EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme

8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme

1/30

Liceul de Arta “Margareta Sterian”

Concursul interjudeţean de matematică „EPSILON”

2 aprilie 2011-BUZAU

Clasa a !a

"# Se dau numerele1 2 3 99

....2 3 4 100

A = + + + +

1 1 1 1

1 2 3 .... 992 3 4 100

B = + + + +

a) Demonstraţi că numărul A B+ ∈¥ b) Demonstraţi că numărul A B+ este divizibil cu 9.

$# Câte numere naturale n baza zece de !orma abc sunt

divizibile cu 2 "i au #ro#rietatea că ab este #ătrat #er!ect $

%# Se dau numerele ( ) ( ){ }0 3 3 3

2 4 % 02011

% 0 1 2 1999 199&2 3 ' ( % ( 2 ( 2a = + +

( )4 33 22 3 0 2 2 12 ) 2011 ( 3 1 4b = − − +

Calculaţi numarul 2011 )b a− .

Se dau mulţimile { }2 * * 3n A x x n n= = ∈ ≤¥

{ }2 * B y y x x A= = ∈

0 &+2 *2 ,C =

a) Determinaţi mulţimile - "i b) Calculaţi ) )C B A B∪ − ∩ .


2/30


Concursul interjudeţean de matematică „EPSILON”

2 aprilie 2011-BUZAU

'aremClasa a !a

(iecare su)iect este notat cu * +uncte#

,# Scrierea sumei

a- 1 1 2 1 3 1 99 1

1 ) 2 ) 3 ) .... 99 )2 2 3 3 4 4 100 100

A B+ = + + + + + + + + =

2 3 4 .... 100= + + + + ∈¥ % +uncte

)) Calculul sumei %049 A B+ = % +uncte

A B+ este divizibil cu 9 " +unct

.# ab este #ătrat #er!ect rezultă

+1&*2%*3&*49*&4*/1,ab∈ $ +uncte

abc divizibil cu 2 rezultă +0* 2*4*&*/,c ∈ $ +uncte& % 30× = numere % +uncte

*# 1a = % +uncte 2b = % +uncte

2011 ) 1b a− = " +unct

a- { }1*2*4*/ A = $ +uncte

{ }1* 4*1&* &4 B = $ +uncte

)- +1* 4*1&*32*&4,C B∪ = " +unct +1*4, A B∩ = " +unct ) ) +4*1&* 32* &4,C B A B∪ − ∩ = " +unct


3/30

Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”

$ a+rilie $6""!'/7A/ CLASA a I!a

1. Să se calculeze raportul y x

y x

+

−

, dacă numerele naturale x

şi y îndeplinesc condiţia: 12002112 213

=⋅+++ x y x

2. Să se determine numerele naturale astfel încât

. !ăsurile un"#iurilor unui triun"#i sunt proporţionale cu

numerele x, y,z. $acă z%x&y, demonstraţi că triun"#iuleste dreptun"#ic.

'. (ie se"mentele con"ruente )*+ şi )*- astfel încât

un"#iul +*- să e ascuţit, ))* OA F OB E ∈∈ , +/ *-, -(

*+, .Să se arate că:

a0 )+/ )-(

0 )* este isectoarea un"#iului +*-.

- C-S- a 56a

1. 7m#ărtim #rin

...........................................................................................1#

si obtinem

.....................................................1#

trebuie ca să !ie im#ar deci

.....................................2#


4/30

adică

...................................................................................................1#

si atunci

.......................................................................1#

8888888888888888888888888

88.1#

2. 3

Din deci se divide cu3 .................................2#

Din si divizibil cu

avem ( .............................................................................1#

t iș

t .

t !als.

t .

t iș

...................................3#

Dacă nu se mai #ot ob ine valori naturale #entruț deci solu iile sunt celeț

mentionate..........1#

3. 88888888888888888

88..3#

8888888888888888888888888

8...2#


5/30

88888888888888888888

882#4.

a. Demonstrarea con:ruentei triun:;iurilor8888888888...2#Demonstrareacerintei8888888888888888882#

Demonstrarea cerintei 88888888888888..8


$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a II!a

1. Să se calculeze (

a.

b.

2. Dacă * calculati

3.


6/30

4.


7/30

*

888888888888888888888..1#

a.

88888888888888888888888.1# b. *

8888888888888888888...1#

c.

88888888888888888888882#

4 .

a. 6 7 linie mi8locie în %9 6 +; şi 6 linie mi=locie n ?@ > AA -C "i 2)

> 6 linie mi=locie in ?@ > AAD "i

Cum -CD este dre#tun:;i ?@ -C ? D* deci > ? B* iar cum din 1) si 2) >B 6 #aralelo:ram "i are două laturi alăturate con:ruente ?@ >B este romb

. relun"ind = până intersectează dreapta +-, oţinem triun"#iul

!> în care - ?a mediană şi != tot mediană şi = mi8locul lui >0. +stfel S de?ine centrul

de "reutate al triun"#iului !> şi ?om a?ea , deci !=

% S=


$ a+rilie $6""!'/7A/

>S

C

D

B

-

S


8/30

CLASA a III!a

1. Să se determine un număr natural de forma ştiind că în orice

ază de numeraţie mai mare decât 2 este cu perfect.2. @n paralelipiped dreptun"#ic are dia"onala d şi aria totală S. Atiind că

, să se arate că . ;ând a?em S % 2B

. Sa se calculeze ?olumul unui tetraedru re"ulat cu latura a.

'. Se dă funcţia , care ?erică relaţiile:

.

a0 Să se reprezinte "rac această funcţie

0 Să se rezol?e inecuaţia:

Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii. im# de lucru ( doua ore.


9/30

888888888888888888888888888888888888888888888..1#

:alitatea are loc #entru a ? b ? c ?@ S ? 2 ?@

8888888888888888888888888888888

888888888888888888881#3.#rimarea inaltimii in !unctie delatura8888888888888888888888888888888888.3#Scrierea corecta avolumului888888888888888888888888888888888888888884#

4.

.>otam *deci

*adica rezulta

-dica *#entru orice

real88888888888888888888888888888888882#

.>otam *deci * rezulta

deci si *#entru orice real .Ca urmare

8888888882#a):ra!ic88888888888888888888888888888888888888888888888888888..1#.

b)

*

888888888888888888888888888888888888

888888888..2#


10/30


$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a I9!a : Economic

1. Dacă este o #ro:resie aritmetică* să se calculeze

*

#entru * E.

2. Determinati !unctia ! ( ℝ ℝ * care nde#lineste conditiile(

a). #entru orice .

b). * #entru orice .

3.


11/30


$ a+rilie $6""!'/7A/

CLASA a I9!a : te;nic

1. 1. Dacă este o #ro:resie aritmetică* să se calculeze

*

#entru * E.

2. -rătati că !unctia * este

strict crescătoare.

3. Să se arate că * #entru orice

..

4.


12/30

arem clasa a 5J6a CK>K5C

1.

......................

..... 2#

........................................................2#

..............................................................

......2#

....................................................................................

......1#

2. entru relaţiile dau "i

...................................1#

888888888888888888..1#

entru

888888888888888.1#

entru

8888888888888888...1#

8888888888888888..1#

8888888888888...1#


13/30

888888888888888888..1#

3. Considerăm

88888888888888

882#

888888888888888888888882#

88888888882#

4.

88.2#

88888888888888888888

8..2#

888888888888888888882#5C

%.

......................

..... 2#


14/30

........................................................2#

....................................................................2#

....................................................................................

......1#

&.


15/30

.....................................................................................................3#

1M ....................................................................1#

/.

88.2#

88888888888888888888

8..2#

888888888888888888882#


16/30


$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a 9!a : Economic

1.


17/30


$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a 9!a : te;nic

1. Să se determine multimea solutiilor ecuatiei

2. ezolvati ecuatia .

3. Să se rezolve ecuatia .

4. Se consideră triun:;iul -C cu vâr!urile -1*1)* 4*%) i C6'* ').


18/30

8..

888888888.1#

deci 888888888888888888..888888888.1#Cum

..8888888.

888888888888888.1#

c)

888888888888.81#

-vem deci *n

im#ar88888888................................8..1#

8888...........................8888888888.8881#

2. Conditia

si

........2#

cuatia devine..............................2#

.................................

.............2#


19/30


20/30

- C-S- a J6a 6 L>5C

1. Conditii deeistentă .....................................................................................1#

.......................................................

.......1#

.......................................................

.......1#

..........................................................

......1##licitarea modulului*rezolvare..................................................................2#

Solutia

........................................................................................1#

2. Conditia

si

.....................................................................2#

cuatia devine

......................2#

.................................

......2#

.........................................................

......1#


21/30


22/30

CLASA a 9I!a : economic

1. Se dau matricele care nde#linesc relaţiile (

"i

Să se demonstreze că

2.


23/30

Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”$ a+rilie $6""!'/7A/

CLASA a 9I!a : 1e;nic

1.


24/30

Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii. im# de lucru este trei ore.


25/30

a. Să se determine ştiind că funcţia

admite extreme locale în 3i

.

b. entru determinate la punctul a. să se

calculeze

Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii. im# de lucru ( trei ore.


26/30


CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”$ a+rilie $6""!'/7A/

CLASA a 9II!a : economic

1. (ie şi le"ea . Să se

determine astfel ca să aiă structură de

"rup.2. Să se determine un polinom de "radul trei care

îndeplineşte condiţia: ,

pentru orice .

. Să se calculeze:

a.

b.

'. Se consideră .

a.Să se determine ştiind că funcţia admite

extreme locale în 3i .


27/30

b. entru determinate la punctul a. să se

calculeze

Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii im# de lucru( trei ore


28/30

'A0EM 3E CO0EC1A0ECLASA a 9II!a : te;nic

1. rebuie să eiste

deci

#entru orice

deci

1#

2#

2#

2#

2.


29/30

1*%

#


30/30

- D CKC-

CLASA a 9II!a : economic1. rebuie să eiste

deci

#entru orice

deci

1#

2#2#

2#

2.

Documents

EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme