Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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    Exerccios de Matemtica Progresso Geomtrica

    1) (FUVEST-2010) Os nmeros a1, a2, a3 formam uma progresso aritmtica de razo r, de tal modo que a1 + 3, a2

    3, a3 3 estejam em progresso geomtrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r igual a

    a) 33

    b) 2

    33

    c) 4

    33

    d) 2

    33

    e) 33

    2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milho de reais. Para isso, fao uma aplicao financeira,

    que rende 1% de juros ao ms, j descontados o imposto de

    renda e as taxas bancrias recorrentes. Se desejo me

    aposentar aps 30 anos com aplicaes mensais fixas e

    ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em

    reais, que devo disponibilizar mensalmente :

    Dado: 1,01361 36

    a) 290,00.

    b) 286,00.

    c) 282,00.

    d) 278,00.

    e) 274,00.

    3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de

    uma PG, de razo negativa, 2

    1. Alm disso, a diferena

    entre o stimo termo e o segundo termo da PG igual a 3.

    Nessas condies, determine:

    a) A razo da PG.

    b) A soma dos trs primeiros termos da PG.

    4) (VUNESP-2009) Em uma determinada regio de floresta na qual, a princpio, no havia nenhum desmatamento,

    registrou-se, no perodo de um ano, uma rea desmatada de

    3 km2 e a partir da, durante um determinado perodo, a

    quantidade de rea desmatada a cada ano cresceu em

    progresso geomtrica de razo 2. Assim, no segundo ano a

    rea total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km2. Se a rea total

    desmatada nessa regio atingiu 381 km2 nos n anos em que

    ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.

    5) (Mack-2007) Em uma seqncia de quatro nmeros, o primeiro igual ao ltimo; os trs primeiros, em progresso

    geomtrica, tm soma 6, e os trs ltimos esto em

    progresso aritmtica. Um possvel valor da soma dos

    quatro termos dessa seqncia

    a) 10

    b) 18

    c) 12

    d) 14

    e) 20

    6) (Mack-2007) cotg

    ...

    1263 igual a

    a) 3

    b) 3

    c) 3

    3

    d) 3

    3

    e) 3

    32

    7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progresso geomtrica

    a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = 9 3 . Alm disso, a progresso geomtrica a1, a5, a9, ...tem razo igual a 9.

    Nessas condies, o produto a2a7 vale

    a) 27 3

    b) 3 3

    c) 3

    d) 3 3

    e) 27 3

    8) (UFC-2007) A seqncia (an)n1 tem seus termos dados

    pela frmula an = 2

    1n . Calcule a soma dos dez primeiros

    termos da seqncia (bn)n1, onde bn = na2 para n 1.

    9) (UFC-2007) O ltimo algarismo da soma 1 + 6 + 62 + 63 + ... + 6

    2006 igual a:

    a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

    10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4

    com 0,1mm de espessura seguidamente dobrada ao meio,

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    de forma que a dobra sempre perpendicular maior

    dimenso resultante at a dobra anterior.

    a) Escreva a expresso do termo geral da progresso

    geomtrica que representa a espessura do papel dobrado em

    funo do nmero k de dobras feitas.

    b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o

    formato de um paraleleppedo. Nesse caso, aps dobrar o

    papel seis vezes, quais sero as dimenses do

    paraleleppedo?

    11) (UFSCar-2007) O conjunto soluo da equao sen

    ...

    81

    8

    27

    8

    9

    8= cos x, com x [0,2[,

    a) 3

    4,3

    2

    b) 6

    7,6

    5

    c) 4

    5,4

    3

    d) 6

    11,6

    e) 3

    5,3

    12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das guas, a ocorrncia de furaces das categorias 4 e 5 os mais intensos da escala Saffir-Simpson dobrou nos ltimos 35 anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o nmero de furaces dessas categorias, ocorridos no perodo 1971-2005. Vamos

    supor que a quantidade de furaces a cada 35 anos continue

    dobrando em relao aos 35 anos anteriores, isto , de 2006

    a 2040 ocorrero 2x furaces, de 2041 a 2075 ocorrero 4x

    furaces, e assim por diante. Baseado nesta suposio,

    determine, em funo de x, o nmero total de furaces que

    tero ocorrido no perodo de 1971 a 2320.

    13) (FUVEST-2007) Um bilogo est analisando a reproduo de uma populao de bactrias, que se iniciou

    com 100 indivduos. Admite- se que a taxa de mortalidade

    das bactrias nula. Os resultados obtidos, na primeira

    hora, so:

    Tempo decorrido (minutos) Nmero de bactrias

    0 100

    20 200

    40 400

    60 800

    Supondo-se que as condies de reproduo continuem

    vlidas nas horas que se seguem, aps 4 horas do incio do

    experimento, a populao de bactrias ser de

    a) 51.200

    b) 102.400

    c) 409.600

    d) 819.200

    e) 1.638.400

    14) (Mack-2006) Dada a matriz A =

    3

    10

    02

    1

    , considere a

    seqncia formada por todas as potncias inteiras e

    positivas de A, isto , A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se

    todas as matrizes desta seqncia obtemos uma matriz, cujo

    determinante

    a) 3

    1

    b) 4

    1

    c) 6

    1

    d) 5

    1

    e) 2

    1

    15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqncia de nmeros x1, x2, x3, ... satisfaz a condio xn = axn-1, para todo inteiro

    n1, em que a uma constante no nula. a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqncia.

    b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8.

    16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x <

    2

    , uma progresso geomtrica, cos2x vale

    a) 2

    1

    b) 2

    3

    c) - 2

    1

    d) - 2

    3

    e) - 2

    2

    17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemtica, props para seu filho, Joo: Voc ganhar uma viagem de

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    presente, no final do ano, se suas notas, em todas as

    disciplinas, forem maiores ou iguais quantidade de termos

    comuns nas progresses geomtricas (1,2,4, ... ,4096) e

    (1,4,16, ... ,4096). De acordo com a proposta, Joo ganhar a viagem se no tiver nota inferior a:

    a) 6

    b) 7

    c) 8

    d) 9

    e) 10

    18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direo ao ponto B, percorrendo, a cada

    minuto, a metade da distncia que o separa do ponto B,

    conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a

    distncia entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro

    minuto (1 perodo) ele dever se encontrar no ponto A1; ao

    final do segundo minuto (2 perodo), no ponto A2; ao final

    do terceiro minuto (3 perodo), no ponto A3, e, assim,

    sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza

    linearmente em cada perodo considerado.

    a) Calcule a distncia percorrida pelo objeto ao final dos 10

    primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua

    distncia ao ponto B inferior a 1 metro.

    b) Construa o grfico da funo definida por f(t) = distncia percorrida pelo objeto em t minutos, a partir do instante t = 0.

    19) (UFV-2005) O interior de uma jarra um cilindro circular reto e contm V litros de gua. Se fosse retirado 1

    litro desta gua, o raio, o dimetro e a altura da gua, nesta

    ordem, formariam uma progresso aritmtica. Se, ao

    contrrio, fosse adicionado 1 litro de gua na jarra, essas

    grandezas, na mesma ordem, formariam uma progresso

    geomtrica. O valor de V :

    a) 6

    b) 4

    c) 9

    d) 7

    e) 5

    20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2, 4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG

    formada possui 100 termos, o nmero mnimo de termos da

    PA

    a) 2197

    .

    b) 2198

    - 1.

    c) 2198

    .

    d) 2198

    + 1.

    e) 2199

    .

    21) (Vunesp-2006) No incio de janeiro de 2004, Fbio montou uma pgina na internet sobre questes de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas pgina. Supondo que o nmero de visitas pgina, durante o ano,

    dobrou a cada bimestre, o nmero de visitas pgina de

    Fbio no primeiro bimestre de 2004 foi

    a) 36.

    b) 24.

    c) 18.

    d) 16.

    e) 12.

    22) (FUVEST-2006) Trs nmeros positivos, cuja soma 30, esto em progresso aritmtica. Somando-se,

    respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro

    termos dessa progresso aritmtica, obtemos trs nmeros

    em progresso geomtrica. Ento, um dos termos da

    progresso aritmtica

    a) 9

    b) 11

    c) 12

    d) 13

    e) 15

    23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da Universidade de Oxford mantm em sua biblioteca uma

    coleo de aproximadamente 500.000 papiros, todos com

    mais de 1000 anos de idade, cujo contedo comeou a ser

    desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma tcnica

    chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela

    Nasa. Se um computador, munido de um sistema de

    inteligncia artificial, conseguir decifrar o contudo de cada

    um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que

    precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que

    o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10

    anos, ento toda a coleo de papiros citada ser decifrada

    em

    a) aproximadamente 20 anos.

    b) aproximadamente 40 anos.

    c) aproximadamente 50 anos.

    d) aproximadamente 80 anos.

    e) aproximadamente 100 anos.

    24) (Vunesp-2005