flujo unidimensional

Mecnica de Suelos II, 2006

Mauro Poblete Freire

Unidad 1: Hidrulica de los Suelos

1.2 Flujo Unidimensional

Resumen

Resumen - Ciclo Hidrolgico

Se denomina Ciclo Hidrolgico al

movimiento general del agua, ascendente

por evaporacin y descendente primero por las precipitaciones

y despus en forma de escorrenta

superficial y subterrnea.

Resumen Acufero

Acufero (del latn fero, llevar).- Formacin geolgica que contiene agua en cantidad apreciable y que permite que circule a travs de ella con facilidad.

Ejemplos: Arenas, Gravas. Tambin granito u otra roca compacta con una fracturacin importante.



Resumen - Capilaridad

Un suelo seco succiona agua por sobre el nivel fretico.

La altura de la columna de agua que un suelo mantener de esta forma se denomina altura o carga capilar.

Resumen - Porosidad eficaz (specific yield: Sy)

Permeabilidad

Permeabilidad:Facilidad que un cuerpo ofrece a ser atravesado por un fluido, en este caso el agua.Constante de proporcionalidad entre el caudal y el gradiente hidrulico.

Caudal por unidad de seccin= K Gradiente hidrulico

Permeabilidad El gradiente es como la

pendiente que obliga a una bola a rodar por un plano inclinado.

Aqu obliga al agua a circular a travs del medio poroso y lgicamente, a mayor gradiente, circular mayor caudal

La ecuacin de la derecha es la Ley de Darcy.

Las unidades de K son las de una velocidad (L/T).

En Sistema Internacional seran m/seg, pero para manejar nmeros mas cmodos por tradicin se contina utilizando metros/da. En Geotecnia y otras ramas de la ingeniera se utiliza cm/seg.



Transmisividad Ambos estratos acuferos deben

proporcionar el mismo caudal: uno tiene la mitad de permeabilidad, pero el doble de espesor que el otro.

El parmetro que nos indique la facilidad del agua para circular horizontalmente por una formacin geolgica ser una combinacin de la permeabilidad y el espesor:

Trasmisividad = Permeabilidad x Espesor

Las unidades de la transmisividad sern L2/T. Por ejemplo: m2/da, o cm2/seg.

Acuferos Libres El agua se encuentra

rellenando los poros o fisuras por gravedad, igual que el agua de una piscina llena el recipiente que la contiene.

La superficie hasta donde llega el agua se denomina superficie fretica: cuando esta superficie es cortada por un pozo se habla del nivel fretico en ese punto.

En acuferos libres se habla de espesor saturado, que ser menor o igual que el espesor del estrato o formacin geolgica correspondiente.

Acuferos confinados El agua se encuentra a

presin, de modo que si extraemos el agua de el ningn poro se vaca, solo disminuye la presin del agua y en menor medida la de la matriz slida.

Al disminuir la presin del agua, que colaboraba con la matriz slida en la sustentacin de todos los materiales suprayacentes, pueden llegar a producirse asentamientos y subsidencia del terreno.

Acuferos confinados La superficie virtual

formada por los puntos que alcanzara el agua si hiciramos infinitas perforaciones en el acufero, se denomina superficie piezomtrica, y en un punto concreto , en un pozo, se habla de nivel piezomtrico (en griego: pozo =presin)

Cuando una perforacin alcanza el techo de un acufero confinado, el nivel del agua dentro de la perforacin puede subir varios metros.



Acuferos semiconfinados Son ms frecuentes que

los confinados. Son acuferos a presin,

pero que en alguna de sus capas confinantes son semipermeables acuitardos y a travs de ellas le llegan filtraciones o rezmes.

Si el sistema se mantuviera estable, sin alteraciones desde el exterior el tiempo suficiente, el flujo a travs del acuitardo equilibrara los niveles, la superficie fretica y piezomtrica se superpondran y cesara el flujo (grad. hidr. cero).

Coeficiente de almacenamiento El volumen de agua que

proporciona un acufero libre se puede calcular mediante la porosidad eficaz.

Dicho parmetro no sirve para el caso de acuferos confinados, ya que cuando proporcionan agua todos sus poros siguen saturados y solo disminuye la presin.

Se necesita un parmetro que indique el agua liberada al disminuir la presin en el acufero.

Coeficiente de almacenamiento Def: es el volumen

de agua liberada por una columna de base unidad y de altura todo el espesor del acufero cuando el nivel piezomtricodesciende una unidad.

En la figura se representa el concepto: en una columna de 1m2 de acufero, la superficie piezomtrica ha descendido 1 metro al extraer un vol. S

Coeficiente de almacenamiento Es evidente que

el concepto de porosidad eficaz encaja perfectamente en la definicin de coeficiente de almacenamiento: si consideramos 1m2 de acufero libre y hacemos descender 1m su superficie fretica el volumen de agua que habremos extrado ser la porosidad eficaz (me)



Recordatorio

NulaNula o muy bajaAcufugos

NulaAltaAcuicludos

BajaAlta o moderadaAcuitardos

AltaAlta o moderadaAcuferos

PermeabilidadPorosidad total

Flujo Laminar y turbulento En los problemas relativos a

lquidos se puede hablar de dos grupos principales segn el tipo de flujo.

Laminar: lneas de flujo permanecen sin juntarse entre si en toda su longitud

Turbulento: ocurre cuando las lneas de flujo no son paralelas entre si.

A bajas velocidades (como ocurre en los suelos) el flujo ocurre en forma laminar.

Tipo de Flujo

Laminar

Turbulento

Ecuacin de Bernoulli De la mecnica de fluidos se

sabe que, de acuerdo con la ecuacin de Bernoulli, la carga total en un punto en agua en movimiento se da como la suma de las cargas de presin, velocidad y altura.

Dnde: h = Carga total v = velocidad del fluido a lo largo

de la lnea de corriente. g = aceleracin de gravedad. y = altura geomtrica en la

direccin de la gravedad. P = presin a lo largo de la lnea

de corriente. rho = densidad del fluido.

Ecuacin de Bernoulli Cuando se trabaja con medios

porosos, la velocidad de infiltracin es pequea por lo que el trmino que contiene la carga de velocidad se desprecia.

La carga de presin en un punto es la altura de la columna vertical de agua en el piezmetro instalado en ese punto.

Las prdidas de carga estarn dadas por: h = h1-h2

Adimensionalmente se puede expresar la prdida de carga como: I=h/L L= distancia entre los dos puntos



Ley de Darcy ExperienciaEn 1856 en la ciudad de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado del estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que tambin deba disear filtros de arena para purificar el agua, as que se interes por los factores que influan en el flujo del agua a travs de los materiales arenosos y present el resultado de sus trabajos como un apndice a su informe de la red de distribucin.

Ley de Darcy Permemetro de carga constante.

Bsicamente un permemetro es un recipiente de seccin constante por el que se hace circular agua conectando a uno de sus extremos un depsito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante una llave que en cada experimento mantiene el caudal tambin constante.

Finalmente se mide la altura de la columna de agua en varios puntos (mnimo dos).


El caudal que atraviesa el permemetro es linealmente proporcional a la seccin y al gradiente hidrulico

Gradiente Gradiente es el incremento de una

variable entre dos puntos del espacio, en relacin con la distancia entre esos dos puntos. Si la variable considerada fuera la altitud de cada punto, el gradiente sera la pendiente entre los dos puntos considerados.

Si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de temperatura de 8C, diremos que hay entre ellos un gradiente trmico de 4C/metro. Cuanto mayor sea ese gradiente trmico, mayor ser el flujo de caloras de un punto a otro.

Anlogamente la diferencia de potencial elctrico entre dos puntos se puede expresar como un gradiente que produce el flujo elctrico entre esos puntos, etc..




Variando el caudal con la llave y/o moviendo el depsito elevado, los niveles del agua en los tubos varan.

Se puede probar tambin con permemetros de distintos dimetros y midiendo la altura de la columna de agua en puntos ms o menos prximos.

Cambiando todas la variables, siempre que se utilice la misma arena, se cumple que:

Ley de Darcy Permeabilidad Darcy encontr que utilizando

otra arena (ms gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con todas las variables, se volva a cumplir la ecuacin anterior, pero que la constante de proporcionalidad lineal era otra distinta. Concluy, por tanto, que esa constante era propia y caracterstica de cada arena y la llam permeabilidad (K).

Como el caudal Q est en L3/T, la seccin es L2, e h e l son longitudes, se comprueba que las unidades de la permeabilidad (K) son las de una velocidad (L/T).

Ley de Darcy Actualmente, la Ley de Darcy se

expresa de esta forma:

Donde: q = Q/seccin (es decir: caudal

que circula por m2 de seccin). K = Conductividad Hidrulica

(mejor que permeabilidad). dh/dl = gradiente hidrulico

expresado en incrementos infinitesimales.

El signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya direccin es hacia los h decrecientes; es decir, que h o dh es negativo y, por tanto, el caudal ser positivo.

Velocidad real y velocidad de Darcy

En cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple la ecuacin:

Aplicando esta consideracin al cilindro del permemetro de Darcy, y calculando la velocidad a partir del caudal y de la seccin, que son conocidos, se obtiene una velocidad falsa, puesto que el agua no circula por toda la seccin del permemetro, sino solamente por una pequea parte de ella.

A esa velocidad falsa (la que llevara el agua si circulara por toda la seccin del medio poroso) se denomina velocidad Darcy o velocidad de flujo:



Velocidad real y velocidad de Darcy

Esa parte de la seccin total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz; si una arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estara circulando por el 10% de la seccin total del tubo.

Y para que el mismo caudal circule por una seccin 10 veces menor, su velocidad ser 10 veces mayor. Por tanto, se cumplir:

Considerando la cuestin con ms precisin, esto slo sera exacto si el agua siguiera caminos rectilneos, cuando en la realidad no es as. Por tanto, la Velocidad Real de la frmula (5) hay que denominarla Velocidad lineal media. Entonces se cumplira que:

Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y suele valer de 1,0 a 1,2 en arenas.

Generalizacin de la ley de Darcy

Ya que Q = vA, es decir v= Q/A, junto con la ley de Darcy se deduce que la velocidad corresponde a:

v = kisiendo k una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de coeficiente de permeabilidad, y que tiene dimensiones de una velocidad.

La ecuacin anterior, extendida a tres dimensiones, toma la forma vectorial:

Lo cual es vlido para: Medio poroso continuo. Aplicacin anlisis diferencial. Las fuerzas de inercia son despreciables

respecto a las fuerzas de viscosidad, como consecuencia el flujo es laminar.

Los poros estn saturados. Existe proporcionalidad entre el esfuerzo

de corte aplicado al fluido y la velocidad de deformacin al corte.

El slido poroso es rgido e istropo.

r rv = k h

is lim= =

hs s

hs

0

vx

= k hxx

vy y= khy

vz

= k hzz

Limitaciones de la ley de Darcy (1a) La constante de proporcionalidad K no es

propia y caracterstica del medio poroso, sino que tambin depende del fluido

El factor K, puede descomponerse as:

Donde: K = permeabilidad de Darcy o

conductividad hidrulica. k = Permeabilidad intrnseca (depende

slo del medio poroso) = peso especfico del fluido = viscosidad dinmica del fluido

Esta cuestin es fundamental en geologa del petrleo, donde se estudian fluidos de

diferentes caractersticas. En el caso del agua, la salinidad apenas hace variar el peso especfico ni la viscosidad.

Solamente habra que considerar la variacin de la viscosidad con la temperatura, que se duplica entre 5 y 35 C, con lo que se duplicara la permeabilidad de Darcy y tambin el caudal circulante por la seccin considerada del medio poroso. Afortunadamente, las aguas subterrneas presentan mnimas diferencias de temperatura a lo largo del ao en un mismo acufero.

Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterrneas a efectos prcticos asumimos que la K de Darcy, o conductividad hidrulica es una caracterstica del medio poroso.

Limitaciones de la ley de Darcy (2a) En algunas circunstancias, la

relacin entre el caudal y el gradiente hidrulico no es lineal.

Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las velocidades del flujo son muy altas.

En el primer caso, por ejemplo, calculando el flujo a travs de una formacin arcillosa, el caudal que obtendramos aplicando la Ley de Darcy sera bajsimo, pero en la realidad, si no se aplican unos gradientes muy elevados, el agua no llega a circular, el caudal es 0.

En el segundo caso, si el agua circula a gran velocidad, el caudal es

directamente proporcional a la seccin y al gradiente, pero no linealmente proporcional, sino que la funcin sera potencial:

donde el exponente n es distinto de 1.

En el flujo subterrneo las velocidades son muy lentas y prcticamente siempre la relacin es lineal, salvo en las proximidades de captaciones bombeando en ciertas condiciones



Nmero de Reynolds Diversos investigadores han encontrado

que el valor del nmero de Reynolds, R , a partir del cual deja de cumplirse la ley de Darcy, oscila entre 1 y 12. En este caso, el nmero de Reynolds viene dado por la siguiente expresin:

en la cual: v = velocidad de flujo DS = dimetro de la partcula cuya

superficie especfica es igual a la del conjunto

= densidad del fluido = coeficiente de viscosidad del fluido

Para nmeros de Reynolds superiores a 12 la importancia de las fuerzas de inercia en el flujo hace que obtengamos la siguiente expresin:

i = a + bv2

Para nmeros de Reynolds comprendidos entre 60 y 12 el flujo se hace turbulento.

R =0,6 v D

s

( )1 n

Suelos parcialmente saturados En los suelos parcialmente saturados

existen dos fluidos en los poros: agua y aire. La ley de Darcy ha sido obtenida para un solo fluido, por tanto, no es aplicable, en principio, en este tipo de suelos.

Las burbujas de aire taponan parte de los poros en que se encuentran, y no permiten el paso del lquido cuando ste es el permeante. Por ello la permeabilidad al agua de un suelo parcialmente saturado suele ser menor que la del mismo suelo saturado. Por este motivo, la permeabilidad de un suelo parcialmente saturado aumenta con el paso del tiempo durante el que est expuesto al paso del agua, porque su grado de saturacin va aumentando a medida que ms y ms burbujas van siendo arrastradas por el agua, y a medida que el aire va siendo disuelto en el agua.

El coeficiente de permeabilidad de suelos parcialmente saturados aumenta al aumentar la presin del lquido, pues esto provoca un incremento en la cantidad de gas disuelta y, por tanto, una disminucin en el espacio ocupado por burbujas gaseosas.

Prxima Clase Bibliografa: Gonzlez de Vallejo, L.I.-

Ingeniera Geolgica. Editorial Prentice Hall.

Lambe, T.W. , Whitman, R.V. (1996), Mecnica de Suelos. Editorial Limusa.

Ralph C. Heath, R.C. (1983) Basic Ground-waterHydrology, 88 p. (En: http://water.usgs.gov/pubs/wsp/wsp2220/).

Snchez, F. J. (2004).- Ley de Darcy. Universidad de Salamanca, 9 pp. (En: http://web.usal.es/javisan/hidro).

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