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Eventos aleatorios, espacio muestral y técnicas de
conteo Leonardo García Lamas .
Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también se le denomina un suceso o un fenómeno.
Generalmente, se simula el evento por un conjunto de variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre ellas. Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles con exactitud se dice que el evento es aleatorio. Generalmente las variables representan atributos y propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos.
Eventos aleatorios
Ejemplos Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el
resultado es águila o sol.
Se lanza un par de dados y se observa la suma de los números de la cara superior.
De una baraja americana normal, se reparte una mano de póker de cinco cartas y se cuenta el número de Ases entregados.
Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda en fundirse.
En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número de bolas blancas extraídas.
Espacio muestral
Un espacio muestral o espacio de muestreo es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A cada uno de sus elementos se los denomina como punto muestral o, simplemente, muestra.
• Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.
• En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o más espacios muéstrales posibles. El experimento de tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo, tiene un espacio de muestreo compuesto por los números y otro espacio muestral formado por los palos. La descripción más completa, pues, debería incluir ambos valores (número y palo) en un eje cartesiano.
• Los espacios maestrales pueden ser discretos (cuando el número de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en que el número de sucesos elementales es infinito incontable).
Técnicas de conteo
Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al repetirlo y observarlo en las mismas condiciones en que se desarrolla sus resultados no son siempre los mismos, sino que los datos o mediciones son solo aproximaciones al verdadero valor de la probabilidad del evento.
Ejemplo 1:
Un juego de dados consiste en adivinar el número de puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores hacen su apuesta por un número de puntos antes de lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie adivina, lo apostado se gana para el próximo juego. Los jugadores se turnan para elegir primero un número por el cual apostar.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que seleccione un número de puntos que caerán adivine? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los jugadores adivine el número de puntos que caerán?
Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado cuantos puntos caerán.
La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones n es grande.
Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar el dado son:
a) Caen 4 puntos, A = 4 b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6 c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.
Ejemplo 2:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
Variables en técnicas de conteo
Las variaciones son técnicas de conteo que respetan el orden, es decir AB BA.
En realidad cuando hemos resuelto el problema de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden escribir con las letras A B C D hemos resuelto un problema de variaciones, porque respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.
Además las variaciones pueden ser con repetición o sin repetición.
Conocemos como variaciones sin repetición… Variaciones sin repetición: Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras
de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3.
Y se escribe 4v3 =24 Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24
