1

E.Smerieri & L.Faè Progetto Lauree Scientifiche 6-9 Ottobre - Sanremo

Il circuito RCMisure e Simulazione

Laboratorio di Fisica - Liceo Scientifico G.D. Cassini – Sanremo 8 ottobre 2008

2

Che cosa verrà fatto in questa esperienza

1. Rilievo dell’andamento in funzione del tempo della tensione ai capi del condensatore nella fase di carica e di scarica

2. Misura della costante di tempo3. Misura del tempo di salita4. Calcolo dell’energia dissipata5. Calcolo dell’energia accumulata

Misure

1. Simulazione della carica e scarica del condensatore2. Simulazione della tensione ai capi del condensatore in risposta a

differenti tipologie di segnali elettrici applicati

Simulazione

2

MISURE

4

Un circuito semplice ma …molto interessante ed istruttivo

Componenti e strumentazione necessari

• Un generatore di tensione continua• Un condensatore di elevato valore (es. 330 μF)• Una resistenza di elevato valore (es. 220 kΩ)• Un cronometro• Un voltmetro

3

5

Le formule della carica e della scarica

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−RCt

C eEtV 1)(

Tensione VC(t) in percentuale di E

Tempo inmultipli di

τ

0.0067

0.0183

0.0498

0.1353

0.3679

Scarica

0.86472

0.63211

0.95023

0.99335

0.98174

Carica

Equazione della carica

Equazione della scarica

RCt

C EetV−

=)(

RC=τ

6

Determinazione della costante di tempo: τ = RC

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−RCt

C eEtV 1)(

RCE

dttdV

t

C ==0

)( Pendenza della tangente alla curva calcolata nell’origine

tRCEV =tangente

Questa retta interseca la curva di carica del condensatore esattamente all’istante t = τ

Misure sul diagramma temporale

4

7

Fase di CARICA - Misura della costante di tempo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tem po

Tens

ione

Tangente VC Vin

8

Fase di SCARICA - Misura della costante di tempo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tem po

Tens

ione

Tangente VC VR

5

9

Misure sul diagramma temporaleTempo di salita: è l’intervallo di tempo che intercorre tra l’istante t1 e l’istante t2 in corrispondenza dei quali la tensione ai capi del condensatore ha raggiunto rispettivamente il 10% ed il 90% del valore di regime E

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tem po

Tens

ione

VR VC Vin

0.9 E

0.1 E

tr 12 tttRiseTime −=

RCtRiseTime 2.2≅

10

• Applicare un segnale continuo di 10 V• Misurare la tensione ai capi del condensatore a intervalli di tempo

regolari di 10 secondi con il multimetro EXTEL fornito• La costante di tempo RC elevata deve far avere un tempo di

carica di qualche minuto in modo da poter misurare i tempi a mano con un semplice cronometro

• Graficare l’andamento temporale della tensione ai capi del condensatore utilizzando un foglio elettronico quale EXCEL

• Per segnali impulsivi ripetitivi e di breve durata e valori di R e Cpiccoli non è possibile utilizzare il metodo di misura con il cronometro, ma è indispensabile usare un oscilloscopio

Esecuzione dell’esperienza

s 73F 330k 220 ≅⋅Ω= μRC

6

11

Andamento temporale misuratoCARICA e SCARICA del CONDENSATORE

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Tempo [s]

Tens

ione

[V]

12

Misura della costante di tempoMISURA della COSTANTE DI TEMPO

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Tempo [s]

Tens

ione

[V]

Costante di tempo misurata = 55 s

Costante di tempo teorica con valori nominali = 72 s

Costante di tempo

Tangente nell'origine

RC=τ

7

13

Misura del tempo di salitaMISURA del TEMPO DI SALITA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Te mpo [s]

Tens

ione

[V]

Tempo di salita = 120 s

valore = 0,9 E = 7,2 V

valore = 0,1 E = 0,8 V

Tempo di salita con valori nominali = 158 s

RCtRiseTim e 2.2≅

14

Osservazioni sui risultati delle misure • La tensione E di alimentazione è di 10V• La tensione ai capi del condensatore non arriva al valore di

regime di 10V• La tensione di regime raggiunta dal condensatore è 8.20 V• La costante di tempo misurata è di 55 secondi mentre quella

calcolata è di 73 secondi• Il tempo di salita misurato è di 120 secondi ed è

notevolmente diverso dai 160 secondi previsti dal calcolo• I valori misurati soddisfano la relazione

Qual è la causa di queste differenze ?

RCtRiseTime 2.22.2 =≅ τ

8

15

Inserimento del voltmetro: in questi due circuiti il valore misurato

sembra uguale: 5V però……

Circuito a) Circuito b)

Esiste la resistenza interna dello strumento …….

16

Considerando la resistenza interna del voltmetro il circuito RC appare essere……

9

17

La massima tensione raggiungibile è…..La tensione misurata massima è stata di 8.20 V con il voltmetro EXTEL WEMR83002

Con un altro voltmetro, modello ISO-TECH IDM912, avente resistenza interna di 10 MΩ la tensione misurata massima è stata di 9.81 V

Il valore della tensione di regime del condensatore nel circuito RC dipende dalla resistenza interna del voltmetro

18

Costante di tempo e tempo di salita• La costante di tempo

– teorica è 73 s– calcolata tenendo conto della resistenza interna [1MΩ] del voltmetro è 60 s– misurata è 55 s

• Il tempo di salita– teorico è 160 s– calcolato tenendo conto della resistenza interna del voltmetro [1MΩ] è 131 s– misurato è 120 s

RCtRiseTime 2.22.2 =≅ τ

CRRCRt intequvalenteRiseTime //2.22.2 =≅

nel caso ideale

considerando il voltmetro

10

19

Verso il circuito RC idealePer rendere la carica del condensatore indipendente dalla resistenza interna del voltmetro si può ricorrere a strumenti molto più precisi ma anche molto più costosi oppure si può fare una semplice modifica al circuito di misura.

20

Circuito di misura migliorato

11

21

I componenti del circuito modificato• LF351: amplificatore operazionale usato come “inseguitore di tensione” serve per

disaccoppiare il circuito RC dal voltmetro e renderlo quindi indipendente dal suo inserimento; grazie all’ingresso a JFET l’integrato ha una resistenza d’ingresso di 1012 Ω

• AD580: riferimento di tensione fornisce in uscita una tensione continua costante di valore nominale 2.500 V indipendente dal valore della tensione di alimentazione

• DEV: deviatore che serve per effettuare la scelta tra l’operazione di carica o di scarica del condensatore

• SW: interruttore che serve per scaricare il condensatore ripristinando la condizione di condensatore inizialmente scarico

• Alimentazione duale: serve per alimentare l’integrato LF351 tra +15 V e – 15V

• Voltmetro: non è più necessario avere uno strumento con elevatissima resistenza interna in quanto esso risulta disaccoppiato dal circuito RC tramite l’inseguitore

22

Alcuni componenti del circuito

AD580 riferimento di tensione a 2.5V

Bottom View

LF351 Amplificatore operazionale

Top View

IN

GND

in GND

out

12

23

Alimentazione duale

24

Carica - Circuito modificato - Misure

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo [s]

Tens

ione

[V]

13

25

Costante di tempoCircuito modificato - Misure

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo [s]

Tens

ione

[V] Costante di tempo misurata = 78 s

Costante di tempo con valori nominali = 73 s

Costante di tempo

Tangente nell'origine

RC=τ

26

Tempo di salita Circuito modificato - Misure

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo [s]

Tens

ione

[V]

Tempo di salita = 172 s

valore = 0,9 E = 2,25 V

valore = 0,1 E = 0,25 V

Costante di tempo misurata = 78 s

Costante di tempo con valori nominali = 73 s

RCtRiseTim e 2.2≅

14

27

Circuito modificatoCostante di tempo e tempo di salita

• La costante di tempo– teorica, con i valori di R e C nominali, è 73 s– misurata sul grafico dei dati sperimentali è 78 s

• Il tempo di salita– teorico, con i valori di R e C nominali, è 160 s– misurato sul grafico dei dati sperimentali è 172 s

28

Energia e Potenza

• È possibile elaborare i dati sperimentali al fine di studiare l’energia e la potenza in gioco :– dissipata sulla resistenza– immagazzinata nel condensatore– erogata dal generatore

• È possibile confrontare i dati sperimentali con le curve teoriche dell’energia e della potenza

15

29

Calcolo dell’energia con il foglio di lavoro EXCEL

• Tensione VR sulla resistenza• Energia ΔεR dissipata per effetto Joule sulla resistenza nell’intervallo di

tempo Δt = 10s• Energia totale εR dissipata per effetto Joule sulla resistenza nel tempo

complessivo di carica• Energia ΔεR erogata dal generatore nell’intervallo di tempo Δt = 10s• Energia totale εG erogata dal generatore nel tempo complessivo di

carica• Lavoro ΔεC fatto per caricare il condensatore, nell’intervallo Δt = 10 s,

quando la tensione varia di ΔVC• Lavoro totale εC fatto per caricare completamente il condensatore

A partire dalla tabella dei valori misurati del tempo e della tensione sul condensatore impostare il foglio di lavoro EXCEL in modo che nell’ordine siano fatti i seguenti calcoli:

30

Bilancio dell’energia – Dati sperimentali

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo [s]

Ener

gia

[J]

Generatore

Resistenza

Condensatore

16

31

Energia alla fine della caricaCon i valori nominali C = 330μF, R = 220 kΩ, E = 2.5V si ha• Energia complessiva teorica dissipata sulla resistenza

ed immagazzinata nel condensatore

• Energia totale fornita dal generatore

I valori misurati sono

J 1003.121)()( 32 −⋅==∞=∞ CECR EE

J 1006.2)( 32 −⋅==∞ CEGE

J 1001.1 3−⋅=CW

J 10074.1 3−⋅=RW

J 1021.2 3−⋅=GW

32

Aspetti matematici del bilancio energetico

Energia immagazzinata nel condensatore

+ Energia dissipata nella resistenza

= Energia fornita dal generatore

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

−−RCt

RCt

C eeCEt 2121)(

22E

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−RC

t

R eCEt2

2 121)(E

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−RCt

G eCEt 1)( 2E

17

33

Energia - Curve sperimentali e teoriche

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo [s]

Ener

gia

[J]

Generatore

Resistenza

Condensatore

L'andamento teorico è disegnato con la curva a tratto continuo dello stesso colore

34

Calcolo della potenza con il foglio di lavoro EXCEL

• Tensione VR sulla resistenza• Corrente IR• Potenza VR ⋅ IR dissipata per effetto Joule sulla resistenza• Potenza erogata dal generatore E ⋅ IR• Potenza VC ⋅ IR impiegata per caricare il condensatore

A partire dalla tabella dei valori misurati impostare il foglio di lavoro EXCEL in modo che in ognuno degli istanti di tempo considerati, nell’ordine, siano eseguiti i seguenti calcoli:

18

35

Bilancio della potenza – Dati sperimentali

0,0E+00

5,0E-06

1,0E-05

1,5E-05

2,0E-05

2,5E-05

3,0E-05

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo [s]

Pote

nza

[W]

Generatore

Resistenza

Condensatore

36

Aspetti matematici della potenza

Potenza per caricare il condensatore

+ Potenza dissipata nella resistenza

= Potenza fornita dal generatore

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−−RCt

RCt

R eeR

EtP 1)(2

RCt

R eR

EtP22

)(−

=

RCt

G eR

EtP−

=2

)(

19

37

Potenza - Curve sperimentali e teoriche

0,0E+00

5,0E-06

1,0E-05

1,5E-05

2,0E-05

2,5E-05

3,0E-05

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo [s]

Pote

nza

[W]

Generatore

Resistenza

Condensatore

L'andamento teorico è disegnato con la curva a tratto continuo dello stesso colore

38

Potenza ed Energia nel condensatore Dati sperimentali

0

0

0

0

0

0

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Tempo

Pote

nza

ed E

nerg

ia -

CO

ND

ENSA

TOR

E

Potenza

Energia

dtdLP =

20

SIMULAZIONE

40

Un esempio molto semplice

Lo studio può essere effettuato in base alle risorse a disposizione con– carta, penna, calcolatrice e carta millimetrata– il calcolatore utilizzando un foglio elettronico quale EXCEL– un programma specifico di simulazione circuitale quale MicroCap o

PSpice

21

41

)()()( tVtRItV CRin +=

)()()( tVt

tVRCtV CC

in +Δ

Δ=

tRC

tVtVtVttV CinCC Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=Δ+

)()()()(

Il circuito RC con EXCEL

ttVC

ttQtItI C

CR ΔΔ

=Δ

Δ==

)()()()(

)()()( tVttVtV CCC −Δ+=Δ

42

Il tempo discreto nella simulazione

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

π= tn

TVtV nin

2sin)( max

• Δt passo della simulazione

• durata della simulazione

• numero dei punti calcolati

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

= tT

VtVin2sin)( max

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15

Tempo

Tens

ione

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15

Tempo

Tens

ione

tntn Δ=

22

43

Segnali per la simulazione

tempo

Vin

10 VE

tempo

Vin

10 VE

2

Gradino

Impulso

44

[ ]RC

ttVEtVttV CCCΔ

−+=Δ+ )()()(

Δt/RC = 0.1

Vin = costante = E = 10

RC - Risposta al gradino - Tabella

4,6864,0950,50

4,0953,4390,40

3,4392,7100,30

2,7101,9000,20

1,9001,0000,10

1,0000,0000,00

t VC(t) VC(t+Δt)

Il tempo da continuo è diventato discreto

tntn Δ=

23

45

Circuito RC - Risposta al gradino

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5

Tempo

VC

46

Circuito RC - Risposta all’impulso

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5

Tempo

VC

24

47

Circuito RC in regime sinusoidale

tVtVin ω= sin)( max tVtVdt

tdVRC C

C ω=+ sin)()(

max

)sin(11

)(222

max222

max ϕ+ωω+

+ω+

ω=

−t

CR

Ve

CRRCV

tV RCt

C

0)0( =CV

RCω−=ϕ arctan

Risposta Analitica

48

RC - Risposta numericatVtVin ω= sin)( max ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

π= tn

TVtV nin

2sin)( max

RCttVtn

TVtVttV CCC

Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

π+=Δ+ )(2sin)()( max

tRC

tVtVtVttV CinCC Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=Δ+

)()()()(

Il tempo diventa discreto

tRC

tVtVtVttV CCC Δ

−ω+=Δ+

)(sin)()( max

25

49

-12,4535,211-9,50910,89

5,2119,2335,8819,68

9,233-10,9175,8758,47

-10,917-2,487-9,5127,26

-2,48712,4490,00365

12,449-5,1889,5104,84

-5,188-9,335-5,8793,63

-9,33511,413-5,8772,42

11,4130,0009,5111,21

0,0000,0000,00000

V(t+dt)V(t)Vin(t)tempon

Circuito RC in regime sinusoidale

Ampiezza= 10 valore fisso

11RC =44periodo =

0,21,2delta t =default

1. parametri non corretti2. parametri non corretti3. parametri corretti4. avanti

50

Circuito RC - Segnale sinusoidaleCaso di non corretta scelta dei parametri

-15,000

-10,000

-5,000

0,000

5,000

10,000

15,000

0 5 10 15

Tempo

Tens

ione

VC Vin

26

51

Circuito RC - Segnale sinusoidaleCaso di non corretta scelta dei parametri

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15

Tempo

Tens

ione

VC Vin

52

Circuito RC - Segnale sinusoidaleCaso di corretta scelta dei parametri

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25 30

Tempo

Tens

ione

VC Vin

27

53

Semplice formula per la simulazione

]),([)( ttfgdt

tdf=

gttf=

ΔΔ )( tttfgtfttf Δ⋅+=Δ+ ]),([)()(

tftgff nnnn Δ⋅+=+ ],[1

54

Componenti lineari

)( )( tIRtV =

ttVCtI

ΔΔ

=)()(

ttILtV

ΔΔ

=)()( E

quaz

ioni

dei

dis

posi

tivi

28

55

Componenti non lineari

RV

II CdC −=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−= η 10

T

d

VV

d eII

RtV

It

tVC C

dC )()(

−=Δ

Δ

Cind VVV −=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−= η

−

10T

CinV

VV

d eII

56

Componenti non lineari

[ ]ttVgt

tVC

C ),()(=

ΔΔ

RCtV

eCI

ttV CV

VVC T

Cin )(1

)( 0 −⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

ΔΔ η

−

tRC

tVe

CI

tVttV CVVV

CCT

Cin

Δ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−+=Δ+ η

−)(

1)()( 0

29

57

-10-8-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Tens

ione

Circuito RC con diodo - Segnale sinusoidale

Vin Vc

58

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 2 4 6 8 10 12

Tempo

Tens

ione

Circuito RC con diodo - Segnale sinusoidale

Vin Vc