Mathématiques financières Problèmes de la Séance 1

Session d’été 2009

Problème 1 : Automne 2004Le 7 octobre 2004 vous investissez 15 000 $ au taux d’intérêt nominal annuel à capitalisation trimestrielle de 8,5%. Quel est le montant disponible le 10 décembre 2005, sachant que les intérêts sont capitalisés à l’aide de la formule des intérêts simple sur la dernière fraction de période?

Problème 2 : Automne 2004M. et Mme Tanguy ont placé un certain montant pour 25 ans dans un dépôt à terme le jour du 5ème anniversaire de leur enfant. C’était le 7 octobre 1964 et le taux était de 6% par an. Le jour du 30ème anniversaire de l’ «enfant», le montant est replacé au taux de 3% par an pour quinze autres années. Le 7 octobre 2004, la valeur de leur placement est de 50 000$. Quel est le montant qui avait été placé le 7 octobre 1964?

Problème 3 : Automne 2004 Pour emprunter 8 500$, la banque 1 vous propose un taux d’intérêt nominal annuel à capitalisation bimestrielle (période=2 mois) de 15%, tandis que la banque 2 vous propose un taux d’intérêt nominal annuel à capitalisation bimensuelle (période= ½ mois) de 16%. Quel est le taux d’emprunt le plus intéressant?

Problème 4 : Automne 2004Vous achetez un produit financier à 10 000$ le 10/12/04. Sachant qu’à terme (18/06/05) votre investissement vaudra 10 800$ et que la capitalisation est faite en intérêts composés sur toute la durée, quel est le taux nominal à capitalisation semestrielle de votre investissement?

Problème 5 : Automne 2004On place 3000$ au taux nominal de 8% capitalisé trimestriellement. Quelle est la valeur acquise par ce placement au bout de 23 mois et 15 jours, si les intérêts sont calculés selon la formule des intérêts simple pour la dernière fraction de période?On suppose qu’un mois comporte 30 jours.

Problème 6 : Automne 2004On place un montant de 10 000$ au taux de 8% par an le 7 septembre 2000. Le 7 septembre 2002, le taux a été diminué à 6%, capitalisation trimestrielle. Quel est le montant qu’on peut retirer de ce placement le 7 octobre 2004 si les intérêts sont calculés selon la formule des intérêts simple pour la dernière fraction de période?

Problème 7 : Automne 2005 Un montant de 5000$ a été placé dans un Régime Enregistré d’Épargne Retraite pour une durée de 3 ans à taux variable. La première année le taux effectif est de 2,5%, il est de 3% la deuxième année et de 4% la dernière année. Calculer la valeur acquise par ce placement à la fin de la troisième année.

Problème 8 : Automne 2005Le 9 octobre 2005 vous investissez 15 000 $ au taux d’intérêt nominal annuel à capitalisation bimestrielle (tous les 2 mois) de 9%. Quel est le montant disponible le 1 er

novembre 2007, sachant que les intérêts sont capitalisés à l’aide de la formule des intérêts simples sur la dernière fraction de période?

Problème 9 : Automne 2005Vous avez emprunté un certain montant X aujourd’hui que vous devez rembourser au moyen d’un versement de 2500$ dans 4 ans. Le taux d’intérêt effectif est de 7,5% durant les trois premières années et devient 6,5% à capitalisation semestrielle durant la dernière année. Quel est le montant du prêt aujourd’hui (X).

Problème 10 : Automne 2005Vous décidez d’investir 10 000 $. Quel est le taux d’intérêt nominal à capitalisation bimensuelle (2 fois par mois) minimal que vous devrez exiger afin que votre investissement vous rapporte 800$ d’intérêt dans 2 ans?

Problème 11 : Automne 2005 et TP1 2007 à 2009Trouvez le taux annuel effectif d’intérêt équivalent à l’effet des trois taux suivants sur une période de 20 ans :

i) taux effectif annuel de 3% payable durant les 5 premières années,ii) taux nominal annuel de 4% payable deux fois l’an durant les 8 années

suivantes,iii) taux nominal annuel de 1,5% capitalisé mensuellement durant les 7 dernières

années.

Problème 12   : Automne 2005Un montant de 2000$ est placé à 9%, capitalisation trimestrielle pendant une période de 14 mois. Quelle est sa valeur acquise si les intérêts sont calculés selon la formule des intérêts simples pour la dernière fraction de période ?

Problème 13 : Été 2005On investit aujourd'hui un capital au taux d'intérêt de 6% l'an. Dans combien de temps la somme du capital et des intérêts sera-elle le double du capital investi si les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque année et si l'intérêt est calculé selon la formule d'intérêts simple pour une fraction d'année?

Problème 14 : Automne 2006Le 1er septembre 2004 André avait placé la somme de 5 000$ dans un dépôt à terme. Le taux d’intérêt convenu était alors 9%, à capitalisation trimestrielle. Le 20 décembre 2006, il a besoin de retirer son placement. Quel montant en retire-t-il si les intérêts sont capitalisés à l’aide de la formule des intérêts simple sur la dernière fraction de période?

Problème 15 : Automne 2006Le 15 septembre 1999, Antoine avait emprunté une somme d’argent qu’il devait rembourser au moyen d’un paiement de 12 500$ le 15 septembre 2009. Le taux d’intérêt convenu à l’époque était de 12% capitalisation mensuelle. Si Antoine décide aujourd’hui, le 27 septembre 2007, de rembourser son prêt, quelle somme devra-t-il payer si on ne lui facture pas les intérêts pour la période s’étirant du 27 septembre 2007 au 15 septembre 2009 et que les intérêts sont calculés selon la formule d’intérêts simple pour la dernière fraction de période?

Problème 16 : (TP1 2007 à 2009)On investit un montant PV, pendant n périodes au taux périodique i. La valeur acquise est alors de FV.

a) Déterminer la valeur de FV si PV = 10000$, i=1,25% et n=8.b) Déterminer la valeur de PV si FV = 10000$, i=1,25% et n=8.c) Déterminer la valeur de i si PV=10000$, FV=12000$ et n=8.d) Déterminer la valeur de n si PV=10000$, FV=12000$ et i=1,25%.

Problème 17 : (TP1 2007 à 2009)

Le 1er avril 2000 on a emprunté d'une banque la somme de 10 000$ au taux d'intérêt de 10% par année capitalisation trimestrielle. Quel montant d'intérêt doit-on payer en remboursant l'emprunt le 15 décembre 2002 si :

a) les intérêts sont composés durant la dernière fraction de période?b) les intérêts ne sont pas composés durant la dernière fraction de période?

Problème 18 : (TP1 2007 à 2009)On a investi la somme de 5000$ il y a 20 ans dans un compte d’épargne. Le taux était alors de 12% capitalisation trimestrielle. Il y a 7 ans, le taux d’intérêt est descendu à 8% capitalisation trimestrielle puis à 3%, capitalisation mensuelle il y a 2 ans.

a) Quelle est la valeur acquise par ce montant aujourd’hui?b) Quel aurait dû être le taux effectif sur les 20 ans pour obtenir le même rendement?

Problème 19 : (TP1 2007 à 2009)

Un prêteur a prêté la somme de 5000$ à un emprunteur au taux de 9% capitalisation mensuelle pour une durée d’un an.

a) Quel est le montant à rembourser?b) Si le prêteur a dû payer des frais de 65$ le jour du prêt, quel est le taux d’intérêt

nominal à capitalisation semestrielle qu’il a effectivement obtenu sur ce prêt?

Problème 20  : (TP1 2007 à 2009)

Quel est le taux d’intérêt nominal, à capitalisation trimestrielle équivalent à : a) un taux de 6%, capitalisation mensuelle?b) un taux effectif de 8%?

Problème 21 : (Automne 2008) Bernard a investi 7 750$ au taux d’intérêt de 9% à capitalisation trimestrielle. Dans combien de temps, la valeur acquise sera rendue à 10 000$ si les intérêts sont calculés selon la formule d’intérêts simple pour une fraction de période? Donner votre réponse en nombre de mois et de jours. (On pourra supposer que les mois sont de 30 jours et les trimestres de 90 jours.)

Réponses :

1) 16 557,42$2) 7 477,65$3) Taux 1 : 15,9693%4) 15,3048%5) 3 503,49$6) 13 205,11$7) 5 489,90$8) 18 035,98$9) 1 887,71$10) 3,8511%11) 2,8888%12) 2 218,96$13) 11 ans et 326 jours14) 6 137,19$15) 9 883,42$16) a) 11 044,86$, b) 9 053,98$, c) 2,3052% et d) 14,68.17) a) 3 061,14$ et b) 3 063,88$18) a) 36 688,86$ et b) 10,4786%.19) a) 5 469,03$ et b) 7,8240%20) a) 6,0300% et b) 7,7706%.21) 11 trimestres et 41 jours, ou encore 34 mois et 11 jours.