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En un circuito RC en serie la corriente (corriente alterna) que pasa por la resistor y por el capacitor es la misma y el voltaje VS es igual a la suma fasorial del voltaje en el resistor (Vr) y el voltaje en el capacitor (Vc).
Ver la siguiente fórmula:
Vs = Vr + Vc (suma fasorial)
Esto significa que cuando la corriente está en su punto más alto (corriente pico), será así, tanto en el resistor como en el capacitor.
Pero algo diferente pasa con los voltajes.
En el resistor, el voltaje y la corriente están en fase (sus valores máximos y mínimos coinciden en el tiempo). Pero el voltaje en el capacitor no es así.
Como el capacitor se opone a cambios bruscos de voltaje, el voltaje en el capacitor está retrasado con respecto a la corriente que pasa por él. (el valor máximo de voltaje en el capacitor sucede después del valor máximo de corriente en 90o).
Estos 90º equivalen a ¼ de la longitud de onda dada por la frecuencia de la corriente que está pasando por el circuito.
El voltaje total que alimenta el circuito RC en serie es igual a la suma fasorial del voltaje en el resistor y el voltaje en el capacitor.
Este voltaje tiene un ángulo de desfase (causado por el capacitor) y se obtiene con ayuda de las siguientes fórmulas:
Valor del voltaje (magnitud): Vs = ( VR2 + VC2 )1/2 Angulo de desfase Θ = Arctang ( -VC/VR )
Como se dijo antes- La corriente adelanta al voltaje en un capacitor en 90°- La corriente y el voltaje están en fase en un resistor.
Con ayuda de estos datos se construye el diagrama fasorial y el triángulo de voltajes.
De estos gráficos de obtiene la magnitud y ángulo de la fuente de alimentación (ver fórmulas anteriores):
A la resistencia total del conjunto resistor-capacitor, se le llama impedancia (Z) (un nombre más generalizado) y....
Z es la suma fasorial (no una suma directa) de los valores del resistor y de la reactancia del capacitor. La unidad de la impedancia es el "ohmio".
La impedancia (Z) se obtiene con ayuda de la siguiente fórmula:
donde:- Vs: es la magnitud del voltaje- Θ1: es el ángulo del voltaje- I: es la magnitud de la corriente- Θ2: es el ángulo de la corriente
Cómo se aplica la fórmula?
La impedancia Z se obtiene dividiendo directamente Vs e I y el ángulo (Θ) de Z se obtiene restando el ángulo de I del ángulo Vs.
El mismo triángulo de voltajes se puede utilizar si a cada valor (voltajes) del triángulo lo dividimos por el valor de la corriente (corriente es igual en todos los elementos en una conexión serie), y así se obtiene el triángulo de impedancia
Nota: lo que está incluido en paréntesis elevado a la 1/2, equivale a la raíz cuadrada.
Carga de un condensador
Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.
En el circuito de la figura tendremos que la suma
Vab+Vbc+Vca=0
El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm Vab=iR
La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que Vbc=q/C.
El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que Vca=-V , donde V es la fem de la batería
La ecuación del circuito es
iR+q/C-V =0
Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo
La carga tiende hacia un valor máximo C·V al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga máxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.
Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte es la analogía hidráulica de la carga de un condensador.
Balance energético
La energía aportada por la batería hasta el instante t es
La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es
La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es
Comprobamos que Eb=ER+EC. Parte de la energía suministrada en la batería se disipa en la resistencia, y otra parte se acumula en el condensador.
Cuando se completa el proceso de carga t→∞, la mitad de la energía suministrad por la batería se disipa en la resistencia y la otra mitad se acumula en el condensador.
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C=1.5 F en serie con una resistencia de R=58 ky una batería de Vє=30 V. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms
La carga del condensador es
La intensidad es
La energía suministrada por la batería es
La energía disipada en la resistencia es
La energía acumulada en el condensador es
Cuando se completa el proceso de carga t→∞,
La carga del condensador es
q=CVє=1.5·10-6·30=45μC
La energía suministrada por la batería es
Eb=13.5·10-4 J
La energía acumulada en el condensador es
Ec=6.75·10-4 J
La energía total disipada en la resistencia es
ER=6.75·10-4 J
Descarga de un condensador
Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.
La ecuación del circuito será la siguiente.
Vab+Vba=0
Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es más alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm Vab=iR.
En el condensador la placa positiva a tiene más potencial que la negativa b, de modo que Vba=-q/C.
La ecuación del circuito es
iR-q/C=0
Como la carga disminuye con el tiempo i=-dq/dt. La ecuación a integrar es
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad, en el sentido indicado en la figura.
que disminuye exponencialmente con el tiempo.
La descarga tubo-capilar es la analogía hidráulica de la descarga del condensador.
Balance energético
La energía inicial del condensador es
La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es
La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico en el instante t es
Comprobamos que Ec=E0-ER. La energía en el condensador se disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga t→∞, toda la energía almacenada en el condensador se ha disipado en la resistencia
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C=1.5 F en serie con una resistencia de R=58 kcargado inicialmente con Q=45μC. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms
La carga del condensador es
La intensidad es
La energía almacenada inicialmente en el condensador es
La energía disipada en la resistencia es
La energía acumulada en el condensador es
Carga y descarga de un condensador
Cuando el circuito RC se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de carga y descarga.
Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal la fem tiene un valor constante e igual a V0. El condensador se carga durante un tiempo P/2.
La carga q1 final del condensador en el instante t=P/2 se calcula a partir de la fórmula
En el instante t=P/2 la fem se hace cero, el condensador se descarga. La carga del condensador q2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula,
En el siguiente proceso de carga, la integración no es entre los límites 0 y q, sino entre la carga remanente q2 y q.
Calculamos la carga final q3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.
Indice1. Introduccion2. Circuitos RC3. Carga de un capacitor4. Constante de tiempo5. Descarga de un capacitor6. Conclusiones7. Bibliografia
1. Introduccion
El presente trabajo es una investigación sobre el circuito RC, un circuito que cuenta con infinidad de aplicaciones, para ello se establece en primer lugar el desarrollo matemático del mismo , acompañado de un argumento teórico y seguido de ejemplos para apoyar las ideas planteadas en este trabajo.El simple acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo, los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía; por eso, entender lo que sucede cuando se cargan o se descargan es de gran importancia practica.Muchos circuitos eléctricos contienen resistores y capacitores. La carga/ descarga de un capacitor tiene muchas aplicaciones.Por ejemplo algunos automóviles vienen equipados con un elemento mediante el cual los limpiadores del parabrisas se utilizan de manera intermitente durante una llovizna ligera. En este modo de operación los limpiadores permanecen apagados durante un rato y luego se encienden brevemente.La duración del ciclo encendido/apagado es determinada por la constante de tiempo de una combinación resistor-capacitor.
2. Circuitos RC
La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería.
3. Carga de un capacitor
Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:
En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energнa interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da:Є dq = i2 Rdt + q2/2CЄ dq = i2 Rdt + q/c dqAl dividir entre dt se tiene:Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dtPuesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en:Є = i Rdt + q/cLa ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea :Є -i R - q/c = 0La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:Є = R dq / dt + q/cPodemos reescribir esta ecuación así:dq / q - Є C = - dt / RCSi se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q),q= C Є ( 1 – e-t/RC)Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuaciónЄ = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:
i = dq = Є e-t/RC
dt REn las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tienedt Rlas dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuitoτ C = RCEs el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є
Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf.Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F
Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є.El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0.En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є=10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas.
4. Constante de tiempo
Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado(1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Qf= C Є .
El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ :τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C).Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una bateria como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 5 Ώ, dterminese la constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el capacitor, la maxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.
Solucion:La constante de tiempo del circuito es τ C = RC = (8 x 10 5 Ώ) (5 x 10-6 F) = 4s. LaMaxima carga en el cpacitor es Q= C Є = (5 x 10-6 F)(12V)= 60 μC. La maximacorriente en el circuito es I0 = ЄR = (12V) / (8x10 5 Ώ) = 15 μ A. Utilizando estosvalores y las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC
dt Rse encuentra que:q(t) = 60 ( 1 – e-t/4) μCI (t) 15 e-t/4 μ ALas graficas de estas funciones son las siguientes:
2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4 μ F) estan conectados en serie, y a traves de esta combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia interna insignificacnte . A) ΏCuál es la constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B) ¿Qué tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a 5.6 V?
Solución:a)De la ecuación τ C = RC tenemos:τ C = RC = (6.2M Ώ) (2.4 x10-6 F) = 15 sb) La diferencia de potencial en el capacitor es de Vc = q/c, lo cual, de acuerdo con la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) puede escribirseVc = q/c = Є ( 1 – e-t/RC)Al despejar t obtenemos (usando τ C = RC)t= - τ C ( 1 – Vc )Єt = - (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4 s12v
5. Descarga de un capacitor
Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) .De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C:IR = qc
Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar :- R dq = q
dt cdq = - 1 dtq RC
Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:
Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:
donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempoτ = RC.
Gráfica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuaciónq(t) = Qe-t/RC
donde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t:¼ Q = Qe-t/RC
o¼ = e-t/RC
Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que :-ln4 = -t / RCot= RCln4 = 1.39 RCb) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial?Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo :U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC
2C 2Cdonde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora considerese U = Uo /4 y despejes t:1/4Uo = Uo e-2t/RC
¼ = e-2t/RC
Nuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene:t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial?Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuaciónq(t) = Qe-t/RC
1/2Q = Qe-t/RC
-ln2 = -2/ τ C
t = τ C ln2 / 2 = 0.35La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo.b) La energía del capacitor esU = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC
2C 2C1/2Uo = Uo e-2t/RC
-ln 2 = -2t/ τ C
t = τ C ln2/2 = 0.35 τ C
La energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto siguesiendo así dependientemente de cuál haya sido la energía almacenada inicialmente. El tiempo (
0.69 τ C) necesario para que la carga caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ C) necesario para que la energía siga a la mitad de su valor inicial.
6. Conclusiones
Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energíaEl acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo.Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC.la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C entonce IR = q/c .Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia.
Constante de tiempo de un circuito RC
Un circuito RC es un circuito con un condensador y una resistencia, como muestra la figura. En un proceso de carga, cuando cerramos el interruptor S, el condensador no se carga instantáneamente, su carga evoluciona con el tiempo en forma exponencial:
Q = C(1 - e-t/RC)
y la corriente en forma . Es decir, inicialmente toma el valor Io = /R, y después decrece exponencialmente con el tiempo. Al producto RC se le llama constante de tiempo del circuito y equivale al tiempo que el condensador tardaría en cargarse de continuar en todo momento la intensidad inicial Io.
También equivale al tiempo necesario para que el condensador se cargue con una carga equivalente al 0,63 (1-1/e) de la carga final, o lo que es lo mismo que la intensidad decrezca hasta 0,37Io.
En un proceso de descarga, partiendo de un condensador cargado, al cerrar el interruptor, el
condensador se descarga a través de la resistencia, disminuyendo la carga en la forma Q = Qoe-t/RC. La intensidad comienza valiendo Qo/RC y disminuyendo en la forma:
Al producto RC se le llama constante de tiempo del circuito y equivale al tiempo que el condensador tardaría en descargarse de continuar en todo momento la intensidad inicial Io. También equivale al tiempo necesario para que el condensador adquiera una carga igual al 0,37 (1/e) de la carga inicial, o lo que es lo mismo que la intensidad decrezca hasta 0,37Io.
