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Capıtulo 1
Elementos
Euclides en el libro I de los Elementos comienza dando definiciones. Aquı recogemos algunas
de ellas
Definiciones
1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una lınea es una longitud sin anchura.
3. Los extremos de una lınea son puntos.
4. Una lınea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que estan en ella.
5. Un angulo plano es la inclinacion mutua de dos lıneas que se encuentran una a otra en
un plano y no estan en lınea recta.
6. Cuando las lıneas que comprenden el angulo son lıneas rectas, el angulo se llama rec-
tilıneo.
7. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma angulos adyacentes iguales entre sı,
cada uno de los angulos iguales es recto y la levantada se llama perpendicular a aquella
sobre la que esta.
8. Angulo obtuso es el mayor que un recto.
9. Angulo agudo es el menor que un recto.
10. Un cırculo es una figura plana comprendida por una lınea (llamada circunferencia) tal
que todas las rectas caen sobre ella desde un punto de los que estan dentro de la figura
son iguales entre sı. El punto se llama el centro del cırculo.
11. Un diametro del cırculo es una recta cualquiera trazada a traves del centro y limitado
en ambos sentidos por la circunferencia del cırculo, recta que tambien divide el cırculo en
dos partes iguales.
1
2 CAPITULO 1. ELEMENTOS
12. Figuras rectilıneas son las comprendidas por lıneas rectas, trilateras las comprendidas por
3, cuadrilateras las comprendidas por 4, multilateras las comprendidas por mas de 4 lıneas
rectas.
13. Entre las figuras trilateras, el triangulo equilatero es la que tiene los tres lados iguales,
triangulo isosceles la que tiene dos lados iguales, y el triangulo escaleno la que tiene los
tres lados desiguales.
14. Entre las figuras trilateras, triangulo rectangulo es la que tiene un angulo recto, obtusangu-
lo la que tiene un angulo obtuso, acutangulo la que tiene los tres angulos agudos.
15. De entre las figuras cuadrilateras, cuadrado es la que es equilatera y rectangular, rectangu-
lo la que es rectangular pero no equilatera, rombo la que es equilatera pero no rectangular,
romboide la que tiene los angulos y los lados opuestos iguales entre sı, pero no es equilatera
ni rectangular; y trapecios las demas figuras cuadrilateras.
16. Son lıneas rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongado inde-
finidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.
Despues de las definiciones aparecen los postulados, aquello que se acepta sin justificacion.
Postulados
Lo siguiente se postula
1. Trazar una lınea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto.
2. Prolongar continuamente una lınea recta finita en una lınea recta.
3. Describir un cırculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los angulo rectos son iguales entre sı.
5. Si una lınea recta que cae sobre 2 lıneas rectas forma angulos internos del mismo lado
menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el
lado en que estan los angulos menores que dos rectos.
Las nociones comunes son afirmaciones generales que son naturalmente aceptadas.
Nociones comunes
1. Cosas que son iguales a una misma cosa son tambien iguales entre sı.
2. Si cosas iguales se agregan a cosa iguales, los totales son iguales.
3. Si cosas iguales se restas de cosas iguales los residuos son iguales.
4. Cosas que coinciden entre sı son iguales entre sı.
3
5. El todo es mayor que la parte.
Luego de las Nociones Comunes Euclides enuncia 48 proposiciones. Aqui mencionaremos la
Proposicion I y la Proposicion 2.
Proposicion 1. Sobre una lınea recta finita construir un triangulo equilatero.
Demostracion. Sea AB la lınea recta finita. Con cen-tro A y distancia AB trazar el cırculo (Post 3). Concentro B y distancia AB trazar el cırculo (Post 3).Sea C un punto de encuentro de los cırculos. Trazarlas lıneas rectas CA y CB (Post 1). Entonces AC esigual a AB (Def. 10) y CB es igual a AB (Def 10).Luego AC es igual a CB (Noc. comun 1) y AC, BCy AB son todos iguales entre sı.En esta demostracion falta justificar que los cırculosse cortan.
Proposicion 2. Desde un punto dado trazar una lınea recta igual a una lınea recta dada.
Demostracion. Construir triangulo equilatero ABD(Prop 1). Prolongar DB mas alla de B (Post 2). Pro-longar DA mas alla de A (Post 2). Trazar cırculo decentro B y distancia BC (Post 3). Este cırculo en-cuentra DF en G (sin justificacion). Trazar cırculocon centtro D y distancia DG (Post 3). Este cırculoencuentra DE en L (sin justificacion). Entonces DLes igual a DG (Def 10) y DA es igual a DB (Prop1). POr las Nociones comunes: AL = DL − DA =DG−DB = BG y BG = BC
El postulado 5 de Euclides tiene una version equivalente que dice: “Dada una lınea recta `
y un punto P no en `, existe una, y solamente una, lınea recta que pasa por P y es paralela
con la recta `. Los postulados de Euclides, excluyendo el 5, permiten probar que exist una
paralela. El problema por varios siglos fue probar, sin usar el postulado 5, que la lınea recta
paralela es unica. Lo siguiente es un intento de prueba de la unicidad de la paralela propuesto
por Legendre.
Algunas construcciones que aquı se mencionan aparecen en las “Proposiciones” de Euclides.
Unicidad de la paralela. Legendre
Dada la lınea recta l y un punto P no en ella, desde P se traza la perpendicular PQ a
la lınea l. Sea m la lınea recta perpendicular con la recta PQ en el punto P . Entonces m es
paralela con l. Sea n cualquier lınea recta por P distinta de m y PQ. Se quiere probar que n
corta a l. Sea R un punto en n tal que el rayo de origen P que pasa por R este entre la recta
PQ y m. Sea R′ un punto tal que R y R′ esten a distinto lado de la recta PQ y de modo que los
4 CAPITULO 1. ELEMENTOS
angulos QPR y QPR′ sean iguales. Entonces el punto Q esta en el interior del angulo R′PR.
Como l pasa por Q, entonces l corta el rayo PR′ o el rayo PR. Si l corta el rayp P , entonces l
corta a n y n no es paralela con l. Si l no corta el rayo PR, entonces corta el rayo PR′ en un
punto A. La circunferencia con centro P y distancia PA corta el rayo PR en un punto B, luego
PA es igual a PB. Entonces los triangulos PBQ y PAG son iguales. De aquı que el angulo
AQP y angulo PQB son iguales y como el angulo AQO es recto, entonces el angulo PQB es
recto y por lo tanto los puntos A, Q y B son colineales y entonces B esta en la lınea l. Ası n
no es paralela con l y hay s’olo una paralela a l que pasa por P .
Capıtulo 2
Axiomas de Hilbert
En este capıtulo presentamos los axiomas de Hilbert, que es un sistema completo y no
redundante para la geometrıa de Euclides. Estos axiomas se agrupan en 5 areas:
I. Axiomas de Incidencia.
II. Axiomas de Interposicion.
III. Axiomas de Congruencia.
IV. Axioma de Paralelas.
V. Axioma de Continuidad.
A medida que enunciemos axiomas apareceran propiedades (teoremas) que conocemos sobre
la geometrıa Euclideana. En estos axiomas hay varios terminos no definidos como: punto, lınea,
incidente, congruente.
Todos los puntos y lıneas estan contenidos en un mismo plano.
2.1. Axiomas de Incidencia.
Axioma I-1 Por dos puntos distintos existe una unica lınea incidente con ambos.
Axioma I-2 Cada lınea es incidente con al menos dos puntos.
Axioma I-3 Existen al menos 3 puntos distintos.
Axioma I-4 No todos los puntos son incidentes con una misma lınea.
NOTA. Si un punto P es incidente con una lınea `, escri-biremos P ∈ ` y diremos que P esta en ` o que ` pasa porP .
Denotamos por←→AB a la unica lınea que pasa por los puntos
distintos A y B. Representacion de←→AB
Definicion 2.1. Tres o mas puntos son colineales si todos ellos estan en una misma lınea.
5
6 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
?? Ejemplo 2.1. El siguientes objetos satisfacen los axiomas anteriores: Puntos: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7. Lıneas : L1 = {1, 2, 3}, L2 = {1, 7, 4}, L3 = {1, 6, 5}, L4 = {3, 4, 5}, L5 = {3, 7, 6},L6 = {2, 7, 5}, L7 = {2, 4, 6}. Un punto P es incidente con una lınea L si P pertenece a L.
?? Ejemplo 2.2. Algunas consecuencias de los axiomas de incidencia son:
1. Todo punto es incidente con al menos dos lıneas.
2. Existen al menos 3 lıneas distintas.
3. No todas las lıneas son incidentes con un mismo puntos.
2.2. Axiomas de Interposicion (de orden).
Axioma II-1 Si B es un punto entre los puntos A y C, denotado A−B − C, entonces A,
B y C son puntos distintos y colineales y C −B −A.
Axioma II-2 Por dos puntos distintos cualesquiera A y C existe al menos un punto B en
la lınea por A y C tal que A− C −B.
Axioma II-3 Si A, B y C son puntos distintos y colineales, entonces exactamente uno de
ellos esta entre los otros dos.
Definicion 2.2. Dados dos puntos distintos A y B, el segmento AB es el conjunto formados
por A, B y todo punto C entre A y B.
Axioma II-4 Sea m una lınea que no pasa por A, ni por B ni por C. Entonces si m contiene
un punto en AB , tambien contiene un punto en AC o contiene un punto en BC
m interseca AC o interseca BC
2.3. Consecuencias de los axiomas de interposicion
Lo que sigue prueba que si m interseca uno de los tres segmentos, entonces interseca a otro
pero no a los tres segmentos.
Corolario 1. Sean A, B y C puntos distintos y no colineales y sea m una lınea que no pasa
por A, ni por B ni por C. Entonces si m contiene un punto en AB , tambien contiene un punto
en AC o contiene un punto en BC pero no en ambos.
2.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE INTERPOSICION 7
Demostracion. Si m contiene un punto D en AB, un punto E en AC y un F en BC, entonces
D − E − F y los puntos D, F y B no son colineales. Como←→AC interseca DF en E, entonces
por Ax II-4←→AC interseca DB o BF, pero
←→AC interseca
←→DB en A y A no esta entre D y B,
tambien←→AC interseca
←→BF en C pero C no esta en BF. Luego m interseca AC o BC pero no
ambos.
Corolario 2. Dados dos puntos distintos A y B existe un punto C tal que A− C −B.
Demostracion. Sea D un punto no en←→AB (Ax I-4). Sea E un punto tal que A−D − E (Ax
II-2). Por Ax I-1 existe←→EB y por Ax II-2 existe un punto F tal que E − B − F . Dado que
←→DF interseca a
←→EB en F y F no esta en EB, entonces por Ax II-4
←→DF interseca a AB en
un punto, que llamamos C, luego A− C −B.
Definicion 2.3. Sean A y B puntos distintos y sea m una lınea que no pasa por A ni por B.
Los puntos A y B estan a un mismo lado de m si m no interseca AB. Los puntos A y B
estan a distinto lado de m si m interseca AB.
Teorema 1. Sea A, B y C puntos distintos y no colineales y sea m una lınea que no pasa por
A, ni B ni C.
1. Si A y B estan al mismo lado de m y si A y C estan al mismo lado de m, entonces B y C
estan al mismo lado de m.
2. Si A y B estan al mismo lado de m y si A y C estan a distinto lado de m, entonces B y C
estan a distinto lado de m. 2
Demostracion. 1. Por hipotesis m no interseca AB ni a AC . Para no contradecir Ax II-4 la
lınea m no puede intersecar BC, luego B y C estan al mismo lado de m.
2. Por hipotesis m no interseca AB y m interseca AC, luego por Ax II-4 m interseca AB
o BC y por lo tanto m interseca BC ası B y C estan a distinto lado de m.
8 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
El teorema es tambien cierto cuando A, B y C son colineales.
Corolario 3. Sea A, B y C puntos distintos y colineales y sea m una lınea que no pasa por
A, ni B ni C.
1. Si A y B estan al mismo lado de m y si A y C estan al mismo lado de m, entonces B y C
estan al mismo lado de m.
2. Si A y B estan al mismo lado de m y si A y C estan a distinto lado de m, entonces B y C
estan a distinto lado de m.
Demostracion. Sea D un punto que no esta en←→AB ni en m. Suponemos que A y D estan a
un mismo lado de m.
Caso 1. Considerando la posicion de A y D respecto a m y las hipotesis sobre A, B y C en
el caso 1, por el Teorema 1 se obtiene informacion sobre las posiciones de B y D, C y D y por
el mismo teorema se concluye que B y C estan al mismo lado de m.
Caso 2. Las hipotesis y el Teorema 1 implican que D y C estan a distintos lado de m y D
y B estan al mismo lado de m. Luego por Teorema 1 B y C estan a distinto lado de m.
El Corolario 3 permite probar los siguientes.
Corolario 4. Si A−B − C y A− C −D, entonces B − C −D y A−B −D.
Corolario 5. Si A−B − C y B − C −D, entonces A−B −D y A− C −D.
Definicion 2.4. Dados dos puntos distintos A y B el rayo de origen A que pasa por B,
denotado−→AB , es el conjunto formado por los puntos de AB y por todo punto C tal que
A−B − C.
Definicion 2.5. Dos rayos−→AB y
−→AC son opuestos si B − A − C y A es el unico punto
comun de−→AB y
−→AC.
Teorema 2. Sean C − A− B y sea ` la lınea que pasa por A,C y B. Si P es un punto en `,
entonces P esta en−→AC o P esta en
−→AB. 2
Demostracion. Si P no esta en−→AB , entonces P −A−B. Por Ax II-3 ocurre una y solo una de
P −C −A, C −P −A o C −A−P . Si ocurre una de las dos primeras, entonces P esta en−→AC.
Si C −A− P , sea m una lınea por A distinta de `. Entonces P y B estan a distinto lado de m
y C y P estan a distinto lado de m, luego C y B esta al mismo lado de m por Corolario 3 pero
m interseca BC en A ası que B y C estan a distinto lado de m, lo cual es una contradiccion.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIAS 9
Definicion 2.6. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el angulo de vertice A es el punto
A y los rayos−→AB y
−→AC . Estos rayos se llaman lados del angulo. El angulo se denota ∠A o
∠CAB o ∠BAC.
Definicion 2.7. Dos angulos son suplementarios si tiene un lado comun y los otros dos lados
son rayos opuestos.
∠ABC y ∠CBD son suplementarios
2.4. Axiomas de Congruencias
Otro concepto no definido es el de congruencia. El sımbolo de congruencia es ∼=.
Este grupo de axiomas se refiere a segmentos, angulos y triangulos.
Definicion 2.8. Dados tres puntos no colineales A,B y C, el triangulo 4ABC esta formado
por los puntos A, B, C y los segmentos AB, BC y CA. Los punto A, B y C se llaman
vertices, los segmentos AB, BC y CA se llaman lados. Los angulos ∠ABC , ∠CBA y
∠CAB se llaman angulos (interiores) del triangulo.
Los axiomas de congruencia son
Axioma III-1 Si A y B son puntos distintos y si A′ es cualquier punto, entonces en cada
rayo de vertice A′ existe un unico punto B′ tal que B′ 6= A′ y AB ∼= A′B′.
Axioma III-2 Si A′B′ ∼= AB y A′′B′′ ∼= AB , entonces A′B′ ∼= A′′B′′ . Ademas cada
segmento es congruente con si mismo.
Axioma III-3 Si A−B−C, A′−B′−C ′, AB ∼= A′B′ y BC ∼= B′C ′, entonces AC ∼= A′C ′
.
Axioma III-4 Dado cualquier angulo ∠ABC y cualquier rayo−→
B′C ′, existe un unico rayo−→B′A′ en cada lado de
←→B′C ′ tal que ∠A′B′C ′ ∼= ∠ABC.
Axioma III-5 Si ∠A ∼= ∠B y ∠A ∼= ∠C, entonces ∠B ∼= ∠C. Ademas cada angulo es
congruente con si mismo.
Axioma III-6 Si los triangulos 4ABC y 4A′B′C ′ son tales que AB ∼= A′B′, AC ∼= A′C ′
y ∠BAC ∼= ∠B′A′C ′ entonces ∠ABC ∼= ∠A′B′C ′.
10 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
2.5. Congruencia de triangulos
Aplicaremos los axiomas enunciados hasta ahora a la congruencia de triangulos.
Definicion 2.9. Dos triagulos4ABC y4A′B′C ′ son congruentes si hay una corresponden-
cia uno a uno entre sus vertices, A↔ A′, B ↔ B′ y C ↔ C ′, tal que AB ∼= A′B′, BC ∼= B′C ′,
CA ∼= C ′A′ y ∠A ∼= ∠A′, ∠B ∼= ∠B′, ∠C ∼= ∠C ′.
El Ax III-6 implica la congruencia Lado-Angulo-Lado de triangulos.
Teorema 3 (LAL). Si los triangulos 4ABC y 4A′B′C ′ son tales que AB ∼= A′B′ , AC ∼=A′C ′ y ∠BAC ∼= ∠B′A′C ′ entonces 4ABC ∼= 4A′B′C ′. 2
Demostracion. Al cambiar B por C y C por B, B′ por C ′ y C ′ por B′ en Ax III-6 las hipotesis
del axioma continuan validas pero ahora la conclusion es ∠ACB ∼= ∠A′C ′B′. Falta probar que
BC ∼= B′C ′ .
Por Ax III-1 existe un punto C ′′ en−→B′C ′ tal que BC ∼= B′C ′′ . Si C ′′ 6= C ′, entonces
∠BAC ∼= ∠B′A′C ′′ por Ax III-6 (pues AB ∼= A′B′, BC ∼= B′C ′, ∠B ∼= ∠B′ ). Pero por
hipotesis ∠BAC ∼= ∠B′A′C ′ , lo cual contradice la unicidad en Ax III-4.
Teorema 4 (Triangulo isosceles). Si en 4ABC se cumple AB ∼= AC entonces ∠ABC ∼=∠CAB. 2
Demostracion. Por Ax III-5 ∠BAC ∼= ∠CAB y por hipotesis AB ∼= AC y AC ∼= AB luego
∠ABC ∼= ∠ACB por Ax III-6.
Teorema 5 (ALA). Si los triangulos 4ABC y 4A′B′C ′ son tales que ∠B ∼= ∠B′, ∠C ∼=∠C ′ y BC ∼= B′C ′ entonces 4ABC ∼= 4A′B′C ′. 2
Demostracion. Sea A′′ en−→B′A′ tal que BA ∼= B′A′′ Como BC ∼= B′C ′ y ∠ABC ∼= ∠A′′B”C ′
entonces ∠BCA ∼= ∠B′C ′A′′ por Ax III-6. Si A′ 6= A′′ se contradice Ax III-4.
Una consecuencia del Teorema ALA es
2.5. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 11
Corolario 6. [Recıproco del triangulo isosceles] Si en 4ABC se cumple ∠ABC ∼= ∠ACB
entonces AB ∼= AC .
Para probar otros teoremas sobre congruencia de triangulos necesitamos algunos teoremas sobre
angulos.
Teorema 6. Los suplementos de angulos congruentes son congruentes. 2
En la figura A−B −D yA′ −B′ −D′, y∠ABC ∼= ∠A′B′C ′
Demostracion. Sean ∠ABC y ∠A′B′C ′ dos angulos congruentes. Sean D y D′ puntos tales que
A − B −D y A′ − B′ −D′. Suponemos CB ∼= C ′B′, AB ∼= A′B′ y BD ∼= B′D′. Entonces
4ABC ∼= 4A′B′C ′ por LAL y como consecuencia AC ∼= A′C ′ y ∠CAB ∼= ∠C ′A′B′. Dado
que AB ∼= A′B′ y BD ∼= B′D′ entonces AD ∼= A′D′ por Ax III-3. Luego 4CAD ∼= 4C ′A′D′
por LAL de donde CD ∼= C ′D′ y ∠CDB ∼= ∠C ′D′B′ lo cual implica que 4CDB ∼= 4C ′D′B′
por LAL luego ∠ABD ∼= ∠A′B′D′.
Definicion 2.10. Dos angulos son opuestos por el vertice si tiene el mismo vertice y los
lados de uno son rayos opuestos de los lados del otro.
En la figura ∠CBD y ∠ABG sonopuestos por el vertice. Tambien∠ABC y ∠DBG son opuestos por elvertice.
Teorema 7. Si dos angulos son opuestos por el vertice, ellos son congruentes. 2
Demostracion. Los angulos tiene un suplemento comun, luego son congruentes por Teorema 6.
Definicion 2.11. Un punto D esta en el interior de un angulo ∠CAB , D 6= A, si B y D
estan al mismo lado de←→AC y C y D estan al mismo lado de
←→AB.
En la figura el punto D esta enel interior de ∠CAB.
12 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
Lema 1. Si D esta en el interior de ∠CAB y X es un punto en−→AD , X 6= A, entonces X
esta en el interior de ∠CAB.
Demostracion. X y D estan al mismo lado de←→AB (pues
←→AB no interseca XD.) Tambien C
y D estan al mismo lado de←→AB, luego X y C estan al mismo lado de
←→AB por Teorema 1.
Analogamente X y B estan al mismo lado de←→AC.
Lema 2. Si C − A − E y B − A −D y P es un punto en el interior de ∠CAB, entonces P
no esta en el interior de ∠CAD, ni de ∠DAE ni de ∠BAE .
En la figura C −A− E, D −A−B.P esta en el interior de ∠CAB.
Demostracion. Si P esta en el interior de ∠CAD, entonces P y D estan al mismo lado de←→CA.
Tambien P y B estan al mismo lado de←→CA, luego B y D estan al mismo lado de
←→AC por
Teorema 1, pero D − A − B ası que estan a distinto lado de←→AC. Si P esta en el interior de
∠DAE, P y D estan al mismo lado de←→AE =
←→CA, pero otra vez B y D estan al mismo lado
de←→AC. Si P esta en el interior de ∠EAB, P y E estan al mismo lado de
←→AB, tambien P y
C estan al mismo lado de←→AB, luego C y E estan al mismo lado de
←→AB por Teorema 1, pero
C y E estan a distinto lado de←→AB.
Lema 3. Sean C − A − E, B − A − D y sea P un punto en el interior de ∠CAB. Si X es
un punto en←→AP, X 6= A, entonces X esta en el interior de ∠CAB o esta en el interior de
∠DAE.
Demostracion. Si X ∈−→AP entonces X esta en el interior de ∠CAB por 1. Si X no esta en
−→AP
entonces X − A− P . Ahora P y B estan al mismo lado de←→AC. B y D estan a distinto lado
de←→AC , luego P y D estan a distinto lado de
←→AC por Teorema 1. Tambien X y P estan a
distinto lado de←→AC y por Teorema 1 X y D estan al mismo lado de
←→AC. Analogamente se
prueba que X y E estan al mismo lado de←→DA
Teorema 8 (Crossbar). Si D es un punto en el interior de ∠CAB, entonces el rayo−→AD
interseca CB. 2
Demostracion. Sea E tal que E − A − B. Por Ax II-4,←→AD interseca EC o CB. Si
←→AD
interseca EC en un punto G, entonces es facil comprobar que G esta en el interior de ∠EAC,
pero G esta en←→AD lo que contradice el lema anterior.
2.5. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 13
Definicion 2.12. Dados los angulos ∠ABC y ∠A′B′C ′ , el angulo ∠ABC es menor que
∠A′B′C ′ si existe un punto E en el interior de ∠A′B′C ′ tal que ∠ABC ∼= ∠A′B′E o
∠ABC ∼= ∠C ′B′E. Notacion: ∠ABC < ∠A′B′C ′.
Lema 4. Si ∠ABC < ∠A′B′C ′ entonces existe un punto A′′ tal que A esta en el interior de
∠A′′BC y ∠A′′BC ∼= ∠A′B′C ′
Demostracion. Sea D′ un punto en el interior de ∠A′B′C ′ tal que ∠D′B′C ′ ∼= ∠ABC. Sea H ′
el punto donde−→B′D′ interseca A′C ′. Sea H un punto en
−→BA tal que BH ∼= B′H ′ Suponemos
BC ∼= B′C ′ Entonces4HBC ∼= 4H ′B′C ′ por LAL, luego HC ∼= H ′C ′ y ∠BCH ∼= ∠B′C ′H ′.
Sea A′′ tal que C−H−A′′ y HA′′ ∼= H ′A′ Entonces CA′′ ∼= C ′A′ y 4BCA′′ ∼= 4B′C ′A′ por
LAL. Luego ∠A′′BC ∼= ∠A′B′C ′. Es claro que A esta en el interior de ∠A′′BC pues A esta
en−→BH
Definicion 2.13. Un angulo recto es un angulo que es congruente con su suplemento.
Teorema 9. Si ∠ABC y ∠A′B′C ′ son rectos, entonces ellos son congruentes. 2
Demostracion. Si no son congruentes, suponemos que ∠ABC es menor ∠A′B′C ′. Sea D un
punto tal que C−B−D y sea E un punto en el interior de ∠ABD tal que ∠EBC ∼= ∠A′B′C ′.
Notar que ∠ABD es mayor que ∠EBD. Como los suplementos de angulos congruentes son con-
gruentes, ∠EBD es congruente con el suplemento de ∠A′B′C ′ que es congruente con ∠A′B′C ′,
luego y ∠EBD ∼= ∠A′B′C ′ , pero ∠EBD <∠ABD y ∠ABD ∼= ∠ABC luego ∠A′B′C ′ es
menor que ∠ABC lo que contradice la hipotesis ∠ABC menor que ∠A′B′C ′.
Lema 5 (resta de segmentos). Si A−B−C, A′−B′−C ′. AB ∼= A′B′ y AC ∼= A′C ′ entonces
BC ∼= B′C ′ .
Lema 6 (Resta de angulos). Sea D un punto en el interior de ∠CAB y sea D′ un punto en
el interior de ∠C ′A′B′, Si ∠CAB ∼= ∠C ′A′B′ y ∠DAB ∼= ∠D′A′B′ entonces ∠CAD ∼=∠C ′A′D′
Lema 7 (Suma de angulos). Sea D un punto en el interior de ∠CAB y sea D′ un punto en
el interior de ∠C ′A′B′. Si ∠CAD ∼= ∠C ′A′D′ y ∠DAB ∼= ∠D′A′B′ entonces ∠CAB ∼=∠C ′A′B′.
14 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
Demostracion. Si ∠CAB no es congruente con ∠C ′A′B′, suponemos ∠C ′A′B′ menor que
∠CAB. Sea C ′′ un punto tal que C ′ esta en el interior de ∠C ′′A′B′ y ∠C ′′A′B′ ∼= ∠CAB.
Dado que ∠DAB ∼= ∠D′A′B′ y ∠CAB ∼= ∠C ′′A′B′ entonces por Lema 6 ∠CAD ∼= ∠C ′′A′D′
pero tambien ∠CAD ∼= ∠C ′A′D′, luego ∠C ′′A′D′ ∼= ∠C ′A′D” de donde−→A′C ′ =
−→A′C ′′ pero C ′
esta en el interior de ∠C ′′A′B′.
Definicion 2.14. El punto medio de un segmento AB es un punto E tal que A − E − B y
AE ∼= EB.
Teorema 10. Dado AB existe un unico punto E que es el punto medio de AB. 2
Demostracion. Sean D y D′ puntos a distinto lado de←→AB tales que ∠DAB ∼= ∠D′BA y
DA ∼= D′B Entonces4DAB ∼= 4D′BA por LAL. De aquı que DB ∼= D′A y ∠DBA ∼= ∠D′AB
. Sea E el punto donde←→DD′ interseca a AB. Como ∠DAB ∼= ∠D′BA y ∠BAD′ ∼= ∠ABD,
entonces ∠DAB ∼= ∠D′BD y 4DAD′ ∼= 4D′BD por LAL. Luego ∠AD′D ∼= ∠BDD′ y
4AD′E ∼= 4BDE por ALA. De aqui AE ∼= BE. No es difıcil comprobar que el punto medio
es unico.
(Notar que B esta en el interior de ∠DAD′, luego−→AB interseca DD′ en un punto que
llamamos E. Tambien A esta en el interior de ∠DBD′, luego−→BA interseca a DD′ en un punto
que debe ser E. Como E esta en−→AB y en
−→BA, entonces E esta en AB. )
Definicion 2.15. Un angulo es un angulo externo a un triangulo si el es el suplemento de
un angulo del triangulo.
Teorema 11 (Teorema del angulo externo). Dado 4CAB sea D un punto tal que A−B−D.
Entonces ∠DBC es mayor que ∠ACB y mayor que ∠CAB. 2
Demostracion. Sea E el punto medio de CB, y sea F un punto tal que A−E−F y AE ∼= EF.
Notar que F esta en el interior de ∠CBD. Como ∠AEC ∼= ∠FEB pues son opuestos por el
vertice entonces 4CEA ∼= 4BEF por LAL luego ∠ACB ∼= ∠EBF y ∠ACB es menor que
∠CBD. En forma analoga se prueba que ∠CBD es mayor que ∠CAB.
2.6. DESIGUALDADES 15
Teorema 12 (LLL). Si los triangulos 4ABC y 4A′B′C ′ son tales que AB ∼= A′B′, BC ∼=B′C ′ y CA ∼= C ′A′ entonces 4ABC ∼= 4A′B′C ′. 2
Demostracion. Sea C ′′ un punto tal que C ′ y C ′′ estan a distinto lado de←→A′B′, A′C ′′ ∼= AC y
∠C ′′A′B′ ∼= ∠CAB . Entonces 4ABC ∼= 4A′B′C ′′ por LAL luego CA ∼= C ′′A′ y CB ∼= C ′′B′
En 4C ′′A′C ′ se tiene que C”A′ ∼= C ′A′ luego ∠A′C ′′C ′ ∼= ∠A′C ′C ′′ Tambien en 4C ′C ′′B′ se
tiene ∠B′C ′′C ′ ∼= ∠B′C ′C ′′ luego ∠B′C ′′A′ ∼= ∠B′C ′A′ y por ALA 4A′C ′′B′ ∼= 4A′C ′B′ y
ya que 4ABC ∼= 4A′B′C ′′ entonces 4ABC ∼= 4A′B,C ′
Teorema 13 (AAL). Si los triangulos 4ABC y 4A′B′C ′ son tales que ∠B ∼= ∠B′, ∠A ∼= ∠A′
y BC ∼= B′C ′ , entonces 4ABC ∼= 4A′B′C ′. 2
Demostracion. Si AB no es congruente con A′B′, suponemos que existe A′′ tal que B′−A′−A′′
y BA ∼= B′A′′ (o existe A′′ tal que B −A−A′′, B′A′ ∼= BA′′ ). Entonces 4ABC ∼= 4A′′B′C ′
por LAL, luego ∠BAC ∼= ∠B′A′′C ′ pero tambien ∠BAC ∼= ∠B′A′C ′ El angulo ∠B′A′C ′ es
un angulo externo al triangulo 4A′A′′C ′ y por teorema del angulo externo, ∠B′A′C ′ es mayor
que ∠A′A′′C ′, pero ambos angulos son congruentes con ∠BAC.
2.6. Desigualdades
Teorema 14. Dado un angulo ∠BAC, existe un unico rayo−→AD tal que D esta en el interior
de ∠BAC y ∠BAD ∼= ∠CAD. 2
Demostracion. Suponemos BA ∼= AC. Sea D el punto medio de BC. Entonces BD ∼= CD y
∠ABD ∼= ∠ACD por el teorema del triangulo isosceles. Luego 4BAD ∼= 4CAD por LAL, de
donde ∠BAD ∼= ∠CAD.
Definicion 2.16. La bisectriz de un ∠BAC es el unico rayo−→AE tal que ∠BAE ∼= ∠CAE y
E esta en el interior de ∠BAC.
Teorema 15. Si en 4ABC se verifica que ∠B es mayor que ∠A, entonces AC es mayor que
BC. 2
Demostracion. Si BC es mayor que AC, sea A′′′′ tal que C − A′′ −B′′ y Ac ∼= CA′′. Entonces
∠CAA′′ ∼= ∠CA′′A. dado que A′′ esta en el interior de∠CAB, entonces ∠CAB es mayor que
∠CAA′′ Tambien por el teorema del angulo externo ∠CA′′A es mayor que ∠CBA pero entonces
∠CAB es mayor que ∠CBA, que contradice la hipotesis
Teorema 16 (Desigualdad triangular). Dado 4ABC, sea D un punto tal que A − B − D y
BD ∼= BC. Entonces AD es mayor que AC . Esto es, AB +BC > AC. 2
16 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
Demostracion. El triangulo 4CBD es isosceles , luego ∠BCD ∼= ∠BDC. tambien B es un
punto en el interior de ∠ACD, luego ∠ACB es mayor que ∠BCD y ∠ACD es mayor que
∠ADC, luego AD es mayor que AC
Teorema 17. Si los triangulos 4ABC y 4DEF son tales que CA ∼= DF , AB ∼= DE y ∠A
es mayor que ∠D, entonces CB es mayor que EF. 2
Demostracion. Como ∠A es mayor que ∠D, existe un punto F ′ en el interior de ∠A tal que
∠F ′AB ∼= ∠FDE . Suponemos que AF ′ ∼= DF. Luego 4F ′AB ∼= 4FDE y F ′B ∼= FE. Sea
G el punto en CB donde la bisectriz de ∠CAF ′ interseca CB. Entonces 4CAG ∼= 4F ′AGpor LAL luego CG ∼= GF ′ Por la desigualdad triangular, F ′B es menor que BG mas Gf, y ya
que CG ∼= GF ′, y CG mas BG es congruente con CB, entonces CB es mayor que F ′B que es
congruente con FE.
Teorema 18. Si los triangulos 4ABC y 4DEF son tales que CA ∼= DF, AB ∼= DE y CB
es mayor que FE entonces ∠A es mayor que ∠D. 2
2.7. Lıneas perpendiculares, paralelas
Definicion 2.17. Dos lıneas s ym son perpendiculares, denotado s ⊥ m, si ellas se intersecan
formando un angulo recto.
Teorema 19. Dada una lınea m y un punto P que no esta en m, existe un unico punto Q en
m tal que la lınea←→PQ es perpendicular con m. 2
Teorema 20. Dada una lınea m y un punto P en m, existe una unica lınea que interseca a m
en P y que es perpendicular con m. 2
Definicion 2.18. Dado un segmento AB , la mediatriz de AB es la unica lınea perpendicular
con←→AB que pasa por el punto medio de AB.
Lema 8. Un punto P esta en la mediatriz de AB si, y solo si, PA ∼= PB.
2.8. CUADRILATEROS DE SACCHERI 17
Definicion 2.19. Dos lıneas s y t son paralelas, denotado s ‖ t, si ellas no se intersecan. Toda
lınea es paralela con ella misma.
Teorema 21. Sean s, t y m lıneas distintas. Si m ⊥ t y s ⊥ t, entonces m ‖ s. 2
2.8. Cuadrilateros de Saccheri
Definicion 2.20. Sean A,B,C,D puntos distintos tales que A y B estan al mismo lado de←→CD,
B y C estan al mismo lado de←→AD, C y D estan al mismo lado de
←→AB y D y A estan al mismo
lado de←→BC. El conjunto union de los segmentos AB, BC, CD y DA se llama cuadrılatero
y se denota 2ABCD. Los angulos ∠A, ∠B, ∠C y ∠D son los angulos del cuadrilatero.
Definicion 2.21. Un cuadrilatero 2ABCD es un cuadrilatero de Saccheri si ∠A y ∠D son
rectos y AB ∼= CD. El segmento AD se llama base y BC se llama lado superior. Los angulos
∠B y ∠C se llaman angulos superiores.
Teorema 22. Sea 2ABCD un cuadrilatero de Saccheri de base AD y sea E un punto tal que
A − D − E y AD ∼= DE. Sea F un punto tal que F y C estan al mismo lado de←→AE,
←→FE
perpendicular con←→AE y FE ∼= CD. Entonces BC ∼= CF. 2
Demostracion. 4BAD ∼= 4CDE por LAL luego BD ∼= CE y ∠ADB ∼= ∠DEC y como ∠ADC
y ∠DEF son rectos, entonces ∠BDC ∼= ∠CEF. Ahora 4BDC ∼= 4CEF por LAL y de ahı
BC ∼= CF.
Teorema 23. Sean P1, P2, . . . , Pn puntos distintos. Entonces
P1Pn ≤ P1P2 +P2P3 +· · · +Pn−1Pn. 2
Demostracion. Por induccion. Si P1, P2, P3 son colineales, entonces P1P3 ≤ P1P2 +P2P3 , y si
no son colineales entonces es cierto por la desigualdad triangular. Si es cierto para n puntos,
entonces P1Pn+1 ≤ P1Pn +PnPn+1 y por induccion el enunciado es cierto.
Teorema 24. Sea 2ABCD un cuadrilatero de Saccheri de base AD y lado superior BC.
Entonces AD ≤ BC. 2
Demostracion. Sean A1 = A, B1 = B, B2 = C, A2 = D. Sean A1, A2, . . . , An, An+1 puntos
colineales tales que AiAi+1∼= Ai+1Ai+2 para 1 ≤ i < n − 1. Sean B1, B2, . . . , Bn+1 puntos,
todos al mismo lado de←→A1A2, y tales que BiAi
∼= B1A1 y←→BiAi perpendicular con
←→A1A2.
Entonces BiBi+1∼= Bi+1Bi+2 para 1 ≤ i ≤ n − 1 por el teorema anterior. Por teorema 23
A1An+1 ≤ A1B1 +B1B2 + . . . + BnBn+1 +Bn+1An+1 , luego nA1A2 ≤ 2A1B1 +nB1B2 .
Dividiendo por n y tomado el lımite para n, se tiene A1A2 ≤B1B2.
18 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
Teorema 25. Sea 2ABCD un cuadrilatero de Saccheri de base AD. Entonces
1. AC ∼= BD
2. ∠B ∼= ∠C
3. ∠BDC ≥ ∠ABD. 2
Demostracion. 4BAD ∼= 4CDA por LAL luego BD ∼= AC. Tambien 4BCA ∼= 4CBD por
LLL, luego ∠ABC ∼= ∠DCB. En los triangulos 4ABD y 4BDC se tiene que AD es menor o
igual que BC, luego ∠BDC es mayor o igual que ∠ABD.
Lema 9. Si un angulo de un triangulo es recto, los otros angulos son agudos.
Teorema 26. Sea 4BAD un triangulo rectangulo con ∠A recto. Entonces ∠ABD +∠ADB
es menor o igual que un angulo recto. 2
Demostracion. Sea C un punto tal que←→CD ⊥
←→AD, C y B al mismo lado de
←→AD y CD ∼= AB.
Entonces 2ABCD es un cuadrilatero de Saccheri luego ∠ABD ≤∠BDC y ∠ADB +∠ABD ≤∠ADB + ∠BDC ∼= ∠ADC que es un angulo recto.
Teorema 27. Sea 4ABC tal que AB es mayor o igual que BC y que CA. Sea D en←→AB tal
que←→CD es perpendicular con
←→AB Entonces A−D −B. 2
Demostracion. Si D = A entonces BC es mayor que los otros dos lados, lo cual es falso. Si
D −A−B, entonces en 4CDB el angulo ∠CDB es recto, luego BC es mayor que DB y este
es mayor que AB, lo que es falso. Analogamente se prueba que D 6= B y que A−B −D no es
posible.
Teorema 28. La suma de los angulos de un triangulo es menor o igual que dos rectos. 2
Demostracion. Sea 4ABC cualquier triangulo. Suponemos que AC es mayor o igual que lso
otros lados. por el teorema anterior, sea D tal que A −D − C y←→BD perpendicular con
←→AC.
entonces ∠A +∠ABD ≤ un recto y ∠C +∠DBC ≤ un recto. Como ∠ABC =∠ABD +∠DBC
entonces ∠A +∠ABC +∠C es menor o igual que dos rectos.
Teorema 29. Sea 2ABCD un cuadrilatero de Saccheri de base AD. Entonces
(i) los angulos ∠B y ∠C son ambos agudos o ambos rectos.
(ii) Las lıneas←→AD y
←→BC son paralelas. 2
Nota. Escribiremos Hipotesis H en el enunciado de un lema o teorema para indicar que en
el suponemos que la suma de los angulos de un triangulo cualquiera es 2 rectos. Es claro que
bajo esta hipotesis,
a) Todo cuadrilatero de Sccheri es un rectangulo.
b) Si tres angulos de un cuadrilatero son rectos, entonces el cuarto tambien lo es.
2.8. CUADRILATEROS DE SACCHERI 19
Teorema 30. Suponemos “Hipotesis H”. Sea 4BED con ∠E recto. Sea A un punto tal que
D−A−B y BA ∼= DA, y sea C un punto en BE tal que←→AC es perpendicular con
←→BE. Entonces
C es el punto medio de BE. 2
Demostracion. Sea F en DE tal que←→AF es perpendicular con
←→DE. Entonces 2CEFA
tiene tres angulo rectos, de modo que por la nota anterior ∠CAF es recto y AF = CE. Por
la “hipotesis H”, ∠FAD + ∠D es un recto, tambien ∠DBE +∠D es recto, luego ∠DAF ∼=∠DBE. Tambien ∠BAC ∼= ∠ADF y como BA ∼= AD, entonces 4ADF ∼= 4BAC por ALA
luego AF ∼= BC y como AT ∼= CE, entonces BC ∼= CE.
Teorema 31. Suponemos “Hipotesis H”. Sean B,A,D puntos a un mismo lado de una lınea
` y tales que B −A−D y BA ∼= AD. Sean B′, A′, D′ en ` tales que las lıneas←→BB′ ,
←→AA′ , y
←→DD′ sean perpendiculares con `. Entonces A′ es el punto medio de B′D′. 2
Demostracion. Sea C en←→AA′ tal que
←→BC es perpendicular con
←→AA′ . Entonces 2B′A′CB
es un rectangulo y por lo tanto BC ∼= B′A′. Sea E en←→DD′ tal que
←→CE es perpendicular
con←→DD′ . Entonces 2A′D′EC es un rectangulo y CE ∼= A′D′. Como ∠BCA′ y ∠ECA′ son
rectos, entonces los puntos B,C y E son colineales, luego C es el punto medio de BE , por el
teorema anterior y en consecuencia A′ es el punto medio de B′D′.
En la demostracion del siguiente teorema haremos uso de un axioma de continuidad que
enunciaremos mas adelante.
Teorema 32. Suponemos “Hipotesis H”. Dado un triangulo 4ABC con ∠C recto, y dado un
segmento ST, hay puntos X en−→BA y Y en
−→BC tales que
←→XY es perpendicular con
←→BC y
XY es mayor que ST. 2
Demostracion. Sea m la lınea perpendicular a←→BC en B. Sea E en m tal que
←→AE sea per-
pendicular con m en E.Por un axioma de continuidad (que se enunciara mas adelante) existe
un numero natural n tal que nBE sea mayor que ST. Sean D1, D2, . . . , Dn en−→BA tales que
B − A −D1 −D2 − · · · −Dn y BA ∼= AD1, AD1∼= D1D2, . . . , Dn−2Dn−1 ∼= Dn−1Dn. Sean
E1, E2, . . . En puntos en−→BE tales que
←→DiEi sea perpendicular con m en Ei. Entonces por el
teorema anterior BE ∼= EE1, EiEi+1∼= Ei+1Ei+2 . Luego BEn es congruente con nBE ası
que BEn es mayor que ST. Sea X = Dn y sea Y en−→BC tal que
←→XY sea perpendicular con
←→BC en Y . entonces 2XY BEn es un rectangulo y XY ∼= BEn
Teorema 33. Suponemos “Hipotesis H”. Dada una lınea ` y un punto P 6∈ `, hay una unica
lınea paralela con ` que pasa por P . 2
Demostracion. SeaQ en ` tal que←→PQ sea perpendicular con ` enQ. Seam la lınea perpendicular
con←→PQ en P . Sea n una lınea por P distinta de m. Sea V un punto en n tal que ∠V PQ sea
20 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
agudo. Sea C en m tal que←→V C sea perpendicular con m en C. Por el torema anterior existen
puntos X en−→PV y un punto Y en
−→PC tales que
←→XY es perpendicular con m en Y y XY
es mayor que PQ. Sea Z en XY tal que Y Z ∼= PQ. Entonces 2ZQPY es un cuadriatero de
Saccheri y por lo tanto un rectangulo ası que←→ZQ es perpendicular con
←→PQ en Q, y como
tambien ` es perpendicular con←→PQ en Q entonces
←→ZQ =` Luego la lınea ` interseca el lado
XY del triangulo 4XPY y por lo tanto interseca PY o PX, pero como ` es paralela con m
entonces ` interseca PX , luego ` y n no son paralelas.
2.9. Axioma de paralelas
Axioma IV-1 Dada una lınea m y un punto P no en m, existe una unica lınea que pasa
por P y es paralela con m
Definicion 2.22. Sean m y n lıneas distintas. Una lınea t es una transversal a m y n si t
interseca a m y n en puntos distintos.
Una transversal a dos lıneas m y n define angulos, como los numerados en la figura.
Se llaman angulos alternos internos a los angulos ∠4 y ∠6, tambien ∠3 y ∠5 son alternos
internos. Los angulos ∠4 y ∠5 se llaman internos del mismo lado, tambien ∠3 y ∠6 son
internos del mismo lado.
El postulado 5 de Euclides dice
Sea t una transversal a dos lıneas m y n. Si la suma de los angulos internos de un mismo
lado de t es menor que 2 rectos, entonces m y n se intersecan en ese lado de t.
Veremos que este enunciado y el Axioma IV-1 son equivalentes.
El Axioma IV-1 implica
Teorema 34. Si t es una transversal a dos lıneas paralelas m y n, entonces los angulos alterno
internos son congruentes. 2
Sabemos que si la suma de los angulos de un triangulo es 2 rectos, entonces el Axioma IV-1
es cierto (teorema 33)
El siguiente teorema es recıproco del teorema anterior.
Teorema 35. Sea t una transversal a dos lıneas paralelas m y n. Si los angulos anternos
internos son congruentes, entonces a suma de los angulos de un triangulo es 2 rectos. 2
2.10. AXIOMAS DE CONTINUIDAD 21
2.10. Axiomas de continuidad
El siguiente axioma se utilizo en la demostracion del Teorema 32.
Axioma V-1 Dados segmentos AB y CD, existe un numero natural n tal que nAB > CD.
Definicion 2.23. Dado un segmento AB y un punto E, el cırculo de centro E y radio AB es
el conjunto de puntos P tales que EP ∼= AB. Lo denotamos C(E,AB ).
Un punto Q esta en el interior de C(E,AB ) si EQ es menor que AB.
Un punto R esta en el exterior de C(E,AB ) si ER es mayor que AB.
Axioma V-2 Si un cırculo tiene un punto en el interior de otro cırculo y un punto en el
exterior del mismo cırculo, entonces los dos cırculos se intersecan en dos puntos.
2.11. Existencia de rectangulo y Axioma IV-1
Comenzamos con un teorema sobre rectangulos de Saccheri
Teorema 36. Sean 2ABCD y 2A′B′C ′D′ dos cuadrilateros de Saccheri con bases inferiores
AD y A′D′. Si A′D′ ∼= AD y A′B′ ∼= AB, entonces BD ∼= B′D′, BC ∼= B′C ′, ∠B′ ∼= ∠B
y ∠C ′ ∼= ∠C. 2
Demostracion. 4BAD ∼= 4B′A′D′ por LAL, luego ∠ABD ∼= ∠A′B′D′, BD ∼= B′D′ y
∠ADB ∼= ∠A′D′B′ . Como ∠ADC y ∠A′D′C ′ son rectos, entonces ∠BDC ∼= ∠B′C ′D′ .
Ahora, 4BDC ∼= 4B′D′C ′ por LAL.
Lema 10. Sea 2ABCD un rectangulo. Sean D1 y C1 puntos tales que A−D−D1, B−C−C1
y AD ∼= DD1 y BC ∼= CC1. Entonces 2DCC1D1 es un rectangulo.
Teorema 37. Si existe un rectangulo, entonces existe un rectangulo de lado arbitrariamente
grande. 2
Demostracion. Sea XY un segmento. Sean 2ABCD un rectangulo. . Sean D1 y C1 puntos
tales que A − D − D1, B − C − C1 y AD ∼= DD1 y BC ∼= CC1. . Entonces 2DCC1D1 es
un rectangulo, y 2ABC1D1 es un rectangulo. Sea n un natural tal que nAD sea mayor que
XY. Sean D2 − D3 − · · · − Dn−1 y C2 − C3 − · · · − Cn−1 puntos tales que AD ∼= DiDi+1 y
BC ∼= CiCi+1. Entonces 2ABCn−1Dn−1 es un rectangulo y ADn−1 es congruente con nAD
que es mayor que XY.
Teorema 38. Si existe un rectangulo, entonces existe un rectangulo con dos lados adyacentes
congruentes con segmentos dados PQ y XY. 2
22 CAPITULO 2. AXIOMAS DE HILBERT
Demostracion. Sea 2ABCD un rectangulo. Por el teorema anterior existen puntos D′ y B′ y
un punto C ′ tal que 2AB′C”D” es un rectangulo con A −D −D′, AD′ es mayor que XY y
A − B − B′, AB′ mayor que PQ. Sea R un punto tal que A − R − B′ y AR ∼= PQ. Sea S un
punto tal que D′ − S − C ′ y AR ∼= D′S. Entonces 2ARSD′ es un cuadrilatero de Saccheri de
base AD′. Tambien 2B′C ′SR es un cuadrilatero de Saccheri de base B′C ′. Los angulos ∠ARS
y ∠B′RS son angulos superiores de cuadrilateros de Saccheri, luego son agudos o rectos, pero
como son suplementarios, deben ser ambos rectos. Luego 2ARSD′ es un rectangulo. Sea T un
punto tal que A − T − D′ y ∠AT ∼= ∠XY. sea U un puntos tal que R − U − S y RU ∼= AT.
Entonces, como se hizo antes, 2ARUT es un rectangulo.
Teorema 39. Si existe un rectangulo, entonces en todo triangulo la suma de los angulos es 2
rectos. 2
Demostracion. Sea4BAD con ∠A recto.Por el teorema anterior existe un rectangulo 2A′B′C ′D′
tal que AD ∼= A′D′ y AB ∼= A′B′. Como los lados opuestos de un rectangulo son congruentes,
entonces 4B′A′D′ ∼= 4D′C ′B′ por LAL de donde ∠A”B′D′ ∼= ∠C ′D′B′ y como la suma de
los angulos ∠A′D′B′ y ∠C ′D′B′ es 1 recto, entonces la suma de ∠A′B′D′ y ∠A′D′B′ es 1
recto. Dado ahora cualquier triangulo, siguiendo la demostracion de Teorema 28 se completa la
demostracion del teorema.
Teorema 40. Si existe un triangulo en el cual la suma de los angulos es 2 rectos, entonces
existe un rectangulo. 2
Demostracion. Sea 4ABC con AB mayor o igual que los otros dos lados. Por Teorema 27
existe D tal que A − D − B y←→CD es perpendicular con
←→AB. Sea m la lınea perpendicular
con←→AB en A. Sea E en m tal que E y C estan al mismo lado de
←→AD y AE ∼= CD. Por
Teorema 28, la suma de ∠1 +∠2 es menor o igual que 1 recto, tambien ∠3 + ∠4 ≤ 1 recto y
como en 4ABC la suma es 2 rectos, entonces ∠1 + ∠2 es 1 recto. Tambien ∠EAC es recto,
luego ∠2 ∼= ∠EAC. Ahora 4EAC ∼= 4DCA de donde ∠AEC ∼= ∠CDA y por lo tanto ∠E es
recto y ya que ∠E ∼= ∠C entonces todos los angulos del cuadriltero son recto y el cuadrılatero
es un rectangulo.
Capıtulo 3
Modelos
Definicion 3.1. Dados los pares ordenados de numeros reales (a, b) y (c, d), definimos
1. < (a, b), (c, d) >= ac+ bd,
2. ||(a, b)|| =√a2 + b2, y
3. (a, b)− (c, d) = (a− c, b− d)
1. Plano Cartesiano.
Puntos. El conjunto de puntos es R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}
Lıneas. Las lıneas son de dos tipos:Verticales: La = {(x, y) ∈ R2 | x = a}, (a ∈ R.)
No verticales: La,b = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b}, (a, b ∈ R.)
Distancia. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces PQ =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Medicion de angulos Sean A, B y C puntos.
La medida del angulo ∠ABC, denotada m(∠ABC), es m(∠ABC )= cos−1(< A−B,C −B >
||A−B|| · ||C −B||.
)2. Plano de Moulton.
Puntos. El conjunto de puntos es R2.
Lıneas. Las lıneas son de tres tipos:Tipo 1. La = {(x, y) ∈ R2 | x = a}, ( a ∈ R.)
Tipo 2. La,b = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b}, (a, b ∈ R, con a ≤ 0.)
Tipo 3. Ma,b =
{(x, y) ∈ R2
∣∣ y = ax+ b, si x ≤ 0;y = 1
2ax+ b, si x > 0.
}(a, b ∈ R, con a > 0.)
Distancia. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
PQ =
{ √x21 + (y1 − b)2 +
√x22 + (y2 − b)2, si P,Q ∈Ma,b y x1x2 < 0;√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2, en caso contrario.
23
24 CAPITULO 3. MODELOS
Medicion de angulos en el plano de Moulton
Dado un angulo ∠ABC , con B = (α, β),
Si α 6= 0, entonces hay puntos A′ ∈−→BA y C ′ ∈
−→BC tales que A′, B y C ′ estan todos a
un mismo lado del eje Y . En este caso la medida de ∠ABC se define como la medida en
el plano Cartesiano del angulo ∠A′BC ′.
Si α = 0, sean sA y sC las lıneas del plano Cartesiano que contienen los puntos en las lıneas
de Moulton←→BA y
←→BC , respectivamente, cuyas primeras componentes son negativas.
Sean A′ un punto en sA y C ′ un punto en sC tales que A y A′, y C y C ′, esten a un mismo
lado del eje Y . Se define la medida de ∠ABC como la medida en el plano Cartesiano de
∠A′BC ′ .
3. Plano de Poincare.
Puntos. El conjunto de puntos es H = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}.
Lıneas. Las lıneas son de dos tipos:
Tipo I. Ha = {(x, y) ∈ H | x = a}, (a ∈ R.)
Tipo II. Hc,r = {(x, y) ∈ H | (x− c)2 + y2 = r2}, (c, r ∈ R, r > 0.)
Distancia. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
PQ = | ln y2y1|, si x1 = x2
PQ =
∣∣∣∣∣∣∣lnx1 − c+ r
y1x2 − c+ r
y2.
∣∣∣∣∣∣∣ , si P y Q estan en Hc,r.
Medicion de angulos en el plano de Poincare
Dado un rayo−→AB en el plano de Poincare, con B = (xB , yB) y A = (xA, yA), definimos
TBA =
(0, yA − yB), si←→AB es del tipo I;
(yB , c− xB), si←→AB es del tipo II con xB < xA;
(−yB ,−c+ xB), si←→AB es del tipo II con xB > xA.
Dado un angulo ∠ABC , definimos m(∠ABC )= cos−1(< TBA,TBC >
||TBA|| · ||TBC ||.
)
Capıtulo 4
Elementos de un triangulo.
En esta parte la geometrıa es euclidiana, es decir por un punto dado fuera de una lınea dada
hay una unica lınea que pasa por el punto y es paralela con la lınea dada.
Teorema 41. Las mediatrices de los lados de un triangulo son concurrentes. 2
Teorema 42. Las bisectrices de un triangulo son concurrentes. 2
Definicion 4.1. Dado un triangulo, llamaremos altura de un vertice a la l ınea que pasa
por el vertice y que es perpendicular al lado opuesto al vertice.
Teorema 43. Las alturas de un triangulo son concurrentes. 2
Definicion 4.2. Llamaremos mediana (correspondiente a un lado) de un triangulo al segmento
que tiene por extremos al punto medio del lado y al vertice opuesto al lado.
Definicion 4.3. Las medianas de un triangulo son concurrentes. Ademas, la distancia del
punto de concurrencia a un vertice es igual a 2/3 de la longitud de la mediana correspondiente
al vertice.
Teorema 44. Sea D el punto en que la bisectriz del angulo ∠C interseca al lado AB de un
triangulo ABC. Entonces AD : BD = AC : BC 2
Teoremas de Menelao y de Ceva
En los teoremas de Menelao, en su rec ıproco y en el teorema de Ceva, si tres puntos A, P y B
son colineales y si P no esta en el segmento AB , consideraremos la razon AP : BP como un
numero negativo.
25
26 CAPITULO 4. ELEMENTOS DE UN TRIANGULO.
Teorema 45 (Menelao). Dado un triangulo, si una lınea interseca a←→AC en D, a
←→CB en
E y a←→BA en F , entonces
CD
DA· AFFB· BEEC
= −1
2
Teorema 46 (Recıproco del teo. de Menelao). Dado un triagulo ABC, sean D un punto en←→AC , E un punto en
←→CB y F un punto en
←→AB . Si
CD
DA· AFFB· BEEC
= −1,
entonces D, E y F son colineales. 2
Teorema 47 (Ceva). Dado un triangulo 4ABC, sean D un punto en CB, E un punto en AC,
y F un punto en BA. Las lıneas←→DA,
←→EB, y
←→FC son concurrentes si, y solo si,
CD
DB· AEEC· BFFA
= 1
2
Teorema 48 (Teorema de Heron). Sean A y B dos puntos a un mismo lado de una lınea L.
Sea E el pie de la perpendicular de B a L y sea B′ un punto tal que B −E −B′ y BE = B′E.
Si C es el punto de interseccion de←→AB y L, entonces
AC + CB < AX +XB
para todo punto X en L, X 6= C. 2
Capıtulo 5
Areas de Regiones poligonales
Definicion 5.1. (Region poligonal) El interior de un triangulo es el conjunto interseccion
de los interiores de los angulos del triangulo.
Una region triangular es el conjunto formado por los puntos en los lados del triangulo y los
puntos en el interior de este.
Un subconjunto de puntos del plano es una region poligonal si se puede expresar como la
reunion de un numero finito de regiones triangulares tales que cada una de ellas interseca a la
reunion de las restantes, y dos cualquiera de ellas o no se intersecan, o bien se intersecan en un
punto o en un lado.
Una region cuadrada es una region poligonal formada por dos regiones triangulares que tienen
un lado en comun y los otros cuatro lados forman un cuadrado.
Axioma 1. A cada region poligonal R hay asociado un numero real positivo. Este numero lo
anotaremos r(R) y lo llamaremos area de la region.
Axioma 2. S i dos triangulos son congruentes, entonces las regiones triangulares que ellos
definen tienen areas iguales.
Axioma 3. S i dos regiones poligonales no se intersecan, o si ellas tienen en comun solo vertices
o lados, entonces el area de su reunion es la suma de sus areas.
Axioma 4. S i el lado de una region cuadrada es de longitud a, entonces el area de la region es
a2.
Teorema 49. El area de un rectangulo 2ABCD es r(2ABCD) = AB ·BC. 2
Teorema 50. El area de un triangulo rectangulo 4ABC de hipotenusa AB es r( 4ABC)
=1
2CA · CB. 2
Definicion 5.2. Dado un punto P y una lınea m se llama pie de la perpendicular al punto
donde la perpendicular a m que pasa por P interseca a m.
27
28 CAPITULO 5. AREAS DE REGIONES POLIGONALES
Dado un triangulo 4ABC , llamaremos altura de un vertice a la longitud del segmento
que une el vertice con el pie de la perpendicular trazada desde el vertice al lado opuesto.
Teorema 51. El area de un triangulo es igual a la mitad del producto de un lado por la altura
correspondiente. 2
Teorema 52. Dado un paralelogramo 2ABCD, sea E el punto en←→AD tal que BE ⊥ AD .
Entonces r(2ABCD) = AD ·BE. 2
Teorema 53. Dado un cuadrilatero 2ABCD, con AD paralelo con BC, sea E el punto en←→AD tal que AD es perpendicular con BE. Entonces r(2ABCD) = 1
2 (AD +BC) ·BE. 2
Teorema 54. Si 4ABC es semejante con 4DEF, entonces
r(4ABC )
r(4DEF )=AB2
DE2=BC2
EF 2=AC2
DF 2
2
Teorema 55 (Pitagoras). Si AB es la hipotenusa del triangulo rectangulo 4ABC , entonces
AB2 = AC2 +BC2
2
.
