VJEZBE IZ ELEKTRODINAMIKEPregled formulaVelimir LabinacOdsjek za ziku, Filozofski fakultet-RijekaE-mail: velimir.labinac@ri.t-com.hrWWW: free-ri.t-com.hr/velimirlabinac10. studenog 2006.Sadr zajI ELEKTROSTATIKA 41 Coulombov zakon. Princip superpozicije 41.1 Sila izmedu dva to ckasta naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Elektri cno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Elektri cni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Linijska gusto ca naboja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Plo sna gusto ca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Prostorna gusto ca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Gaussov zakon 82.1 Integralni oblik Gaussova zakona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Rotor elektri cnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Osnovni zakoni elektrostatike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Poissonova i Laplaceova jednad zba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Rad i energija u elektrostatici. Vodi ci 103.1 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa to ckastih naboja . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Vodi ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Sila na vodi c u elektri cnom polju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II METODE ZA PRORACUN POTENCIJALA 124 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika 124.1 Rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.1 Dirichletov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.2 Neumannov problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Rubni uvjeti u elektrostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Metoda slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.1 To ckasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.2 To ckasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednad zba u Kartezijevim koordinatama 165.1 Metoda separacije varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.1 Ortogonalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.2 Potpun skup funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Relacija potpunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Funkcije dvije i tri varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 Laplaceova jednad zba u sfernim koordinatama 186.1 Op ce rje senje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Rje senje za unutra snjost i vanj stinu sfere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Rje senja sa azimutalnom simetrijom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Laplaceova jednad zba u cilindri cnim koordinatama 207.1 Dvodimenzionalni problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.1.1 Problemi sa simetrijom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2 Kona cni cilindar: pla st na potencijalu nula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 Kona cni cilindar: baze na potencijalu nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Multipolni razvoj potencijala 238.1 Adicijski teorem za sferne harmonike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.2 Razvoj funkcije 1/ |r r| u red po sfernim harmonicima . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3 Multipolni momenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4.1 Ukupni naboj raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4.2 Elektri cni dipolni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4.3 Tenzor elektri cnog kvadrupolnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama. . . . . . . . . . . . 258.5 Fizikalna interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.6 Elektri cni dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.6.1 Elektri cni potencijal i polje to ckastog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.6.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom elektri cnom polju. 26III ELEKTRICNO POLJE U TVARIMA 279 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednad zbe elektrostatike 279.1 Izolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.2 Elektri cni potencijal polarizirane tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.3 Makroskopske jednad zbe elektrostatike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.4 Rubni uvjeti u sredstvima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.5 Dielektrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.6 Clausius-Mossottijeva relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima 3010.1 Poissonova i Laplaceova jednad zba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.2 Rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30IVMAGNETOSTATIKA 3111Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon 3111.1 Struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.2 Plo sna gusto ca struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.3 Prostorna gusto ca struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.4 Lorenzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.5 Jednad zba kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.6 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.7 Biot-Savartov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32212Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) 3312.1 Magnetski vektorski potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.2 Tok magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413Magnetski vektorski potencijal (II dio) 3513.1 Jednad zbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.2 Jednad zbe za vektorski potencijal u cilindri cnim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . 3513.3 Rubni uvjeti u magnetostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35VMAGNETSKO POLJE U TVARIMA 3714Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednad zbe magnetostatike 3714.1 Magnetski dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.1.1 Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola . . . . . . . . . . . . 3714.1.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju 3714.2 Dijamagneti, paramagneti i feromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.3 Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.4 Makroskopske jednad zbe magnetostatike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.5 Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915Rubni problemi s magnetskim sredstvima 4015.1 Linearna magnetska sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.2 Magnetski skalarni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.2.1 Linearna sredstva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.2.2 Tvrdi feromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3 Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41VI PRILOZI 4216Diracova delta-funkcija 4217Legendrovi polinomi 4318Pridru zene Legendrove funkcije i sferni harmonici 4419Besselove funkcije 4520Modicirane Besselove funkcije 4621Vektorska analiza 47LITERATURA 523I ELEKTROSTATIKA1 Coulombov zakon. Princip superpozicije1.1 Sila izmedu dva to ckasta nabojar1r2q1q2OSlika 1.1Neka se dva to ckasta naboja q1, q2 nalaze na polo zajima r1, r2. Coulombska sila F izmedu njih jeF =140q1q2|r1 r2|2r1 r2|r1 r2|(1.1)1.2 Princip superpozicijerriqiQOSlika 1.2Promotrimo to ckaste naboje q1, q2, ..., qk na polo zajima r1, r2, ..., rk i test-naboj Qna polo zaju r. Ukupnasila kojom naboji djeluju naQ je prema principu superpozicije jednaka vektorskom zbroju sila izmedunaboja qi i QFQ= F1+ F2+ ... + Fk=k

i=1Fi=140k

i=1qiQ|r ri|2r ri|r ri|(1.2)41.3 Elektri cno poljerriqiOSlika 1.3Ako jednakost (1.2) podijelimo sa Q dobivamo izraz za elektri cno polje EQ u to cki rFQQ EQ= E1+ E2+ ... + Ek=k

i=1Ei=140k

i=1qi|r ri|2r ri|r ri|(1.3)1.4 Elektri cni potencijalU izrazu (1.3) polja Ei mo zemo napisati u oblikuEi (r) ri r|ri r|3= _1|r ri|_(1.4)Uvodimo novu, skalarnu zikalnu veli cinu, elektri cni potencijal(r)=140k

i=1qi|r ri|(1.5)takvu da vrijediE(r) (r) (1.6)1.5 Linijska gusto ca nabojarr'ODl'Slika 1.4Potencijal i elektri cno polje linijske gusto ce naboja (r) dobivamo iz (1.3) i (1.5) zamjenamaq q= _r_l

i_q (1.7)5Imamo__dr__= dl(r)=140_ (r) dl|r r|E(r)=140_(r r)|r r|3_r_dl(1.8)1.6 Plo sna gusto ca nabojarr'ODS'Slika 1.5Potencijal i elektri cno polje plo sne gusto ce naboja (r) uz zamjeneq q= _r_S

i_q (1.9)postaju(r)=140_ (r) dS|r r|E(r)=140_(r r)|r r|3_r_dS(1.10)1.7 Prostorna gusto ca nabojarr'ODV'Slika 1.66Potencijal i elektri cno polje prostorne gusto ce naboja (r) uz zamjeneq q= _r_V

i_q (1.11)postaju(r)=140_ (r) dV |r r|E(r)=140_(r r)|r r|3_r_dV (1.12)Napomena: umjesto oznake dV cesto se upotrebljava oznaka d3r.72 Gaussov zakon2.1 Integralni oblik Gaussova zakonaqinSOrnqoutE E E = +in outSlika 2.1Integralni oblik Gaussova zakona glasi_SE dS =qin0(2.1)gdje jeqin ukupni naboj koji se nalazi unutar zatvorene ploheS. Vektor n je normala na plohu, a dS=ndS.Plo sniintegral nalijevoj strani jednakosti (2.1)nazivasetok(uks)elektri cnogpoljakrozS.Primijetimo da je tok elektri cnog polja Eout naboja qout kroz plohu S jednak nuli, dok je ukupno polje uto cki r na plohi S po principu superpozicije jednako E = Ein+ Eout (Slika 2.1).Integralni oblik Gaussova zakona osobito je pogodan za ra cunanje elektri cnog polja simetri cnih ras-podjelanaboja. To su, uobi cajno, raspodjelesa sfernom, cilindri cnom(azimutalnom)ili ravninskomsimetrijom. Simetrijanabojaukazujenasimetrijuelektri cnogpolja, atimedobivamoinformacijuosmjeru polja i njegovoj ovisnosti o pojedinim koordinatama. U skladu s informacijama o elektri cnompolju, biramo plohu S u Gaussovu zakonu.2.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakonaUvedemo li gusto cu naboja (r), integralni oblik Gaussova zakona mo zemo promijeniti u diferencijalnioblik E =0(2.2)koji vrijedi u to cki prostora.2.3 Rotor elektri cnog poljaECd = d l t lSlika 2.28JednakostE = (2.3)ekvivalentna je tvrdnji da rotor elektrostatskog polje E i s cezava E = 0 (2.4)Upotrebom Stokesovog teorema, iz jednad zbe (2.4) zaklju cujemo da je krivuljni integral elekrostatskogpolja jednak nuli_CE dl = 0 (2.5)gdje je dl = tdl. Ovdje je dl diferencijal duljina luka krivulje C, a t tangenta (Slika 2.2). Iz (2.3) mo zemoizra cunati potencijal ako je poznato elektri cno polje(r2) (r1)= _r2r1E dl (2.6)2.4 Osnovni zakoni elektrostatikeIntegralne jednakosti_SE dS =q0_CE dl = 0 (2.7)ili diferencijalne jednakosti E =0 E = 0 (2.8)osnovni su zakoni elektrostatike. Njima je elektrostatsko polje jednozna cno odredeno.2.5 Poissonova i Laplaceova jednad zbaUvrstimo li (2.3) u (2.2) dobijemo Poissonovu jednad zbu2 = 0(2.9)Pomo cu Poissonove jedna zbe koja je skalarna, parcijalna, diferencijalna jednad zba drugog reda ra cunamopotencijal . Ovu je jednad zbu lak se rije siti nego sistem vektorskih jednad zbi(2.8),a nakon sto smoizra cunali potencijal, elektri cno polje dobivamo pomo cu (2.3).Partikularno rje senje jednad zbe (2.9) nam je ve c poznato(r)=140_V (r) dV |r r|(2.10)Za = 0 Poissonova jednad zba prelazi u Laplaceovu2 = 0 (2.11)93 Rad i energija u elektrostatici. Vodi ci3.1 RadRad sile, po iznosu jednake elektri cnoj, ali suprotnog smjera, kojeg izvr simo pomicanjem nabojaQ uelektri cnom polju E, od r1 do r2 jeW=_r2r1F dl = Q_r2r1E dl = Q[(r2) (r1)] (3.1)Elektri cna sila je konzervativna: rad elektri cne sile ne ovisi o putanji po kojoj se naboj giba. Ako zareferentni potencijal u beskona cnosti odaberemo V(r1= )= 0 tada je rad jednakW= Q(r2) (3.2)Zato potencijalnu energiju elektri cnog polja mo zemo denirati kao rad potreban za dovodenje naboja izbeskona cnosti u kona cnu to cku.3.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa to ckastih nabojaZato ckastenabojeq1, q2, ..., qknapolo zajimar1, r2, ..., rkelektrostatskapotencijalnaenergijaskupato ckastih naboja jednaka je radu potrebnom da se naboji iz beskona cnosti dovedu u kona can volumenW=180k

i=1k

j=1i =jqiqj__ri rj__(3.3)3.3 Energija kontinuirane raspodjele nabojaZa zadanu kontinuiranu raspodjelu naboja (r) elektrostatska potencijalna energija glasiW=12_VdV=02_po cijelomprostoruE2dV (3.4)3.4 Vodi ciSavr seni vodi ci su materijali sa neograni cenim brojem slobodnih elektrona. Sljede ce tvrdnje vrijede zasavr sene vodi ce:Unutarvodi caelektri cnopoljejednakojenuli. Akoizolirani, savr seni vodi cstavimouelek-tri cnopoljeponjegovoj povr sini inducirasejednakakoli cinapozitivnogi negativnognaboja.Takva plo sna raspodjela naboja stvara elektri cno polje koje poni stava vanjsko polje u unutra snjostivodi ca.-----+++++E =0E 0 10Slika 3.1Iz Gaussovog zakona i E = 0 slijedi0= E = 0 = 0 (3.5)unutarvodi ca. Vi sak naboja, odnosnonabojkoji ne pripadavodi cu, a kojeg ubacimou vodi c,gotovo trenutno ote ce na povr sinu.r 0 r = 0Slika 3.2Povr sina vodi ca je ekvipotencijalna povr sina.F=konst.E n = ESlika 3.3Elektri cno polje na povr sini vodi ca ima smjer normale.3.5 Sila na vodi c u elektri cnom poljuStavimo vodi c (nabijen ili nenabijen) u elektri cno polje. Po povr sini vodi ca inducira se plo sna raspodjelanaboja. Pretpostavimo da je ukupna raspodjela naboja po povr sini vodi ca jednaka . Sila na vodi c jeF =120_S2ndS (3.6)11II METODE ZA PRORACUNPOTENCIJALA4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika4.1 Rubni problemRubni problem zadan je obi cnom ili parcijalnom diferencijalnom jednad zbom i rubnim uvjetom. U elek-trostatici rje sava se Poissonova i Laplaceova jednad zba koje su parcijalne diferencijalne jednad zbe dru-gog reda za elektri cni potencijal. Zadatak je elektrostatike na ci rje senje tih jednad zbi u promatranompodru cju Ptako da su zadovoljeni unaprijed postavljeni uvjeti za potencijal na rubnoj plohi S.4.1.1 Dirichletov problemAko su zadane vrijednosti potencijala na rubu S govorimo o Dirichletovom rubnom problemu.SV( ) rP2F = r/e0Slika 4.1Ozna cimo vrijednosti potencijala na rubu sa V (r). Dirichletov rubni problem zadan je jednad zbama2 = 0_ili 2 = 0_|S= V (r) (4.1)4.1.2 Neumannov problemAko su zadane vrijednosti normalne derivacije potencijala na rubnoj plohi S govorimo o Neumannovomproblemu.Sg( ) rP2F = r/e0nSlika 4.212Ozna cimo vrijednosti normalne derivacije na rubuS sa g (r) . Neumannov rubni problem zadan je jed-nad zbama2 = 0_ili 2 = 0_n____S= n|S= g(r) (4.2)gdje je n normala na plohu S na polo zaju r.4.2 Rubni uvjeti u elektrostaticinE1E2rubnaploha12Slika 4.3Pri prijelazu iz jednog dijela prostora u drugi, normalna komponenta elektri cnog polja je diskontinuiranaako se po rubnoj plohi koja razdvaja prostore nalazi plo sna gusto ca naboja (r)n (E2 E1)|na rubu=0(4.3)Ovdje je n normala na rubnu plohu koja je usmjerena iz dijela 1 u dio 2. Tangencijalna komponentaelektri cnog polja uvijek je kontinuiranan (E2 E1)|na rubu= 0 (4.4)U svim zadacima koje cemo rje savati umjesto uvjeta (4.4), mo ze se upotrijebiti uvjet(1 2)|na rubu= 0 (4.5)4.3 Metoda slika4.3.1 To ckasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnineqz=R z= R -rd' d zF = 0q' q = -Slika 4.413Naboj q postavimo na udaljenost z = R od vodljive i uzemljene ravnine. Rje savamo rubni problem2 = 10q (x) (y) (z R)|z=0= 0 (4.6)u podru cju z > 0. Postavljamo naboj slike q= q u to cku z = R. Rje senje problema glasi(r)=140q|r d|+140q|r d|=q40_1_x2+ y2+ (z R)21_x2+ y2+ (z + R)2_(4.7)4.3.2 To ckasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfereqaqrd' dzF = 0q' qa/d = -Slika 4.5Tra zimo rje senje za potencijal u problemu to ckastog naboja blizu vodljive i uzemljene sfere u podru cjur a. Rubni problem glasi2 = 10q2r2sin () (r d)|r=a= 0 (4.8)Naboj slike q= qa/d postavljamo u to cku d= (a2/d)ez. Rje senje glasi(r, )=140q|r d|+140q|r d|=q40_1_r2+ d2 2rd cos ad1_r2+ a4/d2 2r(a2/d) cos _(4.9)144.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindrat t = -t 'bjrd' dxyF = 0x R =Slika 4.6Tra zimo rje senje za potencijal u problemu linijskog naboja jednolike gusto ce blizu beskona cnog, vod-ljivog i uzemljenog cilindra u podru cju b. Linijski naboj paralelan je s osi cilindra i nalazi se napolo zaju d = Rex. Rubni problem glasi2 = 10 () ( R)|=b= 0 (4.10)Naboj slike = postavljamo u to cku d= (b2/R)ex. Rje senje glasi(, )=20ln_bR_2+ R2 2Rcos 2+ b4/R2 2_b2/R_cos _(4.11)155 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednad zba u Kartezijevim ko-ordinatama5.1 Metoda separacije varijabliRubni problem s Laplaceovom jednad zbom glasi2 = 0+ rubni uvjet (Dirichlet, Neumann) (5.1)Ovisno o obliku rubnih ploha odabrat cemo koordinate (pravokutne, sferne, cilindri cne,...). Laplaceovujednad zbu rje savat cemo metodom separacije varijabli. Osnovna ideja te metode je da se rje senje napi sekao produkt funkcija tako da svaka od njih ovisi samo o jednoj koordinati. Na primjer, ako su koordinate(1, 2, 3) rje senje tra zimo u obliku(1, 2, 3)= U (1) V(2) Z (3) (5.2)i nadamo se da se tada Laplaceova jednad zba mo ze separirati po varijablama (1, 2, 3) . Za svaku odfunkcija U, V, Z dobijemo obi cnu diferencijalnu jednad zbu drugog reda.5.2 Potpun i ortogonalan skup funkcijaOvisno o odabranim koodinatama, tijekom rje savanja Laplaceove jednad zbe metodom separacije varija-bli, javit ce se potpuni i ortogonalni skupovi funkcija. Na primjer, ako rje savamo Laplaceovu jednad zbuu pravokutnim koordinatama javit ce se skup trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus.Ako rje savamoLaplaceovu jednad zbu u sfernim koordinatama javit ce se Legendrovi polinomi i sferni harmonici, a kodcilndri cnih koordinata javit ce se Besselove funkcije. Svi ti skupovi funkcija imaju dva va zna svojstva:potpunost i ortogonalnost.5.2.1 Ortogonalne funkcijeZa dvije funkcije um, un ka zemo da su ortogonalne na intervalu (a, b) ako vrijedi_baum () un () d= 0 , m = n (5.3)gdje * ozna cava kompleksnu konjugaciju. Skup funkcija {um, m cijeli broj} je ortogonalan ako svoj-stvo (5.3) vrijedi za bilo koje dvije funkcije iz skupa. Ako za funkcije navedenog skupa vrijedi_baumumd=_ba|um|2d= 1 (5.4)tada ka zemo da su {um} normalizirane. Svojstva (5.3) i (5.4) mogu se u jednoj jednakosti napisati kao_baum () un () d= mn(5.5)pa govorimo o ortonormiranom skupu funkcija.165.2.2 Potpun skup funkcijaSkup funkcija {um ()} je potpun na intervalu (a, b) ako bilo koju funkcijuf () mo zemo razviti u redpo skupu {um ()}f ()=

nanun () (5.6)gdje su an konstantni koecijenti reda funkcija. Ako je skup {um ()} ortonormiran, koecijenti an moguse odrediti na sljede ci na cin:f ()=

nanun ()_um ()__bad_baumfd=

nan_baumund .mn= am(5.7)Vidimo da su koecijenti an jednakian=_baun () f () d (5.8)5.3 Relacija potpunostiSvojstvo potpunosti cesto izri ce se relacijom

num__un ()= _ _(5.9)5.4 Funkcije dvije i tri varijableZelimo funkcijuf (, ) razviti u red po potpunom ortonormiranom skupu funkcija {um () , vn ()} napodru cju (a, b) (c, d), gdje je skup {um ()} potpun i ortonormiran na (a, b), a {vn ()} potpun i orto-normiran na (c, d). Analogno razmatranju za jednu varijablu imamof (, )=

m

namnum () vn ()amn=_bad_dcdum () vn () f (, ) (5.10)Sli cno, za funkciju tri varijableg (, , ) vrijedi razvoj po potpunom, ortonormiranom skupu funkcija{sl () , um () , vn ()}g (, , )=

l

m

nclmnsl () um () vn () (5.11)gdje su koecijenti clmnclmn=_bad_dcd_fedsl () um () vn () g (, , ) (5.12)176 Laplaceova jednad zba u sfernim koordinatama6.1 Op ce rje senjexqjyzrSfernekoordinateTSlika 6.1Laplaceova jednad zba 2 = 0 u sfernim koordinatama ima oblik1r2r2 (r) +1r2sin _sin _+1r2sin222= 0 (6.1)Gornju jednad zbu rje savamo metodom separacije varijabli, a za op ce rje senje dobivamo(r, , )=

l=0l

m=l_Almrl+ Blmr(l+1)_Ylm (, ) (6.2)FunkcijeYlm (, ) nazivaju se sferni harmonici ili kugline funkcije. KoecijenteAlm, Blm odredujemopomo cu rubnih uvjeta.6.2 Rje senje za unutra snjost i vanj stinu sferexyzRFoutFinF = V(q, j)Slika 6.2Zadana ploha je oblika sfere radijusaR po kojoj je speciciran potencijal ili gusto ca naboja. Rje senjeLaplaceovejednad zbezaunutra snjost sferemorabitiregularnou ishodi stu, pajeu(6.2)koecijentBlm= 0. U protivnom je rje senje nezikalno: potencijal je beskona can u ishodi stu. Za r R imamoin (r, , )=

l=0l

m=lAlmrlYlm (, ) (6.3)18U podru cjur R, zar potencijal je jednak nuli. Tada koecijentAlm mora biti jednak nuli, arje senje glasiout (r, , )=

l=0l

m=lBlmr(l+1)Ylm (, ) (6.4)6.3 Rje senja sa azimutalnom simetrijomPretpostavimo da je po sferi r= R raspodjela potencijala ili gusto ca naboja cilindri cno-simetri cna.Akose os cilindri cne simetrije podudara saz-osi govorimo o azimutalnoj simetriji jer raspodjela ne ovisi okoordinati . O cekujemo da ni potencijal ne ce ovisiti o . Tada se rje senja (6.3) i (6.4) pojednostavljuju:za ksni l, ostaju samo clanovi sa indeksom m = 0. Za r R dobivamoin (r, )=

l=0AlrlPl (cos ) (6.5)a za r Rout (r, )=

l=0Blr(l+1)Pl (cos ) (6.6)Funkcije Pl (cos ) nazivaju se Legendrovi polinomi.197 Laplaceova jednad zba u cilindri cnim koordinatama7.1 Dvodimenzionalni problemjyxTrPolarnekoordinateSlika 7.1Probleme u kojima potencijal ne ovisi od jedne, prostorne koordinate nazivamo dvodimenzionalnim pro-blemima. Kod cilindri cnihrubnih ploha, dvodimenzionalanje problem u kojem potencijalne ovisi oz-koordinati. Ako rje senje za potencijal tra zimo metodom separacije varijable u polarnim koordina-tama , u obliku (, )= R () (), parcijalna diferencijalna jednad zba1__+1222= 0 (7.1)rastavlja se na dvije obi cne diferencijalne jednad zbe za R() i () cija su rje senjaR()=_a+ b, = 0a0+ b0 ln , = 0()=_Asin () + Bcos () , = 0A0+ B0, = 0(7.2)Ovdje je realan broj, a konstantea, b, a0, b0, A, B, A0, B0 odredujemo iz rubnih uvjeta. U posebnomslu caju, ako su rubne plohe takve da nema ograni cenja za kut (drugim rije cima, je iz intervala 0 do2) tada je op ce rje senje superpozicija rje senja (7.2)(, )= a0+ b0 ln +

n=1[an sin (n) + bn cos (n)] n+

n=1[cn sin (n) + dn cos (n)] n(7.3)gdje = n postaje cijeli broj.7.1.1 Problemi sa simetrijomKod zadataka koje rje savamo na vje zbama, javljaju se problemi kod kojih je potencijal parna ili neparnafunkcija po varijabli . Za parna rje senja jednad zba (7.3) postaje(, )= a0+ b0 ln +

n=1anncos (n) +

n=1bnncos (n) (7.4)a za neparna(, )= a0+ b0 ln +

n=1annsin (n) +

n=1bnnsin (n) (7.5)207.2 Kona cni cilindar: pla st na potencijalu nulaxjyzzTrCilindri nekoordinate Slika 7.2Rje senje Laplaceove jednad zbe u cilindri cnim koordinatama (, , z)22+1+1222+2z2= 0 (7.6)za unutra snjost kru znog, uspravnog cilindra duljine L i radijusa a kojemu su donja baza i pla st na poten-cijalu nula, a gornja baza na potencijalu V(, ), jednako je(, , z)=

m=0

n=1Jm (kmn) sinh (kmnz) (Amn sin m + Bmn cos m)kmn=xmna; n = 1, 2, ... (7.7)gdje je xmnn-ta nula Besselove funkcije prve vrste Jm(x). Koecijente Amn i Bmn odredujemo iz vrijed-nosti potencijala na rubu z = L. Oni su jednakiAmn=2a2sinh (kmnL) J2m+1 (xmn)_20d_a0dJm (kmn) sin (m) V(, )Bmn=2a2sinh (kmnL) J2m+1 (xmn)_20d_a0dJm (kmn) cos (m) V(, ) , m = 0B0n=1a2sinh (k0nL) J21 (x0n)_20d_a0dJ0 (k0n) V(, ) , m = 0 (7.8)U slu caju da je gornja baza i pla st na potencijalu nula, a donja baza na potencijalu razli citom od nulerje senje glasi(, , z)=

m=0

n=1Jm (kmn) sinh [kmn(L z)] (Amn sin m + Bmn cos m) (7.9)7.3 Kona cni cilindar: baze na potencijalu nulaPromatramo uspravni, kru zni cilindar duljineL i radijusaa kojemu su baze na potencijalu nula, a pla stna potencijalu V(, z). Rje senje za unutra snjost cilindra glasi(, , z)=

m=0

p=1Im_kp_sin_kpz_(Amp sin m + Bmp cos m)kp=pL, p = 1, 2, ... (7.10)21Koecijente Amp i Bmp odredujemo iz relacijaAmp=2LIm_kpa__20d_L0dz sin (m) sin_kpz_V(, )Bmp=2LIm_kpa__20d_L0dz cos (m) sin_kpz_V(, ) , m = 0B0p=1LI0_kpa__20d_L0dz sin_kpz_V(, ) (7.11)228 Multipolni razvoj potencijala8.1 Adicijski teorem za sferne harmonikeZadana su dva vektora polo zaja r, r u sfernim koordinatama (r, , ) i (r, , ). Kut izmedu vektora je. Adicijski teorem glasiPl (cos )=42l + 1l

m=lYlm_, _Ylm (, ) (8.1)8.2 Razvoj funkcije 1/ |r r| u red po sfernim harmonicimaRazvijmo, najprije, funkciju 1/ |r r| u Taylorov red kad je r> r1|r r|=1r_1 +_rr_2 2rrcos _1/2=

l=0rlrl+1Pl (cos ) (8.2)Za r< r dobivamo1|r r|=1r_1 +_rr_2 2 rr cos _1/2=

l=0rlrl+1Pl (cos ) (8.3)Primijenimo adicioni teorem za sferne harmonike na funkciju Pl (cos ). Obje formule mo zemo zapisatiu jednoj kao1|r r|=

l=0rlPl (cos )=

l=0l

m=l42l + 1rlYlm_, _Ylm (, ) (8.4)gdje je r< (r>) manja (ve ca) od varijabli r, r.8.3 Multipolni momentiZadana je lokalizirana gusto ca naboja (r) . Zatvorimo je u sferu radijusa R. Ra cunamo potencijal izvansfere, u podru cju gdje je r> R. Izraz za potencijal jednak je(r)=140_V (r)|r r|dV (8.5)Razvoj za funkciju 1/ |r r| (8.4) uvrstimo u (8.5). Dobivamo(r)=140

l=0l

m=l42l + 1Ylm (, )rl+1qlm(8.6)gdje su qlm multipolni momenti gusto ce naboja (r) jednakiqlm=_VYlm_, _rl_r_dV (8.7)Red (8.6) naziva se multipolni razvoj potencijala.238.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatamaAko u izrazu (8.6) prijedemo iz sfernih na Kartezijeve koordinate, zikalna interpretacija multipolnihmomenata postat ce jasnija.8.4.1 Ukupni naboj raspodjeleClan sa indeksima l= 0, m = 0 jednak jeq00=14q (8.8)Ovdje je q ukupni naboj gusto ce naboja (r) .8.4.2 Elektri cni dipolni momentPromatramo multipolne momente sa indeksom l= 1q1,1=_38_px+ ipy_q10=_34pzq11= _38_px ipy_(8.9)U navedenimizrazimapx, py, pzsu komponente elektri cnogdipolnog momenta (kra ce: dipolnog mo-menta) distribucije (r)p =_r_r_dV (8.10)8.4.3 Tenzor elektri cnog kvadrupolnog momentaPromatramo multipolne momente sa indeksom l= 2q2,2=112_152 (Q11+ 2iQ12 Q22)q2,1=13_158 (Q13+ iQ23)q20=12_54Q33q21= 13_158 (Q13 iQ23)q22=112_152 (Q11 2iQ12 Q22) (8.11)Veli cine Qij su matri cni elementi tenzora elektri cnog kvadrupolnog momentaQ =__Q11Q12Q13Q21Q22Q23Q31Q32Q33__(8.12)gdje jeQij=__3xixj r2ij__r_dV (8.13)248.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatamaPrva tri clana multipolnog razvoja potencijala u Kartezijevim koordinatama glase(r)=140_qr+r pr3+12

ijQijxixjr5+ ..._(8.14)8.5 Fizikalna interpretacijaAko smo jako daleko od raspodjele naboja (r) u multipolnom razvoju za potencijal (8.6) prevladavat ce prvi nei s cezavaju ci clan.Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele razli cit od nule q = 0. Tada je q00 = 0 i potencijal jeza r jednak(r) 1404Y00 (, )rq00=140qr(8.15)Vidimo da se na velikim udaljenostima potencijal raspodjele naboja pona sa kao potencijal to ckastognaboja.Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele jednak nuli. Tada je q00= 0. Neka je barem jedna odtri komponente dipolnog momenta px, py, pz razli cita od nule. Tada je za r prvi nei sezavaju ci clan oblika(r) 140r pr3(8.16)Potencijal proizvoljne raspodjele kojoj je ukupni naboj nula, na velikim udaljenostima pona sa sekao potencijal to ckastog dipola sa dipolnim momentom p.8.6 Elektri cni dipolElektri cni (zikalni)dipol sastojise od dva naboja+q, qna razmakud. Ako potencijalove raspo-djele promatramo na udaljenostimard tada je on pribli znojednak prvom nei s cezavaju cem clanumultipolnog razvoja(r) 140r pr3(8.17)gdje je p = qd. U granici d 0, q dobivamo dipolni moment to ckastog dipolalimqd = p = kona cno (8.18)smje sten u ishodi stu.8.6.1 Elektri cni potencijal i polje to ckastog dipolaPotencijal to ckastog dipola smje stenog na polo zaju r0 glasi(r)=140n p|r r0|2(8.19)a elektri cno polje za r = r0E(r)=1403n(p n) p|r r0|3(8.20)25U (8.19) i (8.20) jedini cni vektor n jednak je (r r0) / |r r0| . Ako je dipol smje sten u ishodi stu, izraze(8.19) i (8.20) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama(r, )=140p cos r2E(r, )=1402p cos r3er+140p sin r3e(8.21)8.6.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom elektri cnom poljuPostavimo dipolni moment p u vanjsko, nehomogeno elektri cno polje E(r) . Sila F na dipol i momentsile N jednaki suF = (p E)N = p E (8.22)gdje su polje i njegova derivacija izra cunati u to cki u kojoj je dipol smje sten.Potencijalna energija dipola u vanjskom elektri cnom polju glasiW= p E (8.23)Energija interakcije dva dipola, odnosno potencijalna energija jednog dipola u elektri cnom polju drugogiznosiW12= p1 E2 (r1)=140p1 p2 3(n p1)(n p2)|r1 r2|3(8.24)gdje su r1, r2 polo zaji na kojima su smje steni dipoli, a n = (r1 r2) / |r1 r2| .26III ELEKTRICNO POLJE U TVARIMA9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednad zbe elektrostatike9.1 IzolatoriIzolatori su tvari koje, za razliku od vodi ca, ne sadr ze velik broj slobodnih naboja. Elektri cni naboj uizolatorima vezan je uz atome ili molekule.Kad izolator stavimo u elektrostatsko polje, stvara se elektri cna polarizacija P (r) . Polarizacija jeprosje cni dipolni moment po jedini cnom volumenu.Dva su osnovna na cina na koja nastaje polarizacija u izolatoru.Vanjsko elektri cno polje mijenja raspodjelu naboja u atomima. Prvi nei s cezavaju ci clanovi u mul-tipolnom razvoju za potencijal u neutralnim atomima ili molekulama su dipolni clanovi. Dakle,atomi ili molekule u vanjskom polju postaju dipoli sa gotovo jednakim smjerom po cijelom volu-menu izolatora.Vanjsko elektri cno polje usmjerava ve c postoje ce dipolne momente u molekulama. Takve izolatorenazivamo polarnim sredstvima. Najpoznatije polarno sredstvo je voda cije molekule imaju sna zandipolni moment. Zbog toga je voda odli cno otapalo.U oba slu caja pri isklju civanju vanjskog polja, izolator se vra ca u po cetno stanje u kojem je polari-zacija jednaka nuli.Tvari koje imaju polarizaciju i u odsutstvu vanjskog polja nazivaju se feroelektrici. Kod rje savanjazadataka pretpostavit cemo da vanjsko elektri cno polje ne mijenja polarizaciju feroelektrika.9.2 Elektri cni potencijal polarizirane tvariPostavimo polariziranu tvar sa polarizacijom P u vakuum, daleko od rubnih ploha, naboja ili vanjskihelektri cnih polja. Elektri cni potencijal je(r)=140_SbdS|r r|+140_VbdV |r r|(9.1)gdje ploha S omeduje volumenVu kojem se nalazi polarizacija. Veli cinu b nazivamo plo sna gusto cavezanog (polariziranog) naboja i deniramo je relacijomb P n (9.2)gdje je n normala na plohu S. Veli cinu b nazivamo prostorna gusto ca vezanog (polariziranog) nabojai deniramo je kaob P (9.3)Izraz (9.1) je rje senje jednad zbe2 = b0(9.3a)Ako polarizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada u prvom integralu u (9.1) mo zemouzeti S pa je taj integral jednak nuli.27Ukupan vezani naboj u po volji uzetom volumenu Vomedenom plohom S u mediju s polarizacijomP jednak nuli_bdV = _ PdV = _ P ndS= _bdS_bdV+_bdS= 0 (9.4)9.3 Makroskopske jednad zbe elektrostatikeOsnovne jednad zbe elektrostatike u sredstvima ili makroskopske jednad zbe jesu: D = f E = 0 (9.5)Ujednad zbama(9.5) vektorE(r)jeprosje cnoili makroskopskoelektri cnopolje, af (r)gusto caslobodnog naboja.Vektor elektri cnog pomaka D(r) deniran je pomo cu jednakostiD 0E + P (9.6)SI naziv za vektor D je gusto ca elektri cnog polja. Primijetimo da druga jednad zba u (9.5) dozvoljavauvodenje elektri cnog potencijala E = . U integralnom obliku jednad zbe (9.5) glase_SD dS = qf_CE dl = 0 (9.7)U (9.7) unutar zatvorene plohe S nalazi se slobodni naboj qf. Krivulja C je zatvorena.Jednad zbe (9.5) ili (9.7) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednad zbi za mikroskopska poljai gusto ce naboja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Za donju granicu takvogvolumena uzima se 1024m3koji jo s uvijek sadr zi veliki broj molekula. Pri tom se pretpostavlja da suvaljane mikroskopske jednad zbe oblika (2.2) i (2.4).9.4 Rubni uvjeti u sredstvimaRubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase:(D2 D1) n = fn (E2 E1)= 0 (9.8)Normala n na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz (9.8) vidimo da je normalnakomponenta od D diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji plo sna gusto ca slobodnog naboja f.Ako polarizacija ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost(P2 P1) n = b(9.9)gdje jeb plo sna gusto ca vezanog naboja. Usporedimo li s formulom (9.2) vidimo da se dvije formulepoklapaju ako je izvan polarizirane tvari vakuum, odnosno, P2= 0.289.5 DielektriciKod dielektrikasu elektri cnopoljei polarizacijaproporcionalni. U slu cajuhomogenogi izotropnogdielektrika vrijedi jednakostP = 0eE (9.10)Konstanta e naziva se elektri cna susceptibilnost. Uvr stavanjem (9.10) u (9.6) dobije seD = E (9.11)gdje smo denirali dielektri cnu konstantu formulom= 0 (1 + e) (9.12)Ako je dielektriknehomogeni anizotropantadasu elektri cnasusceptibilnost i dielektri cnakonstantatenzori drugog ranga cije komponente ovise o vektoru polo zaja. Relaciju (9.11) tada pi semo u oblikuDi= ijEj(9.13)Relativna dielektri cna konstanta denirana je relacijomr 0= 1 + e(9.14)9.6 Clausius-Mossottijeva relacijaClausius-Mossottijevom relacijom dan je odnos izmedu molekularne polarizabilnosti mol i dielektri cnekonstante mol=3N/0 1/0+ 2(9.15)Ovdje je N gusto ca (koncentracija) molekula.2910 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima10.1 Poissonova i Laplaceova jednad zbaUvrstimo (9.11) u (9.5) te upotrijebimo E= . Ako je dielektrik homogen i izotropan, dobijemoPoissonovu jednad zbu2 = f(10.1)i posebno, za f= 0 Laplaceovu jednad zbu2 = 0 (10.2)Za prora cun potencijala koristit cemo metode iz drugog poglavlja.10.2 Rubni uvjetiU dielektricima se rubni uvjeti (9.8) pojednostavljuju. Na rubnoj plohiS pri prijelazu iz sredstva 1 u 2imamo(2E2 1E1) n|S= fn (E2 E1)|S= 0 . (10.3)gdje je normala n na plohuSusmjerenaod sredstva 1 prema sredstvu 2. Drugi rubni uvjet u (10.3)smijemo zamijeniti jednostavnijim uvjetom(1 2)|S= 0 (10.4)30IVMAGNETOSTATIKA11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon11.1 StrujaStruja je naboj po jedinici vremena koji prode kroz promatranu to cku. Ako je u toj to cki linijska gusto ca, a brzina naboja v tada je strujaI =Qt ev= v (11.1)gdje je ev jedni cni vektor u smjeru brzine.11.2 Plo sna gusto ca strujePlo sna gusto ca struje je naboj po jednicivremena koji prode kroz crtu sirinelkoja je okomita nastrujuK =Il= v (11.2)Ovdje je plo sna gusto ca naboja, a v brzina naboja u promatranoj to cki.11.3 Prostorna gusto ca strujeGusto ca struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz plohu povr sine S s tim da je ploha okomitana strujuJ =IS= v (11.3)Ovdje je gusto ca naboja, a v brzina naboja u promatranoj to cki.Napomena: relacije (11.1) do (11.3) odnose se na konvekcijske struje (na primjer, gibanje elektronau vakuumskoj cijevi). Gornji izrazi, op cenito, ne vrijede za kondukcijske struje u vodi cima. Za takvestruje vrijedi Ohmov zakon (11.8).11.4 Lorenzova silaLorenzova sila na naboj q u elektri cnom i magnetskom polju postulirana je izrazomF = q (E + v B) (11.4)gdjesu E, B elektri cnoi magnetskopolje, a v brzinanaboja. Odgovaraju ci izrazikodkontinuiranihraspodjela struja u slu caju E = 0 glaseF =_Idl BF =_K BdSF =_J BdV (11.5)3111.5 Jednad zba kontinuitetaJednad zba kontinuiteta u klasi cnoj elektrodinamici je matemati cka formulacija zakona odr zanja naboja J = t(11.6)U magnetostatici promatramo stacionarne struje koje imaju konstantnu vrijednost i smjer u vremenu upromatranoj to cki prostora. Magnetska polja takvih struja su konstantna u vremenu, odnosno magnetos-tatska. Kod stacionarnih struja, naboj koji ude u volumenV , mora biti jednak naboju koji je iza sao iztog volumena, a tada je /t = 0 u V. Jednad zba kontinuiteta postaje J = 0 (11.7)11.6 Ohmov zakonU vodi cima je gusto ca struje proporcionalna elektri cnom polju na velikom intervalu temperaturaJ = eE (11.8)Ovaj se eksperimentalno dobiveni izraz naziva Ohmov zakon. Veli cina e je elektri cna provodnost.11.7 Biot-Savartov zakonMagnetsko polje B stacionarnih struja jeB(r)=04_Idl (r r)|r r|3(11.9)Vektor B naziva se jo s i magnetska indukcija, a SI naziv je gusto ca magnetskog toka. Konstanta0naziva se permeabilnost vakuuma i iznosi0= 4 107NA2(11.10)Za plo sne i prostorne struje gornji se izraz mijenjaB(r)=04_ K(r) (r r)|r r|3dSB(r)=04_ J (r) (r r)|r r|3dV (11.11)3212 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio)Temeljne jednad zbe magnetostatikeDiferencijalne jednad zbe magnetostatike glase B = 0J B = 0 (12.1)Prva od jednad zbi u(12.1)kojapovezujemagnetskopolje B i gusto custruje J nazivase Ampereovzakon.ndlCSdSSlika 12.1Integralni oblik gornjih jednad zbi je_CB dl = 0_SJ dS_SB dS = 0 (12.2)U prvoj jednad zbi zatvorena krivuljaC omeduje plohuS (slika 12-1), a u drugoj je plohaS zatvorena.Druga jednad zba je matemati cka formulacija cinjenice da ne postoji magnetski naboj.12.1 Magnetski vektorski potencijalZbog jednad zbe B = 0 mo zemo uvesti vektorski potencijal A(r) na sljede ci na cinB A (12.3)Ako ovu jednad zbu uvrstimo u B = 0J, uz Colombov izbor A = 0, dobivamo2A = 0J (12.4)UKartezijevimkoordinatama, gornjajednad zbapredstavljatri nezavisne, Poissonovejednad zbezasvaku od komponenti vektorskog potencijala i struja2Ax= 0Jx2Ay= 0Jy2Az= 0Jz(12.5)Partikularno rje senje jednad zbe (12.4) je oblikaA(r)=04_J (r)|r r|dV (12.6)3312.2 Tok magnetskog poljaTok magnetskog polja B kroz plohu S omedenu zatvorenom krivuljom C deniramo relacijomF=_SB dS =_S( A) dS =_CA dl (12.7)U zadnjoj jednakosti u (12.7) upotrijebljen je Stokesov toerem.3413 Magnetski vektorski potencijal (II dio)13.1 Jednad zbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatamaPretpostavimo da je vektorski potencijal zadan u sfernim koordintama A= A(r, , ) . Laplace vektor-skog potencijala u sfernim koordintama glasi2A =_2Ar 2r2_Ar+1sin (sin A) +1sin A__er+_2A+2r2_ArA2 sin2cos sin2A__e+_2A+2r2sin _ArA2 sin + cot A__e(13.1)Jednad zba 2A = 0J po komponentama glasi2Ar 2r2_Ar+1sin (sin A) +1sin A_= 0Jr2A+2r2_ArA2 sin2cos sin2A_= 0J2A+2r2sin _ArA2 sin + cot A_= 0J(13.2)13.2 Jednad zbe za vektorski potencijal u cilindri cnim koordinatamaAko vektorski potencijal ra cunamo u cilindri cnim koordinatama A = A(, , z) , Laplace od A glasi2A =_2AA222A_e+_2AA2+22A_e+ 2Azez(13.3)Jednad zba 2A = 0J po komponentama glasi2AA222A= 0J2AA2+22A= 0J2Az= 0Jz(13.4)13.3 Rubni uvjeti u magnetostaticinB1B2rubnaplohaK12Slika 13.135Rubni uvjeti u magnetostatici pri prijelazu iz prostora 1 u prostor 2 glase(B2 B1) n = 0n (B2 B1)= 0K (13.5)Normalna komponenta magnetskog polja je uvijek kontinuirana, dok tangencijalnaima prekid ako poplohipostojiplo snastruja. U svimslu cajevimakoje cemo razmatratiumjestoprvoguvjetasmijeseupotrebljavati uvjet kontinuiranosti vektorskog potencijalaA1= A2(13.6)36VMAGNETSKO POLJE U TVARIMA14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednad zbe magnetosta-tike14.1 Magnetski dipolMagnetski dipolni moment (kra ce: magnetski moment) raspodjele struja J deniramo relacijomm =12_r J_r_dV (14.1)Ako vektorski potencijal ove raspodjele promatramo na udaljenostimar d gdje jed karakteristi cnadimenzija lokalizirane raspodjele struja J tada je on pribli zno jednak prvom clanu multipolnog razvojaza vektorski potencijalA(r) 04m rr3(14.2)Jednostavan model magnetskog dipola predstavlja strujna petlja povr sineS koja le zi u jednoj ravnini ikroz koju protje ce strujaI. Njezin magnetski moment je m=ISn, gdje je n normala na ravninu. Ugranici S 0, I dobivamo magnetski moment to ckastog magnetskog dipolalimISn = m = kona cno (14.3)koji je smje sten u ishodi stu.14.1.1 Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipolaVektorski potencijal to ckastog dipola smje stenog na polo zaju r0 glasiA(r)=04m (r r0)|r r0|3(14.4)a magnetsko polje za r = r0B(r)=043n(m n) m|r r0|3(14.5)U (14.4) i (14.5) jedini cni vektor n jednak je (r r0) / |r r0| . Ako je dipol smje sten u ishodi stu, izraze(14.4) i (14.5) pogodno je zapisati u sfernim koordinatamaA(r, )=04msin r2eB(r, )=042mcos r3er+04msin r3e(14.6)14.1.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom poljuPostavimo dipolni moment m u vanjsko, nehomogeno magnetsko polje B(r) . Sila F na dipol i momentsile N jednaki suF = (m B)N = m B (14.7)37gdje su polje i njegova derivacija izra cunati u to cki u kojoj je dipol smje sten.Potencijalna energija dipola u vanjskom magnetskom polju glasiW= m B (14.8)Energija interakcije dva dipola iznosiW12= m1 B2 (r1)=m1 m2 3(n m1)(n m2)|r1 r2|3(14.9)gdje su r1, r2 polo zaji na kojima su smje steni dipoli, a n = (r1 r2) / |r1 r2| .14.2 Dijamagneti, paramagneti i feromagnetiU vanjskommagnetskompolju, tvaripostajumagnetizirane. Mikroskopskestrujenabojau atomimai molekulama stvaraju dipolne momente,a njihov ukupan vektorski zbroj gleda u smjeru ili suprotnosmjeru vanjskog polja.Magnetiziranost tvari opisujemo posebnom zikalnom veli cinom, magnetizacijom M(r) koja je de-nirana kao magnetski dipolni moment po jednici volumena.Razlikujemo dva osnovna na cina na koja mo ze nastati magnetizacija:Paramagnetizam - kod paramagneta, vanjsko polje usmjerava spinove nesparenih elektrona u smjerupolja.Dijamagnetizam- kod dijamagneta, vanjsko polje mijenja brzinu gibanja elektrona oko jezge uatomu i time stvara dipolni moment ciji je smjer suprotan vanjskom polju.Isklju civanjem vanjskog polja magnetizacija se vra ca na po cetnu vrijednost nula.Tvari kojeimajumagnetizacijui bezuklju civanjavanjskogpoljanazivajuseferomagneti. Kodrje savanja zadataka pretpostavit cemo da vanjsko magnetsko polje ne mijenja magnetizaciju feromag-neta i tada govorimo o tvrdim feromagnetima.14.3 Vektorski potencijal tvari s magnetizacijomPostavimo magnetiziranu tvar s magnetizacijom M u vakuum, daleko od rubnih ploha, struja ili vanjskihmagnetskih polja. Vektorski potencijal jeA(r)=04_SKb (r) dS|r r|+04_VJb (r) dV |r r|(14.10)gdje ploha S omeduje volumen Vu kojem se nalazi magnetizacija. Veli cinu Kb nazivamo plo sna gusto castruje vezanog naboja (kra ce: vezana, plo sna struja) i deniramo je relacijomKb M n (14.11)gdje je n normala na plohuS. Veli cinu Jbnazivamo prostornagusto ca struje vezanognaboja(kra ce:vezana struja) i deniramo je relacijomJb M (14.12)Ako magnetizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada za prvi integral u (14.10) mo zemo uzetiS pa je on jednak nuli.3814.4 Makroskopske jednad zbe magnetostatikeOsnovne jednad zbe magnetostatike u sredstvima ili makroskopske jednad zbe jesu: H = Jf B = 0 . (14.13)Ujednad zbama(14.13) vektor B(r)jeprosje cnoili makroskopskomagnetskopolje, a Jf (r)strujaslobodnognaboja(kra ce: slobodnastruja). Vektorpolja H(r) (SInaziv: jakost magnetskogpolja)deniran je pomo cu jednakostiH 10B M (14.14)Druga jednad zba u (14.13) dozvoljava uvodenje magnetskog vektorskog potencijala A(r) pomo cu rela-cije B A. U integralnom obliku jednad zbe (14.13) glase_CH dl = If_SB dS = 0 (14.15)U (14.15) struja If prolazi unutar zatvorene krivulje C, a ploha S je zatvorena.Jednad zbe(14.13)ili(14.15)dobivenesu usrednjavanjemMaxwellovihjednad zbiza mikroskop-ska polja i gusto ce struja po mikroskopskivelikom, ali makroskopskimalom volumenu. Pri tome sepretpostavlja da jednad zbe (12.1) valjano opisuju mikroskopska magnetska polja.14.5 Rubni uvjeti u magnetskim sredstvimaRubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase:n (H2 H1)= Kf(B2 B1) n = 0 (14.16)Normala n na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz (14.16) vidimo da je tangen-cijalna komponenta od H diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji slobodna plo sna struja Kf.Ako tangencijalna komponenta magnetizacije ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tadavrijedi jednakostn (M2 M1)= Kb(14.17)gdje je Kb vezana plo sna struja.3915 Rubni problemi s magnetskim sredstvima15.1 Linearna magnetska sredstvaKod ve cine paramagneta i dijamagneta magnetizacija M proporcionalna je polju HM= mH (15.1)Konstanta m naziva se magnetska susceptibilnost. Zbog relacije (15.1) ka zemo da su takva sredstva li-nearna. U homogenim i izotropnim sredstvima m je konstanta proporcionalnosti. Op cenito, u nehomo-genim i anizotropnim magnetskim sredstvimam je tenzor i ovisi o vektoru polo zaja. Kod paramagnetaje m> 0, a kod dijamagneta m< 0.Uvrstimo (15.1) u (14.14). DobijemoB = H (15.2)gdje smo denirali magnetsku permeabilnost izrazom 0 (1 + m) (15.3)Denicija relativne magnetske permeabilnosti glasir 0= 1 + m(15.4)15.2 Magnetski skalarni potencijalU podru cju gdje je gusto ca struje jednaka nuli, makroskopske jednad zbe dobivaju oblik H = 0 B = 0 (15.5)Na osnovi prve jednad zbe u (15.5) uvodimo magnetski skalarni potencijalM (r)H M(15.6)Napomena: dencija (15.6) odreduje magnetski skalarni potencijal kao jednozna cnu funkciju samo najednostruko povezanom podru cju. Ako je podru cje na kojem je deniran magnetski potencijal vi sestrukopovezano, tada je on vi sezna can.15.2.1 Linearna sredstvaKod linearnih magnetskih sredstava, uvr stavanje (15.2) i (15.6) u drugu jedand zbu u (15.5) daje2M= 0 (15.7)Ta je jednad zba Laplaceovog tipa i tehnike za njeno rje savanje navedene su u drugom poglavlju.15.2.2 Tvrdi feromagnetiIz jednad zbe B = 0 i denicijske jednad zbe (14.14) za polje H slijedi H = M (15.8)Deniramo li novu zikalnu veli cinu, efektivnu gusto cu magnetskog naboja M (r)M M (15.9)40jednad zbe (15.5) mijenjaju se u H = 0 H = M(15.10)Te su jednad zbe po obliku jednake elektrostatskim jednad zbama (2.2) i (2.4), pa nije te sko zaklju citi da ce za magnetski skalarni potencijal vrijediti jednad zba2M= M(15.11)sli cna onoj iz elektrostatike. Takoder, na osnovi analogije sa elektrostatikom, mo zemo zaklju citi da cerje senje jednad zbe (15.11) u rubnom problemu bez rubnih ploha za lokaliziranu raspodjelu magnetiza-cije, op cenito glasitiM (r)=14_VM (r) dV |r r|+14_SM (r) dS|r r|(15.12)Ovdje smo sa M ozna cili efektivnu plo snu gusto cu magnetskog nabojaM M n (15.13)Napomenimo da su veli cine (15.9) i (15.13) uvedene isklju civo na temelju analogije sa elektrostatikomi nemaju nikakve zikalne osnove: postojanje magnetskog naboja nije eksperimantalno potvrdeno.Usporedimo rje senja (15.12) za magnetski skalarni potencijal i (14.10) za magnetski vektorski po-tencijal. Izraz (15.12) je rje senje jednad zbe (15.11), a formula (14.10) je rje senje jednad zbe2A = 0JM(15.14)za lokaliziranu raspodjelu magnetizacije u prostoru bez makroskopskih struja i rubnih ploha.15.3 Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstvaNa rubnoj plohi, pri prijelazu iz jednog linearnog sredstva u drugo polje H zadovoljava sljede ce uvjete:(2H2 1H1) n|S= 0n (H2 H1)|S= Kf(15.15)gdje je S rubna ploha. Ako je Kf= 0 umjesto drugog uvjeta u (15.15) smijemo upotrebljavati(1)M= (2)M(15.16)na rubnoj plohi.41VI PRILOZI16 Diracova delta-funkcijaDenicija (x a)= 0 , x = a_I (x a) dx =_1 , a iz intervala I0 , a nije iz I(16.1)Svojstva1._f (x) (x a) dx = f (a) (16.2)2._f (x) (x a) dx = f (a) (16.3)3. [f (x)] =

i (x xi)_____dfdx____x=xi_____(16.4)gdje su xi nule funkcije f (x) .4. (kx)=1|k| (x) (16.5)5. (x)= (x) (16.6)6.x (x)= (x) (16.7)7. (x)= (x) (16.8)gdje je (x) step-funkcija denirana izrazom (x)=_1 , x > 00 , x 0(16.9)8. Diracova delta-funkcija u tri dimenzije denirana je izrazima (r R)= 0 , r = R_V (r R) dV =_1 , R unutar V0 , R izvan V(16.10)gdje je (r R)= (x X) (y Y ) (z Z) .429. Skup to ckastih naboja opisujemo gusto com naboja (x)=

iqi (r ri) (16.11)10. U ortogonalnom koordinatnom sustavu (u, v, w) delta funkcija glasi_r r_=1____J_x, y, zu, v, w______u u__v v__w w_(16.12)gdje je J_x,y,zu,v,w_Jacobijan transformacije koordinata x = x (u, v, w) , y= y (u, v, w) , z = z (u, v, w) .17 Legendrovi polinomiDiferencijalna jednad zbaLegendrovi polinomi Pl su rje senja diferencijalne jednad zbeddx__1 x2_dPl (x)dx_+ l (l + 1) Pl(x)= 0 (17.1)Mo ze se pokazati da kona cna rje senja na intervalu [1, 1] (uklju cuje to cke x = 1) mo zemo dobiti samoako je indeks l nenegativan cijeli brojl= 0, 1, 2, ... (17.2)a tada su funkcije P(x) polinomi stupnja l. Obilje zavamo ih sa Pl (x).Nekoliko prvih Legendrovih polinomal= 0, P0= 1l= 1, P1= xl= 2, P2=12_3x2 1_l= 3, P3=12_5x3 3x_(17.3)Relacija ortogonalnosti_11Pl (x) Pl (x) dx =22l + 1ll(17.4)Za x = cos gornja relacija postaje_0Pl (cos ) Pl (cos ) sin d=22l + 1ll(17.5)Potpunost skupa {Pl (x)}Funkcije {Pl (x)} cine potpun,ortogonalan skup na intervalu [1, 1] . Zadanu funkcijuf(x) mo zemorazviti u red po Legendrovim polinomimaf(x)=

l=0alPl (x) (17.6)gdje sual=2l + 12_11Pl (x) f (x) dx (17.7)43Va znije relacijePl (x)=12ll!dldxl_x2 1_l(Rodriguesova formula)dPl+1dxdPl1dx (2l + 1) Pl= 0(l + 1) Pl+1 (2l + 1) xPl+ lPl1= 0_x2 1_dPldx lxPl+ lPl1= 0Pl (1)= 1Pl (x)= (1)lPl (x) (17.8)18 Pridru zene Legendrove funkcije i sferni harmoniciDiferencijalna jednad zba za pridru zene Legendrove funkcijePridru zene Legendrove funkcije Pmlrje senja su diferencijalne jednad zbeddx__1 x2_ dPml(x)dx_+_l (l + 1) m21 x2_Pml(x)= 0 (18.1)Primijetimo da je ova jednad zba sli cna onoj za Legendrove polinome (17.1), s tim da imamo dodatni clanm2/_1 x2_. Ova se diferencijalna jednad zba naziva generalizirana Legendrova jednad zba i imakona cna rje senja na intervalu [1, 1] samo ako jel= 0, 1, 2, 3, ...m = 0, 1, 2, ..., l (18.2)Za ksni l postoji (2l + 1) razli citih, linearno nezavisnih pridru zenih Legendrovih funkcija.Pridru zene Legendrove funkcije i Legendrovi polinomiZa m 0 vrijede sljede ce relacijePml(x)= (1)m_1 x2_m/2 dmdxmPl (x)Pml(x)= (1)m (l m)!(l + m)!Pml(x) (18.3)Za m = 0 pridru zene Legendrove funkcije prelaze u Legendrove polinomePm=0l= Pl(18.4)Relacija ortogonalnosti i potpunostPridru zene Legendrove funkcije ortogonalne su na intervalu [1, 1] po indeksu l_11Pml(x) Pml(x) dx =22l + 1(l m)!(l + m)!ll(18.5)Skup funkcija_Pml(x)_je potpun na intervalu [1, 1].44Denicija sfernih harmonikaSferni harmonici Ylm denirani su sljede com relacijomYlm (, )=_2l + 14(l m)!(l + m)!Pml(cos ) eim(18.6)Za m 0 vrijedi relacijaYl,m= (1)mYlm(18.7)Primijetimo da iz (18.4) i (18.7) slijediYl0 (, )=_2l + 14Pl (cos ) (18.8)Ortonormiranost i potpunostSferni harmonici cine potpun i ortonormiran skup funkcija na sferi sa radijusom jednakim 1. Relacijaortonormiranosti glasi_20d_0d sin Ylm (, ) Ylm (, )= llmm(18.9)Relacija potpunosti jednaka je

l=0l

m=lYlm_, _Ylm (, )= _ __cos cos _(18.10)Nekoliko prvih sfernih harmonikal= 0, Y00=14l= 1,___Y11= _38 sin eiY10=_34 cos Y1,1=_38 sin eil= 2,___Y22=14_152 sin2 e2iY21= _158 sin cos eiY20=12_54_3 cos2 1_Y2,1=_158 sin cos eiY2,2=14_152 sin2 e2i(18.11)19 Besselove funkcijeDiferencijalna jednad zba za Besselove funkcijeOp ce rje senje Besselove jednad zbed2F(x)dx2+1xdF(x)dx+_1 m2x2_F(x)= 0 (19.1)45je oblikaF(x)= AJm(x) + BNm(x) (19.2)Funkcije Jm(x) nazivaju se Besselove funkcije prve vrste. Drugo, linearno nezavisno rje senje Besselovejednad zbe za cjelobrojni m je Besselova funkcija druge vrste, ili Neummanova funkcija Nm (x).Potpunost i ortogonalnostBesselove funkcije {J (xn/a) , n = 1, 2, 3, ...} cine potpun i ortogonalan skup na intervalu [0, a] pri cemu jexnn-ta nula odJ(x). Po volji zadanu funkcijuf () mo zemo razviti u Fourier-Besselov redoblikaf ()=

n=1AnJ_xna_An=2a2J2+1 (xn)_a0f () J_xna_d (19.3)Relacija ortogonalnosti za navedeni skup funkcija glasi_a0J_xna_J_xna_d =a22[J+1 (xn)]2nn (19.4)Va znija svojstva Besselovih funkcija_a0xJ (kx) J_kx_dx =1k_k k_Jm(x)= (1)mJm(x) (19.5)J (x)x11 ( + 1)_x2_J (x)x1_2x cos_x 24_N (x)x1___2_ln_x2_+ 0.5772..._, = 0 ()_2x_, = 0N (x)x1_2x sin_x 24_(19.6)20 Modicirane Besselove funkcijeDiferencijalna jednad zbaDiferencijalna jednad zba za modicirane Besselove funkcije je oblikad2F(x)dx2+1xdF(x)dx_1 +m2x2_F(x)= 0 (20.1)a op ce rje senjeF(x)= AIm(x) + BKm(x) (20.2)Funkcije Im (x) nazivaju se modicirane Besselove funkcije prve vrste, a Km (x) modicirane Besselovefunkcije druge vrste.46Va znija svojstvaI (x)= iJ (ix)I (x)x11 ( + 1)_x2_I (x)x112xexK (x)x1____ln_x2_+ 0.5772..._, = 0 ()2_2x_, = 0K (x)x1_2x ex(20.3)21 Vektorska analizaSkalarni i vektorski produktZadani su vektori a, b u ortogonalnimkoordinatama(1, 2, 3) . Skalrni produktvektoradeniranjerelacijoma b a1b1+ a2b2+ a3b3, (21.1)a vektorski produkt relacijoma b _a2b3 a3b2_e1 _a1b3 a3b1_e2+_a1b2 a2b1_e3, (21.2)gdje su_e1, e2, e3_jedini cni vektori za zadani ortogonalni sustav koordinata.Zadani su vektori a, b, c, d. Vrijede jednakosti:a (b c)= b (c a)= c (a b)a (b c)= b(a c) (a b)c(a b) (c d)= (a c)(b d) (a d)(b c)(a b) (c d)= [a (b d)] c [a (b c)] d = [a (c d)] b [b (c d)] a . (21.3)Diferencijalni identitetiZadana su skalarna polja (x) , (x) i vektorska polja A(x) , B(x) , C(x). Vrijede sljede ce jednakosti: = 0 ( A)= 0 ( A)= ( A) 2A (21.4)()= + (A)= A + A (A)= A + A (21.5)(A B)= (A )B + (B )A + A ( B) + B ( A) (A B)= B ( A) A ( B) (A B)= A( B) B( A) + (B )A (A )B (21.6)47( A)B = (A )B + B( A)(A ) B)= (A )B + A ( B) A( B)( A) B = A( B) (A )B A ( B) B ( A) (21.7)(C )(A B)= A (C )B + B (C )A(C )(A B)= A (C )B B (C )A(A B) ( C)= B (A )C A (B )C . (21.8)Integralni teoremi i identitetiNeka je volumen Vomeden plohomS, a normala n na plohu S usmjerena je prema vanj stini od V .Zaskalarna polja (x) , (x) te vektorska polja A(x) , B(x) vrijede jednakosti:_V AdV =_SA ndS (Teorem o divergenciji)_VdV =_SndS (Teorem o gradijentu)_V AdV =_Sn AdS (Teorem o rotaciji)_V(2+ )dV =_S ndS (Prvi Greenov identitet)_V(2 2)dV =_S( ) ndS (Drugi Greenov identitet)(21.9)_V{( A) ( B) A [ ( B)]} dV =_S[(A ( B)] ndS_V{A [ ( B)] B [ ( A)]} dV =_S[(B ( A) A ( B)] ndS. (21.10)Ako je Tij(x) tenzor ranga 2 vrijedi jednakost_VTijxidV =_STijdSi. (21.11)Neka je f(a, x) skalarna funkcija za koju vrijedif(c1a1+ c2a2, x)= c1f(a1, x) + c2f(a2, x), (21.12)gdje su c1, c2 konstante. Vrijedi jednakost_Vf(, x)dV =_Sf(n, x)ndS, (Generalizirani teorem o divergenciji)(21.13)gdje operator djeluje na x i nalazi se lijevo od svih varijabli. Neka je plohaS omedena krivuljomC.Smjer normale n na plohuSodreden je pozitivnom orijentacijom krivuljeCi pravilom napredovanjadesnog vijka. Valjane su sljede ce jednakosti_S( A) ndS=_CA dl (Stokesov teorem)_S(n )dS=_Cdl . (21.14)48Operator u Kartezijevim koordinatama (x, y, z) =xex+y ey+z ez A =Axx+Ayy+Azz A =_AzyAyz_ex+_AxzAzx_ey+_AyxAxy_ez2 =2x2+2y2+2z22A = ex2Ax+ ey2Ay+ ez2Az(21.15)Operator u sfernim koordinatama (r, , ) =r er+1r e+1r sin e A =1r2r(r2Ar) +1r sin (sin A) +1r sin A A =1r sin _(sin A) A_er+_1r sin Ar1rr(rA)_e+1r_r(rA) Ar_e2 =1r2r_r2r_+1r2sin _sin _+1r2sin222(21.16)2A =_2Ar 2r2_Ar+1sin (sin A) +1sin A__er+_2A+2r2_ArA2 sin2cos sin2A__e+_2A+2r2sin _ArA2 sin + cot A__e(21.17)Operator u cilindri cnim koordinatama (, , z) = e+1e+z ez A =1(A) +1A+Azz A =_1AzAz_e+_AzAz_e+1_(A) A_ez2 =1__+1222+2z22A =_2AA222A_e+_2AA2+22A_e+ 2Azez(21.18)49Transformacije koordinata i jedini cnih vektoraKartezijeve Cilindri cne Sfernex cos r sin cos y sin r sin sin z z r cos excos e sin esin cos er+ cos cos e sin eeysin e+ cos esin sin er+ cos sin e cos eezezcos er sin e(21.19)Cilindri cne Sferne Kartezijeve r sin _x2+ y2 arctan_yx_z r cos zesin er+ cos exex+ yey_x2+ y2eeyex+ xey_x2+ y2ezcos er sin eez(21.20)50Sferne Kartezijeve Cilindri cner_x2+ y2+ z2_2+ z2 arctan__x2+ y2z_arctan_z_ arctan_yx_erxex+ yey+ zez_x2+ y2+ z2sin e+ cos ezez_x2+ y2_1/2_xex+ yey__x2+ y2_1/2ez_x2+ y2+ z2cos e sin ezeyex+ xey_x2+ y2e(21.21)51LITERATURAGriths D. J., Introduction to Electrodyanmics, Prentice Hall, New Jersey, 1999.Jackson J. D., Classical Electrodyanmics, John Wiley, New York, 1999.52