אלגוריתמים1 תרגיל בית12:00 בנובמבר20 , להגשה עד יום חמישי: בכל שאלה בה אתם מציגים אלגוריתם, יש להוכיח נכונות ולנתח את זמן הריצה. ניתן להסתמך הנחיה כללית על טענות שהוכחו בכיתה..(ומספר לא ידוע של צמתים מדרגה זוגית) צמתים מדרגה אי־זוגית2k . נתון גרף לא מכוון וקשיר בו יש1 מסלולים, לאו דווקא פשוטים, זרים בקשתות.k הוכיחו שניתן לכסות את כל קשתותיו ע"י תארו.w = x אם(z,w) מימין לאבן(x, y) מותר לשים את האבן1 . נתונה קבוצה של אבני דומינו.2 הניחו שניתן גם לסובב את אלגוריתם יעיל המחזיר סידור תקני שלהן בשורה או מצהיר שאין כזה. מעלות.180 האבנים ב־. השאלה מתחלקת לשני סעיפים:3 מצאו תנאי הכרחי ומספיק להמצאות מעגל אוילר בגרף מכוון.(א) נתונים קבוצה של איים וקבוצה של גשרים בין זוגות של איים. בנוסף, ידוע שקיים מסלול בין כל זוג(ב) איים. הוכיחו שתמיד קיים מסלול לטיול אשר יוצא מאחד האיים ועובר בכל גשר בדיוק פעמיים: פעם אחת בכל כיוון. בנוסף, תארו אלגוריתם יעיל למציאת מסלול כזה.לאו) x y אם יש מסלולy לצומתx מצומת בדרך הואv . נאמר שצומתG =(V,E) . נתון גרף מכוון4 ושלושה צמתים שוניםG צומת פנימי במסלול זה. תארו אלגוריתם יעיל שבהנתןv- כך ש( דווקא פשוט אבל לא בדרךy- לx- שכל אחד מהם נמצא בדרך מU ⊆ V , מחשב את קבוצת הצמתיםx, y, z ∈ V .z- לy- מ אם הוא דו־צדדי או שקיימת בו קשת שהסרתה תהפוך אותו לדו־צדדי. כמעט דו־צדדי. גרף לא מכוון נקרא5 להלן הצעה לאלגוריתם ליניארי הבודק אם גרף לא מכוון וקשיר הוא כמעט דו־צדדי:. ומריצים ממנוs בוחרים צומת כלשהו• שווי רמה בעץv ,u כלומר הצמתים) d (s, u)= d (s, v) מקיימות(u, v) נספור כמה קשתות• ;( ה־. , הגרף כמעט דו־צדדי ומחזירים1 או0 אם מספר זה הוא– . , הגרף אינו כמעט דו־צדדי ומחזירים(2 קרי, מספר זה הוא לפחות) אחרת– הביאו דוגמא עבורה האלגוריתם נכשל והסבירו מדוע.. כל קשת בגרף צבועה באדום או בכחול.s, t ∈ V , וזוג צמתיםG =(V,E) . נתונים גרף לא מכוון וקשיר6 אשר עובר דרך מספר מינימאלי של קשתותt לביןs תארו אלגוריתם יעיל למציאת מסלול בין(א) .(לא משנה מהו מספר הקשתות הכחולות במסלול) אדומות אשר עוברים דרך מספר מינימאליt לביןs תארו אלגוריתם יעיל אשר מוצא, מבין המסלולים בין(ב) של קשתות אדומות, מסלול עם מספר מינימאלי של קשתות כחולות.. תארו אלגוריתם יעיל המוצא האם קיים מעגל. . .7 בגרף לא מכוון.... (א) בגרף מכוון.... (ב) תשובות בהן הסיבוכיות של שני הסעיפים זהה לא יקבלו את כל הנקודות.| . בהרצת כל אלגוריתםV| - ל1- קשיר ולא מכוון עם קודקודים ממוספרים מG =(V,E) . נתון גרף8 קודקודים בשלב כלשהו, האלגוריתם תמיד יבחר בקודקוד עם המספר הקטן2 אשר יכול לבחור בין תמיד יפלטו את אותו העץ.1 שמורצים על הקודקוד עם המספרDFS וBFS : ביותר. הוכיחו או הפריכו.6 ל־1 כל אבן מכילה זוג מספרים בין1
