F 2 M41 Modelarea Deciziei Economice Barsan Pipu Nicolae

NICOLAE BRSAN-PIPU

ION POPESCU

MANAGEMENTULCONCEPTE METODE

RISCULUIAPLICAII

Editura Universitii Transilvania din Braov 2003

2003 EDITURA UNIVERISTII TRANSILVANIA BRAOV Adresa: 2200 Braov B-dul Eroilor, Nr. 9 Tel/fax: 0268 47 53 48 E-mail: [email protected]

Tiprit la: Tipografia Universitii Transilvania din Braov B-dul Eroilor, Nr. 9 Tel/fax: 0268 47 53 48

TOATE DREPTURILE REZERVATE

Recenzeni tiinifici: Prof. univ. dr. Gabriel V. ORMAN Prof. univ. dr. Ionel MARTINESCU Tehnoredactare: Coperta: Autorii Claudiu BRSAN-PIPU

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei BRSAN-PIPU, NICOLAE. Managementul riscului. Concepte Metode Aplicaii / Nicolae Brsan-Pipu, Ion Popescu Braov: Editura Universitii Transilvania, 2003 214p.; 24 cm ISBN 973 635 180 7 I. Popescu, Ion

PREFADezvoltarea tiinei managementului din ultimul deceniu a focalizat preocuprile pentru eficacitatea i optimizarea activitilor de conducere n domeniul analizei i evalurii riscului, risc ce este inerent fiecrei activiti economice, sociale sau politice. Acest demers implic ns o concepie i o abordare multidisciplinar, n care sunt utilizate cunotine din cele mai diferite domenii de activitate. Astfel, economitii i inginerii definesc modelele deterministe ale fenomenelor economice sau industriale, matematicienii i statisticienii construiesc modelele probabiliste ale acestor fenomene, iar informaticienii dezvolt programele de simulare i de prelucrare a datelor ale acestor modele. Managementul riscului devine astfel, din ce n ce mai mult, un domeniu distinct i bine conturat al managementului modern, o component esenial i indispensabil a fiecrui proiect tehnic, economic sau de alt natur. Desigur, complexitatea problemelor legate de tratarea riscurilor este deosebit de ridicat, prin faptul c este necesar o bun cunoatere a fenomenelor analizate i a activitilor desfurate, dar i o baz de cunotine din domeniul managementului n general, al metodelor i tehnicilor matematice i statistice, n special. Nu ne-am propus n cadrul limitat al acestei lucrri s epuizm toate aspectele legate de problematica riscului, deoarece fiecare din domeniile abordate poate constitui n sine subiectul unei lucrri. Ne referim aici, de exemplu, la managementul riscului financiar, care mbrac foarte multe aspecte, de la riscul investiional, la riscul n asigurri i pn la aspecte mai complexe, cum ar fi riscul de ar, un binecunoscut indicator economic internaional. Nu am abordat, aspectele politice sau militare ale riscului, pentru c acestea, la rndul lor, prezint elemente de specificitate, pe care nu le-am tratat. Am ncercat totui s sintetizm principalele concepte, metode i aplicaii, care s permit specialitilor sau studenilor s introduc n proiectele i activitile pe care le conduc sau le realizeaz elemente de managementul riscului, menite s le mbunteasc performaneleiii

Lucrarea de fa are un caracter monografic i ncearc o abordare integrat a conceptelor privind riscul i al tehnicilor de management pentru controlarea acestuia. ncercm aici s conexm noiuni de modelare matematic i de inferen statistic, cu concepte de management, toate orientate spre rezolvarea aspectelor practice ale riscului. Fr a avea nici cea mai mic ndoial asupra faptului c demersul nostru este departe de a fi exhaustiv, considerm ns c ncercarea noastr poate trezi interesul specialitilor din cele mai diferite domenii de activitate, n care riscul se manifest continuu. De asemenea, aceast lucrare se adaug unei literaturi romneti de specialitate n domeniul analizei i managementului riscului destul de srac sau mai bine zis aflat ntr-o faz incipient. Lucrarea prezint, n prima parte, modelele de decizie care asigur o definire matematic riguroas a riscului, precum i modelele de simulare aplicate pentru cuantificarea riscului. n continuare, sunt dezvoltate o serie de modele, tehnici i metode utilizate pentru managementul riscului n domeniul calitii i fiabilitii, managementului general al proiectelor, managementului proiectelor de software i managementului riscului financiar. Pentru o mai bun fixare a noiunilor prezentate, lucrarea conine numeroase exemple i aplicaii rezolvate i propune o serie de aplicaii interesante. Lucrarea se adreseaz specialitilor n management, dar i studenilor din anii terminali i celor de la studiile postuniversitare i de masterat, att din specializrile economice, ct i celor de inginerie, care vor gsi aici concepte, tehnici, metode i aplicaii utile, care s le permit nelegerea i aplicarea noiunilor i problematicii managementului riscului.

Braov, martie 2003 Autorii

CUPRINS1 INTRODUCERE ........................................................................................................ 11.1 CE ESTE RISCUL? ............................................................................................................1 1.2 RISCUL N TEORIA DECIZIEI........................................................................................5 1.3 SIMULAREA RISCULUI..................................................................................................6 1.4 RISCUL N CALITATE I FIABILITATE.......................................................................7 1.5 RISCUL N PROIECTE ....................................................................................................8 1.6 RISCUL N SOFTWARE....................................................................................................9 1.7 RISCUL FINANCIAR.......................................................................................................10

2 NOIUNI DE TEORIA DECIZIEI........................................................................ 112.1 DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE .......................................................................11 2.1.1 Contextul problemei de decizie ...............................................................................11 2.1.2 Scurt istoric al teoriei deciziei..................................................................................14 2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIE .........................................16 2.2.1 Elementele generale ale modelului ..........................................................................16 2.2.2 Regulile de decizie minimax i Bayes .....................................................................17 2.2.3 Decizii admisibile ....................................................................................................24 2.2.4 Interpretarea geometric ..........................................................................................24 2.2.5 Cteva teoreme de baz ...........................................................................................29 2.3 TEORIA DECIZIEI I STATISTICA.............................................................................33 2.3.1 Estimarea .................................................................................................................33 2.3.2 Verificarea ipotezelor statistice................................................................................34 2.3.3 Lema Neyman - Pearson..........................................................................................35 2.4 ATITUDINI FA DE RISC I TEORIA UTILITII.................................................36 2.4.1 Aversiunea la risc.....................................................................................................36 2.4.2 Proprietile funciilor de utilitate............................................................................40 2.4.3 Evaluarea funciilor de utilitate................................................................................42 2.5 DECIZII SECVENIALE ................................................................................................44 2.5.1 Concepte de baz .....................................................................................................44 2.5.2 Arbori de decizie......................................................................................................45 2.6 APLICAII .......................................................................................................................50 2.6.1 Problema forajului ....................................................................................................50 2.6.2 Algoritm de rezolvare a unei probleme de decizie ...................................................61 2.6.3 Problema festivalului ................................................................................................66 2.6.4 Aplicaii propuse.......................................................................................................71

3 TEHNICI DE SIMULARE...................................................................................... 733.1 CONSTRUCIA UNUI MODEL DE SIMULARE.........................................................73 3.2 GENERAREA VARIABILELOR ALEATOARE ...........................................................75 3.2.1 Metoda invers.........................................................................................................75 3.2.2 Generarea variabilelor aleatoare continue ...............................................................76 3.2.2 Generarea variabilelor aleatoare discrete.................................................................83

3.3 APLICAII .......................................................................................................................87 3.3.1 Simularea unei probleme de risc economic .............................................................87 3.3.2 Aplicaii propuse......................................................................................................95

4 MANAGEMENTUL RISCULUI N CALITATE I FIABILITATE ................ 974.1 O PROBLEM DE DECIZIE N CALITATE ................................................................97 4.2 ABORDAREA TAGUCHI.............................................................................................107 4.2.1 Funcia de pierdere Taguchi ..................................................................................107 4.3 EVALUAREA RISCULUI N FIABILITATE ..............................................................112 4.3.1 Un model general de evaluare a riscului n fiabilitate ...........................................112 4.3.2 Modelul de evaluare a riscurilor concurente..........................................................114 4.4 MANAGEMENTUL RISCULUI N FMEA..................................................................117 4.4.1 Analiza modului de defectare i a efectelor FMEA............................................117 4.4.2 Managementul riscului n FMEA ..........................................................................125 4.5 APLICAII PROPUSE ..................................................................................................130

5 MANAGEMENTUL RISCULUI N PROIECTE............................................... 1315.1 ELEMENTE DE MANAGEMENTUL PROIECTELOR ..............................................131 5.2 MANAGEMENTUL RISCULUI PROIECTELOR .......................................................135 5.2.1 Planificarea managementului riscului....................................................................137 5.2.2 Identificarea riscului ..............................................................................................139 5.2.3 Analiza calitativ a riscului....................................................................................143 5.2.4 Analiza cantitativ a riscului..................................................................................147 5.2.5 Planificarea rspunsului la risc ..............................................................................150 5.2.6 Monitorizarea i controlul riscului.........................................................................154 5.3 APLICAII .....................................................................................................................157 5.3.1 Planul managementului riscului.............................................................................157 5.3.2 Lista categoriilor de risc ........................................................................................160 5.3.3 Simularea costurilor proiectului.............................................................................161 5.3.4 Riscul rezidual .......................................................................................................163 5.3.5 Aplicaii propuse....................................................................................................165

6 MANAGEMENTUL RISCULUI N SOFTWARE............................................. 1676.1 RISCUL N PROIECTELE DE SOFTWARE ...............................................................167 6.2 PROCESUL DE MANAGEMENT AL RISCULUI N SOFTWARE...........................169 6.2.1 Funcia 1: Identificare............................................................................................169 6.2.2 Funcia 2: Analiz..................................................................................................170 6.2.3 Funcia 3: Planificare .............................................................................................173 6.2.4 Funcia 4: Monitorizare .........................................................................................175 6.2.5 Funcia 5: Control ..................................................................................................175 6.2.6 Funcia 6: Comunicare...........................................................................................176 6.3 APLICAII .....................................................................................................................177 6.3.1 Un model de evaluare a riscurilor n sistemele informatice...................................177 6.3.2 Procedura de evaluare a riscurilor n sistemele informatice ..................................181

7 MANAGEMENTUL RISCULUI FINANCIAR .................................................. 1837.1 RISCUL N OPERAIUNILE FINANCIARE ..............................................................183 7.2 ANALIZA COST-VOLUM-PROFIT N CONDIII DE RISC ....................................187 7.3 INVESTIII DE CAPITAL N CONDIII DE RISC....................................................190 7.3.1 Modelul de decizie pentru investiiile de capital ...................................................190 7.3.2 Modelul determinist pentru investiiile de capital..................................................192 7.3.3 Modele probabiliste pentru investiiile de capital ..................................................198

8 BIBLIOGRAFIE..................................................................................................... 205

1INTRODUCERE1.1 CE ESTE RISCUL?n orice domeniu al activitii economice, sociale sau politice, se pune problema riscului ce poate s apar, avnd consecine ce nu pot fi ntotdeauna prevzute sau anticipate din punct de vedere al consecinelor. Problematica asociat riscului n societatea contemporan este o rezultant a faptului c trim de fapt ntr-o civilizaie a riscului. Pn la urm, istoria omenirii este o istorie a riscului, dar poate n ultimele decenii am devenit mai contieni i am nceput s privim dintr-o perspectiv tiinific aspectele riscurilor. Evaluarea i modelarea riscului este o activitate complex, ce presupune abordri multidisciplinare din diferite ramuri ale tiinei, respectiv cunotine din domeniile economic, tehnologic, sociologic sau politic. Rezultatele evalurii riscului influeneaz decisiv deciziile i succesul strategiilor adoptate la nivel macro i microeconomic. S vedem ns cum este definit riscul n dicionarele romneti i strine. n sens general, conform Dicionarului Explicativ al Limbii Romne (DEX), riscul reprezint posibilitatea de a ajunge ntr-o primejdie, de a acea de nfruntat un necaz sau de suportat o pagub; pericol posibil. Dup cum se observ, aceast definiie pune accentul pe situaia posibil de primejdie sau pericol pe care o poate genera apariia riscului, dar i pe o latur s-i zicem economic, legat de o posibil pagub care poate fi suferit. Termenul a risca are i el mai multe sensuri, respectiv: a(i) pune n primejdie viaa, onoarea; a (se) expune unui pericol posibil; a participa la o aciune nesigur, a aciona la noroc;

a cuteza, a ndrzni, a se ncumeta. De asemenea, termenul riscant, cu referire la situaii sau aciuni, are sensul de plin de riscuri, expus la primejdii, nesigur.1

2

CAPITOLUL 1 INTRODUCERE

O definiie mai ampl gsim n Micul Dicionar Enciclopedic (MDE), n care n afara sensului de pericol, apare i nuana de inconvenient posibil, dar sunt menionate i definiiile pentru riscul contractual, riscul lucrului i riscul asigurat. ntr-o lucrare monumental cum este Websters Unabridged Dictionary of English Language (2002) exist dou sensuri pentru noiunea de risc: (1) Expunerea la ansa de rnire sau de pierdere; un hazard sau o ans periculoas; (2) n asigurri: a. hazardul sau ansa de a pierde; b. gradul de probabilitate al unei astfel de pierderi. Iat cum definiia anglo-saxon a riscului introduce de fapt noiunea de probabilitate care dup cum vom vedea n cursul acestei lucrri joac un rol extrem de important n abordarea tiinific a problematicii riscului. Deosebit de interesant este i faptul c imediat dup noiunea de risc, dicionarul menionat definete i noiunile de managementul riscului i pe cea de manager de risc. Managementul riscului este definit ca fiind tehnica de evaluare, minimizare i prevenire a pierderilor accidentale ntr-o afacere, prin asigurri, msuri de siguran .a.. Definiiile asociate noiunii de risc au nuane diferite de la o disciplin tiinific la alta i, uneori, chiar n interiorul acestui domeniu. Cu toate aceste diferenieri, majoritatea definiiilor conin dou elemente comune i anume incertitudinea i pierderea. Riscul este un eveniment incert, dar posibil, originea lui aflndu-se n incertitudine. El apare n activitile economice, sociale, politice i, respectiv, n raporturile dintre oameni sau n raporturile dintre om i natur. Riscul implic ideea de pierdere potenial (de orice tip), pierdere provocat de evoluia unor factori denumii factori de risc n sens contrar ateptrilor. Spre deosebire de incertitudine, riscul se caracterizeaz prin posibilitatea de a fi cuantificat prin legi de probabilitate. Riscul i incertitudinea se ntlnesc combinate n diferite proporii, n realitate incertitudinea fiind inerent tuturor fenomenelor, ea neputnd fi eliminat. Am evideniat aceste definiii deoarece n ultimii ani, ndeosebi dup anul 1990, problemele de managementul riscului au cunoscut o larg dezvoltare, n contextul general al tiinei managementului. n zilele noastre, nu exist nici un domeniu de management n care riscului s nu i se acorde importana specific.

1.1 CE ESTE RISCUL?

3

Acesta este unul din motivele pentru care lucrarea de fa abordeaz managementul riscului att din punct de vedere al modelrii matematice, dar i din punct de vedere al tehnicilor de management pentru diferite domenii n care riscul este analizat i evaluat. n contextul general al tiinei managementului, managementul riscului reprezint procesul de abordare sistematic a riscului n cadrul unei organizaii, nelegnd prin termenul de organizaie sensul larg definit de standardele internaionale n domeniul calitii. Considernd ns managementul ca o art, atunci managementul riscului poate fi definit ca fiind arta de a ine incertitudinea sub control. Esena managementului riscului trebuie n ultim instan s contracareze efectul legilor lui Murphy. Astfel, legea dac ceva ru se poate ntmpla, atunci se va ntmpla poate fi parafrazat prin dac un risc poate aprea, atunci el va aprea. i cea de a doua lege a lui Murphy, respectiv lsate n voia lor, toate lucrurile merg din ce n ce mai ru poate fi transpus n termenii riscului prin riscurile lsate n voia lor, se vor manifesta din ce n ce mai puternic. De aici i misiunea managementului riscului de a prevedea i analiza riscurile, de a identifica mijloacele de tratare a acestui risc. Primul capitol al acestei monografii asupra managementului riscului este dedicat noiunilor i problemelor de teoria deciziei. Motivul principal pentru care acest domeniu este prezentat n detaliu este acela c n cadrul acestei modelri a fenomenelor de decizie este dat o definiie matematic riguroas a riscului. Riscul n teoria deciziei este pn la urm o valoare medie sau o valoare ateptat n termenii teoriei probabilitilor a unei funcii de pierdere. Relaia direct pierdere risc este deci unul dintre principalele elemente ale managementului riscului. Teoria matematic a deciziei, cu toate c are mai mult de o jumtate de secol de la primele lucrri de specialitate, este nc puin aplicat n practica curent, poate i datorit complexitii modelelor matematice i statistice pe care se fundamenteaz. Un management performant n orice domeniu, nu numai al riscului trebuie ns s in cont de conceptele acestei teorii. Capitolul al doilea la lucrrii este focalizat asupra tehnicilor i metodelor de simulare, pentru a pregti din punct de vedere teoretic i practic, cerinele de simulare a riscurilor ce sunt definite ulterior. Aproape c nu mai este nici un domeniu al tiinei moderne care s nu apeleze la tehnicile de simulare n fundamentarea deciziilor de management.

4


Dup ce principalele fundamente teoretice aplicate n managementul riscului au fost definite, cel de al patrulea capitol al lucrrii trateaz managementul riscului n calitate i fiabilitate. Mai nti, conceptele de teoria deciziei i algoritmul de rezolvare a problemei de decizie propus este aplicat pentru rezolvarea unei probleme de decizie n calitate. Apoi este discutat abordarea Taguchi privind funcia de pierdere i riscul asociat n domeniul calitii. Riscul n teoria fiabilitii este analizat prin prisma unui model general al riscurilor concurente. Capitolul se ncheie cu abordarea riscului n tehnicile de analiz a modului de defectare i a efectelor, respectiv riscul n tehnicile FMEA. Capitolul cinci al acestei lucrri se ocup de managementul riscului n proiecte. tiina managementului proiectelor este de o importan crucial n managementul modern. n cadrul riguros al tehnicilor de management al proiectelor, riscul este abordat ca proces, fiind detaliate ntrrile n procesul de management al riscului, tehnicile i metodele de tratare a riscului, precum i ieirile din acest proces. n acest context sunt aplicate metodele de teoria deciziei i de simulare care au fost discutate anterior. Cuantificarea riscului i simularea riscurilor iniiale i reziduale constituie instrumente de management fr de care nu poate fi condus nici un proiect. Capitolul ase al lucrrii este dedicat managementului riscului n proiectele de realizare i implementare a software-ului. Motivul principal n constituie dezvoltarea fr precedent din ultimele dou decenii a informaticii, ptrunderea ei n cele mai diferite domenii de activitate, dar i creterea aproape exponenial a complexitii sistemelor informatice. Numeroasele eecuri nregistrate n acest domeniu, au impus dezvoltarea unor tehnici specifice pentru managementul proiectelor de software, integrate ns conceptelor generale de management al proiectelor. Riscurile n realizarea, implementarea i exploatarea sistemelor informatice integrate i complexe care exist n prezent impun o abordare nou, pentru a asigura eficacitatea acestora. n fine, ultimul capitol al lucrrii este alocat managementului riscului financiar. Aici am insistat mai mult pe necesitatea modelrii probabiliste a fenomenelor economice i financiare, deoarece domeniul este extrem de vast i poate constitui el nsui subiectul unei lucrri n sine. Din acest motiv, nu au fost discutate dect dou modele de analiz a riscului, unul pentru analiza cost-volum-profit i unul pentru riscul investiiilor de capital. Vom explica n cele ce urmeaz principalele conexiuni ntre risc i noiunile abordate n cadrul fiecrui capitol al acestei lucrri, pentru o orienta mai bine pe cititorul interesat.

1.2 RISCUL N TEORIA DECIZIEI

5

1.2 RISCUL N TEORIA DECIZIEIAbordarea problematicii riscului ntr-o manier riguroas implic i rezolvarea unor probleme de decizie care s conduc la minimizarea riscului i a pierderilor de orice natur asociate diferitelor decizii adoptate i aciunilor aplicate. n activitatea de management din cele mai diverse domenii de activitate (cum ar fi cele politice, economice, militare, tehnologice sau administrative) unul din elementele de baz l reprezint rezolvarea problemelor de luare a deciziilor. Importana deciziilor ce trebuie adoptate, dar i complexitatea i dificultatea alegerii acestora, impun o abordare coerent a problemelor de decizie. Teoria deciziei reprezint n esen atitudinea tiinific fa de procesul de adoptare a deciziilor. Componentele de baz ale acestui proces pot fi analizate n mod sistematic pentru a evidenia legitile acestui proces. Ignorarea sau nclcarea acestor legiti rezultate din analiza aspectelor concrete al problemelor de decizie poate genera adoptarea unor decizii empirice, incorecte sau neadecvate. Teoria matematic a deciziei, ale crei principale noiuni le vom prezenta n cadrul acestui capitol, se bazeaz pe conceptele din teoria probabilitilor i din statistica matematic, completate de o disciplin mai nou, respectiv teoria utilitii. Pentru fiecare problem de decizie se definete o funcie de pierdere, care cuantific pierderea asociat fiecrei consecine a aciunilor adoptate, pentru fiecare stare a naturii. Pierderea este cel mai adesea exprimat n termeni monetari, dar pot fi i alte modaliti de msurare a pierderii. Pe baza funciei de pierdere, se poate determina funcia de risc, ca fiind valoarea medie sau valoarea ateptat a pierderii, definiie ce implic utilizarea probabilitilor. Un alt element important ntr-o problem de decizie o constituie problema asumrii riscului, respectiv a atitudinii fa de risc a decidentului. Aceasta nseamn decizia de a rmne ntr-o stare neschimbat (status-quo) sau decizia de a intra ntr-o situaie de incertitudine, care poate duce la ctig sau la pierdere. O abordare a acestei probleme este dat de funcia de utilitate, care poate fi vzut ca o pierdere negativ, urmrindu-se maximizarea utilitii printr-o decizie optimal. Dac funcia de utilitate marginal este descresctoare, atunci decidentul are aversiune la risc, iar atunci cnd funcia de utilitate este cresctoare, suntem n cazul unui decident care i asum riscul. Problemelor i noiunilor de teoria deciziei le sunt alocate un capitol distinct tocmai datorit faptului c trebuie s avem continuu n vedere i formalizarea i definirea matematic a riscului.

6


1.3 SIMULAREA RISCULUIn contextul problemei de management al riscului, aplicarea simulrii Monte Carlo se utilizeaz pentru evaluarea riscului asociat evenimentelor sistemului analizat, n condiii de incertitudine. n general, tehnicile de simulare implic construirea unui model de natur statistico matematic. Un model de simulare descrie funcionarea unui sistem n termenii evenimentelor individuale ale componentelor sistemului analizat. n particular, sistemul este descompus n elementele sale componente a cror comportare poate fi descris n termenii unei distribuii de probabilitate, pentru fiecare din strile posibile ale sistemului i pentru intrrile n sistem. n model sunt integrate i relaiile ntre elementele sistemului. Dup construcia modelului, vom ncepe simularea prin generarea variabilelor aleatoare care modeleaz evenimentele sistemului, folosind distribuiile de probabilitate corespunztoare. Rezultatul este o simulare a modului de funcionare n timp a sistemului, pe care o nregistrm. Procesul se repet de mai multe ori pentru diferite alternative i configuraii (scenarii) ale componentelor sistemului. Din punct de vedere statistic, simularea este o tehnic de realizare a experimentelor de eantionare privind modelul sistemului. Experimentele se realizeaz asupra unui model, deoarece efectuarea experimentelor asupra unui model real este, de obicei, mult prea costisitoare sau consumatoare de timp. Experimentele de simulare, datorit volumului foarte mare de date care rezult, trebuie efectuate cu ajutorul unui calculator. Primul pas n realizarea unui studiu de simulare este dezvoltarea unui model care s reprezinte sistemul analizat. Acest pas implic reprezentarea sistemului printr-o diagram (schem) logic de flux. Sistemul este descompus ntr-o serie de componente care sunt reprezentate n diagrama de flux i pentru care sunt stabilite regulile de operare. Aceste reguli de operare furnizeaz evenimentele care vor fi generate cu ajutorul unor variabile aleatoare. Trebuie remarcat faptul c modelul de simulare nu va putea s fie o reprezentare complet a sistemului real. Dac comportarea unui anumit element nu poate s fie prognozat, atunci este preferabil s se genereze valori aleatoare din distribuia de probabilitate care modeleaz elementul respectiv, n loc s se utilizeze valori medii. n multe cazuri, combinarea performanelor medii ale componentelor sistemului poate s conduc la rezultate care s se ndeprteze evident de comportarea sistemului n general. O problem care se pune atunci cnd alegem distribuia de probabilitate pentru model este legat de utilizarea distribuiilor de frecven ale datelor istorice sau de determinarea distribuiilor care concord cel mai bine din punct de vedere statistic cu aceste date.

1.4 RISCUL N CALITATE I FIABILITATE

7

1.4 RISCUL N CALITATE I FIABILITATEUnul din domeniile n care riscul poate avea influene deosebit de importante i mai ales consecine foarte grave este reprezentat de sistemul de management al calitii. Riscul n calitate este ntotdeauna inclus n ecuaia calitate cost, deoarece att atingerea i meninerea unui nivel de calitate corespunztor, pe de o parte, dar i deteriorarea calitii, pe de alt parte, poate genera costuri foarte mari. n domeniul riscului n calitate sunt de notorietate conceptele datorate profesorului japonez Genichi Taguchi, care a fundamentat o serie de metode pentru controlul calitii off-line i pentru proiectarea experimentelor, dintre care vom detalia funcia de pierdere introdus de Taguchi. Metodele pentru controlul calitii off-line constau din activiti pentru controlul calitii i al costurilor desfurate n stadiile de proiectare a produsului i a proceselor de realizare a acestuia. Obiectivele generale ale acestor metode sunt mbuntirea calitii i a fiabilitii produselor i reducerea costurilor de dezvoltare i execuie a acestor produse. Termenul off-line semnific, n acest context, faptul c activitile de mbuntire a calitii i de reducere a riscului de pierdere sunt realizate nainte de trecerea la etapa de control a calitii n timp real, respectiv etapa on-line, n care procesele trebuie s se reproduc la parametri optimali. O component cheie n filosofia lui Taguchi este reducerea variabilitii. Specificaiile tehnice impun adesea ca fiecare caracteristic de calitate s aib o anumit valoare nominal sau valoare int. Obiectivul l reprezint reducerea variabilitii fa de aceast valoare int. Taguchi a modelat efectele care pot s apar ca urmare a abaterii de la valoarea de int funcie de pierdere ptratic. Pierderea se refer la costul care poate se apar atunci cnd se utilizeaz un produs ale crui caracteristici de calitate de ndeprteaz de valoarea int. Vom defini riscul Taguchi, respectiv pierderea medie asociat unui proces ca urmare a deplasrii procesului fa de inta specificat a acestuia. n continuarea modelelor de risc aplicate n calitate i fiabilitate, sunt abordate elementele de management al riscului referitoare la utilizarea modelelor statistice de analiz a modului de defectare i a efectelor acesteia, i anume modelele FMEA. Termenul FMEA provine de la acronimul din limba englez pentru Failure Mode and Effects Analysis, respectiv Analiza Modului de Defectare i a Efectelor. n limbile romn i francez se utilizeaz i acronimul AMDE. FMEA poate fi descris ca un grup de activiti sistematizate, avnd ca obiective: recunoaterea i evaluarea riscului defectrii poteniale ale unui produs sau proces i a efectelor acestei defectri; identificarea aciunilor ce ar putea elimina sau reduce probabilitatea de apariie a unei defectri poteniale; documentarea procesului i managementul riscului.

8


1.5 RISCUL N PROIECTERiscul poate fi definit ca fiind gradul de expunere la un eveniment care poate s se ntmple n detrimentul sau n beneficiul unui proiect sau a unei activiti. El poate fi descris ca o combinaie dintre probabilitatea ca riscul s apar i consecinele n termenii pierderii sau ctigului ca urmare apariiei riscului. Riscul este o component inerent a tuturor activitilor unui proiect, indiferent dac este vorba de o activitate mai simpl sau de o activitate mai complex. De aceea, dimensiunea i/sau complexitatea unei activiti nu este ntotdeauna o msur adecvat a gradului de risc potenial asociat cu activitatea respectiv. Totui, dependena este direct, adic n cele mai multe cazuri, activitile complexe au asociate riscuri mai mari. Managementul riscului este procesul sistematic de identificare, de analiz i de rspuns la riscul potenial al unui proiect. Managementul riscului este deci o abordare structurat i formal, focalizat asupra pailor necesari i aciunilor planificate pentru a determina i a controla riscurile, meninndu-le la un nivel acceptabil. Aplicat pentru un proiect, managementul riscului reprezint utilizarea continu a principiilor de management de risc pe durata de via a proiectului. Scopul este de a maximiza probabilitatea de succes a proiectului, prin creterea anselor de mbuntire a performanelor proiectului i, n acelai timp, diminuarea anselor pentru evoluii neanticipate, cum ar fi ntrzieri de program, depirea costurilor sau compromisuri privind calitatea. Managementul riscului proiectului este un proces continuu de planificare, identificare, cuantificare, rspuns i control al riscurilor, pentru a mri ct mai mult potenialul de succes al proiectului. Managementul riscului n cadrul unui proiect se poate aplica costurilor, programului sau performanelor tehnice (cum ar fi de exemplu riscul asociat aplicrii unei noi abordri constructive) sau performanelor planificate (de exemplu riscul asociat obinerii i utilizrii resurselor care pot afecta proiectul). Riscul proiectului este un eveniment incert sau o condiie care, dac apare, poate s aib un impact pozitiv sau negativ asupra obiectivului proiectului. Riscul are o cauz i, dac apare, un impact. De exemplu, cauza poate fi obinerea unei aprobri din partea unui organism specializat ( cum ar fi autorizaia de construcie sau de mediu). Evenimentul de risc poate fi poate fi faptul c obinerea aprobrii poate s dureze mai mult dect a fost planificat iniial, ceea ce poate s aib impact asupra programului, costurilor sau calitii proiectului. Riscul proiectului include att ameninrile asupra obiectivelor proiectului, dar i oportunitile de a mbunti aceste obiective. Acest risc i are originea n incertitudinea care este prezent n toate proiectele, indiferent de amploarea sau complexitatea acestora.

1.6 RISCUL N SOFTWARE

9

1.6 RISCUL N SOFTWARERiscul poate fi definit, n general, ca fiind posibilitatea de a pierde. El este o funcie dat de probabilitatea unui eveniment advers care poate s apar, ct i de impactul acestuia. Acest impact poate fi o combinaie de pierderi financiare, ntrzieri sau pierderea performanei. Riscul n software este dat de probabilitatea ca, la un anumit moment din ciclul de via al proiectului software, obiectivele planificate s nu fie atinse cu resursele alocate. De obicei, riscul nu poate fi eliminat din proiectele software, dar el poate fi tratat. Managementul riscului este o activitate critic pentru succesul oricrui proiect software, fiind o component strategic de realizare a acestuia. Dezvoltarea fr precedent a sistemelor electronice i a informaticii din ultimele dou decenii, a avut drept consecin creterea complexitii proiectelor de realizare i implementare a sistemelor de aplicaii software. Proiectele de software au devenit o necesitate, dar i riscurile implicate de realizarea lor au crescut aproape exponenial. Literatura de specialitate este plin de exemple de proiecte de software care au euat, au ntrziat sau nu s-au mai realizat niciodat. Managementul riscului n software face parte din practicile de inginerie a software-ului i const din procesele, metodele i tehnicile de management a proiectelor software. El furnizeaz o abordare sistematic i o atitudine pro-activ de adoptare a deciziilor care s evalueze lucrurile care nu merg bine, s determine care sunt riscurile care sunt importante i s implementeze aciunile necesare pentru tratarea acestor riscuri. Ca i n alte domenii ale managementului n general i al managementului proiectelor n special i n acest domeniu implicarea managementului de cel mai nalt nivel al organizaiei este esenial pentru succes. Top-managementul trebuie s susin managementul riscului prin alocarea resurselor necesare, prin planificare i analize de management dedicate acestui scop. Modelul global al procesului de management al riscului n software, se integreaz modelelor de management al proiectelor n general, fiind de fapt o adaptare i o particularizare pentru ciclul de via i specificitatea proiectelor de software. Modelul identific funciile fundamentale pentru managementul riscului ce trebuie avute n vedere pentru un management eficace al riscului n proiectele de software.

10


1.7 RISCUL FINANCIAROperaiunile financiare, prin natura diversitii lor, implic aproape ntotdeauna un anumit grad de risc, generat de pierderea de natur material (sau de alt natur) pe care o pot nregistra una sau mai multe persoane juridice sau fizice implicate n operaiunea financiar respectiv. n activitile bancare, de exemplu, riscul poate s apar n operaiunile de creditare, fiind reprezentat de posibilitatea ca banca s nu i poat recupera creditele acordate la termenele sau n condiiile stipulate n contractele de creditare. De asemenea, pentru un deponent al bncii, riscul poate fi asociat cu posibilitatea de a nu beneficia cnd i cum dorete de resursele bneti depuse la respectiva banc. n acest caz, riscul poate fi o alt rat a dobnzii fa de cea prevzut iniial, o evoluie defavorabil a valutei n care este contul de depozit sau chiar dificulti financiare ale bncii. Situaii asemntoare de risc de natur financiar pot s apar i n operaiunile de asigurri, de leasing, de burs .a. Din punct de vedere statistico-matematic, analiza riscului unei activiti financiare presupune evaluarea probabilitii de a obine anumite rezultate favorabile (ctig) sau nefavorabile (pierdere), innd cont de evenimente viitoare incerte i probabile. Printre dificultile ntmpinate atunci cnd este evaluat riscul financiar se pot meniona lipsa informaiilor sau gradul lor de disponibilitate pentru a determina distribuia de probabilitate a fenomenului economic analizat. De asemenea, identificarea i cuantificarea riscului financiar nu nseamn i eliminarea acestuia, dar furnizeaz elementele necesare managementului riscului financiar. Revenind la abordarea modelului riscului financiar, s menionm faptul c, uneori, ntre risc i incertitudine se face o anumit distincie, legat de cantitatea de informaie disponibil pentru fundamentarea deciziilor financiare. Riscul este utilizat n situaiile n care sunt posibile mai multe rezultate i despre care exist o experien anterioar relevant pentru a defini un model statistic, care s permit o predicie asupra rezultatelor posibile. Incertitudinea exist n situaiile n care sunt posibile mai multe rezultate, dar nu se dispune de informaie suficient pentru modelul statistic de decizie. Pn la urm, aceast distincie ntre risc i incertitudine nu este att de relevant, mai important fiind faptul c, fa de un model determinist, utilizm un model probabilist, n care riscul i incertitudinea sunt modelate prin variabile aleatoare. problemele de teoria deciziei se reduc n final la evaluarea unei funcii de pierdere, riscul avnd, n cele mai multe situaii, o exprimare de natur financiar.

2NOIUNI DE TEORIA DECIZIEI2.1 DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE2.1.1 Contextul problemei de decizien activitatea de management din cele mai diverse domenii de activitate (cum ar fi cele politice, economice, militare, tehnologice sau administrative) unul din elementele de baz l reprezint rezolvarea problemelor de luare a deciziilor. Importana deciziilor ce trebuie adoptate, dar i complexitatea i dificultatea alegerii acestora, impun o abordare coerent a problemelor de decizie. Teoria deciziei reprezint n esen atitudinea tiinific fa de procesul de adoptare a deciziilor. Componentele de baz ale acestui proces pot fi analizate n mod sistematic pentru a evidenia legitile acestui proces. Ignorarea sau nclcarea acestor legiti rezultate din analiza aspectelor concrete al problemelor de decizie poate genera adoptarea unor decizii empirice, incorecte sau neadecvate. Teoria matematic a deciziei, ale crei principale noiuni le vom prezenta n cadrul acestui capitol, se bazeaz pe conceptele din teoria probabilitilor i din statistica matematic, completate de o disciplin mai nou, respectiv teoria utilitii. Abordarea problematicii riscului ntr-o manier riguroas implic i rezolvarea unor probleme de decizie care s conduc la minimizarea riscului i a pierderilor de orice natur asociate diferitelor decizii adoptate i aciunilor aplicate. ntr-o problem de decizie, un decident individual (de obicei un manager) sau colectiv (un comitet sau un board de conducere) trebuie s aleag din mai multe alternative, n funcie de anumite criterii sau reguli de decizie, astfel nct decizia aleas s fie din anumite puncte de vedere cea mai bun. Alternativele pe care le are decidentul sunt constituite dintr-un spaiu de aciune, care conine toate aciunile posibile pe care decidentul le are la dispoziie. n general, n majoritatea problemelor de decizie, spaiul de aciune este o mulime finit, dar exist i probleme de decizie cu spaiul de aciune infinit. Un alt element care definete o problem de decizie l constituie spaiul de parametri, sau spaiul strilor naturii, care reprezint starea11

12

CAPITOLUL 2 NOIUNI DE TEORIA DECIZIEI

adevrat a lumii reale. Consecinele fiecrei aciuni depind de evenimente incerte, reprezentate de starea naturii. ntr-o problem de decizie, decidentul poate s aib, sau nu, la dispoziie informaii privind incertitudinile ce caracterizeaz problema de decizie. Aceste informaii suplimentare rezult de obicei pe baza efecturii unor experimente, nelegnd prin aceasta sensul cel mai larg de definire a experimentelor de natur statistic, respectiv, activitile de culegere i prelucrare a informaiei referitoare la un anumit fapt. Dac decidentul nu folosete informaii din experimente pentru adoptarea deciziei, spunem c avem o problem de decizie fr experimentare. Dac ns n procesul de adoptare a deciziei sunt utilizate informaiile provenite din experimente, spunem c avem o problem de decizie cu experimentare. Informaia este de cele mai multe ori de natur statistic, furniznd modelul probabilistic ataat problemei de decizie. Informaiile din experimente se refer la variabilele aleatoare care definesc spaiul de eantionare al problemei de decizie. Deciziile n care probabilitatea de apariie a fiecrei stri a naturii este cunoscut (sau poate fi estimat) sunt definite ca fiind decizii luate n condiii de incertitudine sau de risc. n asemenea situaii, decidentul poate evalua gradul de risc n termenii unei distribuii de probabilitate. Astfel, probabilitile n adoptarea deciziei pot fi vzute ca un mijloc de a exprima convingerea decidentului asupra evenimentelor viitoare, care sunt ns incerte. Probabilitile care evalueaz strile naturii sunt obiective i subiective. Probabilitile obiective pot fi determinate pe baza datelor istorice sau ca urmare a experimentelor i trebuie s fie actuale, numrabile sau observabile. Probabilitile subiective msoar gradul de convingere n verosimilitatea apariiei viitoare a unui anumit rezultat i se utilizeaz atunci cnd probabilitile obiective nu sunt accesibile sau nu pot fi utilizate. Pentru fiecare problem de decizie se definete o funcie de pierdere, care cuantific pierderea asociat fiecrei consecine a aciunilor adoptate, pentru fiecare stare a naturii. Pierderea este cel mai adesea exprimat n termeni monetari, dar pot fi i alte modaliti de msurare a pierderii. Pe baza funciei de pierdere, se poate determina funcia de risc, ca fiind valoarea medie sau valoarea ateptat a pierderii, definiie ce implic utilizarea probabilitilor. Criteriile sau regulile de decizie se mpart n dou categorii. Este vorba despre criteriul minimax i despre criteriul Bayes. Criteriul minimax se aplic mai ales deciziilor fr experimentare, n care se evalueaz pierderile maxime datorate aciunilor adoptate i apoi se alege decizia care are o pierdere minim. Acest criteriu de decizie este unul conservator, pesimist, care ne asigur protecia asupra unor variaii crescute ale riscului, respectiv minimizeaz riscul maxim. Criteriul de decizie Bayes ia n considerare i alte informaii de care dispune decidentul n legtur cu strile naturii care este posibil s apar. n aceste situaii,

2.1 DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE

13

decidentul ine seama de convingerile sale privind starea naturii, reprezentate sub forma unei distribuii de probabilitate, respectiv aa-numita distribuie a convingerii. Funcia de risc de tip Bayes exprim pierderea medie pentru decizia considerat, condiionat de adevrata stare a naturii, calculat n funcie de densitatea de probabilitate a convingerii. Procedura de decizie Bayes indic decidentului alegerea aciunii care minimizeaz pierderea medie, pierdere evaluat n funcie de valorile distribuiei de probabilitate iniiale considerate pentru toate strile posibile ale naturii. Aceast alegere se poate face fr utilizarea unor informaii suplimentare rezultate ca urmare a experimentrii. Dac ns decidentul poate dispune de aceste informaii suplimentare, atunci ele trebuie aplicate pentru adoptarea deciziei. n cadrul experimentrii, decidentul analizeaz variabilele aleatoare care conin valorile spaiului de eantionare. El va stabili o procedur de decizie sau o strategie, care s-i indice aciunile pe care trebuie s le aplice pentru fiecare valoare a variabilei aleatoare, urmrind alegerea funciei de decizie optimale. Funcia de risc, calculat cu ajutorul probabilitilor iniiale ofer un mijloc de a defini optimalitatea, respectiv minimizarea riscului pentru fiecare stare a naturii. Dar n majoritatea cazurilor, aceast funcie optimal nu exist i atunci va trebui s gsim o modalitate de gsire a deciziei optimale cu ajutorul probabilitilor posterioare, care nseamn de fapt ncorporarea n modelul de decizie a tuturor informaiilor disponibile despre starea naturii. nainte de a proceda la utilizarea experimentelor statistice, care de cele mai multe ori au costuri semnificative, este necesar ns s evalum valoarea potenial pe care o aduc aceste experimente. Pentru acesta vom evalua mai nti valoarea informaiei perfecte a experimentului, respectiv valoarea pe care decidentul este dispus s o plteasc pentru aceast informaie perfect. Abordrile minimax i Bayes conduc, n general, la rezultate diferite privind alegerea deciziei optimale, cu toate c anumite alegeri ale distribuiei convingerii poate conduce la soluii similare ale problemei de decizie. Un alt element important ntr-o problem de decizie o constituie problema asumrii riscului, respectiv a atitudinii fa de risc a decidentului. Aceasta nseamn decizia de a rmne ntr-o stare neschimbat (status-quo) sau decizia de a intra ntr-o situaie de incertitudine, care poate duce la ctig sau la pierdere. O abordare a acestei probleme este dat de funcia de utilitate, care poate fi vzut ca o pierdere negativ, urmrindu-se maximizarea utilitii printr-o decizie optimal. Dac funcia de utilitate marginal este descresctoare, atunci decidentul are aversiune la risc, iar atunci cnd funcia de utilitate este cresctoare, suntem n cazul unui decident care i asum riscul. n fine, o problem de decizie secvenial cu stadii multiple poate fi analizat i cu ajutorul arborilor de decizie, metod care are avantajul de a furniza o reprezentare

14


grafic clar a alternativelor i a cronologiei evenimentelor problemei de decizie. Un arbore de decizie este alctuit din noduri i din ramuri. Exist dou tipuri de noduri, respectiv noduri de decizie (reprezentate printr-un ptrat) i noduri de incertitudine (reprezentate printr-un cerc). Ramurilor de incertitudine li se ataeaz probabiliti, n funcie de condiionrile pentru fiecare ramur a arborelui de decizie. Cele dou metode de rezolvare a problemei de decizie, cea analitic i cea grafic au fiecare avantaje i cel mai bine se utilizeaz mpreun pentru determinarea soluiei optimale a problemei de decizie.

2.1.2 Scurt istoric al teoriei decizieincercnd o scurt schi istoric a evoluiei conceptelor din teoria deciziei, care are de fapt o istorie recent de circa 50 de ani, s remarcm faptul c teoria probabilitilor, statistica, teoria utilitii i teoria jocurilor sunt principalele domenii ale matematicii care se utilizeaz pentru rezolvarea problemelor de decizie. Primele idei de teoria probabilitilor se consider c au fost introduse de Cardano, n anul 1550, n lucrarea Liber de Ludo Aleae (Carte asupra jocurilor de noroc). Tot de jocurile de noroc i de numele lui Pascal i Fermat se leag principiile de baz ale teoriei probabilitilor, coninute ntr-un schimb de scrisori ntre cei doi n anul 1654, ca rezolvare a unei probleme din jocul de zaruri. Omul de tiin olandez Christian Huygens, pe baza conceptelor lui Pascal i Fermat, a publicat n anul 1657 prima carte de teoria probabilitilor, intitulat De Ratiociniis in Ludo Aleae (Asupra raionamentelor n jocurile de noroc). n secolul al XVIII-lea, teoria probabilitilor devine din ce n ce mai popular, contribuii importante avnd Jacob Bernoulli (Ars Conjectandi 1713) i Abraham de Moivre (Doctrine of Chances 1713). Bernoulli este primul care demonstreaz prima teorem limit a probabilitilor, respectiv legea numerelor mari. Secolul al XIX-lea constituie nceputul abordrii moderne n teoria probabilitilor i n statistica matematic. Carl Friederich Gauss arat, n anul 1809, c repartiia normal (celebrul clopot al lui Gauss) reprezint un model matematic adecvat pentru distribuia erorilor de msurare. n anul 1812, Pierre de Laplace n lucrarea Thorie Analytique des Probabilits dezvolt noi idei i noi domenii de aplicare a probabilitilor n afara jocurilor de noroc, cum sunt teoria erorilor (la care contribuii importante a adus i Gauss), matematicile actuariale, mecanica statistic .a. n a doua jumtate a secolului XIX, se pot consemna numele lui Chebyshev i Markov n domeniul probabilitilor i ale lui Galton i Pearson n statistica matematic. Ca i n alte domenii ale matematicii, dezvoltarea teoriei probabilitilor a fost stimulat de diversitatea aplicaiilor sale. Statistica matematic este unul din cele

2.1 DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE

15

importante domenii aplicare a probabilitilor. Statistica era la nceputurile sale o tiin politic cu originile n Germania i este destul de dificil de apreciat cnd termenul a fost utilizat n sens matematic pur. De la primele sale obiective, de a sistematiza informaiile despre stare societii (deci o matematic a statului), statistica i-a dovedit n ultimele dou secole aplicaiile sale n toate domeniile tiinifice i sociale. Ultimul secol a consemnat dezvoltrile teoretice importante ale lui von Mises, Keynes, de Finetti, Borel i Kolmogorov, ultimul avnd o contribuie remarcabil n axiomatizarea modern a teoriei probabilitilor. Evident c lista celor care i-au adus aportul la dezvoltarea teoriei probabilitilor este departe de a fi complet i conine numai o parte din marile nume n domeniu. i n statistica matematic pot fi menionate, cum ar fi cele aduse de Fisher, Pearson, Neymann etc. n ultimele decenii, teoria probabilitilor a fost integrat ntr-o disciplin mai general i anume n teoria msurii. i coala romneasc de teoria probabilitilor i statistic matematic are n ultima jumtate de secol rezultate teoretice i practice importante, datorate ndeosebi academicienilor Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc i Marius Iosifescu. Teoria probabilitilor i statistica matematic se studiaz sistematic n toate facultile de matematic din ar. Conceptele de teoria utilitii au fost introduse iniial de von Neumann i Morgerstern n lucrarea Theory of Games and Economic Behaviour (1947). Contribuia principal la construirea unei adevrate teorii a deciziei este adus de Abraham Wald prin lucrarea fundamental Statistical Decision Functions (1950). Wald abordeaz problemele fundamentale ale statisticii matematice ca fiind probleme de decizie. Generaliznd problemele de estimaie i de verificare a ipotezelor statistice, Wald a formulat modelul general al problemei de decizie. n anii 60 70, contribuii semnificative la dezvoltarea teoriei deciziei au adus L. J. Savage, D. Luce, H. Raifa, K. Arrow i alii. Eforturile s-au concentrat pe rezolvarea unor probleme de decizie complexe ale societii contemporane, cu o mare cantitate de informaie, pe care numai calculatoarele electronice care au cunoscut i ele o dezvoltare exploziv n aceast perioad o pot prelucra pe baza algoritmilor i a modelelor dezvoltate n teoria deciziei. n literatura de specialitate din ara noastr, direciile de cercetare n domeniul teoriei deciziei s-au concentrat asupra abordrii probabiliste i statistice datorat profesorilor M. Malia i C. Zidroiu (abordare de tipul celei prezentate n cadrul acestui capitol), dar i aspecte de decizie din teoria jocurilor (abordare pe care nu o vom discuta aici). Nu vom discuta, de asemenea, n cadrul acestui capitol, nici procesele de decizie stocastice care implic utilizarea lanurilor Markov i care necesit un aparat probabilistic mai avansat.

16


2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIE2.2.1 Elementele generale ale modeluluiElementele de baz ale modelului general al unei probleme de decizie pot fi formalizate matematic astfel: Definim o mulime A, denumit spaiu de aciune, alctuit din toate aciunile posibile a de care dispune decidentul; Definim o mulime , denumit spaiu de parametri, alctuit din toate strile naturii posibile . O singur stare a naturii i numai una va aprea, dar starea adevrat nu este cunoscut de decident n momentul n care el alege o aciune; Definim o funcie L, denumit funcie de pierdere, cu domeniul i cu valori n mulimea R (mulimea numerelor reale). L este constituit din perechile ordonate ( , a ), , a , denumite consecine (ale alegerii aciunii a, atunci cnd starea adevrat a naturii este ); Considerm variabila aleatoare X, care are valorile posibile x X , denumit spaiu de eantionare. Variabila aleatoare X are funcia de densitate de probabilitate n familia { f ( x ; )} ; Definim mulimea D, denumit spaiu de decizie, alctuit din toate aplicaiile d din X n A.

Interpretarea modelului de mai sus este urmtoarea. n momentul n care decidentul i alege aciunea, el nu cunoate adevrata stare a naturii i deci nu cunoate consecina actual a aciunii sale (dac el alege a A , atunci consecina actual ( , a ) este necunoscut, deoarece starea este necunoscut). Decidentul tie totui pierderea care ar rezulta pentru fiecare din consecinele posibile ( , a ) , corespunztoare cu alegerea aciunii a A i starea naturii . Desigur, pierderea poate fi i ctig, caz n care valoarea lui L( , a ) va fi negativ. Ca alternativ la funcia de pierdere, putem s lucrm cu o funcie de ctig sau o funcie de utilitate. Pentru a reduce incertitudinea asupra strii , decidentul culege informaie sub forma observrii unei variabile aleatoare X, a crui distribuie de probabilitate depinde de parametrul . tiind c X = x i tiind forma lui f ( x ) , decidentul poate extrage informaie despre parametrul , care s l ajute n alegerea unei strategii generale, care definete, pentru fiecare X = x , alegerea aciunii a. Sintetiznd modelul general al problemei de decizie, decidentul alege o aciune

2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIE

17

a A , pe baza observaiilor asupra valorilor variabilei aleatoare x X . Alegerea unei strategii generale, care definete pentru fiecare X = x , alegerea lui a, este echivalent cu alegerea funciei de decizie d D . Dup ce a fost aleas, funcia de decizie d specific aciunile care trebuie s fie aplicate pentru toate valorile posibile X =x. Teoria deciziei poate fi vzut ca fiind studiul selectrii deciziei d din mulimea D. Aceasta implic dou tipuri diferite de probleme. Prima, de natur filosofic, este problema criteriului utilizat pentru compararea elementelor din D; a doua, de natur tehnic, privete modul de determinare a unei decizii optime, pe baza criteriului ales. O problem de decizie poate fi vzut i ca fiind un joc mpotriva naturii. Aceasta nsemn c natura alege un element i apoi decidentul, fr a cunoate starea aleas de natur, alege, la rndul lui, un element a A . Rezultatul acestor dou alegeri este pierderea de ctre decident a cantitii L( , a ) , pierdere care

poate fi msurat ntr-o unitate de msur adecvat (nu neaprat n bani). Posibilitatea observrii unei variabile aleatoare X, cu densitatea de probabilitate f ( x ) , furnizeaz decidentului o informaie limitat despre alegerea naturii. Alegerea funciei de decizie poate fi vzut ns ca o strategie de joc. S notm, de asemenea, c dou din domeniile majore ale statisticii infereniale respectiv estimarea i testarea ipotezelor sunt ambele cazuri speciale ale modelului general de decizie prezentat mai sus. Vom detalia aceste cazuri n cursul acestui capitol.

2.2.2 Regulile de decizie minimax i BayesLa prima impresie, s-ar putea crede c alegerea funciei de decizie optime este relativ simpl, deoarece vom alege o funcie d D astfel nct pierderea s fie minimizat, indiferent de starea naturii care apare. Totui, acest lucru nu este posibil dac nu tim adevrata stare a naturii, caz n care nu suntem de fapt n faa unei probleme de decizie. Pentru a ilustra acest lucru, s presupunem c dorim estimarea unui parametru necunoscut real, cu o funcie de pierdere ptratic de forma L( , a ) = ( a ) 2 . S presupunem c am observat variabila aleatoare X = x i c a = d ( x ) este estimarea lui

specificat de d. Dac valoarea adevrat a parametrului este , vom avea o pierdere ( d ( x ))2 . Dac, n fapt, = 0 , va trebui s lum d ( x ) = 0 pentru aminimiza pierderea; dac ns = 1 , va trebui s lum d ( x ) = 1 . Dar deoarece nu tim valoarea lui , nu vom putea selecta d ( x ) pentru minimizarea pierderii. Din

18


punct de vedere matematic, problema nu este bine definit. O metod posibil pentru alegerea unei funcii de decizie d ct mai bune, n termenii unei cantiti care s poat fi calculat, este gsirea unei msuri care s evalueze n medie strategia de decizie aleas. Fie funcia R, definit pe D cu valori reale, definit prinR( , d ) = L( , d ( x )) f ( x )dx (X continu)X

(2.1)

i

R( , d ) = L( , d ( x )) f ( x )xX

(X discret).

(2.2)

Funcia R se numete funcia de risc a lui d, evaluat pentru . Riscul R( , d ) msoar deci valoarea medie a pierderii (sau valoarea ateptat a pierderii), utiliznd funcia de decizie d, dac starea adevrat a naturii este i n raport cu distribuia specificat f (x ) . Notnd operatorul pentru valoarea medie cu M X , putem scrieR( , d ) = M X [L( , d ( x ))] .

(2.3)

Operatorul M X poate fi aplicat pentru orice funcie g ( x , ) a crei valoare medie n raport cu X exist, astfel nctM X [g ( x , )] = g ( x , ) f ( x )dx .X

(2.4)

Putem utiliza de asemenea i operatorul pentru varian V X , definit ca

V X [g ( x , )] = M X [g ( x , )]2 M X [g ( x , )] 2 .

{

}

(2.5)

Exemplul 2.1 S analizm problema estimrii parametrului , utiliznd funcia de pierdere ptratic i un eantion aleator X = ( X 1 , X 2 , K , X n ) dintr-o distribuie normal cu media 0 i abaterea standard 1, N (0,1) . Considerm urmtoarele reguli de decizie:d1 ( X 1 , X 2 ,K , X n ) =1 (X1 + X 2 + K + X n ) = X , n d 2 ( X 1 , X 2 , K , X n ) = mediana( X 1 , X 2 , K , X n ) ,

L( , a ) = ( a ) 2 ,

(2.6)

(2.7) (2.8) (2.9)

d 3 ( X 1 , X 2 ,K , X n ) 0 .

Conform relaiilor de mai sus, d1 este media eantionului, d 2 este mediana eantionului, iar d 3 este o regul de decizie care statueaz c se ignor orice valoare a eantionului i ntotdeauna se estimeaz ca fiind 0. Calculnd funciile de risc pentru aceste decizii obinem


19

R( , d1 ) = M X ( X ) = V X (X ) =2

(n acest caz X are o distribuie normal N ( ,1

innd cont c mediana are o distribuie normal N ( , 2n ) obinemR( , d 2 ) = M X (mediana( X 1 , K , X n ) )2 =1,57 . n 2n

n ).

1 . n

(2.10)

(2.11)

Pentru d 3 obinem

R( , d 3 ) = M X (0 ) 2 = M X ( 2 ) = 2 .

(2.12)

Funciile de risc pentru d1 , d 2 i d 3 sunt reprezentate n Figura 2.1R( , d ) d3 d2

1,57 n

1 n0

d1

Figura 2.1 Funciile de risc pentru deciziile d1, d2 i d3

n condiiile problemei noastre (distribuie normal i funcie de pierdere ptratic), se observ c mediana nu este un estimator acceptabil, avnd n vedere c funcia de risc a mediei are toate valorile mai mici dect ale medianei, pentru orice . n acelai timp, media nu este n mod necesar un estimator mai bun dect d 3 , innd cont c n vecintatea lui 0, funcia de risc a lui d 3 are valorile de risc cele mai mici. Din acest exemplu observm c funciile de risc n sine nu ne furnizeaz un criteriu de alegere ntre d1 i d 3 . Exemplul urmtor ilustreaz tocmai dificultatea alegerii regulilor de decizie. Exemplul 2.2 Fie X = ( X 1 , X 2 , K , X n ) un eantion aleator din distribuia normalN ( , ) , cu > 0 , adic o distribuie normal avnd media i dispersia egale cu .

Vom estima parametrul

utiliznd aceeai funcie de pierdere ptratic

L( , a ) = ( a ) 2 .Considerm funciile de decizied1 ( X 1 , X 2 ,K , X n ) =1 (X1 + X 2 + K + X n ) = X , n

(2.13)

20


id 2 ( X 1 , X 2 ,K , X n ) =1 n 2 (X i X ) , n 1 i =12

(2.14)

Calculnd funciile de risc, obinemR( , d1 ) = M X ( X ) = V X ( X ) =

n

,

(2.15)

iR( , d 2 ) = M X ( d 2 ( X ))2 = V X (d 2 ( X )) ,

(2.16)

dar deoarece M X ( d 2 ( X ))2 = , obinem2 2 . (2.17) R( , d 2 ) = n 1 n 1 i R( , d1 ) > R( , d 2 ) dac Rezult c R( , d1 ) < R( , d 2 ) dac > 2n n 1 n 1 , egalitatea avnd loc dac = . Graficele funciilor de risc < 2n 2n corespunztoare deciziilor d1 i d 2 pentru n = 2 sunt reprezentate n Figura 2.2.R( , d ) d2

d1

1/8

1/4

Figura 2.2 Funciile de risc pentru deciziile d1, i d2

Analiznd figura de mai sus, observm c dac tim c < 1 4 , atunci decizia d 2 este optim, dar dac tim c > 1 4 atunci decizia este d1 optim. Problema este c

nu tim valoarea lui i astfel trebuie s gsim i alte criterii care s ne ajute s alegem. n general, o problem de decizie conduce la un mare numr de funcii de decizie posibile (mulimea D are un numr foarte mare de elemente) i modelele grafice prezentate anterior nu mai pot fi aplicate. De aceea, va trebui s cutm criterii generale, care s ne permit selecia regulilor optimale din spaiul de decizie D. Prin termenul optimal vom nelege n continuare cea mai bun soluie pe care o alegem ntr-un context dat.


21

Vom analiza n cele ce urmeaz dou astfel de criterii, cunoscute sub denumirea de criteriul (regula) minimax i criteriul Bayes. Pentru a detalia aceste concepte, s considerm dou funcii de risc ipotetice corespunztoare regulilor de decizie d1 i d 2 pentru o problem de decizie cu spaiul de parametri , reprezentate n Figura 2.3.R( , d )

d1 d2

Figura 2.3 Dou funciile de risc ipotetice

Pentru majoritatea valorilor lui , d 2 are un risc mai mic dect d1 , dar exist valori ale lui pentru care d 2 are un risc considerabil mai mare. Ce se poate face n asemenea situaii? Sunt posibile dou abordri ale acestei probleme: a) b) Alegerea lui d1 , care ne protejeaz asupra unor variaii crescute ale riscului, respectiv minimizeaz riscul maxim; Considerarea i a altor informaii de care dispunem i analizarea valorilor lui care este probabil s apar. Dac suntem convini c valorile lui vor fi n intervalul n care d 2 are riscul maxim, atunci vom alege d1 . Dac, pe de alt parte, avem convingerea c este puin probabil ca valorile lui s fie n intervalul de risc maxim, atunci vom alege d 2 . n ambele cazuri, n analiz am introdus convingerile noastre privind valorile lui . Aceste exemple intuitive ne conduc la urmtoarea formalizare. Pentru a), vom alege decizia d * astfel nct sup R( , d * ) = inf sup R( , d ) . (2.18)d D

Cu alte cuvinte, vom alege funcia de decizie al crui risc maxim este cel mai mic, dintre toate valorile posibile de riscuri maxime corespunztoare deciziilor d din D. d * se numete funcie de decizie minimax. Pentru b), presupunem c convingerile noastre referitoare la pot fi reprezentate sub forma unei funcii de densitate de probabilitate p( ) cu domeniul . De exemplu, n Figura 2.4 sunt reprezentate dou distribuii posibile p1 i p 2 pentru distribuia convingerii (n englez belief distribution) p( )

22


pe care le asumm pentru . Am vzut c funcia de risc R( , d ) exprim pierderea medie pentru decizia d, condiionat de faptul c este adevrata stare a naturii. Considernd R( , d ) o funcie de , pentru d fixat, putem s calculm valoarea sa medie n raport cu distribuia convingerii p( ) . Definim riscul Bayes B(d ) pentru o funcie de decizie d ca fiind

B(d ) = R( , d ) p( )d , ( continu)

(2.19)

sau

B(d ) = R( , d ) p( ) , ( discret)

(2.20)

R( , d )

p1

p2

Figura 2.4 Forme posibile ale distribuiei convingerii

Este natural s cutm acum o funcie de decizie care minimizeaz pierderea total, adic B(d ) = M M X [L( , d ( x ))] . (2.21)d * este, prin definiie, o funcie de decizie Bayes dac B(d * ) = inf B(d ) .dD

(2.22)

S remarcm c, dat fiind o problem de decizie, d * nu este unic deoarece ea depinde de alegerea lui p( ) . Spunem c d * este o funcie de decizie Bayes n raport cu p( ) . Exemplul urmtor ilustreaz abordrile minimax i Bayes.Exemplul 2.3 Pentru problema de decizie din Exemplul 2.1 avem 1 sup R( , d1 ) = , n

(2.23)


23

sup R( , d 2 ) =

1,57 , n sup R( , d 3 ) = ,

(2.24) (2.25)

1 1 S presupunem acum c suntem siguri c variaz n intervalul , i n 10 10 acest interval avem convingerea c nu exist valori ale lui care s fie mai plauzibile dect altele. Convenim deci s reprezentm aceast convingere printr-o distribuie 1 1 uniform pe intervalul , i avem 10 10 1 p( ) = =5. (2.26) 1 1 10 10 Atunci funciile de risc Bayes suntB(d1 ) = B(d 2 ) =1 10

1 5d = 1 , n 1 10 n

1 10

(2.27) (2.28) (2.29)

1,57 5d = 1,57 , n 1 10 n

B(d 3 ) =

1 10

1 10

2

5d =

1 , 300

Rezult c dac n > 300 , funcia de decizie Bayes este d1 , dac n = 300 atuncid1 i d 3 au acelai risc Bayes, iar dac n < 300 atunci d 3 este decizia cu riscul Bayes

cel mai mic. Totui, dac convingerea noastr stabilit a priori ar fi fost diferit, de exemplu o distribuie uniform pe intervalul ( 1, 1) , urmnd aceeai procedur ca mai sus, cele trei valori ale riscului Bayes ar fi fost 1 1,57 1 , B(d 3 ) = , B(d1 ) = , B(d 2 ) = n n 3 i deci pentru n > 3 , d1 este decizia preferat din punct de vedere Bayes. (2.30)

Am analizat pn acum dou abordri posibile pentru alegerea regulilor de decizie, respectiv abordarea minimax i abordarea Bayes. Din exemplele anterioare, a rezultat c aceste abordri conduc, n general, la rspunsuri diferite privind alegerea funciei de decizie optimale (dei pentru anumite alegeri a priori ale distribuiilor de probabilitate ale convingerii privind starea naturii, cele dou abordri pot conduce la acelai rezultat).

24


2.2.3 Decizii admisibileS considerm funciile de risc din Figura 2.5. Este clar c funciile d1 i d 2 vor fi eliminate de la nceput din analiz. Funciile d 3 i d 4 au un risc relativ similar i rmne s alegem ntre ele.R( , d )d1 d2

d3 d4

Figura 2.5 Funciile de risc pentru diferite funcii de decizie

Fiind dat o funcie de decizie d D , dac exist o alt funcie d D care satisface proprietile R ( , d ) R ( , d ) pentru orice valori , (2.31) i R( 0 , d ) < R( 0 , d ) pentru anumite valori 0 , (2.32)

atunci decizia d este dominat de decizia d sau d domin d . O funcie de decizie care este dominat de o alt funcie de decizie se numete inadmisibil. n caz contrar, decizia se numete admisibil. n Figura 2.5 considernd spaiul de decizie D = {d1 , d 2 , d 3 , d 4 }, rezult c d1 i d 2 sunt dominate de d 3 i d 4 i deci sunt inadmisibile, iar d 3 i d 4 sunt admisibile deoarece nici una nu o domin pe cealalt. Utilitatea conceptului de admisibilitate este natural, deoarece ne permite eliminarea deciziilor inadmisibile i concentrarea eforturilor pentru alegerea deciziilor celor mai bune dintre cele admisibile.

2.2.4 Interpretarea geometricPentru reprezentarea i interpretarea geometric a problemei de decizie, vom considera cazul k = 2 pentru spaiul de parametri k-dimensional = (1 , 2 , K , k ) . Fie o problem de decizie cu spaiul de aciune A = {a1 , a 2 , a3 } , cu spaiul parametrilor


25

= (1 , 2 ) i cu funcia de pierdere definit n Tabelul 2.1:Tabelul 2.1 Funcia de pierdere tabelara1 a2 a3

1 2

4 1

1 4

3 3

La prima vedere aciunea a3 este preferabil, deoarece dac 1 este adevrat, atunci a3 este preferabil lui a1 , iar dac 2 este adevrat, atunci a3 este preferabil lui a2 . S considerm acum o aciune aleatoare corespunztoare aruncrii unei monede, respectiv alegerea lui a1 dac apare capul i a lui a2 dac apare pajura. Atunci, pentru aceast aciune aleatoare, dac 1 este adevrat, pierderea medie este dat de 1 1 1 1 5 L(1 , a1 ) + L(1 , a 2 ) = 4 + 1 = , 2 2 2 2 2 i dac 2 este adevrat, de5 1 1 1 1 L( 2 , a1 ) + L( 2 , a 2 ) = 1 + 4 = , 2 2 2 2 2

(2.33)

(2.34)

Deoarece

5 < 3 , n ambele cazuri aciunea aleatoare este preferabil lui a3 . 2

Exemplul de mai sus sugereaz faptul c procedeul aleator se poate aplica i regulilor de decizie d D i vom scrie = d1 + (1 )d 2 , 0 1 , (2.35) pentru a indica o decizie aleatoare care alege d1 cu probabilitatea i d 2 cu probabilitatea 1 . Vom defini riscul pentru decizia aleatoare ca fiind R( , ) = R( , d1 ) + (1 )R( , d 2 ) . defini decizia aleatoare (2.36)

Mai general, dac = ( 1 , 2 , K , m ) , cu 1 + 2 + K + m = 1, i 0 , putem

= 1 d1 + 2 d 2 + K + m d m ,ca fiind o combinaie aleatoare a elementelor lui D. Corespunztor, riscul va fi R( , ) = 1 R( , d1 ) + 2 R( , d 2 ) + K + m R( , d m ) .

(2.37) (2.38)

Considernd combinaiile aleatoare ale tuturor elementelor lui D, obinem mulimea tuturor regulilor de decizie aleatoare D * . Avem evident D D * i notm cu un element general al lui D * . Definim mulimea de risc S pentru cazul = (1 , 2 ,K , k ) ca fiindS = {( y1 , K , y k ) R k , astfel nct y j = R ( j , ), j = 1, K , k pentru D * }. (2.39)

26


Spaiul k-dimensional R k reprezint mulimea k-uplurilor ordonate ( y1 ,K , y k ) de numere reale. S este o submulime a lui R k alctuit din punctele ale cror coordonate sunt componentele j ale riscului R ( j , ), corespunztoare deciziei aleatoare . S remarcm faptul c S este o mulime convex, adic orice dreapt care unete dou puncte din S nu iese n afara lui S . Aceast proprietate este ilustrat i n Figura 2.6, pentru k = 2 . Toate punctele de pe dreapta care unete punctele de risc pentru d1 i d 2 , corespund punctului de risc pentru combinaia aleatoare a lui d1 id 2 . Toate punctele cu aceast proprietate aparin lui S i S este convex.R ( 2 , )

S Punctul de risc pentru d 2 Punctele de risc pentru combinaia aleatoare a deciziilor d 1 i d 2

Punctul de risc pentru d 1R ( 1 , )

Figura 2.6 Forma general convex a mulimii de risc S

Vom folosi aceast proprietate pentru a da o interpretare geometric abordrilor minimax i Bayes.Abordarea minimax. Pentru D * , cantitatea sup R( , ) devine, pentru

mulimea strilor = (1 , 2 , K , k ) , chiar max {y j }, unde y = ( y1 , K , y k ) este punctul de risc corespunztor lui . Abordarea minimax compar regulile de decizie n termenii max {y j }, astfel nct toate regulile de decizie care conduc spre aceeai valoare sunt egale din punct de vedere al criteriului minimax. n dou dimensiuni, locul geometric al punctelor ( y1 , y 2 ) cu proprietatea max ( y1 , y 2 ) = const. (o anumit valoare specificat) are forma unui echer. Deoarece abordarea minimax urmrete minimizarea valorii max {y j }, regula de decizie minimax este, din punct de vedere geometric, punctul (sau punctele) n care echerul de 90 atinge marginea inferioar (limita inferioar de sud-vest, notat S-E) a lui S . Aceast proprietate este ilustrat n Figura 2.7. S notm i faptul c regula minimax poate s nu fie unic, ea depinznd de forma lui S , care la rndul ei depinde de problema de decizie.

2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIER ( 2 , )

27

S

Punctul de risc pentru decizia minimax

R ( 1 , )

Figura 2.7 Interpretarea geometric a abordrii minimax

priori) a convingerii dat de p = ( p1 , p 2 , K , p k ) , astfel nct pi 0, i = 1, K , k ip1 + p 2 + K + p k = 1 . Riscul Bayes pentru regula de decizie aleatoare este dat de

Abordarea Bayes. Pentru = (1 , 2 , K , k ) s considerm distribuia iniial (a

B( ) = p j R ( j , ) = p j y j .k k j =1 j =1

(2.40)

Acesta definete un hiperplan n spaiul k-dimensional. Pentru simplificare, dac k = 2 , toate punctele y = ( y1 , y 2 ) care dau aceeai valoare de risc Bayes, aparin unei drepte de formap1 y1 + p 2 y 2 = const.

(2.41)

Deoarece 0 p1 , p 2 1 i p1 + p 2 = 1 , aceast dreapt va avea o orientare NV SE. Dar abordarea Bayes urmrete minimizarea p1 y1 + p 2 y 2 ; rezult c regula de decizie Bayes are punctul de risc n punctul n care dreapta p1 y1 + p 2 y 2 = inf B( ) este tangent la marginea inferioar a lui S , aa cum se poate observa n Figura 2.8.R ( 2 , )

=y 2

S

Punctul de risc pentru decizia Bayes

p1 y1 + p 2 y 2 = inf B ( )R ( 1 , ) =y 1

Figura 2.8 Interpretarea geometric a abordrii Bayes

28


Exemplul 2.4 Presupunem c pentru o problem de decizie cu spaiul strilor = {1 , 2 } i spaiul de decizie D = {d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 }, funcia de risc R ( i , d j ) este

definit de valorile din Tabelul 2.2, dup cum urmeaz:Tabelul 2.2 Funcia de risc pentru Exemplul 2.4 d1 d2 d3 d412

d5 5 4

0 4

4 5

2 0

1 1

Cele 5 puncte de risc corespunztoare elementelor lui D i mulimea S sunt reprezentate n Figura 2.9. S este alctuit din toate punctele de risc care pot fi obinute din combinarea aleatoare a celor 5 puncte de risc iniiale.R ( 2 , )

=y 2 d1

d2

d5 S

d4 d3R ( 1 , ) =y 1

Figura 2.9 Mulimea S corespunztoare funciei de risc din Tabelul 2.4

Regulile de decizie admisibile corespund punctelor din S care nu au puncte situate la S E de ele; aceasta nseamn c nu putem s gsim un care s reduc o component de risc fr a o crete pe cealalt. n cazul nostru, mulimea regulilor admisibile corespunde punctelor situate ntre d1 i d 4 , ct i d 4 i d 3 . Cu alte cuvinte, ea este alctuit din combinarea aleatoare a d1 i d 4 sau a d 4 i d 3 . Rezult c regula minimax este d 4 , deoarece echerul de 90 intersecteaz S n mod unic n punctul d 4 . Regula Bayes depinde de alegerea perechii ( p1 , p 2 ) . Plecnd de la vertical ( p1 = 1 ) i variind valorile lui p1 pn la orizontal ( p1 = 0 ), obinem deciziile Bayes din Tabelul 2.3. Analiznd rezultatele din tabelul menionat, observm c avem situaii n care regulile de decizie nu sunt unice.Tabelul 2.3 Regulile de decizie Bayes pentru Exemplul 2.4

2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIEp1

29

Decizia Bayesd1 (unic)

p1 > 3 4 p1 = 3 4 3 4 < p1 < 1 2 p1 = 1 2 p1 < 1 2

Orice combinaie aleatoare a lui d1 i d 4d 4 (unic)

Orice combinaie aleatoare a lui d 4 i d 3d 3 (unic)

2.2.5 Cteva teoreme de bazRezultatele care urmeaz stabilesc relaiile ntre conceptele de admisibilitate i regulile de decizie minimax i Bayes. S remarcm mai nti c este posibil s avem dou funcii de decizie 1 , 2 D * astfel nct 1 2 , dar R( , 1 ) = R( , 2 ) . n acest caz spunem c 1 i 2 sunt egale pn la echivalen.Teorema 2.1 Pentru o problem de decizie cu , A, L arbitrare i X spaiul de eantionare al variabilei aleatoare continue X, dac o funcie de decizie Bayes * cu o distribuie iniial p( ) este unic pn la echivalen, atunci * este admisibil. Demonstraie. Presupunem c * este inadmisibil. Atunci exist D * astfel nct R( , ) R( , * ) , pentru toate valorile , (2.42)

i

R( 0 , ) < R( 0 , * ) , pentru valoarea 0 ,

(2.43) (2.44)

Pentru cazul continuu i densitatea de probabilitate p( ) rezultB( ) = R( , ) p( )d R( , * ) p( )d = B( * ) .

Dar relaia nu poate fi < deoarece ar contrazice faptul c * este Bayes, iar relaia nu poate fi = deoarece ar contrazice faptul c * este unic pn la echivalen. Avem o contradicie i deci * este admisibil Cazul discret se demonstreaz similar. Urmtoarea teorem se refer la proprietatea c pentru o decizie Bayes cu finit i probabilitile iniiale pi 0 rezult c decizia este admisibil.Teorema 2.2 Dac = (1 , 2 , K , k ) i * D * este decizia Bayes pentru

( p1 , p2 ,K , pk ) , unde

p j > 0, j = 1, K , k , atunci * este admisibil .

Demonstraie. S presupunem mai nti c * nu este admisibil. Atunci exist D * astfel nct:

30


R ( j , ) R ( j , * ) , pentru toate valorile j = 1, K , k ,

(2.45) (2.46)

i

R( i , ) < R( i , * ) , pentru valoarea i,

(adic exist care domin * ). RezultB( ) = R ( j , ) p j < R( j , ) p j = B( * ) ,k k j =1 j =1

(2.47)

inegalitatea strict fiind datorat faptului c p j > 0 , pentru toate valorile lui j. DarB( * ) = inf B( ) ,

(2.48)

deci avem o contradicie i rezult c * este admisibil Pentru problemele cu finit, clasa deciziilor admisibile este o submulime a clasei deciziilor Bayes, proprietate ilustrat de teorema urmtoare.Teorema 2.3 Dac = (1 , 2 , K , k ) este finit i * D * este admisibil, atunci

exist p = ( p1 , p 2 , K , p k ) , unde p j 0, j i ( p1 + p 2 + K + p k = 1) , astfel nct *

este o decizie Bayes n raport cu p.Demonstraie (cazul k = 2 ). Fie x punctul de risc corespunztor lui * i fie Q x

mulimea punctelor din planul situat la S V de x. Fie Q x = Q x {x} . Deoarece * este admisibil, nu exist puncte ale lui S la S V de x. Atunci S i Q x sunt mulimi

disjuncte, ele fiind i convexe. O proprietate cunoscut (cea a hiperplanurilor de separaie) arat c exist dreapta p1 y1 + p 2 y 2 = const. cu p1 , p 2 0 i p1 + p 2 = 1 . Aceast dreapt este tangent la S i * este o decizie Bayes n raport cu ( p1 , p 2 ) Proprietatea din teorema de mai sus este ilustrat n Figura 2.10.R ( 2 , )

=y 2

S

Qx

p1 y1 + p 2 y 2 = const .R ( 1 , ) =y 1

Figura 2.10 Reprezentarea grafic a proprietii c o regul admisibil este Bayes


31

Teoremele anterioare ne-au prezentat o imagine a tipului de legtur care exist ntre deciziile admisibile i deciziile Bayes. Urmtoarele teoreme ne vor arta conexiunile dintre deciziile admisibile i deciziile minimax.Teorema 2.4 Dac pentru o problem de decizie dat * este unica decizie minimax, atunci * este admisibil . Demonstraie. S presupunem c * nu este admisibil. Atunci exist D * astfel nct (2.49) R( , ) R( , * ) , pentru toate valorile ,

i

R( 0 , ) < R( 0 , * ) , pentru valoarea 0 .

(2.50) (2.51)

n continuare avemsup R( , ) sup R( , * ) .

Inegalitatea strict ar contrazice faptul c * este minimax; egalitatea ar contrazice faptul c * este unic. Rezult c ipoteza iniial a inadmisibilitii este fals i teorema este demonstrat Teorema 2.5 Dac pentru o problem de decizie dat * este admisibil i R( , * ) = const. pentru orice , atunci * este minimax. Demonstraie. Presupunem contrariul. Atunci exist c D * astfel nct sup R( , ) < sup R( , * ) .

(2.52)

Dar dac R( , * ) = const. , atunci R( , ) R( , * ) , pentru toate valorile . Aceasta contrazice faptul c * este admisibil i teorema este demonstrat Teorema anterioar ne sugereaz o strategie pentru determinarea funciilor de decizie minimax: mai nti se identific o regul admisibil i apoi se verific dac ea are riscul constant. Cea mai important teorem de clasificare din teoria deciziei arat c, n general, pentru a fi admisibil, o regul de decizie trebuie s fie Bayes. Aceasta motiveaz cutarea unei metode mai simple de calcul a regulilor de decizie Bayes, n loc de a cuta direct minimizarea pierderii medii posterioare inf M M X [L( , d ( x ))] , (2.53) D

pentru orice X = x .

32


Teorema 2.6 Funcia Bayes de decizie * corespunztoare convingerii iniiale p( )

este determinat de * ( x ) = a * , unde a * minimizeaz

L( , a ) p( x )d ,f ( x ) p( )d f ( x ) p( )

(2.54)

ip( x ) =

.

(2.55)

Demonstraie. Scriind expresia riscului Bayes rezultB( ) = R( , ) p( )d

= L( , ( x )) f ( x )dx p( )d X de unde, schimbnd ordinea de integrare, obinem

,

(2.56)

B( ) = L( , ( x )) p ( x )d f ( x )dx , X tiind c din definiia funciei de densitate de probabilitate condiionate avem f ( x ) p( ) = p ( x ) f ( x ) .

(2.57)

(2.58)

Determinarea unei valori *

care s minimizeze B( ) este echivalent cu

minimizarea integralei din enunul teoremei Din teorema a crei demonstraie am schiat-o mai sus, rezult c determinarea deciziilor Bayes se poate realiza n dou etape: n prima, se determin probabilitatea condiionat p ( x ) utiliznd teorema lui Bayes; n a doua etap, se minimizeaz pierderea medie posterioar. Modelul statistico-matematic al problemei de decizie analizat n aceast seciune a pus n eviden dou stadii n utilizarea informaiei statistice pentru decizie. Primul stadiu este decizia fr experimentare, respectiv decizia n care decidentul nu utilizeaz nici un fel de informaii rezultate din efectuarea unor experimente statistice asupra condiiilor problemei sale. Abordarea minimax sau abordarea Bayes numai cu probabiliti iniiale pentru distribuia convingerii sunt exemple de decizie fr experimentare. Al doilea stadiu l reprezint decizia cu experimentare, respectiv decizia n care decidentul utilizeaz probabiliti condiionate posterioare pentru modelul de decizie. Procedurile Bayes sunt exemple de decizie cu experimentare Aceste dou stadii de decizie fr sau cu informaie rezultat din experimente statistice legate de problema de decizie, evideniaz legtura direct ntre teoria deciziei i statistic, elemente pe care le vom detalia n seciunile urmtoare.

2.3 TEORIA DECIZIEI I STATISTICA

33

2.3 TEORIA DECIZIEI I STATISTICA2.3.1 EstimareaAa cum am artat anterior, problema estimrii unui parametru necunoscut poate fi vzut ca un caz special al unei probleme generale de decizie n care = A , adic aciunea necesar este alegerea unui element din spaiul de parametri. De altfel, dac este vorba de funcii de decizie Bayes, Teorema 2.6 din seciunea anterioar stabilete c o astfel de funcie de decizie, , este definit prin alegerea, pentru fiecare X = x , a aciunii a = ( x ) care minimizeaz pierderea medie posterioar

L( , ( x )) p( x )d .

(2.59)

Urmtoarea teorem stabilete forma general a estimrii Bayes pentru diferite forme ale funciei de pierdere L( , a ) .Teorema 2.7 Dac L( , a ) = ( a )2 denumit funcia de pierdere ptratic,

estimarea Bayes este dat de media distribuiei posterioare.Demonstraie. Trebuie s alegem a = ( x ) pentru a minimiza2 ( a ) p( x )d .

(2.60)

Difereniind n raport cu a i egalnd cu 0, obinema=

p( x )d

p( x )d

= p( x )d ,

(2.61)

deoarece

p( x )d = 1

(2.62)

Teorema 2.8 Dac L( , a ) = a denumit funcia de pierdere absolut, estimarea

Bayes este dat de mediana distribuiei posterioare.Demonstraie. Considerm cazul = R . Trebuie s alegem a pentru a minimiza pierderea medie posterioar

a p( x )d = (a ) p( x )d + ( a ) p( x )d . a

a

(2.63)

Difereniind n raport cu a i egalnd cu 0 i innd cont cd a d g ( x )dx = g (a ) i g ( x )dx = g ( a ) , da da a

(2.64)


34

obinem 1 p ( x )d = p( x )d = , 2 aa

(2.65)

(deoarece suma celor dou integrale este 1). Rezult deci c a este mediana distribuiei posterioare

2.3.2 Verificarea ipotezelor statisticeH 0 : = 0 este ipoteza nul i H 1 : = 1 este ipoteza alternativ, atunci spaiul parametrilor va avea dou elemente = { 0 ,1 }, iar spaiul de aciune va avea, de asemenea, dou elemente A = {a0 , a1 } , cu urmtoarea semnificaie: a0 reprezint respingerea ipotezei H 1 , iar a1 reprezint respingerea ipotezei H 0 .Considerm funcia de pierdere definit de Tabelul 2.4 i valorile variabilei aleatoare X, cu densitatea f ( x ) .Tabelul pierdere1a0 a1

S analizm problema de decizie reprezentat de verificarea ipotezelor statistice. Dac

2.4

Funcia2L01

de

0L10

0

Vom analiza mai nti forma deciziei Bayes, fiind date probabilitile iniiale cu condiiile p ( 0 ) = 0 , p (1 ) = 1 , 0 + 1 = 1 . Conform Teoremei 2.6, pentru valorile X = x , decizia Bayes poate fi determinat alegnd aciunea care minimizeaz pierderea medie posterioar. Pierderea medie posterioar dac adoptm ( x ) = a0 este

0 p( 0 x ) + L01 p(1 x ) =iar dac adoptm ( x ) = a1 avem

L01 1 f (x 1 ) , 0 f (x 0 ) + 1 f ( x 1 )L10 0 f (x 0 ),

(2.66)

L10 p ( 0 x ) + 0 p (1 x ) =

n relaiile de mai sus am folosit teorema lui Bayes pentru funciile a scrie p ( 0 x ) i p(1 x ) . Atunci ( x ) = a va fi decizia care ar trebui s fie aleas dac

0 f (x 0 ) + 1 f ( x 1 )

(2.67)

L10 0 f (x 0 ) < L01 1 f (x 1 ),

(2.68)

adic dac

f (x 0 ) L10 1 < . f (x 1 ) L01 0

(2.69)

Relaia de mai sus are urmtoarea semnificaie: respingem H 0 dac raportul de verosimilitate al lui 0 i 1 este mai mic dect o anumit valoare.


35

2.3.3 Lema Neyman - Pearsondefinit pentru X = {X 0 , X 1 } i Atunci Considernd L01 = L10 = 1 , calculm mai nti riscul R( , ) , unde este

( x ) = ai pentru x X i , i = 1,2 .

(2.70)

R( 0 , ) = L( 0 , ( x )) f (x 0 )dxX

=

X1

, ~ f (x 0 )dx = Prob X X 1 0

{

}

(2.71)

care este , adic probabilitatea de a respinge H 0 cnd de fapt H 0 este adevrat. Se tie c este probabilitatea erorii de tipul I. De asemenea, R(1 , ) = L(1 , ( x )) f (x 1 )dxX

=

X0

, ~ f (x 1 )dx = Prob X X 0 1

{

}

(2.72)

c este probabilitatea erorii de tipul II. Punctele de risc de coordonate (0, 1) i (1, 0) ale mulimii S sunt atinse de testele care ntotdeauna accept sau resping H 0 ,

care este , adic probabilitatea de a accepta H 0 cnd de fapt H 0 este fals. Se tie

independent de x ; aceste puncte aparin lui S. Avnd n vedere simetria i convexitatea lui S, reprezentarea geometric a lui pentru aceast problem de testare a ipotezelor statistice este redat n Figura 2.11. Testele admisibile sunt date de punctele de risc situate pe marginea inferioar (SV) a lui S. Dar aceste puncte sunt caracterizate de abordarea Neyman Pearson:Lema Neyman Pearson. Cu o funcie de pierdere 01, testele admisibile pentru ipoteza H 0 : = 0 fa de H 1 : = 1 sunt definite de

f (x 0 ) < k , pentru k R . D*; ( x ) = a1 dac f (x 1 )

(2.73)

1

S

1

Figura 2.11 Mulimea de risc pentru H0 fa de H1

36


2.4 ATITUDINI FA DE RISC I TEORIA UTILITII2.4.1 Aversiunea la riscVom analiza n continuare din punct de vedere matematic problema asumrii riscului. Aceasta nseamn problema deciziei de a rmne ntr-o stare neschimbat (status quo) sau de a intra ntr-o situaie de incertitudine, care poate s duc la ctig sau la pierdere. Principalele exemple practice de asemenea probleme sunt cele din asigurri (primele de asigurare conduc la ctig, dar plata despgubirilor pentru accidente sau dezastre poate conduce la pierdere); din agricultur (plata pentru recolt poate duce la ctig, dar seceta, bolile sau alte dezastre naturale pot duce la pierdere) sau de la jocurile de noroc (o sum iniial este pltit

Documents

F 2 M41 Modelarea Deciziei Economice Barsan Pipu Nicolae