estruturas_algebricas

Introducao Operacoes Binarias Semigrupos Grupos

Estruturas Algebricas

Prof. Dr. Leandro Balby Marinho

Matematica Discreta

Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 1 / 46 UFCG CEEI


Roteiro

1. Introducao

2. Operacoes Binarias

3. Semigrupos

4. Grupos



Introducao

I Algebra Elementar.I Exemplo: adicao e multiplicacao sobre os inteiros.I Essencia: operacao binaria sobre um conjunto.

I Abstracao: recurso poderoso.I Consiste em isolar a essencia do problema.I Conexao entre problemas aparentemente nao relacionados.I Problemas complexos viram simples casos de esquema mais

geral.I Permite reuso de resultados.

I Modelagem na computacao:I Interessa mais o esquema geral que os detalhes.I Abstracao permite focar mais no que interessa.



Roteiro

1. Introducao


3. Semigrupos

4. Grupos



Operacoes Binarias

Definicao 2

Uma operacao binaria sobre um conjunto A:

I e uma funcao f : A A A.I definida para todos os pares ordenados de elementos em A.

I atribui a cada par ordenado de elementos em A um unicoelemento em A (fechamento).



Notacao

I Os smbolos +, , , etc. sao usados para denotar operacoesbinarias sobre um conjunto.

I Dado um conjunto A e um operador definido por

+ : A A A

para +(a, b) = c escrevemos a + b = c (notacao infixa).



Exemplo 1

Seja + a operacao de adicao usual nos inteiros. Entao + e umaoperacao binaria sobre os inteiros:

a, b Z (a + b) Z e (a + b) e unico



Exemplo 2

Seja / a operacao de divisao usual em R. Entao / nao e umaoperacao binaria em R:

(a, b) R R : (a/b) 6 R

Por exemplo, 3/0 nao e definida.



Exemplo 3

Seja a operacao usual de subtracao em Z+. Entao nao euma operacao binaria em Z+.

Por exemplo, 3 5 6 Z+.



Exemplo 4

Seja P(S) para algum conjunto S .I Sejam A e B dois subconjuntos de P(S).I e sao operacoes binarias em P(S) (verifique!).



Exerccio 1

Seja uma operacao sobre Z tal que a b retorna um inteiro menordo que a e do que b. Determine se e uma operacao binaria.



Exerccio 2

Seja uma operacao sobre Z tal que a b retorna max(a, b).Determine se e uma operacao binaria.



Operacoes Binarias

Note que e possvel definir muitas operacoes binarias sobre o mesmoconjunto.

Exemplo 5: Seja L um reticulado. Sao operacoes binarias em L:

I a sup b (sup = supremum).

I a inf b (inf = infimum).



Operacoes Binarias & Tabelas

Pode-se definir uma operacao binaria sobre um conjunto A = {a1, a2, . . . , an}por meio de uma tabela:

a1 a2 . . . ai . . . ana1a2...ai ai aj...an

Elemento na posicao i , j denota ai aj .



Operacoes Binarias: Comutatividade

Uma operacao binaria e comutativa em um conjunto A se:

a b = b a a, b A



Exerccio 3

Determine se a operacao de subtracao usual em Z ecomutativa.



Operacoes Binarias: Associatividade

Uma operacao binaria e associativa em um conjunto A se:

a (b c) = (a b) c a, b, c A



Exerccio 4

Considere a operacao em Z+ definida por:

a b = a + b + 2 a, b Z+

Mostre que a operacao e associativa.



Operacoes Binarias: Identidade

Um elemento e A e chamado de elemento identidade (ou elementoneutro) em relacao a` uma operacao binaria , se para todo a A

a e = e a = a

Teorema 1

O elemento neutro, quando existe, e unico.



Operacoes Binarias: Inverso

Assuma que uma operacao binaria em um conjunto A possuium elemento neutro e. Se para cada elemento a A, existe umelemento b A tal que:

a b = b a = e

entao b e chamado de elemento inverso e e denotado por a1.



Exemplo 6

O elemento 0 e o elemento neutro da adicao nos inteiros, pois

0 + a = a + 0 a Z

De outra forma, a Z e o inverso de a, pois

a + (a) = (a) + a = 0 a A (1)



Exerccio 5

Determine, se existirem, os elementos neutros e inversos damultiplicacao em Z.



Roteiro

1. Introducao


3. Semigrupos

4. Grupos



Estruturas Algebricas

Definicao 1

Uma estrutura algebrica consiste de um conjunto associado a umaou mais operacoes fechadas sobre esse conjunto satisfazendo certosaxiomas.

I Denotamos uma estrutura algebrica por C ,F onde C denotaum conjunto arbitrario e F um conjunto de operacoes em C .

I Estruturas algebricas tambem sao chamadas de algebras oualgebras universais.



Exemplo de Estrutura Algebrica

Seja C ,F onde C = R e F = {+, }, onde s e m sao duas funcoesbinarias dadas por

+ : R2 R tal que s(x , y) = x + y e : R2 R tal que m(x , y) = x y

Ou de forma equivalente R,+,



Semigrupos

I Uma estrutura algebrica S , onde e uma operacao binariaassociativa sobre S .

I Muitas aplicacoes importantes (e.g. maquinas de estadosfinitos).

I S , e chamado comutativo se e uma operacaocomutativa.



Exemplo 7

(i) N,+ e um semigrupo, pois a adicao e associativa nosnaturais.

(ii) N, e um semigrupo, pois a multiplicacao e associativa nosnaturais.

(iii) P(S), e um semigrupo, pois a uniao e uma operacaoassociativa entre conjuntos.

(iv) Z, nao e um semigrupo, pois a subtracao nao eassociativa nos inteiros. Assuma 2, 5, 6 Z. Entao

(2 5) 6 = 3 6 = 9 e 2 (5 6) = 2 (1) = 3



Exemplo 8

Seja a operacao binaria em Q definida por

a b = a + b ab

Mostre que Q, e um semigrupo. E comutativo?



Exemplo 8 cont.

Mostrando associatividade:

(a b) c = (a + b ab) c = (a + b ab) + c (a + b ab)c= a + b ab + c ac bc + abc= a + b + c ab ac bc + abc

a (b c) = a (b + c bc) = a + (b + c bc) a(b + c bc)= a + b + c bc ab ac + abc

Mostrando comutatividade:

a b = a + b ab = b + a ba = b a



Exemplo 9

I Seja A = {a1, a2, . . . , an}.I Sejam u e v dois elementos de A.1

I Seja a operacao binaria de concatenacao sobre A.I A concatenacao e associativa. Para quaisquer u, v ,w A

u (v w) = (u v) wI Entao, A, e um semigrupo.I Tambem chamado semigrupo livre gerado por A.

1conjunto de todas as cadeias finitas de smbolos de AProf. Dr. Leandro Balby Marinho 27 / 46 UFCG CEEI


Monoide

Semigrupo que satisfaz identidade.

Exemplo 11: O semigrupo P(S), e um monoide pois e oelemento neutro:

A = A = A, A P(S)

Exemplo 12: O semigrupo A, e um monoide pois a string vazia() e o elemento neutro

u = u = u, u A



Exerccio 6

Quais dos seguintes semigrupos sao monoides? Identifique os ele-mentos neutros.

a) N,+b) N, c) Q, d) R+,+e) R,+f) P(S),g) P(S),



Subsemigrupos & Submonoides

I A associatividade vale em qualquer subconjunto de umsemigrupo.

I Portanto, um subsemigrupo T , de um semigrupo S , epor si mesmo um semigrupo.

I Da mesma forma, um submonoide de um monoide e eleproprio um monoide.



Exemplo 10

I Seja T o conjunto de todos os inteiros pares.

I Entao T , e um subsemigrupo de Z, onde e amultiplicacao usual.

I Mas nao e um submonoide (por que?).



Isomorfismo e Homomorfismo

Sejam S , e T , dois semigrupos2. Uma bijecao f : S T eum isomorfismo de S , em T , se

f (a b) = f (a) f (b)

Para mostrar que dois semigrupos sao isomorfos devemos mostraros passos abaixo:

1. Definir uma funcao f : S T .2. Mostrar que f e bijetora.

3. Mostrar que f (a b) = f (a) f (b)Quando somente (3) e satisfeito temos um homomorfismo.

2O mesmo serve para grupos.Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 32 / 46 UFCG CEEI


Exemplo 11

Seja T o conjunto de todos os inteiros pares. Seja f : Z Tdefinda por f (a) = 2a. Mostre que os semigrupos Z,+ e T ,+sao isomorfos.



Roteiro

1. Introducao


3. Semigrupos

4. Grupos



Grupos

I Um grupo G , e um monoide com a seguinte propriedadeadicional:

a G , a G a a = a a = eI Grupo = conjunto G+operacao binaria sobre G tal que:

I associatividade (semigrupo).I semigrupo + identidade (monoide).I monoide + inverso (grupo).I grupo + comutatividade (grupo abeliano).



Exemplo 12

I Z,+ onde + e a adicao e um grupo (verifique).I Z+, onde e a multiplicacao nao e um grupo (verifique).I R \ {0}, onde e a multiplicacao e um grupo (verifique).



Exemplo 13

Mostre que G , , onde G = R \ {0} e

a b = (ab)/2

e um grupo abeliano.



Exemplo 13 cont.

I Fechamento: a b = (ab/2) e um real-nao nulo.I Associatividade:

(a b) c = ab2 c

=abc

4

a (b c) = a bc2

=abc

4



Exemplo 13 cont.

I Elemento neutro: 2

a 2 = a22

= a =2a

2= 2 a

I Elemento inverso: 4/a

a 4a

=a4/a

2= 2 =

4a/a

2=

4

a a

I Comutatividade:

a, b G , a b = b a (2)



Unicidade de Inversos

Teorema 2

Todo elemento a em um grupo G , tem apenas uma inversa em G .

Prova:

I Sejam a e a ambas inversas de a.

I entao:

a (a a) = a e = a(a a) a = e a = a

I Por associatividade: a = a.

I Denotaremos a inversa de a por a1.



Regras de Cancelamento

Teorema 3

Sejam a, b, c elementos de um grupo G , . Entao:(a) a b = a c b = c (cancelamento a` esquerda).(b) b a = c a b = c (cancelamento a` direita).

Prova para (a): Multiplicando os dois lados por a1

a1 (a b) = a1 (a c)(a1 a) b = (a1 a) c (por associatividade)

e b = e c (pela def. de inversa)b = c (pela def. de identidade)

Prova de (b) similar.



Resolucao de Equacoes Lineares em um Grupo

Teorema 4

Sejam a e b elementos de um grupo G , . Entao:(a) A equacao a x = b tem uma solucao unica em G .(b) A equacao x a = b tem uma solucao unica em G .

Prova de (a): O elemento x = a1 b e uma solucao, pois:

a (a1 b) = (a a1) b = e b = b

Por contradicao, assuma que ha duas solucoes: x1 e x2.

a x1 = b e a x2 = b x1 = x2Prova de (b) similar



Representacao em Tabelas

I Se um grupo G , tem um numero finito de elementos,entao a sua operacao binaria pode ser dada por uma tabela.

I A tabela deve satisfazer as seguintes propriedades:I Linha e coluna rotuladas por e devem conter todos os

elementos.I Pelo Teorema 4: cada elemento do grupo deve aparecer

exatamente uma vez em cada linha e coluna da tabela.

I Cada linha e coluna e uma permutacao diferente doselementos de G .

I A ordem de G , e o numero de elementos |G | em G .



Tabelas para Diferentes Ordens de Grupos

I Ordem 1: G = {e}I e e = e.

I Ordem 2: G = {e, a} e ae e aa a ?

I Como nao pode haver repeticoes o espaco em branco deve serpreenchido com e.

e ae e aa a e

I Satisfaz todas as propriedades de grupo.



Tabelas para Diferentes Ordens de Grupos

I Ordem 3: G = {e, a, b} e a be e a ba a ? ?b b ? ?

I Possibilidades diferentes para preencher a tabela:

e a be e a ba a e bb b a e

I Pode-se mostrar que e um grupo (associatividade trabalhoso).



Exerccio 6

Suponha que e uma operacao binaria associativa em {1, a, b, c , d}.Complete a tabela a seguir de modo a definir um grupo com identi-dade 1.

1 a b c d1 1a c d 1b c dc d ad b c



Referencias

Keneth H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Applications.Sexta Edicao. McGRAW-HILL International Edition, 2007.

Judith L. Gersting. Fundamentos Matematicos para a Cienciada Computacao. Quinta Edicao. LTC, 2004.

Algebraic Structures. Wikipedia. Wikimedia Foundation Inc..02 Nov. 2010.http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure.Joao C. A. Barata. Curso de Fsica Matematica. Livro on-line.02 Nov. 2010. http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/notas_de_aula.html.


1. Introduo2. Operaes Binrias3. Semigrupos4. Grupos

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