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ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE ABP APLICADA A CIRCUITOS
II – CIRCUITOS TRIFÁSICOS
MARYID PAOLA HINCAPIE ALVAREZ
JORGE ARMANDO USAQUEN USAQUEN
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD
BOGOTÁ D.C.
2017
ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE ABP APLICADA A CIRCUITOS
II – CIRCUITOS TRIFÁSICOS
MARYID PAOLA HINCAPIE ALVAREZ
JORGE ARMANDO USAQUEN USAQUEN
PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE TECNÓLOGO EN
ELECTRICIDAD
DIRECTORA
ALEXANDRA SASHENKA PÉREZ SANTOS
INGENIERA ELECTRICISTA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD
BOGOTÁ D.C.
2017
Nota de aceptación:
________________________________________
________________________________________
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________________________________________
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Directora: Alexandra Sashenka Pérez Santos
________________________________________
Jurado
________________________________________
Jurado
AGRADECIMIENTOS
A la Ingeniera Alexandra Sashenka Pérez Santos, docente de la Universidad
Distrital “Francisco José de Caldas” Facultad Tecnológica directora del proyecto,
por darnos la oportunidad de trabajar con ella, por su asesoría, acompañamiento y
compromiso durante el desarrollo del proyecto.
A nuestros compañeros, profesores y amigos, quienes estuvieron presentes en las
clases, nos acompañaron y animaron a continuar con nuestra carrera y a la
universidad en general por los conocimientos otorgados.
Y en especial a nuestras familias, por su paciencia, comprensión, motivación y
apoyo que nos brindaron en el transcurso de cada año de nuestro pasó por la
universidad.
Contenido
1 Introducción ....................................................................................................... 1
2 Justificación ....................................................................................................... 2
3 Objetivos ........................................................................................................... 3
Objetivo general .......................................................................................... 3
Objetivos específicos .................................................................................. 4
4 Marco teórico ..................................................................................................... 4
5 Circuitos Trifásicos ............................................................................................ 7
Transformaciones de fuentes de tensión y cargas trifásicas. ................... 11
5.1.1 Transformaciones de fuentes de tensión Y – Delta ............................ 15
5.1.2 Transformaciones de fuentes de tensión Delta - Y............................. 18
5.1.3 Cargas trifásicas................................................................................. 20
Conexiones trifásicas de cargas (balanceadas y desbalanceadas)
conectadas a fuentes sin pérdidas en líneas de transmisión. ............................. 23
5.2.1 Conexión Y –Y (con neutro y sin neutro) ............................................ 23
5.2.2 Conexión Delta – Delta. ..................................................................... 33
5.2.3 Conexión Y- Delta .............................................................................. 36
5.2.4 Conexión Delta - Y ............................................................................. 41
5.2.5 Equivalente monofásico para circuitos balanceados .......................... 45
Conexiones trifásicas de cargas (balanceadas y desbalanceadas)
conectadas a fuentes con pérdidas en las líneas de transmisión. ...................... 50
5.3.1 Carga en Y ......................................................................................... 51
5.3.2 Carga en Delta ................................................................................... 52
5.3.3 Conexión Y – Delta ............................................................................ 53
5.3.4 Conexión Delta – Y ............................................................................ 54
Potencia compleja trifásica (cargas balanceadas y desbalanceadas) ...... 57
5.4.1 Balance de potencia compleja trifásica .............................................. 60
5.4.2 Corrección del factor de potencia (circuitos balanceados) ................. 61
6 Potencias y Energía en Corriente Alterna ....................................................... 65
Potencia media P ...................................................................................... 65
Medición de potencia activa trifásica ........................................................ 67
6.2.1 Método de los tres elementos ............................................................ 68
6.2.2 Método de Aron o de los dos elementos ............................................ 74
Medición de potencia reactiva trifásica ..................................................... 88
6.3.1 Método de los tres elementos ............................................................ 89
6.3.2 Método de Aron o de los dos elementos ............................................ 90
Medición de energía ................................................................................. 97
6.4.1 Medición de energía activa trifásica ................................................... 98
6.4.2 Definiciones generales para medidores de energía ........................... 98
7 Ejercicios situados. .......................................................................................... 99
Ejercicios Balanceados. ............................................................................ 99
7.1.1 Ejercicio 1: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-
Y sin pérdidas en las líneas. ............................................................................ 99
7.1.2 Ejercicio 2: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-
Δ sin pérdidas en las líneas. .......................................................................... 104
7.1.3 Ejercicio 3: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-
Δ sin pérdidas en las líneas. .......................................................................... 107
7.1.4 Ejercicio 4: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-
Y sin pérdidas en las líneas. .......................................................................... 112
7.1.5 Ejercicio 5: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-
Y con pérdidas en las líneas. ........................................................................ 115
7.1.6 Ejercicio 6: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-
Δ con pérdidas en las líneas. ........................................................................ 119
7.1.7 Ejercicio 7: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-
Δ con pérdidas en las líneas. ........................................................................ 121
7.1.8 Ejercicio 8: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-
Y con pérdidas en las líneas. ........................................................................ 127
Ejercicios Desbalanceados. .................................................................... 131
7.2.1 Ejercicio 9: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en Conexión
Y-Y sin pérdidas en las líneas. ...................................................................... 131
7.2.2 Ejercicio 10: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en
Conexión Δ-Δ sin pérdidas en las líneas. ...................................................... 134
7.2.3 Ejercicio 11: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en
Conexión Y-Δ sin pérdidas en las líneas. ...................................................... 137
7.2.4 Ejercicio 12: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en
Conexión Y-Y con pérdidas en las líneas. ..................................................... 140
7.2.5 Ejercicio 13: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas s en
Conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas. ..................................................... 144
8 Rúbrica de evaluación ................................................................................... 144
9 Lista de figuras .............................................................................................. 149
10 Lista de simulaciones ................................................................................. 151
11 Lista de tablas ............................................................................................ 152
Referencias .......................................................................................................... 154
1
1 Introducción
Circuitos II es una asignatura teórico-práctica de cuarto semestre del pensum 222
de Tecnología en Electricidad, cuenta con 4 créditos académicos, la asignatura
presenta un bajo nivel de aprobación por tal razón se realizó un estudio en el cual
se determinó el porcentaje de reprobación de la asignatura en los periodos
académicos correspondientes desde 2012-3 hasta 2014-3, tal estudio mostro un
alto nivel de no aprobación como se evidencia en la Tabla 1. Resultado de notas
de estudiantes que cursaron circuitos II. (OAS UDFJC, 2012 - 2014).
Adicionalmente se realizó un análisis estadístico de reprobación de la asignatura
desde el año 2014 hasta el primer periodo académico del año 2017 ver anexo
Tabla 3. Análisis Estadístico de circuitos II, evidenciando un resultado mayor de
reprobación de la asignatura analizado en la Tabla 1. Un factor que se asocia al
bajo rendimiento y a la no aprobación de la asignatura es la falta de estrategias de
enseñanza y aprendizaje que respondan a las necesidades que demanda el
campo laboral, que despierten el interés en los estudiantes al asociar las teorías
de la clase magistral a situaciones prácticas dentro de un contexto real.
Participación absoluta y porcentual de aprobación en el espacio académico Circuitos II
Periodo académico
No. de Estudiantes que Reprobaron
No. de Estudiantes que Aprobaron
No. de Estudiantes Evaluados
Porcentaje de NO Aprobación (%)
2012-3 28 11 39 71.8
2013-1 12 17 29 41.4
2013-3 1 24 25 4
2014-1 9 21 30 30.7
2014-3 16 26 42 38.1
Promedio 37.2
Tabla 1. Resultado de notas de estudiantes que cursaron circuitos II.
Con el resultado del estudio, surge la necesidad de crear y buscar nuevas herramientas y métodos de enseñanza y aprendizaje, que permita apoyar y complementar las actividades de estudiantes y docentes dentro y fuera del aula. El trabajo de grado titulado Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje ABP aplicada a Circuitos II – Circuitos trifásicos. Parte de la premisa de que la escuela debe vincularse con la vida y de que el conocimiento es situado, es decir está anclado a un contexto. La estructura del entorno virtual es la siguiente:
2
Contenido teórico correspondiente al capítulo 3, vinculado con normatividad
que se debe tener en cuenta para el desarrollo del mismo. Adicionalmente
el contenido teórico se encuentra vinculado con el trabajo de grado de
medidas eléctricas, presentando ejercicios situados incluyendo el modelo
real de los equipos de medida, dicho vínculo permite crear una conexión
entre la teoría y la práctica.
Ejercicios situados, los cuales tienen como objetivo motivar al estudiante a
interesarse aún más por su proceso de aprendizaje y darle una visión del
mundo laboral al que se enfrentará en un futuro.
Rúbrica de evaluación, al final del capítulo 3, se propone una evaluación
cualitativa para el estudiante en una matriz (rúbrica), la cual pretende que el
estudiante realice una autoevaluación y conozca los indicadores en los que
tiene mayores fortalezas y en los que debe mejorar.
Los ejercicios situados se basan en la estrategia de Aprendizaje Basado en
Problemas o ABP, la cual consiste en el planteamiento de una situación problema
pertinente y relevante dentro de un contexto real, que permite la conexión entre la
teoría y la práctica, donde el estudiante toma el rol de solucionador de problemas
y el docente como guía, supervisor y facilitador del conocimiento (Laguna Garzón
& Castelblanco Chávez, 2015).
En cuanto a la rúbrica de evaluación, se manejan seis criterios o indicadores y
cuatro niveles de calidad de desempeño (novato, aprendiz, avanzado y experto),
su objetivo es medir el trabajo de los alumnos de acuerdo a “criterios de la vida
real”, que además invitan a la reflexión y autoevaluación (Díaz Barriga, Enseñanza
Situada: Vínculo entre la escuela y la vida, 2006).
2 Justificación
Los recursos tradicionales para la enseñanza y aprendizaje de circuitos II que se han establecido hasta ahora, ha sido la clase magistral donde la principal acción se ha enfocado en transmitir conocimientos, acción que no es adecuada para los estudiantes de las nuevas generaciones por tal motivo nace la necesidad de crear nuevas estrategias de aprendizaje, que apoyen y refuercen las actividades académicas estudiante-docente dentro y fuera del aula de clase, con el fin de vincular los contenidos teóricos con la práctica en un contexto real. Una manera innovadora de implementar lo anterior, puede lograrse mediante el uso de las
3
Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC´S), estableciendo un entorno virtual para la enseñanza y aprendizaje de circuitos II.
La iniciativa de una estrategia alternativa de enseñanza y aprendizaje, comenzará con el desarrollo del Capítulo 3 circuitos trifásicos del contenido programático de circuitos II código 1632 versión 1 elaborado en 2015-1, en base al ABP.
La decisión de iniciar esta estrategia de enseñanza y aprendizaje, con el desarrollo del Capítulo 3 circuitos trifásicos, corresponde a tres principales motivos:
• La experiencia en construcción de espacios virtuales del grupo de
investigación GISPUD, indica que el desarrollo de un capítulo es un objetivo
razonable para 768 horas de trabajo, para dos estudiantes de Tecnología
en Electricidad como proyecto de grado. Lo anterior se basa en la
construcción de los espacios virtuales para Análisis de Circuitos I, medidas
eléctricas y Redes Eléctricas (GISPUD, AV C. D.C., 2013), (GISPUD, AV C.
A.C., 2013), (GISPUD, AV R.E., 2006)
• El capítulo reúne los conocimientos indispensables para identificar el comportamiento de los circuitos trifásicos y conceptos básicos que son de los temas más importantes en el campo de acción laboral del tecnólogo en electricidad, para lo cual se requiere presentar situaciones prácticas y coherentes al contexto profesional.
• El capítulo es relevante en el contenido programático pues corresponde a 13 secciones y 3 prácticas de laboratorio desarrolladas en 6 de las 16 semanas del semestre (UDFJC, 2015)
3 Objetivos
Objetivo general
Desarrollar una herramienta virtual que complemente el aprendizaje de
estudiantes que cursen la asignatura Circuitos II basado en el área de circuitos
trifásicos aplicando la estrategia, Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).
4
Objetivos específicos
1 Definir los contenidos y actividades encaminadas a la solución de varias
situaciones problema, en las que los estudiantes serán los protagonistas con
el fin de: Despertar el interés de ampliar sus conocimientos para aplicarlos a
su realidad cotidiana. Motivar el trabajo en equipo en donde se apliquen sus experiencias
previas para proponer ideas que conlleven a la resolución de dicha situación problema.
Estimular la habilidad de investigación libre y enfrentamiento a situaciones problema.
Impulsar un pensamiento complejo y reflexivo para la resolución de problemas.
2 Establecer un ambiente virtual de aprendizaje aprovechando las ventajas del
uso de las TIC para democratizar el conocimiento en el área de Circuitos II.
3 Buscar una evaluación cualitativa en los estudiantes, dándole más importancia
a valorar la responsabilidad del alumno frente al estudio, sus actitudes y la
forma como aplica el resultado de sus investigaciones
4 Marco teórico
El trabajo de grado se realizó siguiendo las bases, conceptos y enfoques
mencionados a continuación:
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
“Las estrategias se definen como los procedimientos utilizados por el docente para
promover un aprendizaje significativo, estas implican actividades consistentes y
orientadas a un fin” (Parra, Doria, 2003, págs. 8, 9).
Las características más importantes de las estrategias son:
Deben ser funcionales y significativas.
Deben tener una conexión entre la estrategia enseñada y las perspectivas del estudiante sobre el contexto de la tarea.
El material de aprendizaje debe ser claro, rigurosamente elaborado y agradable para el estudiante.
5
A diferencia de las estrategias de enseñanza, las estrategias de aprendizaje están constituidas en actividades y pasos que guían las acciones para alcanzar un objetivo de aprendizaje por parte del estudiante, es decir, sus actividades parten del trabajo autónomo, es importante resaltar que las estrategias de aprendizaje no deben ser mecanizadas, por tal razón se definen como secuencias de habilidades, donde el estudiante está en capacidad de justificar sus acciones realizadas en la solución de determinado problema. Entre las características más importantes de las estrategias de aprendizaje se encuentran las siguientes:
Implican un uso selectivo de los propios recursos y capacidades disponibles.
Las estrategias están constituidas de otros elementos más simples, que son las técnicas de aprendizaje, las destrezas o habilidades.
Estrategia pedagógica constructivista El enfoque constructivista considera que los estudiantes son protagonistas de su proceso de aprendizaje, al construir su propio conocimiento a partir de sus experiencias pasadas, de esta manera en la teoría del constructivismo, la educación está centrada en el alumno y no en el profesor. Algunas de las características pedagógicas más importantes del constructivismo son (Díaz Barriga, 2002):
Aporta ambientes de aprendizaje como situaciones de la vida real o estudios de casos en lugar de secuencias predeterminadas del docente, por lo cual el docente debe transformar la información de modo que sea comprensible para el estudiante.
El estudiante relaciona la información suministrada de diversas fuentes con
sus conocimientos previos, identificando intereses y motivaciones así,
aprender un contenido quiere decir que el alumno le atribuye un significado.
La evaluación debe procurar ser cualitativa e integral.
El presente trabajo, tiene en cuenta las anteriores ideas para darle un enfoque
constructivista al proceso de enseñanza y aprendizaje de Circuitos II.
Estrategia de enseñanza situada, aprendizaje basado en problemas
La estrategia de enseñanza situada, tiene como deducción que “el conocimiento es situado, es decir, forma parte y es producto de la actividad, el contexto y la
6
cultura en que se desarrolla y se utiliza, una enseñanza centrada en prácticas educativas auténticas, que requieren ser coherentes y significativas” (Parra Pineda, 2003). Así la estrategia de aprendizaje basado en problemas ABP, requiere la elaboración de una situación problema dentro de un contexto real que permita al estudiante realizar un ejercicio de análisis, recopilando información y de esta manera determinar las acciones que lo lleven a una posible solución de la situación problema, desarrollando un pensamiento de alto nivel y la adquisición de habilidades para enfrentarse a problemas de la vida real. La situación exigirá al estudiante visualizar el problema desde varias perspectivas,
activar su pensamiento crítico y su creatividad, indagar y poner en práctica
nociones, datos, técnicas y habilidades para imaginar soluciones diversas y
construirlas colaborativamente, usando el material disponible (Guerrero Ortiz &
Terrones Álvarez, 2003).
A continuación se mencionan los principios básicos del aprendizaje basado en problemas:
La situación problema o problema abierto, es el punto focal de la experiencia de aprendizaje
Los estudiantes asumen el rol de solucionadores de problemas, mientras que el docente se desempeña como tutor y entrenador.
La situación problema permite vincular el conocimiento académico o contenido curricular a situaciones de la vida real
El aprendizaje se centra en el estudiante y no en el profesor o en los contenidos
Da importancia al conocimiento previo y su aplicación en situaciones que generan la construcción de nuevo conocimiento
Evaluación autentica
La evaluación autentica tiene como objetivo posibilitar la autoevaluación del estudiante, basándose en la evaluación de aprendizajes y actividades contextualizadas, permitiendo que las destrezas y conocimientos adquiridos sean significativos social e individualmente. (Díaz Barriga, 2002)
7
5 Circuitos Trifásicos
Los circuitos trifásicos son aquellos circuitos que cuentan con una configuración de tres fuentes de tensión de igual magnitud y frecuencia, donde cuya suma fasorial es igual a cero. De esta manera un circuito trifásico consta de tres partes: una fuente trifásica, una carga trifásica y una línea de transmisión; la fuente trifásica consta de tres fuentes de tensión senoidal desfasadas 120° entre sí conectas en 𝑌 o bien de tres fuentes de tensión senoidal desfasadas 120° entre sí conectadas en delta. De igual forma, los elementos del circuito que componen la
carga se conectan para formar una carga en 𝑌 o una carga en delta, la cual puede estar balanceada o desbalanceada (ver sección Cargas trifásicas), la línea de transmisión es utilizada para conectar la fuente trifásica a la carga trifásica y constara de tres o cuatro conductores, como se observa en la Figura 5.1 Sistema trifásico general.
Figura 5.1 Sistema trifásico general.
Los circuitos trifásicos son de gran importancia en la actualidad, ya que se utilizan en la generación y transmisión de energía eléctrica debido a sus ventajas con respecto a otros sistemas, algunas de estas ventajas son: en cuanto a potencia los sistemas trifásicos son más económicos que los sistemas monofásicos, ya que requieren un menor calibre en los conductores, pues las corrientes en los conductores de un sistema trifásico son menores a las asociadas a un sistema monofásico que transporte la misma potencia (Sadiku & Alexander, 2006, pág. 504). La potencia instantánea en un sistema trifásico puede ser constante, o independiente del tiempo y no pulsante, lo cual produce una transmisión uniforme de potencia (Sadiku & Alexander, 2006, pág. 504).
8
En los circuitos trifásicos debido a su configuración de conexiones es posible
realizar cinco conexiones de fuentes trifásicas con cargas trifásicas, como se
presenta a continuación:
Figura 5.2 Fuente conectada en Y y carga conectada en Y.
Figura 5.3 Fuente conectada en Y y carga conectada en Y con neutro.
9
Figura 5.4 Fuente conectada en Y y carga conectada en Delta.
Figura 5.5 Fuente conectada en Delta y carga conectada en Y.
10
Figura 5.6 Fuente conectada en Delta y carga conectada en Y.
Las señales de tensión y corriente en un circuito eléctrico son expresadas en el
dominio del tiempo, a continuación se presentan las tensiones de un circuito
eléctrico trifásico con una secuencia de fase positiva en el dominio del tiempo:
𝑣𝑎𝑛(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡) [V] 5. 1
𝑣𝑏𝑛(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 − 120°) [V] 5. 2
𝑣𝑐𝑛(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 120°) [V] 5. 3
Así mismo las corrientes producidas por las fuentes de alimentación están dadas
en el dominio del tiempo por:
𝑖𝑎(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝜃) [A] 5. 4
𝑖𝑏(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝜃 − 120°) [A] 5. 5
𝑖𝑐(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝜃 + 120°) [A] 5. 6
11
En un circuito trifásico se tienen elementos capacitivos e inductivos que están
representados en el dominio del tiempo por ecuaciones diferenciales, las cuales
presentan un grado de dificultad mayor para realizar su solución (Dorf S. , 2008,
pág. 524). Por tal razón el análisis de circuitos trifásicos presentado en el capítulo
3, se realiza en el dominio de la frecuencia ya que los fasores de tensión y
corriente y las impedancias a pesar de tener números complejos, son más
sencillos de resolver que las ecuaciones diferenciales, adicionalmente el análisis
en el dominio de la frecuencia es posible debido a que las fuentes de tensión
trifásicas están formadas por fuentes de tipo senoidal que tienen la misma
frecuencia y de esta manera permite un aprendizaje amigable para el estudiante.
Transformaciones de fuentes de tensión y cargas
trifásicas.
Las transformaciones de los modelos de fuentes de tensión y de carga trifásica pueden simplificar y hacer más fácil la solución de un determinado circuito trifásico. Para realizar las transformaciones de fuentes de tensión y de carga trifásica es necesario buscar un modelo equivalente que tenga el mismo comportamiento eléctrico y que permita que el resultado del análisis sea el mismo, aunque el grado de dificultad puede variar de un caso a otro. Las tensiones trifásicas se producen con un generador trifásico de corriente alterna, las tres tensiones de un sistema trifásico son de igual magnitud y frecuencia y están desfasadas entre si exactamente 120°. Así las fuentes de tensión pueden conectarse en Y o estrella como se observa en la Figura 5.1.1 Fuente trifásica conectada en Y. o en delta como se observa en la Figura 5.1.2 Fuente trifásica conectada en Delta.
12
Figura 5.1.1 Fuente trifásica conectada en Y.
Figura 5.1.2 Fuente trifásica conectada en Delta.
La conexión de fuente trifásica en Y o en estrella debe su nombre a que el diagrama de conexión tiene la forma de la letra Y, en esta conexión el punto negativo de cada una de las fuentes está conectado a un punto común, denominado neutro y los puntos positivos de cada fuente son conectados a la línea de transmisión para conectar la carga.
13
En la conexión de fuente trifásica Delta, su nombre proviene del diagrama de conexión ya que tiene la forma de la letra griega delta ∆, en esta conexión las fuentes son conectadas entre sí y la carga es conectada a los extremos de la delta por medio de las líneas de transmisión. Si observamos la Figura 5.1.1 Fuente trifásica conectada en Y. las fuentes de tensión están conectadas en estrella y las tensiones 𝑽𝑎𝑛, 𝑽𝑏𝑛 y 𝑽𝑐𝑛, se denominan tensiones de fase y están entre las líneas a, b y c. si las tensiones de fase tienen la misma magnitud y frecuencia y están desfasadas 120° entre sí, entonces las tensiones están balanceadas y se tiene que:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝐹∠0° [V] 5.1. 1
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝐹∠ − 120° [V] 5.1. 2
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝐹∠ + 120° [V] 5.1. 3
Realizando la suma fasorial de las tensiones de fase se tiene:
𝑽𝑎𝑛 + 𝑽𝑏𝑛 + 𝑽𝑐𝑛 = 0
|𝑽𝑎𝑛| = |𝑽𝑏𝑛| = |𝑽𝑐𝑛|
Ahora si observamos la Figura 5.1.2 Fuente trifásica conectada en Delta.
Las fuentes de tensión están conectadas en delta y las tensiones 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐 y 𝑽𝑐𝑎, se denominan tensiones de línea y están entre las líneas a, b y c. si las tensiones de línea tienen la misma magnitud y frecuencia y están desfasadas 120° entre sí, entonces las tensiones están balanceadas y se tiene que:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐿∠30° [V] 5.1. 4
𝑽𝑏𝑐 = 𝑉𝐿∠ − 90° [V] 5.1. 5
𝑽𝑐𝑎 = 𝑉𝐿∠ + 150° [V] 5.1. 6
Realizando la suma fasorial de las tensiones de línea se tiene:
𝑽𝑎𝑏 + 𝑽𝑏𝑐 + 𝑽𝑐𝑎 = 0
|𝑽𝑎𝑏| = |𝑽𝑏𝑐| = |𝑽𝑐𝑎|
14
En la Figura 5.1.3. Tensiones trifásicas, observamos la gráfica de una fuente trifásica, como se mencionó anteriormente consta de tres fuentes de tensión senoidal de igual magnitud y desfasadas entre si 120°.
Figura 5.1.3. Tensiones trifásicas.
Donde la señal amarilla es la fase a, la señal azul es la fase b y la señal roja es la fase c. Ya que las tensiones de fase se encuentran desfasadas 120° entre sí, existen dos configuraciones posibles, las cuales se denominan secuencia de fases.
(a) (b)
Figura 5.1.4 Secuencias de fases. (a) secuencia de fase positiva, (b) secuencia de fase
negativa.
15
En la secuencia de fase positiva o secuencia abc la tensión 𝑽𝑎𝑛 se adelanta a la tensión 𝑽𝑏𝑛 y esta a su vez se adelanta a 𝑽𝑐𝑛, en dicha secuencia las tensiones de fase están dadas por las ecuaciones:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝐹∠0° [V] 5.1. 7
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝐹∠ − 120° [V] 5.1. 8
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝐹∠ + 120° [V] 5.1. 9
Donde 𝑉𝐹 es el valor eficaz o rms de las tensiones de fase.
Por otra parte en la secuencia de fase negativa o secuencia acb la tensión 𝑽𝑎𝑛 se adelanta a la tensión 𝑽𝑐𝑛 y esta a su vez se adelanta a 𝑽𝑏𝑛, en dicha secuencia las tensiones de fase están dadas por las ecuaciones:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝐹∠0° [V] 5.1. 10
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝐹∠ + 120° [V] 5.1. 11
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝐹∠ − 120° [V] 5.1. 12
Donde 𝑉𝐹 es el valor eficaz o rms de las tensiones de fase.
5.1.1 Transformaciones de fuentes de tensión Y – Delta
Figura 5.1.5 Transformación de fuentes de tensión Y – Delta.
16
Si se quiere realizar la transformación de una fuente de tensión trifásica conectada
en Y o estrella, a una fuente de tensión trifásica conectada en delta, el
comportamiento eléctrico de la conexión delta debe ser igual a la fuente trifásica
conectada en Y.
Así, si observamos la Figura 5.1.1 Fuente trifásica conectada en Y; al cerrar un
lazo uniendo las terminales a y b, b y c, y, c y a y aplicando ley de tensiones de
Kirchhoff en cada lazo cerrado las tensiones de línea 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐 y 𝑽𝑐𝑎 se expresan
como:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛 5.1. 13
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝑏𝑛 − 𝑽𝑐𝑛 5.1. 14
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝑐𝑛 − 𝑽𝑎𝑛 5.1. 15
En la conexión Y de una fuente trifásica, la tensión de fase 𝑉𝐹, está definida como
la tensión que se encuentra entre el punto a, b o c y el punto neutro (n) de la
fuente y está dada por:
𝑉𝐹 = 𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑐𝑛
La tensión de línea 𝑉𝐿, en una fuente trifásica en conexión delta se define como la
tensión que se encuentra entre los puntos a y b, b y c, y, c y a y está definida por:
𝑉𝐿 = 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑏𝑐 = 𝑉𝑐𝑎
Si las tensiones de fase 𝑉𝐹 corresponden a secuencia positiva, las tensiones
fasoriales pueden expresarse como:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝐹∠𝜃𝑎𝑛 [V] 5.1. 16
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝐹∠(𝜃𝑎𝑛 − 120°) [V] 5.1. 17
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝐹∠(𝜃𝑎𝑛 + 120°) [V] 5.1. 18
Sustituyendo las ecuaciones 5.1. 16 y 5.1. 17 en la ecuación 5.1. 13 para una
secuencia positiva de fases se tiene:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹∠𝜃𝑎𝑛 − 𝑉𝐹∠(𝜃𝑎𝑛 − 120°)
17
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛 − 𝑉𝐹𝑒𝑗(𝜃𝑎𝑛−120°)
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛 − 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛𝑒−𝑗120°
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛(1 − 𝑒−𝑗120°)
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛(1 − cos(120°) + 𝑗 sin(120°))
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛 (1.5 + 𝑗√3 2⁄ )
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹𝑒𝑗𝜃𝑎𝑛(√3𝑒𝑗30°)
𝑽𝑎𝑏 = √3 𝑉𝐹𝑒𝑗(𝜃𝑎𝑛+30°)
𝑽𝑎𝑏 = √3 𝑉𝐹∠(𝜃𝑎𝑛 + 30°) [V] 5.1. 19
Así, la demostración para las tensiones de línea 𝑽𝑏𝑐 y 𝑽𝑐𝑎 es semejante.
Si observamos la demostración para la tensión de línea 𝑽𝑎𝑏, la magnitud de la
tensión de línea es √3 veces mayor que la tensión de fase y el ángulo de la
tensión de línea 𝜃𝑎𝑏 en secuencia positiva esta adelantado 30° con respecto al
ángulo de tensión de fase. De esta manera se tiene que la magnitud de tensión y
el ángulo de línea están definidos de forma general por:
𝑉𝐿 = √3 𝑉𝐹 [V]
5.1. 20
𝜃𝐿 = 𝜃𝐹 + 30°
5.1. 21
Si las tensiones de fase 𝑉𝐹 corresponden a secuencia negativa y empleando el
procedimiento y demostración utilizada para tensiones de fase en secuencia
positiva, se obtiene la misma relación de magnitudes de tensión dada por la
ecuación 5.1. 20 y el ángulo de línea 𝜃𝐿 en secuencia negativa está atrasado 30°
con respecto al ángulo de tensión de fase.
𝜃𝐿 = 𝜃𝐹 − 30°
5.1. 22
En la Figura 5.1.6 Equivalente de transformación de fuentes Y – Delta. Se observa
la relación de la transformación de una fuente trifásica conectada en Y o estrella a
una fuente trifásica conectada en Delta.
18
Figura 5.1.6 Equivalente de transformación de fuentes Y – Delta.
5.1.2 Transformaciones de fuentes de tensión Delta - Y
Si se quiere realizar la transformación de una fuente de tensión trifásica conectada
en delta, a una fuente de tensión trifásica conectada en Y o estrella, el
comportamiento eléctrico de la conexión Y o estrella debe ser igual a la fuente
trifásica conectada en delta.
Figura 5.1.7 Transformación de fuentes de tensión Delta – Y.
Es de gran importancia determinar la secuencia de fases con la que se va a
realizar la transformación de la fuente trifásica, ya que la secuencia de fase de la
fuente conectada en delta, será la misma secuencia de fase de la fuente
conectada en Y. Cuando se quiere encontrar el modelo de conexión Y o estrella
19
de una fuente trifásica conectada en delta, se debe hallar los valores de tensión de
fase, es decir 𝑽𝑎𝑛, 𝑽𝑏𝑛 y 𝑽𝑐𝑛; a partir de las tensiones de línea 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐 y 𝑽𝑐𝑎
conocidas.
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝑏𝑛 − 𝑽𝑐𝑛
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝑐𝑛 − 𝑽𝑎𝑛
Conociendo la ecuación 5.1. 20 es posible determinar la magnitud de la tensión de
fase, de esta manera se tiene:
𝑉𝐹 =𝑉𝐿
√3
Para obtener los ángulos se debe observar las ecuaciones 5.1. 21 y 5.1. 22, con lo
que se obtiene:
𝜃𝐹 = (𝜃𝐿 − 30°) secuencia positiva
𝜃𝐹 = (𝜃𝐿 + 30°) secuencia negativa
Obteniendo así:
𝑽𝐹 =𝑉𝐿
√3∠(𝜃𝐿 − 30°) [V] secuencia positiva
5.1. 23
𝑽𝐹 =𝑉𝐿
√3∠(𝜃𝐿 + 30°) [V] secuencia negativa
5.1. 24
En las ecuaciones 5.1. 23 y 5.1. 24, se observa que para secuencia positiva la
tensión de fase 𝑽𝐹 está atrasada 30° respecto de la tensión de línea 𝑉𝐿, y para
secuencia negativa la tensión de fase 𝑽𝐹 esta 30° adelantada respecto de la
tensión de línea 𝑉𝐿.
En la Figura 5.1.8 Equivalente de transformación de fuentes Delta – Y. se observa
la relación de la transformación de una fuente trifásica conectada en delta a una
fuente trifásica conectada en Y o estrella.
20
Figura 5.1.8 Equivalente de transformación de fuentes Delta – Y.
5.1.3 Cargas trifásicas
Al igual que las fuentes de tensión trifásicas una carga trifásica también puede
conectarse en estrella o en delta y puede estar balanceada o desbalanceada.
Una carga trifásica balanceada es: una carga en la que las impedancias de las
fases, son iguales en magnitud y en fase.
Una carga trifásica desbalanceada es: una carga en la que las impedancias de
las fases, son diferentes en magnitud y en fase.
Una carga trifásica conectada en Y o estrella, consta de tres impedancias
conectadas a un punto de referencia denominado el punto neutro (N) y su otro
terminal debe ser conectado a la fuente de tensión trifásica. De la misma manera
una carga trifásica conectada en delta consta de tres impedancias conectadas
entre sí. En la Figura 5.1.9 Conexiones de cargas trifásicas. (a) Carga en conexión
Y, (b) Carga en conexión Delta, se observa los dos tipos de configuraciones en los
que se puede conectar una carga trifásica, ya sea balanceada o desbalanceada.
21
(a) (b)
Figura 5.1.9 Conexiones de cargas trifásicas. (a) Carga en conexión Y, (b) Carga en conexión Delta
Las cargas trifásicas se pueden transformar de una carga conectada en Y, a una
carga conectada en delta o de una carga conectada en delta a una carga
conectada en Y o estrella, dependiendo del análisis de circuitos que se quiera
realizar, se debe tener en cuenta que esta transformación de cargas debe tener el
mismo comportamiento eléctrico para no afectar la solución del circuito.
5.1.3.1 Transformación de cargas trifásicas balanceadas.
Las cargas trifásicas balanceadas son aquellas en las que las impedancias son
iguales en magnitud y fase.
Carga trifásica balanceada conectada en Y o estrella:
𝒁1 = 𝒁2 = 𝒁3 = 𝒁𝑌 5.1. 25
Carga trifásica balanceada conectada en delta:
𝒁𝐴 = 𝒁𝐵 = 𝒁𝐶 = 𝒁∆ 5.1. 26
En relación a las ecuaciones 5.1. 25 y 5.1. 26 una carga trifásica balanceada
conectada en Y o estrella, puede transformarse en una carga conectada en delta,
o viceversa, a partir de la siguiente ecuación:
22
𝒁∆ = 3 ∙ 𝒁𝑌 [Ω] 𝑂 𝒁𝑌 =𝒁∆
3 [Ω]
5.1. 27
5.1.3.2 Transformación Y- Delta de cargas trifásicas desbalanceadas.
Si se tiene una carga trifásica conectada en Y o estrella y se conocen los valores
de sus impedancias, es posible hallar el equivalente de la carga trifásica
conectada en delta, a partir de las siguientes ecuaciones:
𝒁𝐴 =𝒁1𝒁2 + 𝒁1𝒁3 + 𝒁2𝒁3
𝒁3 [Ω]
5.1. 28
𝒁𝐵 =𝒁1𝒁2 + 𝒁1𝒁3 + 𝒁2𝒁3
𝒁2 [Ω]
5.1. 29
𝒁𝐶 =𝒁1𝒁2 + 𝒁1𝒁3 + 𝒁2𝒁3
𝒁1 [Ω]
5.1. 30
5.1.3.3 Transformación Delta-Y de cargas trifásicas desbalanceadas.
Si se tiene una carga trifásica conectada en delta y se conocen los valores de sus
impedancias, es posible hallar el equivalente de la carga trifásica conectada en Y
o estrella, a partir de las siguientes ecuaciones:
𝒁1 =𝒁𝐴𝒁𝐵
𝒁𝐴 + 𝒁𝐵 + 𝒁𝐶 [Ω]
5.1. 31
𝒁2 =𝒁𝐶𝒁𝐴
𝒁𝐴 + 𝒁𝐵 + 𝒁𝐶 [Ω]
5.1. 32
𝑍3 =𝒁𝐵𝒁𝐶
𝒁𝐴 + 𝒁𝐵 + 𝒁𝐶 [Ω]
5.1. 33
23
Conexiones trifásicas de cargas (balanceadas y
desbalanceadas) conectadas a fuentes sin pérdidas en
líneas de transmisión.
Un circuito trifásico se obtiene a partir de la conexión de una fuente trifásica y una
carga trifásica por medio de líneas de transmisión, ya que una fuente trifásica y
una carga trifásica pueden ser conectadas en estrella o en delta, se tiene cuatro
posibles conexiones de circuitos trifásicos:
Conexión Y-Y: fuente conectada en Y con carga conectada en Y
Conexión ∆ -∆: fuente conectada en ∆ con carga conectada en ∆
Conexión Y- ∆: fuente conectada en Y con carga conectada en ∆
Conexión ∆- Y: fuente conectada en ∆ con carga conectada en Y
Los circuitos trifásicos en los cuales no se tienen perdidas en las líneas de
transmisión son aquellos circuitos en los que las líneas o conductores que
conectan las cargas a las fuentes son ideales, es decir, se desprecian sus efectos
resistivos, capacitivos o inductivos; en las posibles conexiones de circuitos
trifásicos que se presentan en esta sección se asume secuencia de fase positiva
para todos los análisis y soluciones de los circuitos.
5.2.1 Conexión Y –Y (con neutro y sin neutro)
Si una fuente esta conectada en Y al igual que la carga trifasica, se dice que este circuito esta en conexión Y-Y. Al hablar de una conexión Y-Y con neutro decimos que el conductor de neutro esta conectado entre el neutro (n) de la fuente y el neutro (N) de la carga trifasica una conexión Y-Y sin neutro solo cuenta con tres conductores los cuales conectan las terminales de la carga trifasica con las terminales de la fuente trifasica.
5.2.1.1 Conexión Y-Y balanceado
Un circuito en conexión Y-Y balanceado, es aquel circuito en que la fuente trifásica
balanceada está conectada en Y y al igual la carga trifásica balanceada se
24
encuentra conectada en Y. Ahora bien, al tratarse de una carga balanceada las
impedancias que forman esta carga son iguales.
Figura 5.2.1 Conexión Y-Y balanceado.
Este tipo de circuito es igual cuando se tiene un conductor neutro que cuando no
se tiene, ya que al tener cargas balanceadas la tensión y corriente en el conductor
neutro es cero, es decir 𝑰𝑛𝑁 = 0 y 𝑽𝑛𝑁 = 0. Así el conductor de neutro puede
eliminarse sin afectar el sistema.
Es de gran importancia determinar la secuencia de fases con la cual se analizara
el circuito, ya que esta secuencia será la misma en las tensiones y corrientes de
las cargas; como se mencionó la secuencia determinada para el análisis y
solución del circuito será secuencia positiva; aplicando esta secuencia para el
circuito de la Figura 5.2.1 Conexión Y-Y balanceado, las tensiones de fase están
determinadas por las siguientes ecuaciones:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝐹∠0° [V]
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝐹∠ − 120° [V]
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝐹∠ + 120° [V]
25
Teniendo en cuenta que la tensión entre el neutro (n) de la fuente y el neutro (N)
de la carga es cero; las tensiones de fase en la carga son las mismas tensiones de
fase de la fuente, de esta manera se cumple que:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑽𝐴𝑁 5.2. 1
𝑽𝑏𝑛 = 𝑽𝐵𝑁 5.2. 2
𝑽𝑐𝑛 = 𝑽𝐶𝑁 5.2. 3
Las tensiones de línea 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐, 𝑽𝑐𝑎, para este tipo de circuito se deducen a partir
de las tensiones de fase en su forma fasorial, aplicando ley de tensiones de
Kirchhoff (LTK), como se expresa a continuación:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹∠0° − 𝑉𝐹∠ − 120°
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝐹 [−1
2− 𝑗
√3
2]
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹 [1 +1
2+ 𝑗
√3
2]
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹 [3
2+ 𝑗
√3
2]
𝑽𝑎𝑏 = √3 𝑉𝐹∠30° [V]
5.2. 4
Para hallar las tensiones de línea 𝑽𝑏𝑐 y 𝑽𝑐𝑎, es posible a partir de la tensión de
línea calculada 𝑽𝑎𝑏, siguiendo la misma secuencia de fase de las tensiones de la
fuente (secuencia positiva) y asignándoles la misma magnitud y desfasadas entre
si 120° se tiene que:
𝑽𝑎𝑏 = √3 𝑉𝐹∠30° [V]
5.2. 5
𝑽𝑏𝑐 = √3 𝑉𝐹∠ − 90° [V]
5.2. 6
𝑽𝑐𝑎 = √3 𝑉𝐹∠150° [V]
5.2. 7
26
De esta manera la magnitud de las tensiones de línea 𝑉𝐿 es √3 veces la magnitud
de las tensiones de fase en un circuito en conexión Y-Y balanceado, luego:
𝑉𝐿 = √3 𝑉𝐹 [V]
5.2. 8
En la Figura 5.2.2 Diagrama fasorial que muestra la relación entre tensiones de línea y
tensiones de fase. Se observan los diagramas fasoriales que muestran la relación
entre las tensiones de fase y las tensiones de línea.
Figura 5.2.2 Diagrama fasorial que muestra la relación entre tensiones de línea y tensiones de fase.
Observemos que las tensiones de línea adelantan 30° a las tensiones de fase,
este desfase es el que se observa en la ecuación 5.2. 4.
Para determinar las corrientes en un circuito en conexión Y-Y balanceado es
posible analizar cada fase del circuito, obteniendo así las corrientes de línea 𝑰𝑎,
𝑰𝑏 e 𝑰𝑐, mediante la ley de ohm:
𝑰𝑎 =𝑽𝑎𝑛
𝒁𝑦 [A]
5.2. 9
27
𝑰𝑏 =𝑽𝑏𝑛
𝒁𝑦 [A]
5.2. 10
𝑰𝑐 =𝑽𝑐𝑛
𝒁𝑦 [A]
5.2. 11
Como se observa en la Figura 5.2.1 Conexión Y-Y balanceado. La corriente de la
línea que conecta la fuente trifásica a la carga trifásica es la misma corriente de
fase que circula a través de la impedancia 𝒁𝑦 de la carga, por lo tanto en un
circuito trifásico en conexión Y-Y balanceado se tiene que la corriente de línea es
igual a la corriente de fase:
𝑰𝐿 = 𝑰𝐹 [A]
5.2. 12
Donde 𝑰𝐿 es la corriente de línea e 𝑰𝐹 es la corriente de fase.
Ver Situación problema 1: Caso de un circuito trifásico balanceado sin neutro
5.2.1.2 Conexión Y-Y desbalanceado con neutro
Un circuito en conexión Y-Y desbalanceado con neutro es aquel circuito con
fuente trifásica conectada en Y, carga trifásica desbalanceada conectada en Y
donde 𝒁1 ≠ 𝒁2 ≠ 𝒁3 y el neutro (n) de la fuente está conectado al neutro (N) de la
carga por medio de un conductor o una línea de transmisión; al tratarse de una
carga trifásica desbalanceada las impedancias de cada fase son diferentes, como
se presenta en la Figura 5.2.3 Conexión Y-Y desbalanceado con neutro.
28
Figura 5.2.3 Conexión Y-Y desbalanceado con neutro.
Si observamos la Figura 5.2.3 Conexión Y-Y desbalanceado con neutro. Las
fuentes de tensión están en paralelo a la carga y dada la conexión entre neutros
de la carga y la fuente, se deduce que las tensiones de fase 𝑽𝑎𝑛, 𝑽𝑏𝑛, 𝑽𝑐𝑛 en la
fuente son las mismas tensiones de fase en la carga 𝑽𝐴𝑁 , 𝑽𝐵𝑁 , 𝑽𝐶𝑁, con lo cual se
obtienen las ecuaciones:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑽𝐴𝑁
𝑽𝑏𝑛 = 𝑽𝐵𝑁
𝑽𝑐𝑛 = 𝑽𝐶𝑁
Para este tipo de conexión es posible reducir el circuito trifásico a tres circuitos
monofásicos como se indica en la Figura 5.2.4 Equivalentes monofásicos de un
sistema trifásico en conexión Y-Y desbalanceado con neutro.
29
Figura 5.2.4 Equivalentes monofásicos de un sistema trifásico en conexión Y-Y desbalanceado con neutro.
A partir de los circuitos monofásicos de la Figura 5.2.4 Equivalentes monofásicos
de un sistema trifásico en conexión Y-Y desbalanceado con neutro. Se obtienen
mediante la ley de ohm las corrientes que circulan para cada carga, dadas por las
siguientes ecuaciones:
𝑰𝑎 =𝑽𝑎𝑛
𝒁1 [A]
5.2. 13
𝑰𝑏 =𝑽𝑏𝑛
𝒁2 [A]
5.2. 14
𝑰𝑐 =𝑽𝑐𝑛
𝒁3 [A]
5.2. 15
Estas corrientes son denominadas corrientes de línea; aplicando ley de corrientes
de Kirchhoff (LCK) en los nodos A, B y C se tiene que:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝑁
5.2. 16
𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝑁
5.2. 17
𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝑁
5.2. 18
Donde 𝑰𝐴𝑁 , 𝑰𝐵𝑁 , 𝑰𝐶𝑁 son las corrientes que circulan a través de la carga y son
denominadas corrientes de fase.
Teniendo en cuenta las ecuaciones 5.2. 16, 5.2. 17 y 5.2. 18, se puede deducir
que para un circuito trifásico con cargas trifásicas conectadas en Y o estrella, las
corrientes de fase son las mismas corrientes de línea del circuito.
30
Las corrientes de línea del circuito producen una corriente de línea en el conductor
de neutro, la cual no es cero como en un circuito balanceado, si se aplica ley de
tensiones de Kirchhoff (LTK) en el nodo N se tiene que la corriente de neutro está
dada por:
𝑰𝑛𝑁 = −(𝑰𝑎 + 𝑰𝑏 + 𝑰𝑐)
Ahora bien, si se quiere conocer las tensiones de línea del circuito, se aplica ley de
tensiones de Kirchhoff (LTK) y se obtienen las ecuaciones:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛
5.2. 19
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝑏𝑛 − 𝑽𝑐𝑛
5.2. 20
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝑐𝑛 − 𝑽𝑎𝑛
5.2. 21
Teniendo así las tensiones de línea.
5.2.1.3 Conexión Y-Y desbalanceado sin neutro
Un circuito en conexión Y-Y desbalanceado sin neutro, es un circuito con fuente
trifásica conectada en Y y carga trifásica desbalanceada conectada en Y, al
tratarse de una carga trifásica desbalanceada las impedancias de cada fase no
son iguales es decir 𝒁1 ≠ 𝒁2 ≠ 𝒁3 y adicionalmente cuando se tiene un circuito sin
conductor de neutro, la tensión entre neutros 𝑽𝑛𝑁 es diferente de cero, por lo tanto
el análisis y la solución del circuito cambia.
31
Figura 5.2.5 Conexión Y-Y desbalanceado sin neutro
Al no disponer de un conductor de neutro, es posible realizar el análisis del circuito
con métodos de solución como nodos, mallas, superposición o transformación de
fuentes.
El análisis y solución que se presenta a continuación para este tipo de conexión,
es el método de solución de mallas.
Figura 5.2.6 Análisis de mallas para un circuito en conexión Y-Y desbalanceado sin neutro.
32
Si se observa la Figura 5.2.6 Análisis de mallas para un circuito en conexión Y-Y
desbalanceado sin neutro. Es necesario plantear las ecuaciones de malla para las
corrientes 𝑰1 e 𝑰2, aplicando ley de tensiones de Kirchhoff (LTK) en cada una de
las mallas se tiene que:
𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛 = 𝑰1𝒁1 + (𝑰1 − 𝑰2)𝒁2
𝑽𝑏𝑛 − 𝑽𝑐𝑛 = (𝑰2 − 𝑰1)𝒁2 + 𝑰2𝒁3
Ordenando los términos se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
[𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛
𝑽𝑏𝑛 − 𝑽𝑐𝑛] = [
𝒁1 + 𝒁2 −𝒁2
−𝒁2 𝒁2 + 𝒁3] [
𝑰1
𝑰𝟐]
[𝑽𝑎𝑏
𝑽𝑏𝑐] = [
𝒁1 + 𝒁2 −𝒁2
−𝒁2 𝒁2 + 𝒁3] [
𝑰1
𝑰𝟐]
Una vez se tienen los valores de las corrientes de malla 𝑰1 e 𝑰2, se pueden
calcular las corrientes de línea del circuito, a partir de las ecuaciones:
𝑰𝑎 = 𝑰1
5.2. 22
𝑰𝑏 = 𝑰2 − 𝑰1
5.2. 23
𝑰𝑐 = −𝑰2
5.2. 24
En este tipo de conexión, circuito en conexión Y-Y desbalanceado sin neutro, las
corrientes de línea son las mismas corrientes de fase del circuito, por lo cual:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝑁
𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝑁
𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝑁
Aplicando ley de ohm en cada una de las cargas monofásicas, se obtienen sus
respectivas tensiones de fase, como se muestra en las ecuaciones:
𝑽𝐴𝑁 = 𝑰𝐴𝑁𝒁𝐴 [V]
5.2. 25
𝑽𝐵𝑁 = 𝑰𝐵𝑁𝒁𝐵 [V]
5.2. 26
𝑽𝐶𝑁 = 𝑰𝐶𝑁𝒁𝐶 [V] 5.2. 27
33
Si se quieren conocer las tensiones de línea del circuito, se deben aplicar las
ecuaciones 5.2. 19, 5.2. 20 y 5.2. 21.
Ver Situación problema 2: Caso de un circuito trifásico desbalanceado sin neutro
5.2.2 Conexión Delta – Delta.
Un circuito en conexión Delta - Delta, es un circuito compuesto por una fuente de
tensión trifásica conectada en delta y una carga trifásica conectada en delta, para
el análisis de este tipo de circuito se establece que la fuente de tensión es
balanceada y la carga puede estar balanceada o desbalanceada.
5.2.2.1 Conexión Delta- Delta balanceado
Un circuito en conexión Delta – Delta balanceado, es un circuito con fuente
trifásica balanceada conectada en delta y una carga trifásica balanceada
conectada en delta, es decir que las impedancias de cada una de las fases son
iguales.
Figura 5.2.7 Conexión Delta - Delta balanceado.
34
Como se determinó inicialmente la secuencia de fase establecida para el análisis
del circuito es secuencia positiva, y si observamos la Figura 5.2.7 Conexión Delta -
Delta balanceado. Se tiene que las tensiones de línea son iguales a las tensiones
de fase, por lo tanto:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵[V]
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶 [V]
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴 [V]
De esta manera las corrientes de fase en la carga estan dadas por:
𝑰𝐴𝐵 =𝑽𝐴𝐵
𝒁∆ [A]
5.2. 28
𝑰𝐵𝐶 =𝑽𝐵𝐶
𝒁∆ [A]
5.2. 29
𝑰𝐶𝐴 =𝑽𝐶𝐴
𝒁∆ [A]
5.2. 30
Aplicando ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) en los nodos A, B y C, se obtienen
las corrientes de línea del circuito a partir de las corrientes de fase:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴
5.2. 31
𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝐶 − 𝑰𝐴𝐵
5.2. 32
𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝐴 − 𝑰𝐵𝐶
5.2. 33
Como se indicó la corriente de línea está atrasada 30° con respecto a la corriente
de fase y a su vez la magnitud de la corriente de línea es √3 veces la magnitud de
la corriente de fase, con lo cual se deduce que:
𝐼𝐿 = √3 𝐼𝐹
5.2. 34
Donde 𝐼𝐿 es la corriente de línea e 𝐼𝐹 es la corriente de fase.
35
5.2.2.2 Conexión Delta- Delta desbalanceado
Un circuito en conexión Delta – Delta desbalanceado, es un circuito con fuente
trifásica balanceada, conectada a una carga trifásica desbalanceada conectada en
delta, al tratarse de una carga trifásica desbalanceada las impedancias de cada
fase de la carga no son iguales, es decir que 𝒁𝐴 ≠ 𝒁𝐵 ≠ 𝒁𝐶 .
Figura 5.2.8 Conexión Delta - Delta desbalanceado.
En la Figura 5.2.8 Conexión Delta - Delta desbalanceado. Se observa que las
fuentes de tensión 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐, 𝑽𝑐𝑎, estan en paralelo con las cargas 𝒁𝐴, 𝒁𝐵, 𝒁𝐶 , por lo
tanto la tensión en cada una de las fases de la carga es la misma tensión en la
carga de cada fase, de lo cual se deduce que:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑽𝐴𝐵
𝑽𝑏𝑐 = 𝑽𝐵𝐶
𝑽𝑐𝑎 = 𝑽𝐶𝐴
En este tipo de conexión estas tesiones son denominadas tensiones de fase del
circuito, que a su vez corresponden a las tensiones de línea del circuito trifásico.
Si se aplica ley de ohm en cada una de las cargas monofásicas se obtienen las
corrientes de fase del circuito, a partir de las ecuaciones:
36
𝑰𝐴𝐵 =𝑽𝐴𝐵
𝒁𝐴 [A]
5.2. 35
𝑰𝐵𝐶 =𝑽𝐵𝐶
𝒁𝐵 [A]
5.2. 36
𝑰𝐶𝐴 =𝑽𝐶𝐴
𝒁𝐶 [A]
5.2. 37
Al realizar el analisis del cicuito para cada una de las fases, las corrientes
obtenidas son las mismas tanto en la carga, como en la fuente.
Ahora si se desea obtener las corrientes de línea del circuito, se debe aplicar ley
de corrientes de Kirchhoff (LCK) en los nodos A, B y C, obteniendo las
ecuaciones:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴
5.2. 38
𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝐶 − 𝑰𝐴𝐵
5.2. 39
𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝐴 − 𝑰𝐵𝐶
5.2. 40
Finalmente si se aplica ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) en el supernodo
formado por la carga trifásica, se tiene que la sumatoria algebraica de las
corrientes de línea es igual a cero, por lo tanto:
𝑰𝑎 + 𝑰𝑏 + 𝑰𝑐 = 0
5.2.3 Conexión Y- Delta
Un circuito en conexión Y - Delta, es un circuito compuesto por una fuente de
tensión trifásica conectada en Y y una carga trifásica conectada en delta, para el
análisis de este tipo de circuito se establece que la fuente de tensión es
balanceada y la carga puede estar balanceada o desbalanceada.
37
5.2.3.1 Conexión Y- Delta balanceado
Un circuito en conexión Y – Delta balanceado, es un circuito con fuente trifásica
conectada en Y, que alimenta una carga trifásica balanceada conectada en delta,
al tratarse de una carga balanceada las impedancias de fase de la carga son
iguales, es decir, 𝒁𝐴 = 𝒁𝐵 = 𝒁𝐶 = 𝒁∆.
Figura 5.2.9 Conexión Y - Delta balanceado.
Observemos la Figura 5.2.9 Conexión Y - Delta balanceado. Aplicando secuencia
de fase positiva, las tensiones de fase en la fuente están dadas por:
𝑽𝑎𝑛 = 𝑉𝐹∠0° [V]
𝑽𝑏𝑛 = 𝑉𝐹∠ − 120° [V]
𝑽𝑐𝑛 = 𝑉𝐹∠ + 120° [V]
Ahora bien, las tensiones de línea en la fuente se calculan a partir de las tensiones
de fase mediante las siguientes ecuaciones:
𝑽𝑎𝑏 = √3 𝑉𝐹∠30° [V]
5.2. 41
𝑽𝑏𝑐 = √3 𝑉𝐹∠ − 90° [V] 5.2. 42
38
𝑽𝑐𝑎 = √3 𝑉𝐹∠150° [V]
5.2. 43
Lo que indica que se ha realizado una transformación de la fuente trifásica
conectada en Y a una fuente trifásica conectada en Delta, obteniendo así un
circuito trifásico en conexión Delta – Delta como se muestra en la Figura 5.2.7
Conexión Delta - Delta balanceado.
Si observamos la Figura 5.2.7 Conexión Delta - Delta balanceado. Las tensiones
de línea en la fuente 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐, 𝑽𝑐𝑎 son iguales a las tensiones en las impedancias
en la carga 𝑽𝐴𝐵, 𝑽𝐵𝐶 , 𝑽𝐶𝐴, por lo tanto es posible obtener las corrientes de fase
𝑰𝐴𝐵, 𝑰𝐵𝐶 , 𝑰𝐶𝐴, aplicando ley de ohm así:
𝑰𝐴𝐵 =𝑽𝐴𝐵
𝒁∆ [A]
5.2. 44
𝑰𝐵𝐶 =𝑽𝐵𝐶
𝒁∆ [A]
5.2. 45
𝑰𝐶𝐴 =𝑽𝐶𝐴
𝒁∆ [A]
5.2. 46
Estas corrientes de fase tienen la misma magnitud y están desfasadas entre si
120°.
Otro método para obtener las corrientes de fase, es aplicar ley de tensiones de
Kirchhoff (LTK) en el lazo 1, obteniendo como resultado:
−𝑽𝑎𝑛 + 𝒁∆𝑰𝐴𝐵 + 𝑽𝑏𝑛 = 0
Despejando 𝑰𝐴𝐵
𝑰𝐴𝐵 =𝑽𝑎𝑛 − 𝑽𝑏𝑛
𝒁∆ [A]
Entonces,
𝑰𝐴𝐵 =𝑽𝑎𝑏
𝒁∆=
𝑽𝐴𝐵
𝒁∆ [A]
Teniendo la corriente 𝑰𝐴𝐵 calculada, se determinan las corrientes de fase 𝑰𝐵𝐶 e 𝑰𝐶𝐴,
a partir de la secuencia de fase.
39
Las corrientes de línea para este tipo de conexión se obtienen con la relación de
las corrientes de fase aplicando ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) en los nodos
A, B y C. Así las corrientes de línea están dadas por:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴
5.2. 47
𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝐶 − 𝑰𝐴𝐵
5.2. 48
𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝐴 − 𝑰𝐵𝐶
5.2. 49
Si se sabe que la tensión de línea 𝑰𝐶𝐴 está determinada por la ecuación:
𝑰𝐶𝐴 = 𝐼𝐴𝐵∠ − 240°
Sustituyendo la ecuación anterior, en la ecuación 5.2. 47 la corriente de línea
𝑰𝑎 del circuito es:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴
𝑰𝑎 = 𝐼𝐴𝐵∠0° − 𝐼𝐵∠ − 240°
𝑰𝑎 = 𝐼𝐴𝐵[1 − 1∠ − 240°]
𝑰𝑎 = 𝐼𝐴𝐵 [1 +1
2− 𝑗
√3
2]
𝑰𝑎 = 𝐼𝐴𝐵 [3
2− 𝑗
√3
2]
𝑰𝑎 = √3 𝐼𝐴𝐵∠ − 30° [A]
5.2. 50
La ecuación 5.2. 50 muestra que para este tipo de conexión la magnitud de la
corriente de línea es √3 veces la magnitud de la corriente de fase, obteniendo así
la relación:
𝐼𝐿 = √3 𝐼𝐹 [A]
5.2. 51
Donde 𝐼𝐿 es la tensión de línea e 𝐼𝐹 es la tensión de fase
𝐼𝐿 = |𝑰𝑎| = |𝑰𝑏| = |𝑰𝑐|
40
𝐼𝐹 = |𝑰𝐴𝐵| = |𝑰𝐵𝐶| = |𝑰𝐶𝐴|
Si observamos la ecuación 5.2. 50, las corrientes de fase se adelantan 30° con
respecto a las corrientes de línea, esta relación se ilustra en el diagrama fasorial
de la Figura 5.2.10 Diagrama fasorial que muestra la relación entre las corrientes
de fase y las corrientes de línea.
Figura 5.2.10 Diagrama fasorial que muestra la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea.
5.2.3.2 Conexión Y- Delta desbalanceado
Un circuito en conexión Y – Delta desbalanceado, es un circuito con fuente
trifásica conectada en Y, que alimenta una carga trifásica desbalanceada
conectada en delta, al tratarse de una carga desbalanceada las impedancias de
fase de la carga no son iguales, es decir, 𝒁𝐴 ≠ 𝒁𝐵 ≠ 𝒁𝐶.
41
Figura 5.2.11 Conexión Y - Delta desbalanceado.
El análisis de este tipo de conexión en circuitos trifásicos, es posible realizarse de
dos maneras diferentes, la primera es hacer una transformación de cargas
desbalanceadas delta – Y, como se indicó en la sección 5.1.3.3 Transformación
Delta-Y de cargas trifásicas desbalanceadas. Y de esta manera solucionar el
circuito por el método de conexión Y-Y desbalanceado sin neutro.
La segunda manera de realizar el análisis para este tipo de conexión de un circuito
trifásico es hacer una transformación de fuentes Y- Delta como se indicó en la
sección 5.1.1 y por consiguiente se obtiene un circuito en conexión delta-delta
desbalanceado, para el cual se realiza su respectiva solución explicada en la
sección 5.2.2.1.
5.2.4 Conexión Delta - Y
Un circuito trifásico en conexión Delta - Y, es un circuito compuesto por una
fuente de tensión trifásica conectada en Delta y una carga trifásica conectada en
Y, para el análisis de este tipo de circuito se establece que la fuente de tensión es
balanceada y la carga puede estar balanceada o desbalanceada.
42
5.2.4.1 Conexión Delta - Y balanceado
Un circuito trifásico en conexión delta - Y balanceado es un circuito con fuente
trifásica conectada en delta, que alimenta una carga trifásica balanceada
conectada en Y, al tratarse de una carga balanceada las impedancias de fases de
la carga son iguales, es decir 𝒁1 = 𝒁2 = 𝒁3 = 𝒁𝑌.
Figura 5.2.12 Conexión Delta - Y balanceado.
Si observamos el circuito de la Figura 5.2.12 Conexión Delta - Y balanceado. Se
tiene que las tensiones de fase de una fuente conectada en delta para secuencia
positiva son:
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹∠0° [V]
5.2. 52
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹∠ − 120° [V]
5.2. 53
𝑽𝑎𝑏 = 𝑉𝐹∠ + 120° [V]
5.2. 54
Que a su vez estas tensiones de fase son las mismas tensiones de línea.
43
Si se desea conocer las corrientes de línea del circuito es posible aplicar ley de
tensiones de Kirchhoff en el lazo 1 de la Figura 5.2.12 Conexión Delta - Y
balanceado. Obteniendo así:
−𝑽𝑎𝑏 = 𝒁𝑌𝑰𝑎 − 𝒁𝑌𝑰𝑏 = 0
Entonces
𝒁𝑌(𝑰𝑎 − 𝑰𝑏) = 𝑽𝑎𝑏
Despejando las corrientes
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 =𝑽𝑎𝑏
𝒁𝑌
5.2. 55
Teniendo en cuenta que inicialmente se determinó secuencia de fase positiva para
el análisis de las conexiones de los circuitos, se tiene que 𝑰𝑏 se atrasa 120° de 𝑰𝑎,
por lo tanto:
𝑰𝑏 = 𝐼𝑎∠ − 120°
Así:
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝐼𝑎 ∠0° − 𝐼𝑎∠ − 120°
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝐼𝑎 (1 − 1∠ − 120°)
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝐼𝑎 [1 +1
2+ 𝑗
√3
2]
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝐼𝑎 [1 +1
2+ 𝑗
√3
2]
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = 𝐼𝑎 [3
2+ 𝑗
√3
2]
𝑰𝑎 − 𝑰𝑏 = √3 𝐼𝑎∠30° [A]
5.2. 56
Sustituyendo la ecuación 5.2. 56 en la ecuación 5.2. 55 se tiene:
𝑰𝑎 =
𝑉𝑎𝑏
√3∠ − 30°
𝒁𝑌
5.2. 57
44
A partir de la corriente de línea 𝑰𝑎 calculada, es posible determinar las corrientes
de las dos fases restantes 𝑰𝑏 e 𝑰𝑐 , siguiendo la secuencia positiva de fases.
Otra manera de realizar el análisis y la solución de un circuito trifásico en conexión
delta – Y, es realizar una transformación de la fuente conectada en delta, por su
equivalente de fuente conectada en Y como se indicó en la sección 5.1.2
Transformaciones de fuentes de tensión Delta - Y.
En una fuente conectada en Y las tensiones de línea a línea se adelantan 30° con
respecto a las tensiones de fase, en relación a esto la magnitud de la tensión de
fase se obtiene dividiendo la tensión de línea de la fuente conectada en delta en
√3 y atrasando su ángulo de fase 30°.
De esta manera las tensiones de fase de la fuente equivalente conectada en Y
están dadas por:
𝑽𝑎𝑛 =𝑉𝐿
√3∠ − 30° [V]
5.2. 58
𝑽𝑏𝑛 =𝑉𝐿
√3∠ − 150° [V]
5.2. 59
𝑽𝑐𝑛 =𝑉𝐿
√3∠90° [V]
5.2. 60
Donde 𝑉𝐿, es la magnitud de la tensión de línea de la fuente conectada en delta.
Una vez la fuente trifásica en conexión delta es transformada en una fuente
trifásica en conexión Y se tiene el circuito de la Figura 5.2.1 Conexión Y-Y
balanceado.
La solución para este equivalente se realiza como se indicó en la sección 5.2.1.1
Conexión Y-Y balanceado.
5.2.4.2 Conexión Delta - Y desbalanceado
Un circuito en conexión Delta - Y desbalanceado, es un circuito con fuente trifásica
conectada en delta, que alimenta una carga trifásica desbalanceada conectada en
45
Y, al tratarse de una carga desbalanceada las impedancias de fase de la carga no
son iguales, es decir 𝒁1 ≠ 𝒁2 ≠ 𝒁3.
Figura 5.2.13 Conexión Delta - Y desbalanceado.
El análisis de este tipo de conexión en circuitos trifásicos, es posible realizarse de
dos maneras diferentes, la primera es hacer una transformación de cargas
desbalanceadas Y - Delta como se indicó en la sección 5.1.3.2 Transformación Y-
Delta de cargas trifásicas desbalanceadas. Y de esta manera solucionar el circuito
por el método de conexión Delta -Delta desbalanceado.
La segunda manera de realizar el análisis para este tipo de conexión de un circuito
trifásico es hacer una transformación de fuentes Delta - Y como se indicó en la
sección 5.1.2 y por consiguiente se obtiene un circuito en conexión Y-Y
desbalanceado sin neutro, para el cual se realiza su respectiva solución explicada
en la sección 5.2.1.3.
5.2.5 Equivalente monofásico para circuitos balanceados
Los circuitos trifásicos balanceados presentan la particularidad de tener las
impedancias de fases de la carga de igual valor, independientemente del tipo de
46
conexión, por esta razón es posible realizar un circuito equivalente monofásico del
circuito trifásico.
Así con los datos calculados en el circuito equivalente monofásico y siguiendo la
secuencia de fases determinada para su respectivo análisis, se calculan los
valores de tensión y corriente de las dos fases restantes teniendo presente que al
ser un sistema trifásico las magnitudes de las tres fases son iguales, pero su
ángulo de desfase cambia.
5.2.5.1 Equivalente monofásico para circuito en conexión Y-Y balanceado
Para analizar un circuito Y-Y balanceado compuesto por una fuente trifásica
balanceada conectada en Y y una carga trifásica balanceada en conexión Y, es
posible realizar el análisis de solo una fase del circuito y teniendo en cuenta la
secuencia de fase se determinan las tensiones y corrientes de las dos fases
restantes; por ejemplo, analizando la fase a de la Figura 5.2.14 Circuito
monofásico equivalente de un circuito en conexión Y - Y balanceado. Para una
conexión Y-Y se tiene que:
Figura 5.2.14 Circuito monofásico equivalente de un circuito en conexión Y - Y balanceado.
𝑰𝑎 =𝑽𝑎𝑛
𝒁𝑦 [A]
5.2. 61
47
A partir de la corriente de línea 𝑰𝑎 calculada, se aplica la secuencia de fase y se
determinan las corrientes de línea 𝑰𝑏 e 𝑰𝑐; que a su vez son las mismas corrientes
de fase del circuito.
5.2.5.2 Equivalente monofásico para circuito en conexión Delta - Delta
balanceado
En un circuito trifásico en conexión delta-delta balanceado, es posible realizar el
análisis y solución de dicho circuito a partir del análisis de solo una de sus fases,
al igual que se realiza en un circuito en conexión Y-Y balanceado, como se
observa en la Figura 5.2.15 Circuito monofásico equivalente de un circuito en
conexión Delta - Delta balanceado.
Figura 5.2.15 Circuito monofásico equivalente de un circuito en conexión Delta - Delta balanceado.
Observemos que aplicando ley de ohm, se determina la corriente de fase 𝑰𝐴𝐵 que
fluye por la carga de la fase a, esta corriente está dada por:
𝑰𝐴𝐵 =𝑽𝑎𝑏
𝒁∆ [A]
5.2. 62
48
Teniendo calculadas las tensiones y corrientes de la fase a y siguiendo la
secuencia de fase determinada para el análisis del circuito, es posible obtener las
tensiones y corrientes para las fases b y c, ya que tienen la misma magnitud y
están desfasadas entre si 120°.
Las corrientes de línea 𝑰𝑎 , 𝑰𝑏 , 𝑰𝑐 , se obtienen de la relación de las corrientes de
fase como se muestra a continuación:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝐵 − 𝑰𝐶𝐴
5.2. 63
Las corrientes 𝑰𝑏 e 𝑰𝑐 se consiguen asignándoles la misma magnitud de la
corriente de línea 𝑰𝑎 y desfasándolas entre si 120°.
5.2.5.3 Equivalente monofásico para circuito en conexión Y - Delta
balanceado
En este tipo de conexión es posible realizar el análisis y solución del circuito
trifásico a partir de un circuito monofásico equivalente. Este tipo de análisis es
posible debido a que la carga es balanceada, para lo cual es necesario realizar
una transformación de la carga conectada en delta, a una carga equivalente
conectada en Y, como se indicó en la sección 5.1.3.1 Transformación de cargas
trifásicas balanceadas.
Una vez, calculada la carga del circuito conectada en delta a una carga
equivalente conectada en Y, se obtiene un circuito en conexión Y-Y balanceado, el
cual se reduce a tres circuitos monofásicos, analicemos la fase a:
Figura 5.2.16 Circuito monofásico equivalente de un circuito en conexión Y - Delta balanceado.
49
Este circuito equivalente monofásico permite obtener la corriente de línea del
circuito, aplicando ley de ohm:
𝑰𝑎 =𝑽𝑎𝑛
𝒁∆
3
[A]
5.2. 64
De esta manera las corrientes de fase se calculan a partir de la ecuación:
𝐼𝐹 =𝐼𝐿
√3
5.2. 65
Al obtener las corrientes de fase es importante tener en cuenta que estas
corrientes están adelantadas 30° con respecto a las corrientes de línea.
5.2.5.4 Equivalente monofásico para circuito en conexión Delta - Y
balanceado
En este tipo de conexión es posible realizar el análisis y solución del circuito
trifásico a partir de un circuito monofásico equivalente. Este tipo de análisis es
posible debido a que la carga es balanceada, para lo cual es necesario realizar
una transformación de la fuente conectada en delta, a una fuente equivalente
conectada en Y, como se indicó en la sección 5.1.2 Transformaciones de fuentes
de tensión Delta - Y.
Una vez la fuente en conexión delta es transformada en una fuente equivalente en
conexión Y, se obtiene un circuito trifásico en conexión Y-Y, el cual es posible
analizar por medio de un equivalente monofásico como se tiene a continuación:
50
Figura 5.2.17 Circuito monofásico equivalente para un circuito en conexión Delta - Y balanceado.
Donde la corriente de línea de la fase a esta dada por:
𝑰𝑎 =
𝑉𝐿
√3∠ − 30°
𝒁𝑌 [A]
5.2. 66
Teniendo la corriente 𝑰𝑎 calculada y aplicando la secuencia de fase positiva es
posible determinar las corrientes 𝑰𝑏e 𝑰𝑐 de las fases b y c respectivamente.
Conexiones trifásicas de cargas (balanceadas y
desbalanceadas) conectadas a fuentes con pérdidas en
las líneas de transmisión.
Una fuente de tensión trifásica y una carga trifásica son conectadas por medio de
un conductor o también llamado línea de transmisión, independientemente de su
conexión, estos conductores o líneas de transmisión presentan perdidas debido a
51
sus impedancias asociadas, las cuales pueden ser de tipo resistivo, inductivo o
capacitivo.
Cuando se presentan este tipo de pérdidas en las líneas de transmisión, el
circuito se analiza teniendo presente esta impedancia de línea, además el análisis
del circuito consiste en calcular las corrientes de línea, las corrientes de fase en la
carga y las tensiones de fase en la carga, en el análisis de este tipo de circuitos
trifásicos es posible realizar transformaciones de carga de tal manera que la
impedancia de la línea de transmisión se pueda relacionar con la impedancia de
fase de la carga y de esta manera obtener un tipo de conexión donde su método
de análisis y solución sea conocido.
5.3.1 Carga en Y
En la Figura 5.3.1. Circuito con carga trifásica conectada en Y y con pérdidas en
las líneas de transmisión, observamos los bornes de conexión de una fuente de
tensión trifásica conectada por medio de una línea de transmisión a una carga
trifásica en conexión Y, podemos notar que cada línea de transmisión presenta
una impedancia de línea la cual es denominada 𝒁𝐿, relacionando esta impedancia
de línea con la impedancia de fase 𝒁𝑌 del circuito se obtiene una impedancia
equivalente por fase denominada 𝒁𝑌𝑒𝑞𝑢𝑖, la cual se determina a partir de la
ecuación:
𝒁𝑌𝑒𝑞𝑢𝑖 = 𝒁𝐿 + 𝒁𝑌 [Ω] 5.3. 1
52
Figura 5.3.1. Circuito con carga trifásica conectada en Y y con pérdidas en las líneas de transmisión
Es importante resaltar que la carga mostrada en la Figura 5.3.1. Circuito con carga
trifásica conectada en Y y con pérdidas en las líneas de transmisión, es una carga
trifásica conectada en Y desbalanceada, por lo tanto 𝒁1 ≠ 𝒁2 ≠ 𝒁3.
5.3.2 Carga en Delta
En la Figura 5.3.2. Circuito con carga trifásica conectada en Delta y con pérdidas
en las líneas de transmisión. Observamos una fuente de tensión trifásica
conectada por medio de una línea de transmisión a una carga trifásica en
conexión delta, podemos notar que cada línea de transmisión presenta una
impedancia la cual es denominada 𝒁𝐿, en el caso en que la carga sea balanceada
en este tipo de conexión es posible realizar una transformación de carga, por su
equivalente en conexión Y y luego se realiza la relación de la impedancia de línea
con la impedancia de carga obteniendo así la impedancia equivalente por fase
como se indicó en la sección 5.3.1 Carga en Y.
53
Si se tiene una carga desbalanceada como se muestra en la Figura 5.3.2, donde
𝒁𝐴 ≠ 𝒁𝐵 ≠ 𝒁𝐶 se aplica ley de tensiones de Kirchhoff (LTK) en cada malla del
circuito.
Figura 5.3.2. Circuito con carga trifásica conectada en Delta y con pérdidas en las líneas de transmisión.
5.3.3 Conexión Y – Delta
En este tipo de conexión se tiene una fuente trifásica conectada en Y que alimenta
una carga trifásica conectada en Delta, al tratarse de una carga balanceada se
cumple que 𝒁𝐴 = 𝒁𝐵 = 𝒁𝐶 = 𝒁∆ ; por lo tanto para realizar el análisis y la solución
del circuito, se debe realizar una transformación de la carga conectada en delta,
por su equivalente a una carga conectada en Y, teniendo así un circuito en
conexión Y-Y balanceado, como se muestra en la Figura 5.3.3. Conexión Y-Y
balanceado con pérdidas en las líneas de transmisión. Figura 5.2.1 Conexión Y-Y
balanceado. Y como se indicó en la sección 5.3.1, la impedancia de línea se
relaciona con la impedancia de fase de tal manera que su resultado sea una
impedancia equivalente por cada fase, así se sigue el procedimiento explicado en
la sección 5.3.4.
54
5.3.4 Conexión Delta – Y
En este tipo de conexión se tiene una fuente trifásica conectada en delta que
alimenta una carga trifásica conectada en Y, al tratarse de una carga balanceada
𝒁1 = 𝒁2 = 𝒁3 = 𝒁𝑌 ; para realizar el análisis y la solución del circuito, se debe
realizar una transformación de la fuente conectada en delta, por su equivalente a
una fuente conectada en Y, teniendo así un circuito en conexión Y-Y balanceado,
como se muestra en la Figura 5.3.3. Conexión Y-Y balanceado con pérdidas en
las líneas de transmisión. Como se indicó en la sección 5.3.1, la impedancia de
línea se relaciona con la impedancia de fase de tal manera que su resultado sea
una impedancia equivalente por cada fase.
Figura 5.3.3. Conexión Y-Y balanceado con pérdidas en las líneas de transmisión.
Realizando el análisis para cada una de las fases se obtienen las corrientes de
línea del circuito a partir de las ecuaciones:
𝑰𝑎 =𝑽𝑎𝑛
𝒁𝑌𝑒𝑞𝑢𝑖 [A]
5.3. 2
𝑰𝑏 =𝑽𝑏𝑛
𝒁𝑌𝑒𝑞𝑢𝑖 [A]
5.3. 3
55
𝑰𝑐 =𝑽𝑐𝑛
𝒁𝑌𝑒𝑞𝑢𝑖 [A]
5.3. 4
Teniendo las corrientes de línea calculadas se obtienen las tensiones de fase de la
carga que están dadas por las ecuaciones:
𝑽𝐴𝑁 = 𝑰𝑎𝒁𝑌 [V] 5.3. 5
𝑽𝐵𝑁 = 𝑰𝑏𝒁𝑌 [V] 5.3. 6
𝑽𝐶𝑁 = 𝑰𝑐𝒁𝑌 [V] 5.3. 7
Las tensiones de línea del circuito se obtienen mediante las ecuaciones:
𝑽𝒁𝐿= 𝑰𝑎𝒁𝐿 [V] 5.3. 8
𝑽𝑍𝐿
= 𝑰𝑏𝒁𝐿 [V] 5.3. 9
𝑽𝑍𝐿= 𝑰𝑐𝒁𝐿 [V] 5.3. 10
Es importante tener en cuenta que para este tipo de conexión Y-Y sin neutro con
carga balanceada, es posible realizar la solución como se indicó en la sección
5.2.5.1Equivalente monofásico para circuito en conexión Y-Y balanceado,
analizando una sola fase y a las dos fases restantes se asigna la misma magnitud
y siguiendo la secuencia de fases determinada, el ángulo se asigna con un
desfase de 120° entre sí.
Si la carga trifásica es desbalanceada es decir, 𝒁1 ≠ 𝒁2 ≠ 𝒁3 y está conectada en
Y, el análisis y solución del circuito se realiza por el método de mallas; como se
observa en la Figura 5.2.6 Análisis de mallas para un circuito en conexión Y-Y
desbalanceado sin neutro. El circuito consta de dos mallas, si se asigna la
corriente 𝑰1 a la malla superior e 𝑰2 a la malla inferior y aplicando ley de tensiones
de Kirchhoff (LTK) en cada una se tiene que:
56
Figura 5.3.4 Conexión Y –Y desbalanceado con pérdidas en las líneas de transmisión.
𝑽𝑎𝑏 = 𝐼1(2𝒁𝐿 + 𝒁1 + 𝒁2) − 𝐼2(𝒁𝐿 + 𝒁2)
𝑽𝑏𝑐 = −𝐼1(𝒁𝐿 + 𝒁2) + 𝐼2(2𝒁𝐿 + 𝒁2 + 𝒁3)
En forma matricial se tiene:
[𝑽𝑎𝑏
𝑽𝑏𝑐] = [
(2𝒁𝐿 + 𝒁1 + 𝒁2) −(𝒁𝐿 + 𝒁2)
−(𝒁𝐿 + 𝒁2) (2𝒁𝐿 + 𝒁1 + 𝒁2)] [
𝑰1
𝑰𝟐]
Teniendo las corrientes 𝑰1 e 𝑰2 calculadas es posible obtener las corrientes de
línea a partir de las ecuaciones:
𝑰𝑎 = 𝑰1 5.3. 11
𝑰𝑏 = 𝑰2 − 𝑰1 5.3. 12
𝑰𝑐 = −𝑰2 5.3. 13
Para este tipo de conexión las corrientes de línea son iguales a las corrientes de
fase, por lo tanto:
𝑰𝑎 = 𝑰𝐴𝑁 5.3. 14
57
𝑰𝑏 = 𝑰𝐵𝑁 5.3. 15
𝑰𝑐 = 𝑰𝐶𝑁 5.3. 16
Ahora bien, con las corrientes de fase es posible obtener las tensiones de fase en
la carga, aplicando ley de ohm así:
𝑽𝐴𝑁 = 𝑰𝐴𝑁𝒁1 [V] 5.3. 17
𝑽𝐵𝑁 = 𝑰𝐵𝑁𝒁2 [V] 5.3. 18
𝑽𝐶𝑁 = 𝑰𝐶𝑁𝒁3 [V] 5.3. 19
Al igual que en un circuito con carga balanceada las tensiones de línea están
dadas por:
𝑽𝒁𝐿= 𝑰𝑎𝒁𝐿 [V] 5.3. 20
𝑽𝑍𝐿
= 𝑰𝑏𝒁𝐿 [V] 5.3. 21
𝑽𝑍𝐿= 𝑰𝑐𝒁𝐿 [V] 5.3. 22
Potencia compleja trifásica (cargas balanceadas y
desbalanceadas)
La potencia compleja de la carga trifásica es la suma algebraica de las potencias
complejas de cada una de las impedancias que conforman la carga, la cual está
dada por la ecuación:
𝑺3𝜃 = 𝑺𝐴 + 𝑺𝐵 + 𝑺𝐶 [VA] 5.4. 1
Donde 𝑺𝐴,𝑺𝐵,𝑺𝐶 son las potencias complejas de cada una de las fases del circuito
respectivamente.
La potencia compleja está compuesta por la potencia activa y la potencia reactiva
que consume cada una de las impedancias de la carga, así la potencia activa
58
trifásica está dada por la suma de las potencias monofásicas del circuito como se
expresa en la ecuación:
𝑃3𝜃 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 [W] 5.4. 2
De la misma manera se obtiene la potencia reactiva trifásica:
𝑄3𝜃 = 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑄𝐶 [VAr] 5.4. 3
Como se indica en el sección 4.1 la potencia instantánea por fase es constante, es
decir no cambia en el tiempo esto mismo pasa en un circuito trifásico
independientemente de su tipo de conexión; ya sea una carga trifásica conectada
en delta o una carga trifásica conectada en Y, así la potencia activa monofásica
está dada por la ecuación:
𝑃1𝜃 = 𝑉𝐹𝐼𝐹 cos(𝜃) [W] 5.4. 4
Donde 𝑉𝐹 e 𝐼𝐹 son los valores eficaces de la tensión y de la corriente de fase y 𝜃
es el ángulo de desfase entre la tensión y la corriente o el ángulo de la
impedancia. Si se tiene una carga balanceada este ángulo de desfase 𝜃 es igual
en las impedancias de la carga, de esta manera la suma de la potencia activa de
las fases como lo indica la ecuación 5.4. 2 da como resultado la potencia activa
trifásica del circuito y se expresa como:
𝑃3𝜃 = 3𝑉𝐹𝐼𝐹 cos(𝜃) [W] 5.4. 5
En una carga conectada en Y se tiene que:
𝐼𝐿 = 𝐼𝐹 𝑦 𝑉𝐿 = √3 𝑉𝐹 5.4. 6
Si la carga está conectada en delta se tiene que:
𝐼𝐿 = √3𝐼𝐹 𝑦 𝑉𝐿 = 𝑉𝐹 5.4. 7
Donde 𝑰𝐿 es la corriente de línea e 𝑰𝐹 es la corriente de fase y 𝑽𝐿 es la tensión de
línea y 𝑽𝐹 es la tensión de fase.
Sustituyendo estas relaciones en la ecuación 5.4. 5 se obtiene:
𝑃3𝜃𝑌 = 3𝑉𝐿
√3𝐼𝐿 cos(𝜃) [W]
5.4. 8
59
𝑃3𝜃∆ = 3𝑉𝐿
𝐼𝐿
√3cos(𝜃) [W]
5.4. 9
Teniendo las relaciones anteriores es posible afirmar que cuando se tienen cargas
balanceadas, independientemente del tipo de conexión la potencia activa trifásica
está dada por la ecuación:
𝑃3𝜃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos(𝜃) [W] 5.4. 10
Ahora bien la suma de la potencia reactiva de las fases como lo indica la ecuación
5.4. 3 da como resultado la potencia reactiva trifásica del circuito y se expresa
como:
𝑄3𝜃 = 3𝑉𝐹𝐼𝐹 sin(𝜃) [VAr] 5.4. 11
Aplicando las mismas relaciones de tensión y corriente para potencia activa, se
tiene que la potencia reactiva trifásica en un circuito con carga balanceada está
dada por:
𝑄3𝜃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿 sin(𝜃) [VAr] 5.4. 12
De esta manera la potencia aparente trifásica es:
𝑆3𝜃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿 [VA] 5.4. 13
Como se mencionó anteriormente la potencia compleja trifásica está compuesta
por la potencia activa trifásica más la potencia reactiva trifásica, de acuerdo con
esto la potencia compleja trifásica está dada por la ecuación:
𝑺3𝜃 = 𝑃3𝜃 + 𝑗𝑄3𝜃[VA] 5.4. 14
O lo que es igual a:
𝑺3𝜃 = 3𝑽𝐹𝑰𝐹∗ [VA] 5.4. 15
Donde 𝑰𝐹
∗ es la corriente de fase con su respectivo ángulo conjugado.
Ahora bien si la carga trifásica esta desbalanceada el ángulo de desfase entre la
tensión y la corriente, no es el mismo en las tres impedancias, por lo tanto la
potencia activa, reactiva y aparente son diferentes en cada fase, de esta manera
el circuito es analizado por fase y la potencia trifásica del circuito será la suma
algebraica de las potencias halladas en cada fase. De esta manera se tiene que:
60
La potencia activa trifásica del circuito está dada por:
𝑃3𝜃 = 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 cos(𝜃𝐴) + 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 cos(𝜃𝐵) + 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 cos(𝜃𝐶) [W] 5.4. 16
La potencia reactiva trifásica del circuito está dada por:
𝑄3𝜃 = 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 sin(𝜃𝐴) + 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 sin(𝜃𝐵) + 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 sin(𝜃𝐶) [VAr] 5.4. 17
Y la potencia aparente por fase está determinada por:
𝑆𝐹𝐴 = 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 [VA] 5.4. 18
𝑆𝐹𝐴 = 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 [VA] 5.4. 19
𝑆𝐹𝐶 = 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 [VA] 5.4. 20
Teniendo calculadas la potencia activa trifásica y la potencia reactiva trifásica es
posible hallar la potencia compleja del circuito como se expresa en la ecuación
5.4. 14
5.4.1 Balance de potencia compleja trifásica
El balance de potencias medias de un circuito está asociado al principio de la
conservación de la energía, en este caso la conservación de la potencia. Por lo
cual el balance de potencia compleja está relacionado con la potencia de la fuente
de alimentación y las potencias complejas de la carga.
Lo anterior significa que la suma de las potencias complejas consumida por las
cargas es igual a la potencia compleja generada o suministrada por la fuente,
independiente de su conexión.
Por lo tanto se tiene que:
𝑺𝑓 = 𝑺1 + 𝑺2 … . +𝑺𝑛 5.4. 21
Donde 𝑺1 + 𝑺2 … . +𝑺𝑛 son las potencias complejas de las cargas del circuito y 𝑺𝑓
es la potencia compleja de la fuente del circuito.
Ahora bien para un circuito trifásico es posible realizar el análisis de potencia
compleja en una de una de sus fases y a partir de la potencia calculada determinar
la potencia compleja trifásica.
61
Sabemos que la potencia compleja es la suma rectangular de la potencia activa y
la potencia reactiva, por lo cual este balance de potencias también se cumple para
la potencia activa y la potencia reactiva del circuito.
Si el circuito no presenta pérdidas en las líneas de transmisión se tiene que:
𝑺𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑺𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 5.4. 22
Lo que es igual a:
𝑺𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑃𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 + 𝑗𝑄𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 5.4. 23
Si por el contrario el circuito presenta pérdidas en las líneas de transmisión se
tiene que:
𝑺𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑺𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 + 𝑺𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 5.4. 24
O lo que es igual a:
𝑺𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑃𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 + 𝑗𝑄𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 + 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 + 𝑗𝑄𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
5.4.2 Corrección del factor de potencia (circuitos balanceados)
El factor de potencia cos(𝜑) se define como la relación entre la potencia activa
(kW) y la potencia aparente (kVA), siendo 𝜑 el ángulo de desfase entre la tensión y la corriente, lo que es igual al ángulo de la impedancia de carga; de esta manera el factor de potencia es adimensional.
FP =P
S= cos(𝜑)
5.4. 25
El factor de potencia puede tomar valores entre (o) y (1), incluyendo el indicador de atraso (-) o adelanto (+) según sea el caso. “En el caso de una carga puramente resistiva, la tensión y la corriente están en fase, de modo que φ = 0 y FP = 1. Esto implica que la potencia aparente es igual a la potencia promedio. En el caso de una carga puramente reactiva de tipo inductivo, el ángulo asociado al factor de potencia será φ = +90° y FP = 0(-). En esta circunstancia la potencia promedio es de cero.
62
En el caso de una carga puramente reactiva de tipo capacitivo, el ángulo asociado
al factor de potencia será φ = −90° y FP = 0(+). En esta circunstancia la potencia
promedio es de cero” (Pérez Santos, Sua Durán, & Rodríguez García, Análisis de
Circuitos II, 2016)
Como se explicó en el capítulo 2, en circuitos trifásicos al igual que en circuitos monofásicos el valor máximo del factor de potencia es 1. En las condiciones normales de operación de un circuito eléctrico no es posible
cumplir un factor de potencia igual a 1, ya que las cargas del sistema no son
puramente resistivas, poseen componentes de carácter inductivo y/o capacitivo,
los cuales reducen el factor de potencia del sistema y de la misma manera
reducen la potencia reactiva que el sistema demanda a la red. “Un bajo factor de
potencia implica un aumento de la corriente aparente y por lo tanto un aumento de
las perdidas eléctricas en el sistema, es decir indica una baja eficiencia eléctrica”
(Pérez Santos, Sua Durán, & Rodríguez García, Análisis de Circuitos II, 2016)
Al presentarse un factor de potencia bajo, se incrementan los costos para el
distribuidor de energía eléctrica, que consecuentemente aplica un sistema de
tarifas que sanciona el uso de energía con bajos factores de potencia. (ABB)
Consecuencias de un bajo factor de potencia:
Incremento de la pérdidas por efecto joule.
Sobrecarga de los generadores, transformadores y líneas de distribución.
Aumento de la caída de tensión.
Incremento de la facturación eléctrica.
Un factor de potencia próximo a 1 indica un consumo de energía reactiva poco
importante y optimiza el funcionamiento de una instalación, así al realizar la
corrección del factor de potencia de un sistema, se presentan las siguientes
ventajas:
Uso optimizado de las máquinas eléctricas.
Uso optimizado de las líneas eléctricas.
Reducción de las pérdidas.
Reducción de la caída de tensión.
63
Procedimiento para realizar corrección de factor de potencia.
Figura 5.4.1 Triangulo de potencias y análisis para corrección del factor de potencia.
Se quiere que el valor del factor de potencia sea cercano a 1, por lo tanto el
ángulo del factor de potencia debe ser pequeño, es decir, entre más grande sea el
factor de potencia deseado, más pequeño será el ángulo 𝜑2.
Así, se debe determinar el punto del sistema donde se desea realizar la corrección
del factor de potencia y así determinar el ángulo que cumpla el factor de potencia
especificado y que de la misma manera reduzca la potencia reactiva del sistema,
luego se realiza un análisis de potencias, a partir del triángulo de potencias.
El ángulo inicial del sistema lo denominaremos 𝜑1, al igual la potencia reactiva
inicial del sistema la denominaremos 𝑄1, el ángulo y la potencia reactiva a la que
queremos llegar para obtener el factor de potencia deseado los denominaremos
𝜑2 y 𝑄2, respectivamente.
A partir de la siguiente función trigonométrica, se determina la potencia reactiva
inicial del sistema.
tan(φ) =Q
P
5.4. 26
𝑄1 = 𝑃 ∙ tan 𝜑1
5.4. 27
Así, la potencia compleja inicial del sistema está dada por:
64
𝑺𝟏 = 𝑃 + 𝑗𝑄1 [VA] 5.4. 28
Conociendo el valor del factor de potencia al cual se desea llegar, es posible hallar
𝜑2, a partir de la siguiente ecuación:
𝜑2 = cos−1(𝐹𝑃2) 5.4. 29
Por lo tanto la potencia reactiva final está dada por:
𝑄2 = 𝑃 ∙ tan 𝜑2 5.4. 30
Así, la potencia compleja final es:
𝑺𝟐 = 𝑃 + 𝑗𝑄2 [VA] 5.4. 31
Una vez determinada la potencia compleja inicial y la potencia compleja final del
sistema, se obtiene la potencia compleja del condensador:
𝑺𝐶 = 𝑺1 − 𝑺2 5.4. 32
Así, la potencia compleja para el condensador requerido es
𝑺𝐶 = 0 + 𝑗𝑄𝐶 [VA] 5.4. 33
Sabemos que la potencia compleja está definida como:
𝑺 = 𝑽 ∙ (𝑰)∗ 5.4. 34
Se tiene que:
𝑽 = 𝒁 ∙ 𝐈 5.4. 35
Ahora bien, si se reemplaza la ecuación 5.4. 35, en la ecuación 5.4. 34 se tiene
que:
𝑺 = 𝑽 ∙ (𝑽
𝑰)
∗
De esta manera la potencia compleja también se puede escribir de la forma:
𝑺 =|𝑽|2
(𝒁)∗
Se sabe que la impedancia del condensador está determinada por:
65
𝒁𝐶 = 0 + 𝑋𝐶 [Ω]
Así, la potencia compleja del condensador requerido se puede expresar como:
𝑺𝐶 =|𝑽|2
(0 + 𝑋𝐶)∗
Se tiene que la reactancia del condensador es:
𝑋𝐶 =−𝑗
𝜔 ∙ 𝐶 [Ω]
Por lo tanto, la potencia compleja del condensador es:
𝑺𝐶 =|𝑽|2
−𝑗𝜔 ∙ 𝐶
𝑺𝐶 =|𝑽|2 ∙ 𝜔 ∙ 𝐶
−𝑗
5.4. 36
Es importante notar que la potencia compleja del condensador 𝑺𝐶, especificada en
la ecuación 5.4. 36, es proporcionada por tres condensadores y la tensión V en la
ecuación es la tensión a través de cada condensador por lo tanto se tiene que la
capacidad del condensador está definida por:
𝐶 =
𝑺𝐶
3|𝑽|2
√3∙ 𝜔
[F]
5.4. 37
6 Potencias y Energía en Corriente Alterna
Potencia media P
La potencia media, es el valor promedio de la potencia instantánea a lo largo de
un periodo de tiempo. De esta manera la potencia media o promedio está dada
por la siguiente ecuación.
66
𝑃 =1
𝑇∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 [𝑊]
𝑡0+𝑇
𝑡0
6.1. 1
Donde 𝑝(𝑡) es la potencia instantánea y está definida por la siguiente ecuación:
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖(𝑡) 6.1. 2
Si la tensión y la corriente están dadas por las ecuaciones:
𝑣(𝑡) = √2 𝑉𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) [V] 6.1. 3
𝑖(𝑡) = √2 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) [A]
6.1. 4
Entonces la potencia media es:
𝑃 =1
𝑇∫ √2 𝑉𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣)√2 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) 𝑑𝑡 [W]
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑃 =1
𝑇∫ √2 √2 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣)(cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) 𝑑𝑡 [W]
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑃 =1
𝑇∫ 2 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣)(cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) 𝑑𝑡 [W]
𝑡0+𝑇
𝑡0
Aplicando la siguiente identidad trigonométrica
cos(𝐴) cos(𝐵) =1
2[cos(𝐴 − 𝐵) + cos(𝐴 + 𝐵)]
6.1. 5
cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) =1
2[cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖)) + cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖))
La potencia media se puede expresar como:
𝑃 =1
𝑇∫
2 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) 𝑑𝑡 [W]𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑃 =1
𝑇∫
1
22 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓[cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖)) + cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖))] 𝑑𝑡 [W]
𝑡0+𝑇
𝑡0
67
𝑃 =1
𝑇∫ 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓[cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) + cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖)] 𝑑𝑡 [W]
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑃 =1
𝑇∫ 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)𝑑𝑡 +
1
𝑇∫ 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖)
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑑𝑡 [W]𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑃 = 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓
1
𝑇∗ ∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖)
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑑𝑡 [W] 6.1. 6
El primer término de la integral es independiente del tiempo, por lo tanto es una
constante de la integración.
La segunda integral da como resultado cero, ya que el valor promedio de una
onda sinusoidal en un periodo completo es cero; por lo tanto el segundo término
en la ecuación desaparece y la potencia media en valores eficaz equivale a:
𝑃 = 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)[W] 6.1. 7
Es importante resaltar que la potencia media o promedio P, no depende del
tiempo.
Medición de potencia activa trifásica En circuitos trifásicos al igual que en circuitos monofásicos la medición de potencia activa se realiza a partir de un equipo denominado vatímetro, el vatímetro consta de una bobina de tensión y una bobina de corriente dispuestas de tal manera que la deflexión de su aguja (en caso de equipos análogos) es proporcional al producto instantáneo medio de la tensión y corriente; 𝑉𝐼 cos ∅ (en el caso de equipos digitales); donde V es la magnitud de tensión en su bobina de potencial, I es la magnitud de corriente en su respectiva bobina y ∅ es el ángulo de desfase entre la tensión V y la corriente I. En sistemas de circuitos trifásicos balanceados en conexión estrella con neutro se considera adecuado medir la potencia activa con un sólo vatímetro de modo que:
𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃3 6.2. 1
De esta manera la potencia activa total es tres veces la potencia medida por el vatímetro.
𝑃3𝜃 = 3𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 6.2. 2
68
En sistemas de circuitos trifásicos desbalanceados es necesario disponer de dos o tres vatímetros para realizar la medición de potencia activa, estos métodos de medida se conocen como: método de los tres elementos y método de Aron o de los dos elementos.
6.2.1 Método de los tres elementos
El método de medición de los tres elementos funciona independientemente si la carga esta balanceada o desbalanceada, o si se encuentra conectada en delta o en Y con neutro; para circuitos trifásicos sin conductor neutro es posible plantear este sistema de medida a través de la generación de un neutro artificial Así “la determinación de la potencia activa trifásica puede darse con los elementos actuando de forma única o de forma independiente y se hace a partir de una carga conectada en Y, ya que cualquier conexión en delta se puede reducir a una conexión en estrella equivalente”. (Rodríguez, 2011, pág. 143) El principio de operación del sistema consiste en la medición simultanea de tensión y corriente por fase, ya sea análoga o digital, obteniendo el registro de la potencia activa (P) consumida. La potencia activa total consumida es la suma algebraica de las lecturas de los tres vatímetros.
𝑃𝑇 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 6.2. 3
Donde 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3 corresponden a la potencia medida de los elementos (Elemento 1, Elemento 2, Elemento 3) respectivamente.
69
Figura 6.2.1 Disposición de equipos de medida para realizar medición de potencia activa por método de los tres elementos.
Así la potencia activa trifásica medida se puede expresar como:
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝐴𝑁(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝐵𝑁(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝐶𝑁(𝑡)𝑖𝑐(𝑡) [W] 6.2. 4
Aplicando LVK en la Figura 6.2.1 Disposición de equipos de medida para realizar medición de potencia activa por método de los tres elementos. Las tensiones 𝑣𝐴𝑁 , 𝑣𝐵𝑁 , 𝑣𝐶𝑁 pueden expresarse como:
𝑣𝐴𝑁 = 𝑣𝑎𝑛 − 𝑣𝑁𝑛
𝑣𝐵𝑁 = 𝑣𝑏𝑛 − 𝑣𝑁𝑛
𝑣𝐶𝑁 = 𝑣𝑐𝑛 − 𝑣𝑁𝑛
Sustituyendo las anteriores ecuaciones en la ecuación 6.2. 4 se tiene:
70
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝐴𝑁(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝐵𝑁(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝐶𝑁(𝑡)𝑖𝑐(𝑡) [W]
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡))𝑖𝑎(𝑡) + (𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡))𝑖𝑏(𝑡)
+ (𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡))𝑖𝑐(𝑡) [W]
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡)) + (𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡))
+ (𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡))[W]
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)) − 𝑣𝑁𝑛(𝑡)(𝑖𝑎(𝑡) + 𝑖𝑏(𝑡) + 𝑖𝑐(𝑡))
Teniendo en cuenta que:
𝑖𝑎(𝑡) + 𝑖𝑏(𝑡) + 𝑖𝑐(𝑡) = 0
Se deduce:
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡))[W] 6.2. 5
Por lo tanto la potencia activa trifásica esta dada por:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑃3𝜃(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
[W]
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ (𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡))𝑑𝑡[W]
𝑇
0
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡)𝑑𝑡 +
1
𝑇∫ 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
+1
𝑇∫ 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑇
0
𝑑𝑡 [W]𝑇
0
6.2. 6
Al sustituir la ecuación 6.2. 5 en la ecuación de potencia activa trifásica para la medida de cada fase ó vatimetro, se llega a una expresión que cuenta con dos integrales para cada uno, una asociada al componente constante de la potencia y la otra asociada al componente cosenoidal.
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑉𝑎𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎𝑛 − 𝜃𝑖𝑎)𝑑𝑡 +
1
𝑇∫ 𝑉𝑎𝑛𝑒𝑓𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎𝑛 + 𝜃𝑖𝑎)
𝑇
0+
𝑇
01
𝑇∫ 𝑉𝑏𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑏𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑏𝑛 − 𝜃𝑖𝑏)𝑑𝑡 +
1
𝑇∫ 𝑉𝑏𝑛𝑒𝑓𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑏𝑛 + 𝜃𝑖𝑏)
𝑇
0𝑑𝑡 +
𝑇
0
1
𝑇∫ 𝑉𝑐𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑐𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑐𝑛 − 𝜃𝑖𝑐)𝑑𝑡 +
1
𝑇∫ 𝑉𝑐𝑛𝑒𝑓𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑐𝑛 + 𝜃𝑖𝑐)
𝑇
0𝑑𝑡
𝑇
0 [W]
71
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑎𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎𝑛 − 𝜃𝑖𝑎) ∗1
𝑇∫ dt +𝑉𝑎𝑛𝑒𝑓𝐼𝑎𝑒𝑓
1
𝑇∗ ∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎𝑛 + 𝜃𝑖𝑎)
𝑇
0+
𝑇
0
𝑉𝑏𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑏𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑏𝑛 − 𝜃𝑖𝑏)1
𝑇∗ ∫ dt +𝑉𝑏𝑛𝑒𝑓𝐼𝑏𝑒𝑓
1
𝑇∗ ∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑏𝑛 + 𝜃𝑖𝑏)
𝑇
0𝑑𝑡 +
𝑇
0
𝑉𝑐𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑐𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑐𝑛 − 𝜃𝑖𝑐) ∗1
𝑇 ∫ dt +𝑉𝑐𝑛𝑒𝑓𝐼𝑐𝑒𝑓
1
𝑇∗ ∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑐𝑛 + 𝜃𝑖𝑐)
𝑇
0𝑑𝑡
𝑇
0 [𝑊]
El primer término de la integral para cada fase es independiente del tiempo, por lo
tanto es una constante de la integración.
La segunda integral de cada fase da como resultado cero, ya que el valor
promedio de una onda sinusoidal en un periodo completo es cero; por lo tanto el
segundo término en la ecuación desaparece y la potencia media trifásica en
valores eficaces equivale a:
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑎𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎𝑛 − 𝜃𝑖𝑎) + 𝑉𝑏𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑏𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑏𝑛 − 𝜃𝑖𝑏)
+ 𝑉𝑐𝑛𝑒𝑓 𝐼𝑐𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑐𝑛 − 𝜃𝑖𝑐) [W]
6.2. 7
Luego
𝑃3𝜃 = 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 + 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 3 6.2. 8
72
6.2.1.1 Disposición equipos de medida método de los tres elementos
6.2.1.1.1 Método de los tres elementos- conexión estrella con neutro
Figura 6.2.2 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos.
73
6.2.1.1.2 Método de los tres elementos- conexión estrella con neutro
artificial.
Figura 6.2.3 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos en una conexión estrella con neutro artificial.
6.2.1.1.3 Método de los tres elementos- conexión estrella delta.
74
Figura 6.2.4 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos en una conexión delta.
6.2.2 Método de Aron o de los dos elementos
El método de medición de Aron o de los dos elementos es utilizado en circuitos trifásicos con cargas balanceadas y desbalanceadas, con conexión en delta y en estrella sin neutro. El principio de operación del sistema consiste en que la bobina de tensión del vatímetro mide la tensión de línea y así mismo la bobina de corriente del vatímetro mide la corriente de línea; de esta manera los dos vatímetros deben ser conectados correctamente a dos fases. La suma algebraica de la lectura de los dos vatímetros es igual a la potencia activa total consumida por la carga. El método de medición de Aron o de los dos elementos permite realizar tres formas posibles de conexión, dependiendo de su punto de referencia. A continuación se analiza un circuito en conexión estrella, el cual sirve como circuito de estudio para realizar el análisis de cada una de las formas de conexión del método de Aron.
75
Figura 6.2.5 Circuito para realizar análisis del método de Aron
Las tensiones de fase se expresan como:
𝑣𝑎𝑛(𝑡) = √2 V𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎)[V] 6.2. 9
𝑣𝑏𝑛(𝑡) = √2 V𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑏)[V] = √2 V𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°)[V] 6.2. 10
𝑣𝑐𝑛(𝑡) = √2 V𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑐)[V] = √2 V𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°)[V] 6.2. 11
Las corrientes de línea se pueden expresar como:
𝑖𝑎(𝑡) = 𝐼𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)[A] = √2 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)[A]
6.2. 12
𝑖𝑏(𝑡) = 𝐼𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑏)[A] = √2 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)[A] 6.2. 13
𝑖𝑐(𝑡) = 𝐼𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑐)[A] = √2 𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)[A] 6.2. 14
De esta manera la potencia instantánea trifásica del circuito de la Figura 6.2.5 Circuito para realizar análisis del método de Aron será:
76
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑃𝑎(𝑡) + 𝑃𝑏(𝑡) + 𝑃𝑐(𝑡)
6.2. 15
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡) 6.2. 16
Así la potencia activa trifásica es:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑃3𝜃(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
[𝑊]
6.2. 17
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ (𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡))𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
6.2. 18
Aplicando LCK para el nodo n se tiene que:
𝑖𝑎(𝑡) + 𝑖𝑏(𝑡) + 𝑖𝑐(𝑡) = 0
Por lo tanto: 𝑖𝑎(𝑡) = −𝑖𝑏(𝑡) − 𝑖𝑐(𝑡)
𝑖𝑏(𝑡) = −𝑖𝑎(𝑡) − 𝑖𝑐(𝑡)
𝑖𝑐(𝑡) = −𝑖𝑎(𝑡) − 𝑖𝑏(𝑡)
6.2.2.1 Primera forma de conexión del método de los 2 elementos o de Aron,
utilizando la fase a como referencia.
77
Figura 6.2.6 Método de Aron primera forma de conexión, fase a de referencia.
Reemplazando la corriente 𝑖𝑎(𝑡) en la ecuación de la potencia instantánea para la primera forma de conexión se tiene:
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)(−𝑖𝑏(𝑡) − 𝑖𝑐(𝑡)) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = −𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛𝑖𝑐(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛(𝑡))(𝑖𝑏(𝑡)) + (𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛(𝑡))(𝑖𝑐(𝑡))
Por lo tanto la potencia activa trifásica se determina como
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑃3𝜃(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
[𝑊]
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ ((𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛(𝑡))(𝑖𝑏(𝑡)) + (𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛(𝑡))(𝑖𝑐(𝑡))
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑑𝑡
78
Sustituyendo las ecuaciones de tensión y corriente para cada fase en la ecuación de potencia definida para la fase a se tiene que:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [(√2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°) − √2 𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎))
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
(√2 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°) + (√2 𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°)
−(√2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎)) (√2 𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
Observemos que en la ecuación anterior se tiene una resta de las tensiones de fase lo cual da como resultado la tensión de línea, a continuación se realiza dicha operación
𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛(𝑡) = √2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°) − √2 𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎)
𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑎𝑛(𝑡) = √2𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°) − √2 𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎)
En su forma fasorial se tiene que:
√2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°) = √2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°)
√2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) = √2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎
√2𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°) = √2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) Realizando la resta de tensiones en su forma fasorial:
√2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°) − √2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎 = √2𝑉𝑏𝑎∠(𝜃𝑣𝑎 − 150°)
√2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) − √2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎 = √2𝑉𝑐𝑎∠(𝜃𝑣𝑎 + 150°) Pasando las ecuaciones del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo tenemos:
√2𝑉𝑏𝑎∠(𝜃𝑣𝑎 − 150°) = √2𝑉𝑏𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°)
√2𝑉𝑐𝑎∠(𝜃𝑣𝑎 + 150°) = √2𝑉𝑐𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°) Así la potencia activa se puede expresar como:
79
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [(√2𝑉𝑏𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)(√2 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)
+ (√2𝑉𝑐𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°)) (√2 𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [√2√2(𝑉𝑏𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)( 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)
+ √2√2(𝑉𝑐𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°)) (𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [2(𝑉𝑏𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)( 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)
+ 2(𝑉𝑐𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°)) (𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [2(𝑉𝑏𝑎 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°))
+ 2(𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°))] 𝑑𝑡
Aplicando la identidad trigonométrica 6.1. 5 se tiene:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [
1
2 2 𝑉𝑏𝑎 𝐼𝑏𝑒𝑓(cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°))
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
+ cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 150°) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°))
+1
22𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓 (cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎
+ 120°) +cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 150°) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°))] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [ 𝑉𝑏𝑎 𝐼𝑏𝑒𝑓(cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) + cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 270°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
+ 𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓 (cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) +cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 270°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑉𝑏𝑎𝐼𝑏𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑏𝑎𝐼𝑏𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 270°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 270°)𝑑𝑡 +
80
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑏𝑎𝐼𝑏𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑏𝑎𝐼𝑏𝑒𝑓
∗1
𝑇∫ cos(2𝜔 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 270°)𝑑𝑡
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
+ 𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓
∗1
𝑇∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 270°)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
El primer término de la integral para cada vatímetro es independiente del tiempo,
por lo tanto es una constante de la integración.
La segunda integral da como resultado cero, ya que el valor promedio de una
onda sinusoidal en un periodo completo es cero; por lo tanto el segundo término
en la ecuación desaparece y la potencia activa trifásica equivale a:
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑏𝑎𝐼𝑏𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) + 𝑉𝑐𝑎𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) 6.2. 19
Luego
𝑃3𝜃 = 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 6.2. 20
6.2.2.2 Segunda forma de conexión del método de los 2 elementos o de
Aron, utilizando la fase b como referencia.
81
Figura 6.2.7 Método de Aron segunda forma de conexión, fase b de referencia.
Si se reemplaza la corriente 𝑖𝑏(𝑡) en la ecuación de la potencia instantánea para la segunda forma de conexión se tiene:
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)(−𝑖𝑎(𝑡) − 𝑖𝑐(𝑡)) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡))(𝑖𝑎(𝑡)) + (𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡))(𝑖𝑐(𝑡)) Por lo tanto la potencia activa trifásica se determina como
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑃3𝜃(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
[𝑊]
82
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ ((𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡))(𝑖𝑎(𝑡)) + (𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡))(𝑖𝑐(𝑡)))
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑑𝑡
Sustituyendo las ecuaciones de tensión y corriente para cada fase en la ecuación de potencia definida para la fase b se tiene que:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [(√2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) − √2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
(√2 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎) + (√2 𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°)
−(√2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°)) (√2 𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
Observemos que en la ecuación anterior se tiene una resta de las tensiones de fase lo cual da como resultado la tensión de línea, a continuación se realiza dicha operación
𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡) = √2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) − √2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°)
𝑣𝑐𝑛(𝑡) − 𝑣𝑏𝑛(𝑡) = √2𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°) − √2 𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°)
En su forma fasorial se tiene que:
√2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) = √2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎
√2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°) = √2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°)
√2𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°) = √2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) Realizando la resta de tensiones en su forma fasorial:
√2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎 − √2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°) = √2𝑉𝑎𝑏∠(𝜃𝑣𝑎 + 30°)
√2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) − √2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°) = √2𝑉𝑐𝑏∠(𝜃𝑣𝑎 + 90°) Pasando las ecuaciones del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo tenemos:
√2𝑉𝑎𝑏∠(𝜃𝑣𝑎 + 30°) = √2𝑉𝑎𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°)
√2𝑉𝑐𝑏∠(𝜃𝑣𝑎 + 90°) = √2𝑉𝑐𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°)
83
Así la potencia activa se puede expresar como:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [(√2𝑉𝑎𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)(√2 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+ (√2𝑉𝑐𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°)) (√2 𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [√2√2(𝑉𝑎𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)( 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+ √2√2(𝑉𝑐𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°)) (𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [2(𝑉𝑎𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)( 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+ 2(𝑉𝑐𝑏 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°)) (𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [2(𝑉𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎))
+ 2(𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°))] 𝑑𝑡
Aplicando la identidad trigonométrica 6.1. 5 se tiene:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [
1
2 2 𝑉𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑒𝑓(cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎))
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
+ cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 30°) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+1
22𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓 (cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎
+ 120°) +cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 90°) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 + 120°))] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [ 𝑉𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑒𝑓(cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) + cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
+ 𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓 (cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) +cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 210°)] 𝑑𝑡
84
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑉𝑎𝑏𝐼𝑎𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑎𝑏𝐼𝑎𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 210°)𝑑𝑡
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑎𝑏𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑎𝑏𝐼𝑎𝑒𝑓
∗1
𝑇∫ cos(2𝜔 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 30°)𝑑𝑡
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
+ 𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓
∗1
𝑇∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 210°)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
El primer término de la integral para cada vatímetro es independiente del tiempo,
por lo tanto es una constante de la integración.
La segunda integral da como resultado cero, ya que el valor promedio de una
onda sinusoidal en un periodo completo es cero; por lo tanto el segundo término
en la ecuación desaparece y la potencia activa trifásica equivale a:
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑎𝑏𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) + 𝑉𝑐𝑏𝐼𝑐𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) 6.2. 21
Luego
𝑃3𝜃 = 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 6.2. 22
85
6.2.2.3 Tercera forma de conexión del método de los 2 elementos o de Aron,
utilizando la fase c como referencia.
Figura 6.2.8 Método de Aron tercera forma de conexión, fase c de referencia.
Si se reemplaza la corriente 𝑖𝑐(𝑡) en la ecuación de potencia instantánea trifásica para la tercera forma de conexión se tiene que:
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑐(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑛(𝑡)(−𝑖𝑏(𝑡) − 𝑖𝑎(𝑡))
𝑃3𝜃(𝑡) = 𝑣𝑎𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) + 𝑣𝑏𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑏(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡)𝑖𝑎(𝑡)
𝑃3𝜃(𝑡) = (𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡))(𝑖𝑎(𝑡)) + (𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡))(𝑖𝑏(𝑡)) Por lo tanto la potencia activa trifásica se determina como
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑃3𝜃(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
[𝑊]
86
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ ((𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡))(𝑖𝑎(𝑡)) + (𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡))(𝑖𝑏(𝑡))
𝑡0+𝑇
𝑡0
𝑑𝑡
Sustituyendo las ecuaciones de tensión y corriente para cada fase en la ecuación de potencia definida para la fase c se tiene que:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [(√2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) − √2 𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°))
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
(√2 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎) + (√2 𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°)
−(√2𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°)) (√2 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)] 𝑑𝑡
Observemos que en la ecuación anterior se tiene una resta de las tensiones de fase lo cual da como resultado la tensión de línea, a continuación se realiza dicha operación
𝑣𝑎𝑛(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡) = √2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) − √2 𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°)
𝑣𝑏𝑛(𝑡) − 𝑣𝑐𝑛(𝑡) = √2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°) − √2 𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°)
En su forma fasorial se tiene que:
√2𝑉𝑎𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎) = √2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎
√2𝑉𝑏𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 120°) = √2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°)
√2𝑉𝑐𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 120°) = √2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) Realizando la resta de tensiones en su forma fasorial:
√2𝑉𝑎𝑛∠𝜃𝑣𝑎 − √2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) = √2𝑉𝑎𝑐∠(𝜃𝑣𝑎 − 30°)
√2𝑉𝑏𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 − 120°) − √2𝑉𝑐𝑛∠(𝜃𝑣𝑎 + 120°) = √2𝑉𝑏𝑐∠(𝜃𝑣𝑎 − 90°) Pasando las ecuaciones del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo tenemos:
√2𝑉𝑎𝑐∠(𝜃𝑣𝑎 − 30°) = √2𝑉𝑎𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°)
√2𝑉𝑏𝑐∠(𝜃𝑣𝑎 − 90°) = √2𝑉𝑏𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°)
87
Así la potencia activa se puede expresar como:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [(√2𝑉𝑎𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)(√2 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+ (√2𝑉𝑏𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°)) (√2 𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [√2√2(𝑉𝑎𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)( 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+ √2√2(𝑉𝑏𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°)) (𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [2(𝑉𝑎𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
)( 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎)
+ 2(𝑉𝑏𝑐 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°)) (𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [2(𝑉𝑎𝑐 𝐼𝑎𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎))
+ 2(𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°) cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°))] 𝑑𝑡
Aplicando la identidad trigonométrica 6.1. 5se tiene:
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [
1
2 2 𝑉𝑎𝑐 𝐼𝑎𝑒𝑓(cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎))
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
+ cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 30°) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎))
+1
22𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓 (cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°) − (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎
− 120°) +cos((𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 − 90°) + (𝜔𝑡 + 𝜃𝑖𝑎 − 120°))] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ [ 𝑉𝑎𝑐 𝐼𝑎𝑒𝑓(cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) + cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 30°)
𝑡0+𝑇
𝑡𝑜
+ 𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓 (cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) +cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 210°)] 𝑑𝑡
𝑃3𝜃 =1
𝑇∫ 𝑉𝑎𝑐𝐼𝑎𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑎𝑐𝐼𝑎𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°)𝑑𝑡
+1
𝑇∫ 𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 210°)𝑑𝑡 +
88
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑎𝑐𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑏𝑎𝐼𝑏𝑒𝑓
∗1
𝑇∫ cos(2𝜔 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 − 30°)𝑑𝑡
𝑡𝑜+𝑇
𝑡𝑜
+ 𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) ∗1
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
+ 𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓
∗1
𝑇∫ cos(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣𝑎 + 𝜃𝑖𝑎 + 210°)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
El primer término de la integral para cada vatímetro es independiente del tiempo,
por lo tanto es una constante de la integración.
La segunda integral da como resultado cero, ya que el valor promedio de una
onda sinusoidal en un periodo completo es cero; por lo tanto el segundo término
en la ecuación desaparece y la potencia activa trifásica equivale a:
𝑃3𝜃 = 𝑉𝑎𝑐𝐼𝑎𝑒𝑓cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 − 30°) + 𝑉𝑏𝑐𝐼𝑏𝑒𝑓 cos(𝜃𝑣𝑎 − 𝜃𝑖𝑎 + 30°) 6.2. 23
Luego
𝑃3𝜃 = 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑃𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 6.2. 24
Medición de potencia reactiva trifásica
La medición de potencia reactiva trifásica, al igual que la medición de potencia activa trifásica se realiza a partir de un equipo denominado vatímetro, el vatímetro consta de una bobina de tensión y una bobina de corriente dispuestas de tal manera que la deflexión de su aguja (en caso de equipos análogos) es proporcional al producto instantáneo medio de la tensión y corriente; 𝑉𝐼 sin ∅ (en el caso de equipos digitales); donde V es la magnitud de tensión en su bobina de
potencial, I es la magnitud de corriente en su respectiva bobina y ∅ es el ángulo de desfase entre la tensión V y la corriente I. En sistemas de circuitos trifásicos balanceados en conexión estrella con neutro se considera adecuado medir la potencia reactiva con un sólo vatímetro de modo que:
𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄3 6.3. 1
89
De esta manera la potencia reactiva total es tres veces la potencia medida por un vatímetro.
𝑄3𝜃 = 3𝑄𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 6.3. 2
6.3.1 Método de los tres elementos
El método de medición de los tres elementos utilizado para la determinación de potencia reactiva trifásica funciona solo si la carga esta balanceada, independientemente si se encuentra conectada en delta o en Y con neutro; para circuitos trifásicos sin conductor neutro es posible plantear este sistema de medida a través de la generación de un neutro artificial. Así “la determinación de la potencia reactiva trifásica puede darse con los elementos actuando de forma única o de forma independiente y se hace a partir de una carga conectada en Y, ya que cualquier conexión en delta se puede reducir a una conexión en estrella equivalente”. (Rodríguez, 2011, pág. 143) El principio de operación del sistema consiste en la medición simultanea de tensión y corriente por fase, ya sea análoga o digital, obteniendo el registro de la potencia reactiva (Q) consumida (generada). La potencia reactiva total consumida es la suma algebraica de las lecturas de los tres vatímetros.
𝑄𝑇 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 6.3. 3
Donde 𝑄1, 𝑄2 y 𝑄3 corresponden a la potencia medida de los elementos (Elemento 1, Elemento 2, Elemento 3) respectivamente. La conexión de los equipos de medida para la medición de potencia reactiva trifásica se realiza de la misma manera que se determinó para la medición de potencia activa trifásica, ya sea para una carga conectada en Y o para una carga conectada en delta, estas conexiones se observan en las figuras Figura 6.2.2 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos. Figura 6.2.3 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos en una conexión estrella con neutro artificial. Figura 6.2.4 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos en una conexión delta.
90
6.3.2 Método de Aron o de los dos elementos
La medición de potencia reactiva trifásica mediante el método de Aron o de los
dos elementos, es posible determinarla a partir de las lecturas de los equipos de
medida obtenidas en la medición de potencia activa trifásica y aplica únicamente
para el caso de cargas trifásicas balanceadas y es independiente de las formas de
conexión del método de Aron, al igual que en la medición de potencia activa
trifásica las variables de tensión y corriente son expresadas en valor eficaz.
𝑽𝑎𝑛 = |𝑉𝑎𝑛| ∠ 𝛽 6.3. 4
𝑽𝑏𝑛 = |𝑉𝑏𝑛| ∠ β − 120° 6.3. 5
𝑽𝑐𝑛 = |𝑉𝑐𝑛| ∠ + 120°
6.3. 6
𝑰𝑎 = |𝑉𝑎𝑛| ∠ β
𝑍 ∠ θ=
|𝑉𝑎𝑛|
|𝑧| ∠ 𝛽 − 𝜃
6.3. 7
𝑰𝑏 = |𝑉𝑏𝑛| ∠ β − 120°
𝑍 ∠ θ=
|𝑉𝑏𝑛|
|𝑧| ∠ 𝛽 − 120° − 𝜃
6.3. 8
𝑰𝑐 = |𝑉𝑐𝑛| ∠ β + 120°
𝑍 ∠ θ=
|𝑉𝑐𝑛|
|𝑧| ∠ 𝛽 + 120° − 𝜃
6.3. 9
𝑽𝑎𝑏 = |𝑉𝑎𝑛|√3 ∠ 𝛽 + 30°
6.3. 10
𝑽𝑏𝑐 = |𝑉𝑏𝑛|√3 ∠ 𝛽 − 120° + 30°
𝑽𝑏𝑐 = |𝑉𝑏𝑛|√3 ∠ 𝛽 − 90°
6.3. 11
𝑽𝑐𝑎 = |𝑉𝑐𝑎|√3 ∠ 𝛽 + 120° + 30°
𝑽𝑐𝑎 = |𝑉𝑐𝑛|√3 ∠ 𝛽 + 150°
6.3. 12
𝑽𝑐𝑏 = |𝑉𝑏𝑛|√3 ∠ 𝛽 − 90° + 180°
91
𝑽𝑐𝑏 = |𝑉𝑏𝑛|√3 ∠ 𝛽 + 90°
6.3. 13
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 = (|𝑉𝑎𝑏|)(|𝐼𝑎|) sin (β + 30° − (β − θ))
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 = (|𝑉𝑎𝑏|)(|𝐼𝑎|) sin (θ + 30°)
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 = |𝑉𝐿||𝐼𝐿| sin (θ + 30°)[ 𝑉𝐴𝑅]
6.3. 14
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = (|𝑉𝑐𝑏|)(|𝐼𝑐|) sin (β + 90° − (β + 120° − θ))
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = (|𝑉𝑐𝑏|)(|𝐼𝑐|) sin (θ − 30°)
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = |𝑉𝐿||𝐼𝐿| sin (θ − 30°)[ 𝑉𝐴𝑅]
6.3. 15
Al sumar la lectura de potencia reactiva trifásica de cada uno de los equipos de
medida se tiene:
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑄𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = 𝑉𝐿𝐼𝐿 [sin(θ + 30°) + sin(θ − 30°)] 6.3. 16
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑄𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = 𝑉𝐿𝐼𝐿 [sin 𝜃 cos 30° + cos 𝜃 sin 30° + sin 𝜃 cos 30° − cos 𝜃 sin 30]
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑄𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = 𝑉𝐿𝐼𝐿[2 sin 𝜃 cos 30°]
𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑄𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = √3|𝑉𝐿||𝐼𝐿| sin 𝜃 6.3. 17
𝑄3𝜃 = 𝑄𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 𝑄𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 6.3. 18
Esta determinación de potencia reactiva trifásica se realiza de la misma manera
para las dos formas de conexión restantes del método de Aron o de los dos
elementos.
Para el caso de cargas trifásicas desbalanceadas, se debe considerar el circuito
trifásico como un único circuito y no como la suma de tres circuitos monofásicos
independientes, así la potencia reactiva trifásica es posible calcularla a partir de la
siguiente expresión:
𝑄3𝜃 = √𝑆2 − 𝑃3𝜃2
6.3. 19
92
Donde 𝑆 es la potencia aparente del circuito trifásico y 𝑃3𝜃 es la potencia activa
trifásica del circuito.
6.3.2.1 Traducción no oficial de la norma IEEE 1459-2010
A continuación con fines estrictamente académicos se procede a proponer una
traducción no oficial de la norma IEEE Standard Definitions for the Measurement
of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or
Unbalanced Conditions, IEEE Std. 1459- 2010, Feb. 2010, comprendida desde la
página 13 a la 5. (IEEE Std. 1459 - 2010, 2010, págs. 13 - 17).
Traducción no oficial norma IEEE 1459-2010
3.2 Sistemas trifásicos
NOTA - Las expresiones matemáticas que se consideran de interés para el diseño
de instrumentación están marcadas con el signo ||. Cuando el signo || aparece al
lado derecho, significa que la última expresión es especial. Cada descriptor del
tipo de potencia es seguido por su unidad de medida en paréntesis.
3.2.1 Balance trifásico sinusoidal
En este caso asumiendo un sistema de secuencia positiva en rotación a la
izquierda, a, b, c, de la línea a neutro las tensiones son las siguientes:
𝑣𝑎 = √2 V sin(ωt)
𝑣𝑏 = √2 V sin(ωt − 120°)
𝑣𝑐 = √2 V sin(ωt + 120°)
Las corrientes de línea tienen expresiones similares, y están dadas por:
𝑖𝑎 = √2 I sin(ωt − θ)
𝑖𝑏 = √2 I sin(ωt − θ − 120°)
𝑖𝑐 = √2 I sin(ωt − θ + 120°)
NOTA 1 - Los sistemas trifásicos y de baja tensión perfectamente sinusoidales y
balanceados son poco frecuentes. Sólo bajo condiciones de laboratorio, utilizando
amplificadores de baja distorsión, es posible trabajar con fuentes de corriente
93
alterna con THDV <0,1% y desequilibrio de tensión V - / V + <0,1%. Los sistemas
prácticos de baja tensión rara vez funcionan con THDV <1% y V - / V + < 0,4%,
donde V + y V - son las tensiones de secuencia positiva y negativa.
NOTA 2-En el caso de sistemas de tres hilos, los voltajes de línea a neutro se
definen asumiendo un nodo neutro artificial, que se puede obtener con la ayuda de
tres resistencias idénticas conectadas en Y.
3.2.1.1 Potencia instantánea (W)
Para sistemas de tres conductores 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 y la potencia instantánea tiene
las siguientes expresiones:
||𝑝 = 𝑣𝑎𝑏𝑖𝑎 + 𝑣𝑐𝑏𝑖𝑐 = 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑎 + 𝑣𝑏𝑐𝑖𝑏 = 𝑣𝑏𝑎𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑎𝑖𝑐 = 𝑃
Donde 𝑣𝑎𝑏,𝑣𝑏𝑐 y 𝑣𝑐𝑎 son tensiones línea-línea instantáneas. Debido a que los
voltajes y las corrientes son equilibradas, la potencia instantánea p es constante e
igual a la potencia activa P.
Para sistemas de cuatro hilos
||𝑝 = 𝑣𝑎𝑖𝑎 + 𝑣𝑏𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑖𝑐 = 𝑃
Si las tensiones se refieren a un punto de referencia arbitrario r, entonces la
expresión de la potencia instantánea es como sigue:
||𝑝 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝑣𝑏𝑟𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑟𝑖𝑐 = 𝑃
Donde, 𝑣𝑎𝑟 𝑣𝑏𝑟 y 𝑣𝑐𝑟 son tensiones instantáneas de línea a referencia.
3.2.1.2 Potencia activa (W)
||𝑝 =1
𝑘𝑇∫ 𝑝𝑑𝑡
𝜏+𝑘𝑇
𝜏
𝑃 = 3𝑉𝐼 cos 𝜃 = √3𝑉𝑙𝑙𝐼 cos 𝜃
Dónde
𝑉 Es el voltaje rms de línea a neutro
94
𝑉𝑙𝑙 Es el voltaje rms línea a línea
3.2.1.3 Potencia reactiva (VAr)
𝑄 = 3𝑉𝐼 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = √3𝑉𝑙𝑙𝐼 𝑠𝑖𝑛 𝜃
|𝑄| = √𝑆2 − 𝑃2
Donde S se define en 3.2.1.4.
3.2.1.4 Potencia aparente (VA)
||𝑆 = 3𝑉𝐼 = √3𝑉𝑙𝑙𝐼
3.2.1.5 Factor de potencia
||𝑃𝐹 =𝑃
𝑆
3.2.2 Trifásico sinusoidal no balanceado
En este caso, los tres fasores de corriente 𝒊𝒂, 𝒊𝒃, e 𝒊𝒄, no tienen magnitudes
iguales, y no se desplazan exactamente 120 ° con respecto al otro. El desequilibrio
de la carga conduce a corrientes asimétricas que a su vez causan asimetría de
voltaje. Hay situaciones en las que los tres fasores de tensión no son simétricos.
Esto lleva a Corrientes asimétricas incluso cuando la carga está perfectamente
equilibrada.
Los voltajes de línea a neutro son los siguientes:
𝑣𝑎 = √2 𝑉𝑎 sin(𝜔𝑡 +∝𝑎)
𝑣𝑏 = √2 𝑉𝑏 sin(𝜔𝑡 +∝𝑏− 120°)
𝑣𝑐 = √2 𝑉𝑐 sin(𝜔𝑡 +∝𝑐+ 120°)
Donde al menos una de las tres amplitudes de línea a neutro √2𝑉𝑎, √2𝑉𝑏 , o √2𝑉𝑐
tiene un valor diferente del valor de las otras dos amplitudes. Lo mismo puede
aplicarse a los ángulos de fase ∝𝑎, ∝𝑏 , y ∝𝑐. Si un ángulo de fase tiene un valor
diferente del valor de los otros dos, el sistema pierde su simetría y está
desequilibrado.
95
Las corrientes de línea tienen expresiones similares. Son los siguientes:
𝑖𝑎 = √2 𝑖𝑎 sin(𝜔𝑡 + 𝛽𝑎)
𝑖𝑏 = √2 𝑖𝑏 sin(𝜔𝑡 + 𝛽𝑏 − 120°)
𝑖𝑐 = √2 𝑖𝑐 sin(𝜔𝑡 + 𝛽𝑐 − 120°)
NOTA - En el caso de sistemas de tres hilos, los voltajes de línea a neutro se
definen asumiendo un nodo neutro artificial, que se puede obtener con la ayuda de
tres resistencias idénticas conectadas en Y.
3.2.2.1 Potencia instantánea (W)
Para sistemas de tres hilos 𝒊𝒂 + 𝒊𝒃 + 𝒊𝒄 = 𝟎, y la potencia instantánea tiene las
siguientes expresiones:
||𝑝 = 𝑣𝑎𝑏𝑖𝑎 + 𝑣𝑐𝑏𝑖𝑐 = 𝑣𝑏𝑎𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑎𝑖𝑐 = 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑎 + 𝑣𝑏𝑐𝑖𝑏
Donde 𝑣𝑎𝑏, 𝑣𝑏𝑐, y 𝑣𝑐𝑎 son tensiones instantáneas de línea a línea.
Para sistemas de cuatro hilos,
||𝑝 = 𝑣𝑎𝑖𝑎 + 𝑣𝑏𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑖𝑐
Si las tensiones se refieren a un punto de referencia arbitrario r, entonces la
expresión de la potencia instantánea es como sigue:
||𝑝 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝑣𝑏𝑟𝑖𝑏 + 𝑣𝑐𝑟𝑖𝑐
Donde 𝑣𝑎𝑟, 𝑣𝑏𝑟, y 𝑣𝑐𝑟 son tensiones instantáneas de línea a referencia.
3.2.2.2 Potencia activa (W)
||𝑝 =1
𝑘𝑇∫ 𝑝𝑑𝑡
𝜏+𝑘𝑇
𝜏
𝑃 = 𝑃𝑎 + 𝑃𝑏 + 𝑃𝑐
Donde 𝑃𝑎, 𝑃𝑏, y 𝑃𝑐 son potencias activas de fase:
||𝑃𝑎 =1
𝑘𝑇∫ 𝑣𝑎𝑖𝑎𝑑𝑡 = 𝑉𝑎
𝜏+𝑘𝑇
𝜏𝐼𝑎 cos 𝜃𝑎; 𝜃𝑎 =∝𝑎− 𝛽𝑎
96
||𝑃𝑏 =1
𝑘𝑇∫ 𝑣𝑏𝑖𝑏𝑑𝑡 = 𝑉𝑏
𝜏+𝑘𝑇
𝜏𝐼𝑏 cos 𝜃𝑏; 𝜃𝑏 =∝𝑏− 𝛽𝑏
||𝑃𝑐 =1
𝑘𝑇∫ 𝑣𝑐𝑖𝑐𝑑𝑡 = 𝑉𝑐
𝜏+𝑘𝑇
𝜏𝐼𝑐 cos 𝜃𝑐; 𝜃𝑐 =∝𝑐− 𝛽𝑐
3.2.2.2.1 Potencias activas positivas, negativas y de secuencia cero (W)
En sistemas con cuatro hilos hay situaciones en las que el uso de componentes
simétricos puede ser útil.
Las componentes de tensión simétricas 𝑉+, 𝑉− y 𝑉0 y las componentes de
corriente 𝐼+, 𝐼− y 𝐼0 con los respectivos ángulos de fase 𝜃+, 𝜃− y 𝜃0 proporcionan
los siguientes tres componentes de potencia activa:
La potencia activa de secuencia positiva
𝑃+ = 3𝑉+𝐼+ cos 𝜃+
La potencia activa de secuencia negativa
𝑃− = 3𝑉−𝐼− cos 𝜃−
La potencia activa de secuencia cero
𝑃0 = 3𝑉0𝐼0 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
La potencia activa total es
𝑃 = 𝑃+ + 𝑃− + 𝑃0
3.2.2.3 Potencia reactiva (VAr)
Las potencias reactivas por fase se definen con la ayuda de las siguientes
expresiones:
𝑄𝑎 =𝜔
𝑘𝑇∫ 𝑖𝑎 [∫ 𝑉𝑎] 𝑑𝑡 = 𝑉𝑎𝐼𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑎
𝜏+𝑘𝑇
𝜏
𝑄𝑏 =𝜔
𝑘𝑇∫ 𝑖𝑏 [∫ 𝑉𝑏] 𝑑𝑡 = 𝑉𝑏𝐼𝑏 sin 𝜃𝑏
𝜏+𝑘𝑇
𝜏
97
𝑄𝑐 =𝜔
𝑘𝑇∫ 𝑖𝑐 [∫ 𝑉𝑐] 𝑑𝑡 = 𝑉𝑐𝐼𝑐 sin 𝜃𝑐
𝜏+𝑘𝑇
𝜏
Fin de traducción no oficial norma IEEE 1459-2010, págs. 13 – 17.
Medición de energía
La medición de esta variable eléctrica, bien sea de carácter activo, reactivo o
aparente, es la base de la comercialización de la energía eléctrica, de ahí la
importancia del conocimiento de los criterios básicos de operación y especificación
de los sistemas de medición. (Referencia).
Existen tres tipos de energía las cuales están denominadas como: energía activa,
energía reactiva y energía aparente las cuales están dadas por las ecuaciones:
𝐸𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = ∫ 𝑃𝑑𝑡 [kWh]𝑡1
𝑡0
6.4. 1
𝐸𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = ∫ 𝑄𝑑𝑡 [kVArh]𝑡1
𝑡0
6.4. 2
𝐸𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = ∫ |𝑆|𝑑𝑡 [kVAh]𝑡1
𝑡0
6.4. 3
De las ecuaciones que definen los tipos de energía se deduce que el consumo
energético activo, reactivo y aparente está asociado al área bajo la curva de la
potencia activa, reactiva y aparente, como una función del tiempo.
Es importante resaltar que los sistemas de medición deben ser acordes con el
nivel de tensión y el consumo de energía que se va a medir.
De acuerdo con la capacidad instalada existen tres tipos de medición de energía:
Medición directa: los conductores de la acometida se conectan
directamente al medidor.
Medición semidirecta: en este tipo de medición las señales de corriente se
toman a través de transformadores de corriente y las señales de tensión se
toman directamente de las líneas de alimentación de la carga.
98
Medición indirecta: en este tipo de medición, el medidor es conectado a
bornes de equipos auxiliares de medición, como transformadores de
corriente y transformadores de tensión, de tal manera que la corriente a
través del medidor sea proporcional a la corriente de carga.
La energía eléctrica en Colombia se factura teniendo en cuenta la energía
activa y la energía reactiva. Y por ley está estipulado que si un cliente presenta
un factor de potencia meno a 0.9, se debe facturar la energía reactiva.
6.4.1 Medición de energía activa trifásica
Los medidores de energía activa constan de un sistema de medición simultáneo
de tensión y corriente, ya sea análogo o digital, el cual registra la potencia activa P
consumida, junto con un sistema de integración de la potencia activa (P) en
función del tiempo, por lo tanto se deduce que la medición de energía activa
trifásica necesita de la medición de la potencia activa trifásica, por tal razón las
formas de conexión y los métodos de solución de los tres elementos y de Aron o
de los dos elementos utilizados en la medición de potencia activa trifásica son
aplicables para la medición de energía activa trifásica.
En el siguiente enlace encontrara las formas para realizar la medida de energía
según la carga contratada y los medidores utilizados en Codensa SA ESP.
http://likinormas.micodensa.com/Norma/acometidas_medidores/medidores_energia_electrica/g
eneralidades_7_4_2_formas_medir_energia
http://likinormas.micodensa.com/Norma/acometidas_medidores/medidores_energia_electrica/g
eneralidades_7_4_3_medidores_utilizados_codensa
6.4.2 Definiciones generales para medidores de energía
Los medidores de energía son equipos utilizados para medir el consumo de
energía de los usuarios. Estos equipos de medida se clasifican dependiendo, de
99
su construcción y funcionamiento, del tipo de energía que se requiera medir ya
sea energía activa, reactiva y aparente y principalmente del tipo de conexión a la
red eléctrica.
Para ver los tipos de medidores de energía eléctrica y su clasificación diríjase al
siguiente enlace:
http://likinormas.micodensa.com/Norma/acometidas_medidores/medidores_energia_electrica/g
eneralidades_7_4_medidores_energia_electrica
http://likinormas.micodensa.com/Norma/acometidas_medidores/generalidades_ae/generalidade
s_7_1_actualizacion_generalidades
Ver Situación problema 3: Medición de potencia activa y reactiva trifásica, Medición de energía
activa y reactiva trifásica utilizando el analizador de calidad FLUKE 435 en la empresa
7 Ejercicios situados.
Ejercicios Balanceados.
7.1.1 Ejercicio 1: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-Y
sin pérdidas en las líneas.
Un sistema trifásico balanceado de tres hilos tiene una carga conectada en Y.
Cada fase contiene tres cargas en paralelo: 𝒁1 = −𝑗100 [Ω], 𝒁2 = 100 [Ω] y 𝒁3 =
50 + 𝑗50 [Ω]. Suponer una secuencia de fase positiva con 𝑽𝑎𝑏 = 400 ∠ 0° [𝑉𝑟𝑚𝑠].
Encontrar: (a) 𝑽𝑎𝑛; (b) 𝑰𝑎. (Hayt, Kemmerly, & Durbin, 2007, pág. 467)
100
Figura 7.1.1. Circuito balanceado conexión Y-Y
𝐙eq =1
1𝐙1
+1
𝐙2+
1𝐙3
𝐙eq =1
1−j100 +
1100 +
150 + j50
𝐙eq = 50[Ω]
Redibujamos el circuito con la 𝒁𝑒𝑞 calculada
101
.
Figura 7.1.2. Circuito balanceado conexión Y-Y con la 𝑍𝑒𝑞 calculada
Como se conocen las tensiones de línea podemos hallar las tensiones de fase de
la siguiente manera:
VL = √3 VF
Vf = VL
√3
|Van| = 400∠0
√3
|Van| = 230,94
θL = θF + 30°
θF = θL − 30°
θF = 0 − 30°
θF = −30°
𝐕an = 230,94 ∠ − 30° [Vrms]
102
𝐕bn = 230,94 ∠ − 150° [Vrms]
𝐕cn = 230,94 ∠ 90° [Vrms]
Con las tensiones de fase y la impedancia de la carga podemos hallar las corrientes de línea por ley de ohm
𝐈a =𝐕an
𝐙eq
𝐈a =230,94 ∠ − 30°
50
𝐈a = 4,619 ∠ − 30° [Arms]
𝐈b = 4,619 ∠ − 150° [Arms]
𝐈c = 4,619 ∠ 90° [Arms]
Simulación 7.1.1. Circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
103
Simulación 7.1.2. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación.
Simulación 7.1.3. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio.
Si observamos la Simulación 7.1.3. Datos arrojados en la simulación por el
osciloscopio. Los datos de la onda mostrados en pantalla corresponden a valores
pico y los valores obtenidos en el ejercicio son valores rms, para comparar los
104
valores observados en la pantalla y los obtenidos en el ejercicio pasamos los
valores rms a valores pico multiplicando la magnitud por √2 así:
𝐕an = 230,94 ∗ √2
𝐕an = 326,598 [Vp]
7.1.2 Ejercicio 2: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-
Δ sin pérdidas en las líneas.
Una fuente balanceada conectada en ∆ en secuencia positiva alimenta a una
carga balanceada conectada en ∆. Si la impedancia por fase de la carga es 𝒁∆ =
18 + j12 [Ω] y 𝑰𝑎 = 22,5 ∠ 35° [𝐴𝑟𝑚𝑠], halle 𝑰𝐴𝐵 y 𝑽𝐴𝐵. (Sadiku & Alexander, 2006,
pág. 516).
Figura 7.1.3 Circuito balanceado conexión Δ-Δ.
𝐙∆ = 18 + j12[Ω]
𝐙∆ = 21,63 ∠ 33,69°[Ω]
𝐈a = √3 ∗ If ∠θ − 30°
𝐈AB =Ia
√3∠θ + 30
105
𝐈AB =22,5
√3∠35 + 30
𝐈AB = 12,99∠65°[Arms]
Como es un circuito en secuencia positiva y balanceado para hallar las otras
corrientes se resta o se suma 120° al ángulo, la magnitud es la misma.
𝐈BC = 12,99∠ − 55°[Arms]
𝐈CA = 12,99∠ − 175°[Arms]
Con las corrientes de fase y la impedancia de la carga podemos hallar las
tensiones de línea por ley de ohm
𝐕AB = 𝐈AB ∗ 𝐙∆
𝐕AB = 12,99∠65 ∗ 21,63 ∠ 33,69°
𝐕AB = 281,02 ∠ 98,69°[Vrms]
𝐕BC = 281,02 ∠ − 21,31°[Vrms]
𝐕CA = 281,02 ∠ − 141,31°[Vrms]
Simulación 7.1.4. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de fase.
106
Simulación 7.1.5. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación.
Si observamos la Simulación 7.1.5. Forma de conexión del osciloscopio en la
simulación. Se debe tomar como referencia una línea por el método de conexión
en Δ en este caso se tomó como referencia la línea B, Además se tendrá que
invertir una de las señales, para este caso se invirtió la señal que llega al CH 2 o
VCB.
107
Simulación 7.1.6. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio.
Si observamos la Simulación 7.1.6. Datos arrojados en la simulación por el
osciloscopio. Los datos de la onda mostrados en pantalla corresponden a valores
pico y los valores obtenidos en el ejercicio son valores rms, para comparar los
valores observados en la pantalla y los obtenidos en el ejercicio pasamos los
valores rms a valores pico multiplicando la magnitud por √2 así:
VAB = 281,02 ∗ √2
VAB = 397,422 [Vp]
7.1.3 Ejercicio 3: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-Δ
sin pérdidas en las líneas.
En un circuito trifásico balanceado Y – Δ. Los voltajes de la fuente conectada en Y
son: 𝑽𝑎𝑛 =360
√3∠ − 30° [𝑉𝑟𝑚𝑠], 𝑽𝑏𝑛 =
360
√3∠ − 150° [𝑉𝑟𝑚𝑠] y 𝑽𝑐𝑛 =
360
√3∠90° [𝑉𝑟𝑚𝑠]. La
impedancia de cada fase es 𝒁Δ = 180 ∠ 45°[Ω] determinar las corrientes de fase y
de línea cuando el voltaje de línea a línea es 360 [V]. (Dorf & Svoboda, 2006, pág.
543)
108
Figura 7.1.4. Circuito balanceado conexión Y-Δ.
Para facilidad del ejercicio convertimos la carga de Δ ha Y así:
𝐙Δ = ZY ∗ 3
𝐙Y =ZΔ
3
𝐙Y =180 ∠ 45
3
𝐙Y = 42,426 + j42,426 [Ω]
109
Figura 7.1.5. Circuito balanceado después de convertir la carga de Δ a Y
Lo podemos resolver por un equivalente monofásico ya que el circuito es
balanceado:
Figura 7.1.6. Equivalente monofásico para circuitos balanceados.
Con este equivalente monofásico utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes
de línea:
𝐈a =𝐕an
𝐙Y
𝐈a =
360
√3∠ − 30
42,426 + j42,426
𝐈a = 3,464 ∠ − 75°[Arms]
110
𝐈b =
360
√3∠ − 150
42,426 + j42,426
𝐈b = 3,464 ∠165°[Arms]
𝐈c =
360
√3∠ 90
42,426 + j42,426
𝐈c = 3,464 ∠ 45°[Arms]
Utilizando la siguiente ecuación hallamos las corrientes de fase.
𝐈AB =Ia
√3∠θ + 30
𝐈AB =3,464
√3 ∠ − 75 + 30
𝐈AB = 1,999 ∠ − 45° [Arms]
𝐈BC = 1,999 ∠ − 165° [Arms]
𝐈CA = 1,999 ∠ 75° [Arms]
111
Simulación 7.1.7. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
Simulación 7.1.8. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de fase.
112
7.1.4 Ejercicio 4: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-Y
sin pérdidas en las líneas.
Un circuito balanceado Δ-Y tiene 𝑽𝑎𝑏 = 380 ∠ 0°[𝑉𝑟𝑚𝑠]. Determine las corrientes de
línea en la carga cuando 𝒁𝑌 = 9 + 𝑗12 [Ω]. (Dorf & Svoboda, 2011, pág. 591)
Figura 7.1.7. Circuito balanceado conexión Δ-Y.
Primero hallamos las tensiones de línea. Sabiendo que es un sistema balanceado
con secuencia positiva y están desfasadas 120° entre sí, se tiene que:
𝐕ab = 380 ∠ 0°[Vrms]
𝐕bc = 380 ∠ − 120°[Vrms]
𝐕ca = 380 ∠ 120°[Vrms]
Como es un sistema balanceado podemos transformar la fuente para facilitar el
ejercicio
𝐕F =VL
√3 ∠ (θL − 30°)
𝐕an =Vab
√3 ∠ (θab − 30°)
𝐕an =380
√3 ∠ (0 − 30°)
113
𝐕an = 213,393 ∠ − 30° [Vrms]
Como es un circuito en secuencia positiva y balanceado para hallar las tensiones
restantes se resta o se suma 120° al ángulo, la magnitud es la misma.
𝐕bn = 213,393 ∠ − 150° [Vrms]
𝐕cn = 213,393 ∠ 90° [Vrms]
Figura 7.1.8. Circuito balanceado después de convertir la fuente de Δ a Y
Lo podemos resolver por un equivalente monofásico ya que el circuito es
balanceado:
Figura 7.1.9. Equivalente monofásico para circuitos balanceados.
114
Con este equivalente monofásico utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes
de línea:
𝐈a =𝐕an
𝐙y
𝐈a =213,393 ∠ − 30°
9 + j12
𝐈a = 14,626 ∠ − 83,13°[Arms]
𝐈b =213,393 ∠ − 150°
9 + j12
𝐈b = 14,626 ∠ 156,87°[Arms]
𝐈c =213,393 ∠ 90°
9 + j12
𝐈c = 14,626 ∠ 36,87°[Arms]
Simulación 7.1.9. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
115
7.1.5 Ejercicio 5: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-Y
con pérdidas en las líneas.
En un sistema Y-Y trifásico balanceado, la fuente está en una secuencia abc de
tensiones y 𝑽𝑎𝑛 = 100 ∠ 20°[𝑉𝑟𝑚𝑠]. La impedancia de línea por fase es 𝒁𝐿 = 0,6 +
𝑗1,2 [Ω], mientras que la impedancia por fase de la carga es 𝒁𝑌 = 10 + 𝑗14 [Ω].
Calcule las corrientes de línea y las tensiones de carga. (Sadiku & Alexander,
2006, pág. 544).
Figura 7.1.10. Circuito balanceado conexión Y-Y con pérdidas en la línea.
𝐕an = 100 ∠ 20°[Vrms]
𝐕bn = 100 ∠ − 100°[Vrms]
𝐕cn = 100 ∠ 140°[Vrms]
Lo podemos resolver por un equivalente monofásico ya que el circuito es balanceado:
116
Figura 7.1.11. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en la línea.
𝐙eq = 𝐙L + 𝐙Y
𝐙eq = (0,6 + j1,2) + (10 + j14)
𝐙eq = 10,6 + j15,2 [Ω]
Con este equivalente monofásico utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes
de línea:
𝐈a =𝐕an
𝐙eq
𝐈a =100 ∠ 20°
10,6 + j15,2
𝐈a = 5,396 ∠ − 35,109 [Arms]
𝐈b =100 ∠ − 100°
10,6 + j15,2
𝐈b = 5,396 ∠ − 155,109 [Arms]
𝐈c =100 ∠ 140°
10,6 + j15,2
𝐈c = 5,396 ∠ 84,891 [Arms]
Usando ley de ohm hallamos las tensiones de fase en la carga.
117
𝐕 = 𝐈 ∗ 𝐑
𝐕AN = 𝐈a ∗ 𝐙y
𝐕AN = 5,396 ∠ − 35,109 ∗ 10 + j14
𝐕AB = 92,842 ∠ 19,353° [Vrms]
𝐕BC = 92,842 ∠ − 100,647° [Vrms]
𝐕CA = 92,842 ∠ 139,353° [Vrms]
Simulación 7.1.10. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea.
118
Simulación 7.1.11. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación.
Simulación 7.1.12. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio.
Si observamos la Simulación 7.1.12. Datos arrojados en la simulación por el
osciloscopio. Los datos de la onda mostrados en pantalla corresponden a valores
pico y los valores obtenidos en el ejercicio son valores rms, para comparar los
119
valores observados en la pantalla y los obtenidos en el ejercicio pasamos los
valores rms a valores pico multiplicando la magnitud por √2 así:
VAB = 92,842 ∗ √2
VAB = 131,298 [Vp]
7.1.6 Ejercicio 6: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-
Δ con pérdidas en las líneas.
Halle las corrientes de línea 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 en la red trifásica de la Figura 7.1.12.
Circuito balanceado conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas. Considere 𝒁𝛥 = 12 −
𝑗15 [Ω], 𝒁𝐿 = 2[Ω] y 𝑽𝑎𝑏 = 208 ∠ 0°[𝑉𝑟𝑚𝑠] en secuencia positiva. (Sadiku &
Alexander, Fundamentos de Circuitos Eléctricos, 2006, pág. 547)
Figura 7.1.12. Circuito balanceado conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas.
Para facilidad del ejercicio convertimos la carga de Δ ha Y así:
𝐙Δ = 𝐙Y ∗ 3
𝐙Y =𝐙Δ
3
𝐙Y =12 − J15
3
120
𝐙Y = 4 − j5 [Ω]
Para facilidad del ejercicio convertimos la fuente de Δ ha Y así:
𝐕f =|Vab|
√3 ∠ θab − 30°
𝐕f =208
√3 ∠ 0 − 30°
𝐕an = 120,089 ∠ − 30 [Vrms]
Como es un circuito en secuencia positiva y balanceado para hallar las tensiones
de la fase b y la fase c, se resta o se suma 120° al ángulo, la magnitud es la
misma.
𝐕bn = 120,089 ∠ − 150 [Vrms]
𝐕cn = 120,089 ∠ 90 [Vrms]
Lo podemos resolver por un equivalente monofásico ya que el circuito es
balanceado:
Figura 7.1.13. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en la
línea.
𝐙eq = 𝐙L + 𝐙Y
𝐙eq = 2 + (4 − j5)
𝐙eq = 6 − j5 [Ω]
121
Con este equivalente monofásico utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes
de línea:
𝐈a =𝐕an
𝐙eq
𝐈a =120,089 ∠ − 30 °
6 − j5
𝐈a = 15,376 ∠ 9,806 [Arms]
𝐈b =120,089 ∠ − 150 °
6 − j5
𝐈b = 15,376 ∠ − 110,194 [Arms]
𝐈c =120,089 ∠ 90 °
6 − j5
𝐈c = 15,376 ∠ 129,806 [Arms]
7.1.7 Ejercicio 7: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Y-Δ
con pérdidas en las líneas.
En un circuito trifásico balanceado Y – Δ. Los voltajes de fase de la fuente
conectada en Y son 𝑽𝑎𝑛 = 110 ∠ 0°, 𝑽𝑏𝑛 = 110 ∠ − 120° y 𝑽𝑐𝑛 = 110 ∠ 120°.
Cada una de las impedancias de línea es 𝒁𝐿 = 10 + 𝑗25[Ω]. Cada impedancia de
la carga conectada en Δ es 𝒁𝛥 = 150 + 𝑗270[Ω]. Determina las corrientes de fase
en la carga conectada en Δ. (Dorf & Svoboda, 2006, pág. 546)
122
Figura 7.1.14. Circuito balanceado conexión Y-Δ con pérdidas en la línea.
Para facilidad del ejercicio convertimos la carga de Δ ha Y así:
𝐙Δ = 𝐙Y ∗ 3
𝐙Y =𝐙Δ
3
𝐙Y =150 + j270
3
𝐙Y = 50 + j90 [Ω]
123
Figura 7.1.15. Circuito balanceado después de convertir la carga de Δ a Y con pérdidas en la línea.
Lo podemos resolver por un equivalente monofásico ya que el circuito es
balanceado:
Figura 7.1.16. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en la línea.
𝐙eq = 𝐙L + 𝐙Y
𝐙eq = (10 + j25) + (50 + j90)
124
𝐙eq = 60 + j95 [Ω]
Con este equivalente monofásico utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes
de línea:
𝐈a =𝐕an
𝐙eq
𝐈a =110∠0°
60 + j115
𝐈a = 0,848 ∠ − 62,447 [A]
𝐈b =110∠ − 120°
60 + j115
𝐈b = 0,848 ∠ 177,553 [A]
𝐈c =110∠120°
60 + j115
𝐈c = 0,848 ∠ 57,553 [A]
Utilizando la siguiente ecuación hallamos las corrientes de fase.
𝐈AB =Ia
√3∠θ + 30
𝐈AB =0,848
√3∠ − 62,447 + 30
𝐈AB = 0,489 ∠ − 32,447° [A]
𝐈BC =0,848
√3∠ 177,553 + 30
𝐈BC = 0,489 ∠ − 152,447° [A]
𝐈CA =0,848
√3∠ 177,553 + 30
𝐈CA = 0,489 ∠ − 87,553° [A]
125
Usando ley de ohm hallamos las tensiones de línea de la carga.
𝐕 = 𝐈 ∗ 𝐑
𝐕AB = 𝐈AB ∗ 𝐙Δ
𝐕AB = 0,489 ∠ − 32,447 ∗ 150 + j270
𝐕AB = 151,037 ∠ 28,498 [V]
𝐕BC = 151,037 ∠ − 91,502 [V]
𝐕CA = 151,037 ∠ − 26,608 [V]
Simulación 7.1.13. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
126
Simulación 7.1.14. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de fase.
Simulación 7.1.15. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación.
Si observamos la Simulación 7.1.15. Forma de conexión del osciloscopio en la
simulación. Se debe tomar como referencia una línea, por la forma de conexión en
127
Δ en este caso se tomó como referencia la línea C, Además se debe invertir una
de las señales, para este caso se invirtió la señal que llega al CH 1 o VAC.
Simulación 7.1.16. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio.
Si observamos la Simulación 7.1.16. Datos arrojados en la simulación por el
osciloscopio. Los datos de la onda mostrados en pantalla corresponden a valores
pico y los valores obtenidos en el ejercicio son valores rms, para comparar los
valores observados en la pantalla y los obtenidos en el ejercicio pasamos los
valores rms a valores pico multiplicando la magnitud por √2 así:
𝐕AB = 151,037 ∗ √2
𝐕AB = 213,599 [V]
7.1.8 Ejercicio 8: Conexión trifásica de cargas balanceadas en Conexión Δ-Y
con pérdidas en las líneas.
En un circuito trifásico balanceado Δ – Y. Si 𝑽𝑎𝑏 = 440 ∠ 10°, 𝑽𝑏𝑐 = 440 ∠ − 110° y
𝑽𝑐𝑎 = 440 ∠ 130°. Cada una de las impedancias de línea es 𝒁𝐿 = 3 + 𝑗2[Ω]. Cada
impedancia de la carga conectada en Y es 𝒁𝑌 = 10 − 𝑗8[Ω]. Hallar las corrientes
de línea. (Sadiku & Alexander, 2006, pág. 547).
128
Figura 7.1.17. Circuito balanceado conexión Δ-Y con pérdidas en la línea.
Para facilidad del ejercicio convertimos la fuente de Δ ha Y así:
𝐕f =|Vab|
√3 ∠ θab − 30°
𝐕f =440
√3 ∠ 10 − 30°
𝐕an = 254,034 ∠ − 20 [Vrms]
Como es un circuito en secuencia positiva y balanceado para hallar la tensión de
la fase b y la tensión de la fase c se resta o se suma 120° al ángulo, la magnitud
es la misma.
𝑽𝑏𝑛 = 254,034 ∠ − 140 [𝑉𝑟𝑚𝑠]
𝑽𝑐𝑛 = 254,034 ∠ 100 [𝑉𝑟𝑚𝑠]
129
Figura 7.1.18. Circuito balanceado después de convertir la fuente de Δ a Y con pérdidas en la línea.
Lo podemos resolver por un equivalente monofásico ya que el circuito es
balanceado:
Figura 7.1.19. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en la
línea.
𝐙eq = 𝐙L + 𝐙Y
𝐙eq = (3 + j2) + (10 − j8)
130
𝐙eq = 13 − j6 [Ω]
Con este equivalente monofásico utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes
de línea:
𝐈a =𝐕an
𝐙eq
𝐈a =254,034 ∠ − 20°
13 − j6
𝐈a = 17,743 ∠ 4,775 [Arms]
𝐈b =254,034 ∠ − 140°
13 − j6
𝐈b = 17,743 ∠ − 115,225 [Arms]
𝐈c =254,034 ∠ 100°
13 − j6
𝐈c = 17,743 ∠ − 75,225 [Arms]
Simulación 7.1.17. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
131
Ejercicios Desbalanceados.
7.2.1 Ejercicio 9: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en Conexión
Y-Y sin pérdidas en las líneas.
Determinar la potencia compleja transmitida a la carga trifásica de un circuito Y-Y
de tres hilos como el que se muestra en la Figura 7.2.1. Circuito desbalanceado
conexión Y-Y sin pérdidas en la línea. Los voltajes de la fuente conectada a Y son
𝐕a = 120∠0° [Vrms], 𝐕b = 120∠ − 120° [Vrms] y 𝐕c = 120∠120° [Vrms]. Las
impedancias de carga son 𝐙a = 80 + j50[Ω], 𝐙b = 80 + j80[Ω], 𝐙c = 100 − j25[Ω].
(Sadiku & Alexander, 2006, pág. 570).
Figura 7.2.1. Circuito desbalanceado conexión Y-Y sin pérdidas en la línea.
132
Figura 7.2.2. Análisis de mallas para conexión Y-Y desbalanceado sin neutro.
Si se observa la Figura 7.2.2. Análisis de mallas para conexión Y-Y
desbalanceado sin neutro es necesario plantear las ecuaciones de malla para las
corrientes 𝑰1 e 𝑰2, aplicando ley de tensiones de Kirchhoff (LTK), en cada una de
las mallas se tiene que:
∑M1=0
𝐕b − 𝐕a + 𝐙a ∗ 𝐈1 + 𝐙b ∗ (𝐈1 − 𝐈2) = 0
𝐙a ∗ 𝐈1 + 𝐙b ∗ 𝐈1 − 𝐙b ∗ 𝐈2 = 𝐕a − 𝐕b
((80 + j50) ∗ 𝐈1) + ((80 + j80) ∗ 𝐈1) − ((80 + j80) ∗ 𝐈2) = (120 ∠0) − (120∠ − 120)
((160 + j130) ∗ 𝐈1) − ((80 + j80) ∗ 𝐈2) = (207,846 ∠ 30)
∑M2=0
𝐕c − 𝐕b + 𝐙b ∗ (𝐈2 − 𝐈1) + 𝐙c ∗ 𝐈2 = 0
𝐙b ∗ 𝐈2 − 𝐙b ∗ 𝐈1 + 𝐙c ∗ 𝐈2 = 𝐕b − 𝐕c
((80 + j80) ∗ 𝐈2) − ((80 + j80) ∗ 𝐈1) + ((100 − j25) ∗ 𝐈2) = (120 ∠ − 120) − (120 ∠ 120)
−((80 + j80) ∗ 𝐈1) + ((180 + j55) ∗ 𝐈2) = (207,846 ∠ − 90)
Solucionamos el sistema de ecuaciones:
133
160 + j130 −(80 + j80) −(207,846 ∠ 30)
−(80 + j80) 180 + j55 −(207,846 ∠ − 90)
𝐈1 = 1,546 ∠ − 26,403° [Arms]
𝐈2 = 1,195 ∠ − 59,525° [Arms]
Una vez se tienen los valores de las corrientes de malla 𝑰1 e 𝑰2, se pueden
calcular las corrientes de línea del circuito, a partir de las ecuaciones:
𝐈a = 𝐈1
𝐈a = 1,546 ∠ − 26,403° [Arms]
𝐈b = 𝐈2 − 𝐈1
𝐈b = 1,195 ∠ − 59,525 − 1,546 ∠ − 26,403
𝐈b = 0,851 ∠ − 156,242° [Arms]
𝐈c = 𝐈2
𝐈c = 1,195 ∠ − 59,525° [Arms]
Para Determinar la potencia compleja transmitida a la carga utilizamos la siguiente
ecuación para cada línea:
𝐒a = 𝐈a∗ ∗ 𝐕a
𝐒a = 𝐈a∗ ∗ 𝐈a ∗ 𝐙a
𝐒A = (1,546 ∠ − 26,403)∗ ∗ 1,546 ∠ − 26,403 ∗ 80 + j50
𝐒A = (1,546 ∠ 26,403) ∗ 1,546 ∠ − 26,403 ∗ 80 + j50
𝐒A = 191,168 + j119,48 [VA]
𝐒B = 0,851 ∠ 156,242 ∗ 0,851 ∠ − 156,242 ∗ 80 + j80
𝐒B = 57,869 + j57,869 [VA]
𝐒C = 1,195 ∠ 59,525 ∗ 1,195 ∠ − 59,525 ∗ 100 − j25
𝐒C = 142,843 − j35,711 [VA]
134
𝐒T = 𝐒a + 𝐒b + 𝐒c
𝐒T = 391,88 + j141,639 [VA]
Simulación 7.2.1. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
7.2.2 Ejercicio 10: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en
Conexión Δ-Δ sin pérdidas en las líneas.
Halle las corrientes de línea y la potencia real absorbida por la carga en el circuito
trifásico desbalanceado como el que se muestra en la Figura 7.2.3. Circuito
desbalanceado conexión Δ-Δ Los voltajes de la fuente conectada en Δ son 𝐕ab =
200 ∠ 0° [Vrms], 𝐕bc = 200 ∠ 120° [Vrms] y 𝐕ca = 200 ∠ − 120° [Vrms]. Las
impedancias de carga son 𝐙𝐴 = −j5[Ω], 𝐙B = 10[Ω], 𝐙𝐶 = j10[Ω]. (Sadiku &
Alexander, 2006, pág. 528).
135
Figura 7.2.3. Circuito desbalanceado conexión Δ-Δ
En la Figura 7.2.3. Circuito desbalanceado conexión Δ-Δ se observa que las
fuentes de tensión 𝑽𝑎𝑏 , 𝑽𝑏𝑐, 𝑽𝑐𝑎, estan en paralelo con las cargas 𝒁𝐴, 𝒁𝐵, 𝒁𝐶 , por lo
tanto la tensión en cada una de las fases de la carga es la misma tensión en la
carga de cada fase entonces utilizamos ley de ohm para hallar las corrientes de
fase así:
𝐈AB =𝐕ab
𝐙A
𝐈AB =200 ∠ 0
−j5
𝐈AB = 44 ∠ 90° [Arms]
𝐈BC =200 ∠ 120
j10
𝐈BC = 22 ∠ 30° [Arms]
𝐈CA =200 ∠ − 120
10
𝐈CA = 22 ∠ − 120° [Arms]
Para obtener las corrientes de línea del circuito, se debe aplicar ley de corrientes
de Kirchhoff (LCK) en los nodos A, B y C, así:
136
𝐈a = 𝐈AB − 𝐈CA
𝐈a = 44 ∠ 90 − 22 ∠ − 120
𝐈a = 64,005 ∠ 80,104° [Arms]
𝐈b = 𝐈BC − 𝐈AB
𝐈b = 22 ∠ 30 − 44 ∠ 90
𝐈b = 38,105 ∠ − 60° [Arms]
𝐈c = 𝐈CA − 𝐈BC
𝐈c = 22 ∠ − 120 − 22 ∠ 30
𝐈c = 42,5 ∠ − 135° [Arms]
Para Determinar la potencia la potencia real absorbida por la carga utilizamos la
siguiente ecuación:
𝐒AB = |IAB|2 ∗ 𝐙A
𝐒AB = 442 ∗ −j5
𝐒AB = −j9680 [VA]
𝐒BC = |IBC|2 ∗ ZC
𝐒BC = 222 ∗ j10
𝐒BC = j4840 [VA]
𝐒CA = |ICA|2 ∗ ZB
𝐒CA = 222 ∗ 10
𝐒CA = 4840 [VA]
𝐒T = 𝐒AB + 𝐒BC + 𝐒CA
𝐒T = −j9680 + j4840 + 4840
𝐒T = 4840 − j4840 [VA]
137
P = 4840 [W]
7.2.3 Ejercicio 11: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en
Conexión Y-Δ sin pérdidas en las líneas.
Para el circuito que se muestra en la Figura 7.2.3. Circuito desbalanceado
conexión Δ-Δ Los voltajes de la fuente conectada en Y son 𝐕an = 440 ∠ 0° [Vrms],
𝐕bn = 440 ∠ − 120° [Vrms] y 𝐕cn = 440 ∠ 120° [Vrms]. Las impedancias de carga
son 𝐙1 = j10[Ω], 𝐙2 = 20[Ω], 𝐙3 = −j5[Ω] halle: a) las corrientes de línea, b) la
potencia real absorbida por la carga, c) la potencia compleja total provista por la
fuente. (Sadiku & Alexander, 2006, pág. 550).
Figura 7.2.4. Circuito desbalanceado conexión Y-Δ
138
Figura 7.2.5. Análisis de mallas para conexión Y-Y desbalanceado.
∑M1=0
𝐕bn − 𝐕an + 𝐙1 ∗ (𝐈1 − 𝐈3) = 0
𝐙1 ∗ 𝐈1 − 𝐙1 ∗ 𝐈3 = 𝐕an − 𝐕bn
−𝐙1 ∗ (𝐈3 − 𝐈1) = 𝐕an − 𝐕bn
(𝐈3 − 𝐈1) =𝐕an − 𝐕bn
−𝐙1
(𝐈3 − 𝐈1) =762,102 ∠ 30
−j10
(𝐈3 − 𝐈1) = −38,105 + j66 (1)
∑M2=0
𝐕cn − 𝐕bn + 𝐙2 ∗ (𝐈2 − 𝐈3) = 0
−𝐙2 ∗ (𝐈3 − 𝐈2) = 𝐕bn − 𝐕cn
(𝐈3 − 𝐈2) =𝐕an − 𝐕bn
−𝐙2
(𝐈3 − 𝐈2) =762,102 ∠ − 90
−20
139
(𝐈3 − 𝐈2) = j38,105 (2)
∑M3=0
𝐙1 ∗ (𝐈3 − 𝐈1) + 𝐙3 ∗ 𝐈3 + 𝐙2 ∗ (𝐈3 − 𝐈2) = 0 (3)
En la ecuación (3) despejamos I3
𝐈3 =−𝐙1 ∗ (𝐈3 − 𝐈1) − 𝐙2 ∗ (𝐈3 − 𝐈2)
𝐙3
𝐈3 =−(j10) ∗ (−38,105 + j66) − (20) ∗ (j38,105)
−j5
𝐈3 =−(−660 − j380,051) − (j762,102)
−j5
𝐈3 = 152,42 ∠ 60° (4) En la ecuación (1)(3) despejamos 𝑰1
𝐈1 = 𝐈3 + 38,105 − j66
𝐈1 = 132 ∠ 30°
En la ecuación (2)(3) despejamos 𝑰2
𝐈2 = 𝐈3 − j38,105
𝐈2 = 120,93 ∠ 50,94°
𝐈a = 𝐈1 = 132 ∠ 30° [Arms]
𝐈b = 𝐈2 − 𝐈1
𝐈b = 47,224 ∠ 143,794° [Arms]
𝐈c = −I2 = 120,931 ∠ − 129,065 [Arms]°
𝐒AB = |I1 − I3|2 ∗ 𝐙1
𝐒AB = |132 ∠ 30 − 152,42 ∠ 60|2 ∗ j10
𝐒AB = |76,21 ∠ − 60|2 ∗ j10
𝐒AB = 5808 ∗ j10
140
𝐒AB = j58,08 [kVA]
𝐒BC = |I2 − I3|2 ∗ 𝐙2
𝐒BC = |120,93 ∠ 50,94 − 152,42 ∠ 60|2 ∗ 20
𝐒BC = |120,93 ∠ 50,94|2 ∗ 20
𝐒BC = 1451,99 ∗ 20
𝐒BC = j29,0398 [kVA]
𝐒CA = |I3|2 ∗ 𝐙3
𝐒CA = |152,42 ∠ 60|2 ∗ −j5
𝐒CA = 23231 ∗ −j5
𝐒CA = −j116,16 [kVA]
𝐒TC = 𝐒AB + 𝐒BC + 𝐒CA
𝐒TC = 29,0398 − j58,080 [kVA]
P = 29,0398 [kW]
7.2.4 Ejercicio 12: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas en
Conexión Y-Y con pérdidas en las líneas.
En La Figura 7.2.6. Circuito desbalanceado conexión Y-Y con pérdidas en la línea.
Se muestra un circuito Y a Y no balanceado. Determinar la potencia promedio
entregada a la carga. Cuando 𝑉𝑎𝑛 = 100 cos(377𝑡), 𝑉𝑏𝑛 = 100 cos(377𝑡 + 120) y
𝑉𝑐𝑛 = 100 cos(377𝑡 − 120), 𝑅𝑙 = 10[Ω], 𝑙𝑙 = 5[𝑚𝐻], 𝑅1 = 20[Ω], 𝑙1 = 60[𝑚ℎ], 𝑅2 =
40[Ω], 𝑙2 = 40[𝑚ℎ], 𝑅3 = 60[Ω] y 𝑙3 = 20[𝑚ℎ]. (Dorf & Svoboda, 2006, pág. 554)
141
Figura 7.2.6. Circuito desbalanceado conexión Y-Y con pérdidas en la línea.
jωl = Xl
𝐙1 = 20 + jω0.06
𝐙1 = 20 + j22,62 [Ω]
𝐙2 = 40 + jω0.04
𝐙2 = 40 + j15,08 [Ω]
𝐙3 = 60 + jω0.02
𝐙3 = 60 + j7,54 [Ω]
𝐙l = 10 + jω0.005
𝐙l = 10 + j1,88 [Ω]
𝐕an = 100 ∠ 0°
𝐕bn = 100 ∠ 120°
𝐕cn = 100 ∠ − 120°
142
Figura 7.2.7. Análisis de mallas para conexión Y-Y con pérdidas en la línea desbalanceado sin neutro.
Si se observa la Figura 7.2.7. Análisis de mallas para conexión Y-Y con pérdidas
en la línea desbalanceado sin neutro. Es necesario plantear las ecuaciones de
malla para las corrientes 𝑰1 e 𝑰2, aplicando ley de tensiones de Kirchhoff (LTK), en
cada una de las mallas se tiene que:
∑M1=0
𝐕bn − 𝐕an + 𝐙l ∗ 𝐈1 + 𝐙1 ∗ 𝐈1 + 𝐙2 ∗ (𝐈1 − 𝐈2) + 𝐙l ∗ (𝐈1 − 𝐈2) = 0
𝐙l ∗ 𝐈1 + 𝐙1 ∗ 𝐈1 + 𝐙2 ∗ 𝐈1 − 𝐙2 ∗ 𝐈2 + 𝐙l ∗ 𝐈1 − 𝐙l ∗ 𝐈2 = 𝐕an − 𝐕bn
(𝐙l + 𝐙1 + 𝐙2 + 𝐙l) ∗ 𝐈1 + ((−𝐙2 − 𝐙l) ∗ 𝐈2) = 𝐕an − 𝐕bn
((80 + j41,47) ∗ 𝐈1) + ((−50 − 16,96) ∗ 𝐈2) = (173,21 ∠ − 30)
∑M2=0
𝐕cn − 𝐕bn + 𝐙l ∗ (𝐈2 − 𝐈1) + 𝐙2 ∗ (𝐈2 − 𝐈1) + 𝐙3 ∗ 𝐈2 + 𝐙l ∗ 𝐈2 = 0
𝐙l ∗ 𝐈2 − 𝐙l ∗ 𝐈1 + 𝐙2 ∗ 𝐈2 − 𝐙2 ∗ 𝐈1 + 𝐙3 ∗ 𝐈2 + 𝐙l ∗ 𝐈2 = 𝐕bn − 𝐕cn
(−𝐙l − 𝐙2) ∗ 𝐈1 + (𝐙l + 𝐙2 + 𝐙3 + 𝐙l) ∗ 𝐈2 = 𝐕bn − 𝐕cn
143
((−50 − j16,96) ∗ 𝐈1) + (120 + j26,39) ∗ 𝐈2) = (173,21 ∠90)
Solucionamos el sistema de ecuaciones:
80 + j41,47 −50 − 16,96 173,21 ∠30−50 − j16,96 120 + j26,39 173,21 ∠90
𝐈1 = 2,11 ∠ − 33,27° [Arms]
𝐈2 = 1,47 ∠ 40,99° [Arms]
Una vez se tienen los valores de las corrientes de malla 𝑰1 e 𝑰2, se pueden
calcular las corrientes de línea del circuito, a partir de las ecuaciones:
𝐈a = 𝐈1
𝐈a = 2,11 ∠ − 33,27° [Arms]
𝐈b = 𝐈2 − 𝐈1
𝐈b = 1,47 ∠ 40,99 − 2,11 ∠ − 33,27
𝐈b = 2,22 ∠107,09° [Arms]
𝐈c = −𝐈2
𝐈c = 1,47 ∠ − 139,002° [Arms]
Para Determinar la potencia compleja transmitida a la carga utilizamos la siguiente
ecuación para cada línea:
𝐒a = 𝐈a∗ ∗ 𝐕a
𝐒a = 𝐈a∗ ∗ 𝐈a ∗ 𝐙a
𝐒A = (1,47 ∠ 40,99° )∗ ∗ 1,47 ∠ 40,99° ∗ 20 + j22,62
𝐒A = (1,47 ∠ − 40,99° )∗ ∗ 1,47 ∠ 40,99° ∗ 20 + j22,62
𝐒A = 89,09 + j100,75 [VA]
𝐒B = 2,22 ∠ − 107,09 ∗ 2,22 ∠107,09 ∗ 40 + j15,08
𝐒B = 57,869 + j57,869 [VA]
𝐒C = 1,47 ∠ 139,002 ∗ 1,47 ∠ − 139,002 ∗ 60 + j7,54
144
𝐒C = 130,1 + j16,35 [VA]
𝐒T = 𝐒a + 𝐒b + 𝐒c
𝐒T = 416,678 + j191,555 [VA]
PC = 416,678 [w]
Simulación 7.2.2 Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de línea.
7.2.5 Ejercicio 13: Conexión trifásica de cargas desbalanceadas s en
Conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas.
Halle las corrientes de línea y la potencia real absorbida por la carga en el circuito
trifásico desbalanceado como el que se muestra en la Figura 7.2.8. Circuito
desbalanceado conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas. Los voltajes de la fuente
conectada en Δ son 𝐕ab = 100 ∠ 0° [Vrms], 𝐕bc = 100 ∠ − 120° [Vrms] y 𝐕ca =
100 ∠ 120° [Vrms]. Las impedancias de carga son 𝐙1 = 8 − j6[Ω], 𝐙2 = 10[Ω], 𝐙3 =
4 + j3[Ω] las impedancias de línea son 𝐙𝑙 = 5[Ω]. (Sadiku & Alexander, 2006, pág.
549)
145
Figura 7.2.8. Circuito desbalanceado conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas.
Figura 7.2.9. Análisis de mallas para conexión Δ-Δ desbalanceado
Si se observa la Figura 7.2.9. Análisis de mallas para conexión Δ-Δ
desbalanceado es necesario plantear las ecuaciones de malla para las corrientes
𝑰1, 𝑰2 e 𝑰3aplicando ley de tensiones de Kirchhoff (LTK), en cada una de las mallas
se tiene que:
∑M1=0
−𝐕ab + 𝐙l ∗ 𝐈1 + 𝐙1 ∗ (𝐈1 − 𝐈3) + 𝐙l ∗ (𝐈1 − 𝐈2) = 0
𝐙l ∗ 𝐈1 + 𝐙1 ∗ 𝐈1 − 𝐙1 ∗ 𝐈3 + 𝐙l ∗ 𝐈1 − 𝐙l ∗ 𝐈1 = 𝐕ab
(𝐙l + 𝐙1 + 𝐙l) ∗ 𝐈1 − 𝐙l ∗ 𝐈2 − 𝐙1 ∗ 𝐈3 = 𝐕ab
(18 − j6) ∗ 𝐈1 − 5 ∗ 𝐈2 − (8 − j6) ∗ 𝐈3 = 100 ∠ 0 (5)
146
∑M2=0
−𝐕bc + 𝐙l ∗ (𝐈2 − 𝐈1) + 𝐙2 ∗ (𝐈2 − 𝐈3) + 𝐙l ∗ 𝐈2 = 0
𝐙l ∗ 𝐈2 − 𝐙l ∗ 𝐈1 + 𝐙2 ∗ 𝐈2 − 𝐙2 ∗ 𝐈3 + 𝐙l ∗ 𝐈2 = 𝐕bc
−𝐙l ∗ 𝐈1 + (𝐙2 + 𝐙l + 𝐙l) ∗ 𝐈2 − 𝐙2 ∗ 𝐈3 = 𝐕bc
−5 ∗ 𝐈1 + 20 ∗ 𝐈2 − 10 ∗ 𝐈3 = 100 ∠ − 120
(6)
∑M3=0
𝐙1 ∗ (𝐈3 − 𝐈1) + 𝐙3 ∗ 𝐈3 + 𝐙2 ∗ (𝐈3 − 𝐈2) = 0
𝐙1 ∗ 𝐈3 − 𝐙1 ∗ 𝐈1 + 𝐙3 ∗ 𝐈3 + 𝐙2 ∗ 𝐈3 − 𝐙2 ∗ 𝐈2 = 0
−𝐙1 ∗ 𝐈1 − 𝐙2 ∗ 𝐈2 + (𝐙1 + 𝐙3 + 𝐙2) ∗ 𝐈3 = 0
−(8 − j6) ∗ 𝐈1 − 10 ∗ 𝐈2 + (22 − j3) ∗ 𝐈3 = 0
(7)
Multiplicamos (5) * 4
(72 − j24) ∗ 𝐈1 − 20 ∗ 𝐈2 − (32 + j24) ∗ I3 = 400 ∠ 0 (8)
Sumamos (8) y (6)
(67 − j24) ∗ 𝐈1 − 42 + j24 ∗ 𝐈3 = 360,555 ∠ − 13,898 (9)
Multiplicamos (7) * 2
(−16 − j12) ∗ 𝐈1 − 20 ∗ 𝐈2 + 44 − j6 ∗ 𝐈3 = 0 (10)
Sumamos (6) y(10)
(−21 + j12) ∗ 𝐈1 + 34 − j6 ∗ 𝐈3 = 100 ∠ − 120 (11)
Solucionamos el siguiente sistema de ecuaciones que obtuvimos de la reducción
en las ecuaciones (9) y (11) que quedarían así:
67 − j24 −42 + j24 360,555 ∠ − 13,898−21 + j12 34 − j6 100 ∠ − 120
147
Solucionando el sistema de ecuaciones se hallan los siguientes resultados:
𝐈1 = 6,682 ∠ − 38,327 [Arms]
𝐈3 = 6,857 ∠ − 77,486 [Arms]
Hallamos 𝐼2, remplazando los resultados obtenidos en la solución del sistema de
ecuaciones en cualquiera de las 3 primeras ecuaciones halladas, para nuestro
caso se realizara la sustitución en la ecuación número (6):
−5 ∗ 𝐈1 + 20 ∗ 𝐈2 − 10 ∗ 𝐈3 = 100 ∠ − 120
𝐈2 =100 ∠ − 120 + 10 ∗ 𝐈3 + 5 ∗ 𝐈1
20
𝐈2 =100 ∠ − 120 + 10 ∗ 6,857 ∠ − 77,486 + 5 ∗ 6,682 ∠ − 38,327
20
𝐈2 = 8,725 ∠ − 92,935
144
8 Rúbrica de evaluación
Criterios/Niveles Novato (1) Aprendiz (2) Avanzado (3) Experto (4)
Especificación de los elementos de
trabajo
1. El estudiante no reconoce las características físicas y
eléctricas de los equipos de medida.
2. No reconoce los elementos necesarios a utilizar para el
desarrollo del ejercicio.
1. Adquiere habilidades para
reconocer e identificar las características físicas y
eléctricas de los equipos de medida.
2. Comunica los elementos que se emplearán en el desarrollo
del ejercicio.
1. Reconoce e identifica las características físicas y eléctricas
de los equipos de medida. 2. Especifica los equipos más
eficientes que permitan el desarrollo de cada ejercicio.
1. Clasifica los diferentes
elementos para el desarrollo del ejercicio tales como fuentes de
alimentación y cargas. 2. Escoge adecuadamente los
equipos de medida disponibles.
Fundamento teórico
1. Memoriza algunos
conceptos teóricos para solucionar el problema.
2. Repite procesos, volviendo el ejercicio mecánico.
3. No investiga fuentes bibliográficas.
1. Recuerda los conceptos teóricos necesarios para solucionar el problema. 2. No tiene claridad en el
procedimiento a seguir para el desarrollo de determinado
ejercicio. 3. Ilustra de manera ordenada
los fundamentos teóricos.
1. Demuestra claridad en los conceptos teóricos necesarios para solucionar el problema.
2. Comprende el procedimiento necesario para hallar una
solución. 3. La información mostrada tiene
correspondencia con los objetivos de cada ejercicio.
1. Interpreta y argumenta la
solución a situaciones problema y a ejercicios situados.
2. Evalúa los resultados obtenidos.
3. Investiga todas las fuentes bibliográficas a su alcance.
Simulación
1. El estudiante no conoce el
software de simulación.
2. No emplea un software
1. Presenta un bajo nivel en el manejo del software de
simulación. 2. Construye un diagrama de
1. Ejecuta todos los objetivos del ejercicio dentro del software de
simulación. 2. Expresa un buen manejo de
1. Demuestra conocimiento claro y correcto sobre el manejo del
software de simulación. 2. Crea un diagrama de conexión
145
De simulación que apoye el desarrollo del ejercicio.
conexión confuso que no representa información
relevante. 3. Bajo nivel de comprensión de los resultados entregados
por el software de simulación.
software. 3. Interpreta los resultados de la
simulación.
claro, correcto y eficiente. 3. Analiza los resultados
simulados y los verifica con los resultados teóricos.
Manejo de equipos de laboratorio
1. No reconoce e identifica los
equipos de medida disponibles y sus límites operativos.
2. Demuestra bajo nivel de conocimiento respecto a las variables eléctricas a medir.
3. No investiga catálogos asociados a los elementos y
equipos de medida disponibles en el laboratorio.
4. Baja comprensión de los riesgos eléctricos.
1. No tiene en cuenta los límites
operativos de los equipos medida.
2. Identifica los equipos de medida disponibles.
3. Demuestra claridad de las variables eléctricas a medir.
4. Investiga catálogos asociados a los elementos y equipos de
medida disponibles. 5. Comprende los riesgos
eléctricos.
1. Reconoce los límites operativos
de los elementos y equipos de medida.
2. presenta destreza en el manejo de los equipos de medida.
3. Escoge el mejor método para medir las variables eléctricas.
4. Expresa el conocimiento de catálogos asociados a los
elementos y equipos de medida disponibles.
5. Identifica los riesgos eléctricos.
1. Comprende las características físicas y eléctricas de los equipos
de medida. 2. Realiza un manejo adecuado y
correcto de los equipos de medida.
3. Realiza de manera adecuada la medición de variables eléctricas.
4. Utiliza y aplica los catálogos asociados a los elementos y
equipos de medida disponibles en el laboratorio.
5. Propone y establece un área de trabajo seguro.
Análisis de resultados
1. No comprende, ni analiza los resultados obtenidos en la
práctica. 2. Relaciona de manera inadecuada los datos
obtenidos en el laboratorio con simulación y cálculos
teóricos. 3. El estudiante realiza
demostraciones confusas y poco lógicas.
4. No reconoce el lenguaje
1. Identifica los resultados obtenidos en la práctica.
2. Identifica de manera adecuada los datos obtenidos
en el laboratorio con simulación y cálculos teóricos. 3. El estudiante realiza
demostraciones con dificultad siendo poco claras y
coherentes. 4. Conoce el leguaje técnico en
electricidad.
1. Comprende e interpreta los resultados obtenidos en la
práctica 2. Relaciona y comprende de manera adecuada los datos
obtenidos en el laboratorio con simulación y cálculos teóricos.
2. El estudiante realiza demostraciones claras y
coherentes. 4. Utiliza y relaciona el lenguaje
técnico en electricidad.
1. Analiza cada uno de los
resultados encontrados en la práctica con los conceptos
teóricos. 2. Construye su análisis en base a
las herramientas a su alcance (cálculos, gráficas, simulaciones,
mediciones).
3. El estudiante realiza demostraciones adecuadas y
relacionadas entre sí.
146
Tabla 2. Rubrica de evaluación.
técnico. 4. Usa adecuadamente el lenguaje técnico en electricidad.
Conclusiones
1. No comprende los requerimientos teóricos en su
aprendizaje. 2. no tiene claro el objetivo de
la investigación. 3. No defiende su argumento
1. Identifica los requerimientos teóricos en su aprendizaje.
2. Explica su análisis usando muy pocas referencias
bibliográficas. 2. No tiene claridad en la
argumentación de sus ideas.
1. Relaciona los requerimientos teóricos en su aprendizaje.
2. Investiga bibliografía adecuada para redactar sus conclusiones. 3. Construye un argumento bien
estructurado.
1. Comprende y aplica los requerimientos teóricos en su
aprendizaje. 2. Fundamenta y demuestra los conocimientos adquiridos con ideas claras y consistentes a
partir de su investigación bibliográfica.
3. Evalúa los conocimientos adquiridos.
147
Criterios de calificación
1. Especificación de los elementos de trabajo: Análisis de catálogos
de los instrumentos de medida.
Tener en cuenta los siguientes aspectos:
Rangos de tensión.
Rango de corriente.
Método de conexión del instrumento de medida.
Modo de funcionamiento y configuración.
Potencia máxima de los elementos e instrumentos de medida.
2. Fundamento teórico: Análisis del ejercicio situado, donde el
estudiante debe proponer y desarrollar una solución, teniendo en
cuenta los conceptos teóricos estudiados en clase, los cuales
pueden ser complementados por medio de la interacción con sus
compañeros.
Tener en cuenta los siguientes aspectos:
Dibujar el diagrama eléctrico del ejercicio.
Identificar l a s v a r i a b l e s c o n o c i d a s y d e s c o n o c i d a s
d e l e j e r c i c i o situado.
Realizar los cálculos respectivos.
3. Simulaciones: Utilizar un software de simulación apropiado que sirva
como herramienta para solucionar el ejercicio situado. El estudiante
debe conocer los alcances e interpretar los resultados del software.
Debe tener en cuenta los siguientes aspectos:
Diagrama de conexiones del sistema de medida.
148
Especificar la impedancia de entrada de los instrumentos de medida.
4. Manejo de equipos de laboratorio: Al ser identificados los
aspectos importantes del catálogo de los equipos de medida, se
observará la destreza y habilidad del estudiante para el manejo
adecuado de los instrumentos y elementos que deben ser usados en
el laboratorio.
Demostrar:
Habilidad en el manejo del instrumento.
Organización y orden para medir.
Trabajo en equipo y seguro en electricidad.
5. Análisis de resultados: Comparación y análisis de los datos
obtenidos en el laboratorio, las simulaciones y contenido teórico.
Debe presentar lo siguiente:
Sistematizar los datos tomados en el laboratorio.
Análisis y comparación de los datos obtenidos en el
laboratorio con los datos simulados y teóricos.
6. Conclusiones: Es el nivel de aprendizaje que el estudiante demuestra
luego de desarrollar la práctica. Logra relacionar los conceptos
obtenidos en el aula de clase y en el laboratorio (desarrollo del
ejercicio situado), para hacer una transferencia efectiva del
conocimiento a situaciones de la vida real. Describe de manera
específica los objetivos logrados en el laboratorio.
149
9 Lista de figuras
Figura 5.1 Sistema trifásico general. ........................................................................ 7
Figura 5.2 Fuente conectada en Y y carga conectada en Y. ................................... 8
Figura 5.3 Fuente conectada en Y y carga conectada en Y con neutro. ................. 8
Figura 5.4 Fuente conectada en Y y carga conectada en Delta. ............................. 9
Figura 5.5 Fuente conectada en Delta y carga conectada en Y. ............................. 9
Figura 5.6 Fuente conectada en Delta y carga conectada en Y. ........................... 10
Figura 5.1.1 Fuente trifásica conectada en Y. ....................................................... 12
Figura 5.1.2 Fuente trifásica conectada en Delta. .................................................. 12
Figura 5.1.3. Tensiones trifásicas. ......................................................................... 14
Figura 5.1.4 Secuencias de fases. (a) secuencia de fase positiva, (b) secuencia de
fase negativa.......................................................................................................... 14
Figura 5.1.5 Transformación de fuentes de tensión Y – Delta. .............................. 15
Figura 5.1.6 Equivalente de transformación de fuentes Y – Delta. ........................ 18
Figura 5.1.7 Transformación de fuentes de tensión Delta – Y. .............................. 18
Figura 5.1.8 Equivalente de transformación de fuentes Delta – Y. ........................ 20
Figura 5.1.9 Conexiones de cargas trifásicas. (a) Carga en conexión Y, (b) Carga
en conexión Delta .................................................................................................. 21
Figura 5.2.1 Conexión Y-Y balanceado. ................................................................ 24
Figura 5.2.2 Diagrama fasorial que muestra la relación entre tensiones de línea y
tensiones de fase. .................................................................................................. 26
Figura 5.2.3 Conexión Y-Y desbalanceado con neutro. ......................................... 28
Figura 5.2.4 Equivalentes monofásicos de un sistema trifásico en conexión Y-Y
desbalanceado con neutro. .................................................................................... 29
Figura 5.2.5 Conexión Y-Y desbalanceado sin neutro ........................................... 31
Figura 5.2.6 Análisis de mallas para un circuito en conexión Y-Y desbalanceado
sin neutro. .............................................................................................................. 31
Figura 5.2.7 Conexión Delta - Delta balanceado. .................................................. 33
Figura 5.2.8 Conexión Delta - Delta desbalanceado. ............................................. 35
Figura 5.2.9 Conexión Y - Delta balanceado. ........................................................ 37
Figura 5.2.10 Diagrama fasorial que muestra la relación entre las corrientes de
fase y las corrientes de línea. ................................................................................ 40
Figura 5.2.11 Conexión Y - Delta desbalanceado.................................................. 41
Figura 5.2.12 Conexión Delta - Y balanceado. ...................................................... 42
Figura 5.2.13 Conexión Delta - Y desbalanceado.................................................. 45
150
Figura 5.2.14 Circuito monofásico equivalente de un circuito en conexión Y - Y
balanceado. ........................................................................................................... 46
Figura 5.2.15 Circuito monofásico equivalente de un circuito en conexión Delta -
Delta balanceado. .................................................................................................. 47
Figura 5.2.16 Circuito monofásico equivalente de un circuito en conexión Y - Delta
balanceado. ........................................................................................................... 48
Figura 5.2.17 Circuito monofásico equivalente para un circuito en conexión Delta -
Y balanceado. ........................................................................................................ 50
Figura 5.3.1. Circuito con carga trifásica conectada en Y y con pérdidas en las
líneas de transmisión ............................................................................................. 52
Figura 5.3.2. Circuito con carga trifásica conectada en Delta y con pérdidas en las
líneas de transmisión. ............................................................................................ 53
Figura 5.3.3. Conexión Y-Y balanceado con pérdidas en las líneas de transmisión.
............................................................................................................................... 54
Figura 5.3.4 Conexión Y –Y desbalanceado con pérdidas en las líneas de
transmisión............................................................................................................. 56
Figura 5.4.1 Triangulo de potencias y análisis para corrección del factor de
potencia. ................................................................................................................ 63
Figura 6.2.1 Disposición de equipos de medida para realizar medición de potencia
activa por método de los tres elementos. .............................................................. 69
Figura 6.2.2 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos.
............................................................................................................................... 72
Figura 6.2.3 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos
en una conexión estrella con neutro artificial. ........................................................ 73
Figura 6.2.4 Montaje de equipos de medida para el método de los tres elementos
en una conexión delta. ........................................................................................... 74
Figura 6.2.5 Circuito para realizar análisis del método de Aron ............................. 75
Figura 6.2.6 Método de Aron primera forma de conexión, fase a de referencia. ... 77
Figura 6.2.7 Método de Aron segunda forma de conexión, fase b de referencia. .. 81
Figura 6.2.8 Método de Aron tercera forma de conexión, fase c de referencia. .... 85
Figura 7.1.1. Circuito balanceado conexión Y-Y .................................................. 100
Figura 7.1.2. Circuito balanceado conexión Y-Y con la 𝑍𝑒𝑞 calculada ................ 101
Figura 7.1.3 Circuito balanceado conexión Δ-Δ. .................................................. 104
Figura 7.1.4. Circuito balanceado conexión Y-Δ. ................................................. 108
Figura 7.1.5. Circuito balanceado después de convertir la carga de Δ a Y .......... 109
Figura 7.1.6. Equivalente monofásico para circuitos balanceados. ..................... 109
Figura 7.1.7. Circuito balanceado conexión Δ-Y. ................................................. 112
Figura 7.1.8. Circuito balanceado después de convertir la fuente de Δ a Y ......... 113
Figura 7.1.9. Equivalente monofásico para circuitos balanceados. ..................... 113
151
Figura 7.1.10. Circuito balanceado conexión Y-Y con pérdidas en la línea. ....... 115
Figura 7.1.11. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en
la línea. ................................................................................................................ 116
Figura 7.1.12. Circuito balanceado conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas. .... 119
Figura 7.1.13. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en
la línea. ................................................................................................................ 120
Figura 7.1.14. Circuito balanceado conexión Y-Δ con pérdidas en la línea. ........ 122
Figura 7.1.15. Circuito balanceado después de convertir la carga de Δ a Y con
pérdidas en la línea. ............................................................................................. 123
Figura 7.1.16. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en
la línea. ................................................................................................................ 123
Figura 7.1.17. Circuito balanceado conexión Δ-Y con pérdidas en la línea. ........ 128
Figura 7.1.18. Circuito balanceado después de convertir la fuente de Δ a Y con
pérdidas en la línea. ............................................................................................. 129
Figura 7.1.19. Equivalente monofásico para circuitos balanceados con pérdidas en
la línea. ................................................................................................................ 129
Figura 7.2.1. Circuito desbalanceado conexión Y-Y sin pérdidas en la línea. ..... 131
Figura 7.2.2. Análisis de mallas para conexión Y-Y desbalanceado sin neutro. .. 132
Figura 7.2.3. Circuito desbalanceado conexión Δ-Δ ............................................ 135
Figura 7.2.4. Circuito desbalanceado conexión Y-Δ ............................................ 137
Figura 7.2.5. Análisis de mallas para conexión Y-Y desbalanceado. ................... 138
Figura 7.2.6. Circuito desbalanceado conexión Y-Y con pérdidas en la línea. .... 141
Figura 7.2.7. Análisis de mallas para conexión Y-Y con pérdidas en la línea
desbalanceado sin neutro. ................................................................................... 142
Figura 7.2.8. Circuito desbalanceado conexión Δ-Δ con pérdidas en las líneas. . 145
Figura 7.2.9. Análisis de mallas para conexión Δ-Δ desbalanceado.................... 145
10 Lista de simulaciones
Simulación 7.1.1. Circuito propuesto para las magnitudes de las corrientes de
línea. .................................................................................................................... 102
Simulación 7.1.2. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación. ............ 103
Simulación 7.1.3. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio. ............. 103
Simulación 7.1.4. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de fase. ............................................................................................... 105
Simulación 7.1.5. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación. ............ 106
152
Simulación 7.1.6. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio. ............. 107
Simulación 7.1.7. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 111
Simulación 7.1.8. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de fase. ............................................................................................... 111
Simulación 7.1.9. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 114
Simulación 7.1.10. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 117
Simulación 7.1.11. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación. .......... 118
Simulación 7.1.12. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio. ........... 118
Simulación 7.1.13. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 125
Simulación 7.1.14. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de fase. ............................................................................................... 126
Simulación 7.1.15. Forma de conexión del osciloscopio en la simulación. .......... 126
Simulación 7.1.16. Datos arrojados en la simulación por el osciloscopio. ........... 127
Simulación 7.1.17. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 130
Simulación 7.2.1. Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 134
Simulación 7.2.2 Simulación del circuito propuesto para las magnitudes de las
corrientes de línea. .............................................................................................. 144
11 Lista de tablas
Tabla 1. Resultado de notas de estudiantes que cursaron circuitos II. .................... 1
Tabla 2. Rubrica de evaluación. ........................................................................... 146
Tabla 3. Análisis Estadístico de circuitos II ......................................................... 153
153
Anexo 1
Análisis Estadístico
Análisis De Circuitos II (Circuitos En Corriente Alterna)
Año Semestre Grupos Estudiantes
Inscritos
Estudiantes
Reprobados
Porcentaje
De
Aprobación
[%]
Porcentaje
De
Reprobación
[%]
2014 2014-I
072-221 7 3 57,1 42,9
072-223 21 5 76,2 23,8
072-223 10 5 50 50
Total 38 13 65,8 34,2
2015
2015-I
072-221 20 15 25 75
072-222 26 5 80,8 19,2
Total 46 20 56,5 43,5
2015-III
072-221 21 17 19 81
072-222 22 18 18,2 81,8
Total 43 35 18,6 81,4
2016
2016-I
072-221 7 2 71,4 28,6
072-222 20 2 90 10
Total 27 4 85,2 14,8
2016-III 072-221 14 13 7,1 92,9
Total 14 13 7,1 92,9
2017 2017-I 572-221 3 3 0 100
Total 3 3 0 100
Tabla 3. Análisis Estadístico de circuitos II
154
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