Embed Size (px)
Citation preview
FIZIKA1
Prof dr Rajfa Musemic
20082009 godMašinski fakultet Sarajevo
ENERGIJA I RADZakon održanja energije
Zakoni očuvanja u prirodi
Da li se kretanje čestica može određivati na osnovu drugih zakona osim Newtonovih
Jedan od odgovora je DA i to preko zakona očuvanja energije i impulsa
Postoji nekoliko zakona održanja većinom su posljedica određenih simetrija u svemiru
energija impuls moment impulsa naboj spin barionski broj stranost
Zakoni očuvanja u prirodi
Prednosti korištenja zakona održanja- Ne ovise od oblika putanje ne ovise
od osobina sila koje djeluju u nekom procesu
- Mogu se primijeniti i na pojave za koje nisu poznate sile fizika elem čestica
- Ne mijenjaju se pri transformaciji koordinata
Rad i energija Mehanički rad
Pomjeranje materijalne tačke (tijela) po nekom putu pod djelovanjem neke sile u mehanici
se naziva radrad Rad sile se određuje skalarnim produktom
vektora sile i vektora puta po kome se pomjerala materijalna tačka (tijelo)
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad i energija Mehanički rad
Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2
Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora pomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2
Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne
pomjera
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
ENERGIJA I RADZakon održanja energije
Zakoni očuvanja u prirodi
Da li se kretanje čestica može određivati na osnovu drugih zakona osim Newtonovih
Jedan od odgovora je DA i to preko zakona očuvanja energije i impulsa
Postoji nekoliko zakona održanja većinom su posljedica određenih simetrija u svemiru
energija impuls moment impulsa naboj spin barionski broj stranost
Zakoni očuvanja u prirodi
Prednosti korištenja zakona održanja- Ne ovise od oblika putanje ne ovise
od osobina sila koje djeluju u nekom procesu
- Mogu se primijeniti i na pojave za koje nisu poznate sile fizika elem čestica
- Ne mijenjaju se pri transformaciji koordinata
Rad i energija Mehanički rad
Pomjeranje materijalne tačke (tijela) po nekom putu pod djelovanjem neke sile u mehanici
se naziva radrad Rad sile se određuje skalarnim produktom
vektora sile i vektora puta po kome se pomjerala materijalna tačka (tijelo)
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad i energija Mehanički rad
Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2
Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora pomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2
Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne
pomjera
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Zakoni očuvanja u prirodi
Da li se kretanje čestica može određivati na osnovu drugih zakona osim Newtonovih
Jedan od odgovora je DA i to preko zakona očuvanja energije i impulsa
Postoji nekoliko zakona održanja većinom su posljedica određenih simetrija u svemiru
energija impuls moment impulsa naboj spin barionski broj stranost
Zakoni očuvanja u prirodi
Prednosti korištenja zakona održanja- Ne ovise od oblika putanje ne ovise
od osobina sila koje djeluju u nekom procesu
- Mogu se primijeniti i na pojave za koje nisu poznate sile fizika elem čestica
- Ne mijenjaju se pri transformaciji koordinata
Rad i energija Mehanički rad
Pomjeranje materijalne tačke (tijela) po nekom putu pod djelovanjem neke sile u mehanici
se naziva radrad Rad sile se određuje skalarnim produktom
vektora sile i vektora puta po kome se pomjerala materijalna tačka (tijelo)
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad i energija Mehanički rad
Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2
Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora pomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2
Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne
pomjera
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Zakoni očuvanja u prirodi
Prednosti korištenja zakona održanja- Ne ovise od oblika putanje ne ovise
od osobina sila koje djeluju u nekom procesu
- Mogu se primijeniti i na pojave za koje nisu poznate sile fizika elem čestica
- Ne mijenjaju se pri transformaciji koordinata
Rad i energija Mehanički rad
Pomjeranje materijalne tačke (tijela) po nekom putu pod djelovanjem neke sile u mehanici
se naziva radrad Rad sile se određuje skalarnim produktom
vektora sile i vektora puta po kome se pomjerala materijalna tačka (tijelo)
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad i energija Mehanički rad
Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2
Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora pomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2
Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne
pomjera
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad i energija Mehanički rad
Pomjeranje materijalne tačke (tijela) po nekom putu pod djelovanjem neke sile u mehanici
se naziva radrad Rad sile se određuje skalarnim produktom
vektora sile i vektora puta po kome se pomjerala materijalna tačka (tijelo)
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad i energija Mehanički rad
Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2
Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora pomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2
Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne
pomjera
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad i energija Mehanički rad
Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2
Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora pomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2
Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne
pomjera
cos( ) cosW F s F s F s Fs
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad konstantne sile
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad konstantne sile
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad promjenjive sile
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad promjenjive sile
Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje
2
11
11
lim
0s
si
n
ii
i
i
n
ii
n
ii
sdFsFW
naskadaili
sFWW
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad promjenjive sile
Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds
Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa
2
1
r
r
W F dr
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Mehanički rad
Iz obrascaA = F middot s
dobijemo jedinicu za rad [kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila
posebno ime Džul JouleRad je skalarna veličina
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Energija
Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema
definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se
povećava Oblici mehanička termička kemijska
električna nuklearna i dr Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Mehanička energija kinetička i potencijalna
Kinetička-uzrokovana kretanjem
Potencijalna ndash usljed položaja tijela
k
v
v
s
s
v
v
s
s
Evm
vmvmW
vdvmdtvdtvdmds
tdvdmsdFW
2
21
22
21
21
21
2
1
2
1
22
1
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Kinetička energija
Kinetička energija je dakle - energija kretanja
Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju
izraz za kinetičku energijuEk= mv22
Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu
W= mv222 ndash mv1
22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Potencijalna energijaSposobnost vršenja rada zbog posebnog
položaja tijelaTijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je
spuštajući se izvršiti radElastična opruga nategnuta izvrši rad kada
se vraća u ravnotežni položaj
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Gravitaciona potencijalna energija
Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno
Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika
putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Gravitaciona potencijalna energija
( )
( )
B
A
r
B Ar
B A
W F dr mg r r
W mgy mgy
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Konzervativne i nekonzervativne sile
- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli
- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo
prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr
0 sdFk
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad stalne tangencijalne sile W = Fs
rad sile trenja Ftr=microN na putu s
Wtr = -microNs
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir
proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)
Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na
vertikalan pravac)
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad pri savlađivanju sile trenjaSile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti
dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje
Ftr = μ ∙ N micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Zakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija u izolovanom
sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja
E = Ek + Ep
Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Zakon održanja energije
Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona
Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna
Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Primjer Slobodan pad
U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno pada Potencijalna energija dok tijelo miruje iznosi
Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi
Ukupna energija je Euk= U + K
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
U svakom položaju ukupna energija jednaka je E
Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teže vrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela
ili na površini Zemlje (y = 0)
Kako je biće
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Potencijalno polje sila
POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO
Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra
Gravitaciono i polje el sila je centralno
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad sila u gravitacionom polju
Gravitaciono polje je centralno poljeSila je
0221 r
rmm
F
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad sila u gravitacionom polju
drrmm
sdrrmm
sdFdW 221
0221
drdsdrdsdssdr 1cos10
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Potencijalna energija tijela mase m2
)11()1(12
212121 rr
mmr
mmW rr
rmm
E p21
221
12112
11)()(r
mmr
mmWEE pp
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Razmotrimo 3 slučaja
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Tri slučaja za E=Ek+Ep
Izbacivanje satelita sa Zemlje
hRMmmvE
Z 2
021
Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0
Za E negativno satelit će se kretati po elipsi u čijem jednom fokusu je Zemlja Tada satelit pada na Zemlju Šta je prva kosmička brzina
Za E=0 putanja je parabolaZa E pozitivno putanja je hiperbolaEk
veća od Ep
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Parabolična putanja
Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju
r = RZ+h(II kosmička brzina)
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Hiperbola
Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Rad elektrostatske sile
Rad koji vrši elektrostatska sila
)11(12
21221
2
1rr
qqkdrrqq
kWr
r
rqq
kE p21
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Potencijalna energija elastično deformisane opruge
Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji vrši sila pri malom pomjeranju tijela Δs duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak
ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp
gdje je Fs projekcija sile F na pravac s
Veza između potencijalne energije i sile
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Veza između potencijalne energije i sile
Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom
F = - grad Eptj
)( kz
Ej
yE
ix
EF ppp
a a agrad a i j kx y z
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Zakon održanja količine kretanja ili impulsa
Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu
puk = konst
Iz II Newtonovog zakona Fuk= dpukdt=0 slijedi puk = konst
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Primjena zakona očuvanja energije i impulsaSudari tijelaElastičan sudarNeelastičan sudar
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Snaga
snaga je brzina vršenja radaP = Wt
Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj Vat
[1W = 1J1s] - Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem
rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar
- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka
P = F middot v
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije U slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu)
razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije
komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao
Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo
pada duže
