ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL - BARRETT O´NEILL

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~V~- -~ ~ C)

-

ELEMENTOS DE

BARRETT O'NEILLDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CALIFORNIA, LOS ANGELES, CALIFORJ\'IA

'f:r R es una funcin y si A es subconjunto de D, entonces, b restriccin de 1 a A es la funcin 1 1 A: A-> R definida por la misma regla que f, pero aplicada solamente a los elementos ele A. Este cambio es aparentemente menor, pero la funcin f 1 A puede tener propiedades muy diferentes ele las ele la misma f. He aqu dos propiedades importantes que una funcin puede tener. Se dice que una funcin f: D--'-> R es uno a uno siempre que, si x y y son elementos ele D tales que x =/=y, entonces f(x) =!= f(y). Una funcin f: D ~ R es sobre (o lleva a D sobre R) siempre que, para cada elemento y de R, haya por lo menos un elemento x en D tal que f(x) =y. Con brevedad, decimos que la imagPn de f es la totaliclacl del conjunto R. Por ejemplo, considrense las funciones siguientes, c::lda una de las cuales tiene el conjunto ele los nmeros reales de dominio y de contradominio: 1. La funcin 2. La funcin sobre. 3. La funcin 4. La funcinx ~ x 3 que es uno a uno al mismo tiempo que es sobre. eJSponencial x ~ ex, que es uno a uno, aunque no es x ~ x 3 + xe, que es sobre, pero no es uno a uno. seno, x ~ sen x, que no es ni uno a uno ni sobre.

Si una funcin f: D ~ R es uno a uno y sobre, entonces, para cada elemento y de R hay uno, y slo uno, elemento x tal que f(x) =y. Al definir f _,(y) = x para toda x y toda y relacionadas de esa manera, obtenemos una funcin j- 1 : R ~ D que se llama inversa de f. Advirtase que la funcin j- 1 es tambin uno a uno y sobre, y que su funcin inversa es la funcin original f. He aqu una lista breve de las notaciones principales que emplearemos a lo largo del libro, en el orden de su aparicin en el captulo I:

p, q, ................... .

f, [[, ..v,

o

"\V, . . . . . . . . . . . . . . . . .

V, W, .. ............... .a, (3, . .................. .' 1 ................... . O es un conjunto abierto, y la funcin ;::: log x que se define en este conjunto es, desde luego, diferenciable, aunque su dominio no es la totalidad de E 3 En general, los resultados de este captulo conservan su yalidez si se substituye E" por un conjunto abierto arbitrario () ele E 3 El motivo por el que hemos hablado del espacio euclidiano tridimensional lO es otra cosa que, sta es la dimensin que emplearemos con ms frecuencia en el trabajo posterior. Sera igual de fcil trabajar en el espacio euclidiano n-dimensional E", en el que los puntos son n-adas p = (p 1 , , ji 11 ) y que ticnc n funciones coordenadas naturales x 1 , , x 11 Todos los resultados de este captulo son vlidos en los espacios euclidianos de dimensiones arbitraria';, aunque rams veces aprovecharemos esto, con la excepcicn del caso del p!ano euclidiano E 2 En particular, los resultados son vlidos en la recta real E 1 = H. 1viuchos ele los conceptos que se presentan se han formulado especficamente para el estudio de dimensiones ms altas, sin embargn, y por lo tanto, resultan un tanto enfadosos -por su atencin a los c!cUlllcs-- cuando se lt>s reduce a la dimensin l.

EJERCICIOS

-

l. Sean /

= y g = y sen z funciones en E". Exprsense las funciones siguicntec; en trminos de x, y, z:

. b 1 -j ,-,

b

(f

+

-f.

l

\'

e)

2" g)(

u

.:

d' (. (sen f).

16

EL CLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

2. Encuntrese el valor de la funcinpuntos:

f = x 2 y - y2 z

cn cada uno de los

a) (1, 1, 1).

b) 3,- l, 1). d) (t,t 2,t'1).

e) (a, 1, 1 - a) .3. Exprsese

cf /ex

en trminos de .\',

yy

z

Sl

a)b)

f

=

xsen (xy) sen g,g

+

ycos (xz).h = x"

f=

= e\

+ y2 + .::2.

4. Si g1, g2, g,1 y h son funciones ele valores reales en E 3, entonces

f

=

h(gl, g2, g,)

es la funcin en la que se verifica para todo Exprsese 3f jox en trminos de x, y y z s1 h= .\2 -

p.t

yz y si

a)b)

f = h (X + f= f=

y, y 2 , X + Z).

h (ex, ex+Y, ex).

e)

h(x, -x, x).

2

Vectores tangentes

Desde el punto ele vista intuitivo, un vector en E" es un segmento ele recta con orientacin, o una "flecha". Los nctores se usan ampliamente en la fsica y en la ingeniera para describir fuerzas, velocicladcs, momentos angulares y muchos otros conceptos. Para obtener una definicin qt;c sea tan prctica como precisa, clescribirnnos una "flecha" en E'1 al dar su punto ele partida p y el cambio, o vector v, necesario para llegar O, b =F O. (Siempre usaremos el trmino hlice para representar la hlice circular recta.) 3) Sea a:(t)

=

(2cos 2 t,sen2t,2sent)

para

o< t < -rr/2.

Esta curva a tiene una propiedad notable: sea el cilindro en E 3 construido sobre el crculo en el plano xy con centro en (1, O, O) y radio l. Entonces a sigue la ruta que corta en la esfera S de radio 2 y centro en el origen (figura 1.8) .

e

e

\

4) La curva a:

R~

E 3 tal que

comparte con la hlice de 2 la propiedad de elevarse constantemente. Sin embargo, queda sobre la hiprbola xy = 1 del plano xy, en lugar del crculo del otro caso. 5) La curva a: R~

E 3 tal que

Si las funciones coordenadas de una curva son suficiPntemcnte sencillas, se puede determinar la fom1a de la curva en E\ por lo menos aproximadamente, por el procedimiento de 'fuerza bruta" ele ir determinando su:; puntos. Podremos obtener un cuadro r:-~zonable ele esta curva cuando O< t < 1 al calcular a(t) para t = O, ~1 0 , 12, ~~ 0 , 1 Si visualizamos una curva a en E" como punto mvil, entonces en cada momento t hay un vector tangente en el punto .a ( t) que nos da la velocidad instantnea ele a en ese morrwnto.

28


4.3 DEFINICIN. Sea a: 1 ->E'< una curva en E 3 con a= (o:,, ae, a3). Para cada nmero t en 1, el vector de velocidad de a en t es el vector tangentea , ( t)

=

(do:1

do:2 ( t), ~ da:; - - (t), ---- \ t)1

)

dt

dt

dt

n(t)

en el punto ,a(t) de E 3 (figura 1.9). Daremos la siguiente interpretacin geomtrica de esta definicin. La derivada en t de una funcin de valores reales f en R est dada por

df (t) =dt

lm f(~~.:.: O !::,.t

f(!l.

La misma frmula tiene sentido si substituimos ( o:1, (r2, o: 3 ) . De hecho,

f

por una curvz. a

=

- (a ( t t::.t

1

+ ~t)

- a ( t) )

(

_c:l (t

+

t::.t L=-_c:_&l_ t::.t

Cl'"(t

~-~2t-~

()'" ( t)' a~ -~2t -=-~&)_}

Este es el vector que parte de a ( t) y va a a ( t + t::.t), multiplicado escalarmente por 1/ t::.t (figura 1.1 O). Ahora bien, a medida que .6.t se vuelve ms pequeo, a (t + t::.t) se aproxima a a(t), y en el lmite, cuZ~ndo t::.t ..__,O, obtenemos un vector tangente a la curva a en el punto a(t), a saber (do:,fdt(t), daddt(t),

a'(t)

/e-----Figura 1.9

do:,/ dt (t) ) . Como lo sugiere la figura, el punto de aplicacin ele este vector ha ele ser el punto a ( t). Por lo tZ~nto, la operacin estndar de derivadas da lugar a nuestra definicin ele la velocidad de una curva.La aplicacin de la identidad

(v1, v2, v 3 )v

=

: v;U;(p)

CURVAS EN E 3

291

t.t (a(ta(t)aFigura 1.10

+ t.t)

- a(t))

~~==~~--------~

a(t

+ t.t)

al vector de velocidad a' ( t) en t produce la frmula alterna

o:' (t) =

2: (~~~dt

(t)

ui (o:(t)).+ tqes

Por ejemplo, la velocidad de la recta o: ( t) = p

El hecho de que a es recta se refleja en que todos sus vectores de velocidad son paralelos entre s; lo nico que cambia es el punto de aplicacin, a medida que cambia t. En la hlicerr ( t)

(o: cos t, a sen t, b t ) ,

la velocidad es

o:' ( t)

=

( -

a sen t, a cos t, b) a et) .

Vemos la elevacin constante de la hlice en la constancia de la coordenada z ele a' ( t) . A partir de una curva o:, se pueden construir muchas curvas nuevas que siguen la misma trayectoria que o:, aunque viajen con rapidez diferente.

4.4 DEFINICIN. Sean I y J intervalos abiertos en la recta real R. Sea rr: I----? E 3 una curva y sea h: J- I una funcin diferenciable (ele valores reales) . Entonces se dice que la funcin compuesta{3=

a ( h) :

J - E 3

es una curva que se llama rej!arametrizacin de a por h. En cada momento s del intervalo ], la curva {3 cstar:t en el punto {3(s) = rr(h(s) ), que la curva a alcanza en el momento h(s) del intervalo I (figura 1.11). Por lo tanto, {3 sigue el mismo camino ele o:, pero en general {3 llega a un punto clado ele l en un momento diferente del de o:. En la prctica, para calcular las coordenadas de {3, se substituye sencillamente t = h(s) en las coordenadas ,t 1 (t), a"(t), rr 3 (t) de a. Por ejemplo, supon-

30


~t(s)J(8

= a(h(s))

~'~Ea ~ t )/Figura 1.1 1

gamos que a ( t) = ( y t, t v'-t, J: O < s < 2, entonces,j3 (S)=

-t)

en l:O O tal que a ( t + jJ) = a ( t) para todo t; el menor de estos nmeros jJ se llama entonces jJnodo de a. Desde el punto de vista del clculo, la condicin ms importante que se puede pedir a una curva a es que sea regular, y esto significa que todos sus vectores ele velocidad han de ser diferentes de cero. U na curva aS: no puede tener puntas agudas ni esquinas. Los comentarios siguientes acerca de curvas (que se hacen sin demostraciones) no son parte esencial de nuestra exposicin, pero los u>aremos en el captulo IV. Consideraremos, en el caso del plano E", otra manera conocida de formular el concepto ele "curva". Si f es una funcin diferenciable ele valores reales en E", sea

e: f

=a

el conjunto ele todos los puntos p en E" tales que f (p) = a. Ahora bien, si las derivadas parciales 2f /2x y of /oy no son nunca simultneamente cero en ningn punto ele e, entonces e consta ele una o ms "componentes"

y

Figura 1.12

Figura 1.13

32


separadas, a las que llamaremos Curvas. t Por lo tanto, C: x 2 + y 2 = r 2 es la circunferencia de radio r con centro en el origen de E 2 , y la hiprbola C: x 2 - y 2 = r" se parte en dos Curvas ("ramas") C 1 y C 2 , como se ve en la figura 1.13. Toda Curva C es la trayectoria de muchas curvas regulares a, que se llaman parametrizaciones de C. Si C es una Curva cerrada, entonces tiene una parametrizacin peridica a: R ~ C. Por ejemplo, la curva.

a(t) = (r cos t, r sen t)es una conocida parametrizacin de la circunferencia que acabamos de dar. Si Ces una Curva que no es cerrada (a Curvas as se les llama a veces arcos), entonces toda parametrizacin (3: 1 ~ C es uno a uno. Por ejemplo, (3(t) parametriza la rama x=

(r cosh t, r senh t)la hiprbola que vimos antes.

> O de

EJERCICIOS

1. Calclese el \ector de YClocidad ele la curva 3 en el ejemplo 4.2 para valores arbitrarios de t y en t = "/ 4.2. Trcese la curva 5 dd ejemplo 4.2 por medio del mtodo que se sugiere en ese lugar. En el di bu jo, represntense los n:ctores ele veloc:iclacl en t = O, J, l. 3. Encuntrense las funciones coordenadas de la curva (3 = a ( h), donde a es la curva (3) del ejemplo 4.2 y h es la funcin en J: O < s < 1 tal que h(s) = sen1 s.

4. Encuntrese la curva (nica) tal que a(O) ( t", t, e 1 ).

(1, O, -5) y a'(t)

5. Encuntrese una recta que pase por los puntos (1, -3, -1) y (6, 2, 1) . Se corta esta recta con la que pasa por los puntos ( - 1, 1, O) y

(-5, -1, -1)?6. Dedzcase del lema 4.6 que en la definicin ele derivada direccional (definicin 3.1), la recta t ~ p + tv se puede reemplazar por cualquzer curva a con velocidad inicial v p, es decir, tal que a (O) = p y a'(O) = Vp 7. (Continuacin). Demustrese que las curvas dadas por ( t, 1 + t", t), (sen t, cos t, t) y (scnh t, cosh t, t) tienen todas la misma \:elociclad

t En (solamente) esta seccin emplearemos la C mayscula para distinguir este concepto del de la curva a: 1 - E 3

1-FORMAS

33

inicial Vv. Si f = x 2 una de las curvas.

-

y2

+

z 2 , calclese vv[fJ al evaluar

f

en cada

8. S Fa h (s) = log s en ] : s > O. Reparametrccse la curva ( 4) del ejemplo 4.2 por medio de h. Comprubese la validez de b ecuacin del lema 4.5 en este caso al calcular separadamente cada uno de sus miembros.9. Si t tiene un valor fijo, la recta tangente a una CUlTa regular a en a(t) es h recta u--a(t) + ua'(t), donde hemos omitido el sealamiento del pun~o de aplica6n de a' ( t). Encuntrese la recta tangente a la hlice a(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) en los puntos a(O) '"

a(-;;-/4).1O. Trcense las Curvas siguientes en E 2 y encuntrense parametrizacionPs de cada una. a) e: 4x 2 + y 2 =o l. b) e: 3x + 4y = l.S1-formas

e) d)

e: y= eT. e: x2/3 + y2/3

1,

X> o, y> O.

Si f es una funcin de valores reales en E", entonces se define en el clculo elemental la diferencial de f como

df = --- dx

a

ox

a a +dv + - dz. oy . ()z

~o siempre se aclara con ''x::tctitud el significado de esta expresin formal. En esta seccin, le ciaremos un tratamiento riguroso mediante la idea de 1-fonnas, que resultar decisiva en momentos de nuestro trabajo posterior.

5.1 Dr:FrNICTN. Una 1-forrna 1' en E 3 es una funcin ele valores reales en el conjunto de todos los vectores tangentes a E' t; que q> es lic1eal en cacla punto, es decir, que

para cualesqcliera nmeros a, b y vectores t;mgentes v, w en el m1smo punto de E 3 Insistimos en que para cada vector tangente v a E 3 , una 1-forma q, dcfint~ un nmero real q,(v); y para cada punto p en E';, la funcin que resuli.a ,,:T 71 (F?)-- R es linC'al. En comecuencia, en cada punto p, 'Pv es elemento del fsjJacio dual de T(E 3 ). En este sentido, la ide:1 de 1-forma es h dual de la de un campo vectorial. La suma de las 1-formas ,, y f; se define ele la manera positi,a que E'S habitual

31(~

EL c,\LCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

+ 0) (v) =

~(v)

+ 0(v)

para todos los \Tctorcs tangentes v.

De b misma mZ!nera, si f es una funcin ck v;deres reales en E' y es un;: 1-forma. entonces ~, es la 1-for:Jt:t tal que

,,

para todos los \TCtores tangentes

V;,

IIay tat:Jhil:n una rn:n!lTa natural de naluar ;na 1-forma c, en un camjw ccdorial V para obtener una funcin e,(!') de y;]ores reales: en cada punto p, el yalor de (V) es el n {!In ero ~b (V ( p) ) . Por lo tanto,una 1-fonna se puede con:sidcrar t;unbin como una mquina de tr;msfurnnr campos \Tctori:des en funciones ele \alorcs reales. Si l!'LO. Clculos ele productos tilde ( 1). Sean ~-0.\

d.\ - :V dy

y

Entonces

1)

A

V'=

,(v:dx- cydy)1\

(zrfy=

+.\::

.n!z) d\ {Jy

+

.1"

dx d:-

r: r!y r!\

- yx dy d.:.

!'ero

dx dx =O,l'c;r lo tanto, A

dy dx

=

dx dv.

'

=

y:: dx tFy

+

_y::

dx rlz - xy dy d::.

En general, el producto ck dos 1-formas es una 2-forma. 2 " s('~m 1) y ~~ bs ] -formas an\('l iorc5. y sea

\\;r1,jL\' ;-.,('

;ucde cn~::-;itb ~;:;r1

c:.;t:'

pr\'LlH'~l CfiJlil

~:,,11 (: ( j

,

;~~l'tli:l~l c':Jt'':~n , , :1 \( ; 1 :.. ';( r : 1;

:,r : .1 ~r':l~id,, 1 : ;-! ,

~-,.1'1~1 (e fl11;1,{ll1 e; r ir,

el pr.:Jtluctu parti('ttbr, ;' ~.' r

(':...:l'i

ior .::~:;e; ,J,

('q'tl\" ;jf':lt"'

la

40 Entonces(} 1\


rp

1\

y=

)'Z~

dy dx dy

+

x 2z dy dx dz - x;z rly dy d::.

Puesto que dy dx dy y dy dy d:: contienen cada una repeticiones, las dos valen cero. Por lo tanto,(j 1\

.p

1\

y=

-

x 2 z dx dy dz.

3) Sea como b hemos dado, y sean '1} las 2-forma y dx dz + x dy dz. Si omitimos las formas que contienen repeticiones, nos quedamos con

1>

1\ 17 = .1 2

dx dy dz - :/ dy dx dz

=

+ )'

2

)

dx d)' dz.

En estos ejemplos debe quedar claro que el producto tilde de una p-forma y una q-forma es una (p + q) -forma. Por consiguiente, un producw es automticamente cero siempre que p + q > 3.6.2LEMA.

Si c1~ y

y son

1-formas, entonces 1\

y = - .;

1\

1>.

Demostracin. Escribamos

Entonces, por la regla de alternacin,

En el idioma de bs formas diferenciales, el operador d de la definicin 5.2 convierte una O-forma f en una 1-forma dj. Es fcil ~cn:,r:clizar a un operador (que tambiL:n se denota por d) que convierte una p-form:1 ?J en una (jJ + 11-forma d?J: no hay ms que aplicar la d (de la dcfinici; :!.2) a bs funciones corficientes de ?J Por ejemplo, tenemos a conti1m:1cin el caso /' = l.

6.3

DLaKICllJN.

nterior ele

Si \) e~ : f; d'., e:s ,, cs la 2-forma d7, = ): df;

una 1-forma en E", la derii'adaA rl,\'i

Si desarrollamos la definicin anterior por medio del corobrio 5.5, obtendremos la siguiente e .interesante frmula ele h derivada exterior de

1)rls'> = { ~

=

f1dx,

+ fcdx"1 _\

-1- f:;dx 3 :

\r:"r 1

-

2 1 f '-) dxl dxc + (~I Cx~ / dy, dxo + cx 1)2

r,'X 1

_.

"

;'\o es necesario que el lector memorice csta frmula: resulta lllt'JOr apliC = )'Z dx + r/,:, .; = sen z d.\ + cos z r/y, ~ = dy + z d.:. Encuntrense las expresiones estndar (en trminos de dx, dy, , ) de a) q> 1\ da cnmpll'Llm,ntc detcrmin"d:1 prr ';u,. valores en tres puntos (line;lnwnte indcpcr:dirntes). que podemos tom:n como los jJlu;tus unidad

u,= (1, O, O)

u.

(0,1.0)

u,=(O.O,l).

2) El mapeo F: E"--)E" t:tl que F(u,z) =(u"- z\2uu). (Aqu u\

z son las funciones coordenadas de E".) Para analizar naremos :;u efecto en la cuna a ( t) = ( r cos t, r sen t ). Esta curva hace un viz1jc en el sentido omc'oto al ele bs alrPdedor de un crculo de radio r (con centro en Pl nnagen es (3(t) = F(a(t)) = F(rcost.rscnt) =dfJJidc O "S t(r~cos"t

este mapco. examiclond( O S t :?' 2,-. m::mecillas del reloj orig-en). T,a cun'a

--

r~sent,2r"costsenl),

S

2,-. Por medio de b~: idcnticbd, s trigonomtricas

cos 2t = cos't - sen"! enrontr;1mos para (3 = F((\') la frmula

sen 21

=

2 sen t cos t.

(3 ( t)

=

(

r" e os 2 t. re sen 2 t) ,

en la qw O ;% t S 2,-. Esta curva cmprcnclc do.\ vi;1jcs ('!1 el :-cntido opuesto al c!c bs lllanecillas del reloj alrededor del crculo de radio r' (con centro en el origen 1 (figura l. Li). Es as como el efecto ele F consi5tc' en envolver llanamente el plano E" alrededor de s mismo dos Ycccs; el ongrn queda fijo. puesto que

'U

Figura 1.15

,

;'>!APEOS

47

F(O, O)

= (0, O). En este proceso, cada crculo de radio r queda dos veces envurlto alrededor del crculo de r:1dio r".

En C:!cb uno ele los nue\os objetos (jlll' hemos definido en c'tf' c:1ptulo. hemos pasado a cldini; una icka adecuada de la dcri\acla de ese objeto. Por ejemplo, h "dcrivacb" de una cuna a es su vp]ocicbcl e'. :\ partir R es la pendiente de la recta tangente a la grfica de f en t. En efecto, tenemos que para carla jJUnto p, F: es la transformacin lineal que mejor se aproxima al comportamiento de F en la cercana de p. Esta idea se desarrolla completamente en el clculo avanzado, donde sirve para demostrar el teorema 7.1 O. Puesto que F,,P: Tv(E") ---:> T P(pl (Em) es una transformacin lineal, procedemos razonablemente al calcular su matriz con respecto a las bases naturales

U1(p), , Un(P) para Tv(E") U 1 (F(p)), , Um(F(p)) para Tr(p) (Em).Esta matriz se llama matriz jacobiana ele F en p.7.7CoROLARIO.

Si F = (/ 1 ,=

,

fm) es un mapco de En

a

E"', entonces

F*(Ui(P))

~ a~~ (p) Ui(F(p))

"' ai

1

(l:=::;j:=::;n).

En consecuencia, la matriz jacobiana de F en p es ( (ofijoxi) (p)) 1 o::::m.

n"'n.

Demostracin. Tmese v = U i (p) en el corolario 7 .6. Puesto que el vector unitario Ui(P) aplicado a f es simplemente (of;joxi) (p), obtenemos

F,.(Ui(p)) =

(~0:_OXj

(p), ...

}f!'!:.OXj

(p)) =

i=l OXj

~ ~fi

(p) Ui(F(p)).

1

Haremos la abreviacin estndar:

F.(U) =L.,) del ejemplo 7.3, encuntrenst' todos los puntos p tales que a) F(p) = (0, 0). b) P(p) = (8, -6). e) F(p) =p.

52


2. El mapeo F de! ejercicio 1 transforma la recta horizontal u = 1 enla parbola u_,.F(u, 1) (u 2 y v = 1, y sus imgenes bajo F.

1,2u). Trcense las rectas u= 1

3. La imagen F(S) de un conjunto S bajo un mapeo F consiste en todos los puntos F(p) en los que p est en S. Si F es el del ejercicio 1, encuntrese la imagen ele cada uno de los conjuntos siguiei1tes: a) La banda horizontal S: 1 < v < 2. b) El semidisco S: u~ + v~ ~ l, u =:::: O. e) La cua S: -u < v < u, u > O. En cada caso, exhbanse juntos el conjunto S y su 1magen F(S) en el mismo dibujo. (Indicacin: empicese por encontrar la imagen de las curvas frontera de S.)4. a) Verifquese que el mapa de derivadas del mapco ( 11 del ejemplo 7.3 se determina por

(Indicacin: trabjese directamente a partir ele la definicin ele nwpa de derivadas.) b) En general, si F: En___.,. Em es una transformacin lineal, demustrese que

5. Si F

=

(f 1 ,

,

fm) es nn mapeo ele E" a E"', escribinws

puesto que, por el teorema 7.5,

Encuntrese F,,, para el mapeo F = (x cos y, calclese F,,P (Vp) si a) v = (2, -1,3), p = (0,0,0). b) V = (2, -1,3), p = (2,71'/2,..-). 6. Es regular el mapeo del ejercicio anterior:'

.Y

sen)', z) de E" a E 3 y 1

7. Sean los mapeos de E 2 a E 2 F = (! 1 ,

f 2 ) y G = (g]J g 2 ). Calclense las funciones coordenadas euclidianas de la funcin compuesta GF: E 2 ___.,. E 2 y demustrese que tambin es un mapeo.

RESUMEN

53

8. En la definicin (7.4) ele F,,(vp), demustrese que se puede reemplazar la recta por cualquier curva a con velocidad inicial Vp-

9. Demustrese que un mapeo F: En--:> E"' conserva las derivadas direccionales en este sentido: si v 11 es un vector tangente a E" y si g es una funcin difermciable en E"', entonces F,,(vp) [g] = vp[g(F)].10. Sea F = (!1, / 2) un mapeo de E 2 en E 2 Si para todo punto q de E" se tiene que las ecuanones

tienen una solucin nica

demustrese que F es

1mo

a uno y sobre, y que F- 1

=

(g 1 , g 2 ).

11. (Continuacin). Demustrese que, en cada caso, F es uno a uno y sobre, calclese la funcin inversa F- 1 y determnese si F es un clifeomorfisrno (es decir, si F- 1 es diferenciable) . a) F = (ve", u). b) F = (u", v - u). e) F = ( 1 + 2u - 2v, 4 - 2u + v).

12. Sean F: E"--:> E"' y e: E m--:> EP mapeos.a) Generalcense los resultados del ejercicio 7 a este caso. b) Si a es una curva ele En, demustrese que ( CF) ,,, (a') = G,, (F~ (a')). [Indicacin: (GF) (a) = C(F(a)) .] e) Dcclzcase que ( CF) ,,, = G,F,,: el mapa ele derivadas de una composicin de mapcos es la composicin de sus mapas de derivadas. 13. Si f: R-:. Res una funcin cliferenciable en la recta real R y de valores reales, demustrese que f'(vp) es el vector tangente f'(p)v en el punto f(p).

8

Resumen

A partir de la idea familiar ele las funciones de valores reales, con el auxilio del lgebra lineal en cada paso, hemos construido una cliversiclacl clr: objetos matemticos. La idea fundamental ele vector tangente nos condujo al concepto ele campos vectoriales, cuyos duales son las 1-formas, que a su vez nos han llevado a las formas diferenciales. Las ideas de curva y de funcin clifercnciablc se generlizaron a las de un mapeo F: E"--:> Em.

54


A continuacin, tenemos que a partir de la idea habitual de la derivada de una funcin de valores reales, hemos pasado a construir operaciones adecuadas de diferenciacin para estos objetos: la derivada direccional de una funcin, la deri\'ada exterior de una forma, la nJocidad ele una curYa, el mapa de deri\'adas ele mapeo. Todas estas operaciones se recluccn a derivadas ( ordinari:1s o parci:1les l de funciones coordenadas ele \alores re:1lcs, :1unque es digno de notar el hecho ele que en la m;;yorb de los casos en las definiciones ele estas operaciones no intern~nan las coordenadas. (Esto se pudo haber hecho en todos los casos.) En general, bs operaciones de diferenciacin han exhibido de una u otra manera las propi~Cclac!C's lineal caracterstica y de Leibniz de la diferenciacin ordinaria. Es probable que la mayor parte de estos conceptos h;1yan resul1;1do ser familiares para el lector, por lo menos en algunos casos especiales. Pero nos hemos provisto de definiciones cuiclaclosZls y ele un catlogo ele propiedades bsicas que nos capacitarn para dar cmnienzo a nuestra exploracin de la geometra clifer~Cncial.

CAPITULO

11

Campos de sistemas de referencia

Se puede decir que la geometra se inicia con la medicin de distancias y de ngulos. \'eremos que es posible deducir la geometra del espacio euclidiano del jnoducto escalar, que es el producto interior natural en el espacio euclidiano. t;na buena parte de este captulo se ha dedicado a la geometra ele curvas en E". Insistimos en este terna no solamente por su importancia intrnseca, sino tambin porque el mtodo fundamental con que se investigan las cur\Zls ha comprobZJdo su efectivicbd en toda la geometra diferencial. Se estudia una curv0 en E' al asignar a c0da punto un determinado sistr'ma de referencia, es decir, un conjunto de tres vectores unitarios ortogonales. La tasa de cambio ele estos vectores a lo largo de la curva se expresa a continuacin en trminos de los mismos vectores por medio de las clebres frmulas de Frenet (teorema 3.2). En un sentido real, toda la teora de las curvas en E-1 no es ms que un corolario ele estas frmulas funcbmentales. ::\fs adelante emplearemos este "mtodo ele sistemas mviles de referencia" para estudiar una sujJerficie en Ea. La idea general consiste en pensar en una superficie como una especie ele curva bidimensional y mantener la actitud de Frcnct en la medida de lo posible. P

E" es una funcin que asigna a cada nmero t en I un Vl'Ctor tangente Y(t) a E" en el punto a(t).

2.2

DEFr:-;rciN. -L~n

CURVAS'

67

Ya hemos empleado campos vectoriales as, puesto que en cualquier curva a, S'l wlocidad o/ satisface evidentemente esta definicin. Advirtase que, a diferencia de a:', los campos \ectoriales arbitrarios en a no han ele ser ncccsariamrnte tangentes a a, smo que pueden :1puntar en cualquier cliro-cci:l (figura 2.61.

Fisura 2.6

Las propiedades de los campos vectoriales e11 curvas son :;nlo;;:as a las ele los campos vectoriales en E". Por ejemplo, si Y es un campo vectorial en a: I ....E", entonces poden; os poner, para cada t en I,

Es as como hemos definido funciones en I ele valores reales y 1 , yc, )'" que se lbman funciones coordenadas euclidianas ele Y. SuJondremos siempre qu~ son difercnciablcs. Obsn:esc que b funcin compuesta t.... U; (a ( t)). es un carnro vcctorizll l'Tl (1'. })onclc podamos hacerlo con seguridad, escribiremos simplemente en lugar de (n(l)). Las operaciones ele adicin, mul:iplicacin por un escalar, producto escaL:r y producto vectorial de campos vectoriales (en b misma riales

+1

(Y+ Z) (t)

=

t"U1 + (1- t")U"

(fY)(t)= t(t

+

l)U 1

-

(t

+

l)U"

68

CAJ\IP(JS DE

SISTEMAS DE REFF.RENCIA

: ul(Y X Z) (t)=1

t"

.ot(l' la funcin ele valorcs reales

o

lP

[J3

1

-- t

1 - t"

(YZ) (t)

- t".

Para diferenciar un camjJo vectorial en a se diferencian simjJlemr:nte sus funciones coordenadas euclidianas, de manera que se obtiene un nuevo campo vectorial en a. De manera ms explcita, si Y = 2: y;L';. cntonccs Y'= 2;(dy;jdt) Ui. Por lo t:mto, en el Y de antes, obtPnemos

Y'= 2tU 1

-

l\,

y

Y'"

=

O.

En particular, la derivada a" de la velocidad rv.' de a se llama aaleracin de a. De esta manera, si a= (a 1, ae, a 3 ) , la aceleracin a" es el campo \'ectoria 111(1'

( -----rFa 1 - ---1 ----1

d"a d a,)2 2 '

\ dt" ' dt

dt 2

~

en o:. La aceleracin, en contraste con la vclocid::ld, no es en general tangrntc a 1~ curva. Comn lwmos dicho antes, al margen de la forma en que aparezca, la difcrcnci:1cin posee siempre las prc.piedades adecuadas ele lincalicbd y de Leibniz. En el caso ele los campos vectoriales en una curYa, es fcil verificar b propiedad de lir.ealidad

(aY+ bZ:i' =aY'+ b[(donde a y b son nmeros) y las propiedades dr Leibniz

(fY)'

=:~;Y+

fY'

y

(YZ)' = Y'Z

+

YZ'.

Si h funcin YZ es constante, la ltima ele las frmulas nos dice que

Y'Z

+

YZ' =O

En nuestro trabajo posterio;, acudiremos con frecuencia a est2. observ:tcin. En pari.icular, si Y tiene longitud constante [[Y [j, entonces Y y Y' son ortogonales en cada punto, puc,to que [j Y i!Z = YY tiene un valnr comtante, y esto implica que 2Y Y' = O. Recordemos que los yectores tangentes son paralelos si tienen la misma P:'''lC' \TCtorial. Decimos que un CZllilJ'O vrctori;:;l y en una curvu es jJaralclo

CURVAS

69

cuando todos los valores (ele vectores tangentes) son paralelos. En este caso, SI la parte vectorial que tienen en comn es ( c 1 , ce, c3 ), entonces, para todo t. Por lo tanto, el paralelismo en un campo yectorial ecui\ale a la constancia de sus funciones coordenadas cuclidi:.mas. La anulacin de las deri,adas siempre ha sido una cuestin impc1rtantc en el clculo; aqu tenemos trt's casos SC'ncillos.

2.3 LEJ\IA. l. Una curva a es constante si y slo :, su n:locidad es cero: a' = O. 2. Una curva no constante a es una recta s1 \' slo si su aceleracin es cero: a" = O. 3. Un campo vectorial en una CutYa es paralelo si y slo si su derivada es cero: Y'= O.Demostracin. En cada caso, scr suficiente que t'xamincmos las funciones coordenadas euclidianas. Por ejemplo, demostraremos (2). Si n: ~" ( a 1 , a,, a 3 ) , en ton cesa"

Por ]o tanto, a" O si y slo si cada d'2cq / dt 2 Y ale O. Por los resultados del clculo elemental, esto equivale a la existencia dP constantes Pi y q, tales quea

(t)

=

jJ

+ iq,

para z

=

1, 2, 3.

Por lo tanto, a(t) = p + tq, y a es una recta segn la definicin del ejemplo 4.2 del captulo I. (Observemos aqu que la 11(> constancia implica que q

*

0.)EJERCICIOS

-

1. En la curva a(t) = (2t. t 2 , (J/3), a) encuntrense la velocidad, la rapidez y la aceleracin para t. arbitraria y en t = 1 ; b) encuntrense las funciones de longitud de arco s = s ( t) (con b:1se en t = O) y determnese la longitud de arco de a desde t = -1 hasta t = +l.

2. Demustrese que la curva a ( t) = (t cos t. t sen t, t) descansa sobre un cono en E 3 . Encuntrense la vclocidc1, la rapidez y la acclcracil!ele a en el vrtice del cono.

70

C:Al\IPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

30 Demustrese quE' la curya a ( t) = (cosh t, senh t, t) tiene la funcinde longitPd ele arco s(t) = \-2~scnh t, y encuntrese una nparametr7acin de rapidez unitaria de a.4. Comideremos la cu1Ya a ( t) = ( 2t, t. !og t) en l: t > O. Demustrese que PSta CU!Ya pasa por los puntos p = (2, 1, lfl y f{ e~ (+, 4, log 2) o y cnruntresc la longitud de arco entre estos ;mntos.

- 5.

que [3 1 y [3" ';ean reparametrizaciones de rapidez unitaria de b mi:oma curva a. Dcmustreo.e la t"xistcnciZl de un nmero s0 tal que p"(s) = [3 1 !s + s"l para toda s. /Qu significado geomtrico es el de so?

Supon~amo:;

6. Sea Y un campo \ectori:;l en la hlice ce ( t) cada uno de los casos siguientes, exprsese Y a) Y(t) es el Yector que \a de a(t'i ~11 origen b ) y ( t ) = rt' ( t) - rt" ( t) r) Y ( t) tiene longitud unitaria y es ortogonalo

= (cos t, sen t, t) En en la forma :y; Ui: de E'.o

tanto a , ( t) corno a

rt" ( t)

o

d) Y(t) cs el yector que va de a(t) a rtl! +-e).70 Sea Y un campo vcTtorial en una cuna a. Si a(h) es una rcp::uarnetri7aci11 de (Y clcnmt"strcse que Y ( h) cs un campo Yectorial en a ( h) o as como la rcgb ele la cadena Y ( h)' = h' Y' ( h) .0

8. Sean a, f3: I ---3> E e cunas talcs que a' ( t) y [3' ( t) son paralelos ( coorclenacbs euclidianas iguales) p:o.ra cada 1 Demuc;strese que a y f3 son jJaralc!as en el sentido ele que hay un punto p en E'3 tal que f3(t) = a(l) + p para toda t.o

9. Si a es una cuna regubr, h:gase HT que a) a tiene rapidcz constante ~;i y slo si la acdcracin ,t" es siempre ortogonal a a (es decir, a a'). b) a l'S rcparamctrizacin de una recta t --+ p + tq si y slo si a" es sicrnpie tangente a ,a ( rs decir, a" y a' son colineaks).

10. Una porcin ck una curva definida en un intervalo cerrado [a, b]: a< t < b, se llama segmento de curE 0 ser montona cuando se cumpla cualquiera de las rondicionl's a)h' >O, h(a) = r, h(b) =d. o b) h' :==::O, h(a) = d, h(b) =c. Demustrese que la reparametri7acin montona no altera la longitud de arco.

llo Demustrese que la rE'cta es la distancia m:s corta entre dos puntos de E". Para ello, sirve el esquema siguiente; sea a: [a, b] ---3> E 3 un seg-

LAS FRMULAS DE FRENET

71

mento arbitrario de curva que va de p = a (a) a q = a ( b). Sea u= (q- p)(l q- p !1 a) Si a es un "egmento de recta que va de p a q, por ejemplo,(}" ( t)= (1

- t) p

+

tq

(o < t < 1)'

hgase wr que L(a) = d(p, q). b) A partir de que [[ a' j 1 :2: a'u, clcclzcase que L (a) ;::o: ~~ (p, q), donde L (a) es h longitud ele a y d es la distancia euclidiana. e) Tambin hgase ver que si L(a) = d(p, q), entonces (con la excepcin ele la parametrizacin), a es un segmento de recta. (Indicacin: escrbase e/= (a'u)u +Y, donde Yu = 0.)

3

Las frmulas de Frenet

Deduciremos a continuacin las mE'didas matemticas de las vueltas y torsiones de una curva de E 3 . A lo largo de esta seccin, estudiaremos solamente curvas ele rapidez unitaria; en la prxima, extenderemos la validez de los resultados a curvas regulares arbitrarias. Sea B: I--'? E 3 una curva ele rapidez unitaria, de manera que 11 f3'(s) 11 = 1 para cada s en J. Entonces, T = (3' se llama campo vectorial tangente unitario en (3. Puesto que T tiene la longitud constante 1, su derivada T' = (Y' mide la manera en que la curva da vuelta en E". Decimos que T' es el campo vectorial de curvatura de (3. La diferenciacin ele TT = 1 nos resulta en 2T'T = O, de manera que T' es siempre ortogonal a T, es decir, es normal a (3.

/}( 8)

rl (s)Figura 2.7

La longitud del campo vectorial de curvatura T' nos da una medida numrica de la manera en que f3 da vueltas. La funcin de valores reales K t O.t Entonces, el campo vectorial unitario N = T' 1 K en f3 nos dice la direccin en que f3 da vuelta en cada punto. N se llama campo vectorial normal principal de f3 (figura 2.7). El campo vectorial B = T X N en f3 se llama entonces campo vectorial binormal de .f3. 3.1 LEMA. Sea f3 una curva de velocidad unitaria en E 3 en la que K > O. Entonces, los tres campos vectoriales T, N y B en f3 son campos vectoriales unitarios ortogonales entre s en cada punto. Decimos que T, N, B constituyen el campo de sistemas de referencia de Frenet en [3.

Demostracin. Por definicin11

11

T

11

= l. Puesto queT'11

K

=

11

T' i 1 > O,

N

11

= ( 11K)

11

= l.

Vimos antes que T y N son ortogonales; esto significa que TN = O. Entonces, al aplicar el lema 1.8 en cada punto, concluimos que 11 B 11 = 1, de manera que B es ortogonal tanto a T como a N.

1

En resumidas cuentas, tenemos T = (3', N = T' 1 K y B = T X N, con la propiedad de que TT = NN = BB = 1, con los dems productos punto iguales a cero. La clave del buen estudio de la geometra de una curva f3 consiste en emplear su campo de sistemas de referencia de Frenet T, N, B siempre que sea posible, en lugar del campo natural de sistemas de referencia U 1 , U 2 , U 3 Esto se debe a que el campo de sistemas ele referencia ele Frenet est pletrico ele informacin acerca ele [3, mientras que el campo natural de sistemas de referencia no contiene nada ele ella. La aplicacin primera y ms importante de esta idea es la expresin de las derivarlas T', N', B' en trminos de T, N, B. Puesto que T = [3', tenemos T' = B" = KN. Consideremos a continuacin B'. Afirmamos que B' es, en cada punto, mltiplo escalar de N. Para verificarlo, no tenemos ms que hacer ver por el desarrollo orto normal que B' B = O y que B'T = O. Lo primero se cumple puesto que B es vector unitario. Con el objeto de demostrar lo segundo, diferenciamos BT = O, y obtenemos B'T + BT' = O; entonces

Por lo tanto, aqu ya estamos en posibilidad de definir la funcin de torsin T de la curva f3 como la funcin en el intervalo 1 de valores reales

i" En una curva arbitraria de rapidez unitaria, esto significa que debernos hacer separadamente un estudio de cada segmento en el que K O; vase el ejercicio 19 de la seccin 4.

>


73

tal que B' = -,N. (El signo de menos tiene orgenes en la tradicin.) Hay un contraste con la cunatura: aqu no se restringen los valones de T: pueden ser positivos, negativos o cero en diversos puntos de 1. (Adems, el signo de T resulta tener en cada punto un interesante significado geomtrico.) A continuacin veremos que T mide en efecto la torsin, o torcedura, de la curva f3. 3.2 TEOREMA (las frmulas de Frenet). Si f3: 1-:> E 3 es una curva de rapidez unitaria en la que K > O y la torsin es , entonces

.

T'=N'= -KTB'

KN+TE.-,N

=

Demostracin. Como se vio antes, las frmulas primera y tercera son, en esencia, las definiciones de curvatura y torsin. Para demostrar la segunda, emplearemos el desarrollo ortonormal con el fin de expresar N' en trminos de T, N, B:N'

=

N'T T

+ N'N N +

l\"'B B.

Estos coeficientes son fciles de encontrar. Al diferenciar NT = O, obtenemos N'T + NT' = O; por consiguiente,

Como solemos tener, N'N unitario. Por ltimo, N'B

=

O, debido a que N es un campo vectorial

=

-NB'

= -N( -TN)

=T.

1

3.3 EJEMPLO. Vamos a calcular el sistema de referencia de Frenet T, N, B y las funciones de curvatura y de torsin de la hlice de rapidez unitaria

f3 (s) =donde e= (a"

(a

cos

~, a sen

;,

bs), ee' e

+

b") l/ y aT ( s)

>O.

Ahora bien,

a sen -, s a cos s = f3 , (s) = ( - e e e

b)

En consecuencia,

T' (s)Por lo tanto,

(

-

cz cos e'

a

S

K(s)

11

T'(s)

11

az

a +

bZ

>O.

74Puesto que T'

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

= \',

concluimos que

N ( s) = (- cos s, - senr

~, O) . e

"

Observemos qwc, al margen de los valores que teng:m a y b, N siempre apunta directamente al eje del cilindro en el que desczmsa /3 (figura 2.8). Si aplicarnos h definicin de proclucto cruz ', a B = T X X, obtenemos

. = B( s)T

(b

e

S !J cos -_ S sen -, - -,- . e e r: e

a)

Nos falta calcular la torsin. Tenemosl \ b ' b B' (s) = ( - cos - -- sen O 1 c'2 r' e-:? (' ")'

Figura 2.8

y, por definicin, B' = - Tl\'. Si comparclmos las frmulas de B' y ele N, concluimos queT (

b b s) == -e"- = a"+ " b~ .

De manera que la torsin ele la hlice tambin es constante. AclviTtnsc que cuando el \alar del parmetro b es cero, b hlice se reduce a una circunferencia ele rndio a. La curv:ltura ele: esta circunferencia es K = lja (de manera que a radios menores corresponden curvaturas mayores) y la torsin es idnticamente cero. Este ejemplo es de un caso muy especial: en general (como se \e en los ejemplos escogidos para los ejercicios), las funciones de curvatura y de torsin de una curva no son necesariamente constantes. 3.4 Co:\IENTARIO. Hemos insistido constantemente en la diferencia entre un vector tangente y un punto ele E 3 Sin embargo, el espacio euclidiano tiene, como ya hemos visto, la propiedad notable de que, dado un punto p, hay una correspondencia natural y uno ;_; uno entre los puntos ( v 1 , u2 , V :o) y Jos vectores tnngcntes ( z_o 1 , ve, u3 ) J! en p. De esta manera, se pueden transfonnar los puntos en vectores tangentes (y viceversa) por medio de este isomorfismo cannico. En el caso de las dos secciones siguientes, nos convendr con frecuencia p:1sar de un objeto al otro sin cambiar nuestra notacin. Puesto que los objetos correspondientes tienen las mismas coordenadas euclidianas, el cnmbio no puede afectar la multiplicacin escalar, la adicin, los productos punto, la diferenciacin, ni ninguna otra operacin que est definida en trminos ele coordenadas euclidianas. Por lo tanto, un campo vectorial Y = (y,, y", :v~)" en una cmYa f3 se convierte en una curva l mismo, que SE'r (:},}'"'y") '~n E 1 . En pZ!rticular,

-

LAS FRMULc\S DE FRENET

75

si Y es paralelo, sus funciones coordenadas euclidianas sern constantes, de manera cp1e Y queda identificado con un solo punto ele K'. En b grometra del espacio se dice cue un jJlrmo en E" consta de todas las perprnclicu lares a una recta dada en un punto dado. Entoncrs, r'n knguajc nctorial, decimos cue el f'!mzo que jJasa j;or p y es ortor;onal a q 7= O consiste en todos los puntos r de E 3 taks e u e ( r - p) q = O. Por el comentario anterior, podemos representarnos a q como \Teto tangcnte en p, como se ve en la figura 2.fJ. Aqu ya podemos hacer una aproximacin informativa a una curva dada en las inmecliacio;ws de un punto arbitrario ele la curva . .1'\ucstro fin es ensear la m;:mcra en que la curvatura y la torsin influyen en la forma de la cuna. Para deducir esta aproximacin, emplearemos una aproximacin de Taylor a b cm";a, y expresaremos este resultado en trminos del sistema de referencia de Frenet en el punto en cuestin. Para tener mayor simplicidad, vamos a considerar la curva de rapidez unitaria f3 = (/3 1 , {3 2 , {3 3 ) cerca del punto f3(0). Si el valor des es pequeo, cada coordenada f3; (5) se \e aproximada estrechamente por el trmino inicial de su serie ele Taylor:s" ri"f3 d"(J j] i ( 5) ,......, /];(O) + df3 (O) + (O) (O) + ds rh'3 ds" 2

()

En consecuencia,

f3(s) ,......, j](O) + s(3'(0) +

~

f3"(0) +

-~~ 8"'(0).1

Pero f3'(0) = T 0 y /3"(0) = KoNo, donde el subndice nos indica la evaluacin en s = O y suponemos que Ko =/= O. Ahora bien,

f3"' = (KN)' =

~>v + K.V'.di( u J (O) "'oCS

Por lo tanto, segn la frmula de Frenet de N', obtenemosfJ

P'"r'O) .

=

-

Kue T o

+

+

KoTo B O

Por ltimo, tomamos en cuenta estas derivadas y substituimos sus Yalorcs en la aproximacin de (3(s) que hemos dado; entonces, conserYamos slo el trmino dominante de cada componente (es decir, el que contiene la menor potencia ele s). El resultado es

(3(s) ,......, {3(0) + sT 0 +

Ko

-~No+

KoTo

f

Bo.

Si denotamos el miembro derecho ele esta expresiCm por {1 (s), obtenemos una curva ~ que se llama apro:timacin de Frenet de f3 en la cercana ele

76


Bo

q

No

Figura 2.9

Figura 2.1 O

s = O. Insistimos en que f3 tiene una aproximacin de Frenet diferente en cada uno de sus puntos; si substituimos O por un nmero arbitrario s0 , entonces s queda reemplazado por s - s0 , como se suele tener en los desarrollos de Taylor. Vamos a examinar a continuacin la aproximacin de Frenet que acabamos de expresar. El primer trmino de la expresin de {3 es simplemente el punto f3 (O) . Los dos primeros trminos nos dzm la recta tangente S---'? [3(0) + sT0 de f3 en {3(0); sta es la mejor aproximacin lineal de f3 cerca de [3(0). Los tres primeros trminos representan la parbola

s---'? [3(0)

+ sT0 +

K0

(s"/2)N 0 ,

que resulta ser la mejor aproximacin cuadrtica ele ,B en las cercanas de f3 (O) . Observemos que esta parbola descansa en el plano que pasa por [3(0) y es ortogonal aBo, y ste es el plano osculante ele f3 en (O). Esta parbola tif'ne la misma forma que la parbola y = KoX 2 /2 en el plano xy, y queda determinada por completo por la curvatura Ko de f3 en s = O. Por ltimo, la torsin To, que aparece como el ltimo trmino de ~ y es tambin el de valor ms pequeo, controla el movimiento de f3 en direccin ortogonal a su plano osculante en f3 (O), como se ve en la figura 2.10. Sobre la base ele estas explicaciones, podemos conjeturar razonablemente que si una cmva de raj1idez unitaria tiene curuatnra idnticamente cero, entonces, es una recta. De hecho, sta es una consc>cucncia inmediata de (2) en el lema 2.3, puesto que K = 11 T' 11 = 11 [3" 11, de manera que K = O si y slo si [3" = O. Por lo tanto la curvatura mide, efectivamente, la desviacin de la rectitud. Diremos que una curva plana en E 3 es una curva que descansa en un plano de E 3 . Es evidente que una curva plana no se torcer de manera


77

tan interesante como la de la hlice simple del ejemplo 3.3. La explicacin anterior nos hace ver que, si s es pequelo, la curva f3 tiende a quedarse en su plano osculante en f3(0); lo que h

0.

9. Sea J la aproximacin de Frenet a una curva arbitraria de rapidez unitaria f3 en las inmediaciones de s = O. Si quisiramos retirar la

componente B 0 de

p,

la curva que resultara se llama proyeccin

ortogonal de ~ en el plano T 0 N 0 Es el aspecto que presenta

J ,. . , f3

si se le observa al mirar directamente hacia J (O) = f3 (O) a lo largc del vector B 0 Trcense las formas generales de las proyecciones ortogonales de cada uno de los planos T 0 N 0 , T 0 B 0 , N 0 B 0 , con la suposicin de que T > O. (Estos aspectos de f3 se pueden confirmar expenmentalmente por medio de un trozo curvo de alambre.)10. Curvas esfricas. Sea a una curva de rapidez unitaria en la que K> o, To:j=O. a) Si a descansa en una esfera con centro en e y radio r, demustrese quea - e= - pN- p'aB,

donde p = ljK y a= 1/T. Por lo tanto, r 2 = p2 + (p'a)2. b) De manera recproca, si p2 + (p'a) 2 tiene el valor constante r 2 y si p' of= O, demustrese que a descansa en una esfera de radio r. (Indicacin: en b), demustrese que la "curva central" y = a + pN + p' aB -sugerida por a)- es constante.) 11. Sean f3 y fJ: 1--;. Ea curvas de rapidez unitaria de curvatura y torsin que no se anulan. Si T = T, entonces f3 y son paralelas ( ejercicio 8 de II.2). Si B = B, demustrese que fJ es paralela o bien a ,B o bien a la curva s --;. - f3 (s) .

/3

4

Curvas de rapidez arbitraria

La adaptacin de los resultados de la seccwn anterior al estudio de una curva regular a: 1--;. E3 , que no tiene necesariamente rapidez unitaria, es un asunto sencillo. Simplemente transferimos a a el aparato de Frenet que corresponde a una parametrizarin de rapidez unitaria a de a. De manera

"f La existencia de rp como funcin difcrenciablc en la que T = cos rp U, sen rp Uo se desprende del ejercicio 12 de la seccin l.

+

82


ms explcita, si s es una funcin arbitraria de longitud de arco de a, como se tena en el teorema 2.1, entonces,

a(t)

=

a(s(t))

para todo t

o, en la notacin funcional, a= a(s). Ahora bien, si K> O y si 7, T, N y B se han definido para a como se hizo en la seccin 3, definimos en relacin con a la la el el el funcin de curvatura: K = K(s) funcin de torsin: r = 7 ( s) campo vectorial tangente unitario: T = T ( s) campo vectorial normal principal: N= N(s) campo vectorial binormal: B = B (s)

En general, K y K son funciones diferentes, definidas en intervalos clistintos. Pero dan exactamente la misma descripcin de las vueltas que hay en la trayectoria comn de a y a, puesto que, en cualquier punto a ( t) = a ( s ( t) 1, los nmeros K ( t) y K( s ( t) ) son, por definicin, iguales. Lo mismo sucede con el resto del aparato de Frenet; el significado geomtrico fundamental es el mismo, pues solamente interviene en la diferencia un cambio de parametrizacin. En particular, T, N, B vuelve a ser un campo de sistemas de referencia en a, vinculado a la forma de a de la manera que hemos indicado en la explicacin de las aproximaciones de Frenet.

( tFigura 2.15

s(t)

En el trabajo puramente terico, a menudo no hay que hac~~r ms que esta simple transfcrenci;1. La inform:1cin :1ccrca de a se conYicrte en datos acerca de la rcpalal!ll'trz:lcin de rapidez unitaria a; Jos resultados con respecto a n E". Entonces,1[/{

a' 11[ a'

,\' =

B X T

a

:r

1

X

a

//[11'1 :;:~ti"t'l"u..

B = a' X a" 1/ a' X a" ji

((l.' X a ") e: "' 1111 , a 'X ,/'

flz.

Demostracin. Puesto que v = 11 ~t' l i > O, b frmula equivale a a' = vT. Por el lema anterior, tenernos

a' X a"= (vT) X

(~ T + /(vW)

debido a que 11 B 11 = 1, /( > O y v > O. En cff'cto, esta ecuacin nos cnsei.a O equivale a la condicin habitual que en curvas regulares, 11 a' X ~t" 11 /( > O. (De esta manera, cmmdo /( > O, e/ y a" son linealmente independientes y determinan el plano osculante en cada punto, como lo hacen T y N.) Entonces,

>

B=

e/ X a"11

a' X a"

11 a ' X a "11'

:\hora bien, N = B X T en cualquier campo de sistemas ele referencia ele Frenet (ejercicio 4 de la seccin 3) ; por consiguiente, slo nos falta demostrar la frmula de la torsin. Para encontrar el valor del producto escalar (~t' X a")a"', expresaremos todo en trminos de T, N, B. Ya sabemos que a' X a" = /(v''B. Por lo tanto, puesto que O = TB = NB, solamente necesitamos encontrar la componente B de a"'. Peroa

"' = (dv -di T+ "N) , = ' N' +/(vJ(V"

donde utilizamos el lema 4.1. En consecuenCia (a' X a") a"' = /("v",, y put'sto que 11 a' X a" 11 = /(:", ya tenemos la frmula que queramos de '

1

El triple producto escalar de esta frmula ele , tambin se puede (gracias al ejercicio 4 ele la seccin 1) expresar como a'a" X a"'. Pero

86

CAMPOS DE

SISTEMAS DE REFERENCTA

de cualquier modo nccrsitamos tener a' X o:". de manera qur suele ;;er ms sencillo rncontr:1r (a' X r/') e/".4.4 Ep::--rPLO. C;1lcubrcrncs el ap;n;:to dr Frenct ck la cu1Y:t

a(t)Las derivadas son

=

(3t - t 3 , 3t". 3t

+

t 3 ).

a'(t) = 3(1- t", 2t, 1 a"(t) = 6( -t, 1, t) a"'(t) = 6( -1, O, 1).Ahora bien,

+n

a'(t)a'(t) = 18(1de manera queV ( t)

+ 2t" +

t 4 ),

=

11

a' ( t)

11

ylS(1 + t").

Al aplicar la definicin de producto vectorial, obtenemos

a'(t) X a"(t)

18

1

1 - t2

2t

+

t"

18(-1 +te, -2t, 1

+

t 2 ).

1

-t

Y al hacer el producto escalar de este vector consigo mismo, tenemos

En consecuencia,11

a' ( t) X a" ( t)

11

=

18 y'2 ( 1

+

t2 )

Las expresiOnes antniores de a' X a" y a"' resultan en

(a' X o:") a'" = 6 18 2.Solamente nos falta substituir esta informacin en las frmulas del teorema 4.3, con N calculado por medio de otro producto vectorial. Los resultados finales son

T

=

( 1 - t 2 , 2t, 1

---------

+ t2)

vi(1 +1

t2)

.

(-2t, 1- t 2 ,0) N = ---------

+ [2t 2,

B

=

(

-1

+

-

2t, 12 )

v2( 1 + t1

+

t2)

t (1 + (-K

y, de esta manera, depende solamente de la razn de la torsin a la curvatura de la curva original (3. He aqu una aplicacin estrechamente relacionada en la que la razn T /K resulta ser decisiva.4.5 DEFH\ICI)I. Se dice que una curva regular a en E'l es una hlice cilndrica cuando la tangente unitaria T de a forma un ngulo constante {} con algn vector unitario fijo u; es decir, T(t) u = cm,{} para todo t. Esta condicin no se ve alterada por la rcparametrizacin, de modo que, para fines tericos, necesitamos estudiar solamente una hlice cilndrica (3 con rapidez unitaria. De manera que supondremos que (3 es una curva de rapidez unitaria en la que Tu = cos {}, Si escogemos un punto de referencia, por ejemplo, (3(0), en (3, entonces la funcin de valores reales h(s) = ((3(s) - (3(0) )u nos dice cun alto se "alza" (3(s) en la direccin de u desde que sale de (3(0) (figura 2.18). Pero tambind_h = (3'u = Tu = cos {}ds

de manera que (3 se alza con una tasa constante en relacin con la longitud de arco, y h ( s) = s cos {}. (Si nos desplazamos a una parametrizacin arbitraria, esta frmula se convierte en

CURVAS DE RAPIDEZ ARBITRARIA

89

h ( t) =

S (

t)

COS {},

donde s es la funcin de longitud de arco.) Al trazar una recta por cada punto de f3 en la direccin de u, construimos un cilindro generalizado C en el que se mueve f3 de manera que corta cada regladura (o "elemento") a un ngulo constante 1'J, como se

ul).~(O)Figura 2.18

(3(s)

Figura 2.19

ve en la figura 2.19. En el caso especial en que este cilindro es circular,

f3 es evidentemente una hlice del tipo definido en el ejemplo 3.3.Resulta muy fcil identificar hlices cilndricas.

4.6 TEOREMA. U na curva regular a en la que cilndrica si y slo si la razn T 1K es constante.

K

>O

es una hlice

Demostracin. Es suficiente que consideremos el caso en que a tiene rapidez unitaria. Si a es una hlice cilndrica en la que Tu = cos {}, entonces

O= (Tu)' = T'u = KNu.Puesto que K > O, concluimos que Nu = O. Por lo tanto, en cada s, u est en el plano determinado por T (s) y B (s) . El desarrollo ortonorrnal resulta enu = cos {}

T

+ sen{} B.

Como es habitual, diferenciamos y aplicamos las frmulas de Frenet para obtener O = (K eos {} En consecuencia, tante cot {}.T T

sen {}) N.

sen {}

= K eos {}, de manera que T 1K tiene e1 valor cons-

90


Recprocamente, supongamos que lo {} tal que cot {} = T /K. Si

T/K

es constante. Tomemos un ngu-

Udescubrimos que

= cos {} T + sen {} B,

U' = (K cos {} - T sen{}) N = O.Este campo vectorial paralelo U determina, entonces (como tenamos en el comentario 3.4), determina un vector unitario u con la propiedad de que Tu = cos {}, de manera que a es una hlice cilndrica. 1 Esta demostracin tambin nos ense'a la manera de calcular el vector unitario u y el ngulo {}. Por ejemplo, la curva a del ejemplo 4.4 es una hlice cilndrica, puesto que all K = T. El ngulo {f cumple la igualdad cot {} =

T/K =

1; tomamos {} = "/4. Entonces cos {} = sen{} = 1

-12,

de

manera que, por la demostracin anterior, u = ( 1/ v2) (T + B). Entonces, la informacin del ejemplo 4.4 resulta en u = (0, O, 1). (No es necesario convertir a a en una curva de rapidez unitaria; con eso no haramos sino reparametrizar K, T, T y B, sin afectar ni a {} ni a u.) En el ejercicio 10, la informacin acerca de las hlices cilndricas se usa para verificar que las hlices circulares se caracterizan por la constancia de la curvatura y la torsin (vase tambin el corolario 5.5 del captulo III.) Es as como hiptesis sencillas acerca de una curva regular en E 3 tienen los efectos siguientes ( (=) quiere decir "si y slo si") :K =

(=)recta (=)curva planaTT

T=OKK

>Oy constante > O yconstante

= Oconstante

T/K constante

*

(=)circunferencia O(=) hlice circular (=) hlice cilndrica

EJERCICIOS

1. Consideremos la curv:1 a: R-e> E 3 t:1l que a(t) = (2t, t~, t 3 , /3). a) Calclese el ap:1rato de Frenct de a: K, T, T, .1\'. R. b) Hgase un dibujo cuicbdoso de esta culTa para -4 < t :o:; 4, donde se \can T, N y B en los valores t = O, 2, 4. (lndicacin: empicesr con su proyeccin (2t, t", O) en el plano xy.) e) Encuntrese la posicin lmite del sistema de referencia de Frenct T, N, B de a cuando t --'> + ctJ y t--'> - ctJ.

CURVAS DE RAPIDEZ ARniTRARIA

91

2. Calclese el aparato de Frenet de la curva a ( t) (cosh t, senh t, t). Exprsense la curvatura y la torsin de a como funciones K (s) y r (s) de longitud ele arco s medida a partir ele t = O.

3. En la curva a(t) = (t cos t, t sen t, t), a) calclese el aparato de Frenet en t = O. (Evalense a' a", a"' en t = O sin acudir al teorema 4.3.) b) trcese esta curva para - 2,. :S t < 2,., ele manera que se vean T, N, B en t =O. (Inrlicacin: ejercicio 2 de II.2.)4. En la curva a del ejemplo 4.4, verifquese la validez del lema 4.2 por

medio de la substitucin directa. Hgase un dibujo a escala, en el que se vean los vecton'S T(O), N(O), a'(O) y a"(O).

S. Demustrese que la curvatura de una curva regular en E 3 est dadapor

6. Si a es una curva de rapidez constante e

> O,

demustrese que

T = a'/ e N = a"/ [ a" i] - a ' X a "/ C B 1

K=

11

a" 11/c~

a' X a" a'"1[ a "1

'!

T=

1

donde suponernos que, para N, B, r, a" no es nunca cero, es decir, que

K>

O.

7. Emplense las frmulas del ejercicio anterior para calcular el aparato

de Frenet correspondiente a la hlice a del ejemplo 4.2 del captulo J.

8. Sea a una hlice cilndrica con vector unitario u, ngulo {} y funcin ele longitud ele arco s (medida a partir de, por ejemplo, t = O.) La curva nica y con la propiedad ele que a ( t) = 1 ( t) + s ( t) cos {} u se llama curua de seccin transversal del cilindro sobre el que descansa a. Demustrese que a) 1 descansa en el plano que pasa por a (O) y es ortogonal a u. b 1 La curvatura de 1 es Kjsen 2 {}, donde K es la curvatura de a. (1ndicacin: en ( b) es suficiente suponer que a tiene rapidez unitaria.) 9. (Continuacin). Las curvas siguientes son hlict's cilndricas; en cada una se deben encontrar el vector unitario u, el ::ngulo D y la curva de seccin transversal 1 ; verifquese la condicin (a) del ejercicio anterior.

92


a) La curva del ejercicio l. b) La curva del ejemplo 4.1 e) La curva del ejercicio 2.

1O. Si f3 es una curva de rapidez unitaria en la que K > O y r

=/= O, ambos con valores constantes, demustrese que f3 es una hlice (circular).W11-

11. Sea a la imagen esfrica (seccin 4) de una cuna de rapidez taria f3. Demustrese que b curvatura y la torsin de a sonT

= _(rl_fds) (T/K)" K[1

+

(T/K)"]

donde

K

y r son la cmTatura y la torsin de f3.

12. a) Demustrese que una curva es hlice cil;ndrica si y slo si su imagen esfrica es parte de una circunferencia. (No es necesario hacer clculos aqu.) b) Trcese la imagen esfrica ele la hlice cilndrica del ejercicio l. Es una circunferencia completa? Encuntrese su centro. 13. Si a es una curva en la que K > O, entonces la curva central a"' = a + (1/K)N consiste en todos los centros ele curvatura de a (ejercicio 6 ele II.3). Para cualesquiera dos nmeros a y b distintos ele e pro, sea f3ab la hlice ele! ejemplo 3.3. Demustrese que la curva central de f3ab es f3ab, donde d = - b 2/a. Dcdzc O y g funciones cliferenciablt>s arbitrarias de valores reales definidas en un intervalo ele R. Considrese la curvaa ( t) =

(f f (t)

sen t,

Jf (

t) cos t,

Jf (

t) g ( t) )

donde f h denota cualquier funcin cuya derivada sea h. Demustrese que la curvatura y la torsin ele a estn dadas porr=

1 8. Considrese la curva cbica general y ( t) :'=0. a) Calclese

=

( at,

bt2 , ct 3 ), donde abe

y dcdzcase que b curva cbica y es una hlice cilndrica si y slo si 3ae = +2b 2 b) En el caso en que 3ac = 2b 2 , encuntrense el vector unitario u y el ngulo {). 19. U no de los recursos ingeniosos del clculo aYzmzaclo es la construccin de una funcin (infinitamente) diferenciable f C'll la recta real con la propiedad de que f(t) =O para t O para t >O. (Adems, f"(t) >O para t > 0.) Si g(t) = f( -t), consideremos la curva

a(t)

=

(t, f(t), g(t)).

94


a) Demustrese que la curvatura de a es cero slo cuando t = O. b) Trcese esta curva para valores pequeos de t y mustrense nlgunas de las normales principales en t > O y en t < O.1 1

En este ejemplo se ve que la condicin K > O no se puede evitar en un estudio detallado de la geometra de bs curvas de E\ pues si K es cero --aunque sea en un solo punto- el carcter geomtrico de l2t cuna puede cambiar radicalmente en ese punto. (Advirtase que esta dificultad no es seria en las curvas ele E~; vnse d ejercicio 8 de II.3.)

5

Derivadas covariantes

En el captulo I, en cada definicin de un objeto nuevo (CUlTa, forma diferencial, mapeo, ... ) solamos definir, a continuacin, una idea adecuada de la derivada del objeto en cuestin. Los campos \Tctoriales fueron una excepcin a este proceder; hemos propuesto la definicin de sus derivadas, debido a que (como se ver en resultados posteriores) esta idea corresponde propiamente a la geometra del espacio euclidiano. La definicin viene a generalizar la de la derivada v[.f] de una funcin f con respecto al vector tangente v en un punto p (definicin 3.1 del captulo I). De hecho, al recmpbzar f por un campo \Cctorial W, observamos que la funcin t--- fV ( p + tv) es un campo vectorial en la cuna t ~ p + tv. (La derivada de un campo vectorial as se defini en la seccin 2.) Ahora bien, la derivada de W con respecto a v ser la derivada de t ~ W(p + tv) en t =O.

5.1 DEFINICIN. Sea W un campo vectorial en E" y sea v un vector tangente a E" en el punto p. Entonces la derizada covariante de Jil1 con respecto a v es el vector tangente

w

Figura 2.20

DERIVADAS COVARIANTES

95

'V ,.W = W ( p + tv) ' (O)en el punto p. Es evidente que 'V ,.W mide la rapidez inicial de variacin de W (p) a medida que p se desjJ!aza en la direccin v (figura 2.20). (El trmino "covariante" proYif'ne de la generalizacin de esta idea que se explica en el captulo \'II.) Por ejemplo, supongamos que W = x~U 1 + yxT ~ ~, y que v = (- 1, O, 2) en

p = (2, 1, O)Entonces,

pde manera que

+

tv

=

(2 - t, 1, 2t),

W(p

+

tv)

= (2 - t) 2 U1 + 2tU 3 ,

donde, en un sentido estricto, Por consiguiente,'VvW=

ul

y u2 tambin se evalan en p -4Udp)

+

tv.

W(p

+

tv)'(O)

=

+

2U3 (p).

Si W = ~ w;U; es un campo vectorial en E 3 y si v es un vector tangente en p, entonces,

5.2

LEMA.

Demostracin. Tenemos que

W(p

+

ty)

=

~ wi(P

+ tv)

U;(p

+ tv)

en la restriccin ele W a la curva t ~ p + tv. Para diferenciar un campo vectorial as (en t = O), se diferencian sencillamente sus coordenadas euclidianas (en t = O). Pero, segn la df'finicin de la derivada dircccioml (definicin 3.1 del captulo I), la derivada de w;(p + tv) en t =O es precisamente v[wi] Es as como'VvW = W(p

+

tv)'(O) =

2: v[w;]

U;(p).

1

Con brevedad, para ajJlicar 'V v a un campo vectorial, se aplica v a sus coordenadas euclidianas. Es Ztsi como se c!Psprcndcn de las propiedades correspondientes (teorema 3.3 cid captulo I) de las derivadas direccionales las siguientPS propiedades de LPibniz y ele linealidad de la clrrivacla cavariante.

5.3 TEOREMA. Se;m v y w \Tctores tangentes a E'3 en p, y sean Y v ZLampos \Tctorialc'; en E". Entonces,

96


l. \7 av,bwY = a\7 vY + b \7 wY, para todos los nmeros a y b. 2. 'Vv(aY + bZ) = a\i'vY + b\7 1Z, para todos los nmeros a y b. 3. 'Vv(fY) = v[f]Y(p) + f(p) \i'vY, para todas las funciones (diferenciables) f. 4. v[YZ] = 'VvYZ(p) + Y(p)\i'vZ. Demostracin.Demostraremos 4, por ejemplo. Siy

z

=

: ZiUi,

entonces

YZ = 2: YiZi.En consecuencia, por el teorema 3.3 del captulo I, v[YZJ = v[2:y;zi] = 2:v[yi]Zi(p) Pero, por el lema anterior,V

+ '2:yi(p)

v[zi]

Y las dos sumas que acabamos de exhibir son precisamente 'VvYZ(p) y Y(p)'VvZ. Por medio del principio de operar punto por punto (captulo I, seccin 2) una vez ms, podemos tomar la derivada covariante de un campo vectorial W con respecto a un campo vectorial V, en lugar de hacerlo con respecto a un solo vector tangente v. El resultado es el campo vectorial \7 vW cuyo valor en cada punto p es \7 vcvl W. Por lo tanto, \7 vW consiste en todas las derivadas covariantes de W con respecto a los vectores de V. Del lema anterior se desprende inmediatamente que si Tt'" = '2: wiUi, entonces,

1

\i'vW

=

,'2: V[wi]Ui.

Los clculos de coordenadas son fciles de hacer si se acude a la identidad fundamental Ui[f] = ofj,ox;. Por ejemplo, supongamos que V= (y- x) U1 + xyU 3 y que (como tenamos en el ejemplo anterior) W = x 2 U1 + yzUs. Entonces, V[x 2 ] = (y- x) U1[x 2 ] = 2x(y- x)

V[yz] = xyU 3 [yz] = xy2Por consiguiente,

Ahora bien, hemos tomado el campo vectorial V pensando en el ejemplo anterior. De hecho, el valor de V en p = (2, 1, O) es

DERIVADAS COVARIANTES

97

V(p)

(1 - 2) Ul(p)

+

2Us(p) = ( -1,

o, 2)

p

=

Vp,

como tenamos antes. Es as como el valor del campo vectorial \7 v W en este punto p debe corresponder nl clculo anterior de \7,.~11. Y tenemos que si p = (2, 1, O),

Con respecto a la derivada covarinnte \7 vfV expresada por completo en trminos de campos vcctorinles, las propiedades del teorema nnterior tomnn esta forma: 5.4 CoROLARIO. Senn los campos vectoriales en E" V, ~11, Y y Z. Entonces, 1) \7r(aY + bZ) = a\7vY + b\7vZ, para todos los nmeros a y b. 2) \7JY+gn-Y = f\7rY + g\7wY, para todas las funciones f y g. 3) \7 v (fY) = V[f]Y + f\7 rY, para todas las funciones f.ij V[YZJ=

\7vYZ

+

Y\7vZ.

Omitiremos la demostracin, que es un ejercicio en el empleo ele parntesis que se basa en el principio de operar punto por punto, que sirvi par:t definir (\7rY) (p) = \7runY. Hay que advertir que \7rY no se comporta ele manera simtrica con respecto a V y Y. Esto era de esperarse, puesto que lo que se diferencia es Y, mientras que el papel que desempea V es simplemente algebraico. En particular, \7rY es f'VrY, mientras que \7v(/Y) no es f\7yY: hay un trmino adicional. que proviene de la diferenciacin ele f por V.

EJERCICIOS1. Considrese d vector tangente v = ( 1, -1, 2) en el punto p = ( 1, 3, -1). Calclese directnml'nte \7 1 W, a partir de b definicin, en los casos en quea! W=

x"U 1

+ y U~.

b) W

=

xU 1

+

x"U~

- z"U;,.

2. Sea V= -y[], + xU 2 y SC'a W = cos xU1 +sen xUe. Exprsense las derivadas covariantes siguientes en trminos ele U1,

Ue, U:,:a) \7vW.b) \7yV.

e) \7dz"W). d) \7 11 (V).

e) \7v( \7vW). f) \7v(xV- zW).

3. Si W es un campo vectorial ele longitud constante igual a ! 1 W 11, demustrese que, para cualquier campo vectorial V, la derivada covarinnte \7 v W es ortogonal en todas. partes a W.

98


4. Sea X el campo vectorial especial : xiUi, donde x 1 , Xc, x, son las funciones coordenadas naturales en E''. Demustrese que 'V vX = V en todo campo vectorial V.

5. Si W = : wiUi rs un rampo vectorial en E', la diferencial co~ariante ele W se define como 'VW = dwiUi. Aqu 'VW es la funci/m en todos los vectores tangentes cuyo \'alor en v es

Calclese la diferencial covariantc de

y emplese para encontrar 'V vW, donde a) v = (1,0, -3) en p = (-1,2, -1). b) v = (-1,2, -1) en p = (1,3,2). 6. Sea W un campo vectorial definido en una regwn que contiene una curva a. Entonces t ~ W (a ( t) ) es un campo vectorial en que se llama restriccin de W a a y se denota por vV a a) Demustrese que 'V"'ctJW = (W")'(t). b) Dedzcase que la recta de la definicin 5.1 se puede reemplazar por cualquier curva con velocidad inicial v. Por consiguiente, la derivada Y' de un campo vectorial Y en una curva a es (casi) 'V"Y.

7. El corchete ele dos campos vectoriales es el campo vectorial [V, vVJ = 'V v W - 'V w V. Establzcanse las propiedades siguientes del corchete: a) [V, W][fl = VW[f] - WV[f] (aqu VW[f] nos denota la "segunda derivada" V[W[fJJ), b) [TV, V]= -[V, W]. e) [U, [V, W]] + [V, [W, U]]+ [W, [U, V]] =O. d) lfV, gW] = fV[glW- gWifJV + fgW, W]. (Indicacin: Z[fl = O para toda f implica que Z = 0.)

6

Campos de sistemas de referencia

Cuando se descubrieron las frmulas ele Frenet (por Frenet en 1847 y, de manera independiente, por Serret en 1851), la teora ele las superficies en E 3 ya era una rama ele la geometra que se haba desarrollado abundantemente. Gracias al xito de la actitud de Frcnet ante las curvas, Darboux (hacia 1880) pudo adaptar este "mtodo de sistemas mviles de referencia" al estudio de las superficies. Y, a continuacin, como ya hemos dicho, Cartan dio al mtodo generalidad plena. Su idea esencial era muy


99

sencilla: a cada punto del objeto que se estudia (curva, suprrficie, el mismo espacio cuclidi:mo, ... ) se asigna un sisHna ele rE'ferencia; entonces, el empleo del desarrollo ortonormal expresa la rapidez de v:niacin del sistema de referencia en trminos del mismo sistem;L Esto es lo mismo que hacen las frmulas de Frt'net en una cuna, por supuesto. En las trrs secciones siguientE's, vamos a dabor0r cktalladmncnte Fste esquema en el espacio euclidi:mo E 3 . Veremos que la geometra ele ~urvas y superficies de E' no es simplemente una analoga, sino. de hecho, un corolario de estos resultados fundamentales. Puesto que la aplicacin principal (a la teora de las superficies) se estudia solamente rn el captulo VI, se pueden posponer estas secciones hasta el momento anterior al tr:1bajo con este captulo. Por medio drl principio de operar punto por punto (captulo 1 seccin 2) podernos extender automticamente las operaciones de nctorcs tangentes individuales a las operaciones en campos \'ectoriales. Por ejemplo, si V y W son campos vectoriales en E\ entonces, el producto escalar VW ele V y TY es la funcin cliferenciablc, en E 3 y de valores reales cuyo valor en pes V(p)W(p). La norma !1 V !1 de V es la funcin en E 3 de valores reales cuyo \alar en pes 11 V(p) 1:. Por tanto, 11 V 11 = (VV)~. En contraste con V TV, la funcin norma 11 r 11 no tiene que ser cliferenciable en los puntos en que F ( p) = O, puesto que la funcin raz cnadrada tiene mal comportamiento en O. En cada punto p dc E'', los tres vectores tangentes U 1 (p), U~(p), constituyen un sistema de referencia en p. Este comentario se expresa concisamente en trminos dr los productos punto de campos yectorialcs al poner UUj = 8ij (1 < i.j ~ 3). En todo el captulo I empleamos U 1 , C", U> Aqu, como ya tenemos el producto punto, haremos una gencr~lli zacin sencilla, aunque decisiva.

re" (p)

6.1 DEFINICIN. Los campos vectoriales E 1 , E e, E 8 en E 3 constituyen un camjJo de sistemas de referencia en E 3 siempre que

EiEj

=

8 ij

(1 < i,j < 3)

donde 8 ii es la delta de Kronecker. El trmino camjJo de sistemas de referencia se justifica por el hecho de que, Pn cada punto p, los tres wctores E,(p), F"(p), E 3 (p) forman un sistema ele referencia en p. Dimos una anticipacin de esto al decir, en el captulo I, que U 1 , U 0 , U" eran el campo natural de sistemas de referencia en E 3 .6.2 E.J El\IPI.O. 1) El camjJo cilndrico de sistemas de referencia (figura 2.21). Sean r, 1J, z las funciones coordenadas cilndricas habituales

lOO


en E 3 Vamos a escoger un campo vectorial unitario en la direccin en que cada coordenada se incrementa (mientras las otras dos se mantienen constantes). En r, esto es, eYidcntemcnte,

en la direccin que surgf' del eje de las z. Entonces,

apunta en la direccin de la {) en aumento, como se

\T

en la figura 2.21.

z

z

/

/

''

1 1 1

1

1

1

yX

,1

1 1

--- _.... -EsfricoFigura 2.22

y

CilndricoFigura 2.21

X

Por ltimo, la direccin del incremento z cs. por supuesto, directamente hacia arriba, de manera que se tiene

Se ,erifica con facilidad que E;"Ej = 8 j de manera que aqu tenemos un campo de sistemas de rdcrcncia (que se define en la totalidad ele E 3 con la excepcin del eje de las z). Lo lbnJ;unos camjJo cilndrico de sistemas de referencia en E 3 . 2) El campo esfrico de sistemas de referencia en E' (figura 2.22). De la misma manera, podemos deducir un campo ele sistemas ele referencia F,, F 2 , F;, a partir de las funciones coordenadas esfricas p, {}, 'i en E". Como lo indica la figura, mediremos '? hacia arriba a partir del plano .\)'. en lugar de hacerlo (como se suele) hacia abajo a partir del eje de las z. Sea E 1 , Ec, F," el campo cilndrico de sistemas de referencia. En las coordenadas esfricas, el campo vectorial unitario F 2 en la direccin de la coordenada {} creciente es el mismo de antrs. de manera que F" = F". El campo vectorial unitario F,. en la direccin de la p creciente, sale directamente del origen; en consecuencia, lo podemos expresar como

F, = cos 9E1 +sen rpE3 ,


101

(figura 2.23). De la misma manera, el campo wctorial para la rp en incremento es

Por consiguiente, las frmulas de E 1 , E e, E, de ( 1) resultan en

F 1 = cos 9 (cos {}U, +sen{} U e) +sen 'P U"

Fe= -sen{} U 1 + cos {} UzF 3 = -sc:n9

(cos iJ U, + srn {}U e) + cos 9 C,

El uso repetido de la identidad sen" + cos 2 = 1, resulta en la comprobacin de que F 1 , F 2 , F 3 es un campo de sistemas de referencia: el campo Figura 2.23 esfrico de sistemas de referencia en E". (Su dominio real ele cldinicin viene a srr E 3 menos Pl eje de las z, como tenamos en el caso cilndrico.) Los resultados siguientPs, ele utilidad. son consecuencia inmediata del desarrollo ortonormal.

6.3 LEMA. Sea E,, Ec, E;; un campo de sistemas de referencia Fn E'. 1) Si V es un campo vectorial en E', entonces TT = 2: f;E;, donde: las funciones [i = VE; se llaman funciones coordenadas de V con respecto a E1_, E~, E . .-,. 2) Si T' =' 2: f,E; y TV = 2: g;F;, entonces VW = 2: f;g;. En particular, [[ Vli = ("'.if;")Jf. Por tanto, un campo vectorial dado V tiene un conjunto diferente de funciones coordenadas con respecto a cada eleccin de campo de si:;tcmas ele rdPrencia F, ~ 2 , E,,. Las funciones coordenadas cuc!idianas (lema 2.:> dd captulo I) provienen, por supuesto, del campo natural de sistemas ele referencia 1' 1 , U 2 { ' 8 En el captulo I, b;te fup el nico campo ele si,:temas de rdcrencia que emplP;nnos, pero aqu iremos pa,;ando gradualmente :t los campos :1rhitrarios ele sistemas ele rcferenciZI. Hay un~l razn clara de esto: en d estudio de bs curvas y las superficies de E", podremos cscogu el campo de sistemas de referencia que e adapte r/,, manera csjJecifica al problema en cuestin. Con esto no ,,o lamente se simplifican los clculo::, >in o que se aclar 1 , ee, e;; que se emplee para obtener las coordenadas de v y w. Para los productos \'ectoriales tenemos casi el mismo resultado, pero aqu inteniene la orientacin.

E3 Si v = _

3.5 LJ:MA. Sea e 1 , e 2 , e 3 un sistema ele referencia en un punto de v;ei y w = 2: wiei, entonces

donde

E=

e1e 2 X e 3

=

+1.

Demostracin. Ser suficiente el desarrollo del prodm:to vectorial

por medio ele las fnnulas (3) del comentario 3.1. Por ejemplo, si el sistema de referencia est positivamente orientado, obtendremos

Puesto que, en este caso, E = 1, obtenemos el mismo resultado en el miembro derecho de la ecuacin que queramos demostrar. De esto se desprende inmediatamente que el efecto de una isometra en los productos vectoriales implica tambin cuestiones de orientacin.

1

3.6 TEOREMA. Sean v y w vectores tangentes a E 3 en p. Si F es isometra de E 3 , entonces

132

GEOMETRA EUCLIDIANA

Demostracin. Ponemos v = -;EuiU;(p) tinuacin, sean

y w = -;EwiU;(p). A con-

Puesto que F* es lineal,

El clculo directo, en que se aplica el lema 3.5, nos hace ver que

donde

Pero U,, U 2 , U" est positivamente orientado, de manera que, segn el lema 3.2, se verifica que E = sgn F.

1

EJERCICIOS

1. Demustrese que

sgn (FG) = sgn Fsgn G = sgn (GF). Dedzcase que sgn F = sgn (F- 1 ).

2. Si H 0 es una isometra de E 3 que invierte la orientacin, demustrese que toda isometra que invierte la orientacin tiene una expresin nica como l! 0 F, donde F conserva la orientacin.3. Sean v = (3, 1, -1) y w = (- 3, -3, 1) vectores tangentes en un punto. Si e es la transformacin ortogonal que vimos en el ejercicio 4 de la seccin 1, comprubese la frmula

C.(v X w) = sgn

e e*(v)

X e*(w).

4. Una rotacin es una transformacin ortogonal e tal que det e = + l. Demustrese que e, efectivamente, somete a E 3 a una rotacin alrededor de uno de los ejes. Hgase ver explcitamente que, dada una rotacin e, existen un nmero {} y puntos e 1 , e 2 , e 3 , en los que e;ei = 8 ij, tales que (figura 3.5)

GEOMETRA EUCLIDIANA

133

e (Ct) e (e2)

==

COS {f el-

+el

sen {f

C2 e2

sen {f

+

cos {}

(Indicacin: El significado de que la dimensin ele E" sea impar es que e tiene una raz caracterstica + 1, de manera que existe un punto p=f=O tal que e(p) =p.)S. Sea a un punto E" con la propiedad de que que la frmula11

Figura 3.5

a

11 =

l. Demustrese

e (p)

=

a X p

+ pa a

define una transformacin ortogonal. Descrbase su efecto general en E 3 6. Demustrese que a) El conjunto Q+ ( 3) de todas las rotaciones de E 3 es subgrupo del grupo ortogonal O ( 3) (vase el ejercicio 8 de III.l) . b) El conjunto (;+ de todas las isometras que conservan la orientacin en E 3 es subgrupo del grupo euclidiano G.

7. Encuntrese una sola frmula capaz de expresar todas las isometras de la recta real E 1 . Hgase lo mismo en el plano E 2 (sese E = -+-1) . De estas isometras, cules son las que conservan la orientacin?

4

Geometra euclidiana

Al abrir este captulo, hicimos un recordatorio de una caracterstica fundamental de la geometra plana: si existe una isometra que lleve un tringulo a otro, entonces los dos tringulos (que son congruentes) tienen exactamente las mismas propiedades geomtricas. Si examinamos detenidamente este concepto, veremos que es un enunciado que no admite demostracin; constituye, de hecho, la definicin de la "propiedad geomtrica de un tringulo". Con ms generalidad, podemos decir que la geometra euclidiana se define como la totalidad de conceptos qu~ se ven conservados por las isometras del espacio euclidiano. Por ejemplo, el corolario 2.2 nos ensea que la idea del producto escalar de vectores tangentes pertenece a la geometra euclidiana. De la misma manera, el teorema 3.6 nos hace ver que, con la excepcin posible del signo, el producto vectorial tambin queda conservado por las isometras. Esta famosa definicin de la geometra euclidiana es un poco generosa, sin embargo. En la prctica, la unidad de significacin "geometria euclidiana" se suele referir solamente a los conceptos que las isometras.

134

GEOMETRA EUCLIDIANA

conservan, aunque no lo hagan mapeos arbitrarios, o inclusive los mapeos de clase ms restringida ( difeomorfismos) que tienen m apeos inversos. Un ejemplo nos puede ayudar a aclarar un poco ms esta distincin. Si a = (a 1 , a~, a 3 ) es una curva de E:1, entonces las diversas derivadasa'=

tj_a_l: ~11!~ da-"-) ( dt' dt' dt '

a

,

tienen aspectos bastante parecidos. Ahora bien, al interpretar el teorema 7.8 del captulo I decamos que la velocidad queda conservada jJor los m a j;eos arbitrarios F: E"~ E 3 . Es decir, que si fJ = F (rr), entonces fJ' = F,.(a'). Pero se ve con facilidad que los maj;eos a, !Jitrarios no conscruan la aceleracin. Por ejemplo, si a ( t) = (t, O, O) y F = , )', z), entonces a"= O; en consecuencia, F.,.(a") =O. Pero (J ~= F(a) tiene la f{nmula fJ(t) = (t 2, O, O), de manera que fJ" = 2U 1 . Por consiguiente, en este caso, fJ = F(a), mientras que fJ"=/=F(a"). Dentro de un momento, sin embargo, veremos que la aceleracin se ve conservada por las isometras. Por esta razn, la idea de velocidad corresponde al clculo del espacio euclidiano, mientras que la de aceleracin corresponde a la geometra cmlidiana. En esta seccin \amos a examinar algunos de los conceptos rpw definimos en el captulo II y demostraremos que, de hecho, L1s isnnwtras los conservan. (En gran parte, hemos dejado al lector la tarea de n:rificar que los difeomorfismos no los conservan.) Recordemos la idea ele campo vectorial en una curva (definicin 2.2 del captulo II). Si Y es campo vectorial en a: I ~E\ y si F: E'1 ~ E 3 es cualquier mapco, entonces Y = F.,. (Y) es campo vectorial en la curva Imagen ; = F(a). En realidad, para cada t en I, Y(t) es un vector

Y(t)Ta(t)

Y(t)

~IFigura 3.6

tangente a E 3 en el punto a ( t) . Pero entonces Y ( t) = Fr, (Y ( t) ) es un vector tangente a E 3 en el punto F(a(t)) = a(t). (La figura 3.6 ilustra estas relaciones.) Las isometras conservan las derivadas de esos campos \Tctorialcs.

Gf,OMETRA EUCLIDIANA

135

4.1 CoROLARIO: Sea Y un campo vectorial en una curva a de :\ y sea F isometra de E". Entonces Y = F,. (Y) es campo vectorial en

a=F(a),y

Y'= F:(Y').Demostracin. Calcularemos F* (Y')y Y' a partir de la q:presin

de Y en trminos de sus funciones coordenadas euclidianas. Para diferenciar un campo vectorial as, se diferencian simplemente sus funciones coordenadas euclidianas, de manera que, aqu,

Y'=2:dYiu ..dtJ

Por consiguiente, segn la versin en coordenadas del teorema 2.1, concluimos que

F,(Y')Por otra parte,

=:S c;i r~~; [hU;.

y= F,.(Y) = 2:

C;jyj

Pero cada c;i es constante, puesto que, por definicin, son elementos de la matriz de la parte ortogonal de la isomctra F. En consecuencia,

Por lo tanto, los campos vectoriales F,. (Y') y

Y' son iguales.

1

Afirmbamos antes que las isomctras conservan la aceleracin: s1 F (a), donde F es isometra, entonces a" = F,, (a") . Esto es co.nsecuencia inmediata del resultado anterior, puesto que si ponemos Y = a', entonces, por el teorema 7.8 del captulo J, Y = a', y de aqu se desprende que

a

=

Haremos ver a continu~:cin que el aparato ele Frenet de una curva queda conservado por las isometras. Esto es de esperarse, desde luego, sobre b~tscs puramcnle intuitivas, debido a que un movimiento rgido del

136

GEOMETRA EUCLIDIANA

plano debe llevar una curva a otra que se vuelva y se retuerza exactamente de la misma manera. Y esto es lo que sucede cuando la isometra conserva la orientacin. 4.2 TEoREMA. Sea f3 una curva de rapidez unitaria en E 3 con curvatura positiva, y sea {i = F(/3) la curva imagen de f3 bajo una isometra F de E 3 Entonces

7 = sgn F

r

T = F,,(T) N= F,,(N) lJ = sgn F F,(B)

donde sgn F

= -+- 1 es el signo de la isometra F.

Demostracin. Advirtase que taria, puesto que11

ji

es tambin una curva de rapidez uni-

fi' 11

=

fl F,,(fJ') fl

=

11

fJ'

11

= l.

Por tanto, las definiciones de la seccin 3 del captulo II se aplican tanto a f3 como a [3, de manera que

Puesto que F conserva tanto la aceleracin corno las normas, de la definicin de curvatura se desprende queK= 11

/3" 11

=

11

F,.(fJ") 11 =

11

/3"

11

=

K.

Para obtener el sistema completo de referencia de Frenet, emplearemos aqu la hiptesis de que K > O (que implica K> O, puesto que K = K). Por definicin, N = f3" j K; por consiguiente, al aplicar resultados anteriores, encontramos

jj" F,(fJ") F, N=-::-=---=K K

(P") =K

F,(N).

Solamente nos falta demostrar los casos interesantes de B y r. Puesto que la definicin B = T X N contiene un producto vectorial, nos valemos del teorema 3.6 para obtener

lJ = 't X N= F,,(T) X F,.(N) = sgnF F,(T X N) = sgnF F,(B).En esencia, la definicin de torsin dice que r = - R'N = BN'. Por consiguiente, al aplicar los resultados anteriores acerca ele B y N, obtenemos

7

= BN' = sgnFF*(B)F,(N') = sgn_FBN' = sgnFr

1

GEOMETRA EUCLIDIANA

137

La intervencin de sgn F en la frmula de la torsin de F(f3) nos ensea que la torsin de una curva da una descripcin de la curva que es ms sutil de lo que aparentaba ser hasta aqu. El signo de T mide la orientacin de la torsin de la curva. Si F invierte la orientacin, la frmula :: = - r nos demuestra que la torsin de la curva imagen F ( f3) es t'Xactamente opuesta a la de la misma f3. Cn ejemplo sencillo nos ayudar a entender esta inversin4.3 EJEMPLO. Sea f3 la hlice de rapidez unitaria

z

f3 (s)

=

(

S sen S, -S) , cos -,e e e

Figura 3.7

que tomamos el ejemplo 3.3 del captulo II al poner a = b = 1; en con= ../2. Por las frmulas gFnerales de las hlices, sabemos que Sea a continuacin R la reflexin en el plano xy, de manera que R es la isornetra R ( x, y, z) = ( x, :v, - z) . Por lo tanto, la curva

secuencia, eK

=

T

=

1.

imagen

j3

=

R ({3) es la imagm especular-( s ) {3

=

( cos S, sen S S) - , - e e e

de la curva original. Podemos ver en la figura 3. 7 que el efecto del espejo es el habitual: f3 y j3 se tuercen en sentidos opuestos; si f3 es "de mano derecha", entonces j3 es "de mano izquierda". (El hecho de que f3 ascienda mientras que f3 desciende es en s mismo irrelevante.) Para expresarnos formalmente, diremos que la reflexin R invierte la orientacin; en consecuencia, el teorema nos predice que "K = K = } y que :: = - T = -1. Puesto que f3 es simplemente la hlice del ejemplo 3.3 del captulo II, donde hemos puesto a = 1 y b = - 1, podemos verificarlo por medio de las frmulas generales que dimos all.

EJERCICIOS1. Sea F = TC una isometra ele Ea y definamos f3 como curva de rapidez unitaria en E 3 . Demustrese que a) Si .!3 es hlice cilndrica, entonces F ({3) es hlice cilndrica.

b) Si la imagen esfrica de f3 es F(f3) es C(f3).

p,

entonces la imagen esfrica de

1382. Sea Y= (t, 1 - t 2 ,

GEOMETRA EUCLIDIANA

1+

t 2 ) un campo vectorial en la hlice=

a(t)y sea

(cos t, sen t, 2t),

e

la transformacin ortogonal

o11v2

r;v2Calclense a= C(oc) y y= C,.(Y), y \Trifqucsc que

e rY') =

Y',

C.,. (a") =

a",

} 71 - " o

n:

3. Trcense los tringulos en E" con vrtices en

Hgase ver que los dos tringulos son congruentes al exhibir una isometra F que transforma 6. 1 en L'l.". (Indicacin: La parte ortogonal de F no se altera al trasladar los tringulos.)

4. Si F:

E-'~ E" es un mapeo tal que F,:. conserva los productos escalares, hgase ver que F es una isometra. (Indicacin: Aplllucse el ejercicio 11 ele II.2.)

5. Sea F una isometra de E 3 . Para cad': campo vectorial V, sea V el campo \Tctorial tal que F:(V(p)) = V(F(p)) para todo p. Demustrese que las isornetras conservan las derivadas covariantes; rs decir, hgase ver que 'VvW = 'VvW.

S

Congruencia de curvas

En el caso de curvas en E 3 , la idea general de congrucne1a adguiere la forma siguiente.

5.1 DEFINICIN. Dos curvas a, [3: I ~ E 3 son congruentes cuando existe una isometra F de E 3 tal que f3 = F(a); es decir, que f3(t) = F(a(t)) para todo t en l.Desde el punto de vista intuitivo, las curvas congruentes son iguales \en todo, excepto su posicin en el espacio. Represrntan viajes a la misma velocidad jwr trayectorias de la misma forma. Por ejemplo, la hlice a(t) = (cos, t, sen t, t) gira en espiral alrededor del eje de las z exacta-

CONGRUENCIA DE CURVAS

f39

mente de la misma manera en que gira la hlice f3 (t) = (t, cos t, sen t) alrededor del eje de las x. Es evidente que estas dos curvas son congruentes, puesto que si F es la isometra definida por

entonces F(a) = (3. Para decidir si dos cunas dadas a y f3 son congruentes, no resulta prctico ir probando todas las isometras ele E 3 para \er si encontramos alguna que transforme a a en (3. Lo que queremos es una descripcin de la forma de una curva de rapidez unitaria, cuya precisin sea tanta, que si a y f3 tienen la misma descripcin, ello baste para afirmar que son congruentes. Sin duda, el lector ya sospecha que la descripcin adecuada consiste en la curvatura y la torsin. Para demostra

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ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL - BARRETT O´NEILL