Anlise de Circuitos RC e RL de 1. OrdemAs caractersticas tenso-corrente do condensador e da bobina introduzem as equaes diferenciais no seio da anlise dos circuitos eltricos. As Leis de Kirchhoff e as caractersticas tenso-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma equao diferencial linear, cuja soluo define a dinmica temporal das variveis corrente e tenso eltrica nos diversos componentes do circuito. A soluo de uma equao diferencial com termo forado composta por duas parcelas essencialmente distintas: soluo ou resposta natural, que determina a dinmica das variveis na ausncia de fontes independentes (entenda-se na ausncia de termo forado na equao diferencial); e soluo forada. Esta ltima soluo encontra-se diretamente relacionada com a forma de onda das fontes independentes, revelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes e sinusoidais. A seu tempo verificar-se- que o estudo da soluo forada sinusoidal de um circuito abre um campo inteiramente novo anlise de circuitos, genericamente designado por regime forado sinusoidal. A soluo de uma equao diferencial definida a menos de um conjunto de constantes, tantas quantas a ordem da mesma. A determinao da soluo particular de uma equao diferencial exige a considerao das condies inicial e de continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.

9.1 Soluo Natural9.1.1 Circuitos RC e RLDesigna-se por regime, soluo ou resposta natural a dinmica temporal de um circuito excitado pelas energias armazenadas nos condensadores e nas bobinas que o constituem. Ao contrrio dos circuitos puramente resistivos, nos quais a ausncia de fontes independentes determina o valor nulo das correntes e das tenses no mesmo, os circuitos RC, RL e RLC sem fontes independentes podem apresentar dinmicas no nulas como resultado das energias elctrica e magntica inicialmente armazenadas nos condensadores e nas bobinas. Abordando o tpico de um outro prisma, pode dizerse que o regime natural a dinmica da descarga dos condensadores e das bobinas, designadamente atravs de elementos dissipadores de energia, como as resistncias. Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.1.a

Figura 9.1 Circuitos RC (a) e RL (b) de 1 ordem e aplique-se a Lei de Kirchhoff das correntes ao n X, iC(t) + iR(t) = 0 (9.1)

Por substituio das caractersticas tenso-corrente dos elementos, iR=vR/R e iC=CdvC/dt, obtm-se a equao diferencial linear de 1. ordem

(9.2)

cuja soluo determina a dinmica temporal da tenso e da corrente aos terminais do condensador e da resistncia. Considere-se agora o circuito RL representado em 9.1.b. A aplicao da Lei de Kirchhoff das tenses malha permite escrever a igualdade vL(t) - vR(t) = 0 (9.3)

que, por substituio das caractersticas tenso-corrente dos elementos, vR=RiR e vL=LdiL/dt, conduz equao diferencial linear de 1. ordem

(9.4)

As equaes diferenciais (9.2) e (9.4) apresentam a forma comum

(9.5)

em que =RC em (9.2) e =L/R em (9.4) se designam por constante de tempo do circuito. A equao (9.5) vulgarmente designada por equao diferencial homognea de 1. ordem, sendo a sua soluo designada por homognea, natural ou regime natural do circuito.

9.1.2 Soluo NaturalA equao diferencial homognea em (9.5) pode ser resolvida recorrendo a um de dois mtodos alternativos: por resoluo da equao em ordem varivel x(t), ou por aplicao da transformada de Laplace. Por exemplo, o primeiro mtodo consiste em resolver a equao diferencial em ordem varivel x(t)

(9.6)

que equivale a

(9.7)

a qual, por integrao de ambas as partes,

(9.8)

conduz ao resultado

(9.9)

ou ainda

(9.10) em que A e B so constantes e A=eB. Adiante ver-se- que a constante A determinada por imposio das condies inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos bobina ou condensador. Retomando as equaes diferenciais (9.2) e (9.4) e o resultado em (9.10), verifica-se que a dinmica temporal da tenso aos terminais do condensador e da corrente na bobina so expressas pela funo exponencial negativa

(9.11) com =RC, e

(9.12) com =L/R, respectivamente. As solues naturais (9.11) e (9.12) so caractersticas intrnsecas dos circuitos respectivos. Ambas determinam a dinmica da descarga da energia armazenada no condensador ou na bobina. O mtodo de resoluo de equaes diferenciais por aplicao da transformada de Laplace ser introduzido no Captulo 10.

9.1.3 Condies Iniciais e de ContinuidadeA energia armazenada num condensador ou numa bobina necessariamente uma funo contnua no tempo. Como se concluiu nos Captulos 7 e 8, a no-verificao da continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas conduz, respectivamente, a valores de corrente e de tenso de amplitude infinitamente elevados. A imposio da condio de continuidade da energia elctrica armazenada num condensador

(9.13)

equivale a exigir a continuidade da tenso aos terminais respectivos (9.14) ao passo que a continuidade da energia magntica armazenada numa bobina

(9.15)

equivale a impor a continuidade da corrente (9.16) Considerem-se ento os circuitos RC e RL representados na Figura 9.2 e admita-se que so conhecidas a tenso aos terminais do condensador e a corrente na bobina no instante de tempo t=0, vC(t=0)=Vo e iL(t=0)=Io respectivamente.

Figura 9.2 Soluo natural de circuitos RC (a) e RL (b) de 1. ordem isto , impe a igualdade A=Vo. A dinmica da descarga do condensador ento expressa pela funo exponencial negativa (Figura 9.2.a) Por exemplo, no caso do circuito RC verifica-se que

(9.17)

e que a condio de continuidade da energia elctrica armazenada exige que

(9.18) t>0 (9.19)

Referindo agora o circuito RL representado na Figura 9.2.b, pode facilmente demonstrar-se que a imposio da continuidade da corrente na bobina em t=0 permite obter a soluo (b)

t>0

(9.20)

Como se constata, a constante de tempo do circuito constitui uma medida do tempo necessrio para a extino do regime natural respectivo. Verifica-se assim que no instante de tempo t= as variveis vC(t) ou iL(t) se encontram j reduzidas a uma fraco 1/e do seu valor inicial, ao passo que para t=10 esta fraco de apenas 4.5*10-5. Enquanto um circuito RC com capacidade do condensador e resistncia, respectivamente, C=1 F e R=1 M, tem uma constante de tempo t=1 s, o mesmo circuito com C=1 nF e R=1 k revela uma constante de tempo t=1 s, portanto, um milho de vezes inferior. Na Figura 9.3 comparam-se os regimes naturais de um mesmo circuito RC com diferentes constantes de tempo.

Figura 9.3 Soluo natural de um circuito RC em funo da constante de tempo

9.1.4 Soluo Natural ComutadaConsidere-se o circuito RC representado em 9.4.a. Admita-se que os interruptores S1 e S2 so colocados em conduo nos instantes de tempo t=0 e t=t1>0, respectivamente, e que a tenso inicial aos terminais do condensador vC(0)=Vo.

Figura 9.4 Soluo natural comutada Como patente em (b), durante o intervalo de tempo 00 Considere-se agora a expresso da corrente no condensador, iC(t). Uma vez que

(9.48)

(9.49)

ento

t>0

(9.50)

cuja amplitude tende para zero quando t . Como se indica na Figura 9.6.c, quando t = , o circuito comporta-se como se os terminais do condensador se encontrassem em aberto (iC( )=0), situao qual corresponde a tenso vC( )=Vs. Por conseguinte, a tenso aos terminais do condensador pode ser expressa na forma t>0 (9.51)

indicativa de que a dinmica temporal de um circuito RC (RL) pode ser determinada recorrendo apenas aos valores inicial e final da tenso (corrente) aos terminais do condensador (bobina). Com efeito, pode concluir-se que: (i) nos circuitos RC, o valor final da tenso aos terminais do condensador dado pela respectiva tenso em aberto (iC=0) (Figura 9.6.c); (ii) nos circuitos RL, o valor final da corrente na bobina dado pela respectiva corrente de curtocircuito.

9.2.4 Soluo Forada SinusoidalConsidere-se o circuito RC figurado em Figura 9.7.a e admita-se que a fonte de sinal de tipo sinusoidal, vs(t)=u(t).Vs.cos(t).

Figura 9.7 Soluo natural e forada sinusoidal de um circuito RC: (b) =0.1 rad/s, R=1 , C=1 F, vC(0)= -1 V, vs(t) = Vs.u(t).cos( t); (c) =1 rad/s, R=1 , C=1 F, vC(0)= -1 V, vs(t) = Vs.u(t).cos( t) A equao diferencial caracterstica do circuito , neste caso,

(9.52)

cuja soluo aps aplicao do integral (9.41) t>0 (9.53)

em que Bc, Bs e A so constantes a determinar como adiante se indica. A soluo (9.53) pode ainda ser expressa na forma (9.54) em que

(9.55)

As constantes Bc, Bs e A podem ser determinadas de dois modos essencialmente distintos:

(i) no caso de Bc e Bs, directamente por aplicao do integral (9.41) e, no caso de A, por imposio soluo total das condies inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos condensador ou bobina; (ii) ou ento determinar as constantes Bc e Bs atravs da imposio da condio de que a resposta forada constitua, por si s, soluo da equao diferencial, e determinar a constante A impondo as condies inicial e de continuidade soluo total j com Bc e Bs definidos. Por exemplo, no caso da segunda metodologia, o clculo das constantes Bc e Bs passa por substituir a soluo forada na equao diferencial (9.51)

(9.56)

e verificar que a igualdade entre as partes esquerda e direita da mesma conduzem ao sistema de equaes

(9.57)

em cuja soluo se inscrevem as duas constantes

(9.58)

A substituio das constantes Bc e BS na soluo completa permite escrever (a menos da constante A)

(9.59)

ou, em alternativa,

(9.60)

Finalmente, por imposio das condies inicial e de continuidade

(9.61)

obtm-se a expresso da constante A

(9.62)

e a soluo final

(9.63 )

Nas Figuras 9.7 b e c representam-se as dinmicas temporais de um circuito RC de 1. ordem com condio inicial distinta de zero e termo forado sinusoidal (mais propriamente um Coseno). A frequncia do sinal forado = (10RC)-1 em (b) e = (RC)-1 em (c). Nesta figura so patentes trs caractersticas fundamentais do regime forado sinusoidal: (i) aps a extino da soluo natural, a tenso aos terminais do condensador segue a forma sinusoidal da fonte independente, designadamente a mesma freqncia; (ii) existe uma diferena entre as amplitudes das sinusides aplicada e medida aos terminais do condensador, que se constata depender da relao entre a freqncia da sinuside e os parmetros R e C do circuito; (iii) existe uma diferena de fase entre as sinusides aplicada e medida aos terminais do condensador, que mais uma vez se constata ser uma funo da relao entre a freqncia da sinuside e os parmetros R e C do circuito. Adiante se ver que estas trs caractersticas constituem o ponto de partida para a anlise dos circuitos no domnio da frequncia.