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ELO ENTRE OS AMBIENTES DIMENSIONAIS E SUA PERCEPÇÃO ESPACIAL ATRAVÉS DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS
Carmeligia Marchini1 Carlos Henrique dos Santos2
RESUMO
A escolha do tema do objeto de estudo surgiu a partir de discussões
realizadas com o professor orientador nos encontros na IES proporcionados pelo
PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional). Através de situações
práticas vivenciadas em sala de aula, ao trabalharmos com cálculos na
geometria espacial, percebia-se uma grande dificuldade nas respostas dos
exercícios no cálculo das medidas de comprimento, áreas e volume, pois havia
dúvidas por parte de alguns alunos sobre quando utilizar a unidade de medida
simples, quadrada ou cúbica.
Chegamos à conclusão da necessidade de um trabalho exploratório
sobre a relação entre as dimensões: unidimensional, bidimensional e
tridimensional, tendo como escopo a assimilação dos conceitos e sua
operacionalidade. Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de estreitar a
distância entre o prescrito e o vivido estabelecendo as conexões entre os
ambientes dimensionais, através de estratégias que possibilitem aos alunos
compreender conceitos geométricos e, que esses conhecimentos estejam
articulados à capacidade de manipulação, à visualização e à experimentação.
Neste intuito utilizou-se de materiais concretos manipuláveis de forma a
proporcionar condições para que os alunos desenvolvam a percepção e
estabeleçam a relação entre as dimensões geométricas.
Palavras-Chaves: Geometria; elo entre as dimensões; unidades de
medidas; materiais manipuláveis.
1 Profª PDE 2009. Rede pública do Estado do PR. E-mail: [email protected]
2 Profº Doutor da Universidade Federal do PR - orientador do projeto
2
ABSTRACT
The choice of this theme of study arose from the discussions with our
teacher in the meetings at IES provided by PDE (Educational Development
Program). By practical situations experienced in daily classroom, when we
taught space geometry, it was clear the great difficulty in the exercises answers
concerning length, area and volume, there were also doubts, for some students
when they had to use the simple unit, square or cube.
We realized the necessity of a study about the three dimensional
relations: one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional, focusing on
the assimilation of their concepts and their operational ties. This work was
carried out in order to narrow the distances between the theory and practice,
trying to establish the connections of the dimensional environments using
strategies that could help the students to understand geometric concepts and
that this knowledge could provide the ability of manipulation, visualization and
experimentation. For this we used manipulative materials in order to provide the
conditions for the students develop the awareness and the relations among the
geometric dimensions.
Key Words: Geometry; link between the dimensions, unity measure,
manipulative materials.
Justificativa:
O presente artigo tem a intenção de discutir a arte de ensinar
matemática com o auxílio de materiais concretos manipuláveis,
descrevendo algumas atividades propostas e desenvolvidas com 30 alunos
da 8ª série “A” – turma 2009 - do Ensino Fundamental no Colégio Estadual
Teotônio Vilela – Ensino Fund. e Médio.
Este trabalho se inicia conceituando e diferenciando as dimensões
geométricas e, discutindo com o aluno que o homem se constrói no tempo e no
espaço, vivendo em um mundo espacialmente tridimensional, no qual a
3
geometria está inserida. Discutindo ainda que, inúmeras situações requerem
percepção espacial, tanto em matemática como na leitura e na escrita.
O desenvolvimento da percepção espacial e sua compreensão concreta
são características fundamentais e necessárias para o vínculo entre teoria e
prática no estudo da geometria.
É importante registrar que os conceitos geométricos constituem parte
importante do currículo de matemática. Por meio deles, o aluno desenvolve
habilidades e conhecimentos que lhe permitem compreender, descrever e
representar de forma organizada o mundo em que vive. Assim é necessário
que utilize a geometria como uma das ferramentas para compreensão do
espaço que o cerca, pois esta o auxiliará a decodificar as imagens, a fazer e
analisar as representações geométricas que se encontram em seu cotidiano.
Essas habilidades permitirão o entendimento e a percepção das várias
dimensões, desde as presentes na Geometria Euclidiana e nas Não-
Euclidianas, auxiliando-os na formalização e no desenvolvimento de uma
intuição mais sofisticada necessária para aplicação na geometria dos fractais
(nos objetos de dimensões fracionárias).
É interessante salientar neste momento, que ao despertar um olhar
crítico à geometria e ao reconhecer os objetos tridimensionais para logo
identificar as figuras bidimensionais e vice-versa, isso estará manifestando
significativo caminho do espaço ao plano, estreitando o distanciamento entre o
prescrito e o vivido, estabelecendo conexões entre a matemática e outras
áreas do conhecimento.
Baseada na realidade do aluno e em textos torna-se necessário
relacionar a geometria escolar às suas atividades concretas, visto que a
geometria está profundamente ligada à vida do Homem, ajudando-o a resolver
os diversos problemas que poderá enfrentar no seu cotidiano, e talvez com isto
se explique o seu surgimento desde os tempos mais remotos.
H.Eves (1969, citado por Gerdes.Paulus, 1992) afirma que as primeiras
considerações geométricas do Homem parecem ter tido a sua origem em
observações simples que provêm da habilidade humana de reconhecer forma
física e de comparar figuras e tamanhos. Aqui a capacidade de reconhecer e
comparar formas são assumidos como uma qualidade natural dos seres
humanos.
4
A Geometria trata dessas formas, das suas propriedades e das suas
relações. Olhando à nossa volta, rapidamente tomamos consciência de que ela
está presente no mundo que nos rodeia, através de formas, desenhos e
propriedades geométricas.
Conforme citação de Eves nosso posicionamento no espaço permite-
nos orientarmos, analisarmos as formas e construirmos relações entre o
espaço geometricamente tridimensional que nos cerca. Esse conhecimento do
espaço de que nos apropriamos diretamente, sem um raciocínio lógico, formal,
constitui a intuição geométrica.
O primeiro contato que temos com a geometria se realiza assim, por
meio da intuição, esse conhecimento ao se transformar em ciência tem o
objetivo de analisar, organizar e sistematizar os conhecimentos espaciais.
São essas habilidades que darão ao indivíduo a possibilidade de ler as
representações pictóricas que costumam aparecer em um mapa, na planta de
uma cidade, de uma estrada, de um bairro. São também essas habilidades que
permitirão o entendimento das representações geométricas que estão
presentes na natureza, nas artes e nas edificações.
Para um ensino e aprendizagem significativos é fundamental valorizar o
ensino da geometria como parte integrante da matemática. A importância de
desenvolvê-la na escola é ressaltada nos Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Fundamental (1998, p. 51):
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.
Nesse mesmo contexto, os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Médio ressaltam sobre a importância do ensino da geometria nas
escolas (1998, p. 123):
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos na resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante deste tema, o aluno poderá desenvolver habilidades
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de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para problemas.
Segundo Souza (2001), pesquisas psicológicas indicam que a
aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois
inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em
Matemática como na leitura e na escrita.
As constatações acima evidenciam a necessidade de abordar os
conhecimentos geométricos, pois a Geometria pode ser considerada uma das
áreas do conhecimento que auxilia na compreensão, descrição e inter-relação
com o espaço em que se vive. Diante disso iremos abordar e estudar as formas
espaciais e as relações dos corpos reais, abstraindo o que é comum a eles,
porque todo corpo real tem sua forma, suas propriedades, dimensões e uma
posição em relação aos demais corpos.
As relações espaciais se manifestam em dimensões geometricamente
distintas nas quais produzimos conhecimentos. Portanto, quando se fala em
espaço, deve se perceber um espaço geometricamente multidimensional.
É importante ressaltar que, quando percebemos e estudamos esse
espaço, isto nos permite estabelecer conexões entre a Matemática e as outras
áreas do conhecimento.
Ao aprofundarmos o conhecimento do espaço, veremos que, mesmo
sendo distintos, os modos de compreensão e expressão realizada de forma
direta correspondente à intuição geométrica da natureza visual e, a realizada
de forma reflexiva, que corresponde à lógica da natureza verbal, são
complementos entre si. Prova disto é que o método desenvolvido na
sistematização da geometria atingiu um alto nível de formalização. No entanto
os conhecimentos de natureza geométrica são resultados das necessidades do
homem e da observação da natureza.
Segundo C.Alsina, C.Burguês, J.Mª Fortuny (1989, p.61)
Para alcançar uma perfeita compreensão das relações espaciais, o bom desenvolvimento da percepção visual é fundamental, pois a percepção visual exige o desenvolvimento de uma gama de competências, incluindo o conhecimento e o saber de como interpretar e ver.
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É de fundamental importância que propiciemos aos alunos condições
necessárias para o desenvolvimento dessas habilidades de maneira a facilitar
sua compreensão e percepção das formas e propriedades geométricas
presentes em seu cotidiano. Neste mesmo contexto, os Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (1999. p.257) ressaltam sobre a
importância das:
Habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas que podem ser desenvolvidos com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação de partes do mundo que o cerca.
Analisando o contexto do desenvolvimento de um trabalho adequado no
ensino da geometria é interessante refletirmos sobre nossa prática pedagógica,
revendo a forma de ensiná-la de maneira a tornar seu ensino significativo,
propiciando uma aprendizagem satisfatória. Diante dessa circunstância,
convêm citar que, a manipulação de formas geométricas torna os alunos mais
organizados, desenvolvem a coordenação motora e visual, melhora a leitura e
a compreensão de gráficos, mapas e outras informações visuais.
Neste sentido, buscamos utilizar estratégias que possibilitem aos alunos
compreender conceitos geométricos, e que esses conhecimentos estejam
articulados à capacidade de manipulação das fórmulas matemáticas, à
visualização e à experimentação por meios de materiais manipuláveis, de
forma a relacionarem as dimensões geométricas, desenvolvendo sua
percepção espacial.
PERCEPÇÃO ESPACIAL
A percepção espacial desempenha um papel fundamental para que se
reconheçam formas, propriedades geométricas, transformações e relações
espaciais. Com uma boa formação na percepção espacial estaremos aptos a
compreender melhor o mundo físico em que vivemos, melhorando nossa
adaptação nesse mundo espacialmente tridimensional.
Segundo C.Alsina, C.Burguês, J.Mª Fortuny (1989, p.16)
A percepção espacial pode ser comparada com a interpretação de um texto escrito. Da mesma forma que no processo de leitura
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são agrupados as palavras em frases, para a obtenção de um entendimento global da informação, na percepção espacial trata-se de obter uma mensagem através de uma interpretação e visualização das formas e relações das propriedades geométricas espaciais.
A geometria, dentre outras, desenvolve a capacidade de ativar as
estruturas mentais, facilitando a passagem do estágio das operações concretas
para o das operações formais. Para que se tenha uma significativa
aprendizagem geométrica do espaço, é necessário fazer uma abstração das
formas explorando os objetos, onde esta exploração visual acompanhada da
manipulação, construção e compreensão da estrutura tornarão sua percepção
espacial completa.
As atividades de exploração espacial constituem um suporte adequado
do processo de aquisição do conceito espacial. As observações e
experimentações geométricas com os objetos e elementos da natureza,
propiciam um conhecimento e estruturação das noções espaciais.
À medida que um indivíduo vivencia o espaço através, principalmente,
da visão e do tato, os quais contribuem para a elaboração dos conceitos de
forma, proporção, posição e orientação, ele desenvolve sua percepção de
espaço tridimensional.
Para comunicar e expressar a informação espacial que é imprescindível
para observar objetos tridimensionais é de grande utilidade representar as
formas planas ou bidimensionais necessárias para desenvolver e completar a
percepção do espaço.
Parafraseando, C.Alsina, C. Burguês, J.Mª Fortuny (1989) os níveis de
organização espacial devem partir da construção de atividades. O conceito
geométrico de espaço não é dado anteriormente, mas é construído
mentalmente, depois de fazer operações adequadas. Assim, a percepção de
espaço não é uma simples cópia da realidade, mas é o resultado de atividades
organizacionais e de codificação de informações sensoriais.
Entendemos o aluno como ser ativo da construção do conhecimento dos
conceitos geométricos no processo de ensino e aprendizagem, por isso de
maneira a agregar, enriquecer e contribuir com uma aprendizagem significativa
do aluno buscou articulá-la à visualização e experimentação por meio de
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materiais concretos, visando facilitar sua percepção espacial. Com este intuito,
buscamos propor atividades valorizando o princípio da contextualização por
meio da visualização, construção e manipulação dos sólidos geométricos e sua
relação com as figuras bidimensionais e vice-versa.
Desenvolvimento
No estudo da evolução da percepção espacial, R. Pallascio (citado por
C.Alsina, C.Burguês, J.Mª Fortuny R.) apresenta cinco fases: a exibição, a
estruturação, a tradução, a determinação e a classificação.
Cada uma dessas etapas inclui ações que vão desde o reconhecimento
de objetos até a aplicação das propriedades matemáticas e a classificação
desses objetos. Os níveis de dificuldade das ações vão aumentando quando
passam de uma fase para outra, assim, há um progressivo desenvolvimento da
percepção espacial. A tipologia dessas etapas é definida como segue:
l) A visualização: Depois de ter observado um objeto, sua visualização
é a memorização de potência (suficiente) de imagens parciais, a fim de
reconhecer objetos pela mesma ou similar mudança de posição ou escalas,
entre uma variedade de objetos com o mesmo esquema.
2) A estruturação: Após visualizar um objeto, o estabelecimento de sua
estrutura é a capacidade de reconhecer e reconstruir o objeto com base nos
elementos constitutivos.
3) A tradução: Consiste em poder reconhecer um objeto de uma
descrição literária e vice-versa.
4) A Identificação: Consiste em poder reconhecer a existência de uma
descrição das suas relações métricas.
5) A classificação: É constituída por classes capazes de reconhecer
objetos equivalentes de acordo com diferentes critérios para a classificação.
As atividades desenvolvidas buscam garantir a participação produtiva do
aluno, permitindo que transformem e desenvolvam habilidades de: observar
(visualização), abstrair (estruturação), comunicar (tradução) e de organizar
(identificação e classificação).
Contemplamos idéias que possibilitam aos alunos da 8ª série do Ensino
fundamental, por meio da visualização e manipulação de materiais concretos,
9
compreender e interpretar geometricamente o conceito espacial, para que
tenham uma melhor percepção de mundo tridimensional e sua relação com o
plano bidimensional.
Durante essa prática pedagógica desenvolvemos conteúdos
relacionados à Geometria Plana e Espacial, entre eles: ponto, reta, posição de
retas, plano, estudo dos poliedros regulares, área e volume.
Acreditando que o aluno não possa ser passivo diante das atividades
propostas, mas, autores das construções que dão sentido ao conhecimento
matemático, no sentido de possibilitar ao aluno o „fazer matemática‟, a prática
se deu através da relação entre a figura bidimensional e a construção do objeto
tridimensional (os poliedros regulares).
Amilcar (2003, p.81) pautado nas teorias de Piaget, em sua dissertação
de mestrado “Ensino e aprendizagem da Geometria através das formas e
visualização espacial”, relata a opinião dos alunos sobre a visualização que o
material didático proporciona:
“Pode-se comprovar através da opinião dos alunos que, a visualização que o material didático manipulável proporciona, pode facilitar a assimilação dos conteúdos da Geometria, que o aluno ao manusear o material está construindo seu próprio conhecimento e seus próprios conceitos de Geometria através da visualização das formas geométricas.”
No sentido de valorizar a experiência e a manipulação de materiais
concretos como ponto de partida na relação entre as dimensões, buscou-se
práticas pedagógicas que tenham significado para o aluno e possam mobilizá-
lo a aprender num processo ativo.
Neste contexto, Amílcar (2003) ressalta a importância da utilização de
materiais didáticos manipuláveis, favorecendo sua aplicação prática na
construção dos conceitos envolvidos. Entende-se que a visualização
tridimensional que o material manipulável proporciona, facilita a assimilação
dos conteúdos, pois tudo que é próximo de sua realidade contribui para a
compreensão e criação de seu próprio conhecimento e conceitos do espaço
geométrico.
Buscamos favorecer o ensino e aprendizagem das relações espaciais,
articulando a percepção visual e a experimentação por meio de materiais
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manipuláveis que priorizem e oportunizem ao aluno a compreender e
transformar sua realidade, contextualizando teoria e prática.
Relato das experiências:
Entendemos que a idéia de contextualização requer a intervenção do
aluno no processo de aprendizagem, fazendo as conexões entre os
conhecimentos. Organizamos esse trabalho pedagógico de forma a propor
condições para que ele o aprenda de forma significativa e faça as conexões
necessárias entre as dimensões.
1º momento – Atividade exploratória: observação, manipulação e
desenvolvimento da percepção espacial: (30/09/2009 e 01/10/2009)
Para que houvesse uma relação entre objetos geométricos do cotidiano
do aluno, buscamos propor condições para que ele relacionasse esses sólidos
geométricos com a figura plana e/ou a foto de um objeto de seu cotidiano. Para
a realização dessa tarefa organizou-se uma mostra em que haviam figuras das
obras do autor Escher, cartazes com figuras planas planificadas e objetos de
formas tridimensionais, os poliedros regulares.
Esta mostra buscou possibilitar aos alunos atividades exploratórias,
como visualização, manipulação e questionamentos sobre a relação entre
figuras geométricas planas com sólido geométrico, e ainda, proporcionar
condições para que o aluno pudesse relacionar o contorno das faces de um
poliedro com as figuras geométricas planas como recursos na visualização e
percepção espacial.
Figuras das obras do autor Escher utilizadas na mostra:
11
Fonte: http://www.epo.pt/mat/escher/obras_de_escher.htm Originalmente publicado em Ciência Hoje das Crianças (1986) escrito por Sheila Kaplan.
Através da mediação do professor, como meio de aprofundar os
conhecimentos dos alunos, após serem combinados os critérios para a
classificação do bidimensional e do tridimensional, foram levantados alguns
questionamentos como:
- Quais são as semelhanças entre a representação tridimensional com a
figura bidimensional?
- Depois de realizadas as observações necessárias conseguem
reconhecer e realizar a diferenciação entre o corpo e figura?
- Elabore um desenho do corpo sólido observado representando a sua
percepção sobre tri dimensão.
- Visando à apropriação da forma do corpo sólido, desenhe-o
planificado;
- Utilizando os materiais necessários, transforme o desenho de
observação na forma tridimensional.
Após o aluno ter observado, comparado a figura bidimensional com o
corpo sólido (o tridimensional) e, transformado o desenho de observação num
sólido geométrico teremos parâmetro para verificar se o aluno:
- Percebeu a relação entre a forma da figura plana com o objeto
concreto.
- Interpretou geometricamente o objeto percebendo sua constituição de
forma, proporção, posição e orientação.
- Estabeleceu o elo entre os conceitos, linguagens, representações e
conhecimentos matemáticos das dimensões.
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2º momento - Abstração das propriedades matemáticas: Elo entre o uni
e o bidimensional: (06/10/2009 à 08/10/2009)
Após a etapa de: observar (visualização), abstrair (estruturação),
comunicar (tradução) e de organizar (identificação e classificação), passamos
para o processo de abstração das propriedades matemáticas dos sólidos
geométricos fazendo a relação entre:
*Vértice: representado pelo ponto;
*Arestas: representado pela reta;
*Faces: representado pela figura plana;
Partindo da definição de Euclides, sobre os três conceitos primitivos:
pontos, retas e planos, temos:
Existem figuras que não têm dimensão, é o caso dos pontos: Ponto é
“aquilo que não tem partes”.
Uma reta, por sua vez, é algo com uma única dimensão: Reta é “um
comprimento sem espessura”, que repousa equilibradamente sobre seus
próprios pontos.
Buscamos abordar desde a figura sem dimensão (tendo como entidade
geométrica o ponto), as figuras unidimensionais (tendo como entidade
geométrica a reta) até as figuras bidimensionais (tendo como entidade
geométrica: o plano).
Dos resultados das noções geométricas inicialmente estabelecidas,
conclui-se que um plano fica determinado:
1º) Por três pontos não em linha reta;
2º) Por uma reta e um ponto exterior a essa reta;
3º) Por duas retas distintas que tem um ponto comum;
4º) Por duas retas paralelas.
Plano é o que tem apenas comprimento e largura, uma superfície com
duas dimensões.
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Para que houvesse a sistematização das propriedades matemáticas,
retomamos o conceito inicial sobre retas, focando sua única dimensão, o
comprimento, no intuito de esclarecer qual unidade de medida a ser utilizada
quando se calcula a medida do comprimento da “aresta” de um poliedro.
O próximo passo buscou a relação entre a reta, o unidimensional, com a
figura plana, o bidimensional em suas duas dimensões, comprimento e largura.
Ao trabalharmos a figura bidimensional, focamos as posições relativas entre
duas retas, os seus ângulos, a medida do comprimento de suas arestas e a
escolha de uma unidade de medida, o cálculo da área da superfície da figura
planificada, bem como a utilização da unidade de medida apropriada (ao
quadrado). Neste momento foi feita a exploração da figura planificada
(bidimensional) de cada poliedro regular, motivando a utilização das fórmulas
algébricas, através da dedução heurística das fórmulas no cálculo das medidas
das áreas das superfícies das faces e da superfície poliédrica (foi alertado que
posteriormente seria feita a construção do poliedro regular com as mesmas
dimensões das figuras planas, por isso deveriam refletir sobre as medidas
utilizadas). Buscou-se identificar em cada figura plana do poliedro regular a
medida de seus ângulos e sua classificação, bem como a posição relativa entre
duas retas. No cubo e no tetraedro além da medida da superfície também foi
calculado o volume desses sólidos, utilizando a unidade de medida (cúbica) e
fazendo a conversão entre as unidades cm3 e litros.
3º momento – Estreitando o caminho entre teoria (cálculos
matemáticos) e a prática através dos materiais concretos (construção dos
poliedros regulares): Elo entre os ambientes dimensionais (14/10/2009 e
15/10/2009)
Finalizada a parte do elo entre as dimensões uni e bi partiu-se para a
construção dos sólidos geométricos, os poliedros regulares, em suas três
dimensões: comprimento, largura e altura, onde relacionaram o poliedro regular
com a figura plana, direcionando para análise e percepção entre a figura
bidimensional e a face do sólido e que se não houvesse tais faces o corpo
(sólido geométrico) não existiria.
Procurando aliar teoria e prática, os alunos fizeram a construção dos
poliedros regulares utilizando de materiais diversos como: papel cartão,
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madeira, palito de churrasco, vidro e aço inox. (Foi lembrado aos alunos que
deveriam construir os poliedros regulares com as mesmas medidas da figura
planificada, para que pudéssemos comparar a quantidade de material utilizado
com os cálculos das superfícies, bem como o cálculo do volume).
Com a finalidade de comparar os cálculos efetuados na figura plana com
a construção do poliedro regular foram levantados os seguintes
questionamentos:
- Identifique cada um dos poliedros regulares informando suas
particularidades em relação as suas faces e relacione-os com sua figura
planificada;
- Analise os ângulos existentes em cada um dos poliedros regulares e,
classifique-os quanto sua abertura;
- Identifique a posição entre duas retas presentes em cada poliedro, bem
como na figura planificada;
- Explorando a figura planificada (bidimensional) encontre a área de
cada face e da superfície poliédrica;
- Qual o material utilizado para a construção do poliedro? Qual a
quantidade de material utilizado para a construção dos poliedros?
- Se fossem revestir esses poliedros com papel contact, quanto gastaria
sabendo que o custo é de R$3,20 por metro?
- Encontre o volume do tetraedro e do cubo. Relacione o volume do
poliedro em relação a sua capacidade fazendo a conversão de cm3 em litros;
No sentido de validar uma proposta de um ensino e aprendizagem
significativa, buscou-se proporcionar aos alunos condições para que
estabelecessem e firmassem o elo entre as dimensões uni↔ bi ↔ tri, fazendo a
conexão entre teoria e prática através da utilização dos objetos tridimensionais
(os poliedros regulares) comprovando as propriedades matemáticas através
dos cálculos das medidas de comprimento, superfície e volume.
No manuseio do objeto tridimensional, o aluno utilizou-se de:
Pinos para a representação do vértice (ponto: algo sem dimensão);
Varetas para a representação das arestas (retas: unidimensional);
Figuras planas para a representação das faces (figura bidimensional)
na formação do poliedro regular (objeto tridimensional).
15
Buscando ampliar o desenvolvimento da compreensão concreta do
aluno bem como o exercício do pensamento lógico dedutivo, foi utilizado de um
cubo construído de aço inox para que os alunos fizessem a demonstração e
comprovação do cálculo de seu volume. Os alunos fizeram a experiência de
comprovar o cálculo da medida da capacidade, encontrado na figura
planificada, despejando líquido de um litro de água para o cubo, demonstrando
a conversão realizada do cm3 em litros, relatando sua experiência.
4º momento - Atividade exploratória: Elo entre as dimensões
20/10/2009
Partindo da necessidade de um trabalho exploratório sobre a relação
entre as dimensões, sabendo que a geometria auxilia o aluno na decodificação
das imagens, no desenvolvimento do conhecimento permitindo compreender,
descrever e representar de forma organizada o mundo em que vive, organizou-
se uma mostra pedagógica intitulada: “O elo entre as dimensões”, onde o aluno
pode estabelecer e aliar a teoria (cálculos matemáticos) com a prática
(construção e manipulação dos poliedros regulares).
No desenvolvimento dessa mostra, o aluno, como autor das construções
que dão sentido aos seus conhecimentos matemáticos, pode demonstrar sua
capacidade de manipulação das fórmulas matemáticas (nas figuras
bidimensionais dos poliedros regulares) articuladas à visualização e à
experimentação por meio de materiais concretos (os poliedros regulares)
relacionando as dimensões geométricas, através da expressão verbal e dos
cálculos da medida do comprimento, da área da superfície e do volume do
objeto tridimensional.
5º momento – Organização da mostra (21/10/2009 á 27/10/2009)
O primeiro procedimento para a organização desta mostra foi a divisão
das equipes e suas respectivas funções.
Cada equipe seria composta por quatro alunos e, na apresentação,
haveria um revezamento, pois um aluno de cada equipe seria o monitor
organizando a visitação à exposição (lembrando que esse monitor estaria
sendo revezado a cada apresentação).
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Foi apresentada a divisão das tarefas para cada equipe ficando livre
para optarem sobre qual tema gostaria de desenvolver e que, se houvesse
mais que uma equipe interessada pelo mesmo tema, seria feito um sorteio.
Ao chegarem a um consenso sobre a distribuição das tarefas mediadas
pelo professor, a mostra foi organizada da seguinte maneira:
1ª equipe - Introdução: Por esta equipe através da expressão verbal,
foi feito um relato sobre suas atividades exploratórias onde apresentaram a
figura da obra do autor Escher, cartazes com figuras planificadas e objetos
tridimensionais. Essa equipe era a responsável pela demonstração de como
ocorre o elo entre as dimensões, bem como dos conceitos primitivos dos
axiomas de Euclides: ponto, reta e plano.
2ª equipe - Utilização de uma maquete para o estabelecimento de
relações entre uma figura planificada e sua relação com o objeto
tridimensional: Através de uma maquete de madeira, os alunos fizeram a
relação entre a figura bidimensional planificada e o sólido correspondente,
objeto tridimensional. Esta maquete proporcionou condições para os alunos
perceberem o elo entre as dimensões, pois nela havia a figura de uma pirâmide
planificada sobre um fundo falso que ao ser montada passa do plano (parte)
para o espaço (objeto tridimensional – o todo), tendo a visão da figura
bidimensional transformando-se no objeto tridimensional e vice-versa. Puderam
perceber que esta figura bidimensional é composta pelas faces do corpo sólido,
levantando o questionamento de que se não houvesse uma face, o corpo
sólido não existiria. A partir da visualização da figura plana na maquete e da
manipulação na montagem da pirâmide (objeto tridimensional), demonstraram
que:
*Cada face é a representação de um plano;
*Cada aresta, a representação de uma reta;
*Cada vértice, a representação de um ponto.
17
↔
Esta equipe também foi à responsável para esclarecer que a figura
bidimensional, com suas duas dimensões (comprimento e largura), nos dá
suporte para o estudo da medida da superfície enquanto o objeto
tridimensional, em suas três dimensões (comprimento, largura e altura) nos
amplia ao estuda da medida do volume.
Da 3ª até a 7ª equipe ficaram responsáveis pela definição do poliedro
regular como um sólido que tem todos os lados e todos os ângulos iguais, bem
como do significado da palavra Poliedro (poli – muitas e edro – faces), ou seja,
sólido de muitas faces. Na explicação referente aos poliedros regulares cada
equipe ficou responsável por esclarecer sobre: particularidade (tipo de face),
arestas, vértices, ângulos, posição de duas retas, área da face e da superfície
poliédrica de um poliedro regular. O intuito era de que cada equipe
relacionasse e levantasse questões que fazem parte do cotidiano de suas vidas
as quais ocorrem sem que as pessoas se dêem conta de que a resolução é
muito mais simples do que se imagina, e conhecendo esse universo estarão
aptas para responder questões como: quanto “cabe” de água neste pote?
(volume), quantos metros de piso eu compro? (metros quadrados – área da
superfície) que, apesar desta utilização, as pessoas não fazem muitas vezes, a
menor idéia do que está ocorrendo, não sabem o significado de área ou volume
de uma maneira formal, porém podem até conseguir ter uma idéia intuitiva
sobre isto.
Para que as equipes pudessem realizar suas funções de explicar e
estabelecer o “elo entre as dimensões” utilizaram-se de sólidos geométricos e
de suas planificações, de maneira que essas representações pudessem induzir
à visão espacial dos objetos tridimensionais representados em planos, sem
18
prejuízo da diferenciação entre sólido e plano bem como entre objeto e
representação.
As equipes ficaram assim distribuídas:
3ª equipe: Tetraedro;
4ª equipe: Cubo;
5ª equipe: Octaedro;
6ª equipe: Dodecaedro;
7ª equipe: Icosaedro.
8ª equipe: Por esta equipe, foi utilizado um cubo construído de aço inox
para que fizessem a comprovação do cálculo de seu volume. Os alunos
fizeram a experiência de comprovar o cálculo da medida da capacidade
encontrada na figura planificada, onde foi despejado líquido de um litro de água
para o cubo, demonstrando a conversão realizada da unidade de medida do
cm3 em litros, relatando sua experiência.
Com o intuito de explicar o porquê do “cúbico” eles utilizaram do “cubo
mágico” para a demonstração da quantidade de cubos existentes no
comprimento, na largura e na altura, fazendo a relação com a medida de
capacidade do cubo.
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Análise da proposta:
1 – Em relação à construção do poliedro regular:
O trabalho com a manipulação de materiais concretos proporcionou ao
aluno certa satisfação e conforto, pois fugiu da mesmice das aulas tradicionais.
Porém nosso desafio foi que esse trabalho não se tornasse meramente
artístico e sim que tivesse significados em relação aos conceitos matemáticos.
Por isso, o cuidado em direcionar os questionamentos referentes à construção
dos poliedros e as análises de suas faces, podendo também ampliar os
questionamentos, como por exemplo: Qual o número mínimo e máximo de
faces em um poliedro? Quantas faces quadradas seriam necessárias? E se as
faces fossem triangulares, quantas faces no mínimo seriam necessárias para o
poliedro existir? E qual seria o número máximo? Etc.
Neste momento, nós professores devemos ter uma postura de
mediadores, proporcionando condições aos alunos de desenvolverem
habilidades de relacionar a prática com suas propriedades matemáticas para
que não haja um trabalho desarticulado tornando-se enfadonho e sem
significado.
Não se pode dizer que houve pontos negativos, mas sim pontos a serem
melhorados. O pouco tempo nas aulas, de aproximadamente 50 minutos para
atender a todos é um ponto a ser repensado, pois há uma quebra nas
organizações das idéias. Por outro lado, pedir para que os alunos, trabalhando
em grupo, fizessem a construção dos sólidos geométricos em casa não surgiria
o mesmo efeito, visto que alguém poderia sair sobrecarregado e/ou ainda o
grupo poderia sair prejudicado se alguém de sua equipe não entregasse a
parte que lhe foi atribuída.
No desenvolvimento dessa atividade pode-se perceber o interesse por
parte dos alunos em realizá-la, pois demonstraram comprometimento na
construção dos poliedros regulares e de seus respectivos cálculos.
Depoimentos de alguns alunos em relação ao trabalho:
Aluna L(L.M.): “Foi bem trabalhoso e todos “colaborou”, todos se
ajudaram, ficou bem “caprichoso”, achei muito bom e divertido, curti
“demas” fazer o trabalho apesar das dificuldades.”
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Aluno G (G.H.G): “Foi muito interessante fazer esse trabalho, foi
muito legal “juntar” com os amigos em casa para fazer o trabalho, cada
um fazendo seus poliedros, um ajudando o outro a colar, outro ajudando
a fazer o desenho, os cálculos, foi muito legal mesmo.”
Aluna B (Bia): “A dificuldade que eu encontrei foi de colar algumas
partes, entre os comentários foi “meio” difícil no grupo porque houve
muitos problemas por causa de pouca coisa, “mais” no final tudo saiu
bem.
Percebeu-se nessa atividade, que a maior dificuldade dos alunos era na
ampliação dos desenhos, pois a maioria não tinha domínio na utilização do
transferidor. O maior problema que encontraram foi na montagem do
dodecaedro e do icosaedro, pois alegavam sobre a dificuldade na colagem das
últimas faces.
Depoimento de alunos:
Aluno A (A.F.X): “Minha dificuldade era usar o transferidor “mais”
daí a professora explicou como usava e eu aprendi, eu gostei de fazer o
desenho achei muito massa não gostei de ter que fazer a montagem
muito ruim tinha que colar...”
Aluna I. (I.S.M.E): “O trabalho foi legal de fazer, foi um teste de
raciocínio e paciência ao mesmo tempo, foi uma atividade muito
interessante mais complicada ao mesmo tempo, tivemos que usar muito a
cabeça, e as vezes dava vontade de desistir mas conseguimos terminar.”
Aluno J (J.P.): “O Octaedro foi onde eu e meu grupo encontramos
mais dificuldade porque a professora mandou “ajente” terminar em casa
então eu fiquei com essa responsabilidade, não foi nada fácil fazer porque
eu não tinha transferidor então iria sair tudo errado então depois de usar
uma “cartulina” tive uma idéia “disidi” usar o compasso “medi ele” na
régua e deixei na abertura correta e no final eu consegui fazer.
Realizar um trabalho como esse, com o aluno articulando teoria e
prática, precisa de um comprometimento por ambas as partes, o professor
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como motivador, questionador e auxiliador de todo o processo do ensino e
aprendizagem e, o aluno como ser ativo, agindo de forma crítica na construção
do conhecimento, tomando iniciativas para superar as dificuldades encontrando
soluções adequadas.
Diante dos trabalhos apresentados pelos alunos e dos comentários
como os citados acima, pode-se afirmar que o objetivo do trabalho foi atingido
com sucesso e com a certeza de que podemos melhorar a cada dia nossa
prática pedagógica.
2 - Em relação à mostra sobre: “O Elo entre as dimensões”
Nosso propósito nessa mostra pedagógica foi possibilitar o
desenvolvimento da criatividade do aluno, viabilizando e aprimorando seu
processo de aprendizagem, utilizando-se de sólidos geométricos na percepção
e relação entre as dimensões.
O escopo de impulsionar a autonomia do pensamento no desígnio da
reflexão e da percepção da relação entre as dimensões foi alcançado, prova
disso foi à postura da maioria dos alunos na apresentação desta mostra. Ainda,
nas discussões antecedentes à mostra, mediadas em sala de aula, percebeu-
se que os alunos se sentiram desafiados e motivados, relacionando suas
experiências com materiais concretos no contexto de seu cotidiano como:
utilização de um cubo de 10 cm de aresta e uma garrafa com capacidade de 1
litro, podendo ser ampliada a discussão e experimentação comparando a
capacidade do cubo em frascos de diferentes formas, a quantidade de litros de
água que cabe em uma caixa d‟àgua e de como se calcula a quantia de piso a
ser colocado numa sala de aula, ampliando a visão a respeito das fórmulas
matemáticas relativas a esses temas.
Depoimento de alguns alunos evidenciando a compreensão entre
planificação e o sólido correspondente, onde, em relação à dependência,
entendem que: “A área depende do comprimento e da largura”; “O volume
depende do comprimento, largura e altura”.
Aluno (G.B.C): “ Cada “dimensão” depende da outra para existir. O
interessante é que essa mostra foi como o trabalho em grupo, como se
fosse as “dimensões” uma depende da outra se uma não existir não
existira a outra”.
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Aluno (G.H.H): “Esse trabalho ajudou a entender um pouco mais
sobre as dimensões, “uma depende” da outra para existir. O
unidimensional, serve para “descobrir” o comprimento das retas - o
bidimensional, na figura plana descobrimos a área e o tridimensional sai
da figura plana e ganha corpo ficando em relevo, formando a figura 3D-
achamos o volume.”
Nesta atividade buscou-se levar em consideração os desafios inerentes
ao ensino da matemática, os quais enfatizam a importância de ações voltadas
à elaboração e investigação de novas propostas de trabalho que visem
despertar no aluno sua visão crítica agindo como ser ativo no processo de
ensino e aprendizagem.
O gráfico abaixo sintetiza o resultado da assimilação dos conceitos, das
relações entre as dimensões e sua operacionalidade.
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Conclusão
As experiências relatadas neste trabalho nos mostraram evidências da
possibilidade real de oferecer aos alunos condições para que participem
ativamente de todo o processo de construção de seu conhecimento. A
utilização do material concreto, o sólido geométrico, proporcionou aulas de
matemática mais interativas, que despertaram curiosidades, estimularam os
alunos a fazerem perguntas e descobrirem alternativas nas construções dos
poliedros fazendo o elo entre as dimensões. Porém entendemos que, essas
construções devam estar num patamar superior ao da mera manipulação de
objetos, deixando de ser apenas o que é percebido para ser o construído
internamente.
Pensamos que o projeto em si tem suas potencialidades, mas se não
houver a mediação do professor, o material concreto, por si só, não contribuirá
para o processo de ensino e aprendizagem, portanto devemos proporcionar
aos alunos condições para que eles investiguem e observem as propriedades
existentes nos objetos geométricos e as relações entre as dimensões.
Para finalizar, acreditamos que o professor deva ser um mediador,
orientador e instigador das descobertas e, o aluno construtor do seu
conhecimento, deixando sua posição passiva e assumindo um papel ativo,
criativo e autônomo.
Sob esse enfoque esperamos fomentar novas discussões e olhares em
relação à Geometria e sobre o “Elo entre as dimensões”.
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Referências:
BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: Ministério da
Educação, 1999.
C.ALSINA, C. BURGUÊS, J.Mª FORTUNY. Invitación a La Geometria.
Barcelona. Editorial Síntesis. S.A, 1889.
DIRETRIZES Curriculares da Educação fundamental da rede de Educação Básica do Estado do Paraná (org) Curitiba – Produzido pela Secretaria do Estado do Pr.
GIOPPO. Christiane, SILVA. Ricardo V., BARRA. Vilma M.M, A Avaliação em Ciências Naturais no Ensino Fundamental. Curitiba. Editora UFPR, 2006.
LEVANDOSKI, Amilcar A. Dissertação do mestrado: Ensino e Aprendizagem da Geometria através das Formas e Visualização Espacial. 2003
MACHADO. Nilson José. Matemática e Realidade. São Paulo. Editora Cortez, 5ª edição, 2001