METROLOGIJA

MERNA NESIGURNOST

Еlektrotehnički fakultet, Beograd

Fizičko-tehnička merenja

Svako ko zaboravi ili zanemari svoju dužnost da svakog punog meseca etalonira etalon jedinice dužine biće kažnjen smrtnom kaznom!

(Propis koji se odnosio na faraonove arhitekte u starom Egiptu pre više od 4000 godina.)

Metrologija je nauka o merenjima. Ona pokriva tri glavne aktivnosti: • definisanje međunarodno usvojenih mernih jedinica

(npr. metra, kao puta koji svetlost pređe u vakuumu za određeni deo sekunde, ili sekunde, koja se definiše kao umnožak perioda EM zraka koji se emituju pri prelazu između dva hiperfina elektronska nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma-133 na 0 K),

• ostvarivanje mernih jedinica naučnim metodama (npr. ostvarivanje metra kroz upotrebu lasera ili sekunde pomoću atomskog sata),

• uspostavljanje lanaca sledivosti utvrđivanjem i dokumentovanjem vrednosti i nesigurnosti merenja (npr. dokumentovana veza između mikrometarskog zavrtnja u majstorskoj radionici ili fakultetskoj laboratoriji i primarne laboratorije za optičku metrologiju dužine).

BIPM: Metrology is the science of measurement, embracing both experimental and theoretical determinations at any level of uncertainty in any field of science and technology.

Metrologija je podeljena na tri vrste, različitog nivoa složenosti: • naučna metrologija se odnosi na organizaciju i razvoj etalona i njihovo

održavanje (najviši nivo), • industrijska metrologija treba da obezbedi adekvatno funkcionisanje

merila koja se upotrebljavaju u industriji, u proizvodnim procesima i postupcima ispitivanja, da bi se obezbedio kvalitet života građanima i za akademska istraživanja,

• zakonska metrologija odnosi se na merenja kada ona utiču na transparentnost ekonomskih transakcija, posebno tamo gde postoji zahtev za zakonsko overavanje merila.

Naučna metrologija je od strane Međunarodnog biroa za tegove i mere (BIPM, Bureau international des poids et mesures) podeljena na 9 oblasti:

• akustika • vreme i frekvencija • dužina • elektricitet i magnetizam • jonizujuće zračenje i

radioaktivnost

• količina supstance • masa • termometrija • fotometrija i radiometrija

Etalon (eng. reference standard, ili kraće samo standard) je materijalizovana mera, referentni materijal, merilo (merni instrument) ili merni sistem koji ostvaruje (realizuje), čuva ili reprodukuje određenu fizičku jedinicu sa mogućnošću prenošenja na druga merna sredstva. Rezultat realizacije definicije neke veličine jeste vrednost jedinice te veličine sa pridruženom mernom nesigurnošću. Etalon, dakle, predstavlja realizaciju definicije neke fizičke veličine, sa navedenom vrednošću veličine i pridruženom mernom nesigurnošću, koja služi kao referenca. Etaloniranje (eng. calibration) je skup postupaka kojima se uspostavlja odnos između vrednosti veličine koju ostvaruje etalon i odgovarajućeg pokazivanja merila koje se etalonira. Etaloniranjem se određuje i merna nesigurnost koja će se pridruživati rezultatima merenja dobijenim etaloniranim merilom. U novijoj metrološkoj praksi u našoj zemlji, kao i u zakonskoj metrološkoj regulativi Republike Srbije, termin kalibracija zamenjen je terminom etaloniranje. Primarni etaloni (eng. primary standards) su etaloni najvišeg metrološkog kvaliteta, što znači da daju vrednosti fizičkih veličina sa najmanjom mernom nesigurnošću. Među primarnim etalonima, vrhovnim u metrološkom pogledu se smatraju međunarodni primarni etaloni koji se nalaze u BIPM-u ili u pojedinim nacionalnim metrološkim institutima.

Nivoi etalona u lancu sledivosti

Laboratorije pri nacionalnim metrološkim institutima koje raspolažu primarnim etalonima zovu se primarne standardne laboratorije. Primarni etaloni u ovim laboratorijama mogu da budu međunarodnog ili nacionalnog karaktera. Vrednost jedinice veličine koju realizuju međunarodni primarni etaloni i merne nesigurnosti ovih etalona određuju se kroz periodična poređenja (interkomparacije) među primarnim standardnim laboratorijama, kao i kroz poređenja sa etalonima BIPM-a. Ova poređenja obezbeđuju konzistentnost etalona na međunarodnom nivou. Primarni etaloni ne koriste se za rutinska etaloniranja, već samo za etaloniranje sekundarnih etalona, koji se nalaze u sekundarnim standardnim laboratorijama. Većina nacionalnih metroloških laboratorija u svetu je sekundarna, a samo manji broj njih su primarne. S obzirom da po kvalitetu realizacije fizičke veličine, tj. po mernoj nesugurnosti sa kojom je mere, savremeni sekundarni etaloni ne zaostaju bitno za primarnim, ono što danas najviše razlikuje primarne laboratorije od sekundarnih jeste rad na razvoju primarnih etalona, tj. ulaganje u naučnu metrologiju. Sekundarne laboratorije pomoću sekundarnih (referentnih) etalona sprovode periodično etaloniranje radnih etalona, koji pripadaju korisnicima u raznim delatnostima i služe im za etaloniranje ostalih merila koje koriste. Ove laboratorije sa zovu još i akreditovane laboratorije za etaloniranje. Opisana hijerarhija prenošenja vrednosti merne jedinice obezbeđuje sledivost rezultata merenja, što znači da se svaki rezultat merenja može dovesti u vezu sa nacionalnim ili međunarodnim etalonima posredstvom neprekinutog lanca poređenja. Svako merilo u ovom lancu ima naznačenu mernu nesigurnost, koja raste idući niz lanac i ulazi u budžet merne nesigurnosti rezultata merenja dobijenog merilom određenog nivoa.

Pri iskazivanju rezultata merenja neke fizičke veličine neophodno je kvantitativno izraziti i kvalitet rezultata, kako bi svako ko dalje raspolaže tim rezultatom mogao nedvosmisleno da proceni njegovu pouzdanost. Samo pod tim uslovima ima smisla porediti rezultate merenja jedan sa drugim ili sa tabličnim vrednostima navedenim u specifikacijama i standardima. Zato je razvijen jedinstven okvir (postupak) koji omogućava da se na objektivan način izrazi kvalitet rezultata merenja, tj. da se izračuna i iskaže njegova nesigurnost. Ovaj okvir izložen je u publikaciji "Guide to the expression of Uncertainty in Measurement" (skraćeno GUM). Postoji nekoliko revizija GUM-a, prva verzija objavljena je 1993. godine. Trenutno aktuelna verzija nalazi se na sajtu Međunarodnog biroa za tegove i mere: http://www.bipm.org/en/publications/guides/

Merna nesigurnost je parametar pridružen rezultatu merenja koji odražava opseg vrednosti koje se mogu pripisati merenoj veličini. Pre uvođenja pojma merne nesigurnosti uz rezultat merenja navođen je podatak o greški. Greška je nalažena kao razlika rezultata merenja i "tačne" vrednosti merene veličine. Za "tačnu" vrednost usvajala se neka tablična vrednost merene veličine. Osim što pojam "tačne" vrednosti nema utemeljenje u realnosti mernog postupka, postojanje "bezgrešne" tablične vrednosti čini merenje izlišnim - zašto bi merili, ako imamo "savršene" tablice!? U stvarnosti, svaka tablična vrednost je takođe rezultat nekog merenja i treba da ima pridruženu mernu nesigurnost. "Tačna", "prava" ili "stvarna" vrednost merene veličine je pojam bez smisla, zbog nemogućnosti sveobuhvatnog definisanja merene veličine - u takvoj definiciji moralo bi da bude navedeno beskonačno mnogo informacija.

Nepotpunost definicije merene veličine je prvi uzrok nesigurnosti koja se uočava pri ponovljenim merenjima - merenjima sprovedenim pod uslovima koji su sa stanovišta definicije merene veličine neizmenjeni.

Iako kažemo da pod ponovljnim merenjima podrazumevamo merenja sprovedena pod neizmenjenim uslovima, pri tome su neizmenjeni samo oni uslovi koji su sadržani u definiciji merene veličine. Uslovi koji nisu obuhvaćeni definicijom merene veličine mogu da se menjaju i zbog uticaja ovih promenljivih uslova rezultati ponovljnih merenja se razlikuju.

Generalno, fluktuacije rezultata ponovljenih merenja koje su posledica nepredvidivih ili stohastičnih promena uslova nazivaju se slučajni efekti. Često neki od uslova pod kojima se merenje obavlja ne odgovaraju onima koji su zadati definicijom merene veličine, jer je tako nešto neostvarivo ili nepraktično, ali se zato rezultat merenja koriguje na ovu razliku u uslovima merenja, kako bi se predvideo rezultat koji bi se dobio da je merenje izvedeno pod uslovima iz definicije.

Generalno, odstupanja uslova merenja od uslova navedenih u definiciji merene veličine koja mogu da se identifikuju i koriguju nazivamo sistematskim efektima. U ovom slučaju nesigurnost se javlja zbog neadekvatne korekcije rezultata na prepoznate sistematske efekte.

Neprepoznati sistematski efekti, koji odražavaju nepotpuno poznavanje izvesnih fizičkih pojava koje utiču na merenje, ne mogu se ni korigovati ni obuhvatiti mernom nesigurnošću. Zbog mogućnosti da postoje neprepoznati sistematski efekti, tj. da postoje fizičke veličine čiji uticaj na merenu veličinu nije uočen, čak ni rezultat sa malom mernom nesigurnošću ne mora biti blizu "tačne" vrednosti merene veličine (koja je nesaznatljiva), što znači da "greška" ovakvog rezultata može da bude velika (mada je i ona nesaznatljiva, jer bi trebalo da odražava razliku rezultata merenja i "tačne" vrednosti). Uncertainty of measurement is an expression of the fact that, for a given measurand and a given result of measurement of it, there is not one value but an infinite number of values dispersed about the result that are consistent with all of the observations and data and one's knowledge of the physical world, and that with varying degrees of credibility can be attributed to the measurand. Rezultat merenja, dakle, predstavlja aproksimaciju ili ocenu vrednosti merene veličine.

Ponovljenim merenjem posmatrane fizičke veličine dobija se skup različitih rezultata (tzv. uzorak): Rezultat jednog merenja je slučajna veličina!

1 2 3

1

...1 nn

s ii

x x x xx x

n n=

+ + + += =∑

1 2 3, , ,..., nx x x x

• Srednja vrednost uzorka (usvojena za ocenu srednje vrednosti rezultata merenja):

• Standardno odstupanje uzorka (tačnije, njegova ocena): ( )2

1 1

ni s

i

x xs

n=

−=

−∑

• Standardno odstupanje srednje vrednosti uzorka (dobija se od n merenja i tih n merenje je takođe slučajno određeno):

( )( )

2

1 1s

ni s

xi

x x ssn n n=

−= =

−∑

Srednja vrednost je pouzdaniji podatak od pojedinačnih merenja!

• Relativno standardno odstupanje (što ima manju vrednost ponovljivost je bolja):

rs

ssx

=

Histogram – grafička predstava rezultata merenja • Histogram prikazuje grupisanje oko srednje vrednosti – omogućuje brzu procenu funkcije

raspodele koja opisuje posmtaranu merenu veličinu. • Posmatra se uzorak: x1, x2, x3,..., xn. • Svi rezultati merenja nalaze se u intervalu [xmin, xmax]. • Određuje se broj intervala histograma m, najčešće je:

• Širina intervala histograma Δx iznosi:

• U svakom intervalu nalazi se rezultata merenja (učestanost intervala). • Svakom intervalu odgovara relativna učestanost:

ixn

max minx xx

m−

∆ =

[ ]2 ili log 1m n m n = = +

ixi

nP

n∆ =

• Gustina relativne učestanosti definiše se sledećom formulom:

• Kumulativni histogram:

ixii

nPp

x n x∆

∆ = =∆ ∆

,1 1

1j

i i

cum i j xj j

p p nn x= =

∆ = ∆ =∆∑ ∑

• Za histogram posmatranog uzorka, kada n → ∞, m → ∞, Δx → dx, ΔPi → P(x) i pi postaje: funkcija gustine verevatnoće, koja se pridružuje datom merenju i opisuje raspodelu rezultata merenja. Verovatnoća nalaženja rezultata merenja u intervalu (x,x+dx) iznosi:

( ) ( )dP xp x

dx=

( ) ( )2

1

1 2 1,2, a u intervalu [ , ] x

x

dP p x dx x x P p x dx= = ∫

• Funkcija raspodele mora biti normirana: ( ) 1p x dx+∞

−∞

=∫

• Srednja vrednost:

• Standardno odstupanje:

( )xp x dxµ+∞

−∞

= ∫

( ) ( )2x p x dxσ µ+∞

−∞

= −∫

UNIFORMNA (RAVNOMERNA) RASPODELA

• Vrednosti merne veličine pripadaju ograničenom skupu (μ–a, μ+a). • Sve vrednosti iz datog opsega su jednako verovatne.

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 1

12

standardno odstupanje: 3

u intervalu oko 57.7 % rezultata

a

a

p x dx p x dx p x a

p xa

as

s

µ

µ

µ

++∞

−∞ −

= = ⋅ =

⇒ =

=

±

∫ ∫

• Primenjuje se kada se raspolaže sa nedovoljno informacija o nekom instrumentu: – npr. proizvođač je naveo da dati instrument ima garantovanu grešku manju od 1.5 %

maksimalne vrednost Um:

0.015 0.00873m m

aa U s U= ⇒ = =

TROUGAONA RASPODELA

• Vrednosti merne veličine pripadaju ograničenom skupu (μ–a, μ+a). • Postoji određeno grupisanje oko srednje vrednosti.

( )( )( ) [ ]

( )( ) ( ]

( )

2

2

1 , ,

1 , ,

standardno odstupanje: 6

u intervalu oko 65 % rezultata

x a x aap x

x a x aa

as

s

µ µ µ

µ µ µ

µ

− − ∈ −= − − + ∈ +

=

±

• Može se primeniti kada se u radu sa određenim instrumentom utvrdilo da postoji grupisanje rezultata oko srednje vrednosti, ali raspodela ne odgovara Gausovoj.

GAUSOVA (NORMALNA) RASPODELA

P(μ±σ) = 2I1(z = 1) ≈ 68% P(μ±2σ) ≈ 95% P(μ±2,56σ) ≈ 99% P(μ±3σ) ≈ 99,7%

• Smenom: xz µσ−

=

dobija se uopštena Gausova raspodela:

( )21

212

zGUp x e

π

−=

što omogućava izračunavanje verovatnoće nalaženja merne veličine u zadatom intervalu na osnovu integrala I1(z) koji se daje tabelarno:

( ) ( )10

z

GUI z p x dx= ∫

( )21

212

x

p x eµ

σ

σ π

− − =

Često se merna veličina y određuje indirektno, na osnovu izmerenih uticajnih fizičkih veličina xi:

1 2 3( , , ,..., )ky f x x x x=

Standardno odstupanje veličine y nalazi se kao: 2

2

1i

k

y xii

ys sx=

∂ = ∂

∑gde predstavlja standardno odstupanje uticajne veličine xi. • Koeficijent korelacije predstavlja vezu između uticajnih veličina xp i xq:

ixs

( )( )( )

, , , ,1

1p qp q

n

p i p s q i q si

x xx x

x x x xr

n s s=

− −

=−

∑

• Što je bliže 1, to je njihova međuzavisnost linearnija. p qx xr

Standardna merna nesigurnost u (eng. uncertainty) = standardno odstupanje s

• Statistička sigurnost (tj. nivo pouzdanosti) koja odgovara intervalu (xs ± u) zavisi od pridružene raspodele: za ravnomernu ona je 57.7%, za trougaonu 65%, za normalnu 68%.

• Standardna kombinovana merna nesigurnost uC određuje se kada se rezultat dobija na osnovu više podataka.

• Svakom podatku koji utiče na nesigurnost pridružuje se odgovarajuća funkcija raspodele, srednja vrednost i standardno odstupanje.

• Proširena merna nesigurnost U, predstavlja proizvod standardne merne nesigurnosti i koeficijenta proširenja (još se zove i faktor pokrivanja) K, koji za razne raspodele i nivoe pouzdanosti ima vrednosti u intervalu od do 3.

U = Ku

• Faktor pokrivanja zavisi od pridružene raspodele i zahtevane statističke sigurnosti, npr. statističkoj sigurnosti od 99,7% i pridruženoj Gausovoj raspodeli odgovara koeficijent proširenja od 3.

3

Standardna merna nesigurnost tipa A jednaka je standardnom odstupanju ocenjenom statistički iz uzorka dobijenog merenjem. Merna nesigurnost tipa A određuje se, dakle, metodom statističke obrade rezultata merenja. MN tipa A postoji samo kada je merenje ponovljeno više puta (n). Standardna MN tipa A pojedinih rezultata merenja:

( )2

1 1

ni s

i

x xu

n=

−=

−∑

Standardna MN tipa A srednje vrednosti:

( )( )

2

1 1

ni s

si

x xuun nn =

−= =

−∑

• U slučaju većeg broja merenja, srednjoj vrednosti se može pridružiti Gausova raspodela, odnosno Studentova za manji broj merenja.

• U praksi se često srednjoj vrednosti pridružuje Gausova raspodela, za n ≥ 10.

Standardna merna nesigurnost tipa B jednaka je standardnom odstupanju dobijenom: • iz funkcije raspodele:

- pretpostavljene na osnovu rezultata ranijih merenja, kao i znanja o ponašanju i osobinama relevantnih materijala i merila; - određene neparametarskim testom hipoteze o raspodeli (što zahteva sprovođenje preliminarnih merenja efekta koji je uzrok nesigurnosti).

• na osnovu specifikacije proizvođača, podataka dobijenih kalibracijom i pregledom merila, referentnih kataloških podataka...

U najvećem broju slučajeva uticajnoj veličini koja unosi tip B nesigurnosti pridružuje se uniformna raspodela, jer ne postoje drugi podaci, a ravnomerna raspodela predstavlja najnepovoljniji slučaj. MN tipa B postoji i kada je merenje izvršeno samo jednom. Type A evaluations of uncertainty based on limited data are not necessarily more reliable than soundly based Type B evaluations.

• Pojedina merenja se dobijaju kao rezultat drugih mernih veličina, npr. snaga potrošača se određuje kao proizvod struje kroz potrošač I i napona na njemu U. U oba merenja određuje se merna nesigurnost uI i uU. Na osnovu tih mernih nesigurnosti određuje se kombinovana merna nesigurnosti snage potrošača uP.

• Kombinovana merna nesigurnost izračunava se kao standardno odstupanje za indirektno merenu veličinu y, na osnovu izmerenih uticajnih fizičkih veličina xi:

22

1i

k

C xii

yu ux=

∂ = ∂

∑

gde predstavlja standardnu mernu nesigurnost uticajne veličine xi, pri čemu se u izračunavanju veličine y učestvuje k mernih veličina xi.

• Prethodna formula se koristi u slučaju kada su uticajne veličine xi nekorelisane, dok se u opštem slučaju koristi Zakon propagacije merne nesigurnosti:

ixu

22

1 1 , 1i i j i j

k k k

C x x x x xii i j i j

yu u r u ux= = ≠ =

∂ = + ∂

∑ ∑ ∑

gde predstavlja koeficijent korelacije veličina xi i xj. i jx xr

PROŠIRENA MERNA NESIGURNOST

Potrebno je utvrditi koeficijent proširenja k, na osnovu pridružene funkcije raspodele Za brzo pridruživanja funkcije raspodele kombinovanoj MN često se primenjuju sledeće aproksimacije: • ukoliko je merna nesigurno jedne uticajne veličine dominanta, njoj pridružena funkcija

raspodele se pridružuje i kombinovanoj MN, • ukoliko se rezultat određuje kao suma nekoliko uticajnih veličina (n ≥ 4), opravdano je

pridružiti Gausovu raspodelu (na osnovu centralne granične teoreme). • ukoliko se rezultat određuje kao suma dve ili tri uticajne veličine koje imaju

pravougaone raspodele, može se pridružiti trougaona raspodela. • čest slučaj je određivanje kominovane merne nesigurnosti na osnovu merne

nesigurnosti tipa A za srednju vrednost nekoliko ponovljenih merenja i tipa B koja potiče od nesigurnosti uređaja korišćenog u tim merenjima. Ukoliko su te dve merne nesigurnosti istog reda veličina, opravdano je kombinovanoj mernoj nesigurnosti pridružiti trougaonu raspodelu.

IZRAČUNAVANJE MERNE NESIGURNOSTI – PRIMER 1

R. broj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti [ºC] 98.18 98.61 99.03 99.56 99.89 100.33 100.42 100.68 101.11 101.54

• Ponovljenim merenjem temperature u jednom termostatu dobijene su vrednosti prikazane u sledećoj tabeli:

• Odrediti temperaturu u termostatu, kao i proširenu mernu nesigurnost tipa A, proširenu mernu nesigurnost tipa B i kombinovanu mernu nesigurnost temperature u datom termostatu. U prospektu proizvođača termometra kojim je merena temperatura u termostatu dat je podatak da je najveća nesigurnost termometra na tom opsegu 0.3 ºC. Obrazložiti učinjene pretpostavke.

• Rešenje: • Temperatura u termostatu određuje se kao srednja vrednost izmerenih vrednosti: Ts

= 99.94 ˚C. • MN tipa A određuje se kao standardno odstupanje srednje vrednosti: ua = 0.34 ˚C, a

proširena merna nesigurnost tipa A iznosi: UA = 3uA = 1.03 ˚C (Gausova raspodela). • Proširena MN tipa B određuje se kao najveća nesigurnost termometra: UB = 0.3 ˚C,

odnosno MN tipa B iznosi: uB = 0.173 ˚C (ravnomerna raspodela).

2 2 0.39 °CC A Bu u u= + =

• MN tipa A i MN tipa B su uvek nekorelisane veličine (r = 0), jer se određuju

različitim metodama. • Uticaj fluktuacije temperature u termostatu i nesigurnosti koje unosi termometar

su aditivne pa se kombinovana merna nesigurnost se određuje po sledećoj formuli (parcijalni izvodi su jednaki 1):

• Kako su standardne MN tipa A i B približnog istog reda veličine kombinovanoj mernoj nesigurnosti možemo pridružiti trougaonu raspodelu, odnosno merna nesigurnost određivanja temperature termostata iznosi:

6 0.96 °CCU u= =

• Određivanje otpornosti potrošača realizovano je merenjem jačina struje kroz potrošač i napona na potrošaču i određivanjem otpornosti na osnovu srednjih vrednosti. Rezultati su dati u tabeli 1. U prospektima proizvođača ampermetra i voltmetra navedeno je da su najveće nesigurnosti ampermetra i voltmetra na korišćenim opsezima 0.01 mA i 0.05 V. Koliko iznosi standardna merna nesigurnost merenja otpornosti potrošača?

R. broj 1 2 3 4 5 6

Ii [mA] 0.51 0.49 0.52 0.53 0.47 0.48

Ui[V] 5.15 5.05 4.95 5.10 4.85 4.90

IZRAČUNAVANJE MERNE NESIGURNOSTI – PRIMER 2

, ,0.1 0.5 mA, V

3 3I B U Bu u= =

( ) ( )6 6

2 2

1 1, ,,

( 1) ( 1)

n n

i sred i sredi i

I A U A

I I U Uu u

n n n n

= =

= =

− −= =

− −

∑ ∑

2 2 2 2, , , , ,, I I A I B U A U A U Bu u u u u u= + = +

2 2 2 22 2 2 2

21

R I U I UR R Uu u u u uI U I I

∂ ∂ = + = + ∂ ∂

• Kako nema drugih podataka, nesigurnosti merenja struje i napona koje navodi proizvođač su tipa B to su proširene merne nesigurnosti. Njima se mora pridružiti ravnomerna raspodela, pa standardne nesigurnosti merenja struje i napona iznose:

• Otpornost predstavlja indirektno merenu veličinu, i standardna merna nesigurnost merenja otpornosti određuje se na osnovu sledećeg izraza:

• gde su Isred i Usred, srednje vrednosti napona i struje. • Kombinovane merne nesigurnosti određivanja srednje vrednosti struje i napona iznose::

• Standardne merne nesigurnosti merenja struje i napona tipa A, određuju se kao standardna odstupanja srednje vrednosti dobijenih rezultata merenja struje i napona:

• Gde vrednosti napona i struje predstavljaju odgovarajuće srednje vrednosti ponovljenih merenja. Zamenom brojnih vrednosti dobijaju se: uR = 79.58 Ω

IZRAČUNAVANJE MERNE NESIGURNOSTI – NOV PRISTUP: PROPAGACIJA RASPODELA PRIMENOM MONTE CARLO METODE

• Funkcionalna zavisnost indirektno merene veličine i uticajnih mernih veličine je poznata: y = f(x1, x2, x3,..., xk).

• Za svaku od uticajnih veličina moguće je proceniti srednju vrednosti, standardno odstupanje i pridružiti joj funkciju raspodele.

• Savremeni računari imaju dovoljnu procesorsku moć, tako da je moguće izvršiti Monte-Karlo simulacija (106 – 109 izbora):

• Odredi se kumulativna funkcija raspodele na osnovu dobijene numeričke simulacije. • Na osnovu kumulativne funkcije raspodele izračunava se proširena MN kojoj odgovara

tražena statistička sigurnosti, najčešće 95%.

IZRAČUNAVANJE MERNE NESIGURNOSTI – PRIMER 3 • Kod termičkih merenja uobičajeno je da se svi ometajući uticaji tretiraju kao aditivni,

odnosno matematički model za proračun kombinovane merne nesigurnosti može se prikazati jednostavnim izrazom:

• gde su:

– tx temperatura termometra koji se kalibriše, – te temperatura etalonskog platinskog termometra, – tR nesigurnost merenja otpornosti platinskog termometra, – td vremenske promene (drift) etalonskog termometra nakon poslednje kalibracije, – tri rezolucija indikatora, – tot nesigurnost usled razlike temperatura među otvorima bloka, – tH efekti histerezisa, – ta nesigurnost usled podužne (aksijalne) nehomogenosti temperature otvora, – tL usled uticaja provođenja toplote, – tvr nesigurnost usled temperaturskih promena tokom vremena kalibracije.

x e R d ri ot H a L vrt t t t t t t t t t= + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂

Uticajnaveličina

Opis Očekivana vrednost [°C]

Proširena MN [mK]

Funkcija raspodele i faktor K

Standardna MN [mK]

te temp. etalonskog termometra 180.10 30 Gausova 2

15

tR Nesigurnost merenja otpornosti 0 20 Gausova 2

10

td drift otpornog termometra 0 40 Ravno. 23

tri Rezolucija indikatora 0 50 Ravno. 29

tot Razlike temperatura između otvora 0 70 Ravno. 40

tH Efekti histerezisa 0 50 Ravno. 29

ta Aksijalna nehomogenost temperaturnog polja

0 250 Ravno. 144

tL Efekti provođenja toplote 0 50 Ravno. 29

tvr Vremenska stabilnost 0 30 Ravno. 17

Očekivana vrednost 180.10 (merni rezultat)

Kombinovana MN 2 161c iu u= =∑

3

3

3

3

3

3

3

179.6 179.7 179.8 179.9 180 180.1 180.2 180.3 180.4 180.5 180.60

0.5

1

1.5

2

2.5

179.6 179.7 179.8 179.9 180 180.1 180.2 180.3 180.4 180.5 180.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• Iz podataka u budžetu dobijena je vrednost standardne kombinovane nesigurnosti uC = 161 mK. • Primenom Monte Karlo metode, numerički se dobija funkcija gustine verovatnoće, kao

obvojnica histograma. • Sa kumulativne funkcije raspodele određuje se tačke na x osi kojima odgovaraju vrednosti na y

osi od 0.025 i 0.975, i dobija se interval poverenja (180.100 ± 0.293) kome odgovara statistička sigurnost (nivo pouzdanosti) od 95%.

• Ekvivalentni koeficijent proširenja (faktor pokrivanja) iznosi K = 293/161 = 1.82.