1.1 任意角和弧度制

1.1.1 任意角

第一章 三角函数

高中新课程数学必修④

问题提出1. 角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的 . 在平面几何中，角的取值范围如何？ 2. 体操是力与美的结合，也充满了角的概念． 2002 年 11 月 22 日，在匈牙利德布勒森举行的第 36 届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体 180 度接直体前空翻转体 900 度”，震惊四座，这里的转体 180 度、 转体 900 度就是一个角的概念 .

3. 过去我们学习了 0° ～ 360° 范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体 10800” 、“转体 12600” 这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是 0° ～3600 范围内的角 . 因此，仅有 0° ～ 360° 范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广 .

知识探究（一）：角的概念的推广 思考 1 ：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图 1 ）；②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2 ） . 你认为哪种认识更科学、合理？

图 2图 1

思考 2 ：如图，一条射线的端点是 O ，它从起始位置 OA 旋转到终止位置 OB ，形成了一个角 α ，其中点 O ，射线 OA 、OB 分别叫什么名称？

AO

B

α

始边

终边

顶点

思考 3 ：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的 . 一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转 . 你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 600 所形成的角，与按顺时针方向旋转 600 所形成的角是否相等？

思考 4 ：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？ 规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角 .

画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注 .

β

B2

γ

A

B1

α

O

思考 5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小 . 对于 α＝ 210° ， ＝－150° ，＝－ 660° ，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？

思考 6 ：如果你的手表慢了 20 分钟，或快了 1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？

－ 120° ， 450° .思考 7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50° ＋ 80°=130° ， 50° － 80°= － 30° ，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？ 以 50° 角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转 80° 所成的角 .

思考 8 ：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？

k·360° （ k∈Z）

知识探究（二）：象限角 思考 1 ：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合 ,角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

xo

y

思考 2 ：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角 .那么下列各角： -50° ， 405° ， 210°, -200° ，－ 450° 分别是第几象限的角？

－ 50°

x

y

ox

y

o

210° － 450°x

y

o

405°

x

y

o

－ 200°

x

y

o

思考 3 ：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？

思考 4 ：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？

象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小 .

思考 5：在直角坐标系中， 135° 角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是 135°吗？

x

y

o

知识探究（三）：终边相同的角 思考 1 ：－ 32° ， 328° ，－ 392° 是第几象限的角？这些角有什么内在联系？

－ 32°

－ 392°

x

y

o

328°

思考 2 ：与－ 32° 角终边相同的角有多少个？这些角与－ 32° 角在数量上相差多少？ 思考 3 ：所有与－ 32° 角终边相同的角，连同－ 32° 角在内，可构成一个集合 S，你能用描述法表示集合 S吗？

S={β|β=α ＋ k·360° ， k∈Z} ，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 .

思考 4 ：一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内所构成的集合 S可以怎样表示？

思考 5：终边在 x 轴正半轴、负半轴，y 轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x 轴正半轴：α= k·360° ， k∈Z ； x 轴负半轴：α= 180° ＋ k·360° ， k∈Z ；y轴正半轴：α= 90° ＋ k·360° ， k∈Z ； y 轴负半轴：α= 270° ＋ k·360° ， k∈Z .思考 6 ：终边在 x 轴、 y 轴上的角的集合分别如何表示？ 终边在 x轴上： S={α|α=k·180° ， k∈Z} ；终边在 y轴上： S={α|α=90° ＋ k·180° ， k∈Z}.

思考 7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限： S={α | k·360°<α<

90° ＋ k·360° ， k∈Z} ；第二象限： S={α | 90° ＋ k·360°<α<

180° ＋ k·360° ， k∈Z} ；第三象限： S={α | 180° ＋ k·360°<α<

270° ＋ k·360° ， k∈Z} ；第四象限： S={α | － 90° ＋ k·360°<

α<k·360° ， k∈Z}.

思考 8 ：如果 α 是第二象限的角，那么2α 、 α/2 分别是第几象限的角？

90° ＋ k·360°<α<180° ＋ k·360°

180° ＋ k·720°<2α<360° ＋ k·720°

45° ＋ k·180°<α/2<90° ＋ k·180°

理论迁移 例 1 在 0° ～ 360° 范围内，找出与－ 950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角 .

129°48′ ，第二象限角 .

S={α|α=45° ＋ k·180° ， k∈Z}.

－ 315° ， -135° ， 45° ， 225° ， 405° ，585°.

例 2 写出终边在直线 y=x上的角的集合 S，并把S中适合不等式 -360°≤ ＜ 720° 的元素写出来 .

小结作业1. 角的概念推广后，角的大小可以任意取值 . 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义 .

2. 终边相同的角有无数个，在 0° ～ 360° 范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个 . 用 β除以 360° ，若所得的商为 k，余数为α（ α必须是正数），则α即为所找的角 .

作业：

P5 练习 ： 3 ， 4 ， 5.