Upload
xiaogenius-en
View
140
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matematik bukanlah suatu ilmu yang hanya berkaitan dengan nombor atau
simbol tetapi ia membawa pelbagai makna yang telah menjadi asas yang tidak dapat
diabaikan dalam kehidupan seharian kita masa kini. Cuba kita bayangkan kehidupan
yang tidak ada kewujudan Matematik. Tanpa Matematik, mungkin kita tidak dapat
menikmati kehidupan yang berteknologi tinggi seperti sekarang. Pastilah kehidupan kita
akan menjadi huru-hara dan banyak perkara akan tergendala tanpa ilmu Matematik.
Marilah kita lihat sejauh mana aplikasi algebra matriks membawa pengaruh kepada
kehidupan seharian kita.
Algebra matriks adalah salah satu cabang ilmu Matematik yang juga memainkan
peranan yang penting dalam kehidupan seharian. Menurut Wikipedia, algebra
merupakan cabang Matematik yang menggunakan penyataan Matematik bagi
menerangkan hubungan antara dua kuantiti unit , masa dan lain-lain. Bagi takrifan
matriks pula, Kartono (2004) mendefinisikan matriks sebagai objek atau pembolehubah
atau operator yang disusunkan secara persegi panjang yang biasanya dibatasi dengan
tanda kurung siku. Dengan ini, apakah itu algebra matriks? Algebra matriks ialah salah
satu bahagian yang merangkumi teori matriks termasuklah sistem bagi persamaan
linear, penentu matriks dan matriks songsang.
Aplikasi algebra matriks banyak digunakan dalam kehidupan seharian sama ada
disedari atau tidak, penggunaan aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam baik
dalam bidang ekonomi, ilmu-ilmu sosial, mahupun ilmu-ilmu alam. Penggunaan matriks
untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear pertama kali diperkenalkan oleh
Arthur Cayley pada tahun 1857.Dengan menggunakan matriks, penyelesaian sistem
persamaan linear menjadi lebih mudah diselesaikan khususnya untuk sistem
persamaan linear dengan pembolehubah lebih daripada tiga. Aplikasi matriks dalam
menyelesaikan persamaan linear biasanya dilihat semasa pembelajaan yang sering
dilaksanakan setiap hari. Sebagai contoh aplikasi matriks dalam penyelesaian masalah
pembelajaan adalah seperti berikut:
Imas dan Dewi pergi ke pasar. Imas telah membeli 3kg kentang dan 2kg lobak, dengan
itu Imas harus membayar RM 13.50. Manakala Dewi membeli 2kg kentang dan 1kg
lobak. Dewi harus membayar RM 8.50. Masalahnya ialah apakah harga bagi 1kg
kentang dan 1kg lobak?
Permasalahan tersebut boleh disusun seperti jadual di bawah:
Kentang (kg) Lobak (kg) Harga yang dibayar (RM)
Imas 3 2 13.50
Dewi 2 1 8.50
Katakan Harga Kentang =x dan Harga Lobak = y
Persamaan linear yang dapat dirumuskan daripada jadual ialah
3 x+2 y=135
2 x+ y=85
Aplikasi matriks songsang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear tersebut.
(3221)( xy )=(13585 )
A−1= 1|3−4|( 1−2−23 )=(−12 2
−3)X=A−1B
X=(−12 2−3)(13585 )=(3515)
Oleh kerana X=( xy), maka
x = RM 0.35, y = RM 0.15 iaitu harga bagi 1kg kentang ialah RM0.35 manakala harga
1kg lobak ialah RM 0.15.
Selain daripada masalah pembelajaan, matriks juga boleh diaplikasikan dalam
penyelesaian masalah penyediaan bahan untuk masakan. Sebagai contoh:
Mak Cik Aminah akan membuat 2 jenis kek. Bahan untuk membuat kek sudah
disediakan iaitu 3kg tepung dan 2kg gula. Kek jenis A memerlukan 150g tepung dan
50g gula, sedangkan kek jenis B memerlukan 100g tepung dan 100g gula. Masalahnya
sekarang ialah Mak Cik Aminah boleh buat berapa biji kek jenis A dan kek jenis B
daripada bahan yang disediakan?
Permasalahan tersebut boleh disusun seperti jadual di bawah:
Kek A Kek B Bahan sedia ada
Tepung 150 100 3000
Gula 50 100 2000
Katakan Kek A =x dan Kek B= y
Persamaan linear yang dapat dirumuskan daripada jadual ialah
150 x+100 y=3000
50 x+100 y=2000
Persamaan linear di atas dimudahkan,
3 x+2 y=60
x+2 y=40
Aplikasi matriks songsang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear tersebut.
(3122)( xy )=(6040)
A−1= 1|6−2|( 2−1−23 )=(
12
−14
−1234
)X=A−1B
X=(12
−14
−1234
)(6040)=(1015)
Oleh kerana X=( xy), maka
x = 10, y = 15 iaitu Mak Cik Aminah boleh menggunakan bahan yang disediakan untuk
membuat 10 buah kek jenis A dan 15 buah kek jenis B.
Daripada contoh-contoh di atas, jelaslah terbukti bahawa algebra matriks amat
berguna dan berkesan digunakan untuk menyelesaikan masalah kehidupan seharian.
Kehidupan kita yang penuh dengan masalah dan cabaran akan menjadi senang dan
mudah sekiranya algebra matriks diaplikasikan dalam kehidupan seharian.
Di samping itu, algebra matriks juga diaplikasikan dalam penggunaan komputer
dan memainakan peranan yang penting dalam paparan tiga dimensi ke atas skrin yang
berdimensi dua, seterusnya mencipta pergerakan yang seolah-olah realistik. Bukan itu
sahaja, penggunaan algebra matriks yang paling utama dalam komputer ialah
kriptografi. Kriptografi melibatkan proses menyulitkan data supaya pihak ketiga tidak
boleh memintas atau membaca data. Kriptografi dapat membantu data yang penting
disulitkan daripada orang ramai dan ini memerlukan aplikasi algebra matriks. Sebagai
contoh,
Katakan suatu mesej dinamakan " Red Rum"
Satu mesej akan ditukarkan ke dalam bentuk angka mengikut skim tertentu. Skim yang
paling mudah adalah untuk membolehkan ruang = 0, A = 1, B = 2,..., Y = 25, dan Z =
26. Sebagai contoh, mesej "Red Rum" akan menjadi 18, 5, 4, 0, 18, 21, 13, 0.
Data ini diletakkan ke dalam bentuk matriks. Saiz matriks bergantung pada saiz kunci
penyulitan. Mari kita mengatakan bahawa matriks penyulitan (pengekodan matriks)
kami adalah matriks 2x2. Sekiranya saya mempunyai tujuh keping data, saya akan
meletakkan itu ke dalam matriks 4x2 dan mengisi tempat terakhir dengan ruang untuk
membuat matriks lengkap. Katakan data original yang belum dienkrip ialah matriks A.
18 5
A =4 0
18 21
13 0
Terdapat satu matriks disongsangkan yang dipanggil matriks penyulitan atau matriks
pengekodan. Kami akan memanggilnya matriks B. Matriks B adalah terpulang kepada
orang yang menyulitkan matriks. Katakan Matriks B ialah seperti berikut:
B
=
4 -2
-1 3
Data yang belum dienkrip akan didarab dengan matriks penyulitan. Hasil darab ini
adalah matriks yang mengandungi data yang disulitkan.
67 -
21
X = A B
=
16 -8
51 27
52 -
26
Inilah proses kriptografi yang dapat membantu orang ramai menyulitkan data yang
penting supaya rahsia dapat disembunyikan.
Algebra matriks banyak menyumbang dalam bidang kejuruteraan dengan
menjadi alat yang penting dalam mengira daya, vektor, berat dan pelbagai faktor yang
perlu diambil kira untuk memastikan keselamatan sesuatu pembinaan. Algebra matriks
amat penting digunakan untuk mengira keluasan, perimeter sesuatu kawasan semasa
pembinaan. Bukan itu sahaja, ia juga digunakan untuk mendapatkan dimensi yang
tepat dan mengira jumlah bahan pembinaan yang perlu dibeli.
Secara tuntasnya, algebra matriks banyak membawa manfaat dan pengaruh
serta menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharian kita. Sedarlah betapa
pentingnya algebra matriks dalam kehidupan kita, maka kita perlulah menanamkan
minat yang sewajarnya dalam pembelajaran algebra matriks. Melalui pembelajaran
algebra matriks, pemikiran kita akan menjadi lebih bersistematik dan kritis dalam
mengaplikasikan ilmu algebra matriks dalam menyelesaikan masalah kehidupan
seharian, di samping dapat menghayati kepentingan serta keindahan matematik di
dunia ini.