etm hilfe

8/3/2019 etm hilfe

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Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente Statik 1.2-1

2. Zentrale Kraftsysteme

● Definition:

– Ein Kraftsystem, bei demsich die Wirkungslinien al-ler Kräfte in einem Punktschneiden, wird als zen-trales Kraftsystem be-zeichnet.

– Die Kräfte dürfen entlangihrer Wirkungslinie in dengemeinsamen Angriffs-punkt verschoben wer-

den.

F 1

F 2

F 3

F 4

F 1

F 2

F 3

F 4

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– Beispiel:

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2.1 Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum

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F 1

F 2

F

●

Addition zweier Kräfte:– Die resultierende Kraft hat die

gleiche Wirkung wie die bei-den Einzelkräfte.

– Die Addition erfolgt nach der

Parallelogrammregel.

– Aneinanderfügen der Kraft-pfeile führt zum gleichen Er-

gebnis. F 1

F 2

F

F

F 1

F 2

F = F 1 F

2

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● Kraftvektoren:

– Pfeile, für die eine Addition nach der Parallelogrammregeldefiniert ist, erfüllen die Rechengesetze für Vektoren.

– Kräfte sind Vektoren, die entlang ihrer Wirkungslinie ver-schoben werden dürfen.

– Sie werden daher als linienflüchtige Vektoren bezeichnet.

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● Lageplan:

– Im Lageplan werden dieKräfte so eingezeichnet,

wie sie am Körper angrei-fen:

● Kräfteplan:

– Im Kräfteplan werden dieKräfte zum Kräftepolygonzusammengesetzt:

F 1

F 2

F

F 1

F 2

F

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F 1

F 2

α 1

α 2

F α

● Beispiel: Öse

– Gegeben:

● F 1 = 250N, α

1= 30˚

● F 2= 375N , α

2= 45˚

–

Gesucht:● Resultierende Kraft F , α

– Lageplan:

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F 1

F 2

α 1 α 2

F

α

α 1

F 2= F 1

2 F 22−2 F 1 F 2cos 1 2

sin 90 °− 1

F 2

=sin 1 2

F

cos 1−= F 2

F sin 1 2

– Kräfteplan:–

Kosinussatz:

– Sinussatz:

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F 2=250

2 N

23752 N

2−2⋅250 N ⋅375 N cos 75° =154600 N 2

cos30 °−= 375

393,2sin 75°=0,9212

F =393,2 N

=30° −22,90 ° =7,100 °

– Zahlenwerte:

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F 1

F 2

F

●

Zerlegung von Kräften:– Eine Kraft kann eindeutig in

ihre Komponenten entlang vonzwei vorgegebenen Wirkungs-linien zerlegt werden.

● Kartesische Komponenten:

F

F x

F y

x

y

α

e x

ey

F = F x F y= F x e x F y e y

F x= F cos , F y= F sin

F = F x2 F y

2 , tan = F y

F x

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F = F 1 F 2= F 1 x F 1 y F 2 x F 2 y

= F 1 x F 2 x e x F 1 y F 2 y e y

= F x e x F y e y

●

Addition in Komponenten:

– Vorzeichenregel:● Komponenten in Koordinaten-

richtung werden positiv gezählt,Komponenten entgegen derKoordinatenrichtung werdennegativ gezählt.

F x= F 1 x F 2 x

F y= F 1 y F 2 y

x

y

F x

F y

F x F y

+

-

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● Beispiel: Öse

– Gegeben:

● F 1 = 250N, α

1= 30˚

● F 2= 375N , α

2= 45˚

–

Gesucht:● Resultierende Kraft F , α

F 1

F 2

α 1

α 2 F

α x

y

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– Zerlegung der Kräfte in ihre Komponenten:

F 1

F 2

α 1

α 2

x

y

F 1y F 1 x

F 2 x

F 2y

F 1 x= F 1cos 90 °− 1

= F 1sin 1

F 1 y= F 1sin 90 °− 1

= F 1cos 1

F 2 x= F 2cos 90 °− 2

= F 2sin 2

F 2 y=− F 2sin 90 °− 2

=− F 2cos 2

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– Resultierende Kraft:

F 1 x = 250 N ⋅cos60 ° = 125,0 N

F 2 x = 375 N ⋅cos 45° = 265,2 N

F x = 390,2 N

F 1 y = 250 N ⋅sin 60 ° = 216,5 N F 2 y = −375 N ⋅sin 45° = −265,2 N

F y = −48,7 N

F α

x

y F x

F y

F = 390,2248,7

2 N =393,2 N

tan =−48,7

390,2=−0,1248 =−7,114 °

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F 1

F 2

F 3

F 4

F 1

F 2

F 3

F 4

F

F

(F 3 )

(F 2 )

Lageplan Kräfteplan

● Addition mehrerer Kräfte:

– Zeichnerische Lösung:

– Die Reihenfolge der Addition ist beliebig.

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– Rechnerische Lösung

● Zerlegung der Einzelkräfte in x - und y -Komponenten● (skalare) Addition der einzelnen Komponenten● (vektorielle) Addition der Gesamtkomponenten

F x = ∑n F n x

F y = ∑n

F n y } F = F x e x F y e y

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Lageplan: Kräfteplan:

F 1

F 2

F 3

F 4

F 5

F 1

F 2

F 3

F 4 F 5 ∑ F =0 :

∑ F x=0

∑ F y=0

● Gleichgewichtsbedingung:

– Ein zentrales Kraftsystem ist im Gleichgewicht, wenn dieVektorsumme aller Kräfte null ist.

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●

Beispiel:– Eine Kugel liegt auf einer glatten schie-

fen Ebene und wird von einer glattenWand gehalten.

– Gegeben:

● Gewicht G = 100N● Winkel α = 20°

– Gesucht:

● Kräfte zwischen Kugel und Wänden

α

G

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– Schritt 1: Freischneiden der Kugel

● Die Wände werden entfernt.● Die Kräfte, die die Wände auf die

Kugel ausüben, werden als unbe-kannte Kräfte eingetragen.

α

G

α

N 1

N 2

Eine glatte Wand kann nur Kräfte senkrechtzu ihr ausüben.

Eine glatte Wand kann nur Kräfte senkrechtzu ihr ausüben.

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– Schritt 2: Gleichgewichtsbedingung

● Die unbekannten Kräfte werden so bestimmt, dass dieGleichgewichtsbedingung erfüllt ist.

● Mit Kräfteplan:

G

α

N 1

N 2

G= N 2cos N 2=G

cos

N 1= N 2sin =G tan

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● In Komponenten:

● Zahlenwerte:

G

α

N 1

N 2

x

y

N 2=100 N

cos20 °=

100 N

0,9397=106,4 N

N 1=100 N ⋅tan 20° =100 N ⋅0,3640=36,4 N

∑ F y=0 : −G N 2cos =0

N 2=G

cos

∑ F x =0 : N 1− N 2sin =0

N 1=G tan

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x

y

z

F

F y F

x

F z

F = F x e x F y e y F z e z

F = F x2 F y

2 F z

2

F x=∑n

F nx , F y=∑n

F ny ,

F z =∑n

F nz

● Kräfte im Raum: – Komponenten:

– Addition:

– Gleichgewicht:

∑ F x=0, ∑ F y=0, ∑ F z =0

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● Beispiel:

– Eine Last hängt an dreiSeilen, die an einem Ha-ken befestigt sind.

– Die Wirkungslinie der

Gewichtskraft geht durchden Haken. A

B

C

H

G

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– Gegeben:

● Koordinaten der Punkte:

● Gewicht G = 10kN

– Gesucht:

● Kräfte in den Seilen

A

B

C

H

x

y

z A=0,0,0 m

B=2,0,0 m

C =1,2,0 m

H =1,1,4 m

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– Schritt 1: Freischneiden

– Schritt 2: Komponenten der Kräfte

A

B

C

H

x

y

z

G

S A

S B

S C

Ein Seil überträgt nur Zugkräfte in seiner Richtung.Ein Seil überträgt nur Zugkräfte in seiner Richtung.

S A

=r

A H

∣r A H ∣

S A

S B=

r B H

∣r B H ∣

S B

S C

=r

C H

∣r C H ∣

S C

G =−G e z

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● Richtungsvektoren:

● Komponenten der Seilkräfte:

r A H =1m e x1m e y4m e z , ∣r A H ∣= 18m=3 2m

r B H =−1m e x1m e y4m e z , ∣r B H ∣= 18m=3 2m

r C H =−1m e y4m e z , ∣r C H ∣= 17m

S A x=S A1

3 2

S A y=S A1

3 2

S A z =S A4

3 2

S B x =−S B1

3 2

S B y=S B1

3 2

S B z =S B4

3 2

S C x=0

S C y=−S C

1

17

S C z =S C 4 17

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– Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

– Schritt 4: Lösung des Gleichungssystems

● Aus der 1. Gleichung folgt:● Addition der ersten beiden Gleichungen liefert:

∑ F x=0 : 1

3 2S A − 1

3 2S B = 0

∑ F y=0 :1

3 2S A

1

3 2S B −

1

17S C = 0

∑ F z =0 :

4

3 2 S A

4

3 2 S B

4

17 S C −G = 0

S B

= S A

2

3 2S A−

1

17S C =0 S C =

2 173 2

S A

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● Einsetzen in die 3. Gleichung ergibt:

● Für die anderen beiden Seilkräfte folgt daraus:

● Zahlenwerte:

2⋅4

3 2

4

172 173 2 S A=G

16

3 2S A=G S A=3

216

G

S B=S A=3 216

G , S C =2 173 2

3 216

G= 178

G

S A=2,65kN , S B=2,65 kN , S C =5,15kN

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