ELEKTROMOTORNI POGONELEKTROMOTORNI POGONKAOKAO

DINAMIKI SISTEMDINAMIKI SISTEM

Elektromotorni pogon je jedan DINAMIKI SISTEM, koji se moe podeliti na vie DINAMIKIH PODSISTEMA izmeu kojih postoji INTERAKCIJA.

DINAMIKI SISTEM PODSISTEM moe biti realan (opipljiv), ili apstraktan.

Dinamiki sistemi koje emo mi prouavati su realniDinamiki sistemi koje emo mi prouavati su realni.

Zajedniko za sve dinamike sisteme podsisteme je da on predstavlja skup uzajamno zavisnih, vremenskih promenljivih veliina. Ove zavisnosti mogu seskup uzajamno zavisnih, vremenskih promenljivih veliina. Ove zavisnosti mogu se izraziti:

- skupom diferencijalnih jednaina prvog reda; i

k l b kih j d i- skupom algebarskih jednaina;

koje se mogu napisati:

( )

( ) mjtuuxxyy

nituuxxftx

knjj

kni

==

==

1,,...,,,...,

1,,...,,,...,

11

111

gde su:

u u ulazne veliine u sistem koje se po svojoj funkciji moguu1,...,uk ulazne veliine u sistem, koje se po svojoj funkciji mogu podeliti na upravljake veliine i poremeaje;

x1,...,xk promenljive stanja;

y1,...,yk izlazi, izlazne veliine.

POREMEAJIuh+1 uh+2 uk

. . . .

h+1 h+2 k

u1y1

{ }ULAZI SISTEMx1, x2, ..., xn

......

u2

uh

y2

ym{ }ULAZIUPRAVLJAKI IZLAZI

Vana osobina dinamikog sistema: Ustaljenost dejstva, ulazi deluju na proces (promenljive stanja) i izlaze, proces deluje na izlaze a izlazi i proces ne deluju na ulaze!

Moemo razlikovati: - fiziki pristupane veliine, ili merljive;

- nepristupane veliine, ili nemerljive.p p , j

ANALIZA DINAMIKIH SISTEMAANALIZA DINAMIKIH SISTEMA

Dve metode:Dve metode:

1. Analiza u operatorskom domenup(frekventnom)

2 A li t t j2. Analiza u prostoru stanja.

Operatorska metoda analize

M i iti i tMoe se primeniti na sistem:- koji su linearni;- imaju konstantne parametre; i

i j j d l i j d i l ili l j b j l i- imaju jedan ulaz i jedan izlaz, ili u sluaju veeg broja ulaza i izlaza posmatrani sluaj se moe svesti na sluaj sa jednim ulazom i jednim izlazom.

Z i LAPLASOVOJ t f ijiZasniva se na LAPLASOVOJ transformaciji:

( ) ( )( ) ( ) dtetftfpF pt==

0

Umesto promenljive t vreme uvodi se promenljiva p LaplasovUmesto promenljive t vreme uvodi se promenljiva p Laplasov operator, kompleksna promenljiva.

21 +=+= nn jjp

Gde je: priguenje; sopstvena uestanost; l ti i j relativno priguenje;n prirodna uestanost.

Primenom ove metode analize posmatrani sistem se svodi na:

G( )u (p) y (p)G(p)u (p) y (p)

( ) ( )pNpyy( ) ( ) ( )( )( )( )pDpN

pupyp

uypG ===

Funkcija prenosa.

Drugi nain oznaavanjafunkcije prenosa,

Funkcija prenosa svodi se na odnos dva polinoma po

tj p ,

pogodan kod analize sistema sa vie ulaza i izlaza jer eksplicitno pokazuje na koji par

operatoru p.

Funkcija prenosa predstavlja odnos

pokazuje na koji par ulaza i izlaza se odnosi data funkcija.

Laplasovih transformacija izlaza i ulaza.

D(p) polinom naziva se KARAKTERISTINIM POLINOMOMD(p) polinom naziva se KARAKTERISTINIM POLINOMOM.

D(p) = 0 je KARAKTERISTINA JEDNAINA.

Red karakteristinog polinoma je jednak broju promenljivih stanja u dinamikom sistemu.

N j k kt i ti j d i d j i 1Na osnovu reenja karakteristine jednaine pi, gde je i = 1n, mogu se dobiti vrlo vane informacije o ponaanju sistema.

1o Ako je: Re[ pi ] < 0 za svako i = 1 n sistem je stabilan, algebarski j [ pi ] j gkriterijum stabilnosti.

2o Ako je: Im[ pi ] = 0 za svako i = 1 n i ako je sistem stabilan, promene promenljivih u prelaznim reimima bie APERIODINEpromenljivih u prelaznim reimima bie APERIODINE.

3o Ako je: Im[ pi ] 0 makar za jedno i = 1 n i ako je sistem stabilan, promene promenljivih sistema u prelaznim reimima bie PERIODINO PRIGUENE.

( ) 0 R j j d i i j NULAMA SISTEMAN (p) = 0 Reenja ove jednaine nazivaju se NULAMA SISTEMA.

Broj POLOVA je vei ili jednak broju NULA sistema.

DOMINANTNI POL (polovi u sluaju konjugovano kompleksnog para) je pol koji je najblii imaginarnoj osi posmatrano u kompleksnoj ravni, odnosno pol sa najmanjom apsolutnom vrednou realnog dela. DOMINANTNI POL ima najvei uticaj na prelazne procese.

NEDOMINANTNI POLOVI su polovi ija je apsolutna vrednost realnog delaNEDOMINANTNI POLOVI su polovi ija je apsolutna vrednost realnog dela vie od DESET puta vea od apsolutne vrednosti DOMINANTNOG POLA. Uticaj NEDOMINANTNIH POLOVA na prelazne procese je zanemarljiv.

DIPOLI su parovi bliskih polova i nula, posmatrano u kompleksnoj ravni. Uticaj polova koji grade DIPOLE na prelazne procese je zanemarljiv.

Vane relacije:

( ) ( ) tdf ( ) ( ) ( )+=

0 fPpF

dttdf

( )Ft ( ) ( )ppFdttf

t

=

0

( ) ( )ppFtf limlim ( ) ( )

( ) ( )ppFtf

ppFtf

pt

pt

0

0

limlim

limlim

=

=

pt 0

[ jedinina odskona funkcija ] = 1/p

[ jedinina impulsna funkcija ] = 1[ jedinina impulsna funkcija ] = 1

[ ] 21p

t =

ANALIZA U PROSTORU STANJA

Ovo je analiza u VREMENSKOM domenu!

Matematiki aparat koji se koristi u bilo kom vidu ove analize skoro po pravilu ZAHTEVA PRIMENU RAUNARA.

Moe se primeniti na sisteme:

li i li- linearne i nelinearne;

- sa konstantni i promenljivim parametrima;

sa vie ulaza i izlaza- sa vie ulaza i izlaza.

Dva sistema jednaina (DIFERENCIJALNIH I ALGEBARSKIH) koji opisuju ponaanje dinamikog sistema uvoenjem:

VEKTOR STANJA [ ]Tnxxxx ,...,, 21=r

VEKTOR ULAZAVEKTOR ULAZA[ ]Tkuuuu ,...,, 21=

r

VEKTOR IZLAZAVEKTOR IZLAZA[ ]Tmyyyy ,...,, 21=

r

Dobijaju oblik:

( )

( )tuxyy

tuxftx

,,

,,rrrr

rrrr

=

=

( )tuxyy ,,

Potpuno definisanje odreenog reima u sistemu postie se definisanjem poetnih uslova:

( )00 txxrr =

LINEARAN DINAMIKI SISTEM

Matematiki model sistema moe se predstaviti:

nix 1=

klmj

udxcy

ngni

ubxatx

ljlijij

igiigii

1,...,1,...,1,...,1

=+=

==

+=

klljlijij ,...,1=

Odnosno:

uBxAx rrr

+

uDxCy

uBxAt

rrr +=

+=

gde su: A matrica sistema,gde su: A matrica sistema,

B matrica ulaza,

C matrica izlaza,

D nema posebno ime, jer je u veini realnih sistema ova matrica nula matrica.

Grafiki prikaz.

D

ur xr yr+ + +

A

B C u x y+

+

Funkcije prenosa linearnog dinamikog sistema

Kod linearnih sistema mogue je izvesti promene funkcije, kao to smo ve videli.

Primenom Laplasove transformacije na sistem jednaina koje opisujuPrimenom Laplasove transformacije na sistem jednaina koje opisuju dinamiki sistem dobija se:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )DC

puBpxApxIprrr

rrr +=( ) ( ) ( )puDpxCpy rrr +=

Gde je I jedinina matrica.Iz prve jednaine dobija se:

( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )puBAIppx rr = 1

Smenom u drugu jednainu dobija se:( ) [ ( ) ] ( )puDBAIpCpy rr += 1

Funkcija prenosa sistema je:

( ) ( )( ) ( ) ( )pHDBAIpCpupypS =+== 1

gde je: H(p) matrica prenosa, iji su koeficijenti funkcije prenosa od svih ulaza ka svim izlazima.

Ako je D = [ 0 ] tada je:

( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )

( ) ( )

=

==

pFpF

pFpF

AIpBAIpCpHpS

k

k

...

...

detadj

1

..

111

( ) ( ) pFpF mkm ...1

U matrici prenosa:

broj kolona = broju ulaza,broj kolona broju ulaza,

broj redova = broju izlaza.

N th d i i l d j d i i k dNa osnovu prethodnog izraza oigledno je da se u imeniocu svake od funkcija prenosa Fji (p) nalazi polinom:

( ) ( )pDAIp =det( ) ( )

Ovo je zapravo KARAKTERISTINI POLINOM!

KARAKTERISTINA JEDNAINA je:

( ) ( ) 0det == pDAIp

njena reenja su POLOVI SISTEMAnjena reenja su POLOVI SISTEMA.

Iz matematike je poznato: SOPSTVENE VREDNOSTI MATRICE SU REENJA SLEDEE JEDNAINE:

( ) 0det = AI

Prema tome:Prema tome:

POLOVI SISTEMA = SOPSTVENIM VREDNOSTIMA MATRICE SISTEMA

NELINEARNI DINAMIKI SISTEM

sa konstantnim parametrimasa konstantnim parametrima

Kod ovih sistema vri se linearizacija modela u okolini radne take stacionarnog stanja, a zatim se mogu primenjivati metode analize kao kod linearnihstacionarnog stanja, a zatim se mogu primenjivati metode analize kao kod linearnih sistema.

Postupkom linearizacije dobija se linearni model sistema koji VAI samo u okolini posmatrane radne take i kod koga umesto promenljivih figuriu priratajiokolini posmatrane radne take i kod koga umesto promenljivih figuriu prirataji promenljivih.

Kod linearizovanog modela je:

VEKTOR STANJA

[ ]Tnxxxx ,...,, 21=r

VEKTOR ULAZA

[ ]Tkuuuu ,...,, 21=r

VEKTOR IZLAZAVEKTOR IZLAZA[ ]Tmyyyy ,...,, 21=

r

Koordinate take stacionarnog stanja (obeleavaju se dodavanjem indeksa 0) u okolini koje se vri linearizacija, dobijaju se iz sledeih jednaina:

( ) ( )

( )uuxxyyy

uuxxftuuxxf

k

kniknit

==

==

lim

0,...,,,...,,,...,,,...,lim

01001000

010010011

( )

mjni

uuxxyyy knjjjt

==

1,1

,...,,,...,lim 01001000

Koeficijenti matrice sistema su parcijalni izvodi u posmatranoj radnoj taki:Koeficijenti matrice sistema su parcijalni izvodi u posmatranoj radnoj taki:

i

ggi x

fa

=

Koeficijenti matrice ulaza su:

l

ggl u

fb

=

Koeficijenti matrice izlaza su:

i

jji x

yc

=

Koeficijenti matrice D:

l

jjl u

yd

=

NELINEARNI DINAMIKI SISTEM SA PROMENLJIVIM PARAMETRIMA

Kod ovih sistema analiza se sprovodi modelovanjem Danas se to radi saKod ovih sistema analiza se sprovodi modelovanjem. Danas se to radi sa digitalnim raunarima pomou odgovarajuih programskih paketa namenjenih modelovanju.

Ilustracije radi posluimo se primerom.Ilustracije radi posluimo se primerom.

Model sistema prvog reda je:

( ) 221 utzuxax

+= ( )

( )21

21

uquxyt

=

Grafiki prikaz ovog modela na osnovu koga se vri postavljanje modela na raunar je:raunar je:

xu1

x+

z (t)

q (u)

x

a

xu2

t - vreme

xy+

- +-

Oznake koriene na slici:

x mnoa;

sumator;

- integrator;

a konstanta a;

z nelinearna funkcija od vremena;

q nelinearna funkcija od ulaza u ;q nelinearna funkcija od ulaza u2;

nelinearni blokovi.