Elméleti Mechanika „A”

jegyzet és vetített tematika

az ELTE fizika BSc. másodéves hallgatói számára

Györgyi Géza

2018. március 12. 15:52:36

Nem végleges anyag, fejlesztés alatt áll.

Tartalomjegyzék1. Előszó 1

1.1. A tantárgy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. A jegyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. A vetített anyag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Alap és emelt szintek, vizsgák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Bevezetés 52.1. Nagyságrendek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. A klasszikus mechanika érvényessége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Newton törvényei (m) 8

4. Galilei-féle relativitás (m) 13

5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása 145.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2. Forgó rendszer azonos origóval (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.1. Vektorok transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.2. Sebességek átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2.4. Gyorsulások átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4. Tehetetlenségi erők a Földön . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4.2. Tehetetlenségi erők becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4.3. A Coriolis-erő hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 276.1. A variációszámítás elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.1.1. Funkcionálok (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.1.2. A variációszámítás alapfeladata (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.1.3. Jelölések, elnevezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.4. Stacionaritás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.5. Diszkretizáció, Euler–Lagrange-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.1.6. A stacionárius érték mint a határok függvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.1.8. A legrövidebb út a síkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.1.9. Az Euler–Lagrange-egyenlet – diszkretizáció nélkül (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.10. Speciális esetek (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.11. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.1.12. Értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.13. Kiterjesztések (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere (m) . . . . . . . . . . . . . . 536.1.15. Láncgörbéhez vezető ekvivalens variációs problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.16. Általános potenciálban függő kötél, az általános potenciálbeli brahisztokron probléma, vala-

mint a Fermat-elv ekvivalenciája (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2. Lagrange-féle mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.3. Általános koordináták bevezetése holonom kényszerekhez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2018. március 12. 15:52:36 ii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett: mozgásegyenletek általános koordinátákkal . 726.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere . . . 746.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása . . . 756.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet. . . . . . . . 766.2.8. Funkcionálderiválás láncszabályának közvetlen levezetése (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.9. Hamilton-elv általános koordinátákkal, tetszőleges végpontok mellett (*) . . . . . . . . . . . 786.2.10. Értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.11. A Hamilton-elv előnyei: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.12. Megmaradási tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.13. Példák a Lagrange-féle mechanikára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7. Egydimenziós konzervatív rendszer 917.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. A mozgásegyenlet megoldása (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3. Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3.1. Harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.3.2. Általános potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra (*) . . . . . . . . . . . . . . 987.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis . . . . . . . . . . . 101

7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.6. Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.6.1. Másod-negyedfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.6.3. Első-harmadfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.6.4. Tangens bifurkáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2018. március 12. 15:52:36 iii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK7.7. Síkinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.7.1. Mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.7.2. Kis rezgések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.7.3. Fázistér szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.7.4. Időfüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.7.5. Lengések periódusideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.8.1. Harmonikus gerjesztés (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.8.4. Rezonáns gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.9.1. Másod-harmadfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.9.2. Másod-negyedfokú potenciál (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.9.3. Általános perturbáció: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel (*) . . . . . 129

8. Csillapított mozgások 1328.1. Súrlódási erő sűrű közegben (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2.3. A disszipatív mozgásegyenlet összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.2.4. Az energia megváltozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.3.1. Gyenge csillapítás (2ω0 > α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.3.2. Erős csillapítás (2ω0 < α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.3. Anharmonikus határeset (2ω0 = α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2018. március 12. 15:52:36 iv

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.4.1. Harmonikus gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.4.2. Általános gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9. Síkmozgások ∼ 2D 1509.1. Potenciálmozgás csillapítással . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.2. Lissajous-görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.3. Anharmonikus potenciálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10. Centrális mozgások 15410.1. Alapok (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.2. Síkbeli mozgás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.3. Hatvány potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.4. Kepler-mozgás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.5. A pályák alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.5.1. A hodográf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.5.2. A pályák polárkoordinátás egyenlete (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.5.3. Energia (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5.4. Derékszögű koordinátás egyenlet (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.6. A pályák fajtái (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.7. Kepler törvényei (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.8. Ellipszispályák időfüggése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.8.1. Egzaktul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.8.2. Perturbációszámítással � szerint (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16610.8.3. Bolygók excentricitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.8.4. Újabb mozgásállandó: a Laplace–Runge–Lenz-vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.9. Szórásszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.9.1. A V (r) = −αm/r potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2018. március 12. 15:52:36 v

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK10.10. Hatáskeresztmetszet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.11. Rutherford-szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.12. Fázistér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11. Fizikai dimenziók 17711.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.2. Dimenzióanalízis a szórásszámításban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

12. Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek 17912.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.2. Időeltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.3. Koordinátatranszformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

12.3.1. Térbeli eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.3.2. Térbeli forgatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.4. Általános szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.6. Kéttestprobléma (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13. Kényszerek 18613.1. Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13.1.1. Tömegpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.1.2. Felülethez kötött tömegpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713.1.3. Pontrendszer több holonom kényszer hatása alatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

13.2. Egyensúly: a virtuális munka elve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18913.3. Kényszerek fajtái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.4. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.6. Kényszerek általános koordináták között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

2018. március 12. 15:52:36 vi

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK13.6.1. Holonom kényszerek multiplikátorokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.6.2. A megoldás módszere (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19413.6.3. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek (*) . . . . . . . . . . 194

13.7. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613.7.1. Anholonom-szkleronom kényszer: guruló korong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613.7.2. Mozgás síkgörbén általános potenciálban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19713.7.3. Mozgás felületen gravitáció jelenlétében. (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

14. Kis rezgések az egyensúly körül 20114.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

15. A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 20615.1. Legendre-transzformáció egy változóban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20615.2. Legendre-transzformáció több változóban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20715.3. Paramétertől való függés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20715.4. Hamilton-egyenletek potenciálmozgásokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20815.5. Időbeli változás a pálya mentén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.6. Ciklikus koordináta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.8. Példák a hamiltoni mechanikára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

15.8.1. Egydimenziós potenciálmozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21215.8.2. Tömegpont kúpfelületen: centrális mozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21215.8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21315.8.4. Inhomogén tömegmátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21415.8.5. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

15.9. Variációs elv a fázistérbeli trajektóriák felett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21515.10. Liouville tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21615.11. Poisson-zárójelek (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

2018. március 12. 15:52:36 vii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK15.11.1. Definíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21615.11.2. Tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.11.3. Mozgásállandók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.11.4. Tömegpont impulzusmomentuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

15.12. Hatásfüggvény és a Hamilton–Jacobi-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21915.12.1. Hatásfüggvény, avagy eikonál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21915.12.2. Hamilton–Jacobi-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

15.13. Hamilton–Jacobi-egyenlet vizsgálata, példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22015.13.1. A trajektória meghatározása (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22015.13.2. Optikai és mechanikai Fermat-elvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

15.14. Adiabatikus invariáns (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22415.14.1. Időfüggetlen potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22415.14.2. Fázistérbeli terület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22515.14.3. Lassan változó paraméter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22615.14.4. Harmonikus oszcillátor és az 1/r potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22715.14.5. Kvantummechanikai kitekintés: a korrespondencia elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

16. Merev testek 23016.1. Szögsebesség invarianciája (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23016.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23016.3. Impulzusmomentum (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23316.4. Mozgásegyenletek (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.4.1. Teljes impulzus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23316.4.2. Teljes impulzusmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23416.4.3. Szögparaméterek, energiamegmaradás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

16.5. Lagrange-formalizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23516.6. Erőmentes pörgettyűk (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

2018. március 12. 15:52:36 viii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK16.6.1. Gömbi pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23616.6.2. Rotátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23616.6.3. Szimmetrikus pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

16.7. Euler-egyenletek: a szögsebesség időfüggése a főtengelyrendszerben (m) . . . . . . . . . . . . . . . 23816.8. Súlyos pörgettyű Euler–Lagrange-féle leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

16.8.1. Euler-szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24016.8.2. Euler-féle szögsebességek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

16.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24316.10. A precesszió szemléletes magyarázata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24916.11. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

17. Egydimenziós rugalmas kontinuum 25417.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek: 2D lánc és folytonos határesete, a hiperlineáris húr . . . . . . 25417.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25617.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

17.3.1. Magasabb dimenziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25817.3.2. Magasabb deriváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

17.4. A húr kis rezgései: harmonikus közelítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26017.5. Hullámegyenlet (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

17.5.1. Haladó megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26217.5.2. Szabad vég . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26217.5.3. Rögzített vég . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26317.5.4. Megoldás Fourier-sorral rögzített végek mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

18. Vékony rudak hajlítása (m) 26618.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet harmonikus közelítésben . . . . . . . . . . . 26618.2. Két végén feltámasztott, előfeszítésmentes rúd behajlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26818.3. Befogott, súlytalan rúd szabad végét húzzuk merőlegesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

2018. március 12. 15:52:36 ix

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK18.4. Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

19. Kétdimenziós kontinuum: membránok (*) 27219.1. Feszített membránok transzverzális rezgései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

20. Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora (m) 27420.1. A deformációtenzor definíciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27420.2. A deformációtenzor értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27520.3. Rugalmas energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27620.4. Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

20.4.1. Rugalmasságtan feszültségtenzora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27820.4.2. Lagrange-sűrűség és mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27820.4.3. Feszültségtenzor értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

20.5. Izotrop rugalmas közeg mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

21. Hullámok rugalmas testekben (m) 28621.1. Longitudinális hullám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28621.2. Torziós hullám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28621.3. Térbeli hullámegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28721.4. Belső csillapodás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

22. Áramló közegek – alapfogalmak és mozgásegyenletek (m) 29122.1. Kontinuitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29122.2. Állapotegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29222.3. Hidrodinamikai derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29222.4. Feszültségtenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29222.5. Navier–Stokes-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29322.6. Összefoglalva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

2018. március 12. 15:52:36 x

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK23. Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék (m) 295

23.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29523.2. Összenyomhatatlan, súrlódó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29523.3. Ideális, összenyomhatatlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

24. Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban (m) 29624.1. Stacionáris áramlás konzervatív erőtérben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29624.2. Összenyomhatatlan folyadék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.3. Nyomási függvény barotrop közegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.4. Bernoulli-törvény barotrop folyadékban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29824.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

25. Örvényesség, cirkuláció 30025.1. Örvényvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30025.2. Időfüggő Bernoulli-törvény örvénymentes áramlásban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30125.3. Örvényvonal, ∼cső és ∼fonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30125.4. Thomson (Kelvin) örvénytétele súrlódó közegre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

26. Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionárius 30326.1. Sebességpotenciál és áramlási függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30326.2. Komplex függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30426.3. Komplex sebesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30426.4. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30526.5. Cirkuláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

A. A forgásmátrix időderiváltjai és a tehetetlenségi erők 309A.1. Két dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309A.2. Három dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

2018. március 12. 15:52:36 xi

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉKA.2.1. Az ortogonális mátrix kettős szerepe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309A.2.2. A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén . . . . . . 310A.2.3. Gyorsulások átszámítása: a hagyományos módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

B. Egydimenziós mozgások 312B.1. Mozgás fordulópont közelében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

B.1.1. Közel lineáris potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313B.1.2. A fordulópont lokális maximum: közel kvadratikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

B.2. A mozgásegyenlet megoldása részletesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314B.3. Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

B.3.1. Mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316B.3.2. A harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317B.3.3. Az energiamegmaradás alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317B.3.4. Exponenciális próbafüggvény behelyettesítésével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318B.3.5. Periódusidő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319B.3.6. Általános kvadratikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

B.4. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319B.4.1. Amplitúdófüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320B.4.2. Energiafüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320B.4.3. Nagy kitérések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321B.4.4. "Lágyuló" potenciál: � < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321B.4.5. Globális függvénymenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

B.5. Optimalizált perturbációszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322B.5.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323B.5.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323B.5.3. A hiba minimalizálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

C. Hamiltoni mechanikai kiegészítés 326

2018. március 12. 15:52:36 xii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉKC.1. Tömör jelölés a szimplektikus mátrix segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326C.2. Mozgásállandók generálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

C.2.1. Kapcsolat a kvantummechanikával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

2018. március 12. 15:52:36 xiii

1 ELŐSZÓ

1. Előszó1.1. A tantárgy

Az ELTE fizikus képzésének része több mint fél évszázada az Elméleti Mechanika, mely a négy féléven keresztülelőadott Elméleti Fizika sorozat első tantárgya. Jelenleg az „A” jellel különböztetjük meg a kisebb óraszámban, nemfizikus szakirányú hallgatóknak előadott „B” tárgytól.

Az Elméleti Mechanika A kurzust jelenleg a második évfolyam első félévében tartjuk. Ezt megelőzik és megalapoz-zák az első évben az ELTE fizika BSc. alap ill. emelt szintű, pont- és kontinuummechanika, valamint a matematikaimódszereket tárgyaló kurzusok.

Az Elméleti Mechanika A nagyrészt az első évben megismert témaköröket, fizikai rendszereket tárgyalja azzal akülönbséggel, hogy itt egyrészt variációs elvekre építünk, másrészt egyes jelenségeket részletesebben leírunk. Mivel azelsős mechanika kurzusok óraszámának 2/3-a áll a rendelkezésünkre, több ott tárgyalt részt nem, vagy rövidebbenemlítünk. Számos fogalom bevezetésekor is építünk az első éves anyagra. Példaként említjük a rugalmas feszültségtenzorát, melyet az elsős kurzus definiált és fizikai jelentését megvilágította, e jegyzetben pedig a feszültségtenzorta korábbi tárgyalásnál lényegesen rövidebb módon, klasszikus térelméleti, variációs alapon vezetjük be, majd ennek akorábbival való ekvivalenciáját mutatjuk ki.

1.2. A jegyzetMíg számos kiváló mechanika tankönyv létezik, az ELTE-n előadott Elméleti Mechanika A tárgyból eddig nem

adtak közre jegyzetet. E hiányt igyekszünk most pótolni. A tárgyat Tél Tamás professzor adta elő korábban, a szerző aző órajegyzetére és más tankönyvekre támaszkodott, valamint a saját kútfejéből merített. Lelkes és felkészült hallgatóka kurzus nagy részét LATEX-be írták, s ez képezte az itt közreadott jegyzet alapját. A jegyzetet jelenleg is fejlesztjük,véleményeket, jelzéseket hibákról, vagy éppen jónak ítélt részekről szívesen veszünk.

2018. március 12. 15:52:36 1

1.3 A vetített anyag 1 ELŐSZÓ1.3. A vetített anyag

Az Elméleti Mechanika A tematikájának több elsős kurzuséval való terjedelmes átfedése indokolja a vetítéseselőadást. Amellett, hogy a korában elhangzott alapokat rövidebb idő alatt idézhetjük fel a vetítés segítségével, azelőadó az új részek magyarázatára, megvilágítására nagyobb figyelmet és hangsúlyt fordíthat.

Jelen jegyzet egyben a vetített előadás diasorozata, nem olyan részletes, mint egy könyvszerű jegyzet, de töre-kedtünk arra, hogy önállóan is használható legyen. Az előadás hallgatóságának az ajánljuk, hogy a diákon általábana címeket, egyenleteket, listákat, ábrákat, és a színnel kiemelt szavakat figyeljék. Hosszabb, egybefüggő szöveget nekezdjenek olvasni, a magyarázat az előadó dolga.

A szövegben jelöltük, hogy a 2017/18. tanév őszi félévének során mikor tárgyaltunk valamely anyagrészt. Példáula 2017.09.12 J | I 2017.09.15 jelzésig jutottunk a szept. 12-i előadás végén, s onnan folytattuk a 15-i óraelején.

1.4. Alap és emelt szintek, vizsgákA 2017-18. tanévtől kezdve az Elméleti Mechanika A kettéválik alap- és emelt szintű kurzusokra. E jegyzetben

(*) jelöli az emelt szint fejezeteit. Az elsős – matematikai módszerek, és alap ill. emelt szintű mechanika kurzusokonismertetett – anyaggal jelentősen átfedő szakaszokra a (m) jel hívja fel a figyelmet.

A vizsgaanyag alap szinten a jegyzet (*)-gal nem jelölt fejezetei, emelt szinten az összes, melyekből arányosterjedelmet választunk kidolgozandó tételül a vizsgázó hallgatónak. A függelék nem vizsgaanyag, de ha valaki ab-ból is tájékozott, azzal javíthat az eredményén. A hallgatónak a jegyzetben nem szereplő, azon túlmutató elméletimechanikai ismeretei tovább emelhetik a vizsga fényét.

A jegyzetben számos gyakorló feladat szerepel, [1-7] nehézségi fokokkal. A vizsgán mellékkérdésként gyakorlópéldát is feltehetek.

2018. március 12. 15:52:36 2

1.5 Köszönetnyilvánítás 1 ELŐSZÓ1.5. Köszönetnyilvánítás

Elsősorban Tél professzornak jár köszönet a kurzus előző változatának kidolgozásáért és anyagának továbbadásá-ért. E jegyzet korábbi alakján társszerzőként szerepelt, azonban nevét az anyag jelentős átalakulásának indokával alegnagyobb sajnálatomra levetette, ezért rá most e kiemelt köszönet hivatkozik.

Kézirat alapján az anyag nagy részét LATEX-be jegyezték és számos ábrát készítettek Balogh Ferenc, Bíró Gábor,Fábián Gábor, Kapás Kornél, Kálmán Dávid, Kukucska Gergő, Márkus Bence Gábor hallgató kollégák, munkájukértfogadják hálás köszönetem.

E kurzus gyakorlatvezetőivel is számos hasznos beszélgetést folytattam, közülük ki szeretném emelni a diszkusszi-ókat Lukács Árpáddal, Török Csabával és Vigh Mátéval.

2018. március 12. 15:52:36 3

1.6 Irodalom 1 ELŐSZÓ1.6. Irodalom

Forrásainkat és az ajánlott irodalmat az alábbi jegyzékben soroltuk fel.

Nagy Károly: Elméleti Mechanika, Tankönyvkiadó (TKK) 1985, 2002Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó 1965Landau–Lifsic [LL1]: Elméleti Fizika I., Mechanika, TKK 1974Landau–Lifsic: Elméleti Fizika VI., Hidrodinamika, TKK 1980Landau–Lifsic: Elméleti Fizika VII., Rugalmasságtan, TKK 1974R. Feynman: Mai Fizika 1., 2., 7. kötet, Műszaki Kiadó 1968Tél–Gruiz: Kaotikus Dinamika, 3. fejezet, Nemzeti TKK 2002Kecskés Lajos: Egy Ölnyi Végtelen, Nemzeti TKK 2002Gnädig–Honyek–Vigh: 333+ Furfangos feladat fizikából, Typotex 2017Jánossy–Tasnádi: Vektorszámítás 1.,Vektor- és tenzoralgebra, TKK 2002Jánossy–Tasnádi: Vektorszámítás 2., Vektorok és tenzorok differenciálása, TKK 1989Jánossy–Gnädig–Tasnádi: Vektorszámítás 3., Vektorok integrálása, TKK 2002

Wikipédia

2018. március 12. 15:52:36 4

2 BEVEZETÉS

2. Bevezetés2.1. Nagyságrendek

Röviden áttekintjük a távolság és idő nagyságrendjeit.

→ Távolságok (m)? Kvark ∼ 10−18 (attométer, jele "am"; atten dánul 18)? Atommag sugara ∼ 10−15 (femtométer, jele "fm", alternatív neve "fermi"; femten dánul és norvégül 15)? Fényév (kb. a Naprendszer gravitációs sugara) ∼ 1016 (10 peta; a görög "penta"-ból az "n"-et elhagyva)? Tejút átmérője ∼ 1021 (zetta; heptá görögül 7, az első betű "z"-re cserélve, hogy az ABC végére kerüljön)? Az Univerzum megfigyelhető átmérője ∼ 1027 (100 G fényév)

Ismeretterjesztő könyv: Ph. Morrison: "Powers of Ten". Fordítás: "A tízes hatalma" :?→ Idők (s)

? Elemi részecske élettartama ∼ 10−24 (jokto; októ görögül 8)? Univerzum életkora ∼ 1017 (100 peta) (14 Gév)

→ Sebességek (m/s) c = 3× 108 > v

2018. március 12. 15:52:36 5

2.2 A klasszikus mechanika érvényessége 2 BEVEZETÉS2.2. A klasszikus mechanika érvényessége→ Közepes távolságok 10−6 m < ` < 1016 m

↑ ↑Kvantummechanika Általános relativitáselmélet

→ Közepes idők 10−6 s < t < 1013 s→ Lassú (nemrelativisztikus) mozgás v < 105 m/s→ Folytonos mozgás ideája: ∆t→ 0. A limesz absztrakció, a valóságban lim ∆`∆t nem létezik [∆t > 10−8 s]→ Fizikai mennyiség: Amelyet mérési utasítással definiálhatunk.→ A mechanika alapmennyiségei: távolság, idő, tömeg.→ Tapasztalatok összegzése:

? A tér euklideszi, 3 dimenziós, homogén, izotrop.? Az idő 1 dimenziós, homogén, és független a tértől.

2018. március 12. 15:52:36 6

2.3 Jelölések 2 BEVEZETÉS2.3. Jelölések

A skalárokat egyszerű dőlt szimbólumok jelölik, pl.a, ω (2.1)

a vektorokat vastag dőltek, pl.a, A, ω, 0 , (2.2)

ahol az utolsó a nullvektor. A mátrixok jele álló vastag, pl.A, Ω, 1, (2.3)

az utóbbi az egységmátrix.Az időderivált gyakran pont, pl.

df/dt =qf = (f) q, (2.4)

míg más argumentum szerinti derivált lehet vessző, pl.df/dx = f ′. (2.5)

A deriváltban és integrálban használt d betű „áll”, ugyanis nem önálló mennyiséget jelöl, hanem a differencia kezdő-betűje. Parciális deriváltakat többféleképpen rövidíthetünk, mint pl.

∂f/∂x = ∂xf = fx. (2.6)Az utóbbi különösen tömör, figyelmeztetés után fogjuk alkalmazni, nem összetévesztendő komponenst jelölő indexszel.

Az „ebből következik” ill. a „megfelelnek egymásnak” jelei⇒ ill. ∼ . (2.7)

2018. március 12. 15:52:36 7

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)

3. Newton törvényei (m)Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia [=fizika] matematikai alapelvei) Nem az ere-

deti alakjukat adjuk meg.

1. ábra. Az első kiadás címlapja (1687)

Definíció: Inercia (tehetetlenségi) rendszer az, amelyben minden magára hagyott test megőrzi sebességét.I. törvény: Létezik inerciarendszer.A következő törvény inerciarendszerben érvényes. (A II. törvény inerciarendszerhez kötött, a III-IV. minden rend-

szerben fennáll.)2017.09.12 J | I 2017.09.15

II. törvény: gimnáziumban is tanultuk

2018. március 12. 15:52:36 8

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)Newton: "A sebesség, amelyet egy adott erő létre tud hozni adott anyagon, egyenesen arányos az erővelés az idővel, továbbá fordítottan arányos az anyaggal."

Formulával:

∆v ∼ F∆tm

, (3.1)

az „anyag” itt anyagmennyiséget, azaz tömeget jelent.Ma használt ekvivalens alakjai

F = ma = md2r

dt2 = mq qr = dpdt , (3.2)

ahol a jobb végi kifejezésben a p = mv impulzus szerepel.Természetesen a fenti formula csak akkor alkalmazható törvényként, ha a benne szereplő mennyiségek definiáltak.

Az r(t) trajektóriát kimérhetjük, ezért „értjük”, azonban mit jelent F és m?Próbatest: az egységnyi tömegű etalon (mp = 1) legyen 1` víz.Definíció: Az erő a próbatest gyorsulása F = apEnnek alapján erőtörvények állapíthatók meg, pl. F (r,v, t), egyszerű esetben F (r), ez a sztatikus erőtér, ld.

a 2. ábrát. Az erőmérést alakváltozásra is visszavezethetjük, ennek révén dinamométer kalibrálható, s más, akár nemsztatikus erőt is mérhetünk.

A 3.2 törvényhez a következőképpen juthatunk el.Különböző testekre ható azonos erők: Bizonyosodjunk meg dinamométerrel arról, hogy a testekre azonos erők

hatnak (pl. azonosan deformált rugók ereje, azonosan feltöltött testekre ható elektrosztatikus tér). A megfigyelésekszerint azonos erővel hatva különböző testekre ezek azonos irányú de különböző nagyságú gyorsulást szenvednek (ld.3. ábrán egy adott helyen).

2018. március 12. 15:52:36 9

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)

2. ábra. Sztatikus erőtér: különböző helyeken különböző erők hatnak.

m’

m’’

m

12

m

m’’

m’

3. ábra. Különböző tömegű testek gyorsulásai adott sztatikus erőtérben az 1. és 2.helyen (a jobb láthatóság kedvéért az azonos helyhez tartozó vektorokat elcsúsztatvaábrázoltuk).

Különböző (ismert) erők: Ha az 1,2,... helyeken ugyanazon anyagra (tömegpontra) különböző erők hatnak, akkor

|F 1||a1|

= |F 2||a2|

= · · · = m, (3.3)

azaz e hányadosok azonosak! Egy másik anyagi pontra

|F 1||a′1|

= |F 2||a′2|

= · · · = m′, (3.4)

2018. március 12. 15:52:36 10

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)s hasonlót kapunk további pontokban, azaz fenti hányadosok a testekre jellemző állandók. Emlékezzünk arra, hogy agyorsulások mérésének nincs elvi akadálya.

Ha azonos pontokban különböző testekre különböző erők hatnak, azaz az m′ testre ható erő az i. helyen F ′i, s agyorsulás ott a′i, akkor is azt tapasztaljuk, hogy

|F ′1||a′1|

= |F′2|

|a′2|= · · · = m′ (3.5)

a testre jellemző állandó.Valamely erő mellett megmérhetjük egy test tehetetlen tömegét, m = |erő|/|gyorsulás|, majd ennek felhasználásával,

további erők hatásainak a leírásához használhatjuk az F = ma törvényt. Tehát ez először definíció az m méréséhez,azután az m és az F ismeretében pedig a gyorsulást megadó mozgástörvény. A fizikai törvények általában egyrésztkísérletileg definiálják a bennük szereplő mennyiségek egy részét, másrészt, ezek megismerése után, jóslatot tesznektovábbi kísérletek kimenetelére.

Ha az F (r,v, t) függvény ismert, akkor másodrendű differenciálegyenletet kapunk pontszerű testek r(t) trajek-tóriájára. A kezdeti feltételek (KF): r(0),v(0), ezek általában a mozgást egyértelműen meghatározzák

Arisztotelésztől Keplerig sokan feltételezték az F ∼ v arányosságot. Ez nem egyezett a tapasztalattal,ezért próbálkoztak különféle F ∼ f(v) alakokkal. Mai szemmel nyilvánvaló, hogy ilyen feltevések nemelfogadhatók: elsőrendű differenciálegyenletben az r(0) elég lenne a mozgás meghatározásához, ezért aferde hajítás sokféle pályáját sem magyarázná meg.

Newton deizmusa: Isten teremt és kezdeti feltételeket ad. Erre miért nem hivatkoznak a kreacionisták?Pedig tudós vallotta, ezért jó példa lehetne a hívő álláspontra, azaz a teremtésre, melyet a fizika törvénye-inek megfelelő mozgás követ. Azért nem idézik, mert a csillagok és naprendszerek keletkezésének elméleteáltalánosan elfogadott, még ha a részleteken folyik is vita.

2018. március 12. 15:52:36 11

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)Megjegyzés: Elvileg semmi sem zárja ki, hogy magasabb rendű differenciálegyenlet írja le a mozgást, a másodrendűt

a tapasztalat tünteti ki.III. törvény Hatás-ellenhatás elve

Megfigyelés: Két kölcsönható test gyorsulásai ellentétes irányúak és nagyságuk fordítottan arányos a tömegeikkel. AII. törvény szerint ebből következően az egyikre ható erő éppen ellentétes a másikra hatóval.

A B

4. ábra. F AB = −FBA

Erővel testek hatnak más testekre. A II. törvényben F egy kiszemelt testre ható erő, amely testnek a gyorsulásátokozza. A III. törvény szerint ha két test hat kölcsön, akkor megjelenik a másik testre ható −F erő.

Hangsúlyozzuk a nyilvánvalót, éspedig a két erő nem ugyanazon testre hat. Ha érdeklődő gyereknek magyarázzukaz erő-ellenerő elvét, az visszakérdezheti, hogy mi gyorsítja a testeket, hiszen ellentétes erők ugyanazon testre hatvanyomban kioltanák egymást. Természetesen különböző testekre ható erők ellentétéről beszélünk.

Megjegyzés: Két mozgó töltés között ható Lorentz-erők a III. törvényt általában nem teljesítik. Ez azzal kapcsola-tos, hogy nemcsak egymásnak, hanem a térnek is impulzust adnak át, mely jelenségről részletesen az elektrodinamikaad számot.

IV. törvény: Ugyanazon testre ható erők vektoriálisan összeadódnak.Kettőnél több test páronkénti kölcsönhatásakor az egy testre ható erőket vektoriálisan összeadva kapjuk az erre

ható teljes F erőt, mely a gyorsulását okozza. Ennek nem egyetlen ellenereje van, hanem a III. törvény páronkéntérvényes, azaz a teljes F -et összetevő erők ellenerői mintegy „szét vannak osztva” a többi test között.

2018. március 12. 15:52:36 12

4 GALILEI-FÉLE RELATIVITÁS (m)

4. Galilei-féle relativitás (m)A K inerciarendszer, a K ′ hozzá képest egyenletes v0 sebességgel mozog:

r0(t) = v0t (4.1)

Mivel a gyorsulás a második derivált, ezért a második Newton-törvény alakja a két rendszerben azonos, tehát K ′ is

K

K'

5. ábra. A mozgást különböző koordinátarendszerekből írhatjuk le. Itt K ′ egyenletesrelatív sebességgel mozog K-hoz képest, nem fordul el.

inerciarendszer. Megjegyzés: F nem függ a vonatkoztatási rendszertől, pl. alakváltozás méri.

2018. március 12. 15:52:36 13

5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .Galilei-transzformáció

r′ = r − v0t,t′ = t,

a′ = d2r′

dt2 =ddt(

qr − v0) =

q qr = a.

(4.2)

Mivel m a testre jellemző:

F = ma = ma′ = F ′. (4.3)

Tehát ha K inerciarendszer, akkor K ′ is az.

5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámításaUgyanazon „fizikai hely” K-ban r, K ′-ben r′.

5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer (m)A K ′ gyorsul, de nem forog K-hoz képest

r = r0 + r′ → a = a0 + a′. (5.1)

5.2. Forgó rendszer azonos origóval (m)A forgásmátrix alábbi tulajdonságai a vektorszámítás kurzuson szerepeltek, melyeket itt a tehetetlenségi erők

levezetésében játszott szerepük miatt idézünk fel. Egyes technikai részleteket az A függelékbe gyűjtöttünk.

2018. március 12. 15:52:36 14

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.2.1. Vektorok transzformációja

A K és K ′ egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon „hely” mért komponenseibőláll az r ill. az r′. Ezeket lineáris transzformáció köti össze

r = Or′, (5.2)ahol O valamely 3× 3-as mátrix. Más szóval, az r és az r′ ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K ′-beli reprezentációja,melyet két dimenzóban a 6. ábra illusztrál.

ϕ

x’

yy’

x

r

K

K’

6. ábra. Koordinátarendszer forgatása két dimenzióban: ugyanazon vektornak az r =(x, y) a K, az r′ = (x′, y′) a K ′-ben mért koordinátái.

Az elforgatott koordinátarendszerben a vektorok hossza és az általuk bezárt szögek nem változnak, azaz az (5.2)kifejezésben bevezetett O a skalárszorzatot invariánsan hagyja

r1 · r2 = Or′1 ·Or′2 = r′1 ·OTOr′2 = r′1 · r′2 ⇒ OTO = 1 ⇒ OT = O−1 ∼ ortogonális mátrix, (5.3)ahol 1 az egységmátrix.

Az ortogonalitás feltétele ugyanez magasabb dimenziókban.Az A függelékben néhány részlettel egészítjük ki a forgatások tárgyalását.

2018. március 12. 15:52:36 15

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.2.2. Sebességek átszámítása

Ha a forgatás időfüggő, akkor a sebesség K-beli komponensekkel írva

v = qr = (Or′) q = O qr′ + qOr′ = v(′) + qOOTr. (5.4)Az időderivált és az időfüggő forgatás természetesen nem felcserélhető. Az (5.4) egyenlet jobb végén új vesszős jelöléstvezettünk be, azaz

v(′) = Oqr′. (5.5)

Ez (5.2) szerint a K ′-höz képesti időderivált, azaz azqr′ sebesség a K-beli komponensekkel felírva. Ha következetesen

akarjuk jelölni, a v(′) vektornak a K ′-beli komponenseiqr′ = v(′)′ lenne, ilyet alább nem használunk. Tankönyvekben

előfordul az (5.5) kifejezésre a v′ jelölés, de ez ebben a jegyzetben a v vektor K ′-beli komponenseit jelenti.Vizsgáljuk (5.4) második tagját. Az ortogonalitás OOT = 1 feltételét deriválva kapjuk

(OOT

) q= 0 ⇒

qOOT + O

qOT =

qOOT +

( qOOT

)T= 0. (5.6)

Felhasználtuk, hogy mátrixokra is alkalmazható a deriválás szorzatszabálya, valamint azt, hogy a deriválás és atranszponálás felcserélhető. Vezessük be az

Ω =q

OOT (5.7)

mátrixot, melyre (5.6) alapján nyerjük

Ω = −ΩT , (5.8)

2018. március 12. 15:52:36 16

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .azaz az Ω mátrix antiszimmetrikus, részletesen

Ω =

0 −ω3 ω2ω3 0 −ω1−ω2 ω1 0

. (5.9)Az (5.4) egyenletet tehát ekképpen írhatjuk

v = v(′) + Ωr = v(′) + ω × r (v1 = v(′)1 + ω2r3 − ω3r2, etc.) (5.10)

5.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása

Az (5.10) kifejezés nemcsak a helyvektorra, hanem általános b vektorra is érvényesqb = O

qb′ + ω × b, azaz vb = v

(′)b + ω × b, (5.11)

ahol a b sebessége vb. Az egyenletekben a K rendszerben mért koordináták szerepelnek. Ha b együtt forog K ′-vel,akkor nyilván v(′)b = 0 és ezért

qb = ω × b. Ezzel lényegében azt mutattuk meg, hogy a forgás egy adott pillanatban

a szögsebesség vektorával jellemezhető, mely csupán az O forgásmátrixtól és a deriváltjától függ, viszont függetlenattól, milyen b vektor forgását írjuk le.

A 7. ábra mutatja a koordinátarendszerek egy általános helyzetét.Összefoglalásképpen, egy vektor vb sebessége az ω-vel forgó koordinátarendszerhez viszonyított sebességének

és a forgásból származó sebességének az összege. E vektorokat bármely koordinátarendszerből leírhatjuk, az (5.11)formulában a K rendszerbeli alakjuk szerepelt.

Tankönyvekben elterjedten a v(′)b mennyiségre a d′b/dt formulát is használják, nem magától értetődő jelölés.

2018. március 12. 15:52:36 17

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

K x

y

y’

z z’

K’

x’

ω

7. ábra. Az ω értelmezése: K ′ forog K-hoz képest az ω pillanatnyi szögsebesség vektorkörül.

5.2.4. Gyorsulások átszámítása

Először vizsgáljuk a szöggyorsulás vektorát

β = qω = O qω′ + ω × ω = O qω′ = β(′), (5.12)tehát a K-beli és a K ′-beli szöggyorsulás ugyanazon „fizikai” vektor. Ezalatt azt értjük, hogy K-beli és a K ′-belikomponenseit egymásba az O mátrix transzformálja, mely tulajdonság az ω-val nem párhuzamos vektorok sebességeirenem áll fenn.

2018. március 12. 15:52:36 18

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .A K rendszerbeli gyorsulás

a = q qr = d2dt2 Or′ = ddt(Oqr′ +

qOr′) = O

q qr′︸︷︷︸a(′)

+ 2q

Oqr′︸ ︷︷ ︸

2Ωv(′)+

q qOr′︸︷︷︸q q

OOTr, (5.13)

ahol a K ′-beli gyorsulás K-beli reprezentációját a(′)-vel jelöltük. Az (5.7) definíciót differenciálva nyerjükqΩ =

( qOOT

) q=

q qOOT +

qO

qOT . (5.14)

Az egységmátrix 1 = OTO alakját beillesztjük a második tagba, azután az Ω (5.7) definíciójának, majd az antiszim-metriájának felhasználásával nyerjükq q

OOT =q

Ω−q

Oq

OT =q

Ω−q

OOTOq

OT =q

Ω−ΩΩT =q

Ω + Ω2. (5.15)Ezt az (5.13)-ba helyettesítve a gyorsulás átszámításának képletéhez jutunk

a = a(′) + 2Ωv(′) +q

Ωr + Ω2r. (5.16)

Itt az a(′) a forgó K ′ koordinátarendszerben észlelt gyorsulás, azaz a K ′-höz viszonyított sebesség K ′-höz viszonyítottderiváltja, a K-beli komponenseivel értve. Minden vektort a K-beli komponenseivel értettünk.

Az (5.16) egyenletet az

Ωv(′) = ω × v(′),q

Ωr = β × r, Ω2r = ω × (ω × r) (5.17)azonosságok alapján vektor alakban írhatjuk

a = a(′) + 2ω × v(′) + β × r + ω × (ω × r). (5.18)

Ha a K ′ transzlációsan is gyorsul a0-lal K-hoz képest, akkor (5.18) nyilvánvalóan kiegészül

a = a0 + a(′) + 2ω × v(′) + β × r + ω × (ω × r). (5.19)

2018. március 12. 15:52:36 19

5.3 Tehetetlenségi gyorsulások és erők (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők (m)

Most a K ′-beli gyorsulást fejezzük ki, melyre kapjuk (5.18) alapján

a(′) = a− a0 + 2v(′) × ω + r × β − ω × (ω × r). (5.20)

Itt az a(′) mellett a tehetetlenségi gyorsulás tagok jelennek meg. Elnevezéseik:

a0 : transzlációs tehetetlenségir × β : Euler-

2v(′) × ω : Coriolis-−ω × (ω × r) : centrifugális

gyorsulás. (5.21)A K-beli gyorsulás (5.18) képletében megjelenő ω × (ω × r) a centripetális gyorsulás, a centrifugális ellentettje. Azelőző a valódi gyorsulás egy összetevője, míg a második a forgó rendszerben észlelt gyorsulás egy tagja.

A centrifugális gyorsulást kifejthetjük ekvivalens formulákkal

−Ω2r = −ω × (ω × r) = ω2r − ω(ω · r) = (ω21− ω ◦ ω)r = ω2P⊥r = ω2r⊥, (5.22)

ahol ◦ a diadikus szorzat jelölése, a P⊥ definíciója leolvasható, azaz az ω tengelyre merőlegesen vetítő projektor, ésr⊥ az r-nek az ω-ra merőleges komponense. Az utóbbi nagysága |r⊥| = ρ a forgástengelytől mért távolság, mellyela centrifugális gyorsulás gimnáziumból ismert képlete ω2ρ.5.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg (5.22) alapján számítással, miszerint |P⊥r| = r sinϕ, ahol ϕ a tengely és azr által bezárt szög (a) akettős keresztszorzatból, azaz a második formulából; (b) P⊥ definíciójából. [1-1]

Az (5.20) egyenlet alapján megadhatjuk a II. Newton-törvényt gyorsuló koordinátarendszerre. Felhasználva, hogyF = ma, a K ′-ben észlelt (tömeg × gyorsulás)-ra kapjuk

ma(′) = F −ma0 + 2m(v(′) × ω) +m(r × β)−mω × (ω × r). (5.23)

2018. március 12. 15:52:36 20

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .Eszerint az F -hez tehetetlenségi erők adódnak, melyeket a gyorsulásokhoz hasonlóan nevezünk. Emlékeztetünk arra,hogy minden tag komponenseit K-ban értettük. A II. Newton-törvény tehát gyorsuló koordinátarendszerben úgyegészítendő ki, hogy a valóságos erőkhöz a fenti tehetetlenségi erőket hozzáadjuk.

Megjegyzés: Az F erő "fizikai" vektor, átszámításaK ésK ′ között a komponensek ortogonális transzformációjávaltörténik.

2017.09.15 J | I 2017.09.19

5.4. Tehetetlenségi erők a Földön5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása

A földi tehetetlenségi erők becsléséhez a szögsebesség és szöggyorsulás numerikus értékeire van szükségünk. AFöld szögsebessége

ωF =2π24ó =

2π86400s = 7, 27 · 10

−5s−1. (5.24)

Elsősorban az árapály jelenség hatására a Föld forgása lassul, a szöggyorsulás átlagos értéke

βF = −4, 8 · 10−22 s−2 ⇒ ωF (t) ≈ ωF (0) + βF t. (5.25)

Százmillió évenként kb. 40 perccel hosszabbodik a nap, a hosszabbodás mértéke most 15 − 25µs/év. Jelentősek azingadozások, például az eljegesedéskori jégsapkák leolvadását követően a kéreg emelkedett. Ezért az elmúlt tízezerévben a Föld lapultsága csökkent, ez a forgást gyorsító hatás.

5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése

A keringés hatása a forgáshoz képest elhanyagolható. Az egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális gyorsulás.Nehézségi gyorsulás: ∼ 10m/s2.

2018. március 12. 15:52:36 21

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

8. ábra. É↔D irányban mozgó tömegpont: milyen irányú a Coriolis gyorsulás?

Centrifugális: ω2FRF sinϑ ∼ 0, 034 sinϑm/s2, ahol ϑ-t a 8. ábra mutatja és RF = 6371 km a Föld átlagos

sugara.A Coriolis-gyorsulás É↔D irányú mozgás esetén (v = 10m/s-ot véve): 2vωF cosϑ ∼ 14, 5 · 10−4 cosϑm/s2.

Euler-gyorsulás: βFRF sinϑ ∼ 10−15 sinϑm/s2. A Coriolis-gyorsulás okozta relatív hiba a gravitációs gyorsuláshozképest: 15 · 10−4/10 ∼ 0, 15‰ ⇒ A Föld inerciarendszer 3 jegy pontosságig.

Eötvös-effektus: NY↔K irányú mozgás hatására változik a súly. Ezt többféleképpen magyarázhatjuk, pl.(a) a Földhöz rögzített rsz.-ben a felszínre merőleges Coriolis-erő komponens jelent meg;(b) azon rsz. szögsebessége, melyben a test nyugszik, módosult az ωF -hez képest, ezért a centrifugális erő változott.

5.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy forgó gömb felszínén a Coriolis-gyorsulás helyi vízszintes síkbeli vetüle-tének nagysága mindig 2vωF cosϑ a sebesség irányától függetlenül! [3]5.3. Gyakorló feladat. Keringési gyorsulások: Becsüljük meg azt a tehetetlenségi gyorsulást a Földön, amely (a) aFöldnek a Nap körüli, (b) a Földnek a Föld-Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli, (c) a Naprendszernek aGalaktika centruma körüli keringéséből származhat! Miképpen módosul az (5.23) földi mozgásegye nlet, ha az a-bhatásokat figyelembe vesszük (ezek az árapály erők)? A szükséges adatoknak nézzenek utána. [1-2-2-2]

2018. március 12. 15:52:36 22

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.4.3. A Coriolis-erő hatásai

→ É↔D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el, ld. 9. ábra. Ez minden irányú mozgásra is érvényes, pl.ilyenkor a vasúti kerekek a jobb/bal oldalon erősebben kopnak.

→ A kádban lefolyó víz merre örvénylik? Északi féltekén balra? A Simpson család egyik epizódjában is előkerül:Ausztráliában fordítva? Ez legenda, a Coriolis-hatás csekély, más perturbáció határozza meg az örvénylés irányát!

9. ábra. Különböző féltekéken mozgó test pályájának eltérülése; ciklonban és anticiklon-ban a levegő forgásiránya felülről nézve – melyik féltekén milyen irányú a csavarodás?

→ Örvények? Ciklon: felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomású; ha tenger felett keletkezik, akkorpáradús, felhőképen jól látható.

? Anticiklon: lefelé áramlás körül alakul ki, magas nyomású, száraz, ezért a felhőképen nem jelenik meg.Különböző féltekéken ellenkező a forgásirány, melyet a Coriolis-eltérítés állít be.

→ Tipikus szélirányok? Passzátszél (trade wind) a Föld felszínén.? Futóáramlat (jet stream) 7-16 km magasságban.

2018. március 12. 15:52:36 23

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

~30°

Eq.

10. ábra. (a) Az egyenlítői felmelegedés hatására kialakuló feláramlás és a kb. 30◦ széles-ségen zajló leáramlás következtében létrejövő légkörzések, az ún. Hadley-cellák átlagosszerkezete a forgástengelyt tartalmazó sík metszetében, napéjegyenlőség idején. (A je-lölt szög földrajzi szélesség.) (b) A passzát és nyugati szelek iránya a Föld felületén adélre ill. északra áramló légtömegekre ható Coriolis-erő következménye. (c) 3d szemlél-tetés (NASA). A valóságban a sarkokhoz közeli cellahatárok nem körök, hanem időbenváltozó, szabálytalanul kanyargó vonalak. Az innen leváló ciklonok a mérsékelt égövrevándorolva ezek időjárására lényeges hatást gyakorolnak.

2018. március 12. 15:52:36 24

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

11. ábra. Felhőképek 2016.08.20-án Európa fölött. A baloldali ciklon pozitív irányban fo-rog, a jobb alsó száraz terület anticiklonális, a peremén kivehető a negatív forgásirány.[AzOrszágos Meteorológiai Szolgálat met.hu veboldaláról.

2018. március 12. 15:52:36 25

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

12. ábra. Hurrikán folyosó a Karib-tenger fölött, 2017.09.08-án. Balról jobbra Katia,Irma és José, a Coriolis-erő által irányított passzátszéllel érkeztek kelet felől, jól kivehetőpozitív forgásirányuk, melyet szintén a Coriolis-erő határoz meg. [A New York Timesnytimes.com veblapjáról, 2017.09.19, NOAA/NASA GOES Project.]

2018. március 12. 15:52:36 26

6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE

6. Bevezetés a mechanika variációs elveibeA variációszámítás matematikai módszerének segítségével a XVIII. században a newtoni mechanika olyan átfogal-

mazása vált lehetővé, amely számos problémát könnyebben megfogalmazhatóvá és megoldhatóbbá tett. A variációselvek fizikai tartalma ugyanaz, mint a Newton-egyenleteké, technikailag azonban gyakran kezelhetőbb alakúak. A XX.században a klasszikus mechanika variációs megfogalmazása a kvantummechanika leírásában kulcsszerepet játszott.A számítógépek elterjedésével külön jelentőségre tesz szert klasszikus mechanikai problémák variációs optimumfel-adatként való megfogalmazása, amely a mozgásegyenletek hatékonyabb numerikus megoldását teheti lehetővé.

Az alábbiakban először a variációszámítás módszerét vezetjük be, majd rátérünk mechanikai alkalmazására. No-ha első évfolyamon a variációszámítás egyes matematikai alapjai elhangoztak, az alábbi bevezetést önmagában ishasználhatónak szánjuk, ezért némi átfedés elkerülhetetlen.

6.1. A variációszámítás elemei6.1.1. Funkcionálok (m)

A legegyszerűbb funkcionál valós függvényekhez rendel valós számokat

F : függvény→ szám,jelölése: F [y(x)]. (6.1)

A funkcionál függvények terén értelmezett függvény.Funkcionálokat korábban is ismertünk, ilyenek az egy- vagy többszörös határozott integrálok, például

F [y(x)] =w bay(x) dx; F [y(x)] =

x bay(x− x′) y2(x) ey(x′) dx dx′; F [y(x)] =

w baf(y(x), x) dx. (6.2)

Az utóbbi esetben a kétváltozós f függvény megadása definiálja az F funkcionált. E típust általánosíthatjuk oly

2018. március 12. 15:52:36 27

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEmódon, hogy az f függhessen az y deriváltjaitól is, pl.

F [y(x)] =w baf(y(x), y′(x), y′′(x), x) dx. (6.3)

A különféle deriváltak fellépése nem változtat azon, hogy a teljes kifejezés az y(x) függvény menetétől függ, ezért Fargumentumába változatlanul y(x) írandó. A funkcionálban nem feltétlenül lép fel integrál, erre példa a Dirac-deltafunkcionál

FD[y(x)] = y(0) (6.4)

Ezt integrálként átértelmezve vezetjük be a δD(x) Dirac-delta „függvényt”

FD[y(x)] =w baδD(x) y(x) dx, a < 0 < b. (6.5)

6.1.2. A variációszámítás alapfeladata (m)

Történetileg a variációszámítás problémáját először a következőképpen fogalmazták meg. Tekintsük az alábbifunkcionált

S[y(x)] =w x1x0L (y(x), y′(x), x) dx, (6.6)

melyet egy adott L(u, v, w) háromváltozós függvény definiál. Az S, L jelölésekkel a későbbi mechanikai mennyiségek-kel való összhang kedvéért vezettük be. Ezután azt kérdezzük, milyen y(x) mellett van S-nek szélsőértéke, minimumavagy maximuma, amennyiben a végpontokban az

y(x0) = y0, y(x1) = y1 (6.7)

2018. március 12. 15:52:36 28

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEértékeket rögzítjük. A kérdés általánosabban is megfogalmazható, éspedig S stacionárius pontját is kereshetjük, azazolyan y(x) függvényt, amelytől való kicsiny eltérésektől S lineáris rendben nem függ – ezt a tulajdonságot rövidesenközelebbről megvizsgáljuk.

Az S funkcionál természetesen függ az integrálási tartománytól is, ezt nem mindig jelöljük. A határokat itt azegyszerűség kedvéért rögzítettük, más peremfeltételek (PF-ek) mellett is definiálhatók variációs problémák.

6.1.3. Jelölések, elnevezések

Ha az olvasónak kétségei lennének afelől, miszerint a (6.6) kifejezésben az y és az y′ függvényektől való függésmiképpen értendő, ezt könnyen megmagyarázhatjuk. A háromváltozós

L(u, v, x), (6.8)

függvényből az integrandust valamely x-nél az u = y(x) és v = y′(x) helyettesítéssel kapjuk. Használni fogjuk az yés y′ szerinti parciális deriváltakat, melyek értelme

∂L

∂y= ∂L(u, y

′(x), x)∂u

∣∣∣∣∣u=y(x)

, (6.9)

∂L

∂y′= ∂L(y(x), v, x)

∂v

∣∣∣∣∣v=y′(x)

. (6.10)

Ezek igen gyakran fordulnak elő, ezért rövidíteni fogjuk őket ily módon

F (y, y′, x) = ∂L∂y, p(y, y′, x) = ∂L

∂y′. (6.11)

A később a mechanikában használatos terminológiát az egyszerűség kedvéért a jelen bevezetőben is alkalmazzuk,éspedig az extremizálandó S funkcionált hatásnak, az L integrandust Lagrange-függvénynek, az F deriváltat kanonikus

2018. március 12. 15:52:36 29

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEerőnek, a p mennyiséget kanonikus impulzusnak nevezzük. Az L, F, p mennyiségek egy adott y(x) esetén az y és y′függvényeken keresztül, továbbá közvetlenül is függnek x-től.

A S funkcionál argumentumait, mint fent láttuk, szögletes zárójel keríti, melybe az integrálás végpontjait gyakrannem írjuk be. A funkcionálnak a stacionárius y(x) függvényen felvett értéke „már csak” a végpontok függvénye,melyet gömbölyű zárójellel írunk. Néha csupán a zárójelet írjuk ki az alábbi ekvivalens jelentésekkel.

S[..] = S[y(x)] = S[y(x);x0, y0, x1, y1], (6.12)S(..) = S(x0, y0;x1, y1) = S[y(x);x0, y0, x1, y1] |y(x)=stac.. (6.13)

6.1.1. Példa. Síkgörbe minimális hossza, mint variációs feladat.Természetesen tudjuk, hogy a minimális hosszú „görbe” az egyenes, de a példa jól illusztrálja a variációszámítást. Azelemi hossz a 13. ábráról leolvashatóan

d` = dxcosϕ =√

1 + tg 2ϕ dx =√

1 + y′2(x) dx, (6.14)

ϕ

13. ábra. A d` infinitezimális ívhossz.

Keressük azt az y(x) függvényt, amely minimalizálja a hosszt. AdottP0 = (x0, y0) és P1 = (x1, y1) kezdő- és végpontok között a hosszaz y(x) függvény funkcionálja

S[y(x)] =w P1P0

d` =w x1x0

√1 + y′2(x) dx. (6.15)

Tehát a Lagrange-függvény, a kanonikus erő ill. impulzus

L(y, y′, x) = L(y′) =√

1 + y′2(x) = 1cosϕ (6.16a)

F = 0 (6.16b)

p = y′√

1 + y′2(x)= sinϕ. (6.16c)

2018. március 12. 15:52:36 30

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.1.4. Stacionaritás (m)

a. Röviden

Valamely funkcionál stacionárius pontja analóg az egyváltozós valós függvény zérus deriválttal jellemzett stacioná-rius pontjával. A stacionaritás a lokális szélsőértéknél tágabb fogalom, sima függvényeknek belső pontban – azaz nema határon – felvett lokális szélsőértéke stacionárius, de nem minden stacionárius pont lokális szélsőérték. Hasonlóan,sima funkcionálok belső lokális extrémumai egyben stacionárius pontok, mely pontok itt természetesen függvények,de stacionárius pont nem feltétlenül lokális extrémum.

b. Hosszan

Az egyváltozós sima függvények példáját véve, egy pont stacionárius, ha a függvény deriváltja azon a helyenzérus. Eltűnő derivált jellemzi a lokális szélsőértéket is, s ezen felül inflexiós pontot is jelezhet. Miként azt jól tudjuk,valamely függvény deriváltja a megváltozása lineáris tagjának az együtthatója

f(x0 + δx) = f(x0) + δf(x0) ≈ f(x0) + f ′(x0)δx. (6.17)

Ha a függvénynek x0 lokális minimuma vagy maximuma, azaz extrémuma, akkor a δx eltérésben lineáris tag eltűnik,

f ′(x0) = 0. (6.18)

Ez csak belső x0 lokális extrémum-pontra érvényes. Ha a függvény az értelmezési tartomány határán veszi fel lokálisextrémumát, akkor a derivált ott nem feltétlenül tűnik el.

A derivált eltűnéséből nem következik, hogy ott lokális extrémum található, az x0 pont lehet inflexió is. Általábannevezhetjük a zérus deriváltú helyet stacionárius pontnak, ez arra utal, hogy a függvényérték eltérése a pont kiskörnyezetében lineáris rendnél csekélyebb.

2018. március 12. 15:52:36 31

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEHasonlóan, valamely sima többváltozós f(x1, .., xn) ≡ f(x) függvény stacionárius pontjának nevezhetjük azt az

x helyet, amelyben a függvény minden argumentuma szerinti parciális deriváltjai eltűnnek,

∂f

∂xj= 0, j = 1, .., n. (6.19)

Lokális minimum és maximum ilyen, emellett nyeregpontok és inflexiós pontok is stacionáriusak.A variációszámítás 6.1.2 alapfeladatában, a szélsőértékhez nem ragaszkodva azt is kérdezhetjük, milyen y(x)

mellett lesz S[y(x)] stacionárius, azaz mely y(x) függvény körüli kis változtatások mellett nem változik S[y(x)]értéke első rendben. A lokális extrémumok a stacionaritás speciális esetei. Annak vizsgálatához, hogy a stacionáriushely (azaz y(x) függvény) szélsőérték-e, s ha igen, maximum vagy minimum, másodredű számításokra van szükség,amelyek e kurzus kereteit túllépik.

6.1.5. Diszkretizáció, Euler–Lagrange-egyenlet

A 6.1.2-beli problémát diszkretizációval visszavezethetjük az ismert parciális deriválásra, majd folytonos határát-menettel kapjuk az eredeti, funkcionálokra vonatkozó probléma megoldását. Diszkretizáljuk az y(x) függvényt olymódon, hogy az x tengelyen bevezetjük az

x(n) = x0 + n∆x (6.20)

osztópontokat, melyek valamely kicsiny ∆x távolságra vannak egymástól (a végpont x1 = x0 + N∆x). A keresetty(x) függvény értékei y(n) = y(x(n)), a határokon y0 = y(0) és y1 = y(N). Ekkor (6.6) közelítőleg

SN[y(0), y(1), .., y(N);x0, x1

]=

N−1∑n=0

L

(y(n),

y(n+1) − y(n)

∆x , x(n))

∆x ≡N−1∑n=0

Ln∆x

−−−−→∆x→0

S[y(x);x0, x1] =w x1x0L (y(x), y′(x), x) dx. (6.21)

2018. március 12. 15:52:36 32

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEA szumma n indexű tagjában az Ln rövidített jelölést vezettük be. Vegyük észre, hogy az x1 végpont nem szerepela szumma utolsó, n = N − 1 tagjában, mégis függ tőle SN , hiszen adott x0 és N esetén x1 állítja be a ∆x értékét.Most jelöltük az S funkcionál függését a végpontoktól is.

A stacionaritási feltétel minden egyes n = 1, .., N − 1 belső függvényértékre csak a szumma n és n − 1 indexűelemeit tartalmazza (most előre írjuk az n indexű járulékot)

0 = ∂SN [..]∂y(n)

= ∂∂y(n)

(Ln + Ln−1) ∆x =(∂L

∂y

∣∣∣∣∣n

− 1∆x∂L

∂y′

∣∣∣∣∣n

+ 1∆x∂L

∂y′

∣∣∣∣∣n−1

)∆x, (6.22)

ahol az y és y′ szerinti deriváltak argumentumait jelzi az n−1 ill. n alsó index, éspedig úgy, hogy a (6.21) szumma azonindexű tagjának argumentumait helyettesítjük be a deriváltakba. Ha az olvasónak meglepő, hogy a (6.22) formulábanszerepel az y′, noha ezt diszkrét módon közelítettük, akkor emlékeztetünk arra, hogy a ∂L/∂y′ jelölés az L másodikargumentuma szerinti deriváltját fedi, melyet természetesen a diszkretizáció esetén is használhatunk.

A (6.22) egyenlet jobboldali formulájából a felbontás finomításával nyerjük az Euler–Lagrange-egyenletet

E(y, y′, y′′, x) = ∂L∂y− ddx

∂L

∂y′= F (y, y′, x)− [p(y, y′, x)]′ = 0, (6.23)

ahol az E az ún. Euler–Lagrange-kifejezés, melyet az utána következő formula definiál, azaz a (6.11) kifejezésselbevezetett F kanonikus erőnek és a p kanonikus impulzus deriváltjának a különbsége. Innen látható is az utóbbielnevezések eredete, éspedig velük a stacionaritási feltétel Newton II. törvényéhez hasonló alakban áll elő. Jelöltükazt is, miszerint az E-ben általában második derivált is fellép.

Ha tehát adott L esetén az y(x) megoldja az Euler–Lagrange-egyenletet, az y(x) stacionárius pontja az S[y(x)]funkcionálnak. A fenti Euler–Lagrange-egyenlet általában tartalmazza y′′(x)-et, ezért másodrendű differenciálegyenleta stacionárius y(x)-re, melyet adott végpontokbeli

y(x0) = y0, y(x1) = y1 (6.24)

2018. március 12. 15:52:36 33

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEértékek mellett kell megoldanunk. Ezek peremfeltételek (PF-ek), helyettük a differenciálegyenletnél szokásos kezdetifeltételek (KF-ek), például az x0 pontban y(x0) = y0, y′(x0) = v0 is egyértelművé tehetik a megoldást.

Megjegyzések:→ A stacionaritás lokális tulajdonság. Egy funkcionálnak több stacionárius függvénye létezhet, hasonlóan ahhoz,

miként egy egyváltozós függvénynek több lokális minimuma, maximuma és vízszintes érintőjű inflexiós pontjalehet.

→ Az alapfeladat csak azt követeli meg, hogy y(x) legyen egyszer differenciálható, az Euler–Lagrange-egyenletmegoldása azonban kétszeresen az. Ez nem ellentmondás, az S[y(x)] funkcionál stacionárius helye „simább”,mint valamely általános argumentuma.

2017.09.19 J | I 2017.09.226.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, ha a (6.21)-beli szumma helyett a „szebb”, szimmetrikus

SN [..] =N−1∑n=0

L

(y(n+1) + y(n)

2 ,y(n+1) − y(n)

∆x ,x(n+1) + x(n)

2

)∆x, (6.25)

formulát használjuk, akkor a folytonos határátmenetben szintén a (6.23) feltétel adódik. Ez a folytonos egyenletneka diszkretizáció részleteitől való függetlenségét mutatja. [3]

6.1.6. A stacionárius érték mint a határok függvénye

Ha a szóban forgó (6.6) funkcionál argumentumát egy stacionárius pontban vesszük, azaz behelyettesítjük aa (6.23) olyan y(x) megoldását, mely a végpontokban teljesíti a y(x0) = y0 és y(x1) = y1 feltételeket, akkor afunkcionál stacionárius értékét mint a végpontok függvényét kapjuk. Gyakran rövid jelölést használunk

S(..) = S(y1, x1; y0, x0). (6.26)

E függvénynek a határpontoktól való függésére az alábbi érdekes összefüggéseket állíthatjuk fel.

2018. március 12. 15:52:36 34

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEa. A végpontbeli y1 értéke szerinti derivált

A (6.21) kifejezésnek az y1 = y(N) szerinti differenciálása adja, melyből a felbontás finomításával nyerjük

∂SN [..]∂y(N)

= 1∆x∂L

∂y′

∣∣∣∣∣N−1

∆x ⇒ ∂S(..)∂y1

= p(x1). (6.27)

Tehát a végpont szerinti derivált éppen az ott számított azon kanonikus impulzus, amely a stacionárius y(x) megol-dáshoz tartozik.

b. A végpont x1 helye szerinti derivált

Ha az x1 végpontot egy kicsiny ∆x hosszal megnöveljük, akkor a hatásintegrál megváltozása vezető rendben

∆S ≈ L|x1 ∆x. (6.28)

Ugyanezen növekményt kell kapnunk, ha a (6.26) differenciálját képezzük a stacionárius y(x) megoldás mentén

∆S ≈ ∂S(..)∂y1

∆y1 +∂S(..)∂x1

∆x ≈[p(x1) y′(x1) +

∂S(..)∂x1

]∆x. (6.29)

A ∆S két kifejezését egyenlővé téve nyerjük

∂S(..)∂x1

= (L− p y′)|x1 . (6.30)

Érdemes bevezetnünk az

E = p y′ − L (6.31)

2018. március 12. 15:52:36 35

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEmennyiséget, melynek a kanonikus energia nevet adjuk. Általában adott y(x) esetén, azaz nem feltétlenül a stacionáriusy(x) függvény mellett ugyanezzel a kifejezéssel definiálható E, ilyenkor is az x adott függvénye. Az E-t Beltrami-függvénynek is nevezik, később látni fogjuk a fizikai energiával való kapcsolatát. Ezzel a jelöléssel a stacionáriusfunkcionálra nyerjük

∂S(..)∂x1

= −E(x1). (6.32)

c. A hatás teljes differenciálja

A fentiek alapján kapjuk a stacionárius funkcionál differenciálját az (x1, y1) végpontok függvényekéntdS(..) = p(x1) dy1 − E(x1) dx1. (6.33)

6.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy S(..)-nek az y0 és x0 kezdőértékek szerinti deriváltjait az ellentett előjelűformulák adják, azaz

∂S(..)∂y0

= −p(x0),∂S(..)∂x0

= E(x0). [2]

Összefoglalásul, az S funkcionál stacionárius értékének teljes differenciálja a határpontok megváltoztatásával szembendS(y1, x1; y0, x0) = p(x1) dy1 − E(x1) dx1 − p(x0) dy0 + E(x0) dx0. (6.34)

E reláció a később tárgyalandó hamiltoni mechanikában játszik fontos szerepet.

6.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett

A fenti összefüggések megengedik kiterjesztenünk a variációs feladatot olyan esetekre is, melyekben valamelyvégpont koordináta nincs rögzítve. Ilyenkor az S(y1, x1; y0, x0) függvényt még a szabad argumentuma szerint isstacionáriussá kell tennünk, azaz S deriváltjának el kell tűnnie, melyből az alábbi egyszerű feltételeket nyerjük.

2018. március 12. 15:52:36 36

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEa. Szabad a végpontbeli érték

Ha például az x0, x1 és y0 adott, de megengedjük, hogy az y1 végpont tetszőleges legyen, akkor a végpont rögzítésehelyett a stacionaritás feltételét

p(x1) = 0 (6.35)

alakban kell alkalmaznunk.

b. Szabad a végpont helye

Másik példánkban csak az x1 szabad, midőn x0, y0, y1 rögzített. Ekkor a stacionaritás a

E(x1) = 0 (6.36)

feltételt követeli meg.

c. A végpont adott görbén fekszik

Harmadszorra, ha a végpontokról csupán annyit tudunk, hogy valamely előírt

y1 = h(x1) (6.37)

görbén található, akkor a (6.33) kifejezést a stacionaritás követelménye szerint zérussal egyenlővé téve nyerjük

h′(x1) =E(x1)p(x1)

. (6.38)

Ez esetben tehát nem rögzíthettük a végpontot, hanem az x1-nek teljesítenie kell a (6.38) feltételt.

2018. március 12. 15:52:36 37

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.3. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az utóbbi feltételnek az első kettő, azaz a szabad x1, ill. a szabad y1feltételek a speciális esetei. [2]

Hangsúlyozzuk, hogy a határfeltételek az olyan y(x) függvényekre vonatkoznak, amelyek a (6.23) Euler–Lagrange-egyenletet megoldásai.

Megjegyzés: A fentiek a stacionaritási feltétel kiterjesztései, tehát lokális tulajdonságok. Például előfordulhat, hogya végpontra kényszerfeltételt előíró görbe érintőjére több helyen teljesül a (6.38), ilyenkor több stacionárius megoldáslétezik.

6.1.8. A legrövidebb út a síkon

Természetesen tudjuk a választ, „egyenes szakasz”, mindazonáltal a példával a variációszámítás módszerét jólillusztrálhatjuk.

a. Rögzített végpontok között

Az y(x) görbe menjen át a P0 = (x0, y0) és P1 = (x1, y1) rögzített végpontokon. Ekkor a minimalizálandófunkcionált (6.15) adja (itt feltesszük, hogy y(x) egyértékű)

S[y(x)] =w P1P0

d` =w x1x0

√1 + y′ 2(x) dx ≡

w x1x0L dx. (6.39)

A (6.16)-beli erő zérus, tehát a (6.23) Euler–Lagrange-egyenlet szerint

F = p′ = 0 ⇒ p = y′

√1 + y′ 2

= sinϕ = áll. ⇒ ϕ = áll.. (6.40)

Tehát a vonal egyenes, y(x) = αx+ β, ahol a konstansokat a határpontokhoz való illesztéssel kapjuk.6.4. Gyakorló feladat. Végezzük el a határpontokhoz való illesztést, majd számítsuk ki a minimális hosszt (melyretermészetesen az S(y1, x1; y0, x0) =

√(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 formulát kell kapnunk). [2]

2018. március 12. 15:52:36 38

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEb. Az ívhossz Euler–Lagrange-kifejezése

Noha a stacionaritási problémát megoldottuk, a példa kedvéért határozzuk meg E-t

E = F − p′ = −p′ = − ddx sinϕ = − cosϕdϕdx = −

dϕd` = −

1R≡ −κ, (6.41)

ahol az utolsó előtti egyenlőség az R a görbületi sugár, az utolsó a κ görbület definíciója. Nyilvánvaló, miszerint astacionaritás a görbület eltűnését írja elő. Másrészről, ha a kanonikus impulzus (6.40)-beli formuláját deriváljuk, akkor

p′ = y′′

√1 + y′ 2

− y′′ y′ 2

(1 + y′ 2)3/2 =y′′

(1 + y′ 2)3/2 =1R

= κ, (6.42)

azaz a görbületet az y(x) deriváltjaival fejeztük ki.A görbület előjele a függvény konvexitásától függ

konvex: y′′, κ > 0; konkáv: y′′, κ < 0. (6.43)

Megjegyzés: Magasabb dimenziós felületek stacionaritása a felületek ún. átlagos görbületének eltűnését írja elő.

c. Ha a függvény végpontja nem rögzített: szabad y1Ekkor a P1 pont egy, az y tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P0 fix. Minimalizálnunk

kell az y1 szerint is, tehát (6.35) alapján fennállp(x1) = sinϕ|x1 = 0. (6.44)

Mivel ϕ végig állandó, ezért a megoldásgörbe az x tengellyel párhuzamos szakasz, mely nyilvánvaló tényt egy kisiskolásis felismerne.6.5. Gyakorló feladat. Az előző gyakorló feladatban kérdezett S(y1, x1; y0, x0) deriváltja y1 szerint valóban p(x1)? [1]6.6. Gyakorló feladat. Legyen mindkét y0, y1 érték szabad. Ekkor mi a stacionaritás feltétele, s teljesíthető-e? [2]

2018. március 12. 15:52:36 39

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEd. Ha az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: szabad x1

Ekkor a P1 pont egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P0 fix. Most minimalizál-nunk kell az x1 szerint, ehhez először meghatározzuk a (6.31) kanonikus energiát

E(x) = p y′ − L = sinϕ tgϕ− 1/ cosϕ = − cosϕ, (6.45)

ahonnan (6.32) alapján kapjuk

∂S(..)∂x1

= −E(x1) = 0 ⇒ |ϕ| = π/2. (6.46)

Tehát a minimális úthosszt az y tengellyel párhuzamos szakaszon mérhetjük, miként azt előre ki is találhatt