Espacio de Hilbert

Los espacios de Hilbert y la Mecanica CuanticaIntroduccion

Renato Alvarez-Nodarse

Sevilla, diciembre 2012

Renato Alvarez-Nodarse Los espacios de Hilbert y la Mecanica Cuantica

Introduccion a la Fısica: Generalidades

La Fısica se basa en medidas y observaciones experimentales de larealidad que nos rodea, es decir, en cuantificar o caracterizar losdistintos fenomenos naturales mediante expresiones cuantitativas onumeros.

Estas cantidades medibles u observables se denominan cantidadesfısicas (e.g. longitud, velocidad, energıa, . . . ).

El objeto o conjunto de objetos a estudiar se denomina sistemafısico (e.g. una partıcula, un atomo, un coche, . . . ). Cuandoconocemos distintas medidas de un sistema que lo caracterizan porcompleto en un momento (e.g. la posicion y la velocidad de unapartıcula de masa m) decimos que el sistema se encuentra en uncierto estado dado.












¿Que es una teorıa fısica?

El objetivo de toda teorıa fısica es, por tanto:

1 Describir el estado del sistema fısico, es decir, dar unarepresentacion cuantitativa (matematica) del estado que lodefina biunıvocamente.

2 Conocer la dinamica del sistema, es decir dado un estadoinicial en el momento t0 conocer su evolucion temporal parat > t0.

3 Predecir los resultados de las mediciones de las cantidadesfısicas del sistema.















La teorıa fısica en sı misma esta en general constituida, desde elpunto de vista abstracto, por tres apartados:

1 El formalismo: Conjunto de sımbolos y reglas de deduccion apartir de los cuales se pueden deducir proposiciones yenunciados. En general toda teorıa comienza postulando uncierto numero de axiomas.

2 Ley dinamica: Cierta relacion (o relaciones) entre algunos delos principales objetos del formalismo que permitan predeciracontecimientos futuros.

3 Reglas de correspondencia o interpretacion fısica: Conjunto dereglas que permiten asignar valores experimentales a algunosde los sımbolos del formalismo.














La mecanica newtoniana

En la mecanica newtoniana el estado de un sistema viene dado porel conjunto de trayectorias de las partıculas que lo constituyen.

IPara una partıcula, el estado estara dado por la funcion~r(t) ∈ R3 que denota la posicion en cada instante de tiempo t. Losobservables son las cantidades medibles, e.g. la posicion ~r(t), lavelocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], la energıa cinetica T = mv2(t), etc.

ILa ley dinamica en es la segunda ley de Newton:

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

dt2.

ILas reglas de correspondencia consisten en los valores numericosde las proyecciones de los vectores ~r , ~v , etc. sobre los ejes delsistema de coordenadas escogido.






m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

dt2.







m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

dt2.







m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

dt2.



El formalismo de Hamilton-Jacobi

Vamos a suponer que el espacio fısico es un espacio de fases(~r , ~p), donde ~r = (x , y , z) ∈ R3 y ~p = (px , py , pz) denotan lascomponentes del vector posicion y momento, respectivamente.

Definamos una funcion H dependiente de la posicion ~r y el impulso~p

H(~r , ~p) =1

2m(p2

x + p2y + p2

z ) + V (x , y , z),

que denominaremos hamiltoniano del sistema.



Entonces, las ecuaciones dinamicas del sistema vienen dadas porlas expresiones

Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

dx

dt=∂H

∂px,

dpx

dt= −∂H

∂x,

dy

dt=∂H

∂py,

dpy

∂t= −∂H

∂y,

dz

∂t=∂H

∂pz,

dpz

∂t= −∂H

∂z.

(1)



Esta claro como se generaliza el problema. Supongamos que elhamiltoniano depende de las coordenadas canonicas q1, . . . qN ysus correspondientes momentos p1, . . . pN . Entonces las ecuacionesdinamicas son

dqi

dt=∂H

∂pi,

dpi

dt= −∂H

∂qi, i = 1, 2, . . . ,N. (2)

De esta forma la dinamica queda determinada por 2N ecuacionescon 2N incognitas. Finalmente debemos destacar que en generallas ecuaciones anteriores son equivalentes a las que se obtienenusando la segunda ley de Newton.



Ası, si

H(~r , ~p) =1

2m(p2

x + p2y + p2

z ) + V (x , y , z),

las ecuaciones (1) nos dan

dx

dt=∂H

∂px=⇒ vx =

px

m, px = mvx ,

dpx

dt= −∂H

∂x=⇒ m

dvxdt

= −∂V

∂x= Fx =⇒ m

d2x

dt2= Fx ,

es decir, recuperamos las ecuaciones de Newton de la mecanicaclasica.


Ejemplo: El oscilador armonico

Comencemos con un sistema clasico de gran importancia: eloscilador armonico. Asumiremos que el eje de coordenadasesta situado justo en la posicion de equilibrio del oscilador, luegopor x representaremos la desviacion del sistema del punto deequilibrio.

��

��

��

0 x

k m

Figura: El oscilador armonico



H(x , p) =p2

2m+

1

2kx2 =⇒ (3)

dx

dt=∂H(x , p)

∂p,

dp

dt= −∂H(x , p)

∂x=⇒

dx

dt=

p

m,

dp

dt= −kx =⇒ mx ′′(t) + kx(t) = 0.

Sus soluciones son

x(t) = A cos(ωt + δ), ω =

√k

m,

donde A y δ dependeran de x0 = x(0), v0 = v(0): v0 = −ωx0 tan δy x0 = A cos δ. No hay restricciones para A y δ.



5 10 15 20 25t

-2

-1

1

2

x

5 10 15 20 25t

-2

-1

1

2

x

Figura: El oscilador armonico: soluciones

La energıa E ≥ 0 y es una cantidad continua

E = T + V =1

2m[x(t)′]2 +

1

2kx2 =

1

2kA2 = const.



5 10 15 20 25t

-2

-1

1

2

x

5 10 15 20 25t

-2

-1

1

2

x

Figura: El oscilador armonico: soluciones

La energıa E ≥ 0 y es una cantidad continua

E = T + V =1

2m[x(t)′]2 +

1

2kx2 =

1

2kA2 = const.


El final de la fısica clasica

William Thomson o, como era conocido, LordKelvin, pronuncio a finales del siglo XIX unacelebre frase:

Hoy dıa la ciencia fısica forma, esen-cialmente, un conjunto perfectamen-te armonioso, ¡Un conjunto practica-mente acabado! Solo quedan dos “nu-becillas”: la primera, el resultado ne-gativo del experimento de Michelson-Morley. La segunda, las profundas dis-crepancias de la ley de Rayleigh-Jeans.

La primera nube provoco la primera gran tor-menta: La teorıa de la relatividad de Einsteinpero esa es otra historia.





La primera nube provoco la primera gran tor-menta: La teorıa de la relatividad de Einstein

pero esa es otra historia.





La primera nube provoco la primera gran tor-menta: La teorıa de la relatividad de Einsteinpero esa es otra historia.


La segunda “nubecilla” de Lord Kelvin

La ley de Rayleigh-Jeans describe la radiacion de un “cuerpo negro”

Figura: Los cuerpos calientes emiten radiacion (depende solo de T)











La radiacion del “cuerpo negro”.

τ – periodo, ν = 1/τ – frecuencia, c – velocidad de la onda

λ = c · τ =c

ν= 2π

c

ω=⇒ λ ∝

1

ν.


La ley de Rayleigh-Jeans

Sea U(T ) la densidad de energıa (cantidad de energıa por unidadde volumen) que dependera de la temperatura T . Ademas, cadalongitud de onda –frecuencia– aportara su “granito de arena”. Siu(ω,T ) es la densidad por unidad de frecuencia

U(T ) =

∫ ∞0

u(ω,T )dω. (4)

La formula de Rayleigh-Jeans dice que para frecuencias bajasu(ω,T ) ∝ ω2T , luego

U(T ) ∝ T

∫ ∞0

ω2dω =∞

Esta es la llamada catastrofe ultravioleta. ¿Y si ω es grande?

Ley de Wein u(ω,T ) = αω3e−βω




U(T ) =

∫ ∞0

u(ω,T )dω. (4)


U(T ) ∝ T

∫ ∞0

ω2dω =

∞






U(T ) =

∫ ∞0

u(ω,T )dω. (4)


U(T ) ∝ T

∫ ∞0

ω2dω =∞






U(T ) =

∫ ∞0

u(ω,T )dω. (4)


U(T ) ∝ T

∫ ∞0

ω2dω =∞

Esta es la llamada catastrofe ultravioleta.

¿Y si ω es grande?





U(T ) =

∫ ∞0

u(ω,T )dω. (4)


U(T ) ∝ T

∫ ∞0

ω2dω =∞






U(T ) =

∫ ∞0

u(ω,T )dω. (4)


U(T ) ∝ T

∫ ∞0

ω2dω =∞




La ley de Rayleigh-Jeans y la Ley de Wien

Figura: Grafica de la intensidad u(ω,T ) contra la frecuencia de onda ω.


Max Planck

En octubre de 1900 Planck encontro empırica-mente una formula que describıa perfectamentela ley experimental para la radiacion del cuerponegro:

〈ε〉 =~ω

exp

(~ωkT

)− 1

,

donde ~ era cierta const. desconocida. Si~ω/kT � 1, entonces la formula de Planck da-ba 〈ε〉 ≈ kT . Ademas, si ~ω/kT � 1, Planckrecuperaba la formula de Wein.


Max Planck

En octubre de 1900 Planck encontro empırica-mente una formula que describıa perfectamentela ley experimental para la radiacion del cuerponegro:

〈ε〉 =~ω

exp

(~ωkT

)− 1

,

donde ~ era cierta const. desconocida. Si~ω/kT � 1, entonces la formula de Planck da-ba 〈ε〉 ≈ kT . Ademas, si ~ω/kT � 1, Planckrecuperaba la formula de Wein.


La ley de Planck

Figura: Grafica de la intensidad u(ω,T ) contra la frecuencia de onda ω.


Los quanta de Plank

Para explicar su formula Plank, rompiendo la concepcion clasica,lanza la idea de que los “osciladores” que componen los atomos node forma continua, como era habitual en la fısica clasica, sinomediante porciones aisladas proporcionales a la frecuencia, es decirla energıa se emitıa o absorbıa mediante “quantas” deenergıa E = ~ω.

Henri Poincare en el otono de 1911 prueba quela formula de Planck solo se podıa obtener bajola suposicion de que la energıa esta cuantizada.


Los quanta de Plank

Para explicar su formula Plank, rompiendo la concepcion clasica,lanza la idea de que los “osciladores” que componen los atomos node forma continua, como era habitual en la fısica clasica, sinomediante porciones aisladas proporcionales a la frecuencia, es decirla energıa se emitıa o absorbıa mediante “quantas” deenergıa E = ~ω.

Henri Poincare en el otono de 1911 prueba quela formula de Planck solo se podıa obtener bajola suposicion de que la energıa esta cuantizada.


Einstein y el efecto fotoelectrico

El siguiente paso lo dio Einstein en 1905 en unensayo titulado Sobre un punto de vista heurısti-co acerca de la produccion y la transformacionde la luz.

Einstein, totalmente seducido por los quantade Planck, supone que no solo los “oscilado-res” materiales emitıan energıa cuantificada-mente, sino tambien los “osciladores” lumıni-cos. Einstein retomando las ideas corpuscularessobre la luz de Newton considera la luz formadapor partıculas de masa cero y energıa ~ω: losfotones.


Einstein y el efecto fotoelectrico

El siguiente paso lo dio Einstein en 1905 en unensayo titulado Sobre un punto de vista heurısti-co acerca de la produccion y la transformacionde la luz.

Einstein, totalmente seducido por los quantade Planck, supone que no solo los “oscilado-res” materiales emitıan energıa cuantificada-mente, sino tambien los “osciladores” lumıni-cos. Einstein retomando las ideas corpuscularessobre la luz de Newton considera la luz formadapor partıculas de masa cero y energıa ~ω: losfotones.


El efecto fotoelectrico de Hertz

Metal

electronesluz

IUna placa metalica sometida a una luz ultravioleta emiteelectrones.

IEl numero de electrones aumentaba proporcionalmente a laintensidad de la radiacion pero su velocidad v no dependıa de laintensidad sino de la frecuencia ω: a mayor ω, mayor v .ISi ω era lo suficientemente baja ya no se emitıan electronesindependientemente de lo intensa que fuese la luz incidente.



Metal

electronesluz

IUna placa metalica sometida a una luz ultravioleta emiteelectrones.IEl numero de electrones aumentaba proporcionalmente a laintensidad de la radiacion pero su velocidad v no dependıa de laintensidad sino de la frecuencia ω: a mayor ω, mayor v .

ISi ω era lo suficientemente baja ya no se emitıan electronesindependientemente de lo intensa que fuese la luz incidente.



Metal

electronesluz

IUna placa metalica sometida a una luz ultravioleta emiteelectrones.IEl numero de electrones aumentaba proporcionalmente a laintensidad de la radiacion pero su velocidad v no dependıa de laintensidad sino de la frecuencia ω: a mayor ω, mayor v .ISi ω era lo suficientemente baja ya no se emitıan electronesindependientemente de lo intensa que fuese la luz incidente.


La formula de Einstein

Para resolverlo Einstein razono como sigue: Supongamos quebombardeamos la lamina metalica con partıculas luminosas cadauna de las cuales tiene una energıa ~ω. Si denotamos por W laenergıa necesaria para extraer un electron del metal, entonces laenergıa cinetica de los electrones, Ec , se expresara mediante laformula

Ec = ~ω −W . (5)

¡Todas las observaciones descritas anteriormente son unaconsecuencia de la formula anterior!

Anos mas tarde, Robert Millikan comprueba experimentalmente laformula de Einstein (5) y encuentra que ~ es la misma ~ de Planck.


La formula de Einstein

Para resolverlo Einstein razono como sigue: Supongamos quebombardeamos la lamina metalica con partıculas luminosas cadauna de las cuales tiene una energıa ~ω. Si denotamos por W laenergıa necesaria para extraer un electron del metal, entonces laenergıa cinetica de los electrones, Ec , se expresara mediante laformula

Ec = ~ω −W . (5)

¡Todas las observaciones descritas anteriormente son unaconsecuencia de la formula anterior!

Anos mas tarde, Robert Millikan comprueba experimentalmente laformula de Einstein (5) y encuentra que ~ es la misma ~ de Planck.


Y llegamos al atomo

En 1913 se creıa que el atomo estaba constituido por un nucleo“pesado” y “denso” que contenıa toda la materia del atomo yelectrones girando a su alrededor.


Y llegamos al atomo

En 1913 se creıa que el atomo estaba constituido por un nucleo“pesado” y “denso” que contenıa toda la materia del atomo yelectrones girando a su alrededor.


Y llegamos al atomo

La electrodinamica clasica predice que toda carga en movimientoacelerado emite ondas electromagneticas, y por tanto, loselectrones que giraban alrededor del nucleo debıan peder energıa ycaer al nucleo –ademas en un tiempo record: 10−5 segundos–.


Y llegamos al atomo

Ademas se sabıa que el espectro del hidrogeno estaba constituidopor lıneas (serie de Balmer) cuyas frecuencias vienen dadas por

ω = R

(1

m2− 1

n2

), n,m = 1, 2, 3, . . .


En atomo de Bohr

Niels Bohr postulo que electron solo puede estar enciertas orbitas circulares permitidas (estables) y parapasar de una a otra este deberıa “saltar” por encimade las no permitidas. Ademas:

De todas las infinitas orbitas posibles solo sonposibles aquellas en la que su momento angularL = mvr , siendo m la masa del electron, v , suvelocidad y r el radio de la orbita, fuesenmultiplos enteros de ~: L = n~La energıa que absorbe o emite un atomo alsaltar un electron de una orbita permitida a otraes igual a ~ω, es decir para saltar de una orbita aotra el atomo absorbe o emite un quanta de luz.


En atomo de Bohr

Niels Bohr postulo que electron solo puede estar enciertas orbitas circulares permitidas (estables) y parapasar de una a otra este deberıa “saltar” por encimade las no permitidas. Ademas:

De todas las infinitas orbitas posibles solo sonposibles aquellas en la que su momento angularL = mvr , siendo m la masa del electron, v , suvelocidad y r el radio de la orbita, fuesenmultiplos enteros de ~: L = n~La energıa que absorbe o emite un atomo alsaltar un electron de una orbita permitida a otraes igual a ~ω, es decir para saltar de una orbita aotra el atomo absorbe o emite un quanta de luz.


Usando los postuladosanteriores Bohr obtuvo para laenergıa del electron la expresion

En = −me4

2~21

n2.

Luego, la frecuencia del fotonemitido como resultado del saltodel electron entre dos orbitas es

ω = 2πν =En − Em

~=

me4

2~3

(1

k2− 1

n2

), n, k = 1, 2, 3, . . . .

que se corresponde con los datos experimentales para el espectrodel hidrogeno.


La dualidad onda-partıcula

Louis de Broglie

En 1923 de Broglie postula que la dualidadonda-partıcula que Einstein habıa proclamadopara la luz tambien habıa de ser cierta para laspartıculas materiales. Ası de Broglie equiparo alelectron con una onda plana. Luego, el impulsop del electron es

p = mv =E

v=

~ωv

=~2π

vT= ~

2π

λ.

¡De Broglie dio un significado fısico a las orbitasde Bohr! Estas eran justo las orbitas tales queel cociente entre su longitud y la longitud deonda del electron era un numero entero, es decirera como las ondas estacionarias sobre un anillo(cırculo).


La dualidad onda-partıcula

Louis de Broglie

En 1923 de Broglie postula que la dualidadonda-partıcula que Einstein habıa proclamadopara la luz tambien habıa de ser cierta para laspartıculas materiales. Ası de Broglie equiparo alelectron con una onda plana. Luego, el impulsop del electron es

p = mv =E

v=

~ωv

=~2π

vT= ~

2π

λ.

¡De Broglie dio un significado fısico a las orbitasde Bohr! Estas eran justo las orbitas tales queel cociente entre su longitud y la longitud deonda del electron era un numero entero, es decirera como las ondas estacionarias sobre un anillo(cırculo).


Nace la mecanica cuantica

Werner Heisenberg

Usando el principio de corresondencia de Bohr,Heisenberg descubre en 1925 que hay que cam-biar los valores de las magnitudes fısicas pormatrices (tablas numericas) y construye unamecanica matricial donde la dinamica que rigelas magnitudes cuanticas es

dX

dt=

i

~(HX − XH) =

i

~[H,X ], i =

√−1,

donde H es la matriz hamiltoniana del sistema.

Inconvenientes: Era una teorıa matematica muycomplicada y encima, Heisenberg descubre elprincipio de incertidumbre ∆p∆x ≥ }/2.



Werner Heisenberg


dX

dt=

i

~(HX − XH) =

i

~[H,X ], i =

√−1,





Werner Heisenberg


dX

dt=

i

~(HX − XH) =

i

~[H,X ], i =

√−1,




La mecanica ondulatoria

Erwin Schrodinger

En 1926, Erwin Schrodinger andaba buscandouna teorıa que acabase con esa aberracion delas matrices que Heisenberg intentaba introdu-cir en la fısica. Al conocer el trabajo de de Bro-glie Schrodinger decide asociar a cada partıculauna onda y construir la ecuacion diferencial quegobierna dicha onda. Tras muchos intentos dacon la ecuacion:

H (x , p) Ψ(x , t) = E Ψ(x , t), p = −i~∂

∂x,

donde E era la energıa del sistema asociado ala onda Ψ.


La mecanica ondulatoria

Erwin Schrodinger

En 1926, Erwin Schrodinger andaba buscandouna teorıa que acabase con esa aberracion delas matrices que Heisenberg intentaba introdu-cir en la fısica. Al conocer el trabajo de de Bro-glie Schrodinger decide asociar a cada partıculauna onda y construir la ecuacion diferencial quegobierna dicha onda. Tras muchos intentos dacon la ecuacion:

H (x , p) Ψ(x , t) = E Ψ(x , t), p = −i~∂

∂x,

donde E era la energıa del sistema asociado ala onda Ψ.


La ecuacion de Schrodinger

Sea el Hamiltoniano estandar,

H(x , p) =p2

2m+ V (x),

siendo V (x) la funcion potencial (energıa potencial). Sustituimosp = −i~ ∂

∂x , y obtenemos

− ~2

2m

∂2

∂x2Ψ + V (x)Ψ(x , t) = E Ψ(x , t).

Solucion: V (x) = 0 =⇒ La onda de de Broglie

V (r) = −e2

r=⇒ En = −me4

2~21

n2que era la formula de Bohr.


La interpretacion de la Mecanica cuantica

Max Born

Max Born, colega y amigo de Heisenberg diouna interpretacion a la funcion de onda deSchrodinger. Basandose en los resultados expe-rimentales sobre la dispersion de ondas planas–recordemos que el electron libre se conside-raba como tal en la mecanica ondulatoria deSchrodinger– Born aseguro que la funcion deonda Ψ(x) daba la probabilidad de que unapartıcula fuese detectada en la posicion x y quedicha probabilidad era proporcional a |Ψ(x)|2,es decir la Mecanica ondulatoria, al igual quela matricial como se verıa mas tarde, era unateorıa estadıstica incluso para describir unaunica partıcula.


La interpretacion de la Mecanica cuantica

Max Born

Max Born, colega y amigo de Heisenberg diouna interpretacion a la funcion de onda deSchrodinger. Basandose en los resultados expe-rimentales sobre la dispersion de ondas planas–recordemos que el electron libre se conside-raba como tal en la mecanica ondulatoria deSchrodinger– Born aseguro que la funcion deonda Ψ(x) daba la probabilidad de que unapartıcula fuese detectada en la posicion x y quedicha probabilidad era proporcional a |Ψ(x)|2,es decir la Mecanica ondulatoria, al igual quela matricial como se verıa mas tarde, era unateorıa estadıstica incluso para describir unaunica partıcula.


La fısica cuantica es, por principio, no determinista.

El mismo Born escribio al final de su artıculo:

Aunque el problema del determinismo ha aparecido [. . . ]yo mismo me inclino a dejar a un lado el determinismo enel mundo de los atomos. Pero esto es una cuestionfilosofica para la cual los argumentos fısicos no sonconcluyentes.

El problema filosofico de Born se agudizo todavıa mas cuandoDirac por un lado, y el mismo Schrodinger por el otro probabanque las dos formulaciones de la Mecanica cuantica, la matricial y laondulatoria, eran equivalentes.

Luego veremos que esto es consecuencia ”trivial”de un teorema delos espacios de Hilbert.



El mismo Born escribio al final de su artıculo:

Aunque el problema del determinismo ha aparecido [. . . ]yo mismo me inclino a dejar a un lado el determinismo enel mundo de los atomos. Pero esto es una cuestionfilosofica para la cual los argumentos fısicos no sonconcluyentes.

El problema filosofico de Born se agudizo todavıa mas cuandoDirac por un lado, y el mismo Schrodinger por el otro probabanque las dos formulaciones de la Mecanica cuantica, la matricial y laondulatoria, eran equivalentes.

Luego veremos que esto es consecuencia ”trivial”de un teorema delos espacios de Hilbert.


Dios no juega a los dados

El problema de la interpretacion de la Mecanica Cuanticatermino en una “pelea” abierta entre los que la defendıan y laconsideraban una teorıa completa –Bohr, Heisenberg, Born, Pauli,etc– y la que la consideraban incompleta –Schrodinger, Einstein,etc–. Como ejemplo de esta polemica es representativa la carta queescribe Einstein a Born el 7 de septiembre de 1944:

Nuestras expectativas cientıficas nos han conducido acada uno a las antıpodas del otro. Tu crees en un Diosque juega a los dados, y yo en el valor unico de las leyesen un universo en el que cada cosa existe objetivamente[. . . ]. El gran exito de la teorıa de los quanta desde suscomienzos no puede hacerme creer en el caracterfundamental de ese juego de dados [. . . ]. Algun dıa sedescubrira cual de estas dos actitudes instintivas es labuena.



Para entender esta polemica hay que destacar que ambas teorıas,la mecanica matricial y la ondulatoria, describıan rigurosamentemuchos de los fenomenos del micromundo, pero ambas tenıan ungran problema ¿Como definir si una partıcula cuantica estaba enun estado determinado o en otro?

Si tenemos un instrumento que nos mide la energıa

unas veces nos dara E1 y otras E2, y justo la probabilidad de quenos de una u otra es proporcional a |a1|2 y |a2|2, respectivamente.












El principio de incertidumbre de Heisenberg

En 1926, Heisenberg considero una onda “gaussiana”

Ψ(x , 0) = ‖Ψ‖−1e−(x−x0)

2

2b2 ei~p0x , ‖Ψ‖2 =

∫R

e−(x−x0)

2

b2 dx ,

Si una partıcula venıa descrita por dicha onda, entonces usando laidea de Born, el valor medio para la posicion de la partıcula era

〈x〉 =

∫R

Ψ(x , 0)xΨ(x , 0) = x0,

y para la posicion, usando que el operador correspondiente al

momento era p = −i~∂

∂x, tenemos

〈p〉 =

∫R

Ψ(x , 0)pΨ(x , 0) = p0,

es decir que nuestra partıcula tiene un momento p0 y esta en laposicion x0.


El principio de incertidumbre de Heisenberg

Si ahora intentamos determinar con que precision estamosasegurando los valores de estas dos magnitudes tenemos quecalcular las varianzas σx y σp,

σx =

∫R|Ψ(x , 0)|2(x−x0)2 =

b2

2, σp =

∫R|Ψ(x , 0)|2(p−p0)2 =

~2

2b2=⇒

σxσp =~2

4, ⇐⇒ 4x4p =

~2, con 4x =

√σx y 4p =

√σp

No podemos nunca medir con una precision tan grande como sequiera las dos magnitudes 4x y 4p.


El gato de Schrodinger

Cuando medimos ... interferimos en el sistema

Pero entonces ”formalmente”nuestro aparato “clasico” hainterferido en el mundo cuantico:

ΨA+M = c1Ψ1 ⊗ Φ1 + c2Ψ2 ⊗ Φ2.

¡Vaya lio! La venganza de Schrodinger ...





ΨA+M = c1Ψ1 ⊗ Φ1 + c2Ψ2 ⊗ Φ2.

¡Vaya lio!

La venganza de Schrodinger ...





ΨA+M = c1Ψ1 ⊗ Φ1 + c2Ψ2 ⊗ Φ2.

¡Vaya lio! La venganza de Schrodinger ...Renato Alvarez-Nodarse Los espacios de Hilbert y la Mecanica Cuantica


Figura: La paradoja del Gato de Schrodinger.


Las matematicas de la mecanica cuantica

John von Neumann

El lenguaje que describe al mundo mi-croscopico, i.e., la Mecanica Cuantica, esel lenguaje de los espacios de Hilbert.

IA cada sistema fısico se le hace corresponderun espacio de Hilbert H apropiado (separa-ble). El estado del sistema queda caracterizadopor un vector de H.

ILas cantidades que podemos medir estan des-critas por operadores autoadjuntos en H.

IEl resultado de una medicion solo puede serun autovalor del correspondiente operador.

ILa funcion de onda Ψ del sistema esta go-bernada por la ecuacion de Schrodinger HΨ =

i~∂Ψ

∂t, donde H es el operador de Hamilton del

sistema.



John von Neumann






i~∂Ψ


sistema.



John von Neumann






i~∂Ψ


sistema.



John von Neumann






i~∂Ψ


sistema.



John von Neumann






i~∂Ψ


sistema.



John von Neumann






i~∂Ψ


sistema.Renato Alvarez-Nodarse Los espacios de Hilbert y la Mecanica Cuantica

¿Que son esos espacios de Hilbert?

David Hilbert


¿Que son esos espacios de Hilbert?

David Hilbert


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