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Energía del campo eléctrico.
Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de un par de cargas (I).
En el Tema 1, dijimos que la energía potencial de una carga puntual q 2 , en presencia de otra carga puntual q 1 es:
Donde V 1,2 es el potencial que crea la carga q 1 en la posición de la carga q 2 .
2 , 1 2 2 , 1 V q U =
1 2
1 2 , 1 4
1 r r
q V o
r r −
= πε
q 2
q 1
1 r r
2 r r
O O es el origen de los ejes coordenados que estemos usando.
1 2 2 1 r r r r r r − = →
Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de un par de cargas (II).
Como colocar la carga q 1 no requiere hacer ningún trabajo, la energía U 1,2 nos da la energía potencial total del sistema U T .
La energía U 1,2 es igual al trabajo W 2 necesario para llevar la carga q 2 desde el infinito hasta su posición.
2 , 1 2 2 V q W U T = =
2 2 , 1 W V =
q 2
q 1
1 r r
2 r r
O
2 W
1 2 2 1 r r r r r r − = →
Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de tres cargas (I).
Supongamos que añadimos una tercera carga puntual q 3 . ¿Cuál es ahora la energía potencial U T del sistema de cargas?
A la energía U 1,2 le tenemos que añadir el trabajo W 3 realizado para llevar la carga q 3 hasta su posición.
3 2 , 1 3 2 W U W W U T + = + =
q 2
q 1
1 r r 2 r
r
O
3 W
3 r r
1 2 2 1 r r r r r r − = →
q 3
Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de tres cargas (II).
V 3 es el potencial total en la posición de la carga q 3 . Por el principio de superposición:
2 3
2
1 3
1 3 , 2 3 , 1 3 4
1 4 1
r r q
r r q V V V
o o r r r r −
+ −
= + = πε πε
3 3 3 V q W =
3 2 , 1 3 2 W U W W U T + = + =
q 2
q 1
1 r r 2 r
r
O
3 W
3 r r
1 2 2 1 r r r r r r − = →
1 3 3 1 r r r r r r − = →
2 3 3 2 r r r r r r − = →
q 3
Cargas puntuales en el vacío. Generalización a N cargas.
Si escribimos el resultado desarrollado:
− +
− +
− =
1 3
1 3
2 3
2 3
1 2
1 2 4
1 r r
q q r r
q q r r
q q U o
T r r r r r r πε
Que podemos escribir, para el caso de N cargas puntuales, como
∑ ∑ −
= = − =
1
1 2 4 1 i
j j i
j N
i i
o T r r
q q U r r πε
q 2
q 1
1 r r 2 r
r
O 3 r r
1 2 2 1 r r r r r r − = →
1 3 3 1 r r r r r r − = →
2 3 3 2 r r r r r r − = →
q 3
Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (I).
Si organizamos los términos de la fórmula anterior como:
− +
− +
− =
1 3
1 3
2 3
2 3
1 2
1 2 4
1 r r
q q r r
q q r r
q q U o
T r r r r r r πε
1 q
2 q
3 q
1 q 2 q 3 q
1 2
1 2 r r
q q r r −
2 3
2 3 r r
q q r r − 1 3
1 3 r r
q q r r −
X
X
X
Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (II).
Si rellenamos las casillas que faltan:
− +
− +
− +
− +
− +
− × =
1 3
1 3
2 3
2 3
3 2
3 2
1 2
1 2
3 1
3 1
2 1
2 1 4
1 2 1
r r q q
r r q q
r r q q
r r q q
r r q q
r r q q U
o T r r r r r r r r r r r r πε
1 q
2 q
3 q
1 q 2 q 3 q
1 2
1 2 r r
q q r r −
2 3
2 3 r r
q q r r − 1 3
1 3 r r
q q r r −
X
X
X
2 1
2 1 r r
q q r r − 3 1
3 1 r r
q q r r −
3 2
3 2 r r
q q r r −
Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (III).
La fórmula que hemos obtenido es:
∑ ∑ = = −
× = N
j j i
j N
i i
o T r r
q q U
1 1 4 1
2 1
r r πε
Si nos fijamos bien, el potencial en la posición de la carga q i cuando hemos terminado de construir la distribución de cargas es:
∑ = −
= N
j j i
j
o i r r
q V
1 4 1
r r πε
con i≠j
con i≠j
Esta fórmula es independiente del orden en que hayamos construido la distribución.
Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (IV).
Esto significa que podemos calcular la energía de una distribución continua de cargas como:
i
N
i i T V q U ∑
=
= 1 2
1
donde V i es el potencial en la posición de la carga q i cuando hemos terminado de construir la distribución de cargas.
Vamos a usar esta expresión para calcular la energía de una distribución continua de carga.
Energía electrostática de distribuciones continuas de carga.
j q
v ∆
( ) v r V q V V q U N
i i
N
i i T ∆ = = = ∆ ∑ ∑
= =
r ρ 2 1
2 1
2 1
1 1
Si consideramos la contribución ∆U a la energía total de un pequeño volumen ∆v de una distribución continua de carga:
Donde todas las cargas en ∆v están al mismo potencial V, porque ∆v es un volumen tan pequeño que en él, el potencial V es constante.
( ) v q
r j
∆ = ∑ r ρ
Energía electrostática de distribuciones continuas de carga.
( ) ( ) ∫ = dv r r V U T r r ρ
2 1
Para calcular la energía total hay que integrar a todo el volumen de la distribución:
Si la distribución es de carga superficial.
( ) ( ) ∫ = dS r r V U T r r σ
2 1
( ) r V r es el potencial eléctrico que crea la distribución de carga, que es función de la posición.
( ) r r ρ es la densidad de carga, que puede ser función de la posición.
Energía almacenada en un condensador. Condensador de caras planas paralelas (I).
Si en un condensador de caras planas y paralelas la ddp es V, podemos calcular la energía usando la ecuación para densidades de carga superficial:
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1
Armadura positiva
Armadura negativa
A V A V U T σ σ 2 1 2 1
2 1
− =
= T U ∫ dS Vσ 2 1
∫ dS Vσ 2 1
+
( ) 2 1 2 1 V V A U T − = σ
Energía almacenada en un condensador. Condensador de caras planas paralelas (II).
La carga Q acumulada en el condensador es:
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1
( ) QV V V A U T 2 1
2 1
2 1 = − = σ A Q σ =
Estos resultados son válidos para cualquier condensador.
Usando: V Q C =
QV U T 2 1
=
C Q CV U T
2 2
2 1
2 1
= =
Energía asociada al campo eléctrico.
Podemos preguntarnos: ¿dónde está almacenada la energía de un condensador?.
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1
( ) dE A E V V A U o T × × = − × = ε σ 2 1
2 1
2 1
El volumen v entre las armaduras del condensador es:
Ad v =
( ) v E V V A U o T × = − × = 2 2 1 2
1 2 1 ε σ
Energía asociada al campo eléctrico.
Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
v E U o T × = 2
2 1 ε La expresión: tiene la forma
2
2 1 E o ε = Energía x volumen
Conclusión:
2
2 1 E o ε
es la densidad de energía en el espacio entre las armaduras del condensador.
Conclusión:
Allí donde hay un campo eléctrico hay almacenada una energía.
