pojedinih veličina. Kod gibanja naboja dq, električno polje prema izrazu (1.18) obavlja rad:

dW v dq v C dv C v dv= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (1.36)

Ukupni obavljeni rad za vrijeme nabijanja kondenzatora je:

[ ]2

0 2

V C VW C v dv J= =∫ (1.37)

S pomoću izraza (1.19) slijede još dva ekvivalentna izraza za energiju nabijenog kondenzatora:

2 2

2 2 2CV QV QW

C= = = (1.38)

Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru između ploča (elektroda), kao energija električnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, električno polje u izolatoru se razgrađuje. Ta se energija oslobađa i može se pretvoriti u neki drugi oblik energije: toplinsku, svjetlosnu ili opet u električnu. Pritom se nabijeni kondenzator može izbiti u dužem ili kraćem vremenu. Srednja snaga kod izbijanja, ako se odvija u kratkom vremenu, može biti velika. To se koristi kod elektronskih bljeskalica, za paljenje stroboskopskih cijevi i sl. Kod pražnjenja u zraku ili izolacijskoj tekućini mogu nastati iskre, pa se na tome zasniva i načelo elektroerozijske obrade metala.

Da je energija u kondenzatoru lokalizirana u izolatoru kao energija električnog polja, lako se vidi povezujući izraze (1.38), (1.19) i (1.17):

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 olCV A A E EW V E d A d V

d dε εε ε= = = = = (1.39)

gdje je: Vol - volumen kondenzatora.

Elektrostatika ________________________________________________________________________

29

1.5.6. Prirodni kondenzator

Oblaci i zemlja se mogu usporediti s velikim kondenzatorom. Proces isparavanja i kondenziranja vode u unutrašnjosti oblaka uzrokuje sudare između kapljica vode i različitih čestica u oblacima (prašina, ioni, fotoni). U tim sudarima elektroni izbijeni iz čestica čine negativan naboj, koji se nakuplja u podnožju oblaka. Tako se podnožje oblaka može usporediti s negativnom pločom kondenzatora. Taj naboj uzrokuje nakupljanje pozitivnog naboja na zemlji, koja se zbog toga može usporediti s pozitivnom pločom kondenzatora.

Zrak između oblaka i zemlje postaje dielektrik prirodnog kondenzatora. Električno polje između oblaka i zemlje može proizvesti ione i slobodne elektrone u zraku. Razlika potencijala između oblaka i zemlje može postati tako velika da se zračni dielektrik počinje raspadati. Ioni i slobodni elektroni omogućuju kratki spoj (struju) između oblaka i zemlje. Tada se pojavljuju munje i svjetlost.


30

1.6. Appleti

1.6.1. Električno polje naboja

Ovaj applet omogućuje promatranje električnog polja dobivenog različitim kombinacijama pozitivnih i negativnih naboja. Žuti krug predstavlja pozitivni naboj, a plavi krug negativni naboj. Bijele krivulje oko njih su ekvipotencijalne linije (linije istog potencijala). Zelene strelice pokazuju vektore električnog polja. Naboje možemo pomicati po ekranu pomoću miša.

Slijedi opis padajućeg izbornika:

SETUP – pruža mnogo mogućnosti, od kojih je ovog časa zanimljivo samo električno polje naboja (pozitivnih i negativnih):

• SINGLE CHARGE – jedan pozitivan naboj

• DOUBLE CHARGE – dva pozitivna naboja

• DIPOLE CHARGE – jedan pozitivan i jedan negativan naboj

MOUSE – određuje što će se događati lijevim click-om miša:

• MOVE OBJECT – vući ćemo objekte po ekranu

• DELETE OBJECT – brišemo objekte sa ekrana

• ADD +DRAGGABLE CHARGE – dodajemo na ekran pozitivne naboje

• ADD −DRAGGABLE CHARGE – dodajemo na ekran negativne naboje

• CLEAR SQUARE – brišemo pozadinu

SHOW – određuje što će biti prikazano na ekranu:

• SHOW ELECTRIC FIELD (E) – bit će prikazano električno polje pomoću strelica. Strelice idu od tamno zelenih do svijetlozelenih, zatim postaju bijele, kako polje postaje jače.

• SHOW E LINES – bit će prikazane linije električnog polja. Boja linija ide od tamno zelene do svijetlo zelene, zatim postaje bijela kako polje

Elektrostatika ________________________________________________________________________

31

postaje jače. Gustoća linija se skoro ne mijenja, pa ako nas zanima jačina polja trebamo gledati boju linija, a ne njihovu gustoću.

• ACCURACY – određuje točnost prikazivanja polja

Lijevim click-om na gumb CLEAR ALL brišemo cijeli ekran.

Biranjem opcije:

• STOP CALCULATION – zaustavljamo računanje polja

• ENABLE CURRENT – prikazan je tok struje

• DRAW EQUIPOTENTIALS – prikazane su ekvipotencijalne linije (linije istog potencijala)

Pomoću klizača:

• RESOLUTION – podešavamo rezoluciju

• BRIGHTNESS – podešavamo osvjetljenje

• EQUIPOTENTIAL COUNT – podešavamo broj ekvipotencijalnih linija bez obzira na osvjetljenje.

1.6.2. Test naboj u električnom polju

Ovaj applet omogućuje promatranje djelovanja električnog polja na test naboj. Električno polja može se stvoriti s jedinim ili dva naboja u različitim kombinacijama polariteta i iznosa. Mogu se prikazati ekvipotencijalne plohe, silnice i vektori polja. Click-om na restart/play započinje djelovanje polja, animacija, na test naboj. Naboji se također mogu pomicati po ravnini.


32

1.6.3. Elektroskop

Za model elektroskopa sastavljenog od dvije kuglice jednakih masa m i naboja q, obješenih na klatno duljine L vrijede jednadžbe:

gmT ⋅=Θ⋅ cos2

2

sinrqkFT e⋅

==Θ⋅ Θ⋅⋅= sin2 Lr

2

22

4sintan

Lgmqk⋅⋅⋅

⋅=Θ⋅Θ

2

23

4 Lgmqk⋅⋅⋅

⋅=Θ

gm ⋅

TL Θ

qm,

Ovaj applet omogućuje animaciju elektroskopa za različite m, q i L.

1.6.4. Kapacitet pločastog kondenzatora

Elektrostatika ________________________________________________________________________

33

Otvaranjem padajućeg izbornika (lijevi click):

• DIELECTRIC (dielektrik), biramo dielektrik između ploča kondenzatora,

• PLATE AREA ( površina ploča), biramo površinu ploča,

• DISTANCE (udaljenost), biramo udaljenost između ploča

Za odabrane vrijednosti ε (dielektričnost), S (površina ploča) i d (udaljenost ploča), dobit ćemo vrijednost kapaciteta kondenzatora (engl. capacitance).

ZAKLJUČAK: Povećanjem površine ploča, povećava se i kapacitet. Ako povećavamo udaljenost među pločama , kapacitet se smanjuje. Dielektrik veće dielektričnosti uzrokovat će i veći kapacitet. To znači da je kapacitet proporcionalan dielektričnosti i površini ploča, a obrnuto proporcionalan razmaku između ploča.

1.6.5. Prirodni kondenzator

Skupljanjem (gomilanjem) pozitivnog naboja na zemlji i negativnog u oblacima (atmosferi) dolazi do prirodnog izbijanja naboja (munje).


34

1.7. Zadaci

1. Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da im se površine dodiruju. Pošto smo ih nabili nabojem 5·10-9 C, one su se otklonile tako da međusobno zatvaraju kut 40°. Kolika je masa svake kuglice ako je udaljenost od mjesta gdje je nit obješena do središta kuglice 20 cm?

Rješenje: 3.364·10-6 [kg]

2. Atom vodika ima jedan proton u jezgri i jedan elektron koji kruži oko jezgre. Uz pretpostavku daje staza elektrona kružna, nađite: a) silu kojom međusobno djeluju proton i elektron ako je razmak između tih dviju čestica 5.3·10-11 m, b) linearnu brzinu elektrona.

Rješenje: a) 8.202·10-8 [N]

b) 2.1844·106 [m/s]

3. Koliki rad moramo utrošiti da u električnom polju premjestimo naboj 10-9 C iz jedne točke polja u drugu ako je razlika potencijala između tih točaka 200 V?

Rješenje: 2·10-7 [J]

4. Dva naboja Q1 = 1.5 ·10-9 C i Q2 = 6 ·10-8 C nalaze se u zraku i udaljeni su međusobno za r = 70 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini između njih?

Rješenje: 2498 [N/C]

5. Dvije paralelne nabijene ploče svaka s površinom 1 m2 nalaze se u vakumu udaljene 2 cm. Između točaka A i B postoji razlika potencijala 5 V.

a) koliki je napon između ploča,

b) koliki je iznos plošne gustoće na pločama,

c) koliki je iznos vektora električne indukcije u točki A, a koliki u točki B i kojeg je smjera,

d) koliki je iznos energije po jedinici volumena među pločama,

e) ako naboj negativne ploče čine elektroni, a naboj pozitivne se sastoji u manjku elektrona, kolika je razlika u broju elektrona na pločama.

+ −A B

5 5mm10

Elektrostatika ________________________________________________________________________

35

Rješenje: a) 10 [V]

b) 4.427·10-9 [C/m^2]

c) D je neovisan o točki, iznosa D, smjer A→B

d) 1.101·10-6 [J/m^3] e) 5.534·1010 [elektrona] 6. U homogeno električno polje jakosti 4 000 V/m uleti okomito na silnice polja elektron brzinom 5.7·103 km/s.

a) Koliko će elektron skrenuti od svojega početnog smjera pošto u polju prijeđe put od 8 cm?

b) Kakav oblik ima staza elektrona?

Rješenje: a) 6.88 [cm]

b) parabola (horizontalni hitac)

7. Na istosmjerni izvor stalnog napona E serijski su spojeni kondenzatori C1=1μF

i C2=3 μF. a) koliki je napon na C1 ako je na C2 napon E2=50 V,

b) koliki je napon izvora E,

c) kolika je energija pohranjena u spoju,

d) ako se paralelno kondenzatoru C1 doda još jedan istog kapaciteta, koliki će napon biti na njemu,

e) koliki naboj sadrži tada C1?

Rješenje: a) 150 [V] b) 200 [V] c) 15 [mJ] d) 120 [V] e) 1.2·10-4 [C] 8. Kondenzator kapaciteta 0.6 uF nabijemo na napon 200 V i zatim ga isključimo s izvora napona. Zatim paralelno kondenzatoru priključimo drugi kondenzator kapaciteta 0,4 uF. Odredi energiju iskre koja preskoči pri spajanju kondenzatora.

Rješenje: a) 4.8 [m

2.0 ISTOSMJERNA STRUJA

Električnom strujom nazivamo usmjereno gibanje električnih naboja. Da bi gibanje bilo moguće, nužna su dva uvjeta: postojanje slobodnog (pokretnog) naboja i postojanje električnog polja.

Slobodan naboj je za različite tvari različit: u metalima i njihovim legurama slobodni naboj čine elektroni, u elektrolitskim otopinama to su pozitivni i negativni ioni, kod poluvodiča elektroni i šupljine, a kod plinova elektroni i ioni. Zbog jednostavnosti prikaza i tumačenja promatrat će se u nastavku djelovanje električnog polja na metalne vodiče, a struji u elektrolitskim otopinama i plinovima posvetit će se posebna potpoglavlja.

Električno polje je vektor, pa osim inteziteta (sile na naboj) ima i smjer. Ako se smjer električnog polja ne mijenja, ne mijenja se ni smjer gibanja naboja u vodiču, pa odatle naziv istosmjerna struja. Ako se uz to ni jakost polja ne mijenja, onda je struja stalna ili konstantna istosmjerna struja.

U praktičnoj primjeni izvori konstantnog električnog polja najčešće su elektrokemijski izvori (ili galvanski elementi), tj. različite vrste baterija i akumulatora. Takvi izvori pretvaraju kemijsku energiju u električnu i pritom na svojim stezaljkama osiguravaju stalnu razliku potencijala. Svi slobodni elektroni unutar metalnog vodiča konstantnog presjeka spojenog na takav izvor bit će izloženi djelovanju sile iste jakosti i smjera, pa će kroz sve paralelne presjeke vodiča istodobno proći isti broj elektrona. Brzina gibanja pojedinačnog naboja mnogo je manja od brzine širenja električnog efekta: iako žarulja u New Yorku spojena preko transatlanskog kabela zasvijetli gotovo istodobno s uključenjem izvora u Zagrebu, elektroni kroz to vrijeme prođu neznatan put.

Smjer istosmjerne struje jednak je smjeru električnog polja, dakle suprotan je smjeru gibanja elektrona.

Gibanje naboja ima za posljedicu nekoliko različitih učinaka: zagrijavanje vodiča (Jouleov efekt), stvaranje magnetskog polja u njegovu okolišu, prijenos tvari u elektrolitičkim otopinama, te emitiranje zračenja pri vođenju u plinu. Ponekad štetne, sve te pojave praktično su iskorištene u velikom broju trošila, uređaja i procesa.

2.1 Električni napon

Energija koju tijelo ima zbog svojeg naboja nazivamo električna potencijalna energija (W). Omjer te energije i veličine naboja u nekoj točki je stalan i predstavlja svojstvo pojedine točke električnog polja, koje nazivamo električni potencijal.

Električni potencijal (prema izrazu 1.10) označavamo sa ϕ, a jedinica mu je volt (V).

WQ

ϕ = (2.1)

Razlika potencijala između dvije točke naziva se napon. Napon između točaka B i A, VBA , je pozitivan ako je točka B na većem potencijalu od točke A, a


38

negativan je ako je obrnuto. Za uspostavljanje električnog napona treba razdvojiti raznoimene naboje, a za to je potrebno uložiti rad, tj. utrošiti energiju.

Pozitivni i negativni naboji se razdvajaju u izvorima električnog napona. Zbog toga se priključnice napona označavaju sa „+“ i „−“ i nazivaju se polovi naponskog izvora. Instrument za mjerenje napona zove se voltmetar.

Napone dijelimo na istosmjerne i izmjenične. Istosmjerni napon stalnog je polariteta, a kod izmjeničnog, polaritet se izmjenično mijenja.

2.2 Električni izvori

Električni izvor je uređaj koji na svojim stezaljkama trajno održava razliku potencijala kako bi mogao davati struju priključenom trošilu.

Trošilo će u načelu obavljati neki koristan rad. Izvor ima zadatak pretvoriti jedan oblik energije (mehaničku, kemijsku, toplinsku i sl.) u električnu, dok trošilo radi obrnut postupak. S obzirom na vrstu i način pretvorbe jednog oblika energije u drugi, najvažniji tipovi električnih izvora su :

Kemijski električni izvori: pretvaraju kemijsku energiju u električnu. Takav izvor se (nazvan galvanski element u čast L. Galvaniu) sastoji u načelu od dviju elektroda i elektrolita. Na elektrodama se pojavljuje napon kao posljedica kemijskog procesa u kojem sudjeluju tvari od kojih su elektrode napravljene i elektrolitska otopina u koju su one uronjene. Razlikujemo primarne i sekundarne elemente. Za razliku od primarnih, u sekundarnima je kemijski proces reverzibilan, što znači da se električna energija dovedena iz drugog izvora može u izvoru koji je "ispražnjen" opet povratiti u kemijsku.

Fotonaponski elementi: izvori koji djelovanjem vidljivog svjetla stvaraju električni napon. Na temelju ponašanja poluvodiča kao osnovni materijal koristi se silicij i galijev arsenid. Vrlo efikasnim smatraju se silicijevi fotonaponski elementi, koji danas pretvaraju do 20 % dobivene svjetlosne energije u električnu. Napon takvog fotoelementa iznosi do 0.6 V, a maksimalna postiziva struja ovisi o materijalu, površini i tehnologiji. Solarni silicijevi elementi daju i do 180 W/m2 ovisno o svjetlosnom zračenju.

Termoelementi: izvori koji daju napon pretvorbom toplinske energije. U načelu se za tu svrhu uzmu dvije žice različitog materijala i na jednom kraju međusobno spoje. Ako se spojno mjesto izloži višoj temperaturi, onda se na hladnijim krajevima javlja istosmjerni napon. Veličina tog napona ovisi o razlici temperatura i vrsti upotrijebljenih materijala. Primjerice, kod para željezo-konstantan dobiva se prosječno 52 μV/°C.

Generatori: strojevi koji mehaničku energiju (rotacija rotora) magnetskim putem (indukcija) pretvaraju u (izmjenični) napon. Daleko najveći dio električne energije dobiva se danas putem generatora. Istosmjerni se napon lako dobiva iz izmjeničnog s pomoću ispravljača.

Nuklearni izvori : atomska se energija složenim postupkom preko toplinske i mehaničke putem generatora (atomske centrale) pretvara u električnu energiju. Ekonomični i neopasni izvori s izravnim pretvaranjem nuklearne energije u električnu još se očekuju.

Električne izvore dijelimo na naponske i strujne. Zadatak naponskog izvora je da na svojim stezaljkama (vanjskim priključnicama) daje konstantan napon, a

Istosmjerna struja ________________________________________________________________________

39

strujnog izvora da daje konstantnu struju, neovisno o opterećenju. Zbog uobičajenog korištenja promatrat će se samo ponašanje realnog naponskog izvora.

Istosmjerni naponski i strujni izvori u električnim shemama obilježavaju se simbolom kao na slici 2-1. Elektroda na višem potencijalu označuje se oznakom "+". Označi li se u spojnoj električnoj shemi jedna točka s oznakom "a", a druga s oznakom "b" (to mogu biti i elektrode, tzv. stezaljke izvora), onda je napon između točaka "a" i "b" jednak razlici potencijala "a" i "b", pa se dogovorno

E I+

a) naponski b) strujni Slika 2-1 Istosmjerni izvori

označuje indeksima:

ab a bV V V= − (2.2)

Ako je algebarski iznos Vab pozitivan, onda je točka koja odgovara prvom indeksu (a) pozitivna, odnosno, nalazi se na višem potencijalu od točke drugog indeksa (b). Za slučaj negativnog iznosa V točka "b" ima viši potencijal od točke "a". Dobro je uočiti da je Vab=-Vba.

a a

b b

0>abV 0<abV

+

+

I I

Slika 2-2 Označavanje naponskih i strujnih veličina

Uvedenim označivanjem potencijala određen je i smjer struje koja u strujnom krugu s takvim izvorom teče izvan izvora. Smjer struje izvan izvora poklapa se s orijentacijom od točke višeg prema točki nižeg potencijala i u spojnim shemama najčešće se označuje strelicom (slika 2-2).


40

2.3 Električna struja

Među raznoimenim nabojima, razdvojenim na priključnicama izvora, vlada privlačna sila. Ako se priključnice izvora vodljivo spoje, između naboja se uspostavi vodljivi put, kroz koji nastaje gibanje naboja, koje nazivamo električna struja.

Električna struja je usmjereno gibanje naboja. Uzrok struje je napon. Kao dogovorni smjer struje uzima se smjer kojim bi se gibali pozitivni naboji.

Glavna značajka električne struje je njena jakost. Jakost struje jednaka je količini naboja koja prođe presjekom vodiča u jednoj sekundi. Oznaka za jakost struje je I, a mjerna jedinica je amper (A). Jakost električne struje skalarna je veličina definirana kao količina naboja koja prođe kroz jedinicu površine u jedinici vremena. Trenutna vrijednost jakosti struje opisana je izrazom:

dtdQi = (2.3)

gdje je dQ diferencijal (djelić) naboja, a dt diferencijal vremena. Za stalnu istosmjernu struju izraz (2.3) postaje:

QIt

= (2.4)

Instrument za mjerenje jakosti struje zove se ampermetar. Kao i napone, struje dijelimo na istosmjerne i izmjenične. Istosmjerna struja teče stalno istim smjerom, dok se kod izmjenične struje smjer s vremenom periodički mijenja.

Gustoća struje definirana je kao kvocijent iznosa struje i površine okomitog presjeka kroz koji teče:

[ ]2/ mAAIJ = (2.5)

2.4 Električni otpor

Pri toku struje kroz metalnu žicu (vodič) slobodni elektroni nailaze na atome, koji zbog topline titraju oko svojih ravnotežnih položaja u kristalnoj rešetki metala. Možemo zamisliti da atomi tako priječe slobodni put elektronima, što se očituje kao opiranje tvari protoku električne struje.

Općenito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja, koja se nazivaju električni radni otpor (kraće električni otpor ili samo otpor). Oznaka za električni otpor je R, a jedinica Ω.

Otpor vodiča proporcionalan je duljini vodiča l, a obrnuto proporcionalan njegovu presjeku A. Faktor proporcionalnosti različit je za pojedini materijal i predstavlja svojstvo tvari koje se naziva otpornost (ili specifični otpor) i označava sa ρ.

Prema tomu, otpor vodiča računa se kao:


41

lRA

ρ= (2.6)

Recipročna vrijednost otpora zove se vodljivost i označuje sa G:

1 1 A AGR l l

γρ

= = ⋅ = (2.7)

Gdje je specifična vodljivost:

[ ]./1 mSρ

γ = (2.8)

Specifični otpor ρ ima jedinicu Ω·m, a zbog čestog izražavanja presjeka vodiča u mm2 i duljine u m koristi se i Ω·mm2/m.

Jedinica električnog otpora je om (Ω), a električne vodljivosti simens (S). Simbol i oznaka električnog otpora prikazan je na slici 2-3.

R

Slika 2-3 Simbol i oznaka električnog otpora

2.4.1 Promjena otpora s temperaturom

Povećanje temperature metalnih vodiča izaziva veću amplitudu titranja kristalne rešetke. To uvjetuje povećanje broja sudara slobodnih elektrona i smanjenje gustoće struje, jer se smanjuje njihova rezultantna brzina. Pad jakosti struje uz isti napon odgovara povećanju otpora . Dakle, otpor vodiča se kod većine materijala povećanjem temperature povećava:

RRR Δ+= 20ϑ (2.9)

gdje su:

• R20 - vrijednost otpora kod sobne temperature (20°C),

• ΔR - povećanje otpora s porastom temperature,

• Rϑ - nova vrijednost otpora na temperaturi ϑ.

Prirast otpora ovisi o materijalu (temperaturni koeficijent otpora α[1/°C]),

prirastu temperature ( Co20−=Δ ϑϑ ) i početnoj vrijednosti otpora R20 :

20RR ϑα Δ=Δ (2.10)


42

Naziv Oznaka ρ[Ω mm2/m] γ[Sm/mm2] α[1/C0] Aluminij Al 0,0270 37 0,0040 Bakar (mek) Cu 0,0172 58 0,0039 Bronca Bc 0,0278 35,8 0,004 Kositar Sn 0,115 8,6 0,0042 Mjed Mj 0,075 13,3 0,0016 Nikal Ni 0,09 11 0,006 Olovo Pb 0,208 4,8 0,0043 Srebro Ag 0,0163 61,4 0,0041 Željezo Fe 0,098 10,1 0,0065 Živa Hg 0,958 1,04 0,0009 Cekas 1,11 0,93 0,00019 Kanthal 1,45 0,7 0,000032 Manganin 0,48 2,14 0,000015 Konstantan 0,49 2,1 0,00005

Tablica 2.1. Električna svojstva metalnih vodiča

Tablica 2.1. pokazuje metale i metalne legure s njihovim specifičnim

otporom, specifičnom vodljivosti i temperaturnim koeficijentima.

Uvrsti li se izraz (2.10) u izraz (2.9) dobiva se:

( ) ( )[ ]201120 −+=Δ+= ϑαρϑαϑ AlRR (2.11)

Lako se iz ovog izraza vidi da se kod pozitivnog a smanjivanjem temerature kod istog materijala smanjuje i njegov otpor, tj. da je za temperature manje od 20°C otpor Rϑ manji od R20 .

Treba napomenuti da je temperaturni koeficijent α konstantan samo za uski temperaturni opseg. Za točniju temperaturnu ovisnost linearni model nije dovoljan, pa se proširuje s kvadratičnim koeficijetnom β i početak izraza (2.11) postaje:

[ ]( )220 1 ϑβϑαϑ Δ+Δ+= RR (2.12)

Zanimljivo bi bilo izračunati kod koje temperature otpor vodiča postaje jednak nuli. Iz izraza (2.11) uz pretpostavku konstantnog α slijedi:

( )20 1 20 0,R α ϑ+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.13)

pa je

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 201α

ϑ (2.14)

Primjer: Za bakar (α=0,00392) iz izraza (2.14) slijedi ϑ=-235,14°C. Međutim,

mjerenja pokazuju da bezotporno stanje, tzv. supravodljivost, nastaje tek na temperaturama oko apsolutne nule (0K = -273,15°C). To ujedno potvrđuje da ovisnost R=f(ϑ) nije linearna.


43

Veza otpora i temperature može se prikazati dijagramom kao na slici 2-4. Pri stanovitoj kritičnoj temperaturi ϑK (koja je, na primjer, za živu 4,12 K, aluminij 1,14 K, cink 0,79 K) otpor naglo pada i približno je jednak nuli.

ΘKΘ

R

Slika 2-4. Ovisnost otpora i temperature

Pojava supravodljivosti za buduću elektrotehniku je od izuzetnog značenja. Usmjereno gibanje naboja u takvoj okolini ne nailazi na prepreke, pa nema toplinskih gubitaka.

2.5 Ohm-ov zakon

Jakost struje kroz otpornik ovisi samo o naponu na otporiniku i otporu otpornika: raste s naponom V, a opada s porastom otpora R. To je Ohm-ov zakon, koji napisan u obliku jednadžbe izgleda ovako:

VIR

= (2.15)

Ohm-ov zakon općenito se može iskazati ovako: u zatvorenom strujnom krugu jakost struje I razmjerna je priključenom naponu V, a obrnuto razmjerna otporu kruga R.

I

I−

V− V

1I

2Iα

a b

Slika 2-5 I=f(V) u metalnom vodiču

Jakost struje kroz vodič proporcionalna je naponu na krajevima vodiča, a obrnuto proporcionalna otporu vodiča. Iz grafičkog prikaza tog zakona (slika 2-5) zorno je predočena linearnost između napona, kao uzroka pojave, i njegove


44

posljedice, električne struje. I još nešto: električni otpor R u grafičkom prikazu predočen je kutem α nacrtanog pravca, i jednak je kotangensu tog kuta. Za veći otpor (pravac b) uz isti napon teče manja struja (I2<I1). Otpor vodiča može se povećati (izraz 2.6) smanjenjem presjeka, povećanjem duljine vodiča ili uporabom materijala većeg specifičnog otpora.

Iako pokazan na metalnom vodiču, Ohmov zakon nije ograničen materijalom. U tablici 2-2. predočeni su iznosi veličina specifičnih otpora različitih materijala pri sobnoj temperaturi, kako bi se što bolje istaknule podjele materijala s obzirom na njihov specifični otpor.

Tip Materijal [ ]mΩρ srebro 8106,1 −⋅ bakar 8107,1 −⋅

vodiči aluminij 8109,2 −⋅ željezo 7100,1 −⋅ konstantan 7100,5 −⋅ germanij 6100,6 −⋅

poluvodiči silicij 2103,2 −⋅ staklo 1410 1010 do

izolatori teflon 1310 kvarc 1510

Tablica 2-2. Specifični otpori različitih materijala

2.6 Kirchhoff-ovi zakoni

Spajanjem dvaju ili više električnih elemenata dobiva se električna mreža. Teorijsko proučavanje električnih mreža temelji se na teoriji grafova, jer se svaka realna električna mreža može predočiti grafom. Osnovni elementi grafa su grane i čvorišta. Svaka grana ima dva čvorišta. Realni električni elementi koji se ovdje spominju (otpornik, kondenzator, zavojnica, izvor) imaju po dvije stezaljke ili priključnice. Stezaljkama odgovaraju čvorišta grafa, a elementi se označuju odgovarajućim simbolima u granama.

Opisani jednostavni strujni krug je također električna mreža, i to s dvije grane i dva čvorišta. U jednoj grani je simbol naponskog izvora, a u drugoj, paralelno spojenoj, simbol otpornika.

U električnim mrežama vrijede tri zakona. Prva dva se zovu Kirchhoff-ovi zakoni i izriču strujno-naponske prilike u mreži. Pritom je bitno samo kako su elementi međusobno spojeni (topologija mreže), a nije bitan karakter (vrsta) elemenata. Treći zakon definira odnos struje i napona u pojedinoj grani, što dakako ovisi o vrsti elementa. Za otpor je ovaj odnos već izrečen u obliku Ohm-ova zakona.


45

2.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon

Budući da je električna mreža izoliran sustav, iz zakona o očuvanju materije može se zaključiti, a eksperimentalno potvrditi, da je zbroj jakosti struja koji u bilo koje čvorište ulaze jednak zbroju jakosti struja koje iz tog čvorišta izlaze. Ulazak struje u čvorište razlikuje se po predznaku od izlaska struje iz čvorišta. To znači da se u strujnom krugu ne može pojaviti točka (čvorište) u kojoj bi se naboj gomilao, nestajao ili stvarao.

Općenito, za svaku točku dijeljenja struje vrijedi: zbroj struja koje ulaze u točku (čvorište mreže) jednak je zbroju struja koje iz te točke (čvorišta) izlaze.

Prvi Kirchhoff-ov zakon izražen jednadžbom, za bilo koje čvorište mreže, dakle glasi:

∑=

=n

iiI

1

0 (2.16)

gdje je n broj grana spojenih u promatrano čvorište.

Ako imamo neko čvorište u koje ulazi struja I, a iz tog čvorišta izlaze struje I1, I2 i I3, onda vrijedi:

1 2 3I I I I= + + (2.17)

Prebacimo li sve struje na lijevu stranu gornje jednadžbe dobivamo sljedeći izraz:

1 2 3 0I I I I− − − = (2.18)

S lijeva strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) sve struje iz promatranog čvorišta. Pozitivan predznak pritom imaju struje koje ulaze u čvorište, a negativan predznak imaju one struje koje iz čvorišta izlaze.

To vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo koje čvorište s bilo kojim brojem grana. Kada algebarski zbrojimo pojedine struje Ii u svim granama promatranog čvorišta (ulazne s pozitivnim, a izlazne s negativnim predznakom, ili obratno), rezultat mora biti nula.

Ovo je lako objasniti imajući u vidu da električna struja pretstavlja protok naboja u vremenu. Koliko naboja uđe u neku točku, toliko mora iz nje i izaći.

Primjer: Za čvor na slici 2-6. po I. Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi:

054321

54321

=−−+++=++

IIIIIIIIII


46

2I

1I

3I

4I

5I

Slika 2-6. I Kirchhoff-ov zakon

Ako je mjerenjem utvrđeno da su I1=I2=I3=2A, a I4=1A, onda se sigurno zna (nesigurni neka provjere), da je I5=5A.

Ako je uz iste vrijednosti struja I1, I2 i I3 izmjereno I4=10 A, znači da je I5=4A, ali ovog puta suprotnog smjera (struja I5 utječe u čvorište).

2.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon

Drugi Kirchhoff-ov zakon odnosi se na naponske prilike u mreži. Put kojim se iz bilo kojeg čvorišta, idući po uvijek novim granama mreže, dođe u isto čvorište, zove se petlja. Drugi Kirchhoffov zakon izriče da je zbroj napona u bilo kojoj petlji u električnoj mreži jednak nuli. Budući da je napon u svakoj grani mreže razlika potencijala dvaju njezinih čvorišta, taj zakon ne govori ništa drugo, nego već poznati izraz (1.15) iz elektrostatike, primijenjen na prilike u električnoj mreži.

Zakon se obično formulira u sljedećem obliku:

∑∑==

=m

iii

n

ii RIE

11

(2.19)

gdje je: • n - broj električnih izvora u promatranoj petlji, a • m - broj otpora u ostalim granama iste petlje.

U serijskom krugu ukupni napon izvora jednak je ukupnom zbroju napona

na otporima.

Ako u strujnom krugu imamo izvor napona E, i dva otpora na kojima su padovi napona V1 i V2 vrijedi

1 2E V V= + (2.20)

Prebacimo li sve napone na jednu stranu gornje jednadžbe, dobivamo sljedeći izraz:


47

1 2 0E V V− − = (2.21)

S lijeve strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) svi naponi iz promatrane petlje, što potvrđuje opći oblik da je algebarski zbroj napona uzduž (zatvorene) petlje električnog kruga jednak nuli, tj.

1 10

n m

i ii i

E V= =

− =∑ ∑ (2.22)

Ovo vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo koju zatvorenu putanju (petlju) i obići je zbrajajući algebarski pojedine napone Vi svakog električnog elementa na tom putu. Rezultat uvijek mora biti nula.

To je lako objasniti gledamo li napon kao razliku potencijala: iz koje god točke kruga započeli obilazak, na kraju se vratimo na istu točku, a to znači na isti potencijal.

2.7 Spajanje električnog otpora u strujnom krugu

U bilo kojem dijelu strujnog kruga dva otpornika mogu biti međusobno spojena samo na dva načina: serijski ili paralelno. Kombinacijom tih načina dobivaju se različite složene sheme. Pri rješavanju odnosa u strujnim krugovima česta je potreba da se spoj s više otpora zamijeni ili izrazi ekvivalentnim otporom. Sljedeći primjeri, osim rješavanja tog zadatka, pokazuju i tehniku rješavanja električnih mreža, koristeći Ohm-ov zakon i Kirchhoff-ove zakone.

2.7.1 Serijski spoj otpora

Neka se spoje serijski dva otpornika u strujni krug, kao što prikazuje slika 2-7. Po I Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi da je struja kroz oba otpora ista (slika 2-7. a) :

III == 21 (2.23)

a po II. Kirchhoff-ovom zakonu da je:

1 2 1 1 2 2V V V I R I R= + = + (2.24)

2R1R

1I 2I

I

V

SRI

V

+++

a) dva serijski spojena otpornika b) ekvivalentni nadomjesni spoj

Slika 2-7 Serijski spoj otpornika


48

Za ekvivalentni strujni krug (slika 2-7.b)) u kojem pod djelovanjem iste EMS

(elektromotorne sile, naponskog izvora E) teče ista struja I kao u a) slučaju, vrijedi:

sV IR= (2.25)

Povežu li se sva tri izraza: (2.23), (2.24) i (2.25) dobiva se:

21 IRIRIRs += (2.26)

odnosno:

21 RRRs += (2.27)

Za više serijski spojenih otpora, razmatranje bi bilo analogno, pa se može zaključiti: ekvivalentni otpor serijski spojenih otpora jednak je njihovu zbroju:

∑=

=n

iis RR

1 (2.28)

Kroz serijski spojene elemente teče ista struja. Zbog toga se ampermetar uvijek spaja serijski. Općenito, za serijski spoj raznih otpora omjer napona dobiva se iz uvjeta jednakosti struja

1 2

1 2

1 2

I I IV VR R

= =

= (2.29)

iz čega proizlazi: 1 1

2 2

V RV R

= (2.30)

Na serijskom spoju otpora napon se dakle, dijeli u omjeru veličina otpora.

Ako mijenjamo serijski spojene otpore u strujnom krugu, zbroj padova napona na otporima neće se promijeniti i bit će uvijek jednak ukupnom naponu izvora.

Kod serijskog spoja n jednakih otpora, ukupni otpor je n puta veći od pojedinog otpora u spoju. Priključak na izvor serijskog spoja otpora opterećuje izvor isto tako kao jedan otpor koji bi bio jednak ukupnom otporu tog serijskog spoja.

2.7.2 Paralelni spoj otpora

Paralelno spojeni otpori imaju isti napon, jer imaju zajednička čvorišta


49

1R 2R

1I 2I

I

pR

I

+

+ + +

+

Slika 2-8 Paralelni spoj otpornika a) dva paralelno spojena otpornika b) ekvivalentni nadomjesni spoj

Ako u strujnom krugu imamo dva paralelno spojena otpora R1 i R2, naponi

na njima V1 i V2, bit će jednaki

1 2V V= (2.31)

Iz Ohmovog zakona (2.15) slijedi:

1 1 2 2I R I R= (2.32)

Iz ovoga proizlazi sljedeći odnos struja kroz paralelno spojene otpore

1 1 2

2 2 1

I R GI R G= = (2.33)

gdje su G1 i G2 vodljivosti.

Struja se dijeli na paralelne grane električnog kruga tako da se jakosti struja u granama odnose obrnuto razmjerno otporima grana, to jest upravo razmjerno vodljivostima grana.

Ovo znači da u paralelnom spoju otpora jača struja teče kroz manji otpor.

U krajnjem slučaju, kad bismo paralelno nekom otporu imali kratki spoj (otpor jednak nuli) tad bi sva struja tekla kroz kratki spoj.

Ako imamo strujni krug sa izvorom napona V i dva paralelno spojena otpora R1 i R2, vrijedi Kirchhoff-ova jednadžba za struje (2.16)

1 2I I I= + (2.34)

Dijeljenjem obje strane jednadžbe s naponom izvora dobivamo

1 2I IIV V V= + (2.35)

Omjer struje i napona jednak je recipročnoj vrijednosti otpora ili električnoj vodljivosti G.

Na desnoj strani jednadžbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok lijeva strana (omjer struje i napona izvora) pretstavlja ukupnu vodljivost kruga, što se može napisati kao:

1 2pG G G= + (2.36)


50

Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti paralelnih grana.

Za više paralelno spojenih otpora razmatranje bi bilo analogno, pa se može zaključiti: ekvivalentna vodljivost (vidi 2.7) paralelno spojenih otpornika jednaka je zbroju njihovih pojedinačnih vodljivosti:

∑=

=n

iip GG

1

(2.37)

odnosno

∑=

=n

i ip RR 1

11 (2.38)

što se može raspisati za otpor Ruk paralelnog spoja n otpora: R1, R2, do Rn:

1 2

1 1 1 1...uk nR R R R= + + + (2.39)

Na temelju ove jednadžbe (2.39), ukupni otpor dvaju paralelno spojenih otpora R1 i R2, računa se kao

1 2

1 2uk

R RRR R

⋅=

+ (2.40)

Iz jednadžbe za vodljivost (2.37) vidi se da povećanjem broja paralelno spojenih otpora raste ukupna vodljivost, tj. smanjuje se ukupni otpor spoja.

Otpor paralelnog spoja n jednakih otpora R, n puta je manji od pojedinog otpora, tj.

ukRRn

= (2.41)

2.8 Električna struja u ioniziranom plinu

Dok je u metalnim vodičima struja moguća pod djelovanjem polja zahvaljujući postojanju slobodnih elektrona, unaprijed nije sigurno da i u plinovima ima slobodnih naboja. Na prvi pogled nisu jasne okolnosti pod kojima struja nastaje i održava se u plinu. Također je problematično da li struja može teći u vakuumu (plinu pri tlaku 0) ili ne. Intenzivno eksperimentiranje strujom u plinu, već od sredine 19. stoljeća, dovelo je do spoznaja koje se mogu sažeti u nekoliko točaka:

1. Struja u plinu znači naboj u gibanju, za što su neophodni dakako naboji i polje. Polje se održava vanjskim izvorom priključenim na granice prostora s plinom (elektrode).

2. Pojava struje u plinu ovisi o porijeklu naboja. U prvom slučaju jedna od elektroda (katoda) žarenjem isijava elektrone u plin (katodne zrake), a druga elektroda (anoda) ih skuplja, a u drugom slučaju


51

(hladna katoda), naboj se stvara ionizacijom atoma plina preko stranog zračenja i/ili djelovanjem polja.

3. Na jakost struje u plinu, osim jakosti električnog polja utječe i vrsta korištenog plina (helij, neon, argon, živine i litijeve pare itd.) i njegov tlak. Plin vodi struju kod normalnog tlaka (oko 100 kPa), pri razrijeđenom plinu (između 100 i 1000 Pa), te uz tehnički vakuum (između 1 i 100 mPa). Dakako, idealni vakuum predstavlja savršen izolator, koji to prestaje biti kada se u njega ubace, na primjer, elektroni.

4. Povećanjem napona između elektroda raste brzina slobodnih naboja u plinu. Oni sudarom s drugim česticama plina generiraju nove slobodne ione i taj se učinak razvija poput lavine.

Na slici 2-9. prikazana je (V, I) karakteristika zraka za normalni tlak uz razmak elektroda od 1 mm. Slijedi kratak opis pojedinih područja:

a) 0 - A : vrijedi Ohmov zakon - za veći napon imamo veću struju, premda izuzetno male jakosti. Među 27ÿ1018 molekula po cm2 zraka postoji samo 100 do 1000 ioniziranih molekula.

b) A - B : područje zasićenja. Kinetička energija slobodnih elektrona tako je mala da se poništava prilikom sudara s molekulama plina, pa porastom napona ne raste jakost struje.

c) B - C : udarna ionizacija. Elektroni dobivaju povećanjem napona dovoljnu energiju za ionizaciju plina, uslijed čega se broj nosilaca naboja (ioni i elektroni) povećava. U točki C pojavljuje se tinjavi izboj - pojava svjetla između katode i anode.

[ ]VV

[ ]AI

A BC

D

210 310

1

10

310−

610−

910−

1210−

1510−

Slika 2-9 (V,I) karakteristika električne struje u zraku

d) C - D : daljnjim povećanjem napona gustoća struje na katodi raste, svjetlosni učinak se pojačava i u točki D dolazi do lučnog izboja. Za lučni izboj karakteristične su velike gustoće struje (od 102 do 104 A/cm2 ) i smanjenje napona na samo 15 do 55 V.

Premda pojedini efekti imaju štetan karakter, kao na primjer iskrenje na kontaktima ili pojava korone na dalekovodima visokog napona, ipak električna struja u plinu ima brojne primjene: različite svijetleće cijevi (područje C-D), zavarivanje (iznad točke D), elektrofilter, elektrostatsko lakiranje i slično.


52

2.9 Elektrokemijske pojave

Kad se u vodi ili nekom otapalu otope molekule soli, kiseline ili lužine, dolazi do dijeljenja neutralnih molekula na pozitivno i negativno nabijene ione. Atomi vodika i metala predaju svoje valentne elektrone ostalom dijelu molekule koja tako postaje negativni ion. Urone li se elektrode u takvu otopinu (elektrolit) i na njih priključi istosmjerni napon dolazi do elektrolize. Pozitivna elektroda (anoda) privući će k sebi negativne ione, dok će negativna elektroda (katoda) privući pozitivne ione. Gibanje iona - molekula i/ili dijelova molekule znači prijenos tvari prema elektrodama, na kojima su moguće i naknadne, sekundarne kemijske reakcije.

Kao primjer može se promotriti proces elektrolize u vodenoj otopini srebrnog nitrata AgNO3. Kao anoda koristi se srebrena pločica, a kao katoda neki metalni predmet, na primjer od bakra (slika 2-10).

CuAg3AgNO

Ag

A+ K−

V Slika 2-10 Proces elektrolize

Ioni srebra koji su predali svoje valentne elektrone kiselinskom ostatku NO3

postaju pozitivni, pa se talože na bakrenoj katodi, dok se NO3 lako spaja sa srebrom anode,dajući opet AgNO3 u otopinu. Koncentracija soli AgNO3 ostaje tako u otopini nepromijenjena i konačni rezultat je da se srebro s ploče, posredstvom elektrolita i električne struje, prenijelo na katodu. To je jedan od brojnih postupaka u galvanostegiji, gdje se na predmete zbog zaštite od korozije ili estetskih razloga električnim putem nanosi sloj metala.

2.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize

Proučavajući elektrolitičke reakcije Faraday je uočio i formulirao dva zakona. Prvi izriče da je količina izlučenih čestica materije na elektrodama ovisna o vrsti tvari koja se izlučuje i količini protjecanog elektriciteta koji u elektrolizi djeluje.

Ako sa m označimo masu izlučene tvari, a sa Q količinu elektriciteta, onda vrijedi:

Qam = (2.42)

Faktor proporcionalnosti a nazvan je elektrokemijski ekvivalent i razlikuje se za pojedine tvari. To znači da će za istu količinu elektriciteta količina izlučene tvari za različite tvari biti različita. Kako je Q=I t , isti se izraz može napisati i kao:


53

tIam = (2.43)

Količina izlučene tvari na elektrodama proporcionalna je ukupnoj količini elektriciteta koja je prošla kroz elektrolit. Pritom svaki ion u elektrolitu u sebi nosi određenu količinu naboja (koja je za različite tvari različita, a za iste ista).

Drugi Faraday-ev zakon opisuje elektrokemijski ekvivalent elementa s obzirom na njegovu atomsku strukturu, te međusobne odnose elektrokemijskih ekvivalenata različitih kemijskih elemenata.

Ako se s A označi atomsku masa, a s v valencija, onda za dva kemijska elementa vrijedi:

2

2

1

121 ::

vA

vAaa = (2.44)

To znači da se elektrokemijski ekvivalenti dvaju elemenata odnose kao njihove ekvivalentne mase (omjer atomske mase i valencije). Drugim riječima: ioni elemenata kojih je valencija dva, tri, četiri, ... puta veća u odnosu na vodik, prenose dvostruku, trostruku, četverostruku, ... količinu naboja.

Iz izraza (2.44) slijedi još jedan zanimljiv rezultat:

FQva

Ava

Ava

A=

⋅=== ...

22

2

11

1 (2.45)

gdje je QF = 96.489ÿ106 As/kg (Faraday-eva konstanta).

Elektrokemijski ekvivalent nije neka empirijska konstanta proporcionalnosti,

kako bi se to iz izraza (2.42) moglo pomisliti, nego egzaktna veličina koja se za svaki element može unaprijed izračunati (a=A/QFv). Tako se povezujući oba izraza (I. Faraday-ev zakon (2.42) i II. Faraday-ev zakon (2.45)) za masu izlučene tvari kao rezultat elektrolize dobije:

[ ]6

1 196.489 10F

A Am I t Q kgv Q v

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

(2.46)

i time elektrolitički odnosi postaju potpuno određeni.

2.9.2 Primarni elementi

Do sada je bilo opisano ponašanje elektrolita pod djelovanjem električnog napona priključenog na elektrode uronjene u elektrolit. Druga zanimljiva pojava vezana je uz elektrolitsku polarizaciju koja se događa kad se u elektrolit urone dvije elektrode različitog kemijskog sastava. Između takvih dviju elektroda, bez vanjskog djelovanja, pojavit će se napon. Iznos napona osim o kemijskom sastavu elektroda ovisi također i o elektrolitu. Tako su dobiveni prvi električni izvori, nazvani galvanski elementi. Na istim načelima, uz stanovita poboljšanja u veličini napona i vijeku trajanja, ti elementi nalaze svoju široku primjenu gotovo već dva stoljeća. (Prvi element konstruirao je A.Volta 1800. godine.)

Ne ulazeći u kemijske promjene koje se pritom događaju vrijedno je napomenuti da se izmjenom kemijskog sastava (kako elektroda tako i elektrolita)


54

mijenja i potencijal pojedine elektrode. To se događa čak i kad je elektroda uronjena u otopinu vlastitih iona. Budući da se ne može mjeriti apsolutni potencijal jedne elektrode, već samo razlika potencijala između dviju elektroda, dogovorno je utvrđeno da se svi potencijali uspoređuju s potencijalom vodikove elektrode. Drugim riječima, dogovorno je proglašen njezin potencijal jednakim nuli. Kemijski elementi poredani po veličini njihova potencijala prema vodikovoj elektrodi tvore elektrokemijski naponski niz.

U tablici 2-3. navedeni su potencijali nekih elemenata s obzirom na vodikovu elektrodu u elektrolitskoj otopini vodikovih iona.

Spoji li se galvanski element kao izvor napona u zatvoreni strujni krug, on će, ovisno o trošilu i naponu između svojih elektroda, davati električnu struju.

Elektroda Potencijal [V] Li -3,02 K -2,92 Ca -2,87 Mn -1,05 Zn -0,76 Pb -0,13 Cu +0,52 Ag +0,79

Tablica 2-3. Elektrokemijski naponski niz

Ona će dakako, osim u vanjskom krugu, teći i u samom izvoru: od katode

preko elektrolita do anode. Pritom će se zbog elektrokemijskih procesa neutralizacije iona elektrolita s molekulama elektroda događati promjene u kemijskom sastavu elektroda, što će smanjivati prvotni napon između njh.

Na primjer, ako se na anodi Voltina elementa Cu/H2SO4/Zn (prva elektroda/elektrolit/druga elektroda) vodik razvija brže nego što se može ukloniti, dobiva se novi element H2/H2SO4/Zn kojem je napon između elektroda puno manji nego prvotnom. To smanjenje napona zbog promjena na elektrodama zove se polarizacija.

Taj nepoželjni efekt nastojali su mnogi znanstvenici u prošlom stoljeću (Daniel, Meidinger, Bunsen, Leclanche) poništiti korištenjem takozvanih depolarizatora.Depolarizatori služe da bi se najčešće oksidacijom uklonio vodik s pozitivnog pola.

U Leclanche-ovom elementu (slika 3.10) iz kojeg se razvio najveći broj današnjih baterija (slika 3.11) kao depolarizator služi MnO2 kojim je obložena ugljikova anoda.


55

C Zn

2MnO ClNH4

Zn

C

2MnO

Slika 2-11 Leclanche-ov element Slika 2-12 Element baterije

Takve baterije koriste cinkovu limenu posudu kao negativnu elektrodu, dok je ugljeni štapić pozitivna elektroda obložena praškastim manganovim superoksidom. Napon jednog elementa je 1.5 V, a serijskim spojem takvih elemenata dobivene su plosnate baterije od 4.5 V, četvrtaste od 9 V i sl.

Spomenuta izvedba pripada baterijama s tekućim elektrolitom koji je pogodnim dodacima zgusnut (suhe baterije). U klasu suhih baterija ubrajaju se i živine baterije (održavaju razmjerno konstantan napon do potpunog iskorištenja), srebrno-kloridne (nizak napon i dug vijek trajanja), vanadijeve i druge.

Danas su sve više u uporabi živine (živin oksid - cink), srebrene (srebrni oksid - cink), magnezijeve i litijeve baterije, koje se odlikuju stabilnim naponom (od 1.3V do 3V), širokim područjem radnih temperatura, mehaničkom čvrstoćom i dugim vijekom skladištenja.

Postoje i baterije s krutim elektrolitom (malih dimenzija i naponom vrlo duga vijeka, čak do 20 godina), zatim baterije koje se aktiviraju tekućinom (nalivne baterije), plinom ili grijanjem (termalne baterije). Sve one uglavnom služe za posebne (vojne) svrhe.

Regeneracija takvih elemenata nije moguća, pa su istrošene baterije neupotrebljive. Zahtjev za regeneracijom ostvaren je kod akumulatora.

2.9.3 Sekundarni elementi

Osnovno svojstvo akumulatora kao električnog izvora u kojem se kemijska energija pretvara u električnu je njegova mogućnost regeneracije. S obzirom da se radi o reverzibilnom kemijskom procesu, regeneracija se ostvaruje strujom iz stranog električnog izvora koji se na elektrode akumulatora priključuje tako da struja u elektrolitu teče u suprotnom smjeru od onog kojim je tekla kad je akumulator davao struju priključenom trošilu.

Prvi olovni akumulator načinio je G. Plant'e 1859. godine. Iako danas postoji više različitih vrsta akumulatora, osnovna načela izvedbe i rada bit će u nastavku prikazana na olovnom akumulatoru. Napon jedne ćelije olovnog akumulatora je oko 2 V, i obično se 6 ili 12 ćelija povezuje serijski, pa daju ukupni napon od 12 V, odnosno 24 V. Jedna ćelija akumulatora prikazana je na slici 2-13. Elektrolit je razrijeđena sumporna kiselina, anoda je olovni superoksid, a katoda čisto olovo. Priključi li se trošilo na stezaljke napunjenog


56

akumulatora, poteći će struja, koja će u elektrolitu potaknuti sljedeću kemijsku reakciju:

OHPbSOPbSOSOHPbPbO 244422 22 ++→++ −+−+ (2.47)

42SOH

2PbOPb

KA+ −trošiloI

Slika 2-13 Olovni akumulator

To znači da se obje elektrode postupno kemijski izjednačuju i pretvaraju u olovni sulfat, što će dakako smanjivati njihovu međusobnu razliku potencijala. Iz kemijske reakcije (2.47) vidljivo je još nešto: u elektrolitu se kiselina sve više razrjeđuje vodom, pa nam uz naponske promjene i gustoća kiseline može poslužiti kao kazalo da li je akumulator pun ili prazan. Posebno izgrađeni areometri za mjerenje gustoće kiseline koriste se za takva mjerenja. Kad napon akumulatora padne ispod 90% nazivnog, potrebno je akumulator "napuniti". Izvor istosmjerne struje za regeneraciju akumulatora treba sada spojiti tako da na anodu dođe " + " pol, a na katodu " - " pol izvora. To će rezultirati odvijanjem suprotnog kemijskog procesa:

422244 22 SOHPbPbOOHPbSOPbSO ++→++ −+−+ (2.48)

Za vrijeme punjenja, dakle, elektrode i elektrolit vraćaju se po svom kemijskom sastavu u prvotno stanje, koje osigurava i prvotne naponske prilike (usporedite kemijske jednadžbe (2.47) i (2.48)).

Postoje još tri pojma koja je korisno poznavati u radu s akumulatorima: kapacitet akumulatora, dobrota i korisnost.

Kapacitet akumulatora je umnožak struje i vremena u kojem tu struju akumulator može davati. Označenje na izvedenim akumulatorima za nazivnu struju, što znači da se akumulator kapaciteta 90 Ah i nazivne struje 10 A, može njome opteretiti 9 sati.

Kapacitet ipak nije konstanta akumulatora nego ovisi o uvjetima eksploatacije. Za struje manje od nazivnih, za intermitirajući pogon, te pri višim temperaturama kapacitet je veći. Za gornji primjer: strujom od 15 A isti akumulator ne bismo mogli opteretiti 6 sati, nego manje.

Omjer

Ah praznjenjaAh punjenja

ς = (2.49)

zove se dobrota akumulatora. Punjenje će trebati više ampersati nego što se dobiva pri pražnjenju, pa je kod olovnih akumulatora dobrota oko 0.95.


57

S obzirom da se prilikom punjenja privodi viši napon na stezaljke akumulatora nego što je napon pražnjenja, energetski omjer koji se zove korisnost

punjenjaWhpraznjenjaWh

punjenjaUpraznjenjaU

=⋅= ςη (2.50)

bit će manji od ζ, te za olovne akumulatore iznosi oko 0.80. Osim olovnih postoje i "alkalijski" željezno-nikaljni (otporni na električne i mehaničke udarce), nikaljno-kadmijevi (najveća brzina punjenja), srebreno-cinčani (mala težina i volumen) i drugi akumulatori.

2.10 Jednostavni strujni krug

Električni strujni krug nastaje povezivanjem električnog izvora s trošilom. Vodljiva veza izvora s trošilom zove se vod. Trošilo će primljenu energiju izvora u načelu pretvarati u koristan rad. Jednostavni strujni krug sastoji se dakle od tri osnovna dijela: električnog izvora, trošila i dvožičnog voda (slika 2-14).

U električnom izvoru se djelovanjem neelektrične sile razdvajaju raznoimeni naboji i povećava njihova potencijalna energija. To rezultira naponom na polovima (stezaljkama) izvora čiji se najveći mogući iznos zove elektromotorna sila izvora i najčešće se označuje s E ili EMS.

+

TR

I

E+

−

+

−

A

VTR

+

I

E

a) bez mjernih instrumenata b) s mjernim instrumentima

Slika 2-14 Jednostavni strujni krug

Najveći potencijal bit će na pozitivnom ("+") polu, a onda će u smjeru struje potencijal opadati. Najmanji potencijal imat će negativna stezaljka.

Iz elektrostatike je poznato (poglavlje 1.) da gibanje naboja u prostoru u kojem se električni potencijal tog naboja mijenja predstavlja rad (W=Q·V). Neka se pretpostavi da su svi otpori strujnog kruga izraženi otporom R. Dakako, na njemu vrijedi Ohm-ov zakon: struja će uz isti napon biti manja ako je otpor veći, i obratno.

Općenito, u prirodi postoje dva temeljna zakona: zakon o očuvanju energije i zakon o očuvanju materije (moglo bi se u načelu govoriti o istom zakonu). Prvi zakon izriče da je energija u izoliranom sustavu (nezavisnom od svoje okolice) uvijek konstantna. To znači da je u idealnom slučaju energija koju daje izvor jednaka energiji koja se dobiva u trošilu:


58

i T TE Q V Q⋅ = ⋅ (2.51)

Prema drugom zakonu količina je naboja (materije) u izoliranom sustavu također konstantna, a to znači da je količina naboja koja iz izvora ode jednaka količini naboja koja kroz trošilo prođe i natrag se u izvor vrati (Qi=QT). Budući da na otporu trošila vrijedi Ohm-ov zakon (VT=I·RT), gornji izraz (2.51) sad izgleda:

TE I R= ⋅ (2.52)

Iz dobivenog rezultata može se zaključiti sljedeće:

1. Napon VT na R (tzv. pad napona na trošilu), jednak je elektromotornoj sili izvora:

TE V= (2.53)

2. Struja koja u jednostavnom strujnom krugu teče ovisi o naponu izvora i otporu kruga:

TREI = (2.54)

3. Jakost struje jednaka je u svakom dijelu jednostavnog strujnog kruga, samo je smjer s obzirom na stezaljke u izvoru od "-" prema "+" polu, a kroz vanjski strujni krug od "+" pola prema "-" polu.

Svi navedeni zaključci mogu se provjeriti spajanjem mjernih instrumenata (slika 2-14. b).

Jakost struje mjeri se ampermetrom. Ampermetar se u strujni krug priključuje serijski (prekidom vodiča i spajanjem instrumenta na prekinute priključke). Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što manji.

Iznos napona mjeri se voltmetrom. Voltmetar mjeri razliku potencijala između dviju točaka. Zato se priključuje paralelno izvoru ili trošilu čiji napon želimo mjeriti. Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što veći. Veliki otpor instrumenta paralelno spojenog manjem otporu trošila ne mijenja značajno ukupni otpor paralelnog spoja.

2.11 Realni jednostavni strujni krug

U realnom strujnom krugu pojave su nešto složenije u odnosu na idealni. Prije svega električni izvor ima svoje gubitke, pa dovedena energija (mehanička, kemijska, magnetska i sl.) nije jednaka odvedenoj električnoj energiji. Nadalje, realni izvor nema na svojim stezaljkama isti napon kad ga priključimo na trošilo i kad je neopterećen. Realno ponašanje takva izvora može se prikazati dijagramom kao na slici 2.15.


59

0 I

U

Slika 2-15 Vanjska karakteristika realnog izvora napona

Da bi se takvo ponašanje uzelo u obzir, pretpostavlja se da u svakom realnom izvoru postoji stanoviti otpor Ru na kojem dolazi do pada napona, pa se u slučaju priključenog trošila na vanjskim stezaljkama izvora pojavljuje elektromotorna sila umanjena za taj pad napona. Zato se u realnom izvoru uz simbol elektromotorne sile E crta i otpor Ru, koji se zove unutarnji ili nutarnji otpor izvora (slika 2.16).

Isto tako, vod ima svoj električni otpor (označuje se najčešće s Rv), koji treba uzeti u obzir, ako nije zanemariv prema otporu trošila.

U novim okolnostima struja I više neće zadovoljavati izraz (2.54) već će biti manja (zbog dodanih otpora izvora i otpora voda). Zbog manje struje je i napon na trošilu VT također manji od napona izvora E.

++

+

VR21

I

UR

E

VR21

TR

Slika 2-16 Realni jednostavni strujni krug

Dakako, u praksi se ni trošilu dovedena električna energija ne pretvara potpuno u koristan rad. Sve tehničke tvorevine rade s nekim stupnjem iskorištenja, tj. korisni, dobiveni učinak manji je od uložene energije.

2.12 Složeni strujni krug

Zadatak rješavanja električne mreže je potpuno odrediti struje u svim granama (po veličini i smjeru) i razlike potencijala između čvorova. Svaki električki element (otpornik, kondenzator, izvor,...) predočen je u električkoj mreži s vlastitom granom i to obično sa svojim simbolom, oznakom i iznosom fizikalne veličine koju predstavlja. Za rješavanje električne mreže razvijene su


60

brojne metode (metoda napona čvorova, metoda konturnih struja, metoda superpozicije, različite transfiguracije i slično), te izvedeni brojni teoremi koji pomažu u analizi električnih mreža (Thevenen-ov teorem, Norton-ov teorem, Millman-ov teorem i drugi). Treba naglasiti da sve metode i teoremi samo doprinose brzini i lakoći rješavanja naponsko-strujnih prilika u mreži, a da se temelji rješavanja uvijek nalaze u Ohm-ovu zakonu i Kirchhoff-ovim zakonima.

Tako na primjer za izdvojenu petlju u nekoj složenoj mreži, kao na slici 2.17. da bi se primijenio II. Kirchhoff-ov zakon potrebno je:

1. Definirati smjer obilaženja petlje. Po volji možemo odabrati u smjeru (kao na slici, crtkano) ili suprotno od smjera kazaljke na satu.

2. Uočiti smjer djelovanja izvora elektromotorne sile. Smjer je onaj koji se dobiva kretanjem kroz izvor od negativne prema pozitivnoj stezaljki.

3. Po volji odabrati smjerove struja u pojedinoj grani.

4. Primijeniti II. Kirchhoff-ov zakon.

3R

2R

1R

1E

2E

+

+

+

+

3I

2I

1I

Slika 2-17 Primjer rješavanja petlje u električnoj mreži

Ako se smjer djelovanja EMS podudara sa smjerom obilaženja, onda se ta EMS u jednadžbi uzima s pozitivnim predznakom. Ako se smjer struje I kroz otpornik R podudara sa smjerom obilaženja, onda se pad napona I·R uzima s pozitivnim predznakom. Za shemu na slici 2-17. vrijedi:

33221121 RIRIRIEE +−=− (2.55)

Treba postaviti toliko nezavisnih jednadžbi koliko je potrebno da se riješe sve nepoznanice.

5. Osmisliti predznake dobivenih rezultata. Naime, ukoliko je numerički rezultat za pojedinu struju negativan, znači da joj je stvaran smjer suprotan pretpostavljenom.

Primjer: Na slici 2-18. prikazan je jedan složen strujni krug:


61

+ +

1R 2R 3R

I

2I1I

1E 2E

+

Slika 2-18 Složeni strujni krug Vodeći računa o prethodnom naputku mogu se napisati tri jednadžbe:

(1) 021 =−+ III

(2) 212211 EERIRI −=−

(3) 222 EIRRI =+

(2.56)

Jednadžbe su napisane tako da se uoči mogućnost matričnog rješavanja. Jednadžbe (2) i (3) napisane su po II. Kirchhoff-ovu zakonu, a (1) po I. Kirchhoff-ovu zakonu. Te jednadžbe za poznate vrijednosti otpora R, R1 i R2, te naponskih izvora E1 i E2, daju rješenja za struje I, I1 i I2.

2.13 Realni naponski izvori

Kako je već opisano, realni naponski izvor predočuje se (slika 2-19) serijskim spojem idealnog naponskog izvora elektromotorne sile E i nutarnjeg otpora Ru.

TR

UR

E

V

IZVOR

Slika 2-19 Realni naponski izvor


62

Priključi li se na izvor trošilo otpora RT, strujnim krugom će poteći struja I čija jakost iznosi (uz zanemarenje otpora voda, tj. uz pretpostavku Rv=0):

Tu RREI+

= (2.57)

(Ekvivalentna pretpostavka bila bi da su svi otpori izvan izvora obuhvaćeni s RT ). Odavde je:

u TE I R I R= ⋅ + ⋅ (2.58)

Napon V (V=I·RT) koji se može mjeriti na stezaljkama izvora je prema gornjem izrazu (2.58) jednak:

uV E I R= − ⋅ (2.59)

dakle, napon idealnog izvora elektromotorne sile E umanjen za pad napona na nutarnjem otporu.

2.13.1 Vanjska karakteristika realnih izvora

Zanimljivo je promotriti dva krajnja slučaja, kad je RT=0 i kad je RT=∞.

Prazni hod izvora je slučaj s RT=∞. Iz izraza (2.57) vidi se da će struja I biti jednaka nuli, a iz (2.59) da će napon na stezaljkama izvora biti jednak elektromotornoj sili E (jer je I·Ru=0, uz I=0).

Ako je RT=0, iz izraza (2.58) slijedi:

TE I R= ⋅ (2.60)

odnosno:

0TV I R= ⋅ = (2.61)

Ovaj slučaj zove se kratki spoj izvora: na stezaljkama je 0 V, a krugom teče maksimalna struja Ik,

uk R

EI = (2.62)

Struja Ik zove se struja kratkog spoja. Redovito je mnogo puta veća od nazivne, pa je kratki spoj izvora nepoželjan za izvor i vodiče, jer ih može oštetiti.

Izraz (2.59) može se predočiti i grafički, kao V=f(I), što je učinjeno na slici 2-20. Uočite da izraz (2.59) preuređen izgleda ovako:

uV R I E= − + (2.63)

što grafički predstavlja pravac s odsječkom E na ordinati i nagibom -Ru.


63

[ ]AIKII'I

E

TR

TT RR >'

E

'VV

β

α

P

[ ]VV

'P

V

URI ⋅E

[ ]AI

[ ]VV

TR

E

KIKI 'α

β'β

P'P

V

'VV

I'I

Slika 2-20 Vanjska karakteristika naponskog izvora

Prikaže li se otpor RT u istom koordinatnom (V,I ) sustavu, (prema slici 2-5.

RT odgovara tangensu kuta na slici 2-20.), onda na istom dijagramu možemo pratiti sve moguće promjene.

Tako na primjer, ako otpor trošila RT raste (slika 2-20. a), točka P se pomiče prema E, raste napon V na stezaljkama izvora, struja I se smanjuje (I' < I) i napon na nutarnjem otporu pada.

Poraste li pak nutarnji otpor izvora (slika 2-20. b), onda se kut β povećava, točka Ik primiče se ishodištu, te uz isto trošilo RT imamo i manju struju (I' < I) i manji napon na stezaljkama izvora (V'<V).

U idealnom naponskom izvoru, u kojem bi bio Ru=0 vanjska karakteristika bio bi horizontalan pravac u točki E (β=0), pa bi napon V bio stalan za sva opterećenja (V = E), a struja kratkog spoja bila bi Ik=∞.

2.13.2 Spojevi električnih izvora

U slučaju da jedan izvor nema dovoljan napon ili ne može dati dovoljnu struju trošilu, koriste se različiti spojevi više električnih izvora.

Serijski spoj dvaju izvora ostvaruje se tako da stezaljku jednog izvora spojimo sa stezaljkom drugog, pa slobodne stezaljke postaju stezaljke novodobivenog izvora. Kod ovakvog spajanja imamo dakako dvije mogućnosti, što je prikazano na slici 2-21.

1E

1E

2E

2E

++

+ +

A

A

B

B

1UR 2UR

1UR 2UR

Slika 2-21 Serijski spoj realnih električnih izvora


64

U prvom slučaju (slika 2-21.a)) ukupni napon EAB=E1+E2, a u drugom, tzv. protuspoju (slika 2-21.b)) EAB=E1-E2. Spoji li se novi izvor u strujni krug, kroz njega će poteći ista struja kao kroz priključeno trošilo. Stoga treba voditi računa o nazivnim (pretpostavljenim) strujama pojedinih izvora od kojih je novi izvor sastavljen, te spoj izvora koristiti samo za takva trošila koja neće uzimati struju veću od najmanje pojedinačne nazivne struje. Poopćenje na više serijski spojenih izvora analogno je prije opisanom spoju. Ukupni napon E bit će jednak zbroju napona pojedinačnih izvora uz odgovarajući polaritet (negativan za protuspoj), a struja kroz svaki izvor bit će ista:

IIIEEn

ii ====∑

=

..., 211

(2.64)

Ako se trošilo otpora RT priključi u krug s više serijski spojenih izvora, onda će struja I teći kroz otpor i sve izvore u iznosu:

1 2

1 2

......

n

n T

E E EIR R R R

+ + +=

+ + + + (2.65)

s odgovarajućim predznakom EMS-a svakog pojedinačnog izvora.

Spojimo li izvore jednakih EMS-a E i nutarnjeg otpora Ru gornja jednadžba (2.65) postaje:

u T

n EInR R

=+

(2.66)

Kod paralelnog spoja dvaju izvora imamo također dvije mogućnosti, kako je prikazano slikom 2-22.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

1UR

2UR

1UR

2UR

1UR

2UR

TR

1E1E

1E

2E

2E

A B A BI I

I

Slika 2-22 Paralelni spoj realnih naponskih izvora


65

Izvor će u praznom hodu za slučaj na slici 2-22 a) na svojim stezaljkama imati napon E jednak:

11 uAB RIEE ⋅−= (2.67)

pa kako je:

+ +

++

+

1UR

2UR

TR

1E

2E

I

21

21

uu RREEI

+−

= (2.68)

slijedi:

( )21

1211

uu

uAB RR

REEEE+

−−= (2.69)

Ako su E1 i E2 jednaki, iz izraza (2.69) slijedi EAB=E1=E2, što se u načelu od takva izvora i traži. Ako naponi nisu jednaki, onda u samim izvorima teče stalna struja, koja može biti i veća od nominalne pojedinog izvora, pa tako uništiti sam izvor.

Razlog uporabe paralelnog spoja dvaju ili više izvora je u struji koju taj izvor može dati trošilu. S obzirom da se radi o dvije ili više grana spojenih u jednu točku, po I. Kirchhoff-ovu zakonu slijedi da će takav izvor dati ukupnu struju jednaku zbroju svih struja pojedinih grana u toj točki (slika 2-22. c).Treba uočiti da na jakost struje pojedine grane u slučaju istih elektromotornih sila presudnu ulogu ima nutarnji otpor pojedinog izvora.

Paralelni spoj izvora omogućuje dakle, uz isti napon, veću struju za trošilo:

EEEIIn

ii ==== ∑

=

..., 211

(2.70)

Pri paralelnom spajanju n jednakih izvora, jednake EMS-e E i jednakih nutarnjih otpora Ru struja kroz trošilo bit će jednaka:

uT

EI R Rn

=+

(2.71)


66

2.14 Mjerenje struje, napona i otpora

Mjerni se instrumenti spajaju u strujni krug radi mjerenja željenih veličina: struje, napona, otpora, snage. Spajanje bilo kojeg realnog instrumenta (ima konačni otpor) u strujni krug mijenja prilike u krugu. Tako će ampermetar sa svojim otporom RiA utjecati da se, na primjer, struja u jednostavnom strujnom krugu (slika 2-23. a) smanji, jer se ukupni otpor zbog instrumenta povećava (serijski spoj otpornika).

A

TR

+

I

UR

E+

+

iAR+

+

V

UR

E

TR

+

+

iVR

iII −

a) struje b) napona

Slika 2-23 Pojedinačno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu

Dakako, pritom će na ampermetru postojati pad napona (I·RiA), pa će i napon na trošilu biti manji s obzirom na prilike bez ampermetra. To je identično razmatranju da je uz manji I i pad napona na trošilu (I·RT) također manji. Zato se zahtijeva da otpor ampermetra bude što manji (idealno: jednak nuli) u odnosu na otpor trošila.

Slično razmatranje vrijedi i za voltmetar (slika 2-23. b), za koji se s obzirom na njegovo paralelno spajanje traži da otpor bude jako velik (idealno: beskonačan). Samo beskonačno velik otpor spojen paralelno trošilu ne mijenja vrijednost njegova otpora.

Ukoliko se mjerenja više električnih veličina izvode istodobno, potrebno je primijeniti takve načine spajanja, pri kojima se pogreške zbog instrumenata mogu zanemariti. Ako je pogreška ipak prevelika, onda je potrebna analitička korekcija. Odabir ispravnog spoja ovisi o zahtjevu koji se na mjerenje postavlja.

Neka se ampermetar i voltmetar spoje u strujni krug kao na slici 2-24. Prvi način spajanja (slika 2-24. a) koristi se za mjerenje napona izvora i struje koja teče kroz trošilo. (Struja kroz trošilo jednaka je struji izvora umanjenoj za iznos struje koja teče kroz voltmetar).


67

A

++

+

++

iVR

E

UR

TR

iARI

A

+

TRV V

++

+

iVR

E

iAR

VR

a) struje trošila i napona izvora b) struje izvora i napona trošila

Slika 2-24 Istodobno mjerenje

Ovim se spojem ne bi mogao točno mjeriti napon na trošilu, jer voltmetar istodobno mjeri i pad napona na trošilu i pad napona na ampermetru. Zato se za mjerenje napona na trošilu koristi spoj prikazan na slici 2-24. b). U tom pak slučaju ampermetar mjeri struju koju daje izvor, a koja (zbog konačnog otpora voltmetra) ne teče čitava kroz trošilo.

Za mjerenje otpora najčešće se koriste tri načina: V/I metoda, ommetar i Wheatstone-ov most. Prvi način, temeljen na Ohm-ovu zakonu, sasvim je jednostavan: nepoznati otpor odredi se kao kvocijent izmjerenog napona i struje.

2.15 Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar

Postoje različite izvedbe mjernih instrumenata, temeljene na različitim fizikalnim efektima, a ovdje će biti spomenuta samo izvedba vrlo poznatog i često korištenog instrumenta s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom.

Ako kroz svitak smješten unutar polova permanentnog magneta (kao na slici 2-25) prolazi struja, djelovat će na njega moment (u poglavlju o magnetizmu bit će to objašnjeno) koji uzrokuje otklon kazaljke instrumenta. Veća jakost struje dat će veći moment, a veći moment veći otklon. Protumoment djelovanju električnog momenta ostvaren je s pomoću spiralne mehaničke opruge. Ovakvi instrumenti, dakle, mjerila su jakosti istosmjerne struje (ampermetar). Međutim, posredno ih koristimo i za mjerenje napona (voltmetar) i za mjerenje otpora (ommetar).

Uz otpor instrumenta RiA (to je otpor žice svitka), još je važno poznavati jakost struje Ii kod koje kazaljka pokazuje puni otklon. Ako je na primjer otpor instrumenta RiA = 50 Ω, a Ii = 2 mA, to znači da instrument može mjeriti struju do 2 mA, a napon do Vi = RiA · Ii = 0.1 V.

Kako mjeriti veće napone i struje? Proširenje mjernog područja instrumenta ostvaruje se dodavanjem otpornika. Za mjerenje viših napona otpornike treba spajati serijski sa Riv, a za mjerenje većih struja - paralelno.


68

Slika 0-25 Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom

Slika 2-26. prikazuje proširenje mjernog područja voltmetra dodavanjem

serijskog otpora Rs.

Napon koji voltmetar mjeri pri punom otklonu je:

( )i iv sV I R R= + (2.72)

Potrebno je, dakle, otpornik Rs dimenzionirati prema:

i iv is

i i

V I R V VRI I− −

= = (2.73)

V

iV

V −+

SR+ +ivR

iI

voltmetar

Slika 2-26 Proširenje mjernog područja voltmetra

Iz izraza (2.73) uz V>>Vi (V puno veće od Vi ) slijedi:

si

VRI

= (2.74)


69

Za mjerenje većih struja od Ii (proširenje mjernog područja ampermetra) svitku treba paralelno spojiti otpornik Rp (slika 2-27.), koji se naziva shunt (čitaj: šent), pa vrijedi:

( )i p i iAI I R I R− ⋅ = ⋅ (2.75)

odnosno:

i iA ip

i i

I R VRI I I I⋅

= =− −

(2.76)

Uz I >> Ii gornji izraz (2.76) postaje:

ip

VRI

= (2.77)

Dok je kod mjerenja napona (serijskog spoja) bilo nužno da otpornik Rs ima veću vrijednost od Riv puta), kako bi na sebe preuzeo veći dio mjerenog napona,

A

+PR

iAR

+ −

iI

iII −I

ampermetar

Slika 2-27 Proširenje mjernog područja ampermetra

kod mjerenja struje (paralelnog spoja) Rp je toliko puta manji od RiA koliko je približno željena struja I puta veća od struje instrumenta Ii (Rp/RiA ≈ Ii/I ).

Ampermetar se može upotrijebiti i za mjerenje električnih otpora, uz stanovite prilagodbe, kako je to prikazano na slici 2-28., čime se dobiva ommetar. Priključimo li na stezaljke A i B otpornik nepoznatog otpora Rx struja koju će ampermetar pokazivati bit će određena izrazom:

xregiAu RRRREI

+++= (2.78)

a nepoznata vrijednost otpornika Rx je dakle:

( )regiAux RRRIER ++−= (2.79)


70

A

+

+

+

+

+

A BXR

regR

uR

iAR

I

Slika 2-28 Nadomjesna shema ommmetra

Struja ima najveću vrijednost (kazaljka pokazuje maksimalni otklon), kad su stezaljke ommetra AB kratko spojene (Rx=0). Za prekid između stezaljki (Rx=∞) struja u strujnom krugu ne teče, pa nema ni otklona kazaljke. Za vrijednosti otpora Rx između tih krajnjih vrijednosti i otklon kazaljke bit će odgovarajući. To znači da je skala ommetra označena tako da za otklon pri struji 0 ima oznaku ∞Ω, a za struju punog otklona oznaku 0Ω. Između tih dviju oznaka raspodijeljene su ostale vrijednosti (slika 2-29).

Ω∞

1000100 20 10 5 3 2 1

0

Slika 2-29 Skala ommetra

Umjeravanje (baždarenje) ommetra prije svakog mjerenja izvodi se tako da

stezaljke AB kratko spojimo, a sa Rreg namjestimo otklon kazaljke na oznaku 0 (RAB=0). Tim otpornikom unose se također i korekcije zbog starenja naponskog izvora (baterije).

2.16 Rad i snaga istosmjerne struje

O energiji naboja u gibanju već je bilo govora u elektrostatici (poglavlje 1.) i jednostavnom strujnom krugu (potpoglavlje 2.10.). S obzirom da je struja naboj


71

koji se u vremenu giba (Q = I·t ), izraz za rad tj. energiju naboja: W = Q·V može se pisati kao:

[ ]W V I t J= ⋅ ⋅ (2.80)

Uvrste li se u desnu stranu gornjeg izraza pripadne mjerne jedinice, vidi se da je mjerna jedinica za rad istosmjerne struje VAs (čitaj: volt-amper-sekunda), Ws (čitaj: vatsekunda) ili J , joul (čitaj: džul).

Već je prije razmotrena (potpoglavlje 2.4.1.) temperaturna ovisnost otpora i ustanovljeno da se prolazom struje kroz otpornik njegova temperatura povećava. Štoviše, brojnim pokusima je dokazano da je na otporniku dobivena toplinska energija (Jouleova toplina) izravno ovisna o naponu na njemu, struji kroz njega i vremenu. Kako na otporniku vrijedi Ohm-ov zakon, izraz (2.80) možemo pisati na još dva načina:

2W I R t= ⋅ ⋅ (2.81)

i 2VW t

R= ⋅ (2.82)

Isti se rad može obaviti u dužem ili kraćem vremenu, što ovisi o snazi P koja se definira kao :

[ ]Wt

WP = (2.83)

Iz izraza (2.80) i (2.83) proizlazi da je jedinica za snagu VA (čitaj: volt-amper). Ona se kraće zove vat i označuje sa W.

Preko navedenih izraza (2.80) - (2.83) slijedi da je snaga na otporniku : 2

2 VP V I I RR

= ⋅ = ⋅ = (2.84)

Nazivna snaga trošila (obično je označena na električnim trošilima, na primjer 100 W žarulja) definirana je s pomoću nazivnog napona. Treba uočiti da stvarnu (trenutnu) vrijednost snage određuje otpor tog trošila i trenutna vrijednost priključenog napona ili struje koja kroz njega teče. Ono što trošilo trajno posjeduje jest njegov otpor (premda je u praksi uslijed vanjskih utjecaja: starenja, temperature, vlage, nečistoće i sl., ipak promjenjiv).

Osim nazivne snage, za električne uređaje zanimljiva je i njihova korisnost ili stupanj djelovanja. Ukupna privedena energija Wu nije u trošilu u potpunosti iskorištena. Ako je Wg gubitak energije, a W korisna energija, onda se korisnost nekog uređaja definira kao:

gu WWW

WW

+==η (2.85)

Korisnost se za slučaj istog vremena t može izraziti i s pomoću omjera snaga (uz iste oznake indeksa):


72

gPPP+

=η (2.86)

Snaga se može odrediti tako da se ampermetrom izmjeri struja, a voltmetrom napon željenog dijela strujnog kruga. Umnožak izmjerenih veličina daje snagu izraženu u vatima. Po tom načelu napravljeni su instrumenti, nazvani vatmetri, kojima je skala označena proporcionalno mjerenom umnošku struje i napona. Prilikom spajanja vatmetra potrebno je osobitu pozornost obratiti na ispravno spajanje strujnih i naponskih stezaljki. Naponske stezaljke spajaju se paralelno mjerenom objektu (kao voltmetar), a strujne serijski (kao ampermetar). Treba napomenuti da se vatmetri ipak najčešće koriste pri mjerenju izmjenične snage (gdje mjerenje napona i struje nije dostatno, jer ne uključuje fazni pomak), dok se u istosmjernim krugovima snaga lako određuje kao umnožak izmjerene struje i napona.

Za mjerenje električne energije koriste se električna brojila. Električna energija je W = P·t (iz izraza 2.83), pa su ti instrumenti zapravo modificirani vatmetri. Faktor vremena t uzima se u obzir time što će moment koji bi u vatmetru djelovao na otklon kazaljke instrumenta ovdje okretati okruglu pločicu spojenu na brojčanik instrumenta. Uz istu snagu, kroz duže vrijeme, instrument će registrirati veći broj okretaja (više će se puta pločica okrenuti), a za veću snagu, u istom vremenu, također će se registrirati veći broj okretaja (jer će se pločica brže okretati). S obzirom da je jedinica vremena u tim uređajima sat, a jedinica snage kilovat (1 kW = 1000 W), ti se instrumenti još zovu kilovatsatna brojila.


73

2.17 Appleti

2.17.1 Ohmov zakon

Pomoću klizača mijenjamo :

• RESISTANCE – vrijednost otpora od 2 do 10 Ω

• VOLTAGE – vrijednost napona od 5 do 20 V

Ampermetar je priključen u strujni krug serijski sa otporom i mjeri struju koja teče krugom. Ako povećavamo napon, povećavat će se i struja, a smanjenjem napona, smanjit će se i struja. Povećanjem otpora, uz isti napon, struja se smanjuje, a smanjenjem otpora struja se povećava. Struja je razmjerna naponu i obrnuto razmjerna otporu prema (2.4). Provjerimo ovu jednadžbu (Ohmov zakon) za

R = 8Ω, V = 16V, I = ?

2.17.2 Jednostavni strujni krug

Strujni krug se sastoji od četiri dijela:

• Baterija – click-om na bateriju željenog napona, možemo je „dovući“ u strujni krug,

• Otpor – click-om možemo „dovući“ različite kombinacije otpornika u strujni krug,

16 28

V VI AR

= = =Ω


74

• Sklopka – clickom na sklopku uključujemo i isključujemo strujni krug,

• Žarulja – promatramo što se s njom događa za različite kombinacije napona i ukupnog otpora, kada uključimo strujni krug.

Zaključak:

Ako je otpor prevelik, kroz žarulju teče premala struja, pa ona ne svijetli. Ako je otpor premali, žaruljom će poteći prevelika struja, pa će žarulja pregorjeti (uz uključene zvučnike, na računalu se čuje prasak).

Žarulja svijetli samo kada je iznos otpora dvostruko manji od iznosa napona. To znači da je jakost struje potrebna da žarulja svijetli 2A.

Moguće je pozvati applet tako da je jakost struje potrebna da žarulje svijetli jednaka 3A.

Zadatak je složiti strujni krug tako da žarulja svijetli.

Žarulja će svijetliti ako je iznos napona tri puta veći od iznosa ekvivalentnog otpora.

2.17.3 Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu

Pomoću klizača R mijenja se otpor u strujnom krugu s naponskim i strujnim izvorom. Applet pokazuje serijsko uključivanje ampermetra i paralelno priključivanje voltmetra u strujni krug, te očitavanje mjernog rezultata na zaslonu instrumenta. Kod toga je važno uočiti i odrediti polaritet napona i struje.

Umnožak napona i struje određuje snagu, a snaga u vremenu električku energiju.


75

2.17.4 Multimetar

S pomoću ovog applet-a moguće je razumjeti i naučiti mjerenje osnovnih električnih veličina (napon, struja, otpor) s idealnim i realnim instrumentom (Rm – realni otpor instrumenta). Applet pokazuje nutarnju strukturu galvanometra i dodavanje odgovarajućih (engl. shunt) otpornika za proširivanje mjernog područja.

2.17.5 Serijski spoj otpora

Pomoću klizača R1, R2 i Vs podešavamo vrijednosti otpora serijski spojenih otpornika R1 i R2 (od 2 do 49 Ω ) i napon naponskog izvora Vs (od 1 do 49 V ).

U krugu teče struja I, koja je proporcionalna naponu izvora Vs. Struju mjeri ampermetar koji spojen serijski sa otporima R1 i R2.

Prema (2.27) vrijednost ekvivalentnog (ukupnog) otpora jednaka je zbroju otpora R1 i R2.

1 2ukR R R= +


76

2.17.6 Paralelni spoj otpora

Pomoću klizača R1, R2, i Is pdešavamo vrijednosti otpora paralelno spojenih otpornika (od 2 do 99 Ω ) i jakost struje strujnog izvora (od 1 do 19 A ).

Voltmetar, koji je spojen paralelno strujnom izvoru (a time i otpornicima R1 i R2 ) mjeri napon na strujnom izvoru i na otpornicima.

Ekvivalentni (ukupni otpor) računamo prema jednadžbi (2.38)

1 2

1 2uk

R RRR R

⋅=

+ 1 2

1 2uk

R RV I R IR R

⋅= ⋅ = ⋅

+

2.17.7 Kirchhoff-ovi zakoni

Pored izvora napona i otpornika u strujnom krugu napisane su njihove vrijednosti u voltima odnosno ohmima.


77

Click-om miša (lijevi click) ispod ili iznad napisane vrijednosti, smanjujemo ili povećavamo te vrijednosti. Napon izvora možemo mijenjati od −10 do 10V, a otpore na otpornicima od 1 do 10Ω.

Moguće je s pomoću miša u strujni krug dovući vodič ili otpornik (prikazani su s lijeve strane strujnog kruga) i smjestiti ih između točaka A i C, B i D, C i E ili D i F. Isto tako oni se mogu maknuti (izbrisati) iz strujnog kruga s pomoću brisača (engl. eraser).

Iznad izvora strujnog kruga (u elipsi) upisana je jakost struje koju daje izvor. U pravokutnicima možemo očitati vrijednost napona između pojedinih točaka

VAC = VBD i VCE = VDF.


78

2.18 Zadaci

1. Odredite jakost električnog polja u bakrenom vodiču promjera 0.01 mm kad njime teče struja jakosti 0.3 A.

Rješenje:

64.93 [V/m]

2. Pri elektrolizi neke srebrne otopine izlučilo se za 3 sata 4.55 g srebra. Kolika je bila jakost struje pri elektrolizi?

Rješenje:

0.377 [A]

3. Baterija od 6 jednakih paralelno spojenih članaka od kojih svaka ima elektromotornu silu E=1.5 V, daje struju od 4 A trošilu čiji otpor iznosi 0.25 Ω.

a) nacrtajte električku shemu spoja,

b) koliki napon vlada na trošilu,

c) koliki je unutrašnji otpor svakog članka,

d) za koju snagu mora biti građeno trošilo,

e) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije, a koliki pojedinog članka?

Rješenje:

b) 1 [V] c) 0.75 [Ω] d) 4 [W] e) 12 [A], 2 [A]

4. Četiri jednaka istosmjerna izvora, spojena serijski imaju struju kratkog spoja 1 A, a paralelno spojeni imaju napon praznog hoda 1 V.

a) nacrtajte shemu serijskog i paralelnog spoja i označite elemente,

b) koliki je napon praznog hoda E svakog pojedinačnog izvora,

c) koliki je unutarnji otpor serijski spojenih izvora,

d) koliki je unutarnji otpor svakog pojedinačnog izvora,

e) koliki je napon na stezaljkama serijski spojenih izvora ako je otpor tereta 2 Ω?

Rješenje:

b) 1 [V] c) 4 [Ω] d) 1 [Ω] e) 1.333 [V]

5. Struja kratkog spoja izvora iznosi 120 A, a napon praznog hoda 2 V.

a) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije sastavljene od 6 serijski spojenih izvora,

b) koliko će iznositi struja kratkog spoja baterije sastavljene od 6 paralelno spojenih izvora,


79

c) koliku snagu ima trošilo otpora 2 Ω priključeno na bateriju iz a),

d) koliki je faktor iskoristivosti spoja iz c),

e) koliku električnu energiju mora razviti baterija iz c) za 1 sat?

Rješenje:

a) 120 [A] b) 720 [A] c) 65.3 [W] d) 0.9523 e) 0.0653 [kWh]

6. Izvoru s EMS=36 V i nutarnjim otporom 2 Ω priključi se trošilo s oznakama 24 V, 15 W.

a) kolika struja teče trošilom,

b) kolika se energija troši za 24 sata na trošilu,

c) kolika je korisnost spoja η (otpor vodova se zanemaruje),

d) kako se promijeni korisnost ako se unutrašnji otpor udvostruči,

e) kolika je u slučaju d) struja kratkog spoja izvora?

Rješenje:

a) 0.891 [A] b) 731.8 [Wh] c) 0.95 d) 0.906 e) 9 [A]

7. Na naponski izvor unutarnjeg otpora Ru=3 Ω spojen je djelitelj napona (potenciometar) otpora R=100 Ω. Na djelitelj napona treba spojiti žarulju s oznakama 12 V, 36 W tako da svijetli punim sjajem.

a) nacrtajte električnu shemu spoja,

b) kolika struja teče kroz žarulju,

c) kako je podešen klizni kontakt djelitelja napona, ako izvor daje struju jakosti 3.3 A,

d) kolika je elektromotorna sila izvora,

e) hoće li se struja iz izvora promijeniti ako žarulju odspojimo i zašto?

Rješenje:

b) 3 [A] c) 60 [Ω] / 40 [Ω] d) 219.9 [V] e) da, struja smanjuje zbog porasta ukupnog otpora

8. Sklop prema slici spojen je na izvor 12 V.

a) označite polaritete napona i smjerove struja,

b) koliku struju pokazuje idealni ampermetar, a koliki napon idealni voltmetar prema shemi,

c) na koju vrijednost se promijeni pokazivanje voltmetra, ako se R2 odspoji?


80

A

V

VE 12=

1R

2R3R

Ω100

Ω100 Ω100

Rješenje:

b) 0.04 [A], 8 [V] c) 6 [V]

9. Deset galvanskih članaka elektromotornog napona 2 V spojeno je u paralelne grane po pet serijski spojenih članaka. Vanjski otpor kruga je 4 Ω, a krugom teče struja 1.5 A. Koliki je nutarnji otpor svakog članka? Nacrtaj shemu kruga struje.

Rješenje:

1.067 [Ω]

10. Koliku jakost ima struja koja teče tramvajskim motorom ako se kola mase 10 tona pokrenu iz stanja mirovanja i nakon 20 s postignu brzinu 36 km/h? Motor je priključen na napon 600 V. Faktor trenja je 0.02.

Rješenje:

58 [A]

MAGNETIZAM

Magnetizam opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko gibljivih električnih naboja. Djelovanje gibljivog naboja u prostoru tumači se magnetskim poljem koje svaki gibljivi naboj stvara u svom okolišu.

2.19 Magnetsko polje

Proučavanje magnetizma povijesno je prethodilo proučavanju električnih pojava i temeljilo se na uočavanju i mjerenju sila uzrokovanih permanentnim (trajnim) magnetima koji se u prirodi nalaze najčešće u rudama željeza, nikla i kobalta. Magnetizam je i dobio ime od minerala željeznog oksida - magnetita.

Magnetsko djelovanje koncentrirano je na suprotnim krajevima magneta, koji se zovu sjeverni i južni pol. Istoimeni polovi međusobno se odbijaju, a raznoimeni privlače. Njihova imena preuzeta su iz zemljovidne orijentacije. Naime, zemaljska kugla, kao veliki prirodni magnet, također ima svoje magnetske polove koji su koncentrirani (razlika je samo 15°) uz geografski sjeverni i južni pol: točke kojima prolazi zamišljena os zemljine rotacije. Pol magneta (kompasa) koji pokazuje sjeverni pol zemaljske kugle nazvan je sjevernim polom (N - North), a suprotan pol južnim (S - South).

Djelovanje bilo kojeg pola magneta na sitne čestice željezne piljevine stvara geometrijske oblike identične silnicama električnog polja. Sve to vodi na izravnu povezanost magnetizma i elektriciteta.

Potpuno podudaranje ipak ne postoji, kako se to u prvi mah čini. Činjenica je da se pol magneta nikad ne pojavljuje samostalno. Ako magnetski štap presiječemo na polovici, onda nipošto ne dobivamo na jednoj polovici sjeverni, a na drugoj južni pol. Obje polovice magneta opet pokazuju oba svoja pola na svojim završecima. To temeljno iskustvo pokazivalo je da ne postoji neki "magnetski naboj", već je pojava magneta prouzrokovana na drugi način.

Godine 1820. H.C. Örsted je otkrio da se u okolišu vodiča kroz koji teče električna struja stvara magnetsko polje. Tako je nađena veza između magnetizma i elektriciteta, postavljena je hipoteza o elementarnim strujama u molekulama i atomima po kojoj se objašnjava postojanje permanentnog magneta. Zbog mogućnosti stvaranja jakih magnetskih polja s pomoću električne struje i dodatnih elektromagnetskih pojava nastalih njihovom promjenom, to je otkriće dobilo veliku vrijednost u praksi.

Električna struja proizvodi dakle oko sebe magnetsko polje. Njegovo postojanje može se ustvrditi uočavanjem i mjerenjem sile na (male) magnete u blizini vodiča kojim električna struja teče (slika 3-1. a). Magnetsko polje je polje sila, pa se slično kao električno, može prikazati linijama polja ili silnicama. Čestice željezne piljevine u ravnini okomitoj na vodič poredat će se upravo po takvim linijama (slika 3-1. b).


82

Slika 0-1 Magnetsko polje oko vodiča kojim teče struja

a) djelovanje sile na magnetsku iglu b) silnice magnetskog polja

Povezanost magnetskog polja i električne struje nudi zgodnu mogućnost da se osnovne veličine magnetskog polja upoznaju upravo na primjeru najjednostavnijeg polja koje u svojem okolišu stvara ravni, strujom protjecani, vodič. U korištenju efekata magnetskih polja u praksi, polja koja su nastala protjecanjem struje daleko su važnija i češća od onih koja su nastala djelovanjem trajnih magneta.

Smjer magnetskog polja definiran je smjerom sjevernog pola magnetske igle. Smjer odgovara smjeru vrtnje desnog vijka, ako je smjer struje u pravcu pomicanja vijka duž njegove osi. Promjenom smjera struje promijenit će se i smjer magnetskog polja. Jakost magnetskog polja koja se označava sa H veća je što je struja veća (npr. dvaput jača struja daje dvaput jače magnetsko polje). Nadalje, jakost polja pada s udaljenosti od vodiča (npr. u dvostrukoj udaljenosti je polje dvostruko slabije). Tako su se potpuno neočekivano povezala dva dotada potpuno odijeljena područja: magnetizam i optika. Kasnije se ta veza teorijski i eksperimentalno dokazala (Maxwell, Herz).

2.20 Zakon protjecanja

Temeljni zakon odnosa magnetskih polja i struja koja polje proizvode dan je relacijom:

∑∫ = IdlHl

(3.1)

koja se zove zakon protjecanja ili Amperov zakon. Po tom zakonu integral umnožaka jakosti polja koje na djeliću puta djeluje i infinitezimalne duljine tog djelića puta po zatvorenoj krivulji l jednak je sumi struja koje krivulja obuhvaća.

Za slučaj prikazan slikom 3-2. po zakonu protjecanja linijski integral dat će:

Magnetizam ________________________________________________________________________

83

Slika 0-2 Primjer uz zakon protjecanja - za krivulju l1 : ,4321 IIIII +−−=∑ - za krivulju l2 : ,43 III +−=∑ - za krivulju l3: .0=∑ I

Dobro je uočiti da će u slučaju istih jakosti struja I3 i I4 za krivulju l2 rezultat biti jednak nuli. Magnetski učinak koji je stalan pratilac električne struje ne može se izbjeći, ali se dakle, može poništiti.

Struja I5 koja nije obuhvaćena krivuljama ne utječe na vrijednost linijskog integrala u navedenim slučajima.

Po analogiji s elektrostatikom, umnožak Hÿl odgovarao bi "magnetskom potencijalu" Vm .

2.20.1 Magnetsko polje ravnog vodiča

Primijeni li se zakon protjecanja (3.1) na ravni vodič kojim teče struja jakosti I, za magnetsko polje na koncentričnim kružnicama (silnicama) oko vodiča (slika 3-3) vrijedi:

IdlHl

=∫ (3.2)

odakle uz H konstantno i:

∫ == rldl π2 (3.3)

slijedi:

[ ]mAr

IlIH /

2π== (3.4)


84

Jakost magnetskog polja opada dakle, obrnuto proporcionalno s udaljenošću od osi vodiča.

Slika 0-3 Magnetsko polje ravnog vodiča kroz koji teče struja

Magnetsko polje ne nastaje samo u okolišu vodiča protjecanog strujom I,

nego i u njemu samome (jakost struje jednog dijela I' ). Može se pokazati da je jakost magnetskog polja u vodiču (r ≥R):

rR

Ir

IH 222 ππ=

′= (3.5)

Promjena jakosti polja H u ovisnosti od udaljenosti r od osi vodiča prikazana je na slici 3-4 za nekoliko vrijednosti jakosti struja.

Slika 0-4 Ovisnost H=f(r) ravnog vodiča kroz koji teče struja

Ako se od vodiča kroz koji teče struja načini zatvorena petlja (ili zavoj), onda

će sve silnice prolaziti kroz površinu koju zavoj okružuje (slika 3-5. a) i b) ).

Slika 0-5 Magnetsko polje a) zavoja b) zavoja ( u presjeku ) c) magnetskog valjka

Magnetizam ________________________________________________________________________

85

Dobiveno magnetsko polje potpuno se podudara s magnetskim poljem kratkog magneta u obliku valjka (slika 3-5. c). Nizanjem više magnetskih valjaka s istim smjerom polja dobio bi se snažniji magnet (slika 3-6. a), što je ekvivalentno povezivanju više zavoja u tzv. svitak ili zavojnicu (slika 3-6. b). Budući da je magnetsko polje i ovdje identično, svitak protjecan strujom se zove još i elektromagnet.

Slika 0-6 Magnetsko polje

a) magneta u obliku šipke b) elektromagneta

Umnožak broja zavoja i struje koja kroz njih teče zove se magnetska uzbuda ili magnetomotorna sila (MMS) i često se izražava u Az (amper zavojima) kako bi se istaknulo značenje broja zavoja (a ne samo jakosti struje) u stvaranju magnetskog polja.

2.21 Magnetske veličine

Magnetske silnice (silnica = linija sile) prikazane su linijama koje izlaze iz sjevernog pola (slika 3-6.) (elektro)magneta i završavaju na južnom, ali se uvijek nastavljaju kroz tijelo (elektro)magneta od južnog do sjevernog pola. Magnetske silnice su dakle zatvorene linije. Skup svih silnica zove se magnetski tok i označuje simbolom φ. Jače magnetsko polje ima veći tok nego slabije polje. Magnetski tok mjeri se u Wb (čitaj: Weber).

Gustoća toka B je broj magnetskih silnica po jedinici površine A okomite na smjer magnetskog toka:

[ ]TA

B φ= (3.6)

Gustoća toka mjeri se u T (čitaj: Tesla).

Elektromagnetski utjecaj jednog tijela na drugi bez njihova fizičkog dodira, u smislu promjene električnog ili magnetskog stanja tijela na koji se djeluje, zove se indukcija. Na primjer, permanentni magnet će inducirati nemagnetizirano željezo da i ono postane magnet (slika 3-7).

Naime, molekularni magneti (tzv. magnetske domene ili magnetski dipoli) u željeznom uzorku djelovanjem će se magnetskog polja permanentnog magneta usmjeriti iz svog dotad slučajnog rasporeda tako da će sjeverni pol magneta privući južni pol molekularnih magneta.


86

Slika 0-7 Magnetiziranje željeza s pomoću indukcije

Nemagnetizirano željezo postat će magnet, pol tog magneta bit će suprotan

polu koji ga je inducirao i željezo - novi magnet bit će privučeno. Treba uočiti da je inducirani pol uvijek suprotnog polariteta od pola koji ga je inducirao. To objašnjava činjenicu zašto bilo koji pol magneta privlači magnetski materijal.

Magnetski materijali međusobno se razlikuju s obzirom na indukciju. Sposobnost koncentriranja magnetskog toka zove se permeabilnost i označuje se s μ. Svaki materijal koji se lako magnetizira ima veliku permeabilnost i naziva se feromagnetski. Što je permeabilnost materijala veća, to je uz istu jakost magnetskog polja gustoća silnica B u induciranom materijalu veća. Zato se gustoća silnica zove još i magnetska indukcija.

Jakost magnetskog polja H povezana je dakle, preko permabilnosti materijala, s magnetskom indukcijom B pa vrijedi:

[ ]B H Tμ= ⋅ (3.7)

Veća indukcija postiže se ili većom jakosti polja ili/i korištenjem materijala veće permeabilnosti. Najčešće se permeabilnost materijala μ izražava u relativnim jedinicama μr s obzirom na permeabilnost vakuuma μ0 , tako da je permeabilnost

0 rμ μ μ= ⋅ (3.8)

a permeabilnost vakuuma eksperimentalno je dobivena kao:

[ ]70 4 10 /Vs Amμ π −= ⋅ (3.9)

Vrijednosti relativne permeabilnosti μr za feromagnetske materijale kreću se između 100 i 190000.

Budući da je H vektor, a μ skalar, magnetska indukcija B može se također smatrati vektorom. Magnetsko polje je homogeno ako je veličina indukcije u svakoj točki promatranog prostora jednaka. Ako to nije ispunjeno, onda je polje nehomogeno.

Zbog visoke permeabilnosti feromagnetski materijali se koriste kao jezgre elektomagneta. Ista magnetska uzbuda će u zatvorenoj jezgri stvoriti μr puta veću gustoću silnica nego u slučaju kad jezgre nema. To slijedi izravno iz izraza (3.7) i (3.8):

0rB H Hμ μ μ= ⋅ = ⋅ ⋅ (3.10)

Magnetizam ________________________________________________________________________

87

Polje unutar jezgre je homogeno, a nije homogeno na krajevima jezgre i izvan nje (slika 3-8. a). Homogeno polje duž čitave jezgre postiže se izvedbom feromagnetske jezgre u obliku prstena (slika 3-8. b) ili okvira (slika 3-8. c).

Slika 0-8 Magnetsko polje a) zavojnice s jezgrom b) zavojnice na torusnoj jezgri c) zavojnice na željeznom okviru

Jezgre od neferomagnetskih materijala ponašaju se slično kao vakuum:

njihova relativna permeabilnost približno je jednaka jedinici. Ipak, preciznija mjerenja pokazuju da je za jednu grupu materijala tzv. diamagnetske materijale μr < 1, dok je za drugu grupu, tzv. paramagnetske materijale μr > 1.

U tablici 3.1. napisane su vrijednosti relativnih permeabilnosti nekih neferomagnetskih materijala.

Materijal μr bizmut 0,99984

Diamagnetici srebro 0,9999736 voda 0,999991 vodik 0,9999999979 platina 1,00027

Paramagnetici aluminij 1,0000196 kisik 1,000000181 zrak 1,00000036

Tablica 3.1. Neferomagnetski materijali

Permeabilnost vakuuma je konstantna veličina i označuje se kao apsolutna

permeabilnost. Permeabilnost feromagnetskih materijala pak nije konstantna veličina. Ona ovisi o prethodnom magnetiziranju materijala, iznosu polja H i temperaturi.

Slika 3-9. a) prikazuje krivulju magnetiziranja nekog feromagnetskog materijala. Povećanjem struje magnetiziranja raste polje H, a s poljem i indukcija B, gotovo linearno u početnom dijelu karakteristike.

Međutim, nakon linearnog dijela, povećanjem uzbude krivulja postupno ulazi u zasićenje. Ta se pojava objašnjava postavljanjem gotovo svih magnetskih


88

dipola u smjeru djelujućeg polja, pa novi prirast uzbude više ne doprinosi porastu indukcije.

Slika 0-9 Magnetiziranje feromagnetskog materijala

a) krivulja magnetiziranja b) strujni krug za magnetiziranje (uz primjer) Primjer: Uz pretpostavku promjene napona od 20V do 100V, otpora zavojnice od 10 Ω, te željezne jezgre duge l=0.2 m u zavojnici sa N=100 zavoja (slika 3-9. b) sljedeća tablica 3.2. (uz mjereni B ) pokazuje ponašanje feromagnetskog materijala čija je krivulja magnetiziranja prikazana slikom 3-9. a).

V [V] I [A] N·I [Az] H [Az/m] B [T] μr

20 2 200 1000 0,126 100 40 4 400 2000 0,252 100 60 6 600 3000 0,378 100 80 8 800 4000 0,428 85 100 10 1000 5000 0,441 70

Tablica 3.2. Magnetiziranje željezne jezgre

Iz krivulje magnetiziranja kao i izračunatih vrijednosti iz tablice 3.2. u

primjeru vidi se da relativna permeabilnost nije konstantna veličina. Što krivulja magnetiziranja prije postiže zasićenje, to μr brže pada, približavajući se vrijednosti apsolutne permeabilnosti vakuuma.

Sa slike 3-9. a) nije vidljivo kolika je magnetska indukcija uzorka kad je uzbuda jednaka nuli. Ta veličina ovisi o njegovoj dotadanjoj magnetiziranosti. Ako se pokus magnetiziranja načini s potpuno razmagnetiziranim feromagnetskim materijalom (B=0 za H=0), onda se dobivena krivulja zove krivulja prvog magnetiziranja.

Feromagnetici gube svoja magnetska svojstva kad im temperatura prijeđe stanovitu vrijednost (Curieeva točka), koja je za željezo jednaka 760°C, za nikal 360°C, a za kobalt 1120°C.

Magnetizam ________________________________________________________________________

89

2.22 Magnetska histereza

Magnetska indukcija B mijenja se u magnetskom materijalu promjenom magnetske uzbude. Ako magnetski materijal nije magnetičan, onda se povećanjem uzbude od vrijednosti nula na više dobiva krivulja prvog magnetiziranja. Zanimljiva pojava nastaje ako se kod neke maksimalne uzbude +Hmax (i postignute gustoće +Bmax) uzbuda počne smanjivati. Magnetska gustoća odupirat će se promjeni - nastojat će zadržati prijašnje stanje magnetičnosti (slika 3-10 a). To se očituje u indukciji koja će za istu vrijednost uzbude koja opada imati veću vrijednost u odnosu na onu kad je uzbuda rasla. Dapače, nakon što uzbuda padne na nulu, materijal će još zadržati stanovitu vrijednost indukcije, tzv. remanentni magnetizam Br.

Permanentni magneti nisu dakle ništa drugo nego feromagnetski materijal sa zaostalim, remanentnim magnetizmom.

Slika 0-10 Magnetska histereza

a) Krivulja prvog magnetiziranja i remanentni magnetizam b) Koercitivnost

Taj se magnetizam može poništiti samo uzbudnom strujom suprotnog predznaka. Vrijednost uzbude kod koje se to postiže zove se koercitivnost ili koercitivna sila H (slika 3-10. b).

Nastavi li se povećanje uzbude suprotnog smjera, stvara se magnetski tok i gustoća suprotnog predznaka (promjena magnetskih polova uzorka). Porast takve uzbude također vodi do magnetskog zasićenja -Bmax uz -Hmax. Sličnim postupkom (smanjivanje uzbude, tj. struje do nule i povećanjem do +Hmax) zatvara se ciklus, a nastala krivulja zove se petlja histereze (slika 3-11).

Slika 0-11 Petlja histereze


90

Magnetski materijali dijele se s obzirom na koercitivnost na meke i tvrde

materijale. Meki materijali (slika 3-12. a) imaju malu koercitivnost, dakle usku petlju histereze, i veliku relativnu permeabilnost. Takvo je na primjer čisto željezo sa najvećim μr=180.000, legirani limovi sa 2 do 4% silicija, feriti i drugi. Treba istaknuti i leguru permaloj (78,5% Ni + 21,5% Fe) sa najvećim μr=85.000. Ti materijali koriste se za jezgre transformatora, statore i rotore električnih strojeva, releje i sl.

a) meki b) tvrdi

Slika 0-12 Magnetski materijali

Tvrdi magnetski materijali imaju veliku koercitivnost i veliku remanenciju, dakle veliku petlju histereze (slika 3-12 b). Služe za izradu trajnih magneta, a proizvode se od legura čelika s dodatkom volframa, kobalta, nikla, aluminija i titana. Ugljični kaljeni čelik ima na primjer Hc=5000 A/m i Br = 0,9 T.

2.23 Magnetski krug

Koristeći opisane magnetske veličine moguće je, po analogiji s električnim krugom, govoriti o magnetskom krugu. Rasipanje magnetskih silnica u prostor oko takva kruga se zanemaruje - velika permeabilnost feromagnetskog materijala čini da sve silnice prolaze kroz materijal (osim u slučaju zračnih raspora). Za jednostavni magnetski krug prikazan slikom 3-13. magnetski tok φ jednak je:

[ ]1m

N I N I MMSB A H A A Wbll RA

φ μ μ

μ

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = = =

⋅

(3.11)

gdje su Rm tzv. "magnetski otpor", a MMS "magnetomotorna sila".

Dobiveni izraz sličan je izrazu za Ohmov zakon:

REMS

Al

EI =⋅

=

γ1

(3.12)

Magnetizam ________________________________________________________________________

91

pa se stoga izraz (3.12) naziva Ohmov zakon za magnetske krugove.

a) jednostavan b) složen Slika 0-13 Magnetski krug

Tok φ odgovara električnoj struji I, a magnetomotorna sila MMS

elektromotornoj sili EMS. Permeabilnost magnetskog materijala odgovara specifičnoj vodljivosti metalnog vodiča, pa se uz sličnost odnosa duljine i presjeka, govori o magnetskom otporu Rm, analogno električnom otporu R.

U slučaju složenog magnetskog kruga, dobivenog na primjer zračnim rasporom (slika 3-13. b) u jednostavnom magnetskom krugu, prilike se mijenjaju. Magnetski otpor zračnog raspora razlikuje se od magnetskog otpora feromagnetskog materijala. S obzirom da ukupni otpor raste, slijedi da se magnetski tok smanjuje (uz konstantnu struju) . To znači da je potrebno više amper-zavoja uzbude da bi se dobila ista indukcija kao u slučaju bez zračnog raspora:

1 2 1 2

1 1 2 2

1 1m m

N I MMSl l R RA A

φ

μ μ

⋅= =

+⋅ + ⋅

(3.13)

Dobro je uočiti da se i ovdje serijski spoj magnetskih otpora dobiva njihovim zbrajanjem (kao što bi se njihov paralelan spoj dobio kao recipročna vrijednost zbroja pojedinačnih recipročnih vrijednosti).

Iz izraza (3.13) slijedi:

1 2

1 1 2 2

l l N IA Aφ φ

μ μ⋅ + ⋅ = ⋅ (3.14)

odakle je:

1 21 2

1 2

l lB B N Iμ μ⋅ + ⋅ = ⋅ (3.15)

odnosno:

1 2 2lH l H l N I⋅ + ⋅ = ⋅ (3.16)

što je u skladu s već dobro poznatim zakonom protjecanja (3.1). U magnetskim krugovima dakle zakon protjecanja odgovara drugom Kirchhoffovu zakonu u električnim krugovima.

Najopćenitije gledajući zakon protjecanja može se prikazati u obliku diskretnog (pojedinačnog) zbroja:


92

i ii

H l N I I⋅ = ⋅ =∑ ∑ (3.17)

gdje se svaki pojedinačni element magnetskog kruga može razlikovati po bilo kojoj magnetskoj ili geometrijskoj veličini:

i ii

i i i

BHAφ

μ μ= =

⋅ (3.18)

Ako se povežu izrazi (3.17) i (3.18) slijedi:

i i

i i i

lN IAφ

μ⋅

⋅ =⋅∑ (3.19)

što za zatvoreni krug (bez grananja i rasipanja, dakle uz konstantni tok φ ) daje ekvivalent II. Kirchhoff-ova zakona za magnetski krug :

1 i

i i i

N IlA

φ

μ

⋅=

⋅∑

(3.20)

2.24 Djelovanje magnetskog polja

Već je u uvodu o magnetizmu konstatirano da svaki gibljivi naboj stvara magnetsko polje. Isto tako rečeno je da je magnetsko polje karakterizirano silom kojom se dva pola magneta (ovisno o polaritetu) privlače ili odbijaju. To znači da će i na gibljivi naboj u magnetskom polju djelovati sila.

Sila će djelovati i na struju koja teče kroz vodič, ako se ovaj nađe u magnetskom polju, jer struja nije ništa drugo nego niz naboja u gibanju. Pritom nije važno kako nastaje magnetsko polje koje djeluje silom - je li to magnetsko polje permanentnog magneta, elektromagneta ili jednostavno žice kojom struja teče. To navodi na zaključak da postoji sila i među vodičima kojima teku struje.

Svaki od tih slučaja razmatrat će se posebno.

2.24.1 Sila na gibljivi naboj

Ako se naboj kreće u magnetskom polju, na njega djeluje sila. Veličine koje karakteriziraju gibljivi naboj su iznos naboja i njegova brzina, a magnetskog polja njegova indukcija. Sila će ovisiti o naboju, brzini i indukciji. Pokusom se potvrđuje navedeni zaključak, a budući da su sila, brzina i indukcija vektorske veličine, slijedi:

( )F Q v B= ⋅ ×ur r ur

(3.21)

Izraz u zagradi predočuje vanjski umnožak ("ex-produkt") vektora v i B. Smjer djelovanja sile određen tim umnoškom na magnetsko polje (njegovu indukciju B), onda je sila okomita istodobno i na vektor brzine i na vektor

Magnetizam ________________________________________________________________________

93

indukcije. Ako vektor brzine pak zatvara bilo koji kut a s vektorom indukcije, onda se iznos vektora (v x B) izračunava kao:

Slika 0-14 Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem a) a = 90 b) a < 90

sinF Q v B α= ⋅ ⋅ ⋅ (3.22)

a smjer vektora ima smjer napredovanja vijka s desnim navojem kad rotira preko manjeg kuta od v u B (slika 3-14. b).

Djelovanjem sile na naboj objašnjava se promjenama nastalim u magnetskom polju u kojem se naboj kreće. Kako se vidi na slici 3-15. a), silnice magnetskog polja Bv stvorenog gibanjem pozitivnog naboja u području -1- podudaraju se sa smjerom polja Bm u kojem se naboj kreće, dok im je u području -2- smjer suprotan. Rezultantno polje prikazano je na slici 3-15. b), iz čega proizlazi i smjer sile. Okomit smjer od oka promatrača na površinu označuje se s križićem (x), a suprotan smjer s točkom (.).

Treba naglasiti da je smjer djelovanja sile za negativan naboj suprotan smjeru sile na pozitivan naboj:

( )Q QF Q v B F− += − ⋅ × = −ur r ur

(3.23)

Slika 0-15 Magnetsko polje naboja u gibanju a) zajedno sa poljem u kojem se naboj giba b) rezultantno polje


94

Primjer: Uleti li nabijena čestica u homogeno magnetsko polje indukcije B s brzinom v okomitom na polje (slika 3.16), sila F jednaka (Q·v·B) djelovat će na česticu u svakoj točki.

Slika 0-16 Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju

Budući da je sila okomita na brzinu neće se mijenjati iznos te brzine, već samo njezin smjer. Na slici 3-16. prikazani su vektori brzine i sile. Čestica se dakle kreće pod djelovanjem sile koje je iznos konstantan, ali smjer je uvijek pod pravim kutem na brzinu čestice.

Iz toga slijedi da je putanja čestice kružnica, opisana s konstantnom tangencijalnom brzinom v, a sila F je centripetalna sila. Budući da je centripetalna akceleracija jednaka v2 /r, iz drugog Newtonova zakona slijedi:

2vQ v B mr

⋅ ⋅ = ⋅ (3.24)

pa je polumjer kružne putanje nabijene čestice jednak:

m vrQ B⋅

=⋅

(3.25)

Ako je poznata masa čestice m i njezin naboj Q, kao i indukcija B u kojoj se čestica kreće, može se, koristeći izraz (3.25), odrediti vrijeme jednog obilaska, odnosno frekvencija kruženja čestice:

1 2 2l r mTf v v Q B

π π⋅ ⋅= = = =

⋅ (3.26)

Dobro je uočiti da frekvencija ne ovisi o polumjeru kružne staze i da se povećanjem indukcije povećava. Opisani primjer temelj je rada akceleratora čestica (ciklotrona) koji se koriste u nuklearnim fizikalnim pokusima.

2.24.2 Sila na vodič kojim teče struja

Magnetska sila na vodič kojim teče električna struja posljedica je već opisane sile na svaki pojedini naboj koji se kreće u magnetskom polju. Korištenjem izraza (3.21) za magnetsku silu na naboj dobiva se izraz za silu na

Magnetizam ________________________________________________________________________

95

vodič kojim teče struja (gibanje diferencijala naboja brzinom v ), a vodič je postavljen okomito na magnetske silnice.

dl dQdF B dQ v B dQ B dl B I dldt dt

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (3.27)

pa je na duljini l ukupna sila prema (4.32) jednaka:

F B I l= ⋅ ⋅ (3.28)

Ako vodič zatvara kut α s magnetskom indukcijom, izraz (3.28) postaje:

( )sinF B I l ili vektorski F I l Bα= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ×ur r ur

(3.29)

što je prikazano na slici 3-17.

Slika 0-17 Sila na vodič kojim teče struja

Primjer: Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom, nazvan galvanometar, radi na načelu opisane sile koja se javlja na vodič kroz koji teče struja u magnetskom polju. Protumoment ovoj sili drži mehanička spirala na kojoj je pričvršćena kazaljka instrumenta (slika 3-18. a). Na svitak je namotano N zavoja tanke žice promjera zavoja d i duljine zavoja l (slika 3-18. b). Svitak je postavljen unutar polova

Slika 0-18 Dijelovi galvanometra

a) spiralna opruga s kazaljkom b) svitak s više zavoja permanentnog magneta (slika 3-19.). Zbog preglednosti je nacrtan samo jedan zavoj. Kad kroz svitak poteče struja, javlja se sila na svakoj strani svitka, kako se vidi na slici 3-19. Električni moment jednak je:


96

el eM B I l N d k I= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (3.30)

a mehanički protumoment

meh mM k α= ⋅ (3.31)

gdje su ke i km električna i mehanička konstanta proporcionalnosti, a α otklon kazaljke. Povezujući oba izraza (3.30) i (3.31) slijedi:

e

m

k I k Ik

α = ⋅ = ⋅ (3.32)

Otklon je dakle proporcionalan jakosti struje koja svitkom teče, pa se galvanometar ponajprije koristi za mjerenje struje (ampermetar), a posredno i kao voltmetar i ommetar.

Slika 0-19 Galvanometar

2.24.3 Sila između dva vodiča kroz koje teče struja

Između dva vodiča kroz koje teku struje javlja se sila. Zbog jednostavnosti izvoda pretpostavlja se da su vodiči ravni, dugi i međusobno paralelni na udaljenosti d. Iz slike 3-20. vidi se da će sila F1, kojom magnetsko polje H1 (nastalo strujom I1) privlači vodič kroz koji teče struja I2, biti jednaka:

1 1 2 0 1 2F B I l H I lμ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (3.33)

a jakost magnetskog polja:

11 2

IHdπ

=⋅

(3.34)

Povezujući izraze (3.33) i (3.34) dobiva se:

[ ]0 1 21 2

I I lF Nd

μπ⋅ ⋅ ⋅

=⋅

(3.35)

Magnetizam ________________________________________________________________________

97

Slika 0-20 Sila između dva vodiča protjecana strujom

Treba uočiti da i magnetsko polje struje I2 djeluje istom silom na vodič

kojim teče struja I1. Takvo djelovanje dviju struja naziva se elektrodinamičko djelovanje.

Koristeći pravilo za smjer sile, izraz (3.22), lako je zaključiti da će se dva paralelna vodiča u kojima teku struje u istom smjeru međusobno privlačiti, dok će se u paralelnim vodičima u kojima teku struje u različitom smjeru međusobno odbijati.

U internacionalnom SI sustavu jedinica definiran je amper (A) na temelju predočenog elektrodinamičkog djelovanja:

Električna struja ima jakost jedan amper (A) ako prolazeći kroz jako dugi i jako tanki vodič djeluje u vakuumu na isto takvu paralelnu struju u udaljenosti od jednog metra silom 2ÿ10-7 njutna po jednom metru duljine vodiča (slika 3-21.).

Slika 0-21 Definicija jedinice amper

Iznos sile slijedi iz izravnog uvrštavanja vrijednosti d=1 m, I1=I2=1 A, u izraz

(3.35), pa je:

[ ]7

70 1 1 1 4 10 2 102 1 2

F Nμ ππ π

−−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅⋅

(3.36)


98

2.25 Elektromagnetska indukcija

Neposredno pretvaranje mehaničke energije u električnu je moguće. Do tog izuzetnog otkrića došla su 1831. godine nezavisno i istodobno dva znanstvenika: M. Faraday u Velikoj Britaniji i J. Henry u Americi. Današnja proizvodnja, prijenos i potrošnja električne energije nezamislive su bez tog otkrića.

Svaka promjena, svako djelovanje u prirodi ima svoju posljedicu. Tako na primjer gibanje naboja stvara magnetsko polje, koje prema (3.4) trne tek u beskonačnosti. Gibanje naboja u magnetskom polju ne ostaje nazapaženo - na njega djeluje sila. Postavlja se pitanje: može li možda magnetsko polje pokretati električni naboj, uzrokovati struju? Odgovor je: Može, ako se polje mijenja !

Faraday je u okoliš magneta donio žičani zavoj (slika 4.23). Onda je naglo udaljio magnet (ili zavoj, svejedno): u žici je potekla električna struja !

Slika 0-22 Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije

Magnetski se zavoj nije nalazio u polju iste jakosti prije i poslije udaljavanja

(jakost polja i broj silnica koje kroz zavoj prolaze opada s udaljenošću). Uzrok je dakle promjena magnetskog toka. A posljedica svakako je električno polje, jer bez njega nema ni struje.

Opisanu pojavu vrijedno je pobliže razmotriti. Ako se vodič duljine l kreće u magnetskom polju brzinom v okomito na polje (prema slici 3-23. a. magnetske silnice idu od oka promatrača okomito na površinu), onda na svaki naboj u tom vodiču djeluje sila F=QÿvÿB, prema (3.21). No kako ta sila prema (3.23) ima suprotan smjer za naboje različitog polariteta, slijedi da će se slobodan, negativan naboj vodiča pomaknuti na jednu, a pozitivan naboj na drugu stranu. Pokusom se to može provjeriti tako da se vodič prilikom gibanja prepolovi. Svaka polovica bit će nabijena, i to nabojem suprotnog polariteta.

Magnetizam ________________________________________________________________________

99

a) gibanje vodiča u magnetskom polju b) stvaranje naboja i električnog polja

Slika 0-23 Elektromagnetska indukcija

Na slici 3-23. b) prikazane su i silnice električnog polja koje nastaje zbog prisutnosti nabijenih krajeva vodiča. Ta se pojava naziva elektromagnetska indukcija, a dobiveni naboj inducirani naboj.

Ako se to kretanje vodiča ostvari na vodljivom okviru (slika 3-24), onda će inducirani naboj poteći okvirom i struja će teći sve dok se vodič po okviru giba. Ta se struja naziva inducirana struja. Izraz za iznos induciranog naboja najlakše se dobiva preko energetskih odnosa. Naime, pomak naboja Q od točke a do b znači rad ostvaren silom F na putu l. Iznos sile je poznat (3.21), pa slijedi:

[ ]W F l Q l v B J= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (3.37)

No kako je prema (1.10)

QWe = (3.38)

iz (3.37) i (3.38) slijedi:

e l v B= ⋅ ⋅ (3.39)

Inducirani napon ovisi dakle o duljini i brzini vodiča koji se kreće u magnetskom polju i iznosu magnetske indukcije tog vektora v i B.

Inducirani napon može se promotriti i s druge točke gledišta. Za infinitezimalni pomak vodiča u gibanju, površina okvira abcd se poveća (ako je pomak u desno, ili smanji ako je pomak u lijevo), prema slici 3-24, za iznos

dA l ds= ⋅ (3.40)

Budući da magnetski tok φ ovisi o površini A, slijedi da će se i on promijeniti:

d B dA B l dsφ = ⋅ = ⋅ ⋅ (3.41)

Taj se pomak dogodio u infinitezimalnom vremenu dt, pa (3.41) postaje:

d dsl B l B vdt dtφ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (3.42)


100

Slika 0-24 Gibanje vodiča po metalnom okviru

Budući da je (lÿBÿv) jednako induciranom naponu slijedi da je trenutna

vrijednost napona numerički jednaka brzini promjene magnetskog toka, pa se iz (3.39) i (3.42) dobiva:

dtde φ

−= (3.43)

Negativan predznak govori o smjeru induciranog napona (koji će se suprostavljati promjeni polja). Izraz (3.43) poznat je kao Faraday-ev zakon elektromagnetske indukcije.

Faraday-ev zakon sadrži mnogo više nego što je bilo pokazano. Svejedno je da li pomičemo magnet ili zavoj: napon se inducira kako god se tok mijenja. Štoviše, ima slučaja kad je i vodič i polje (magnet) u mirovanju, a postoji vremenska promjena polja - i onda se u vodiču obuhvaćenom tim promjenama inducira napon. Vremenska promjena toka dφ obično se ostvaruje ili promjenom efektivne površine u stalnoj magnetskoj indukciji B (npr. okretanjem ili pomakom zavoja) ili izmjeničnom strujom koja stvara izmjenični tok.

2.25.1 Lenz-ovo pravilo

Njemačkom znanstveniku F.E. Lenz-u pripisuje se sljedeće korisno pravilo za predviđanje smjera inducirane struje. Ono glasi: Smjer inducirane struje uvijek je takav da se suprotstavlja ili opire uzroku koji ju je proizveo.

Neka se u razmatranje uzme već opisani primjer sa slike 3-24. Inducirana struja će također, prema (3.4), stvarati magnetsko polje. Po pravilu desnog vijka njegov će se tok suprotstavljati polju u kojem se vodič kreće. Na slici 3-24. površina se povećava, a s njom i magnetski tok. Inducirana struja pak smanjuje iznos toka (jer generira drugi tok suprotnog smjera).

Kad bi se vodič kretao u suprotnom smjeru, i struja bi imala suprotan smjer od prikazanog. U tom bi slučaju polje opadalo, a inducirana struja bi ga podržavala (uvećavala).

To na stanovit način predstavlja analogiju s mehaničkim načelom inercije. Kad god pokušamo promijeniti status quo prirodnog sustava, sustav će učiniti sve moguće da nas u tome spriječi. U ovom smislu negativan predznak Faraday-eva zakona (3-43) postaje jasniji.

Magnetizam ________________________________________________________________________

101

2.25.2 Samoindukcija

Istosmjerna struja stvara stalni (konstantni) magnetski tok, a izmjenična izmjenični. Svaki promjenljivi tok, a to znači i izmjenični, inducira napon. U zavojnici kojom teče izmjenična struja inducirat će se dakle napon zbog promjene vlastite struje (koja mijenja magnetski tok). Dakako, napon će se inducirati, prema Faraday-evu zakonu (3-43) kako god se tok mijenja. Ta se pojava induciranja napona proizvedenog od vlastitog promjenljivog toka zove samoindukcija.

Neka je idealna zavojnica s N zavoja smještena na jezgru torusnog oblika kao na slici 3-25.

Slika 0-25 Samoindukcija

Napon samoindukcije es ovisi o broju zavoja i brzini promjene toka, prema

(3-43) :

sde Ndtφ

= − ⋅ (3.44)

Prema (3.11) za jednostavni magnetski krug vrijedi proporcionalnost promjene toka i promjene struje:

N Ad dil

μφ ⋅ ⋅= ⋅ (3.45)

Uvrštenjem (3.45) u (3.44) dobiva se:

s

N A dile Ndt

μ ⋅ ⋅⋅

= − ⋅ (3.46)

odakle slijedi: 2

sN A di N A die Nl dt l dt

μ μ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ = − ⋅ (3.47)

Koeficijent μN2A/l zove se koeficijent samoindukcije ili induktivitet zavojnice i označuje se s L, a izračunava u H (henri).


102

sdie Ldt

= − ⋅ (3.48)

Induktivitet od 1H znači da se za promjenu od 1A/s inducira napon u zavojnici od 1V.

[ ] [ ] [ ]AWbAVsH // == (3.49)

Prema II. Kirchhoff-ovu zakonu mora vrijediti : es+e=0.

2.25.3 Međuindukcija

Zanimljivo je promotriti utjecaj promjenljivog toka jednog svitka (zavojnice) na drugi svitak koji obuhvaća čitav ili dio promjenljivog toka. Neka se na istu jezgru sa slike 3-25 namota nova zavojnica s N2 zavoja, kako je prikazano na slici 3-26.

Promjenljiva struja u prvoj zavojnici stvara promjenljivo magnetsko polje dφ1/dt koje prolazi jezgrom. Zbog samoindukcije u prvoj će se zavojnici inducirati napon:

11 1

de Ndtφ

= − ⋅ (3.50)

Međutim i druga zavojnica obuhvaća isti promjenljivi tok. Zato će se i u njoj inducirati napon, ovisno o broju njezinih zavoja

12 2

de Ndtφ

= − ⋅ (3.51)

Slika 0-26 Međuinduktivna veza

Treba još pogledati o čemu ovisi promjenljivi tok φ1, napisati uzrok njegove

promjene. Slično kao kod samindukcije iz (3.6), (3.7) i (3.11) slijedi:

1 11 1

N iB A H A Al

φ μ μ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (3.52)

Uvrštenjem u (3.51) dobiva se:

1 2 1 12

N N A di die Ml dt dt

μ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ = − ⋅ (3.53)

Magnetizam ________________________________________________________________________

103

Koeficijent M zove se međuinduktivitet i ima istu dimenziju (H) kao induktivitet. Međuinduktivitet se može izraziti i preko induktiviteta pojedinih svitaka. Budući da oba svitka obuhvaćaju istu jezgru, prema slici 3-26, za L1 slijedi:

2 2 21 1 1

1 1m

N A N NL ll RA

μ

μ

⋅ ⋅= = =

⋅

(3.54)

i potpuno analogno za L2 : 2 2 22 2 2

2 1m

N A N NL ll RA

μ

μ

⋅ ⋅= = =

⋅

(3.55)

Povezujući (3.50) sa (3.51) i (3.53) dobiva se:

1 21 2

1 2

m m

m m

L R L RN NM odakle jeR R

M L L

⋅ ⋅ ⋅⋅= =

= ⋅

(3.56)

Ta je veza dobivena za slučaj potpunog magnetskog vezanja - sav tok od prve zavojnice prolazi kroz drugu zavojnicu. Ako to nije slučaj, u proračun međuinduktiviteta treba uzeti i dodatni faktor k magnetskog vezanja.

1 2M k L L= ⋅ ⋅ (3.57)

Primjer: Zanimljivo je pokazati vezu induciranog napona u drugoj zavojnici (sekundar) s naponom prve zavojnice (primar). Ako se izraz (3.50) podijeli s izrazom (3.51) dobiva se:

2

1

2

1

NN

ee

= (3.58)

iz čega slijedi napon sekundara:

22 1

1

Ne eN

= ⋅ (3.59)

Iz (3.59) vidi se da se naponi primara i sekundara odnose kao omjeri njihova broja zavoja. Izlazni napon se može mijenjati (povećavati ili smanjivati) s različitim brojem zavoja, izraz (3.59). Na tom načelu radi transformator (slika 3-27).


104

Slika 0-27 Transformator

Dobro je odmah uočiti da je inducirani napon također promjenljiv, što u

praksi znači da se izmjenični napon primara transformira u izmjenični napon željenog iznosa na sekundaru.

Kod idealnog transformatora (bez gubitaka), snage na primarnoj i sekundarnoj strani su jednake, što znači da je pri višem sekundarnom naponu (veći broj zavoja sekundara), sekundarna struja manja. Dobiti veći napon na sekundarnoj strani (povećanjem broja zavoja) moguće je samo uz smanjenje sekundarne struje.

Transformatori tako i služe pri prijenosu energije na velike udaljenosti. Visokonaponski dalekovodi imaju vrlo visok napon, uz malu struju, čime se minimiziraju gubici zbog zagrijavanja vodiča (voda).

2.26 Energija magnetskog polja

Magnetsko polje, kao i električno, posjeduje energiju. Iznos energije W pohranjene u zavojnici induktiviteta L jednak je radu koji se obavi pomicanjem naboja protiv napona samoindukcije es. U početku t=0, neka je i=0, a nakon toga neka struja raste s prirastom di/dt. U vremenskom intervalu dt naboj koji kroz zavojnicu prođe je prema (2.3)

dQ i dt= ⋅ (3.60)

a samoinducirani napon koji sprečava gibanje naboja je prema izrazu (3.48) jednak:

sdie Ldt

= − ⋅ (3.61)

Iz toga slijedi da je učinjeni rad:

sdidW e dQ L i dt L i didt

= − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (3.62)

Ukupan rad W potreban za povećanje struje od početne do konačne vrijednosti je prema tome:

21 .2

W L i= ⋅ (3.63)

Dok teče struja zavojnica induktiviteta L ima energiju.

Ako napon na zavojnici koji je struju prouzrokovao nestane, onda će ta energija sprečavati pad struje, pa njezin iznos neće trenutno pasti na nulu.

Zanimljivo je pogledati gdje je ova energija uskladištena (u električnom polju kondenzatora bila je u dielektriku između ploča). Ako se u (3.63) uvrsti L iz (3.54) i I iz (3.16) slijedi:

Magnetizam ________________________________________________________________________

105

22 221 1

2 2 2N A H l HW L i A ll N

μ μ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.64)

Budući da je Aÿl=Vol može se zaključiti da je energija pohranjena u volumenu Vol koji zavojnica obuhvaća i da ovisi o kvadratu jakosti magnetskog polja, odnosno indukcije koja tu postoji.

2 2

2 2 2ol ol olH B B HW V V Vμ

μ⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅ (3.65)

2.26.1 Izmjenično magnetiziranje željeza

Ako se feromagnetski materijal nalazi u magnetskom polju kojem se neprestano mijenja smjer (na primjer, polje koje stvara izmjenična struja), onda će promjena jakosti polja mijenjati indukciju na način opisan u potpoglavlju 3.4.

Periodu izmjenične struje odgovarat će jedna petlja histereze, a okretanjem smjera magnetskih dipola u feromagnetskom materijalu razvijat će se toplina. Govori se o stanovitoj vrsti "unutrašnjeg trenja" prilikom njihova okretanja.

Diferencijal utrošene energije za porast struje i u vremenu dt koja uzrokuje promjenu jakosti polja, a s njim i promjenu indukcije dB jednak je:

( )d H ldW e i dt N dt d B A H l H A l dBdt Nφ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (3.66)

odakle slijedi uz Vol=A l

oldW H V dB= ⋅ ⋅ (3.67)

Ukupna energija dovedena u jednom periodu bit će:

olW dW V H dB= = ⋅∫ ∫ (3.68)

gdje je Vol -volumen koji zavojnica, odnosno torusna jezgra unutar zavojnice ima.

Integraciju treba dakle obaviti po zatvorenoj krivulji histereze, kao što je to prikazano na slici 3-28. Poteškoća je međutim što H nije moguće izraziti kao jednostavnu funkciju od B, pa se integral u izrazu (3.68) ne može izračunati analitički.


106

Slika 0-28 Izmjenično magnetiziranje feromagnetskog materijala

Integracija po zatvorenoj krivulji rezultira površinom koju zatvara, pa kao

neposredni zaključak slijedi da je utrošena energija to veća što je površina histereze veća. To isto slijedi i za razvijenu toplinu, pa se toplinski gubici prilikom magnetiziranja i zovu gubici petlje histereze. Da bi se gubici energije zbog histereze smanjili, poželjno je da njezina površina bude što manja.

Osim gubitaka zbog histereze u jezgri postoje i gubici zbog tzv. vrtložnih struja. Promjenljivo magnetsko polje ima za posljedicu ne samo induciranje napona u zavojnici oko jezgre nego i u jezgri kao vodiču. Posljedica pak induciranog napona su vrtložne struje. Toplinski gubici zbog vrtložnih struja nisu zanemarivi. Zbog toga se dijelovi električkih strojeva izloženi izmjeničnom magnetiziranju izrađuju od međusobno izoliranih limova kako bi se vrtložne struje smanjile.

Ako se izmjenična struja nakon svakog perioda smanji za odgovarajući iznos, onda se i petlja histereze smanjuje, kako se vidi na slici 3-29. Nakon smanjivanja iznosa struje na nulu jezgra više nema magnetska svojstva (B=0 uz H=0). Taj se postupak zove razmagnetiziranje jezgre.

Slika 0-29 Razmagnetiziranje jezgre

2.26.2 Privlačna sila magneta

Poznavajući energiju koju (elektro)magnet ima nije teško odrediti silu kojom magnet privlači ili nosi feromognetski uzorak. S obzirom da je energija, odnosno rad, jednak sili na određenom putu, prema slici 3-30 i izrazu (3.66) može se pisati :

2 2

0 02 2B BdW dV A dlμ μ

= ⋅ = ⋅ ⋅ (3.69)

i

dW F dl= ⋅ (3.70)

pa je iz (3.70) i (3.69):

Magnetizam ________________________________________________________________________

107

[ ]2

02BF A Nμ

= ⋅ (3.71)

Slika 0-30 Privlačna sila magneta

Nosiva, odnosno privlačna sila magneta proporcionalna je kvadratu magnetske indukcije i efektivnoj površini predmeta i magneta na kojoj ta indukcija djeluje.


108

2.27 Appleti

2.27.1 Naboj u magnetskom polju

Pomoću klizača podešavamo:

• B (UPPER) – gustoću magnetskog toka u gornjoj polovici prozora

• B (LOWER) - gustoću magnetskog toka u donjoj polovici prozora

• MASS – masu naboja koji ulijeće u magnetsko polje

• VELOCITY – brzinu s kojom naboj ulijeće u magnetsko polje

• ANGLE – kut ulijetanja naboja

Click-om na gumb RESET vraćamo simulaciju na početak.

2.27.2 Lorentz-ova sila

Click-om na gumb:

• ON/OFF, uključujemo i isključujemo struju,

Magnetizam ________________________________________________________________________

109

• REVERSE CURRENT, mijenjamo smjer struje,

• TURN MAGNET, mijenjamo smjer magnetskog polja.

Na posljednje tri opcije biramo da li ce se vidjeti strelice koje pokazuju smjer:

• Struje (crvene strelice),

• Magnetskog polja (plave strelice),

• Lorentzove sile (crne strelice).

Oko vodiča kojim teče struja postoji magnetsko polje. Ako se taj vodič nalazi u vanjskom magnetskom polju, na njega će djelovati sila, tako da će ga gurati u područje manje gustoće silnica ukupnog magnetskog polja, koje se dobiva zbrajanjem magnetskog polja vodiča i vanjskog magnetskog polja. Ova sila zove se Lorentzova sila. Prema (3.2) Iznos Lorenzove sile je

F B I l= ⋅ ⋅

gdje su

• F - sila na vodič

• B - gustoća magnetskog toka

• l - duljina vodiča

2.27.3 Faraday-ev zakon

Click-om na gumb:

• START – pokrećemo simulaciju,

• STOP – zaustavljamo simulaciju.

Pomoću izbornih ponuda biramo da li će se vidjeti strelice koje pokazuju:

• magnetsku silu


110

• magnetsko polje.

Klizači služe za podešavanje brzine promjene toka (vary speed) i jakosti magnetskog polja (vary field strenght).

Vertikalni štap (koji se pomiče), na dva horizontalna štapa (koji su vodljivo spojeni), zatvara strujni krug. U krug je priključen ampermetar koji mjeri struju koja se inducira. Budući da je inducirana struja proporcionalna induciranom naponu ui=B·l·v, povećanjem brzine i jačine magnetskog toka struja će rasti i obrnuto.

Pomoću miša možemo vući vertikalni štap lijevo – desno i promatrati kako smjer i brzina povlačenja utječu na induciranu struju, čiju jakost pokazuje ampermetar.

2.27.4 Lennz-ovo pravilo

Pomoću miša (lijevi click spušten) možemo približavati i udaljavati magnet od vodiča (prstena).

Kada magnet približavamo vodiču (prstenu), tok magnetskog polja kroz prsten se povećava. U prstenu se inducira napon i poteče struja. Smjer struje je takav da se magnetsko polje oko vodiča suprotstavlja povećanju magnetskog toka.

Kada udaljavamo magnet, inducirana struja i magnetsko polje oko vodiča imat će suprotan smjer nego kad smo magnet približavali. U ovom se slučaju magnetsko polje oko vodiča suprotstavlja smanjenju magnetskog toka.

Lenzovo pravilo: Inducirani napon stvara struju takvog smjera da se ona svojim djelovanjem suprotstavlja promjeni (magnetskog toka) koja ga je izazvala.

Magnetizam ________________________________________________________________________

111

2.28 Zadaci

1. Na polovici radiusa jednog vodiča kružnog presjeka kroz koji teče struja

konstantne gustoće J postoji magnetsko polje H1.

a) koliki je iznos magnetskog polja na površini vodiča (izrazite ga pomoću H1),

b) označite na presjeku vodiča smjer magnetskog polja na površini vodiča uz slobodno izabran smjer struje,

c) kako se mijenja iznos magnetskog polja od osi vodiča prema površini, prikažite grafički,

d) izvedite ovisnost c)?

Rješenje:

a) 2H1 d) 2

1 , , ,02 2I IH R r H r r R

r Rπ π= ⋅ ≤ ≤ ∞ = ⋅ ≤ ≤

2. Ravan vodič duljine 1m, mase 0.00784 kg, smješten je u zraku okomito na horizontalno magnetsko polje jakosti 6,34ÿ103 A/m. Nađi jakost struje koju moramo propustiti kroz vodič da on u magnetskom polju miruje.

Rješenje:

9.65 [A]

3. Elektron ubrzan razlikom potencijala 300V giba se usporedno s ravnini vodičem od njega udaljenim 4mm. Kolika sila djeluje na elektron ako vodičem prolazi struja jakosti 5 A?

Rješenje:

164.12 10−⋅ [N]

4. Nabijena čestica uleti u homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 0.52T brzinom 2ÿ106 m/s. Koliki je specifični naboj čestice ako je ona u polju opisala luk polumjera 4 cm? Koja je to čestica?

Rješenje: 79.615 10⋅ [C/kg], proton

5. Na zatvorenu željeznu jezgru srednje duljine 0.6 m i presjeka 5 cm2 namotano

je 450 zavoja kroz koje teče struja 8.8 A i stvara magnetski tok 700 μWb.

a) kolika je indukcija,

b) koliki je iznos jakosti magnetskog polja,


112

c) koji je iznos relativne permeabilnosti željeza,

d) koliki otpor ima zavojnica ako je na nju priključen napon 10 V,

e) uz kvadratični profil presjeka jezgre i jednoslojan namot, koliki je iznos presjeka bakrene žice namotaja?

Rješenje:

a) 1.4 [T] b) 6600 [A/m] c) 168.8 [Vs/Am] d) 1.136 [Ω] e) 0.623 [mm]

6. Kroz dva ravna usporedna vodiča teku struje 5A i 10A. Kolika sila djeluje među vodičima na duljinu 1m ako su oni međusobno udaljeni 10 cm?

Rješenje:

0.0001 [N]

7. U homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 2ÿ10-4 smješten je dugi ravni vodič okomito na silnice. Vodičem teče struja jakosti 50A. Nađi geometrijsko mjesto točaka u kojima je magnetska indukcija jednaka nuli.

Rješenje:

5 [cm] 8. Kroz 800 zavoja namotanih na nemagnetično tijelo oblika torusa srednje

dužine 0.2 π [m] i presjeka 50cm2 teče struja I=10A.

a) koliki je iznos jakosti magnetskog polja u zavojnici,

b) koliki je induktivitet zavojnice,

c) koliku magnetsku energiju sadrži zavojnica,

Rješenje:

a) 12734 [A/m] b) 6.4 [mH] c) 0.32 [J]

9. Koji se napon inducira u zavojnici sa 10 zavoja površine 5cm2 ako tu zavojnicu za 0.005s unesemo u magnetsko polje jakosti 8ÿ104 A/m? Površina zavojnice okomita je na silnice.

Rješenje:

0.1 [V]

10. U zavojnici se za vrijeme 0.2 s promijeni jakost struje od 15A na 10A. Pritom se inducira napon 2V. Koliki je induktivitet zavojnice?

Rješenje: 0.08 [H]

PRIJELAZNE POJAVE

Električki elementi koji mogu uskladištiti energiju električnog (kondenzator) i magnetskog (zavojnica) polja, mogu se nalaziti u dva stacionarna stanja: sa i bez energije. Od interesa je upoznati pojave koje nastaju pri prijelazu iz jednog u drugo stacionarno stanje, jer se njima obuhvaća preraspodjela energije u strujnim krugovima, što je čest slučaj u praksi. Skup svih događaja pri tom prijelazu obuhvaća naziv "prijelazne pojave". Glavno pitanje koje se u sljedećim točkama rješava jest: kako se mijenja napon i struja na kondenzatoru i zavojnici između dva stacionarna stanja.

2.29 RC-krug

2.29.1 Energija nabijenog kondenzatora

Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona E, kondenzatoru se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala v, između ploča. Nakon određenog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem Q=C⋅E, i poprimi napon izvora E. Tijekom nabijanja, porastu napona kondenzatora v, za vrijednost dv, uzrok je porast naboja dq:

dq C dv= ⋅ (4.1)

Malim slovima označuju se trenutačne vrijednosti pojedinih veličina.

Kod gibanja naboja dq, električno polje obavlja rad:

dW dq v C v dv= ⋅ = ⋅ ⋅ (4.2)

Ukupni obavljeni rad za vrijeme nabijanja kondenzatora je: 2 2

2 2 2C V Q V QW C v dv

C⋅ ⋅

= ⋅ = = =∫ (4.3)

Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru između ploča (elektroda), kao energija električnog polja.

Kod izbijanja kondenzatora, električno polje u izolatoru se razgrađuje. Ta se energija oslobađa i može se pretvoriti u neki drugi oblik energije (toplinsku, svjetlosnu ili opet u električnu).

2.29.2 Energija na otporu

Kod nabijanja kondenzator dobije samo polovicu energije izvora. Druga polovica energije izvora potroši se na otporu kruga R.


114

2 2R i C CV VW W W Q V Q Q W= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ = (4.4)

Na otporu kruga potroši se do kraja nabijanja toliko energije koliko je dobije kondenzator.

2.29.3 Nabijanje (punjenje) kondenzatora

Uključenjem kondenzatora u strujni krug s otporom R (slika 4-1) događa se prijelazna pojava nabijanja kondenzatora, dok mu napon ne poprimi vrijednost napona izvora. Struja nabijanja kondenzatora u početku je velika, a kako naboj na pločama raste, tako njezin iznos pada (opiranje dotoku istovrsnog naboja).

Slika 0-1 RC krug

Struja u trenutku priključenja I određena je samo naponom E i otporom kruga R, tj. Ohm-ovim zakonom (I=E/R).

Kako nakon priključenja napon kondenzatora uC nabijanjem postupno raste, tako se smanjuje napon na otporu uR (uR = E−uC), a s njime i jakost struje u krugu i (i = vR/R ).

Naponi se na početku nabijanja mijenjaju brže, a prema završetku nabijanja sve sporije. Trajanje nabijanja je dulje što su veći kapacitet C i otpor kruga R.

Umnožak vrijednosti kapaciteta i otpora također ima dimenziju vremena i zove se vremenska konstanta:

RCτ = (4.5)

Nakon isteka jedne vremenske konstante kondenzator se nabije na 63% konačnog napona.

Napon kondenzatora raste sve sporije prema konačnoj vrijednosti (napona izvora E, a uzima se da je kondenzator nabijen nakon vremena t = 5⋅τ (tj. pet vremenskih konstanti).

Struja tada praktički više ne teče iz izvora, pa kažemo da je kondenzator nabijen.

Prijelazne pojave ________________________________________________________________________

115

2.29.4 Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora

Nabijeni kondenzator odspojen od izvora sadrži električnu energiju. Vodljivim spajanjem njegovih elektroda višak elektrona s negativne elektrode odlazi na pozitivnu tvoreći tako struju kroz vodljivi spoj između elektroda.

Strujom kondenzator predaje energiju otporu, preko kojeg su elektrode vodljivo spojene. Ovo predavanje energije nazivamo izbijanje (ili pražnjenje) kondenzatora.

Kod izbijanja, kondenzator se ponaša kao izvor zanemarivo malog nutarnjeg otpora. Stoga je početna struja izbijanja I određena samo naponom nabijenog kondenzatora VC i otporom R vodljivog spoja između priključnica kondenzatora:

CVIR

= (4.6)

Nabijeni kondenzator ponaša se kao naponski izvor samo u početku izbijanja. Kako ima ograničenu količinu naboja, napon (a s njime i struja) izbijanjem se smanjuje, u početku brzo, a prema završetku izbijanja sve sporije.

U svakom trenutku vrijedi Kirchhoff-ov zakon za napone tj.

R Cv v= (4.7)

U svakom trenutku je napon na otporu vR jednak naponu kondenzatora vC, pa je time preko Ohm-ovog zakona u svakom trunutku određena i veza između napona kondenzatora vC i struje izbijanja i kao:

Ri R v= (4.8)

Na slici 4-2. prikazana je naponska funkcija nabijanja i izbijanja kondenzatora v=f(t).

Slika 0-2 v=f(t) u RC krugu


116

2.30 RL-krug

2.30.1 Energija zavojnice

Rastom struje zavojnice od nule do neke vrijednosti I u svitku se stvara magnetsko polje. Energija tog polja pohranjuje se u svitku. Smanjenjem struje magnetsko polje se razgrađuje i svitak putem induciranog napona energiju vraća natrag u krug.

Snaga na zavojnici određena je u svakom trenutku umnoškom struje i i induciranog napona vL :

L LL ip i v i

tΔ

= ⋅ = ⋅Δ

(4.9)

Energija svitka jednaka je umnošku snage i promjene vremena:

L L LiW p t i u t i L t i L it

ΔΔ = ⋅Δ = ⋅ ⋅Δ = ⋅ ⋅ ⋅Δ = ⋅ ⋅Δ

Δ (4.10)

Ukupna energija svitka jednaka je zbroju svih diskretnih porasta energije ΔWL pri porastu struje od 0 do I, pa ćemo ukupnu energiju svitka dobiti zbrajanje, odnosno integriranjem jednadžbe (4.10):

LW i L iΔ = Δ

2

0 2

I IW i L i L= ⋅ Δ =∑ (4.11)

gdje je

• WL – energija pohranjena u svitku

• L – induktivitet svitka

• I – struja svitka

što je identično već izvedenom izrazu u (3.63).

Energija svitka (stalnog induktiviteta) određena je njegovim induktivitetom i jakošću struje. Promjena struje svitka znači promjenu njegove energije. Kako nije moguća trenutačna promjena energije, tako nije moguća ni trenutačna promjena struje svitka i on se tome opire svojim induciranim naponom.

Kod ukapčanja i iskapčanja strujnog kruga sa svitkom (RL – krug), stacionarno stanje se zbog toga ne uspostavlja trenutačno, nego se javlja prijelazno stanje u kojem se postupno uspostavljaju konačne veličine struje i napona.


117

2.30.2 Ukapčanje RL – kruga

Svaka se realna zavojnica može predočiti kao spoj radnog otpora R i induktiviteta L. Dovede li se napon u strujni krug u koji je spojena realna zavojnica (spajanje preklopke u položaj 0-1 na slici 4-3) struja će od početne vrijednosti i = 0 do svoje stacionarne vrijednosti i = V/R s vremenom mijenjati svoj iznos. Promjena struje inducirat će prema (3.48) napon samoindukcije, koji će se po Lenz-ovu zakonu suprotstavljati promjeni struje, tj. usporavat će njezin porast.

Slika 0-3 RL krug

Jakost struje raste u zavojnici po eksponencijalnom zakonu. Za vrijeme

jedne vremenske konstante (t=τ) struja postigne 63,2% svoje konačne vrijednosti. Vrijednost stacionarnog stanja praktički se postiže već nakon vremena od 4 do 5 vremenskih konstanti. To se osobito zorno vidi na slici 4-4.

Slika 0-4 i=f(t) za uključenje RL kruga

Suprotstavljajući se trenutačnoj promjeni struje, na svitku se nakon

ukapčanja javlja inducirani napon polariteta suprotnog polaritetu izvora.

Da bi struja neposredno nakon ukapčanja bila ista kao u času neposredno prije toga, a to jest nula, inducirani napon na svitku u trenutku ukapčanja mora poništiti napon izvora. Stoga, neposredno prije ukapčanja, inducirani napon na induktivitetu po iznosu je jednak naponu izvora.

Inducirani napon najveći je u trenutku ukapčanja, jer je tad najveća promjena magnetskog toka. Potom, kako se u svitku postepeno uspostavlja magnetski tok, smanjuje se brzina njegove promjene. Time se postupno smanjuje i inducirani napon vL.

Napon na otporu vR u svakom je času jednak razlici napona izvora E i napona na induktivitetu vL

R Lv E v= − (4.12)


118

Kako se smanjuje napon vL tako raste napon na otporu vR, a isto tako postupno raste struja:

R Lv vEiR R R

= = − (4.13)

Struja raste od nule do konačne vrijednosti:

EIR

= (4.14)

koja je određena samo naponom izvora i otporom kruga. To je veličina struje u stacionarnom stanju.

Porast struje je sporiji i prijelazno stanje traje dulje, što je veći omjer induktiviteta i otpora kruga. Ovaj omjer označava se s τ i naziva vremenska konstanta RL–kruga.

[ ]

LR

s s

τ

τ

=

Ω= =Ω

(4.15)

Jedinica za vremensku konstantu je sekunda.

Vremenska konstanta τ je vrijeme nakon ukapčanja svitka, u kojem struja RL – kruga poraste na 63% svoje konačne vrijednosti. U istom vremenu napon na induktivitetu padne na 37% svoje početne vrijednosti.

Struja se sve sporije približava svojoj konačnoj vrijednosti I, a uzima se da je realno doseže (te nastupa stacionarno stanje) nakon vremena

Tuk = 5τ (4.16)

2.30.3 Iskapčanje RL – kruga

Drugi slučaj prijelazne pojave u RL-krugu jest prekidanje toka stacionarne struje I, na primjer spajanjem preklopke u položaj 0-2 u shemi na slici 4-3. U strujnom krugu bez izvora struja mora pasti na nulu (utrnuti). Promjene struje neizbježne pri smanjivanju stacionarne vrijednosti I na stacionarnu vrijednost i=0 uzrokom su napona samoindukcije, čiji je smjer po Lenzovom zakonu takav da se suprotstavlja promjeni, tj. nastoji održati dotadašnju struju.

Slika 0-5 i=f(t) za isključenje RL kruga


119

Struja dakle eksponencijalno trne u beskonačnosti (praktički nakon 4-5 τ).

Brzina pada opet ovisi o vremenskoj konstanti. Vidi se (slika 4-5.) da zbog prisutnosti induktiviteta L strujni krug pokazuje stanovitu tromost pri promjeni struje.

Kod iskapčanja, suprostavljajući se padu struje, svitak djeluje kao naponski izvor koji nastoji i dalje tjerati struju u istom smjeru.

U trenutku prekida struje otvaranjem sklopke, na induktivitetu se javlja inducirani napon vrlo velikog iznosa (može biti i nekoliko kilovolti). Veličina induciranog napona, može se ograničiti tako da se svitak pritom kratko spoji.

Polaritet induciranog napona vL je takav da on djeluje kao izvor, nastojeći održati struju kroz svitak i nakon iskapčanja izvora. Da bi struja u času neposredno nakon iskapčanja bila jenaka I kao prije iskapčanja, iznos induciranog napona u tom času jednak je umnošku veličine struje prije iskapčanja i otpora preko kojeg se svitak kratko spaja. To je i najveća vrijednost induciranog napona, koji potom postupno pada prema nuli.

Struja je kod iskapčanja jednaka omjeru induciranog napona i otpora preko kojeg je svitak kratko spojen. Ona, slično kao napon vL, s vremenom postupno pada od početne vrijednosti I do nule. Pri tom se potpuno razgradi magnetsko polje svitka i potroši njegova energija.

Brzinu smanjivanja struje svitka, kao i trajanje prijelaznog stanja pri iskapčanju svitka, određuje vremenska konstanta τ, koja je jednaka omjeru induktiviteta i otpora iskapčanja.

Struja, kao i napon vL, nakon jedne vremenske konstante padne na 37% početne vrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti praktično padne na nulu (tis = 5τ).

2.31 Elektromagnetski oscilirajući krug

Zanimljive pojave nastaju, ako se nabijeni kondenzator spoji u strujni krug sa zavojnicom. Kondenzator se nabije u strujnom krugu koji ima izvor istosmjernog napona. Zatim se, pomoću sklopke, zatvori krug u kojem se nalaze samo kondenzator i zavojnica. Tada se kondenzator počinje izbijati preko zavojnice. Promjena toka naboja u zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste. Nakon prijelaznog procesa, kad je kondenzator izgubio svoju potencijalnu energiju Q2/(2C), zavojnica ima najveću energiju L⋅I2/2, koja je, ako nema gubitaka (npr. na otporu), jednaka prvotnoj električnoj. Tada slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na račun magnetske energije zavojnice. Može se primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu.

Budući da se proces ponavlja, a struja, naboj i napon su harmoničkog oblika, govori se o električnim oscilacijama. Ako je početna energija kruga bila Q2/(2⋅C), ukupna energija u bilo kojem vremenu izračuna se iz:

2 2 2

2 2 2q i QLC C+ = (4.17)


120

Gdje se q i i trenutne vrijednosti naboja, odnosno struje.

Rješenjem te jednadžbe slijedi da je frekvencija oscilacija f jednaka:

1 12

fT L Cπ

= =⋅

(4.18)

iz čega se vidi da je frekvencija (brzina promjene) to veća što su induktivitet i kapacitet manji.

Slika 0-6 LC oscilator

U trenutku kad se sklopka S zatvori, kondenzator se počinje izbijati preko

zavojnice. Promjena toka naboja u zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste. Nakon prijelaznog procesa, kad je kondenzator izgubio svoju potencijalnu Q2/(2C) energiju, zavojnica ima najveću energiju LI2/2, koja je, ako nema gubitaka, jednaka prvotnoj električkoj. Sada (slika 4-6) slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na račun magnetske energije zavojnice. Dobro je primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu.

Ono što je pritom zadivljujuće jest povezanost sa sličnim fizikalnim veličinama mehaničkih oscilacija. Povezanost između električnih i mehaničkih sustava je toliko velika da je moguće riješiti složene mehaničke ili akustičke probleme postavljanjem analognih električnih krugova i mjerenjem na lak način napona i struja koje odgovaraju mehaničkim i akustičkim "nepoznanicama". Ako je m masa tijela obješenog na spiralnoj opruzi krutosti k, onda će kružna frekvencija ω toga sustava biti

mk

=ω (4.19)

što odgovara električnim oscilacijama:

1L C

ω =⋅

(4.20)

Budući da je sustav zatvoren, zbroj kinetičke i potecijalne (elastične) energije je konstantan i jednak potencijalnoj energiji koju tijelo ima na maksimalnoj udaljenosti xm .

Usporedba nekih izraza koji vrijede za oba oscilacijska kruga, mehaničkog i električnog dana je u tablici 4.1.

Utjecaj otpora u oscilatorima je potrošak energije u vidu topline. To odgovara trenju u mehaničkom sustavu.


121

Hertz je 1888. pokazao da oscilacijski krugovi (odašiljači) mogu poslati energiju kroz prostor do sličnog kruga (prijemnika). Osim potvrde poznatih zakona iz optike, Hertz-ovi pokusi dokazali su i Maxwell-ovu teoriju elektromagnetskih valova, koja je sigurno jedan od najvećih uspjeha znanosti 19. stoljeća.

Masa na elastičnoj opruzi LC krug

222

222mkxkxmv

=+ C

QC

qLi222

222

=+

22 xxmkv m −= 221 qQ

LCi −=

dtdxv =

dtdqi =

txx m ωsin= tQq ωsin=

Tablica 4.1. Usporedba mehaničkih i električkih oscilacija

2.32 Elektromagnetski valovi

Elektricitet i magnetizam promatrani su i proučavani kao različita područja. Međutim, elektromagnetska indukcija pokazala je da gdje god postoji promjena u magnetskom polju, da se tu stvara i električno polje (3.43). Isto tako gibanje naboja, tj. postojanje i promjena električnog polja, stvara magnetsko polje (3.1). Očevidno, nemoguće je postojanje jednog efekta bez pojave drugog. Na tome je Maxwell gradio svoju teoriju o nerazdvojivosti električkog i magnetskog polja, te njihova širenja kroz prostor.

Godine 1864. uspio je postaviti zakone u općem matematičkom obliku. Ti zakoni zajedno daju diferencijalne jednadžbe širenja elektromagnetskih valova , elektromagnetskih - zbog električne (E) i magnetske (B) veličine od koje su sastavljeni, a valova - zbog njihove formalne podudarnosti s jednadžbama širenja mehaničkih valova.

Otkrivena veza električnog i magnetskog polja može se sažeti u nekoliko važnih činjenica:

a) Sve promjene se istodobno događaju u oba polja (električnom i magnetskom), koje svoje minimalne i maksimalne vrijednosti imaju na istom mjestu i u isto vrijeme.

b) Jakosti električnog polja B i indukcije magnetskog polja E međusobno su okomiti vektori, istodobno okomiti na smjer širenja vala (slika 4-7).


122

Slika 0-7 Elektromagnetski valovi

c) Iznosi tih dvaju vektora povezani su s konstantom c:

E c B= ⋅ (4.21)

d) Elektromagnetski valovi nose energiju i njihovo širenje je tok energije električne gustoće (ε0E2/2) i magnetske gustoće (B2/2μ0).

e) Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakuumu je

8

0 0

1 3 10 /c m sμ ε

= = ⋅⋅

(4.22)

Elektromagnetski valovi šire se dakle u vakuumu brzinom svjetlosti !

Izražena u strogom matematičkom obliku Maxwell-ova teorija dovela je do zaključka da je svjetlost elektromagnetski val. Hertz-ovi pokusi, kako je već rečeno, potvrdili su ispravnost te teorije.


123

2.33 Appleti

2.33.1 RC-krug

Pomoću tri padajuća izbornika biramo vrijednosti otpora, kapaciteta i napona. Nakon svakog odabira moramo clicknuti na gumb UPDATE , da bi se odabrane vrijednosti upisale pored odgovarajućih elemenata u strujnom krugu.

Napon još možemo mijenjati tako da clicknemo iznad baterije i vučemo mišem stupac, koji prikazuje napon baterije, gore ili dole.

Click-om na crveni prekidač pokrećemo simulaciju. Trenutne vrijednosti napona na kondenzatoru i otporniku prikazane su pored tih elemenata.

Crvena krivulja prikazuje napon kao funkciju vremena, a plava struju, također kao funkciju vremena.

Clickom na gumb RESET vraćamo vrijeme na nulu. Clickom na crveni prekidač mijenjamo njegov položaj, tj. zatvaramo veći ili manji strujni krug.

U većem krugu imamo izvor napona (bateriju), pa se zatvaranjem tog kruga kondenzator puni. Ako, nakon što se kondenzator napuni, zatvorimo manji strujni krug, kondenzator će se prazniti preko otpora R.

Simulaciju možemo zaustaviti držanjem pritisnute lijeve tipke miša, a kod otpuštanja simulacija se nastavlja.


124

2.33.2 RL-krug

Click-om miša (lijevi click) na prekidač uključujemo, odnosno isključujemo strujni krug. S pomoću klizača podešavamo otpor na reostatu (0–10Ω) i induktivitet na zavojnici (0–2H).

Nakon zatvaranja strujnog kruga, iznad zavojnice se pojavljuju dvije strelice: plava pokazuje smjer struje koja teče krugom, a crvena pokazuje smjer inducirane struje u zavojnici. Ako želimo da na ekranu osciloskopa napon bude prikazan krivuljom, trebamo clicknuti na oznaku „curve“ (hrv. krivulja).

2.33.3 Elektromagnetski oscilirajući krug

Click-om na gumb:

• RESET – kondenzator će se spojiti na izvor napona, pa će se na njemu razdvojiti naboji. Gornja ploča bit će pozitivna, a donja negativna.


125

• START – prekidač će doći u drugi položaj i oscilacije će započeti. Nakon toga isti gumb nam omogućuje prekidanje (PAUSE) i nastavljanje simulacije (RESUME).

Opcije SLOW MOTION omogućuju 10 ili 100 puta sporiji prikaz oscilacija od realnih.

U prozore upisujemo vrijednosti kapaciteta (CAPACITY: 100–1000μF), induktiviteta (INDUCTIVITY: 1–10H), otpora (RESISTANCE: 0–1000Ω) i napona na izvoru (MAX. VOLTAGE).

Na lijevoj strani appleta piše vrijeme proteklo od početka oscilacija, a ispod piše period oscilacija.

Možemo odabrati jednu od dvije opcije u donjem desnom kutu:

• VOLTAGE, AMPERAGE – u dijagramu će biti prikazani napon V (plavo) i jakost struje I (crveno) kao funkcije vremena.

• ENERGY – grafički će biti prikazana transformacija energije (energija električnog polja kondenzatora – crveno, energija magnetskog polja zavojnice – plavo i energija potrošena na otporniku – crno)


126

2.34 Zadaci

1. Kondenzator je sastavljen od dviju paralelnih ploča od površine 60 cm2 koje su jedna od druge udaljene 3 mm. Među njima je bakelit, kojemu je relativna dielektričnost 4. Kondenzator ima napon od 500 V. Kolika se energija oslobodi izbijanjem tog kondenzatora?

Rješenje: 8.85 [µJ]

2. Zavojnica ima otpor 5 Ω i induktivitet 100 mH. U jednom specifičnom trenutku nakon uključivanja baterija, poteče struja u zavojnici iznosa 2 A i promjene

20it

Δ=

Δ A/s.

a) Koliki je napon baterije?

b) Koja je vremenska konstanta kruga?

c) Koja je konačna vrijednost struje?

d) Kolika je konačna vrijednost energije zavojnice?

Rješenje: a) 12 [V] b) 0.02 [s] c) 2.4 [A] d) 0.288 [J]

3. Kondenzator ima kapacitet 15 µF, otpornik ima otpor 8 MΩ, a baterija napon 800 V. U jednom specifičnom trenutku nakon uključivanja baterije teče struja koja puni kondenzator, a napon na njemu je 350 V. Kondenzator je u početku prazan.


127

a) Kolika je brzina promjene napona na kondenzatoru CUt

ΔΔ

u odabranom

trenutku nakon uključivanja?

b) Koja je vremenska konstanta kruga?

c) Koja je konačna vrijednost struje?

d) Koja je konačna vrijednost energije kondenzatora?

Rješenje: a) 0.375 [V/s] b) 120 [s] c) 0 [A] d) 4.8 [J]

IZMJENIČNE STRUJE

Već pri prijelaznim pojavama u strujnom krugu uočene su električne veličine (struje, naponi, elektromotorne sile) koje nisu vremenski konstantne. Njihove vrijednosti poprimaju u svakom trenutku drugi iznos.

Općenito se trenutna vrijednost, uzmimo struje, može iskazati izrazom:

( )tfi = (5.1)

Konstantna struja, istosmjerna bez promjene iznosa, kakva je prikazana na slici 5-1a., gdje je i = I, tek je specijalni slučaj gornjeg izraza. Ako struja i = f(t) mijenja samo iznos, a ne i predznak, ostaje istosmjerna (slika 5-1 b.).

Slika 0-1 Istosmjerne struje

Ako struja i = f(t) uz iznos mijenja i predznak, zove se izmjenična (slika 5-2). Fizikalno to znači da ima vremenskih odsječaka u kojima se nosioci naboja gibaju i u suprotnom smjeru. Obično se smjer gibanja pozitivnog naboja pridružuje pozitivnim iznosima u izrazu i = f(t), a smjer negativnog naboja negativnim.

Slika 0-2 Izmjenična struja

Promjena struje može biti periodička, što znači da se u izrazu i = f(t) u

konstantnim vremenskim razmacima ponavljaju iste vrijednosti s istom derivacijom i da to vrijedi za bilo koji trenutak. Minimalni vremenski razmak takvih točaka zove se period T. Dva primjera periodički promjenljivih struja prikazuje slika 5-3. Na slici 5-3 a. je istosmjerna, a na slici 5-3 b. izmjenična periodička struja.


130

a) b)

Slika 0-3 Periodičke struje

Periodička struja prema tome zadovoljava izraz:

( ) ( )kTtfti += (5.2)

gdje je k = 0, 1, 2, 3,...

Ako je srednja vrijednost periodičke struje i(t), definirana izrazom:

( )0

1 T

srI i t dtT

= ⋅∫ (5.3)

jednaka nuli, struja i(t) je čista izmjenična.

2.35 Harmonijski oblik

Ako je dobivena srednja vrijednost Isr različita od nule, tada je ta periodička struja sastavljena od dvije komponente: od konstantne istosmjerne iznosa Isr i čiste izmjenične, kako je za jedan slučaj prikazano na slici 5-4. Struja u lijevom dijagramu jednaka je zbroju komponenata prikazanih na preostala dva dijagrama.

Slika 0-4 Periodička struja sa Isr≠0

Među čistim izmjeničnim strujama neki se oblici pojavljuju češće. Tako su

češći oblici u kojih je negativni dio iznosima jednak pozitivnom, a među takvima najzastupljeniji je harmonički oblik (slika 5-5).

Mnoge prirodne pojave često se odvijaju po harmoničkoj promjeni. Važno je njezino svojstvo da joj derivacija i integral ostaju harmonički uz vremenski pomak.

Izmjenična struja ________________________________________________________________________

131

Slika 0-5 Harmonička struja

Najjednostavniji matematički opis harmoničkog oblika je onaj pri kojem je u

vremenu t = 0 iznos funkcije nula, uz pozitivnu derivaciju. Za struju to je izraz:

( ) sinmi t I tω= ⋅ (5.4)

gdje je Im - amplituda, ω - konstanta, a ωt - kut.

Često se takav oblik jednostavno zove sinusnim ili sinusoidalnim.

Neharmonički periodički oblici mogu se primjenom Fourier-ove analize predočiti kao zbroj harmoničkih komponenata i jedne konstantne.

U nastavku se pod pojmom izmjenične struje podrazumijeva struja harmoničkog oblika, jednostavno zvana sinusoidalnom strujom. Nju daje izvor napona istog oblika.

Uobičajeno je da se fizički smjer struje u vodiču kome pripadaju pozitivni iznosi u izrazu i(t) utvrđuje kao referentni i označuje strelicom u shemama strujnih krugova (slika 5.6). Njemu pripada referentni polaritet napona izvora koji se može označiti oznakama + i -. Pri negativnim trenutnim vrijednostima i(t) i v(t) smjer struje i polaritet napona su suprotni od naznačenog.

Slika 0-6 Referentni smjer struje i pripadajući polaritet napona izvora

2.35.1 Frekvencija i kružna frekvencija

Za vrijeme jednog perioda T izmjenična struja izvrši jedan potpuni titraj.

Broj titraja N u vremenu Δt naziva se frekvencijom:

[ ].1 Hzstvrijeme

Ntitrajabrojfafrekvencij =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ= (5.5)


132

Jedinica frekvencije je Hz (Herc).

Ako se vrijeme promatranja iste pojave svede na period Δt=T, broj titraja N je jedan, a frekvencija iznosi:

[ ]HzT

f 1= (5.6)

Vrijeme trajanja jednog titraja ili period T recipročno je vrijednosti frekvencije. Frekvencija izmjenične struje ovisi o brzini vrtnje i o broju magnetskih polova generatora u kojem se proizvodi, što se može prikazati slikom 5-7. Tu se nalaze shematizirani presjeci dvaju generatora s jednim namotom na statoru i s magnetskim polovima na rotoru. Rotor na slici 5-7. a) ima dva, a na slici 5-7. b) četiri magnetska pola. Broj pari polova p u prvom slučaju je jedan, a u drugome dva.

Slika 0-7 Shematizirani prikazi generatora izmjenične struje

Rotacijom magnetskih polova u statorskom namotu se inducira izmjenični

napon. U jednom okretaju rotora na slici 5-7 a) inducira se jedan titraj, a u jednom okretaju rotora na slici 5-7 b) induciraju se dva titraja. Kod p pari polova u jednom okretaju inducirat će se p titraja.

Kod n broja okretaja u generatoru na slici 5-7 a) inducira se n titraja, u generatoru na slici 5-7 b) n·2 titraja, a u generatoru s p pari polova nÿp titraja. U jednoj sekundi inducirat će se općenito titraja:

[ ]f n p Hz= ⋅ (5.7)

uz n u [s-1], ili

[ ]60

n pf Hz⋅= (5.8)

uz n u [min-1].

Jednom titraju induciranog napona pripada kut αel=2π. U istom vremenu rotor generatora na slici 5-7 a) prijeđe kut αgeom=2π, a rotor na slici 5-7 b) kut αgeom=2π/2. Rotor s p pari polova prijeći će u istom vremenu kut αgeom=2π/p. Električkom kutu odgovara p puta manji geometrijski kut, pa je:


133

pel

geomαα = (5.9)

Uz konstantnu kutnu brzinu vrtnje rotora ωgeom vrijedi:

tgeomgeom ⋅=ωα (5.10)

a uz konstantnu frekvenciju:

tel ⋅= ωα (5.11)

gdje se ω naziva kružnom frekvencijom.

Za αel=2π, t=T, pa je:

Tωπ =2 (5.12)

i

[ ]HzTπω 2

= (5.13)

Kružna frekvencija jednaka je kutnoj brzini generatora samo ako ovaj ima jedan par polova, jer je tada električki kut jednak geometrijskom.

Uz f=1/T slijedi povezanost frekvencije i kružne frekvencije:

fπω 2= (5.14)

Primjer: Struja javne električne mreže ima frekvenciju 50 Hz, pa trajanje jednog perioda kod nje iznosi:

mssf

T 2002,05011

====

a kružna frekvencija:

1314502 −=⋅= sπω Ako se ona proizvodi npr. u generatorima s brojem pari polova p=2, oni se moraju vrtjeti brzinom:

.min15002506060 1−=⋅

=⋅

=p

fn

Izmjenične struje niskih frekvencija koriste se u prijenosu energije, a one

srednjih i visokih frekvencija u prijenosu informacija. U prijenosu energije pored frekvencije od 50 Hz u nekih zemalja susreću se i frekvencije od 60 Hz. U prijenosu informacija koriste se frekvencije u vrlo širokom rasponu, od praga čujnosti u iznosu od oko 15 Hz pa do nekoliko GHz (gigaherca).


134

2.35.2 Srednja i efektivna vrijednost

Srednja i efektivna vrijednost su statističke veličine, a služe za skraćeno i efikasno opisivanje neke promjenjive veličine koje se trenutne vrijednosti mijenjaju s vremenom. Srednja vrijednost je očekivanje trenutnih vrijednosti, a efektivna njihovo standardno odstupanje. Obje se vrijednosti određuju za sve vremenski promjenjive električne veličine. Efektivna osobito za struje i napone, a srednja i za snage. Srednja vrijednost struje zanimljiva je sa stanovišta pretvorbe električne u kemijsku ili mehaničku energiju kod istosmjernih trošila, a njezina efektivna vrijednost sa stanovišta pretvorbe u toplinsku energiju i kod istosmjernih i kod izmjeničnih trošila.

Iz definicije srednje vrijednosti za kontinuirane slučajne varijable s periodom T:

( )0

1 T

srF f t dtT

= ⋅∫ (5.15)

slijedi srednja vrijednost Isr struje i(t) u periodu T:

( )0

1 T

srI i t dtT

= ⋅∫ (5.16)

Integral određuje površinu omeđenu krivuljom i(t) i apscisom t i predstavlja količinu električnog naboja koji protekne u vremenu T. Dijeljenje s iznosom tog vremena daje vrijednost konstantne istosmjerne struje kojoj odgovara ista količina naboja.

Srednja vrijednost izmjenične struje matematičkog opisa:

sinmi I tω= ⋅ (5.17)

u vremenskom intervalu koji odgovara periodu struje T, jednaka je nuli:

0

1 sin 0T

sr mI I t dtT

ω= ⋅ =∫ (5.18)

jer je jednak nuli njezin integral (slika 5-8 a).

U matematičkom opisu te struje oznaka Im predstavlja maksimalnu, vršnu ili tjemenu vrijednost koju ona poprima u određenom trenutku (T/4, 3T/4 itd), a ω kružnu frekvenciju.

Srednja vrijednost struje zadržava isti iznos ako je vremenski interval u kojem se određuje višekratnik perioda T. Na isti način mogu se odrediti srednje vrijednosti struja i napona sličnih matematičkih opisa. Tako npr. za srednju vrijednost struje (slika 5-8 b), koja se javlja kod poluvalnog ispravljanja, vrijedi da je:


135

Slika 0-8 Srednje vrijednosti struja

TtTzai

TtzatIi m

<<=

<<=

20

20sinω

(5.19)

u vremenskom intervalu koji odgovara periodu T, jednaka je: / 2

0 0 / 2

1 1 sin 0

0.318

T T T

sr mT

msr m

I i dt I t dt dtT T

II I

ω

π

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

∫ ∫ ∫ (5.20)

Efektivna vrijednost I struje i(t) određuje se na temelju usporedbe toplinskog učinka struje i(t) i konstantne istosmjerne struje na jednakom otporu R u istom vremenskom intervalu T. Jednaka je onoj vrijednosti konstantne istosmjerne struje I koja u otporu R za vrijeme perioda T proizvede istu količinu topline Q (slika 5-9):

( )∫===T

dtRtiQTRIQ0

22

21 (5.21)

pa slijedi:

( )∫=T

dttiT

I0

21 (5.22)

Označava se kao i istosmjerna struja, slovom I. Kod periodičkog oblika i(t) vremenski interval T mora biti period ili njegov višekratnik.

Slika 0-9 Određivanje efektivne vrijednosti struje


136

Efektivna vrijednost izmjenične struje:

sinmi I tω= ⋅ (5.23)

jednaka je:

2 2

0

1 sin .T

mI I t dtT

ω= ⋅ ⋅ ⋅∫ (5.24)

Zamjenom kvadrata sinusa poznatim izrazom iz trigonometrije:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−= t

Ttt πωω 4cos1

212cos1

21sin 2

te integriranjem i uvrštavanjem granica integrala slijedi:

0.7072m

mII I= = ⋅ (5.25)

Efektivna vrijednost struje ucrtana je u slici 5-10.

Slika 0-10 Izmjenična struja i njezina efektivna vrijednost

Na isti se način mogu odrediti efektivne vrijednosti struja i napona sličnih

matematičkih opisa.

Izmjenične veličine vrlo se često izražavaju u svojim efektivnim vrijednostima, pa se u njima najčešće označavaju i skale instrumenata namijenjenih mjerenju struja i napona.

2.35.3 Faza i razlika faza

Pojmovi faza i razlika faza javljaju se kod istofrekventnih harmoničkih oblika, a time i kod istofrekventnih izmjeničnih struja i napona.

Fazom ili faznim kutom naziva se kut u matematičkom izrazu izmjenične veličine. Tako je u izrazu za napon:

sinmv V tω= ⋅ (5.26)


137

to kut ωt, a u izrazu za struju:

( )sinmi I tω ϕ= ⋅ − (5.27)

kut (ωt – φ).

Razlikom faza ili faznim pomakom naziva se razlika kutova dviju izmjeničnih veličina. Može se slično kao i faza izražavati u radijanima ili stupnjevima. Za gore navedene napon i struju fazni pomak je:

( )t tω ω ϕ ϕ− − = (5.28)

Istofazne su veličine s ϕ=0, a protufazne s faznim pomakom π.

Razlici faza ϕ pripada vremenski pomak najbližih istovrsnih točaka (primjerice prolaz kroz nulu s pozitivnom derivacijom ili pozitivno tjeme):

ωϕ

=Δt (5.29)

Za odnos u pomaku kaže se da prethodi ona veličina koja pri manjim iznosima kuta ili vremena prolazi kroz istovrsnu točku. Veličina koja ima veći kut ili vrijeme u takvoj točki uspoređivanja zaostaje.

Razlika faza može određivati i odnos između dvaju napona ili dviju struja.

Zornija predodžba faze i razlike faza dobije se prikazom izmjeničnih veličina u vremenskom dijagramu, pri čemu se na vremensku os mogu nanositi vrijednosti ili vremena ili faze. Ako za vrijeme trajanja perioda vrijeme t raste od 0 do T, faza ωt rast će linearno s vremenom od 0 do 2π postižući u vremenima T, 2T, 3T,... vrijednosti 2π, 4π, 6π...

Slika 0-11 Fazni pomaci napona i struje


138

Uz izbor bilo kojeg referentnog trenutka napon v = Vm sin ωt (slika 5-11 a) i struja i=I1m sin(ωt-ϕ1) dali bi grafički prikaz na slici 5-11 b) Struja i1 nema vrijednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku t=0, kao što to ima napon, nego kada je njezina faza jednaka nuli (ωt-ϕ1)=0, pa je ωt=ϕ1.

Između napona v i struje i1 postoji razlika faza ϕ1 , a struja zaostaje za naponom za fazni kut ϕ1 , odnosno za vremenski pomak

./11 ωϕ=Δt (5.30)

Za neku drugu struju, na primjer i2=I2m sin (ωt+ϕ2), faza će biti (ωt+ϕ2), a fazni pomak prema naponu ϕ2. Struja i2 prethodi naponu za fazni kut ϕ2 , a ima vrijednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku kada je njezina faza jednaka nuli (ωt+ϕ2)=0, pa je ωt=-ϕ2 (slika 5-11 c). Struja prethodi naponu za Δt2=ϕ2/ω.

Struja i3=I3m sin ωt i napon (slika 5-11 d) imaju istu fazu i među njima je fazni pomak nula.

2.36 Predočavanje izmjeničnih veličina

Izmjenične veličine do sada su prikazivane ili algebarskim izrazima ili vremenskim dijagramima. Radi jednostavnijeg računanja, crtanja i tumačenja odnosa u strujnim krugovima one se mogu prikazivati i rotirajućim dužinama, a s njima se može računati i u Gauss-ovoj ravnini.

Ove metode prikazivanja i računanja nazivaju se simboličkim metodama.

2.36.1 Prikazivanje rotirajućim dužinama i vektorima

Prikazivanje izmjeničnih veličina rotirajućim dužinama zasniva se na grafičkoj konstrukciji sinusoide pomoću dužine koja rotira jednoličnom kutnom brzinom iz početnog horizontalnog položaja. Tako se na primjer sinusoida napona v=Vm sin ωt može dobiti projekcijom rotirajuće dužine Vm, kutne brzine ω=2πf, na vertikalnu os (slika 5.12).

Slika 0-12 Dobivanje sinusoide pomoću rotirajuće dužine

Projekcija rotirajuće dužine Vm na vertikalnu os za bilo koji kut α=ωt jednaka je trenutnoj vrijednosti napona v=Vm sin ωt. Kada rotirajuća dužina opiše puni kut α=2π, sinusoida opiše puni titraj.


139

Prikaz sinusoida napona v=Vm sin ωt i struje i=Im sin (ωt-ϕ) odgovarajućim rotirajućim dužinama daje slika 5.13.

Obje rotiraju istom kutnom brzinom jer su istih frekvencija, a razlika faza ϕ očituje se kao geometrijski kut. Dužine su prikazane u položaju koji zauzimaju u trenutku t1. Izbor tog trenutka je slobodan, ali se u praksi najčešće poklapa s prolazom kroz nulu ili π/2 veličine koja se smatra referentnom.

Slika 0-13 Prikaz sinusoida rotirajućim dužinama

Prikazivanje istofrekventnih izmjeničnih veličina rotirajućim dužinama

omogućava jednostavnije računanje s njima, jer se grafičko zbrajanje i oduzimanje rotirajućih dužina može izvesti na isti način kao zbrajanje i oduzimanje planarnih vektora. To opravdava postupak da se rotirajuće dužine zamijene mirujućim vektorima, čije dužine odgovaraju efektivnim vrijednostima prikazanih veličina, a razlika faza očituje se kao kut među njima.

Uobičajeno je da se pri crtanju više vektora jedan uzima kao referentni i postavlja u pozitivni smjer osi apscisa ili ordinata, a ostali se, s odgovarajućim faznim pomacima, crtaju prema njemu. Oni s pozitivnim kutovima prema referentnome prethode mu, a oni s negativnim zaostaju.

Slika 0-14 Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu

Vektor koji predstavlja napon, odnosno struju, rotira u koordinatnom sustavu (sl.5.1). Kut α tog vektora raste s vremenom t od nule (stalnom kutnom brzinom ω ), tako da je α =ωt, pa se pri tom projekcija vektora na os y, tj. uspravna koordinata vektora mijenja u vremenu po sinusnoj funkciji:

( ) sin ( )Y A A tω= (5.31)


140

YA - uspravna koordinata vektora A – vektor koji rotira

Vektor može započeti vrtnju iz početnog položaja (α=0) ili iz bilo kojeg drugog položaja određenog nekim početnim kutem α0 (sl.5-2 b). U tom slučaju vremenska promjena kuta vektora, α izražena je jednadžbom

0( )tα ω α= + (5.32)

pa vremenska promjena uspravne koordinate vektora ima oblik opće sinusne funkcije

0( ) sin ( )Y A A tω α= + (5.33)

Sinusoida se na ovaj način može predstaviti rotirajućim vektorom, pri čemu je duljina vektora jednaka vršnoj vrijednosti sinusoide, kutna brzina vrtnje vektora jednaka je kružnoj frekvenciji sinusoide, a početni kut vektora jednak je početnom kutu sinusoide.

Vektori izmjeničnih veličina mogu se nacrtati tako da se napon V uzme kao referentna veličina i postavi u pozitivni smjer osi apscisa, a struje se crtaju pomaknute prema njemu (slika 5-14).

Slika 0-15 Vektorski prikaz napona i struja

Dužine tih vektora odgovaraju, u određenom mjerilu, tjemenim, a posredno

i efektivnim vrijednostima prikazanih veličina, a kutovi ϕ1 i ϕ2 faznim pomacima prema naponu kao referentnoj veličini. Vektor I2 prethodi naponu za kut ϕ2, vektor I3 je s njime u fazi, a vektor I1 zaostaje za njim za kut ϕ1.

Trebaju li se zbrojiti dvije izmjenične veličine, npr. struje I1 i I2 iz slike 5-16, čije su trenutne vrijednosti:

( )111 sin ϕω −= tIi m (5.34)

i

( )222 sin ϕω −= tIi m (5.35)

može se to načiniti grafički (slika 5-16). Rezultat je novi vektor I koji predstavlja efektivnu vrijednost zbroja struja i=i1+i2. Njegova faza ϕ je kut koji on zatvara s vektorom napona, pa je:

( )1 2 sinmi i i I tω ϕ= + = ⋅ − (5.36)


141

Slika 0-16 Zbroj dviju struja

Izmjenične veličine nemaju svojstva vektora i nisu vektori, pa njihov

vektorski prikaz ima simboličko značenje i služi samo za grafičko predočavanje i jednostavnije grafičke operacije zbrajanja i oduzimanja. Pritom se zbrajati i oduzimati mogu samo iste fizikalne veličine.

2.36.2 Fazni pomak u vektorskom prikazu

Početni kut sinusode α0, koji pokazuje pomak nultočke sinusoide od ishodišta, određen je vremenom t0 za koje je nultočka sinusoide pomaknuta od trenutka t=0, tako da vrijedi α0 = ωt0 (slika 5-17).

Ovaj pomak sinusoide od ishodišta naziva se još i fazni pomak.

Slika 0-17 Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu

U vektorskom prikazu fazni pomak određen je početnim kutem koji vektor sinusne veličine zatvara s pozitivnim dijelom osi x.

Pozitivni početni kut pokazuje pomak nultočke sinusne funkcije ulijevo od ishodišta, što vremenski znači prethođenje nultočke trenutku t=0.

Negativni početni kut pokazuje pomak nultočke sinusne funkcije udesno od ishodišta, a vremenski označava kašnjenje nultočke iza trenutka t=0.

U vektorskom prikazu pozitivni fazni pomak (prethođenje) znači zakret vektora od osi +x u smjeru suprotnom okretanju kazaljki sata, dok negativni fazni pomak (kašnjenje) znači zakret vektora u suprotnom smjeru.


142

Fazni pomak može se odrediti samo između harmonijskih veličina jednakih frekvencija. Fazni pomak između dviju sinusoida jednak je razlici njihovih početnih kuteva. U vektorskom prikazu fazni pomak jednak je kutu između vektora dviju veličina. Kao fazni pomak uzima se manji (nutarnji) kut.

2.37 Jednostavni krug izmjenične struje

U istosmjernim krugovima konstantnih struja odnose između struja i napona određivali su Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni. Kod prijelaznih pojava Kirchhoff-ovi zakoni su vrijedili i dalje, dok je Ohm-ov zakon ostao mjerodavan samo za trenutne iznose struja i napona na otporu R, ali ne i na induktivitetu L i kapacitetu C u njihovom specifičnom impedancijskom obliku. Slično vrijedi i kod izmjeničnih struja.

Prijelazne pojave iskazivane su trenutnim vrijednostima napona i struja. Isti tretman mora vrijediti i kod harmoničkih oblika. I tu moraju vrijediti oba Kirchhoff-ova zakona, a Ohm-ov samo za odnose na otporu R. Kako je s trenutnim vrijednostima teško i analitički i grafički manipulirati, pogodnije je to činiti s efektivnim, jer se na njih mogu primijeniti ranije navedeni načini izražavanja i računanja.

Postavlja se pitanje kako se kod efektivnih veličina mogu primijeniti Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni, ako su one fazno pomaknute. Najprije se to može pogledati na pojedinim elementima, a zatim dobivene odnose primijeniti u složenim strujnim krugovima.

2.37.1 Otpor u krugu izmjenične struje

Kao i u krugu istosmjerne struje, tako su i u krugu izmjenične struje, struja i napon na otporu povezani preko Ohm-ovog zakona (2.15).

Slika 0-18 Radni otpor u strujnom krugu

Trenutačna vrijednost napona v(t) na otporu R, kroz koji teče izmjenična struja oblika

( ) sin ( )mi t I tω= (5.37)

jednaka je u svakom trenutku umnošku otpora i trenutne vrijednosti struje:


143

( ) ( ) sin ( )mv t R i t R I tω= ⋅ = ⋅ (5.38)

To znači da sinusoida napona na otporu ima nule i maksimume istodobno kad i sinusoida struje, tj. između struje i napona na otporu nema faznog pomaka: na otporu su struja i napon u fazi.

Slika 0-19 Napon i struja kroz radni otpor R

U grafičkom prikazu određenog mjerila, sinusoide struje i napona na otporu razlikuju se samo po vršnoj ili tjemenoj vrijednosti, pri čemu je vršna vrijednost napona jednaka umnošku otpora i vršne vrijednosti struje

m mV R I= ⋅ (5.39)

Omjer vršnih (a time i efektivnih) vrijednosti vrijednosti napona i struje jednak je otporu R:

m

m

V U RI I

= = (5.40)

2.37.2 Kapacitet u krugu izmjenične struje

Dovede li se na kondenzator kapaciteta C izmjenični napon, zbog stalne promjene polariteta napona, kondenzator se naizmjence nabija i izbija, energija koju daje izvor pretvara se u njemu u električnu.

Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.20. mora vrijediti:

C Ci i i v v= = (5.41)

pri čemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu zakonu. Iz odnosa koji vrijede za kondenzator, gdje je:

C Cdqdq C dv i idt

= ⋅ = (5.42)

slijedi struja kondenzatora:


144

Slika 0-20 Kapacitet u strujnom krugu

C

Cdvi Cdt

= (5.43)

Uz v=vC=Vm sin ωt, trenutna vrijednost struje kroz kondenzator kapaciteta C slijedi iz:

( )sinC mdi C V tdt

ω= (5.44)

i iznosi:

( )cos sin / 2 .C m Cmi V C t I tω ω ω π= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + (5.44)

Iz gornjeg izraza (5.44) vidljivo je da je vršna vrijednos ICm jednaka:

Cm mI V Cω= (5.45)

a prema (5.25) to vrijedi i za efektivne vrijednosti:

1CVI V C

C

ω

ω

= ⋅ ⋅ =

⋅

(5.46)

Kako ova relacija izražava Ohm-ov zakon za efektivne vrijednosti harmoničkih napona i struja na kondenzatoru kapaciteta C, njezin se nazivnik naziva kapacitivni jalovi otpor i označava se s XC.

Uz:

[ ]1 12CX

C f Cω π= = Ω

⋅ ⋅ ⋅ (5.47)

izraz (5.46) može se pisati kao:

,CC

VIX

= (5.48)

što ukazuje da na kondenzatoru postoji čvrst odnos između efektivnih vrijednosti napona i struje ovisan o kapacitetu C i frekvenciji f.


145

Slika 0-21 Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C

Za strujnu frekvenciju ω=0 (istosmjerna struja) kapacitet pretstavlja beskonačni otpor. S porastom frekvencije kapacitivni otpor se smanjuje. Kapacitivni otpor obrnuto je razmjeran frekvenciji.

Kod nabijanja kondenzatora struja kondenzatora je najveća u trenutku kad je napon kondenzatora jednak nuli (kondenzator prazan), a jednaka je nuli kad je napon najveći (kondenzator nabijen). Slično tomu i sinusoida struje kroz kapacitet ima maksimum kad je sinusoida napona na nuli, a jednaka je nuli kad sinusoida napona ima maksimum. Ovakav odnos sinusoida ukazuje na njihov fazni pomak koji se može prikazati i vektorski.

Struja i napon na kapacitetu nisu u fazi, nego su fazno pomaknuti za kut ϕ=π/2=90°, što znači da struja na kapacitetu prethodi naponu za 90°.

2.37.3 Induktivitet u krugu izmjenične struje

Teče li kroz svitak induktiviteta L izmjenična struja, zbog njenog vremenskog mijenjanja na induktivitetu se javlja napon samoindukcije.

Ako se na izvor izmjeničnog napona v=Vm sin ωt priključi samo zavojnica induktiviteta L zanemarivog radnog otpora R, energija koju daje izvor pretvara se u njoj u magnetsku. Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.22. mora vrijediti:

L Li i i v v= = (5.49)

pri čemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoffovu zakonu.

Slika 0-22 Induktivitet u strujnom krugu


146

Iz zakona o samoindukciji (3.48):

dtdiLe −= (5.50)

slijedi odnos između napona i struje na induktivitetu:

Ldiv e Ldt

= − = (5.51)

pa je:

LL

div Ldt

= (5.52)

odnosno:

1L Ldi v dt

L= ⋅ (5.53)

Uz v=Vm sin ωt slijedi trenutna vrijednost struje kroz zavojnicu induktiviteta L:

( )1 sin cos

sin .2

mL m

Lm

Vi V t dt tL L

I t

ω ωω

πω

= ⋅ ⋅ ⋅ = − =⋅

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (5.54)

Ono što vrijedi za tjemene vrijednosti:

mLm

VILω

=⋅

(5.55)

vrijedi i za efektivne:

.LVILω

= (5.56)

Kako ovaj izraz s efektivnim vrijednostima napona i struje strukturom podsjeća na Ohm-ov zakon, umnožak ω·L mora imati jedinicu koja vrijedi i za otpore (Ω=V/A), označava se s XL i naziva se induktivni jalovi otpor. Uz:

[ ]2LX L f Lω π= ⋅ = ⋅ ⋅ Ω (5.57)

je:

.LL

VIX

= (5.58)

što ukazuje da na zavojnici induktiviteta L pri frekvenciji f postoji čvrst odnos između efektivnih vrijednosti napona i struje. Struja iL=ILm sin (ωt-π/2) zaostaje za naponom v=Vm sin ωt za kut π/2 (slika 5-23).


147

Slika 0-23 Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L

Za frekvenciju jednaku nuli i induktivni otpor jednak je nuli, što znači da za istosmjernu struju induktivitet predstavlja kratki spoj. S porastom frekvencije raste i induktivni otpor XL, tj. induktivni otpor je razmjeran frekvenciji.

Porast induktivnog otpora može se objasniti pomoću svojstva svitka da se opire promjeni struje (koja znači promjenu energije magnetskog polja svitka). S porastom frekvencije raste brzina promjene struje (a toj promjeni se induktivitet opire), pa se stoga povećava (induktivni) otpor svitka.

Napon samoindukcije razmjeran je brzini promjene struje u vremenu (Δi/Δt), koja je određena strminom sinusoide. Strmina sinusoide struje najveća je u času kad je struja jednaka nuli. U tom času inducirani napon ima najveći iznos. U trenutku kada struja dosegne najveći iznos, tada prestaje rasti i u tom času je inducirani napon jednak nuli.

Slično kao kod kapaciteta, između struje i napona postoji fazni pomak ϕ=π/2 =90°. Za razliku od kapaciteta, na induktivitetu napon prethodi struji za 90°.

2.38 Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje

Elementi obrađeni u jednostavnim strujnim krugovima mogu u složenim krugovima biti spojeni serijski, paralelno i mješovito. Na svakom elementu vrijede upravo izvedeni odnosi između napona i struje, a odnos između napona i struje izvora ovisi o načinu njihova spajanja.

Ako izvor napona trenutne vrijednosti v i efektivne V napaja složeni strujni krug, teče iz njega struja trenutnog iznosa i i efektivnog I. Fazni pomak među njima ovisi o karakteru složenog strujnog kruga. Za vremenski nepromjenjive parametre u krugu efektivni iznosi napona V i struje I moraju biti proporcionalni:

V I Z= ⋅ (5.59)

Ovaj izraz ima strukturu Ohm-ova zakona, pa se Z izražava u Ω i predstavlja 'ekvivalentni otpor' složenog strujnog kruga, a naziva se prividni otpor ili impedancija. Njegov iznos određuje se iz iznosa pojedinih radnih i jalovih


148

otpora ovisno o načinu njihova spajanja. Recipročna vrijednost prividnog otpora je vodljiva vrijednost ili admitancija:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

=11

ZSY (5.60)

s kojom se može jednostavnije računati kod paralelnih i mješovitih spojeva.

2.38.1 Serijski RL - krug

Slika 0-24 Serijski RL-krug

Kod serijskog spoja (slika 5-24) raznih vrsta otpora (ovdje su to radni otpor R i induktivni otpor XL), naponi su međusobno pomaknuti u fazi, pa se ne može jednostavno zbrojiti njihove efektivne vrijednosti, nego treba uzeti u obzir i njihov fazni pomak. U tu svrhu se crta vektorski prikaz napona (vektorski dijagram), i naponi se zbrajaju vektorski.

Vektorski dijagram (slika 5-25) započinjemo crtati sa zajedničkom veličinom, a to je u serijskom spoju struja. Vektor struje I uzima se s početnim kutem 0, pa se prema njemu postavljaju vektori napona na induktivitetu VL i napona na otporu VR .

Slika 0-25 Vektorski dijagram serijskog RL-kruga

Napon na otporu VR u fazi je sa strujom I, dok napon na induktivitetu VL prethodi struji za 90°. Vektor napona izvora V jednak je vektorskom zbroju napona na otporu VR i induktivitetu VL. Ova tri napona čine pravokutni trokut, pa vrijedi

2 2 2R LV V V= + (5.61)


149

Kut napona V prema struji je pozitivan, tj. ukupni napon prethodi struji za neki kut ϕ (0<ϕ<90°).

Dijeljenjem svake stranice trokuta napona (slika 5-24 a) s I, dobiva se sličan pravokutni trokut s katetama jednakim radnom otporu R i induktivnom otporu XL. On se naziva trokut otpora (slika 5-26 b).

a) b)

Slika 0-26 a)Trokut napona, b)trokut otpora

Hipotenuza ovog trokuta jednaka je omjeru ukupnog napona V i struje I spoja. Taj omjer ne predstavlja nikakav stvarni otpor, pa se naziva prividni otpor (ili impedancija) i označava sa Z.

2 2 2LZ R X= + (5.62)

Kut ϕ (između R i Z ) naziva se kut impedancije.

2.38.2 Serijski RC – krug

Slika 0-27 Serijski RC-krug

U vektorskom dijagramu za serijski RC-spoj vektor struje I uzimamo

referentnim (s početnim kutem 0°). Napon na otporu VR u fazi je sa strujom, a napon na kapacitetu VC zaostaje u fazi iza struje za 90°. Vektorski zbroj napona na otporu VR i napona na kapacitetu VC daje napon izvora V. Ovi naponi čine pravokutni trokut iz kojeg proizlazi da je

2 2 2R CV V V= + (5.63)


150

Ovdje je kut napona V prema struji negativan (slika 5-28 a), tj. napon V zaostaje iza struje za kut ϕ (−90°<ϕ<0).

a) b)

Slika 0-28 Trokuti a)napona b)otpora serijskog RC-kruga

U trokutu otpora (5-26 b), dobivenom iz trokuta napona, zbog negativnog kuta ϕ kapacitivni otpor XC je ispod radnog otpora R (nasuprot induktivnog otpora XL u trokutu otpora RL– kruga). Prividni, radni i reaktivni (kapacitivni) otpor povezani su i ovdje Pitagorinim poučkom

2 2 2CZ R X= + (5.64)

2.38.3 Serijski RLC –krug

Slika 0-29 Serijski RLC-krug

U serijskom RLC-krugu uz radni otpor R su induktivni otpor XL i kapacitivni

otpor XC (slika 5-29).

U vektorskom dijagramu (slika 5-30), vektor napona na otporu VR u fazi je s vektorom struje I, koju uzimamo kao referentnu (s početnim kutem 0°). Napon na induktivitetu VL prethodi struji za 90°, a napon na kapacitetu VC istodobno zaostaje za strujom za 90°, pa je kut između ovih napona 180°.

U serijskom spoju, vektori napona na induktivitetu i kapacitetu suprotnog su smjera. To znači da su ovi naponi u svakom času suprotnih polariteta (kažemo da su naponi u protufazi).


151

Slika 0-30 Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga

Napon na serijskom spoju induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednak razlici napona VL i VC, a ima smjer većeg od ovih napona. Kad je VL = VC, tad je napon na LC – spoju jednak nuli i sav napon izvora je na otporu R. U tom slučaju kažemo da je u serijskom RLC – krugu došlo do rezonancije.

Vektor ukupnog napona V jest vektorski zbroj napona na otporu, induktivitetu i kapacitetu.

U slučaju prikazanom na slici 5-29 napon VL veći je od napona VC, pa ukupni napon V prethodi struji za kut ϕ. U slučaju kad je VC veći od VL tad ukupni napon zaostaje u fazi iza struje (ϕ < 0°). U rezonanciji napon V je u fazi sa strujom (ϕ = 0°).

Iz trokuta napona proizlazi jednadžba: 2 2 2( )R L CV V V V= + − (5.65)

Dijeljenjem ove jednadžbe s I dobiva se izraz 222

CR L VV VVI I I I

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )22 2 2 2L CZ R X X R X= + − = +

(5.66)

Ova jednadžba opisuje trokut otpora (slika 5-31) gdje je ukupni reaktivni otpor X jednak razlici induktivnog i kapacitivnog otpora (X = XL−XC).

Slika 0-31 Trokut otpora serijskog RLC-kruga


152

U rezonanciji je ukupni reaktivni otpor X jednak nuli, pa je prividni otpor jednak radnom (Z = R).

2.38.4 Paralelni RL – krug

Slika 0-32 Paralelni RL-krug

Kod paralelnog spoja otpora R i induktiviteta L (slika 5-32), napon je isti na oba elementa, a ukupna struja je zbroj struja pojedinih elemenata. Pri zbrajanju treba uzeti u obzir fazni pomak između struja.

U vektorskom prikazu vektor napona V (slika 5-30 a), zajednički za oba elementa, uzimamo kao referentan i crtamo s kutem jednakim nuli. Struja kroz otpor IR u fazi je s naponom, a struja kroz induktivitet IL zaostaje za naponom za 90°. Vektor struje I je zbroj vektora struja IR i IL. Ova tri vektora čine pravokutan trokut gdje je:

2 2 2R LI I I= + (5.67)

Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom I, dobivamo sličan pravokutni trokut, čije su katete jednake recipročnim vrijednostima radnog i induktivnog otpora, tj. vodljivostima elemenata. Označavamo ih s G=IR/V=1/R (radna vodljivost) i BL= IL/V = 1/XL = 1/ωL (induktivna vodljivost), a taj trokut nazivamo trokut vodljivosti (slika 5-33).

a) b)

Slika 0-33 Grafički prikaz paralelnog RL-kruga: a)trokut struja, b)trokut vodljivosti

Hipotenuza ovog trokuta, jednaka omjeru ukupne struje i napona (I/V), ne predstavlja vodljivost nijednog elementa, pa se naziva prividna vodljivost (ili admitancija) i označava s Y.


153

Pritom vrijedi: 2 2 2

LY G B= + (5.68)

Admitancija Y pretpostavlja vodljivost cijelog spoja i jednaka je recipročnoj vrijednosti impedancije Z paralelnog RL – spoja (Y=1/Z).

Kut ukupne struje I prema naponu V naziva se kut admitancije i označava s ϕY. On je po iznosu jednak, a predznakom suprotan kutu impedancije:

Yϕ ϕ=− (5.69)

Ukupna struja I ovdje zaostaje iza napona, pa je kut admitancije negativan (−90°<ϕY<0). To znači da je kut impedancije ϕ pozitivan, što znači da napon V prethodi struji I (to je opće svojstvo induktivnog spoja).

2.38.5 Paralelni RC – krug

Slika 0-34 Paralelni RC-krug

Kod paralelnog spoja otpora R i kapaciteta C (sl.5.14), napon V isti je na oba elementa.

Struja kroz otpor IR u fazi je s naponom V, a struja kroz kapacitet IC prethodi naponu za 90°. Vektor struje I je zbroj vektora struja IR i IC. Ova tri vektora čine pravokutni trokut (slika 5-35 a), gdje je

2 2 2R CI I I= + (5.70)

Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V dobiva se sličan trokut nazvan trokut vodljivosti (slika 5-35 b). Katete ovog trokuta jednake su radnoj vodljivosti G (G=IR/V=1/R) i kapacitivnoj vodljivosti (BC=IL/V=1/XC=ωC), a hipotenuza je jednaka prividnoj vodljivosti spoja Y, gdje je

2 2 2CY G B= + (5.71)


154

a) b)

Slika 0-35 Grafički prikaz paralelnog RC-kruga: a)trokut struja, b)trokut vodljivosti

Ukupna struja I ovdje prethodi naponu V, pa je kut admitancije pozitivan (0<ϕY<90°). To znači da je kut impedancije ϕ negativan, što znači da napon zaostaje za strujom (to je opće svojstvo kapacitivnog spoja).

2.38.6 Paralelni RLC – krug

Slika 0-36 Paralelni RLC-krug

U paralelnom RLC-krugu (slika 5-36) uz radni otpor R paralelno su spojena i oba tipa reaktivnih otpora, induktivni otpor XL i kapacitivni otpor XC.

U vektorskom dijagramu (slika 5-37 a), vektor struje kroz otpor IR u fazi je s vektorom napona V, koji uzimamo kao referentan (s početnim kutem 0°). Struja kroz induktivitet IL prethodi naponi za 90°, dok struja kroz kapacitet IC zaostaje iza napona za 90°, pa je kut između ovih struja 180°.

U paralelnom spoju, vektori struja kroz induktivitet i kapacitet suprotnog su smjera. Kažemo da su ove struje u protufazi.

Struja paralelnog spoja induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednaka razlici struja IC i IL, a ima smjer veće od tih struja. Kad je IC=IL, tad je ukupna struja LC-spoja jednaka nuli i sva struja izvora teče kroz otpor R. Tada kažemo da je nastupila rezonancija.


155

Slika 0-37 Grafički prikaz paralelnog RLC-kruga a)vektorski dijagram, b)trokut vodljivosti

Vektor ukupne struje I jednak je vektorskom zbroju struja kroz otpor, induktivitet i kapacitet. U slučaju prikazanom na slici 5-37 struja IC veća je od struje IL, pa ukupna struja I prethodi naponu V za kut ϕY. U slučaju kad je IL veća od IC tada ukupna struja zaostaje u fazi za naponom (ϕY<0). U rezonanciji struja I je u fazi s naponom (ϕY = 0).

Iznosi struja međusobno su povezani jednadžbom: 2 2 2( )R C LI I I I= + − (5.72)

Dijeljenjem ove jednadžbe sa V dobiva se izraz: 222

CR LII IIV V V V

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2( )C LY G B B= + −

(5.73)

Ovaj izraz opisuje trokut vodljivosti (slika 5-37 b). Ukupna reaktivna vodljivost B jednaka je razlici kapacitivne i induktivne vodljivosti (B=BC−BL).

U rezonanciji je ukupna reaktivna vodljivost B=0 (otpor paralelnog spoja L i C je beskonačan), pa je prividna vodljivost jednaka radnoj (Y=G).

2.39 Rezonancija

Rezonancija je pojava koja se javlja u strujnom krugu kada je induktivni jalovi otpor jednak kapacitivnom:

CL XX = (5.74)

Ako su ovi otpori spojeni u seriju rezonancija se naziva serijskom ili naponskom, a ako su spojeni paralelno naziva se paralelnom ili strujnom.

Za prividni otpor u serijskom RLC spoju vrijedi:


156

( )22CL XXRZ −+=

(5.75)

pa je pri rezonanciji uz XL=XC on minimalan i jednak radnom:

.RZ = (5.76)

Struja izvora je maksimalna, jer je ovisna samo o radnom otporu:

V VIZ R

= = (5.77)

i u fazi je s naponom.

Jednake su i efektivne vrijednosti napona na zavojnici i kondenzatoru:

L CV V= (5.78)

jer je:

L L C CV X I i V X I= ⋅ = ⋅ (5.79)

a među njima je fazni pomak π.

Kako je pri serijskoj rezonanciji struja izvora maksimalna, naponi na zavojnici i kondenzatoru mogu biti znatno veći od napona izvora, što može dovesti do njihova proboja i oštećenja.

Za prividni otpor u paralelnom RLC spoju vrijedi:

22 111

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

CL XXR

Z

(5.80)

pa je pri rezonanciji uz XL=XC on maksimalan i jednak radnom:

.RZ = (5.81)

Struja izvora je stoga minimalna i jednaka:

V VIZ R

= = (5.82)

i u fazi je s naponom.

Jednake su i efektivne vrijednosti struja kroz zavojnicu i kondenzator:

CL II = (5.83)

jer je:

L CL C

V VI i IX X

= = (5.84)

a među njima je fazni pomak π.


157

Kako je pri paralelnoj rezonanciji struja izvora minimalna i jednaka struji kroz radni otpor, struje kroz zavojnicu i kondenzator mogu biti znatno veće od struje koju daje izvor, što može dovesti do njihova oštećenja i razaranja.

Pri rezonanciji je uz XL=XC jednako i:

CL

ωω 1

=

(5.85)

pa je:

1 .L C

ω =⋅

(5.86)

Uz povezanost frekvencije i kružne frekvencije:

πω2

=f

(5.87)

slijedi da pri rezonanciji iznosi induktiviteta i kapaciteta određuju rezonantnu ili vlastitu frekvenciju po izrazu:

[ ]1 .2

f HzL Cπ

=⋅

(5.89)

To istovremeno znači da će rezonancija nastupiti u strujnom krugu s L i C i u slučaju ako izvor struje ima frekvenciju jednaku vlastitoj frekvenciji toga kruga.

Rezonancija ima primjenu u radio-tehnici, gdje se izmjenom magnetske energije zavojnice i električne energije kondenzatora mogu emitirati elektromagnetski valovi u okolni prostor. Oni se mogu iz okolnog prostora i primati. Strujni krugovi koji sadrže L i C te imaju tu funkciju nazivaju se antenski krugovi. Prijem elektromagnetskih valova određene frekvencije odvija se tako da se u prijemnom antenskom krugu, podešavanjem iznosa L ili C, vlastita frekvencija strujnog kruga izjednači s frekvencijom tih valova.

2.40 Snaga izmjenične struje i faktor snage

Pri određivanju snage i rada konstantne istosmjerne struje utvrđeno je da je snaga jednaka umnošku napona i struje, a rad umnošku napona, struje i vremena:

.P V I i W P t V I t= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (5.90)

Srednja snaga P, razvijena u vremenskom intervalu T, iznosi:


158

( )

( )

0 0

0

1 1

1 cos cos 2

T T

T

P p t dt v i dtT T

VI VI t dtT

ϕ ω ϕ

= = =

= − −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫ (5.91)

Kako je integral drugog dijela izraza jednak nuli, onda je:

[ ]cosP V I Wϕ= ⋅ ⋅ (5.92)

a rad:

[ ]cosW P T V I T Jϕ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (5.93)

Srednja snaga jednaka je umnošku efektivnih vrijednosti napona i struje s kosinusom njihova faznog pomaka. Izraz cos ϕ stoga se naziva faktorom snage. Kako fazni pomak ϕ može pri trošenju energije poprimiti vrijednosti -π/2≤φ≤π/2, faktor snage kreće se između 1 i 0 (0≤cos ϕ≤1).

Ako je fazni pomak struje prema naponu -π/2, kao na induktivitetu L srednja snaga je:

cos 02

P V I π⎛ ⎞= ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.94)

Ako je fazni pomak struje prema naponu π/2, kao na kapacitetu C, srednja snaga je:

cos 02

P V I π= ⋅ ⋅ = (5.95)

2.40.1 Trokut snaga

Izraz za srednju snagu P=V·I·cosϕ navodi na predodžbu trokuta s hipotenuzom V·I i katetom V·I·cosϕ. Druga kateta odgovarala bi umnošku V·I·sinϕ. Time su dobivene tri komponente snage koje grafički tvore trokut.

Za svaki dio strujnog kruga koji se dade predočiti trokutom otpora moguće je postaviti i trokut snaga. Radnom otporu pri tom odgovara radna ili srednja snaga, jalovom jalova i prividnom prividna snaga (slika 5-38).

Slika 0-38 Trokuti otpora i snaga


159

Radna snaga predstavlja korisno upotrebljivu snagu u trošilu, jalova služi za izgradnju magnetskog polja u zavojnici i električnog u kondenzatoru, a prividna snaga je mjerodavna za dimenzioniranje izvora struje koji treba podmiriti potrebu za radnom i jalovom snagom.

Za svaku komponentu snage koristi se uz drugu oznaku i druga jedinica, pa je:

- radna ili srednja snaga P=V·I·cosϕ [W]

- jalova snaga PQ=V·I·sinϕ [VAr]

- prividna snaga PS=V·I· [VA]

Jedinica VAr čita se 'reaktivni voltamper'.

Za međusobni odnos komponenata snage vrijedi:

22QS PPP +=

(5.96)

gdje su:

ϕϕ sincos SQS PPiPP == (5.97)

Za fazni pomak napona i struje jednak nuli je cos ϕ=1, a radna snaga jednaka je prividnoj.

Ako za neki dio strujnog kruga vrijedi da je XL>XC, onda u trokutu snaga za taj dio prevladava induktivna jalova komponenta pa trokut izgleda kao na slici 5-37 a). Ako vrijedi da je XL<XC, onda prevladava kapacitivna jalova komponenta pa trokut snaga izgleda kao na slici 5-37 b). U prvom slučaju se kaže da je fazni pomak induktivan, a u drugom kapacitivan.

Slika 0-39 Trokut snaga

Za složene strujne krugove trokuti snaga se mogu zbrajati. Zbrajanje se obavlja tako da se algebarski zbroje radne i istoimene jalove (npr. induktivna i induktivna ili kapacitivna i kapacitivna) komponente, a grafički, povezivanjem njihovih vrhova, dobije se rezultantna prividna snaga. Kod raznoimenih jalovih komponenata njihovi iznosi se oduzimaju.

Ako je jalova snaga PQ na slici 5-39 a) jednaka

,Q QL L LP P V I= = (5.98)


160

onda može jalova snaga PQ na slici 5-39 b) biti jednaka:

.Q QC C CP P V I= = (5.99)

Ukupna jalova snaga npr. u serijskom spoju je onda:

.QCQLQ PPP −= (5.100)

2.41 Trofazni sustav

Ako se umjesto jednoga u statoru generatora nalaze tri međusobno odvojena namota, onda će se pri rotaciji magnetskog polja permanentnog magneta u njima inducirati naponi pomaknuti u fazi. Kako je geometrijski raspored namota kod trofaznog sustava simetričan, bit će simetrični i inducirani naponi, jer su iznosom jednaki i međusobno jednako fazno pomaknuti za 2π/3.

Trenutne vrijednosti napona trofaznog sustava su:

1

2

3

sinsin ( 2 / 3)sin ( 4 / 3)

m

m

m

v V tv V tv V t

ωω πω π

= ⋅= ⋅ −= ⋅ −

(5.100)

Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz efektivnih vrijednosti napona prikazani su na slici 5-40.

Slika 0-40 Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz

Neovisno o načinu spajanja kod trofaznog sustava, razlikuju se dvije vrste veličina: fazne i linijske. Fazne se odnose na jednu fazu izvora ili trošila, a linijske na vodiče koji spajaju izvor s trošilom, te na priključke izvora i trošila.


161

2.41.1 Naponi i struje u spoju zvijezda

Kod spoja u zvijezdu krajevi namota spajaju se u zajedničku točku koja se naziva zvjezdište ili nul-točka. Vodič koji izlazi iz zvjezdišta naziva se nul-vodič, a ostali krajevi namota su slobodni i služe za priključak na mrežu.

Slika 0-41 Naponi i struje u spoju zvijezda

Kod spoja u zvijezdu postoji razlika između faznih i linijskih napona, a kako su struje faza istovremeno struje koje teku kroz vodiče između izvora i trošila, fazne i linijske struje su jednake, za sve tri faze. Stoga u zvijezda spoju vrijede izrazi:

3f

f

I I

V V

=

= ⋅ (5.101)

2.41.2 Naponi i struje u spoju trokut

Kod spoja u trokut spaja se kraj jednog namota s početkom susjednog, čime se dobiju tri spojne točke.

Slika 0-42 Naponi i struje u spoju trokut

Fazni i linijski naponi su jednaki, jer je napon jedne faze istovremeno i napon između dva vodiča mreže. Fazne i linijske struje međusobno se razlikuju, pa u spoju trokut vrijede izrazi:


162

3f

f

V V

I I

=

= ⋅ (5.102)

2.41.3 Snaga trofaznog sustava

Ukupna trenutna snaga simetričnoga trofaznog sustava jednaka je zbroju snaga pojedinih faza:

[ ]3 cosf fP V I Wϕ= ⋅ ⋅ ⋅ (5.103)

Kada se naponi i struje izraze preko linijskih vrijednosti, tada je srednja snaga za spoj trokut i spoj zvijezda opisana istim izrazom:

[ ]3 cosl lP V I Wϕ= ⋅ ⋅ ⋅ (5.104)

Pored srednje (radne) snage, postoje još kao i u jednofaznom sustavu:

- jalova snaga:

[ ]3 sinQP V I VArϕ= ⋅ ⋅ ⋅ (5.105)

- prividna snaga:

[ ]3QP V I VA= ⋅ ⋅ ⋅ (5.106)


163

2.42 Appleti

2.42.1 Električni elementi u krugu izmjenične struje

Ovaj applet prikazuje jednostavni krug izmjenične struje sa jednim elementom (otpor, kondenzator ili zavojnica).

U krug su uključeni ampermetar i voltmetar koji mjere jakost struje i napon.

Ispod strujnog kruga prikazane su oscilacije napona i struje, pomoću vektora (fazora) i sinusoida. Napon je prikazan plavom bojom, a struja crvenom.

Pomoću prve tri mogućnosti (desni gornji kut), odabiremo osnovni element strujnog kruga (otpor, kondenzator ili zavojnica).

Clickom na gumb:

• RESET, vraćamo krug u početni položaj,

• START/PAUSE/RESUME, pokrećemo, zaustavljamo i nastavljamo simulaciju.

• Pomoću opcije SLOW MOTION, možemo usporiti simulaciju pet puta.

Možemo mijenjati vrijednosti frekvencije, maksimalnog napona i otpora, odnosno kapaciteta ili induktiviteta. To nam omogućuju tri prozora u koja upisujemo željene vrijednosti.

Za odabrane vrijednosti možemo očitati maksimalnu jakost struje.


164

2.42.2 Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje

U prva dva prozora upisujemo iznos napona na izvoru (VOLTAGE) i frekvanciju (FREQUENCY).

Pomoću padajućeg izbornika odabiremo element strujnog kruga: otpornik (resistor), kondenzator (capacitor) ili zavojnicu (inductor). Ispod, u prozor upisujemo iznos otpora (resistance), kapaciteta (capacitance) ili induktiviteta (inductivity), ovisno o tome koji smo element odabrali.

Click-om miša (lijevi click) na gumb:

• REPLACE – zamjenjujemo označeni (narančastim pravokutnikom) element (ili dio) strujnog kruga sa elementom koji smo odabrali iz padajućeg izbornika,

• ADD (IN SERIES) – dodajemo odabrani element u seriju sa označenim elementom (dijelom) strujnog kruga,

• ADD (IN PARALLEL) – dodajemo odabrani element u paralelu označenom elementu (dijelu) strujnog kruga,

• REMOVE – vraćamo se korak nazad,

Lijevim click-om miša označujemo elemente u strujnom krugu.

Izborom:

• VOLTAGE – priključujemo voltmetar, koji će mjeriti napon na označenom elementu (dijelu),

• AMPERAGE – priključujemo ampermetar, koji će mjeriti jakost struje kroz označeni element (dio) strujnog kruga.

Ispod strujnog kruga možemo očitati vrijednosti napona (VOLTAGE), jakosti struje (AMPERAGE), impedancije (IMPEDANCE) i faznog kuta (PHASE ANGLE), koje se odnose na označeni dio (ili element) strujnog kruga.


165

2.43 Zadaci

1.

a) Ako je period neke pojave 2/3 sekunde, kolika je njena frekvencija,

b) kolika joj je kružna frekvencija ako je pojava harmonička,

c) izrazite pojavu analitički ako joj amplituda iznosi 1 volt, a u početku promatranja ima pozitivni maksimum,

d) izrazite analitički napon iste amplitude i frekvencije koji onome iz c) prethodi za π/2,

e) kolika je efektivna vrijednost oba napona, a kolika im je srednja vrijednost?

Rješenje:

a) 1.5 [Hz] b) 3π [rad/s] c) cos(3πt) d) -sin(3πt) e) 12

[V], 0 [V]

2.

100 sin (200 t) [V] je analitički izražen napon.

a) kolika je efektivna vrijednost napona,

b) kolika mu je frekvencija,

c) koliko milisekundi mu traje period,

d) izrazite analitički struju koja teče kroz kondenzator od 1 μF na koji je priključen ovaj napon.

Rješenje:

a) 70.71 [V] b) 31.83 [Hz] c) 31.4 [ms] d) 0.02 sin(200 )2

t π⋅ +

3. Na napon u=220 2 sin 100 t [V] spojena je preko voda otpora 6 Ω žarulja s oznakama

150 W 220 V. e) kolika efektivna struja teče kroz trošilo,

f) kolika je snaga na trošilu,

g) koliki je gubitak snage na vodu,

h) koliki je stupanj djelovanja (korisnost) spoja,

i) kolika bi struja potekla da se žarulja kratko spoji?

Rješenje:

a) 0.67 [A] b) 144.86 [W] c) 2.693 [W] d) 0.982 e)36.67 [A]


166

4. Kroz kondenzator priključen na linijski napon mreže 220/380 V, 50 Hz teče struja 1 A.

a) kolika je vrijednost kapaciteta kondenzatora,

b) kolika je jalova snaga na kondenzatoru,

c) skicirajte vektorski dijagram napona i struje,

d) nacrtajte i=f(t) i u=f(t) na istoj apscisi za vrijeme 0≤t≤0,04 [s] s potrebnim oznakama,

e) koja veličina prethodi.

Rješenje:

a) 8.38 [µF] b) 380 [VAr] e) struja prethodi naponu za 90° 5. Zavojnica s omskim otporom ima radnu snagu 40 W, a prividnu 50 VA kad je

priključena na 220 V/50 Hz. a) kolika struja teče krugom,

b) koliki je omski otpor,

c) koliki je induktivitet zavojnice,

d) koliki je faktor snage,

e) kolika je snaga ako se priključi istosmjerni napon 220 V.

Rješenje:

a) 0.2273 [A] b) 774.2 [Ω] c) 1.849 [H] d) 0.8 e) 62.5 [W] 6. Kad se realna zavojnica priključi na istosmjernih 12 V, teče struja 0,2 A. Ako

li se priključi na 220 V, 50 Hz, uzima struju 1,4 A. a) koliki je induktivitet zavojnice,

b) koliki je faktor snage zavojnice,

c) kolika je njezina prividna snaga,

d) skicirajte u približnom mjerilu trokut impedancije,

e) skicirajte pripadni vektorski dijagram.

Rješenje:

a) 0.4623 [H] b) 0.38 c) 308 [VA] 7. Paralelni spoj otpora R i induktiviteta L priključen je na napon 120 V.

a) ako je IR=15 A, IL=8 A i f=1 kHz koliki su R i L,

b) kolike će biti struje u granama ako se frekvencija poveća dvostruko,

c) vektorski skicirajte odnose pri a) i b),

d) da li ukupna struja prethodi ili zaostaje za naponom,


167

e) pri kojoj frekvenciji će struje u granama biti jednakog iznosa?

Rješenje:

a) 8 [Ω] , 2.39 [mH] b) IL = 4 [A] , IR =15 [A] d) zaostaje e) 533 [Hz] 8. Serijski spoj omskog i jalovog otpora priključi se na napon u=220 2 sin(100πt) [V].

Krugom teče struja [ ]2 sin 100 .3

i t Aππ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

a) koliku efektivnu vrijednost ima struja,

b) nacrtajte električnu shemu spoja i vektorski prikaz napona i struje,

c) odredite faktor snage,

d) kolike su vrijednosti elemenata,

e) kolika se energija pretvara u toplinu za 1 minutu?

Rješenje:

a) 1 [A] c) 0.5 d) R=4.5 [mΩ] , L=0.6065 [H] e) 6600 [J] 9. Ukupna struja paralelnog spoja dva elementa priključenog na 220 V/50 Hz

iznosi 10 A i zaostaje sa naponom 30°. a) o kojim je elementima riječ, skicirajte spoj,

b) nacrtajte pripadni vektorski dijagram,

c) izračunajte impedanciju spoja,

d) izračunajte radnu i jalovu snagu spoja,

e) koji elenemt i kojeg iznosa treba dodati paralelno da ukupna struja dođe u fazu s naponom?

Rješenje:

a) otpornik, zavojnica c) 22 [Ω] d) 1.9 [kW] , 1.1 [kVAr] e) kondenzator, 72.3 [µF] 10. Kolike su fazna struja i snaga peći koja ima tri grijača tijela od po 25 Ω

spojena u zvijezdu i priključena na napon 380/220 V ?

Rješenje:

8.8 [A] , 5.81 [kW]

Dodatak - WEB-adrese applet-a

1. Elektrostatika

01.) Električno polje naboja http://www.falstad.com/emstatic/

02.) Kapacitet pločastog kondenzatora

http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/capacitance/index.html

03.) Prirodni kondenzator

http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lightning/index.html

2. Istosmjerna struja

04.) Ohmov zakon

http://www.zaz.com.br/fisicanet/simulacoes/simulacoes/lei_de_ohm.html

05.) Jednostavni strujni krug http://jersey.uoregon.edu/vlab/Voltage/index.html

06.) Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu

http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/ClickDevice/refdir.html

07.) Serijski spoj otpora

http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/SeriesRDesign.html

08.) Paralelni spoj otpora

http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/ParallelRDesign.html

09.) Kirchhoff–ovi zakoni

http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/ipmj/java/resist4/index.html

3. Magnetizam

10.) Naboj u magnetskom polju

http://surendranath.tripod.com/Applets/Electricity/MovChgMag/MovChgMagApplet.

html

11.) Lorenz-ova sila http://www.walter-fendt.de/ph11e/lorentzforce.htm


170

12.) Faraday-ev zakon

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Induction.htm

13.) Lennz-ov zakon

http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenzlaw/index.html

4. Prijelazne pojave

16.) RC-krug http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc.html

17.) RL-krug http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/RL.htm

18.) Elektromagnetski oscilirajući krug

http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm

5. Izmjenična struja

19.) Električni elementi u krugu izmjenične struje

http://www.walter-fendt.de/ph14e/accircuit.htm

20.) Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje

http://www.walter-fendt.de/ph14e/combrlc.htm

Literatura

1. M. Essert, Z. Valter, Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1991.

2. Edward M. Purcell, Elektricitet i magnetizam, Tehnička knjiga Zagreb, 1988.

3. Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 1. dio, Element Zagreb, 1997.

4. Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 2.dio, Element Zagreb, 1999.

Stvarno kazalo

A

admitancija · 145 akumulator · 53

dobrota · 54 kapacitet · 54 korisnost · 54

amper · 38, 93 ampermetar · 38, 63 Amperov zakon · 78 atom · 9

elektronski spin · 10 ion · 12 ljuska · 11 neutron · 10

B

broj pari polova · 128

C

ciklotron · 91 Coulombov zakon · 18 Curieeva točka · 84

D

depolarizator · 52 diamagnetici · 83 dielektričnost · 17

E

ekvipotencijalne linije · 20 električna energija

korisnost · 68 električna struja · 35 Električni izvor · 36 električni naboj · 9

Elektron · 10 Protoni · 10

električni potencijal · 19 električno brojilo · 68 električno polje · 14

gustoća električnog toka · 17 homogeno · 16, 18 jakost · 14 silnice · 14

elektrodinamičko djelovanje · 93

elektrokemijske pojave · 49 elektrokemijski ekvivalent · 51 elektrokemijski naponski niz · 51 elektromagnet · 81 elektromagnetska indukcija · 95 elektromagnetski valovi · 119 elektromotorna sila · 55 elektrotehnika · 9

F

faktor snage · 155 farad · 21, 22 Faraday · 15, 94

kavez · 16 konstanta · 51 zakoni elektrolize · 50

fazne veličine · 157 fazni kut · 132 fazni pomak · 138 frekvencija · 127

G

galvanometar · 91 galvanski elementi · 51 generator · 128

H

harmonički oblik · 126 Henry · 94

I

impedancija · 145 inducirana struja · 95 induktivitet · 98

u izmjeničnom krugu · 142 influencija · 17 istosmjerna struja

rad · 67 snaga · 68

izolator · 13 izvor

paralelni spoj · 61 serijski spoj · 61


174

J

jalova snaga · 156

K

kapacitet u izmjeničnom krugu · 140

Kapacitet · 21 Kirchhoff-ov zakon

drugi · 44 prvi · 43

Kirchhoff-ovi zakoni · 42 koercitivnost · 85 kondenzator · 22

energija · 26, 111 izbijanje · 113 mješoviti spoj · 26 nabijanje · 112 paralelni spoj · 25 prirodni · 27 serijski spoj · 23

krivulja histereze · 102 krivulja prvog magnetiziranja · 84

L

LC-oscilator · 118 Lenz-ovo pravilo · 96 linijske veličine · 157

M

magnetomotorna sila · 86 magnetska indukcija · 81, 82 magnetski dipol · 81 magnetski krug · 86

Ohm-ov zakon · 87 magnetski tok · 81, 86 magnetsko polje · 77

energija · 100 homogeno · 82 jakost · 78 ravni vodič · 79 sila · 88

Maxwell · 15 međuinduktivitet · 99 mjerni instrumenti · 63

N

napon · 20, 36 naponski izvor · 37

realni · 59 nutarnji otpor izvora · 56

O

Ohm-ov zakon · 41 om · 39 ommetar · 66 otpor · 38

induktivni jalovi · 143 kapacitivni jalovi · 141 paralelni spoj · 46 serijski spoj · 45 u izmjeničnom krugu · 139

otpornost · 38

P

paramagnetici · 83 permeabilnost · 83 petlja histereze · 85

gubici · 102 polarizacija · 16 poluvodič · 13 površinska gustoća · 18 prijelazne pojave · 111 prijelazno stanje · 114 prividna snaga · 156 privlačna sila magneta · 103 proširenje mjernog područja · 64

R

razmagnetiziranje jezgre · 102 RC-spoj

paralelni · 150 serijski · 146

realni izvor vanjska karakteristika · 59

remanentni magnetizam · 85 rezonancija · 148, 152 RLC-krug

paralelni · 151 serijski · 147

RL-krug iskapčanje · 116

RL–krug ukapčanje · 116

RL–spoj serijski · 150

S

samoindukcija · 97 samoindukcija, · 116 simboličke metode · 134 snaga

trofaznog sustava · 159 spoj u trokut · 158 spoj u zvijezdu · 158 srednja snaga · 154 struja

efektivna vrijednost · 132 izmjenična · 125

Stvarno kazalo ________________________________________________________________________

175

periodička · 125 srednja vrijednost · 130 u plinu · 48

struja kratkog spoja · 60 strujni krug · 55, 56 supravodljivost · 40

T

temperaturni koeficijent otpora · 39 transformator · 100 trofazni sustava · 157 trokut otpora · 146

V

vodič · 12 voltmetar · 63 vremenska konstanta · 112 vrtložne struje · 102

Z

zavojnica · 81 energija · 114

zvjezdište · 158

Documents

Elektricitet i Magnetiyam