cenidet Fabio Abel Aguirre Cerrillo 2007.pdfFabio Abel Aguirre Cerrillo . ... A mi casa de estudio, el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por brindar

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Coordinación de Mecatrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Diseño de un Efector que Reproduzca Algunos Movimientos de la Mano Humana Usando Recursos Neumáticos

presentada por

Ernesto Cancino Cruz Ing. Electromecánico por el I. T. de Minatitlán

Fabio Abel Aguirre Cerrillo

Ing. Electromecánico por el I. T. de Lázaro Cárdenas

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica

Directores de tesis: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik

Cuernavaca, Morelos, México. 07 de Diciembre de 2007

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Coordinación de Mecatrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Diseño de un Efector que Reproduzca Algunos Movimientos de la Mano Humana Usando Recursos Neumáticos

presentada por

Ernesto Cancino Cruz Ing. Electromecánico por el I. T. de Minatitlán


Ing. Electromecánico por el I. T. de Lázaro Cárdenas

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica

Directores de tesis: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik

Jurado: Dr. Luís Gerardo Vela Valdés – Presidente

MC. Claudia Cortes García – Secretario MC. Pedro Najera García – Vocal

Dr. Marco Antonio Oliver Salazar – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 07 de Diciembre de 2007

Dedicatorias (Ernesto)

Con todo mi amor y respeto a mis padres Ernesto V. Cancino Carrillo y Lilia Cruz Bartolo, por todo su amor, comprensión y apoyo que siempre me han brindado, todo lo que soy se lo debo a ustedes, muchas gracias por ser un ejemplo de vida para mi.

A mis hermanas Lorena Cancino Cruz y Diana Cancino Cruz, por todo su apoyo y ánimos que siempre me dan, las quiero, respeto y admiro mucho, son unos seres excepcionales.

Al amor de mi vida, Alma Nury Román Fuentes, gracias por llegar y permanecer en mi vida, por todo tu apoyo y comprensión, te amo mucho mi niña hermosa y recuerda que junto con mi familia eres lo mejor que me ha pasado en la vida.

Agradecimientos (Ernesto) A Dios, por estar siempre conmigo ayudándome y por el gran regalo de vida que me ha dado a lado de mi hermosa familia y de la mujer de mi vida, a quienes amo y adoro con toda mi ser. De una manera muy especial, a mis asesores el Dr. Marco Antonio Oliver Salazar y el Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik por compartir sus conocimientos y brindarnos su amistad desinteresada. Fue un placer y un orgullo haber trabajado con ustedes, mis respetos a ustedes. A mis revisores, el Dr. Luís Gerardo Vela Valdés, la MC. Claudia Cortes García y el MC. Pedro Najera García por sus correcciones y comentarios que ayudaron tanto al desarrollo de este proyecto como de nuestra formación educativa.

A José Ángel Ruiz Jiménez por la amistad que me brindó, por todos los buenos y malos ratos que pasamos en la maestría. Por ser como un hermano durante todo este tiempo.

A Fabio Abel Aguirre Cerrillo por su amistad brindada, por todo lo que convivimos, por todas las horas de trabajo, por todos los logros que obtuvimos y porque definitivamente la tesis no hubiera sido la misma sin alguno de nosotros. A Rubén Saldivar, Sandra Ávalos y la familia Soto Manuel, por su desinteresada amistad que me brindaron, gracias por toda su hospitalidad. A mis compañeros del CENIDET, gracias por su amistad y su apoyo, por todas esos buenos momentos que pasamos en las carnes asadas, en la plazuela, en el football, etc. A los profesores de la coordinación de la Maestría en Ingeniería Mecatrónica, por compartir sus conocimiento y fortalecer nuestro desarrollo profesional, en especial con mucho respeto al Dr. Longoria, al Dr. Guerrero, al Dr. Garduño, al MC. Meneses y al MC. Martín por la gran dedicación y apoyo mostrada dentro y fuera de clases. A Anita y la Lic. Maquinay por su amistad y apoyo desinteresado brindados durante toda la maestría, gracias. A la Lic. Rosa Marina Rodríguez Díaz por sus correcciones y comentarios que ayudaron a mejorar este trabajo. A mi casa de estudio, el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por brindar sus instalaciones para el desarrollo de este proyecto de tesis. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General de Educación Superior Tecnológica por el apoyo económico brindado durante mis estudios.

Agradecimientos (Fabio) A mis padres por todo su apoyo y confianza que han tenido conmigo a lo largo de toda mi vida y les doy gracias por la mejor herencia que me han dado… los valores y la educación. A mi cuñado Leonel Vázquez por su gran apoyo y que junto de mi hermana Cecilia me han servido para ser un mejor ser humano. Desde luego no me puedo olvidar de mi sobrina… que quiero mucho… si eres tu Maya. Y que decir de mi sobrino Ramses… tenemos muchas cosas pendientes por hacer y por convivir. Al Gordo, porque además de ser mi hermano eres mi amigo… muchas gracias. Para mi cuñis Elfega, por tus ratos de buen humor y alegría. Al compadre Arnoldo también muchas gracias. A mi hermano Héctor Aguirre Cerrillo (e.p.d) por haber sido mi hermano, mi amigo, mi tutor y por tus excelentes platicas e ideas para luchar por lo que es justo. A Don José Luís River, a por ser parte de la familia Aguirre Cerrillo y cuidar de ella en todo momento… muchas gracias. A la familia Estrada Prado… por ser otra familia para mi… Gracias Don Chavo Estrada, Doña Emma Prado… Porque un hermano no siempre es un amigo pero un amigo siempre es un hermano… Vianey Estrada, Salvador Estrada, Adrianela Estrada, Ivonne Estrada y mi compadre Juan Carlos Solorio. A mis amigos: Armando Delgado, Eduardo Ismael de Jesús Galindo Torres, Juan Pablo Tejeda y Carolina Hernández por todas las alegrías que he pasado con ustedes. A mis compañeros y amigos de estudio de la licenciatura: José Javier Jiménez, Hugo Ibarra Moreno y su esposa Laura, por compartir su amistad con un servidor. A mi maestro… Paco Santillan Mora… que a través del deporte me has enseñado que las cosas hay que hacerlas con pasión… gracias. Al mis directores de tesis: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar y Dr. Dariusz Szwedowicsz Wasik, por contribuir en el presente trabajo de tesis a través de sus comentarios y consejos atinados. Fue un placer trabajar con ustedes A mis revisores: M.C. Claudia Cortés García, Dr. Luís Gerardo Vela Valdés y M.C. Pedro Najera García, por su disponibilidad y retroalimentación para mejorar este trabajo de tesis. A todos mis catedráticos y en especial: Dr. Rigoberto Longoria Ramírez, Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez, Dr. Raúl Garduño Ramírez, porque siempre dieron un extra plus en todas sus clases y que han hecho que mi formación en la maestría sea mucho mejor.

A la Lic. Rosa Marina Rodríguez Díaz por sus correcciones y comentarios que ayudaron a mejorar este trabajo. A mis compañeros: Felipe de Jesús Torres del Carmen, Daniel Iván Zamorano Acosta, José Beltrán Adán, Ángel Ernesto Gómez Sánchez, por los buenos momentos y las experiencias compartidas… gracias. A Anita y la Lic. Maquinay por su amistad y apoyo desinteresado brindados durante toda la maestría, gracias. Al M.C. Jorge Alberto Díaz Valdés, M.C. Jesús Caldearon Chagolla, Ing. Juan Manuel Cruz Cortes, por su apoyo y motivación para los estudios de un postgrado. A mi amigo José Ángel Ruiz Jiménez… por todos los buenos momentos y porque a las cosas buenas hay que ponerle alegría, entonces que… otra. A mi amigo y compañero de tesis Ernesto Cancino Cruz… por tu apoyo y trabajo en equipo …y que gracias a ti hemos logrado cosas importantes. A mi casa de estudio, el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por brindar sus instalaciones para el desarrollo de este proyecto de tesis. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General de Educación Superior Tecnológica por el apoyo económico brindado durante mis estudios.


Resumen

El hombre ha tenido siempre el gran interés por emular los movimientos, características y funcionalidad de cada una de las partes del cuerpo humano, en especial la mano debido a su versatilidad como una extremidad imprescindible para realizar diversas tareas cotidianas. Los avances en el desarrollo de manos robóticas usando motores eléctricos como actuadores han alcanzado logros muy impresionantes. Sin embargo, el anhelo de lograr una mano robótica con un funcionamiento y forma física lo más cercano posible a la mano humana sigue siendo latente. Las ventajas que tiene el músculo neumático tanto en su funcionamiento como en su semejanza con el músculo biológico, han llevado a múltiples instituciones de investigación a desarrollar proyectos relacionados con la creación de prototipos de manos robóticas usando músculos neumáticos como actuadores.

El presente trabajo de tesis describe la construcción y caracterización de un músculo neumático, el cual es usado posteriormente como actuador de un dedo robótico, con el objetivo de emular al actuador natural del ser humano: el músculo biológico. Entre las aplicaciones potenciales de esta investigación está el desarrollo de un sistema que pueda ser utilizado para rehabilitación de los dedos en personas que así lo requieran. Adicionalmente se busca generar el conocimiento necesario para desarrollar prótesis o sistemas bio-robóticos con mayores similitudes al funcionamiento del cuerpo humano. En el capítulo 1 se presenta el planteamiento del problema a abordar, la revisión del estado del arte, la justificación, seguido de los objetivos generales y particulares, para finalmente establecer los alcances y limitaciones del presente trabajo de tesis. El capítulo 2 describe de forma breve las características del músculo biológico y se enfatizan los músculos utilizados para mover la mano así como sus articulaciones. En el capítulo 3 se describe el principio de funcionamiento del músculo neumático y se presenta una metodología propia de construcción del primer prototipo de músculo neumático construido en el CENIDET, las pruebas de caracterización y de control realizada, así como los resultados obtenidos de dichas pruebas. En el capítulo 4 se muestra el diseño mecánico del efector (dedo mecánico), el principio de accionamiento de las falanges así como su construcción. Posteriormente, en el capítulo 5 se presentan los desarrollos de los modelos cinemático y dinámico, además se muestra la implementación de las leyes de control PD y PID en el modelo dinámico obtenido, así como sus respectivas simulaciones. En el capítulo 6 se describe la implementación del hardware utilizado para el control del efector. En el capítulo 7 se describen las pruebas experimentales de movimiento a las que fue sometido el efector y los resultados obtenidos. Finalmente, se presentan las conclusiones obtenidas de la realización del presente trabajo de investigación así como de las recomendaciones propuestas para trabajos futuros.

Abstract

Human being has always been interested in emulating movements and functionality of the human body parts, specially the hand, due to its versatility as an essential organ to perform day to day tasks. Research in robotic hands using electric drives has achieved significant goals. However, the interest to achieve a robotic hand with features as close as possible to the functionality and physical form of a human hand, is still a challenge. The advantages of a pneumatic muscle in both, operation and similarity to the human muscle, had led many research institutions to organize projects related to the development of robotic hands prototypes using pneumatic muscles as actuators. This thesis document describes the construction and characterization of a pneumatic muscle, which is subsequently used as an actuator in a robotic finger, aiming to emulate the human actuator: the biological muscle. Among the potential applications of this research work there is the development of a system capable to support rehabilitation finger activities for those persons who may require it. Additionally, this work is aimed to generate knowledge to develop prosthetic devices or bio-robotics systems with closer similarities with the human body functioning. Chapter 1 presents a description of the considered problem, reviewing the state-of-the-art, justification of this research, including both general and specific objectives, and the scope and limitations of this work. Chapter 2 is related to briefly present a description of the biological muscle principal features, highlighting those muscles used in the movement of the hand and its joints. Chapter 3 describes the methodology followed to construct the first prototype of pneumatic muscle at CENIDET, together with the corresponding characterization and control tests and its results. The mechanical design of the robotic finger, together with the operation principle of the phalanges and the related construction details, are all presented in chapter 4. Chapter 5 is related to the development of the corresponding cinematic (direct and inverse) and dynamic models. Also the design of the PID and PD control laws and the associated simulations are presented. Chapter 6 describes the implementation of the used hardware to control the effector. Chapter 7 describes the experimental tests of movement performed to robotic finger as well as obtained results. Finally, the obtained conclusions of this research work and recommendations for further work are presented.

CONTENIDO

Lista de Figuras ..........................................................................................................................i Lista de Tablas ......................................................................................................................... iii Nomenclatura............................................................................................................................iv Abreviaturas ..............................................................................................................................v CAPÍTULO 1 Introducción......................................................................................................1 1.1. Planteamiento del Problema ............................................................................................1 1.2. Revisión del Estado del Arte ...........................................................................................1 1.3. Justificación.....................................................................................................................5 1.4. Objetivo General .............................................................................................................5 1.4.1. Objetivos Particulares......................................................................................................6 1.5. Alcances ..........................................................................................................................6 1.6. Limitaciones ....................................................................................................................6 CAPÍTULO 2 Características de la Mano Humana ..............................................................7 2.1. Dimensiones de la Mano Humana...................................................................................7 2.2. Movimientos Básicos de los Dedos.................................................................................8 2.3. Estructura Ósea de la Mano.............................................................................................9 2.4. Músculo Biológico ..........................................................................................................9 2.5. Articulaciones................................................................................................................12 CAPÍTULO 3 Músculo Neumático cenidet ...........................................................................13 3.1. Músculo Neumático.......................................................................................................13 3.2. Construcción del Músculo Neumático cenidet ..............................................................15 3.3. Prueba del Músculo Neumático cenidet ........................................................................16 3.3.1. Pruebas sin Carga ..........................................................................................................17 3.3.2. Pruebas con Carga .........................................................................................................19 3.3.3. Prueba de Vida Útil. ......................................................................................................21 3.4. Control del Músculo. .....................................................................................................23 3.4.1. Control en Lazo Abierto. ...............................................................................................23 3.4.2. Control en Lazo Cerrado. ..............................................................................................26 CAPÍTULO 4 Diseño y Construcción del Efector................................................................29 4.1. Especificaciones Mecánicas del Efector........................................................................29 4.2. Estructura Mecánica del Efector....................................................................................30 4.3. Construcción del Efector. ..............................................................................................35 CAPÍTULO 5 Modelado y Control del Efector....................................................................39 5.1. Modelado Cinemático ...................................................................................................39 5.1.1. Modelado Cinemático Directo.......................................................................................39 5.1.2. Modelado Cinemático Inverso.......................................................................................43 5.2. Modelado Dinámico ......................................................................................................49

5.3. Control del Efector ........................................................................................................64 5.3.1. Control PD.....................................................................................................................64 5.3.2. Control PID ...............................................................................................................65 5.3.3. Simulación de los Controladores...............................................................................66 CAPÍTULO 6 Diseño Electrónico y Programación del Efector..........................................69 6.1. Sensado de Posición ......................................................................................................69 6.2. Programación del FPGA................................................................................................70 6.3. Interfaz Gráfica con la PC .............................................................................................73 6.4. Accionamiento de las Electroválvulas...........................................................................74 6.5. Lazo de Control del Sistema..........................................................................................75 CAPÍTULO 7 Validación Experimental del Efector............................................................77 7.1. Pruebas Experimentales para el Movimiento de Flexión-Extensión.............................77 7.1.1. Pruebas Realizas a la Falange Proximal. .......................................................................78 7.1.2. Pruebas Realizadas a la Falange Medial........................................................................81 7.1.3. Pruebas Realizadas a la Falange Distal .........................................................................85 7.2. Pruebas Experimentales para el Movimiento de Abducción-Aducción........................88 CAPÍTULO 8 Conclusiones y Recomendaciones .................................................................93 BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................................97 ANEXO 1 Sensor de Presión ..................................................................................................99 ANEXO 2 Electroválvula......................................................................................................103 ANEXO 3 Ensambles ............................................................................................................107 ANEXO 4 Diseño del Resorte ...............................................................................................117 ANEXO 5 Parámetros Geométricos y Físicos del Efector.................................................119 ANEXO 6 Índices de Desempeño.........................................................................................121 ANEXO 7 Sensor de Efecto Hall ..........................................................................................123 ANEXO 8 Amplificador Operacional..................................................................................125 ANEXO 9 Buffer....................................................................................................................129 ANEXO 10 Transistor Darlington .......................................................................................133 ANEXO 11 Esquema Neumático General...........................................................................135

Lista de Figuras Figura 1.1 Cricket Cart ................................................................................................................2 Figura 1.2 Micro-robot Cricket ...................................................................................................2 Figura 1.3 Brazo robótico............................................................................................................3 Figura 1.4 Prótesis de pie ............................................................................................................3 Figura 1.5 Brazo mecánico..........................................................................................................4 Figura 1.6 Mano robótica de la Universidad de Curtin ...............................................................4 Figura 1.7 The Shadow Hand......................................................................................................4 Figura 1.8 Zwei-Arm-Roboter.....................................................................................................5 Figura 2.1. Dimensiones promedio de la mano humana. ............................................................7 Figura 2.2. Dimensiones promedio de los dedos de la mano humana.........................................8 Figura 2.3. Fase neutra de la mano..............................................................................................8 Figura 2.4. Movimiento de abducción y aducción de los dedos. ................................................8 Figura 2.5. Movimiento de flexión y extensión de los dedos......................................................9 Figura 2.6. Huesos de la mano humana.......................................................................................9 Figura 2.7. Forma básica del músculo humano.........................................................................10 Figura 2.8. Conexión de los huesos y el músculo por medio de tendones ................................11 Figura 2.9. Músculos para movimientos de flexión y extensión de los dedos ..........................12 Figura 2.10. Articulaciones del dedo índice. .............................................................................12 Figura 3.1. Forma reticular del músculo neumático..................................................................14 Figura 3.2. Comparación de fuerzas entre un cilindro y el músculo neumático .......................14 Figura 3.3. Duración o vida útil del músculo neumático...........................................................14 Figura 3.4. Secuencia de fotografías para la construcción del músculo neumático cenidet......16 Figura 3.5. Conector para la fabricación del músculo neumático cenidet.................................15 Figura 3.6. Montaje para prueba sin carga del músculo neumático. .........................................17 Figura 3.7. Fotografías del banco de prueba sin carga. .............................................................17 Figura 3.8. Esquema neumático para pruebas del músculo.......................................................18 Figura 3.9. Resultados de la prueba sin carga para diferentes longitudes del músculo.............18 Figura 3.10. Banco de pruebas para las mediciones con carga. ................................................19 Figura 3.11. Báscula calibrada utilizada en la prueba con carga...............................................19 Figura 3.12. Resultados de la prueba con carga para diferentes longitudes del músculo. ........20 Figura 3.13. Montaje músculo y resorte. ...................................................................................21 Figura 3.14. Circuito neumático de control para la prueba de vida útil. ...................................21 Figura 3.15. Fotografía del músculo sometido a la prueba de vida útil. ...................................22 Figura 3.16. Fotografías del resultado de la prueba de vida útil al aplicar 35000 ciclos. .........22 Figura 3.17. Fotografías de prueba de vida útil para el segundo y tercer músculo. ..................22 Figura 3.18. Esquema neumático general de control de aire para el músculo. .........................23 Figura 3.19. Gráfica de respuesta en el músculo con 40 Hz y duración de pulsos de 2 ms. .....24 Figura 3.20. Saltos de presión en forma de escalones en el interior del músculo. ....................24 Figura 3.21. Respuesta de presión en el músculo para diferentes casos. ..................................25 Figura 3.22. Diferencia entre la respuesta a presión continua y por pulsos. ............................25 Figura 3.23. Esquema eléctrico de control de electroválvulas. .................................................26 Figura 3.24. Respuesta de control de presión............................................................................27 Figura 4.1. Accionamiento de las falanges................................................................................30

i

Figura 4.2. Diseño mecánico del efector. ..................................................................................30 Figura 4.3. Montaje de los músculos.........................................................................................30 Figura 4.4. Montaje del músculos del lado fijo. ........................................................................31 Figura 4.5. Montaje del cojinete................................................................................................31 Figura 4.6. Montaje del músculo del lado móvil.......................................................................31 Figura 4.7. Conexión músculo y tensor.....................................................................................31 Figura 4.8. Falanges del dedo mecánico....................................................................................32 Figura 4.9. Montaje sensor ángulo de giro. ...............................................................................32 Figura 4.10. Tope mecánico falange distal................................................................................32 Figura 4.11. Tope mecánico falange medial..............................................................................32 Figura 4.12. Transmisión del par...............................................................................................33 Figura 4.13. Diagrama de cuerpo libre representando una falange. ..........................................33 Figura 4.14. Gráfico de la falange proximal..............................................................................35 Figura 4.15. Gráfico de la falange medial. ................................................................................35 Figura 4.16. Gráfico de la falange distal. .................................................................................35 Figura 4.17. Gráfico de movimiento de aducción. ....................................................................35 Figura 4.18. Fotografía del efector. ..........................................................................................36 Figura 4.19. Fotografía montaje de músculos. .........................................................................36 Figura 4.20. Fotografía del montaje de los músculos lado móvil. ............................................36 Figura 4.21. Fotografía del montaje de la funda para el tensor. ...............................................36 Figura 4.22. Fotografía del dedo mecánico. .............................................................................37 Figura 4.23. Fotografía del eje de aducción. .............................................................................37 Figura 4.24. Fotografía del montaje de los resortes para la falange medial y distal. ................37 Figura 4.25. Fotografía del dedo mecánico con las tres falanges flexionadas. .........................37 Figura 5.1 Representación Denavit-Hartenberg de articulaciones y eslabones.........................39 Figura 5.2 Asignación de ejes de referencia..............................................................................40 Figura 5.3 Espacio de trabajo en el plano XY...........................................................................42 Figura 5.4 Espacio de trabajo en el plano XZ ...........................................................................42 Figura 5.5. Corrida No.1 del programa de la cinemática inversa..............................................48 Figura 5.6 Corrida No. 2 del programa de la cinemática inversa..............................................49 Figura 5.7. Partes principales del efector ..................................................................................50 Figura 5.8. Vistas auxiliares ......................................................................................................50 Figura 5.9. Localización del centro de masa de la base del efector ..........................................50 Figura 5.10. Localización del centro de masa de la falange proximal ......................................51 Figura 5.11. Localización del centro de masa de la falange medial..........................................51 Figura 5.12. Localización del centro de masa de la falange distal ............................................52 Figura 5.13. Programa que vincula la cinemática inversa con el control del efector................66 Figura 5.14. Resultados de la simulación del controlador PD...................................................67 Figura 5.15. Resultados de la simulación del controlador PID .................................................67 Figura 6.1 Sensor de efecto Hall ...............................................................................................70 Figura 6.2. Montaje del sensor de posición de efecto Hall .......................................................70 Figura 6.3. Acondicionamiento de la señal de los sensores de posición ...................................70 Figura 6.4. Funcionamiento del programa según su error de posición......................................71 Figura 6.5. Subprograma de control para una falange...............................................................72 Figura 6.6. Subprogramas para el control de la falange proximal y el movimiento de abducción...........................................................................................................73 Figura 6.7. Subprogramas para el control de las falanges medial y distal ................................73

ii

Figura 6.8. Interfaz gráfica para el monitoreo y control del efector..........................................74 Figura 6.9. Esquema eléctrico de control de las electroválvulas...............................................75 Figura 7.1. Resultado de posicionar a 45° en flexión a la falange proximal. ............................78 Figura 7.2. Resultado de posicionar a 60° en flexión a la falange proximal. ............................78 Figura 7.3. Resultado de posicionar a 45° en extensión a la falange proximal. ........................79 Figura 7.4. Resultado de posicionar a 30° en extensión a la falange proximal. ........................80 Figura 7.5. Efectos que tiene la falange proximal sobre las demás falanges sin control. .........80 Figura 7.6. Efectos que tiene la falange proximal sobre las demás falanges con control. ........81 Figura 7.7. Resultado de posicionar a 45° de flexión la falange medial. ..................................82 Figura 7.8. Resultado de posicionar a 60° de flexión a la falange medial. ...............................82 Figura 7.9. Resultado de posicionar a 20° de extensión a la falange medial. ...........................83 Figura 7.10. Resultado de posicionar a 15° de extensión a la falange medial. .........................83 Figura 7.11. Efectos que tiene la falange medial sobre las demás falanges sin control. ...........84 Figura 7.12. Efectos que tiene la falange medial sobre las demás falanges con control...........84 Figura 7.13. Resultado de posicionar a 45° en flexión a la falange distal.................................85 Figura 7.14. Resultado de posicionar a 60° en flexión a la falange distal.................................86 Figura 7.15. Resultado de posicionar a 30° en extensión a la falange distal.............................86 Figura 7.16. Efectos que tiene la falange distal sobre las demás falanges sin control. .............87 Figura 7.17. Efectos que tiene la falange distal sobre las demás falanges con control .............87 Figura 7.18. Resultado de posicionar a 10° en abducción al efector.........................................89 Figura 7.19. Resultado de posicionar a -10° en abducción al efector .......................................89 Figura 7.20. Resultado de posicionar a 10° al efector teniendo aducción y abducción. ...........90 Figura 7.21. Resultado de posicionar a -5° al efector teniendo aducción y abducción. ............90

Figura A 10.1. Esquema neumático general............................................................................135

Lista de Tablas

Tabla 4.1 Parámetros de la ecuación 4.4. ..................................................................................34 Tabla 5.1 Parámetros Denavit-Hartenberg ................................................................................40 Tabla 5.2. Índices de desempeños para el movimiento de abducción.......................................68 Tabla 5.3. Índices de desempeños para la falange proximal. ....................................................68 Tabla 5.4. Índices de desempeños para la falange medial.........................................................68 Tabla 5.5. Índices de desempeños para la falange distal. ..........................................................68 Tabla 6.1. Lista de elementos utilizados para controlar el efector ............................................76 Tabla 7.1. Efectos de acoplamiento de cada falange sobre las demás.......................................88

Tabla A 4.1. Características de los resortes.............................................................................118

iii

Nomenclatura

1ii

− A Matriz de transformación homogénea que relaciona la articulación i-1 con la articulación i respecto a un sistema de coordenadas conocido

ai La distancia de zi-1 a zi medida sobre xi-1. αi El ángulo de zi-1 a zi medida sobre xi-1. di La distancia de xi-1 a xi medida sobre zi-1. θi I-ésima coordenada articular que indica el ángulo entre xi-1 y xi medido sobre

el eje zi-1. n Vector llamado normal que forma parte de la terna ortonormal que representa

totalmente la orientación del efector. o Vector llamado orientación que forma parte de la terna ortonormal que

representa totalmente la orientación del efector. a Vector llamado aproximación que forma parte de la terna ortonormal que

representa totalmente la orientación del efector. p Vector de posición que indica la posición final del efector. px Coordenada en el eje x de la posición final del efector py Coordenada en el eje y de la posición final del efector pz Coordenada en el eje z de la posición final del efector Li Longitud del i-ésimo eslabón T Matriz de transformación homogénea de la cadena cinemática Lci Distancia entre i-ésima articulación y el centro de masa del i-ésimo eslabón. xi Coordenada en el eje x de la posición del centro de masa con respecto al

origen. yi Coordenada en el eje y de la posición del centro de masa con respecto al

origen. zi Coordenada en el eje z de la posición del centro de masa con respecto al

origen. Q Coordenada generalizada. mi Masa concentrada del i-ésimo eslabón Ui(q) Energía potencial de la masa concentrada del i-ésimo eslabón UT(q) Energía potencial total del efector.

( , )iK q q& Energía cinética de la masa concentrada del i-ésimo eslabón ( , )TK q q& Energía cinética total del efector.

vi Velocidad de traslación de la masa concentrada del i-ésimo eslabón. wi Velocidad angular del i-ésimo eslabón.

immI Momento de inercia del i-ésimo en el eje “m” con respecto a su centro de masa.

( , )L q q& El lagrangiano del efector

iτ Par ejercido externamente por el actuador del i-ésima articulación. M(q) Matriz de inercias.

( , )C q q & Matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis.

iv

( )g q Vector de gravedad FR Fuerza ejercida por el resorte TR Par ejercido por el resorte k Constante de resorte xi Deformación inicial del i-ésimo resorte r Radio de la polea de las articulaciones TR(q) Vector de pares ejercidos por los resortes. qd Posición deseada. q% Error de posición articular. q&% Error de velocidad articular.

pK Matriz de ganancias de la acción proporcional

vK Matriz de ganancias de la acción derivativa

iK Matriz de ganancias de la acción integral τ Vector de pares articulares. M(q) Matriz de inercias.

( , )C q q & Matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis. ( )g q Vector de gravedad

TR(q) Vector de pares ejercidos por los resortes.

Abreviaturas

CENIDET Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico PD Proporcional-derivativo PID Proporcional-derivativo-integral

FPGA Field Programmable Gate Array ISE Índice de la integral del error cuadrático IAE Índice de la integral del valor absoluto del error

ITAE Índice de la integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo CE Índice del esfuerzo de control

g.d.l Grados de libertad

v

Maestría en Ingeniería Mecatrónica Diseño de un Efector que Reproduzca Algunos Movimientos de la Mano Humana Usando Recursos Neumáticos

- 1 -

CAPÍTULO 1

Introducción

1 Marcador de figuras

En este capítulo se describe el problema a abordar, para posteriormente realizar un estudio del estado del arte acerca de los trabajos relacionados con músculos neumáticos emulando al músculo biológico. En seguida se realiza la justificación de este proyecto de tesis, seguido de los objetivos generales y particulares. Finalmente se describe el alcance y las limitaciones del presente trabajo de tesis. 1.1. Planteamiento del Problema

En la actualidad los robots sólo tienen una pequeña similitud con el ser humano y existen todavía diferencias notables; una de ellas es debida a los actuadores. En comparación con el músculo biológico, los actuadores de los robots requieren de mucho espacio, sus materiales son de gran densidad, sus movimientos son con arranques bruscos y con golpes en los finales de trayectorias, así como también de cambios de posición, velocidad y aceleración no uniformes. Los músculos biológicos sirven de modelo, especialmente por su excelente relación masa/rendimiento, además son capaces de ejecutar movimientos ágiles y suaves, porque la conexión de los huesos y de los tendones ocupa muy poco espacio y porque el cuerpo humano demuestra su eficiencia y duración día a día [1]. Lo anterior motiva a buscar soluciones alternativas para la generación de robots, de tal manera, que se asemejen lo mayor posible al ser humano tanto en movimientos, en materiales empleados y sobre todo en la forma de generar los movimientos por medio de un actuador que se asemeje al músculo biológico. Por lo tanto, el problema general del presente trabajo es buscar una alternativa para actuadores de robots que se asemejen al músculo biológico, utilizando elementos neumáticos y que se valide experimentalmente en un efector que reproduzca algunos movimientos de la mano humana, específicamente en un dedo. 1.2. Revisión del Estado del Arte

Los esfuerzos por construir un efector que se asemeje, lo mejor posible, al funcionamiento y forma de la mano humana, han llevado a través de la historia a muchas compañías de desarrollo tecnológico, instituciones y universidades, a realizar numerosas investigaciones y

cenidet Capítulo 1. Introducción

prototipos con una gran variedad de características. De la tecnología utilizada, se pueden distinguir tres corrientes de acuerdo al tipo de actuador que se utiliza: motores eléctricos, actuadores hidráulicos y actuadores neumáticos. De los actuadores neumáticos se destaca recientemente el uso de músculos neumáticos. Los motores eléctricos han sido mayormente usados como actuadores por los investigadores desde el inicio de la robótica, mientras que los diseños con músculos neumáticos son escasos; sin embargo, ésta es una tendencia nueva en plena investigación y que está tomando importancia por la semejanza que se tiene con el músculo biológico. A poco tiempo de la invención del músculo neumático, también llamado músculo artificial McKibben, en honor a su inventor en 1950, se han empezado a desarrollar investigaciones con el uso de músculos neumáticos en la robótica en general. A continuación se enlistan algunas investigaciones y prototipos que se han realizado con el uso del músculo neumático en la robótica y bio-robótica. La Universidad de Case, USA, después de haber obtenido resultados satisfactorios con el Cricket Cart (ver figura 1.1), desarrolló en el año 2006 un micro-robot llamado Cricket, cuyas dimensiones en cualquier sentido son menores a 5 cm (ver figura 1.1.). Este micro-robot tiene la forma de un grillo y utiliza músculos neumáticos como actuadores en sus patas y está capacitado para caminar y saltar de manera coordinada [2].

Figura 1.1. Cricket Cart [2].

Figura 1.2. Micro-robot Cricket [2].

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La Universidad de Illinois, USA, en el año 2006 desarrolló un brazo robótico de movimiento suave llamado SoftArm (ver figura 1.3). El modelo de este robot está basado en el brazo humano; tiene cuatro articulaciones y un total de 5 grados de libertad. Cada articulación tiene dos músculos neumáticos en configuración protagonista-antagonista, es decir, mientras uno está contraído el otro está extendido y viceversa, tal y como sucede con los músculos del brazo humano [3].

F1

F2

Unión i-1

Hacia el link i

F1

F2

Unión i-1

Hacia el link i

Figura 1.3. Brazo robótico [3].

La Universidad de Washington, USA, está trabajando desde el 2006 en dos proyectos en donde utilizan músculos neumáticos como actuadores [4]. El primero es la elaboración de una prótesis de la parte baja de la pierna, la cual tiene que ser ligera y debe comportarse lo más apegado a una pierna humana, de tal forma que pueda ser usada por personas lisiadas para volver a caminar como lo hacían normalmente (ver figura 1.4).

Figura 1.4. Prótesis de pie [4].

El segundo proyecto es el desarrollo de un brazo mecánico que sea una réplica del brazo humano. El brazo está hecho de fibra de vidrio usando moldes hechos con huesos de cadáveres humanos. Este brazo se usa para el estudio del comportamiento de biomecanismos y de propiedades de bajo nivel neural del brazo así como el control de la postura (ver figura 1.5).


Figura 1.5. Brazo mecánico [4].

La Universidad de Curtin, Australia, ha desarrollado una mano humanoide actuada por músculos neumáticos (ver figura 1.6), la cual tiene un total de 10 grados de libertad (g.d.l.). repartidos desde el codo hasta los dedos y está actuada por 20 músculos neumáticos [5].

Figura 1.6. Mano robótica de la Universidad de Curtin [5].

La empresa Shadow, UK, construyó un prototipo llamado The Shadow Hand (ver figura 1.7). Esta mano cuenta con un total de 32 músculos neumáticos integrados en el antebrazo, con lo que se logra un total de 24 g.d.l. Cuenta con sensores en las puntas de los dedos por lo que tiene sensitividad al contacto así como control de posición [6].

Figura 1.7. The Shadow Hand [6]

La Universidad Técnica de Berlin está desarrollando un prototipo del miembro superior llamado Zwei-Arm-Roboter. Por sus siglas en alemán, ZAR, en su 5a versión presenta un torso humanoide con dos manos, las cuales tienen 5 dedos cada una y utilizan músculos neumáticos como actuadores (ver figura 1.8). La versión 5 utiliza músculos neumáticos de 5mm de diámetro interior de marca FESTO (estos músculos no están disponibles actualmente en el mercado). Cada mano, sin contar la muñeca, tiene 15 g.d.l. [7].

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Figura 1.8. Zwei-Arm-Roboter [7].

1.3. Justificación

El presente trabajo se justifica debido a que mediante el estudio de actuadores neumáticos para la solución del problema se obtendrá:

• Un efector más ligero al utilizar aire comprimido. • Al ser ligero, se consume poca energía para generar y controlar los movimientos. • Las pérdidas por fricción entre los elementos del efector se reducen. • El mantenimiento del sistema disminuye notablemente al contar con músculos

neumáticos. • Que el efector cuente con mayores similitudes con el ser humano. • Comparaciones entre la mano actual del CENIDET (con motores eléctricos) y un

efector con actuadores neumáticos. • Generación de conocimientos en efectores neumáticos • A corto plazo este trabajo se puede aplicar en el desarrollo de equipos de rehabilitación

en dedos, brazos o piernas para personas que lo requieran. • A largo plazo se contribuye a generar conocimientos para desarrollar una prótesis con

características de movimiento similares a las de una mano biológica. 1.4. Objetivo General

Diseño y construcción de un efector que reproduzca los movimientos de flexión y extensión de un dedo de la mano humana usando músculos neumáticos.


1.4.1. Objetivos Particulares

• Conocer los movimientos básicos que realiza la mano humana y sus elementos principales.

• Estudiar las características de los actuadores neumáticos y en especial el músculo

neumático.

• Construcción y caracterización de un músculo neumático.

• Proponer un sistema mecánico que represente un efector con movimientos de flexión y extensión.

• Obtener los modelos cinemático y dinámico del efector propuesto y realizar las

correspondientes simulaciones.

• Construir un efector con actuadores neumáticos que reproduzca movimientos de flexión y extensión.

• Validar experimentalmente la operación del efector.

1.5. Alcances

Diseñar y construir un efector que reproduzca algunos movimientos de un dedo de la mano humana usando músculos neumáticos como actuadores. Los movimientos se refieren a la emulación de un dedo con movimientos de flexión y extensión. Las dimensiones del efector son medidas antropomórficas. 1.6. Limitaciones

• El diseño del efector no considera la configuración de músculos antagónicos para los

movimientos de flexión y extensión. • El modelo dinámico desarrollado no considera los efectos de fricción ni los productos

de momentos de inercias generados. • El diseño de diferentes estrategias de control para comparar los correspondientes

desempeños, no forman parte de los objetivos de este trabajo. • La construcción del sistema diseñado está condicionada a los recursos materiales con

que se cuente y al tiempo disponible, además de no contar con movimientos de abducción y aducción.

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CAPÍTULO 2

Características de la Mano Humana


La mano es la parte del cuerpo humano unida al extremo del antebrazo, que comprende desde la muñeca hasta la punta de los dedos. Es un elemento fundamental del cuerpo humano para la realización de un gran número de actividades. Los elementos principales de la mano no trabajan de forma aislada, sino que lo hacen de forma coordinada para conseguir movimientos y acciones complejas como el simple hecho de tomar un objeto. En este capítulo, se presentan las características de la mano humana, las dimensiones promedio, la estructura ósea y tipos de movimientos de los dedos. Se habla del músculo biológico (como actuador en el ser humano), su conexión con los huesos por medio de tendones y específicamente, los músculos que generan los movimientos de los dedos de la mano humana.

2.1. Dimensiones de la Mano Humana El tamaño de la mano no es único, esto es, existen diferentes tamaños de acuerdo a los diferentes grupos étnicos. Sin embargo, las medidas promedio se muestran en las figuras 2.1 y 2.2 [8].

Figura 2.1 Dimensiones promedio de la mano humana [8].

cenidet Capítulo 2. Características de la Mano Humana

Figura 2.2. Dimensiones promedio de los dedos de la mano humana [8].

2.2. Movimientos Básicos de los Dedos Los movimientos de los dedos de la mano son abducción, aducción, flexión y extensión. Para definir cada uno de estos movimientos, se parte de la posición del estado neutro de la mano como lo muestra la figura 2.3.

Figura 2.3. Fase neutra de la mano [8].

La abducción es el alejamiento de una parte de cuerpo (en este caso de los dedos) respecto al eje central (ver figura 2.4a). La aducción es un movimiento que acerca un órgano o una extremidad al plano medio del cuerpo (ver figura 2.4b).

a) Movimiento de abducción b) Movimiento de aducción Figura 2.4. Movimiento de abducción y aducción de los dedos (en este caso, dedo pulgar) [8].

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La flexión es la curvatura o reducción del ángulo que forman dos partes del cuerpo humano (en este caso los dedos) y la extensión es el endurecimiento o incremento del ángulo entre dos partes del cuerpo humano (ver figura 2.5).

Figura 2.5. Movimiento de flexión y extensión de los dedos y valores comunes de ángulo* [8].

2.3. Estructura Ósea de la Mano El esqueleto de la mano se visualiza en la figura 2.6 y está constituido por 27 huesos: ocho en el carpo, cinco en el metacarpo y tres en cada falange, salvo en la del pulgar, que tiene sólo dos [9].

Figura 2.6. Huesos de la mano humana [9].

A los huesos de la 1ª falange, 2ª falange y 3ª falange se les conoce también como falange proximal, falange medial y falange distal, respectivamente. * Aun cuanto estos valores son comunes, existen personas que tienen un mayor o menor rango de movimiento a los presentados.


2.4. Músculo Biológico Los músculos son los órganos que permiten realizar cualquier movimiento; correr o caminar, abrir o cerrar la puerta, levantar pesos, tomar un objeto, escribir o hablar. El músculo sólo se contrae o relaja, lo que le permite mover las piezas óseas a las que se haya insertado para realizar funciones de desplazamiento, mantenerse fijos o para conservar una postura determinada. En el cuerpo humano se distinguen tres tipos de músculos [10]: 1.- El músculo estriado cardiaco. Se encuentra exclusivamente en el corazón. Es el encargado de realizar los movimientos que impulsan la sangre en su recorrido por todo el cuerpo y se halla fuera de control voluntario. 2.- El músculo no estriado. Es el componente principal de las vísceras y los vasos sanguíneos, sus contracciones son lentas comparadas con las del músculo esquelético. Se halla fuera de control voluntario. 3.- El músculo estriado esquelético. Es el que actúa directamente sobre el sistema óseo para producir, bajo control voluntario, todos los movimientos del cuerpo humano. Este es el músculo de interés para emular su movimiento. El cuerpo humano cuenta con un gran número de músculos estriados esqueléticos (aproximadamente 434) y constituyen entre 40 y 45 % del peso corporal. Su unidad morfológica es la fibra muscular (miocito), con un diámetro de 10 a 60 µm y de unos cuantos milímetros hasta 30 cm de longitud (en reposo) en los músculos largos del adulto [10]. Los músculos están formados por fibras musculares, agrupados en haces primarios envueltos en una especie de vaina, tal y como lo muestra la figura 2.7. A su vez, estos haces primarios se unen y forman los llamados haces secundarios que reagrupados componen la totalidad del músculo al que rodea una membrana, cuyas prolongaciones son los tendones que unen los músculos a los huesos [9].

Figura 2.7. Forma básica del músculo humano [9].

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Los músculos tienen principalmente dos propiedades: elasticidad y excitabilidad. La elasticidad consiste en que pueden aumentar su tamaño, para volver después a su estado habitual. El estado habitual es aquel cuando el músculo se encuentra en estado relajado. La excitabilidad se refiere a que los músculos reciben impulsos nerviosos para producir el movimiento [10]. Para que se genere el movimiento es necesario de la inervación y la vascularización. En la inervación, para que el músculo se contraiga, es necesario que reciba la orden de hacerlo. La orden consiste en un impulso nervioso que llega a cada fibra muscular proveniente del cerebro. En la vascularización, la sangre al salir de corazón, toma el oxígeno de los pulmones y en el intestino recoge los nutrientes, agua y minerales. La sangre energéticamente rica en nutrientes, es llevada a cada una de las fibras musculares y de esta forma el músculo tiene la energía necesaria para generar el movimiento [10]. Unido al músculo se encuentran los tendones como se muestra en la figura 2.8. El tendón es una cinta o cordón fibroso de color blanco brillante, por el que los músculos se insertan en los huesos. Los tendones sirven para mover el hueso o la estructura en el momento que el músculo se contrae, produciéndose así un movimiento [9].

Figura 2.8. Conexión de los huesos y el músculo por medio de tendones [9].

Los músculos de interés para su emulación son los que generan los movimientos de flexión y extensión. En la figura 2.9a se muestra el músculo flexor superficial de los dedos. Este músculo es el encargado de realizar el movimiento de flexión de los dedos índice, medio, anular y meñique. [9]. La localización del músculo extensor común de los dedos se observa en la figura 2.9b; es el encargado de realizar el movimiento de extensión de los dedos índice, medio y anular. Siguiendo el músculo extensor común de los dedos, de arriba hacia abajo, se observa la conexión con las articulaciones de los dedos a través de los tendones [9].


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Figura 2.9. Músculos para movimientos de flexión y extensión de los dedos [9].

2.5. Articulaciones En cada dedo, la 1ª falange se articula con la 2ª falange y ésta con la 3ª falange. A excepción del dedo pulgar, existen dos articulaciones para cada dedo. En la figura 2.10 se observan los elementos para la articulación del dedo índice. En la parte proximal las superficies articulares son verdaderas poleas con una garganta central y dos partes laterales de aspecto condíleo. En la parte distal, la superficie articular está formada por una cresta (que corresponde a la garganta de la polea) y a ambos lados dos pequeñas cavidades. Las articulaciones interfalángicas permanecen unidas por una cápsula articular fibrosa, reforzada en su cara palmar y por dos ligamentos laterales. Cada una de las articulaciones interfalángicas presenta su correspondiente líquido sinovial∗ [9].

Figura 2.10. Articulaciones del dedo índice [9].

∗ El Líquido sinovial es un fluido viscoso y claro que se encuentra en las articulaciones. El líquido sinovial reduce la fricción entre los cartílagos y otros tejidos en las articulaciones para lubricarlas y acolcharlas durante el movimiento.

http://es.wikipedia.org/wiki/Articulaci%C3%B3n


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CAPÍTULO 3 Músculo Neumático cenidet


El músculo neumático es un actuador que solamente jala y no empuja. Por tanto, es un actuador de tracción de simple efecto y emula el movimiento natural del músculo biológico. En el presente capítulo se explica el principio de funcionamiento del músculo neumático, sus principales características y una metodología en la construcción del primer prototipo de un músculo neumático en el CENIDET. Así mismo, se presentan las pruebas a que fue sometido el prototipo y los resultados correspondientes. 3.1. Músculo Neumático

El músculo neumático es una actuador de tracción que imita la funcionalidad de un músculo humano; consiste en una membrana flexible y resistente a la tracción accionada por aire, otros gases o líquidos, su forma es cilíndrica y la relación entre la fuerza y la masa es de aproximadamente 400:1 [1]. Generalmente, el músculo neumático está compuesto por un tubo flexible contráctil. El tubo flexible está formado por una goma estanca y resistente a la presión. Además tiene una capa de fibras altamente resistentes como lo muestra la figura 3.1. Las fibras están dispuestas en forma de rombos formando una estructura reticulada tridimensional [1]. Aplicando una presión interior, la periferia se dilata (aumenta el diámetro del músculo), con lo que se obtiene una fuerza de tracción y un movimiento de contracción a lo largo del músculo neumático. La fuerza de tracción es máxima al principio del movimiento de contracción y disminuye al aumentar la carrera. En la figura 3.2 se muestra la comparación entre el músculo neumático y un cilindro neumático [1]. El músculo reacciona a un cambio pequeño de la presión en su interior para obtener un cambio pequeño en la contracción y trabaja desde 0 kPa hasta una presión máxima (regularmente de 600 kPa a 800 kPa). El accionamiento de los músculos neumáticos es muy sencillo y se pueden controlar con una válvula neumática 3/2 vías para un control de todo o nada.

cenidet Capítulo 3. Músculo Neumático cenidet

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Figura 3.1. Forma reticular del músculo neumático [1].

Figura 3.2. Comparación de fuerzas entre un cilindro y el músculo neumático [1].

Como todo actuador, el músculo neumático tiene una vida útil de duración finita y depende de varios factores [1]:

• Aumento de la contracción (expresada en tanto por ciento). • Masa o carga a mover. • Temperatura de utilización. • Frecuencia de trabajo.

En la figura 3.3 se muestra una gráfica de la duración de músculo neumático en función del porcentaje de contracción y de la masa o carga a mover.

Figura 3.3. Duración o vida útil del músculo neumático[1].

Si se configura correctamente el músculo neumático puede funcionar a frecuencias de hasta 3 Hz sin que ello disminuya la duración del material. Para operaciones dinámicas, es recomendable configurar el músculo de tal modo que su contracción no sea superior al 10 % y tener esquemas neumáticos con el fin de poder llenarlo y vaciarlo de aire muy rápidamente (desfogues).


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3.2. Construcción del Músculo Neumático cenidet La construcción de un prototipo de músculo neumático es una tarea que involucra hacer pruebas a cada versión y observar los errores de manufactura que se tienen, para así, mejorar y evolucionar a una versión final. El prototipo del músculo, ha sido el resultado del aprendizaje obtenido en pruebas a varias versiones anteriores y sin embargo, todavía se sigue mejorando. El músculo neumático que se propone, llamado simplemente “músculo neumático cenidet”, está compuesto de dos elementos principales: una membrana (tubo flexible) y una malla, ésta envuelve a la membrana flexible y tiene la función de limitar la deformación axial del músculo cuando es sometido a presión en su interior. La malla no permite que la membrana aumente de longitud sino que lo forza a deformarse radialmente y obtener así una contracción longitudinal de la membrana flexible. Por otra parte, la malla proporciona un refuerzo a la membrana y ayuda a una deformación uniforme [1]. El material de la membrana flexible que se eligió fue el látex de 5.60 mm de diámetro exterior y 3.17 mm de diámetro interior. En el caso de la malla, se eligió la malla que tiene el cable de coaxial, el cual es trenzado uniformemente y es de cobre, de tal forma que permita aumentar radialmente su tamaño. También se utilizaron conectores, alambre galvanizado (calibre 22), pegamento y resina epóxica [11]. Los conectores utilizados son de dos tipos. Uno de ellos es un conector comercial de aluminio de la marca FESTO denominado SCN-PK-4 (el número 4 indica el diámetro de la boquilla) y que tiene una rosca de M10x1 para la fijación del músculo con la ayuda de las respectivas tuercas. El otro conector, siendo el lado móvil del músculo, se diseñó y se maquinó en aluminio tal y como se muestra en la figura 3.4, en uno de los extremos se tiene un orificio que sirve para colocar un tensor y así transmitir el movimiento generado por el músculo.

Figura 3.4. Conector para la fabricación del músculo neumático cenidet.

En la figura 3.5 se muestra una secuencia de fotografías, paso a paso, para la construcción del músculo neumático cenidet.


a) Manguera de látex y conectores.

b) Unión de la manguera de látex y los conectores.

c) Colocación de la malla metálica.

d) Amarre en los extremos del músculo con alambre galvanizado.

e) Colocación de la resina epoxica en extremos del músculo neumático cenidet.

Figura 3.5. Secuencia de fotografías para la construcción del músculo neumático cenidet. 3.3. Prueba del Músculo Neumático cenidet

Una vez definida la construcción del prototipo del músculo neumático cenidet (que en lo sucesivo se llamará solamente músculo), se procedió a caracterizarlo de forma básica mediante la realización de pruebas de funcionamiento.

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3.3.1. Pruebas sin Carga

La prueba sin carga consiste en medir la contracción en el músculo al aplicar una presión conocida y controlada. Para efectuar las mediciones se implementó un banco de pruebas como se muestra en la figura 3.6. Uno de los extremos del músculo se fijó en una base de madera por medio de una abrazadera. En este lado se tiene el suministro de aire comprimido. En el otro extremo del músculo (lado móvil), se colocó un medidor de desplazamiento lineal (indicador de carátula). Así mismo se tiene un manómetro digital, el cual indica la presión de aire que se le suministra al músculo. En la figura 3.7 se presentan las fotografías del banco experimental.

Figura 3.6. Montaje para prueba sin carga del músculo neumático.

a) Banco de pruebas armado en laboratorio. b) Indicador de carátula y manómetro digital. Figura 3.7. Fotografías del banco de prueba sin carga.

Para suministrar y controlar el aire en el músculo se utilizó el circuito neumático mostrado en la figura 3.8. El paso del aire se controló por medio de la válvula de vías 2/2. Por medio de una perilla del filtro regulador y con la ayuda del manómetro digital, se controló y se registró, respectivamente, la presión interna del músculo. La presión máxima de trabajo en el compresor fue de 600 kPa (6 bar).


Figura 3.8. Esquema neumático para pruebas del músculo.

El procedimiento que se llevó a cabo para las pruebas experimentales fue el siguiente:

1. Armar el banco de prueba. 2. Incrementar la presión en el músculo gradualmente hasta que la carrera de

contracción del músculo sea de 10 mm. 3. Para cada cierta presión se mide el desplazamiento y se registra en una base de

datos. 4. Se repite la prueba 4 veces más y se comparan los resultados en las mediciones. 5. Con los datos obtenidos se grafica un diagrama presión-desplazamiento.

En la figura 3.9 se muestran los resultados experimentales obtenidos para músculos de 7, 8 y 10 cm de longitud. La presión necesaria para contraer 10 milímetros cada uno de estos músculos es aproximadamente 360 kPa, 280 kPa y 240 kPa, respectivamente, como se muestra en la figura 3.9. Por tanto, se obtiene una mayor contracción a una presión menor para configuraciones de músculos con una longitud mayor. De las tres gráficas se puede observar un comportamiento no lineal al inicio de la contracción y posteriormente un comportamiento relativamente lineal. Cabe mencionar que se tiene una carga aproximada de 0.7 N para un desplazamiento de 10 milímetros debido a la resistencia que opone el indicar de carátula al desplazarse.

Figura 3.9. Resultados de la prueba sin carga para diferentes longitudes del músculo.

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3.3.2. Pruebas con Carga La prueba con carga consiste en colocar fuerzas conocidas en el músculo y aplicar una presión determinada para conseguir una contracción de 10 mm. El banco de pruebas para las mediciones con carga (ver figura 3.10) es muy similar al de pruebas sin carga, sólo que ahora se cuenta con tres elementos adicionales: una polea, un tensor y una carga (masa). En un extremo del vástago del medidor de desplazamiento lineal (indicador de carátula) está unida la carga a través del tensor, y en el otro extremo se encuentra unido el músculo neumático por medio de una conexión rígida. Cuando el músculo se contrae, jala al vástago y éste a su vez a la carga calibrada. La polea sirve para poder colocar la carga como peso muerto y evitar la menor fricción posible durante la contracción del músculo.

Figura 3.10. Banco de pruebas para las mediciones con carga.

La carga colocada al músculo directamente a través del indicador de carátula y el tensor, es una carga calibrada hecha mediante bolsitas de sal. La masa de sal se midió por medio de una báscula de la marca Terrailon (modelo No. 907/9204), la cual se comprobó que estuviera calibrada mediante patrones de pesos calibrados como se muestra en la figura 3.11.

a) Patrones de pesos calibrados. b) Comprobación de calibración de la báscula.

Figura 3.11. Báscula calibrada utilizada en la prueba con carga.


El circuito neumático es el mismo que se utilizó en la prueba sin carga (ver figura 3.8). El procedimiento que se llevó a cabo para las pruebas con carga fue el siguiente:

1. Armar el banco de prueba. 2. Colocar una carga calibrada 3. Incrementar la presión de entrada al músculo gradualmente hasta que la carrera de

contracción sea de 10 mm. 4. Para cada cierta presión se mide el desplazamiento y se registra en una base de

datos. 5. Se repite la prueba 4 veces más y se comparan los resultados en las mediciones 6. Se repite los pasos 2-5 para calibración con diferentes pesos.

Con los datos obtenidos se graficó un diagrama fuerza-presión del músculos para 7, 8, 9 y 10 cm de longitud, tal y como lo muestra la figura 3.12. Se observa que para una contracción constante (10 mm) la fuerza en el músculo depende de la presión aplicada. Además, para una misma contracción y una misma presión, un músculo de mayor longitud tiene mayor fuerza. Por ejemplo para una presión de 380 kPa, el músculo de 10 cm de longitud (7.5 N aproximadamente) tiene una fuerza mayor que el músculo de 9 cm de longitud (5.7 N aproximadamente).

Figura 3.12. Resultados de la prueba con carga para diferentes longitudes del músculo.

Con los resultados obtenidos en las pruebas y a través de la figura 3.12, se eligió el músculo de 10 cm de longitud debido a su mayor capacidad de carga. También dicho músculo soportó una presión de 600 kPa con una carga aproximada de 19.6 N. Concluyendo, el músculo neumático cenidet de 10 cm de longitud tiene una masa de 11 gramos y una fuerza aproximada de 13 N para una presión de 500 kPa y una contracción de 10 mm. Por tanto, la relación fuerza/masa aproximada es de 1200 N/kg. Además de tener un comportamiento casi lineal.

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3.3.3. Prueba de Vida Útil.

lo.

Para determinar el tiempo de vida útil del músculo se utilizó el sistema de acuerdo a la figura 3.13. Se tiene el músculo conectado a un resorte por medio de un tensor. Los extremos opuestos, tanto del músculo como del resorte, están fijos. La deformación inicial del resorte es de 4 mm, simulando una carga en el músculo y garantizando que vuelva a la posición inicial. El circuito neumático que se utilizó es el mostrado en la figura 3.14. Al energizar la bobina de la válvula Y1, se introduce aire a presión en el interior del músculo y por tanto decrece la longitud del mismo, venciendo la fuerza del resorte. Al suprimir la energía de la bobina, se deja escapar el aire y el resorte jala al músculo neumático regresando a su posición inicial. Al proceso de introducir y dejar escapar el aire en el músculo se le llama ciclo de vida útil*. La prueba de vida útil se realizó a tres diferentes músculos y con diferentes presiones con el propósito de obtener diferentes contracciones en el múscu

Figura 3.13. Montaje músculo y resorte. Figura 3.14. Circuito neumático de control para

la prueba de vida útil. • El primer músculo, con una longitud de 102 mm (ver figura 3.15), estuvo sometido a una

frecuencia de 7 Hz, 14.7 % de contracción (15 mm) y una presión de 500 kPa. El tiempo de vida útil fue de 35000 ciclos. En la figura 3.16a se muestra la fotografía de uno de los extremos del músculo una vez llevada acabo la prueba y se presenta la ruptura de algunos de los hilos de la malla del músculo. En la figura 3.16b se visualiza un orificio creado por la fricción entre la malla y la manguera de látex.

• En el segundo músculo, con una longitud de 95 mm (ver figura 3.17), estuvo sometido a

una frecuencia de 4 Hz, se utilizó una presión de 400 kPa, 12.63 % de contracción (12 mm) y la duración de la prueba fue de 128000 ciclos. La falla resultante fue en los extremos del músculo y un orificio en la manguera de látex, al igual que en el primer músculo.

• En el tercer músculo, con una longitud de 92 mm (ver figura 3.17) estuvo sometido a una

frecuencia de 4Hz, se utilizó una presión de 3.5 bar, 10.86 % de contracción (10 mm) y la

* No se ha encontrado en la literatura una definición del ciclo de vida útil para dicha prueba, sin embargo, en el presente trabajo se ha definido en la forma presentada.


duración de la prueba fue de 125000 ciclos. La falla se presentó como un orificio en la manguera de látex, al igual que en el primer y segundo músculo.

Figura 3.15. Fotografía del músculo sometido a la prueba de vida útil.

a) Extremo del músculo. b) Orificio creado por la fricción. Figura 3.16. Fotografías del resultado de la prueba de vida útil al aplicar 35000 ciclos.

a) Montaje de segundo y tercer músculo. b) Presión y contracción del segundo y tercer

músculo. Figura 3.17. Fotografías de prueba de vida útil para el segundo y tercer músculo.

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De las pruebas de vida útil se concluye lo siguiente: • El orificio creado entre el tubo flexible de látex y la malla metálica es debido a la fricción

existente entre estos dos elementos. El lugar del orificio creado es a la mitad de la longitud del músculo aproximadamente.

• La duración del músculo depende del porcentaje de contracción y de la frecuencia de operación.

• Configurando el músculo de tal forma que su contracción sea aproximadamente el 10 % de su longitud, la falla resultante en el músculo es sólo por fricción.

Por tanto, el músculo elegido de 10 cm tiene una contracción de 10 mm y se cumple que para aplicaciones dinámicas el porcentaje de contracción no sea superior al 10 %. 3.4. Control del Músculo.

Con el objeto de observar el comportamiento del músculo y la respuesta a excitaciones o cambios de presión en su interior, se implementaron dos tipos de control: control en lazo abierto y control en lazo cerrado.

3.4.1. Control en Lazo Abierto.

El músculo neumático se contrae al suministrar aire, de la misma manera, dejando salir aire de un músculo presurizado se disminuye su contracción. Para el control de suministro y escape de aire comprimido se utilizó el circuito neumático como se muestra en la figura 3.18 [12].

Figura 3.18. Esquema neumático general de control de aire para el músculo.

• Accionando la válvula Y1, se suministra aire a presión y por tanto decrece la longitud

del músculo. • Una vez presurizado el músculo, si se acciona la válvula Y2 se deja escapar aire,

disminuye la presión y aumenta la longitud del músculo.

• Las válvulas 0.01 y 0.02 son válvulas reguladoras de flujo y por medio de ellas se controla la velocidad de suministro y escape de aire.


Con el objeto de observar y conocer la respuesta del músculo con pequeños incrementos de presión, se utiliza el circuito neumático de la figura 3.18 (solamente pulsos en la bobina Y1) y el montaje ya relatado con anterioridad de la figura 3.13, recordando que, se tiene un sensor de presión (ver anexo 1) para su monitoreo. La excitación de la electroválvula de la bobina Y1 se realizó por medio de señales de modulación de ancho de pulso (PWM) para diferentes frecuencias (periodo T) y diferentes duraciones de pulsos. Para mayor información de la electroválvula utilizada ver anexo 2. En la figura 3.19 se muestra la respuesta de la presión en el interior del músculo utilizando una frecuencia de 40 Hz y la duración del pulso de 2 milisegundos. La presión de suministro es de 400 kPa (4 bar). Se observa de esta figura que los incrementos de presión se reducen conforme se incrementa la presión en el interior del músculo debido a que la diferencia de presión entre el interior del músculo y el suministro de aire se reducen hasta alcanzar el equilibrio. En la figura 3.20 se muestra un acercamiento de la figura 3.19 y se observan claramente los incrementos de presión en forma de escalones debido a los pulsos de presión dados por las señales eléctricas.

Figura 3.19. Gráfica de respuesta en el músculo con 40 Hz y duración de pulsos de 2 ms.

Figura 3.20. Saltos de presión en forma de escalones en el interior del músculo.

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En la figura 3.21 se observa la respuesta de la presión en el interior del músculo para frecuencias y duraciones de pulsos diferentes. Para una frecuencia f = 20 Hz y duración de pulso de 5 ms se tienen incrementos de presión elevados en forma de escalones y un tiempo de respuesta rápida. Para una frecuencia f = 40 Hz y una duración de pulso 2 ms se tienen incrementos de presión bajos y un tiempo de respuesta lenta. Un incremento brusco de presión en el músculo trae como consecuencia un incremento brusco en al contracción del músculo y viceversa. Por tanto, se debe de tener una buena relación entre la frecuencia y la duración del pulso a fin de aproximar la respuesta de presión por pulsos a una respuesta de presión continua y que sea viable llevar a cabo a través de electroválvulas comerciales. Como por ejemplo, en la figura 3.22 se muestra la respuesta de presión en el interior del músculo para un solo pulso de 4 bar y la respuesta por pulsos para una frecuencia de 40 Hz y duración de pulso de 2 ms. Cabe mencionar, que la velocidad de respuesta se puede ajustar variando el porcentaje de apertura de las válvulas reguladoras de flujo 0.01 y 0.02 (ver figura 3.18).

Figura 3.21. Respuesta de presión en el músculo para diferentes casos.

Figura 3.22. Diferencia entre la respuesta a presión continua y por pulsos.


3.4.2. Control en Lazo Cerrado. Después de obtener la respuesta en lazo abierto en el músculo, se optó por implementar un control en lazo cerrado (control PID) y conocer su comportamiento. Se utilizó el montaje de la figura 3.13 y el circuito neumático de la figura 3.18. La señal de retroalimentación se obtiene por un sensor de presión SDE1-D10-G2-H18-PU-M8 de la marca FESTO (señal de 0 a 10 voltios para una presión de 0 a 10 bar) y es enviada a una tarjeta FPGA de Nacional Instruments (PCI-7831R) en donde se tiene un programa en Labview 7.1. La tarjeta FPGA, en función de la señal de entrada, genera una señal de salida del tipo PWM. De acuerdo a las pruebas de lazo abierto y específicamente de la figura 3.21 se eligió una frecuencia de trabajo de 100 Hz debido a que presentó un buen compromiso entre la frecuencia y la duración de pulso. Cabe mencionar que la duración del ancho de pulso lo determina el control PID en función de la señal de retroalimentación de presión. La señal de salida del FPGA es acondicionada por medio del circuito mostrado en la Figura 3.23 con el propósito de contar con la energía suficiente y necesaria para excitar las bobinas de las electroválvulas Y1 y Y2 mostrado en la figura 3.18.

Figura 3.23. Esquema eléctrico de control de electroválvulas.

En la figura 3.24 se muestran las respuestas del control de lazo cerrado para diferentes situaciones.

• En la figura 3.24a, la presión deseada es de 4 bar y la presión real es de 4.01 bar y un error de 0.01 bar.

• En la figura 3.24b, la presión deseada es de 1 bar y la presión real es de 1.01 bar y un

error de 0.01 bar.

• En la figura 2.24c, la presión deseada es de 4 bar y la presión real es de 4.01 bar y un error de 0.01 bar.

Para los tres casos mostrados en la figura 3.24 se cumple con el objetivo de control de presión, esto es, se regula la presión en el interior del músculo.

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a) 1 a 4 bar

b) 4 a 1 bar

c) 3 a 4 bar

Figura 3.24. Respuesta de control de presión. Por medio de las pruebas de lazo abierto y sus resultados se determinó la frecuencia de trabajo para el control PID. De acuerdo a los resultados mostrados en la figura 3.24, se puede observar las no linealidades debido a la compresibilidad del aire. Además, se debe recordar que se tiene una pequeña fricción en el músculo debido al deslizamiento relativo entre la malla metálica y el tubo flexible de látex.


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CAPÍTULO 4 Diseño y Construcción del Efector

4 Marcador de figura

Una vez construido el músculo, realizado sus pruebas de funcionamiento y su caracterización, se procede a presentar el diseño y construcción mecánica del efector accionado por músculos neumáticos. Se inicia primeramente con las especificaciones mecánicas necesarias para seguir con el diseño mecánico y la forma de transmitir el movimiento originado por los músculos hacia las poleas de las falanges, y finalmente se muestra la construcción física del efector.

4.1. Especificaciones Mecánicas del Efector. Al igual que en los dedos del ser humano, el efector tiene tres falanges: proximal, medial y distal. Para cada una de las falanges, el movimiento de flexión está limitado mecánicamente para un rango de movimiento de 0° a 90°. Aunque el presente trabajo sólo contempla movimientos de flexión y extensión en sus objetivos, se tiene un movimiento de abducción y aducción para un rango de -15° a 15° como trabajo adicional. El material para la construcción del efector es el aluminio debido a que:

• Es ligero. • Sencillo de maquinar. • De fácil adquisición en el mercado.

En todas las falanges el movimiento de flexión es llevado acabo por medio del músculo, mientras que el movimiento de extensión lo realiza un resorte tal y como lo muestra la figura 4.1. El músculo se conecta a un resorte por medio de un tensor a través de la polea de radio r. El radio de la polea debe ser tal que para un ángulo de 90° su longitud de arco no sea superior a la contracción de 10 mm del músculo elegido (10 cm de longitud). La posición de inicio es para un ángulo θ igual a cero. Al introducir aire a presión el músculo se contrae generando una fuerza Fm, si la fuerza Fm es mayor a la fuerza del resorte FR, entonces la falange se mueve con un desplazamiento angular de θ grados. Si se permite la salida del aire a presión contenido en el músculo, la fuerza Fm es nula y por tanto sólo se tiene la fuerza del resorte FR. Lo anterior origina que el ángulo θ disminuya hasta un valor de cero. El mismo concepto anterior se aplica para el movimiento de abducción y aducción. Por tanto se tienen cuatro movimientos (abducción/aducción y flexión/extensión en cada una de las tres falanges) por lo que se necesitan del mismo número de músculos y resortes.

cenidet Capítulo 4. Diseño y Construcción del Efector

Figura 4.1. Accionamiento de las falanges.

4.2. Estructura Mecánica del Efector. Mecánicamente, el músculo se conecta a un tensor y éste a su vez a cada uno de los ejes de movimiento. En la figura 4.2 se muestran los elementos principales del efector que son: placa base, músculos neumáticos, tensores y el dedo mecánico. El montaje de los músculos se muestra en la figura 4.3. El detalle de la colocación de los músculos se muestra en la figura 4.4. Por uno de los extremos se fija el músculo utilizando la rosca M10x1 del conector neumático del músculo (suministro de aire) y sus respectivas tuercas. El lado móvil del músculo se desliza sobre un cojinete de bronce con el propósito de minimizar la fricción y se muestra en la figura 4.5.

Figura 4.2. Diseño mecánico del efector.

Figura 4.3. Montaje de los músculos.

Placa baseDedo mecánico

Tensor

Músculo neumático

Base músculo lado móvil

Funda para tensores

Base músculo lado fijo

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En la figura 4.6 se muestra la utilización de la funda para tensores la cual sirve para evitar los cambios bruscos de dirección en el tensor y disminuir la fricción. Las fundas solo se utilizan para los músculos colocados en los extremos (estos tensores son los únicos que tienen un cambio brusco la dirección). La conexión entre el músculo y el tensor se muestra en la figura 4.7. Las falanges proximal, medial y distal del dedo mecánico se muestran en la figura 4.8, además de un eje para el movimiento de abducción y aducción. Para medir el ángulo de giro en cada una de los ejes, se coloca un sensor de efecto Hall. El sensor se coloca en una tarjeta de circuito impreso tal y como lo muestra la figura 4.9. En el eje se incrusta un imán de Samario-Cobalto (orientación del imán a través del diámetro). Al girar al eje, gira el imán y el sensor detecta el cambio de dirección de flujo magnético proporcionando un voltaje de salida.

Figura 4.4. Montaje del músculo del lado fijo.

Figura 4.5. Montaje del cojinete.

Figura 4.6. Montaje del músculo del lado móvil.

Figura 4.7. Conexión músculo y tensor

Aparte de contar con sensores de posición en el dedo mecánico, se cuenta con un sistema mecánico de seguridad (tope mecánico), el cual limita el movimiento de 0o a 90o.

Base músculo lado móvil

Conexión músculo con tensores

Funda para tensores

Músculo Base músculo lado móvil

CojineteMovimiento del Músculo

Cable de acero inoxidable

Músculo

Base músculo lado fijo

Tuercas M10x1

Conector de aire


Figura 4.8. Falanges del dedo mecánico.

Figura 4.9. Montaje sensor ángulo de giro.

En la figura 4.10 se muestra un tope mecánico para la falange distal en la posición de cero grados, y el mismo elemento mantiene la falange medial en la posición de 90o. El tope mecánico se usa solamente para dos posiciones de seguridad, de 0o y de 90o, para cada una de las falanges. En el movimiento de abducción y aducción solo se permite un ángulo de ±15o y para obtenerlo se tiene un tornillo de ajuste tal y como lo muestra la figura 4.11.

Figura 4.10. Tope mecánico falange distal.

Figura 4.11. Tope mecánico falange medial.

Sensor

Falange

Imán

Circuito impreso

Falange distal

Eje de aducción

Falange Proximal

Falange medial

Placa base

Falange distal

Tope mecánico

15° Eje aducción

Tornillo de ajuste

Para transmitir el torque del eje a la falange, se tiene una ranura por donde se coloca una placa adaptadora para después insertar un perno, y de esta manera al girar el eje, gira la falange correspondiente (ver figura 4.12). En el anexo 3 se tiene el ensamble del efector.

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Figura 4.12. Transmisión del par.

Como ya se ha mencionado, el movimiento de extensión es llevado a cabo por medio de un resorte con constante k, del tal manera, que no sea mayor que la fuerza del músculo. Para la elección de la constante k del resorte, se parte de la figura 4.1 y se utiliza el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 4.13 El músculo neumático se conecta a un resorte por medio de un cable a través de la polea de radio r. Además, se tiene la fuerza del músculo Fm, el ángulo de giro θ , la distancia del eje al centro de gravedad del péndulo L, la constante k del resorte, la fuerza del resorte FR (se toma en cuenta una deformación inicial del resorte x1), la masa m y la gravedad g. No se considera la fricción.

Figura 4.13. Diagrama de cuerpo libre representando una falange.

Haciendo sumatoria de momentos respecto al eje 0: mr F + L mg sin - r F = I Rθ θ&& (4.1) La fuerza del resorte es igual a la constante k multiplicada por un desplazamiento: 0RF k x = (4.2)

Placa adaptadora Placa de

falange

Eje

Perno

Ranura


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Se considera que el resorte tiene una deformación inicial x1, y tomando en cuenta la relación existente entre el desplazamiento angular y lineal, la fuerza del resorte es: 1RF k x k r θ = + (4.3) Sustituyendo la ecuación (4.3) en (4.1) y cuando la fuerza Fm del músculo es cero: 2

1sinL mg k r x k r Iθ θ − − = &&θ (4.4) La ecuación anterior representa el modelo matemático de la figura 4.13 sin considerar los efectos de fricción y la dinámica del actuador. La idea es realizar simulaciones de la ecuación (4.4) a fin de obtener valores de la constante k en cada una de las falanges y los tiempos de respuesta. Los valores de los parámetros de la ecuación (4.4) y las condiciones iniciales se presentan en la tabla 4.1.

Tabla 4.1 Parámetros de la ecuación 4.4. Falange ó movimiento

r 1x10-3 (m)

L 1x10-3 (m)

m 1x10-3 (kg)

x1 1x10-3 (m)

I 1x10-9(kg m2)

θ inicial (rad)

k (N / m)

Proximal 6 45.53 54.72 2 162280.30 π / 2 500 Medial 6 21.13 32.48 4 23545.46 π / 2 100 Distal 6 4.18 14.53 1 1470.27 π / 2 15 Aducción 6 58.74 74.32 5 373212.80 π / 6 500

Los resultados de la simulación para las falanges proximal, medial, distal y movimiento de abducción se observan en la figura 4.14, 4.15, 4.16 y 4.17, respectivamente. Para cada caso se muestra el tiempo ideal de respuesta a partir de las condiciones iniciales y la constante del resorte elegida. Por ejemplo, el tiempo de 0.27 segundos mostrado en la figura 14.14, representa el tiempo que pasa para que la falange proximal ejecute el movimiento de extensión desde la posición articular de 90o a la posición articular de 0o con una constante de resorte k = 500 N/m. El tiempo de 0.27 segundos es un tiempo ideal, debido a que la ecuación (4.4) no toma en cuenta los efectos de fricción y no se considera el porcentaje de apertura de la válvula reguladora de flujo (válvulas 0.02 de la figura 3.18 que regulan la velocidad de flujo y por tanto la velocidad en los movimientos). La tabla 4.1 muestra que el radio para todas las poleas es de 6 mm y su longitud de arco para un ángulo de 90° grados es de 9.4 mm aproximadamente. La contracción del músculo elegido es de 10 mm (10 cm de longitud) y por tanto, se justifica el radio de 6 mm en las poleas. Además la tabla 4.1 muestra que la constante del resorte k mayor es de 500 N/m. Sumando la deformación inicial del resorte de 5 mm y la longitud de arco de 9.4 mm se tiene una deformación máxima del resorte de 14.4 mm. Así la máxima fuerza del resorte es de 7.2 N y es menor que la fuerza de 13 N del músculo elegido. En el anexo 4 se tienen los cálculos realizados para obtener las dimensiones de los resortes.


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Figura 4.14. Gráfico de la falange proximal. Figura 4.15. Gráfico de la falange medial.

Figura 4.16. Gráfico de la falange distal.

Figura 4.17. Gráfico de movimiento de aducción.

4.3. Construcción del Efector. Una vez definido el diseño del efector se procede a la construcción del mismo. Es muy importante señalar que las piezas se deben construir según las especificaciones de diseño a fin de garantizar un buen ensamble entre cada una de las piezas. Con excepción de la tornillería, los resortes y los anillos de retención, las piezas del efector se maquinaron en su mayor parte en aluminio por lo planteado anteriormente en la sección 4.1. En la figura 4.18 se muestra una fotografía del ensamble y construcción del efector, se puede observar la forma del montaje de los músculos, la placa base y el dedo mecánico. En la figura 4.19 se tiene una fotografía que muestra a los cuatro músculos, la forma del montaje de la placa base sobre una pieza de madera y los tubos flexibles que suministran el aire comprimido hacia los músculos.


Figura 4.18. Fotografía del efector.

Figura 4.19. Fotografía montaje de músculos.

En la figura 4.20 se muestra otra fotografía de los músculos, la colocación física sobre la base del músculo en el lado móvil y la conexión de los músculos con los tensores. En la figura 4.21 se muestra una fotografía de las fundas utilizadas para los músculos de los extremos y por otra parte, muestra la colocación física del resorte para el movimiento de extensión de la falange proximal y el resorte para el movimiento de abducción.

Figura 4.20. Fotografía del montaje de los

músculos lado móvil.

Figura 4.21. Fotografía del montaje de la funda para el tensor.

Las falanges proximal, medial y distal se muestran en la fotografía de la figura 4.22, donde se puede ver claramente los ejes de cada una de las falanges mencionadas. Para la falange medial, se observa el tope mecánico en la posición de 0° y la colocación de la placa para transmitir el torque del eje a la falange. En la figura 4.23 se muestra una fotografía del eje para el

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movimiento de aducción y la conexión con el tensor. Además, se pueden ver los tornillos de ajuste para el tope mecánico.

Figura 4.22. Fotografía del dedo mecánico.

Figura 4.23. Fotografía del eje de aducción.

El resorte para la falange medial se encuentra colocado en la falange proximal y el resorte de la falange distal está colocado en la falange medial y se muestran en la fotografía de la figura 4.24. Se puede observar también el montaje de los sensores de efecto Hall para los ejes de las falanges medial y distal. En la fotografía de la figura 4.25 se muestra el dedo mecánico con las tres falanges flexionadas.

Figura 4.24. Fotografía del montaje de los

resortes para la falange medial y distal.

Figura 4.25. Fotografía del dedo mecánico con las tres falanges flexionadas.


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CAPÍTULO 5 Modelado y Control del Efector


Una vez diseñado el efector y antes de su construcción, es necesario obtener sus modelos cinemático y dinámico para diseñar leyes de control, y posteriormente simular el desempeño de los controladores propuestos. Esto permite obtener información sobre el comportamiento que se espera del efector. Por tanto, en este capítulo se presenta el desarrollo del modelo cinemático directo e inverso, el modelo dinámico y la implementación de dos leyes de control (PI y PID) con sus respectivas simulaciones. 5.1. Modelado Cinemático

En los robots manipuladores, la cinemática se utiliza para calcular la posición y la orientación del efector (en relación a la base del mismo), la velocidad y la aceleración, como una función de las variables de las articulaciones. De lo anterior, se tienen dos problemas por resolver: cinemática directa e inversa [13].

5.1.1. Modelado Cinemático Directo Para la obtención del modelo cinemático directo, se busca encontrar las relaciones de cada uno de los eslabones del efector con sus articulaciones como se muestra en la figura 5.1 [13].

Figura 5.1. Representación Denavit-Hartenberg de articulaciones y eslabones [13].

cenidet Capítulo 5. Modelado y Control del Efector

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Dichas relaciones pueden encontrarse utilizando el método de Denavit-Hartenberg, siendo su matriz de transformación:

1

00 0 0 1

i i i i i i

i i i i i iii

i i

Cos Cos Sin Sin Sin a CosSin Cos Cos Sin Cos a Sin

ASin Cos d

i

i

i

θ α θ α θ θθ α θ α θ θ

α α−

− ⎡ ⎤⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.1)

Donde los parámetros de Denavit-Hartenbert son: ai - Distancia de Zi-1 a Zi a lo largo del eje xi-1. αi - El ángulo entre zi-1 a zi medida en un plano perpendicular al eje xi,, utilizando la regla de la

mano derecha. di - La distancia de Xi-1 a Xi medida sobre Zi-1. θi - El ángulo que forman los ejes Xi-1 a Xi medidos en un plano perpendicular al eje Zi-1,

utilizando la regla de la mano derecha. La matriz i-1Ai representa la relación de la articulación i-1 con la articulación i respecto a un sistema de coordenadas conocido. En la figura 5.2 se muestran los sistemas de referencia a fin de encontrar las matrices de transformación, y en la tabla 5.1 se tienen los parámetros del efector necesarios para utilizarlos en la matriz de transformación de la ecuación 5.1.

Figura 5.2 Asignación de ejes de referencia

Tabla 5.1 Parámetros Denavit-Hartenberg

0L40θ44

0L30θ33

0L20θ22

90°L10θ11

αiaidiθii

0L40θ44

0L30θ33

0L20θ22

90°L10θ11

αiaidiθii

Las matrices de transformación 0A1, 1A2, 2A3 y 3A4, son:


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1 1 1

1 1 101

cos 0 sin cossin 0 cos sin

0 1 0 00 0 0 1

LL

A

1

1

θ θ θθ θ θ

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.2)

2 2 2

2 2 212

cos sin 0 cossin cos 0 sin

0 0 1 00 0 0 1

LL

A

2

2

θ θ θθ θ θ

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.3)

3 3 3

3 3 323


0 0 1 00 0 0 1

LL

A

3

3

θ θ θθ θ θ

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.4)

4 4 4

4 4 434


0 0 1 00 0 0 1

LL

A

4

4

θ θ θθ θ θ

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.5)

Para obtener la matriz de transformación general a lo largo de todo el sistema, se requiere multiplicar las matrices de las ecuaciones (5.2) a (5.5), esto es [14]: (5.6) 0 0 1 2 3

4 1 2 3T A A A A A= = 4

y que se representa como:

0 0 0 1

0 0 0 1

x x x x

y y y y

z z z z

n o a pn o a p n o a p

Tn o a p

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.7)

Donde los vectores n, o y a representan la orientación del sistema de referencia 4 respecto al sistema 0. El vector p representa la posición del sistema de referencia 4 (la posición de la punta de la falange distal) con respecto al sistema de referencia 0. Desarrollando la ecuación (5.6) se obtienen los valores de los vectores n, o, a y p de la ecuación (5.7):

1 2 3 4cos cos( )xn θ θ θ θ= ⋅ + + (5.8)

1 2 3 4sin sin( )yn θ θ θ θ= ⋅ + + (5.9)

2 3 4sin( )zn θ θ θ= + + (5.10)

1 2 3 4cos sin( )xo θ θ θ θ= − ⋅ + + (5.11)

1 2 3sin sin( )yo 4θ θ θ θ= − ⋅ + + (5.12)

2 3 4cos( )zo θ θ θ= + + (5.13)

1sinxa θ= (5.14)

1cosya θ= − (5.15) 0za = (5.16)

1 4 2 3 4 3 2 3 2 2 1cos [ cos( ) cos( ) cos ]xp L L L Lθ θ θ θ θ θ θ= ⋅ ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + (5.17)

1 4 2 3 4 3 2 3 2 2 1sin [ cos( ) cos( ) cos ]yp L L L Lθ θ θ θ θ θ θ= ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + (5.18)

4 2 3 4 3 2 3 2sin( ) sin( ) sinzp L L L 2θ θ θ θ θ θ= ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ (5.19)


Por tanto, conociendo los ángulos θ1, θ2, θ3 y θ4 es posible conocer la ubicación del extremo final del efector en relación a un sistema de referencia, resolviendo así el problema de la cinemática directa. Conociendo la cinemática directa, es posible conocer el espacio de trabajo del efector. Con las ecuaciones obtenidas y con la ayuda del software Matlab, se desarrolló un programa que muestra el espacio de trabajo del efector tal y como se muestra en las figuras 5.3 y 5.4.

Figura 5.3 Espacio de trabajo en el plano XY

Figura 5.4 Espacio de trabajo en el plano XZ

Cabe mencionar que para esta simulación del espacio de trabajo, los valores que toman los ángulos θ2, θ3 y θ4 van desde 0° hasta 90° y los valores que toma θ1 van desde -15° hasta 15°.

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5.1.2. Modelado Cinemático Inverso El problema que se abordó en la cinemática directa fue: dados los ángulos θ1, θ2, θ3 y θ4, encontrar la posición final del efector, es decir, el vector p. La problemática que se maneja en la cinemática inversa es lo contrario: conociendo el vector p, encontrar los valores de los ángulos θ1, θ2, θ3 y θ4. Cabe mencionar que se obtendrá una solución al problema de la cinemática inversa, si el valor de la posición dada está dentro del espacio de trabajo, además esta solución puede ser no única. Con el fin de resolver el problema de la cinemática inversa, se requiere conocer la inversa de la matriz de transformación homogénea . 1

0 A

( )1 1

101

1 1

cos sin 00 0 1 0

sin cos 0 00 0 0 1

1L

A

θ θ

θ θ−

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.20)

A continuación se describe el desarrollo para resolver el problema de la cinemática inversa, es decir, obtener las expresiones con las que se pueden conocer los valores de los ángulos θ1, θ2, θ3 y θ4. Para simplificar el desarrollo de las expresiones manejadas, se definen: cos ( )XYZ X Y ZC θ θ θ= + + (5.21) y de igual forma sin ( )XYZ X Y ZS θ θ θ= + + (5.22) Donde C representa el coseno y S representa el seno. Así por ejemplo, C23 se refiere a cos(θ23), donde θ23 = θ2+θ3. De la misma forma S2 representa sin θ2. • Obtención de θ1 Para obtener θ1, es necesario hacer un desacoplo de este término de la matriz de transformación resultante [15], ecuación (5.6). Para lograr ésto se lleva a cabo la siguiente operación:

0 1 2 31 2 3 4T A A A A=

( ) 10 1 2

1 2 3A T A A A−

= 34 (5.23)


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Esto es:

1 1 1 234 234 4 234 3 23 2 2

234 234 4 234 3 23 2 2

1 1

c 0 00 0 1 0 0

c 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

x x x x

y y y y

z z z z

s L n o a p C S L C L C L Cn o a p S C L S L S L S

s n o a p

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

+ + ⎤⎥⎥⎥⎥⎦

(5.24)

Para el elemento de la fila 3 y columna 4 de la matriz del miembro derecho de la ecuación (5.24), se tiene la siguiente ecuación: 1 1 0x yS p C p− = (5.25) Por tanto

1tan y

x

pp

θ = (5.26)

1 arctan y

x

pp

θ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟

2

(5.27)

• Obtención de θ3 De igual forma que en θ1, hay que buscar una expresión en la cual se pueda desacoplar θ3 del resto de las incógnitas. Para los elementos de la fila 1 y columna 4, así como fila 2 y columna 4 de la matriz del miembro derecho de la ecuación (5.24) se tienen las siguientes ecuaciones: (5.28) 1 1 1 4 234 3 23 2x yC p S p L L C L C L C+ − = + + 4 234 3 23 2 2zp L S L S L S= + + (5.29) Reordenando las ecuaciones (5.28) y (5.29) de la siguiente forma: (5.30) 1 1 1 4 234 3 23 2x yC p S p L L C L C L C+ − − = + 2

4 234 3 23 2 2zp L S L S L S− = + (5.31) y elevando al cuadrado cada una: (5.32)

2 2 2 21 1 1 4 234 3 23 2 3 2 23 2 22x yC p S p L L C L C L L C C L C⎡ ⎤+ − − = + +⎣ ⎦

2

[ ]2 2 2 2

4 234 3 23 2 3 2 23 2 22z2p L S L S L L S S L S− = + + (5.33)


- 45 -

Sumando ambas ecuaciones y factorizando se tiene:

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 4 234 4 234 3 23 23 2 2 2 2 3 2 23 2 23( ) ( ) ( ) ( ) 2 (x y zC p S p L L C p L S L C S L C S L L C C S S+ − − + − = + + + + + ) (5.34)

Basándose en las siguientes identidades trigonométricas [16]: 2 2sin cos 1A A+ = (5.35) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sin sinA B A B A B± = m (5.36) cos( ) cosA A− = (5.37) la ecuación (5.34) se reduce a la siguiente forma: (5.38) 2 2 2 2

1 1 1 4 234 4 234 3 2 2 3 3( ) ( )x y zC p S p L L C p L S L L L L C+ − − + − = + + 2 De la ecuación (5.38) se obtiene C3:

2 2

1 1 1 4 234 4 234 3 23

2 3

( ) ( )2

x y zC p S p L L C p L S L LC

L L+ − − + − − −

=2 2

(5.39)

De la identidad trigonométrica (5.35) se deduce que: 2

3 1S = − 3C (5.40) Por tanto, se define completamente a θ3 como:

33

3

arctan SC

θ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟ (5.41)

Obsérvese que en la ecuación (5.39), a excepción del valor de θ234, todos los valores son conocidos. • Obtención de θ2 De forma análoga a la obtención de θ3, se tienen las ecuaciones (5.28) y (5.29). Aplicando la identidad trigonométrica (5.36), y recordando que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cos sinA B A B A B± = ± (5.42)


- 46 -

Las ecuaciones (5.28) y (5.29) se rescriben de la siguiente forma: (5.43) 1 1 1 4 234 3 2 3 3 2 3 2 2x yC p S p L L C L C C L S S L C+ − − = − + 4 234 3 2 3 3 2 3 2 2zp L S L S C L C S L S− = + + (5.44) Factorizando C2 en la ecuación (5.43) y S2 en la ecuación (5.44), se tiene: (5.45) 1 1 1 4 234 2 3 3 2 3 2( )x yC p S p L L C C L C L L S S+ − − = + − 3

) 4 234 3 2 3 2 3 3 2(zp L S L C S S L C L− = + + (5.46) Despejando C2 en las ecuaciones (5.45) y (5.46) e igualando ambas expresiones se tiene:

1 1 1 4 234 3 2 3 4 234 2 3 3 2

3 3 2 3 3

(x y zC p S p L L C L S S )p L S S L C LL C L L S

+ − − + − − +=

+ (5.47)

de donde se tiene la siguiente igualdad:

2 2 21 1 1 4 234 3 3 2 3 3 4 234 3 3 2 2 3 3 2( )( ) ( ) ( )( ) (x y zC p S p L L C L S S L S p L S L C L S L C L+ − − + = − + − + ) (5.48)

Despejando S2 de la ecuación (5.48) se tiene que:

4 234 3 3 2 1 1 1 4 234 3 32 2 2 2

3 3 2 3 3

( )( ) ( )(( )

z x y )p L S L C L C p S p L L C L SS

L C L L S− + − + − −

=+ +

(5.49)

Despejando S2 en las ecuaciones (5.45) y (5.46) e igualando ambas expresiones se obtiene:

2 3 3 2 1 1 1 4 234 4 234 3 2 3

3 3 3 3 2

( ) ( )x y zC L C L C p S p L L C p L S L C SL S L C L

+ − + − − − −=

+ (5.50)

de forma que:

2 2 22 3 3 2 1 1 1 4 234 3 3 2 4 234 3 3 2 3 3( ) ( )( ) ( )( ) (x y zC L C L C p S p L L C L C L p L S L S C L S+ − + − − + = − − ) (5.51)

Despejando C2 de la ecuación (5.51) resulta:

3 3 2 1 1 1 4 234 3 3 4 2342 2 2 2

3 3 2 3 3

( )( ) ( )(( )

x y zL C L C p S p L L C L S p L SC

L C L L S+ + − − + −

=+ +

) (5.52)


- 47 -

Por tanto, se puede definir completamente a θ2 como:

22

2

arctan SC

θ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟

4

(5.53)

Nuevamente, todos los valores de la ecuación (5.49) y (5.52) ya son conocidos a excepción del valor de θ234. • Obtención de θ4 Conociendo que 234 2 3θ θ θ θ= + + (5.54) El valor de θ4 se puede obtener de la siguiente forma: 4 234 2 3θ θ θ θ= − − (5.55) • Obtención de θ234 Como se observa, para poder encontrar los valores de los ángulos θ2, θ3 y θ4, es necesario saber el valor de las suma de estos tres ángulos. Sin embargo, es difícil encontrar una fórmula cerrada que indique el valor de θ234, ya que éste puede tomar diversos valores para una misma posición. Esto se debe a que la solución de la cinemática inversa para efectores con más de un eslabón por lo general puede ser no única.. Debido a que la solución de lo ángulos θ2, θ3 y θ4 (ecuaciones (5.53), (5.41) y (5.55)) dependen directamente de θ234, es necesario encontrar los valores correctos de θ234 para los cuales se logre llegar a la posición. Para solucionar tal problema, se desarrolló un programa en Matlab con el cual a través de una serie de iteraciones se obtienen los valores correctos de θ234. Dicho programa a grandes rasgos tiene el siguiente funcionamiento:

• Con los datos iniciales del vector de posición final, el programa calcula el valor de θ1 mediante la ecuación (5.27).

• Posteriormente se asignan valores a θ234, desde 0° hasta 270°. Este valor máximo es la

suma de los valores máximos que pueden alcanzar las tres articulaciones: 90° para el proximal (θ2), 90° para el medial (θ3) y 90° para el distal (θ4).

• Para cada iteración el programa hace los cálculos y obtiene los valores de los ángulos a

través de las ecuaciones (5.53), (5.41) y (5.55). Una vez que se tienen los valores de los ángulos θ2, θ3 y θ4 se calcula la posición final con esos ángulos con ayuda de las


fórmulas para px, py y pz de la cinemática directa, ecuaciones (5.17), (5.18) y (5.19), respectivamente.

• Por tanto, para cada iteración se comparan los valores obtenidos en px, py y pz, con los

valores deseados; si ambos valores son iguales, entonces el programa despliega el valor de los ángulos calculados para los cuales se puede alcanzar dicha posición.

• Cabe mencionar que todo el grupo de soluciones son filtrados a través de condiciones,

con la intención de eliminar las soluciones que no son viables o alcanzables, como por ejemplo ángulos negativos en θ2, θ3 y θ4, ángulos imaginarios, ángulos mayores de 90, etc.

Además, se agregaron al programa dos parámetros adicionales: la resolución del sensor y error permitido. Estos parámetros se deben tomar en cuenta en la implementación del efector. Dichos parámetros influyen en el número de resultados que el programa puede obtener, así por ejemplo, un error muy amplio conlleva a muchas soluciones. A continuación se muestran dos corridas del programa utilizado para resolver el problema de la cinemática inversa con diferentes parámetros de error (ver figuras 5.5 y 5.6).

Figura 5.5. Corrida No.1 del programa de la cinemática inversa

- 48 -


- 49 -

Figura 5.6 Corrida No. 2 del programa de la cinemática inversa

Como se observa, el programa parte de conocer las coordenadas del extremo del efector, las cuales deben pertenecer al espacio de trabajo del mismo. Posteriormente el programa pide los parámetros de error permitido y resolución del sensor a utilizar. Con estos, el programa devuelve los valores del vector de ángulos que satisfacen dichos parámetros, y enseguida despliega las coordenadas finales para cada vector de ángulo. Nótese que en la corrida No. 2 del programa, se tiene un error permitido pequeño y por lo tanto el número de resultados encontrados son sólo dos, caso contrario a la corrida No. 1 del programa, en donde el error permitido es mayor y por tanto el número de resultados encontrados es ahora de diez. La factibilidad de un conjunto de valores para θ234 también depende de aspectos prácticos, como la resolución que presentan los sensores de posición, ya que una pobre resolución en el sensado producirá un error entre el ángulo deseado y el real. 5.2. Modelado Dinámico

A continuación se presenta el modelo dinámico del efector en el espacio, con 4 grados de libertad (g.d.l.): flexión-extensión en las tres falanges y el movimiento de abducción-aducción en la base.


- 50 -

La metodología utilizada es similar a la metodología para obtener el modelo en un plano (ver referencia [17] y [18]). Se utilizan las ecuaciones de movimiento de Lagrange, donde no se consideran los efectos de la fricción y se toma en cuenta ahora que el movimiento es en el espacio. Por tanto la posición de los centros de masa de cada eslabón se dan en coordenadas tridimensionales (x, y, z). En la figura 5.7 se muestra la estructura final del efector. Para poder ubicar la posición de los centros de masas, se utilizaran las vistas de los planos “xz” y “xy” como se muestra en la figura 5.8.

x

y z

Origen del sistema de coordenadas

Falange distal

Falange medial

Falange proximal

Base para movimiento de aducción-abducción

Figura 5.7. Partes principales del efector Figura 5.8. Vistas auxiliares

• Posición de los centros de masas de las falanges. Para ubicar los centros de masa de la base y las falanges, primero se obtiene la coordenada en “z” utilizando el plano xz, y posteriormente se ubica la distancia x’i, la cual es la coordenada en “x” del i-esimo centro de masa si el ángulo de abducción-aducción fuera cero. Una vez encontrado x’i, se pueden obtener las coordenadas “x” y “y” a través del plano xy. A continuación se muestra la obtención de las coordenadas de los centros de masas de cada falange.

Figura 5.9. Localización del centro de masa

de la base del efector

De acuerdo a la figura 5.9 se tiene:

1' C1x L= (5.56) ∴

1 1 1 1' cos cosC 1x x q L q= ⋅ = ⋅ (5.57)

1 1 1 1' sin sinC 1y x q L q= ⋅ = ⋅ (5.58)

1z cte= (5.59)


- 51 -

Figura 5.10. Localización del centro de

masa de la falange proximal

De acuerdo a la figura 5.10 se tiene: 2 1 2' C 2cosx L L q= + ⋅ (5.60)

∴ ( )2 2 1 1 2 2' cos cos cosC 1x x q L L q= ⋅ = + ⋅ ⋅ q (5.61)

( )2 2 1 1 2 2' sin cos sinC 1y x q L L q= ⋅ = + ⋅ ⋅ q

2

(5.62) 2 2 sinCz L q= ⋅ (5.63)

De acuerdo a la Figura 5.11 se tiene:

Figura 5.11. Localización del centro de masa de la falange medial

3 1 2 2 3 2 3' cos cos(C )x L L q L q q= + ⋅ + ⋅ + (5.64) ∴

(3 3 1 1 2 2 3 2 3' cos cos cos( ) cosC ) 1x x q L L q L q q= ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ q (5.65)

( )3 3 1 1 2 2 3 2 3' sin cos cos( ) sinCy x q L L q L q q q= ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 (5.66)

(5.67) 3 2 2 3 2 3sin sin( )Cz L q L q q= ⋅ + ⋅ + Similarmente, de la figura 5.12 se tiene que:

4 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4' cos cos( ) cos( )Cx L L q L q q L q q q= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + (5.68) ∴


- 52 -

( )4 4 1 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4' cos cos cos( ) cos( ) cosC 1x x q L L q L q q L q q q= ⋅ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ q

1

(5.69)

(5.70) ( )4 4 1 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4' sin cos cos( ) cos( ) sinCy x q L L q L q q L q q q q= ⋅ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

(5.71) 4 2 2 3 2 3 4 2 3 4sin sin( ) sin( )Cz L q L q q L q q q= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + +

Figura 5.12. Localización del centro de masa de la falange distal

Para obtener el lagrangiano, es necesario calcular las energías cinéticas y potenciales del sistema [17]. A continuación se muestra el procedimiento que se tomó para calcular las energías cinéticas y potenciales del sistema.

• Cálculo de la energía potencial.

La energía potencial de la masa concentrada del i-esimo eslabón Ui(q) se calcula directamente de la siguiente ecuación:

( )i iU q m g xi= ⋅ ⋅ (5.72) Por tanto la energía potencial en cada centro de masa es:

1 1 1 1 1( ) ( cos )CU q m g x m g L q1= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (5.73)

( )( )2 2 2 2 1 2 2( ) cos cosCU q m g x m g L L q q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 1 (5.74)

( )( )3 3 3 3 1 2 2 3 2 3( ) cos cos( ) cosCU q m g x m g L L q L q q q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 (5.75)

( )4 4 4 4 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4( ) cos cos( ) cos( ) cosCU q m g x m g L L q L q q L q q q q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ 1 (5.76)


- 53 -

La energía potencial total del sistema es entonces: (5.77) 1 2 3 4( ) ( )TU q U q U q U q U q= + ( ) + ( ) + ( ) • Cálculo de la energía cinética. Como se considera la masa de cada eslabón concentrada en sus respectivo centro de masa, la energía cinética total se puede expresar como la suma de la energía cinética de traslación (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a través del espacio), más la energía cinética de rotación (que es la asociada al movimiento de rotación con cierta velocidad angular) [19]. La energía cinética de traslación del i-esimo eslabón se calcula mediante la siguiente fórmula:

212traslación i im vΚ = ⋅ (5.78)

Donde

i

i

m masa concentrada del i - esimo eslabónv velocidad de traslación de la masa concentrada del i - esimo eslabón

==

La energía cinética de rotación del i-esimo eslabón se calcula mediante la siguiente fórmula:

212rotación i iI wΚ = ⋅ (5.79)

Donde

i

i

I momento de inercia del i - esimo eslabón referido a su centro de masaw velocidad angular del i - esimo eslabón

==

Por tanto la energía cinética total del i-esimo eslabón se calcula como: ( , )iK q q&

21 1( , )2 2i i iq q m v I wΚ = ⋅ + ⋅& 2

i i (5.80)

Para simplificar el modelo, en el cálculo de la energía rotacional no se consideran los productos de momentos de inercias. Cuando se tienen dos movimientos de rotación en diferentes planos (abducción-aducción junto con flexión-extensión), se calcula la energía rotacional en cada plano de forma independiente, es decir, se calcula la energía rotacional debido al movimiento de abducción-aducción y posteriormente la energía debido al movimiento de flexión-extensión. La energía rotacional total es aproximada entonces a la suma de energías de los planos. Para conocer la velocidad de traslación y de rotación, se tiene que derivar con respecto al tiempo la posición y el ángulo, respectivamente.


- 54 -

( )

( )

( )

i

i

i i

i

i

d xdt

i

xdv ydt

zd zdt

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&

y (5.81) ( )i idw qdt iq= = & (5.82)

Derivando la posición del centro de masa de la base del efector para el movimiento de abducción se tiene: 1 1 1 sin( )C 1x L q q= − ⋅& & (5.83) 1 1 1 cos( )C 1y L q q= ⋅& & (5.84) 1 0z =& (5.85) Derivando la posición del centro de masa para la falange proximal resulta: ( )2 1 2 2 1 1 2 2 2cos( ) sin sin( ) cos( )C C 1x L L q q q L q q q= − + − ⋅& & & (5.86)

( )2 1 2 2 1 1 2 2 2cos( ) cos( ) sin( )sin( )C C 1y L L q q q L q q q= + − ⋅& & & (5.87) 2 2 2 cos( )Cz L q q2= ⋅ && (5.88) Derivando la posición del centro de masa para la falange medial se obtiene:

(5.89) ( )

( )(3 1 2 2 3 2 3 1 1

2 2 2 3 2 3 2 3 1

cos( ) cos( ) sin( )

sin( ) sin( ) cos( )C

C

x L L q L q q q q

L q q L q q q q q

= − + + +

− ⋅ + + +

& &

& & & )&

(5.90) ( )

( )( )3 1 2 2 3 2 3 1 1

2 2 2 3 2 3 2 3 1

cos( ) cos( ) cos( )

sin( ) sin( ) sin( )C

C

y L L q L q q q q

L q q L q q q q q

= + + +

− ⋅ + + +

& &

& & &

( )3 2 2 2 3 2 3 2 3cos( ) cos( )Cz L q q L q q q q= ⋅ + + +& & && (5.91) Derivando la posición del centro de masa para la falange distal se tiene:

( )( ) ( )( )

4 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 1 1

2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1

cos( ) cos( ) cos( ) sin( )

sin( ) sin( ) sin( ) cos( )C

C

x L L q L q q L q q q q q

L q q L q q q q L q q q q q q q

= − + + + + + +

− ⋅ + + + + + + + +

& &

& & & & & & (5.92)

( )

( ) ( )( )4 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 1 1

2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1

cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

sin( ) sin( ) sin( ) sin( )C

C

y L L q L q q L q q q q q

L q q L q q q q L q q q q q q q

= + + + + + +

− ⋅ + + + + + + + +

& &

& & & & & & (5.93)


- 55 -

( ) ( )4 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4cos( ) cos( ) cos( )Cz L q q L q q q q L q q q q q q= ⋅ + + + + + + + +& & & & & && (5.94)

Y recordando que [17]: 2 2 2T

i i i i iv v v x y z 2i= ⋅ = + +& & & (5.95)

Se obtienen entonces las energías cinéticas de cada centro de masa como:

2 2 21 1 1 1 1

1( , ) ( )2 2 zzq q m x y z I q1 1Κ = ⋅ + + + ⋅& & & & 21

& (5.96)

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1

1 1( , ) ( ) ( )2 2 yy zzq q m x y z I q I q2 2Κ = ⋅ + + + ⋅ + ⋅& & & && & (5.97)

2 2 2 2 23 3 3 3 2 3 3 1

1 1( , ) ( ) ( ( ) )2 2 yy zzq q m x y z I q q I q3 3Κ = ⋅ + + + ⋅ + + ⋅& & & & && & (5.98)

2 2 2 2 24 4 4 4 2 3 4 4 1

1 1( , ) ( ) ( ( ) )2 2 yy zzq q m x y z I q q q I q4 4Κ = ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅& & & & & && & (5.99)

donde

i yy

i zz

I momento de inercia del i - esimo eslabón en el eje "y" con respecto de su centro de masa

I momento de inercia del i - esimo eslabón en el eje "z" con respecto de su centro de masa

=

=

Por tanto la energía cinética total del sistema es: 1 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )q q q q q q q q q qΤΚ = Κ + Κ + Κ + Κ& & & & & (5.100) Una vez planteadas las ecuaciones de las energías cinéticas y potenciales, se procede a desarrollar el lagrangiano ; el cual se define como la diferencia entre la energía cinética y potencial, y viene dado por [17]:

( , )L q q&

( , ) ( , ) ( )T TL q q q q U q = Κ − & & (5.101) Desarrollando la ecuación (5.101), se tiene que el lagrangiano es:


2

4 2 3 2 2 2 3 4 2 3 2 3 2 2 32

4 2 4 2 2 2 3 4 4 2 4 2 3 2 2 3 42

4 2 4 2 4 2 2 3 4 4 3 4 2 2

cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

cos( )cos( ) cos( )cos( )

cos( ) cos( ) cos(C C

C C

L m L L q q q q m L L q q q q q

m L L q q q q q m L L q q q q q q

m L L q q q q q q m L L q q q

= ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

& & &

& & &

& & & 3 2 3 4

4 3 4 2 3 2 3 2 3 4 4 3 4 2 4 2 3 2 3 42

4 3 4 3 2 3 2 3 4 4 3 4 3 4 2 3 2 3 42

3 1 2 1 2

) cos( )2 cos( ) cos( ) cos( )cos( )

cos( )cos( ) cos( )cos( )

cos( )

C C

C C

q q qm L L q q q q q q q m L L q q q q q q q

m L L q q q q q q m L L q q q q q q q

m L L q q m

+ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

& & & &

& & &

& 2 23 1 3 1 2 3 3 2 3 1 2 2 3

23 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3

2 2 2 2 2 2 21 1 1 3 2 1 2 3 3 2 3 2 2 1 2

cos( ) cos( )cos( )

sin( )sin( ) sin( )sin( )1 1cos( ) cos( ) cos( )2 2

C C

C C

C C C

L L q q q m L L q q q q

m L L q q q q m L L q q q q q

m g L q m L q q m L q q m L q q

⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+

& &

& & &

& & & &

2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 3 4 3 2 4 3 3 1 1 4 1 1 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 4 3 3 2 2 4 2 2 4 4 2

4 2 3 2 3 2 2 3 4 2 4

1 1 1 1 12 2 2 2 2

1 1 1 1 12 2 2 2 2

sin( )sin( )

yy zz

C C C

C

I q q m L q m L q q I m L q m L q

m L q m L q m L q m L q m L q

m L L q q q q q m L L q

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅

& & & & & & &

& & & & &

& & &2 4 2 2 3 42

4 2 3 2 2 2 3 4 3 4 2 3 2 3 2 3 42

3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3

4 3 4 3 4 2 3 2

sin( )sin( )

sin( )sin( ) 2 sin( )sin( )

cos( ) cos( ) cos( )cos( )

sin( )sin(

C

C C

C

q q q q q

m L L q q q q m L L q q q q q q q


m L L q q q q q

⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +

&

& & &

& & &

& & 23 4 4 2 4 1 2 2 3 4

2 24 2 3 1 2 2 3 4 2 4 2 2 2 3 4

2 2 24 3 4 2 4 2 3 2 3 4 4 2 1 2

2 2 24 3 1 2 3 3

) cos( )cos( )

cos( )cos( ) sin( )sin( )1sin( )sin( ) cos( )2

1 1cos( )2 2

C

C

C

q q m L L q q q q q


m L L q q q q q q q m L q q

m L q q q I

+ + ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + +

&

& &

& & &

& 2 2 22 3 3 4 1 3 1 2 3

24 2 4 2 3 2 2 3 4 4 1 4 1 2 3 4

2 2 2 2 2 24 3 2 3 3 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2

2 2 23 3 1 2 3

1 cos( )2

sin( )sin( ) cos( )1 1 cos( )2 2

1 cos( )2

yy yy

C C

C C C

C

q I q m L L q q q

m L L q q q q q q m L L q q q q

m L q q m L q m L q m L L q q

m L q q q

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + +

& & &

& & &

& & &

& 24 3 4 2 2 3 2 3 4

2 24 3 4 1 2 3 2 3 4 4 1 2 1 2

2 2 2 24 3 4 3 2 3 2 3 4 4 4 2 3 4 4 4

2 2 2 23 1 1 3 3 3 4

sin( )sin( )

cos( )cos( ) cos( )1sin( )sin( )2

1 12 2

C

C

C C C

C C

m L L q q q q q q

m L L q q q q q q m L L q q

m L L q q q q q q m L q q m L q

m L q m L q m L

⋅ ⋅ ⋅ + + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

&

& &

& & & &

& & 2 2 2 24 2 4 4 4 1 2 3 4

2 2 24 4 3 4 2 2 2 1 4 3 4 2 1 1

23 1 1 4 1 1 4 2 4 3 2 3 4 2

2 24 3 4 4

1 cos( )2

1 1 cos( )2 2

1cos( ) cos( )2

1 12 2

C

C yy zz yy

yy yy yy

yy yy

q q m L q q q q

m L q q I q I q I q q m g L q

m g L q m g L q I q q I q q I q

I q I q

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ +

& & &

& & & & & &

& & & & &

& & 2 24 1 3 1 2 2 1 2

3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 2 1 2

4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4

1 1 cos( ) cos( )2 2

cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

zz zz C

C

C

I q I q m g L q q

m g L q q m g L q q q m g L q qm g L q q q m g L q q q q

⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + +

& &

(5.102)

- 56 -


- 57 -

Una vez obtenido el Lagrangiano se procede a desarrollar las ecuaciones de movimiento de Lagrange, ver referencia [17]. Las ecuaciones de movimiento de Lagrange, vienen dadas por:

( , ) ( , ) 1, 2,3,...i

d L q q L q q idt q q

τι

⎡ ⎤∂ ∂ − = =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

& &

& &n (5.103)

donde:

-Par ejercido externamente por el actuador de la -esima articulacióni iτ Desarrollando para i = 1, se obtiene:

( )( )

( )

2 2 2 2 2 21 1 1 2 3 4 2 2 2 3 3 2 3

2 2 2 2 24 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3

3 1 2 2 1 3 2 3 2 3 2 2 3

1 2 2 1 3 21

4

cos( ) cos( )

cos( ) cos( ) cos( )

2 cos( ) cos( ) cos( )cos( )

cos( ) cos(2

C C C

C

C C

m L L m m m m L q m L q q

m L q q q L m m q L m q q

m L L q L L q q L L q q q

L L q L L qm

τ

⋅ + + + + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + + + + + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

⋅ + ⋅ +=+

3 1 4 2 3 41

2 4 2 2 3 4 2 3 2 2 3

3 4 2 3 2 3 4

2 1 2 2 1 2 3 4

22 2 2

) cos( )cos( )cos( ) cos( )cos( )cos( )cos( )

2 cos( )

2 cos(

C

C

C

C zz zz zz zz

C

q L L q q q qL L q q q q L L q q qL L q q q q q

m L L q I I I I

m L q q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ + +⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⋅ + + + ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⋅ + + +⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− ⋅

+

&&

&( )( )

( )( )

2 2 1 2 2 2

2 3 2 2 2 3 1 3 2 3 2 3

3 2 3 2 3 2 2 3 1 2 2 2

2 23 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2

4

)sin( ) sin( )

sin( )cos( ) sin( )

2 cos( )sin( ) sin( )

cos( )sin( ) cos( )sin( )

2

C

C C

C

C

q L L q q

L L q q q q L L q q q q

m L L q q q q q L L q q

L q q q q q q L q q q

m

+ ⋅ ⋅

⎛ ⎞⋅ ⋅ + + ⋅ + +⎜ ⎟

− + ⋅ + + + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + ⋅⎝ ⎠

−

&

& & &

& & &

& & &

( )( )( )( )

2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3

2 4 2 3 4 2 2 3 4

21 4 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2

3 4 2 3 2 3 2 3 4

1 3 2 3

sin( )cos( ) cos( )sin( )

cos( )sin( )

sin( ) cos( )sin( )

sin( )cos( )( )s

C

C

C

L L q q q q L L q q q q q

L L q q q q q q q

L L q q q q q q L q q q

L L q q q q q q qL L q q

⋅ ⋅ + + ⋅ + +

+ ⋅ + + + +

+ ⋅ + + + + + ⋅

+ ⋅ + + + +

+ ⋅ +

& & &

& & &

& & & &

& &

& &

( )( )

( )

2 3 2 4 2 2 2 3 4

3 4 2 3 4 2 3 2 3 4

23 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4

23 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2

in( ) sin( )cos( )cos( )sin( )

cos( )sin( )

cos( )sin( ) sin( )

C

C

C

q q L L q q q q qL L q q q q q q q q

L L q q q q q q q q q

L q q q q q q L L q q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⋅ ⋅ + +⎜ ⎟

+ ⋅ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + + + + + +⎜⎜+ + + + + ⋅ ⋅⎝ ⎠

&

& & &

& & &

& & &

( )

1

1 2 3 4 1 1 2 2 2 3 3 2 3

4 4 2 3 4 3 2 2 4 2 2 1

4 3 2 3

cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( ) sin( )

cos( )

C C C

C

q

L m m m m L m L q m L q qm L q q q m L q m L q g qm L q q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎡ ⎤⎢ ⎥

− + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ +⎣ ⎦

&

2

(5.104)


Desarrollando para i = 2, se tiene que:

( )

( )

2 2 22 2 3 2 3 3 3 2

2 22 4 2 3 3 3 4 4

2 4 222 4 3 4 3

2 3 4

23 3 2 3 3 3 4

24 3 4 4 2 3

4

2 cos( )

2 cos( ) 2 cos( )

2 cos( )

cos( )

2 cos( )

C C C

C C

C

yy yy yy

C C yy yy

C C

m L m L L q L L

L L L L q L L qm q

L L q q LI I I

m L L L q I I

L L L q L Lm

τ

⎡ ⎤⋅ + ⋅ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞+ + ⋅ + ⋅

= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ ⋅ + +

+ + ⋅ + ⋅+

&&

( )( )( )

( )

332

2 4 3 4 3

24 3 4 4 2 4 3 4 4 4 4

3 2 3 4 2 3 2 2 3 2 2 3

2 2 24 2 2 2 3 2 2 2

4

cos( )

cos( )

cos( ) cos( )

sin( ) cos( ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

C

C C C yy

C

C

qq

L L q q L

m L L q L L q q L I q

m L L m L L q q q q q q

m L m L m L q q

m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⋅ + ⋅ + + +⎣ ⎦

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅

+

&&

&&

( )( )( )

( )

1 2 3 1 2 2 1 2 2

2 24 3 3 3 2 3 2 3

4 1 3 3 1 3 2 3

4 2 4 2 2 3 4 2 2 3 4

24 4 2 3 4 2 3 4

4 1 4 2 3

sin( )

cos( )sin( )

sin( )

sin( ) cos( ) cos( )sin( )

cos( )sin( )sin(

C

C

C

C

C

C

L L m L L m L L q

m L m L q q q q

m L L m L L q q

m L L q q q q q q q q

m L q q q q q qm L L q q

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + + + + +

+ ⋅ + + + ++ ⋅ ⋅ + +

( )

1 1

4

4 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4

3 2 3 3 3

2 4 4 3 4 2 3 3 34

2 4 3 3 4 3 4 4

)sin( ) cos( ) cos( )sin( )

2 sin( )sin( ) sin( )

2sin( ) sin

C

C

C

C C

q q

qm L L q q q q q q q q q q

m L L q qL L q q q L L q q

mL L q q q L L q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦− ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅−

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

& &

&

& &

& &

( )

2

4

3 2 3 3 3

3 4 4 4 2 4 3 3 4 34

2 3 3 3 2 4 4 3 4

4 3 4 4 4 2 4 4 3 4 4

2

( )

sin( )2 sin( ) sin( )

sin( ) 2 sin( )

sin( ) sin( )

C

C C

C

C C

C

qq

m L L q qL L q q L L q q q q

mL L q q L L q q q

m L L q q L L q q q q

m L

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦− ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤

⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎝ ⎠⎣ ⎦+ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦

⋅−

&

&

& & &

& &

& & &

( ) ( )2 3 2 4 2 2 3 3 4 3 2 31

4 4 2 3 4

sin( ) sin( )cos( )

sin( )C

C

m L m L q m L m L q qg q

m L q q q+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎡ ⎤

⋅ ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + +⎣ ⎦

(5.105)

- 58 -


- 59 -

Desarrollando para i = 3, se tiene que:

2 2 23 2 3 3 3 3 4 4 4 3 4 2 3 3

3 24 3 4 4 4 2 4 3 4 3 4

2 2 23 3 4 4 4 3 4 3 4 4 3 4 3

24 4 4 3 4

cos( ) cos( )2 cos( ) cos( )

2 cos( )

cos(

C C C

C C yy yy

C C C yy yy

C C

m L L q m L m L m L m L L qq

m L L q m L L q q I I

m L m L m L m L L q I I q

m L m L L q

τ⎡ ⎤⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

= ⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + +⎣ ⎦

+ ⋅ + ⋅ ⋅

&&

&&

4 4 4

3 2 3 4 2 3 2 2 3

3 1 3 4 1 3 2 3

2 23 3 4 3 2 3 2 3

24 4 2 3 4 2 3 4

4 2 4 2 2 3 4

4 1 4

)

( )cos( )sin( )( )sin( )

( )cos( )sin( )

cos( )sin( )cos( )sin( )sin(

yy

C

C

C

C

C

C

I q

m L L m L L q q qm L L m L L q q

m L m L q q q q

m L q q q q q qm L L q q q qm L L q

⎡ ⎤+⎣ ⎦⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + +

+ + ⋅ + + + +

+ ⋅ ⋅ + ++ ⋅ ⋅

&&

( )

1 1

2 3 4

4 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4

4 3 4 4 4 3 2 3 2 3 4 2 3 2 32

4 2 4 2 3 4

4

)sin( )cos( ) cos( )sin( )

2 sin( ) sin( ) sin( )sin( )

2

C

C C

C

q q

q qm L L q q q q q q q q q q

m L L q q m L L q q m L L q qq

m L L q q q

m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤

+ ⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ ⋅ +⎣ ⎦+ − ⋅ ⋅

& &

& & &&

&

[ ] [ ][ ]

3 4 4 4 3 4 3 4 4 4 4

3 3 2 3 4 3 2 3 4 4 2 3 4 1

sin( ) sin( )

sin( ) sin( ) sin( ) cos( )C C

C C

L L q q q m L L q q q

m L q q m L q q m L q q q g q

⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅

& & & & (5.106)

Desarrollando para i = 4, se obtiene que:

24 4 3 4 4 4 4 4 2 4 3 4 4 2

2 24 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 4

24 2 3 4 2 3 4 2 4 2 2 3 4

41 4 2 3 4

cos( ) cos( )

cos( )

cos( )sin( ) cos( )sin( )sin( )

C C C yy

C C yy C yy

C C

C

m L L q m L m L L q q I q

m L m L L q I q m L I q

L q q q q q q L L q q q qm

L L q q q

τ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + +⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ + + + + ⋅ + ++

+ ⋅ + + +

&&

&& &&

[ ][ ] [ ]

1 13 4 2 3 2 3 4

4 3 4 2 4 4 3 4 3 4 4 2 4 2 3 4 2

4 3 4 3 4 3 4 4 2 3 4 1

cos( )sin( )

sin( ) 2 sin( ) sin( )

sin( ) sin( ) cos( )

C

C C C

C C

q qL L q q q q q

m L L q q m L L q q m L L q q q q

m L L q q q m L q q q g q

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⋅ + + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅

& &

& & &

& &

&

1 1

2 2

3

4

gggg

(5.107)

Las ecuaciones (5.104), (5.105), (5.106) y (5.107) se pueden representar matricialmente como:

11 12 13 14 11 12 31 411 1

21 22 23 24 21 22 23 242 2

31 32 33 34 31 32 33 343 3

41 42 43 44 41 42 43 444 4

M M M M C C C Cq qM M M M C C C Cq qM M M M C C C Cq qM M M M C C C Cq q

τττ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&& &

&& &

&& &

&& &3

4

+ =

τ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.108)


- 60 -

En forma compacta la ecuación (5.108) se tiene: ( ) ( , ) ( )M q q C q q q g q τ + + = && & & (5.109) Donde M(q) es llamada matriz de inercia y está dada por:

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

( )

M M M MM M M M

M qM M M MM M M M

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.110)

La matriz es la matriz de fuerzas centrífuga y de Coriolis y está dada por: ( , )C q q &

11 12 31 41

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

( , )

C C C CC C C C

C q qC C C CC C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

& (5.111)

El vector de gravedad es: ( )g q

1

2

3

4

( )

gg

g qgg

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.112)

Por otro lado, es necesario agregar a la ecuación (5.108) y (5.109) el par debido al resorte en cada una de las falanges. Retomando el valor de la fuerza del resorte de la ecuación (4.3) se tiene que: 1RF k x k r θ = + (5.113) Para el par del resorte para una radio de polea r y utilizando la nomenclatura de las coordenadas generalizadas “q” se tiene que: 2

1R RT F r k r x k r q = = + (5.114) Tomando en cuenta que la posición inicial es de 0° para todas las articulaciones, y que la tensión inicial del resorte para el movimiento de aducción es cuando se tiene la posición de -15° (π/12 rad), el par ejercido por los resortes en las articulaciones para los movimientos de la base, la falange proximal, medial y distal son, respectivamente: 2

1)R a a a aT k r x k r qπ 12 = + ( + (5.115)

22R p p p pT k r x k r q = + (5.116)

23R m m m mT k r x k r q = + (5.117)


- 61 -

24R d d d dT k r x k r q = + (5.118)

donde: ka, kp, km y kd son las constantes de los resortes para la base, la falange proximal, medial y distal respectivamente. xa, xp, xm y xd, son las deformaciones iniciales de los resorte de la base para el movimiento de abducción-aducción, la falange proximal, medial y distal, respectivamente. El radio de la polea es r y es la misma para las cuatro articulaciones. Por tanto el vector de pares debido los resortes TR(q) es:

R a

R pR

R m

R d

TT

TTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.119)

Incorporando la ecuación (5.119) en la ecuación (5.108), se tiene:

11 12 13 14 11 12 31 411 1 1

21 22 23 24 21 22 23 242 2 2

31 32 33 34 31 32 33 343 3 3

41 42 43 44 41 42 43 444 4 4

Ra

R

M M M M C C C C Tq q gM M M M C C C C Tq q gM M M M C C C Cq q gM M M M C C C Cq q g

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&& &

&& &

&& &

&& &

1

2

3

4

p

Rm

Rd

TT

ττττ

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

⎤

⎥(5.120)

y en forma compacta la ecuación (5.120) se presenta como: ( ) ( , ) ( ) RM q q C q q q g q T q τ + + + ( ) = && & & (5.121) La ecuación (5.121) representa el modelo dinámico del efector, en el cual no se toman en cuenta los efectos de la fricción y productos de momentos de inercia. A continuación se muestra los valores de los elementos de la matriz de inercia M, de la matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis C, así como del vector de pares gravitacionales g.

• Elementos de la matriz de inercias M.

2 2 2 2 2 211 1 1 1 2 3 4 2 2 2 3 3 2 3

2 2 2 2 2 24 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3

3 1 2 2 1 3 2 3 2 3 2 2 3

4 1

( ) cos ( ) cos (

cos ( ) ( ) cos ( ) cos ( )2 ( cos( ) cos( ) cos( ) cos( ))2 (

C C C

C

C C

M m L L m m m m L q m L q q

m L q q q L m m q L m q qm L L q L L q q L L q q qm L

= ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ 2 2 1 3 2 3 1 4 2 3 4

2 4 2 2 3 4 2 3 2 2 3

3 4 2 3 2 3 4 2 1 2 2 1

2 3 4

cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( )) 2 cos( )

C

C

C C

zz zz zz

L q L L q q L L q q qL L q q q q L L q q qL L q q q q q m L L q II I I

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ++ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ++ + +

)

zz

(5.122)

12 0M = (5.123)

13 0M = (5.124)

14 0M = (5.125)


- 62 -

21 0M = (5.126)

2 2 222 2 2 3 2 3 3 3 2 4 2 4

22 3 3 3 4 4 2 4 3 4 3

2 3 4

(2 cos( ) ) (

2 cos( ) 2 cos( ) 2 cos( ) )C C C C

C C

yy yy yy

M m L m L L q L L m L L

L L q L L q L L q q LI I I

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ++ + +

2 2

y yy

(5.127)

2 223 3 3 2 3 3 4 4 3 4 4

22 3 3 2 4 3 4 3 3 4

( cos( )) ( 2 cos( )

cos( ) cos( ) )C C C C

C y

M m L L L q m L L L q

L L q L L q q L I I

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + + (5.128)

224 4 3 4 4 2 4 3 4 4 4( cos( ) cos( ) )C C C yyM m L L q L L q q L I= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + (5.129)

31 0M = (5.130)

2 232 3 2 3 3 3 3 4 4 4 3

4 2 3 3 4 3 4 4

4 2 4 3 4 3 4

cos( )cos( ) 2 cos( )cos( )

C C C

C

C yy yy

2M m L L q m L m L m Lm L L q m L L qm L L q q I I

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + +

(5.131)

2 2 233 3 3 4 4 4 3 4 3 4 4 3 42 cos( )C C C yy yyM m L m L m L m L L q I I= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + (5.132)

234 4 4 4 3 4 4 4cos( )C C yyM m L m L L q I= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + (5.133)

41 0M = (5.134)

242 4 3 4 4 4 4 4 2 4 3 4 4cos( ) cos( )C C C yyM m L L q m L m L L q q I= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + (5.135)

243 4 4 4 3 4 4 4cos( )C C yyM m L m L L q I= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + (5.136)

244 4 4 4C yyM m L I= ⋅ + (5.137)

• Elementos de la matriz de fuerzas centrífugas y de coriolis C.

211 2 2 2 2 2 1 2 2 2

3 2 3 2 2 2 3 1 3 2 3 2 3

22 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3

22 2

2 ( cos( ) sin( ) sin( ))2 ( sin( ) cos( ) ( ) sin( )

( ) cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( )

C C

C C

C C

C m L q q q L L q qm L L q q q q L L q q q q

L L q q q q q L q q q q q q

L q

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅

& &

& & &

& & & &

& 2 2 1 2 2 2

4 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3

2 4 2 3 4 2 2 3 4 1 4 2 3 4 2 3 4

3 4 2 3

cos( ) sin( ) sin( ))2 ( sin( ) cos( ) ( ) cos( ) sin( )

( ) cos( ) sin( ) ( ) sin(( )

C C

C

q q L L q qm L L q q q q L L q q q q q

L L q q q q q q q L L q q q q q qL L q q

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ +

&

& & &

& & & & & &

& & 2 3 2 3 4 1 3 2 3 2 3

3 4 2 3 4 2 3 2 3 4 2 4 2 2 2 3 4

2 22 2 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2

sin( ) cos( ) ( ) sin( )( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin(C C

C

q q q q q L L q q q q)

L L q q q q q q q q L L q q q q q

L q q q L L q q q q q q q q

⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

& &

& & & &

& & & & 3 4

23 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2

)

( ) cos( ) sin( ) sin( ))

q

L q q q q q q L L q q

+

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅& & &

(5.138)

12 0C = (5.139)

13 0C = (5.140)

14 0C = (5.141)


- 63 -

21 3 2 3 4 2 3 2 2 3 2 2 3

2 2 24 2 2 2 3 2 2 2

4 1 2 3 1 2 2 1 2 2

2 24 3 3 3 2 3 2 3

4 1 3 3

[( ) (sin( ) cos( ) cos( ) sin( ))

( ) (cos( ) sin( ))( ) sin( )

( ) (cos( ) sin( ))(

C

C

C

C

C m L L m L L q q q q q q

m L m L m L q qm L L m L L m L L q

m L m L q q q qm L L m

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ++ ⋅ ⋅ + ⋅ 1 3 2 3

4 2 4 2 2 3 4 2 2 3 42

4 4 2 3 4 2 3 4

4 1 4 2 3 4 4 3 4 2 3 2 3 4

2 3 2 3 4

) sin( )(sin( ) cos( ) cos( ) sin( ))

cos( ) sin( )sin( ) (sin( ) cos( )

cos( ) sin( ))]

C

C

C

C C

L L q qm L L q q q q q q q q

m L q q q q q qm L L q q q m L L q q q q q

q q q q q q

⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ++ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ++ + ⋅ + + ⋅ &1

(5.142)

22 3 2 3 3 3 4 2 4 4 3 4 2 3 3 3

2 4 3 3 4 3 4 4 4

2 sin( ) 2 ( sin( ) sin( )sin( ) sin( ))

C C

C C

C m L L q q m L L q q q L L q qL L q q q L L q q

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅

& &

& &

&

))

sin( )q&

sin( )q

4

(5.143)

23 3 2 3 3 3 4 3 4 4 4 2 4 3 3 3

2 3 3 3 2 4 4 3 4

sin( ) (2 sin( ) sin( )sin( ) 2 sin( ))C C C

C

C m L L q q m L L q q L L q q qL L q q L L q q q

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

& & &

& & (5.144)

24 4 3 4 4 4 2 4 4 3 4( sin( ) sin(C CC m L L q q L L q q q= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +& & (5.145)

31 3 2 3 4 2 3 2 2 3

3 1 3 4 1 3 2 3

2 23 3 4 3 2 3 2 3

24 4 2 3 4 2 3 4

4 2 4 2 2 3 4

4 1 4

[( ) (cos( ) sin( ))( ) sin( )

( ) (cos( ) sin( ))

cos( ) sin( )cos( ) sin( )si

C

C

C

C

C

C

C m L L m L L q q qm L L m L L q q

m L m L q q q q

m L q q q q q qm L L q q q qm L L

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ++ ⋅ ⋅ ⋅ 2 3 4

4 3 4 2 3 2 3 4

2 3 2 3 4 1

n( )(sin( ) cos( )

cos( ) sin( ))]C

q q qm L L q q q q q

q q q q q q

+ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ++ + ⋅ + + ⋅ &

(5.146)

32 4 3 4 4 4 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3

4 2 4 2 3 4

2 sin( ) sin( )sin( )

C C

C

C m L L q q m L L q q m L L qm L L q q q

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

& &

& (5.147)

33 4 3 4 4 42 CC m L L q= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅& (5.148)

34 4 3 4 4 4sin( )CC m L L q q= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅& (5.149)

241 4 4 2 3 4 2 3 4 2 4 2 2 3

1 4 2 3 4 3 4 2 3 2 3 4 1

[ ( cos( ) sin( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( ) sin( )]

C C

C C

C m L q q q q q q L L q q q qL L q q q L L q q q q q q

= ⋅ ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ & (5.150)

42 4 3 4 2 4 4 3 4 3 4 4 2 4 2 3 4sin( ) 2 sin( ) sin( )C C CC m L L q q m L L q q m L L q q q= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +& & & (5.151)

43 4 3 4 3 4sin( )CC m L L q q= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅& (5.152)

44 0C = (5.153)


- 64 -

• Elementos del vector de pares gravitacionales g.

1 1 2 3 4 1 1 2 2 2 3 3 2 3

4 4 2 3 4 3 2 2 4 3 2 3

4 2 2 1

[ ( ) cos( ) cos(cos( ) cos( ) cos( )

cos( )] sin( )

C C C

C

g L m m m m L m L q m L q qm L q q q m L q m L q qm L q g q

= − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

)

3

1

(5.154)

2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 4 3 2

4 4 2 3 4 1

[( ) sin( ) ( ) sin( )sin( )] cos( )

C C

C

g m L m L m L q m L m L q qm L q q q g q

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

(5.155)

3 3 3 2 3 4 3 2 3 4 4 2 3 4[ sin( ) sin( ) sin( )] cos( )C Cg m L q q m L q q m L q q q g q= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ (5.156)

4 4 4 2 3 4 1sin( ) cos( )Cg m L g q q q q= − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ (5.157) 5.3. Control del Efector

Una vez desarrollado el modelo dinámico del efector, se procede a implementar leyes de control para llevar a cabo el control de posición pura. Debido a que el objetivo de este trabajo no es diseñar controladores, se utilizaron dos leyes de control que son ampliamente conocidas y utilizadas: el controlador proporcional derivativo (PD) y el controlador proporcional integral derivativo (PID). Se ha enfoca exclusivamente al control de posición pura, esto es, la trayectoria especificada en el espacio de trabajo es simplemente un punto. Para cada uno de los algoritmos de control, se desea una posición deseada qd constante y se trata de determinar una función vectorial τ , llamada ley de control, de tal manera que se llegue a la posición deseada [17]. Por tanto, el objetivo de control de posición pura cosiste en determinar τ de tal forma que: lim ( ) dt

q t q→∞

= (5.158)

5.3.1. Control PD

La ley de control PD viene dada por [17]: p vK q K qτ = + &% % (5.159) Donde el vector del error de posición está dado por: dq q q = − % (5.160) y q es el vector de posición articular. Además, como qd es constante, se tiene que:


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q q = −&% & (5.161) Entonces la ley de control de la ecuación (5.159) se convierte en: )p d vK q q K qτ = ( − − & (5.162) Sustituyendo la ecuación (5.162) en la ecuación (5.121) se tiene: ( ) ( , ) ( ) )R p d vM q q C q q q g q T K q q K q + + + = ( − − && & & & (5.163) La ecuación (5.163) es la ecuación de malla cerrada bajo control PD donde las matrices Kp y Kv son matrices simétricas definidas positivas y denominadas ganancia de posición y velocidad, respectivamente.

5.3.2. Control PID

La ley de control PID puede expresarse por medio de las ecuaciones siguientes [17]: p vK q K q iτ ξ = + + Κ&% % (5.164) donde: qξ = & % (5.165) Y nuevamente, sustituyendo la ecuación (5.160) y (5.161) en la ecuación (5.164) se tiene: )p d v iK q q K qτ ξ = ( − − + Κ& (5.166) donde: dq qξ = − & (5.167) Por último, sustituyendo la ecuación (5.166) en la ecuación (5.121) se obtiene: ( ) ( , ) ( ) )R p d v iM q q C q q q g q T K q q K q ξ + + + = ( − − + Κ&& & & & (5.168) La ecuación (5.168) es la ecuación de malla cerrada bajo control PID donde las matrices Kp, Kv y Ki son matrices simétricas definidas positivas y denominadas ganancias proporcional, derivativa e integral, respectivamente.


5.3.3. Simulación de los Controladores Para simular el control y el modelo dinámico del efector, se desarrolló un programa en Simulink, el cual consta de dos etapas. En la primera etapa se lleva a cabo la cinemática inversa, es decir, dadas las coordenadas rectangulares de la posición final del extremo del efector, se obtienen a través de la cinemática inversa, las posiciones articulares (qd) necesarias para llegar a ese punto. En la segunda etapa, una vez conocidas las posiciones articulares deseadas, se lleva a cabo el control en base al modelo dinámico obtenido. En la figura 5.13 se muestra el programa desarrollado, el cual en el bloque del controlador se tiene programado una ley de control PID. Obsérvese que si las ganancias integrales del controlador son iguales a cero, se tiene entonces un controlador PD. Los parámetros físicos del efector utilizados para la simulación se muestran en el anexo 5. La sintonización de dichos controladores se llevó a cabo mediante prueba y error hasta alcanzar que se cumpla con el objetivo de control en cada falange.

Figura 5.13. Programa que vincula la cinemática inversa con el control del efector

Se realizó la corrida del programa para simular el controlador PD y PID, con los parámetros y ganancias tal y como se muestran en la Figura 5.13, Kp = 100, Kv = 1 y Ki = 1 para todas las articulaciones, con el entendido que para simular el control PD, las ganancias integrales Ki fueron igual a cero. Los resultados obtenidos de estas simulaciones fueron satisfactorios para ambos controladores y se muestran en la figura 5.14 y figura 5.15. Como se observa de la figura 5.14, el control PD cumplió satisfactoriamente con el objetivo de control en las cuatro articulaciones en un tiempo de aproximadamente 0.095 seg. Por otra parte, el controlador PID también cumplió con su objetivo de control exitosamente, aunque

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éste lo hizo de forma más rápida que el controlador PD, aproximadamente 0.085 seg, ver figura 5.15. Cabe mencionar, que estos tiempos son ideales ya que el modelo desarrollado esta basado únicamente en el efector (dedo mecánico) y no se toma en cuenta la dinámica de los demás elementos del sistema como lo son el músculo neumático, las electroválvulas, las válvulas reguladoras de flujo, entre otros.

Figura 5.14. Resultados de la simulación del controlador PD

Figura 5.15. Resultados de la simulación del controlador PID


En las tablas 5.2, 5.3, 5.4 y 5.5 se tienen los índices de desempeño para los controladores PD y PID [20]. Los índices de desempeño usados se definen en el anexo 6.

Tabla 5.2. Índices de desempeños para el movimiento de abducción ISE IAE ITAE CE PD 0.0003546 0.002667 4.984x10-5 0.000579 PID 0.0003545 0.002641 3.669x10-5 0.000579

Tabla 5.3. Índices de desempeños para la falange proximal. ISE IAE ITAE CE PD 0.002625 0.007189 7.733x10-5 0.002568 PID 0.002625 0.007223 9.854x10-5 0.002533

Tabla 5.4. Índices de desempeños para la falange medial ISE IAE ITAE CE PD 0.001049 0.004574 5.463x10-5 0.0003109 PID 0.001049 0.004612 7.684x10-5 0.0003109

Tabla 5.5. Índices de desempeños para la falange distal. ISE IAE ITAE CE PD 8.742x10-10 8.524x10-6 2.269x10-6 4.496x10-6 PID 8.741x10-10 8.507x10-6 2.256x10-6 4.496x10-6

Como se observa en las tablas 5.2, 5.3, 5.4 y 5.5 ambos controladores tienen índices de desempeño muy parecidos y cumplen con el objetivo de control. Con estos resultados, no es posible discernir cuál es el mejor controlador para ésta aplicación. Sin embargo, se ha elegido usar el controlador PID para la implementación en hardware, debido a que es posible obtener un control PD a través de un control PID al poner en cero las ganancias integrales.

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CAPÍTULO 6 Diseño Electrónico y Programación del Efector


Una vez que se diseñó, modelo (junto con el desarrollo de las correspondientes leyes de control y sus simulaciones) y construyó el efector, es necesario entonces diseñar e implementar el hardware necesario para llevar a cabo el control de posición pura del efector construido. Por tanto, en el presente capítulo se detalla primero cómo lleva a cabo el sensado de la posición de las falanges del efector utilizando sensores de efecto Hall. Posteriormente se aborda la programación del control en el FPGA y la interfase realizada para el monitoreo y control del efector, así como el esquema eléctrico para el accionamiento de las electroválvulas. Por último se describe cómo se lleva a cabo la integración de todo el sistema para realizar el control de posición pura.

6.1. Sensado de Posición El sensado de la posición angular de cada articulación y por lo tanto de cada falange, se lleva a cabo mediante el circuito integrado MLX90361 de la marca MELEXIS, el cual es un sensor de efecto Hall. El sensor de efecto Hall es sensible a la densidad de flujo de un campo magnético coplanar a la superficie del integrado. Éste contiene internamente circuitos que nos proporcionan un voltaje proporcional a la dirección del campo magnético. Por tanto, para utilizar dicho sensor es necesario montar en el eje de cada articulación un imán que proporcione dicho campo magnético. De esta forma al girar el eje, y por tanto al imán, hay un cambio en la dirección del campo magnético el cual es detectado por el sensor. Para mayor información acerca del sensor de efecto Hall utilizado ver el anexo 7. La figura 6.1 muestra la idea de aplicación el sensor de efecto Hall para medir la posición angular de un eje. El sensor se coloca en una tarjeta de circuito impreso tal y como lo muestra la figura 6.2. En el eje se incrusta un imán de Samario-Cobalto (orientación del imán a través del diámetro). Al girar al eje, gira el imán y el sensor detecta el cambio de dirección de flujo magnético proporcionando un voltaje de salida.

cenidet Capítulo 6. Diseño Electrónico y Programación del Efector

Figura 6.1. Sensor de efecto Hall

Figura 6.2. Montaje del sensor de posición de efecto Hall

La salida que proporciona este sensor es un voltaje continuo y proporcional a la posición angular del imán, y por tanto del eje, que va desde 0.5 V hasta 4.5 V para un rango de 0° a 360°. Debido a que solo se utiliza una variación máxima de 90°, se tiene sólo una variación de 1 V en la salida del sensor. Por consiguiente, la señal de salida del sensor es llevada a una tarjeta de acondicionamiento de señal (Ver figura 6.3), en donde es amplificada en un factor de 3.1 por un amplificador operacional LM324 y posteriormente filtrada mediante un arreglo RC. Para mayor información del amplificador operacional utilizado ver el anexo 8.

LM324

+3

-2

V+4

V-11

OUT1

1K ohm

470 ohm

+ R

10k ohm

C100nF

+

-

Vout

-

Vin

(Señal Acondicionada)(Señal del Sensor)

Figura 6.3. Acondicionamiento de la señal de los sensores de posición

Cabe mencionar que el FPGA solo admite señales de entrada de 0 a 10V, por lo tanto es necesario calibrar la posición inicial del imán que está montado sobre la articulación, para que el voltaje de trabajo amplificado no sea mayor a los 10V cuando el imán tenga un desplazamiento angular de 90° con respecto a su posición inicial.

6.2. Programación del FPGA Un FPGA (del inglés Field Programmable Gate Array) es un dispositivo semiconductor que contiene bloques de lógica cuya interconexión y funcionalidad se puede programar. La lógica programable puede reproducir desde funciones tan sencillas como las llevadas a cabo por una compuerta lógica o un sistema combinacional, hasta complejos sistemas en un circuito integrado.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Semiconductor

http://es.wikipedia.org/wiki/Puerta_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_combinacional


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Como se ha elegido que la implementación en hardware del control de la posición de cada articulación sea por medio de un control PID en tiempo real, el uso de una arquitectura de procesamiento basada en FPGA´s es justificable debido a su paralelismo y rapidez de procesamiento (25nseg). Así, se pueden realizar todos los cálculos matemáticos necesarios para la adquisición de datos y accionamientos de las electroválvulas (de acuerdo al programa de control) con el objetivo de poder mover, así lo requiere, todas las articulación al mismo tiempo y alcanzar una posición deseada. El FPGA utilizado fue el NI 7831R de la marca National Instruments. El programa de control cargado en el FPGA, compara la posición actual con la posición deseada, y elige qué electroválvula es necesario actuar, ya sea para aumentar la presión en el músculo, para liberarla o mantenerla. Por otra parte, a través del PID se determina el tiempo en que va estar activada la electroválvula adecuada según sea el caso. Con esto el programa tiene como salidas señales digitales con ancho de pulsos modulados (PWM por sus siglas en inglés). Cabe mencionar, que para la sintonización de las ganancias del controlador PID implementado, se intentó utilizar los 2 métodos de sintonización de Ziegler-Nichols [21], pero debido a que el FPGA usado solo admite números enteros no fue posible implementar los valores obtenidos, por lo que estos métodos solo sirvieron como punto de inicio para sintonizar el controlador mediante prueba y error. Por otro lado, en la práctica, cuando el error de posición es pequeño, el controlador PID llega a dar como salidas anchos de pulsos de muy poca duración, los cuales tienen un tiempo mucho menor al tiempo mínimo de accionamiento de las electroválvulas. Por tal motivo se implementó un control on-off con anchos de pulso constantes, el cual entra en funcionamiento cuando el error es pequeño. Además también el programa cargado en el FPGA tiene la opción de introducir una franja de error, es decir, cuando el valor de la posición esté dentro de unos valores definidos, el control mantiene dicha posición sin accionar ninguna electroválvula, dando como entendido que el valor real está dentro de un error permitido. Esto último es de ayuda cuando se tiene una variación en la señal del sensor debido a ruido. En la figura 6.4, se muestra el funcionamiento del programa de acuerdo al valor del error.

Figura 6.4. Funcionamiento del programa según su error de posición


Como se observa en la figura 6.4, cuando el error de posición es grande el control PID actúa, y cuando el error es pequeño el control on-off entra en función desactivando el control PID; pero cuando el error está dentro de la franja de error permitido (franja verde) no se realiza ninguna acción y se mantiene entonces la presión constante en el músculo y por tanto la posición del efector. El programa cargado en el FPGA consta básicamente de subprogramas que contienen un ciclo “FOR”, el cual cada cierto periodo realiza la comparación de la posición real con la deseada y decide qué control utilizar y electroválvula actuar; para posteriormente, obtener el tiempo de activación de las electroválvulas, todo esto para cada falange, ver figura 6.5. Este subprograma se replica para el movimiento de extensión y flexión cada falange y para el movimiento de abducción-aducción. En la figura 6.6 se observa los subprogramas de control para la falange proximal y para el movimiento de abducción, mientras que en la figura 6.7 se observan los subprogramas de control de las falanges medial y distal; cada subprograma es en esencia una réplica del subprograma mostrada en la figura 6.5.

Figura 6.5. Subprograma de control para una falange

Otras cualidades del programa cargado en el FPGA es que se puede ajustar el tiempo de muestreo de la FPGA, así como el tiempo de trabajo en que se repiten los ciclos de los subprogramas (frecuencia de trabajo), además de ajustar los valores para la franja del error permitido y la franja de accionamiento del control on-off.

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Figura 6.6. Subprogramas para el control de la falange proximal y el movimiento de abducción

Figura 6.7. Subprogramas para el control de las falanges medial y distal

6.3. Interfaz Gráfica con la PC Una vez que se graba el programa sobre la FPGA, esta trabaja independiente de la PC, por lo cual la PC sólo sirve para monitorear el funcionamiento de la FPGA, así como para variar los parámetros de control, como son las ganancias del PID, la franja de error permitido, la franja de accionamiento del control on-off, entre otros. Para lograr este monitoreo y/o control del efector se realizó un programa en Labview, el cual trabaja únicamente en la PC utilizando la plataforma Windows. Este programa consta de un ciclo “for” que contiene bloques de llamadas al FPGA, en donde se adquieren y/o introducen datos desde y hacia la FPGA.


Una desventaja ya mencionada de la FPGA utilizada es que maneja solo números enteros, y en el caso de la adquisición de señales, los números que se manejan van desde un rango -32,767 que corresponde a -10V hasta 32,767 que corresponde a +10V. Debido a esto, es necesario realizar una conversión para saber a cuánto equivale el número mostrado por el FPGA en volts y por tanto en grados. Para que la comparación llevada a cabo en el FPGA de la posición real con la deseada (setpoint) sea correcta, se tiene que llevar a cabo la conversión de grados a un número equivalente al manejado por el FPGA. Estas operaciones se llevan a cabo en el programa realizado en la PC, de tal forma que el manejo de los datos en la interfaz sea en un ambiente cómodo al introducir y/o leer valores comunes como son los grados. En la figura 6.8 se muestra la interfase gráfica del control y monitoreo del efector a través de la PC.

Figura 6.8. Interfaz gráfica para el monitoreo y control del efector

6.4. Accionamiento de las Electroválvulas Los elementos que controlan la entrada y salida de aire a los músculos son las electroválvulas. Así que una vez que se tienen señales de salida digitales con PWM en el FPGA, hay que utilizar dichas señales para controlar las electroválvulas. En la figura 6.9 se muestra el circuito eléctrico utilizado para controlar a las electroválvulas mediante las salidas digitales con PWM que proporciona el FPGA. Debido a que las señales de salida digitales con PWM que proporciona la FPGA no proporcionan la suficiente corriente para activar a los transistores, es necesario el uso de buffers (MC14050B) como elemento de acondicionamiento de las señales y posteriormente una resistencia para limitar la corriente de dichas señales ya acondicionadas, tal y como se muestra en la figura 6.9. Cada vez que se manda un pulso a través del FPGA, éste activa a un transistor que cierra el circuito de accionamiento de una electroválvula. Para mayor información del buffer y el transistor utilizado ver anexos 9 y 10, respectivamente.

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Figura 6.9. Esquema eléctrico de control de las electroválvulas.

De la misma forma esta acción se lleva a cabo para accionar las 8 electroválvulas que controlan la entrada y salida de aire a los 4 músculos neumáticos que utiliza el efector. En el anexo 11 se muestra el esquema neumático de control de suministro de aire a los 4 músculos.

6.5. Lazo de Control del Sistema

En la figura 6.10 se muestra el flujo de las señales que se manejan para poder posicionar al dedo robótico. En primer lugar la posición de las falanges es sensada directamente de las articulaciones por medio de sensores de efecto Hall. Este sensor tiene como salida un voltaje proporcional a la posición de la articulación, dicha señal es amplificada y filtrada posteriormente. La señal acondicionada de cada sensor es conectada como una entrada analógica al block de terminales del FPGA, y este en base al programa que fue cargado, al valor de la señal del sensor y a los parámetros de control actuales da como resultado una señal digital de control en forma PWM como salida. Esta señal es acondicionada y utilizada para controlar el accionamiento de las electroválvulas y por consiguiente se tiene el control del accionamiento del músculo neumático e inherentemente del accionamiento del efector. Cabe recordar que la programación del FPGA se lleva a cabo sólo una vez mediante el software Labview 7.1, ya que el FPGA trabaja independiente del procesador de la PC. Por tanto, Labview se usa sólo como interfase para monitorear el proceso e introducir los parámetros de control al FPGA.


Figura 6.10. Diagrama de flujo de señales para controlar el efector.

De acuerdo a lo visto en la figura 6.10, los voltajes que se manejan para el control del efector son los siguientes:

• Alimentación de 24V para la etapa de potencia (accionamiento de electroválvulas) • Alimentación de 5V para sensores de posición y circuitos integrados • Una señal analógica en un rango de 0.5 – 4.5V por cada sensor de posición • Una señal analógica amplificada de un rango de 1.5 - 10V por cada sensor de posición,

dependiendo de la posición inicial del imán • Una señal digital de 3.3V con modulación de ancho de pulso (PWM) para el control de

cada electroválvula Los elementos eléctricos y electrónicos necesarios para mover al efector se enlistan en la tabla 6.1.

Tabla 6.1. Lista de elementos utilizados para controlar el efector Elemento Cantidad Total Sensor de posición angular 1 por articulación 4 Tarjeta para el acondicionamiento de señal de sensores 1 por efector 1

FPGA 1 por efector 1 Tarjeta para el acondicionamiento de señal de salida PWM 1 por efector 1

Electroválvulas 2 por músculo 8

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CAPÍTULO 7 Validación Experimental del Efector


En este capítulo se presentan los resultados de las pruebas experimentales realizadas al sistema construido. Se abordan principalmente los resultados de las pruebas de flexión y extensión hechas para cada falange, así como los efectos que tiene el movimiento de una falange sobre las otras. Aun cuando el movimiento de abducción-aducción no forma parte de los objetivos del presente trabajo, se presenta adicionalmente los resultados de las pruebas realizadas para este movimiento.

7.1. Pruebas Experimentales para el Movimiento de Flexión-Extensión Las pruebas de movimiento de flexión-extensión consistieron a grandes rasgos en mover, a través del control implementado, una falange a una posición deseada y observar cómo se lleva a cabo el movimiento para validar a la vez que se cumpla con el objetivo de control. Para esto se realizaron tres pruebas: 1. Prueba de movimiento de flexión. Esta consiste en llevar a una falange a una posición de

flexión a partir de una posición de inicio. Con esta prueba se presenta cómo se lleva a cabo el movimiento de una falange cuando es actuada por el músculo neumático; esto es, cuando el músculo neumático se contrae y vence a la fuerza opositora del resorte.

2. Prueba de movimiento de extensión. Esta consiste en llevar a una falange a una posición de extensión a partir de una posición de inicio. Con esta prueba se presenta cómo se lleva a cabo el movimiento de la falange cuando es actuada por el resorte; esto es, cuando el músculo neumático se relaja y la fuerza de opositora del resorte es mayor.

3. Pruebas de efectos de una falange sobre las otras falanges. Esta prueba consiste en dos

partes, la primera es realizar la prueba de flexión sobre una falange sin aplicar control a las demás falanges y observar los efectos que tiene el movimiento de la falange sobre las otras. La segunda parte de la prueba consiste en realizar la prueba de flexión sobre una falange, pero esta vez aplicando control a las restantes y observar cómo los efectos del movimiento de una falange sobre las otras es compensada por el control de cada una.

A continuación se presentan los resultados obtenidos de aplicar las pruebas descritas anteriormente para las falanges proximal, medial y distal respectivamente. Cabe mencionar que la frecuencia de trabajo utilizada fue de 100Hz y que los valores mostrados en las gráficas corresponden a valores promedio.

cenidet Capítulo 7. Validación Experimental del Efector

7.1.1. Pruebas Realizas a la Falange Proximal.

A continuación se muestran los resultados escogidos al realizar las tres pruebas descritas anteriormente sobre la falange proximal. En la figura 7.1 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange proximal a 45°, y en la figura 7.2 se muestra el resultado de posicionar a la falange proximal a 60 °. En ambos casos la posición inicial es 0°.

Figura 7.1. Resultado de posicionar a 45° en flexión a la falange proximal.

Figura 7.2. Resultado de posicionar a 60° en flexión a la falange proximal.

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Como se observa en la figura 7.1 el objetivo de control se logró con un error estable de 0.1° y en un tiempo aproximado de 4 segundos. En la figura 7.2 se observa que la falange sobrepasa la posición deseada (a los 3 segundos aproximadamente) y tarda aproximadamente 1.5 segundos para que se libere la suficiente presión interna en el músculo neumático y el resorte pueda regresar a la falange hasta un valor menor al deseado. A partir de este momento, le toma 1.5 segundos al músculo para empezar a contraerse y lograr el objetivo de control (a los 6 segundos aproximadamente) con error en estado estable de 0.1°. En ambos casos se logra apreciar las no linealidades debido a la fricción en el efector así como a la compresibilidad del aire dentro del músculo neumático. Obsérvese de la figura 7.2 que la pendiente en el cambio de posición de la falange es mayor cuando se libera aire para disminuir la presión del músculo (a los 4.3 segundos aproximadamente) que cuando se introduce aire al músculo para incrementar su presión (a los 5.7 segundos aproximadamente). Lo anterior significa, que la cantidad de aire que sale del músculo en una fracción de segundo en el desfogue, tiende a ser mayor de la que puede entrar al músculo. Esto último, debido a la diferencia de presión que existe entre el interior del músculo y el medio ambiente para el desfogue en comparación con la diferencia de presión que existe entre el interior de músculo y el sistema de alimentación de aire cuando se introduce el aire. Además cabe recordar, que el resorte tratará de extender a la falange en todo momento ayudando el proceso de desfogue. En la figura 7.3 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange proximal a 45°, y en la figura 7.4 se muestra el resultado de posicionar a la falange proximal a 30 °. En ambos casos la posición inicial es 80°.

Figura 7.3. Resultado de posicionar a 45° en extensión a la falange proximal.


Figura 7.4. Resultado de posicionar a 30° en extensión a la falange proximal.

Como se observa de las figuras 7.3 y 7.4, en ambos casos la falange sobrepasa de la posición deseada y tarda aproximadamente 1.5 segundos en empezar a flexionar la falange para después cumplir con el objetivo de control hasta los aproximadamente 4.5 segundos, con error estable de 0.1° en ambos casos. También se muestra en ambas gráficas las no linealidades debido otra vez a la fricción en el efector así como a la compresibilidad del aire dentro del músculo neumático. Se observa otra vez, que la pendiente del cambio de posición es menos pronunciada cuando se incrementa la presión del músculo que cuando se libera presión. En la figura 7.5 se muestra los efectos que se tiene sobre la falange medial y distal, cuando se posiciona a la falange proximal a 80°, y no se aplica ningún control a estas falanges. En la figura 7.6 se muestra cómo el control en la falanges medial y distal, respectivamente, compensan el efecto de hay sobre ellas al posicionar la falange proximal a 90°. En ambos casos la posición inicial es 0°.

Figura 7.5. Efectos que tiene la falange proximal sobre las demás falanges sin control.

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Figura 7.6. Efectos que tiene la falange proximal sobre las demás falanges con control.

De la figura 7.5 se observa que el movimiento de la falange proximal afecta principalmente a la falange medial, de tal forma que origina un par sobre ésta con tal magnitud que la desplaza hasta 47.4° cuando la posición de la falange proximal es de 75° aproximadamente, mientras que la falange distal solo se mueve 0.3°. En la figura 7.6 se observa que el efecto de la falange proximal sobre la medial y distal es menor cuando se aplica control sobre todas las falanges, con esto el efecto resultante sobre la falange medial es de un desplazamiento de 29.7° y de 0.2° para la falange distal. Estos efectos de acoplamiento se deben principalmente a la trayectoria que tienen los tensores de las articulaciones de falanges medial y distal respectivamente, así como de sus resortes.

7.1.2. Pruebas Realizadas a la Falange Medial A continuación se muestran los resultados escogidos al realizar las tres pruebas descritas anteriormente sobre la falange medial. En la figura 7.7 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange medial a 45° partiendo de la posición de 0°. De esta figura se puede observar que se tiene un comportamiento muy lineal, lo que indica que la fricción para la falange medial en estas posiciones es menor a la que se tiene en la falange proximal. Se observa también que se logra el objetivo de control de una forma satisfactoria, teniendo un error en estado estable de tan solo 0.05° y en un tiempo de 5 segundos aproximadamente.


Figura 7.7. Resultado de posicionar a 45° de flexión la falange medial.

En la figura 7.8 se muestra el resultado de posicionar a la falange medial a 60° partiendo de la posición inicial de 0°. De esta figura se observa que se tiene un movimiento en un inicio lineal y posteriormente a una forma exponencial a partir de los 50° aproximadamente. Se logra el objetivo de control satisfactoriamente con un error de 0.1° y en un tiempo de 6.3 segundos aproximadamente.

Figura 7.8. Resultado de posicionar a 60° de flexión a la falange medial.

En la Figura 7.9 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange proximal a 20° partiendo de la posición inicial de 45°. De esta figura se observa que la falange medial se pasa un par de veces al tratar de alcanzar la posición deseada, sin embargo cumple con el objetivo

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de control de forma satisfactoria con un error de apenas 0.05° en un tiempo de 4.5 segundos aproximadamente. Se observa también que en el movimiento de extensión de la falange medial, los efectos por la fricción son menores a los que presenta el movimiento de extensión de la falange proximal.

Figura 7.9. Resultado de posicionar a 20° de extensión a la falange medial.

En la figura 7.10 se muestra el resultado de posicionar a la falange proximal a 15 ° partiendo de la posición inicial de 70°. De esta figura se observa que la falange medial se pasa solo una vez de su posición deseada y que posteriormente se logra el objetivo de control con un error de solo 0.05° en un tiempo de 4.3 segundos aproximadamente. Tal y como se esperaba, los efectos de la fricción siguen siendo menores a los que se presentan en la falange proximal.

Figura 7.10. Resultado de posicionar a 15° de extensión a la falange medial.


En la figura 7.11 se muestran los efectos que se tiene sobre la falange proximal y distal, cuando se posiciona a la falange medial a 90°, y no se aplica ningún control a las restantes. En la figura 7.12 se muestra cómo el control en la falanges proximal y distal, respectivamente, compensan el efecto de hay sobre ellas al posicionar la falange medial a 90°. En ambos casos la posición inicial es 0°.

Figura 7.11. Efectos que tiene la falange medial sobre las demás falanges sin control.

Figura 7.12. Efectos que tiene la falange medial sobre las demás falanges con control.

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De la figura 7.11 se observa que el movimiento de la falange medial afecta únicamente a la falange distal, de tal forma que origina un par sobre ésta con tal magnitud que la desplaza 38.5° cuando la posición de la falange medial es de 80° aproximadamente. De la figura 7.12 se observa que el efecto de la falange medial sobre la distal disminuye cuando se aplica control sobre esta falange, que presenta un desplazamiento angular de 31.7°. Este efecto de acoplamiento se debe nuevamente a los resortes y a la trayectoria que tiene los tensores de la articulación de la falange distal. Además se observa también que el control en las otras falanges beneficia al movimiento de la falange medial, ya que se acercó más a la posición deseada.

7.1.3. Pruebas Realizadas a la Falange Distal A continuación se muestran los resultados al realizar las tres pruebas descritas anteriormente sobre la falange distal. En la figura 7.13 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange distal a 45° partiendo de la posición inicial de 0°. En la figura 7.13 se presentan varias no linealidades durante el movimiento, esto debido nuevamente a la fricción y a la compresibilidad del aire. Sin embargo el objetivo de control se logra de forma adecuada sin sobretiros y con un error en estado estable de 0.15° en un tiempo de 3.5 segundos aproximadamente. En la figura 7.14 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange distal a 60° partiendo de la posición inicial de 0°. En la figura 7.14 se presentan nuevamente varias no linealidades a partir de los 15°. El objetivo de control se logra otra vez de forma adecuada sin sobretiros y con un error en estado estable de solo 0.05° en un tiempo de 3 segundos aproximadamente.

Figura 7.13. Resultado de posicionar a 45° en flexión a la falange distal.


Figura 7.14. Resultado de posicionar a 60° en flexión a la falange distal.

En la figura 7.15 se muestra el resultado obtenido al posicionar a la falange distal a 30° partiendo de la posición inicial de 90°. Se observa de la figura 7.15 un comportamiento lineal de la falange en su movimiento de extensión, esto es, cuando el músculo se relaja y actúa el resorte. Además el objetivo de control se logra de forma adecuada con un error en estado estable de 0.15° en un tiempo de 4.2 segundos aproximadamente.

Figura 7.15. Resultado de posicionar a 30° en extensión a la falange distal.

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En la figura 7.16 se muestran los efectos que se tiene sobre la falange proximal y medial, cuando se posiciona a la falange distal a 90°, y no se aplica ningún control a estas falanges.

Figura 7.16. Efectos que tiene la falange distal sobre las demás falanges sin control.

En la figura 7.16 se observa que el movimiento de la falange distal afecta muy poco a las demás falanges, solo le origina un desplazamiento de 0.2° y 3.2° para las falanges proximal y medial, respectivamente. Se observa que la falange distal rebasa por 0.2° de la posición deseada. En la figura 7.17 se muestra cómo el control en las falanges medial y proximal, respectivamente, compensa el efecto que hay sobre ellas al posicionar la falange distal a 90°. En ambos casos la posición inicial es 0°.

Figura 7.17. Efectos que tiene la falange distal sobre las demás falanges con control


De la figura 7.17 se observa que el efecto de la falange distal sobre las demás falanges disminuye cuando se aplica control sobre las falanges proximal y medial. Este efecto de acoplamiento se debe nuevamente a los resortes y a la trayectoria que tiene los tensores de las articulaciones de las falanges. Además se observa que la falange distal queda 0.35° por debajo de la posición deseada. A continuación en la tabla 7.1 se resume el comportamiento de las tres falanges, de acuerdo a los resultados de la prueba No. 3 realizada a cada falange y descritas anteriormente:

Tabla 7.1. Efectos de acoplamiento de cada falange sobre las demás. Falanges Sin Control Con Control

Proximal Medial (47.4°) Distal (0.3°)

Medial (29.7°) Distal (0.2°)

Medial Proximal (0°) Distal (38.5°)

Proximal (0°) Distal (31.7°)

Distal Proximal (0.2°) Medial (3.2°)

Proximal (0.05°) Medial (0.1°)

Los resultados obtenidos de las pruebas realizadas a las tres falanges indican que el usar elementos que no se pueden controlar como son los resortes, junto con un guiado no adecuado de los tensores, ocasiona que existan acoplamientos entre las falanges. Además, tal como se esperaba, los resultados de las simulaciones realizadas distan mucho todavía del comportamiento del sistema, esto se debe a que el modelo desarrollado es basado únicamente en el efector mecánico (sin contar los efectos de fricción y los productos de inercias) y no se toma en cuenta la dinámica de los demás elementos del sistema. Como ya se ha mencionado las no linealidades presentes en el sistema se deben a la compresibilidad del aire y a los efectos de fricción. Por otro lado, los efectos de los sobretiros pueden ser indicios de que las ganancias de los controladores PID no sena las apropiadas.

7.2. Pruebas Experimentales para el Movimiento de Abducción-Aducción Aunque el movimiento de abducción-aducción no está dentro de los objetivos de este trabajo, se realizaron pruebas experimentales de estos movimientos con el objetivo de dejar conocimiento base para trabajos futuros. Las pruebas consistieron en mover el dedo mecánico de una posición a otra con el objetivo de observar cómo se llevan a cabo los movimientos de abducción y aducción utilizando como actuadores un músculo neumático en conjunto con un resorte. Es necesario subrayar que el movimiento de abducción es el alejamiento de una parte de un cuerpo respecto a su plano medio y la aducción es movimiento que acerca una parte de un cuerpo a su plano medio. Cabe mencionar que la frecuencia de trabajo fue de 100 Hz y que los valores mostrados en las gráficas corresponden a valores promedio.

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En la figura 7.18 muestra el resultado obtenido al posicionar al efector a 10° en abducción, y en la figura 7.19 se muestra el resultado de posicionarlo a -10 ° también en abducción. En ambos casos la posición inicial es 0°.

Figura 7.18. Resultado de posicionar a 10° en abducción al efector

En la figura 7.18 se observa cómo el efector llega a la posición deseada de forma escalonada con un error de 0.2°. Durante esta trayectoria la presión interna del músculo aumenta venciendo a la fuerza del resorte ocasionado el movimiento.

Figura 7.19. Resultado de posicionar a -10° en abducción al efector


De la figura 7.19 se observa que el efector vuelve a presentar movimientos escalonados aunque menos marcado que en la figura 7.18, además vuelve a llegar a la posición deseada con un error de 0.2°. Este movimiento se lleva a cabo por el resorte, es decir, en esta ocasión la presión interna del músculo disminuye y la fuerza del resorte vence a la del músculo ocasionado el movimiento. Estos efectos de escalonamientos se deben nuevamente a la fricción entra las piezas en movimiento así como de la compresibilidad del aire En la figura 7.20 se muestra el resultado obtenido al posicionar al efector a 10° desde una posición inicial de -10°, y en la figura 7.21 se muestra el resultado de posicionar al efector a -5 ° desde una posición inicial de 10°. En ambos casos se lleva a cabo tanto el movimiento de aducción como de abducción.

Figura 7.20. Resultado de posicionar a 10° al efector teniendo aducción y abducción.

Figura 7.21. Resultado de posicionar a -5° al efector teniendo aducción y abducción.

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En la figura 7.20 se observa que tanto en el movimiento de aducción (-10° a 0°) como en abducción (0° a 10°), tienen un comportamiento escalonado e incluso llega a tener un sobretiro, cumpliendo su objetivo de control con un error de 0.2° y en un tiempo de 8 segundos. De la figura 7.21 se observa que el efector tiene movimientos escalonados, y nuevamente se pasa de la posición deseada y compensa dicha posición hasta alcanzar su objetivo de control con un error de 0.05° y en un tiempo de 8.5 segundos aproximadamente. Estos efectos de escalonamientos se deben nuevamente a la fricción entre las piezas en movimiento así como de la compresibilidad del aire. Como era de esperarse, los movimientos de abducción y aducción presentan los mismos efectos que se presentan en los movimientos de flexión y extensión de las tres falanges. Nuevamente, las no linealidades se deben a los efectos de la fricción y a la compresibilidad del aire. Por otro lado, los sobretiros pueden ser indicios de que las ganancias de los controladores no son las apropiadas. Además se observa que las pendientes en los cambios de posición son mayores cuando la falange es actuada por los resortes.


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CAPÍTULO 8 Conclusiones y Recomendaciones

• La construcción de un efector que imite fielmente el funcionamiento de la mano humana

es una tarea muy compleja. • El músculo biológico es un excelente actuador y solo realiza trabajo de tracción. Puede

ejecutar movimientos ágiles, suaves y tiene una buena relación masa/rendimiento. • El músculo neumático tiene similitudes de funcionamiento, de manera muy general, con

el músculo biológico. • El músculo neumático es un actuador de simple efecto y que emula el movimiento del

músculo biológico. • Se ha desarrollado una metodología propia para la construcción de un primer prototipo de

músculo neumático. La construcción del músculo neumático cenidet no es tarea fácil y sencilla, aún cuando los materiales utilizados se pueden adquirir en el mercado nacional.

• Se caracterizó el comportamiento del músculo neumático cenidet mediante pruebas en

lazo abierto y cerrado, así como pruebas destructivas de vida útil. • El prototipo de músculo neumático cenidet, se puede adaptar fácilmente a mecanismos y

máquinas de rehabilitación en extremidades humanas para personas con problemas de movimientos en extremidades.

• Generación de conocimiento para que en un futuro se utilice el músculo neumático en

prótesis para seres humanos. • Se pueden obtener los movimientos de flexión-extensión y aducción-abducción mediante

un juego de músculos neumáticos en antagonismo con un juego de resortes. • Con la ayuda de los músculos neumáticos como actuador, es posible la construcción de

mecanismos robóticos que se asemejen a elementos o partes del ser humano como: un dedo, una mano, un brazo o una pierna.

cenidet Capítulo 8. Conclusiones y Recomendaciones

• Se propone un circuito neumático con el fin de controlar el flujo de aire hacia el músculo neumático y por tanto la presión en su interior.

• La respuesta de presión y de posición del músculo es por pulsos y no continuo debido

principalmente a la forma de control PWM en las válvulas • Con los valores del vector de ángulos θ, es posible conocer las posiciones cartesianas del

extremo final del efector, y por tanto, el espacio de trabajo (conjunto de posiciones P) a través de la cinemática directa.

• Inversamente, dados los valores del vector de posición P, es posible, a través de la

cinemática inversa, conocer los ángulos necesarios para obtener el vector P. • El problema de la cinemática inversa tiene solución, sólo si, los puntos del vector P están

dentro del espacio de trabajo y esta solución puede ser no única. • En la práctica, la cantidad de soluciones que se pueden encontrar para la cinemática

inversa depende de la resolución del sensor utilizado y del error que se admita. • A partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange se puede determinar el modelo dinámico del

efector para movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción. • Una vez obtenido el modelo dinámico del efector es posible introducir una ley de control

para posición pura. • Para el modelo dinámico obtenido, los controles de posición PD y PID cumplen con su

objetivo de control de posición pura. • Se construyó y validó experimentalmente un efector que reproduce los movimientos de

flexión y extensión utilizando músculos neumáticos. • El efector construido emula los movimientos de flexión y extensión de un dedo de la

mano humana. • El actuador para el efector es el músculo neumático. • De igual forma al ser humano, los actuadores de las falanges del prototipo mecánico

deben de ir en la parte del antebrazo. • Se presenta el fenómeno de “tirones o jaloneos” en el movimiento de flexión-extensión y

abducción-aducción de la falange mecánica debido a la compresibilidad de aire y a la fricción existente.

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El efector es un sistema que emula el movimiento de un dedo humano y que es accionado por músculos neumáticos en antagonismo con resortes. Tiene 4 grados de libertad, uno por cada falange (uno para la falange proximal, uno para la falange medial y uno para la falange distal en los movimientos de flexión y extensión) y uno para los movimientos de abducción y aducción asociado a la falange proximal del dedo. El control de la posición angular se lleva a cabo por medio de electroválvulas y se utiliza un sensor de efecto Hall como retroalimentación. El control es llevado acabo por medio de FPGA´s y monitoreado a traves de una PC utilizando el software Labview. Se ha construido el primer prototipo de músculo neumático cenidet de 10 cm de longitud con una masa de 11 gramos y una fuerza aproximada de 13 N para una presión de 5 bar y una contracción de 10 mm, por tanto, la relación fuerza/masa aproximada es de 1200 N/kg. El presente trabajo contribuyó a la publicación de dos artículos [11] y [12] además de la participación en XXII Concurso Nacional de Creatividad obteniendo el primer lugar en su fase local y regional. RECOMENDACIONES. Para el prototipo del músculo cenidet se recomienda: • Minimizar o eliminar la fricción existente entre el tubo flexible de látex y la malla

metálica de cobre. Una de las posibles maneras es tener un tipo de vulcanizado entre el tubo flexible de látex y la malla metálica. Otra manera posible consiste en agregar una capa adicional de látex por encima de la malla metálica (aplicación de látex en forma líquida y que al solidificar se tenga la capa adicional).

• Buscar otro material para la malla metálica, esto es, sustituir al cobre por un material con

mayor resistencia, como por ejemplo el acero. • Buscar otro material para la membrana flexible como el manosil. Realizar pruebas de

funcionamiento y comparar los resultados con los obtenidos en el presente trabajo. • Realizar pruebas destructivas de la presión interna máxima que soporta el prototipo del

músculo neumático cenidet Para el diseño, modelo y simulaciones del efector: • Integrar al modelo dinámico obtenido del efector junto con el modelo del músculo

neumático. También es importante considerar la integración del modelo dinámico de las válvulas neumáticas y de las válvulas reguladoras de flujo.

cenidet Capítulo 8. Conclusiones y Recomendaciones

• Incluir efectos de fricción y compresibilidad del aire en los modelos mecánicos. • Considerar los productos de los momentos de inercia en el modelo del efector. • Al integrar los modelos dinámicos del efector, del músculo neumático, de las válvulas de

vías y de las válvulas reguladoras de flujo, considerar implementar leyes de control a fin de realizar las simulaciones correspondientes.

• Realizar un análisis de fuerzas en el efector debido a los tensores. • Rediseñar el efector considerando el uso de dos músculos antagonistas en lugar de usar

un músculo y un resorte para el accionamiento de las falanges. Para la construcción del efector: • Mejorar el diseño mecánico del efector con el fin reducir los efectos de fricción así como

disminuir el tamaño del mismo. • Buscar un imán más pequeño a fin de reducir los diámetros de los ejes de las falanges

(hasta donde sea posible) o implementar otra forma y/o configuración de sensado de la posición angular. Se recomienda que el sensado se realice directamente sobre el eje de cada articulación.

• Se debe cuidar que en la construcción de las piezas del efector, se tomen en cuenta las

tolerancias marcadas en diseño para evitar juego y/o fricciones excesivas. • Considerar el acoplamiento de las fuerzas que existen entre los movimientos de flexión y

extensión de las diferentes falanges, así como el acoplamiento entre los movimientos de flexión y extensión con los movimientos de abducción y aducción. Esto para proponer mecanismos que disminuyan dichos acoplamientos.

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BIBLIOGRAFÍA

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Festo AG & Co. KG, Esslingen, Alemania, 2003. [2] Roger Quinn, Stephen Phillips, Roy Ritzmann, Randy Beer, Steve Garverick, Gary

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Theoretical and Computational Biophysics Group (TCBG); Beckman Institute of the University of Illinois at Urbana-Champaign. Urbana, Illinois. USA. Marzo de 2006. http://www.ks.uiuc.edu/Research/Neural/robot.html

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[11] Cancino, Ernesto, Aguirre, Fabio, Szwedowicz, Dariusz, Oliver, Marco Antonio y

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Kelly, Rafael y Santibáñez, Victor “Control de Movimientos de Robots Manipuladores”. Primera edición, Editorial Pearson. Madrid, 2003. pp. 59-80, 121-142 y 187-198.

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[20] Martínez, Josué Román Mireles. “Controladores de Robots Rígidos: Un Análisis

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[21] Ogata , Katsuhiko. “Ingeniería de Control Moderna”. Cuarta Edición, Editorial Pearson.

Madrid, 2003. pp. 681-699.

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ANEXO 1 Sensor de Presión

1 Marcador

cenidet Anexo 1. Sensor de Presión

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cenidet Anexo 1. Sensor de Presión

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ANEXO 2 Electroválvula

2 Marcador

cenidet Anexo 2. Electroválvula

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cenidet Anexo 2. Electroválvula

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ANEXO 3 Ensambles

3 Marcador

cenidet Anexo 3. Ensambles

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ANEXO 4 Diseño del Resorte

4 Marcador

Aquí se presenta el procedimiento del diseño del resorte una vez conocida la constante k*: El número de espiras para un resorte esta dado por:

4

38d GNaD k

=

A4.1

donde:

Na - Número de espiras activas del resorte D - Diámetro de la espira d - Diámetro del alambre k - Constante del resorte G - Modulo de elasticidad a cortante

Al número de espiras activas se le suele agregar una más y por tanto el número total de espiras es:

1t aN N = + A4.2

La longitud del cuerpo de espiras es:

b tL d N = A4.3

A la longitud de cuerpo de espiras se le agrega la longitud de terminación del resorte para su montaje. En nuestro caso se aplica el gancho estándar y por tanto la longitud total del resorte es:

f b gancho bL L L L D = + 2 = + 2 A4.4

La fuerza en un resorte es:

F k y = A4.5

* Norton, Robert L., Diseño de máquinas, Editorial Prentice Hall, México, 1999.

cenidet Anexo 4. Diseño del resorte

El esfuerzo en el resorte se puede calcular como:

3

8 Rw

F Dkd

τπ

=

A4.6

Donde FR es la fuerza a que estará sometido el resorte y kw es el factor de Wahl dado por:

4 1 0.6154 4w

CkC C

− = +

−

A4.7

El índice del resorte C es la relación del diámetro de espira D al diámetro del alambre d (el rango recomendado para C es de 4 a 12), esto es:

DCd

=

A4.8

Las pruebas experimentales de resistencia a tensión en el resorte son:

2153.50.1625

6

butS A d

A MPabPara d mm

=

= = −

0.3 < <

A4.9

La resistencia al cortante se relaciona con la resistencia a la tensión como:

0.67us utS S = A4.10

Por tanto el factor de seguridad es: usSFS

τ =

A4.11

En la tabla A4.1 se muestran los resultados al aplicar de la relación (A4.1) hasta la (A4.11). Experimentalmente se comprobó que fue necesario sustituir el valor de k=15 N/m por un valor de k = 25 N/m. Los detalles del establecimiento de los valores de las constantes k se presentan en el capítulo 4.

Tabla A 4.1. Características de los resortes K D C D y F Na Nt Lb Lf Kw τ Sut Ssy FS

N/m mm mm mm N mm mm MPa MPa MPa FS 500 0.6 8 4.8 12.4 6.1 24 25 15 24.6 1.18 408.7 7189 4820 11.7 100 0.5 12 6 13.4 1.34 29 30 15 27 1.119 183.4 7410 4960 27.0 25 0.2 12 2.4 10.4 0.26 46 47 9.4 14.2 1.119 222.3 8590 5760 25.9

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ANEXO 5

Parámetros Geométricos y Físicos del Efector

5 Marcador

En la tabla A5.1 se muestran los parámetros geométricos y físicos del efector usados en las simulaciones del modelado cinemático y dinámico desarrollados en el capítulo 5 (ver figura A5.1 y figura A5.2). Estos parámetros fueron obtenidos del diseño realizado en el programa comercial SolidWorks.

Figura A 5.1. Parámetros utilizados en el modelo cinemático

Figura A 5.2. Parámetros utilizados en el modelo dinámico

Tabla A 5.1. Parámetros geométricos y físicos del efector.

i Nombre del eslabón Li (m)

LCi (m)

mi (Kg)

Iiyy 1x10-9 (Kg·m2)

Iizz

1x10-9 (Kg·m2) 1 Base 0.0293 0.01085 0.01929 -------- 3446.71 2 Falange Proximal 0.0460 0.01617 0.02221 8025.47 8364.51 3 Falange Medial 0.0300 0.01049 0.01793 3324.02 3987.87 4 Falange Distal 0.0240 0.00418 0.01453 1215.91 1465.48

cenidet Anexo 5. Parámetros Geométricos y Físicos del Efector

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ANEXO 6 Índices de Desempeño

6 Marcador

A continuación se muestra la definición de los índices de desempeño usados*:

• El Índice de la Integral del Error Cuadrático (ISE por sus siglas en inglés) remueve las componentes negativas del error. El ISE discrimina entre sistemas sobre amortiguados y sub-amortiguados. La ecuación que define al ISE es:

2

0( )

tISE e t dt⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ (A6.1)

• El Índice de la Integral del Error Absoluto (IAE por sus siglas en inglés) remueve las

componentes negativas del error. El IAE es bueno para estudios de simulación. La ecuación que define al IAE es:

0( )

tIAE e t dt= ∫ (A6.2)

El Índice de la Integral de la multiplicación del Tiempo por el Error Absoluto (ITAE por sus siglas en inglés) remueve las componentes negativas del error. El ITAE pondera el error con el tiempo para enfatizar los errores que ocurren en el estado estable. La ecuación que define al ITAE es:

0( )

tITAE t e t dt= ⋅∫ (A6.3)

El Índice de la Integral de Esfuerzo de Control (CE por sus siglas en inglés). El CE obtiene el total del esfuerzo realizado por el controlador para que el sistema pueda alcanzar a la referencia. La ecuación que define al CE es:

2

0

1 tCE dt

nτ= ∫ (A6.4)

* Ver referencia[20]

cenidet Anexo 6. Índices de Desempeño

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ANEXO 7

Sensor de Efecto Hall

7 Marcador

cenidet Anexo 7. Sensor de Efecto Hall

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ANEXO 8 Amplificador Operacional

8 Marcador

cenidet Anexo 8. Amplificador Operacional

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cenidet Anexo 8. Amplificador Operacional

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ANEXO 9

Buffer

9 Marcador

cenidet Anexo 9. Buffer

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cenidet Anexo 9. Buffer

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ANEXO 10 Transistor Darlington

10 Marcador

cenidet Anexo 10. Transistor Darlington

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ANEXO 11

Esquema Neumático General

11 Marcador

Figura A 11.1. Esquema neumático general.

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cenidet Fabio Abel Aguirre Cerrillo 2007.pdfFabio Abel Aguirre Cerrillo . ... A mi casa de estudio, el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por brindar