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Évaluation des interactions
Été 2010
ExempleSoit le système suivant :
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Exemple (suite)La valeur de lambda 11 sera :
Donc la matrice de Bristol sera :
111
18
11
2 4
1
1
k
k
8
8 8
8
8
8
k
k
kk
k k
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #1 : k = 0La matrice de Bristol devient :
1 0
0 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=0
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon u1 à 1 min
Échelon u2 à 50 min
u1 devrait contrôler y1
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #1 : k = 0La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=0 - Réponses à des échelons avec PI
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon yd1 à 1 min
Échelon yd2 à 10 min
λ=1 : cas idéal à rechercher
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #2 : k = -1La matrice de Bristol devient :
89
19
19
89
u1 devrait contrôler y1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=-1
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon u1 à 1 min
Échelon u2 à 10 min 50
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #2 : k = -1La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :
0 5 10 15 20 25 30-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=-1 - Réponses à des échelons avec PI
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon yd1 à 1 min
Échelon yd2 à 12 min
0.75 ≤ λ<1 : cas moins idéal, mais acceptable
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #3 : k = -8La matrice de Bristol devient :
12
12
12
12
u1 peut contrôler y1 ou
y2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-6
-4
-2
0
2
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=-8
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon u1 à 1 min
Échelon u2 à 50 min
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #3 : k = -8La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :
0 5 10 15 20 25 30-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=-8 - Réponses à des échelons avec PI
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon yd1 à 1 min
Échelon yd2 à 12 min
0≤λ<0.75 : cas à éviter
G s s sk
s s
( )
2
1
1
2 1
4 1
4
8 1
Cas #4 : k = 4La matrice de Bristol devient :
2 1
1 2
u1 devrait contrôler y1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
4
5
6
7
8
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=4
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon u1 à 1 min
Échelon u2 à 12 min
Cas #4 : k = 4La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=4 - Réponses à des échelons avec PI
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon yd1 à 1 min
Échelon yd2 à 45 min
λ>1, mais pas trop loin de 1, pas idéal, mais
acceptable
Cas #5 : k = 7La matrice de Bristol devient :
8 7
7 8
u1 devrait contrôler y1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
2
4
6
8
10
12
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=7
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon u1 à 1 min
Échelon u2 à 50 min
Cas #5 : k = 7La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=7 - Réponses à des échelons avec PI
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon yd1 à 1 min
Échelon yd2 à 45 min
λ>>1 : cas à éviter
Cas #6 : k = 16La matrice de Bristol devient :
1 2
2 1
u1 devrait contrôler y2,
mais persistons à vouloir
contrôler y10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=16
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon u1 à 1 min
Échelon u2 à 50 min
Cas #6 : k = 16La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
12
Temps (min)
y 1 et y
2
Cas ou k=16 - Réponses à des échelons avec PI
y1
y2
Échelons unitaires
Échelon yd1 à 1 min
Échelon yd2 à 45 min
λ<0 : cas à éviter
Interprétation de la valeur des éléments
Si λij = 1, cela indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est identique au gain en boucle fermée.
Combinaison idéale, car les autres boucles n’ont aucun effets suite à un changement de mj.
Recommandation : contrôler yi avec mj.
Interprétation de la valeur des éléments [2]
λij = 0 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est égal à 0.
mj n’a aucun effet sur yi.
Recommandation : ne pas contrôler yi avec mj.
Interprétation de la valeur des éléments [3]
0< λij <1 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est inférieur au gain en boucle fermée.
Une interaction existe.
Recommandation : ne pas contrôler yi avec mj si λij ≤ 0.5
Interprétation de la valeur des éléments [4]
λij >1 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est supérieur au gain en boucle fermée.
Une interaction existe, les autres boucles s’opposent à l’effet voulu. Peut entraîner une instabilité si λij est très élevé.
Recommandation : ne pas contrôler yi avec mj si λij est très élevé.
Interprétation de la valeur des éléments [5]
λij <0 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj à un signe opposé au gain en boucle fermée.
Une interaction existe, les autres boucles s’opposent à l’effet voulu et dominent. Situation dangereuse si une boucle est ouverte (instabilité de la boucle i).
Recommandation : ne jamais tenter de contrôler yi avec mj si λij est négatif.
RecommandationLa paire de variable à combiner ensemble devrait avoir un gain relatif lambda aussi près de 1 que possible.
ExempleSoit le système suivant:
G s
s
s s s ss
s s s ss
s s s s
( )
1
5 1
5
3 1
1
10 110 1
10 5 1
8
4 1
2
15 11
5 5 1
6
1
3
20 1
2
2
2
Matrice de BristolMatrice de gain en régime permanent:
K G
( )0
1 5 1
1 8 2
1 6 3
Matrice de BristolCalcul de la transposée de l’inverse de K:
R KT
1
2 4 0 2 0 4
1 8 0 4 0 2
0 4 0 2 0 6
. . .
. . .
. . .
Matrice de BristolProduit terme par terme:
2 4 1 0 0 4
1 8 3 2 0 4
0 4 1 2 1 8
. . .
. . .
. . .
Situation très mauvaise.
BilanFaute de mieux: m1 et y1; m2 et y2; m3 et y3.
ContrôleMalgré les efforts, les effets du couplage se font sentir.