Exponential and Log2

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1

สถาบนปนนอง 1

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

โดยทวไปแลวอตราการเตบโตของสงมชวตตางๆหรออตราการเพมของจ านวน

ประชากร ความแตกตางกนของความรนแรงของแผนดนไหวแตละรกเตอร ไมไดม

ความสมพนธ เปนแบบเสนตรง แตจะเปนแบบทวคณ ซงตองการความรทางดานเลขยกก าลง

ฟงกชนเอกโพเนนเชยลและลอการทมครบ อยากรวาสงเหลานคออะไรตดตามไดเลยครบ

1. ทบทวนเลขยกก าลง เลขยกก าลงสามารถมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมหรอเปนจ านวนตรรกยะ (ทไมใชจ านวนเตม) กได

ทดสอบ 1 (จงกระจายเลขยกก าลงดงตอไปนหรอท าใหอยในรปอยางงาย )

𝑎𝑏 3

2𝑎 4

𝑏𝑐 5

3𝑛 4

𝑚

𝑛

4

2𝑏4 3

3𝑎3

𝑏5 3

ทฤษฎบทเลขยกก าลง ให m, n เปนจ านวนตรรกยะ

am ∙ an = am+n

am

bn = am−n a ≠ 0 และ b ≠ 0

am n = amn

am

n = amn

ab n = anbn

a

b

n=

an

bn b ≠ 0

a0 = 1 a ≠ 0

a−m =1

am a ≠ 0

am = a × a × a × … × a × a กรณมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก ให a เปนจ านวนจรงใดๆ และ m เปนจ านวนเตมบวก

กรณมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ เมอ a เปนจ านวนจรง

n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n ∶ a1

n = a n

m ตว

an

จะมคาในระบบจ านวนจรงเมอ ≥ 0

ทฤษฎของรากท n

ให n เปนจ านวนจรง

an

n

= a

ann = a เมอ n เปนจ านวนเตมค a เมอ n เปนจ านวนเตมค

an

bn

= abn

a

n

bn =

a

b

n b ≠ 0

เมอ n เปนจ านวนเตมค

การหารากทสองของ A ± B

เราใชก าลงสองสมบรณ a ± b 2

= a + b ± 2 ab = a + b ± 4ab

มาชวยในการแกปญหา ดงนนถาเราให A=a+b และ B=4ab

รากทสองของ A + B = ±( a + b) และรากทสองของ A − B = ±( a − b)

ม.5 เทอม 1 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)

2 สถาบนปนนอง


−2𝑎𝑏4 4

−2𝑎2

𝑏2

3

𝑚5𝑛4

𝑚2𝑛3

18𝑚7𝑎3

4𝑚4𝑎3

23

× 22

1

73

ทดสอบ 2 จงหาค าตอบของสมการ 𝑥2 − 7 + 𝑥2 − 12 = 5

1

1+ 2+

1

2+ 3 +

1

3+ 4+

1

4+ 5+ ⋯ +

1

99+ 100= ?

ใหเรยงล าดบจ านวนจากนอยไปมาก 325 3 , 520 3 , 715 3 , 910 3

2. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอฟงกชนทก าหนดในรป

f x = ax โดยท a > 0 และ a ≠ 1

โดยมกราฟดงรป

จดสงเกต

- กราฟตดแกน y ทจด (0,1) เสมอ (เพราะวา 𝑎0 = 1 เสมอ) - โดเมนจะเปนคาจ านวนจรงใดๆกได แตคาเรนจจะตองเปนคาทมากกวา 0 เสมอ

ลองท าดซ จงเขยนกราฟดงตอไปน

(0,1)

O x

y

𝑦 = 𝑎𝑥 โดยท 𝑎 > 1

ฟงกชนเพม

(0,1)

x

y

O

𝑦 = 𝑎𝑥 โดยท 0 < 𝑎 < 1

ฟงกชนลด

y = a−𝑥 เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1 y = −a𝑥 เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1




3. สมการเอกซโพเนนเชยล (Exponential Equation)

สมการเอกซโพเนนเชยลคอ สมการทมเลขชก าลงเปนตวไมทราบคา (Unknown) โดยอยในรป 𝑎𝑥 = 𝑎𝑘 เชน 2𝑥 = 8 = 23 ดงนน x = 3

แบบฝกหด 1 จงแกสมการดงตอไปน

2x = 64

3x = 81

5x

2 =1

5

2x+4 = 128

102x−5 = 103x

64

25 𝑥−1

=4

5

1

2 −𝑥

= 128

2x+4 = 42x

x x = x

4𝑥+1 + 64 = 2𝑥+5

22𝑥 +2 − 9 ⋅ 2𝑥 + 2 = 0

22𝑥+1 − 9 ⋅ 2𝑥 −1 + 1 = 0

6(25𝑥) + 11(23𝑥) − 3(2𝑥) = 2 5𝑥 + 1

31+ 𝑥2 +𝑥− 2 + 9(3− 𝑥2+𝑥−2) = 28

3 3𝑥 + 3−𝑥 = 10

3(32𝑥 + 3−2𝑥) = 10

y − k = a𝑥−ℎ เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1

y = a|x| เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1

ถา 𝒂𝒙 = 𝒂𝒌 แลว 𝐱 = 𝐤

(นนคอ ถาฐานเทากนแลว ตวเลขชก าลงกตองเทากนดวย)




𝑥

𝑥−1+

1−𝑥

𝑥= 2

1

6

แบบฝกหด 2 จงหาเซตค าตอบของอสมการดงตอไปน

2𝑥 > 16

1

3 𝑥+2

< 3−5

2𝑥2 −5 >1

16

0.5 𝑥2 −3𝑥 < 0.5 𝑥−3

𝑎𝑥2+ 7 < 𝑎8 𝑥−1

2 𝑥+2 <1

32

𝑥 + 1 𝑥 < 𝑥 + 1 𝑥2 เมอ x > −1

x 𝑥2

≤ 𝑥 2𝑥−1

เมอ x > 0

4. ฟงกชนลอการทม(Logarithm Function)

กอนหนานเรารจกฟงกชนเอกซโพเนนเชยลกนแลว ซงกคอ y = ax เมอเรามาพจารณาอนเวอรส (Inverse function) ของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเราจะไดวา x = ay ซงสามารถเขยนไดอยในรปของฟงกชนลอการทม โดยใชนยามตว log เขามาแทนไดดงน

x = ay ↔ y = logax โดยเราอาน logax วา “ลอการทม x ฐาน a หรออานกนสนๆวา ลอก x ฐาน a” เราเรยก a วาเปนฐานหรอ Base (เชนเดยวกบเลขยกก าลง) ซงมคาอยในชวง (0, 1) หรอ (1,∞) นนกคอ a > 0 แต a ≠ 1 ซงจะท าให x > 0 ดวย

เพมเตม : ส าหรบอสมการเอกซโพเนนเชยล

𝒂𝒎 > 𝒂𝒏 ↔ 𝒎 > 𝒏 เมอ 𝒂 > 𝟏 (ฟงกชนเพม) 𝒂𝒎 > 𝒂𝒏 ↔ 𝒎 < 𝒏 เมอ 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 (ฟงกชนลด)

Logarithm function : If ay = x, then y = loga x , where a > 0; 𝑎 ≠ 1 and x > 0.




เราสามารถเขยนกราฟของ logarithm function ไดดงน

จดสงเกต

- กราฟตดแกน x ทจด (1,0) เสมอ (เพราะวา loga 1 = 0 เสมอส าหรบทกคา a ทเปนไปได) - เรนจหรอคา y จะเปนคาจ านวนจรงใดๆกได แตคาโดเมนจะตองเปนคาทมากกวา 0 เสมอ

ถามเลนๆ ท าไม a หามมคาเปน 1 ? กราฟแสดงการเปนอนเวอรสซงกนและกนของ exponential function และ logarithm function แบบฝกหด 3 จงเปลยนจ านวนตอไปนใหเปนฟงกชนเอกซโพเนนเชยลหรอฟงกชนลอการทม

10,000 = 104

7 = 4912

8 = 1

2 −3

3 = log5 125

3 = log 5 5 5

(1,0) x

y

O

𝑦 = log𝑎 𝑥 โดยท 0 < 𝑎 < 1

(1,0) O x

y

𝑦 = log𝑎 𝑥 โดยท 𝑎 > 1

(ฟงกชนเพม) (ฟงกชนลด)




กฎของ logarithm (Laws of Logarithms)

โดยท a ∈ R+, a > 0

ลองท าด

log25 × log2 3 = log2 15 .ใชหรอไม?

log25 + log2 3 =

log5 125 − log2 8 =

log35 + log3 12 − log3 20 =

loga xy 2 = ____ × (loga ____ + loga ____)

log4 12 × 12

36 =

log4(log2 16 ) =

Proof :




5. ลอการทมสามญ (Common Logarithms) คอ ลอการทมทมฐานเปน 10 คอ log10 𝑥 = log𝑥 ซงโดยปกตแลวถาไมมการเขยนหมายเลขฐานไว เราจะถอวา log ตวนนมฐานเปน 10

6. การประมาณคา log A

ส าหรบจ านวนเตมบวก A ใดๆ เราสามารถเขยน A ในรปมาตรฐานดงน

A = N0 × 10n โดย 1 ≤ N0 < 10 และ n ∈ I+ เมอใส log ทงสองขางและใชกฎของลอการทมเราจะได

log A = log N0 + n เราเรยก n วา แคแรกเทรสตก (Characteristic) ของ log A ซงเปนจ านวนเตมบวก และเรยก log N0 วาแมนทสซา (Mantissa) ของ log A ซงจะตองมคามากกวาหรอเทากบ 0 เสมอ

ตวอยางเชน จงหาคา log 1,150 ถาเราทราบคาวา log (1.15) ≈ 0.0607 พจารณา 1,150 = 1.15 × 103 เราจะไดตามวา log 1,150 = log 1.15 + 3 = 0.0607 + 3 = 3.0607

7. ลอการทมธรรมชาต (Natural Logarithm) หมายถงลอการทมทมฐานเปน e โดย e เปนจ านวนอตรรกยะมคาประมาณ 2.71828 เราสามารถเขยนลอการทมธรรมชาตไดในรป loge 𝑥 = ln𝑥 (อานวา ลอน x)

8. แอนตลอการทม (Antilogarithm) คอ การด าเนนการทตรงกนขามกบการหาคาลอการทม โดย

log x = A กตอเมอ antilog A = x




1. ก าหนด log 275 = 2.4393 ถา log N = −4.5607 แลว N มคาเทาใด (จงหาคาของ a,b,c,d,e และ f)

วธท า log N = −4.5607 = −4 − 𝑎 = −4 − 1 − 𝑏 = −5 + 𝑐

จากทโจทยก าหนด log 275 = 2.4393 = 2 + 0.4393 หรอ 0.4393 = log 275 − 2 = log ( 𝑑 )

สรปไดวา log N = −5 + 𝑒 หรอ N = 2.75 × 10( 𝑓 )

2. ก าหนด 3 ≤ log6 𝑥 < 4 โดย x เปนจ านวนเตมบวก จะม x ไดทงหมดกคา

วธท า

ทดสอบเลกๆ จงแกสมการดงตอไปน

2𝑥 = 24

3𝑥 = 20

1.2𝑥 = 1000

1

2 𝑥

= 0.005

0.99 𝑥 = 0.00001

200 × 20.04𝑡 = 6

เชนก าหนดให log 32.4 = 1.5105 โดยนยามของลอการทมสามญ เราจะไดวา 32.4 = 101.5105 หรอถาใชแอนตลอการทมจะไดวา 32.4 = antilog 1.5105

การค านวณคาโดยประมาณโดยใชลอการทม

9. การแกสมการลอการทม จะมหลกเกณฑดงตอไปน - จะใชหลกเกณฑของการเปนฟงกชน 1 ตอ 1 ทวา - เมอหาคาตวแปรไดแลว ตองตรวจสอบวาใชไดหรอไม โดยการแทนคากลบลงไปในสมการ และ

ตรวจสอบด เชน คาภายใน log จะตองมากกวา 0 เสมอ ส าหรบการแกอสมการลอการทม จะใชสมบตของฟงกชนเพม/ฟงกชนลด ในการก าจดฐาน คอ

.

10. การแกสมการเอกซโพเนนเชยล โดยใชลอการทม สมการทอยในรป ax = b โดยท x เปนตวแปร ขณะท a

และ b เปนคาคงท จะสามารถแกไดโดยการน า log เขาทงสองขาง จะได x =log 𝑏

log 𝑎

loga x = loga y กตอเมอ x = y

log𝑎 𝑥 > log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 > 𝑦 เมอ 𝑎 > 1 (ฟงกชนเพม) log𝑎 𝑥 > log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦 เมอ 0 < 𝑎 < 1 (ฟงกชนลด)เพม)




ประชากรในเมองหนงเพม 5 % ทกๆ 2 ป ถามวาเมอใดทประชากรจะเพมขนเปนสามเทาของปจจบน

หม ามเงนลงทนทงหมด 12000 บาท แตหม าตองการใหเงนงอกเงยจนมคาอยางนอย 30000 บาท ถาหม าน าเงนไปลงทนแลวไดผลตอบแทนเทากบ 13% ตอป ถามวาหม าตองรออกนานเทาไหรถงจะไดเงนเทากบทตองการ

11. ตวอยางการประยกตใชลอการทม - อตราการเจรญเตบโตหรอการเพมขนของประชากร

- ดอกเบยทบตน




แบบฝกหดทายบท (จาก Text book)




Documents

Exponential and Log2