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Instituto Tecnológico y de Estudios Superioires de Monterrey
Campus Estado de México
Estrategias Evolutivas para la Programación Lógica Inductiva
Trabajo de investigación que, para obtener ei grado de
MAESTRO EN CIENCIAS COMPUTA.CIONALES
presentó lng. Jorge Adolfo Ramírez Uresti
Siendo integrado el jurado por
Dr. Juan Francisco Corona Burgueño: Presidente
Dr. Héctor Saldaña Aldana: Secretario
Dr. Isaac Rudomín Goldberg: Sinodal
Dr. Osear Chavoya Aceves: Sinodal y Asesor
B;
Mayo de 1994.
\ \ '
, Indice.
Resumen ...................................................................................................... 1
Introducción ................................................................................................. 2
Capítulo 1. Algoritmos Genéticos ................................................................. 5
Capítulo 2. Programación Genética ............................................................... 15
Capítulo 3. Cálculo Proposicional ................................................................. 24
Capítulo 4. Lenguajes de Primer Orden ......................................................... 35
Capítulo 5. El Sistema de Lógica Inductiva ................................................... 48
5 .1 El programa F AMIL Y .LSP ......................................................... 50
5 .2 El programa GAFBFCPl .LSP ......................... : ........................... 54
5.3 El programa SEMAN.LSP .......................................................... 56
5.4 El programa EEPPLI.LSP .......................................................... 58
Capítulo 6. Resultados .................................................................................. 60
Conclusiones ................................................................................................ 66
Apéndice A. Resultados del Sistema.
A. l Utilizando la primera función de mérito ...................................... 68
A.2 Utilizando la segunda función de mérito ..................................... 72
Referencias ................................................................................................... 77
Bibliografia ................................................................................................... 79
Resumen.
El presente trabajo de tesis expone un Sistema de Lógica Inductiva mediante el cual se hacen evolucionar expresiones dentro de un lenguaje de primer orden.
Se adapta el modelo de Programación Genética, desarrollado por Koza[4], para que utilice fórmulas bien formadas del cálculo de pn!dicados de primer orden como estructuras de procesamiento en la población.
Las fórmulas son evaluadas de acuerdo a una función de mérito, diseñada especialmente para esta tesis, que permite obtener expresiones válidas en un universo de discurso dado.
Las relaciones obtenidas por este Sistema de Lógica Inductiva permiten describir de una manera sencilla y concreta el universo de discurso analizado.
Introducción.
Los lenguajes de programación lógica (PROLOG) permiten manipular directamente el conjunto de relaciones y funciones existentes en determinada estructura, que se representan mediante fórmulas bien formadas del cálculo de predicados de primer orden. Una vez conocido un conjunto suficientemente grande de expresiones lógicas válidas (axiomas), e:s posible obtener otras, implícitamente contenidas en las expresiones de partida, usando los algoritmos de prueba. La definición de un sistema de esta naturaleza requiere del conocimiento previo de los axiomas, que se extraen a partir de un conjunto de observaciones (hechos), mediante un proceso todavía no muy bien comprendido, en el que, a diferencia del proceso común y corriente de inferencia lógica se va de lo particular a lo general, conocido como razonamiento inductivo.
El estudio de los procedimientos formales de inducción se remonta a Carnap (1952), que desarrolló métodos estadísticos para validar propuestas teóricas dentro del cálculo de predicados de primer orden[2]. En las décadas de los setentas y los ochentas, Plotkin[6] y Shapiro[l4] desarrollaron sistemas de lógica inductiva dentro del cálculo de predicados de primer orden. Sin embargo los mayores éxitos fueron obtenidos dentro de los límites del cálculo proposicional; tal es el caso del algoritmo ID3[7,8], que utiliza el concepto informacional de entropía para la generación de un conjunto de reglas para la clasificación de objetos a partir del conocimiento de determinados atributos.
En 1989 Quinlan describió el programa FOIL[9, 1 O] que es una generalización natural de ID3 para la generación de cláusulas de Horn de primer orden. Este sistema explota la información de un número muy grande de ejemplos para guiar la búsqueda de un programa. Un año después, Muggleton y Feng
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desarrollaron el programa GOLEM[ 5] que genera cláusulas como la generalización condicional menos general de dos ejemplos en el contexto del conocimiento previo disponible, superando los resultados alcanzados con FOIL. A finales de 1991, Quinlan desarrolló su segunda versión de FOIL[ll] donde adaptó la estrategia de Muggleton llamada literales determinantes para poder desarrollar fórmulas de primer orden a partir de datos estructurados.
Considerando que el concepto de generalización condicional menos general es intrínsecamente poco claro e implica la idea de optimización, el objetivo del presente trabajo de tesis es desarrollar un esquema de lógica inductiva basado en estrategias evolutivas, concretamente en el modelo de programación genética desarrollado por Koza para hacer evolucionar expresiones dentro de un lenguaje de programación de alto nivel.
En el primer capítulo se hace una breve introducción a los problemas de optimización, recalcando ventajas y desventajas de las metodologías tradicionales para la solución de los mismos. Se describen brevemente a las Estrategias Evolutivas[l2,13] desarrolladas en Europa para pasar al modelo de Algoritmos Genéticos[3] en donde, se describen, con mayor detalle, los operadores de reproducción, cruzamiento y mutación. Finalmente, el capítulo termina explicando el teorema de los esquemas, base de los algoritmos genéticos.
En el segundo capítulo, se explica el modelo de Programación Genética desarrollado por Koza[ 4]. Principalmente se hace énfasis· en las diferencias de este modelo con el de algoritmos genéticos, siendo la más importante, la referente al tipo de estructuras utilizadas para encontrar la solución de un problema de optimización.
En el capítulo tercero se habla sobre Cálculo Proposicional haciéndose una pequeña introducción sobre la necesidad del mismo. Se define la estructura sintáctica, necesaria para la construcción de afirmaciones en un lenguaje lógico, y la estructura semántica, utilizada para interpre1¡ar las proposiciones del lenguaje.
En el cuarto capítulo se introducen los Lenguajes de Primer Orden. Nuevamente, se hace un pequeño análisis de la nece:sidad de estos lenguajes y se definen los procedimientos para la construcción e interpretación de las Fórmulas Bien Formadas del Cálculo de Predicados de Primer Orden. Este tipo
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de fórmulas se hacen evolucionar en el sistema desarrollado en este trabajo de tesis, para obtener nuevas fórmulas que describen una estructura concreta o abstracta.
En el quinto capítulo se explica el sistema desarrollado: Sistema de Lógica Inductiva. Se justifica la selección de LISP como lenguaje de programación de alto nivel para la implementación del esquema desarrollado. Cada uno de los programas que conforman el sistema, es descrito en cuanto a su función dentro del sistema y su modo particular de operación.
En el sexto capítulo, se describen los resultados obtenidos durante el desarrollo del sistema. Se analizan los resultados parciales y se justifican los cambios realizados a las primeras versiones del sistema para poder llegar a la solución del problema planteado en esta tesis: desarrollar un. esquema de lógica inductiva basado en estrategias evolutivas para hacer evolucionar expresiones dentro de un lenguaje de alto nivel.
Finalmente, se presentan las conclusiones a las que se 1lega con el desarrollo de ésta tesis.
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Capítulo 1
Algoritmos Genéticos.
En computación, gran parte de los esfuerzos realizados tienen como objetivo la búsqueda de soluciones a problemas de optimización. Un problema de optimización se define como la búsqueda del mejor punto en un espacio ndimensional. Este punto ( o puntos) puede ser un valor máximo ( o mínimo) de una función a la que se conoce como función objetivo (función de mérito).
Existen metodologías tradicionales para la solución de estos problemas de optimización que se pueden dividir en tres grandes ramas de acuerdo a la forma en la que obtienen la solución a un problema.
Los procedimientos de búsqueda aleatorios, como su nombre lo indica, basan su estrategia en la generación, al azar, de puntos en el. dominio de definición de una función guardando aquél que más se acerque al óptimo (ej. en maximización se guarda el valor más alto). Naturalmente este tipo de algoritmos no son eficientes ya que, aunque pueden llegar a ser eficaces, si el espacio de búsqueda es demasiado grande, el tiempo necesario para encontrar la solución puede ser excesivo para que los resultados sean útiles.
Los métodos más utilizados en la optimización de funciones son aquellos que utilizan información obtenida de la función objetivo que generalmente implica el cálculo de derivadas de primero y segundo orden. Los problemas surgen cuando estas nociones matemáticas no están bien definidas en todo el espacio
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de búsqueda o cuando la topología del espacio es demasiado compleja y el algoritmo converja a un punto (mínimo o máximo) local.
Para problemas con dominios discretos, se puede ver el problema de optimización como una búsqueda en un espacio finito de estados. Existen algoritmos para resolver este tipo de problemas, como el de búsqueda del primero en profundidad o el de búsqueda del primero en anchura, que generan estados en el espacio de búsqueda, a partir de un conjunto finito de reglas, hasta encontrar una solución al problema. La principal desventaja en este tipo de métodos es la explosión combinatoria, es decir, si e] dominio de la función a optimizar es demasiado amplio, el tiempo de búsqueda de la solución crece exponencialmente y por lo tanto los algoritmos dejan de ser eficientes.
Una solución al problema de explosión combinatoria es utilizar una función heurística. Una función heurística permite guiar la búsqueda de la solución utilizando algún conocimiento a priori sobre el problema de optimización. Su principal desventaja es la posible pérdida de la solución si no se planteó correctamente la función heurística.
En la búsqueda de algoritmos más robustos para la s,olución de problemas de optimización definidos sobre dominios discretos, e:n el sentido de que la solución sea encontrada en un tiempo aceptable, surgen las estrategias evolutivas y los algoritmos genéticos.
Las estrategias evolutivas son desarrolladas en Europa por Rechenberg[l2] en 1973, continuando este trabajo Schwefel[l3]. Son algoritmos que intentan reproducir los procedimientos naturales de evolución para la solución de problemas de optimización de parámetros. En esta metodología, se plantea la
optimización de una función f:"Rn ~ "R, llamada la función objetivo, sujeta a las
siguientes restricciones: g/x) ~ o VJ E{l, ... ,m} dondt: g1
:"Rn ~"R.
La estrategia más sencilla es la (1 + 1 )-ES. Utiliza una población conformada por dos vectores reales n-dimensionales denominados: padre e hijo, respectivamente. Inicialmente la población contiene un solo elemento, el padre:
i' = (x;,---,x~); a partir de él se obtiene, por medio de operaciones de mutación,
un hijo: x"=(x;+o1,···,x~+bJ=(x{:···,x~'), que junto con su ancestro será evaluado de acuerdo a la siguiente regla de selección:
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J(x") ~ J(x') /\ ( Vj g/x") ~ o)
entonces el hijo será considerado como padre en la siguiente generación, en caso contrario, continua el mismo padre. Este procedimiento se reitera hasta que se cumpla la condición de terminación.
Existen otras estrategias llamadas (µ + 1) - ES, (µ + 2) - ES y (µ, 2) - ES que son
generalizaciones del concepto (1 + 1 )-ES.
Al tiempo que las estrategias evolutivas eran desarrolladas en Europa, surgieron en América los algoritmos genéticos en la Universidad de Michigan bajo la dirección de Holland[3].
Los algoritmos genéticos son procedimientos de búsqueda para la solución a problemas de optimización. Utilizan el principio darwiniano de sobrevivencia del individuo mejor adaptado, así como una serie de operaciones de intercambio entre estructuras de información para la obtención de la solución óptima a un problema determinado.
A diferencia de otras metodologías de optimización de funciones, los algoritmos genéticos utilizan una codificación de los parámetros de la función (en vez de los mismos) mediante cadenas de caracteres.
La codificación se realiza de la siguiente manera:
• Se define la función objetivo f que se va a analizar. • Se determina otra función g, en base a los parámetros de la función, que
asocie a una cadena de caracteres un punto en el dominio de la función objetivo.
Estas cadenas se determinan entonces, en base a los siguientes lineamentos:
• Se define un alfabeto L de cardinalidad K.
• A partir del alfabeto generar cadenas de caracteres C (cromosoma) de longitud f que representen el(los) parámetro(s) utilizado(s) en la función objetivo f.
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Un ejemplo de los conceptos anteriores es: maximizar la función J(x) = x + I en el inteivalo [0,255].
La función de codificación para este ejemplo es:
l-l
x= g(C) = ¿te; i=O
En donde el parámetro x es representado por cadenas de caracteres
C = ct_1ct-2 · · · c1c0 de longitud e = 8 definidas sobre el alfabeto binario L = { O, 1}. En base a esto, una posible cadena es:
e= 00101101
que representa a el punto x = 45 en el dominio de la función objetivo.
La búsqueda de la solución en este tipo de procedimientos utiliza una población de puntos en vez de uno sólo y se guía mediante el valor de la función objetivo en cada uno de los puntos de la población. Estos hechos representan ventajas de los algoritmos genéticos sobre las metodologías tradicionales de optimización:
1. Al analizar un conjunto de puntos, se reduce la posibilidad de que la solución sea un mínimo (máximo) local
2. No es necesario conocer infonnación adicional de la función objetivo (derivadas, gradiente, etc.), que puede no existir.
El algoritmo genético más simple, utiliza tres operaciones que se basan en la copia total, copia parcial e intercambio de infonnación entre los cromosomas. Esta operaciones son:
• Reproducción. • Recombinación de la infonnación (Crossover). • Mutación.
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El primer paso en un algoritmo genético, es generar una población de n cromosomas, de la misma longitud, de manera aleatoria. Esta población es la población activa durante todo el proceso de búsqueda.
Durante el proceso de reproducción, las cadenas son copiadas de la población activa a otra población auxiliar del mismo tamaño. No todos los individuos en la primera población son copiados a la auxiliar. La copia de cada cromosoma se realiza de acuerdo a su valor en la función objetivo; con esta condición, se imita el principio de Darwin, de supervivencia del individuo mejor adaptado a un medio ambiente dado, y es conocida como: función defitness.
La implementación de esta operación de reproducción se puede realizar de varias maneras de acuerdo a las necesidades de cada caso. Una de las opciones más sencillas de codificación resulta al utilizar la probabilidad que cada individuo en la población tiene de sobrevivir, de la siguiente forma:
Sea P = ( x0 , x1,. • ·, x"_2 , x"_J una población de n individuos. La probabilidad de supervivencia de cada individuo x esta dada por la función:
i=O
Para seleccionar los individuos a ser copiados a la población auxiliar, se genera un número de manera aleatoria y se le va restando el valor de fitness de cada cromosoma en la población activa, tomándolos, de manera secuencial. Cuando el número sea menor o igual a cero, se copia el individuo actual en la población activa a la población auxiliar. El proceso se repite el número de veces que sea necesario para que la población auxiliar contengan elementos. De esta manera, se tiene una población auxiliar que contiene los mejores individuos de la población activa.
Una vez que se ha realizado la reproducción, el siguiente paso es la recombinación de la información. Este proceso consta de dos partes. Primero, se seleccionan de manera aleatoria, dos individuos de la población auxiliar obtenida durante el proceso de reproducción. Y a elegidos los individuos, se escoge al azar una posición J a lo largo de un cromosoma y, segundo, se
9
procede a intercambiar los caracteres de la pos1c1on 1 a la J del primer individuo en lugar de los del segundo y de la posición J + 1 a la e del segundo individuo en lugar de los caracteres del primero. Se: crean así dos nuevos cromosomas que reemplazan, a los dos seleccionados P3:fª recombinación, en la población auxiliar. Este operador se ilustra en la siguilente figura:
Padres
1100
0001
1111
0110 )
Hijos
11000110
00011111
La recombinación de información tiene como objetivo la creación de nuevos individuos a partir de aquellos que han demostrado ser los mejores de una población y de esta manera poder explorar nuevos puntos en el dominio de la función a optimizar. Se espera que los nuevos cromosomas sean mejores que sus antecesores. El siguiente es un ejemplo de esta opt::ración:
Se tienen dos cromosomas de longitud e = 8 definidos sobre el alfabeto binario
L = {0,1}:
e1 = 11000010 y e2 = 10101000
y se escoge al azar un punto J = 6 para realizar la recombinación de información. De acuerdo con lo anterior, se deben de reemplazar los caracteres de e1 de las posiciones 1 a la 6 en lugar de los de C2 , es decir, se toman los caracteres 110000 del primer cromosoma y se copian en lugar de los caracteres 101010 del segundo cromosoma para obtener un nuevo individuo e;= 11000000.
De igual forma se reemplazan los caracteres oo de e2 en lugar de los caracteres
10 de e1 creando al individuo e;= 10101010. Finalmente se hace e1 = e; y e2 = e;.
El último de los operadores por explicar es el de mutación. La mutación en los algoritmos genéticos es el cambio de un carácter de un cromosoma por otro carácter contenido en el alfabeto L. Volviendo al ejemplo anterior, la mutación resulta al cambiar un 1 por un o o viceversa. Generalmente esta operación se realiza al mismo tiempo que la recombinación de la inforn:iación en el momento en que se están copiando los caracteres de un cromosoma a otro. El objetivo de este operador es crear nuevos puntos, que no podrían ser obtenidos por simple
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recombinación de la información, y así prevenir la posible convergencia prematura del algoritmo genético a un mínimo o máximo local.
Para terminar de explicar el procedimiento básico de un algoritmo genético, se debe de definir la manera en que se desarrollan los eventos:
1. Se crea una población aleatoria (población activa) de cromosomas de tamaño n.
2. Se aplica el operador de reproducción a la población activa para obtener una nueva población (población auxiliar).
3. Se aplica el operador de recombinación de la información a la población auxiliar. Si se desea se puede aplicar al mismo tiempo el operador de mutación.
4. Se reemplaza la población activa por la población auxiliar. Queda por lo tanto, la población a la que se le aplicaron los operadores genéticos como población activa.
5. Si se cumple la condición de terminación ir al paso 6, si no ir al paso 2.
6. Terminar asignando como resultado del algoritmo genético la población activa o el(los) mejor(es) individuo(s) en ella.
Debido a que el algoritmo genético analiza una serie de puntos en un tiempo t, se dice que la búsqueda que realiza es en paralelo.
Hasta el momento se han explicado los operadores básicos de un algoritmo genético y se ha dicho que mediante ellos este procedimiento de búsqueda es suficientemente robusto. Es entonces el momento de explicar el Teorema de los Esquemas, que demuestra la manera en que se realiza el procesamiento de la información codificada en los cromosomas y la forma como converge el algoritmo genético.
Las cadenas de caracteres como tales, no son la causa de que el algoritmo genético funcione. La evolución en los cromosomas para poder encontrar la solución a un problema de optimización, es producida por la explotación de
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similaridades en las cadenas, permitiendo gmar de esta manera el procedimiento de búsqueda.
La idea principal en la búsqueda de similaridades es: encontrar cromosomas que sean parecidos a otros, en ciertas posiciones de la cadena. Para poder hacer esto, se define el concepto de esquema: un esquema es un patrón que describe un conjunto de cadenas similares entre si en ciertas posiciones dentro de ellas, es decir, un esquema H = e1 ···en describe a un cromosoma C = c1 ... en si y sólo si
c1 = e1 siempre y cuando e1 :t:*. Por ejemplo:
Sean
C1 = 1000
c2 = 1101
C3 = 1111
tres cromosomas definidos sobre el alfabeto binario L = { o, I}. Un esquema que describe estas cadenas es:
H = 1***
Este esquema describe a todas las cadenas de longitud e = 4 cuyo pnmer elemento es 1 .
De acuerdo a lo anterior, para un alfabeto L de cardinalidad K existen (K+ 1l esquemas posibles y se pueden crear Ke individuos distintos. Si analizamos una población de n cadenas, podemos ver que cada población contiene entre 2e y n-2e esquemas diferentes ya que cada cromosoma puede ser representado por 2t esquemas. Estos datos, permiten ver la magnitud de información que esta procesando el algoritmo genético en cada ciclo.
Obviamente entre los esquemas existen similaridades y diferencias. Para poder
medirlas se utilizan los conceptos de: orden de un esquema o(H) y longitud de
definición 8.._H). El orden de un esquema o(H) se define como el número de
posiciones fijas dentro del patrón. La longitud de definición 8.._H) se define como la distancia entre la primera y la última posición fija en el esquema.
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Ya definidas las propiedades de los esquemas, se puedt:: analizar el efecto que tienen los operadores de reproducción, recombinación de la información y mutación sobre los cromosomas y en general sobre los bloques constructores. Estos últimos son esquemas de longitud corta, altamente adaptados al medio en el que se desenvuelven.
Se denota como M(H,t) al conjunto de individuos presentes en la población
activa de tamaño n, en el tiempo t, que pertenecen al esquema H. El número de esquemas representados por el esquema H en el tiempo 1+ 1 es
M(H,t + 1) = M(H,1)1; = M(H,1/>H)
n
donde f(H) es el fitness promedio de los cromosomas representados por el
esquema H en el tiempo t y¡; es eljitness de un elemenito en población.
Para tener una noción cualitativa del crecimiento de los esquemas en el tiempo t+ 1 se supone que un esquema se encuentra por arriba del promedio en una
proporción e] donde e es una constante. Esta consideración lleva a la siguiente forma exponencial:
(J +e]) i
M(H,t) = M(H,O) - = M(H,0)-(1 +e) f
De esta forma, se puede ver el efecto de la reproducción sobre los esquemas; el operador de reproducción copia de manera exponencia] un número ( creciente o decreciente) de esquemas en la siguiente población dependiendo de su fitness promedio (alto o bajo).
Para ver la forma en que la recombinación de información afecta a los esquemas, hay tener en cuenta que esta operación puede destruir un esquema. Un esquema es destruido si se separan la primera y la última posición fija dentro de el; la probabilidad de que esto ocurra esta dada por:
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d.._H) Pd=~-( -) f-1
donde ~ es la probabilidad de que ocurra la recombinación de información.
La mutación también puede destruir un esquema cuando afecta a una de las
posiciones fijas, esto se da con una probabilidad Pm -o(H) para valores muy
pequeños de la probabilidad de mutación (Pm << 1).
Al conocer estas probabilidades, se puede obtener una cota inferior del número de copias que un esquema dado, en un tiempo t, recibirá en el tiempo t+ 1 bajo el efecto de la reproducción, recombinación de la información y mutación:
J(H) M(H,t + 1) ~ M(H,t)·---[1- Pd -Pm -o(H)]
f
De esta formula se obtiene una conclusión, llamada Teorema de los esquemas, que es la base de los algoritmos genéticos: esquemas de longitud pequeña, orden bajo y fitness arriba del promedio de la población, son copiados de manera exponencial en las siguientes generaciones.
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Capítulo 2
Programación Genétic~a.
El modelo de programación genética fue desarrollado por Koza[ 4] con el objeto de ampliar la aplicabilidad de las estrategias evolutivas en la solución de problemas de inteligencia artificial, aprendizaje de máquinas y procesamiento simbólico. Koza asegura, que muchos de los problemas antes mencionados, requieren del "descubrimiento" de un programa de computadora que produzca una salida deseada de acuerdo a una entrada dada; es decir, propone buscar un programa, dt entre un conjunto de programas posibles (inducción de un programa), que resuelva un problema específico.
Las estructuras de datos utilizadas en el modelo de programación genética, difieren de aquellas estructuras especializadas. utilizadas por otras metodologías como el algoritmo genético. Esta representación por medio de estructuras especializadas, citando a Koza, "limita la ventana a través de la cual el sistema mira al mundo". Las limitaciones principales son:
• Limitación del tamaño de la solución.
• Limitación de la forma en la que es dada la respuesta.
• Dificultad para representar jerarquías por medio de estructuras especializadas ( cadenas de caracteres de tamaño fijo).
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En lugar de estas estructuras, se propone la utilización de programas que pueden estar escritos en, casi, cualquier lenguaje: de programación (C, FORTRAN, PASCAL, LISP, etc.). Koza elige LISP para implementar su modelo; sus principales razones son:
• En LISP los programas y los datos tienen la misma forma.
• LISP evalúa cualquier información que le es presentada.
• Las expresiones simbólicas (listas o átomos) pueden ser vistas de manera gráfica como un árbol etiquetado con raíz. Este árbol es equivalente a el árbol de parseo que muchos compiladores utilizan internamente para representar un programa de computadora.
• La programación de estructuras de forma y tamaño variable es sencilla.
Un ejemplo de las expresiones simbólicas utilizadas en LISP es:
(AND (> A B) r)
que puede ser representado de manera gráfica por el siguiente árbol:
Las estructuras en el modelo de programación genética son el conjunto de todas las combinaciones posibles de funciones que pueden ser compuestas
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recursivamente a partir de el conjunto de funciones F = {J;, f 2 , • • ·, Ín-i, fn} y
del conjunto de terminales T= {t¡,t2 ,··,tm_1,1J. Cada una de las funciones
acepta un número de terminales z(J) como argumentos. La funciones pueden ser:
• Operaciones aritméticas.
• Funciones matemáticas.
• Operaciones booleanas.
• Operadores lógicos.
• Funciones recursivas.
• Operadores iterativos.
• Funciones de dominio específico.
El conjunto de terminales generalmente contiene constantes, que pueden ser lógicas o numéricas, y variables, que representan las entradas, los sensores o las variables de estado de algún sistema.
Recordando el ejemplo anterior, su conjunto de flll1ciones es F = {AND ,>}
y el de terminales T= {A,B,T}. Cada una de las funciones acepta como parámetros a dos elementos del conjunto T.
La selección de las funciones y terminales debe de cumplir con las condiciones de suficiencia y cerradura. La condición de cerradura especifica que cualquier función contenida en F debe de estar bien definida para cualquier combinación de argumentos que puedan ser generados durante la operación de recombinación de la información. Para cumplir con la condición de suficiencia, se deben de _escoger las funciones y los terminales que sean necesarios para poder representar la solución del problema.
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Claramente se puede ver, que el espacio de búsqueda del modelo está compuesto por un conjunto de estructuras válidas, equivalente a un espacio de árboles con raíz etiquetados con funciones en sus nodos internos y terminales en sus hojas. De esta mane:ra se pueden construir estructuras que pueden tener distinto tamaño y forma además de poder representar eficientemente jerarquías.
Al iniciar el modelo de programación genética, se debe de generar una
población P=(S0 ,S1,--,Sn_2 ,Sn_J que contienen árboles etiquetados con
raíz. La generación de cada árbol se debe de hacer aleatoriamente a partir del conjunto C = Fu T, de la siguiente manera: cada vez que se genera w1 nodo, se determina si es función o no, si lo es, s{: generan un número de nodos igual al número de argumentos que acepta y se expanden hasta que ya no sea posible. El caso del primer nodo es especial, ya que se desea que la población inicial contenga árboles, no hojas, es decir, si el elemento seleccionado como primer nodo es un terminal, éste, no se expande y por lo tanto se obtiene una hoja. Pare evitar este inconveniente, se debe de seleccionar un elemento del conjw1to F como primer nodo del árbol.
Durante la generación de la población iniciaL, se puede prevenir la existencia de individuos iguales que reducen la diversidad genética de la población; de esta manera, se garantiza que la variedad, al iniciar el modelo, es de un 100%.
Al igual que en los algoritmos genéticos, se deh~ de asociar una medida de mérito a cada individuo en la población llamada: jitness. Éste valor es utilizado para guiar la búsqueda de la solución y permite simular el principio de evolución de Darwin.
La reproducción en la programación genética es un proceso de selección similar al de los algoritmos genéticos: se elige al azar un individuo de la población P y se copia a otra población auxiliar P' de acuerdo su probabilidad de supervivencia. Es decir, es un proceso de reproducción asexual en el que de un solo individuo nace otro.
La operación de recombinación de la información tiene como objetivo la creación de nuevos individuos a partir de dos padres. Estos nuevos
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individuos permiten la exploración de nuevos programas en el espacio de posibles programas computacionales. La recombinación se lleva acabo de la siguiente manera:
• Se seleccionan aleatoriamente dos individuos de la población P'.
• Se elige al azar un nodo, que generalmente es la raíz de un subárbol, para cada uno de los individuos seleccionados anteriormente.
• Se reemplaza el subárbol seleccionado en el primer individuo por él elegido en el segundo, creando así, el primer h:ijo. La misma operación se realiza para el segundo individuo.
• Se sustituyen los padres por sus hijos en la población.
Se debe hacer notar, que los nodos elegidos para cruzamiento son generalmente distintos, debido a que los individuos en la población son de distinta forma y tamaño. Para una mejor comprensión de esta operación, se expone el siguiente ejemplo:
Sean A1 y ~ dos individuos elegidos para cruzamiento (al azar) y generados aleatoriamente a partir de los siguientes conjuntos de fórmulas y terminales:
F = {AND ,OR, NOT}
T= {A,B,C}
Se enumeran los dos árboles utilizando el método de pnmero en profundidad. Gráficamente A1 tiene la siguiente forma:
19
3
6
3 7
4
Se selecciona el nodo 2 del primer árbol y el nodo 6 del segundo para recombinación. Los subárboles a reemplazar son entonces:
3
20
55;;L.Oo/
4
para A1, y
6
7
en el caso de A2 •
Se realiza el cruzamiento en el pnmer árbol dando por resultado el siguiente hijo:
2 4
3
De la misma manera, el segundo hijo es:
21
3
4
Nótese que los árboles obtenidos durante el proceso- de recombinación de la información están bien definidos de acuerdo a los lineamientos anteriormente establecidos, es decir, debido a que los subárboles son reemplazados por otros subárboles y a la propiedad de cerradura, el cruzamiento produce expresiones simbólicas legales.
El operador de mutación en el modelo de programación genética no existe como tal, es decir, no se define una operación de mutación. La razón de su ausencia es muy simple: al realizarse la recombinación de la infonnación, puede darse el caso en que sean seleccionados como nodos de cruzamiento dos hojas, y por lo tanto, los respectivos subárboles etiquetados con raíz, estarían formados por un solo nodo. Al realizarse el reemplazo de un subárbol en lugar de otro, se estaría cambiando un terminal por otro terminal contenido en el conju11to T. De esta manera se realizaría, durante la operación de recombinación de la información, lo que en los algoritmos genéticos se conoce como operación de mutación.
Una ultima observación sobre el operador de cruzamiento es necesaria. La creación de nuevos árboles mediante la recombinación de información puede generar estructuras cada vez más grandes, que con el paso de los ciclos, llegarían a ser excesivamente profundas. Es necesario entonces acotar la profundidad máxima de los árboles así creados para que en el caso en el que se detecte un árbol que exceda los límites establecidos, se
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deseche y se genere o escoja, un nuevo árbol con la profundidad adecuada que reemplace al árbol no deseado.
Como se ha mencionado anteriormente, el modelo de programación genética es muy parecido al modelo del algoritmo genético, es decir, se siguen los mismos pasos en las dos metodologías, para hacer evolucionar una población de estructuras, en la búsqueda de una solución aceptable al problema que se ha planteado. Falta entonces, mencionar la manera en que en programación genética se produce el resultado final.
La designación de la solución generalmente recae en el mejor individuo de la población al terminar el proceso de evolución; sin embargo, puede ser que existan varios elementos con el mismo valor ele fitness, en cuyo caso, el resultado seria una subpoblación conteniendo los mejores individuos. Debido al efecto de los operadores de reproducción y cruzamiento sobre la población, es posible que el mejor individuo encontrado durante todo el procesamiento haya sido eliminado. En este caso, se puede llevar una bitácora que contenga los mejores individuos encontrados a lo largo de toda la búsqueda.
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Capítulo 3
Cálculo Proposicional.
Todo sistema lógico incluye un lenguaje formal, mediante el cual se representan un conjunto de afirmaciones y razonamientos acerca de objetos, de cualquier clase, definidos en un universo de discurso. La estructura de estas afirmaciones debe ser tal, que permita su manipulación y la obtención de nuevas propiedades del universo de discurso de una manera sencilla, concisa y precisa.
Aunque existen muchos lenguajes definidos en el mundo, como el español, se necesita la creación de un nuevo lenguaje para la construcción de las afirmaciones lógicas, debido, a tres razones principaks:
1. Cualquier lenguaje natural contiene una gran cantidad de símbolos, lo que hace imposible su descripción formal.
2. La semántica de estos lenguajes puede resultar ambigua debido a las diferentes interpretaciones que se pueden dar a una oración de acuerdo al contexto o tema que se esté tratando y a lo que se asuma durante una plática o escrito.
3. Para la representación de afirmaciones matemáticas en un lenguaje natural, es necesaria una oración, u oraciones, demasiado largas y poco claras.
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En cálculo proposicional, los elementos del lenguaje formal representan oraciones declarativas elementales y a partir de ellas se pueden construir nuevas proposiciones compuestas mediante la utilización de los conectivos lógicos (and, or, not, implicación y equivalencia). Por ejemplo, sean las siguientes oraciones:
• Jaime es joven.
• La comida está lista.
si abreviamos la primera oración con la letra P y la.siegunda con Q, podemos construir la siguiente proposición compuesta:
(Q OR (NOT P)).
A causa de las razones expuestas en los puntos anteriores, la construcción de las afirmaciones en un lenguaje lógico, se debe de realizar a partir de un conjunto de reglas llamadas reglas sintácticas.
El conjooto de proposiciones PROP es un conjooto recursivamente generado a partir del alfabeto L que contiene:
• Un conjunto numerable PS de símbolos proposicionales:
PS= {F;,P2 ,-··,Pn-1>~} .
• Un conjunto CS formado por símbolos que representan conectivos lógicos:
CS={A,v,-.,:::::i,=,..l}, and, or, not, implicación, equivalencia y la constante lógica FALSE, respectivamente.
• Un conjunto de AS de símbolos auxiliares usados como delimitadores:
AS ={<,)},paréntesis izquierdo y derecho respectivamente.
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El conjunto PROP es la cerradura inductiva del conjunto formado por la w1ión del conjunto PS con el conjunto que contiene a la constante lógica FALSE bajo las funciones definidas a continuación:
CjA) = -,A
CjA,B)=(AAB)
CjA,B) =(Av B) C:)(A,B) =(A::) B)
CJA,B) =(A= B)
es decir, PROP es el conjunto mínimo de cadenas de caracteres sobre el alfabeto :E = PS u es u AS de tal forma que:
1. Cada símbolo proposicional P¡ se encuentra en PROP, al igual que _1_.
2. Si A esta en PROP, -,A también.
3. Si A y B están contenidos en PROP entonces:
se encuentran en P ROP.
(AAB)
(Av B) (A::) B)
(A= B)
4. Una cadena de caracteres se encuentra en PROP si y sólo si cumple las condiciones anteriores.
Los símbolos auxiliares contenidos en AS, facilitan la lectura de las proposiciones y eliminan la ambigüedad. Sin embargo, para simplificar la escritura de las mismas, se define un orden de precedencia de los conectivos lógicos que, salvo que se especifique lo contrario, aplica cada conectivo a la
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proposición(es) más cercana(s) a él en el siguiente orden, de mayor a menor: -,; A; v; ::J, =. Un ejemplo de proposiciones contenidas en PROP que utilizan precedencia en los conectivos es:
[ P ::J -,Q v R] = [ P ::J ( -,Q) v R] = [ P ::J ( ( -,Q) v R)] = [ ( P ::J ( ( -,Q) v R))]
En el caso en el que, una proposición aparezca flanqueada por dos conectivos de igual precedencia, ésta se asocia al operador de la izquierda (regla de asociación a la izquierda). Por ejemplo: P ::J Q ::J R se interpreta como
(P ::J Q) ::J R y no como P:::) (Q ::J R).
El objetivo de la introducción de los paréntesis en las proposiciones es asegurar una única manera de leerlas, es decir, asegurar que PROP sea libremente generado y así poder definir el significado del lenguaje (semántica), definido recursivamente sobre PROP, a partir del significado asociado a cada símbolo proposicional. La demostración de que PROP es libremente generado por los símbolos proposicionales contenidos en PS, los conectivos lógicos y la constante lógica FALSE ( 1- ), se basa en las demostración del siguiente lema:
Lema. Para todo elemento de PROP, el número de paréntesis izquierdos es igual al número de paréntesis derechos.
Pasando ahora a la definición de la semántica del lenguaje, es necesario definir el significado de los conectivos lógicos. Cada conectivo lógico X adquiere su valor de verdad mediante la función Hx con rango en el conjunto
BOOL = {TRUE, FALSE}, de la siguiente manera:
HjFALSE) = TRUE
HjTRUE) = FALSE
HjFALSE ,FALSE)= FALSE
H/\(FALSE ,TRUE)= FALSE
H/\ (TRUE, FALSE) = FALSE
H/\(TRUE,TRUE) = TRUE
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Hv(FALSE ,FALSE)= FALSE
H)FALSE, TRUE)= TRUE
HJTRUE ,FALSE)= TRUE
H)TRUE, TRUE)= TRUE
H~(FALSE ,FALSE)= TRUE
H~(FALSE, TRUE)= TRUE
H ~ (TRUE, FALSE) = FALSE
H~(TRUE, TRUE)= TRUE
H,,(FALSE ,FALSE)= TRUE
HJFALSE, TRUE)= FALSE
HjTRUE ,FALSE)= FALSE
H=(TRUE,TRUE) = TRUE
en donde H:r: nos permite distinguir entre el conectivo lógico X y su significado. La constante lógica 1- es interpretada como FALSE.
Los símbolos proposicionales adquieren su significado al asociárseles oraciones declarativas, relativas a un universo de discurso. Algunos ejemplos son:
P ~ Jaime es joven Q ~ El libro es de lógica
R ~ El poster es rojo
Una vez realizada esta asociación, se les puede asignar un valor de verdad en el conjunto BOOL, proceso conocido como valuación.
Una valuación es una función v: PS ~ BOOL, que asigna un valor de verdad a cada símbolo proposicional. Esta interpretación de las proposiciones atómicas, se puede extender a las compuestas, debido a que PROP es libremente generado, a través de la función v: PROP ~ BOOL de acuerdo a las siguientes especificaciones:
v(1-) = FALSE
v(P) = v(P)
v( --A) = H ~ ( v( A))
v((A v B)) = Hv( v(A), v(B))
v((A /\ B)) = H" ( v(A), v(B))
v( ( A :::) B)) = H ~ ( v( A)' v( B))
v((A = B)) = HJ v(A), v(B))
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donde A,B EPROP y p EPS.
De acuerdo a la definición anterior, es necesario asignar valores de verdad a todos los símbolos proposicionales para poder determinar el valor de verdad de una proposición, lo que es imposible en la práctica, ya que el conjunto PS tendría una cardinalidad excesiva. Sin embargo, para cualquier proposición
compuesta A y para cualquier valuación v, el valor v(A) solamente depende de los símbolos proposicionales en la fórmula A.
Una proposición A E PROP es satisfacible si y sólo si existe una asignación de valores de verdad a cada una de los símbolos proposicionales en ella que
satisfacen v(A) =TRUE, se denota vi =A; en caso contrario se dice insatisfacible vi =tA. Si A es satisfacible con independencia de la valuación se le llama tautología y se escribe 1 =A, si es insatisfacible, se denota 1 :t:A. Algunos ejemplos de tautologías son:
Las definiciones de tautología y satisfacibilidad plantean los problemas de: determinar si una proposición es satisfacible y detem1inar si es una tautología. Estos problemas son los más importantes dentro del cálculo proposicional.
Otro problema, equivalente al de tautología, es el siguiente:
Dado un conjunto de proposiciones re PROP, llamadas premisas, y una proposición A E PROP, se dice que A es una consecuencia semántica de r, denotado por r¡ =A, si para todas las evaluaciones de v, si v(B) = TRUE para
toda B en r, necesariamente v(A) =TRUE. El problema es determinar si dado A E PROP y el conjunto de premisas re PROP, es A una consecuencia semántica de r. Esto se reduce al problema de tautología si y sólo si:
l=((P¡AFi···APn_1 APJ::::>A) donde PS={P¡,···,E:} es el conjunto de símbolos proposicionales.
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Existen dos métodos para la solución del problema de tautología. El primero de ellos, determina el valor de verdad de la proposición a partir de la asignación de valores de verdad a cada uno de los símbolos proposicionales que la componen. Si para toda asignación a los símbolos proposicionales, la proposición es verdadera, entonces se dice que es una tautología.
Como ejemplo, se demostrará que P ~ (Q ~ P) es una tautología. Considerando las posibles asignaciones a P y Q, se tiene:
Para v(P) =FALSE; v(Q) =FALSE:
v(P) =FALSE; v(Q) =TRUE:
v(P) = TRUE;v(Q) =FALSE:
v(P) = TRUE;v(Q) =TRUE:
v(Q ~ P) = TRUE
v(P ~(Q ~ P)) = TRUE
v(Q ~ P) = FALSE
v(P~(Q~P))= TRUE
v(Q ~ P) = TRUE
v( P ~ ( Q ~ P)) = TRUE
v(Q ~ P) = TRUE
v( P ~ (Q ~ P)) = TRUE
Como se puede apreciar, el valor de verdad de P ~(Q ~ P) es TRUE con independencia de la asignación de valores de verdad a los símbolos proposicionales, por lo tanto, la proposición es una tautología.
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La desventaja de este método, es que la solución del problema de tautología requiere de un tiempo exponencial, dependiendo del número de símbolos proposicionales contenidos en la proposición que se quiere probar. Por esta razón, se tiene un segundo método, para probar si una proposición es o no una tautología. La idea es buscar una asignación de valores de verdad, a los símbolos proposicionales, que falsifiquen la proposición, es decir, que la valuación de la proposición sea FALSE.
Utilizando nuevamente la proposición del ejemplo anterior P => ( Q => P), para probar que esta sea una tautología, mediante este nuevo método, se debe de asignar un valor de verdad TRUE al símbolo proposicional P porque
H~(FALSE ,x) = TRUE \fx EBOOL. La valuación de (Q=> P) debe de ser
entonces FALSE para que H~(TRUE ,FALSE)= FALSE. Debido a que
v(P) =TRUE, el valor de verdad de (Q => P) ~:s siempre TRUE, con
independencia de la valuación de Q, ya que H~(x,TRUE)= TRUE;\fx EBOOL y
por lo tanto, como no se puede falsificar P => (Q => P), la proposición es una tautología.
Este método, en el que se resuelve el problema de tautología al tratar de falsificar la proposición en cuestión, constituye la base de los sistemas Gentzen que se definen a continuación. Se escogen estos sistemas porque son más intuitivos, más fáciles, su manera de resolver el probl.ema es algorítmica, lo que permite una implementación computacional rápida y sencilla. Finalmente, la construcción de los árboles de prueba en este sistema es más natural, se empieza a expander de la raíz a las hojas, a diferencia del sistema de Hilbert, donde la construcción va de las hojas a la raíz.
Un sequent es un par ordenado (r,~) de listas finitas de proposiciones, en
donde la primera la lista r = (G"G2 ,···,Gn-1'Gn) es llamada antecedente y la
segunda lista~= (D"D2 ,-··,Dm_1,Dm) es llamada consecuente; estas listas pueden ser vacías. Una notación alternativa, comúnmente usada, es: r ~ ~- Si r o ~ es la lista vacía, el sequent correspondiente se denota ~ ~ o r ~ respectivamente. En el caso en el que ambas listas no contengan elemento alguno, el sequent ~ es conocido como el sequent inconsistente.
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Se dice que la valuación v: PS -t BOOL satisface al sequent r --t ~ si y sólo si:
v[ =(GAG A···AG) :::)(D v D v···vD ) 1 2 n 1 2 in •
Si no existe alguna valuación que cumpla la condición anterior, el sequent se dice insatisfacible. Un sequent se dice válido si y sólo si:
l =(G AG /\···/\G ):::)(D vD V···VD) 1 2 n 1 2 m ,
y falsificable si existe una valuación v: PS -t BOOL tal que:
Para detenninar si un sequent es falsificable, se utiliza un procedimiento sistemático, que pennite ir descomponiendo el problema en problemas más sencillos. La definición de este procedimiento, se basa en las llamadas reglas de inferencia, que se presentan a continuación utilizando los símbolos r, ~, A para representar listas de proposiciones y A, B para las proposiciones:
Reglas not:
Reglas and:
Reglas or:
r,~--t A,A r,--,,4,~ --t A
r,A,B,~-t A
r,AAB,~-tA
r,A,~--tA r,B,~--tA
r,AvB,~--tA
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A,f--t~,A
r --t ~,--,A, A
f--t ~,A,A f----)- ~,B,A
f-t~,AAB,A
r-tA,A,B,A r--t ~.,Av B,A
Reglas condicionales:
r,Li~A,A B,r,Li~A
r,A::::iB,Li~A
A,r~B,Li,A
r ~ il,A ::::iB,A
Cada una de estas reglas consiste de uno o dos sequent~ en la parte superior llamados premisas y un sequent en la parte inferior llamado conclusión. Las reglas pueden ser vistas como árboles etiquetados con premisas en sus hojas y conclusiones en su raíz.
Nótese que no existe regla para la equivalencia y para la constante lógica
FALSE. La razón de esto es que (A= B) es una abreviación de (A ::::i B) A(B ::::i A)
y _1_ es una abreviación de (PI\ .P).
Para demostrar que un sequent es falsificable se construye un árbol de inferencia, al que se le aplican las reglas de inferencia a partir de la raíz, etiquetada con el sequent que se pretende falsificar.
Los axiomas en este sistema son hojas etiquetadas con sequents r ~ Li tales que r y Li contienen alguna proposición en común~ no son falsificables, por lo que no se necesita aplicárseles regla alguna, al igual que a las hojas etiquetadas con sequents que solamente contienen símbolos terminales.
La generación del árbol de inferencia termina cuando no se pueden seguir aplicando reglas de inferencia a las hojas, es decir, cuando las hojas están terminadas. Si todas las hojas en el árbol son axiomas, se le denomina árbol de prueba, en caso contrario, se le llama árbol de contraejemplo.
Como ejemplo del uso de sequents para resolver el problema de tautología, se
probará que i= A ::::i (B ::::i (A I\ B)).
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A,B----),A A,B----),B A,B----),AAB
Á----)-B=>(AAB)
----)- A =i(B=i(AAB))
En este árbol se aprecian dos hojas (A,B----), A y A,B----), B) que son axiomas, por
lo tanto, A => ( B => (AA B)) es una tautología y se tiene un árbol de prueba.
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Capítulo 4
Lenguajes de Primer Orden.
El cálculo proposicional no es suficiente para expresar afinnaciones acerca de elementos de una estructura. Esto se debe a que generalmente, cuando se describe un conjunto de sucesos en el mundo real, se usan oraciones declarativas como las siguientes:
• Todos los autos son confortables. • El BMW es un auto. • Por lo tanto, el BMW es confortable.
Sin embargo, en el cálculo proposicional no se pueden expresar este tipo de oraciones, razón por la cual se introducen símbolos proposicionales con argumentos llamados predicados. Los predicados penniten representar relaciones como: "Jorge es padre de Adolfo" de la siguiente manera: Padre(Jorge,Adolfo). Se obtienen así los llamados lenguajes de primer orden mediante los cuales se pueden expresar las oraciones anteriores de la siguiente manera:
Vx(Auto(x) ::J Confortable{x))
Auto(BMW)
Confortable{ BMW)
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Usando los lenguajes de primer orden es posible fonnalizar y organizar el conocimiento declarativo sobre estructuras, que pm:den ser concretas o abstractas, de manera que a partir de un conjunto de fórmulas bien formadas, válidas en el universo de discurso, es posible obtener otras fórmulas, también válidas, por aplicación de reglas de inferencia.
La definición de la estructura sintáctica de los lenguajes de primer orden, se hace a partir de dos tipos de elementos básicos: los símbolos lógicos, que son fijos, y los símbolos no lógicos, que varían de acuerdo al mundo ( estructura) al que se refieran.
Los símbolos lógicos son:
• Conectivos Lógicos: --, (not), /\ (and), v (or), :::> (implicación), -( equivalencia) y ..L (falsedad).
• Cuantificadores: V (universal) y :l ( existencial).
• Símbolo de igualdad: =.
• Un conjunto finito de símbolos de variables: VS = { x1, x2 , • • ·, xJ.
• Símbolos auxiliares: "(" y ")".
Por su parte, los símbolos no lógicos son:
• Símbolos de función: Conjunto FS = {Ji, / 2 ,. • ·, /J, sobre el que se define una
función de rango r1 : FS ~ N que asocia a cada elemento de FS un número
entero no negativo.
• Símbolos de constante: Conjunto es= {c¡,c2 ,-··,cJ, cuyos elementos tienen
rango nulo.
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• Símbolos de predicado: Conjunto PS= {P¡,P2 ,···,PJ, sobre el que se define
una función de rango rp: PS-+ N que asocia a cada elemento de PS un
número entero no negativo.
Se asume que FSnCSnPSnVS =0.
Si se asignan símbolos a los conjuntos FS, CS y PS se obtienen lenguajes de primer orden denotados por la letra L.
Con el objeto de que los lenguajes de primer orden puedan ser computables, es decir, puedan representar el conocimiento declarativo y ser manipulables, se define su estructura a partir de dos conjuntos, que se construyen recursivamente.
El conjunto de términos TERM se define de la siguiente manera:
1. Todo símbolo de constante y de variable es w1 término.
2. Si 11, 12,. · ·, t n son términos y n es el rango de un símbolo de función f, entonces ft1l2···tn es un término.
Un ejemplo de términos en el lenguaje definido al asignar símbolos de función, símbolos de constante y símbolos de predicado es:
1
h01
ghl 10
hh10g00
donde: FS={g,h} cuyos símbolos tienen rango 2, CS={o.1} y PS={P} con
rango l.
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Para definir el conjunto de fónnulas FORM es necesario definir primero el conjunto de fónnulas atómicas AFORM:
1. .l es una fónnula atómica.
2. Todo símbolo de predicado de rango cero es una fómmla atómica.
3. Si 11, 12 , • • ·, t,, son ténninos y P es un símbolo de predicado de rango n, entonces Pt1t2 .. • t,, es una fónnula atómica.
4. Si 11 y 12 son ténninos, entonces== 1i12 es una fónnula atómica.
Ejemplos de fónnulas atómicas utilizando la asignación de símbolos no lógicos del ejemplo anterior son:
PO
== hl 10
== gxihhOOx
El conjunto de fórmulas FORM se construye ahora en la forma:
1. Toda fónnula atómica es una fónnula.
2. Para cualquiera dos fónnulas A y B, .A,(AAB),(AvB),(A:::iB),(A=B) son fónnulas.
3. Si A es una fónnula y x EVS, entonces 'v'xA,:lxA son fórmulas.
Siguiendo con la utilización de las asignaciones de símbolos de los ejemplos anteriores, las siguientes son fónnulas:
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(=xxv1-)
(vx(hlx = gOO))
( vx(~y((1-A ,(= ly))::) Po)v Px))
Antes de poder definir la semántica de los lenguajes de primer orden, es necesario definir los conceptos de: conjunto de variabl,~s libres y conjunto de variables ligadas.
Dado un término t, el conjunto de variables libres en t, FV(t) se define recursivamente de la siguiente manera:
1. Si t es una constante, entonces FV( t) = 0 .
2. Si t es un símbolo de variable x, entonces FV( t) = { x}.
3. Si jt 1t2 ···tn es un término t, entonces FV(t) = FV(tJu- .. uFV(tJ.
De las misma manera se puede definir el conjunto de variables libres FV( A) en una fórmula A:
l. Si A= 1-, entonces FV(A) = 0.
2. Si A = P donde P es un predicado de rango cero, entonces FV( A) = 0.
3. Si A= Pt1• .. tn, entonces FV(A) = FV(t¡)u .. ·uFV(tJ, donde Pes un predicado de rango n.
4. Si A== t¡t2 , entonces FV(A) = FV(ti}uFV(tJ.
5. Si A = -,B, entonces FV( A) = FV( B), donde B es una formula.
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6. Si A=(B*C), entonces FV(A)=FV(B)uFV(C), donde *E{A,v,:J,=} y B, C son fórmulas.
7. Si A= VxB o A= 3xB, entonces FV(A) = FV(B)-{x}, donde Bes una fórmula
y X EVS.
En base a esta definición del conjunto de variables libres, se dice que un
término t o una fórmula A es cerrado(a) si: FV(t) = 0 o FV(A) = 0,
respectivamente. Una fórmula cerrada es conocida también como sentencia. Si la fórmula no tiene cuantificadores se le llama abierta.
El conjunto de variables ligadas BV(A) en una fórmula A se define de manera
similar:
l. Si A= 1_, entonces BV(A) = 0.
2. Si A= P donde Pes un predicado de rango cero, entonces BV(A) = 0.
3. Si A = Pt1 •• • t n, entonces B V (A) = 0, donde P es un predicado de rango n.
4. Si A== 1112 , entonces BV(A) = 0.
5. Si A= -,B, entonces BV(A) = BV(B), donde Bes una fórmula.
6. Si A=(B*C), entonces BV(A)=BV(B)uBV(C), donde *E{A,v,:J,=} y B, C son fórmulas.
7. Si A=VxB o A=?ixB, entonces BV(A)=BV(B)u{x}, donde B es una fórmula y x E VS .
Una última definición es necesana antes de pasar a la definición de la semántica:
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Sean t y s términos. La sustitución de una variable libre x por un término t en s
se denota por s[t I x] y se define recursivamente como sigue:
{y si y :;t: X
• Si s=y, entonces y[tlx]= 1
.-1e , donde y EVS. u, otra manera
• Si s=c, entonces c[tlx]=c, donde cECS.
• Si s = jt1 ···t,,, entonces ft 1 • • ·t,,[t I x] = ft 1[t I x ]- · ·t,,[t I x ], donde jt1 • ··t,, E TERM.
En el caso de una formula A, A[t I x] se define:
• l_[tlx]=l_.
• (-.A)[tlx]=-.A[tlx].
• (A*B)[t / x] = (A[t / x]•B[t / x]).
( )[ ] {VyA[t / x] si
• VyA t / X = VyA de otra manera
( )[ ] {:lyA[tlx] si
• :lyA t / X = :lyA de otra manera
Esta definición de la sustitución, permite que algunas sustituciones se vuelvan inapropiadas, es decir, algunas sustituciones pueden hacer que una fórmula
41
satisfacible ya no lo sea. Para evitar este tipo de situaciones, antes de sustituir un término t por x en A se deben de cumplir las siguientes condiciones:
• Que A sea atómica.
• Que A = (B* e) y t se pueda sustituir por x en By en C ..
• Si A= VxB o A= ?ixB y x=y o, x ~ y y y 'lFV(t) y t se puede sustituir por x
en B.
Debido a que las fórmulas representan el conocumento declarativo sobre estructuras, para la definición de la semántica de los lenguajes de primer orden se necesita un conjunto M, llamado dominio de la estrrnctura, y una función de interpretación 1, que asigna funciones y predicados definidos en M a los símbolos en el lenguaje L de la siguiente manera:
• Ve ECS,(I(c) EM) .
• Vf EFS,(I(J) E(Mn ~ M)), donde n es el rango del símbolo de funciónf
• VP E PS,(¡(P) E(Mn ~ BOOL)), donde n es el rango de P .
La terna (L,M,J) es conocida como una L-estructura.
Al definir la semántica de una fórmula, su valor de verdad depende de la asignación de valores en M a los símbolos de variable, por lo tanto, se debe de especificar la función de interpretación para los términos y para las fórmulas.
Una función de asignación s: VS ~ M, asigna elementos del conjunto M a los símbolos de variable contenidos en VS.
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La definición de la interpretación de los términos es:
• Si t es un término que es una constante e, entonces Is ( t) = 1( e).
• Si t es un término que es una variable x, entonces Is ( t) = s( x).
• Si tes un término de la forma ft 1t2 • • ·tn, entonces ls(t) = 1(¡)(1s(t¡),- .. ,1,(1J).
que se puede extender a las fórmulas:
• Si A= .1, entonces !,{A)= FALSE.
• Si A= P, entonces J,(A) = l(P), donde P es un símbolo de predicado de orden cero.
• Si A=Pt1···tn, entonces J,(A)=l(P)(l,(tJ,-··,ls(tJ), donde Pes un símbolo
de predicado de orden n.
• Si A== t1t2 , entonces ls(A) = TRUE s1 (1s(t1) = J,(1 2 )), de otra forma,
ls(A) =FALSE.
• Si A= -,B, entonces J,(A) = Hjls(B)).
• Si A= (B /\e), entonces 1,(A) = H(\ (1,(B),J,( e)).
• Si A= (Bv e), entonces ls(A) = Hjls(B),1,(c)).
• Si A= (B ::::i C), entonces J,(A) = HjJ,(B),Js(C)).
• Si A= (B = C), entonces ls(A) = HJJ,(B),J,(C)).
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. {FALSE si (:3a E M(I,¡.,rx](B) =FALSE)) • S1 A= VxB, entonces I,(A) =
TRUE de otra forma
• Si A= :3xB' entonces I,(A) = {TRUE si (:3a E M(Is[ar,J(B) = TRUE))
FALSE de otra forma
Donde s[ a I x ](y)= a si y=x, de otra fonna, s[ a I x ](y)= s(y).
Ante esta interpretación de las fónnulas, debe de hacerse notar que la interpretación de aquellas que contienen cuantificad9res, puede ser no computable debido a que el conjunto M puede llegar a ser infinito.
Una fónnula A del lenguaje de primer orden L con la interpretación (L,M,1) se dice satisfacible si existe una asignación s: VS ~ M de elementos del conjunto
Malos símbolos de variable tal que I,(A) = TRUE y se denota: (L,M,I) 1 =A[s].
Si en cambio, \Is E(VS ~ M)I,(A) = FALSE se dice que A es insatisfacible y se escribe (L,M,J) 1-:t:-A.
Una fónnula A es válida con la interpretación (L,Af.l) si para cualquier asignación de elementos del conjunto M a los símbolos de variable, A se satisface, denotándolo (L,M,1) 1 =A; (L,M,1) constituye un modelo para la fonnula. Si la fónnula es válida con independencia de la interpretación (1 =A), se dice válida.
Los conceptos de satisfacibilidad y validez se amplían a conjuntos de fónnulas de la siguiente manera: dado un lenguaje de primer ordc~n-L, una interpretación (L,M,J) y un conjunto r de fónnulas, se dice que r es satisfacible si existe una asignación s: VS ~ M que satisface a cada fonnula en r, se denota (L,M,J) 1 = r [s]. En el caso, en el que para toda asignación de elementos del
conjunto M a los símbolos de variable, I,(A) =FALSE, se dice que r es insatisfacible ((L,M,J) 1 -:t:- r). La L-estructura (L,M,J) es un modelo para r si
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constituye W1 modelo para cada W1a de las fórmulas en r y se escribe (L,M,I) 1 = r. Si lo anterior se cumple con independencia de la interpretación se dice que r es válida (l=r). Por último, con la L-estructura (L.M,I), W1a fórmula A es W1a consecuencia semántica de r si para toda asignación s: VS ~ M se
cumple: (vs Ef(I.(B)= TRUE))==>l.(A)= TRUE.
Al igual que en el cálculo proposicional, se desea tener W1 método que permita probar si W1a fórmula es válida o no. Nuevamente, se tienen dos listas de fórmulas: W1a de fórmulas por satisfacer y otra de fórmulas por falsificar, por lo que se vuelve a utilizar la estrategia de subdividir W1 problema en problemas cada vez más sencillos. Se puede entonces extender el sistema Gentzen, utilizado en el cálculo proposicional, mediante la generalización del concepto de sequent.
En W1 lenguaje de primer orden L con W1a interpretación (L,M,I), W1 sequent
r ~ ~ es W1 par ordenado de listas de fórmulas (re L,~ e L). Si existe W1a
asignación s: VS ~ M para la cual se cumple
VA Ef(l.(A) = TRUE)
y
VA E ~(!.(A)= FALSE)
el sequent r ~ ~ es falsificable en la interpretación. Si es falsificable con independencia de la interpretación se dice que es falsilficable. En cambio, w1 sequent r ~ ~ es válido con la interpretación (L,M,I) si para toda asignación de elementos del conjW1to M a los símbolos de variable
( VA E r(l.(A) =TRUE))==> (:is E ~(I.(B) =TRUE))
es verdadero y se dice válido si y sólo si es válido en cualquier interpretación.
Las reglas de inferencia, a partir de las cuales se va descomponiendo una fórmula, se presentan a continuación utilizando los símbolos r, ~, A para denotar secuencias arbitrarias de fórmulas y A,B para las fórmulas:
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Reglas not:
Reglas and:
Reglas or:
r,L\~A,A
r,-.A,L\ ~ A
r,A,B,L\ ~ A r,AAB,L\~A
r,A,L\ ~ A r,B,L\ ~ A
r,AvB,L\~A
Reglas condicionales:
r,L\ ~ A,A B,r,L\ ~ A
r,A::iB,L\~A
Reglas universales:
r,A[t / x], 'dxA,L\ ~ A
r, 'dxA,L\ ~ A
Reglas existenciales:
r,A[yl x],L\ ~ A
r,:lxA,.1 ~ A
A,r-~ L\,A
r ~ L\,-.A,A
r ~ L\,A,A r ~ ~,B,A r ~L\,AAB,A
r -~ L\, A, B, A
r-~L\,AvB,A
A,r~B,L\,A
r -~ L\, A ::i B, A
r -) L\, A[y I x ], A
r ~L\,'dxA,A
r ~ .1,A[t I x],:lxA,A
r ~ l'.\,:lxA,A
Como se puede ver, al igual que en al cálculo proposicional, las reglas se pueden ver como árboles etiquetados con sequents: en su raíz constituyen la
46
conclusión y en las hojas las premisas. Los axiomas en este sistema son todas las hojas etiquetadas con sequents que tienen la siguiente forma:
f,A.~ ~ A,A,0
es decir, que contienen la misma fórmula (A) en sus miembros.
Un ejemplo de la aplicación de este sistema es el siguiente:
p~ P,3zQz P,Qy~Qy,3zQz P,Qy~ 3zQz
P,(P::) Qy) ~ :lzQz (P::) Qy) ~ (P::) :lzQz)
3x(P::) Qx) ~ (P::) 3zQz)
~ 3x(P::) Qx)::) (P::) 3zQz)
donde Pes un símbolo proposicional y Q es un predicado de rango uno.
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Capítulo 5
El Sistema de Lógica lnt(iuctiva.
En la introducción del presente trabajo de tesis se mencionó que su objetivo es desarrollar un sistema de lógica inductiva basado en estrategias evolutivas para hacer evolucionar expresiones dentro de un lenguaje de primer orden.
Para cumplir el objetivo, se planteó el siguiente esquema:
1. Definir los conjuntos de símbolos de función FS, de símbolos de predicado PS y de símbolos de constante CS, necesarios para la representación del universo de discurso que se pretenda analizar.
2. Definir la función de interpretación 1 que asigne :funciones y predicados definidos en M a los símbolos en el lenguaje de primer orden definido en el punto anterior.
3. A partir de los símbolos lógicos y no lógicos utilizados por el lenguaje de primer orden definido en los pasos 1 y 2 del esquema, crear, de manera aleatoria, fórmulas bien formadas del cálculo de predicados de primer orden de acuerdo a las definiciones dadas en el capítulo cuarto, acerca de la construcción de los conjuntos de términos y de fórmulas.
4. Utilizar las fórmulas creadas, en el punto número tres, como elementos de procesamiento en la población inicial de un programa, genético.
48
5. El programa genético debe de permitir la evolución de expresiones en un lenguaje de primer orden, es decir, la función de mérito debe de premiar, con los valores más altos, a aquellas fórmulas que describan el universo de discurso de una manera concreta. Con esto se asegura su selección para reproducción y cruzamiento, con el objeto de obtener cada vez "mejores" individuos (fórmulas).
6. Debido a que la operación de cruzamiento puede llevar a la creación de fórmulas que no estén bien formadas, se debe de tener un procedimiento que verifique cada una de las fórmulas en la población resultante después de aplicar los operadores genéticos. Si se detecta una fórmula mal formada, ésta, se desecha.
7. El programa genético termina al llegar a un número max1mo de generaciones. Se necesita que sea así debido a que,· generalmente, no se conoce de antemano el número de fórmulas que describen al universo de discurso de una manera sencilla.
8. Al terminar la ejecución del programa genético, el resultado estará compuesto por la población final de expresiones que, se supone, son las mejores describiendo al universo analizado.
Se desarrollaron 4 programas para cumplir con el esquema antes definido. Los programas son: gafbfcpl .lsp, eeppli.lsp, seman.lsp y family.lsp, siendo los dos primeros los más importantes.
Para la codificación de estos programas, se eligió el lenguaje de programación LISP debido a las siguientes razones:
1. Permite la evaluación de las estructuras de datos mediante la instrucción EVAL.
2. La facilidad en el manejo de listas.
3. La gran cantidad de funciones implementadas en e:l lenguaje ( creación de tablas de hash, estructuras, objetos, etc.).
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4. La sugerencia realizada por Koza en su libro: Genetic Programming sobre el manejo de las estructuras como expresiones simbólicas representadas como árboles etiquetados con raíz.
5. El previo conocimiento del lenguaje.
5.1 El programa FAMILY.LSP
En este programa se definen las estructuras de datos que utilizaran los demás programas para accesar la información referente al mundo que se esta analizando, es decir, se define la estructura del conjunto M definido en el capítulo de Lenguajes de Primer Orden.
El programa se llama family.lsp porque, en especial, este programa define la estructura de un universo de discurso en el que sólo existen relaciones padre e hijo. Esto no significa que no se puedan utilizar otros programas que definan otro tipo de universo; en realidad el sistema esta codificado de una forma que permite una fácil codificación de nuevos programas con la estructura de otro mundo, sin que se tenga la necesidad de realizar modificaciones o se afecten a los demás programas del sistema.
Lo primero a definir cuando se crea un programa de este tipo, es la tabla de símbolos. La tabla de símbolos consta de:
1. Definición de los símbolos de función del lenguaje de primer orden.
2. Definición de los símbolos de constante.
3. Definición de los símbolos de variable.
4. Símbolo de falsedad (NIL para LISP).
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5. Definición de los símbolos de predicado.
6. Símbolo de igualdad(=).
7. Conectivos lógicos ( A, v, -,, ::i, = ).
8. Cuantificadores (V,3).
Este orden de definición se debe de respetar al declarar la tabla de símbolos.
Un ejemplo de este tipo de tabla es:
(setf symboltable '( (father 1 (E E)) (abuelop 1 (E E))
) )
('Mario O) ('David O) ('Jose O) ('Martin O) ('Ernesto O) (xi O) (x2 O) (x3 O) (x4 O) (x5 O) (x6 O) (x7 O) (x8 O) (x9 O) (xi O O) (xi 1 O) (xl2 O) (xl3 O) (xl4 O) (xl5 O) (xl6 O) (xl7 O) (xl8 O) (xl9 O) (x20 O) (x21 O) (x22 O) (x23 O) (x24 O) (x25 O) (x26 O) (x27 O) (x28 O) (x29 O) (x30 O) (x31 O) (x32 O) (x33 O) (x34 O) (x35 O) (x36 O) (x37 O) (x38 O) (x39 O) (x40 O) (x41 O) (x42 O) (x43 O) (x44 O) (x45 O) (x46 O) (x47 O) (x48 O) (x49 O) (x50 O) (x5 l O) (x52 O) (x53 O) (x54 O) (x55 O) (x56 O) (x57 O) (x58 O) (x59 O) (x60 O) (x61 O) (x62 O) (x63 O) (xM O) (NILO) (parentp 2 (E E E)) (grandp 2 (E E E)) (= 2) (ANO 2) (OR 2) (NOT 1) (IMP 2) (EQV 2) (UNIV 1) (EXIST 1)
Nótese que todos los elementos de esta tabla son listas. Todas ellas contienen, como segundo elemento, un átomo numérico que corresponde al rango del símbolo que le precede. En el caso de los símbolos de función y de predicado, las listas contienen además, otra lista, en donde se especifica el tipo de parámetros que recibe o manda la función o predicado; e:sto último se explicará más adelante.
51
Después de definir la tabla de símbolos, se deben d1~ definir las siguientes constantes:
1. Symbolnumber. Número de símbolos en la tabla de símbolos.
2. Functionnumber. Número de símbolos de función.
3. Constantnumber. Número de símbolos de constante.
4. Variablenumber. Número de símbolos de variable.
5. Atomicpredicatenumber. Número de símbolos de predicados de rango cero.
6. Atomiclogicnumber(fijo ). Número: 1, correspondiente al símbolo de falsedad.
7. Predicatenumber. Número de símbolos de predicado de rango mayor que cero.
8. Logicnumber(fijo). Número: 1, correspondiente al símbolo de igualdad.
9. Connectivenumber(fijo ). Número de conectivos lógicos.
10.Quantifiernumber(fijo). Número de cuantificadores.
Una vez definidas las constantes, se declaran las estn1cturas de datos, que definen las relaciones, que a su vez, serán accesadas por las funciones y los predicados. Obviamente las funciones y predicados que se declaren deben de coincidir con los nombres de los símbolos de función y predicado definidos en la tabla de símbolos.
Un ejemplo, de la declaración de las estructuras de datos de las relaciones, en donde se definen los padres e hijos de una persona, es:
(setf (get 'Tonio 'Parents) '(Alex Adriana)) (setf (get 'Tonio 'Siblings) '(Tere))
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(setf (get 'Silvia 'Parents) '(Ricardo Alicia)) (setf (get 'Silvia 'Sihlings) '(Tere))
una función que las accese podría ser:
( defmacro father ( person ) '(if (ANO (ATOM ,person) ,person)
( do (
(result NIL) (i personnumber)
) ((OR (NOT (NULL result)) (= i O)) result) (setf i (- i 1)) ( setf result ( first (get ,person 'Parents)))
) NIL
) )
y un predicado:
(defun parentp ( parent sibling) (when (equal parent (father sibling)) T)
)
Finalmente se deben de inicializar, a un valor fijo o aleatorio, los símbolos de variable que se vayan a utilizar para que LISP no marque ningún error.
53
5.2 El programa GAFBFCPl.LSP
El programa tiene como objetivo: generar aleatoriamente fórmulas bien formadas del cálculo de predicados de primer orden.
La generación de los términos y fórmulas se realiza siguiendo el procedimiento descrito en el capítulo de Lenguajes de Primer Orden.
Las fórmulas y términos son vistos por el programa como expresiones simbólicas que pueden ser representadas por árboles etiquetados con raíz, hecho que permite la generación aleatoria de árboles completos y árboles incompletos. Un árbol se dice completo si la profundidad (longitud de una rama medida desde la raíz hasta una de sus hojas) es la misma para todas sus hojas. En caso contrario, se dice incompleto.
La razón de obtener estos dos tipos de árboles es: poder decidir el número de árboles completos e incompletos, al inicializar la población utilizada por el programa genético ( eeppli.lsp) y seguir, en caso que se desee, la recomendación de Koza de crear 50% de los árboles de manera completa y 50% de manera incompleta.
Los conectivos lógicos A, v,-.,::::,,= son representados 1~n el programa por las funciones AND, OR, NOT, IMP y EQV respectivamente. Las últimas dos funciones no se encuentran definidas en LISP por lo que se declararon de la siguiente manera:
; Definición de la implicación lógica. ( defun imp ( a b )
(or (nota) b) )
; Definición de la equivalencia. ( defun eqv ( a b )
(ANO (IMP a b) (IMP b a)) )
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En el caso de los cuantificadores, su definición se hace de 'manera similar:
; Definición del cuantificador universal ( definacro univ ( variable formula )
'(do
) )
(
)
( counter 1 constantnumber) (result T)
((or (NULL result) (zerop counterl)) result) ( setf counterl (- counter 1 1 ) ) (setf ,variable (EVAL(first (getconstant counterl)))) (setf result (eval ,formula))
; Definición del cuantificador existencial ( definacro exist ( variable formula )
'(do
) )
(
)
(counter2 constantnumber) (result NIL)
((or result (zerop counter2)) result) (setf counter2 (- counter2 1 )) (setf ,variable (EVAL(first (getconstant counter2)))) (setf result (eval ,formula))
Es importante recalcar que este programa, como todos los demás, depende completamente de la previa declaración de la tabla de símbolos descrita anteriormente.
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5.3 El programa SEMAN.LSP
El programa seman.lsp tiene como propósito compilar una fórmula, que se supone bien formada, del calculo de predicados de primer orden para verificar que su estructura sintáctica y su semántica sean las corr,ectas.
Para lograr el objetivo, se programó un parser de descenso recursivo al que después se le agrego la semántica, utilizando atributos sintetizados para obtener un evaluador recursivo. Una explicación detallada sobre los conceptos anteriores se puede encontrar en [ 1].
La gramática que se utilizó para el desarrollo fue:
G = [{CS,VS ,FS,PS,and,or,imp,eqv,not,univ,exist ,=, 1-}, {T, A,F},F, P]
donde P esta formado por:
r ~ cs r~vs T~FSnTn
A~l_
A~PSnr
A~=TT
F~A
F~or F F
F~and F F
F~imp F F
F~eqv F F
F~not F
F~univ VS F
F ~exist VS F
CS, VS, FS y PS son los conjuntos de símbolos descritos en el capítulo de Lenguajes de Primer Orden.
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Se obtiene entonces, la siguiente tabla de parseo para la programación del evaluador recursivo:
- l. es vs FS PS and or imp eqv not uruv exist T T¡ ½ ½ A A) A1 A2 F F; F; F; F; F; ~ F's ~ F, F'g
Para que el evaluador funcione correctamente, es necesario que, tanto los símbolos de función, como los símbolos de predicado, estén declarados en la tabla de símbolos de la siguiente manera:
• Por cada símbolo de función, o predicado, crear una lista.
• El primer elemento de la lista es el nombre del símbolo.
• El segundo elemento de la lista es el rango de la función o predicado.
• El último elemento de la lista es una lista que contiene: como primer elemento, el tipo de expresión que regresa la función o predicado; los demás elementos, definen el tipo de expresiones que recibe como parámetros.
• Los tipos de expresiones son: E para los elementos atómicos y L para las listas.
Por ejemplo: (father 2 (E E)), es una función de rango 2 que recibe como parámetro una expresión atómica y regresa otra expresión del mismo tipo.
Finalmente, la salida del generador aleatorio de fórmulas es dada como entrada al compilador que, después de analizar la fórmula, nos regresa un valor Booleano: T (true) si la fórmula no contiene errores sintácticos o semánticos, o NIL (false), en el caso de que los contenga.
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5.4 El programa EEPPLI.LSP
Programa principal del sistema de lógica inductiva. En él, se implementa una estrategia evolutiva, basada en la programación genética, para hacer evolucionar fórmulas bien fonnadas del cálculo de predicados de primer orden.
El primer paso en el algoritmo, es la inicialización de la población con fórmulas bien formadas, obtenidas del generador aleatorio. Como una de las entradas del programa, se pide el porcentaje de árboles completos en la población inicial.
Cumplido el paso anterior, se procede a hacer evolucionar la población mediante las operaciones de reproducción y cruzamiento. Durante la selección de los individuos a ser copiados a la nueva población, se utiliza reescalamiento de la función objetivo para prevenir convergencia prematura del algoritmo.
Una función muy importante en este programa, es la que calcula el .fitness de los elementos en la población. Como primera opción se utilizó una función que premiara a las fórmulas de la siguiente manera:
• Un punto si la fórmula es evaluada con TRUE en el evaluador recursivo.
• Dos puntos más, si la fórmula al evaluarse ( con EV Al) se le asigna un valor de TRUE, en caso contrario, se le suma un sólo punto.
• Un punto más, si la fórmula contiene algún cuantificador.
Como se puede observar, el valor máximo que se le puede asignar a una fórmula con esta evaluación es: cuatro. La razón de este tipo de evaluación es la necesidad de obtener fórmulas que sean válidas en d universo de discurso, que se define en la tabla de símbolos, siendo las más interesantes, aquellas que contienen algún cuantificador (preferentemente universal) ..
Debido a los resultados obtenidos al utilizar la función de mérito anteriormente descrita, se decidió redefinirla (por razones que se explicarán más adelante en el manuscrito) de la siguiente manera:
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l. Se crean nuevos Wliversos (que constituyen contraejemplos) en donde se definen las mismas relaciones, que existen en el universo que se desea analizar, pero de manera aleatoria.
2. Las fónnulas son pasadas al evaluador recursivo. Si se consideran fórmulas bien fonnadas, continua su evaluación con las condiciones 3 y 4.
3. Las fórmulas que son falsifica.bles en todos los mW1dos y las que son válidas en el universo analizado, pero que no contienen cuantificadores, son premiadas con un valor intermedio. Esta condición ,~s necesaria para poder mantener en la población, individuos que contengan símbolos lógicos y no lógicos.
4. A las fónnulas, que solamente son válidas en el W1iverso de análisis, y que contienen cuantificadores, se les premia con el valor más alto de la función objetivo.
Durante todo el proceso de evolución se lleva acabo ell mantenimiento de una bitácora que contiene los mejores individuos, en las distintas generaciones, para poder obtener el mejor individuo durante toda la ejecución del programa.
Finalmente el programa termina cuando se llega a un número máximo de generaciones, definido al inicio del programa.
59
Capítulo 6
Resultados
El sistema de lógica inductiva fue probado utilizando la definición de un universo de discurso formado de la siguiente manera:
• Un conjunto de símbolos de variable VS = {x1,···,x64 }.
• Un conjunto de símbolos de constante CS={Mario, David, Jose, Martin, Ernesto}. Cada elemento del conjunto representa una persona en el mundo real.
• Un conjunto de símbolos de función FS={father, abuelop}. La función father regresa el nombre del padre de la persona que se le manda como argumento. De igual manera, la función abuelop regresa el nombre del abuelo paterno de la persona.
• Un conjunto de símbolos de predicados PS={parentp, grandp}. El predicado parentp recibe como parámetros dos constantes y regresa T si el primer argumento es padre del segundo argumento; de otra forma contesta NIL. Al predicado grandp se le mandan dos constantes como argumento y contesta T si la primera persona es abuelo paterno de la segunda~ de otra manera contesta NIL.
60
Con la asignación de elementos a los conjru1tos de símbolos anteriores se define W1 lenguaje de primer orden en el que sólo se encuentra definidas dos relaciones: padre y abuelo paterno.
De ru1a manera inductiva, ru1a persona podría, a partir de los conjru1tos anteriormente descritos, obtener ru1a relación que describiera la relación que guardan el padre de ru1a persona y su abuelo paterno, es decir, llegaría a la conclusión de que para todo individuo el padre del padre es el abuelo paterno del mismo.
Al alimentar estos datos a el sistema de lógica inductiva, se espera que este llegue a ru1a conclusión parecida. Para probarlo se hicieron varias pruebas utilizando los siguientes datos para ejecutar el programa. eeppli.lsp:
• Tabla de símbolos: family5 .lsp ( contiene la definición del ru1iverso definido anteriormente).
• Número de generaciones: 120.
• Tamaño de la población: 1024.
• Probabilidad de cruzamiento: 0.9
• Coeficiente de reescalamiento: 4.
• Profundidad máxima de los árboles: 7.
Durante estas pruebas se utilizó la primera función objetivo, descrita en el capítulo: El Sistema de Lógica Inductiva, pero sin tomar en cuenta la restricción referente al cuantificador. En este caso, el valor máximo posible de una fórmula en la función de mérito es tres, por lo tanto, como resultado de estos experimentos se obtienen ru1a serie de tautologías que cumplen con lo descrito para la función objetivo. Ejemplos de las tautologías obtenidas:
(NOT NIL) (IMP NIL NIL)
61
(EQV NIL NIL) (IMP NIL (IMP NIL NIL))
y en general cualquier tipo de combinación posible utilizando el símbolo de falsedad NIL es encontrada.
Para tratar de evitar este tipo de tautologías, se omitió el símbolo de falsedad durante la generación de fórmulas bien formadas, realizando nuevas pruebas con esta restricción.
Nuevamente se encuentran tautologías en las pruebas que varían con respecto a aquellas tautologías encontradas antes de que se eliminara el símbolo de falsedad. Éste "nuevo tipo" de tautologías es más sofist:tcado que el encontrado anteriormente, es decir, ahora el sistema encuentra tautologías buscando subfórmulas que evalúen NIL, por ejemplo:
Si (= 'Mario 'David) evalúa NIL y (= 'Ernesto 'Jose) también, entonces el sistema encuentra fórmulas como:
entre otras.
(IMP ( = 'Mario 'David) ( = 'Ernesto 'Jose)) (NOT (= 'Ernesto 'Jose))
Debido a que los resultados obtenidos, en las pruebas anteriores, eliminan a las fórmulas que contienen cuantificadores, se añade la restricción que suma un punto más a las fórmulas que contienen algún cuantificador, obteniendo la primera función objetivo descrita en el capítulo 5. La razón de esta condición, es que las fórmulas con cuantificadores describen relaciones más generales del universo de discurso, como la que se pretende encontrar.
Con ésta función de mérito, se realizan 1 O pruebas más. Una de las 1 O pruebas, en la generación número 7 4, encontró la fórmula:
(UNIV X31 (= (FATHER (FATHER X31)) (ABUELOP X31)))
que posterionnente fue eliminada de la población.
62
Como se puede apreciar, la fórmula anterior dice: para toda variable X31 el padre del padre de X3 l es igual al abuelo paterno de X3 l, es decir, para toda persona el padre de su padre es igual a su abuelo paiterno. Este resultado es exactamente el que se esperaba encontrar y es el único posible de obtener con la asignación de elementos, a los símbolos no lógicos, realizada en family5 .lsp. La siguiente gráfica muestra el número de generación en la que se encontró la solución, si se encontró, en las 1 O pruebas. Las barras etiquetadas con cero significan que no se encontró la solución en 120 generaciones.
Fig. 6.1 Función objetivo número 1
80
60 Número _de
40 generación
20 o o o o o o
O"--------+-------+-L 1 2 3 4 6 7
Número de prueba
74
8
o o 9 10
Como se puede ver, en la figura 6.1, el resultado encontrado en la prueba ocho, fue el único que obtuvo la solución esperada. La razón de que de 1 O pruebas sólo una encontrara la solución, es que el sistema converge rápidamente al máximo posible y desde entonces, empieza una caminata aleatoria, encontrando fórmulas cuyo valor en la función objetivo fuera cuatro, siendo la mayoría tautologías de distinta profundidad en su árbol:
(UNIV XI(= XI XI)) (EXIST X8 (=X8 'Ernesto))
(IMP (UNIV X28 (= X28 'Jose)) (PARENTP '~viario 'Martin))
Un ejemplo de la salida producida utilizando esta función objetivo se encuentra en el apéndice A.
63
Por éstas razones, se pensó en modificar la función objetivo. Si se recuerda, la primera función de mérito utiliza solamente información sintáctica y semántica de las fórmulas. En la segunda función objetivo se agr1~gan nuevos universos, que constituyen c;ontraejemplos, para verificar que las fórmulas sean válidas únicamente en el universo de discurso que se desea analizar, además, deben de cumplir con las condiciones de la primera función objetivo (la segunda función de mérito se encuentra descrita en el capítulo 5).
Con la segunda función de mérito, se realiza un experimento utilizando los siguientes datos de entrada:
• Tabla de símbolos: familyw.lsp (contiene la definición del universo a analizar y universos de contraejemplo).
• Número de generaciones: 1 O.
• Tamaño de la población: 256.
• Probabilidad de cruzamiento: 0.8
• Coeficiente de reescalamiento: 2.
• Profundidad máxima de los árboles: 7.
• No se permite la generación del símbolo de falsedad en las fórmulas.
Con estos parámetros de entrada, el sistema encuentra la fórmula:
(UNIV X43 (= (FATHER (FATHER X43)) (ABUELOP X43)))
en tan sólo diez generaciones. Lo que constituye 64 generaciones antes que el algoritmo que utilizaba la primera función objetivo. Además el tamaño de la población es considerablemente más pequeño. Parte de la salida producida por el sistema durante esta prueba se encuentra en el apéndice A.
64
En vista de los buenos resultados obtenidos, se realizan cinco experimentos más con la segunda función objetivo, una población de 1024 y 120 generaciones. Los resultados se muestran en la siguiente figura:
Fig. 6.2 Función objetivo número 2
30 26
. 20 Numero _de
16 gem!rac1ón
10
6 o o----
1 2
29
o
3 4
Número de prueba
26
6
En la gráfica anterior se aprecia que tres de las pruebas encuentran la solución antes de la gene:ración número 30, lo que implica una reducción de más del 50%, con respecto a las pruebas realizadas con la primera función objetivo, en donde la solución se encontró en la generación número 7 4 de la prueba número ocho.
Por lo tanto, la segunda función objetivo permite la obtención de las relaciones, que describen al universo de discurso, de una manera más rápida y con una probabilidad de error menor, comparado con los resultados obtenidos al utilizar la primera función de mérito.
En resumen, se realizaron experimentos utilizando dos funciones objetivo, la primera de ellas utiliza información sintáctica y semántica de las fórmulas que analiza, la segw11da, agrega universos, que constituyen contraejemplos, para el análisis de las fórmulas.
Ambas funciones permiten la obtención de fórmulas bien fonnadas del cálculo predicados de primer orden, que describen, de una manera sencilla y concreta, un universo de discurso dado. Éste resultado, es el esperado en el desarrollo del presente trabajo de tesis.
65
Conclu:siones.
El objetivo de la tesis se cumplió, es decir, se creó un sistema de lógica inductiva basad.o en estrategias evolutivas que pe1mite hacer evolucionar expresiones dentro de un lenguaje de primer orden.
El sistema, tal y como está, encuentra relaciones sobre un universo de discurso que permiten describirlo de una manera más sencilla y concreta. Esta facilidad de poder describir un universo, abre una nueva expectativa a la mejor comprensión de fenómenos naturales poco entendidos por el hombre, pero del que se conocen algunos hechos o relaciones, como en el caso del virus del SIDA.
Sin embargo, se necesitan hacer algunas modifica1;;iones en las estructuras utilizadas por el sistema, para un mejor acceso de los datos y una mayor velocidad de procesamiento.
También, es necesario hacer pequeñas modificaciones en la función objetivo, para eliminar fórmulas encontradas como solución, que más que describir el conjunto de hechos, confunden el análisis de los datos de salida del sistema. Ejemplos de este tipo de fórmulas se encuentran en el apéndice A.
66
Apéndice A.
~~esultados del Sistema.
A.1 Utilizando la primera función df: mérito.
A continuación se presenta la salida producida por el Sistema de Lógica Inductiva utilizando la primera versión de la función objetivo descrita en el capítulo 5. Los resultados mostrados aquí son tan sólo una parte de los obtenidos por el sistema en una ejecución del mismo. La razón de esto, es que el tamaño de los archivos de salida pueden llegar a ocupar más de 50 hojas.
Los datos de entrada utilizados en la ejecución del siste:ma son:
• Tabla de súnbolos: family5 .lsp ( contiene la definición del umverso de discurso).
• Número de generaciones: 120.
• Tamaño de la población: 1024.
• Probabilidad[ de cruzamiento: 0.9
• Coeficiente de reescalamiento: 4.
• Profundidad. máxima de los árboles: 7.
Nótese que la mayoría de las fórmulas, con el valor de mérito más alto (4), son tautologías del tipo (IMP NIL NIL) debido a que la valuación de las subfórmulas, asociadas al conectivo lógico, es NIL.
(IMP (EQV (GRANDP 'MARIO 'MARIO) (IMP (GRANDP 'MARIO (ABUELOP 'JOSE)) (UNIV X3 l (= X3 l 'DA VID)))) (UNIV X3 l (EQV (GRANDP (ABUELOP X3 l) (FATHER (ABUELOP 'JOSE))) (IMP (= 'MARTIN (FATHER 'DA VID)) (UNIV X31 (= (FATHERX31) X31)))))) 4 (IMP (UNIV X31 (= 'MARIO (ABUELOP X31))) (EQV (GRANDP (FATHER (ABUELOP (FATHER 'MARIO))) X31) (IMP (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31))) (UNIV X31 (= (ABUELOP 'JOSE) (FA THER (FA THER X3 l))))))) 1
68
(IMP (EQV (GRANDP 'MARIO 'MARIO) (IMP (GRANDP X3 l (ABUELOP (FA TIIER 'ERNESTO))) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31)))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP X31 (FATIIER (FATIIER X31))) (IMP (= (ABUELOP 'JOSE) (FATIIER 'ERNESTO)) (UNIV X3 l (= X3 l (ABUELOP X3 l))))))) o MARIO o (IMP (UNIV X31 (= X31 (FATIIER 'MARIO))) (UNIV X31 (IMP (IMP (GRANDP 'MARIO (FATIIER X3 l)) (UNIV X3 l (UNIV X3 l (= X31 X3 l)))) (UNIV X3 l (UNIV X3 l (= X3 l X3 l)))))) 4 (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP (ABUELOP 'JOSE)) X31)) (FATIIER X3 I)) 1 (IMP (UNIV 'MARIO (UNIV X3 l (= 'MARIO (ABUELOP X3 l)))) (IMP (EQV (UNIV X3 l (= (ABUELOP X31) X31)) (UNIV X31 (= X31 (FATiffiR 'MARIO)))) (IMP (GRANDP 'MARTIN (FATIIER (ABUELOP 'DAVID))) (UNIV X31 (= X31 (FATIIER (FATIIERX31))))))) 1 (IMP (EQV (GRANDP 'MARIO '(ABUELOP X31)) (IMP (GRANDP 'MARIO (ABUELOP (FATIIER 'ERNESTO))) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31)))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP X31 (FATIIER (FATIIER 'MARIO))) (IMP (= (ABUELOP 'JOSE) (FATIIER 'MARIO)) (lJNIV X31 (= X31 X31)))))) o (IMP MARIO (UNIV X3 l (= X3 l X3 l))) o (IMP (UNIV X31 (UNIV X31 (= (FATIIER X31) 'JOSE))) (UNIV X:il (IMP (GRANDP (ABUELOP 'MARIO) X31) (UNIV X31 (= X31 X31))))) 4 (IMP (UNIV X3 l (= X3 l 'JOSE))(UNIV X3 l (GRANDP X3 l (FA TIIER (FA TIIER X3 l ))))) 4 (IMP (GRANDP (FATIIER 'JOSE) 'ERNESTO) (UNIV X31 (EQV (= (FATHER 'MARIO) X31) (IMP (GRANDP (ABUELOP X31) 'JOSE) (UNIV X31 (= (FATIIER X31) X31)))))) 4 (IMP (EQV (UNIV X3 l (UNIV X3 l (= X3 l 'MARIO))) (IMP (UNIV X3 l (= (ABUELOP 'MARTIN) (FATIIER X31))) (UNIV X31 (= (ABUELOP (FATIIER X31)) (FATIIER (ABUELOP X31)))))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP 'DAVID (ABUELOP X31)) (IMP (GRANDP 'MARTIN (FATIIER 'MARIO)) (UNIV X3 l (= 'JOSE X3 l)))))) 4 (IMP (EQV (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (ABUELOP (FATIIER X31))))) (IMP (UNIV X31 (= X31 (FATHER X31))) (UNIV X31 MARIO))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP 'DAVID X31) (IMP (GRANDP (ABUELOP (FATIIER X31)) X31) (UNIV X31 (= 'MARIO X31)))))) 1 (IMP (EQV (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (ABUELOP (FATIIER X31))))) (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (FATIIER (ABUELOP MARIO)))) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31)))) (UNIV X3 l (EQV (GRANDP 'DA VID X3 l) (IMP (GRANDP 'JOSE (FA THER (FA TIIER X3 l))) (UNIV X31 (= X31 X31)))))) 1 (IMP (IMP (UNIV X3 l (= (ABUELOP X3 l) 'DA VID)) (IMP (GRANI)P 'MARIO (ABUELOP 'DA VID)) (UNIV X31 (UNIV X31 (= X31 X31))))) (IMP (EQV (UNIV X31 (= 'MARIO X31)) (= 'MARTIN 'X31)) (IMP (GRANDP 'DAVID (FATIIER 'JOSE)) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31))))) 1 (IMP (UNIV X31 (IMP (GRANDP (FATIIER 'JOSE) 'JOSE) (UNIV X31 (= (FATIIER X31) X31)))) (UNIV X31 (UNIV X3 l (= (ABUELOP (ABUELOP (FATIIER X3l)))(FATIIER X3 l))))) 3 (IMP (UNIV X31 X31) (UNIV X31 (EQV (GRANDP (ABUELOP X31) (FATIIER (FATIIER X31))) (IMP (GRANDP (FATHER 'JOSE) 'JOSE) (UNIV X31 (= (FATIIER X31) X31)))))) l
69
(IMP (GRANDP 'MARTIN (ABUELOP 'MARIO)) (UNIV 'MARTIN (EQV (GRANDP X31 'JOSE) (IMP (= X31 'MARTIN) (UNIV X31 (=(FA THER X3 l) 'MARTIN)))))) 1 (IMP (= 'MARTIN 'ERNESTO) (UNIV X31 (= (= (FATHER X31) 'MARTIN) X31))) 1 (UNIV X31 (EQV (GRANDP (ABUELOP X31) (FATHER (FATHER X31))) (IMP (GRANDP (FATHER 'JOSE) 'JOSE) (UNIV (FATHER X31) (= (FATHER X31) X31))))) 1 (IMP (GRANDP (FATHER 'JOSE) 'ERNESTO) (UNIV X31 (EQV (= (FATHER X31) X31) (IMP JOSE (UNIV X31 (= (FATHER X3 l) X31)))))) 1 (IMP (EQV (GRANDP (ABUELOP 'MARIO) 'MARIO) (UNIV X31 (= X3 l X3 l))) (GRANDP (ABUELOP (GRANDP X31 'MARIO)) 'JOSE)) 1 (IMP (UNIV X31 (= (F ATHER 'MARTIN) 'ERNESTO)) (UNIV X31 (IMP (GRANDP X3 l 'MARIO) (UNIV X31 (= X31 X31))))) 1 (IMP (UNIV X31 (= (FATHER X31) (ABUELOP (FATHER (ABUELOP X31))))) (EQV (GRANDP DAVID 'MARTIN) (IMP (UNIV X3l (= (FATHER (FATHER X31)) X31)) (UNIV X31 (= X31 'DA VID))))) 1 (IMP MARTIN (UNIV X31 (IMP (IMP (GRANDP 'MARIO X31) (UNIV X31 (= X31 X31))) (UNIV X31 (UNIV X31 (='DAVID X3 l)))))) o (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP (FATHER 'MARIO)) X31)) (UNIV X:31 (IMP X31 (= (FATHER X31) X31)))) 1 (IMP X31 (UNIV X31 (EQV (GRANDP (ABUELOP X31) (FATHER (ABUELOP 'JOSE))) (IMP (= 'MARTIN (FATHER 'DA VID)) (UNIV X31 (= (FATHER X31) X31)))))) o (IMP (UNIV X31 (= i(ABUELOP 'DAVID) (FATHER X31))) (UNIV X31 (= X31 X31))) 4 (IMP (UNIV X31 (= (FATHER (UNIV X31 (= X31 X31))) 'ERNESTO)) (IMP (EQV (GRANDP 'MARIO 'MARIO) (UNIV X31 (= 'MARTIN X31))) (UNIV X31 (= X31 X31)))) 1 (IMP (UNIV X31 (= (FATHER (FATIIER 'DAVID)) (FATHER X31))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP X31 (FATHER (FATHER X31))) (IMP (= X31 (FATHER 'MARIO)) (UNIV X31 (= (FATHERX31) X31)))))) 4 (IMP (EQV (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (ABUELOP (FATHER X31))))) (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (FATHER (ABUELOP X31)))) (UNIV X3l. (UNIV X31 (= (FATHER X31) X31))))) (UNIV X3l (EQV (GRANDP 'DAVID (FATHER X31)) (IMP (GRANDP 'JOSE 'DAVID) (UNIV X3 l (= X3 l X3 l)))))) 4 (IMP (UNIV X31 X31) (UNIV X31 (UNIV X31 (GRANDP (ABUELOP 'MARTIN) (FATHER (FATHER X3 l)))))) 1 (IMP (UNIV X31 (lJNIV (FATHER (FATHER 'JOSE)) (= 'MARIO (ABUELOP (ABUELOP X31))))) (IMP (EQV (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (ABUELOP X31))) (UNIV X31 (= X31 (FATHER 'MARIO)))) (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP (ABUELOP X31)) X31)) (UNIV X31 (= X31 (FATHER (FATHER X31))))))) 1 (IMP (EQV (= 'JOSE 'ERNESTO) (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (FATHER (ABUELOP X31)))) (UNIV X31 (= (ABUELOP 'ERNESTO) X31)))) (UNIV X31 (EQV (UNIV X31 (= (FATHER X31) X31)) (IMP (UNIV X31 (= (FATHER X31) 'MARIO)) (UNIV X31 (= X31 'MARIO))))))
70
4 (IMP (EQV (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) 'MARIO))) (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP 'MARTIN) (FATIIER X31))) (UNIV X31 (= (FATIIER X31) (FATIIER (ABUELOP X31)))))) (UNIV X31 (UNIV X3 l X3 l))) 1 MARIO o (IMP (EQV (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (ABUELOP (FATIIER (ABUELOP X31))))) (IMP (GRANDP (ABUELOP 'MARIO) (ABUELOP 'DAVID)) (FATHER 'JOSE))) (UNIV X31 (= 'MARIO X31))) 1 (IMP (EQV (GRANDP 'MARIO 'MARIO) (IMP (GRANDP 'MARIO(= (ABUELOP X31) X31)) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31)))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP X31 (FATIIER (FATIIER 'MARIO))) (IMP (= (ABUELOP 'JOSE) (FA THER 'lvlARIO)) (UNIV X3 l (= X31 X31)))))) o (IMP (UNIV X31 (= (FATIIER X31) (ABUELOP X31))) (EQV (GRANDP (ABUELOP (FATIIER 'JOSE)) 'MARIO) (IMP (UNIV X31 (= 'MARIO X31)) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31))))) 4 (IMP (UNIVX31 (= X31 X31)) (UNIV X31 (IMP (= (ABUELOP JOSE) X31) (= X31 X31)))) 1 (IMP (GRANDP (FATIIER 'JOSE) (ABUELOP 'MARTIN)) (UNIV X31 (EQV (= (FATIIER X31) 'MARIO) (IMP (GRANDP X31 (FATIIER 'MARTIN)) (UNIV X31 (= X3 l X31)))))) 4 (IMP (UNIV X31 (U\.1P (GRANDP (ABUELOP X31) (FATIIER 'MARTIN)) (UNIV X31 (= (FATIIER X31) X3 l)))) (UNIV X3 l (= (ABUELOP X31) (FATHER (ABUELOP X3 l))))) 4 (IMP (GRANDP (FATIIER 'JOSE) 'ERNESTO) (UNIV X31 (EQV (= (FATIIER X31) X31) (IMP (GRANDP (ABUELOP X31) (FATIIER 'MARTIN)) (UNIV X31 X31))))) 1 (IMP (EQV (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31))) (IMP (UNIV X31 (= (FATIIER X31) (ABUELOP (ABUELOP X31)))) (UNlV X31 (= (ABUELOP 'MARTIN) (FATIIER (ABUELOP X31)))))) (UNIV X31 (= X31 (FATIIER (ABUELOP X31))))) 4 (IMP (UNIV X31 (UNIV X31 (= 'MARIO (ABUELOP X31)))) X31) l (IMP (UNIV X31 (= X31 (FATHER (ABUELOP (FATHER 'MARTIN))))) (UNIV X31 X31)) 1 (IMP (UNIV X3 l (== 'MARTIN (FA THER X3 l))) (UNIV X3 l X3 l)) 1 (IMP (UNIV X31 (= 'MARIO (ABUELOP X31))) (EQV (GRANDP (FATIIER (ABUELOP (FATIIER 'MARIO))) 'MARTIN) (IMP (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31))) (UNIV X31 (= (ABUELOP 'JOSE) (FA TIIER (FA THER X3 l))))))) 4 (IMP (EQV (UNIV X31 (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (ABUELOP (FATIIER X31))))) (IMP (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) (FATHER (ABUELOP X31)))) (UNIV X31 (= (ABUELOP X31) X31)))) (UNIV X31 (EQV (GRANDP X31 X31) (IMP (GRANDP 'X31 (FATIIER (FATIIER X31))) (UNIV X31 (= X31 X3 l))))))
71
A.2 Utilizando la segunda función de mérito.
Las fórmulas que se presentan aquí pertenecen al resultado dado por el sistema utilizando la segunda función de mérito, descrita en el ,capítulo 5, al ejecutarse con los siguientes datos de entrada:
• Tabla de símbolos: familyw.lsp ( contiene la definición del umverso a analizar y los universos de contraejemplo).
• Número de generaciones: 10.
• Tamaño de la población: 256.
• Probabilidad de cruzamiento: 0.8
• Coeficiente ele reescalamiento: 2.
• Profundidad máxima de los árboles: 7.
• No se permite la generación del símbolo de falsedad en las fórmulas.
Se utilizan letras tipo "negritas" para resaltar la fórmula que constituye el resultado esperado por el sistema, es decir, la fórmufa que nos dice que para toda persona su abuelo paten10 es el mismo que el padre de su padre.
Además, se pueden apreciar otras fórmulas encontradas por el sistema y reportadas con el valor máximo en la función objetivo(36), pero que, no son la solución. Su presencia se debe a que solamente son válidas en el universo analizado.
72
(UNIV X43 (= (FATHER (FATHER 'ALICIA)) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER (ABUELOP 'SILVJA)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATI-IER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X:43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FA THER (FA THER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER X43) (FATHER X43))) 36 (UNIV X43 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FA THER 'DA VID)))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36
(UNIV X43 (= (FATHER (FATHER X43)) (ABUELOP X43))) 36
(UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))))
73
-
•
36 (UNIV X43 (= (FATI-lER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER 'ANGELES)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATifüR 'ANGELES) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATIIER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP 'ALEX))) (ABUELOP (ABUELOP (ABUELOP X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP 'ALEX))) (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER 'ADRIANA)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (FATHER 'RICARDO)))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP X43))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER
X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER
X43))))) 36
74
V
(UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FA THER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER 'ANGELES) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= {FATHER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER 'ALICIA))) (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER 'ADRIANA))))) 36 (UNIV X43 (= (FATIIER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER 'DA VID))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP 'ALEX))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER 'ADRIANA))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (ABUELOP 'ALEX)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FA.THER (ABUELOP (FATHER X43))) (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))
75
36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER 'ADRIANA))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36 (UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER 'ANGELES))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER X43))))) 36
(UNIV X43 (= (FATHER (FATHER X43)) (ABUELOP X43,))) 36
(UNIV X43 (= (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER 'ANGELES) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER 'ADRIANA)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER 'SILVIA)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP X43)})} 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))) (FATHER (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHERX43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER X43)) (FATHER (FATHER X43)))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))})) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER 'DA VID))))) 36 (UNIV X43 (UNIV X43 (= (FA THER (ABUELOP 'SILVIA)) (ABUELOP (ABUELOP (FA THER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (ABUELOP X43))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43))))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (FATHER (FATHER X43)))))) 36 (UNIV X43 (= (FATHER (ABUELOP (FATHER (FATHER (FATHER X43))))) (ABUELOP (ABUELOP (ABUELOP 'RICARDO))))) 36
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![Estadistica Inductiva[1]GUIA](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5571fd2b4979599169989168/estadistica-inductiva1guia.jpg)
