ELEKTROMAGNETICKÉ POLE

1. Magnetická síla působící na náboj v magnetickém poli

Fyzikové Lorentz a Ampér zjistili, že silové působení magnetického pole na náboj Q, závisí na: 1. velikosti náboje Q, 2. relativní rychlosti náboje a magnetického pole �⃗�

3. velikosti magnetického pole �⃗⃗�,

4. úhlu mezi �⃗� a �⃗⃗�

a) jestliže je nulovépůsobenísilovéjepak 0

b) jestliže je největšípůsobenísilovéjepak 90

tuto závislost charakterizuje funkce sinus. Pak magnetická síla je

𝐹𝑚 = 𝑄 𝑣 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝛼

nebo

sindd BvQFm

Je možné přepsat na tvar

d�⃗� = d𝑄(�⃗� × �⃗⃗�)

Vektor magnetické síly je kolmý k vektoru rychlosti �⃗� a

zároveň k vektoru magnetické indukce �⃗⃗�. Pro kladný náboj platí směr síly podle obrázku. Pro záporný náboj je opačný. Její směr určuje Flemingovo pravidlo levé ruky. Využití např. při zakřivení trajektorie částice:

1. v urychlovačích elementárních částic, 2. v hmotnostních spektrografech, 3. dopadajících z kosmu na Zemi, 4. při zjišťování typu radioaktivního záření, 5. ………

Mohou nastat tři případy:

1. vektor rychlosti �⃗⃗⃗� je rovnoběžný s vektorem magnetické

indukce �⃗⃗⃗�

nulovépůsobenísilovéjepak 0

Magnetické pole nemá na pohyb částice vliv. Rychlost se nemění.

2. vektor rychlosti �⃗⃗⃗� je kolmý k vektoru magnetické indukce �⃗⃗⃗�

největšípůsobenísilovéjepak 90

Magnetická síla je kolmá k vektoru rychlosti �⃗� i vektoru

magnetické indukce�⃗⃗�. Její směr určuje Flemingovo pravidlo levé ruky:

magnetické indukční čáry v případě kladné částice směřují do dlaně,

prsty levé ruky jsou ve směru pohybu,

palec ukazuje směr síly.

Magnetická síla je orientovaná kolmo k pohybu částice a její trajektorii zakřivuje. Částice se pohybuje po kružnici.

3. vektor rychlosti svírá s vektorem magnetické indukce úhel 𝜶 ∈ (𝟎°, 𝟗𝟎° ) Vektor rychlosti rozložíme na dvě kolmé složky 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 . Pak podle vztahu 𝐹𝑚 = 𝑄 𝑣 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝛼

složka rychlosti 𝑣𝑥 náboj posunuje a složka 𝑣𝑦 způsobuje pohyb náboje po kružnici.

Náboj se pak pohybuje po šroubovici.

4. Magnetická síla působící na vodič protékaný proudem I Jestliže do magnetického pole zasahuje vodič délky l, kterým protéká proud I, pak je možné vztah

uvedený výše upravit sindd BvQFm

dl je vzdálenost, kterou náboj dQ urazí ve vodiči za dobu dt. Pak pro rychlost a proud můžeme psát

dt

dlv

t

QI

d

d

Po dosazení a úpravě je

sind

ddd B

t

lQFm

sindldt

dd B

QFm

sindld BIFm

𝐹𝑚 = 𝐼 𝑙 𝐵 𝑠𝑖𝑛 ∝ tedy 𝐹𝑚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐼(𝑙 × �⃗⃗�)

Vodič je vytlačován kolmo k magnetickým indukčním čarám (k vektoru magnetické indukce) podle Flemingova pravidla levé ruky.

prsty ve směru proudu (dohodnutý směr pohybu kladných částic),

indukční čáry do dlaně,

palec směr působící síly

5. Dva vodiče s proudem Vzhledem k tomu, že se magnetické pole vytváří kolem každého vodiče, kterým protéká proud, pak tyto vodiče na sebe navzájem působí silou

ld

IIF rm

210

2

Kde l je délka vodičů d je vzdálenost vodičů. Vztah platí pro přímé vodiče. V případě souhlasných proudů se přitahují, v případě nesouhlasných proudů se odpuzují.

6. Elektromagnetická indukce

Elektromagnetická indukce je jev, ke kterému dochází v nestacionárním (v proměnném) magnetickém poli.

1. Elektromagnetická indukce je jev, při kterém vzniká ve vodiči elektrický proud, i když není připojen ke zdroji napětí.

2. Důležitý je vzájemný pohyb vodiče a vnějšího magnetického pole.

3. Při vzájemném pohybu působí na elektrony ve vodiči magnetická síla

Můžeme použít vysvětlení pomocí pohybující se kovové tyče

délky l v magnetickém poli o indukci �⃗⃗⃗�. Při posunutí tyče se každý elektron bude v tyči pohybovat

rychlostí �⃗⃗⃗� vzhledem k vektoru magnetické indukce �⃗⃗⃗�. Pak na každý elektron bude působit kolmo síla d𝐹𝑚 = d𝑄 𝑣 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝛼 . Elektrony se nahromadí na jednom konci tyče – nadbytek záporného náboje – potenciál 𝝋𝟐 . Na druhém konci tyče je nedostatek záporného náboje – potenciál 𝝋𝟏 . Mezi oběma konci tyče tedy vznikne napětí

𝑈 = 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 Velikost napětí bude záviset na magnetické indukci 𝑩, rychlosti 𝒗 a délce tyče l.

𝑈𝑖 = 𝐵 𝑣 𝑙

Jestliže spojíme vodivě oba konce tyče, pak měřicí přístroj ukáže výchylku. Obvodem poteče elektrický proud. Při pohybu opačným směrem se elektrony vlivem síly nahromadí na opačné straně a ručička se vychýlí na druhou stranu. Proud změní směr. Kmitavým pohybem bychom mohli vyrobit střídavý proud.

Vodič při pohybu opíše plochu d𝑆 = 𝑙 d𝑠.

Tím dojde ke změně indukčního toku 𝑑Φ = �⃗⃗� 𝑑𝑆 plochou. Po úpravě

𝑈𝑖 = �⃗⃗� �⃗� 𝑙 = �⃗⃗� 𝑑𝑠

𝑑𝑡 𝑙 = �⃗⃗�

𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝑑𝜙

𝑑𝑡

Pro indukované napětí podle Lenzova zákona platí: Lenzův zákon: Indukovaný elektrický proud v uzavřeném obvodu má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně magnetického indukčního toku, která je jeho příčinou.

𝑈𝑖 = −𝑑𝜙

𝑑𝑡

Podobný efekt nastane, když budeme pohybovat magnetem vzhledem k tyči nebo otáčet závitem (cívkou) v magnetickém poli.

Když závit o obsahu S umístíme do homogenního magnetického pole s magnetickou indukcí B, pak se magnetický indukční tok mění podle vztahu

dΦ = 𝐵 d𝑆 cos 𝛼 kde 𝛼 = 𝜔 𝑡 V závislosti na změnách indukčního toku se na závitu indukuje napětí, které je také harmonické. Je však velmi malé, proto zvyšujeme indukované napětí tím, že používáme rovinnou cívku s N závity. Pak bude platit

dΦ = 𝑁 𝐵 d𝑆 cos 𝜔 𝑡

Velikost indukovaného napětí určuje Faradayův zákon elektromagnetické indukce:

Změní-li se magnetický indukční tok uzavřeným vodičem za dobu t o , indukuje se ve vodiči elektromotorické napětí, jehož střední hodnota je

𝑈𝑖 = −dΦ

d𝑡

Největší změna indukčního toku nastává při průchodu polohou, kdy je závit rovnoběžný s vektorem

magnetické indukce. (pro = /2 rad nebo 3/2 rad)

𝑢𝑖 = 𝑈𝑚. sin 𝜔𝑡

Kde: ui je okamžitá hodnota indukovaného napětí, Um je největší hodnota indukovaného napětí (amplituda). Vzniká střídavé napětí. Pro indukovaný proud Ii platí

𝑖 =𝑢𝑖

𝑅

Indukované proudy vznikají v cívkách, ale i v masivních vodičích (plechy, desky, hranoly), které jsou v nestacionárním magnetickém poli, nebo se pohybují ve stacionárním magnetickém poli.

7. Vlastní indukce Indukované elektrické pole vzniká ve vodiči i při změnách magnetického pole, které vytváří proud procházející vlastním vodičem. Tento jev se nazývá vlastní indukce.

Vlastní magnetické pole vytváří v cívce magnetický indukční tok , který prochází závity cívky o N závitech. Jestliže cívka je v prostředí s konstantní permeabilitou, je tento indukční tok přímo úměrný proudu v cívce.

N 𝜙 = 𝐿 𝐼

Indukčnost cívky L je veličina, která charakterizuje magnetické vlastnosti cívky. Její velikost závisí na vlastnostech cívky – na délce cívky, obsahu plochy každého závitu, na počtu závitů a na permeabilitě jádra. Indukčnost L je důležitý parametr elektrického obvodu (spolu s odporem R a kapacitou C).

Jednotkou indukčnosti je [L] = H (henry) = V s A–1 = Wb A–1 = m2 kg s–2 A–2 Pro cívku platí:

𝑈𝑖 = −d∅

d𝑡= −𝐿

d𝐼

d𝑡

Vodič má indukčnost 1 H, jestliže se v něm při změně proudu o 1 A za 1 s indukuje napětí 1 V. Dá se odvodit, že indukčnost cívky je

𝐿 = 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝑆

𝑙

8. Obvody RLC Obvod RLC je analogový reálný oscilační elektrický obvod složený z rezistoru R, cívky L a kondenzátoru C spojených sériově nebo paralelně. Rezistor R většinou nebývá tvořen samostatnou součástkou, ale jedná se o symbolické vyjádření nedokonalosti použitých součástek (zejména cívky).

Při sériovém zapojení prochází prvky obvodu stejný proud, ale napětí na jednotlivých prvcích se liší jak hodnotou, tak vzájemnou fází.

Napětí na rezistoru UR je s proudem I ve fázi.

Napětí UL proud I předbíhá o 𝜋

2.

Napětí UC se za proudem I zpožďuje o 𝜋

2.

Tyto skutečnosti lze vyjádřit graficky jedním fázovým diagramem.

Díky fázovým rozdílům není možné získat výslednou hodnotu napětí U v celém obvodu aritmetickým součtem.

Pro efektivní hodnotu U výsledného napětí dostáváme

𝑈2 = 𝑈𝑅2 + (𝑈𝐿 − 𝑈𝐶)2

Odpor rezistoru rezistance 𝑋𝑅 = 𝑅 = 𝜌𝑟𝑙

𝑆 𝑈𝑅 = 𝑅. 𝐼

Odpor cívky Induktance 𝑋𝐿 = 𝜔 𝐿 𝑈𝐿 = 𝜔 𝐿 𝐼

Odpor kondenzátoru kapacitance 𝑋𝑐 =

1

𝜔 𝐶 𝑈𝐶 =

1

𝜔 𝐶𝐼

Kde 𝑈𝑅, 𝑈𝐿 a 𝑈𝐶 jsou efektivní hodnoty napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Dále můžeme psát:

(𝑍𝐼)2 = (𝑅. 𝐼)2 + (𝜔 𝐿 𝐼 −1

𝜔 𝐶𝐼)2

Při úpravě vytkneme a vykrátíme proud I, pak celkový odpor Ipedance Z bude

𝑍2 = 𝑅2 + (𝜔 𝐿 −1

𝜔 𝐶)2

Nebo

𝑍 = √𝑅2 + (𝜔 𝐿 −1

𝜔 𝐶)2

Impedance je „celkový odpor“ obvodu se střídavým proudem nebo součástky (sluchátka, zesilovač, vstupní nebo výstupní konektor, …).

Pro fázový rozdíl φ mezi výsledným napětím a proudem v obvodu pak můžeme psát podle nákresu

𝑡𝑔𝜑 =𝑈𝐿 − 𝑈𝐶

𝑈𝑅

𝑡𝑔𝜑 =𝑋𝐿𝐼 − 𝑋𝑐𝐼

𝑅𝐼

Po dosazení za jednotlivá napětí a vykrácení proudu I

𝑡𝑔𝜑 =𝑋𝐿 − 𝑋𝑐

𝑅=

𝜔 𝐿 −1

𝜔 𝐶𝑅

𝑡𝑔𝜑 =𝜔 𝐿 −

1𝜔 𝐶

𝑅

přičemž

𝜑 ∈ (−𝜋

2,𝜋

2)

Zvláštní případ nastává v RLC obvodu v sérii, jestliže je induktance obvodu stejně veliká jako jeho kapacitance, tj.

𝑋𝐿 = 𝑋𝑐 to znamená, že 𝑈𝐿 = 𝑈𝐶

Fázový rozdíl proudu a napětí je nulový a obvod má vlastnost rezistance.

V tomto případě dosahuje proud v obvodu maximální hodnot a tento stav obvodu označujeme jako rezonance střídavého obvodu a příslušnou rezonanční frekvenci f0 určíme z podmínky.

𝜔0 𝐿 =1

𝜔0 𝐶

𝑓0 =1

2𝜋√

1

𝐿𝐶

Tento vztah bývá označován jako Thomsonův vztah. PŘÍKLADY

1. Uvnitř cívky se vzduchovým jádrem je magnetická indukce 5,024. 10−3 T . Cívkou protéká proud 0,1 A. Vypočtěte hustotu závitů cívky (tj. poměr počtu závitů k délce cívky)

Řešení 16

𝐵 = 5,024. 10−3 T, 𝐼 = 0,1 A,𝑁

𝑙=?

𝐵 = 𝜇0𝜇𝑟

𝐼𝑁

𝑙

𝑁

𝑙=

𝐵

𝜇0𝜇𝑟𝐼

𝑁

𝑙=

5,024. 10−3

4𝜋. 10−7. 1.0,1= 4. 104 m−1

2. Stanovte intenzitu magnetického pole tak, aby v něm proudovodič délky 15 m, kterým prochází proud 10 A, byl vytlačován kolmo k magnetickým indukčním čarám silou 0,2 N. [𝐻 = 1061 A. m−1]

Řešení 2 𝑙 = 15 m, 𝐼 = 10 A, 𝐹𝑚 = 0,2 N, 𝛼 = 90°, 𝐻 =?

Vztah mezi magnetickou indukcí a magnetickou intenzitou

𝐵 = 𝜇0𝜇𝑟𝐻 Na vodič s proudem působí v magnetickém poli síla

𝐹𝑚 = 𝐵𝐼𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝜇0𝜇𝑟𝐻𝐼𝑙 Pak

𝐻 =𝐹𝑚

𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑙=

0,2

4𝜋. 10−7. 1.10.15= 1061 A. m−1

3. Přímý vodič má délku 15 cm a protéká jim proud 2 A. Je umístěn v magnetickém poli o

indukci 0,8 T. Jakou silou je vodič vypuzován z pole, jestliže svírá s indukcí úhel a) 00 b) 30

0 c)

450 d) 60

0 e) 900

[0 N, 0,12 N, 0,17 N, 0,21 N]

4. V homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí v horizontálním směru je kolmo na indukční čáry uložený v horizontálním směru vodič, jehož 1 cm má tíhu 1N a jimž prochází proud 1 A. Jakou hodnotu musí mít magnetická indukce, aby uvažovaný vodič nepadal, ale vznášel se? [100 𝑇]

Řešení 4 𝐹𝐺 = 1 N, 𝑙 = 1 cm, 𝐼 = 1 A, 𝐵 =? Orientaci vektoru magnetické síly a vektoru magnetické indukce určíme podle Flemingova pravidla levé ruky. Záleží na tom, jestli proud zvolíme do nákresu nebo z nákresu. Aby se vodič vznášel, musí být 𝐹𝑚 = 𝐹𝐺 𝐹𝑚 = 𝐵𝐼𝑙 = 𝐹𝐺

𝐵 =𝐹𝐺

𝐼𝑙=

1

1.0,01= 100 T

5. Elektricky nabitá částice s hmotností m a nábojem Q vnikne do magnetického pole kolmo k vektoru magnetické indukce B. Vysvětlete, proč dráha částice bude kruhová a určete její poloměr.

[𝑚 𝑣

𝐵 𝑄]

6. Deuteron obíhá po kruhové dráze o poloměru 40 cm v magnetickém poli o indukci 1,5 T. (deuteron je těžký vodík – v jádře je jeden proton a jeden neutron, q=1,602.10-19 C, mp=1,672.10-27 kg, mn=1,674.10-27 kg) Určete:

a) rychlost deuteronu b) dobu jednoho oběhu c) potenciální rozdíl potřebný k urychlení deuteronu na rychlost z a)

[𝑣 = 28,74. 106 m. s−1, 𝑇 = 8,67. 10−8 s, 𝑈 = 8,61. 106 V ]

Řešení 6

𝑟 = 20 cm, 𝐵 = 1,5 T, 𝑣 =? , 𝑇 =? , 𝑈 =? Hmotnost deuteronu je podle tabulek 𝑚 = 𝑚𝑝 + 𝑚𝑛 = 1,672. 10−27 + 1,674. 10−27 = 3,346. 10−27 kg

Magnetická síla zakřivuje trajektorii a má význam síly dostředivé. a) 𝐹𝑚 = 𝐹𝑑

𝑞𝑣𝐵 =𝑚𝑣2

𝑟

Náboj protonu v jádře je 𝑞 = 1,602. 10−19 C

𝑣 =𝑞𝐵𝑟

𝑚=

1,602. 10−19. 1,5.0,2

3,346. 10−27 = 28,74. 106 m. s−1

b) Náboj (deuteron) se pohybuje po kružnici rovnoměrným pohybem. Doba oběhu je

𝑡 =𝑠

𝑣=

2𝜋𝑟

𝑣=

2𝜋0,2

28,74.106 = 8,67. 10−8 s

c) Magnetické pole pohyb neurychluje. Pouze zakřivuje trajektorii.

Urychluje elektrické pole elektrickou silou.

Tím se změní jeho kinetická energie Při původní nulové rychlosti platí 1

2𝑚𝑣2 = 𝑞𝑈

𝑈 =𝑚𝑣2

2𝑞=

3,346. 10−27 . (28,74. 106)2

2.1,602. 10−19= 8,61. 106 V

7. Jakou silou působí magnetické pole o indukci 0,4 T na elektron, který se pohybuje rychlostí 104 m.s-1 ve směru kolmém na indukční čáry? (Náboj elektronu e = 1,6.10-19 C). [𝐹 = 0,64. 10−15 N] 𝑁á𝑣𝑜𝑑: 𝐹𝑚 = 𝑞𝑣𝐵

8. Vypočítejte indukci magnetického pole, jestliže se elektron, který do něj vletěl rychlostí 4.107

m.s-1 kolmo na indukční čáry, pohyboval po kružnici s poloměrem 2,84.10-3 m. (e = 1,6.10-19C, me = 9,1.10-31 kg). [𝐵 = 0,08 T] 𝑁á𝑣𝑜𝑑: 𝐹𝑚 = 𝐹𝑑

𝑞𝑣𝐵 =𝑚𝑣2

𝑟

9. Dva dlouhé rovnoběžné vodiče jsou umístěny v homogenním magnetickém poli kolmo ke směru magnetické indukce o velikosti 2.10 -7 T. Vodiči jsou vedeny proudy stejné velikosti 1 A opačné orientace. Při jaké vzdálenosti vodičů je výsledná síla působící na vodiče rovna nule? [𝑑 = 1 m] Řešení 9

𝐵 = 2. 10−7 T, 𝐼1 = 1 A, 𝐼2 = 1 A, 𝐹 = 0 N, 𝑑 =?

Při opačném směru proudů ve vodičích se vodiče odpuzují silou

𝐹𝑚, =

𝜇0𝜇𝑟

2𝜋

𝐼1𝐼2

𝑑𝑙

Magnetické pole působí na každý vodič silou, která je vzhledem k orientaci proudů (v tomto

případě) přitažlivá.

𝐹𝑚 = 𝐵𝐼𝑙 Aby výsledná síla byla nulová, musí být

𝐹𝑚, = 𝐹𝑚

𝜇0𝜇𝑟

2𝜋

𝐼1𝐼2

𝑑= 𝐵𝐼

𝜇0𝜇𝑟

2𝜋

𝐼2

𝑑= 𝐵𝐼

Po úpravě

𝑑 =𝜇0𝜇𝑟

2𝜋

𝐼

𝐵=

4𝜋. 10−7. 1

2𝜋.

1

2. 10−7= 1 m

10. Jak velké stejné proudy protékají dvěma velmi dlouhými rovnoběžnými dráty, které jsou navzájem vzdáleny 25 cm, jestliže vodiče o délce 40 m na sebe navzájem působí silou 0.5 N? Relativní permeabilita prostředí je 1. [𝐼 = 125 A] 𝑁á𝑣𝑜𝑑:

𝐹𝑚 =𝜇0𝜇𝑟

2𝜋

𝐼1𝐼2

𝑑𝑙

𝐹𝑚 =𝜇0𝜇𝑟

2𝜋

𝐼2

𝑑𝑙

11. Vypočtěte samoindukčnost solenoidu, který má 1 000 závitů vodiče o kruhovém průřezu S

průměrem vodiče 0,2 mm vinutých těsně vedle sebe. Průměr solenoidu je 6 cm. Předpokládejme, že magnetické pole buzené solenoidem je uvnitř solenoidu homogenní. [𝐿 = 17,7. 10−3 H]

Řešení 11 𝑁 = 1000 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝑑𝑣 = 0,2 mm, 𝑑𝑠 = 6 cm, 𝐿 =?

Indukčnost cívky závisí na parametrech cívky podobně jako kapacita kondenzátoru

𝐿 = 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝑆

𝑙

Průřez cívky je

𝑆 =𝜋𝑑𝑠

2

4

Délka cívky je 𝑙 = 𝑁. 𝑑𝑣

𝐿 = 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2 𝜋𝑑𝑠2

4𝑁. 𝑑𝑣

= 𝜇0𝜇𝑟

𝑁𝜋𝑑𝑠2

4. 𝑑𝑣

𝐿 = 4𝜋. 10−7. 11000.3,14. 0,062

4.0,0002= 17,7. 10−3 H

12. Cívkou o 2100 závitech protéká proud 5 A. Jak velkého počtu závitů je třeba při proudu 7 A,

aby se magnetická indukce při stejné délce cívky nezměnila? Řešení 12

𝑁1 = 2100 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝐼1 = 5 𝐴, 𝐼2 = 7 𝐴 , 𝑁2 =?

𝐵 = 𝜇0𝜇𝑟

𝐼𝑁

𝑙

𝜇0𝜇𝑟

𝐼1𝑁1

𝑙= 𝜇0𝜇𝑟

𝐼2𝑁2

𝑙

𝐼1𝑁1 = 𝐼2𝑁2

𝑁2 =𝐼1𝑁1

𝐼2=

5.2100

7= 1500

13. Jak velká je energie magnetického pole cívky o 2 500 závitech s průměrem 5 cm a délkou 20 cm při průchodu proudu 15 A?

[𝐸 = 8,67 J]

Řešení 13 𝑁 = 2500 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝑑 = 5 cm, 𝑙 = 20 cm, 𝐼 = 15 A, 𝐸𝑚 =? Energie magnetického pole cívky protékanou proudem je

𝐸𝑚 =1

2𝐿𝐼2

Indukčnost cívky závisí na parametrech cívky podobně jako kapacita kondenzátoru

𝐿 = 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝑆

𝑙

Pak

𝐸𝑚 =1

2𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝑆

𝑙𝐼2 =

1

2𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝜋𝑑2

𝑙. 4𝐼2

𝐸𝑚 = 4𝜋. 10−7. 125002. 3,14. 0,052

4.0,2. 152 = 8,67 J

14. Vypočtěte energii magnetického pole cívky, jejíž indukčnost L = 58 mH. Cívkou prochází proud I =

0,5 A. [𝐸 = 0,0073 J]

Řešení 14 𝐼 = 0,5 A, 𝐿 = 58 mH, 𝐸𝑚 =?

𝐸𝑚 =1

2𝐿𝐼2 =

1

2. 0,058. 0,52 = 0,0073 J

15. Vypočtěte indukčnost cívky, která má 200 závitů, budí-li proud 3 A v této cívce magnetický indukční tok 1,5.10-3 Wb.

Řešení 15 𝑁 = 200 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝐼 = 3 A, Φ = 1,5. 10−6 Wb, L =? Přímá úměra mezi magnetickým indukčním tokem a proudem pro jeden závit 𝛷 = 𝐿𝐼 Pro N závitů N𝛷 = 𝐿𝐼

𝐿 =N𝛷

𝐼=

200.1,5. 10−6

3= 0,1 H

16. Cívka se zanedbatelně malým ohmickým odporem při zapojení na střídavé napětí 220 V, frekvence 50 Hz, propouští proud 10 A. Stanovte indukčnost cívky.

Řešení 16 𝑈 = 220 V, 𝑓 = 50 Hz, 𝐼 = 10 A, 𝐿 =? Induktivní odpor cívky (induktance) je 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 Podle Ohmova zákona je 𝑈𝐿 = 𝐼. 𝑋𝐿 = 𝐼. 𝜔𝐿 = 𝐼. 2𝜋𝑓. 𝐿

𝐿 =𝑈𝐿

𝐼. 2𝜋𝑓=

220

10.2.3,14.50= 70. 10−3 H

17. Stanovte kapacitanci kondenzátoru o kapacitě 8.10-6 F, který je připojen na střídavé napětí 200 V o frekvenci 50 Hz.

Řešení 17 𝑈 = 200 V, 𝑓 = 50 Hz, 𝐶 = 8. 10−6 F, 𝑋𝐶 =? Kapacitní odpor (kapacitance je

𝑋𝐶 =1

𝜔𝐶=

1

2𝜋𝑓. 𝐶=

1

2.3,14.50.8. 10−6= 398 Ω

18. RLC obvod obsahuje proměnný kondenzátor kapacity 20 pF až 200 pF a cívku proměnné indukčnosti 30 mH až 300 mH. Určete rozsah laditelnosti jeho rezonanční frekvence.

Řešení 18 𝐶1 = 20 pF, 𝐶2 = 200 pF, 𝐿1 = 30 mH, 𝐿2 = 300 mH K rezonanci dojde tehdy, jestliže napětí na cívce je stejné jako napětí na kondenzátoru.

𝑈𝐿 = 𝑈𝐶 Podle Ohmova zákona je tedy (𝑋𝐿 = 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣𝑛í 𝑜𝑑𝑝𝑜𝑟, 𝑋𝐶 = 𝑘𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑛í 𝑜𝑑𝑝𝑜𝑟)

𝐼𝑋𝐿 = 𝐼𝑋𝐶 Pak po vykrácení proudu je

𝜔𝐿 =1

𝜔𝐶

Z toho

𝜔2 =1

𝐿𝐶

Rezonanční frekvence je pak

𝑓𝑟 =1

2𝜋

1

√𝐿𝐶

Dosadíme

𝑓𝑟1 =1

2𝜋

1

√𝐿1𝐶1

=1

2𝜋.

1

√30. 10−3. 20. 10−12= 2. 105 Hz

𝑓𝑟2 =1

2𝜋

1

√𝐿2𝐶2

=1

2𝜋.

1

√300. 10−3. 200. 10−12= 0,2. 105 Hz

Rozsah laditelných frekvencí je (0,2. 105 Hz − 2. 105 Hz).

19. Na válcovou cívku o průměru 0,06 m a délce 0,5 m je navinuto 500 závitů měděného drátu o průměru 5.10-4 m. Měrný odpor mědi je 1,75.10-8 Ω.m. Při jaké frekvenci je impedance cívky dvakrát větší než její ohmický odpor? Řešení 19

𝑁 = 500 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝑙 = 0,5 m, 𝑑𝑑𝑟 = 5. 10−4 m, 𝑑𝐶 = 0,06 m, 𝜌 = 1,75. 10−8Ω. 𝑚−1, 𝑓 =? 𝑍 = 2. 𝑅

Celkový odpor obvodu RLC impedance Z je

𝑍 = √𝑅2 + (𝜔𝐿 +1

𝜔𝐶)

2

Protože není zařazen kondenzátor (nepíše se o něm), je kapacitní odpor nulový

𝑍 = √𝑅2 + (𝜔𝐿)2 Ohmický odpor závisí na délce a průřezu vodiče

𝑅 = 𝜌𝑟

𝑙

𝑆

Délka vodiče závisí na obvodu závitu (průměru cívky) a na počtu závitů 𝑙 = 𝑁. 𝜋. 𝑑𝐶 Průřez vodiče je

𝑆 =𝜋𝑑𝑑𝑟

2

4

Pak

𝑅 = 𝜌𝑟

𝑁. 𝜋. 𝑑𝐶

𝜋𝑑𝑑𝑟2

4

= 𝜌𝑟

𝑁. 𝑑𝐶 . 4

𝑑𝑑𝑟2

Podle zadání je 𝑍 = 2. 𝑅

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2 = 2. 𝑅 𝑅2 + (𝜔𝐿)2 = 4. 𝑅2

(𝜔𝐿)2 = 3. 𝑅2

𝜔𝐿 = 𝑅√3

2𝜋𝑓𝐿 = 𝑅√3 Je nutné ještě určit indukčnost cívky

𝐿 = 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝑆

𝑙= 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2.𝜋𝑑𝐶

2

4𝑙

= 𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝜋𝑑𝐶2

4. 𝑙

2𝜋𝑓𝜇0𝜇𝑟

𝑁2𝜋𝑑𝐶2

4. 𝑙= 𝜌𝑟

𝑁. 𝑑𝐶 . 4

𝑑𝑑𝑟2 . √3

Vyjádříme frekvenci

𝑓 = 𝜌𝑟

8. √3. 𝑙

𝜋2𝜇0𝜇𝑟𝑑𝑑𝑟2 . 𝑑𝐶𝑁

𝑓 = 1,75. 10−88. √3. 0,5

3,142. 4𝜋. 10−7. 1. (5. 10−4)2. 0,06.500= 1,3. 103 Hz

20. 21. Přímá kovová tyč délky 20 cm se otáčí kolem jednoho svého konce v rovině kolmé k indukčním

čarám homogenního magnetického pole o indukci 1 T. Jak velké indukované napětí mezi oběma konci tyče vzniká při frekvenci otáčení 10 s-1? [𝑈 = 1,26 V]

Řešení 20

𝑙 = 20 𝑐𝑚, 𝐵 = 1 𝑇, 𝑓 = 10 𝑠−1, 𝑈 =?

Pokud se vodič pohybuje v magnetickém poli kolmo k indukčním čarám, pak se elektrony vlivem magnetické síly posunou a na koncích vodiče vzniknou různé potenciály. Říkáme, že se ve vodiči indukuje napětí

𝑈𝑖 = 𝐵𝑣𝑙

Jestliže se kovová tyč otáčí kolem jednoho konce, pak se rychlost délkovým elementů dx mění v závislosti na vzdálenosti x od osy otáčení.

𝑣 = 2𝜋𝑓𝑥

Pak indukované napětí na elementu dx je

𝑑𝑈 = 𝐵. 𝑣. d𝑥

𝑑𝑈 = 𝐵. 2𝜋𝑓𝑥. d𝑥

Napětí na celé tyči určíme pomocí integrace

𝑈 = ∫ 𝐵. 2𝜋𝑓𝑥. d𝑥

𝑙

0

Konstanty vytkneme před integrál, pak

𝑈 = 𝐵. 2𝜋𝑓 ∫ 𝑥. d𝑥

𝑙

0

𝑈 = 𝐵. 2𝜋𝑓.1

2[𝑥2]0

𝑙 = 𝐵. 𝜋𝑓𝑙2

𝑈 = 1.3,14.10. 0,22 = 1,256 V

22. Obdélníková cívka tvořená 5 závity o stranách 𝑎 = 10 cm, 𝑏 = 15 cm se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci 𝐵 = 2 T. Pole je na počátku kolmé na plochu cívky. Cívku pak roztočíme s úhlovou frekvencí 𝜔 = 100 rad. s−1 kolem osy cívky rovnoběžné se stranou b. Jaký bude průběh indukovaného napětí na cívce? Jaká bude jeho amplituda?

Řešení 20 N = 5 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝑎 = 10 cm, 𝑏 = 15 cm, 𝐵 = 2 T, 𝜔 = 100 rad. s−1 Při pohybu libovolného vodiče v magnetickém poli se vlivem magnetické síly, která působí na elektrony, ve vodiči vyvolá (indukuje) napětí. Indukované napětí závisí na změně indukčního toku φ během času t.

𝑈𝑖 = −𝑑Φ

d𝑡

Indukční tok je tok vektoru magnetické indukce B plochou S. Závisí na úhlu vektoru magnetické indukce a plochy. Φ = 𝐵. 𝑆. 𝑐𝑜𝑠𝜑 Pokud se plocha (ZÁVIT) v magnetickém poli otáčí, mění se magnetický indukční tok a tím i napětí. Úhel mezi vektorem magnetické indukce a plochou je 𝜑 = 𝜔. 𝑡

𝑈𝑖 = −𝑑𝐵. 𝑆. 𝑐𝑜𝑠𝜔. 𝑡

d𝑡= 𝐵𝑆𝜔 sin (𝜔𝑡)

Indukované napětí bude maximální, když vektor magnetické indukce bude kolmý k vektoru plochy. Pro více závitů cívky N je indukované napětí 𝑈𝑖 = N𝐵𝑆𝜔 sin (𝜔𝑡) Amplituda napětí je 𝑈𝑖𝑚 = N𝐵𝑆𝜔 = 5.2.0,1.0,15.100 = 15 V