Page 1

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20101Bab 4. DC CurrentDalam bab ini saya membahas undang-undang yang mengatur distribusi arus dc dalam media yang conducing, denganfokus pada linear ("ohmik") rezim.Persamaan diferensial parsial yang mengatur distribusi dibanyak kasus dapat dikurangi menjadi sama Laplace dan Poisson persamaan yang yang metode solusi memilikitelah dibahas secara rinci dalam Bab 2. Karena kenyataan ini, bab ini agak pendek.4.1.Persamaan kontinuitasSampai titik ini, diskusi kita konduktor telah terbatas pada kasus ketika merekadipisahkan denganisolator(yang berarti baik vakum atau media dielectric) mencegah terus menerusgerak biaya dari satu konduktor ke yang lain, bahkan jika ada perbedaan tegangan (dan karenanyamedan listrik) di antara mereka - lihat Gambar.1a.Sekarang mari kita menghubungkan dua konduktor dengankawat- konduktor yang sempit (Gambar 1b.).Kemudian listriklapangan menyebabkan gerakan biaya dari konduktor dengan potensial elektrostatik tinggi terhadap bahwa denganpotensi yang lebih rendah, hingga potensi menyeimbangkan.Proses tersebut disebutbiaya relaksasi.Utamapersamaan yang mengatur proses ini dapat diperoleh dari fakta eksperimental (sudah disebutkan di Sec.1.1) bahwa muatan listrik tidak dapat muncul atau menghilang (meskipun berlawanan biaya dapat bergabung kembali dengankonservasi muatan bersih.) Akibatnya perubahan muatanQdalam satu konduktor (didefinisikan sebagaiterpisahkan dari

lebih volumenya) dapat berubah karenasaatini sayamelalui kawat:1AKU MdtdQ

.(4.1)1Sama seperti (mungkin, tidak perlu) pengingat, dalam satuan SI saat ini diukur dalam ampere (A).Dalam hukummetrologi, ampere (bukan coulomb, yang didefinisikan sebagai 1C = 1A 1s) adalah unit utama.Saya akanmenyebutkan definisi formal dalam bab berikutnya.(A)(B)(C)Gambar.4.1.Dua konduktor malah dibebankan dalam (a) situasi elektrostatik, (b) dikenakan biaya relaksasi melaluikonduktor tambahan yang sempit ("kawat"), dan (c) sistem mempertahankan dc arus dalam kawat.Q

)(TQ

Q

Q

E)(TQ

Q

)(TAKU MAKU MAKU Memfsumber

Halaman 2

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20102Mari kita mengungkapkan hukum ini dalam bentuk diferensial, memperkenalkan gagasanvektorrapat arusj(r).vektor ini dapat didefinisikan melalui hubungan berikut untukdIsaat melintasi daerah SDdA(Gbr. 2)dAjdAjJDAdIn

)sebab(sebab

(4.2)di mana

adalah sudut antara normal ke permukaan dan arah gerak pembawa (yang diambiluntuk arah vektorj).Dengan definisi itu, Persamaan.(1) dapat ditulis ulang sebagai

AnVrdjrddtd23

.(4.3)di manaVmungkin volume sewenang-wenang dibatasi oleh permukaanAtertutup.(Perhatikan bahwa persamaan ini lebihumum daripada situasi yang ditunjukkan pada Gambar.1b dan tidak memerlukan gagasan tentang "kawat".) Menerapkan dengan iniVolume teorema divergensi, kita mendapatkan03

Vrdtj

.(4.4)Karena VolumeVjika sewenang-wenang, persamaan ini mungkin benar hanya jika0

jt

.(4.5)Ini adalahpersamaan kontinuitasterkenalyang berlaku bahkan untuk fenomena tergantung waktu.2Biaya relaksasi ini tentu saja dinamis, proses tergantung waktu.Namun, listrikarus mungkin juga ada dalam situasi stasioner, ketikakekuatan(emf) sumberelektro,misalnyabaterai, mengisi ulang biaya konduktor dan karenanya menopang arus pada waktu tertentu-independenttingkat.(Seperti yang akan kita lihat di bawah, proses ini membutuhkan pengisian terus-menerus dari energi elektrostatikbaik dari sumber atau penyimpanan energi yang berbeda -. mengatakan, energi kimia baterai)Mari kita membahas hukum yang mengatur distribusiarus dctersebut.Dalam hal ini ( / t= 0), Persamaan.(5)tereduksi menjadi persamaan yang sangat sederhana0

J.(4.6)Selanjutnya, medan listrik di dc transportasi masih potensial;maka kita bisa menjaga gagasan daripotensial elektrostatik, yang didefinisikan oleh Persamaan.(1.?):2Hubungan yang sama berlaku untuk kepadatan kuantitas lestari, misalnya untuk massa dalam cairan klasikDinamika (lihat, misalnya, CM Sec.), untuk kemungkinan dalam mekanika kuantum (QM Sec.?) dan fisika statistik(SM Sec.).jdA

sebabdA

Gambar.4.2.Kepadatan vektor saat ini.

Halaman 3

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20103Namun, hubungan ini masih cukup untuk membentuk sistem tertutup persamaan;untuk itu kita perlubeberapa "materi" (dan karenanya eksak) persamaan vektor yang berkaitanjdanEdalam media tertentu.4.2.Hukum OhmBentuk diferensial darihukumOhmterkenaladalahEj

.(4.7)di mana

adalah sebuah konstanta yang disebutkonduktivitas.3Meskipun ini bukan hubungan yang mendasar, danperkiraan untuk media melakukan, kita bisa berpendapat bahwa jika:(I) tidak ada arus diE= 0 (pikiran superkonduktor!),(Ii) media adalah isotropik atau hampir isotropik (pengecualian: beberapa konduktor organik),(Iii) mean jalan bebasloperator saat ini jauh lebih kecil dari skalakarakteristikdarivariasi spasialjdanE,maka hukum Ohm dapat dilihat sebagai akibat dari Taylor ekspansijhukum(E)di relatif kecilbidang, dan dengan demikian sangat umum.Tabel 1 memberikan nilai-nilai eksperimental dc konduktivitas untuk beberapa praktis penting (atau hanyaperwakilan) bahan.Pembaca dapat melihat bahwa rentang nilai yang sangat luas, mencakup lebihyang 30 kali lipat, bahkan tanpa pergi ke ekstrem seperti kristal logam yang sangat murni sangatsuhu rendah, di mana

bisa mencapai 1012S / m.Dalam rangka untuk mendapatkan beberapa perasaan apa yang nilai-nilai iniMaksudku, mari kita perhatikan sistem yang sangat sederhana (Gambar 3.): kapasitor bidang luasA>>d2, Diisi denganbahan yang tidak hanya konstan dielektrik

r, Tetapi juga beberapa konduktivitas ohmik

.Dengan asumsi bahwa sifat ini kompatibel dengan satu sama lain,4kita bisa mengasumsikan bahwadistribusi potensial listrik (tidak terlalu dekat dengan tepi kapasitor) masih mematuhi Persamaan.(2.39), sehinggamedan listrik vertikal dan seragam, denganE=V/d,sehingga menurut persamaan.(7) kerapatan arus jugaseragam,j=

E=

V/d.Dari sini, total saat ini antara lempeng.AdVEAjAAKU M

(4.8)3Dalam satuan SI, konduktivitas diukur dalam siemens per meter, di mana satu siemens (S) adalah kebalikan dari satuohm: 1 S 1/1 1 A / 1 V. konstan timbal balik, 1 /

, Disebut tahanan, dan hampir secara universal dilambangkandengan surat

.Saya akan, bagaimanapun, hindari menggunakan gagasan ini, karena saya sudah overusing surat itu!4Seperti yang akan dibahas dalam Bab 6, analisis sederhana seperti hanya berlaku jika tidak terlalu tinggi.Gambar.3. "Leaky" Pesawat kapasitor.V

0

zd0

.rQ

Q

Ej,

Page 4

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20104Di sisi lain, dari Persamaan.(3.36), nilai instan biaya platQ=CmV= (

r

0A/d) V.MemasukkanHubungan ini ke Persamaan.(1), kita melihat bahwa kecepatan muatan (dan tegangan) relaksasi tidak tergantung padaparameter geometrisAdand:rVdtdV

.(4.9)di mana parameter

0rr

.(4.10)memiliki rasa waktu relaksasi konstan.Untuk geometri lainnya, nilai yang tepat dari Mei konstanagak berbeda, namun parameter

rmasih mendefinisikan skalanya.Tabel 4.1.Konduktivitas ohmic untuk beberapa perwakilan (atau hampir penting) bahan di 20CSeperti kita ketahui (lihat Tabel 3.1), untuk bahan yang paling praktis konstanta dielektrik adalah dalam satuurutan besarnya dari 10, sehingga nominator dari Persamaan.(10) adalah urutan 10-10.Sebagai akibat,menurut Tabel 1, rentang waktu pengisian relaksasi from1014s (lebih dari satu juta tahun!) untuk terbaikisolator seperti teflon 10-18s untuk logam resistif paling.Apa fisika di balik nilai-nilai

dan mengapa, untuk beberapa bahan, mereka diberikan denganseperti ketidakpastian besar?Jika pembawa muatan bergerak sebagai partikel klasik (misalnya, dalam plasma atau nonsemikonduktor merosot), deskripsi yang wajar diberikan olehrumus Drudeterkenalyangdisarankan oleh Paul Drude pada tahun 1900. Dalam gambar ini, bahkan tanpa adanya medan listrik termalgelisah pembawa muatan listrik bergerak secara acak, yang tersebar oleh tabrakan dengan baik satu sama lain, ataukotoran, atau getaran kisi (fonon), dll proses acak ini, yang disebutdifusi,mungkinBahan

(S / m)Teflon ([C2F4]n)10-22-10-24Silikon dioksida10-16-10-19Berbagai gelas10-10-10-14Air deionisasi 10-6Air laut5Siliconn-doped ke 1016sentimeter-12.5102Siliconn-doped ke 1019sentimeter-11.6104Siliconp-doped ke 1019sentimeter-11.1104Nichrome (alloy 80% Ni + 20% Cr)0.9106Aluminium3.8107Tembaga6.0107Seng kristal sepanjangsumbua-1.65107Seng kristal di sepanjangsumbuz1.72107

Halaman 5

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20105ditandai dengan kecepatan tertentu rmsv.Karena medan listrik yang lemah, pembawa muatan dipercepatarahnya,Evmqdtd

.(4.11)dan sebagai hasilnya kecepatan difusi acak diarahkan ditambah dengan komponen deterministik (yangkecepatan gerak)dengan nilai rata-rata

Evvmqdtdd

.(4.12)di mana

=L/v(tidak harus bingung dengan

r!) Dapat dipahami sebagai rata-rata waktu yang efektif antaraPeristiwa pembawa hamburan.Dari sini, kepadatan saat ini:mnqmnqqnd

22yaitu.

Evj.(4.13a)(Perhatikan kemerdekaan tanda pembawa muatan:q= e.)Bentuk lain dari hasil yang sama (sangatpopuler dalam fisika semikonduktor) adalah.

qn

(4.13b)di mana

disebutmobilitaspembawa muatan;dalam model Drude,

=Q

/M.Kebanyakan konduktor yang baik (misalnya, logam) pada dasarnya merosot gas Fermi (atau cairan), di manaenergi termal rata-rata partikel,kBTjauh lebih rendah bahwa energi Fermi

F.Dalam hal ini,teori kuantum diperlukan untuk perhitungan

.Teori tersebut dikembangkan oleh fisika kuantum 'godfather Arnold Sommerfeld pada tahun 1927 (dan kadang-kadang disebutmodelDrude-Sommerfeld).Saya punyatidak ada waktu untuk membahasnya dalam kursus ini,5dan di sini saya hanya akan melihat bahwa untuk ideal, isotropik gas Fermi yangHasil direduksi menjadi persamaan.(13), dengan nilai yang efektif tertentu

, Sehingga dapat digunakan untuk perkiraan

.dengan hormat kepada teori kuantum hamburan.Dalam logam khas,nsangat tinggi (1023sentimeter-3) Danditetapkan oleh struktur atom, sehingga kualitas sampel hanya dapat mempengaruhi

melalui waktu hamburan

.Pada suhu kamar, hamburan elektron oleh getaran kisi termal-senang(Fonon)mendominasi, sehingga

dan

tinggi tapi terbatas tidak banyak berubah dari satu sampel keyang lain.(Oleh karena itu, nilai-nilai yang lebih akurat diberikan untuk logam pada Tabel 1.) Di sisi lain, padaT 0, akristal yang sempurna tidak harus menunjukkan hamburan sama sekali, dan konduktivitas harus tak terbatas.Dalam prakteknya, hal inipernah benar (misalnya, karena elektron hamburan dari batas-batas yang tidak sempurna dari sampel yang terbatas ukuran),dan konduktivitas efektif adalah tak terbatas (atau hampir tak terbatas, biasanya

> 1020S / m) hanyasuperkonduktor.6Di sisi lain, konduktivitas kuasi-isolator (termasuk air deionisasi) dansemikonduktor tergantung sebagian besar dari pembawa kepadatannyang jauh lebih rendah.Dari sudut pandangmekanika kuantum, hal ini terjadi karena eigenenergies keadaan dasar dari pembawa muatan terlokalisasidalam sebuah atom (atau molekul), dan dipisahkan dari keadaan tereksitasi, dengan ruang diperpanjang fungsi gelombang, dengancelah energi yang besar (disebutcelah pita).Sebagai contoh, di SiO2bandgap mendekati 9 eV, setara dengan5Untuk diskusi seperti melihat, misalnya, SM Sec.6.3.6Sifat elektrodinamik superkonduktor sangat menarik (dan penting) bahwa saya akan membahas secara rincidalam Bab 6.

Halaman 6

Elektrodinamika klasik K. Likharev 201064.000 K. Inilah sebabnya, bahkan pada suhu ruangan kepadatan termal-senang pembawa muatan bebasdalam isolator yang baik diabaikan.Dalam materi ini,nditentukan oleh kotoran dan lowongan, dan mungkintergantung pada sintesis kimia tertentu atau teknologi fabrikasi lainnya, bukan pada dasarsifat material.7Pentingnya praktis teknologi dapat diilustrasikan pada contoh berikut.Dalam seldari "flash" kenangan, yang saat ini mendominasi pasar memori digital nonvolatile, bit datadisimpan sebagai muatan listrik(Q10-15Pulau silikon sangat doped (disebut C)gerbang mengambang)dipisahkan dari sisa sirkuit terpadu dengan lapisan 8-nm-tebal silikon dioksida, SiO2.Demikianlapisan yang dibuat oleh oksidasi suhu tinggi kristal silikon hampir sempurna.Konduktivitasberkualitas tinggi yang dihasilkan (berpikir amorf) bahan sangat rendah,

1-19S / m, bahwa relaksasiwaktu

(10) jauh di atas 10 tahun - standar industri untuk waktu penyimpanan data.Dalam rangka untuk menghargaiseberapa baik teknologi ini, nilai dikutip harus dibandingkan dengan konduktivitas yang khas

1-16S / m yang biasa, sebagian besar SiO2keramik.4.3.Masalah BatasDengan hukum Ohm (7) di gudang kami, kami dapat kembali ke persamaan dasar (6) dan (7).Menggabungkan mereka, untuk media budidaya sewenang-wenang kita mendapatkan persamaan diferensial

0

.(4.14)Untuk konduktor seragam (

= Const), Persamaan.(14) direduksi menjadi persamaan Laplace.Seperti yang sudah kita ketahuidari Bab 2 dan 3, solusinya tergantung pada kondisi batas.Kondisi ini tergantung padajenis antarmuka.(I) antarmuka Konduktor-konduktor.Menerapkan persamaan kontinuitas (6) ke Gauss-jenis kotak obatpada antarmuka dua konduktor yang berbeda (Gambar. 4), kita mendapatkan(Jn)1=(Jn)2.(4.15)sehingga menggunakan hukum Ohm dalam setiap media, kita mendapatkannn

2211

.(4.16)Juga, karena medan listrik harus terbatas, potensinya

harus terus menerus di seluruhantarmuka - kondisi yang juga dapat ditulis sebagai7Sebaliknya, mobilitas pembawa

dalam buku petunjuk ini hampir teknologi-independen.1

12

2j1jGambar.4.4.DC saat ini "bias" pada antarmuka antara duakonduktor yang berbeda.

Halaman 7

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20107

21.(4.17)Kedua kondisi ini (dan karenanya solusi dari masalah batas menggunakan mereka) serupa denganorang-orang untuk antarmuka antara dua dielektrik - lihat pers.(3.40) dan (3.41).Perhatikan bahwa menggunakan hukum Ohm, Persamaan.(17) dapat ditulis kembali sebagai2211)(1)(1

jj

.(4.18)Membandingkannya dengan Persamaan.(15) kita melihat bahwa, secara umum, arus perubahan densitas besarnya diAntarmuka:j1J2.Hal ini juga ingin tahu bahwa perubahan saat ini garis kemiringan pada antarmuka (Gbr. 4), sangat banyakmirip dengan pembiasan sinar cahaya di optik.(Ii) antarmuka Konduktor-elektroda.Definisi dari "konduktor sempurna" atauelektrodaadalahmenengah dengan

.Kemudian, pada rapat arus tetap sebesar antarmuka, medan listrik di elektrodacenderung nol, dan karena itu dapat dijelaskan oleh persamaanconst

j

.(4.19)dimana konstanta

jmungkin berbeda untuk elektroda yang berbeda (nomor dengan indeksj).Perhatikan bahwa dengankondisi batas seperti masalah batas Laplace menjadi persis sama seperti di elektrostatika -lihat Persamaan.(2.35) - dan karena itu kita dapat menggunakan semua metode (dan solusi:-) dari Bab 2 untuk dc saat inidistribusi.(Iii) antarmuka Konduktor-insulator.Untuk deskripsi isolator, kita dapat menggunakan

= 0, sehinggaPersamaan.(16) menghasilkan kondisi batas berikut,0

n

.(4.20)untuk potensi derivatifdalam konduktor.Dari hukum Ohm kita melihat bahwa ini hanya sangatpersyaratan alami untuk dc saat ini tidak mengalir ke isolator.Sekarang, perhatikan bahwa kondisi ini membuat masalah Laplace dalam konduktor benardidefinisikan dengan baik, dan mandiri pada distribusi potensial dalam isolator yang berdekatan.Sebaliknya,karena kelangsungan potensi elektrostatik di perbatasan, distribusinya di isolator harusikuti bahwa di dalam konduktor.Mari kita membahas masalah konseptual ini pada berikut (rupanya,sepele) contoh: dc arus dalam kawat panjang dengan penampang daerahAkonstan.Anda semua tahumenjawab:..ALRRVAKU M

(4.21)dimanaLadalah panjang kawat.Namun, mari kita mendapatkan hasil ini secara resmi dari kerangka teoretis.Untuk geometri yang ideal ditunjukkan pada Gambar.5a, ini mudah dilakukan.Di sini potensi jelas memilikidistribusi linear 1D.constVLx

(4.22)

Halaman 8

Elektrodinamika klasik K. Likharev 20108baik dalam konduktor dan ruang bebas di sekitarnya, dengan kedua kondisi batas (16) dan (17)puas pada antarmuka konduktor-isolator, dan kondisi (20) puas di konduktor-elektrodainterface.Akibatnya, medan listrik adalah konstan dan hanya memiliki satu komponenEx=V/L,sehingga dalamkonduktorAjAKU MEjxxx

.

.(4.23)memberikan kita hasil yang terkenal (21).Namun, bagaimana dengan geometri yang ditunjukkan pada Gambar.5b?Dalam hal ini bidang distribusi diIsolator secara dramatis berbeda, tapi di dalam konduktor solusinya adalah persis sama seperti dikasus mantan.Kami memang bisa memeriksa kedua persamaan Laplace bahwa di dalam konduktor dan semuakondisi batas yang relevan persis puas.Sekarang, persamaan Laplace dalam isolator harusdipecahkan dengan nilai-nilai batas potensi elektrostatik, "didikte" oleh aliran arus dikonduktor.Mari kita memecahkan masalah di mana hirarki solusi ini dapat diikuti secara analitis dengan sangatend.Pertimbangkan rongga bola kosong dipotong konduktor dengan arus awalnya seragam dengandensityjkonstan0=Nzj0(Gambar. 6a).0jR

z0Gambar.4.6.Sebuah rongga bola dalam konduktor seragam: (a) masalah, dan (b) permukaan ekipotensial, sepertidiberikan oleh Persamaan.(40) untukr> Rdan Persamaan.(42) untukr