50

PRIMJER 2.12.2 Koji rad treba izvrsiti aa se mll!'a me od jednog kiiograma digne s ~~,,,.r: .. ~ zemlje do tocke gdje je siia privlacenja te mase od i sunca po iznosu.

1

Materijalna tocka

Fl m F2 ! m ~s:"(t ~I~ 2~ Potrebne velicine za proracnn ozuacene su sa:

udaljenost izmedu centra zemlje i centra SUDea sa L, masa sunea sa M, masa zemlje sa m, radius SUDea sa R, radius zemlje sa r i Uluvt,"zalna lWHstaHta privlacenja masa sa k.

Slika 2.12.1

Vrijednost tih velicina jest: L = 1,5'1011 m; m = 5,98'1024 kg; r = 6,37'106 m

M = 1,98'1030 kg; R = 6,95'108 m; k = 6,67'10-11 m3kg-1s-2 ,

Rjesenje. PoloZaj gdje je masa me priv!acena od mase sunea j mase zemlje jadnakim iznosom sile nalazi se na udaljenosti SI od sunca i na udaljenosti Sz od zemlje. Pri tome mora zbroj udaljenosti od zemlje do sunca biti jednak Sl+S2=L. S druge strane iz uvjeta jednakog privlacenja mora biti ispunjen i slijedeci uvjet:

m mo =k--

2 S2

iii

Kao rjesenje dobiva se da su udaljenosti SI = 1497,44' 108 m

/331104 = ~75,42 =n.

Ako se udaljenost mase IDo od centra zemlje oznaci sa x, tada je potencijal sile privlacenja mase n10 od mase sunea i zamlje dan izrazom:

V= -k mmo -k Mmo + c.

x L - x

Rad koji treba izvrsiti da se masa IDo=l kg digne sa povrsine zemlje (x=r) na udaljenost od centra zemlje S2, jest:

10- 11 10-11 10-13 637'3,311 "--1,-49-7"- 2,59 0 3,311)

Dinamika

PRIMJER 2.12.3 Na velicinu fo = 50 em, iezi teret Nepritegnuta dl.lzilla opmge je L.

Kada 5e opmga otpusti, tako

opruzi za G=lON.

aa ostane pritegnuta sarno za fj =25 em, teret G odleti na visinu H=lOm.

Odredi krutost opruge. Otpor zraka i tezina opruge neka se z

52 Materijalna tocka

2.12.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVAJ"l"JE.

2.12.1 lspitaj jeli polje sila P = (x2 i +iJ + Z2 k) N konzervativno polje sila. Zatim izracunaj rad sile tog polja sila, koja djeluje na materija!nu tocku pri pravocrtnom gibanju od ishodista do tocke A(l;l;l) m, zatim od tocke A do tocke B(l;l;O) m, i konacno od tocke B do ishodista.

2.12.2 Polje sila P = (yzi + zxJ + xyk) N jest konzervativno. Nadi izraz za potencijalnu energiju, ako se uzme da je u tocki A(1;l;-l) m, ona nula.

2.12.3 Teret G=lON moze kliziti po glatkoj vertikaino polozenoj poiukruznici, i vezan je oprugom krutosti k=O,4N/cm, kao sto se vidi na slici 2.12.3.

Odredi koji je rad potrebno izvrsiti za premjestanje tereta iz polozaja A u polozaj B.

Duzina nerastegnute opru~e je Lo=3 m, a L=4m i R=1,5m.

o :/

f.,!~i--___ 1 ____ ~

2.12.4 Opruga ima krutost k=5N/cm. Odredi:

a. Rad sile koja je rastegnula oprugu za x=30 em. b. Koji je dodatni rad potrebno izvrsiti da se

opruga rastegne jos za 10cm.

Slika 2.12.3

~k , 1" 111 x 101 Slika 2.12.4

Dinamika 53

2.13. KINETICKA ENERGIJA

Kineticka energija je skalarna velicina koju oznacujemo sa T iIi Ek , a predsravlja izraz: 2

T = ~ =!!!. vv. 2 2

2.13.1

Materijaina tocka koja miruje nema kineticku energiju. Kineticka energija je energija gibanja za razliku od potencijalne energije koja je energija se kine[icka energija naziva zivom silom jer se njome moze vrsiti rad.

Dimenzija kineticke energije je Nm.

2.14. JEDNADZBE RADA I ENERGIJE

a. Opce sHe

Pri gibanju materijalne tocke mase m iz polozaja 1 u polozaj 2, na koju djeluje ukupna sila P, koristeci jednadzbu gibanja F=mii, moze se izraz za rad prikazati na slijedeci nacin:

DobiE smo:

2.14.1

To je prvi oblik jednadzbe rada i energije koji glasi: Rad svih sib koje djeiuju na materijalnu tockll, koja se gina iz 1 u

2, jedllak je promjeni kineticke energije te materijalne tocKe nastaie pri pdjelazu iz poiozaja 1 u 2.

Jednadzba rada i energije moze se pisati i na ovaj nacin: 2.14.2

Taj drugi oolik Jednadzoe rada 1 energije glasi: Prj gibanju tocke iz

Promatranjem podintegralnog izraza u izvodu jednadzbe rada i energije

o::.dT. 2. L4.3

54 Materijalna tocka

Ta jednadzba pokazuje da je elementami rad ukupne sue koja dljeluje na tocku kineticke energije.

Za pravocrtno gibanje jednadzba rada glasi: 2 2 2 2

= JFxdx = J mxdx = J m Iii idt = J1

d(m2ii) 1 1 1 dt

2.14.4

Za gibanje materijalne tocke u prostoru na koju djeluje sila F = F f + F J"" + F k x y z" lIma

brzinu +vyJ+v/, a polozaj joj odreduje radius vektor f=xf+yJ+zk, moze se analogno pisati jednadzba rada:

2 2

J Fdf = J(Fxdx+Fydy+Fzdz) 1 1 .

m

2 2.14.5

sto znaci da je:

2.14.6

Dinamika 55

b. SHe SI! kUlzenativIle i,

Nekonzervativne site su one pri gibanju trose mehanicku energiju pa su zato i nazivane disipativnim sHama. Tipicne disipativne siie su sUe koje nastoje sprijeciti gibanje kao sto su sile rrenja, otpor fluida i slicno.

Ako na materijalnu tocku dje!uje ukupna konzervativna sila i ukupna siia Fd , tada je fad tih siJa pri prijelazu iz polozaja 1 u polozaj 2 jednak

2

= r J 1

Rad konzervativnih sila moze se izraziti potencijalnom energijom: 2 r -J Fk'df= 171 -

a rad disipativnih sila moze se oznaciti sa: 2

J Fd'dP = W1,2d ' lednadzba rada energij" sada se moze 'dati izrazom:

Ta jednadzba omogu6uje da se zakon promjene mehanicke energije u disipativnih sila napise u obliku:

Sam rad disipativnih sila moze se izraziti jednadzbom: W1,2d = (V2 - VI) + (12 - 11 ) = 11 V + h.T = h.(T + V) = h.E.

2.14.7

2.14.8

2.14.9

2.14.10

2.14.11

2.14.12

gdje zbroj potencijalne i kineticke energije zovemo mebanicka energija i sa E. Rad disipativnih sila uvijek je negativan ,ier se svladava orpor gibanju i trosi energija.

Prema izrazu 2.14.11 vidi se d2 je za materijalnu wcku na konzervativne i disipativne sile, pri gibanju iz polozaja 1 u polozaj 2, zbl'oj ulmpne mehanicke mergije II

56 Materijalna tocka

c. Sile su sve konzervativne

Ako na materijalnu tocku pri gibanju iz polozaja 1 u polozaj 2 djeluju samo konzervativne sile, tada se rad tih sila maze izraziti jednadzbom:

2.14.13

iz koje slijedi da je; 2.14.14

a IO znaci da je; L'1(V+T)=L'1E=O. 2.14.15

To je treci oblik jednadzbe rada koji vrijedi ako na malerijalnu IOcku djeluju sarno konzervativne sile, a glasi; Karla na materijalnu tocku djell.lju sarno konzervativne sile, tada je za vrijeme gibanja zbroj potendjalne i kineticke energije konst;mtan, odnosno. nema promjene mehanicke energije. Izraz 2.14.14 prikazuje zakon ood::mJfl Plmelumicke' energije.

2.14.1. RIJESE]'= rgcos(jl.

Rjesenje za trazeni kut jest: 2

2 Vo c08,=-+--=08026 iii q;=36037121Il

3 3rg ,

PRIMJER 2.14.2 Teret tezine G=20 N moze se gibati po vertikalno dijeiu pI'stena

radiusa 1."=2 dm, a vezan je 'lprug'lm krl.ltosti k=l N/cm. Drugi kraj nprugc je vezan za tocku 0,

Aiw teret krene iz tocke A brzinom vo=O,l mis, odredi brzinu tereta kada dode u tocku B.

Tocka A je najvisa tocka, a tocka B je rocka prstena. Nerastegnuta olliina opruge jednaka je I'/2.

'B S!ika 2.14.2

Rjesenje. Djelujuce sile opruge i tezine konzervativne su pa vrijedi zakon oddanja energije:

lz te jednadzbe jest:

a nakon uvrsrenja =-:,~2gm/.~

mv~ h~ mvi hi --+- +C = -- +-- +C~2Gr.

2 2 2 2

dobiva se da je brzina kojom ce tijeJo ~tici u toeku l~

58

PRIMJER 2.14.3 Teret tezine G=150N moze kliziti po glatkoj vertikalnoj ,""liilie; a vezan je elasticnom vezom krutosti k=5N/cm.

A karla je veza l.l horizontahwHl vezeje Lo=4m. Vezaje koja je na udaljenosti L=4m.

Ako se teret odjeduom pusti siobodllO, odredi: a. brzinu tereta karla se spusti do tocke B za

veiicinu H=3 m, b. all kojeg Hmax ce se spustiti teret i koliko ce

biti rastegnuta opruga u tom tre,mtku.

Materijalna tocka

Slika 2.14.3

n'

60 Materiialna tocka

Rjesenje. Sistem je konzervativan. Rad sile tefine trosi se na stvaranje derormacije konzole. Kineticka energija u trenutku pustanja tereta da pada i u trenutku na kraju pri ostvarenoj

deformaciji fd je nula. Prema zakonu odrzanja ukupne mehanicke energije vrijedi: kf;

C = -G(H +fd) +2 +C.

Ta jednadzba moze se prikazati sa: 1'2 _ 2 G.f _ 2 G H - ,2 - ~.f .. - ~f BY - 0 Jd -l.d - - fd LJ 'd L _ - . k k .-

Realno rjesenje te kvadratne jednadzbe glasi:

fa = fst +V/;' +2fst H =fst ( 1 + ~ 1 +2~ ) =fstTl, gdje koeficijent T] pokazuje utjecaj pada tereta s visine H na staricki progib f,t, a naziva se dinamicki koeficijent iIi faktor uvecanja statickog progiba.

Od pad a tereta G sa visine H dobiva se da su faktor uvecanja statickog progiba i dinamicki progib jednaki:

11 = 1 + ~ 1 + 2 ~ = 11 ,05 j~ = 1st 11 = 22,1 em.

PRIMJER 2.14.6 Odredi koju pocetnu brzinu treba dati tijelu mase m da bi se podiglo s povrsine zemlje na visinu H.

Odredi takoder prvu i drugu kozmicku brzinu. Otpor zraka neka se zanemari.

Prva kozmicka brzina je minimalna brzina koju. mora imati tijelo pri poletu s povrsine zemlje da uleti u orbitu i kruzi oko zemlje.

Druga kozmicka brzina je min}maina brzina koju mora imati tijelo pri poletu s povrsine zemlje da ode u svemir

y

Slika 2.14.6

Rjesenje. Za dizanje tijela potrebno je dati tijelu kineticku energiju koju treba utrositi na rad svladavanja djelovanja sile pri\'Iacenja. Sila privlacenja je konzervativna sila pa S'C njezin rad rnvZe prikazat: s ITiehanickt energije.

Dinamika

Prema zakonu odrZanja mehanicke energije mv~ km m mv2 km.m __ - __ z_ + C = __ - --'- + C.

2 Rz 2 Rz +H

lz te jednadzbe moze se izraziti:

U zimajuci u obzir da je: km m

2 2 (1 1 \ Vo =V +2km l- ---I'

z Rz Rz+H;

__ z _ = G = mg odnosno R;

konacno se dobiva: 2' 0 2gH Vo "'V~ + ---

R +H z

61

a. Da se tijelo digne s povrsine zemije na visinu H. porrebna je pOCetna brzina I 2gHRz v = ,---

o ~ Rz +H

b. Prva kozmicka brzina je minimalna brzina kruzenja VI pri je sila inercije od normalne komponente ubrzanja sili privlacenja, to jest:

odnosno

Uz Rz =6,37'106 m, ona iznosi:

VI = {iiI; = V9,81'6,37 '106 = 7,905 '103 mls. c. Druga kozmicka brzina je minimalna brzina kojom ce tijelo odietjeti na visinu H

beskonacno vehku, a ona je jednaka:

v, = \/2gRz 11,1794 ~ mis.

\) H

62

PRIMJER 2.14.7 Za koju ve!.ichlll. x je potrebno pritegnuti opmgu krutosti k=4N/cm prije aa blok teZlne G=10N bude opmgom gurnut dovoljnom pocetnom brzinom da slijedi glatki vodeni put i s njime lll.e gubi kontakt.

Materijalna tocka

Slika 2.14.7

Rjesenje. Uvjet rjesenja je da opruga bude toliko pritegnura da potencijalna energija opruge moze izvrsiti rad dizanja tereta na visinu 2R brzinom koja ce dati inercijsku silu od cemripetalnog ubrzanja jednaku tezini tijela. Put je glatki, nema disipativnih siia, pa se moze koristiti zakon oorZanja mehanicke energije.

Kinetika. Prvo ce se odrediti minimalnu brzinu koju mora imati blok u najviSoj tocki kruga. U tom trenutku mora iznos sile inercije biti jednak tezini bloka, to jest:

L=G iii daje v2 =gR.

Zakon oddanja mehanicke energije daje inogucnost da se odredi velicina x: kx2 mv2 - +C = -- +G2R+C.

2 2

Minimalna velicina x je jednaka: 4~R 2 !SGR

x = ~ + m; = ~ ----;;-- = O,1m = 10 em .

2.14.2. PRIM:JERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

2.14.1 Teret tdine G=5N pridrZan je u poloiaju A na glatkoj horizonralnoj vodilici. Teret je vezan za jedan kraj opruge krutosti k=2N/em. Drugi kraj opruge je vezan za nepomicnu (ocku 0 koja se nalazi iznad tocke B na uaaijenosri H =!sO em. U nerastegnutom stanJu auzina opruge je Lo=60 cm. Tocka A je na udaljenosti L=60 cm od tocke

Ako se tijelo pusti slobodno ono ce se poceti gibati prema tocki B. Odredi kojom ce brzinom doci tijelo u tocku B.

Dinamika

2.14.2 Blok [ezine G=20N, miruje na glatkoj elipticnoj povrsini u polozaju A na visini H =8 em iznad tocke O. Blok je vezan elasticnom oprugom krurosti k=4Niem za nepomicni centar O. Nerastegnura duzina opruge je Lu=lOcm.

Ako .ie blok gurnut u polozaju A pocetnom brzinom '1'0=4 em/s. odredi sa kojom ce brzinom sti6i blok u polozaj B.

Polohj lOcke B se nalazi na udaljenosti L= 14 em od tocke 0 (vidi sliku 2.14.9).

2.14.3 Teret tezine G=5N miruje u polozaju A. Teret je vezan elasticnom oprugom krutosti k==2 N/cm, i moze klizati po glatkoj vodilici kao sto je pokazano na slici 2.14.10.

Duzina nerastegnute opruge je La == 40 em, a vel icina H == 50 em. Ako se pusti da teret klizne iz tocke A niz vodilicu prema tocki

B, odredi brzinu kojom 6e udarl,i na kraj B ito: a. ako je vodilica u vertikalnoj ravnini i b. ako je vodilica u horizontalnoj ravnini.

2.14.4 Po kosini s nagibom a=30o spusta se teret tdine G. U tocki B kosina prelazi u valjkastu povrsinu radiusa R=2m.(Vidi sliku 2.14.11).

Poznato je da je teret u tocci A imao brzinu v A = 1 mis, da je cijela povrSina glatka i da je visinska udaijenost od tocke A do najnize tocke h=(),5m.

Odredi kut rp koji odreduje tocku C gdje 6e se teret zaustaviti.

2.14.5 Blok tdine G==40N, pusten je u tocki 1 da klizi niz glatku krivudavu

m.

a. Pritisak bloka na

Slika 2.14.9

Slika 2.14.10

Slika 2.14.11

ako je radius zakrivljenosti na tome mjestu 111.

Siika 2.14.12

63

64

2.14.6 Teret G=20N vezan je nerastegnutom oprugom krutosti k=2 Nicm i miruje na horizontalnoj glatkoj povrsini u polozaju 1 koji odreduje duzina L=4 dID i H =3 dID.

x

Materijalna tocka

'"I r- ---1 I J , I

F

U tom polozaju se odjednom pocne vuci teret konopom prebacenim preko koloture i to konstantnom horizontal nom silom F=100N kako je pokazano na slici 2.14.13. Slika 2.14.13

Odredi koju ce brzinu imati teret u trenutku kada on prijede put x=1,75 dID.

2.14.7 Materijalna tocka mase m stoji izmedu dviju jednakih ~_ F~_ .1'.._tl.k nepomienih masa M na medusobnoj udaljenosti 2L kako je L' L ~ pokazano na slici 2.14.14. i'" 1>1"

66 Materiialna tocka

2.15. SNAGA

Svaki rad moze biti izvrsen za kraee ili duze vrijeme. Mjera kojom brzinom je izvrsen odredeni rad jest snaga.

Ako je rad A W izvrsen u intervaiu vremena At, tada je sredpJa iii prosjecna snaga za taj interval vremena oznacena sa

N =AW sred At'

Snaga u odredenom trenutku vrsenja rada definirana je kao granicna vrijednost srednje snage kada interval vremena tezi nuli, to jest:

N=lim A dW At~O At dt

Snaga je definirana kao prirast rada po vremenu iii rad u jedinici v[emena, a pokazuje brzinu izvrsenja rada.

Snaga je skalarna vrijednost. ledinica snage je vat (W). Ona prikazuje rad od jednog dzula (J) u sekundi (5), odnosno

1 W= 1 Js- 1 = I Nms- 1 = 1 kgm 2s- 3 .

Snaga rada sile moze se prikazati sa:

N= dW =F df =F.v. 2.15.1 dt dt

Snaga rada sprega sila iii momenta moze se prikazati sa:

N= dW =M dip =M'(J. 2.15.2 dt dt

U tehnickoj praksi snaga je vazan pojam vezan uz pogonslce strojeve (motore) kojim se vrednuje sposobnost vrsenja rada u odredenom vremenu. Sto je veea snaga stroja, to ee on odredeni rad izvrsiti u kraeem vremenu.

Snaga stroja mora biti uvijelc veea od potrebne efektivne snage za vrsenje odredenog rada. Potrebno je utrositi i rad na pokretanje elemenata stroja i savladavanju svih otpora lOm gibanju. Odnos potrebne efektivne snage i ukupne snage stroja odreduje se koeficijentom korisnog ucinka stroja koji je dan izrazom

= Ne! Tj

Nstroja

2.15.3

Dinamika

2.15.1. PRIM:JERI

PRIMJER 2.15.1 Tenet tezine G=l kN miruje nll hrapavoj kosini nagnilltoj pod kutom 0'=30. Koeficijent trenja izmedu tereta i kosineje f=0,5 (vidi sliku 2.15.1).

Odredi mora imati snagll stroj koji hi povukao teret po kosini na visinu H=60m za dvije minute.

Koeficijent korisnog ucinka stroja je '1 = 0,8. Rjesenje. Prvo treba odrediti koji ukupan rad treba stroj izvriti, a zatim rad u jedinici vremena, koji predstavlja snagu.

67

Slika 2.15.1

Efektivni rad koji treba iZVfsiti jest dizanje tereta za visinu H i savladavanje sile trenja na putu L=H/sina.

W=GH+TL=GH(l+fcosa) = sma

= 1000'60(1 +0,51,733) =11.196Nm.

Efektivna snaga mora biti

lV' - W - 11.196 _ a~3 k7 / - Q~~ W ef - - - --- - ~J "m s - ~"j , t 120

a snaga stroja N

N =.....!l 1]

933 0,8

1.166 W.

PRIM1ER 2.15.2 Crpka daje kolicinu od Q=720m3Jh 'lode pod tlakom od p=550N/cm2 IzracUl:mj potreollll snagu elektromotora cr.pke ako je koeficijent korisnog uCinka crpke Tj =0,75.

Rjesenje. Potreban rad koji treba izvrsiti crplca u jednom satu jest: W = QH = 720'550'104 = 396107 Nm.

Efektivna snaga mora biti:

a potrebna snaga elektromotora: . N

N ej

W 396 107 3600

11 0,75 1467kW

68 Materijalna tocka

PRlMJER 2.15.3 Vlak ulmpne teZine G=7MN krenuo je sa stanke i giba se u. pravcu jednoliko ubrzano tako da nakon vremena tj =50 s postigne brzinu od v = 54 km/h te dalje nastavija kOl1stantnom brzinom.

~~ ,I

Ako je pruga imala uspon od 31100, a otpor kotdjanja iznosi f=O,Ol, odredi efektivnu snagu vuce kao funkdju vremena.

Otpor zraka neka se zanemari.

Slika 2.15.2

Rjesenje. Prvo treba analizirati sarno gibanje da se ustanovi ubrzanje i odredi silu vuee u ovisnosti 0 vrernenu. Tok prornjene brzine s vrernenom je poznat pa se moze odrediti efektivna snaga u ovisnosti 0 vremenu.

Kinematika. U prvoj fazi gibanje vlaka je jednoliko ubrzano s poeetnom brzinom nula pa je v=at. Prema tome je:

a = VI = 54.000 ~ =0,3 tl 3.600 50

U drugoj fazi gibanje je jednoiiko 5 konstantnom brzinom pa je

Kinetika. U prvoj fazi vrijedi jednadzba gibanja: ma =F-T-Gsma,

pa je sila vuce jednaka: F = ma + T+ Gsma =

= G(~+fcosa+sma) = g

= 7.000(0,0306 +0,01 +0,03) = 494kN.

U drugoj fazi gibanja sila vuee je jednaka: F = T + G sma = 7.000' 0,04 = 280kN.

Efektivna snaga vuee za vlak pri zadanom dobiva se prema izrazu:

= Fli) . v(t) , a prikazana je na sliei 2.15.4

Slika 2.15.3

Sllk3,2.1SA

I Dinarnika 69

2.15.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

2.15.1 Vucna sila kamiona kod brzine od 90km/h iznosi okNo Odredi efektivnu snagu kamiona u torn trenutku.

2.15.2 Koja mora biti najmanja snaga ciektromotora da bi vitlo teret od uz jednoliko gibanje po hrapavoj kosini nagiba a=30o, diglo na visinu H=30m za 5 minuta.

Koeficijent trenja izmedu tijela i kosine je (l,S, a koeficijent korisnog ueinka vitIa je 0,80

2.15.3 Pami stroj snage N = HI kW tjera crpku litara vode na visinu od H=30m.

Koji je koeficijent korisnog ucinka postrojenja.

za vrijeme t = 12 sat! izbaci Q = 106