Mtodo de Montecarlo

INTEGRANTES

Julio Tamayo.Marco Hidrobo.Daniel Carrera.Cristian Perugachi.MODELO DE SIMULACIN MONTECARLO.MODELO DE SIMULACIN MONTECARLO.LA Simulacin de Montecarlo es una tcnica q combina conceptos estadsticos (muestreo aleatorio) con la capacidad q tienen los ordenadores para generar nmeros pseudo-aleatorios y automatizar clculos.Los orgenes de esta tcnica estn ligados al trabajo aplicando una infinidad de mbitos como alternativas a los modelos matemticos exactos o inclusos como nico medio de estimar soluciones para problemas complejos.INTRODUCCIN.En la actualidad es posible encontrar modelos de simulacin Montecarlo en las reas informticas, empresarial, econmica, industrial e incluso social.En otras palabras, la simulacin de Montecarlo est presente en todos los mbitos en la q el comportamiento aleatorio o probabilstico desempee un papel fundamental.El nombre de Montecarlo proviene de la famosa ciudad de Mnaco, donde abundan los casinos de juegos y donde el azar la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida. INTRODUCCIN.La simulacin Monte Carlo es una tcnica matemtica computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en anlisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta tcnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas, gestin de proyectos, energa, manufacturacin, ingeniera, investigacin y desarrollo, seguros, petrleo y gas, transporte y medio ambiente.

Qu es la simulacin de Montecarlo?La simulacin Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, as como la probabilidad de que se produzcan segn las medidas tomadas.Muestra las posibilidades extremas , los resultados de tomar la medida ms arriesgada y la ms conservadora, as como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias.Es un mtodo directo y flexible.Cuando el modelo matemtico es demasiado complicado la simulacin permite obtener una simulacin.La simulacin permite resolver problemas q no tiene solucin analtica.La simulacin no interviene en el mundo real, permite experimentar.VENTAJAS.La simulacin no genera soluciones Optimas globales.Una buena simulacin puede resultar muy complicada, gran nmero de variables.No proporciona la decisin a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximacin para unas condiciones iniciales.Cada simulacin es nica, interviene el azar.Desventajas.Mtodo de MontecarloEl mtodo de Montecarlo permite resolver problemas matemticos mediante la simulacin de variablesaleatorias.John Von Neumann, en los aos 40 y con los primeros ordenadores, aplica la simulacin para resolverproblemas complejos que no podan ser resueltos de forma analtica.Montecarlo y su casino estn relacionados con la simulacin. La ruleta, juego estrella de los casinos, es uno de los aparatos mecnicos ms sencillos que nos permiten obtener nmeros aleatorios para simular variables aleatorias. Ejemplo: Clculo de Integrales Una aplicacin inmediata del mtodo, el el clculo de integrales definidas.

Ejemplo: Clculo de IntegralesConsideremos un caso ms sencillo:

Siempre podremos considerar que el rea se encuentra inscrita en un cuadrado de rea 1. Podremos considerar en el cuadrado de rea 1 un nmero N de puntos aleatorios (x, y), y un nmero N que aparecen dentro de la superficie a determinar.

Precisin en el Clculo

El procedimiento de Montecarlo tiene N puntos aleatorios de los que N resultan corresponder al rea que deseamos calcular.

Luego S es proporcional a la probabilidad de que un punto aleatorio caiga en la superficie.Estimaremos esa probabilidad como:

Que ser la probabilidad de N xitos en N intentos y que viene dada por la distribucin binomial:

La distribucin binomial se puede aproximar mediante una normal cuando: N p > 5 y N q > 5.

La distribucin normal por la que aproximamos tendr media = N p y varianza = N p q.

Adems para una distribucin normal N(, ) sabemos que el 95% de las observaciones se encuentran en el intervalo:

Con lo que suponiendo N p > 5 y N q > 5 tendremos que el intervalo de confianza al 95% del nmero de aciertos N en S estar en:

Tamao de la Simulacin

En nuestro ejemplo sabemos que:

y calculamos el rea bajo la curva mediante el mtodo de Montecarlo:

Cuntas simulaciones son necesarias para estimar S con 2 cifras significativas correctas?

Esto equivale a que el nmero de aciertos N con un 95% de confianza:

La distribucin Binomial la hemos aproximado mediante una Normal:

Para una variable aleatoria Z N(0, 1) tenemos que,

entonces tendremos que siendo p = 1/3 :

Obtencin de Nmeros Aleatorios

Generadores de nmeros aleatorios.Nmeros pseudo aleatorios.

18Los nmeros aleatorios son la base esencial de la simulacin. Usualmente, toda la aleatoriedad involucrada en el modelo se obtiene a partir de un generador de nmeros aleatorios que produce una sucesin de valores que supuestamente son realizaciones de una secuencia de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas (i.i.d.) U (0; 1).

Generadores de nmeros aleatorios.El mtodo mas conveniente y mas estable de generar nmeros aleatorios es utilizar algoritmos determinativos que posean alguna base matemtica solida. Estos algoritmos producen una sucesin de nmeros que se asemeja a la de una sucesin de realizaciones de variables aleatorias iid U(0; 1), aunque realmente no lo sea. Es por ello que este tipo de nmeros se denominan pseudo-aleatorios y el algoritmo que los produce se llama generador de nmeros pseudo-aleatorios.Nmeros pseudoaleatoriosPor encima de todo, la sucesin de valores que proporcione deber asemejarse a una sucesin de realizaciones independientes de una variable aleatoria U(0; 1).Los resultados deben ser reproducibles, en el sentido de que comenzando con las mismas condiciones inciales debe ser capaz de reproducir la misma sucesin. Esto nos puede permitir depurar fallos del modelo o simular diferentes alternativas del modelo en las mismas condiciones obteniendo una comparacin mas precisa. Los procedimientos fsicos no permiten que los resultados sean reproducibles.la sucesin de valores generados debe tener un ciclo no repetitivo tan largo como sea posible el generador debe ser rpido y ocupar poca memoria internaUn buen generador de nmeros pseudo-aleatorios deber tener las siguientes propiedades:Mtodo de los centros de los cuadrados.Mtodos congruenciales.Generador multiplicativo.Generador mixto.Mtodos de generacin de nmeros pseudoaleatoriosEl mtodo comienza tomando un numero al azar, x0, de 2n cifras. Si es necesario se aaden ceros a la izquierda para que el numero resultante tenga exactamente 4n cifras. Sea x1 el numero resultante de seleccionar las 2n cifras centrales de x2 0; el primer numero aleatorio u1 se obtiene poniendo un punto decimal delante las 2n cifras de x1. A continuacin x2 y u2 se generan a partir de x1 del mismo modo. As sucesivamente.Mtodo de los centros de los cuadrados.Tiene una fuerte tendencia a degenerar a cero rpidamenteLos nmeros generados pueden repetirse clicamente despus de una secuencia corta.Este metodo tiene dos inconvenientes principales:

Ejemplo:Diremos que dos nmeros x e y son congruentes modulo m si:x y mod(m)Esto equivale a que x e y producen el mismo resto al ser divididos por mLa expresin ms comn a la hora de calcular nmeros aleatorios es la dada por:

Donde a y b son nmeros elegidos convenientemente y se denomina semilla.

Mtodos congruenciales

Es una modificacin del mtodo congruencial en el que b = 0.

Normalmente m se elige tal que m = donde c es el numero de dgitos diferentes del sistema usado (binario, 2) y p es el tamao de una palabra.

El perodo mximo de repeticin es m/4 con m = y tomando como 0 una semilla impar.

Mtodo multiplicativo

En el mtodo congruencial, la eleccin adecuada de a y b hacen que el perodo de repeticin de los nmeros aleatorios obtenidos se incremente hasta m:a y b primos.(a 1) mltiplo de cada factor primo de m.(a 1) ha de ser mltiplo de 4 si m lo es.

Generador mixtoBasta con realizar operaciones aritmticas sencillas.Computacionalmente esta tarea no necesita de elevados recursos.Los nmeros aleatorios se pueden reproducir, permitiendo comprobar la calidad de la secuencia y aplicarla en diferentes problemas.

Ventajas de los nmeros pseudo aleatoriosSimulacin de V.A.

Simulacin de V.A.Nmeros Aleatorios U(0, 1):Yk U(0, 1)Esta distribucin tendr la funcin de densidad:

y funcin de distribucin:

Transformacin de Variables Aleatorias

Cuando un sistema o un proceso esta regido en su comportamiento por el azar, entonces podemos aplicar tcnicas de simulacin basadas en el mtodo de Montecarlo.La idea bsica del mtodo es simular valores que toman las variables que forman parte del proceso en lugar de experimentar u observar la realidad.

Ejemplos de esas variables a simular:

Demanda.Tiempo de respuesta, entre ocurrencias, de servicio,..Cantidad de empleados ausentes.Presin de un neumtico.Velocidad y direccin del aire.

Existen dos tipos de variables aleatorias:

Variables Aleatorias Discretas: Demanda, Numero de Empleados, etc. Variables Aleatorias Continuas: Tiempos, etc.Simulacin de V. A. DiscretasUna primera aproximacin a la simulacin de una V.A. Discreta, X, que siga una determinada distribucin de probabilidad dada por su funcin de probabilidad:

sera construir una ruleta a los sectores asignados a cada posible valor de la V.A. fuese proporcional a la probabilidad de ocurrencia de dicho valor.Supongamos que deseamos simular una V.A.D., X, con una distribucin de probabilidad dada por: