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怎樣解題
速率
課本目次
怎樣解題
柱體的體積
等量公理
四則運算規律
_ 認識速率
_ 單位換算
_ 距離和時間（固定速率）
_ 距離和速率（固定時間）
_ 速率和與速率差
_ 解題
1
_ 簡化與歸納
_ 基準量與比較量（ ）
_ 基準量與比較量（ ）
_ 數學公式（ ）
_ 數學公式（ ）
2
_ 直角柱的體積 _ 直圓柱的體積 _ 複合形體
3
_ 分數和小數的四則計算 _ 運算規律
_ 分配律
_ 解題
4
_ 和差問題
_ 雞兔問題
_ 年齡問題
5
_ 等量公理
_ 等量公理的應用－加與減
_ 等量公理的應用－乘與除
_ 求未知數
_ 解題
6
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操場一圈是 公尺林老師跑一圈要 秒他跑步的
速率是多少公尺秒
小明 分鐘跑 公尺他平均 分鐘跑 公尺我們說
小明跑步的 是 公尺分（也可說成 公尺）
速率也有其他的單位例如爸爸開車平均 小時開 公里
他開車的速率是 公里時（也可說成 公里）文文走
路的速率是 公尺秒（也可說成 公尺）表示她平
均每秒走 公尺
答 公尺秒
divide ＝ （公尺秒）
也可以記為
公尺divide 秒＝ 公尺秒
1認識速率1-1
依照題意寫出正確的速率（包含單位）
妹妹 秒跑 公尺妹妹跑步的速率是
光 秒走 萬公里光的速率是
鴕鳥 分可快走 公尺鴕鳥快走的速率是
秒跑 公尺
所以 秒跑的公尺數是
divide ＝
距離 divide 時間 ＝ 速率
長度單位
時間單位
公尺分 表示 分跑 公尺
有一班高鐵列車上午 時 分從臺北站開出上午 時
分到達左營站高鐵從臺北站到左營站的距離大約是
公里這班列車的速率大約是多少公里時
小英家到學校的距離是 公尺小華家到學校的距
離是 公尺小英和小華走路上學的時間分別是 分鐘和
分鐘誰走得比較快
答 公里時
也可以記為
公里divide 時
＝ 公里時
時 分－ 時 分＝ 時 分
時 分＝ 時＝ 時
divide ＝ divide ＝ times ＝
小可家到車站的距離是 公尺走路要走 分鐘
小可走路的速率是多少公尺分
當我們說小明跑得比小英快時意思是說小明每秒鐘
跑的距離比小英每秒鐘跑的距離遠也就是說小明跑步的
速率大於小英跑步的速率所以速率可以用來比較快慢
例如小威走路的速率是 公尺分東東走路的速率是
公尺分因為 ＜ 所以小威走得比東東慢
答小英比較快
divide ＝ （公尺分）
divide ＝ （公尺分）
＞
速率＝距離divide時間
從上面兩個例子可以知道
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有一匹馬跑步的速率是 公里時這匹馬 小時可以
跑多遠
有一艘船的船速是 公里分若西岸碼頭距離東岸
碼頭 公里這艘船從西岸開到東岸需要多少時間
答 公里
times ＝
也可以記為
公里時times 時＝ 公里
跑步速率是 公里時表示 小時可以跑
公里 小時可以跑 公里的 倍
可以想成
公里時times 時＝ 公里
飛機的速率是 公里時汽車的速率是 公里時
飛機 小時所飛的距離開車要開多久有一條河的流速是 公里時將一段枯木丟到河裡
經過 小時這段木頭漂流了多少公尺
表姐騎腳踏車的速率是 公尺分她騎車繞湖一圈
花了 分鐘繞湖一圈有多少公尺
學校到圓環的距離是 公里圓環到體育場的距離是
公里如果哥哥騎車的速率是 公尺分他從學校經
圓環騎到體育場要多久
獵豹奔跑的速率大約是 公里時牠 分鐘大約可以
跑多少公里
答 小時答 公尺
times ＝
divide ＝times ＝ （公里）
公里＝ 公里＝ 公尺
分鐘開 公里 公里需要開多少分鐘
答 分
divide ＝ （分）
蝸牛爬行的速率是 公尺時爬完 公尺的車道需
要幾小時
再算 公里車子要開多久
先算飛機 小時所飛的距離
距離＝速率times時間 時間＝距離divide速率
從例 可以知道 從例 可以知道
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小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成公里
她騎腳踏車的速率是多少公里時
東東走路的速率是 公里時若換算成公尺他走路
的速率是多少公尺時
答 公尺時
times ＝
小時走 公里也就是 小時走 公尺
公里＝ 公尺
小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成分
速她騎腳踏車的速率是多少公尺分
東東走路的速率是 公里分若換算成時速他走
路的速率是多少公里時
答 公尺分
答 公里時
times ＝
一架小飛機的速率是 公里秒若換算成分速它的
速率是多少公里分
爸爸在高速公路上開車的速率是 公尺分若換算
成秒速爸爸開車的速率是多少公尺秒
小寶寶走路的速率是 公尺分他走路的速率是多少
公分秒
分走 公里 時是 分
所以 時走 times （公里）
時走 公尺 時是 分
所以 分走 divide （公尺）
divide ＝ ＝
可以這樣算
公尺時＝
公尺時
＝公尺分
＝公尺分
有一艘船的船速是 公里時這艘船的船速是多少
公尺分
答 公尺分
小時走 公里
表示 分走 公尺
divide ＝ ＝ （公尺分）
可以這樣算
公里時＝
公里時
＝公尺分
＝公尺分
單位換算1-2
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聲音的速率是 公尺秒戰鬥機的速率是 公里分
那一個速率比較快
先將速率換成相同的單位再比較
公里分 ＝
公里分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
＝ （公尺秒）
聲音傳播的速率是 公尺秒獵豹衝刺的速率是
公尺分高鐵行車的速率是 公里時這三種速
率那一個最快那一個最慢
某一次世界田徑賽 公尺的紀錄是 公尺秒速率
公里時的車速大約是這個紀錄的多少倍（用四捨五入法
取答案的概數到小數第 位）
先將速率換成相同的單位再比較
公里時 ＝
公尺分 ＝
公尺分
公尺分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
倍數 divide ＝ divide divide
＝ divide（ times ）＝ ⋯≒ （倍）
答 倍
可以這樣算
公里時＝
timestimes
公尺秒
＝公尺秒
答戰鬥機的速率快
林伯伯在高速公路上開車的速率是 公里時依照距
離和時間的關係式距離＝ times時間可以列出下表
由上表可以知道當林伯伯的開車速率是固定的
公里時他開車的距離和開車的時間會成正比
用倍數的方法可以幫忙我們思考正比的問題例如林伯
伯開車 小時行駛的距離與開車 小時的距離比正好會等於
時間比
時間比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為 小時是 小時的 倍所以 小時行駛
的距離 公里是 小時行駛距離 公里的 倍
當速率固定時花幾倍的時間就可以走幾倍的距離
當速率固定時走幾倍的距離就要花幾倍的時間
距離和時間（固定速率）1-3
注意事項本節要討論的是當速率固定時距離和時間的正比關係
時間（時）
距離（公里）
當速率固定時距離和時間成正比
或者也可以這樣說因為 公里是 公里的 倍因
此走 公里所花的時間 小時是走 公里所花的時間
小時的 倍
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小可從家裡走到學校要 分鐘從家裡走到車站要 分鐘
家裡到車站的距離是家裡到學校距離的幾倍
小可家到圖書館的距離是 公尺圖書館到車站的距離
是 公尺小可從圖書館走到車站的時間是從圖書館
走到家裡時間的幾倍
小可走路的速率是 公尺分
姊姊昨天和今天騎腳踏車的速率一樣她昨天騎
公里花了 分鐘今天騎 公里花了幾分鐘
答 分鐘
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （分）
弟弟走路的速率一樣他今天走 公尺花了
分鐘他昨天走 公尺花了幾分鐘
＋ ＋ ＝
divide ＝ （倍）
times ＝
答 分鐘
心如昨天和今天跑步的速率一樣她今天跑 公尺
花了 分鐘昨天跑 小時跑了多少公尺
下圖是小英從家裡經過路口土地廟到車站走路所花
的時間如果全程走路的速率固定她從家裡到路口是
公尺從家裡到車站全程是多少公尺
哥哥溜直排輪的速率一樣他 分鐘可以溜 公里
哥哥 分鐘可以溜幾公尺
下圖是甲乙丙三鎮的距離圖表哥騎腳踏車從甲
鎮經過乙丙鎮再回到甲鎮全程騎車的速率固定如果
他從甲鎮到乙鎮花了 分鐘他繞完一圈需要多少時間甲
丙
乙 單位公里
時＝ 分
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （公尺） 答 公尺
時間單位分
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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操場一圈是 公尺林老師跑一圈要 秒他跑步的
速率是多少公尺秒
小明 分鐘跑 公尺他平均 分鐘跑 公尺我們說
小明跑步的 是 公尺分（也可說成 公尺）
速率也有其他的單位例如爸爸開車平均 小時開 公里
他開車的速率是 公里時（也可說成 公里）文文走
路的速率是 公尺秒（也可說成 公尺）表示她平
均每秒走 公尺
答 公尺秒
divide ＝ （公尺秒）
也可以記為
公尺divide 秒＝ 公尺秒
1認識速率1-1
依照題意寫出正確的速率（包含單位）
妹妹 秒跑 公尺妹妹跑步的速率是
光 秒走 萬公里光的速率是
鴕鳥 分可快走 公尺鴕鳥快走的速率是
秒跑 公尺
所以 秒跑的公尺數是
divide ＝
距離 divide 時間 ＝ 速率
長度單位
時間單位
公尺分 表示 分跑 公尺
有一班高鐵列車上午 時 分從臺北站開出上午 時
分到達左營站高鐵從臺北站到左營站的距離大約是
公里這班列車的速率大約是多少公里時
小英家到學校的距離是 公尺小華家到學校的距
離是 公尺小英和小華走路上學的時間分別是 分鐘和
分鐘誰走得比較快
答 公里時
也可以記為
公里divide 時
＝ 公里時
時 分－ 時 分＝ 時 分
時 分＝ 時＝ 時
divide ＝ divide ＝ times ＝
小可家到車站的距離是 公尺走路要走 分鐘
小可走路的速率是多少公尺分
當我們說小明跑得比小英快時意思是說小明每秒鐘
跑的距離比小英每秒鐘跑的距離遠也就是說小明跑步的
速率大於小英跑步的速率所以速率可以用來比較快慢
例如小威走路的速率是 公尺分東東走路的速率是
公尺分因為 ＜ 所以小威走得比東東慢
答小英比較快
divide ＝ （公尺分）
divide ＝ （公尺分）
＞
速率＝距離divide時間
從上面兩個例子可以知道
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有一匹馬跑步的速率是 公里時這匹馬 小時可以
跑多遠
有一艘船的船速是 公里分若西岸碼頭距離東岸
碼頭 公里這艘船從西岸開到東岸需要多少時間
答 公里
times ＝
也可以記為
公里時times 時＝ 公里
跑步速率是 公里時表示 小時可以跑
公里 小時可以跑 公里的 倍
可以想成
公里時times 時＝ 公里
飛機的速率是 公里時汽車的速率是 公里時
飛機 小時所飛的距離開車要開多久有一條河的流速是 公里時將一段枯木丟到河裡
經過 小時這段木頭漂流了多少公尺
表姐騎腳踏車的速率是 公尺分她騎車繞湖一圈
花了 分鐘繞湖一圈有多少公尺
學校到圓環的距離是 公里圓環到體育場的距離是
公里如果哥哥騎車的速率是 公尺分他從學校經
圓環騎到體育場要多久
獵豹奔跑的速率大約是 公里時牠 分鐘大約可以
跑多少公里
答 小時答 公尺
times ＝
divide ＝times ＝ （公里）
公里＝ 公里＝ 公尺
分鐘開 公里 公里需要開多少分鐘
答 分
divide ＝ （分）
蝸牛爬行的速率是 公尺時爬完 公尺的車道需
要幾小時
再算 公里車子要開多久
先算飛機 小時所飛的距離
距離＝速率times時間 時間＝距離divide速率
從例 可以知道 從例 可以知道
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小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成公里
她騎腳踏車的速率是多少公里時
東東走路的速率是 公里時若換算成公尺他走路
的速率是多少公尺時
答 公尺時
times ＝
小時走 公里也就是 小時走 公尺
公里＝ 公尺
小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成分
速她騎腳踏車的速率是多少公尺分
東東走路的速率是 公里分若換算成時速他走
路的速率是多少公里時
答 公尺分
答 公里時
times ＝
一架小飛機的速率是 公里秒若換算成分速它的
速率是多少公里分
爸爸在高速公路上開車的速率是 公尺分若換算
成秒速爸爸開車的速率是多少公尺秒
小寶寶走路的速率是 公尺分他走路的速率是多少
公分秒
分走 公里 時是 分
所以 時走 times （公里）
時走 公尺 時是 分
所以 分走 divide （公尺）
divide ＝ ＝
可以這樣算
公尺時＝
公尺時
＝公尺分
＝公尺分
有一艘船的船速是 公里時這艘船的船速是多少
公尺分
答 公尺分
小時走 公里
表示 分走 公尺
divide ＝ ＝ （公尺分）
可以這樣算
公里時＝
公里時
＝公尺分
＝公尺分
單位換算1-2
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聲音的速率是 公尺秒戰鬥機的速率是 公里分
那一個速率比較快
先將速率換成相同的單位再比較
公里分 ＝
公里分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
＝ （公尺秒）
聲音傳播的速率是 公尺秒獵豹衝刺的速率是
公尺分高鐵行車的速率是 公里時這三種速
率那一個最快那一個最慢
某一次世界田徑賽 公尺的紀錄是 公尺秒速率
公里時的車速大約是這個紀錄的多少倍（用四捨五入法
取答案的概數到小數第 位）
先將速率換成相同的單位再比較
公里時 ＝
公尺分 ＝
公尺分
公尺分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
倍數 divide ＝ divide divide
＝ divide（ times ）＝ ⋯≒ （倍）
答 倍
可以這樣算
公里時＝
timestimes
公尺秒
＝公尺秒
答戰鬥機的速率快
林伯伯在高速公路上開車的速率是 公里時依照距
離和時間的關係式距離＝ times時間可以列出下表
由上表可以知道當林伯伯的開車速率是固定的
公里時他開車的距離和開車的時間會成正比
用倍數的方法可以幫忙我們思考正比的問題例如林伯
伯開車 小時行駛的距離與開車 小時的距離比正好會等於
時間比
時間比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為 小時是 小時的 倍所以 小時行駛
的距離 公里是 小時行駛距離 公里的 倍
當速率固定時花幾倍的時間就可以走幾倍的距離
當速率固定時走幾倍的距離就要花幾倍的時間
距離和時間（固定速率）1-3
注意事項本節要討論的是當速率固定時距離和時間的正比關係
時間（時）
距離（公里）
當速率固定時距離和時間成正比
或者也可以這樣說因為 公里是 公里的 倍因
此走 公里所花的時間 小時是走 公里所花的時間
小時的 倍
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小可從家裡走到學校要 分鐘從家裡走到車站要 分鐘
家裡到車站的距離是家裡到學校距離的幾倍
小可家到圖書館的距離是 公尺圖書館到車站的距離
是 公尺小可從圖書館走到車站的時間是從圖書館
走到家裡時間的幾倍
小可走路的速率是 公尺分
姊姊昨天和今天騎腳踏車的速率一樣她昨天騎
公里花了 分鐘今天騎 公里花了幾分鐘
答 分鐘
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （分）
弟弟走路的速率一樣他今天走 公尺花了
分鐘他昨天走 公尺花了幾分鐘
＋ ＋ ＝
divide ＝ （倍）
times ＝
答 分鐘
心如昨天和今天跑步的速率一樣她今天跑 公尺
花了 分鐘昨天跑 小時跑了多少公尺
下圖是小英從家裡經過路口土地廟到車站走路所花
的時間如果全程走路的速率固定她從家裡到路口是
公尺從家裡到車站全程是多少公尺
哥哥溜直排輪的速率一樣他 分鐘可以溜 公里
哥哥 分鐘可以溜幾公尺
下圖是甲乙丙三鎮的距離圖表哥騎腳踏車從甲
鎮經過乙丙鎮再回到甲鎮全程騎車的速率固定如果
他從甲鎮到乙鎮花了 分鐘他繞完一圈需要多少時間甲
丙
乙 單位公里
時＝ 分
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （公尺） 答 公尺
時間單位分
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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有一匹馬跑步的速率是 公里時這匹馬 小時可以
跑多遠
有一艘船的船速是 公里分若西岸碼頭距離東岸
碼頭 公里這艘船從西岸開到東岸需要多少時間
答 公里
times ＝
也可以記為
公里時times 時＝ 公里
跑步速率是 公里時表示 小時可以跑
公里 小時可以跑 公里的 倍
可以想成
公里時times 時＝ 公里
飛機的速率是 公里時汽車的速率是 公里時
飛機 小時所飛的距離開車要開多久有一條河的流速是 公里時將一段枯木丟到河裡
經過 小時這段木頭漂流了多少公尺
表姐騎腳踏車的速率是 公尺分她騎車繞湖一圈
花了 分鐘繞湖一圈有多少公尺
學校到圓環的距離是 公里圓環到體育場的距離是
公里如果哥哥騎車的速率是 公尺分他從學校經
圓環騎到體育場要多久
獵豹奔跑的速率大約是 公里時牠 分鐘大約可以
跑多少公里
答 小時答 公尺
times ＝
divide ＝times ＝ （公里）
公里＝ 公里＝ 公尺
分鐘開 公里 公里需要開多少分鐘
答 分
divide ＝ （分）
蝸牛爬行的速率是 公尺時爬完 公尺的車道需
要幾小時
再算 公里車子要開多久
先算飛機 小時所飛的距離
距離＝速率times時間 時間＝距離divide速率
從例 可以知道 從例 可以知道
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小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成公里
她騎腳踏車的速率是多少公里時
東東走路的速率是 公里時若換算成公尺他走路
的速率是多少公尺時
答 公尺時
times ＝
小時走 公里也就是 小時走 公尺
公里＝ 公尺
小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成分
速她騎腳踏車的速率是多少公尺分
東東走路的速率是 公里分若換算成時速他走
路的速率是多少公里時
答 公尺分
答 公里時
times ＝
一架小飛機的速率是 公里秒若換算成分速它的
速率是多少公里分
爸爸在高速公路上開車的速率是 公尺分若換算
成秒速爸爸開車的速率是多少公尺秒
小寶寶走路的速率是 公尺分他走路的速率是多少
公分秒
分走 公里 時是 分
所以 時走 times （公里）
時走 公尺 時是 分
所以 分走 divide （公尺）
divide ＝ ＝
可以這樣算
公尺時＝
公尺時
＝公尺分
＝公尺分
有一艘船的船速是 公里時這艘船的船速是多少
公尺分
答 公尺分
小時走 公里
表示 分走 公尺
divide ＝ ＝ （公尺分）
可以這樣算
公里時＝
公里時
＝公尺分
＝公尺分
單位換算1-2
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聲音的速率是 公尺秒戰鬥機的速率是 公里分
那一個速率比較快
先將速率換成相同的單位再比較
公里分 ＝
公里分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
＝ （公尺秒）
聲音傳播的速率是 公尺秒獵豹衝刺的速率是
公尺分高鐵行車的速率是 公里時這三種速
率那一個最快那一個最慢
某一次世界田徑賽 公尺的紀錄是 公尺秒速率
公里時的車速大約是這個紀錄的多少倍（用四捨五入法
取答案的概數到小數第 位）
先將速率換成相同的單位再比較
公里時 ＝
公尺分 ＝
公尺分
公尺分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
倍數 divide ＝ divide divide
＝ divide（ times ）＝ ⋯≒ （倍）
答 倍
可以這樣算
公里時＝
timestimes
公尺秒
＝公尺秒
答戰鬥機的速率快
林伯伯在高速公路上開車的速率是 公里時依照距
離和時間的關係式距離＝ times時間可以列出下表
由上表可以知道當林伯伯的開車速率是固定的
公里時他開車的距離和開車的時間會成正比
用倍數的方法可以幫忙我們思考正比的問題例如林伯
伯開車 小時行駛的距離與開車 小時的距離比正好會等於
時間比
時間比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為 小時是 小時的 倍所以 小時行駛
的距離 公里是 小時行駛距離 公里的 倍
當速率固定時花幾倍的時間就可以走幾倍的距離
當速率固定時走幾倍的距離就要花幾倍的時間
距離和時間（固定速率）1-3
注意事項本節要討論的是當速率固定時距離和時間的正比關係
時間（時）
距離（公里）
當速率固定時距離和時間成正比
或者也可以這樣說因為 公里是 公里的 倍因
此走 公里所花的時間 小時是走 公里所花的時間
小時的 倍
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小可從家裡走到學校要 分鐘從家裡走到車站要 分鐘
家裡到車站的距離是家裡到學校距離的幾倍
小可家到圖書館的距離是 公尺圖書館到車站的距離
是 公尺小可從圖書館走到車站的時間是從圖書館
走到家裡時間的幾倍
小可走路的速率是 公尺分
姊姊昨天和今天騎腳踏車的速率一樣她昨天騎
公里花了 分鐘今天騎 公里花了幾分鐘
答 分鐘
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （分）
弟弟走路的速率一樣他今天走 公尺花了
分鐘他昨天走 公尺花了幾分鐘
＋ ＋ ＝
divide ＝ （倍）
times ＝
答 分鐘
心如昨天和今天跑步的速率一樣她今天跑 公尺
花了 分鐘昨天跑 小時跑了多少公尺
下圖是小英從家裡經過路口土地廟到車站走路所花
的時間如果全程走路的速率固定她從家裡到路口是
公尺從家裡到車站全程是多少公尺
哥哥溜直排輪的速率一樣他 分鐘可以溜 公里
哥哥 分鐘可以溜幾公尺
下圖是甲乙丙三鎮的距離圖表哥騎腳踏車從甲
鎮經過乙丙鎮再回到甲鎮全程騎車的速率固定如果
他從甲鎮到乙鎮花了 分鐘他繞完一圈需要多少時間甲
丙
乙 單位公里
時＝ 分
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （公尺） 答 公尺
時間單位分
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成公里
她騎腳踏車的速率是多少公里時
東東走路的速率是 公里時若換算成公尺他走路
的速率是多少公尺時
答 公尺時
times ＝
小時走 公里也就是 小時走 公尺
公里＝ 公尺
小芳騎腳踏車的速率是 公尺時若換算成分
速她騎腳踏車的速率是多少公尺分
東東走路的速率是 公里分若換算成時速他走
路的速率是多少公里時
答 公尺分
答 公里時
times ＝
一架小飛機的速率是 公里秒若換算成分速它的
速率是多少公里分
爸爸在高速公路上開車的速率是 公尺分若換算
成秒速爸爸開車的速率是多少公尺秒
小寶寶走路的速率是 公尺分他走路的速率是多少
公分秒
分走 公里 時是 分
所以 時走 times （公里）
時走 公尺 時是 分
所以 分走 divide （公尺）
divide ＝ ＝
可以這樣算
公尺時＝
公尺時
＝公尺分
＝公尺分
有一艘船的船速是 公里時這艘船的船速是多少
公尺分
答 公尺分
小時走 公里
表示 分走 公尺
divide ＝ ＝ （公尺分）
可以這樣算
公里時＝
公里時
＝公尺分
＝公尺分
單位換算1-2
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聲音的速率是 公尺秒戰鬥機的速率是 公里分
那一個速率比較快
先將速率換成相同的單位再比較
公里分 ＝
公里分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
＝ （公尺秒）
聲音傳播的速率是 公尺秒獵豹衝刺的速率是
公尺分高鐵行車的速率是 公里時這三種速
率那一個最快那一個最慢
某一次世界田徑賽 公尺的紀錄是 公尺秒速率
公里時的車速大約是這個紀錄的多少倍（用四捨五入法
取答案的概數到小數第 位）
先將速率換成相同的單位再比較
公里時 ＝
公尺分 ＝
公尺分
公尺分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
倍數 divide ＝ divide divide
＝ divide（ times ）＝ ⋯≒ （倍）
答 倍
可以這樣算
公里時＝
timestimes
公尺秒
＝公尺秒
答戰鬥機的速率快
林伯伯在高速公路上開車的速率是 公里時依照距
離和時間的關係式距離＝ times時間可以列出下表
由上表可以知道當林伯伯的開車速率是固定的
公里時他開車的距離和開車的時間會成正比
用倍數的方法可以幫忙我們思考正比的問題例如林伯
伯開車 小時行駛的距離與開車 小時的距離比正好會等於
時間比
時間比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為 小時是 小時的 倍所以 小時行駛
的距離 公里是 小時行駛距離 公里的 倍
當速率固定時花幾倍的時間就可以走幾倍的距離
當速率固定時走幾倍的距離就要花幾倍的時間
距離和時間（固定速率）1-3
注意事項本節要討論的是當速率固定時距離和時間的正比關係
時間（時）
距離（公里）
當速率固定時距離和時間成正比
或者也可以這樣說因為 公里是 公里的 倍因
此走 公里所花的時間 小時是走 公里所花的時間
小時的 倍
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小可從家裡走到學校要 分鐘從家裡走到車站要 分鐘
家裡到車站的距離是家裡到學校距離的幾倍
小可家到圖書館的距離是 公尺圖書館到車站的距離
是 公尺小可從圖書館走到車站的時間是從圖書館
走到家裡時間的幾倍
小可走路的速率是 公尺分
姊姊昨天和今天騎腳踏車的速率一樣她昨天騎
公里花了 分鐘今天騎 公里花了幾分鐘
答 分鐘
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （分）
弟弟走路的速率一樣他今天走 公尺花了
分鐘他昨天走 公尺花了幾分鐘
＋ ＋ ＝
divide ＝ （倍）
times ＝
答 分鐘
心如昨天和今天跑步的速率一樣她今天跑 公尺
花了 分鐘昨天跑 小時跑了多少公尺
下圖是小英從家裡經過路口土地廟到車站走路所花
的時間如果全程走路的速率固定她從家裡到路口是
公尺從家裡到車站全程是多少公尺
哥哥溜直排輪的速率一樣他 分鐘可以溜 公里
哥哥 分鐘可以溜幾公尺
下圖是甲乙丙三鎮的距離圖表哥騎腳踏車從甲
鎮經過乙丙鎮再回到甲鎮全程騎車的速率固定如果
他從甲鎮到乙鎮花了 分鐘他繞完一圈需要多少時間甲
丙
乙 單位公里
時＝ 分
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （公尺） 答 公尺
時間單位分
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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聲音的速率是 公尺秒戰鬥機的速率是 公里分
那一個速率比較快
先將速率換成相同的單位再比較
公里分 ＝
公里分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
＝ （公尺秒）
聲音傳播的速率是 公尺秒獵豹衝刺的速率是
公尺分高鐵行車的速率是 公里時這三種速
率那一個最快那一個最慢
某一次世界田徑賽 公尺的紀錄是 公尺秒速率
公里時的車速大約是這個紀錄的多少倍（用四捨五入法
取答案的概數到小數第 位）
先將速率換成相同的單位再比較
公里時 ＝
公尺分 ＝
公尺分
公尺分 ＝
公尺秒 ＝
公尺秒
倍數 divide ＝ divide divide
＝ divide（ times ）＝ ⋯≒ （倍）
答 倍
可以這樣算
公里時＝
timestimes
公尺秒
＝公尺秒
答戰鬥機的速率快
林伯伯在高速公路上開車的速率是 公里時依照距
離和時間的關係式距離＝ times時間可以列出下表
由上表可以知道當林伯伯的開車速率是固定的
公里時他開車的距離和開車的時間會成正比
用倍數的方法可以幫忙我們思考正比的問題例如林伯
伯開車 小時行駛的距離與開車 小時的距離比正好會等於
時間比
時間比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為 小時是 小時的 倍所以 小時行駛
的距離 公里是 小時行駛距離 公里的 倍
當速率固定時花幾倍的時間就可以走幾倍的距離
當速率固定時走幾倍的距離就要花幾倍的時間
距離和時間（固定速率）1-3
注意事項本節要討論的是當速率固定時距離和時間的正比關係
時間（時）
距離（公里）
當速率固定時距離和時間成正比
或者也可以這樣說因為 公里是 公里的 倍因
此走 公里所花的時間 小時是走 公里所花的時間
小時的 倍
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小可從家裡走到學校要 分鐘從家裡走到車站要 分鐘
家裡到車站的距離是家裡到學校距離的幾倍
小可家到圖書館的距離是 公尺圖書館到車站的距離
是 公尺小可從圖書館走到車站的時間是從圖書館
走到家裡時間的幾倍
小可走路的速率是 公尺分
姊姊昨天和今天騎腳踏車的速率一樣她昨天騎
公里花了 分鐘今天騎 公里花了幾分鐘
答 分鐘
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （分）
弟弟走路的速率一樣他今天走 公尺花了
分鐘他昨天走 公尺花了幾分鐘
＋ ＋ ＝
divide ＝ （倍）
times ＝
答 分鐘
心如昨天和今天跑步的速率一樣她今天跑 公尺
花了 分鐘昨天跑 小時跑了多少公尺
下圖是小英從家裡經過路口土地廟到車站走路所花
的時間如果全程走路的速率固定她從家裡到路口是
公尺從家裡到車站全程是多少公尺
哥哥溜直排輪的速率一樣他 分鐘可以溜 公里
哥哥 分鐘可以溜幾公尺
下圖是甲乙丙三鎮的距離圖表哥騎腳踏車從甲
鎮經過乙丙鎮再回到甲鎮全程騎車的速率固定如果
他從甲鎮到乙鎮花了 分鐘他繞完一圈需要多少時間甲
丙
乙 單位公里
時＝ 分
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （公尺） 答 公尺
時間單位分
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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小可從家裡走到學校要 分鐘從家裡走到車站要 分鐘
家裡到車站的距離是家裡到學校距離的幾倍
小可家到圖書館的距離是 公尺圖書館到車站的距離
是 公尺小可從圖書館走到車站的時間是從圖書館
走到家裡時間的幾倍
小可走路的速率是 公尺分
姊姊昨天和今天騎腳踏車的速率一樣她昨天騎
公里花了 分鐘今天騎 公里花了幾分鐘
答 分鐘
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （分）
弟弟走路的速率一樣他今天走 公尺花了
分鐘他昨天走 公尺花了幾分鐘
＋ ＋ ＝
divide ＝ （倍）
times ＝
答 分鐘
心如昨天和今天跑步的速率一樣她今天跑 公尺
花了 分鐘昨天跑 小時跑了多少公尺
下圖是小英從家裡經過路口土地廟到車站走路所花
的時間如果全程走路的速率固定她從家裡到路口是
公尺從家裡到車站全程是多少公尺
哥哥溜直排輪的速率一樣他 分鐘可以溜 公里
哥哥 分鐘可以溜幾公尺
下圖是甲乙丙三鎮的距離圖表哥騎腳踏車從甲
鎮經過乙丙鎮再回到甲鎮全程騎車的速率固定如果
他從甲鎮到乙鎮花了 分鐘他繞完一圈需要多少時間甲
丙
乙 單位公里
時＝ 分
divide ＝ ＝ （倍）
times ＝ （公尺） 答 公尺
時間單位分
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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距離和速率（固定時間）1-4 一群小朋友一起跑步跑了 秒後大家跑的距離比是
多少呢依照距離和速率的關係式距離＝速率times 可以
列出下表
由上表知道在固定的 秒裡每個小朋友的跑步速率
和他們跑步的距離成正比
例如小明的跑步速率是 公尺秒小華的跑步速率是
公尺秒則他們跑步的距離比正好會等於各自的速率比
速率比＝
距離比＝ ＝ times times ＝
它們的比值都是 divide ＝ （倍）
換句話說因為小明的速率是小華的 倍所以小明
秒所跑的距離 公尺是小華 秒所跑距離 公尺的
倍
如果小明的速率是 公尺秒小可的速率是 公尺秒
小明跑的距離是小可的幾倍
如果東東跑了 公尺小華跑了 公尺小華跑的速率
是東東的幾倍
一群小朋友同時一起跑步跑了 分鐘
聖文游自由式的速率是 公尺秒希仁游蛙式的速率
是 公尺秒當希仁在游泳池游了 公尺時聖文游了幾
公尺
當時間固定時速率是幾倍跑步距離就變成幾倍
當時間固定時跑步距離是幾倍就表示速率是幾倍
速率（公尺秒）
距離（公尺）
當時間固定時距離和速率成正比
注意事項本節要討論的是當時間固定時距離和速率的正比關係
陳叔叔開車的速率是 公里時小華走路的速率是
公尺分兩人同時出發當陳叔叔行駛 公里時小華走
了幾公里
答 公里
公里時＝ times 公尺分＝ 公尺分
divide ＝ （倍）
times ＝ ＝
或者這樣說因為小明 秒跑的距離 公尺是小華
跑步距離 公尺的 倍所以小明跑步的速率 公尺秒就
是小華跑步速率 公尺秒的 倍
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
答 秒
答 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步跑了多久後
小英會在小明前面 公尺
如果他們從同一個起點同時同向跑步 秒後小英跑在
小明前面多少公尺
－ ＝
divide ＝
（ － ）times
＝ times ＝
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
－ ＝ （公尺）
速率差 因為兩人跑 秒的距離相差
－ （公尺） 秒後兩人
相差（ － ）times （公尺）
先算各自跑的距離
再算距離差
速率和與速率差1-5
參加 公尺賽跑速率越快用的時間越多還是越少你可以用「距離（ ）＝速率times時間」來說明嗎
起點
小明小華當小明到達終點時
小華走了多遠
小明和小華參加 公尺競走的比賽小明的速率是
公尺秒小華的速率是 公尺秒當小明到達終點時
小華距離終點還有多遠
答 公尺
divide ＝ （倍）
times ＝
－ ＝
國光客運在高速公路上行駛的速率是 公里時若行
駛的時間相同客運行駛 公里時表哥的汽車已經行駛
了 公里表哥開車的速率是多少公里時
小可跑步的速率是 公尺秒東東跑步的速率是
公尺秒兩人在 公尺跑道上的同一點出發同時背向跑
步當小可跑了 公尺時他們已經相遇了嗎
小華速率是小明速率的 倍
還有別的做法嗎
做法一
做法二
每跑 秒兩人相差 公尺跑幾秒後
兩人的距離會相差 公尺
林叔叔開車的速率是 公里時黃伯伯開車的速率是
公里時如果他們從高速公路某一地點開始同時同向
開車經過 分鐘後他們相距多少公里開了幾分鐘後
林叔叔會超過黃伯伯 公里
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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乙
甲
答 公尺
甲乙兩人走路的速率分別是 公尺分和 公尺分
如果兩人從同一個起點同時反向出發走了多久後兩人
距離是 公里
小英和小明跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果他們從同一地點出發同時背向跑步 秒後兩人相隔
多少公尺
（ ＋ ）times
＝ times ＝
速率和
因為跑的方向相反所以兩人
的距離是兩人跑的距離和
times ＝ （公尺）
times ＝ （公尺）
＋ ＝ （公尺）
做法一
做法二
跑 秒後兩人距離差
＋ （公尺） 秒後兩人
相差（ ＋ ）times （公尺）
在平靜的湖水中一艘船的行進速率稱為靜水船速如
果將船開進河流中因為河流有自己的流速因此船順流而
下的速率會比靜水船速快此時
船順流時的速率＝靜水船速＋河流流速
反過來船逆流而上的速率會比靜水船速慢
船逆流時的速率＝靜水船速－河流流速
乙
甲
一艘船在靜止的水中船速是 公里時它在一條流速
公里時的河流中航行
答 時
答 公里時
答 公里
答 公里時
如果它逆流而上由乙地回到甲地要行駛多少時間
如果這艘船逆流而上它的船速是多少公里時
如果它順流而下從甲地到乙地共花了 小時甲地到乙
地的距離是多少
如果這艘船順流而下它的船速是多少公里時
divide ＝ （時）
－ ＝
times ＝ （公里）
＋ ＝
船順流時的速率＝船在靜水中的船速＋河流流速
甲地到乙地的距離是 公里逆流而上的船速是 公里時
船逆流時的速率＝船在靜水中的船速－河流流速
順流的船速是 公里時 小時行駛多遠
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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解題1-6小英和小華跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
當小英開始跑步時小華已經先跑了 公尺小英要跑多久
才會追上小華追上小華時小英已經跑了多遠
答1 秒2 公尺
－ ＝
divide ＝ divide ＝ times ＝
times ＝
每跑 秒小英就會追上 － ＝ （公尺）小英要花幾秒才
會追上 公尺呢 times秒數＝ 秒數可以用除法算出
大雄和小文跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒
如果小文先跑 秒大雄要幾秒後才會趕上小文
新民和玉芳在馬路的兩端相距 公尺兩人相向而
跑如果新民和玉芳的速率分別為 公尺分和 公尺分
他們兩人要跑幾分鐘才能相遇
答 分鐘
＋ ＝
divide ＝
兩人相向而跑每 分鐘兩人相隔的距離就減少 ＋ ＝
（公尺）所以 divide （分）後就會相遇
大雄起跑時兩人相距
多少公尺
兩人相背而跑一秒鐘兩人跑的距離和是 ＋ ＝ （公尺）
第一次相遇時兩人跑的距離加起來就是操場一圈
有一條自行車道兩端相距 公里俊仁和建一從車道
的兩端相向騎自行車俊仁的車速是 公尺分建一的
車速是 公尺分他們幾分鐘後會相遇
操場一圈 公尺新民和俊仁同時同地相背而跑如
果新民和俊仁的跑步速率分別是 公尺秒和 公尺秒
他們從出發到第一次相遇會經過幾秒那時新民和俊仁各
跑了多長的距離
答1 秒2新民跑了 公尺俊仁跑了 公尺
＋ ＝
divide ＝
times ＝
times ＝
新民跑的
俊仁跑的
兩人 秒跑的距離和是 公尺多
少秒後距離和會是 公尺
運動場一圈 公尺立行和玉芳同時同地相背而跑
立行的速率是 公尺秒玉芳是 公尺秒第 次相遇時是
他們出發後的幾分幾秒
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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總距離 ＋ ＝ （公里）
總時間 ＋ ＝ （時）
平均速率 divide ＝ times ＝ （公里時）
甲地到乙地的距離是 公里乙地到
丙地的距離是 公里爸爸開車從甲地到乙
地花了 小時從乙地到丙地花了 小時
從甲地到乙地的速率是多少公里時從
乙地到丙地的速率是多少公里時
從甲地經乙地到丙地的平均速率是多少
平均速率＝總距離divide總時間
比較例 的 和 知道平均速率並不是直接求兩段速
率的平均
（ ＋ ）divide ＝
divide ＝
divide ＝ times ＝
divide ＝ （秒）
divide ＝ （秒）
總距離 times ＝
總時間 ＋ ＝
平均速率 divide ＝ ＝ （公尺秒）
這是錯誤的作法
答甲地到乙地 公里時乙地到丙地 公里時 答 公尺秒
答 公里時
小明去爬山從山下到山上的路程是 公尺原路
來回已知他上山花了 小時下山花了 小時他來回的平
均速率是多少公尺時
如果將例 中的 公尺換成 公尺全程的平均速
率是多少
有時開車從甲地到乙地的速率並不都是固定的這時如
果要求出這趟行程的平均速率就要算出總距離和總時間
再算出平均速率
注意到平均速率並不是求不同速率的平均的意思
平均速率＝總距離divide總時間
姊姊參加 公尺折返跑去程的速率是 公尺秒回
程的速率是 公尺秒全程的平均速率是多少
去程所花的時間
回程所花的時間
平均速率不是
（ ＋ ）divide 哦
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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下面各題對的打 錯的打times
試著不算出速率判斷誰的速率比較快
1臺灣上午 時在距離臺灣 公里的太平洋海底深
處發生地震並引發海嘯如果海嘯的速率是 公里時
海嘯何時到達臺灣
有一艘船在靜水中 小時可以行駛 公里
小可 秒跑 公尺小英 秒跑 公尺
小齊 分鐘走 公尺東東 分走 公尺
圓圓騎車 分鐘騎 公里方方騎車 小時騎 公里
這艘船在靜水中的速率是多少公里時
這艘船在一條河中航行從甲鎮逆流而上 小時走了
公里到達乙鎮這條河的流速是多少公里時
蝸牛爬行的速率大約是 公尺秒
獵豹的速率是 公里時鴕鳥的速率是 公尺分所以鴕鳥的速率比獵豹快
操場一圈 公尺光明 秒跑一圈大偉 秒跑一圈大偉跑得比較快
操場一圈 公尺明明 秒跑一圈東東 秒跑半圈東東跑得比較快
小可爸爸上午開車到南部上午 時的時候已經開了公里他開車的速率是 公里時
小可 秒走 公尺小英 秒走 公尺小可走 公尺
的時間小英走了 公尺
陳叔叔和大雄跑步的速率分別是 公尺秒和 公尺秒如果大雄先跑 秒陳叔叔才開始跑幾秒後陳叔叔可以追上
大雄
如果它從乙鎮再順流而下幾小時後船可到達甲鎮
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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當我們要解一個問題時試著從比較簡單的情況想起
是一個不錯的解題策略這一節我們要練習這一種解題策
略
從 到 共有幾個整數列出算式做做看
從 到 的整數中共有幾個偶數
－ ＋ ＝
答 頁
divide ＝
divide ＝
－ ＋ ＝
答 個
小英讀一本小說從第 頁讀到第 頁她共讀了幾
頁
從 到 的整數中 的倍數共有幾個
12簡化與歸納2-1
從 個正方形排到 個共增加 個正方形所以共需要
＋ times ＝ (枝)
答 枝
大華用火柴排出 個相連的正方形如下圖一共需
要幾枝火柴
上題還能列出不同的算式嗎說說看你的想法
太大先觀察 個 個 個⋯正方形的情形
由上圖可知除了第一個正方形要用 枝火柴每增加 個正
方形要增加 枝火柴
＋ times ＋ times ＋ times
⋯⋯
先從讀到第 頁第 頁⋯的情況想起
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ ＝ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
從第 頁到第 頁共有 － ＋ (頁)
⋯⋯
⋯ ⋯
＝ times
＝ times
＝ times
＝ times
從 數到 共有幾個數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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⋯⋯
大雄排出 個長方形如下圖一共需要幾枝火柴
大雄和小英分別用火柴排出相連的長方形
一串串珠如下圖
⋯⋯
小英排出 個長方形如下圖小英需要的火柴比大雄多
還是少
將一列相連的正方形塗上紅藍兩色如下圖
第 個正方形要塗上什麼顏色
⋯⋯
divide ＝ ⋯
答紅色
剩下 個依序要塗上
先觀察前面幾個有些什麼規律
再想想第 個正方形要塗上什麼顏色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
剩下 個依照紅藍藍紅的順序第 個要塗上藍色
⋯⋯
從第 個開始
每 個形成一組
還有別的做法嗎
從第 個到第 個正方形有幾個塗成藍色
divide ＝ ⋯
times ＋ ＝
答 個
剩下 個有 個塗成藍色
先觀察簡單的情況 個 組來觀察
第 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
前 組的 times 個 有 times 個塗成藍色
譬如要算 個正方形有多少個藍色
divide ＝ ⋯ 表示有 組
因此有 times ＝ 個藍色再加上剩下的有 個要塗成藍色所以共有 個
塗成藍色
第 個串珠是下面的那一種
用 個串珠依照順序串成一條項鍊其中有幾個圓形的串
珠有幾個紅色的串珠
⋯⋯
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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點心吧推出下午茶組合 種飲料搭配 種點心任選飲
料點心各一種都是 元飲料和點心共有幾種搭配方式
下面是阿和小吃店的菜單一種飲料和一種主餐搭配成
一份套餐可以減價 元套餐價錢在 元以下的搭配方式有
幾種
times ＝ 答 種
跳土風舞時一男一女搭配為一組班上有 位男生
和 位女生共有幾種搭配方式
唱片行綠標CD一律 元共有 種紅標CD的價錢
和種數如下表若紅標CD搭配綠標CD可以減價 元減
價完價錢少於 元的搭配方式有幾種
先從簡單的情況想起
注意事項附件1可供進行本頁的教學活動
因為飲料的價錢都是
元所以只要主餐
價錢在幾元以下就
可以搭配出 元以下
的套餐
主餐
涼麵
肉羹
鮮菇飯
雞腿飯
排骨飯
魚排飯
飲料
冬瓜茶
紅茶
檸檬汁
紅標CD
價錢（元）
種數（種）
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
times ＝
有 種搭配方式
種飲料搭配 種主餐有 times 種搭配方式
如果主餐是 元套餐剛好是
（ ＋ ）－ ＝ （元）
＋ ＝
－ ＝
價錢在 元以下的主餐有 種
times ＝
答 種
種飲料
種飲料
種飲料
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種飲料搭配 種點心
種點心
種點心
種點心
所以 種飲料搭配 種點心有 times 種搭配方式
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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周伯伯有一塊農地面積是 公畝其中 公畝種
花椰菜如果將全部農地的面積當作 花椰菜園的面積是
多少
玉英有 元學文有 元 學文的錢是玉英的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
動物園中斑馬的體重是 公斤河馬的體重是
公噸如果將斑馬的體重當作 河馬的體重是多少（ 公噸＝ 公斤）
玉英的錢是學文的幾倍誰的錢是基準量誰的錢是比較
量
基準量與比較量（ ）2-2 小英家到學校的距離是 公尺到車站的距離是
公尺將 公尺當作 怎樣繪製線段圖來表示 公尺
做為基準被當作 的量叫做 和基準量比較的量叫
做 例如將 公尺當作 （做為基準量） 公尺
（也就是比較量）是 公尺的 倍也就是
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝
比較量 基準量 比值
divide ＝ times ＝
答
公尺
公尺
公尺
公尺
到學校
到學校
到車站
到車站
公畝 農地
公畝
花椰菜園
divide ＝ 表示 公尺是 公尺的 倍將
公尺當作 那麼 公尺就是 線段圖如下
反過來如果將小英家到車站的距離當作 那麼小英
家到學校的距離會是多少呢在這個情況裡基準量是
公尺比較量是 公尺
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果露出水面的木棒長 公分在水中的部分有多長
丁伯伯今年的體重是去年的 倍他去年的體重是
公斤今年的體重是多少公斤
爸爸開車油箱的汽油用掉了原來的 如果原來
油箱中有 公升的汽油現在油箱有多少汽油
times ＝ ＝
答 公分代表 公分 代表多少公分
去年的體重是
今年的體重是
颱風前青蔥一斤 元颱風後漲了 颱風後青
蔥一斤多少元
立德國小女生人數是男生的 倍如果男生有 人
全校學生有多少人
＝
＋ ＝
times ＝
答 元
露出水面公分
水中的部分公分
颱風後的價錢是颱風前的＋ ＝ (倍 )
颱風前
颱風後
元
元
今年冬天小白菜的價錢比去年冬天便宜 去年冬
天小白菜的價錢一斤 元今年冬天小白菜一斤多少元
＝
－ ＝
times ＝
答 元
小英有 元新民的錢是小英的 倍新民比小英多多少元
小瓶子的容量是 毫升大瓶子的容量是小瓶子的
倍大小瓶子合起來的容量是多少毫升
－ ＝
times ＝
答 元代表 元 代表多少元
小英元
新民元
今年價錢是去年的 － ＝ （倍）
去年元
今年
元
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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一根木棒插入水中木棒在水中的長度是露出水面的
倍如果在水中的木棒長 公分露出水面的部分有多
長
一瓶牛奶喝掉 瓶還剩下 毫升這瓶牛奶原來有
多少毫升
鄭伯伯今年的體重是去年的 倍他今年的體重是
公斤去年的體重是多少公斤
一條緞帶用掉 後還剩下 公尺這條緞帶原來有多長
divide ＝ times ＝
答 公分
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 毫升
代表 毫升 代表多少毫升
( )times ＝
毫升
毫升
原來
剩下
( )times ＝
如何求( )
颱風過後高麗菜的價錢比颱風前漲了 颱風過
後高麗菜一公斤 元颱風前高麗菜一公斤多少元
代表 公分 代表多少公分
( )times ＝
露出水面公分
水中的部分公分
＝
＋ ＝
divide ＝ times ＝
答 元
代表 元 代表幾元
( )times ＝
颱風前
颱風後
元
元
基準量與比較量（ ）2-3
姊姊跑步的速率是小英的 倍如果兩人同時跑了
分鐘後姊姊跑的距離比小英多 公尺小英 分鐘跑的距
離是多遠
大雄的錢本來是小華的 倍買了一本 元的書後
錢就和小華一樣多小華和大雄原本各有多少元
參加鋼琴比賽的小朋友中女生比男生多 參加
的女生有 位參加的男生有幾位
－ ＝
divide ＝
答 公尺
姊姊跑的距離是小英的 倍將小英 分鐘跑
的距離當作 姊姊 分鐘跑的距離就是
公尺
公尺
小英
姊姊
( )times ＝
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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老張和老王合力完成一件工程老張做了這件工程的
剩下的老王完成老王做的是老張的幾倍
如果將小安全部的錢當作
買小說的錢就是 買文具的錢就
是 問「小說的價錢是文具的幾
倍」等於在問 是 的幾倍
divide ＝ （倍）
雖然我們不知道小安全部有多少元也不知道買小說和
買文具的錢但我們仍然可以算出這個問題的答案
將基準量當作 是一個很重要的想法前面我們已經看
到很多例子有時候我們甚至可以在不知道基準量與比較
量的情況下解題
例如小安買一本小說和一套文具各花去她全部錢的 和
小說的價錢是文具的幾倍
有甲乙兩數甲數是乙數的 倍如果甲數和乙數加起來是 求甲乙兩數
回答下列問題 葡萄一斤的價錢是柳丁的 倍草莓一斤的價錢是柳丁的
倍草莓一斤的價錢是葡萄的幾倍
小明和爸爸媽媽合力漆一面牆壁小明漆了 面
牆媽媽漆了 面牆其餘的爸爸漆完爸爸漆的是小明的
幾倍是媽媽的幾倍
－ ＝
divide ＝ times ＝
答 倍
將全部工程當作 老張和老王做的各是多少
買小說的錢
買文具的錢
小安全部的錢
老張做的 老王做的
爸爸的年齡是小可的 倍爸爸和小可年齡數的和是
小可今年幾歲
＋ ＝
divide ＝
答 歲
小可年齡
兩人的年齡和
（ ）times ＝
歲
哥哥的身高是東東的 倍弟弟的身高是東東的 倍
弟弟的身高是哥哥的幾倍
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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颱風以 公里時的速率直逼臺灣而來如果颱風中心
現在距離臺灣大約 公里颱風中心大約在多少時間後會
登陸臺灣(答案用分數表示)
熟練數學公式並靈活運用對學習數學有很大的幫助
例如速率公式就是常用的公式之ㄧ
速率＝距離divide時間
這個關係式告訴我們只要知道其中的兩個量就可以算出
第三個量例如知道速率和時間就可算出距離
距離＝速率times時間
或者知道距離和速率也可以算出時間
時間＝距離divide速率
光的速率是 公里秒赤道半徑大約是 公里
以光的速率繞赤道一圈大約需要多少秒(用四捨五入法取答案
的概數到小數第 位)
數學公式（ ）2-4
times times ＝
divide ＝ ⋯≒ (秒)
答 秒
當速率固定時由公式距離＝速率times時間知道
或者當時間固定時由距離＝速率times時間知道
楊叔叔開車 分鐘可以開 公里若速率不變他
開 公里需要花多少分鐘
divide ＝
times ＝
答 分鐘
丁阿姨開車 分鐘可以開 公里若速率不變她
分鐘可以開多少公里
大華跑步的速率是王爺爺快走速率的 倍兩人同時
繞運動場運動當王爺爺走完 圈時大華跑了幾圈
速率不變時
如果距離是 公里的 倍
所需時間就是 分鐘的 倍
距離和時間成正比
距離和速率成正比
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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我們曾經學過許多公式其中物品單價數量與總價就
和速率公式有類似的關係
因為這兩種情況的計算相似因此解題的想法也一樣
例如商品單價固定時數量和總價會成正比而數量固定
時總價和商品單價會成正比
底下大家熟悉的問題也可以用這樣的想法重新思考
單價＝總價divide數量
數量＝總價divide單價
總價＝單價times數量
長方形面積
面積＝長times寬
長＝面積divide寬
寬＝面積divide長
速率公式
距離＝速率times時間
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
平行四邊形面積
面積＝底times高
底＝面積divide高
高＝面積divide底
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
加油 公升要 元只加 公升要多少元
divide ＝ （倍）
times ＝ （元）
答 元
爸爸要將汽車的油箱加滿他算了一下A牌汽油 公
升 元總共要花 元結果他加了B牌汽油花了 元
B牌汽油 公升要多少元
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的寬相等甲長方形的長是乙長方形長
的幾倍
有大小兩個平行四邊形面積分別是 平方公分
和 平方公分如果兩平行四邊形的高相等小平行四邊
形的底邊是 公分大平行四邊形的底邊是多少公分
甲乙兩個長方形面積分別是 平方公分和 平方
公分如果兩長方形的長相等甲長方形的寬是乙長方形寬
的幾倍
divide ＝ ＝
答 倍
divide ＝ （倍）
times ＝
答 公分
因為長方形面積＝長times寬所以當甲
乙兩長方形寬相等時面積和長成正
比也就是說甲面積是乙面積的幾
倍甲的長就是乙的長的幾倍
長方形和平行四邊形的面積公式也和速率的公式很類
似
總價＝單價times數量
單價固定時總價和
數量成正比
總價＝單價times數量
數量固定時總價和
單價成正比
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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底下我們再介紹兩個和速率公式有類似關係的應用
假如 公克的食鹽水中有 公克的食鹽食鹽占食
鹽水的比率是
食鹽的比率＝ ＝
食鹽水是食鹽和水的混合將食鹽水的重量當作總量食鹽
(或水)的重量當作部分量比率的公式就可以寫成
比率＝部分量divide總量
和速率公式比較
數學公式（ ）2-5
比率＝部分量divide總量
總量＝部分量divide比率
部分量＝總量times比率
時間＝距離divide速率
速率＝距離divide時間
距離＝速率times時間
將 毫升的西瓜汁加入牛奶後做成西瓜牛奶結果
西瓜汁占西瓜牛奶的比率是 加入的牛奶是幾毫升
將 公克的糖加入水中結果糖的重量占糖水重量的比
率是 原來還未加糖的水是幾公克
divide ＝ divide
＝ times ＝
－ ＝
答 公克
總量＝部分量divide比率
注意總量是糖與水的和
由於比率的公式和速率公式相似因此解題的想法也類
似例如比率固定時部分量和總量會成正比而總量固
定時部分量和比率會成正比
一杯 公克的食鹽水中有 公克的食鹽以此固定比率
調製另一杯食鹽水 公克的食鹽水中有多少公克的食鹽
毫升的木瓜牛奶需要加入 毫升的牛奶若用相
同的比率 毫升的牛奶可以做成多少毫升的木瓜牛奶
divide ＝
times ＝
答 公克
食鹽水變成 倍
食鹽就變成 倍
比率固定時食鹽重量和食
鹽水重量成正比
因此食鹽水變成幾倍食鹽
就要變成幾倍
小明要調製固定重量的食鹽水如果調製比率 的食
鹽水需要 公克的食鹽調製 的食鹽水需要多少公
克的食鹽
木瓜牛奶杯子的容量固定加入牛奶 毫升時牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是 如果只加入牛奶 毫升牛奶
占整杯木瓜牛奶的比率是多少
divide ＝ （倍）
times ＝ （公克）
答 公克
總量固定所以比率和部分
量（食鹽重量）成正比
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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陳叔叔和王叔叔用相同的利率在銀行存款一年後
陳叔叔和王叔叔各領到 元和 元的利息如果陳叔
叔存 元王叔叔存了多少元
divide ＝ ＝
times ＝
答 元
因為利率一樣所以利息是幾
倍存款就會是幾倍
到郵局或銀行存錢時計算利率時也用到類似的公式
利率＝利息divide本金
翁叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息翁叔叔的本金是多少元
＝
divide ＝
答 元
楊叔叔一年期存款的年利率是 一年後可以領到
元的利息楊叔叔的本金是多少元
利率＝利息divide本金
所以本金＝利息divide利率
甲乙兩家銀行一年期存款的年利率分別是 和
楊伯伯在這兩家銀行存一樣多的錢ㄧ年後他從
甲銀行領到的利息是乙銀行的幾倍
利率＝利息divide本金
本金＝利息divide利率
利息＝本金times利率
速率＝距離divide時間
時間＝距離divide速率
距離＝速率times時間
林阿姨一年期存款的年利率是 一年後本金和利
息共可以領到 元她的本金是多少元
基準量的概念也可以應用到存款的問題例如翁叔
叔一年期存款的年利率是 他現在存入 元一年
後本金和利息共可領回多少元
如果將本金當作 利息是 ＝ 本金加利息就是
＋ ＝
times ＝
所以翁叔叔可領回本金和利息共 元
李先生到銀行存 元一年期存款的年利率是
一年後本金和利息共可領回多少元
＋ ＝ ＝
divide
＝
答 元
本金 利息
本金加利息
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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有一本書收集了幾篇小說小華喜愛的小說是在書裡的第 頁到第 頁這篇小說共有幾頁
小英用火柴排出 個相連的長方形如下圖一共需要幾枝火柴
2
俊仁買一本書和一套文具各花去他全部錢的 和
書的價錢是文具的幾倍
枝牙籤和 把尺一樣長 枝筆也和 把尺一樣長枝牙籤的長是 枝筆長的幾倍
林伯伯和李叔叔用相同的利率在銀行存款一段時間
後林伯伯領到 元的利息李叔叔領到 元的利
息林伯伯存的本金是李叔叔的幾倍
丁阿姨將 杯芭樂汁和 杯柳橙汁混合做成綜合果汁若用相同的比率 杯芭樂汁需要配幾杯柳橙汁
鐘錶店最近推出 種新的錶面款式及 種新的錶帶款式新民要買一隻新錶他共有多少種選擇
觀察下列數字的規律第 個數字是多少
⋯⋯
⋯
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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塊地磚的體積是多少
右圖是一塊長寬高各為 公分 公分
公分的地磚
有一長方體底面積是 平方公分高是 公分體
積是多少立方公分
3直角柱的體積3-1
塊地磚疊在一起的體積是多少
塊地磚疊在一起的體積是多少
由例 得到下圖長方體的體積
因此長方體的體積＝底面積times高
高
times times ＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
times times ＝ times
＝ (立方公分)
體積＝ times times高
＝ times高times ＝ 是長方體底面的
面積稱為底面積
這個三角柱的底面是一個直角三角形
兩個一樣的直角三角形可以拼成一個長方形
＋
右圖是一個底面為直角三角形的三角柱
這個三角柱的體積是多少
利用東東的想法可以取兩個一樣的三角柱組合成下
面圖 的長方體
單位公分
＋
長方體體積＝ times times ＝
三角柱體積＝ times ＝
上面的算式可以改寫成
三角柱體積
＝ times times times ＝（ times times ）times ＝
答 立方公分
長方體的體積是三角柱體積的 倍
底面積 高
注意事項附件23可供進行本頁的教學活動 注意事項附件45可以組合成圖1
圖
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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底面積 times times ＝
四角柱體積 times ＝
答 立方公尺
底面積 高
有一底面是菱形的四角柱底面的兩條對角線長分別
是 公尺和 公尺如果這個四角柱的高是 公尺這個四角
柱的體積是多少
右圖是一個底面為平行四邊形的四角柱
它的體積是多少
計算下面直角柱的體積（單位公分）
底面為三角形的直角柱
底面為平行四邊形的直角柱
菱形面積＝ times兩對角線的乘積
由前面的例子可以得到一般直角柱的體積公式為
直角柱體積＝底面積times高
這個四角柱的底面是一個平行四邊形
將平行四邊形切割後重組成長方形
利用小杰的想法可以將這個四角柱切割後重新組合
成長方體如下圖
因為圖 是圖 切割後的重新組合所以這兩個柱體的體
積相同
注意事項附件67可以組合成圖2
times times ＝
答 立方公分
times 可以看成長方形底面的面
積也可以看成平行四邊形底面
的面積
圖 圖
底面積 高
單位公分
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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有一高為 公分的五角柱體積是 立方公分底面
積是多少平方公分
divide ＝ ＝
答 平方公分
有一高為 公尺的六角柱體積是 立方公尺底面積
是多少平方公尺
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分將 毫升的水倒入瓶中水面有多高
毫升＝ 立方公分
divide ＝
答 公分
有一容量為 公升的四角柱瓶子瓶子內的底面積是
平方公分瓶內原有 毫升的水如果再倒入 毫升
的水後水面的高度會增加多少公分（ 毫升＝ 立方公分）
＝底面積times
底面積可用除法求得
＝ times水高
水高可用除法求得
如右圖有一高為 公分的直圓柱底面是半
徑為 公分的圓我們想要求直圓柱的體積
直圓柱的體積3-2
將直圓柱切割成 等分 等分 等分
再重新組合如下圖
觀察上圖回答下面的問題
1比較圓柱與所拼成的形體兩者的底面積相同嗎
2 如果圓柱切割越多等分合成的柱體是不是越來越像長
方體怎樣求出它的體積呢
底面積 times times ＝
體 積 times ＝
所以圓柱體的體積是 立方公分從上面的課文可
以知道
直圓柱體積＝底面積times高
右圖是一個直圓柱底面是直徑為 公分的
圓求直圓柱的體積
等份 等份 等份
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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右圖是一個半徑為 公分的直圓柱體積
是 立方公分直圓柱的高是幾公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
有一體積為 立方公分的直圓柱高是 公分底面
積是多少平方公分
有一個直圓柱體積是 立方公分它的底面直徑是
公分高是多少公分
右圖是一個內部半徑為 公分高為 公分
的直圓柱瓶子現將 毫升的水倒入瓶中
水面有多高（ 毫升＝ 立方公分）
有一個高為 公分的扇形直柱體底面是如下圖的扇
形求這個直柱體的底面積及體積
花瓶的容量是 毫升表示
花瓶的容積是 立方公分
右圖是一個扇形柱體底面的扇形是 圓
求柱體的體積
一個直圓柱花瓶的容量是 毫升花瓶內部
的半徑為 公分花瓶內部的高是多少公分
單位公尺
單位公分
底面積 times times times ＝
體 積 times ＝
答 立方公尺
有一高為 公分的直圓柱體積是 立方公分
底面積是多少平方公分
＝底面積times
如何求底面積
＝ times高
高可用除法求得
divide ＝
答 平方公分
底面積 times times ＝
高 divide ＝
答 公分
deg
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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複合形體3-3
將兩個底面相同的六角柱如右圖疊在一
起這兩個六角柱的高分別為 公分和 公分這
兩個六角柱體積的和為 立方公分求底面積
將兩個底面相同的直圓柱如右圖疊在一
起這兩個直圓柱的高分別是 公分和 公分
如果這兩個直圓柱體積的和是 立方公分求
底面積
高 ＋ ＝
底面積 divide ＝
答 平方公分
times times times ＝
times times times ＝
－ ＝
答 立方公分
將兩個底面半徑分別是 公分和 公分
的直圓柱如右圖疊在一起體積是多少
算出右圖空心直圓柱的體積
單位公分
想成半徑 公
分的直圓柱扣
掉半徑 公分
的直圓柱 移走
將一個直圓柱和一個長方體如右圖
疊在一起求此複合形體的體積
直 圓 柱 times times times ＝
長 方 體 times times ＝
複合體積 ＋ ＝
答 立方公分 單位公分
單位公分
可以這樣算
times times times － times times times
＝ times times（ times － times ）
＝ times
＝
因為直柱體的體積＝底面積times高所以當底面積固定
時體積和高成正比
有一個內部是直圓柱的容器容量是 公升裝入
毫升的水時水面高度是 公分如果裝入 毫升的水
水面高度是多少公分
divide ＝ ＝
times ＝
答 公分
容器裡水量變成幾倍時
水面高度就會變成幾倍
甲乙兩個直柱體體積分別是 立方公分和 立方
公分如果兩直柱體的高相等甲直柱體的底面積是乙直柱
體底面積的幾倍
注意事項分配律在5年級教過本冊在下一章會再練習
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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算出下列各題的體積(單位公分)
底面積是 平方公分高是 公分的長方體
右圖是一個底面為梯形的四角柱
右圖是一個直柱體底面為直徑 公分的
半圓
右圖是一個扇形柱體底面是圓心角為 deg
的扇形
右圖是一個空心的長方體水泥柱
每邊厚度 公分
右圖是一個五角柱
右圖是一個挖去直圓柱的長方體
3
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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算算看
－( － ) －( － )
＋ divide
＋ times
－ divide
－ divide
有括號時括號內的算式要先算
算算看
－( ＋ )
＝ －( ＋ )
＝ －
＝ － ＝
－( ＋ )
＝ －
＝
算算看
分數和小數的四則計算和整數一樣我們用下面的例子
來說明
＋ － divide times
算算看
4分數和小數的四則計算4-1
＋ －
＝ －
＝
times divide
＝ divide
＝ times ＝
只有加減或只有乘除時算式由左算到右
算算看
－ divide
＝ － times
＝ －
＝ － ＝
＋ times
＝ ＋
＝
先算乘除再算加減
先做 times ＝
算算看
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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算算看
times( － )
divide( divide )
divide( ＋ )
divide( － )
算算看
divide( ＋ )
＝ divide( ＋ )
＝ divide
＝ times
＝
times( divide )
＝ times
＝
如果算式中同時有分數和小數可先將小數化為分數
或將分數化為小數後再計算
算算看
＋ －
＝ ＋ －
＝ －
＝
－( － )
＝ －( － )
＝ －
＝
times( － )
＝ times( － )
＝ times
＝
times
＝ times
＝
算算看
＋ －
－ times
( － )divide
( ＋ )divide
也可以想成
times
＝
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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以前在做整數的加減計算時有時先看看式子中那兩
個數可以先算會讓計算過程變的比較簡單下面的例 和
例 是分數小數的加減計算在計算時和整數一樣適時
的運用規律會比較好算
＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＋ －
＝ ＋
＝
－ －
＝ － －
＝ － ＝
＋ －
＝ － ＋
＝ ＋
＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
運用去括號規則計算下面各題
＋ ＋
＋ －
＋ －
－ －
說說看下面各題中的算法用了那些規律
運算規律4-2說說看下面各題中的算法用了那些規律
－ ＋
＝ ＋ －
＝ ＋ ＝
－ ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
想想看下面的算式怎麼算比較好算再算算看
－ ＋ － ＋
當算式中碰到括號時有一些特別的規則例如下面的
1和2告訴我們括號前是加號時去掉括號後原來括號
內的加號或減號不變
1 ＋( ＋ )＝ ＋ ＋ 2 ＋( － )＝ ＋ －
當算式中有分數或小數時也有一樣的去括號規則
＋( － ) ＋( ＋ )
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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說說看下面各題中的算法用了那些規則
－( ＋ )
＝ － －
＝ － －
＝ － ＝
－( － )
＝ － ＋
＝ ＋ －
＝ － ＝
特別要提醒大家如果括號前面是減號時去括號規則
是不同的舉例說明如下「 顆糖吃了 顆再吃 顆剩下
幾顆」有兩種做法
有時候在連減的算式中加上括號可以讓計算變的簡
單例如 － － 可以寫成 －（ ＋ ）分數和
小數的連減算式也可以運用相同的規則「 顆糖果吃 顆再買 顆剩下幾顆」也有兩種做法
吃了 顆再買 顆相當於
少了（ － ）顆所以剩
下 －（ － ）
－ ＋ ＝ －（ － ）
－ － ＝ －（ ＋ ）
吃了 顆再吃 顆
可列成 － －
吃了 顆再買 顆
可列成 － ＋
共吃了（ ＋ ）顆
剩下 －（ ＋ ）
當括號前面是減號時去掉括號後原來括號內的加號要變
成減號減號要變成加號
－（ ＋ ）＝ － － －（ － ）＝ － ＋
「＋」變「－」 「－」變「＋」
仿照例 的方法算算看
－( ＋ ) －( － )
仿照例 的方法算算看
－ － － －
分數和小數的乘除計算可利用約分來簡化計算
說說看下面各題中的算法用了那些規則
算算看
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
divide
＝ times ＝ (或 )
－ －
＝ －( ＋ )
＝ － ＝
times times
＝ times times ＝
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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divide
divide( times )
times( times )
＝ times times
＝
times
divide( times )
divide( times )
＝ times times
＝
divide
divide( divide )
times( times )
＝ times times
＝ times
＝
仿照例 的方法算算看
仿照例 的方法算算看
做分數和小數的乘除計算時有時先不算出中間的一些
步驟反而可以簡化計算例如
divide( times )＝ divide( timestimes )
＝ times timestimes ＝
算算看
先不算出 timestimes
＝
我們以前學過分配律分配律可以用來計算類似下面的
算式
times
＝( － )times ＝ times － times
＝ － ＝
或類似下面的算式
times ＋ times ＝( ＋ )times
＝ times ＝
分數和小數的計算也遵守分配律
( ＋ )times ＝ times ＋ times
times － times ＝( － )times
分配律4-3
乘法對減法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對加法的分配律
乘法對減法的分配律
用分配律算算看
times times ＋ times
1 times ＋ times 和 times( ＋ )的答案是不是相等
2 times － times 和 times( － )的答案是不是相等
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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times times － times times
用分配律填填看
times( － )＝ times － times
times ＋ times ＝ times( ＋ )
用分配律算算看
times ＋ times
＝ times( ＋ )
＝ times
＝
times － times
＝ times － times
＝( － )times
＝ times ＝
用分配律算算看
times － times times ＋ times
將相同的
提出
將相同的
提出
用分配律算算看
用分配律算算看
＋ times
times
times －
times
用分配律算算看
times
＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ ＋ ＝
times
＝( ＋ )times
＝ ＋ times
＝ ＋ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
也可以想成
times
＝ ＝
用分配律算算看
times ＋
＝( ＋ )times
＝ times
＝
times －
＝ times( － )
＝ times
＝
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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填填看
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
算算看
右邊的這塊長方形土地
分別種高麗菜和番茄
divide ＋ divide
＝( ＋ )divide
＝ times ＝
它的長邊是多少公尺
種高麗菜和種番茄的土地長邊相差多少公尺
由上面兩個算式我們知道
divide ＋ divide ＝（ ＋ ）divide
由上面的算式可以知道
divide － divide ＝（ － ）divide
算算看
divide － divide
分數和小數的計算也遵守
類似的規律例如
( ＋ )divide ＝ divide ＋ divide
divide － divide ＝( － )divide
除法也有類似的規律舉例說明如下
divide( ＋ )是不是等於 divide ＋ divide 呢
可以想成
( ＋ )divide ＝( ＋ )times
＝ times ＋ times
＝ divide ＋ divide
答長邊是 公尺
答長邊相差 公尺
先分別算出種高麗菜和番茄的長
邊然後相加
divide ＋ divide
＝ ＋
＝
divide － divide
＝ －
＝
先把種高麗菜和番茄的面積加起
來再算長方形土地的長邊
（ ＋ ）divide
＝ divide
＝
（ － ）divide
＝ divide
＝
長m
m高麗菜m
番茄m
divide
divide
＝( ＋ )divide
＝ divide ＋ divide
＝ ＋ ＝
也可以想成
divide
＝ times
＝
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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解題4-4
總分＝平均分數times
＝ times ＝
－( ＋ )＝
答 分
小華跑操場三圈平均一圈跑 分 秒他第一圈跑了
分第二圈跑了 分 秒他第三圈跑了幾分幾秒
小可三次數學平時考的平均分數是 分她第一次和
第二次的成績分別是 分和 分第三次的成績是幾分
總分減去前兩次分數的和
右圖是兩個直圓柱底面積分
別是 平方公分和 平方公分
高都是 公分求這兩個直圓柱的
體積和及體積差
和 times ＋ times
＝( ＋ )times
＝ times ＝
差 times － times
＝( － )times
＝ times ＝
答體積和 立方公分體積差 立方公分
右圖是兩個直角三角形底邊
分別為 公分和 公分高都是
公分求這兩個三角形面積的和
登山用品店全店打九折建明買一個背包和一個水
壺打折後分別付了 元和 元背包和水壺的定價總和
是多少元
書店全店打八折小華買一本字典和一本小說打折
後分別付了 元和 元字典和小說的定價相差多少元
divide － divide
＝( － )divide
＝ times
＝
答 元
八折是定價的 字典定價的 是 元字典定價times ＝字典定價＝ divide
總分divide ＝平均分數所以 總分＝平均分數times
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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下面各題對的打 錯的打times
算算看
4
－( － )＝ － －
－ － ＝ －( ＋ )
( ＋ )times ＝ ＋ times
divide( ＋ )＝ divide ＋ divide
－ ＋
times ＋ times
times － times
＋ ＋
times
divide
小明小華和小英三人平均每人有 元已經知道 小明和小華分別有 元和 元小英有多少元
今年冬天蔬菜的價錢是夏天的 冬天時花椰菜和
青江菜每斤的價錢分別是 元和 元夏天時這兩種菜每斤
的價錢相差多少元
下圖是兩個三角柱底面積分別是 平方公分和平方公分高都是 公分求這兩個三角柱體積的和
如下圖甲是長方形乙是平行四邊形求這兩個圖形面積的差
單位公分
甲 乙
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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25和差問題5-1
我們已經知道線段圖可以協助我們解題本節和 - 節
我們將進一步學習線段圖的用法
將兩人的差平分成
份 份姊姊留著
份給文英兩人的錢
就會相等
當兩人錢一樣多時每個人
的錢等於總和的平均
姊姊原有的錢減去平均後就
是給文英的錢
文英有 元姊姊有 元姊姊給文英多少元後兩
人的錢才會一樣多
小華有 張遊戲卡弟弟有 張弟弟要拿幾張給
小華兩人的遊戲卡才會一樣多
天平的兩端各有一杯果汁左邊的果汁重 公克右
邊的果汁重 公克左邊要倒多少公克的果汁到右邊天
平才會平衡
答 元
－ ＝
divide ＝
（ ＋ ）divide
＝ divide ＝
－ ＝
姊姊
文英兩人的差
做法一
做法二
丁阿姨買了一些葡萄和草莓共付了 元她只記得
草莓比葡萄貴 元葡萄和草莓的價錢各是多少元
爸爸給大雄和弟弟的零用錢共 元大雄的零用錢比
弟弟多 元大雄和弟弟的零用錢各是多少元
答大雄 元弟弟 元
－ ＝
divide ＝ ⋯弟弟
－ ＝ ⋯大雄
＋ ＝
divide ＝ ⋯大雄
－ ＝ ⋯弟弟
元減掉 元（和－差）
就是弟弟零用錢的 倍
元加 元（和＋差）
就是大雄零用錢的 倍
驗算
＋ ＝
－ ＝
兩人共得 元而且
大雄比弟弟多 元
弟弟的 倍
弟弟 大雄
大雄
弟弟
大雄
弟弟
大雄弟弟
做法一
做法二
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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小英和小華玩遊戲他們得到的點數合起來有 點
如果小英比小華少 點小英和小華各有多少點
甲乙兩數的和是 兩數的差是 如果甲數比乙數
大甲數和乙數各是多少
答甲數是 乙數是
－ ＝
divide ＝ ⋯乙數
－ ＝ ⋯甲數
有一個周長 公分的長方形如果寬比長少 公分
這個長方形的長和寬各是多少公分
將一條長 公分的繩子圍成一個長方形如果長比寬
多 公分這個長方形的長和寬各是多少公分
答長 公分寬 公分
divide ＝
－ ＝
divide ＝ ⋯寬
＋ ＝ ⋯長
這是和減差是寬的 倍
減（和－差）是
乙的 倍
長
寬
長和寬的和是繩長的
「農場裡的雞和兔子共有 隻如果牠們一共有 隻
腳雞和兔子各有幾隻」這是傳統的雞兔問題本節要學
習如何解這類問題我們先討論比較簡單的情況
隻兔子的腳數比 隻兔子和 隻雞合起來的腳數多多
少
答 隻
times ＝
做做看
隻兔子的腳數比 隻雞和 隻兔子合起來的腳數多多
少
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元 個大
人的入場費用比 個大人和 個兒童的入場費用要多多少
元
雞兔問題5-2
只要比 隻兔子和 隻
雞的腳數
每隻兔子比每隻雞多
隻腳
注意事項附件89可供進行本節的教學活動
甲
乙
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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甲農場養兔子乙農場養兔子和雞甲農場的兔子和
乙農場雞兔合起來的數量一樣多如果甲農場的兔子腳數
比乙農場雞兔合起來的腳數多 乙農場的雞有幾隻
乙農場養雞兔子共 隻雞和兔子合起來的腳數是
雞和兔子各有幾隻
答 隻
divide ＝
做做看
大小兩種筆記本價格相差 元大華只買大筆記本
小英大小筆記本都買如果他們兩人買的本數一樣多
但是大華多付了 元小英買了幾本小筆記本
博物館入場券大人每人 元兒童每人 元有兩個
人數一樣多的旅行團甲團只有大人乙團有大人和兒
童如果甲團入場費比乙團多付了 元乙團有幾個兒
童
少 隻腳共有幾隻雞
答雞 隻兔子 隻
times ＝
－ ＝
divide ＝
－ ＝
做做看
農場養雞兔共有 隻雞和兔子合起來的腳數是 雞
和兔子各有幾隻
大小兩種筆記本的價錢分別是 元和 元小英買了
本筆記本共花了 元她買了幾本大筆記本
想像有一個甲農場養了 隻兔子
全部腳的數量＝
全部腳的數量＝ times ＝
甲農場的兔子腳數
兩個農場腳數的差
乙農場兔子的數量
乙農場雞的數量
如果 隻都是兔子
腳數有 隻現在只
有 隻從腳數的差
可以求出雞的數目
⋯⋯ ⋯⋯
⋯⋯ ⋯⋯
乙農場養一隻雞總腳數就會少 隻
少 隻腳共養幾隻雞
⋯
⋯
⋯⋯
⋯⋯
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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當爸爸的年齡是小芳的 倍時小芳的年齡是 歲
－ ＝
媽媽的年齡和小可的年齡相差 歲當媽媽年齡是
小可年齡的 倍時媽媽是幾歲小可是幾歲
李四先生出生於民國 年他的兒子正達出生於民國
年他們的年齡相差幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
前面的 - 節我們學習利用線段圖表示兩數的和差關
係本節課我們將學習利用線段圖來幫助解決年齡問題
由線段圖知道李四年齡是正達年齡 倍時正達年齡
正好等於兩人的年齡差也就是 歲
做法一
依照題意爸爸歲時小芳出
生右圖是爸爸
和小芳到今年的
年齡線段圖
再過幾年後紅線會變成藍線的
倍所以藍線
長是
年齡問題5-3
答 歲
答 倍
－ ＝
－ ＝
divide ＝
李四出生
正達出生
民國年
民國年
李四
(續例 )當正達 歲要上小學時李四幾歲
(續例 )當李四 歲時他的年齡是正達年齡的幾倍
兩人的年齡差是正達年齡的幾倍
注意事項教師在重新命題或評量時請務必提供線段圖輔助學生解題
今年爸爸出生
小芳出生
爸爸
小芳
今年爸爸出生
小芳出生
（倍）
（倍）年
年爸爸
小芳
由上面知道不管是那一年李四的年齡和正達的年齡
都固定差 歲小芳今年 歲爸爸與小芳的年齡相差 歲再過幾
年爸爸的年齡是小芳的 倍
(續例 )當媽媽年齡是小可年齡的 倍時媽媽幾歲
小可幾歲
李四出生
正達出生
李四
正達
李四出生
正達出生
李四
正達
媽媽年齡是小可年齡 倍時小可的年齡是兩人的年齡
差也就是 歲
times ＝
答1媽媽 歲2小可 歲
媽媽
小可
媽媽
小可
李四出生
正達出生
李四
正達
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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－ ＝
答再過 年
做法二
大雄今年 歲爺爺與大雄的年齡相差 歲幾年後
爺爺的年齡是大雄的 倍 小英有 元姊姊的錢比小英多 元爸爸再各給兩
姊妹一樣多的錢後姊姊的錢就變成小英的 倍爸爸各給
她們多少元
當哥哥的錢是小華的 倍時小華的錢是 元
－ ＝
答各給 元
當爺爺的年齡是大雄的 倍時紅線
是藍線的 倍所以 是藍線的 倍
小華有 元哥哥的錢比小華多 元爸爸再各給兩
兄弟一樣多的錢後哥哥的錢就變成小華的 倍爸爸各給
他們多少元
爺爺
大雄年
年
姊姊
小英
爸爸給元
爸爸給元
仿照例 的想法先畫爸爸年齡是小芳年齡 倍的線段圖
仿例 的畫法依照題意哥哥比小華多 元
小芳今年 歲再過幾年是 歲 爸爸給錢後紅線會變成藍線的 倍所以藍線長是
紅線是藍線的 倍所以藍線長是
（倍）爸爸
小芳（倍）
小芳 年
哥哥
小華
哥哥
小華
爸爸給元
爸爸給元
（倍）
（倍）
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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芳如今年 歲姑姑 歲再過幾年姑姑的年齡是
芳如的 倍
哥哥有 元弟弟有 元爸爸再各給兩兄弟一樣
多的錢後哥哥的錢就變成弟弟的 倍爸爸各給他們多少
元
大小兩數相差 小數是 大小兩數同時加
多少後大數會變成小數的 倍
爸爸 歲時小華 歲今年爸爸年齡和小華年齡的
和剛好是 今年爸爸和小華的年齡各是幾歲
5
有ㄧ艘船在河上航行順流時的速率是 公里時
逆流時的速率是 公里時求船在靜水中的速率和河流的
流速
大杯熱桔茶賣 元小杯賣 元 杯大杯的價錢比杯大杯和 杯小杯合起來的價錢多幾元
中杯的容量是 毫升小杯的容量是 毫升ㄧ
瓶 毫升的牛奶剛好可以裝滿 個杯子其中小杯有幾
杯中杯有幾杯
一根紅色棒子長 公分一根藍色棒子長 公分
根棒子接起來有 公分長 根棒子中有幾根是紅色的
年
年姑姑
芳如
哥哥
弟弟爸爸給元
爸爸給元
大數
小數
順流船速＝靜水船速＋河流流速
逆流船速＝靜水船速－河流流速
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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6等量公理6-1
圖 的天平左邊盒子裝有砝碼重a公克右邊的砝碼共重 公克圖 表
示兩邊一樣重所以a＝
如果在天平兩邊各加上 公克如
圖 兩邊還是一樣重所以
a＋ ＝ ＋
也就是a＋ ＝
如果將圖 的天平兩邊各放原
來 倍的物品天平兩邊也會維持
平衡所以
atimes ＝ times
也就是atimes ＝
綜合上面的說明可以知道
在等號兩邊同時加減乘除一個相同的數等號兩邊
仍然相等這個性質稱為
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
a＋ ＝ ＋ a＋ ＝ ＋ ＋a＝ ＋
如果將圖 的天平兩邊各移走 公克
的砝碼兩邊還是一樣重所以
a－ ＝ －
也就是a－ ＝
如果b＝ 下面那些算式是對的圈圈看
b－ ＝ ＋ b－ ＝ － b－ ＝ ＋
a＋ － a＋ －
如果a＝ 求下列各算式
圖
如果a＝ 下面那些算式是對的圈圈看
atimes ＝ times timesa＝ times atimes ＝ ＋
右圖天平的兩邊一樣重所
以b＝ 如果在天平兩邊只擺
原來一半的物品天平兩邊仍
會維持平衡所以
bdivide ＝ divide
也就是 bdivide ＝
如果d＝ 下面那些算式是對的圈圈看
ddivide ＝ divide d＝ ddivide ＝ divide
ctimes divide cdivide times
如果c＝ 求下列各算式
圖
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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做做看
等量公理的應用mdash加與減6-2
同時在等號兩邊減去
a＋ － ＝ －
求出a的值
a＝ － ＝
有一個數aa＋ ＝ a是多少
等號兩邊同減
有一個數a ＋a＝ 求a
像上面這樣我們就可以求出算式中的 a
做做看
同時在等號兩邊加上
a－ ＋ ＝ ＋
求出a的值
a＝ ＋ ＝
有一個數aa－ ＝ a是多少
左邊要加減乘除什麼數才能讓a＋ 變成a
左邊要加減乘除什麼數才能讓a－ 變成a
有一個數aa－ ＝ 求a
a－ ＋ ＝ ＋
a＝ ＋ ＝
等號兩邊同加
x＋ ＝ ＋x＝
求算式中的未知數x 丁伯伯今年的體重比去年少 他今年體重是 公斤他去年體重是幾公斤
如果沒有線段圖來輔助說明同學們可能覺得這樣的
問題比較難列算式如果我們用a公斤表示丁伯伯去年的體
重依照題意可以列成如下的算式
a－atimes ＝
從這樣的算式求出a的值是國中數學的主要課題而
等量公理就是解決這類題目的重要工具本節的例題同學
可能都會做但是我們要重新學習怎麼用等量公理來思考這
類問題
x－ ＝ x－ ＝
求出算式中的未知數x
c－ ＝ c－ ＝
求出算式中的未知數c
如果算式是 －a＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理來求a這要等到同學們上國中再學習
因為a＋ 減 等於a所以在等號兩邊同減去
因為a－ 加 等於a所以在等號兩邊同加
去年的體重
相差的體重
今年的體重
＋a－ ＝ － a＝ － ＝
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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下面的問題或許都很簡單但我們要學習的是如何列式
並用等量公理求出未知數
小明身上有 元他還需要多少元才能買到定價
元的玩具車用a表示他需要的錢數
元再加上a元是多少元
＋a
玩具車的定價是 元列成算式
＋a＝
求出a的值
a＝ －
＝
答 元
等號兩邊同減
一杯果汁倒滿容量 毫升的瓶子後杯中果汁還有
毫升這杯果汁原來的容量有多少用b毫升表示原來的
容量
b毫升減 毫升還剩多少毫升
b－
杯中果汁還有 毫升列成算式
b－ ＝
求出b的值
b＝ ＋
＝
答 毫升
等號兩邊同加
等量公理的應用mdash乘與除6-3 除了在等號兩邊同時加或減一數外也可以同時乘以或
除以另一個數來求出未知數
做做看
有一個數aatimes ＝ a是多少
有一個數a timesa＝ 求a
timesadivide ＝ divide
a＝ divide ＝ times ＝
等號兩邊同除以
timesd＝ dtimes ＝
求出算式中的未知數d
timesy＝ ytimes ＝
求出算式中的未知數y
左邊要乘以或除以什麼數才能讓atimes 變成a
因為atimes 除以 等於a所以在等號兩邊同除以
同時在等號兩邊除以
atimes divide ＝ divide
求出a的值
a＝ divide ＝
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
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求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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a的 是多少
atimes
書的價格是 元列成算式
atimes ＝
求出a的值
a＝ divide
＝ times ＝
答 元
做做看
同時在等號兩邊乘以
adivide times ＝ times
求出a的值
a＝ times ＝
有一個數aadivide ＝ a是多少
等號兩邊同乘以
有一個數aadivide ＝ 求a
adivide times ＝ times a＝ times ＝
ddivide ＝ ddivide ＝
求出算式中的未知數d
ydivide ＝ ydivide ＝
求出算式中的未知數y
如果算式是 dividea＝ 上面並沒有學到怎麼利用等量公
理求a的方法這也是國中要學習的課題
小英買一本書花了全部錢的 如果這本書的價格是
元小英原有多少元用a表示小英原有的錢數
爸爸跑步的速率是小威的 倍小威跑操場 圈爸爸
可以跑操場幾圈用b表示爸爸跑的圈數
爸爸跑的圈數是小威的幾倍
bdivide
爸爸的速率是小威的 倍列出算式
bdivide ＝
求出b的值
b ＝ times
＝
答 圈
等號兩邊同乘以
左邊要乘以或除以什麼數才能讓adivide 變成a
因為adivide 乘以 等於a所以在等號兩邊同乘以
等號兩邊同除以
數學部編教科書網站 lthttpmathtextprojectedutwgt
求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
數學部編教科書網站 lthttpmathtextprojectedutwgt
求未知數6-4 當算式中的計算步驟比較多時我們還是可以用等量公
理來求出未知數底下用一個例子來說明
小英有 元如果小文用了 元後還比小英多 元
小文本來有多少元用a表示小文本來的錢數
依照題意可以列出一個算式
a－ － ＝
接著可以用等量公理求出a的值
a － ＝ ＋
a ＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝
兩邊同加
兩邊同加
a＋ ＋ ＝ a－ － ＝
求未知數a
a＋ － ＝ a－ ＋ ＝
atimes divide ＝ 求未知數aatimes ＝ times
a＝ times divide
＝times
＝
兩邊同除以
兩邊同乘以
atimes times ＝ adivide divide ＝
求未知數a
timesadivide ＝ adivide times ＝
timesa＋ ＝ 求未知數a
timesa＝ － ＝
a＝ divide ＝
atimes ＋ ＝ adivide ＋ ＝
求未知數a
兩邊同減
兩邊同除以
小文用了 元後剩下的錢
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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(a＋ )times ＝ 求未知數aa＋ ＝ divide ＝a＝ － ＝
timesa－ ＝ adivide － ＝
兩邊同減
兩邊同除以
( ＋a)times ＝ (a－ )times ＝
求未知數a
( ＋a)divide ＝ (a－ )divide ＝
當我們用求未知數的方法來解應用問題時首先要依照
題目的意思列出正確的算式然後再求出未知數所以我們
不僅要學會求未知數的方法還要學習如何列式這一節要
學習兩步驟的列式與解題
老師有一袋糖果他自己留了 顆其餘的平分給全班
人每位同學分得 顆原來的糖果有幾顆用a顆表示原
來糖果的數量
老師留下 顆還有幾顆
a－
（a－ ）平分給 人每人得幾顆
（a－ ）divide
每人分得 顆寫出等號右邊的值
（a－ ）divide ＝
求出a的值
a－ ＝ times ＝
a＝ ＋ ＝
答 顆
解題6-5
一個空油桶可以裝滿 公斤的油 桶裝滿油的油桶共
重 公斤ㄧ個空油桶的重量是幾公斤用a公斤表示一個
空油桶的重量 一桶油的重量
a＋ 桶油的重量
(a＋ )times 列出算式
驗算 － ＝
divide ＝
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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箱布丁有幾盒
btimes
（btimes ）盒平分給 人每人分幾盒
（btimes ）divide
每人分得 盒寫出算式右邊的值
（btimes ）divide ＝
求出b的值
btimes ＝ times
b＝ times divide
＝ times＝
答 盒
老師將 箱布丁平分給 位同學每位同學可以分得
盒布丁一箱有幾盒布丁用b盒表示一箱布丁的數量
水果店將一簍橘子平分成 箱媽媽買 箱共有 顆
橘子原來一簍有幾顆橘子用b顆表示一簍橘子的數量
一箱有幾顆橘子
bdivide 媽媽買了幾顆橘子
bdivide times 列出算式
一箱蘋果平分給 兄弟大哥將他分到的蘋果再分給
鄰居 顆自己還剩下 顆原來一箱有幾顆蘋果用c顆表示一箱蘋果的數量
箱蘋果平分給 人每人分到幾顆
cdivide
大哥分給鄰居 顆自己還剩幾顆
cdivide －
剩下 顆蘋果寫出算式右邊的值
cdivide － ＝
求出c的值
cdivide ＝ ＋ ＝
c ＝ times
＝
答 顆
凡夫今天要到屏東市路程長 公里他的車速是
公里時途中他在距離屏東市還有 公里的加油站加
油他從出發到加油站共開了幾小時的車用d小時表示
凡夫開到加油站的時間
d小時所走的距離 timesd再加上剩下的公里數
timesd＋ 列出算式
驗算 times ＝
divide ＝驗算 divide ＝
－ ＝
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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如果a＝ 下面各題對的打 錯的打times
6
a＋ ＝ ＋
atimes ＝ times
a－ times ＝ times
＋atimes ＝ times
用等量公理求出下列算式中的未知數a
＋a＝
a－ ＋ ＝
adivide ＝
atimes － ＝
adivide times ＝ (a＋ )times ＝
下面的問題先列出算式再用等量公理來解題
一個空麻袋可以裝滿 公斤的米 袋裝滿的米共重
公斤ㄧ個空麻袋重幾公斤用a公斤表示一個空麻袋的
重量
甲班和乙班的學生報名參加畫展ㄧ張門票 元乙班
報名的學生有 人最後總共收了 元的門票費甲
班報名的同學有幾人用b表示甲班報名的人數
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