Elemento Finito (FE)per travi 2D

Giovanni Formica

corso di Calcolo Automatico delle StruttureAA. 2009/2010

Premesse al modello

modello fisicoprincipi di bilancio e dissipazione!Pest ! Pint = 0

Pint ! !̇ " 0

!q · u̇! S · u̇! = 0S · u̇! !Ku! · u̇! = 0

!!!!!!!!!!!!!"

u : cinematica

!u! : deformazioni

q : carichi

S : sollecitazioni

K : rigidezze

modello simulato (discretizzazione)scelta di funzioni di forma per tali da rappresentare bene(cinematica/dinamica discreta, o nodale)

u!̇

carichi ottenuti di conseguenza

Premesse al modello

trave di Eulero-Bernoulli

problema assiale disaccoppiato da quello flessionale

su1[s]

u2[s]u!

2

![s]

u!2

!T ![s] + q2[s] = 0M ![s] + µ[s] + T [s] = 0

!u!

2[s] = ![s]"[s] = !![s]

!M [s] = EJ![s]

EQL

CMP

CST

![s]! 0 & GA! !"# #

u!2[s] = "[s] T [s] = GA!![s]

Premesse al modello

problema assiale disaccoppiato da quello flessionale

su1[s]

u2[s]u!

2

![s]

u!2

!T ![s] + q2[s] = 0M ![s] + µ[s] + T [s] = 0

!u!

2[s] = ![s]"[s] = !![s]

!M [s] = EJ![s]

EQL

CMP

CST

M !![s] + µ![s]! q2[s] = 0

EJ!!![s] + µ![s]! q2[s] = 0

EJu!!!!2 [s] + µ![s]! q2[s] = 0EJu!!!!2 [s] +

Premesse al modello

è almeno una funzione di ordine 4 in u2[s] s

u2[s] = c0 + c1 s + c2 s2 + c3 s3 + c4 s4 + · · ·u!

2[s] = c1 + 2c2 s + 3c3 s2 + 4c4 s3 + · · ·u!!

2 [s] = 2c2 + 6c3 s + 12c4 s2 + · · ·u!!!

2 [s] = 6c3 + 24c4 s + · · ·u!!!!

2 [s] = 24c4 + · · ·

termini che dipendonodai carichi distribuiti

termini che costruiscono un sistema di forze “autoequilibrato”

sono nec. 4 parametri di elemento

Costruzione dell’FE

la scelta della forma di (“funzione di forma”) ènella scelta di 4 parametri nodali

u2[s]

u2[s] tale che

!"""#

"""$

u2[0] = u2(i)u2[!] = u2(j)u!

2[0] = "i

u!2[!] = "j

u2(i)

!i

u2(j)

!j

i j

j

i

s!

Costruzione dell’FE

u2[s] = c0 + c1 s + c2 s2 + c3 s3

![s] ! u!2[s] = c1 + 2c2 s + 3c3 s2

!"""#

"""$

u2[0] = u2(i)u2[!] = u2(j)u!

2[0] = "i

u!2[!] = "j

#!"""""""#

"""""""$

c0 = u2(i)c1 = !i

c2 = !!j + 2!i

"+ 3

u2(j)! u2(i)"2

c3 =!j + !i

"2! 2

u2(j)! u2(i)"3

u2[s] = u2(i) + !i(s!s2

") +

!j + !i

"(!s2 +

s3

") +

u2(j)! u2(i)"2

(3s2 ! 2s3

")

![s] = !i(1! 2s

") +

!j + !i

"(!2s + 3

s2

") + 6

u2(j)! u2(i)"2

(s! s2

")

Costruzione dell’FE - “discretizzazione”

la costruzione del vettore di risposta strutturalee della matrice di rigidezza dell’elemento è nel termine Pint ! !̇

Pint =! !

0M [s]!̇[s] !

! !

0EJu!!

2 [s]u̇!!2 [s]

= u2(i)6EJ

"3

"2u̇2(i)" 2u̇2(j) + "#̇i + "#̇j

#

" u2(j)6EJ

"3

"2u̇2(i)" 2u̇2(j) + "#̇i + "#̇j

#

+ #i2EJ

"2

"3u̇2(i)" 3u̇2(j) + 2"#̇i + "#̇j

#

+ #j2EJ

"2

"3u̇2(i)" 3u̇2(j) + "#̇i + 2"#̇j

#

Costruzione dell’FE - “discretizzazione”

Pint =! !

0M [s]!̇[s] !

! !

0EJu!!

2 [s]u̇!!2 [s]

= u2(i)6EJ

"3

"2u̇2(i)" 2u̇2(j) + "#̇i + "#̇j

#

" u2(j)6EJ

"3

"2u̇2(i)" 2u̇2(j) + "#̇i + "#̇j

#

+ #i2EJ

"2

"3u̇2(i)" 3u̇2(j) + 2"#̇i + "#̇j

#

+ #j2EJ

"2

"3u̇2(i)" 3u̇2(j) + "#̇i + 2"#̇j

#

analogo significato per la matrice di rigidezza

i termini “incolonnati” che moltiplicano

costituiscono il vettore di risposta strutturale,organizzato come (corrispondenti) azioni dinamiche

u̇2(i) u̇2(j) !̇i !̇j

Ti Tj Mi Mj

Costruzione dell’FE - “discretizzazione”

per la parte assiale si considera una funzione di forma lineare:

u1[s] = u1(i) +u1(j)! u1(i)

!s

Pint =! !

0N [s]!̇[s] !

! !

0EAu!

1[s]u̇!1[s]

= u1(j)EA

"(u̇1(j)" u̇1(i))

" u1(i)EA

"(u̇1(j)" u̇1(i))

Nj

i js!

u1 (i)

u1 (j)

j

i

Cinematica/Dinamica della trave

i j

u1 (i) ji

i j j

i

EA

!u1(i)

EA

!u1(i)

!

u2 (j)

EA

!u1(i)

EA

!u1(i)

EA

!u1(i) N

!

EA

!u1(i) N

Pint = · · · = u1(i)EA

!u̇1(i) ! u1(i)

EA

!u̇1(j)

! u1(j)EA

!u̇1(i) + u1(i)

EA

!u̇1(j)

Cinematica/Dinamica della trave

u2(i)

ij

j

i

!

12EJ

!3u2(i) T

12EJ

!3u2(i)

12EJ

!3u2(i)

6EJ

!2u2(i)

6EJ

!2u2(i)

!/2

M6EJ

!2u2(i)

6EJ

!2u2(i)

Cinematica/Dinamica della trave

i j

ji

!

6EJ

!2"i T

6EJ

!2"i

6EJ

!2"i

4EJ

!"i

2!/3

M4EJ

!"i

!i 2EJ

!"i

2EJ

!"i

notazione matriciale

parametri nodali raccolti in un vettore definiti in un sistema riferimento locale all’elemento

ue =

!

""""""#

u1(i)u1(j)u2(i)u2(j)

!i

!j

$

%%%%%%&

il vettore di risposta strutturale è tale chese

la matrice di rigidezza è tale cheKe

Pint = se · u̇e ! u̇!e se

Pint = u̇!e Keue ossia se ! K

eue

u2(i)

!i

u2(j)

!j

i

j

j

i

s !

13

2

Risposta strutturale dell’elemento

se =

!

""""""""""""""""#

!EA! u1(i)

12EJ!3 u2(i) + 6EJ

!2 !i ! 12EJ!3 u2(j) + 6EJ

!2 !j

6EJ!2 u2(i) + 4EJ

! !i ! 6EJ!2 u2(j) + 2EJ

! !j

EA! u1(j)

! 12EJ!3 u2(i)! 6EJ

!2 !i + 12EJ!3 u2(j)! 6EJ

!2 !j

6EJ!2 u2(i) + 2EJ

! !i ! 6EJ!2 u2(j) + 4EJ

! !j

$

%%%%%%%%%%%%%%%%&

Ni

Nj

Tj

Mj

Mi

Ti

Matrice di rigidezza dell’elemento

Ke

=

!

""""""""""""""""#

!EA! " " " " "

" 12EJ!3

6EJ!2 " !12EJ

!36EJ!2

" 6EJ!2

4EJ! " ! 6EJ

!22EJ

!

" " " EA! " "

" ! 12EJ!3 ! 6EJ

!2 " 12EJ!3 ! 6EJ

!2

" 6EJ!2

2EJ! " ! 6EJ

!24EJ

!

$

%%%%%%%%%%%%%%%%&

NB: matrice simmetrica(termini uguali rispetto alla posizione relativa alla diagonale)

Ke! K!

e

noncompare in termini

di deformata

carichi distribuiti > forze nodali equivalenti

effetto dei carichi valutato sulla potenza esterna,mantenendo le stesse funzioni di forma

Pest =! !

0q1[s]u̇1[s] !

! !

0q̄1

"u̇1(i) +

u̇1(j)" u̇1(i)!

s

#

=q̄1!

2u̇1(i) +

q̄1!

2u̇1(j)

esempio di carico costante

i j

q̄1!

2q̄1!

2

!

q̄1!

2N

!/2q̄1!

2

q̄1soluzione

aggiuntiva come forze nodali

(“soluzione di incastro perfetto”)

u1[s]

carichi distribuiti > forze nodali equivalenti

esempio di carico costante

Pest =! !

0q2[s]u̇2[s] !

! !

0q̄2

"u̇2(i) + !̇i(s"

s2

") + · · ·

#

=q̄2"

2u̇2(i) +

q̄2"

2u̇2(j) +

q̄2"2

12!̇i "

q̄2"2

12!̇j

stessa funzione cubica usata prima

i jq̄2!

2q̄2!

2

!

q̄2!

2T

!/2q̄2!

2

q̄2

q̄2!2

12q̄2!2

12

M

q̄2!2

12q̄2!2

12q̄2!2

24

soluzione aggiuntiva come

forze nodali(“soluzione di incastro

perfetto”)

noncompare in termini

di deformatau2[s]

sistema locale > sistema globale

u2(i)

!i

u2(j)

!j

i

j

j

i

s !

1

X

Z

Y

il vettore nella parte dei soli spostamenti nodaliè modificato in funzione dell’assetto dell’asta

ue

!3

2

!""""""#

""""""$

u1(i) = uX(i) cos ! + uZ(i) sin!

u2(i) = !uX(i) sin! + uZ(i) cos !

u1(j) = uX(j) cos ! + uZ(j) sin!

u2(j) = !uX(j) sin! + uZ(j) cos !

locale > globale... in SAP

1

3

2

grafico di Moment 3-3

13

2

grafico di Shear 2-2

sistema locale > sistema globalec = cos !

s = sin! ueue nel sistema globale

matrice di trasformazioneD

e

!

""""""#

u1(i)u2(i)!i

u1(j)u2(j)!j

$

%%%%%%&=

!

""""""#

c s ! ! ! !"s c ! ! ! !! ! 1 ! ! !! ! ! c s !! ! ! "s c !! ! ! ! ! 1

$

%%%%%%&

!

""""""#

uX(i)uZ(i)

!i

uX(j)uZ(j)

!j

$

%%%%%%&

Ue

il vettore dei parametri nodali nel sistema locale diventa nel sistema globale

la matrice di rigidezza diventa

in quanto

in modo duale, se è un vettore di forze nodali nel sistema lcoale, diventa nel sitema globale

in quanto

sistema locale > sistema globale

D!eK

eD

e

ue

Pint = u̇!e Keu̇e =

!D

eU̇e

"!K

e

!D

eUe

"

! U̇!e

!D!

eK

eD

e

"Ue

ue = DeUe

fe

Fe = D!efe

Pest = u̇!e fe !!D

eU̇e

"!fe

! U̇!e

!D!

efe

"

la soluzione di incastro perfetto non ha termini deformativile soluzioni (autoequilibrate) forniscono un andamento del momento lineare

che può essere scomposto in parte simmetrica e antisimmetrica

così che

verso Timoshenko: “modi naturali”

M [s] = Mi +Mj !Mi

!s

M [s] = M1[s] + M2[s]!"

#

M1[s] = Ms

M2[s] = Ma ! 2Mas

!

con

!Ms = (Mj + Mi) /2Ma = (Mj !Mi) /2

Pint =! !

0

M [s]2

EJ!

! !

0

M1[s]2

EJ+

! !

0

M2[s]2

EJ

verso Timoshenko: “modi naturali”

i j

Mi Mj

!/2

M

Mj !Mi

2

Mj !Mi

2

Mj + Mi

2Mj + Mi

2M1

M2

Mj !Mi

!

Mj !Mi

!

Mj !Mi

!

Mj !Mi

!

parte con taglio

verso Timoshenko: “modi naturali”

u2(i)

i

12EJ

!3u2(i)

12EJ

!3u2(i)

ij

j6EJ

!2u2(i)

6EJ

!2u2(i)

i j

ji

6EJ

!2"i

6EJ

!2"i

4EJ

!"i

!i 2EJ

!"i

i j

i

j

i

i

j

j4EJ

!"j

2EJ

!"j

6EJ

!2"j

6EJ

!2"j

!j

u2(j)6EJ

!2u2(j) 6EJ

!2u2(j)

12EJ

!3u2(j)

12EJ

!3u2(j)

Mi =6EJ

!2u2(i) +

4EJ

!"i

! 6EJ

!2u2(j) +

2EJ

!"j

Mj = !6EJ

!2u2(i)!

2EJ

!"i

+6EJ

!2u2(j)!

4EJ

!"j

"Mj + Mi

2# 2EJ

!

!"i ! "j

2

"

Mj !Mi

2# 6EJ

!

!u2(i)! u2(j)

!

+"i + "j

2

"rotazione

rigida

verso Timoshenko: “modi naturali”

Mj !Mi

2

Mj !Mi

2

Mj + Mi

2Mj + Mi

2

Mj !Mi

!

Mj !Mi

!

i j

ji

!j ! !i

2!j ! !i

2

i j

ji

!j + !i

2

!j + !i

2

dinamica simmetrica cinematica simmetrica

dinamica antisimmetrica cinematica antisimmetricaa

meno dellarotazione

rigida

Ms =Mj + Mi

2! 2EJ

!

!"i " "j

2

"

Ma =Mj "Mi

2! 6EJ

!

!"i + "j

2+

u2(i)" u2(j)!

"

verso Timoshenko: “modi naturali”

Mj !Mi

2

Mj !Mi

2

Mj + Mi

2Mj + Mi

2

Mj !Mi

!

Mj !Mi

!

i j

ji

!j ! !i

2!j ! !i

2

i j

ji

!j + !i

2

!j + !i

2

Ms

:=M

a:=

M1[s] = Ms

M2[s] = Ma ! 2Mas

!

!s :=

!a :=

Pint =! !

0

M [s]2

EJ!

! !

0

M1[s]2

EJ+

! !

0

M2[s]2

EJ=

M2s !

EJ+

M2a!

3 EJ

=4 EJ

!

""i " "j

2# $% &"s

'2

+12 EJ

!

""i + "j

2" u2(j)" u2(i)

!# $% &"a

'2

trave di Timoshenko

+! !

0

T2[s]2

GA! =! !

0

(2Ma/!)2

GA! ! 4M2a

GA!!

+

!! "# $12EJ

GA!"2M2

a"

3 EJPint =

! !

0

M [s]2

EJ!

! !

0

M1[s]2

EJ+

! !

0

M2[s]2

EJ=

M2s !

EJ+

M2a!

3 EJ

=4 EJ

!

""i " "j

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'2

+12 EJ

!

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2" u2(j)" u2(i)

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!# $% &ks

"2s +

12 EJ

!# $% &ka

"2a

(1 + !)da Eulero-Bernoulli a

Timoshenkobasta un coefficiente

!$% &&a(1 + !)