MIĘDZYNARODOWY KONKURS « MATEMATYKA BEZ GRANIC » dla klas III gimnazjów oraz klas I liceów i techników

organizowany przy udziale Regionalnego Inspektoratu Pedagogicznego i IREM w Strasburgu

���� Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce.

���� Obowiązuje limit jednej kartki na zadanie.

���� Rozwiązania zadań 1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12 i 13 należy podać wraz z uzasadnieniem. ���� Częściowe rozwiązania także mogą być punktowane.

���� Pod uwagę brana będzie też staranność pracy.

Remplie jusqu’au bouchon, une bouteille a une contenance d’un litre. Un garnement est passé par là. Il a consommé une partie du liquide avant de reboucher soigneusement la bouteille. Sa maman voudrait savoir s’il reste plus ou moins d’un demi-litre de liquide dans la bouteille sans faire de calcul ni la déboucher. Comment peut-elle faire? Décrire la méthode. Justifier. Una botella de un litro está llena hasta arriba. Un niño pasó por aquí. Ha consumido una parte de líquido antes de cerrar cuidadosamente la botella. A su madre le gustaría saber si queda más o menos de medio litro de líquido en la botella sin calcular ni destaparla. ¿ Cómo puede hacerlo ?

Describe el método y justifica.

Eine Flasche,

gefüllt bis zum Verschluss, enthält genau einen Liter. Da kommt ein Lausbub vorbei, stibitzt einen Teil des Inhalts und verschließt die Flasche wieder sorgfältig. Seine Mutter wüsste gerne, ob sich nun mehr oder weniger als ein halber Liter Flüssigkeit in der Flasche befindet. Wie kann sie dies herausfinden, ohne zu rechnen und ohne die Flasche zu öffnen?

Beschreibe die Methode und begründe sie. Filled up to the cork, a bottle has a capacity of one litre. A 'little devil' (or a 'bad boy') came across. He drank some of the liquid before recorking the bottle carefully. His mum would like to know whether there is more or less than half a litre of liquid in the bottle, without any calculation and without opening it. How can she do this? Describe the method and justify.

Karina i Krystian bawią się układanką, której elementy mają kształt kwadratów i trójkątów równobocznych. Boki tych wielokątów są jednakowej długości. Dzieci układają na wszystkie możliwe sposoby figury złożone z dokładnie jednego kwadratu i trzech trójkątów. W każdej z nich każde dwa klocki powinny mieć wspólny bok i nie nachodzić na siebie nawzajem. Figury przystające uważa się za jednakowe. Wykorzystując oprócz jednej wszystkie możliwe znalezione wcześniej figury, Karina i Krystian otrzymali kształt przedstawiony na rysunku obok. W rozwi ązaniu przerysuj przedstawiony obok kształt i zaznac z kontury ka żdej czteroelementowej figury, a nast ępnie narysuj t ę, która nie została przez dzieci wykorzystana.

ETAP TRENINGOWY ETAP TRENINGOWY ETAP TRENINGOWY ETAP TRENINGOWY –––– edycja 2007 edycja 2007 edycja 2007 edycja 2007

Zadanie 1 7 punktów Do połowy puste czy do połowy pełne?Do połowy puste czy do połowy pełne?Do połowy puste czy do połowy pełne?Do połowy puste czy do połowy pełne?

Zadanie 2 5 punktów Trzech na jednegoTrzech na jednegoTrzech na jednegoTrzech na jednego

Odpowied ź do zadania powinna by ć zredagowana po angielsku, niemi ecku, francusku lub hiszpa ńsku w minimum 30 słowach.

Zadanie 3 7 punktów RecyclingRecyclingRecyclingRecycling

Ernest otrzymał właśnie kalendarz na 2006 rok, ale w tym roku nie będzie miał już z niego pożytku. Zdecydował, że zachowa go na później i wykorzysta wtedy, gdy wszystkie daty znów będą odpowiadać tym samym dniom tygodnia.

W którym roku najwcze śniej Ernest b ędzie mógł wykorzysta ć swój kalendarz? Odpowied ź uzasadnij.

Jaka jest suma cyfr liczby 10 2006 – 2006? Uzasadnij.

Zadanie 5 7 punktów KaKaKaKażżżżdemu jego drogademu jego drogademu jego drogademu jego droga

Pięcioma mieszkańcami planety Czworościennej, wybrukowanej setką trójkątnych kamiennych płytek, są: Niebieski (Bleu), Żółty (Jaune), Fiołkowy (Violet), Czerwony (Rouge) i Zielony (Vert). Każdy z nich posiada dwa domy. Ich położenie oznaczono na siatce czworościanu foremnego odpowiednio literami B, J, M, R i V. Każdy mieszkaniec chce wytyczyć drogę we właściwym dla niego kolorze łączącą jego domy, wykorzystując w tym celu trójkątne płytki. Droga może przechodzić z jednej płytki na drugą tylko wtedy, gdy mają one wspólny bok. Dwie różne drogi nie mogą przechodzić przez tę samą płytkę.

Matylda ma 9 żetonów ponumerowanych liczbami od 1 do 9. Są one ułożone na bokach trójkąta, tak że suma liczb na każdym boku wynosi 20. Matylda zauważyła, że suma kwadratów liczb na każdym boku trójkąta wynosi 126.

W rozwi ązaniu narysuj wła ściwe rozmieszczenie żetonów na bokach trójk ąta.

Zadanie 4 5 punktów DziewiDziewiDziewiDziewięćęćęćęćsiłsiłsiłsił

Zadanie 6 5 punktów ŻŻŻŻetony Matyldyetony Matyldyetony Matyldyetony Matyldy

W rozwiazaniu przerysuj siatk ę czworo ścianu, a następnie wytycz na niej przebieg 5 dróg z zachowaniem wszystkich warunków zadania.

Zagubiony w bezksiężycową noc mały Łukasz usłyszał pierwsze uderzenie zegara Dingdorf wybijającego północ ; 5 sekund później pierwsze uderzenie zegara Dangpaese, a po kolejnych 4 sekundach pierwsze uderzenie zegara Dongfalu. Łukasz wie, że te 3 zegary biją dokładnie w tym samym czasie. Wieże tych trzech zegarów w trzech różnych miasteczkach są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku długości 3,4 km. Dźwięk rozchodzi się w powietrzu z prędkością 340 m/s.

Zadanie 8 5 punktów ZdumiewajZdumiewajZdumiewajZdumiewająąąącececece

Kamila siedzi naprzeciw swojego młodszego brata Maksa i zapisuje na kartce liczbę pięciocyfrową. Maks bez poruszania kartki odczytuje tę samą liczbę, co Kamila. Liczba ta nie zaczyna się i nie kończy zerem, a w jej zapisie nie ma cyfry 1.

Znajd ź wszystkie liczby pi ęciocyfrowe, które mogła zapisa ć Kamila.

Czy w czasie pięknej pogody z progu „Schroniska Przyjaciół” - l'Auberge des Amis (na wysokości 900 m n.p.m.) można zobaczyć dwonnicę kościółka w l'Orpaillage (na wysokości 660 m n.p.m.)? Odpowiedz, korzystaj ąc z zamieszczonej obok mapy. Odpowied ź uzasadnij.

Zadanie 7 7 punktów W W W W śśśśrodku nocyrodku nocyrodku nocyrodku nocy

Zadanie 9 7 punktów

Punkt widokowyPunkt widokowyPunkt widokowyPunkt widokowy

W rozwi ązaniu przerysuj znajduj ący si ę obok plan, przyjmuj ąc, że 1 cm odpowiada 340 metrom. Wyznacz na nim miejsce, w którym znajduje si ę Łukasz. Opisz i wyja śnij wykorzystan ą metod ę.

Ewa i Michał narysowali po jednym trójkącie równoramiennym o tej własności, że dwusieczna jednego z jego kątów wewnętrznych dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. Obydwa mają różne kształty. Ewa od razu narysowala swój za pomocą cyrkla i linijki, a Michał, zanim narysował swój za pomocą cyrkla, linijki i kątomierza, musiał najpierw obliczyć miary kątów. Narysuj dwa takie trójk ąty, postepuj ąc raz, jak Ewa, a drugi raz, jak Michał. Czy istniej ą jeszcze inne trójk ąty spełniaj ące warunki zadania? Odpowied ź uzasadnij.

Zadanie 11 5 punktów Sumy kwadratówSumy kwadratówSumy kwadratówSumy kwadratów

Na stronie internetowej www.archimedes-lab.org można znaleźć dwie układanki składające się z elementów wyciętych z pięciu kwadratów. Długości boków tych kwadratów są kolejnymi liczbami całkowitymi. Trzy pierwsze kwadraty, a także dwa ostatnie pozwalają na zbudowanie dwóch kwadratów o równych polach.

Bez wykonywania poszczególnych cz ęści układanki, oblicz długo ść boku trzeciego z pi ęciu kwadratów układanki.

Zadanie 12 7 punktów Problem egzystencjalnyProblem egzystencjalnyProblem egzystencjalnyProblem egzystencjalny

Stefan zobaczył na tablicy taki rysunek.

Dla jakich warto ści x można zbudowa ć taki trójk ąt? Odpowied ź uzasadnij.

Aby narysować krzyż maltański, wystarczy wykreślić cztery okręgi, których środkami są wierzchołki kwadratu o boku 8 cm i które przechodzą przez środek kwadratu. Te cztery okręgi przecinają boki kwadratu w 8 punktach będących wierzchołkami ośmiokąta. Krzyż maltański jest ograniczony przez łuki okręgów i przez te boki ośmiokąta, które nie leżą na bokach kwadratu.

Narysuj i pokoloruj taki krzy ż. Czy powstały o śmiok ąt jest foremny? Odpowied ź uzasadnij.

Zadanie 10 10 punktów TrójkTrójkTrójkTrójkąąąątytytyty

Zadania dla klas ponadgimnazjalnych

Zadanie 13 10 punktów KrzyKrzyKrzyKrzyżżżż malta malta malta maltańńńńskiskiskiski