enunturi probleme olimpiade clasele 9, 10 Dragomir.pdf

7/27/2019 enunturi probleme olimpiade clasele 9, 10 Dragomir.pdf

1/60

1

Selecie olimpiade colare

Clasa a IX a

1. Determinai valorile parametrului real m pentru care mulimea soluiilor inecuaiei

{min 2 -1 , 2 -x x m este un interval (nevid).(Romeo Ilie, OL Braov, 1998)

2. Pentru fiecare pereche ( ),a b se definete mulimea {A a bm m= + .Artai c pentru orice pereche ( ),a b avem: { }5, 6, 7 \ A

(Valentin Matrosenco, OL Bucureti)

3. Fie 0a > . Dac exist cel puin dou valori ale lui x , 0x > , astfel nct

a x a x+ + + , atunci a .(Sorin Rdulescu, Petru Alexandrescu, OL Bucureti 2000)

4. Fie M o mulime de numere reale cu proprietile:(i) M ;

(ii) ,x y M x y M + i x y M ;(iii) 2 3a M= + .1) Gsii o ecuaie cu coeficieni ntregi care are rdcina a ;

2) Artai c: 2 3 M + (Gheorghe Eckstein, concurs Traian Lalescu, 1995)

5. S se determine mulimile nevide *A care satisfac proprietile:

i) A are cel mult 5 elemente; ii)1

x A Ax

i 1 x A .

(Marcel ena, concurs GM, 1982)

6. Pentru fiecare numr natural 2n definim mulimea1

1nmn

A nn n

=

+ . Artai

c nu exist nici un element comun tuturor mulimilor nA .(Cristinel Mortici, OJ Arge 1998)

7. Determinai toate mulimile finite X de numere reale care satisfac:x X x x X + .


2/60

2

8. Artai c dac , 0x y z z > , atunci x y= .

(Mihai Piticari, OL SV 1984)

9. Artai c dac numerele , , ,a b x y satisfac inegalitatea

ax by xy+ , atunci 4ax by ab+ .

(Eugen Pltnea, OL Braov 1988)

10. Determinai toate tripletele ( ), ,x y z de numere ntregi pozitive 0 x y z< care

satisfac: 1 1 1 45x y z+ + = .

* * *, OJ 1988

11. Determinai numerele reale 1b c< < astfel nct pentru orice [ ],x b c s avem

[ ],1

xb c

x

(Constantin Caragea, OL Constana, 1989)

12. Fie :f A A , unde { } *1 2, ,..., nA a a a= , cu 1 2 ... , 2na a a n< < < , o funcie cu

proprietatea c ( ) ( ) 1f x f y x y x y + , ,x y A .

Artai c exist { }1,2,...,k n astfel nct ( ) 2kf a a= .(Cristinel Mortici, OL Constana. 1997)

13. Fie *, ,a b c astfel nct 2 2b a c> + . Artai c ecuaia 2 0ax bx c+ + = arerdcinile reale i iraionale.

(Cristinel Mortici, OL, Constana, 1999)

14.Artai c pentru orice *n , numrul 1 1n n n + + + este iraional.(Liviu Vlaicu, RMT, 1987)

15.Rezolvai n ecuaia ( )( ) ( )22 2 22 2 3 2 4 3 1x x x x x+ + + + = + .(Adrianai Lucian Dragomir, GM 2001)

16.Rezolvai n ecuaia ( ) ( ) ( )3 3 32 2 24 5 2 7 4 3 3 1x x x x x x+ + + = .


3/60

3

(Gheorghe Achim, GM 2003)

17.Artai c orice mulime A de numere naturale consecutive cu proprietatea c1

2a A a

, are loc:2 2 2

a bc b ca c aba b c

b c c a a b

+ + ++ + + +

+ + +.

(Bogdan Enescu, OJ Bacu, 2000)

20.Determinai funcia :f care satisface simultan proprietile:a) ( )0 1f = ; b) ( ) ( ) *1 2,f n f n n= + .

(Manuela Prajea, OJ Timi 2000)

21. Se consider mulimea { }1,2,3,...,M n= . Fie , ,A B C submulimi ale lui M ;

determinai numrul tripletelor ( ), ,A B C care satisfac simultan proprietile:

a) A B C M = ;b) ( ) 1card A B C = .

(Dorel Mihe, OJ Bacu 2000)

21.Determinai perechile ( ),x y de numere ntregi care verific:( ) ( )3 3 2 22 3x xy y x y + = + .

(Lucian Dragomir, juriu ON 2002)

23. Pentru orice numr natural n notm cu ( )p n cel mai mare ptrat perfect cel mult

egal cu n . Determinai numerele reale a pentru care1 2

2 3

a ap

+ + =

.

(Lucian Dragomir, juriu ON 2002)


4/60

4

24. Fie M o mulime de numere ntregi care satisface proprietile:a) 1 M ; b) ( )2 1x M x x M + ; c) . ( )2 3 3x x M x M + Artai c13 M .

(Lucian Dragomir, GM 1996)

25. Determinai numrul submulimilor mulimii { }1,2,...,2A n= n care ecuaia

2 1x y n+ = + nu are soluii.(Olimpiad Polonia)

26. Determinai numerele naturale a i b care satisfac egalitatea: ( ) ( )1 4 1a a b b+ = + .

(Lucian Dragomir, RMT 1998)

27. Fie [ ]: 0,1f o funcie cu proprietile:

(i) ( )1 1f = ;

(ii) ( ) [ ]0, 0,1f x x ;

(iii) Dac ,x y i x y+ sunt din [ ]0,1 , atunci ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ + .

Demonstrai c: ( ) [ ]2 , 0,1f x x x .(Olimpiad Irlanda)

28.Fie *, , ,a b c b a c > + i { }2 0A x ax bx c= + + = . Demonstrai c:a) A are exact dou elemente;b) A are cel mult un element;c) Exist , ,a b c astfel nct A are exact un element.


29.Fie 2k i A o mulime cu cel puin 1k+ elemente i avnd proprietatea cmedia aritmetic a oricror k elemente distincte ale sale este tot un element al su.Demonstrai cA este infinit.

(Marius Ghergu, RMT 2003)

30.Cte cuvinte distincte, de lungime 1997 pot fi formate utiliznd literele , ,A B C inumai acestea, fiecare de un numr impar de ori ?

(concurs Ungaria, Israel 1997)

31. Determinai numrul numerelor naturale n cu urmtoarele proprieti:a) n are 1000 de cifre; b) toate cifrele lui n sunt impare;c) modulul diferenei oricror dou cifre vecine este 2.

(concurs Irlanda)


5/60

5

32. Se consider mulimile ( ){ }2 2 2, 3 4G x y x y x y= = i

( ) }2, 2 3 4H x y xy x y= = + .

S se determine mulimea ( ){ }2 2 unde ,M z z x y x y G H= = + .(Laureniu Panaitopol, concurs 1971)

33. S se determine ,a b astfel nct funcia [ ]: 0,3f ,

( )

[ )

[ ]( ]

2

2

0,1

2 1,2

2,3

x x

f x x x

ax b x

=

+

s aib proprietatea c orice[ ]0,8y este imaginea prin f a

unei singure valori [ ]0,3x .( Ion Cuculescu, concurs 1976)

34. S se determine numerele reale a i b astfel nct ecuaiile 2 0x ax b + = i2 0x bx a + = s aib rdcini numere naturale distincte.

(Gheorghe Andrei, OL Constana 1993)

35. Determinai ,a b astfel nct ecuaiile 2 1 0x ax+ + = i 2 2 0x bx+ + = s aib o

rdcin real comun.(Nelu Chichirim, OL Constana 2000)

36.Se consider ecuaia [ ] { }2 0,x a x a a a + = .a) S se arate c ecuaia are cel mult 4 soluii reale i s se determine valorile lui a

pentru care are exact 4 soluii, notate cu 1 2 3 4, , ,x x x x ;

b) Determinai a pentru care4

2

1

17

2kk

x

=

= .

(Adrian P. Ghioca, OL Prahova, 2000)

37.S se rezolve ecuaia:{ } [ ]1 1 1x x x

= +

(OJ Bucureti 2000)

38. S se arate c pentru orice *n avem:2 2 21 1 4 3n n n n n + + + + = +

.


6/60

6

(Marian Ursrescu, OJ Buzu 2000)

39. Fie , , ,a b c d astfel nct a b c d + = + i 2 2 2 2a b c d + = + . Artai c, pentru

orice n , este adevrat egalitatea n n n na b c d + = + .(OJ Suceava, 2000)

40. Se consider mulimile ( ){ }2 2 2, 2A x y x y= + > i

( ){ }2, 3B x y x y xy= + + . Artai c:

17

m

n nm > .

(Radu Gologan, ON 1978)

45. Artai c dac[ ] [ ]nx n x= , *n , atunci x .(Gheorghe Schneider)

46. Determinai 0x > astfel nct [ ]2 2y x x= + s fie ptratul unui numrntreg.

(Ion Cucurezeanu)

47. Rezolvai ecuaia:6 - 5 3 1 6 15 3 - 6

2 34 2 4 2

x x x xx

+ + + + + = +

48. Rezolvai ecuaia: [ ]3 3x x = .(Concurs Polonia)


7/60

7

49. Rezolvai ecuaia: 22 2

2 1

x x

x x x

= + .

(Const. Caragea, Constana 1995)

50. Determinai y pentru care [ ]2

x xx y

y y

+ =

, x

(Mircea Lascu, GM)

51.Rezolvai ecuaia: [ ] { }2 x x x= + .(Titu Andreescu, RMT)

52. Rezolvai ecuaia:[ ]

{ }

xx

x=

(Titu Andreescu, RMT)

53. Demonstrai c numrul ( )2 3n

+ este impar, n .

54. Artai c dac ( ) 1n na este o progresie aritmetic cu raia numr ntreg, atunci

i

[ ], 1n nb a n= , este o progresie aritmetic.

(Gheorghe Andrei)

55. Se consider irul ( ) 1n nx definit prin: 1 2 1x x= = i 1 1n n nx n x x+ = + ,

2n . Determinai [ ]nx , pentru 3n .

(Constantin Caragea)56. Aflai cte numere naturale scrise n baza zece ndeplinesc simultan

urmtoarele condiii:(i) fiecare numr are 6 cifre;(ii) suma cifrelor fiecrui numr este 9;(iii) 4 dintre cifrele fiecrui numr sunt 2, 0, 0, 4.

(Lucian Dragomir, OJ 2004)

57. Determinai numerele naturale n cu proprietatea c exist numerele ntregi a

i b astfel nct: 2n a b= + i 3 2 2n a b= + (Lucian Dragomir, ON 2004)

58. a) S se arate c exist o infinitate de numere raionale 0x > astfel nct

{ } { }2

0,99x x+ = ;

b) S se arate c nu exist numere raionale 0x > astfel nct { } { }2 1x x+ = .(Bogdan Enescu, OJ 2004)

59. S se arate c exist o infinitate de numere iraionale a i b cu proprietatea c

numrul ( )( )2 2a b a b+ + este ptratul unui numr raional.(Alexandru Blaga)


8/60

8

60. Fie A o mulime cu n elemente ( )1n > . Determinai numrul tripletelor

ordonate de mulimi ( )1 2 3, ,A A A care satisfac simultan condiiile:

(1) ,1 3iA i ; (2) 1 2 2 3 3 1A A A A A A A = = = ;

(3) 1 2 3A A A = .(M. Balaj, concurs G.Moisil 1996)

61. Determinai funciile ( ): 0,f care satisfac relaia

( ) ( ) ( ) ( ), , , 1f xyz xf y yf z zf x x y z= + + > .

(Dorel Mihe, concurs G.Moisil 1997)

62. S se arate c nu exist funcii strict monotone :f cu proprietatea:

( ) ( ) ( ) ,f a b x f a x f x b x+ = + , unde ,a b suntfixate.

(Lucian Dragomir, OJ Cara-Severin 1994)

63. S se determine funciile ( )*: 0,f pentru care avem ( )4 4f = i

1 1 1 ( )...

(1) (2) (2) (3) ( ) ( 1) ( 1)

f n

f f f f f n f n f n+ + + =

+ +, *n .

(D.M.Btineu Giurgiu, ON 1983)

64. S se determine funciile :f pentru care avem:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,f x y f x y f x f y x y+ + = + .

65. Determinaifunciilef: care satisfac

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3f x y f y z f z x f x f y f z f x y x + + = + + + + , , ,x y z

(Lucian Dragomir, GM 1995)66. Determinai funciile :f pentru care avem

( )( ) ( )2 2 , ,f m f n f m n m n+ = + .(Lucian Dragomir, OJ 2001)

67. Pentru orice numere naturale ,a b notm ( ) 2 2, 1E a b a a b b = + + + + ,

( ) 6 3 6 3, 1F a b a a b b = + + + + . Determinai ,a b pentru care

( ) ( )3 , 2 ,E a b F a b = .


68. Gsii funciile :f cu proprietatea: ( ) [ ]( ) { }( ) 2f x f x f x x+ + = x ,

(Dorel Mihe, RMT 2000)

69. Fie ,x y astfel nct ( )33 3 30 2000x y x y xy+ + + + = . Demonstrai c

10x y+ = .(OBMJ, 2000)


9/60

9

70. ntr-o sal sunt n matematicieni; fiecare dintre ei cunoate exact k

matematicieni. Care este valoarea minim a lui k pentru a fi siguri c exist cel puin treimatematicieni astfel nct fiecare s-i cunoasc pe ceilali doi?

( Short list, OBMJ 2001)

71. La o mas circular sunt aezate 7 persoane. Vrsta fiecreia este mediaaritmetic a vrstelor persoanelor alturate. Artai c suma vrstelor tuturor persoaneloreste multiplu de 7.

(R. Bairac, ON 1994)

72.Artai c numerele 1,2,3,...,16 nu pot fi aranjate pe o circumferin astfel nctsuma oricror dou numere situate pe locuri alturate s fie ptrat perfect.

(concurs Rusia)

73.La un turneu de tenis au participat de dou ori mai muli biei dect fete.

Fiecare pereche de participani a jucat exact o dat

(i nu au fost rezultate egale).

Raportul ntre numrul victoriilor obinute de fete fa de cele obinute de biei a fost7

5.

Ci participani au fost la acest turneu ?(OBJ, 2000)

74.Determinai funciile :f care satisfac relaia

( ) ( ) ( )2 2f x y f x f y+ = + , ,x y

(Marcel Chiri, OL Bucureti 1984)

75. Fie P mulimea graficelor funciilor :f , ( ) 2f x ax bx c= + + , unde

, , , 0a b c a , pentru care punctele de intersecie cu axele formeaz un triunghi

echilateral. Demonstrai c P este finiti determinai numrul elementelor sale.(Alexandru Zaharescu,OL Braov 1988)76. Dac 1 2 6, ,...,a a a , 1 2 6...a a a< < < atunci

( )2

1 2 6 1 6 2 5 3 4... 12( )a a a a a a a a a+ + + > + +

(concurs interjudeean 1988)

77. Demonstrai c n scrierea numrului ( )1981

2501 50+ ca numr zecimal,

primele 3962 cifre dup virgul sunt zerouri.(D.M.Btineu Giurgiu, ON 1981)

78. Fie ( ){ , 2A x y x y= + = i ( ){ }3 3, 8 6B x y x y xy= + = .

Determinai \B A (Dan Mihalca, OL Bucureti, 1988)

79. Fie mulimea { }1, 2,..., 25M a a a= + + + , unde a . S se determine cea

mai mare valoare a lui a astfel nct M s se poat mpri n trei submulimi dou ctedou disjuncte, cu proprietatea c suma elementelor din fiecare submulime este cel mult

3

3

s +, unde s este suma elementelor mulimii M .


10/60

10

(Adrian Ghioca, OJ CT 1995)

80. Fie mulimea }1 4pA x x p x= + + = , unde p .i) Determinai valorile parametrului p pentru care pA este infiniti determinai

pA ;

ii) Determinai p pentru care pA are un singur element.

(OL Arad 2002)

81. Fie *, ,a b c aa nct 3a b c abc a+ + = = . Artai c 3a .

(OL Braov 2002)

82. a) Fie2

1

11

n

n

k

E

k=

= +

. S se determine a astfel nct inegalitatea

4na

En

< s fie adevrat pentru 4n = i s poat fi demonstrat prin inducie pentru

4n .

b) Demonstrai c *3

1

11 3,

n

k

nk=

+ <

.

(Laureniu Panaitopol, 1995)

83. S se determine cea mai mare valoare a lui pentru care

2 2 2

1 1 1 71 ...

42 3 nn

+ + + + + , , 3n n

(Dorel Mihe, OJ Timi 1993)84. Determinai mulimea { }1 2, ,..., na a a de numere reale dac 1a = i

1 2( 1)

...2

nn

n aa a a

++ + + = , *n .

(OL Brila 2002)

85. Determinai numerele reale strict pozitive 1 2, ,..., na a a tiind c 3 3a = i

2 2 2 2 11 2 3

1 1 1...

2 3 2n n

n

a aa a a a

n

++ + + + = , *n .

(Lucian Dragomir, 2002)

86. Fie A o mulime finit, nevid, de numere strict pozitive cu proprietatea c:

,x y A x y A + .a) Artai c ( )2 ,a a A a A b) Determinai A .

(erban Olteanu, OL Giurgiu 2002)

87. Un elev are 10 bile numerotate cu numerele 1,2,3,...,10 i trebuie s le pun ntrei urne identice astfel nct n nici o urn s nu fie dou bile numerotate cu numereconsecutive. n cte moduri se poate face aceasta ?

(juriu ON 2002, clasa a VII-a)


11/60

11

88. Cte numere de n cifre, formate numai cu cifrele 1, 9, 8, 6 se divid cu 3 ?(Dorel Mihe)

89. ntr-un plan se dau 2 1n + puncte astfel nct oricare trei s fie necoliniare.

Artai c se poate forma cel puin un triunghi dac unim cel puin 2 1n n+ + perechi depuncte.

(Mircea Lascu)90. Artai c , 6n n , un ptrat poate fi mprit n n ptrate.

91. S se determine numrul submulimilor nevide ale mulimii { }1,2,...,10 care nu

conin numere consecutive.92. ntr-o firm se instaleaz o staie intern de telefoane, fiecare numr telefonic

fiind alctuit din 4 cifre. Directorul firmei cere ca n birourile administrative ale firmeinumerele de telefon s conin doar cifrele 1, 2, 3 i oricare dou numere din acestea saib cel mult o poziie n care cifrele ar coincide. Care este numrul maxim de telefoanece pot fi instalate n birouri respectnd cerinele directorului ?

(Olimpiad Moldova, 2002)

93. Fie X o mulime i ,A B X dou mulimi nevide care simultanproprietile:

a) A B = i A B X = ;b) ,x y A xy A ;c) ,x y B xy A ;d) , ,x A y B xy B

Artai c: 1. DacX = , atunci nu exist ,A B cu proprietile de mai sus;

2. Dac*

X = , atunci exist ,A B submulimi ale lui cu proprietile de maisus.

(M.Chiri, D. Grigorescu,OL Bucureti 2001)

94. Fie numerele 1 2 3 4 5 6, , , ,a a a a a a care verific inegalitatea

( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 1 2 3 4 53a a a a a a a a a a+ + + + + + . Artai c ,x y are loc

inegalitatea: ( )2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5a a a a a x y a a a a a x y+ + + + + + .

(Dorin Andrica, ON 1983)

95. Fie E o mulime finit i :f E E o funcie cu proprietatea c

( )( ) ,f f x x x E= . Demonstrai c dac E are un numr impar de elemente, atunci

exist k E astfel nct ( )f k k= .(Gh. Ionescu, OJ 1977)

96. Fie F o mulime fixat cu n elemente. Determinai cte mulimi E au

proprietatea urmtoare: pentru :f E F , ( ) 2f x x= avem ( )f E F= .

(Adrian Ghioca, OJ 1985)

97. Se consider numerele reale , ,a b c care satisfac 0a b c+ + = i2 2 2 1a b c+ + = . Demonstrai c:


12/60

12

a) dac a b c atunci2 1

6b b) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2

1 max , ,a b b c c a .(Dorel Mihe, ON 1981)

98. Fie , , , 0a b c a > . Artai c dac ecuaia 2 0ax bx c+ + = admite dou

rdcini distincte n intervalul ( )0,2 , atunci 2, 3a b i 1c .

(Mircea Lascu, Liviu Vlaicu, OJ 1986)

99. Fie 2T X aX b= + + un trinom care admite ca rdcini numere ntregi.. Artai

c dac c astfel nct ( ) 13T c = , atunci ( ) ( ){max 1 , 1 28T c T c + = .(Dorel Mihe, OJ 1982)

100. Fie X o mulime finit de numere reale cu proprietatea c: ,x X y X

astfel nct2

2x y Artai c:a) 2 2X X b) [ ]2,2X

(Dorel Mihe, RMT)

101. Dac , , 0a b c , artai c: ( )2 2 2 3 2a b c ab bc ca+ + + + + .(Dinicu Budescu, GM 1998)

102. Artai c: ( ) ( )( )( )2

4ab bc ca a b c a b b c c a abc + + + + + + + + + , oricare

ar fi , ,a b c .(I. Safta, concurs GM 1999)

103. Dac numerele reale , , ,x y z t au suma egal cu 6, artai c

2 2 2 2 9x y z t+ + + .(I. Safta, concurs GM 1999)

104. Fie , , 0x y z > astfel nct 1xyz = . Artai c:3 3 3 1

2

x y z

x y y z z x+ +

+ + +.

(Niculai Solomon, GM 1999)

105. Fie *n , 1 2, ,..., nx x x numere reale strict pozitive astfel nct1

11

1

n

kkx

=

+

.

Artai c: ( )1

1n

nk

k

x n

=

(Dan tefan Marinescu, GM 2001)106. Fie , ,a b c numere reale strict pozitive astfel nct a b c abc+ + .

Demonstrai c: 2 2 2 3a b c abc+ + .(Cristinel Mortici, OBM 2001)

107. Artai c pentru orice *n i [ ]1 2, ,..., 0,1nx x x are loc inegalitatea

( )( ) ( )1 2 1 21 1 ... 1 1 ...n nx x x x x x .

(erban Olteanu, OL Giurgiu 2001)


13/60

13

108. Dac ( ), 0,x y artai c:

1

3x y xy+ + .(Dinicu Budescu, GM 1998)

109. Demonstrai c: ( )2 23

2x xy y x y+ + + , ,x y .

(L.Panaitopol, D.t.Marinescu, OL Hunedoara 2002)

110. Dac ( ), , 0,1x y z , artai c:3

(1 ) (1 ) (1 )2

x y y z z x + + .

(Manuela Prajea)

111. Numerele pozitive 1 2 3, ,x x x satisfac inegalitile 1 2 3 1x x x > ,

1 2 31 2 3

1 1 1

x x xx x x+ + > + + . S se demonstreze c:a) nici unul din numerele date nu este egal cu 1;b) exact unul din numerele date este mai mic ca 1.

Autor????????

112. Artai c { }1

\ 1,1 \a aa

+

.

(Dumitru Buneag, OL Dolj 1983)

113. Fie 1 2, , , , ,..., na b c a a a . Dac2b ac> i a n> , artai c:

( ) ( )( )2 2 2 21 2 1 2... ...n nb a a a a n c a a a+ + + + .

(Dorin Andrica, concurs Gh.ieica 1983)114. Determinai numerele naturale nenule n pentru care

1 2 3 ... n n + + + + =

(Ionel Tudor, OL Giurgiu 2001)

115. a) Fie x astfel nct 2x x+ i 3 2x x+ s fie raionale. Artai cx ;

b) Artai c exist numere iraionale x astfel nct 2x x+ i 3 2x x s fieraionale.

(Florica Banu, OJ 2002)

116. Artai c pentru orice x are loc relaia:3 4 5 1 1

6 6 6 2 3

x x x x x+ + + + + + =

.(Cristinel Mortici, OJ 2002)

117. Fiind date numerele reale , ,a c d, demonstrai c exist cel mult o funcie

:f astfel nct: ( ) ( )f ax c d x f x d c+ + + + , x .

(Laureniu Panaitopol, ON 2002)


14/60

14

118. Determinai cel mai mic numr natural n astfel ncat s existe n puncte n

plan cu proprietatea c pentru orice alt punct al planului distana la cel puin unul dinaceste puncte este iraional.

(RMT 1988)

119. Construii o funcie :f care s satisfac urmtoarele condiii:

a) Oricare ar fi dou puncte distincte A i B n plan, segmentul [ ]AB nu este

coninut n graficul lui f ;

b) ( )( ) 9 1986f f x x= + (tefan Alexe, OL Arge 1986)

120. Fiecrui numr real x i se asociaz numrul t care satisface relaia

( )f x t= , unde

2 20

2

t x

t x

+

.

a) S se arate c f este funcie; b) Determinaif(1996);

c) Determinai x pentru care ( ) 1996f x = ; d) Reprezentai grafic f pentru

[ ]0,4x .(Ilie Stnescu, OJ Sibiu 1996)

121. Determinai toate funciile :f care satisfac:

( ) ( ) 1 , ,f x y xf y x x y .

(Marcel Chiri, OJ Bucureti 1991)

122. Determinai funciile :f cu proprietatea c

( ) ( ){ } ( ) }max , min , , ,f x y f x y f y x x y+ = +

(concurs T. Lalescu, 1992)123. S se determine funciile monotone :f pentru care

( )1995 ori

( ... )f f f x x=

, x .

(concurs T. Lalescu 1995)

124. Fie *:f o funcie cu proprietile:

a) ( ) ( ) ( ) *, ,f m n f m f n m n = + ;

b) ( )10 0f = ;

c) ( ) 0f k = pentru orice numr k care se termin cu cifra 3.

Determinai ( )1994f .

(concurs T. Lalescu 1994)

125. Fie , , , 0a b c a , astfel nct 2 4b ac< . Artai c dac 4 2 0a b c+ + > ,atunci 2 4 0a b c+ + > .

(Bogdan Enescu, OJ 1995)


15/60

15

126. Fie a i b numere reale strict pozitive, distincte. Considerm mulimea:

{ }0, 0, 1M ax by x y x y= + > > + = . S se demonstreze c:

a)2ab

Ma b

+

;

b) ab M .(Romeo Ilie, ON 2001)

127. S se determine numerele reale a i b tiind a b+ i 2 2 2a b+ = .(Romeo Ilie, ON 2001)

128. Determinai toate mulimile finite A astfel nct ,x y A xy A .(Dan Popoiu )

129. Se consider o mulime format din 2001 puncte n plan. S se arate c exist

un cerc care trece printr-un singur punct din mulimea A i care conine n interior exact1000 de puncte din mulimea A .

(Marian Andronache, Ion Savu, 2001)

130. Pentru ce valori ale numrului real a mulimea [ ] [ ]0, 1,2a este interval ?(concurs Gh. Mihoc, 2003)

131. S se determine m pentru care [ ]2 2 0, 1,1x mx m x + .(Dorel Mihe, concurs interjudeean 1986)

132. S se determine m pentru care 2 2 0,x mx x + .(Jenic Crnganu, OL Galai 1990)

133. Fie :f o funcie cresctoare cu proprietatea c exist x astfel

nct ( )f x x< . S se arate c existy astfel nct ( )f y y= .(Marius Grjoab, OJ Sibiu 1994)

134. Fie f un polinom de grad doi, cu coeficieni ntregi, pentru care exist

,u v , u v , astfel nct ( )f u v= i ( )f v u= . Demonstrai c ecuaia ( )f x x= are

rdcini iraionale.(Laureniu Panaitopol, OJ Bucureti, 1991)

135. S se determine *n astfel nct 1 2 ...x x x n x + + + < ,x n .

(Laureniu Panaitopol, concurs GM 1996)

136. S se determine toate polinoamele f de gradul doi cu coeficieni ntregi

pentru care numerele ( ) ( )2 , 5f f i ( )8f au partea ntreag 0.(Laureniu Panaitopol, OJ Bucureti, 1994)

137. Fie mP familia de parabole de ecuaii2 1y x mx= , unde m este un

parametru real. Notm { },m m mP Ox A B = i { }m mP Oy C = . Determinai locul

geometric al centrului cercului circumscris triunghiului m m mA B C .(Dorel Mihe, OJ Timi, 1991)


16/60

16

138. Fie A o mulime de numere reale care satisface simultan proprietile:

a) 1 A ; b) 2x A x A ; c) 2 4 4x x A x A + .Artai c 2000 2001 A+

(Lucian Dragomir, ON 2001)

139. Fie *,a b cu a b< i [ ] *,C a b astfel nct numrul elementelor lui

C s fie strict mai mare dect1

2

b a +. S se arate c exist dou elemente din C care

au suma a b+ .(Radu Miculescu, concurs 2003)

140. Calculai minimul expresiei

( ) ( ) ( ) ( ), , max 1 , max 1 , max 1 ,E a b c a b c b c a c a b= + + + + + , unde , ,a b c .

(Laureniu Panaitopol, concurs 2003)141. Se consider triunghiul ABC cu lungimile laturilor AB c= , BC a= , CA b=

i se noteaz cu P intersecia dintre mediana BD , D AC i bisectoarea (CE a

unghiului ,BCA E AB . Determinai, n funcie de , ,a b c , numerele reale x i y

pentru care avem PA xPB yPC = +

.(OL Bihor 2001)

142. Fie ABC un triunghi ascuitunghic cu ortocentrul H . Dac pentru orice

punct M din planul triunghiului exist relaia 3MA MB MC MH+ + =

, demonstrai cABC este triunghi echilateral.

(D.M.Btineu Giurgiu, GM 2000)

143. n patrulaterul convex ABCD se noteaz cu G centrul de greutate altriunghiului BCD i cu H ortocentrul triunghiului ACD . S se arate c punctele

, , ,A B G H reprezint,n aceast ordine, vrfurile unui paralelogram dac i numai dacG este centrul cercului circumscris triunghiului ACD .

(Marian Andronache, OL Bucureti 2001)

144. Fie triunghiurile ABCi 1 1 1A B C avnd ortocentrele H i 1H , iar O i 1O fiind centrele cercurilor circumscrise celor dou triunghiuri. Artai c dac

1 12 0HH OO+ =

, atunci cele dou triunghiuri au acelai centru de greutate.(Gabriela Constantinescu, OL Constana, 2001)

145. Se d un ptrat cu lungimea laturii 1.a) S se arate c oricum am considera cinci puncte n interiorul su, exist cel puin

dou astfel nct distana dintre ele s fie mai mic dect2

2;

b) se poate gsi o propoziie analoag pentru hexagonul regulat de latur 1?(OJ 1972)


17/60

17

146. Fie ABCD un patrulater convex cu ( ),M P AB i ( ),N Q CD astfel nct

AM DQ BP CNk

MB QC PA ND= = = = . S se demonstreze c:

a) MQ PN AD BC+ = +

; b) MN PQ AC BD+ = +

.(Gh.Andrei, 2003)

147. Se consider dreptunghiul ABCD n care AB a= i BC b= . a) Determinai

locul geometric al punctelor G din plan pentru care 0mGA GB GC + =

, *m ;b) Determinai locul geometric al punctelor M din plan pentru care

2 2MA MB MC a b + = +

.

(Daniela Burtoiu, OL Arge 2002)

148. n triunghiul ABC considerm centrul I al cercului nscris i punctele

( ) ( ),M AB N AC . NotmAM

mAB

= iAN

nAC

= . Demonstrai c punctele , ,M I N

sunt coliniare daci numai dacb c

a b cm n

+ = + + (notaiile sunt cele uzuale)

(Romeo Ilie, OL Braov 2002)

149. Artai c dac ( )a OA b OB c OC a b c OG + + = + +

atunci triunghiul

ABC este echilateral (notaiile sunt cele cunoscute).(OL Brila 2002)

150. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, iar , , ,M N P Q mijloacele laturilor

( )AB ,( ) ( ) ( ), ,BC CD DA . Artai c perpendicularele din M pe CD , din N pe DA , din

P pe AB i din Q pe BC sunt concurente.(concurs Traian Lalescu 2003)

151. Fie ABCD un patrulater convex, ( ) ( ),M BC N CD i

{ } ( ) ( )P AM BN = . Demonstrai c dacBP BM AP

BN BC AM= , atunci patrulaterul dat are

dou laturi paralele.(Dan tefan Marinescu, Ioan erdean, OL HD 2001)

152. Fie ABC un triunghi. Folosind notaiile uzuale, artai c IG BC dac i

numai dac 2AB AC BC+ = . (OL Vaslui 2001)153. n triunghiul ABC notm cu , ,D E F punctele n care bisectoarele interioare

ale unghiurilor , ,A B C intersecteaz laturile triunghiului. Artai c dac

, ,AD BE CF

formeaz un triunghi, atunci ABC este echilateral.(OL Vrancea 2001)


18/60

18

154. Considernd n plan doi vectori u

i v

, demonstrai echivalena afirmaiilor

urmtoare: a) u v= ; b) au bv bu av+ = + , ,a b .

(Marcel ena, OL Bucureti 2001)

155. Se consider rombul ABCD i punctele ( ) ( ) ( ), ,M AB N BC P CD . S

se arate c centrul de greutate al triunghiului MNP aparine dreptei AC daci numaidac AM DP BN+ = .

(Marian Andronache, OL Bucureti, 2002)

156. Se d triunghiul ABC i punctele ,L M astfel nct AL nAB AC= +

, iar

1

nCM CB

n=

+

. S se demonstreze c punctele ,A M i L sunt coliniare.

(Ioan Cuc, OL Bihor 2003)157. Se consider punctele , , ,A B C D coplanare, oricare trei necoliniare i ,R Sortocentrele triunghiurilor ABC , respectiv ABD . S se arate c , , ,A B C D sunt

conciclice daci numai dacRS CD=

.(M. Andronache, OL Bucureti, 2003)

158. Fie triunghiul ABC, punctul ( )M BC i cercurile ( )0 ,C C I r = ,

( )1 1 1,C C I r = i ( )2 2 2,C C I r = cercurile nscrise n triunghiurile ABC , ABM ,

respectiv ACM . S se arate c: a) cercurile 1C i 2C sunt tangente daci numai dac

0M C ;

b) dac 0M C , atunci exist relaia: ( )pAI a AS p a AD= +

, unde ,S D sunt

mijloacele segmentelor ( )AM , respectiv ( )BC , I SD ,IS p a

ID a

=

(Virgil Nicula, OL Bucureti 2003)

159. Fie ABCD un paralelogram i ( ) ( ) ( ), ,M AD N AB P BC astfel nct

ADMD PC NB

AB+ = . S se arate c centrul de greutate al triunghiului MNP se gsete

pe diagonala AC.(Ctlin Zrn, OL Constana, 2003)

160. Fie X un punct n interiorul triunghiului ABC, , , ,M N BC P R CA ,

,Q S AB astfel nct }, , ,MR AB SP BC NQ CA MR SP NQ X = , iar 1 1 1, ,A B C

mijloacele segmentelor ( ) ( ),MN PR , respectiv ( )QS . Artai c:

a) 1 1 13

2XA XB XC XG+ + =

;

b) 1 1 13

2A A B B C C XG+ + =

, unde G este centrul de greutate al ABC .

(Ovidiu Pop, OL Satu Mare 2003)


19/60

19

161. Fie triunghiul ABC n care O este centrul cercului circumscris, H

ortocentrul i G centrul de greutate. Pe semidreptele ( ( (, ,OA OB OC se consider

punctele , ,D E F astfel nctOD OE OF

kOA OB OC

= = = , 2k> i pe segmentele

( ) ( ) ( ), ,DB EC AF se consider punctele , ,M N P astfel ca 2DM EN FP

kMB NC PA

= = = . S

se arate c centrul de greutate al MNP este mijlocul lui ( )HG .

(Ctlin Zrn, OL CT 2002)

162. (i) Fie u i v doi vectori n plan i [ ]0,1a . Artai c

(1 ) (1 )u v au a v a u av u v+ + + + + ;

(ii) Dac ABC este un triunghi, D mijlocul lui ( ) ( ), ,BC M N BC cu( ) ( )BM CN , demonstrai c: 2AD AM AN AB AC + + .

( Marius Cavachi, Dan tefan Marinescu, OL HD 2002)

163. Fie ABC un triunghi nscris n cercul de centru O . Dac , ,M N P suntsimetricele lui O fa de ,BC CA respectiv AB , artai c dreptele , ,AM BN CP suntconcurente.

(E. Morariu OL Neam2002)164. n paralelogramul ABCD avem 4, 3, 2AB BD BC= = = . Fie G centrul de

greutate al ABD , I centrul cercului nscris n BCD i ( )M BC astfel nct

2BM MC= . S se demonstreze c:

a) 4 3 29

PB PC PDPI + +=

, oricare ar fi punctul P din planul paralelogramului ;

b) punctele ,G Ii M sunt coliniare.(Olosz Ferenc, OL Satu Mare, 2002)

165. Fie ABCD un patrulater inscriptibil i M un punct pe cercul circumscrisacestuia, diferit de vrfurile patrulaterului. Fie 1 2 3 4, , ,H H H H ortocentrele triunghiurilor

, ,MAB MBC MCD , respectiv MDA iar E i F mijloacele segmentelor ( )AB , respectiv

( )CD . Demonstrai c: a) 1 2 3 4H H H H este paralelogram; b) 1 3 2H H EF= .

(Nicolaie Muuroia, OJ 2002)

166. FieABC un triunghi, G centrul su de greutate i punctele ( )M AB ,

( )N BC , ( )P CA astfel nct AM BN CPMB NC PA

= = . Notm cu , ,D E F centrele de

greutate ale triunghiurilor , ,AMP BMN CNP . Demonstrai c;a) ABC i DEF au acelai centru de greutate;b) pentru orice punct X din planul ABC avem:

3XG XD XE XF XA XB XC< + + < + + .(Dan tefan Marinescu, Viorel Cornea, OJ 2002)

167. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC.


20/60

20

Dac 2 2 2OA OB OB OC OC OA+ = + = +

, atunci triunghiul ABC este

echilateral.(Liviu Ignat, concurs Gh.Dumitrescu, 2002)

168. Fie A o submulime de vectori din plan cu proprietile:a) A conine orice vector de lungime 1;

b) pentru ,u v A

avem u v A+

.Artai cA conine toi vectorii din plan.

(concurs Radu Miron 2001)

169. Fie un triunghi ABC. Artai c pentru orice ( )M AB , ( )N AC , avem:

BC MN AB AM AC AN + daci numai dac ( ) 90m A .

(Laureniu Panaitopol, GM 1999)

170. Fie triunghiul ABCi G un punct n interiorul su cu proprietatea c exist

un punct M n planul su astfel nct 3MG MA MB MC= + +

. S se arate c G estecentrul de greutate al triunghiului ABC.

(Dan tefan Marinescu, Viorel Cornea, 2001)

171. Fie , ,AM BN CP lungimile unei nlimi, a unei bisectoare i a unei mediane(n aceast ordine) n triunghiul ascuitunghic ABC. S se demonstreze c dacMC NA PB= = , atunci ABC este echilateral.

(Viorel Bndil, OL Bucureti 1987)

172. Fie ( ( (, ,AD BE CF bisectoarele interioare ale unghiurilor triunghiului ABC .

Artai c dacDB EC FA= = , atunci triunghiul ABC este echilateral.

(Emil Constantinescu, OL Bucureti 1990)173. Fie ABCD un trapez cu AB CD , iar M i N mijloacele segmentelor

( )AB i respectiv ( )CD . Considerm ( )E AD diferit de mijlocul lui ( )AD . Paralela

prin E la baze taie pe ( )BC n F. S se arate c dreptele , ,MF NE AC sunt concurente.

(Constantin Cocea, OL Iai 1990)

174. Fie ABC un triunghi, M i N mijloacele laturilor ( )BC , respectiv ( )AC i

( )P AB astfel nct 2PA PB= . Fie { }G BN AM = i { }Q BN CP= . Dac

BM BP BQ BG = , artai c AB este perpendicular pe BC dac i numai dacAB BC= .

(D.M.Btineu Giurgiu, OJ 1986)

175. Fie ABC un triunghi oarecare. Pe semidreptele (AB i (AC se consider

punctele E, respectiv D , aa nct2AB AC

AE ADAB AC

= =

+. Artai c ,DE BC i

bisectoarea interioar a unghiului A sunt concurente.(OJ 1986)


21/60

21

176. n triunghiul ABC se consider bisectoarele (BD i (CE, cu ( )D AC ,

( )E AB . Fie M i N mijloacele segmentelor ( )BD , respectiv ( )CE .

S se arate c dreptele , ,EM DN BC sunt concurente dac i numai dac

( ) 60m A = .

(Laureniu Panaitopol, OJ 1988)

177. Fie ABC un triunghi, ( )D BC i CD k BC = .

a) S se demonstreze c ( )1AD k AB k AC< + ;

b) Dac (AD este bisectoarea interioar a unghiului A , artai c:

2 1 1

AD AB AC> + .

(Titu Andreescu, ON 1983)

178. Se consider un triunghi oarecare ABC i cercurile ( )1 1,C A r , ( )2 2,C B r

( )3 3,C C r tangente dou cte dou. Dac { }1 2 1C C C = , }2 3 1C C A =

{ }3 1 1C C B = , artai c:

a) 1 1 1, ,AA BB CC sunt concurente;b) Dac punctul de intersecie al dreptelor de la punctul a) este centrul cercului

nscris n ABC atunci acest triunghi este echilateral.(Lucian Dragomir, RMT 1999)

179. Pe laturile ( )AB i ( )AC ale triunghiului ABC se consider punctele M i

respectiv N astfel nct BM CN= . Artai c dreapta care unete mijloacelesegmentelor ( )MN i ( )BC este paralel cu bisectoarea unghiului BAC .

* * *

180. Fie ABC un triunghi, P mijlocul lui ( )BC i ( ) ( ),D AB E AC astfel

nct DE BC . Semidreptele (CD i (BE intersecteaz paralela prin A la BC n G ,

respectiv F. Dac M i N sunt respectiv mijloacele segmentelor ( )AG i ( )AF ,

demonstrai c dreptele iBN CM sunt concurente.(Lucian Dragomir, RMT 2000)

181. Fie ABCD un patrulater convexi, , , , ,AB a BC b CD c DA d AC e BD f= = = = = = .

a) Artai c: ( ) ( ) ( )2 22 22 e f a c b d + + + + ;b) DacABCD este circumscriptibil, atunci 2ef ab bc cd da + + + .

(Dan tefan Marinescu, OJ Hunedoara, 1995)


22/60

22

182. Pe laturile ( )BC i ( )CD ale patrulaterului convex ABCD se consider

respectiv punctele M i N astfel nct 2BM

MC= i 3

CN

ND= . Fie { }AM BN P = astfel

nct 2AP

PM= i

4

5

BP

PN= . Artai cABCD este paralelogram.

(Maria Elena Panaitopol, RMT 2000)183. Stabilii natura triunghiului ale crui laturi verific:

( ) ( )2 2 2 22 3 6a b c a b c+ + = + +

(Ion Chec, OJ CL 1993)

184. Artai c raportul dintre cea mai mare diagonali cea mai mic latur a unui

pentagon convex este mai mare sau egal cu 1 52+ .

(Florin Vulpescu Jalea, OL Bucureti, 1991)

185. Fie I punctul de concuren al bisectoarelor interioare , ,AD BE CF ale

unghiurilor triunghiului ABCi , ,IA IB IC

x y zID IE IF

= = = . Demonstrai c:

( )2 12xy yz zx x y z+ + + + .

(Marcel Chiri, OL Bucureti 1995)

186. S se arate c ABC unde , ,A B C , ,A B C ( )0,1C este echilateral dac i

numai dac2 2 2

3OA OB OB OC OC OA+ + + + + =

.(Costic Grigoriu, OL Neam, 2002)

187. Fie M o mulime de numere reale cu proprietile:1) 0 M ;2) ( )sin cosx M x x M + ;

3) ( )sin 2 cos 2x x M x M+ .

S se arate c:

a)3

4M

; b) Mconine o infinitate de numere iraionale subunitare.

(Lucian Dragomir, RMT, 2002)

188. Artai c o soluie a ecuaiei 1x xy y+ + = este dat de00

00

22

23

x tg

y tg

=

=

189. Fie , , ,2 2

x y z

astfel nct


23/60

23

( ) ( ) ( )2 2 2cos cos cos 1x y y z z x + + = . S se demonstreze c dou dintre

numerele , ,x y z au diferena egal cu2

.

(Iaroslav Chebici, OL Buc. 1996)

190. Artai c n orice triunghi ABC avem:2

2 23 cos cos cos2

AB C

+> + .

(ON 1977)

191. Artai c n orice triunghi ABC are loc relaia:

2 2sin sin sin sin 12 2

A B CA B

+ + = .

(ON 1980)

192. Fie ( ]0,1A o mulime cu patru elemente. Artai c exist ,x y A astfel

nct 2 21

0 1 12

x y y x< < .

(Dan tefan Marinescu, OJ Hunedoara, 1994)

193. Fie ABC un triunghi ascuitunghic cu latura cea mai mic ( )BC . nlimea

din A intersecteaz, a doua oar, cercul circumscris n D . S se arate c:

a) AD BH CH + unde H este ortocentrul ABC;b) ( )cos cos cosB C B C + .

(Liliana Niculescu, Dan tefan Marinescu, OJ Hunedoara 1994)

194. S se arate c n orice triunghi ABC este adevrat egalitatea

.2 2 2 2 2 2

A B C A B Cctg ctg ctg ctg ctg ctg+ + =

Utiliznd eventual aceast egalitate, demonstrai inegalitatea:

8sin sin sin cos cos cos2 2 2 2 2 2

A B C A B B C C A .

(I.V. Maftei, OJ 1984)

195. S se demonstreze c pentru orice triunghi ABC are loc inegalitatea:( )( )( )

4

R a b b c c a

r abc

+ + + .

S se deduc de aici inegalitatea lui Euler ( 2R r ).

(Dorin Andrica, OJ 1985)196. Fie , ,D E F mijloacele arcelor mici ,BC CA respectiv AB ale cerculuicircumscris triunghiului ascuitunghic ABC. Demonstrai c dac triunghiurile BDC ,CEA i AFB au ariile egale, atunci triunghiul ABC este echilateral .


197. S se determine numerele *n tiind c cos cosnx n x , x .

(Gheorghe Iurea, concurs 2002)


24/60

24

198. Se consider pentagoanele convexe ABCDE nscrise ntr-un cerc de raz 1,

care au diagonalele ( )AC i ( )BD perpendiculare. S se determine valoarea maxim aariilor acestor pentagoane.

(ON 1988)

199. Dac 1 2, ,..., nx x x , 0, 2a

i

1

sin sinn

k

k

x n a

=

, atunci

1

sin( ) 0n

k

k

x a

=

.

(Sorin Rdulescu, baraj 1983)

200. Fie ,x y . Artai c dac mulimea {cos cosnA n x n y n = + este

finit, atunci x i y .(Vasile Pop, baraj 1996)

201. S se rezolve n ecuaia } { }2x x x = .

(Costel Chite, Ol. Bucureti, 2000)202. S se arate c dac , , 0a b c > i 1ab bc ca+ + = , atunci

( )1 1 1

3 a b ca b c

+ + + + .

(Valentin Vornicu, Ol Bucureti, 2004)

203. Rezolvai n * inecuaia

( )( )( ) ( )( )( )3 3 3 31 1 1 3 1 1 1xy x y x y x y .(Ovidiu Bdescu, Ol. Cara Severin,

2004)204. Dac , ,x y x sunt numere strict pozitive, cu 1x y z+ + = , artai c

2x yz y zx z xy+ + + + + .

(Tudorel Lupu, Ol. Constana, 2004)205. S se determine toate mulimile finite A de numere naturale care au

proprietatea: ( ),x y A xy x A .

(Ol. Dolj, 2004)206. S se determine funciile strit cresctoare { } { }: 1, 2,...,10 1, 2,...,10f care

au proprietatea c( )x y+ divide

( ) ( )( ) { }, , 1,2,...,10x f x y f y x y + .

(ON 2004)207. Dac , 0a b > i 1a b+ = determinai minimul expresiei

1 1

1 1E

a b= +

.

(Shorlist, ON 2004)

208. Dac , ,a b c i 2 2 2 3a b c+ + = , artai c 4a b c abc+ + .


25/60

25

(V. Nicula, OJ, 2004)

209. a) Artai c dac , ,a b c i 6a b c+ + = , atunci 2 2 2 12a b c+ + .

b) Rezolvai n ecuaia 3 3 2 4 2 5 6x y y x x y + + + + + = .

(Petrior Neagoe, OL Bihor, 2006)210. Determinai numerele raionale x i y pentru care exist ,m n astfel

nct x y m+ = i1 1

nx y

+ = .

(Nicolae Dragomir, Tudor Diaconu, OL Bihor, 2006)211. Pentru orice funcie :f i orice numr natural m notm

( ){ }mA x f x m= = . Spunem c o funcie :f este o funcie simpl dac

pentru orice m , mulimea mA are cel mult dou elemente.a) Demonstrai c nu exist funcii simple f cu proprietatea c

( ) ( ) 1,xf x f x x x+ = + .

b) Determinai funciile simple f care satisfac: ( ) ( ) ( )1 1,xf x x f x x x+ = + .

(Lucian Dragomir, OL Bihor, 2006)212. Pe laturile ( ) ( ) ( ), ,AB BC CA ale triunghiului ABC se consider punctele

, ,M N P astfel nct AM BN CP= = . Demonstrai c dac triughiurile ABCi MNP auacelai centru de greutate, atunci tringhiul ABC este echilateral..

(Nicolae Stniloiu, OL. Bihor, 2006)

213. Dac ( ), , 0,x y z i 1xyz = , attai c

1 1 1

31 1 1

xy yz xz

z x y

+ + +

+ + + + + .(OL. Iai, 2006)

214. Fie ( ), , 0,x y z . S se demonstreze inegalitatea

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 xy yz zxx yz y zx z xy

+ + + +

+ + + .

(Traian Tmian, OJ 2006)215. Pentru fiecare , 2n n notam cu ( )p n cel mai mare numr prim mai

mic sau egal cu n i ( )q n cel mai mic numr prim mai mare strict ca n . Artai c

( ) ( )1

1 1

2

n

kp k q k

=


26/60

26

a) ( )0 f ;

b) ( )( ) *1 1 ,f f n n n + = .(Dan Comnescu,Concurs Traian Lalescu 2004)

218. Cele 2n ptrele ale unui dreptunghi de dimensiuni 2 n se coloreaz cutrei culori. Spunem c o culoare are o tietur dac pe una din cele n coloaneavem dou ptrate de aceeai culoare. S se determine:a) numrul colorrilor fr tieturi;b) numrul colorrilor cu o singur tietur.

(Daniela Inoan, OJ 2007)219. Se consider triunghiul ABCi punctele

( ) ( ) ( ) ( ), , ,M AB N BC P CA R MN , ( ) ( ),S NP T PM astfel nct

AM BN CPMB NC PA

= = = i 1MR NS PTRN SP TM

= = = cu ( )0,1 .

a) S se arate c ~STR ABC ;b) S se determine valoarea parametrului pentru care aria triunghiului STR esteminim.

(Marian Teler, OJ. 2007)

220. S se determine funciile * *:f pentru care ( )2x f y+ divide

( )2f x y+ pentru orice *,x y .

(Lucian Dragomir, OJ 2007)

221. Se consider funcia :f care satisface simultan urmtoarele proprieti:

a) ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y = ;

b) 1(3 ) 3 ,k kf k= .

Calculai (2007)f .Lucian Dragomir, GM, Concurs RMCS, 2007, clasa a VIII a

222. Studiai dac exist funcii strict monotone :f care satisfac

( ) ( )21

3 2 1 ,4

xf f x x + .

Concurs RMCS, 2007

223. Se consider mulimile { }2/ 3 0A x x x m= + = i }2/ 4 0B x x x m= + = .Determinai m tiind c exist ,a b A B astfel nct 3.a b+ =

Lucian Dragomir, Concurs RMCS, 2008


27/60

27

224. Se noteaz cuMmijlocul laturii (BC) a unui triunghi ascuitunghicABC, iar

proieciile luiMpeAB iACse noteaz cu P, respectiv Q. Artai c6

A = daci

numai dac ( )4 MP MQ AB AC + = + .

Concurs RMCS, 2008

225. Determinai numerele naturale nenule a, b, c pentru care1 1 1

1a b c

+ + i

32

3

a b

b c

+=

+.

Lucian Dragomir, Concurs RMCS, 2009, clasa a VII a226. Demonstrai c, dac [ ], 1;3x y i 4x y = , atunci

2 22 2 3

4 4

x y

y y x x +

.

Ovidiu Bdescu, Concurs RMCS, 2009227. Numerele 9, 25 i 49 sunt termeni ai unei progresii aritmetice cu raia strict pozitiv.Demonstrai c numrul 2009 este deasemenea termen al acestei progresii.

Concurs RMCS, 2009228. Determinai funciile :f care satisfac :a) ( ) ( ) ( ) 2 , ,f n m f n f m mn m n+ = + + ;b) ( )f n este ptrat perfect, pentru orice n .

Marcel Chiri, Marian Andronache, OL Bucureti

229. Artai c, dac , , 0a b c > i 1abc = , atunci2 2 2

1 1 1 32( ) ( ) ( )a b c b c a c a b

+ + + + +

.

Daniel Drimbe, Marius Cicorta, OL Bihor, 2008230. DacA este o mulime cu cel puin trei elemente i care are proprietatea c,pentru orice dou elemente distincte ,x y A , avem i ( )x y+ , demonstrai c

A .OL Bucureti, 2008

231. Artai c, dac , , 0a b c > i 1a b c+ + = , atunci1 1

31 8

ab

c a

+

.

OL Iai, 2008

232. Se consider mulimea { }1,2,3,...,98A = . Artai c, oricum am alege 50 deelemente ale mulimii considerate, exist dou printre ele care au suma cub perfect.

Gabriel Popa, OL Iai, 2008

233. a) Artai c, dac , 0x y > i 1xy = , atunci 2 24 3( )x y x y+ + + ;

b) Dac , , , 0a b c d > satisfac 1abcd= , artai c:

( )( )2 2 2 28 3( )( )a b c d a b c d + + + + + .


28/60

28

Andrei Eckstein, Concurs T.Lalescu, 2008

234. Fie k fixat i numerele reale nenule a, b, c pentru care b kc c ka a kba b c

+ + += = .

Determinai mulimea valorilor expresiei( )

3a b c

Eabc

+ += .

Andrei Eckstein, Concurs T.Lalescu, 2008

235. Determinai funciile :f pentru care (1) 1f = i

( ) ( ) ( ) , ,f n m f n f m nm n m + = + + .Mihai Chi

236. Fie ( ) 1n na un ir de numere reale cu proprietatea c 1 1 ,n na a n

+ , iar

( ) 1n nb un ir definit prin1 2 ... , 1nn

a a ab nn

+ + += . Demonstrai c :

11

, 12n n

b b n+ .

Dan tefan Marinescu, Viorel Cornea, OJ 2008237. Se consider mulimea { }1,2,3,..., , , 6A n n n= . Artai cA este reuniunea a

trei mulimi disjuncte dou cte dou, cu acelai cardinal i aceeai sum a elementelor,daci numai dacn este multiplu de 3.

OJ 2008238. FieABCD un patrulater inscriptibil. Se noteaz cu P punctul de intersecie adreptelorAD iBC, iar cu Q se noteaz punctul de intersecie a dreptelorAB i CD. FieEal patrulea vrf al paralelogramuluiABCEi Fintersecia dreptelor CEi PQ.Demonstrai c puncteleD, E , Fi Q sunt conciclice.

OJ 2008

239. Determinai funciile :f pentru care ( )2 ( ) ( ) , ,f x f y xf x y x y+ = + .Lucian Dragomir, ON 2008

240. Artai c:1 1 1 1 1 1

1 ... ( 1) ... ,2 3 2 3 1

n n nn n

+ + + + + + + +

+ .

Lucian Dragomir, OJ 2008, clasa a VII a241. O succesiune de patru cifre zecimale pare n care nici o cifr nu apare de trei saupatru ori se numete succesiune admisibil.

a) Determinai numrul de succesiuni admisibile ;b) Pentru fiecare numr natural , 2n n , notm cu nd numrul de posibiliti de a

completa un tablou cu n linii i 4 coloane cu cifre pare, respectnd condiiile urmtoare :( i ) fiecare linie este o succesiune admisibil;( ii ) succesiunea admisibil 2, 0, 0, 8 ocup o singur linie a tabloului.


29/60

29

Determinai valorile lui n pentru care1n

n

d

d

+

este numr ntreg.Lucian Dragomir, Nicolae Stniloiu, ONM 2008, clasa a VIII a

242. Pe laturileAB iACale triunghiuluiABCse consider puncteleD i respectivE

astfel nct 0DA DB EA EC+ + + =

. DacTeste intersecia dreptelorDCiBE,

determinai numrul real pentru care TB TC TA+ =

.OJ 2009, Gazeta Matematic

243. Determinai funciile :f pentru care

( ) ( ) 2 ( ),

2 ( ) ( ) ( )

f x y f x y f x

x f y f x y f y

+ + +=

+ + +pentru orice ,x y .

Lucian Dragomir, OJ 2009244. Determinai numerele naturale n care satisfac simultan proprietile:

a)9

n

este un numr natural de trei cifre, toate cele trei cifre fiind egale;

b)36

4

n +

este un numr natural de patru cifre, cifrele fiind 2, 0, 0, 9, nu neaprat n

aceast ordine.Lucian Dragomir, ONM 2009, clasa a VIII a

245. Se consider un ir ( ) 1n na de numere reale, definit prin 1 21

,1

nn

n

aa n

a

+

+=

+ .

Artai c, dac ( )1 0,2a , atunci 11

1 ,2n na n

+ .

Lucian Dragomir, Shortlist ONM, 2009

246. Determinai numerele ntregix,y,z,tpentru care 13tx y z + + = i 2 2 2 3x y z t+ + = .Adriana i Lucian Dragomir

247. Artai c un triunghi cu lungimile laturilor a, b, c , cu perimetrul egal cu 3 i n care

3a b c b c a c a b+ + + + + = , este echilateral.Adriana i Lucian Dragomir

248. Se consider o funcie :f care satisface urmtoarele proprieti:a) ( ) ( ) ( ) , ,f xy f x f y x y= + ;b) ( ) 0f n = pentru orice n care are suma cifrelor egal cu 10.

Calculai (2009).f Adriana i Lucian Dragomir

249. Determinai funciile :f cu proprietatea c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y f xy f x f y x y+ + = + + .

Lucian Dragomir


30/60

30

250. Un numr de ase cifre ( n scriere zecimal) se numete olimpic dac patru dintre

cifrele sale sunt 2, 0, 0, 9. Determinai cte numere olimpice au produsul cifrelor nenuleegal cu 72.

Adriana i Lucian Dragomir, Concurs TM Mate Internaional, 2009

Clasa a X a

1. Artai c dac , ,a b c astfel nct 33 33 4 5 0a b c+ + = ,atunci 0.a b c= = =

2. Artai c dac , 3n n ,atunci este adevrat inegalitatea 1 1 .n nn n+ +

3. Determinai x pentru care are loc egalitatea ( ) 53 1 8 3 2 .x xx x x x =

C.Ottescu,L.Pran,OJ 1973

4. Artai c 3 39 5 9 5 3a a+ + + = daci numai dac { }4, 4 .a

Olimpiad Timi 2000

5. Determinai , , 1, 0a b a b > pentru care ecuaia2

3 3

2

1x ba x a x

x b

+ ++ + =

+

are

soluii reale.Olimpiad Constana 2001

6. Dac *, ,a b c + ,artai c 32 3 6.a b c

b c a+ +

Olimpiad Suceava 2001

7. Ordonai cresctor numerele 3 33 3 33 4, 2 5, 1 6.a b c= + = + = + Olimpiad Teleorman 2001

8. Rezolvai ecuaia 3 32 23 7 1 8 8 1 2.x x x x x+ + + + = Gheorghe Andrei,OL Constana 2002

9. Determinai numerele realexiy care satisfac :

3 4

3 4

1

513

x y

x y

= +

+ =

Gheorghe Ciorscu,OL Neam 200310. Artai c pentru orice numere reale pozitive ai b este adevrat inegalitatea :

3 3 31 1

2( )a b

a bb a a b

+ + +

.

Concurs Grigore Moisil 2003


31/60

31

11. Fie3 3 3

2 2 ... 2 6 6 ... 6nE = + + + + + + + , unde am considerat nradicali, *.n a) Calculai [ ];nE b) Artai c{ }

1.

5nE >

Gheorghe Andrei,OL Constana 200412. Determinai perechea ( , )x y de numere reale pentru care avem:

2 2 11 2 , pentru 0

0 , pentru 0n n nn

a ax a y a

a

++

+ + + = > rezolvai ecuaia

22 3 2 2.x x xA B ++ = C.Oprian, ON 1974

15. Fie , 0, .a b c ab> = Rezolvai ecuaia : 2 .x x xa b c= + OJ 1975

16. Exist numere iraionale ai b pentru care ba ?Laureniu Panaitopol, ON 1975

17. Rezolvai ecuaia :2 2

1 1 1, 0, 1.

2log 2log logx a x a x a

a aa a a

+

+ = >

P.Toma, OJ 197618. Artai c funcia : , ( ) 6 4 3 2 8x x xf f x = + nu este injectiv.

Gazeta Matematic

19. Rezolvai inecuaia : 4 2log ( 2) log 1.x xx + < OJ 1981

20. Rezolvai inecuaia : ( ) ( )3 2 2 1 6 2 1 .x x

+

Ion Chec , OL Clrai 1984

21. Rezolvai sistemul de ecuaii:2 2

2 2

ln

2 3 2 9

yx y

x

x xy y

=

+ =

.

Mircea Ganga , OL Prahova 1986

22. Artai c : 2ln ln ln ( ), , , 1, 1.x y x y x y x y < + > >

Mircea Ganga , OL Prahova 198423. Artai c pentru orice n natural nenul este adevrat inegalitatea

3lg( 1) lg .

10n n

n+ > +


32/60

32

Folosind eventual acest rezultat , artai c

3 1 1 1

lg( !) ... .10 2 3

n

n n

> + + +

OJ 1981

24. Determinai ,x y care satisfac 33 1.x y = Titu Andreescu, OJ 1982

25. Dac ( )0,1a este un numr fixat,rezolvai ecuaia .x a

a xx a=

I.V.Maftei,Titu Andreescu, OJ 1983

26. Determinai numerele reale strict pozitive 1 2 3, , , ,..., nx x x x x pentru care este adevrat

egalitatea1 1 1

lg( ) lg lg .n n n

k kkk k k

xx x x

x= = = + =

Adrian Ghioca , OJ 198327. Determinai minimul expresiei

1 22 3 11 1 1

log log ... log4 4 4nx x x

E x x x

= + + +

,

dac 1 2 31

, , ,..., ,1 .4n

x x x x

Titu Andreescu, ON 1983

28. Dac :f este o funcie cresctoare cu proprietatea c

( ( )) 2 ,xf f x x= ,artai c exist a astfel nct ( ) 0.f a < Marcel Chiri, OJ 1985

29. Rezolvai ecuaia : 4 9 16 6 8 12 .x x x x x x+ + = + + Marcel Chiri,OL Giurgiu 1985

30. Rezolvai sistemul de ecuaii:3 2log log 2

3 2 23x yx y+ =

=

I.V.Maftei,S.Rdulescu, OJ 1986

31. Rezolvai ecuaia 8 27 64 125 24 30 40 60x x x x x x x x+ + + = + + + I.V.Maftei, ON 1986

32. Rezolvai ecuaia :

1

12 2 3.x x + = Marius Cavachi,OL Dolj 1989

33. Rezolvai ecuaia : 22 3 6 .x x x x+ + = Laureniu Panaitopol, OJ 1990

34. Artai c funcia * 1: {1} , ( ) logxf f x x+ = este strict cresctoare.Mihai Dicu, OL Dolj 1985


33/60

33

35. Rezolvai sistemul :

1 2

1 2

1 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

x y x

y z y

z x z

+ +

+ +

+ +

= +

= +

= +

.

V.Constantin , OL Suceava

36. Determinai funciile ( ): 0,f care satisfac simultan condiiile:

a) ( ) ln , 0;f x x x > b) ( ) ( ) ( ), , 0.f xy f x f y x y + >

OL Botoani 199437. Dac 0, 1,a a> artai c nu exist funcii ( ): 0,f care satisfac

( ( )) , .xf f x a x= Mihai Chi,Concurs Traian Lalescu 1994

38. Dac numerele }, , , 1 , , , ,a b c d x y z t + satisfac

, , , ,x y z ta bcd b cda c dab d abc= = = = artai c1 1 1 1

( )1 1 1 1x y z t

+ + + + + + +

.

Florin Rotaru,OJ Clrai 1993

39. Fie ( ), , 0,1 , , ,a b c x y z care satisfac , , .x y za bc b ca c ab= = = Artai c:

6.x y z+ + OJ Sibiu 1996

40. Rezolvai ecuaia : 2 2log log 0.a xx a

a x a x+ =

+ +

Constantin Caragea,OJ Constana 1996

41. Rezolvai ecuaia : 2 4 62 4 6 .x x x

+ = Gheorghe Silberberg,OJ Timi 1991

42. Rezolvai ecuaia :212 2 3.x x+ =

Marian Andronache,Marcel Chiri, OJ Bucureti 1991

43. Rezolvai ecuaia : 3 2log log (1 ).x x= + OJ Botoani 1994

44. Rezolvai ecuaia : 5 9log ( 1) log ( 3)9 5 4.x x + = Mircea Ganga , OL Prahova 1993

45. Rezolvai ecuaia :1

9 9 18.x x+ = Constantin Caragea,OJ Braov 1993

46. Rezolvai ecuaia : 7 211 3 2.x x = + OJ Botoani 1993

47. Rezolvai ecuaia : 1log 2(1 ) log 2 0.x xx x + =


34/60

34

Dinu erbnescu, OJ Bucureti 1996

48. Rezolvai ecuaia : 10 11 12 13 14 .x x x x x+ + = + OJ Arad 1993


22 2

1log (2 2) .

2

xx

x

++ =

+

OJ Bacu 1993

50. Rezolvai sistemul :

2 1

2 1

2 1

x

y

z

y

z

x

=

=

=

Dorel Mihe, OJ Timi

1995

51. Rezolvai sistemul :2

2

2

log 1

log 1

log 1

x y

y z

z x

=

= =

OJ Satu Mare

1996

52.Rezolvai sistemul :2 1 2 1 2 1

3 3 3

3 3 3 81

log (2 1) log (2 1) log (2 1) 3

x y z

x y z

+ + + + + =

+ + + + + =

Petre Nchil, OL Prahova 1992

53. Rezolvai ecuaia : 2log 3 1 .x x= +

Dorel Mihe, OJ Suceava 1991.54. Rezolvai ecuaia : ( ) ( )1 2 1 2 8, .

n nx x n+ + + =

Mihail Neacu, RMT 1987


12 2 4.xxx

x + =

Laureniu Panaitopol , baraj

56. Rezolvai ecuaia : [ ] { }2 2 2 3.x xx + + = erban Olteanu , OL Giuirgiu 1998

57. Rezolvai ecuaia :

44

11

2 2 8.

xxxx

++

+ = Ilie Neacu , OJ Bihor 199858. Rezolvai ecuaia : log ( 1) log ( 1), 0, 1.x ax a a a+ = + >

OJ Brila 1998

59. Rezolvai n * ecuaia 2 22 log (sin ).8n nn

=

OJ Cara-Severin 1998


35/60

35

60. Rezolvai ecuaia : 32 log ( 1)log3 2 1.xx + = Gheorghe Iurea , OJ Iai 1998

61. Rezolvai ecuaia : lg lg lg 248 60 64 .x x x x+ + = Aurel Doboan , OJ Timi 1998

62. Dac ( ) ( ), , 0,1 sau , , 1,a b c a b c ,artai clog ( ) log ( ) log ( )b c aab bc caa b c= = daci numai dac .a b c= =

Dan Negulescu , OL Brila 2000

63. Rezolvai ecuaia : ( )3 2lg log .x x x+ = Marcel Chiri,Costel Chite, OL Bucureti 2000

64. Se consider numerele reale , , 1, log ( ), log ( ).a ba b a b A a b B b a> > = = Demonstrai c dac 2 2 3a b ab+ = ,atunci 2 .A B AB+ = Reciproca este adevrat ?

Dorel Mihe, OL Cara-Severin 2000

65. Rezolvai ecuaia : 3 4 5 6 3.x x x x x+ + = + Petre Nchil , OL Prahova 2000

66. S se rezolve ecuaia : ( )44 2log 4 5 .1x

x xx

+ =+

Lucian Dragomir, RMT 2004

67. Rezolvai sistemul : ( )( )1 1 1

9 9 9 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

x y z x y z

x y y z z x x y z

+ + + + + +

+ + + + =

+ + = + +

Valentin Matrosenco, OJ Arge 2000

68. Rezolvai ecuaia : 2 12 1 2 23 8 36.xx x ++ + = Marcel Chiri, OJ Arge 2000

69. Rezolvai n mulimea numerelor ntregi ecuaia 9 3 36 .x x x = Dan Negulescu , OJ Brila 2000

70. Rezolvai sistemul de ecuaii : 2 33 2

log log (1 )

log (1 ) log

x y

x y

= +

+ =

Gheorghe Pantelimon , OJ Clrai 2000

71. Fie*

n .Rezolvai n mulimea numerelor ntregi ecuaia2

25 5 .n n

x x+ = + Marcel Chiri , OJ Neam 2000

72. Rezolvai ecuaia : 2 23 32 1, .2

x x

x

x xx

+ =

Sorin Rdulescu , OL Bucureti 200173. Artai c numerele 2 31.log 3,log 2 nu pot fi termeni ai unei aceleeai progresii

aritmetice.Traian Du,OL Braov 2001


36/60

36

74. Rezolvai ecuaia : 32 log 2log 3(2 ) (3 ) 1.x x+ + = Dan Negulescu,OL Brila 2001

75. Rezolvai sistemul : 2 22 22 2

2 2

log log (1 ) 2

log log (1 ) 2

x y

y x

+ =

+ =

Nelu Chichirim, OL Constana 200176. Rezolvai ecuaia

: 2 31 1 1

log ( 1) log ( 1) ... log ( 1) ( 1) ...2 3

x x x

nx x x nn

+ + + + + + + = + + +

OL Hunedoara 200177. Dac , 1a a > ,artai c log ( 1) .a a +

Manuela Prajea, OL Mehedini 2001


lg lg22 8 ( 8) .x x+ = Daniel Jinga, OJ 2001

79. Rezolvai ecuaia : 3 5 2 2 4 .x x x x+ = + + Marian Ionescu, OL Arge 2002

80. Rezolvai ecuaia : 2 2sin cos2 2 cos 2 .x x x = Traian Tmian, OL Brila 2002

81. Rezolvai n numere ntregi sistemul : 2 22 2 2

x y

x y

y x

xy

=

+ =

Lucian Dragomir, OL Cara-Severin 2002

82. Rezolvai sistemul :4 18 3 98 0

9 8 2 49 0

4 16 2 112 0

x y

y z

z x

+ =

=

+

Paul Biatu, OL Giurgiu 2002

83. Dac ( ), , 1,a b c ,artai c 4 4 4log log log log log log .a b c a b cb c a b c a+ + + + Stelua i Mihai Monea, OL Hunedoara 2002

84. Rezolvai ecuaia : 3 614 64log ( ) log .x x x x+ + = Aurel Doboan , OL Sibiu 2002

85. Fie a i b dou numere reale care satisfac 3 13 17a b a+ = i 5 17 11 .a b b+ = Artai c .a b<

Cristinel Mortici , OJ 2002

86. Demonstrai inegalitatea : 22 2 22 3log 3 log 4 ...log ( 1) .1nn

nn

+ + + +

Augustin Drgan, OL Bihor 2003


37/60

37

87. Rezolvai ecuaia : 2log 3 23log 2 .x x x = Aurel Brsan, OL Braov 2003

88. Determinai a pentru care ecuaia 2 21 12

12 2

1x x a a

a

+ ++ =

+are soluii ntregi.

Petru Rducanu, OL Iai 2003

89. Rezolvai ecuaia : 2 14 1 4 .2

x x+ =

OL Mehedini 2003

90. Artai c ! 1 1log , , 2.2nn

n nn

+>

OL Mehedini 2003

91. Artai c exist o infinitate de triplete ( )( , , ), , , 1,x y z x y z pentru carelog log log 3.

2 2 2x y xy z z x x y+ + +

+ + =

OL Olt 2003

92. Rezolvai ecuaia : 2 4 32

2 .3

x xxtgx

+=

+

Dan Popescu , OL Suceava 200393. Se consider numerele reale 1, pentru care .a c d b ab cd > > > > > Artai c funcia

[ ): 0, , ( ) x x x xf f x a b c d = + este strict cresctoare.Cristinel Mortici , OJ 2003

94. Rezolvai ecuaia :1 1

4 4 2 2 2 .x xx x + = +

Nelu Chichirim , OL Constana 2004

95. Dac ( ), , 1,a b c ,artai c : 2 2 2log log log 9 .8( )

ab bc cac a b

a b b c c a a b c+ +

+ + + + +

Marius Ghergu , OL Dolj 2004

96. a) Demonstrai c : 23 3 5log 7 log 11 log 10. > b) Rezolvai ecuaia : 9 ( 3) 3 2 4 ( 1) 2 .x x x xx x x+ + = + +

Nicolae Papacu , OL Bucureti 2005

97. Rezolvai ecuaia: 33 3 33 2 6 2 2 4 3 2 4 2 2 6.x x x x + = + Marcel Chiri , OL Bucureti 2005

98. Rezolvai ecuaia : 2log 2log 2 0.ax a x x + = Dan Popescu , OL Suceava 2005


38/60

38

99. Rezolvai sistemul : 2 2 23

2 2 2 6x y z

x y z+ + =

+ + =

Laureniu Panaitopol,concurs 2005

100. Rezolvai sistemul :3 5

1 13 5

log log 2

3 5 118

log log 0

y x

x y

x

+ =

Vasile Berinde,Concurs Grigore Moisil 2005

101. Artai c pentru orice n exist( )1,x astfel nct

[ ] [ ]log 3 log 2 .

x xn =

Gheorghe Iurea, ON 1993

102. Rezolvai n mulimea numerelor complexe sistemul :2

2

2

x y z

y z x

z x y

=

=

=

Marius Burtea , OL Teleorman

103. Fie *, ,a b c ,distincte dou cte dou.Artai c dac2 2 2, , ,a bc b ca c ab= = = atunci a,b,c sunt afixele vrfurilor unui triunghi echilateral.

Constantin Cocea , OL Iai 1990

104. Fie , ,a b c astfel nct Im( ) Im( ) Im( ) 0.ab bc ca= = Artai c:( )2 2 2 2 2 23 .a b b c c a a b c + + = + +

Marian Andronache,OL Bucureti 1988

105. Fie 2 2cos sin .3 3

i

= + Artai c dacz satisface 1z i

2 1,z atunci 1.z

Constantin Cocea , OL Iai 1987

106. Fie , ,a b c .Artai c dac 2Re( ) 0, , atunci 0.az bz c z a b+ + = = Jenic Crnganu, OL Galai

107. Dac 1 2... nA A A este un poligon regulat nscris n cercul1 1(0,1), ( , ( )C M OA A OM ,artai c :

1

1.

n

kk

n

MA OM=

>

Mihai Piticari , Test tabr naional 1983108. Fie , ,a b c ,nu toate reale,astfel nct 1a b c= = = i (2( ) 3 )a b c abc+ + .


39/60

39

Artai c : { }max arg ,arg ,arg .6a b c

Titu Andreescu,Test tabr naional 1986

109. Fie *, , cu .a b c a b c = = Artai c: ( ) 1 1 10 9.a b ca b c

+ + + +

Gheorghe Andrei , OL Constana 1985

110. Fie 1 2 3, ,z z z ,disincte,astfel nct 23 2 1 3 2 1( ) ( ) 0,z z z z z z + + = unde2 2

cos sin .3 3

i

= + Artai c numerele complexe

1 2 3 2 3 1 1 3 2, ,z z z z z z z z z+ + + sunt afixele vrfurilor unui triunghi echilateral.

OL Constana 1987111. Se consider numerele complexe nereale a,b,p,q astfel nct

2 2, , .a b p q a b= = Artai c ecuaia ( ) ( ) *0,nn

p az b q az b n+ + + = are

toate rdcinile reale.Silviu Boga, OJ Suceava 1993

112. Fie , ,a b c afixele vrfurilor unui triunghi ABC.Notnd ,u a b v c b= = ,artaic triunghiul ABC este dreptunghic n A daci numai dac Re( ) 0.u v =

Dan tefan Marinescu , OL Hunedoara 1994113. Artai c dac z este un numr complex cu modulul 1 , atunci

2 133 1 1 .4

z z z + + +

Ovidiu Pop , OJ Satu Mare 1996114. Fie , ,x y z astfel nct 3, 4, 5, 0.x y z x y z= = = + + =

a) Artai c 2 216 9 0;x y+ = b) Determinai lungimile laturilor triunghiului ale crui vrfuri au afixele x , y , z .

Laureniu Panaitopol , OL Bucureti 1995

115. Fie *, cu .a b a b a b + = = Calculai .ba

Bogdan Enescu , OJ Brila 1995

116. Se consider ecuaia 2 0, , , 0.az bz c a b a+ + = Artai c dac ( ) 1f i < ,atunciecuaia nu are rdcini reale.

Gheorghe Andrei , OL Constana 1991117. Demonstrai c numerele complexe distincte 1 2 3, ,z z z sunt afixele vrfurilor unui

triunghi dreptunghic daci numai dac ( )( ) ( )( )1 2 1 3 1 2 1 3 0.z z z z z z z z + = Gheorghe Andrei , OL Constana 1994

118. Fie 1 2 3, ,z z z .Dac *1 2 3 2 1 3 3 1 2, ,z z z z z z z z z + ,artai c punctele de afixe1 2 3, ,z z z sunt colineare.


40/60

40

Constantin Caragea , OL Constana 1995

119. Artai c dac *n ,atunci1

sin .2n n

1 2 1 2... ... .n nMA MA MA OA OA OA+ + + + + +

Marius Cavachi , OJ Constana 1993

120. Fie 1 2... nA A A un poligon cu proprietatea c exist un punct O n planul su astfelnct 1 2 2 3 1 1

2( ) ( ) ... ( ) ( ) .n n nm A OA m A OA m A OA m A OA

n

= = = = = Artai c

pentru orice punct M din planul poligonului exist inegalitateaCristinel Mortici , OL Constana 1998

121.

Fie 1 2 3, ,z z z

,distincte dou cte doui avnd acelai modul.S se arate cdac 1 2 3 2 1 3 3 1 2, ,z z z z z z z z z+ + + sunt reale ,atunci 1 2 3 1.z z z =

Laureniu Panaitopol , OJ 1979

122. Fie *1 2 3 1 2 3, , , .z z z z z z = = a) Artai c exist numerele complexe a , b astfel nct

2 1 3 1, , 1.z az z bz a b= = = =

b) Rezolvai n raport cu una dintre necunoscutele a i b ecuaia2 2 1 0.a b ab a b+ + =

c) Folosind eventual rezultatele anterioare,artai c dac2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z+ + = + + ,atunci 1 2 3z z z= = sau imaginile

geometrice ale numerelor 1 2 3, ,z z z sunt vrfurile unui triunghi echilateral.Ioan Tomescu , OJ 1982

123. Fie 1 2 3 1 2 3 3 2, , , , .z z z z z z r z z = = = Artai c :1 2 1 3

2 3 1min (1 ) .2a

z z z zaz a z z

r

+ =

Dorin Andrica , ON 1983

124. Fie ecuaia 2 0, , ,ax bx c a b c+ + = astfel nct :arg arg 2arg , .a c b a c b+ = + = Artai c cel puin o rdcin a ecuaiei are

modulul 1.Laureniu Panaitopol , OJ 1973

125. Fie , ,a b c afixele vrfurilor unui triunghi ABC.Artai c ABC este echilateraldaci numai dac ecuaia 2 0az bz c+ + = are fie rdcina

1 22 2 4 4

cos sin fie cos sin .3 3 3 3

z i z i

= + = +

OJ 1985

126. Fie 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3, , cu 0, 0z z z z z z z z z + + + + = i 1 2 3 1.z z z= = =


41/60

41

Artai c : 1 2 3 2.z z z+ + =

Florin Vulpescu-Jalea , ON 1985127. Artai c nu exist trei numere 1 2 3, ,z z z cu 1 2 3 1z z z= = = care s verifice

relaia : 3 3 31 2 3 1 2 33 (2 2 ).z z z i z z z+ + = + + I.V.Maftei,S.Rdulescu , OJ 1986

128. Fie A o submulime a mulimii numerelor complexe cu proprietile :a) A conine orice numr , cu 1;z z = b) Pentru orice 1 2,z z A avem 1 2 .z z A+

Artai c .A = Marcel ena , ON 1986

129. Fie *1 2, ,..., nz z z avnd acelai modul. Artai c numrul1 1

n n

j

kj k

zz

= =

are partea

real nul daci numai dac1

0.n

k

k

z

=

=

OJ 1987

130. Fie 2p > un numr prim i 2 2, cos sin .z z ip p

= + Determinai numerele

raionale 0 1 2, ,..., pa a a pentru care2

0 1 21

... .1

ppa a z a z

z

= + + +

Mircea Becheanu,Laureniu Panaitopol, ON 1987

131. Fie 2n > un numr natural i { }1 cu 1.nz z = a) Artai c 21 ;

1z

n >

b) Artai c pentru orice k , k nedivizibil cu n , are loc inegalitatea1

sin .1

k

n n

>

Mircea Becheanu , OJ 1988

132. Fie , , , 2x y n n astfel nct 2 2nx y = i .n nx y x y= = + Artai c .x y=

Maria Elena Panaitopol , OL Bucureti 1998

133. Fie ABC un triunghi ntr-un sistem de axe de coordonate cu originea n centrulcercului circumscris triunghiului . Dac a , b ,c sunt afixele vrfurilor triunghiului dat, artai c :

3a b b c c a R+ + + + + ,unde R este raza cercului circumscris triunghiului

dat.OL Vaslui 1998


42/60

42

134. Fie 1 2 3, , cuz z z 1 2 3 1z z z= = = i 1 2 3 1.z z z+ + = Artai c :3 3 3

1 2 3 1, .n n n

z z z n+ + = OJ Harghita , 1998

135. Determinai numerele complexe z tiind c exist un numr natural 2n pentrucare are loc egalitatea

1 12.n

nz z

z z+ = + =

Octavian Purcaru , OJ Orahova 1998136. Dac , , cu 0a b c a b c R = = = > ,artai c

12a b c b c a c a b r + + + + + ,unde r este raza cercului nscris n triunghiul

cu vrfurile de afixe a , b , c .

OJ Satu-Mare , 1998137. Dac 1 2 3 4, , ,z z z z sunt distincte i satisfac egalitile :

1 3 2 4z z z z+ = + , 1 3 2 4z iz z iz+ = + , artai c existz astfel nct

1 2 3 4 .z z z z z z z z = = =

OJ Timi , 1998

138. Artai c dac 2, 1 2 1z z z + = + ,atunci 7.z

Virgil Nicula , OL Cluj 2000139. Determinai numerele 1 2 8, ,...,z z z tiind c

2 1 3 2 8 7 1 81 , 1 ,..., 1 , 1 .z iz z iz z iz z iz= + = + = + = +

Dan tefan Marinescu,Ioan erdean, OL Hunedoara 2000

140. Fie *1 2 3, , cuz z z 1 2 3z z z= = i 1 2 2 3 3 1z z zz z z+ = + = + .Artai c :1 2 2 3 3 1z z z .z z z = =

Viorel Cornea , OL Hunedoara 2000

141. Fie .z Artai c : 22

1 12 2.z z

z z+ +

Virgil Nicula , Marcel Chiri, OJ Arge 2000

142. Fie *,a b i 1 2,z z rdcinile ecuaiei 2 0.x ax b+ + = Artai c2

1 2az zb

= i 20 4.ab

<

OJ Bucureti 2000143. Demonstrai c pentru orice , 2n n i orice z are loc inegalitatea :

Re Im .n n nz z z +

Mircea Berca , OJ Giurgiu 2000

144. Fie 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3, , cu 0, 0z z z z z z z z z + + + + = i 1 2 3 1.z z z= = =


43/60

43

Artai c : 3 3 3

1 2 31.z z z+ + =

Gheorghe Szllsy , OJ Hunedoara 2000145. Fie M o mulime de numere complexe cu proprietatea c pentru orice

, .x

x y M My

Artai c dac mulimea M are n elemente , atunci M este mul imea

rdcinilor de ordinul n ale unitii.OJ Maramure , 2000

146. Fie 1 2 3, ,z z z afixele vrfurilor triunghiului ABC i 1 2 3, .a a z z z + + Artaic dac punctele M , N , P au afixele

2 2 21 1 2 3 2 2 1 3 3 3 2 1, , respectivz az z z z az z z z az z z , atunci triunghiurile ABC i

MNP sunt asemenea.Valentin Matrosenco,Marian Andronache , OL Bucureti 2001

147. Se consider patrulaterul convex ABCD cu ( ) ( )BC CD i punctul M situat deaceeai parte cu D fa de dreapta AB astfel nct ( ) ( ), ( ) ( ).AM BM m AMB m BCD =

tiind c 3AD MC= ,calculai ( ).m BCD Marian Andronache , OL Bucureti 2001

148. Fie { }/ 2 , .xA z z x i x= = + a) Artai c 1 2 3, ,z z z A astfel nct afixele lor s fie vrfurile unui triunghi

isoscel ;b) Artai c 1 2 3, ,z z z A afixele lor nu pot fi vrfurile unui triunghi

echilateral.Dan tefan Marinescu,Ioan erdean, OL Hunedoara 2001

149. a) Fie 1 2 1 2, cu 0z z z z + > i 1 2 .z z= Demonstrai c 1 2 0.z z > b) Rezolvai inecuaia 2 0, .z z z+

OL Timi 2001

150. Se spune c perechea de numere complexe ( ) * *1 2,z z are proprietatea (P) dacexist un numr real [ ]2,2a astfel nct 2 21 1 2 2 0.z az z z + = Artai c dac ( )1 2,z z

are proprietatea (P),atunci pentru orice numr natural n perechea ( )1 2,n nz z are aceast

proprietate.Dorin Andrica , OJ 2001

151. Se consider pentagonul inscriptibil ABCDE.Notm cu1 2 3 4 5, , , ,H H H H H ortocentrele triunghiurilor ABC,BCD,CDE,DEA,EAB i cu

1 2 3 4 5, , , ,M M M M M mijloacele laturilor DE,EA,AB,BC i respectiv CD.Artai c

dreptele 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5, , , ,H M H M H M H M H M sunt concurente.


44/60

44

Dinu erbnescu , OJ 2001

152. Fie *, ,a b c i { }/ 1 .D z z= Artai c dac pentru orice z D avem( )2az bz c D+ + ,atunci { }, , .a b c D

Manuela Prajea , OL Botoani 2002153. Rezolvai ecuaiile :

a) ,z a z b b a z + = ,unde a , b sunt numere reale fixate cu ;a b<

b) 1 2 3 4, .z z z z z+ + + =

Sorin Rdulescu,Petru Alexandrescu , OL Bucureti 2002

154. Numerele complexe distincte a , b , c sunt afixele vrfurilor unui triunghi dreptunghicisoscel ABC,cu unghiul drept A.Demonstrai c : ( ) ( )2 2 0.a b a c + = Reciproca esteadevrat ?

OL Buzu , 2002155. S se gseasc ecuaia dreptei pe care sunt situate imaginile geometrice ale

rdcinilor ecuaiei 2 22 1 2 0, .z iz ia a = Dan Brnzei , OL Cara-Severin 2002

156. Fie , 1.z z = a) Artai c *n : 2 3 2 2 11 1 ... 1 1 1n nz z z z n z+ + + + + + + + ;b) Artai c : sin 2 cos3 ... sin 2 cos(2 1) cosn n n + + + + + .

Dan tefan Marinescu , OL Hunedoara 2002

157. Rezolvai n mulimea numerelor complexe sistemul :( )( ) 3

( )( ) 3

( )( ) 3

x x y x z

y y x y z

z z x z y

=

= =

Mihai Piticari , OJ 2002158. Determinai locul geometric al punctelor M de afix z pentru care punctele A de afix 1

, M i N de afix 3z sunt coliniare.Adriana Caaran , OL Braov , 2003

159. Fie ABCD un patrulater convex i M mijlocul laturii (CD).DacAB BC AD= + iBM AM ,artai c // .BC AD

Laureniu Panaitopol , OL Bucureti 2003160. Fie a , b , c , d numere complexe de acelai modul astfel nct .a b c d + + = Artai c

unul dintre numerele a , b , c este egal cu d.Marcel ena , OL Bucureti 2003

161. Fie triunghiul ABC i punctele ( ) ( ) ( ), ,M BC N CA P AB astfel nct0, 1.

BM CN APk k

MC NA PB= = = > Artai c dac triunghiul MNP este echilateral,atunci i

triunghiul ABC este echilateral.


45/60

45

Cezar Corneliu-Stoica , OL Constana 2003

162. Fie triunghiul ABC i punctele ( ) ( ) ( ), ,M BC N CA P AB astfel nct.

BM CN AP

MC NA PB= = Artai c dac ortocentrele triunghiurilor ABC i MNP coincid,atunci

triunghiul ABC este echilateral.OL Hunedoara , 2003

163. Fie *, , , 0a b c a i 1 2,z z rdcinile ecuaiei 2 0.ax bx c+ + = Dac 1 2 1z z = ,artaic : 3 .b c a+

Petru Rducanu , OL Iai 2003164. Fie x , y , z afixele vrfurilor A , B , respectiv C ale unui triunghi ABC nscris n

cercul ( ,1).C O Artai c dac ( ) ( ) ( ) 0yz b c zx c a xy a b+ + + + + = ,atunci triunghiul ABC

este echilateral.Marian Ursrescu , OL Neam 2003

165. a) Dac ABC este un triunghi i M un punct n planul su,artai csin sin sin ;AM A BM B CM C +

b) Fie 1 1 1, ,A B C puncte pe laturile (BC),(AC),respectiv (AB) ale triunghiului ABCastfel

nct unghiurile triunghiului 1 1 1A B C sunt,n aceast ordine,de msuri , , . Artai c

1 sin sin .AA BC Dan tefan Marinescu , OJ 2003

166. Se consider hexagonul inscriptibil.ABCDEF Fie 1 2 3 4 5 6, , , , ,H H H H H H ortocentrele triunghiurilor, , , , , respectiv .ABC BCD CDE DEF EFA FAB Artai c dreptele

1 4 2 5 3 6, ,H H H H H H sunt concurente.

Mihai Monea , OL Hunedoara 2004

167. Fie , 0, .2

x y

Artai c dac egalitatea ( )cos sin cos sinn

x i y nx i ny+ = + este

adevrat pentru dou numere naturale consecutive,atunci este adevrat pentru toatenumerele naturale n .

Dinu erbnescu , OJ 2004

168. FieABCun triunghi cu 0( ) 90 .m A


46/60

46

170. Fie :f o funcie cu proprietatea : 2( ( )) 1, .f f x x x x= + Artai c:a) (1) 1;f =

b) funciile 2, : , ( ) ( ) 1f g g x x xf x = + nu sunt injective.

Dan Seclman , OL Dolj , 1983171. Determinai funciile injective :f care satisfac

( ( ) ) ( ) (0), , .f f x y f x y f x y+ = + +

** *172. Artai c nu exist funcii bijective ( ) ( ): 0, 0,f cu proprietatea c :

( )( ) ( ) , , 0, .f x f x y y x y+ + =

RMT 1981

173. Fie :f o funcie cu proprietatea : ( ) ( ) ( ), , .f x f y f x y x y= + Artai c : a)f nu este surjectiv ;b)f este injectiv daci numai dac *(0) 1, ( ) 1, .f f x x=

** *174. Fie :f astfel nct f este injectivi

( ) (1 ) ( ), , unde , .f x f x f ax b x a b = +

Artai c : a) 0;a = b) (1 ) 1;f b = c)f nu este surjectiv.

Maria Elena Panaitopol , OL Bucureti 1983175. Fie :f astfel nct ( )( ) , .f f x x x= Artai c :

a) f este bijectiv ;b) f nu este strict monoton ;c) (0) 0.f =

OL Prahova 1986

176. Exist funcii injective :f astfel nct 2 2 1( ) ( ) ,4

f x f x x ?

Titu Andreescu , ON 1981177. Fie :f A B o funcie.Demonstrai c urmtoarele afirmaii sunt echivalente :

a) f este injectiv ;b) oricare ar fi , , ( ) ( ) .E F A E F f E f F = =

Emil Moldoveanu, OL Bucureti 1985178. Fie :f , ,( )

3 ,

x xf x

x x

=

.Artai c f este inversabili precizai inversa

sa.OL Dmbovia 1987


47/60

47

179. a) Fie :g o funcie surjectivi :f o funcie astfel nct.f g g= Artai c 1 .f = R

b) Dac :g ,1 ,

( )0 ,

xg x

x

=

,artai c exist :f , 1f

Rastfel

nct .f g g= Dorel Mihe , OL Timi 1986

180. a) Determinai funciile injective :f cu proprietatea c .f f f= b) Determinai funciile surjective :g cu proprietatea c .g g g=

Florin Vulpescu-Jalea , OL Bucureti , 1987181. Fie , , , 0.a b c a

a)

Artai c

funcia

2

: , ( )f f x ax bx c = + +

nu este injectiv

pe ;

b) Artai c funcia 2: , ( )g g x ax bx c = + + este injectiv daci numaidac .

b

a

Florin Vulpescu-Jalea , OL Bucureti , 1989182. Artai c produsul a dou funcii bijective , :f g nu poate fi o funcie

bijectiv.Jenic Crnganu,OL Galai 1990

183. Artai c nu exist funcii injective care satisfac condiia2 2( ) ( ) 1 3 ( ), .f x f x f x x x+ +

OL Olt , 1998184. Fie ,a b numere reale strict pozitive i diferite de 1. Artai c exist o funcie

injectiv :f cu proprietatea c ( ) ( ) 0,x xf a f b x+ = daci numai dac.a b=

Romeo Ilie , OL Braov 1998

185. a) Fie 0, 1.a a> Artai c funcia (1 ) 1: , ( ) a xu u x a + = este strictdescresctoare pe ;

b) Dac , 0a b > ,rezolvai inecuaia 1 1 .x ax x bx a ba a b b a b + > + Valentin Matrosenco , OL Bucureti 1998

186.

Fie :f 0 funcie neinjectivi :g astfel nct( ) ( ( ) ), , .f x y g f x y x y+ = + Artai c f este periodic.OJ Brila , 1998

187. Fie 2: , ( ) 2 3, 1.x xf f x a a a+ = + > Artai c f este injectiv,determinai( )A f= i 1 : .f A +

OL Arad 2002


48/60

48

188. Fie a un numr real nenul fixat.Demonstrai c nu exist funcii injective:f cu proprietatea c 2( sin ) ( cos ) , .f a x f a x a x+ =

Lucian Dragomir , OL Cara-Severin 2002189. Fie { }( , ) / , .D x y x y= =

a) Artai c funcia : , ( , ) (3 2 ,4 3 ), ( , )f D D f x y x y x y x y D = + + estebijectiv

b) Pentru a,b,c,d se definete funcia: , ( , ) ( , ), ( , ) .g D D g x y ax by cx dy x y D = + + Stabilii condiii necesare i

suficiente pentru ca funcia g s fie :(i) injectiv ; (ii) bijectiv.

Alexandru Dinc , OL Dolj , 2002

190.

Fie , 0, , 1.a b a b> Se consider o funcie injectiv :f astfel nct funciadefinit prin : , ( ) (log ) (log )a bg g x f x f x = + este constant.Demonstrai c

1ab = i artai c exist funcii :f care satisfac cerinele enunului.Dan Popescu , Mihai Piticari , OL Suceava 2002

191. a) Folosind definiia, artai c funcia ( ): 0, , ( )1

xf f x

x =

+ este concav;

b) Demonstrai c dac ( )1 2, 2, , ,..., 0,nn n x x x astfel nct

1

11

1

n

kk

nx

=

+

,atunci1

1( 1).

n

kk

n nx

=

Lucian Tuescu , Concurs Gh.Dumitrescu 2005

192. Artai c orice funcie :f se poate scrie ca suma a dou funcii injective.Ion Savu , Concurs Arhimede 2005

193. Se consider funcia [ ]: , , , ( ) .f a b a b f x x a b x < = + Artai c f estecresctoare pe ,

2

a ba

+

i descresctoare pe , .2

a bb

+

Laureniu Panaitopol , ON 1975

194. Fiind dat un numr natural 2m ,artai c funcia { }: , ( ) 2nf f n m = esteinjectiv,{ }x reprezentnd partea fracionar a numrului real x.

Constantin Ni , OJ 1980

195. Dacai b sunt numere reale , artai c funcia : , ( )f f x x a x b = + + + nueste injectiv.

** *

196. Fief:AA, undeA = {a1, a2,..., an} *, cu a1 < a2


49/60

49

Artai c existk{1, 2,..., n} astfel nctf(ak) = a2.Cristinel Mortici, OL Constana. 1997

197. Fief: [0, 1] o funcie cu proprietile:(i) f(1) = 1;

(ii) f(x) 0,x [0, 1];(iii) Dacx,yix +y sunt din [0, 1], atuncif(x +y) f(x) +f(y).

Demonstrai c:f(x) 2x,x [0, 1].Olimpiad Irlanda

198. S se determine a, b astfel nct funciaf: [ ]0,3 ,

f(x) =

[ )

[ ]( ]

2

2

0,1

2 1,22,3

x x

x x

ax b x

+

s aib proprietatea c orice y [ ]0,8 este

imagineaprin f a unei singure valorix[ ]0,3 .

Ion Cuculescu, concurs 1976

199. Determinai funciilef: (1, ) care satisfac relaia

f(xyz) =xf(y) +yf(z) + +zf(x),x,y,z > 1.Dorel Mihe, concurs G.Moisil 1997

200. S se arate c nu exist funcii strict monotonef: cu proprietatea:f(a + b x) =f(a x) +f(x b),x, unde a, b suntfixate.

Lucian Dragomir, OJ Cara-Severin 1994

201. Determinai funciilef: pentru care avem

f(m2 +f(n)) =f2 (m) + n, m, n .Lucian Dragomir, OJ 2001

202. Gsiifunciilef: cu proprietatea:f(x) +f([ ]x ) +f({ }x ) = 2x,x.

Dorel Mihe, RMT 2000

203. Fie F o mulime fixat cu n elemente. Determinai cte mulimi E auproprietatea urmtoare: pentruf: EF,f(x) =x2 avemf(E) = F.

Adrian Ghioca, OJ 1985204. Fie E o mulime finit i f: E E o funcie cu proprietatea c

( )( ) , .f f x x x E= Demonstrai c dac Eare un numr impar de elemente, atunci

existk Eastfel nct ( )f k k= Gh. Ionescu, OJ 1977

205. Fie f: No funcie cresctoare cu proprietatea c existx astfel nctf(x)


50/60

50

S se arate c existy astfel nctf(y) =y.Marius Grjoab, OJ Sibiu 1994

206. S se determine n * astfel nct 1 2 ...x x x n + + + < x ,x n.Laureniu Panaitopol, concurs GM 1996

207. Fie ( ) ( ): 0, 0,f o funcie cu proprietatea c ( ) ( )2( ) , 0,f f x x x=

Artai c : a) f este bijectiv :

b) ( )( ) ( ), 0, .f x f x x=

Pal Dalyay , OJ 1982

208. Se consider funciile, 1

, :

Documents

enunturi probleme olimpiade clasele 9, 10 Dragomir.pdf