53

單元三 圓心角、圓周角與弦切角

課文A： 圓心角與弧的度數

之前在二下的時候就提過弧，當圓上有任意兩點 A、B，會將一個圓

分成兩個弧，其中較大的一個叫做「優弧」，較小的一個叫做「劣弧」。例

如，下圖的圓 O 上有 A、B 兩點，就將圓 O 分成兩個弧，比較小的劣弧我

們記作AB，比較大的優弧我們會在弧的中間再找一點，如 C 點，然後記

作ACB。通常寫成AB所表示的是劣弧AB。

以前就學過弧長的計算方式，現在來複習一下！

※弧的長度

在計算弧長時會需要圓心角，所謂的圓心角就是「頂點在圓心的角」，

如下圖，∠AOB 的頂點在圓心，所以∠AOB 就是圓 O 的「圓心角」，而AB

就是∠AOB 所對的弧。

劣弧

優弧

54

若上圖是一個半徑為 12 的圓，∠AOB=60°，圓的完整一圈是 360°，

所以這個圓心角 60°所對的弧AB會佔了整個圓周長的60 1

360 6= 。

要算出這個AB的弧長，就是先將整個圓周長算出來後，再乘以16。

圓周長是 2×12×π=24π，所以AB的弧長就會是 24π×16

=4π。

如果圓心角是 a°，圓的完整一圈是 360°，

所以就是佔了360a

圈。

因此要算出這個弧長，將整個圓周長算出來後，

再乘以它所佔的360a

。

而圓周長是 2πr，所以弧長就會是 2πr×360a

。

※弧的度數

在剛剛計算弧長的過程當中發現，當我們要計算弧長時，會需要用到

所對應的圓心角，所以我們就利用圓心角來定義弧的度數！如圖下中，AB

就是圓心角∠AOB 所對應的弧，

而弧的度數=所對應圓心角的度數，即AB =∠1=133°。

劣弧

優弧

1

O

2πr ×𝑎

360

55

那如果兩個弧的度數相同時，弧的長度一定會相同嗎？

例題一：如圖，兩同心圓圓心為 O，半徑分別為 6 和

12，若OA、OB為大圓的半徑，且交小圓於 C、D 兩

點，若∠1=135°，求AB與CD的度數與長度。

解：

在小圓上的CD所對的圓心角是∠1，所以 =120CD ，

在大圓上的AB所對的圓心角也是∠1，所以 =120AB 。

而弧長= 圓周長×所佔的比例

1352 12AB π= × × ×

9

360 242= 12×

924

π× × =9π

1352 6CD π= × × ×

9

360 242= 6×

924

π× ×2

92

= π

從例題一可以知道，兩個弧的度數一樣時，弧長不一定會一樣！這是

因為圓的半徑不同的原因，此時弧長比等於與半徑比。

56

重點提問

1.根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是「圓心角」並利用下面的圓

舉例加以說明。

2.根據上面的課文，如何計算弧的度數及長度？並請利用下面的量角器舉

例說明。

․隨堂練習：

1.如圖，兩同心圓圓心為 O，半徑分別為 10 和 20，若OA、OB為大圓的

半徑，且交小圓於 C、D 兩點，若∠1=150°，求AB與CD的度數與長度。

57

課文B： 圓周角

※圓周角及所對的弧

課文 A 介紹了頂點在圓心的角，稱為「圓心角」，而這一篇課文 B 要

介紹頂點在圓周上的角，如下圖的∠APB，它應該稱為什麼角呢？

像這種頂點在圓周上、兩邊由兩弦所夾而成的角就稱為「圓周角」。

圓心角的角度會等於所對弧的角度，那麼圓周角的角度與所對弧的角度有

什麼關係呢？

我們分為三種情況討論：

1.圓周角的一邊通過圓心 2.圓心在圓周角內 3.圓心不在圓周角內

58

討論 1. 圓周角的一邊通過圓心

如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，PA通過圓心：

連接OB：

OP與OB都是圓 O 的半徑，所以OP =OB。

故△OBP 是等腰三角形，也表示∠APB=∠B。

∠AOB 是△OBP 中∠POB 的外角，

根據外角定理：三角形任一外角等於另外兩個內角之和，

∠AOB=∠APB+∠B=2∠APB。

圓心角∠AOB 所對的弧為AB，

故∠APB= 12∠AOB= 1

2AB。

59

討論 2. 圓心在圓周角內

如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，

圓心 O 在∠APB 內：

我們利用 1 結果來幫助討論，作直

徑PC ：

藉由討論 1.我們可以知道：

∠APC= 12AC 、∠CPB= 1

2CB

∠APB=∠APC+∠CPB

= 12AC + 1

2CB

= 12

(AC +CB )

= 12AB

討論 3. 圓心不在圓周角內

如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，

圓心 O 在∠APB 外：

這方法與討論 2.類似，下面試著根

據討論 2.的想法完成以下討論！

作直徑PC ：

藉由 1 的討論，我們可以知道：

∠CPB= 、∠CPA=

∠APB=∠CPB−∠CPA

=

=

= 12AB

C

C

60

從上面的討論 1,2,3 發現：

圓周角的度數=所對弧度數的一半，即∠APB= 12AB

藉由圓周角的度數與所對弧的度數之關係，我們可以推出三個相關的

性質：

※圓周角的性質一

同一圓中，對應到同一弧的所有圓周角，度數均相同。

如右圖，∠P、∠Q、∠R、∠S 所對應到的弧都是AB，

∠P、∠Q、∠R、∠S 的都是AB度數的一半，

故∠P=∠Q=∠R=∠S。

※圓周角的性質二

一圓周角所對應的弧若是半圓，則此圓周角為直角。

如右圖，∠P 所對應到的弧是AB， AB為圓 O 的直徑，

AB就是一個半圓，度數會是 180°，

而∠P= 12AB = 1

2×180°=90°。

61

※圓周角的應用

一圓中，平行的兩弦所截的弧度數相同。

如圖，若BD // AC ，

BD 和 AC 在圓上截出兩弧AB、CD，則AB =CD。

以下證明這個性質！

先連接BC ：

因為 BD // AC ，而且∠1 和∠2 為內錯角，所以∠1=∠2。

而圓周角∠1 所對的弧為AB，所以 ∠1= 12AB；

圓周角 ∠2 所對的弧為CD，所以 ∠2= 12CD。

因此AB =CD。

在進行例題之前，再次提醒你，三個解幾何問題常用的策略，標:將數

據標到圖形上；看:在整個圖形中，觀察出重要的局部圖形；用:根據找出

的圖形，正確使用上相關幾何性質，例如在圓中看出圓周角與其所對的弧。

但在以下例題中，有些圖形上並未標上數據，是要留給你視情況自行標上

去的。

1

2

62

例題一：如圖， AB為圓 O 之直徑，且AC =100°，

求∠BAC=？

解：因為 AB為圓 O 之直徑，所以ACB 是半圓， 180ACB = 。

B = ACB AC 180 100 80C − = − =

CB是圓周角∠BAC 所對的弧，所以∠BAC= 12CB = 1

2×80°=40°。

例題二：如圖，∠A=42°，且 CA ADB= ，

求∠D=？∠ABC=？

解：圓周角∠A、∠D 所對的弧都是BC ，所以∠D=∠A=42°。

BC =2∠A=2×42°=84°，圓一圈為 360°，所以 360BC CA ADB+ + =

84° 360CA CA+ + =

2 360 84 276CA = − =

27 2 1 86 3CA ÷ ==

CA是圓周角∠ABC 所對的弧，所以∠ABC= 12CA = 1

2×138°=69°。

63

例題三：如圖，圓 O 上三點 A、B、P，

若∠APB+∠AOB=180°，

求AB度數為何？

解：∠APB 是AB所對的圓周角，∠APB= 12AB；

∠AOB 是AB所對的圓心角，∠AOB= AB。

∠APB+∠AOB=180°

12AB + AB =180°

32

AB =180°

AB =180°× 23

=120°

例題四：如圖，弦 AB與弦CD相交於 P 點，且AC =36°、BD =54°，求：

∠ADC=？∠BAD=？∠APC=？

64

解：圓周角∠ADC 所對的弧為AC ，

所以 ∠ADC= 12 36 1

12

8AC × == 。

圓周角∠BAD 所對的弧為BD ，

所以∠BAD= 12 54 2

12

7BD × == 。

在△APD 中，∠APC 為∠APD 的外角，

∠APC=∠ADC+∠BAD=18°+27°=45°。

例題五：如圖，弦 AB與弦CD 相交於 P 點，

且AD =100°、BC =60°，求∠APD=？

解：連接 AC ：

圓周角∠A 所對的弧為BC ，

所以 ∠A= 12 60 3

12

0BC × == 。

圓周角 ∠C 所對的弧為AD，

所以 ∠C= 12 100 5

20

1AD = × = 。

在△APC 中，∠APD 為∠APC 的外角，

∠APD=∠A+∠C=30°+50°=80°。

65

例題六：如圖 AB

、CD

為兩割線相交於圓外一點 P，DA=98°，BC =42°，

求∠P=？

解：連接 AC ：

圓周角∠1 所對的弧為DA，

所以 ∠1= 12 98 41

29DA × == 。

圓周角 ∠2 所對的弧為BC ，

所以 ∠2= 12 42 2

12

1BC × == 。

在 △APC 中，∠1 為∠ACP 的外角，所以∠1=∠2+∠P

∠P=∠1−∠2=49°-21°=28°。

66

※圓內接四邊形

在前面切線的課文中，有提到一種四邊形，就是四邊形的內部有一圓，

且此圓和四邊形的四邊都相切，這種四邊形稱為「圓外切四邊形」。

那反過來，如果四邊形在圓內，而且此四邊形的四個頂點都落在圓上，

就稱這個四邊形為「圓內接四邊形」，而且稱此圓為四邊形的外接圓。如

下圖，A、B、C、D 四點都在圓 O 上，四邊形 ABCD 就稱為圓 O 的圓內

接四邊形，而且稱圓 O 為四邊形 ABCD 的外接圓。

想想看，圓內接四邊形有什麼特別的性質呢？

67

我們會發現圓內接四邊形的四個內角都是其外接圓的圓周角，利用這

個想法就可以證明：圓內接四邊形的對角互補。

如下圖，四邊形 ABCD 為圓 O 的圓內接四邊形，

則∠A+∠C＝180°、∠B+∠D＝180°。

說明如下：

圓周角∠A 所對的弧為BCD，所以∠A= 12BCD；

圓周角∠C 所對的弧為DAB ，所以∠C= 12DAB 。

∠A+∠C

1 12 2

BCD DAB= +

1 12 2

BCD DAB= +

360 112

80× ==

圓周角∠B 所對的弧為CDA，所以∠B= 12CDA；

圓周角∠D 所對的弧為ABC ，所以∠D= 12ABC 。

∠B+∠D

1 12 2

CDA ABC= +

1( )

2CDA ABC= +

360 112

80× ==

也就是圓內接四邊形的對角會互補。

BCD DAB+ 剛剛好圍一圈

所以 360BCD DAB+ =

CDA ABC+ 剛剛好圍一圈

所以 360CDA ABC+ =

68

例題七：如圖，四邊形 ABCD 為一圓內接四邊形，ADC =234°，

求 ∠ADP=？

解：圓周角∠B 所對的弧為ADC，

所以 ∠B= 12ADC。

因為四邊形 ABCD 為一圓內接四邊形，

∠B 與∠ADC 為對角，故∠B+∠ADC=180°，

∠ADC=180°−∠B=180°−117°=63°。

∠ADP 為∠ADC 的外角，

∠ADP=180°−∠ADC=180°−63°=117°。

重點提問

1.根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是「圓周角」並利用下面的圓

舉例加以說明。

69

2.承問題 1，圓周角與所對弧的度數有什麼關係，請解釋並利用問題 1 所

舉的例子加以說明。

3.承問題 1，請在問題 1 的圓上再畫出一個與舉例相同度數的圓周角，並

解釋這兩個度數為什麼相同。

4.請在下面的圓中畫出一個角度為 90° 的圓周角，並說明原因。

70

5.根據上面的課文，請用自己的話說明「圓內接四邊形」的意義及性質，

並利用下面的圓舉出一個例子加以解釋。

6.如下圖， AB、CD 兩弦相交於 P 點在圓內，

請利用例題四、例題五的想法證明：∠APC= 12 ( )AC BD+

71

7.如下圖， AB

、CD

為兩割線相交於圓外一點 P，

請利用例題六的想法證明：∠P= 12 ( )AD CB− 。

․隨堂練習：

1.如圖，AC =90°，求∠ABC=？

2.如圖，∠A=45°，且 BC DB= ，求∠D=？∠DBC=？

72

3.如圖，圓 O 上三點 A、B、C，若∠A+∠BOC=135°，求BC 度數為何？

4.如圖，弦 AB與弦CD相交於 P 點，且 135AD = 、 125BC = ，

求：∠ACD=？∠BAC=？∠APD=？

5.如圖 AD

、 BC

為兩割線相交於圓外一點 P，AB =90°，CD =40°，

求∠P=？

6.如圖，四邊形 ACBD 為一圓內接四邊形， 150BCA = ，求∠ACB=？

73

課文C： 弦切角

※弦切角及所夾的弧

課文 A 介紹了頂點在圓心的角，稱為「圓心角」;課文 B 介紹了頂點

在圓周上、兩邊由兩弦所夾而成的角就稱為「圓周角」;而這一篇課文 C

要介紹頂點在圓周上，但是一部分在圓外、一部分在圓內，如下圖的∠PAB，

它應該稱為什麼角呢？

看一下會發現，頂點在圓周上，其中一邊是切線 AP

、一邊是弦 AB，

這個角是由切線與弦所夾成的角，故稱為「弦切角」。

而弦切角∠PAB 以AB作為所夾的弧，那弦切角的角度與所夾弧的角

度有什麼關係呢？

我們分為三種情況討論：

1.弦切角的一邊弦通過圓心 2.圓心在弦切角內 3.圓心不在弦切角內

74

討論 1. 弦切角的一邊弦通過圓心

如右圖， AP

為圓 O 的切線， AB為直徑：

因為 AP

為圓 O 的切線，所以 PA^ AB，也就是∠PAB=90°。

又因為 AB是直徑，所以AB為半圓，也就是AB =180°。故∠PAB= 12AB。

討論 2. 圓心在弦切角內

如下圖， AP

為圓 O 的切線，AB為

圓上的弦，圓心 O 在∠PAB 內：

我們利用討論 1.的結果來幫助討

論，作直徑 AC ：

我們可以知道：

∠PAC= 12

AC 又∠CAB= 12

CB

∠PAB=∠PAC+∠CAB

= 12

AC + 12

CB

= 12

( AC +CB )= 12AB

討論 3. 圓心不在弦切角內

如下圖，A、B 為圓上的點，圓心 O

在∠PAB 外：

這過程與討論 2 類似，下面試著根

據 2 的想法完成以下討論！

我們利用討論 1.的結果來幫助討

論，作直徑 AC ：

∠PAC= 、∠BAC=

∠PAB=∠PAC−∠BAC

= = = 12AB

C

75

從上面的討論會發現：

弦切角的度數 = 所夾弧度數的一半，即∠PAB= 12AB

例題一：如圖，△PAB 為等腰三角形，PA = PB，若PA =128°，

求∠BAC＝？

解：∠B 是PA所對應的圓周角，所以∠B= 12PA = 1

2×128°=64°。

在△PAB 中，因為PA = PB，所以∠PAB=∠B=64°。

BP是∠PAB 所對應的弧，所以BP =2∠PAB=2×64°=128°。

PA、BP、AB三個弧合起剛好就是一圈 360°，

所以 A =360 PA 360 128 128 104B BP− − = − − =

而∠BAC 是所對應的弦切角，故 ∠BAC= 12

1A = 104 52

2B × =

76

例題二：如圖，正五邊形 ABCDE 為圓 O 的內接五邊形，且 PA

切外接圓

於 A 點，求∠PAB＝？

解：因為正五邊形 ABCDE 為圓 O 的內接五邊形，

所以 A、B、C、D、E 會把圓 O 等分成五個相同大小的弧。

一圈是 360°，等分成五個相同大小的弧，

也就是每 1 個弧度數為360

5

=72°。

而∠PAB 是所對應的弦切角，故 ∠PAB= 12

1A = 72 36

2B × =

例題三：如圖， AC

切圓於 A 點，∠BCA＝30°，∠BPA＝33°，求PA =？

∠PAB=？

77

解：要求PA，先想想 PA與什麼角度有關！

PA是弦切角∠1 所對的弧，故∠1= 12PA。

在△PAC 當中，∠1 是∠PAC 的外角，

故∠1=∠P+∠PCA=33°+30°=63°。

所以PA =2∠1=2×63°=126°。

下一個要求∠PAB，∠PAB 是PB所對的圓周角，

故∠PAB= 12PB。

PA、PB、AB三個弧合起剛好就是一圈 360°，

所以 PA A =360PB B+ +

AB是圓周角∠BPA 所對的弧，

故AB =2∠BPA=2×33°=66°

所以 =360 AB 360 126 66 168PB PA− − = − − =

因此

1 1168 84

2 2PAB PB∠ = = × = 。

例題四：如圖 AB

為割線， PC

與圓切於 C 點，兩線相交於圓外一點 P，

CA =140°，BC =50°，求∠P=？

78

解：連接 AC ：

圓周角∠2 所對的弧為BC ，

所以∠2= 12 50 2

12

5BC × == 。

弦切角∠1 所對的弧為CA，

所以∠1= 12 140 7

20

1CA = × = 。

在△APC 中，∠1 為∠ACP 的外角，∠P=∠1−∠2=70°−25°=45°。

例題五：如圖， PA

、 PB

分別與圓切於 A、B 兩點，並相交於圓外一點

P，ACB =230°，求∠P=？

解：連接 AB：

弦切角∠1 所對的弧為BCA，

所以∠1= 12 230 1

12

15BCA × == 。

弦切角∠2 所對的弧為AB，BCA和AB為成一圈 360°，

所以 360 360 230 130AB ACB= − = − = ，

故∠2= 12 130 6

25

1AB = × = 。

在△APB 中，∠1 為∠PBA 的外角，∠P=∠1−∠2=115°−65°=50°。

C

79

重點提問

1.根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是「弦切角」並利用下面的圓

舉例加以說明。

2.承問題 1，弦切角與所對弧的度數有什麼關係，請解釋並利用問題 1 所

舉的例子加以說明。

3. 如下圖， AC

為割線， PB

與圓切於 B 點，兩線相交於圓外一點 P，請

利用例題四的想法證明：∠P= 12

( AB BC− )

80

4. 如下圖， PA

、 PB

分別與圓切於 A、B 兩點，並相交於圓外一點 P，

請利用例題五的想法證明：∠P= 12 ( )BCA AB− 。

․隨堂練習：

1.如圖，CD

與圓相切於 C 點， AB = AC ，若BC =60°，求∠DCA＝？

2.如圖，正六邊形ABCDEF為圓O的內接六邊形，且CG

切外接圓於C點，

求∠GCD＝？

81

3.如圖，CD

切圓於 C 點，∠ACB＝65°， 130BC = ，求CA =？∠DCA=？

4.如圖 AB

為割線， DC

與圓切於 C 點，兩線相交於圓外一點 D，

BC =100°，CA =60°，求∠D=？

5.如圖， DA

、 DB

分別與圓切於 A、B 兩點，BCA=210°，求∠D=？