ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

DEFORMAÇÃO DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO

Coordenação: Júlio Appleton

Ano Lectivo 2010/2011

Estruturas de Betão I

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 98

1. Estado Limite de Deformação

1.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO

1.1.1. Deformação em fase não fendilhada (Estado I)

a

p

M

1/r

EI I

curvatura: 1 r =

M EII

deslocamento: a = ⌡⌠

L 1 r

–M dx a =

1 EII

⌡⌠L M –M dx (P.T.V.)

–M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.

1.1.2. Deformação em fase fendilhada (estado II)

Problemas:

� Determinação das relações momentos-curvatura

� Consideração da variação de rigidez ao longo dos elementos

� Definição das condições de fronteira da estrutura

1/r

EI I

EI IIMcr

M

Estado II

Estado IM

DMF

p

(+)

Nota: Cada zona da viga tem uma rigidez diferente,

consoante o nível de momento actuante.

Estruturas de Betão I

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 99

Por forma a ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura

média para cada zona do elemento.

M M

IIEIII

1/r

M

Mcr

EII

MI

(1/r)I (1/r)m (1/r)II

Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura

média pode ser calculada através de uma média ponderada entre as curvaturas em

estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):

1 rm = (1 −−−− ττττ)

1 rI

+ ττττ 1

rII

a =

⌡⌠

0

L 1rm

–M dx

Ο coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples pode ser obtido através de:

τ = 1 – β1 β2

σsr

σs 2

= 1 – ββββ1 ββββ2

Mcr

M

2

para M > Mcr

onde,

β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões

(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência normal);

β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0

para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando com

permanência ou para vários ciclos de cargas);

σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante

da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;

σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante

da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular a flecha.

Nota: Se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ 1

rm = 1

rI

Estruturas de Betão I

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 100

1.1.2.1. Cálculo da curvatura em estado I

A curvatura em estado não fendilhado pode ser calculada através da expressão

1 rI

= ks1 × 1

rc + ks1 kϕ1 ϕ ×

1 rc

+ 1

rcs1 ,

onde,

ks1 – coeficiente que entra em linha de conta com a acção das armaduras

1 rc

– curvatura de base

1

rc =

M Ec Ic

kϕ1 – coeficiente que entra em linha de conta com o efeito da fluência

ϕ – coeficiente de fluência

1 rcs1

– acção da retracção

1

rcs1 = kcs1

εcs d

1.1.2.2. Cálculo da curvatura em estado II

1 rII

= ks2 × 1

rc + ks2 kϕ2 ϕ ×

1 rc

+ 1

rcs2 ,

1

rcs2 = kcs2

εcs d

1.1.2.3. Método Bilinear (τ constante)

i) Cálculo dos parâmetros

ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2

ii) Cálculo do coeficiente de repartição τ

M = MD Mcr ⇒ τ = 1 – β1 β2 Mcr MD = constante

onde MD representa momento na secção determinante.

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MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 101

Secções determinantes (secções de momentos máximos) - Exemplos

τ = τvão

τ = τapoio

τ = 2 τvão + τapoio

3

τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 2

4

iii) Cálculo de flechas

τ = constante ⇒ a = ⌡⌠

0

L

1 rm

–M dx = ⌡⌠

0

L

(1 - τ)

1 rI

+ τ 1

rII –M dx = ⇔

⇔ a = (1 – τ) ⌡⌠

0

L 1rI –M dx + τ

⌡⌠

0

L 1rII

–M dx ⇔ a = (1 – ττττ) aI + ττττ aII

com aI = ⌡⌠

0

L

ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ×

1 rc

+ kcs1 εcs d –M dx

aII = ⌡⌠

0

L

ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ×

1 rc

+ kcs2 εcs d –M dx

1.1.2.4. Método dos Coeficientes Globais

(coeficientes constantes definidos para a secção determinante)

coeficientes constantes ⇒ aI = ⌡⌠

0

L

ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ×

1 rc

+ kcs1 εcs d –M dx ⇔

⇔ aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ⌡⌠

0

L

1 rc

–M dx + kcs1 εcs d

⌡⌠0L –M dx

Desprezando a parcela da retracção, aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac

Da mesma forma, aII = ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac

Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a

a = (1 – τ) aI + τ aII = (1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac ⇔

⇔ a = [ ](1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac = k ac

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MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 102

Aplicação do Método dos Coeficientes Globais

a) Cálculo do deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de

flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.

b) Correcção do deslocamento para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a

fluência.

Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (h/d)3 (tabelas pág. 97)

Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (h/d)3 (tabelas págs. 98 e 99)

ac – flecha base (tabelas páginas 154 e 155)

k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da

fendilhação ( )função de d/h, αρ, Mcr / MD

kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da

fendilhação e da fluência ( )função de ϕ, d/h, αρ, Mcr / MD

η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de

compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ)

(k0, kt e η para as secções determinantes → cálculo de coeficientes ponderados)

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MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 103

EXERCÍCIO 3.4

Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)

0.55 0.60

5.00

0.30

p

3φ20

Materiais: C25/30

A400 NR

Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.4

1. Cálculo da flecha elástica

a) Pelo P.T.V.,

DMF[kNm]

(+)

pfr

D 1/R62.5

Mmax = p L2

8 = 20 × 52

8 = 62.5 kNm

1 R =

M EI

1.25m

(+)

1

DMF [m]

Mmax = P L

4 = 5 4 = 1.25 m

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MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 104

a = ⌡⌠

L 1r

–M dx =

⌡⌠

L M

–M

EI dx = 1EI ×

53 × 62.5 × 1.25 ×

1 +

2.52

52 = 9.88 × 10-4m

(tabelas pág. 153)

E = 30.5 × 106 kN/m2

I = 0.3 × 0.63

12 = 0.0054 m4 ⇒ EI = 164700 kNm2

b) Por tabelas (pág. 154)

δ = 5

384 × pL4

EI = 5

384 × 20 × 54

164700 = 9.88 × 10-4 m ⇒ ac = 9.9 × 10-4 m

2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)

(Considera-se ϕ = 2.5)

α = Es

Ec =

200 30.5 = 6.6

ρ = As

bd = 9.42 × 10-4 0.3 × 0.55 = 0.0057

⇒ αρ = 0.038

Mcr = W × fctm =

bh2 6 × fctm =

0.30 × 0.602 6 × 2.5 × 103 = 45kNm

Mfr = 62.5kNm > Mcr

⇒ Mcr

Mfr = 0.72

(ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75

ρ’ = As' bd = 0 ⇒ ρ’/ρ = 0 ⇒ η = 1

at =

h

d

3

η kt ac =

0.60

0.55

3

× 3.75 × 9.9 ×10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm

3. Cálculo da flecha instântanea

αρ = 0.038

Mcr Mfr

= 0.72 (Acções repetidas) ⇒ k0 = 2.3

a0 =

h

d

3

k0 ac =

0.60

0.55

3

× 2.3 × 9.99×10-4 = 0.003 m = 3 mm

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1.2. LIMITE DE DEFORMAÇÃO

De acordo com o EC 2 (parágrafo 7.4.1)

δmáx = L

250 para a combinação de acções quase-permanentes

Caso a deformação afecte paredes divisórias, δmáx = L

500

1.3. CONTROLO INDIRECTO DA DEFORMAÇÃO

p

Lac

ac = K pL4 EI

Para uma secção rectangular: I = bh3 12 ⇒

ac L = K

12 p b E

L

h

3

∴ A deformação pode ser controlada de forma indirecta pela esbelteza (L/h)

De acordo com o EC2, a deformação pode ser controlada indirectamente caso sejam

respeitados os limites de esbelteza indicados na Tabela 7.4N.

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