Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanicaold · Nel presente lavoro di tesi è stato generalizzato il metodo di Roe per un gas reale ... del suo movimento spazza

Università degli Studi della Basilicata

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

STUDIO TEORICO E NUMERICO DI GAS IONIZZATI: GENERALIZZAZIONE DEL METODO DI ROE

E MODELLIZZAZIONE NUMERICA DI UNA CELLA DI PENNING PER POMPE IONICHE

AD ULTRA ALTO VUOTO

Relatori: Prof. Ing. Aldo Bonfiglioli Ing. Antonio D’Angola

Laureando: Luca CALIA

27449

ANNO ACCADEMICO 2007-2008

Indice

1

Indice

Indice______________________________________________________________1

Introduzione ________________________________________________________3

1. Proprietà termodinamiche dell’aria __________________________________7

1.1 Il plasma: generalità _______________________________________________________ 7

1.2 Equilibrio chimico e termodinamico di un plasma_______________________________ 9

1.3 Composizione ed equilibrio chimico dell’aria __________________________________ 11

1.4 Fit delle proprietà termodinamiche __________________________________________ 13

1.5 Equazione di stato per la pressione __________________________________________ 15

2. Equazioni di Navier-Stokes per un fluido _____________________________17

2.1 Introduzione_____________________________________________________________ 17

2.2 Equazioni di Navier-Stokes_________________________________________________ 21

2.3 Equazioni di Eulero_______________________________________________________ 25

2.4 Equazioni di Eulero 1 D ___________________________________________________ 27

3. Metodo di Roe___________________________________________________29

3.1 Principi di base del metodo di Roe___________________________________________ 29

3.2 Generalizzazione del metodo per un gas reale in equilibrio termodinamico _________ 32

3.3 Calcolo dello stato medio dei coefficienti della linearizzazione ____________________ 34

3.4 Stato medio per un gas perfetto non ionizzato _________________________________ 39

3.5 Generalizzazione di Vinokur-Montagnè per un plasma _________________________ 41

4. Simulazioni numeriche di un tubo d’urto 1D attraverso il metodo di Roe ___45

4.1 Il tubo d’urto ____________________________________________________________ 45

4.2 Il metodo di Roe per il tubo d’urto __________________________________________ 48

Indice

2

4.3 Metodo upwind splitting ___________________________________________________ 50

4.4 Programma di calcolo in Fortran____________________________________________ 54 4.4.1 Program Main _______________________________________________________ 55 4.4.2 Subroutine Init _______________________________________________________ 57 4.4.3 Subroutine splitw _____________________________________________________ 60 4.4.4 Subroutine epsi_______________________________________________________ 64 4.4.5 Funzione esterna _____________________________________________________ 65 4.4.6 Subroutine fzero______________________________________________________ 65 4.4.7 Subroutine interp1D___________________________________________________ 66 4.4.8 Subroutine interp2D___________________________________________________ 66 4.4.9 Subroutine pchikappa__________________________________________________ 67 4.4.10 Subroutine Pepsilon ___________________________________________________ 68

4.5 Risultati delle simulazioni numeriche ________________________________________ 69

5. Le pompe ioniche ad ultra alto vuoto ________________________________75

5.1 Introduzione_____________________________________________________________ 75

5.2 La trappola di Penning, condizioni operative e parametri caratteristici ____________ 77

5.3 Moto di particella singola __________________________________________________ 81 5.3.1 Campo elettrostatico uniforme___________________________________________ 81 5.3.2 Campo magnetostatico uniforme _________________________________________ 82 5.3.3 Campo magnetostatico uniforme ed elettrostatico non uniforme_________________ 84

5.4 Modellizzazione numerica della cella di Penning _______________________________ 88

6. Conclusioni____________________________________________________105

Bibliografia _______________________________________________________107

Appendice A ______________________________________________________109

Appendice B ______________________________________________________111

Appendice C ______________________________________________________113

Introduzione

3

Introduzione

Le proprietà dell’aria risentono, in maniera considerevole, dell’equilibrio chimico

del gas al variare della temperatura rispetto a quelle di un gas perfetto. Le semplici

relazioni per un gas caloricamente perfetto non sono più valide. Il gas è composto da

molte specie chimiche e lo stato totale risulta essere la somma dei singoli stati delle

differenti specie. Poiché ogni specie si comporta come un gas termicamente perfetto e

sono presenti reazioni chimiche, il gas può essere considerato come una miscela

chimicamente reattiva di gas perfetti. Inoltre, se non vengono tenute in considerazione

le reazioni chimiche, la miscela può essere trattata, localmente, come un gas

termicamente perfetto. Se il gas è omogeneo in tutto il dominio, esso si comporta

globalmente come un gas termicamente perfetto.

L’omogeneità del gas dipende dal cambiamento della sua composizione chimica.

L’adozione del giusto modello, per quanto riguarda le relazioni termodinamiche in un

fluido, è importante nello studio dei flussi, soprattutto alle alte temperature. Ad esempio

lo studio dei razzi, in cui avvengono processi di combustione, dovrebbe essere

effettuato tramite accurate simulazioni. Inoltre, i voli supersonici generano delle non

idealità delle proprietà del fluido coinvolto. L’elevata temperatura causa eccitazioni

molecolari, vibrazioni e dissociazioni, che non sono fenomeni ideali.

In regimi di flusso supersonico, tipici del rientro in atmosfera di navicelle spaziali,

molta dell’energia cinetica è convertita in energia interna attraverso il forte arco d’urto,

causando l’enorme incremento di temperatura. Non appena la temperatura aumenta,

l’aria non può essere più considerata né come un gas caloricamente perfetto, perché

avvengono vibrazioni a livello atomico che non dipendono in modo lineare dalla

temperatura, né come un gas termicamente perfetto dato che le reazioni chimiche

alterano la composizione del gas. Il modo generale di trattare il gas alle alte temperature

è quello di considerarlo in condizioni di non equilibrio sia chimico che termico.

Tuttavia, le simulazioni nelle condizioni di non equilibrio richiedono molte risorse dal

punto di vista computazionale. Assumendo l’equilibrio locale si traggono notevoli

vantaggi. Questa assunzione spesso è giustificata a basse altitudini e basse velocità,

ottenendo risultati corretti in molti problemi di interesse pratico.

Introduzione

4

Negli ultimi anni, sono stati adottati diversi approcci per le simulazioni di fluidi in

condizioni di equilibrio, basati sul metodo upwind splitting. Tra questi ultimi, il più

importante è il metodo di Roe, originariamente ideato per gas perfetti.

Nel presente lavoro di tesi è stato generalizzato il metodo di Roe per un gas reale

nelle condizioni di equilibrio ed in particolare è stato studiato un tubo d’urto contenente

aria inizialmente nelle condizioni non lontane da quelle standard. Successivamente

vengono imposte condizioni iniziali tali da considerare l’aria allo stato di plasma. A tal

proposito è stato modificato un programma in linguaggio FORTRAN realizzato dal

prof. Aldo Bonfiglioli. Il programma originale studia il comportamento di un gas

caloricamente perfetto all’interno di un tubo d’urto ed è stato generalizzato al caso di

plasmi.

Parallelamente a questo lavoro, è stato effettuatouno studio preliminare di una

cella di Penning di pompe ioniche ad ultra alto vuoto, analizzando il comportamento

della popolazione elettronica e ionica. L’analisi viene effettuata per mezzo di un codice

in linguaggio MATLAB realizzato dal gruppo di ricerca del Prof. Gianni Coppa del

Politecnico di Torino nell’ambito del contratto di ricerca tra la VARIAN e il

Dipartimento di Energetica.

Le pompe ioniche (sputter-ion pumps) sono degli strumenti comunemente

utilizzati in molte applicazioni tecnologiche, dove sono richieste condizioni di ultra-alto

vuoto. Il meccanismo di funzionamento di questo tipo di pompe è sostanzialmente

diverso da quello di qualunque altro tipo di pompe. Infatti, non è prevista alcuna parte

mobile: il principio fisico, su cui si basano, è la ionizzazione, da parte di elettroni, degli

atomi di gas o di molecole, che poi vengono rimossi grazie all’azione di campi elettrici

opportunamente studiati. La nube elettronica, confinata nell’anodo cilindrico, in virtù

del suo movimento spazza fuori dal volume del sistema ad un tasso costante le molecole

ionizzate, in modo analogo al rotore di una pompa meccanica. Le pressioni tipiche di

utilizzo di queste pompe sono comprese nell’intervallo 10-4-10-11 Torr.

L’architettura classica è basata sulla cella di Penning, che consiste in due elettrodi

e un magnete. L’anodo cilindrico, generalmente in acciaio inossidabile, è inserito tra

due piastre in titanio, che formano il catodo. Tra i due elettrodi viene mantenuta una

differenza di potenziale di qualche kV (3-7 kV), con l’anodo al potenziale di terra. La

cella è immersa in un campo magnetico esterno uniforme pari a 0.1 T, parallelo all’asse

Introduzione

5

dell’anodo e generalmente creato da magneti permanenti. Nell’ultima parte di questo

lavoro, viene descritto il codice che studia il moto delle particelle all’interno di una cella

di Penning per pompe ioniche ad ultra alto vuoto.

Introduzione

6

Proprietà termodinamiche dell’aria

7

Capitolo 1

1. Proprietà termodinamiche dell’aria

1.1 Il plasma: generalità

Un plasma è un gas ionizzato, costituito da una collezione di elettroni e ioni, ma

che globalmente è neutro (cioè la carica elettrica totale è nulla). Essendo però costituito

di particelle cariche, i moti complessivi delle particelle del plasma sono in gran parte

dovuti alle forze a lungo raggio che si vengono continuamente a creare, e che tendono a

mantenere il plasma neutro; questo fatto stabilisce una differenza importante rispetto ai

gas ordinari, nei quali i moti delle particelle sono dovuti a forze che si estendono al

massimo per qualche primo vicino [1]. In quanto tale, il plasma è considerato come il

quarto stato della materia, che si distingue quindi dal solido, il liquido e il gas.

"Ionizzato" in questo caso significa che una frazione significativamente grande di

elettroni è stata strappata dagli atomi. Le cariche elettriche libere fanno sì che il plasma

sia un buon conduttore di elettricità, e che risponda fortemente ai campi

elettromagnetici.

Fig. 1.1. Lampada al Plasma

Questo quarto stato della materia fu identificato da Sir William Crookes nel 1879

e chiamato "plasma" da Irving Langmuir nel 1928 [2]. Le ricerche di Sir Crookes


8

portarono alla realizzazione dei cosiddetti tubi di Crookes, che erano gli antenati dei

tubi catodici e delle lampade al neon.

Mentre sulla terra la presenza del plasma è relativamente rara (fanno eccezione i

fulmini, le aurore boreali e le fiamme), nell'universo costituisce più del 99% della

materia conosciuta: di plasma sono fatti il Sole, le stelle e le nebulose. Inoltre, si ha una

formazione di plasma sullo scudo termico (Fig. 1.2) dei veicoli spaziali al rientro

nell'atmosfera.

Fig. 1.2. Formazione di plasma sullo scudo termico

Il plasma può essere prodotto esponendo la materia allo stato gassoso ad un forte

campo elettrico o magnetico in grado di strappare elettroni agli atomi del gas. Tale

evento produce una nuvola di particelle prevalentemente sotto forma di radicali liberi,

che sono atomi con coppie di elettroni spaiate e dotate di spiccata reattività.


9

1.2 Equilibrio chimico e termodinamico di un plasma

Se il flusso è assunto essere in equilibrio termochimico locale, da considerazioni

di tipo termodinamico segue che le sue proprietà locali sono funzioni di due variabili di

stato indipendenti.

L’aria viene considerata come un insieme di NC specie chimiche, ognuna

considerata come un gas termicamente perfetto. Le proprietà termodinamiche di una

miscela di gas possono essere espresse in funzione di ciascuna specie; per completezza,

vengono di seguito richiamate le corrispondenti equazioni di stato [3].

L’energia interna per unità di massa della miscela gassosa è

)(),(1

TeTee s

N

s

ss

C

∑=

==ρρρ (1.1)

dove sρ ed se sono la densità e l’energia interna per unità di massa della specie s

rispettivamente, mentre

∑=

=CN

ss

1ρρ (1.2)

è la densità totale. T è ovviamente la temperatura della miscela gassosa.

L’energia interna per unità di massa di un gas termicamente perfetto biatomico

può essere espressa come la somma dell’energia traslazionale, rotazionale, vibrazionale,

elettronica e del calore di formazione

fsselT

ssss he

eRTRTe

sΔ++

−Θ

+= Θ ,/ 125)( (1.3)

in cui il contributo vibrazionale è stato approssimato a quello di un oscillatore

armonico; sΘ rappresenta la temperatura vibrazionale caratteristica della molecola

considerata. La costante della singola specie è data da ss mRR /ˆ= , in cui R è la

costante universale dei gas ed sm è la massa molare della specie s.

Per un gas monoatomico, invece, non vi è contributo rotazionale e vibrazionale

fsselss heTRTe Δ++= ,2

3)( (1.4)

mentre per un elettrone libero


10

)(23)( elettroneshTRTe f

sss =Δ+= (1.5)

La pressione P può essere ottenuta sommando il contributo delle varie specie

chimiche e la legge di Dalton

RTTRTPPCN

ssss ρρρ === ∑

=1

),( (1.6)

in cui

s

N

s

ss RRR

C

∑=

==1

)(ρρρ (1.7)

L’entalpia della miscela è immediatamente determinata come

TRTePeThh sss )(),(/),( ρρρρ +=+== (1.8)

Le proprietà termodinamiche dipendono sia dalla temperatura che dalla

composizione chimica. Nelle condizioni di equilibrio, sia T che sρ dipendono solo da

due variabili termodinamiche.


11

1.3 Composizione ed equilibrio chimico dell’aria

Una miscela di gas ad elevata temperatura non può essere considerata come un gas

caloricamente perfetto per due principali ragioni: la prima è che le specie chimiche sono

così eccitate che gli effetti delle vibrazioni atomiche sono importanti; la seconda è che

la composizione del gas cambia.

Ciascuna specie può essere considerata come un gas termicamente perfetto, ma

quando avvengono reazioni chimiche, la composizione della miscela è funzione di P e

T. Ad esempio, per l’aria alla pressione di 1 atm, questo fenomeno non è importante

finché la temperatura si mantiene al di sotto di 800 K. Ad 800 K l’aria comincia ad

essere eccitata in modo vibrazionale e si comporta come un gas termicamente perfetto.

A 2000 K, O2 comincia a dissociarsi, per cui il gas non può più essere considerato come

un gas termicamente perfetto [4].

L'aria secca al suolo è composta all'incirca per il 78% V/V di azoto, per il 21%

V/V di ossigeno e per l'1% V/V di argon, più altri componenti in quantità minori.

Fig. 1.3. Composizione dell’aria nelle condizioni standard

Considerando un range di variazione della pressione da 0.01 a 100 atm e da 50 a

60000 K per la temperatura, le possibile specie di cui può essere composta l’aria sono:

N2, N2+, N, N+, N2+, N3+, N4+, O2, O2

+, O2-, O, O-, O+, O2+, O3+, O4+, NO, NO+ ed e- [5].

A seconda degli intervalli di temperatura e di pressione si possono considerare con

buona approssimazione le seguenti miscele:

• Miscela 1 (AM1) composta dalle specie


12

O2, N2, O, N, NO

che sono messe in relazione dalle seguenti reazioni

ONNONNN

OOO

+⇔+⇔+⇔

2

2

• Miscela 2 (AM2) che comprende anche le specie di prima ionizzazione e

l’elettrone libero

O2, N2, O, N, NO, NO+, e-

con la reazione di ionizzazione −+ +⇔ eNONO

• Miscela 3 (AM3) composta dalle specie

O2, N2, O, N, NO, NO+, O2+, N2

+, O+, N+, e-

che è caratterizzato dalla presenza delle seguenti reazioni

−+

−+

−+

−+

+⇔

+⇔

+⇔+

+⇔+

eNNeOO

eNNN

eOOO

2

2

Fig. 1.4. Composizione chimica (AM3) in funzione della temperatura


13

1.4 Fit delle proprietà termodinamiche

Ricavare delle funzioni termodinamiche di una miscela gassosa come l’aria valide

per un ampio range di temperatura e di pressione (50-60000 K e 0.01-100 atm) è un

problema complicato a causa del comportamento non monotono delle variabili in

funzione della temperatura. Le specie chimiche che possono formarsi o scomparire, a

seconda delle condizioni di temperatura e pressione, sono numerose e la dipendenza

della densità e dell’energia interna specifica dalla composizione non è banale.

Fig. 1.5. Andamento della densità dell’aria in funzione di T e p.

Facendo riferimento ad un lavoro dell’Ing. D’Angola [5] e definendo la funzione

sigmoide come

)exp()exp()exp(

),;(jj

jjjj qq

qcT

−+=Δσ (1.9)

in cui j

jj

cTq

Δ

−= (1.10)

Le proprietà termodinamiche si ottengono come combinando le sigmoide i cui

coefficienti si ricavano con

∑=

=n

j

jj xC

0α (1.11)


14

in cui )log(Px = e C rappresenta ognuno dei parametri ic e iΔ delle sigmoidi.

In questo modo tutte le quantità vengono espresse in funzione della temperatura e

della pressione. L’espressione analitica della densità (kg/m3) è la seguente

MRTp

=ρ (1.12)

dove M è la massa molare media data dalla seguente relazione

∑=

−=6

10 )(

jjj TacM σ (1.13)

L’espressione analitica dell’energia interna specifica si ricava a partire da quella

dell’entalpia sottraendo il prodotto tra la pressione ed il volume specifico:

ρ/phe −= (1.14)

in cui ∑∑==

+=7

1

2

1)(

jjj

j

jj TaTch σ (1.15)

I coefficienti da utilizzare nell’espressione e il codice in linguaggio MATLAB

sono riportati nell’Appendice A e B.

Queste espressioni sono state utilizzate per osservare l’andamento della densità e

dell’energia interna in funzione della temperatura e della pressione. Inoltre tali funzioni

hanno permesso l’individuazione del dominio di variazione della densità e dell’energia

interna utile per l’applicazione del metodo di Roe al tubo d’urto come si vedrà nei

prossimi capitoli.

Fig. 1.6. Andamento dell’energia interna dell’aria in funzione di T e p.


15

1.5 Equazione di stato per la pressione

La pressione può essere espressa in funzione di altre due variabili termodinamiche

nelle condizioni di equilibrio. Come si vedrà nel capitolo 3, Vinokur e Montagnè [3]

considerano un’equazione di stato della forma

),( ρεpp = (1.16)

in cui ε è l’energia interna per unità di volume, mentre ρ è la densità.

L’equazione di stato [6] è

)1~( −= γεp (1.17)

La forma generale dell’equazione usata per γ~ è

( )( )[ ]16151413

1211109

38

27

26

254321

exp1

~

aYaZYaaYZaZaYaa

ZaYZaZaYaYZaZaYaa

+++++++

+

+++++++=γ (1.18)

in cui

( )292.1/log10 ρ=Y (1.19)

( )4.78408//log10 ρε=Z (1.20)

I coefficienti dell’equazione precedente sono riportati nell’Appendice C. Per

mezzo del software MATLAB è stato possibile calcolare una tabella della pressione

relativa a diversi valori dell’energia interna per unità di volume e della densità.

Inoltre è stato necessario ricavare anche in MATLAB le griglie delle derivate della

pressione rispetto all’energia interna e alla densità:

ρεκ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=p (1.21)

ερχ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=p (1.22)

attraverso le differenze finite. In Appendice C ci sono i dettagli e le espressioni per

ricavare tali tabelle.


16

Equazioni di Navier-Stokes per un fluido

17

Capitolo 2

2. Equazioni di Navier-Stokes per un fluido

2.1 Introduzione

La fluidodinamica è la scienza che studia il comportamento dei fluidi, ovvero

liquidi e gas in movimento. La Fluidodinamica Computazionale (brevemente detta

CFD, Computational Fluid Dynamics) è la tecnica che permette lo studio dei problemi

di fluidodinamica mediante l'utilizzo del computer. La risoluzione di un problema

fluidodinamico comporta generalmente la risoluzione di equazioni per il calcolo di

diverse proprietà del fluido, come ad esempio velocità, pressione, densità, e

temperatura, in funzione dello spazio e del tempo.

La fluidodinamica e le sue discipline derivate (come ad esempio, aerodinamica,

idrostatica, idrodinamica, idraulica) hanno una grande varietà di campi di applicazione.

Può ad esempio essere usata per il calcolo di forze e momenti di superfici esposte

all'azione dei fluidi (ad esempio riguardo lo studio di profili alari in campo aeronautico

o automobilistico Fig. 2.1), oppure per studi di comfort ambientale, diffusione di

sostanze inquinanti o meteorologia.

Fig. 2.1. Flussi d'aria creatisi lungo la carrozzeria dell'automobile.


18

Lo studio della fluidodinamica interna può essere applicata a tutte le

problematiche di moti in condotti, di notevole interesse nel campo dell'ingegneria

petrolchimica, nello studio dei motori o del condizionamento.

Le leggi fondamentali della fluidodinamica sono le equazioni del bilancio (anche

dette leggi di conservazione) e, in particolare, l'equazione di continuità (o conservazione

della massa), la legge di conservazione della quantità di moto (anche nota come seconda

legge di Newton) e la legge di conservazione dell'energia. Queste leggi sono basate

sulla meccanica classica e vengono modificate nella meccanica relativistica.

Le equazioni del bilancio per la fluidodinamica vengono dette equazioni di

Navier-Stokes, e sono equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari.

Le equazioni di Navier-Stokes nella loro forma non semplificata non hanno una

soluzione generale in forma chiusa, e vengono risolte in tal modo solo con la

metodologia della CFD.

A seconda del problema fisico possono essere semplificate in diversi modi. In

alcuni casi ciò permette di ottenere una soluzione analitica in forma chiusa.

In un problema di fluidodinamica, il fluido in esame viene detto comprimibile se

le variazioni di densità hanno effetti apprezzabili sulla soluzione. Se le variazioni di

densità hanno effetti trascurabili nel campo fluidodinamico, il fluido viene detto

incomprimibile e quindi le variazioni di densità vengono ignorate. A rigore, sarebbe

necessario e opportuno attribuire la qualifica di comprimibile o incomprimibile al moto:

difatti, i gas, pur comprimibili, posso fluire senza variazioni di volume (in condizioni

isocore).

Al fine di definire il campo di validità dell'ipotesi di incomprimibilità, viene

analizzato il valore il numero di Mach. Generalmente, gli effetti della comprimibilità

possono essere trascurati per numeri di Mach di valore inferiore a 0.3.

Inoltre, quasi tutti i problemi in cui vengono studiati dei liquidi vengono

considerati come incomprimibili. La forma incomprimibile delle equazioni di Navier-

Stokes risulta come una semplificazione della forma generale delle equazioni in cui la

densità viene assunta essere costante.

I problemi di flusso viscoso sono quelli in cui l'attrito del fluido ha effetti

significativi sulla soluzione del campo fluidodinamico. I problemi in cui tali effetti

possono essere trascurati vengono detti inviscidi.


19

Per valutare se gli effetti viscosi possono essere trascurati, viene definito il

numero di Reynolds, che misura il 'peso' degli effetti inerziali rispetto agli effetti

viscosi. Tuttavia, la definizione del numero di Reynolds critico deve essere fatta caso

per caso, a seconda del particolare problema trattato. Inoltre, anche in regimi ad alto

numero di Reynolds, possono sussistere delle zone del campo dove non possono essere

trascurati gli effetti viscosi; in particolare nei problemi dove devono essere calcolate le

forze indotte dal fluido su corpi solidi (ad esempio superfici alari).

Fig. 2.2. Simulazione di fluidodinamica di un Boeing 787.

Le equazioni di Navier-Stokes nella forma semplificata per flussi inviscidi

vengono dette equazioni di Eulero. Un altro modello spesso usato (ad esempio nella

CFD) prevede di utilizzare le equazioni di Eulero in zone del campo lontane dai corpi

solidi, e la teoria dello strato limite in prossimità di questi. Le equazioni di Eulero,

integrate lungo una linea di flusso diventano la ben nota equazione di Bernoulli.

Si parla di flusso stazionario in fluidodinamica quando tutte le grandezze risultano

essere indipendenti dal tempo. Flussi di questo tipo permettono una forte

semplificazione delle equazioni di Navier-Stokes ed hanno applicazione in una grande

varietà di problemi.

Se un problema è contemporaneamente incomprimibile, inviscido e stazionario,

può essere risolto con le leggi del flusso potenziale, governato dall'equazione di

Laplace. I problemi di questo tipo presentano soluzioni di tipo analitico ottenute come

combinazione lineare di più casi elementari.

I flussi turbolenti sono dominati da ricircolazioni, vortici (Fig. 2.3) e apparente

casualità. I flussi in cui non appare alcun fenomeno turbolento vengono detti flussi

laminari.


20

Fig. 2.3. Turbolenza generata da un aeroplano

È universalmente accettato che i flussi turbolenti obbediscano comunque alle leggi

di Navier-Stokes; nonostante ciò, le equazioni nel caso turbolento risultano essere

troppo complesse per trovare una soluzione analitica e troppo "pesanti" per essere

risolte con gli usuali strumenti computazionali ad eccezione di casi con condizioni ideali

e particolari.

I flussi turbolenti vengono simulati mediante l'ausilio di diversi modelli di

turbolenza, con l'assunzione che il flusso sia laminare al di fuori delle regioni

turbolente.


21

2.2 Equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni differenziali alle

derivate parziali che descrive il comportamento di un fluido dal punto di vista

macroscopico. Le equazioni debbono il loro nome da quello di Claude-Louis Navier e

di George Gabriel Stokes.

L'efficienza predittiva di tali equazioni viene pagata in termini di difficoltà di

calcolo. Nel caso generale coinvolgono infatti cinque equazioni scalari differenziali alle

derivate parziali e un numero di variabili che dipende dalle applicazioni. Il bilancio tra

equazioni e incognite avviene con la definizione delle proprietà del fluido considerato,

delle eventuali forze di campo in gioco e con considerazioni matematiche. Inoltre, a

causa della loro non linearità, le equazioni di Navier-Stokes non ammettono quasi mai

una soluzione analitica (ovvero una soluzione esatta), ma esclusivamente numerica (una

soluzione approssimata con un metodo numerico).

Le equazioni vengono completate dalle condizioni al contorno (condizioni sul

contorno del fluido in esame) e dalle condizioni iniziali (condizioni imposte all'inizio

temporale del fenomeno da studiare). Possono inoltre essere integrate dall'equazione di

stato dei gas perfetti e dalle equazioni di conservazione delle singole specie gassose nel

caso di una miscela di gas.

Nel caso più generale tridimensionale, le equazioni di Navier-Stokes, aggiunte a

quelle dell’energia cinetica k, della dissipazione ε da turbolenza e del trasporto possono

essere scritte nella seguente forma [4]:

Qz

HHy

GGx

FFt

U vvv =∂−∂

+∂−∂

+∂−∂

+∂∂ )()()(

(2.1)

in cui Q è il termine sorgente mentre TkEwvuU ),,,,,,,( ρφρερρρρρ= (2.2)


22

I flussi inviscidi sono:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++

=

φρερ

ρρ

ρρ

ρρρ

uuuk

ukpEwuvu

kpuu

F)( 3

2

322

(2.3.a)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++

=

φρερ

ρρ

ρρρ

ρρ

vvvk

vkpEwv

kpvuvv

G)( 3

2

322

(2.3.b)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

=

φρερ

ρρρρ

ρρρ

wwwk

wkpEkpw

vwuww

H)( 3

2322

(2.3.c)

dove ρ è la densità, kwjviuVrrrr

++= è la velocità, p è la pressione e φ è una

variabile scalare che rappresenta la concentrazione di una specie o la frazione in massa.

L’energia interna totale E è definita come

keE ρρ += (2.4)

in cui e e k sono rispettivamente l’energia interna specifica e l’energia interna

specifica.


23

I flussi viscosi sono:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂∂∂

−++=

)()()(

0

xxxk

qwvuF

k

xxzxyxx

xz

xy

xx

v

φμεμ

μτττ

τττ

φ

ε

(2.5.a)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂∂∂

−++=

)()()(

0

yyyk

qwvuG

k

yyzyyxx

yz

yy

xy

v

φμεμ

μτττ

τττ

φ

ε

(2.5.b)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂∂∂

−++=

)()()(

0

zzzk

qwvuH

k

zzzyzxz

zz

yz

xz

v

φμεμ

μτττ

τττ

φ

ε

(2.5.c)

dove il tensore delle tensioni viscose è

ijijj

i

i

jij uuV

xu

xu

′′′′−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅∇−

∂∂

+∂

∂= ρδμτ )(

32 r

(2.6)

Per le tensioni di Reynolds viene utilizzata l’approssimazione di Boussinesq

ijijj

i

i

jTij kV

xu

xu

uu δρδμρ32)(

32

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅∇−

∂∂

+∂

∂=′′′′−−

r (2.7)


24

in cui μT è il coefficiente di turbolenza viscosa. I termini viscosi contengono una

parte laminare ed una turbolenta. In modo analogo, il flusso di calore è scritto come

DT

pT

pDT qT

ccqTkkq rrr

+∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+∇+−=

PrPr)( μμ (2.8)

dove Dqr è il flusso di energia causato dalla diffusione di massa. La pressione è

calcolata da un’equazione di stato in funzione della densità e dell’energia interna

specifica che per un gas perfetto vale

ekwvuEp ργρργ )1(2

)1(222

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−−= (2.9)

in cui γ è il rapporto tra i calori specifici cp/cv. I coefficienti di diffusione da

turbolenza e le quantità scalari sono approssimate come

k

Tk σ

μμμ += (2.10.a)

εε σ

μμμ T+= (2.10.b)

TL

T

φφφ σ

μσμμ += (2.10.c)

dove σk , σε e σφ sono i numeri di Schmidt.


25

2.3 Equazioni di Eulero

Le equazioni di Eulero rappresentano una particolare forma semplificata delle

equazioni di Navier-Stokes, ottenute nel caso sussista l'ipotesi semplificativa di flusso

inviscido (ovvero con viscosità pari a zero). Esse rappresentano un sistema di equazioni

differenziali non lineari delle leggi di conservazione che governano la dinamica di un

fluido comprimibile, in cui gli effetti delle forze d’inerzia, le tensioni viscose e il flusso

di calore non vengono considerati.

Le variabili primitive o fisiche sono la densità ρ(x, y, z, t), la pressione p(x, y, z, t),

la componente di velocità u(x, y, z, t) lungo l’asse x, la componente di velocità v(x, y, z,

t) lungo l’asse y, la componente di velocità w(x, y, z, t) lungo l’asse z. È possibile

esprimere le equazioni di Eulero per mezzo delle variabili conservative. Tali variabili

sono la densità, le componenti della quantità di moto lungo gli assi x, y, z e l’energia

totale E per unità di massa. Dal punto di vista computazionale, si traggono alcuni

vantaggi esprimendo le equazioni della fluidodinamica in termini delle variabili

conservative. In questo modo possono essere risolte con metodi numerici chiamati

appunto metodi conservativi [7].

Legge di conservazione della massa:

0)()()( =+++ zyxt wvu ρρρρ (2.11)

Legge di conservazione della quantità di moto lungo l’asse x:

0)()()()( 2 =++++ zyxt uwuvpuu ρρρρ (2.12)

Legge di conservazione della quantità di moto lungo l’asse y:

0)()()()( 2 =++++ zyxt uwpvuvv ρρρρ (2.13)

Legge di conservazione della quantità di moto lungo l’asse z:

0)()()()( 2 =++++ zyxt pwvwuww ρρρρ (2.14)

Legge di conservazione dell’energia:

[ ] [ ] [ ] 0)()()( =++++++ zyxt pEwpEvpEuE (2.15)

Le precedenti leggi di conservazione possono essere espresse con una notazione

più compatta definendo il vettore colonna U delle variabili conservative e i vettori dei

flussi F(U), G(U), H(U) nelle direzioni x, y e z rispettivamente.


26

Le equazioni diventano:

0)()()( =+++ zyxt UHUGUFU (2.16)

in cui i vettori sono:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Ewvu

Uρρρρ

(2.17)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

)(

2

pEuuwuv

puu

Fρρ

ρρ

(2.18.a)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

)(

2

pEvuw

pvuvv

Gρ

ρρρ

(2.18.b)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=

)(

2

pEwpw

vwuww

Hρρρρ

(2.18.c)

È importante notare che i flussi sono funzioni delle variabili conservative.


27

2.4 Equazioni di Eulero 1 D

Nel caso monodimensionale vengono a mancare i flussi e le componenti di

velocità lungo due assi.

Legge di conservazione della massa:

0)( =+ xt uρρ (2.19)

Legge di conservazione della quantità di moto lungo l’asse x:

0)()( 2 =++ xt puu ρρ (2.20)

Legge di conservazione dell’energia:

[ ] 0)( =++ xt pEuE (2.21)

L’equazione di Eulero scritta nella forma compatta è:

0=∂∂

+∂∂

xF

tU (2.22)

che può essere scritta nella forma riportata di seguito in cui i pedici rappresentano

le derivate parziali

0=+ xt FU (2.23)

Il vettore delle variabili conservative e del flusso sono

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

EuU ρρ

(2.24)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=

)(

2

pEupu

uF ρ

ρ (2.25)


28

Metodo di Roe

29

Capitolo 3

3. Metodo di Roe

3.1 Principi di base del metodo di Roe

In questo paragrafo, viene descritto l’approccio di Roe per la risoluzione

dell’equazione di Eulero nel caso monodimensionale [7]. Sostanzialmente si vuole

calcolare l’andamento delle variabili conservative nel tempo e nello spazio per un

assegnato problema. La discretizzazione dell’asse spaziale e temporale, comporta la

risoluzione di una successione di leggi di conservazione, per ogni volumetto di controllo

(cella) nel piano x-t, che rappresentano appunto una successione di problemi di

Riemann.

L’attenzione verrà concentrata sulla risoluzione numerica del problema generale in

una arbitraria cella, note le condizioni iniziali e al contorno (IBVP).

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

=+

)(),()(),0()()0,(

0)()0(

tUtLUtUtUxUxU

UFU

r

l

xt

(3.1)

nel dominio xl ≤ x ≤ xr utilizzando la formula conservativa esplicita

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ΔΔ

+=+−

+

21

21

1

ii

ni

ni FF

xtUU (3.2)

Fig. 3.1. Condizioni iniziali del problema di Riemann.

Metodo di Roe

30

Si assume che la soluzione del IBVP esista. Viene definito il flusso numerico di

Godunov all’intercella

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

++)0(

21

21 ii

UFF (3.3)

in cui )0(21

+iU è la soluzione esatta )/(

21 txU

i+ del problema di Riemann

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

⎩⎨⎧

=

=+

00

)0,(

0)(

xx

sese

UU

xU

UFU

R

L

xt

(3.4)

valutata in x/t = 0. Nel caso monodimensionale, i vettori delle variabili

conservative e del flusso sono:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

EuU ρρ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=

)(

2

pEupu

uF ρ

ρ (3.5)

Introducendo il parametro vettore

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

zzz

HuZ

ρρρ

(3.6)

i vettori delle variabili conservative e del flusso si possono scrivere in funzione di

Z:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

pzzzz

zZU

31

21

21

)( ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+=

32

22

21

)(zz

pzzz

ZF (3.7)

È facile notare che i precedenti vettori sono quadratici in Z a meno del termine che

rappresenta la pressione.

Metodo di Roe

31

In questo modo, quando si va a valutare la variazione di flusso tra due nodi [8],

dxZFdxxZ

ZFdx

xFdxFFF

i

i

i

i

i

i

i

i

x

xxZ

x

x

x

x

x

xxii ∫∫∫∫

++++

=∂∂

∂∂

=∂∂

==−+

1111

1 (3.8)

Fig. 3.2. Andamento di Z nello spazio.

siccome Z è una funzione lineare da nodo a nodo (Fig. 3.2), la sua derivata rispetto

ad x in una cella risulta essere costante e quindi la variazione di flusso è

dxFx

ZZFF

i

i

x

xZ

iiii ∫

+

Δ−

=− ++

11

1 (3.9)

Per un gas perfetto non ionizzato è possibile esprimere la pressione in funzione del

parametro vettore e si scopre che è una funzione quadratica in z

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

21 2

321

zzzp

γγ (3.10)

Applicando il teorema del valor medio la variazione di flusso vale

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

+++

2111 )(

iZiiii ZFZZFF (3.11)

in cui FZ è la matrice jacobiana valutata in un opportuno stato medio.

Metodo di Roe

32

3.2 Generalizzazione del metodo per un gas reale in equilibrio termodinamico

È possibile estendere il metodo di Roe al caso di un plasma nelle condizioni di

equilibrio. Vengono considerate le equazioni di Eulero nel caso monodimensionale, ma

lo schema può essere facilmente esteso alle tre dimensioni spaziali. Si considerino le

equazioni di Eulero in una dimensione spaziale scritte nella forma compatta (2.23), in

cui i vettori U ed F vengono definiti in modo leggermente differente

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

EmUρ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=

ρρρ

/)(/2

mpEpm

uF (3.12)

dove m = ρu è la quantità di moto per unità di volume, u è la velocità, ed E è l’energia

totale per unità di volume 2

212

21 uueE ρερρ +=+= (3.13)

in cui ε è l’energia interna per unità di volume.

L’equazione di Eulero (2.22) può essere scritta in un’altra forma, sfruttando il

fatto che il flusso è funzione delle variabili conservative del vettore U

0)( =∂∂

+∂∂

xUUA

tU (3.14)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

)(

UF

UF

UF

UF

UF

UF

UF

UF

UF

UFUA (3.15)

Se la matrice Jacobiana del flusso A(U) fosse costante il problema consisterebbe

nella risoluzione di un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti, la cui

soluzione è facilmente ricavabile in modo esatto. Come è stato già detto, il vettore del

flusso è funzione delle variabili conservative, ma poiché compare la pressione in una

sua componente, bisogna scegliere la giusta equazione di stato. Per un gas perfetto non

ionizzato vale la (3.10) che sostituita nella (3.7) permette di calcolare la matrice

Jacobiana in modo semplice.

Metodo di Roe

33

Ciononostante, la matrice Jacobiana del flusso può essere definita in generale

considerando la pressione come una funzione delle variabili conservative [3]

),,( Emp ρΠ= (3.16)

Per un gas nelle condizioni di equilibrio, la pressione è una funzione di due sole

variabili indipendenti. Tuttavia l’equazione precedente rappresenta una forma molto

conveniente per generalizzare lo schema di Roe per un gas con un’arbitraria equazione

di stato.

La matrice Jacobiana è composta dalle derivate parziali di tutte le componenti del

flusso rispetto a tutte le variabili conservative.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Π+Π+−ΠΠ+Π−Π=

uuHuHuuA

Em

Em

)1()(2

0102

ρ

ρ (3.17)

dove 221 uhH += rappresenta l’entalpia totale per unità di massa, mentre le derivate

della pressione sono definite da

Em,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Π∂

=Πρρ

Em m ,ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Π∂

=Π m

E E ,ρ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Π∂

=Π (3.18)

Il differenziale della pressione vale

dEdmddp Em Π+Π+Π= ρρ (3.19)

e la velocità del suono in funzione di tali grandezze

EuHa Π−+Π= )( 22ρ (3.20)

Metodo di Roe

34

3.3 Calcolo dello stato medio dei coefficienti della linearizzazione

Il metodo di Roe è basato sulla linearizzazione locale dell’equazione di Eulero

(3.14) semplicemente considerando costante la matrice Jacobiana

0~=

∂∂

+∂∂

xUA

tU (3.21)

all’interfaccia di ogni cella. Il problema di Riemann definito dall’equazione precedente

e dalle condizioni iniziali UL , UR attraverso l’interfaccia viene poi risolto in modo

esatto. La matrice ),(~~RL UUAA = viene definita dal seguente set di proprietà:

1) ),(~~RL UUAA = costituisce un rilevamento lineare dallo spazio vettoriale U allo

spazio vettoriale F;

2) UUUUAUUAA RLRL →→→= )(),(~~ ;

3) ),(~~RL UUAA = ha autovettori linearmente indipendenti;

4) ),(~~RL UUAA = deve soddisfare la relazione:

UUUAF RL Δ=Δ ),(~ (3.22)

L’operatore LR )()()( ⋅−⋅=⋅Δ rappresenta il salto della quantità )(⋅ attraverso

l’interfaccia tra i nodi destro e sinistro.

La proprietà 4) è una condizione sufficiente affinché il metodo sia conservativo perché

assicura il soddisfacimento delle equazioni di conservazione.

Usando la tecnica del parametro vettore, Roe derivò la matrice A~ per un gas

perfetto in cui tutti gli elementi vengono valutati in un certo stato medio definito da

RL

RRLLRoρρρρ

+

⋅+⋅=⋅

)()()( (3.23)

Con questa definizione segue che la velocità media vale

RL

RRLL uuu

ρρρρ

+

+=~ (3.24)

Mentre l’entalpia media è

RL

RRLL HHH

ρρ

ρρ

+

+=~ (3.25)

Metodo di Roe

35

Se viene considerato un gas reale governato da una generica equazione di stato, i

risultati ottenuti sopra non possono essere giustificati. Molte delle formulazioni

proposte sono state estrapolate dai risultati del metodo di Roe per un gas perfetto.

Il problema è complicato dal fatto che per una generica equazione di stato per la

pressione, lo stato medio non è univocamente definito. Perciò, apparentemente ci sono

tre caratteristiche che conducono a differenti generalizzazioni dello schema di Roe nel

caso di gas reale:

1) il modo di ricavare la matrice A~ ;

2) il modo in cui la pressione viene riferita alle altre variabili termodinamiche;

3) la non univocità dello stato medio.

Selezionando un’equazione di stato per la pressione e calcolando le sue derivate, è

possibile valutare la matrice Jacobiana in un opportuno stato medio. La formulazione

generale qui adottata, permette di ricavare, benché lo stato medio non sia univocamente

definito, la definizione di A~ . Questo rappresenta un’effettiva generalizzazione del

risultato ottenuto da Roe nel caso di gas perfetto.

In definitiva si vuole dimostrare che cominciando dall’equazione di stato generale

della pressione e dall’espressione dello Jacobiana, si arriva alla definizione di A~ come

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Π+Π+−ΠΠ+Π−Π=

uuHuHuuA

Em

Em~)~1(~~~~)~~(

~~2~~~010

~ 2

ρ

ρ (3.26)

in cui u~ ed H~ sono date dalle espressioni precedenti come nello schema di Roe

originale e con le derivate medie della pressione che soddisfano la relazione lineare

Emp Em ΔΠ+ΔΠ+ΔΠ=Δ ~~~ ρρ (3.27)

che corrisponde alla discretizzazione del differenziale della pressione (3.19), mediato tra

i due stati.

Riprendendo la definizione del parametro vettore (3.6) e le matrici (3.7), seguendo

l’approccio originale di Roe, si ricavano due matrici )(ZB e )(ZC , con

)(21

LR ZZZ += (3.28)

così che

ZZBF Δ=Δ )( ZZCU Δ=Δ )( (3.29)

Metodo di Roe

36

Dall’equazione (3.22) segue immediatamente che 1)()(~ −= ZCZBA (3.30)

Il problema principale è di esprimere il salto di pressione pΔ in termini delle

componenti del salto ZΔ . Dalla definizione di entalpia totale si ricava che

pHE Δ−Δ=Δ )(ρ (3.31)

Poi, assumendo di avere la relazione lineare (3.27), si ricava

[ ])(~)(~~~1

1 Hup EmE

ρρρρ ΔΠ+ΔΠ+ΔΠΠ+

=Δ (3.32)

Inoltre, dalla definizione del parametro vettore Z si può ricavare

112 zz Δ=Δρ (3.33.a)

2112)( zzzzu Δ+Δ=Δ ρ (3.33.b)

3113)( zzzzH Δ+Δ=Δ ρ (3.33.c)

E quindi

[ ]31211321~~)~~~2(~1

1 zzzzzzzzp EmEmE

ΔΠ+ΔΠ+ΔΠ+Π+ΠΠ+

=Δ ρ (3.34)

Avendo espresso il pΔ in termini delle componenti dei salti ZΔ , dalla (3.29) si

ricavano direttamente le matrici

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Π+Π

Π+Π

+Π+

Π+Π+Π=

23

112

321

12

0

~1

~~1

~2~1

~~~20

)(

zz

zzz

zzzzz

ZBE

E

E

m

E

Emρ (3.35)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Π+Π+Π−

Π+

Π−Π−=

EE

m

E

m zzzzzzz

zZC

~1~1

~~1

~~20002

)(

11213

12

1

ρ

(3.36)

Notando che i rapporti

uzz ~

1

2 = Hzz ~

1

3 =

rappresentano le usuali medie di Roe, Eq. (3.24) e (3.25), si possono sostituire le

(3.35) e (3.36) nell’Eq. (3.30) conducendo alla matrice A~ data dalla (3.26).

Metodo di Roe

37

Invece di trovare direttamente A~ , può essere adottato un altro approccio per

determinare lo stato medio e cioè quello che soddisfa le relazioni:

∑=

=Δ3

1

~~~p

ppp rF λβ (3.37)

∑=

=Δ3

1

~~p

pp rU β (3.38)

in cui pλ~ sono gli autovalori della matrice A~ definita dalla (3.26), e cioè

u~~1 =λ au ~~~

2 +=λ au ~~~3 −=λ (3.39)

ed pr~ sono i corrispondenti autovettori destri, che sono le colonne della matrice

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+Π

−

−+=

uaHuaHaH

auauuR

E

~~~~~~~~~

~~~~~111

~2

(3.40)

Le pβ~ sono le intensità delle onde, cioè le componenti del vettore β~ :

[ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ−Δ−Δ

Δ−Δ+Δ

Δ−Δ

=Δ= −

ρρ

ρρ

ρ

β

uuaa

p

uuaa

pa

p

UR

~)(~21

~2

~)(~21

~2

~~~

2

2

2

1 (3.41)

La velocità del suono media, definita dal calcolo degli autovalori, è

EuHa Π−+Π= ~)~~(~~ 22ρ (3.42)

Sviluppando le relazioni (3.38), è facile controllare che la prima e la seconda si

riducono ad un’identità. La terza relazione diventa

EE

puuauHEΠΔ

+Δ+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Π−−=Δ ~)(~~

~~~ 22 ρρ (3.43)

ed utilizzando la definizione (3.42) essa diventa

Emup EE ΔΠ+ΔΠ−ΔΠ=Δ ~~~~ ρρ (3.44)

L’equazione (3.44) è equivalente alla relazione lineare (3.27) se

Em uΠ−=Π ~~~ (3.45)

Metodo di Roe

38

Tornando adesso alle relazioni (3.37), la prima restituisce nuovamente un’identità.

La seconda relazione diventa

0)()(~2~ 22 =Δ+Δ−Δ uuuu ρρρ (3.46)

Infine la terza relazione diventa

[ ] )(~~

~~)()(~)(~~ uuuuHHuuuHE

m ρρρρρ Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΠΠ

++Δ−Δ=Δ−Δ (3.47)

Considerando l’equazione precedente, gli ultimi termini svaniscono ottenendo

[ ] )()(~)(~~ uHHuuuH ρρρρ Δ−Δ=Δ−Δ (3.48)

che definisce H~ come la (3.25).

Metodo di Roe

39

3.4 Stato medio per un gas perfetto non ionizzato

Per completare la formulazione generale qui proposta, è necessario valutare le

derivate medie della pressione (3.18) in termini delle derivate di opportune variabili

termodinamiche in base all’equazione di stato scelta.

Nelle condizioni di equilibrio termodinamico locale, la pressione può essere

riferita ad altre due variabili termodinamiche attraverso una generica equazione di stato

della forma

),(),,( ρρ ipEmp =Π= (3.49)

dove la variabile i può essere l’energia interna, per unità di massa e o per unità di

volume ε, oppure la temperatura T. A seconda della scelta fatta, le derivate della

pressione (3.18) e la matrice Jacobiana del flusso assumono una differente forma,

influenzando così la determinazione dello stato medio di Roe.

La valutazione delle derivate medie della pressione può essere effettuata seguendo

le fasi:

• scelta dell’equazione di stato nella forma (3.49);

• da considerazioni termodinamiche, dedurre le relazioni:

EmxeupipD

ix ,,,,...,,,, ρρ

ρρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Π (3.50)

che soddisfino la (3.19);

• assumere che le relazioni (3.50) portino ai valori medi come:

EmxeupipD

ix ,,,,...~,~,~,

~,

~~ ρρρρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Π (3.51)

• sostituire le relazioni (3.51) nella (3.27).

Come esempio si consideri un gas perfetto per cui vale

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

ργ

2

21)1( mEp (3.52)

Le derivate della pressione sono facilmente calcolabili

2

21u−

=Πγ

ρ um )1( −−=Π γ 1−=Π γE (3.53)

Metodo di Roe

40

Sostituendo le medie delle (3.53) nella (3.27) si ottiene

Euuup Δ−+Δ−−Δ−

=Δ )1()(~)1(~2

1 2 γργργ (3.54)

Combinando l’Eq. (3.52) con la precedente si ha

[ ] 0)()(~2~2

1 22 =Δ+Δ−Δ− uuuu ρρργ (3.55)

che è soddisfatta perché vale l’Eq. (3.46). Le derivate, sopra riportate, dimostrano che

per un gas perfetto lo stato medio di Roe è definito in modo univoco e che i risultati dati

dalle Eq. (3.26) e (3.27) riconducono esattamente allo schema originale di Roe per un

gas perfetto.

Metodo di Roe

41

3.5 Generalizzazione di Vinokur-Montagnè per un plasma

Vinokur e Montagnè [3] considerano un’equazione di stato della forma

),( ρεpp = (3.56)

Trattano, quindi, la pressione come una funzione dell’energia interna per unità di

volume e della densità. Usando la notazione di Vinokur, le derivate dell’equazione di

stato vengono indicate come

ρεκ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=p

ερχ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=p (3.57)

Per ottenere le derivate della pressione nella forma generale dell’Eq. (3.50), si

procede come segue: differenziando l’Eq. (3.56) si ha

ρχεκ dddp += (3.58)

Poi considerando l’energia interna ),,( Emρεε = si ottiene

dEE

dmm

ddmEEm ,,, ρρ

εερρεε ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= (3.59)

Inserendo la precedente equazione nella (3.58), si ricava

dEE

dmm

dddpmEEm ,,, ρρ

εκεκρρεκχ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=Π= (3.60)

Richiamando l’equazione dell’energia interna

ρε

2

21 mE −=

dall'Eq. (3.60) si possono facilmente ricavare le derivate della pressione

κχρ2

21 u+=Π κum −=Π κ=Π E (3.61)

Metodo di Roe

42

Inserendo poi, i valori medi delle (3.61) nell’Eq. (3.27) si ottiene

Euuup Δ+Δ−Δ+=Δ κρκρκχ ~)(~~)~~~( 221 (3.62)

Dalla definizione di energia totale per unità di volume )( 221 uE ρε Δ+Δ=Δ si ha

[ ])()(~2~~~~ 2221 uuuup ρρρκεκρχ Δ+Δ−Δ+Δ+Δ=Δ (3.63)

Ciò che è contenuto nelle parentesi quadre è nullo per l’Eq. (3.46) ed infine

εκρχ Δ+Δ=Δ ~~p (3.64)

Questa relazione lineare delle derivate della pressione non è sufficiente a definire

lo stato medio.

Per definire in modo univoco i valori di χ~ e κ~ , Vinokur e Montagnè [9]

propongono una procedura che utilizza le informazioni date dai due stati termodinamici

L ed R. Integrando l’Eq. (3.58), in modo parametrico, tra gli stati L ed R e usando la

(3.64) si arriva alle relazioni generali

∫=1

0)](),([~ dttt ρεχχ (3.65.a)

∫=1

0)](),([~ dttt ρεκκ (3.65.b)

in cui il parametro t è normalizzato in modo che tL=0 e tR=1.

L’esatta valutazione degli integrali (3.65) è, in generale, laboriosa ed in pratica è

necessaria un’approssimazione. Si può pensare di approssimare i valori delle derivate a

quelli del punto medio

),(ˆ MMM ρεχχχ == (3.66.a)

),(ˆ MMM ρεκκκ == (3.66.b)

in cui lo stato medio è definito da 2/)( RLM ρρρ += e 2/)( RLM εεε += , oppure

secondo la regola trapezoidale

2/)(ˆ RL χχχ += (3.67.a)

2/)(ˆ RL κκκ += (3.67.b)

Metodo di Roe

43

Infine, quando i due stati L ed R sono molto distanti, si può applicare la regola di

Simpson

6/)4(ˆ RML χχχχ ++= (3.68.a)

6/)4(ˆ RML κκκκ ++= (3.68.b)

Poi bisogna cercare i valori di χ~ e κ~ che soddisfano la (3.64) e che sono più

vicini ai valori approssimati χ e κ . Per portare a termine quanto detto, basta proiettare

nel piano κχ − il punto )ˆ,ˆ( κχ sulla retta definita dall’Eq. (3.64). Conviene manipolare

quest’ultima equazione in modo da lavorare nel piano κχκ //1 − (Fig. 3.3) ed

effettuare una adimensionalizzazione dal fattore s .

Fig. 3.3. Ricerca delle derivate medie.

Infine si ottengono le relazioni

ppDpsD

δρδχχ

Δ−Δ+

=ˆˆ~ (3.69.a)

ppDD

δκκΔ−

=ˆ~ (3.69.b)

con hs

psDpp

κχρ

εκρχδ

+=Δ+Δ=Δ−Δ−Δ=

ˆˆ)()ˆ(

ˆˆ22 (3.70)

dove hκ è valutato applicando al prodotto h⋅κ , la stessa formula di integrazione

usata per χ e κ .

Metodo di Roe

44

Per l’entalpia vale l’espressione 2

21 ))(1()1( uhhh RL Δ−+−+= αααα (3.71)

in cui RL

L

ρρρ

α+

= (3.72)

Quando ρΔ o εΔ tendono a zero, le espressioni (3.69) non hanno alcun senso,

perché i denominatori sono nulli. In questo caso, basta utilizzare l’espressione (3.68.a) e

(3.68.b) se, rispettivamente, 0=Δρ e 0=Δε .

La scelta dell’energia interna per unità di volume e della densità come variabili

termodinamiche indipendenti, permette di minimizzare il numero di variabili

indipendenti che devono essere mediate. In questo modo, lo stato medio di Roe è

definito da: u~ , H~ , κ~ e χ~ , che non contiene esplicitamente la densità o l’energia

interna, rimanendo più vicino al metodo originale di Roe per un gas perfetto non

ionizzato.

Simulazioni numeriche di un tubo d’urto 1D attraverso il metodo di Roe

45

Capitolo 4

4. Simulazioni numeriche di un tubo d’urto 1D attraverso il

metodo di Roe

4.1 Il tubo d’urto

Fisicamente questo oggetto è un tubo contenente del gas, inizialmente diviso da

una membrana in due sezioni (Fig. 4.1). Il gas ha una pressione più alta in una metà del

tubo rispetto all’altra, ed all’inizio la sua velocità è ovunque nulla. All’istante t = 0, la

membrana viene improvvisamente rotta o rimossa, ed il gas diviene libero di fluire. Ci

si aspetta ovviamente un moto nella direzione della pressione minore.

Fig. 4.1. Schematizzazione del tubo d’urto.

Assumendo che il flusso sia uniforme lungo la sezione del tubo (ciò implica la

trascurabilità degli effetti dissipativi del gas) è possibile descrivere tale sistema

mediante le equazioni di Eulero monodimensionali.

La struttura del flusso risulta essere molto interessante, coinvolgendo tre distinte

onde che separano regioni in cui le variabili di stato sono costanti. Attraverso due di

queste onde sono presenti discontinuità di qualcuna delle variabili di stato.

Un’onda d’urto si propaga nella regione di bassa pressione, ed attraverso di essa la

densità e la pressione sono soggette ad un repentino aumento di valore; tutte le variabili

di stato sono discontinue.


46

Fig. 4.2. Andamento della pressione lungo x

Questa è seguita da una discontinuità di contatto, attraverso cui la densità è

nuovamente discontinua ma la velocità e la pressione restano costanti.

Fig. 4.3. Andamento della densità lungo x

La terza onda si muove in direzione opposta alle prime due ed ha una struttura

molto differente: tutte le variabili di stato sono continue e c’è una transizione dolce tra i

due stati che essa separa. Questa è detta onda di rarefazione o di espansione poiché la

densità del gas decresce quando questa lo attraversa.

Fig. 4.4. Andamento della velocità lungo x


47

Se si posiziona la discontinuità iniziale nel punto x = 0, allora la soluzione

risultante U(x,t) è una “soluzione simile” nella variabile x/t. Ciò significa che U(x,t) può

essere espressa mediante una sola funzione di detta variabile: U(x,t) = W(x/t). Ne

consegue che U(x,t) = U(αt, αx) per qualunque α maggiore di zero, cioè la soluzione nei

due istanti t ed αt è la stessa purché si faccia una opportuna scalatura dell’asse x. Questa

proprietà inoltre implica che le onde si muovono con velocità costante e che la

soluzione U(x,t) risulta costante lungo qualsiasi retta passante per l’origine del piano x-t.

Fig. 4.5. Struttura delle onde nel piano x-t

I grafici riportati nelle Fig. 4.2, 4.3 e 4.4 rappresentano l’andamento delle variabili

di stato lungo l’asse x all’istante t = 1, per esempio. Viene inoltre mostrata anche la

struttura delle onde nel piano x-t (Fig. 4.5). In un esperimento reale, le variabili di stato

non sarebbero discontinue attraverso l’onda d’urto ed attraverso la discontinuità di

contatto a causa degli effetti della viscosità e del flusso di calore. Questi sono ignorati

nelle equazioni di Eulero.

Se vengono considerati questi effetti, usando le equazioni di Navier-Stokes

complete, allora la soluzione del problema sarebbe una funzione continua. Tuttavia,

questa soluzione sarebbe quasi discontinua, nel senso che avremmo delle variazioni

finite delle variabili di stato su distanze microscopiche comparate con la lunghezza del

tubo d’urto. Quindi la soluzione continua e quella discontinua sono quasi indistinguibili,

ed è per questa ragione che si ignorano i termini diffusivi e si lavora con le più semplici

equazioni di Eulero.


48

4.2 Il metodo di Roe per il tubo d’urto

Per lo studio numerico del tubo d’urto viene risolta la legge di conservazione

omogenea del tipo

0)) ,(() ,( =+ xt txUFtxU (4.1)

La funzione di flusso F(U) può anche dipendere esplicitamente da x e da t, come pure

da U. La richiesta base fatta ad un sistema omogeneo è che esso sia iperbolico, nel senso

che si può definire un risolutore per il problema di Riemann rispettivo (Cap. 3.1) che

per ogni coppia di volumi caratterizzati dagli stati ii UeU 1- fornisce un insieme di m

onde piW e di velocità p

iλ che soddisfano la relazione

i

m

pii

p UUUW Δ===

∑1

1- - (4.2)

Il risolutore di Riemann deve fornire anche una fluttuazione viaggiante verso

sinistra, UΔ-A , ed una fluttuazione viaggiante verso destra, UΔ+A . Le notazioni

utilizzate sono motivate dalla loro definizione per sistemi di equazioni lineari. Nel caso

standard conservativo deve risultare che

)(-)(AA 1--

iiii UFUFUU =Δ+Δ + (4.3)

ad ogni interfaccia tra i volumi.

Si consideri un sistema lineare di equazioni iperboliche omogeneo. La matrice m x m A

ha autovettori r p ed autovalori reali pλ per p = 1, 2, …, m. Ogni 1- - iii UUU =Δ si può

decomporre come combinazione lineare di questi autovettori

∑∑1

≡ pi

m

i

ppii WrU

=

=Δ α (4.4)

Ciò definisce le onde ppi

pi rα=W , e le velocità delle onde sono semplicemente gli

autovalori pλ . La matrice A si può decomporre come segue 1RΛR=A - (4.5)

ove ]rrr[=R m21 ... è la matrice degli autovettori e )λ,λ,λ(diag=Λ m1 ,... 2 è la

matrice diagonale avente sulla diagonale gli autovalori di A.


49

Si definiscono poi le quantità

)0,λ(min=λ)0,λ(max=λ ppp+p - (4.6)

e le matrici 1±±±p± RΛR=A)λ(diag=Λ - (4.7)

Definendo 0iU il valore della grandezza all’interfaccia che viene fuori dalla soluzione

del problema di Riemann, con i dati ii UeU 1- rispettivamente a sinistra e a destra. Per i

problemi lineari risulta che

∑<

+=0

1-0

pi

piii WUU

λ

(4.8)

perciò il flusso all’interfaccia è dato da

∑<

Δ+=+==0

-1-1-

00 )(pi

iip

ip

iii UAAUWAUAUUFλ

λ (4.9)

o alternativamente

iii UAAUUF Δ= + -)( 0 (4.10)

Le differenze di flusso sono definite come:

∑

∑

0

-1-

0

0

0

)(-)(

)( - )(

<

>

+

Δ==

Δ==

pi

pi

ip

ip

ii

ip

ip

ii

UAWUFUF

UAWUFUF

λ

λ

λ

λ

(4.11)

il che motiva le notazioni utilizzate.


50

4.3 Metodo upwind splitting

Siccome le componenti del vettore F sono funzioni delle componenti di U,

l’equazione di Eulero può essere scritta nella forma come

00 =+⇒=∂∂

+ xtxt AUUUUFU (4.12)

in cui A rappresenta la matrice Jacobiana. Se tale matrice è costante, la (4.12)

rappresenta un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali omogeneo a

coefficienti costanti.

La (4.12) rappresenta un sistema iperbolico dato che la matrice A possiede

autovalori reali )(kλ e un set completo di autovettori, in modo da essere riscritta

LRA Λ= (4.13)

in cui R ed L sono le matrici degli autovettori destri e sinistri rispettivamente,

mentre, Λ rappresenta la matrice diagonale degli autovalori.

L’equazione di Eulero (4.12) può essere scritta in una forma vantaggiosa dal punto

di vista computazionale [8]

0=Λ+=+ xtxt WWLARWW (4.14)

in cui è stato effettuato il seguente cambio di variabili:

( )( )⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂−∂∂+∂

∂−∂=∂=∂

uapuap

pULW

a

ρρ

ρ

2121

12

(4.15)

L’equazione (4.14) contiene tre equazioni differenziali scalari

0)(

)()(

=∂

∂+

∂∂

xw

tw k

kk

λ (4.16)

Se si suppone di conoscere )(kw ad un certo istante di tempo nt in un punto della

griglia lungo l’asse x, ad esempio al nodo i, è possibile ottenere il valore di )(kw

all’istante successivo 1+nt in un punto compreso tra i nodi i-1 e i+1, proprio perché tale

valore si mantiene costante lungo la caratteristica )(kdtdx λ= nella dimensione spazio-

tempo.


51

Si consideri, adesso, l’approssimazione al primo ordine della derivata rispetto al

tempo in un punto della griglia ( ni tx , ) come mostrato dalla Fig. 4.6

tww

wni

ni

t Δ−

=+1

(4.17)

Per quanto riguarda la derivata spaziale si consideri l’approssimazione al secondo

ordine nel nodo centrale

xww

wni

ni

x Δ−

= −+

211 (4.18)

Fig. 4.6. Discretizzazione nel dominio x-t

Sostituendo queste approssimazioni l’equazione di Eulero diventa

011)(1

=Δ−

+Δ− −+

+

xww

tww n

inik

ni

ni λ (4.19)

L’equazione differenziale è stata sostituita con una alle differenze finite. Noti i

valori delle grandezze al livello temporale n, possono essere calcolati quelli relativi

all’istante di tempo n+1

)( 11211 n

ini

ni

ni wwcww −++ −−= (4.20)

in cui xtc k ΔΔ= )(λ . Questa quantità dimensionale rappresenta il numero di

Courant-Friedrichs-Lewy o CFL number.

Il CFL number rappresenta il rapporto tra la velocità di propagazione dell’onda

relativa all’equazione differenziale alle derivate parziali e la velocità di griglia tx ΔΔ

definita dalla discretizzazione del dominio [7].


52

Fig. 4.7. Upwind scheme for positive speed.

Il metodo upwind (detto anche metodo di Godunov del primo ordine) per un

sistema lineare si può scrivere nella forma standard con la differenza di flusso come

] - [- 11

iini

ni FF

xtUU +

+

ΔΔ

= (4.21)

ove 1+niU rappresenta il valore della grandezza U nel volume i all’istante successivo

n+1, e i flussi numerici sono definiti come segue 00 )( iii AUUFF == (4.22)

Si noti che

A)( A-)( 1-

1 +++ Δ+=Δ= i

niii

nii UUFFUUFF (4.23)

che permette di scrivere tale metodo come

] A A [- 1-1

iini

ni UU

xtUU Δ+Δ

ΔΔ

= ++

+ (4.24)

Ciò ha un’interpretazione fisica in termini di propagazione di onde, poiché

iUxt

ΔΔΔ +A è la somma di termini nella forma p

i

p

WxΔλk

su delle onde che si muovono

nella cella i-esima dal bordo sinistro. Ognuno di tali termini è pari alla quantità della

media di cella modificata da quest’onda, in quanto pW è il salto nella U, pλtΔ è la

distanza percorsa nella cella , e dividendo per xΔ si ottiene la frazione di cella coperta.

In modo simile 1-A +Δ

ΔΔ

iUxt ci da la modifica alla media di cella dovuta alle onde che

si propagano da bordo destro della cella i-esima.


53

Ci sono alcuni vantaggi nell’usare la forma di sopra nell’implementazione invece della

definizione standard data all’inizio. Dopo aver calcolato le onde e le velocità è facile

calcolare i termini iUΔ+A e 1-A +Δ iU sommando i loro prodotti. D’altro canto

calcolar il “flusso di Godunov” )( 0iUF tipicamente richiede il calcolo di )( iUF e poi

la sua modifica mediante 1-A +Δ iU . Quando si usa un Riemann solver approssimato

come quello di Roe per le equazioni di Eulero (Cap. 3), il flusso esatto )( iUF non ha

bisogno di essere calcolato, eccetto che in tale passo, e ciò può essere evitato mediante

l’utilizzo dell’equazione dello schema nella seconda forma. Un altro vantaggio, più

critico, è che tale formulazione del metodo permette la soluzione di problemi iperbolici

che non sono nella forma conservativa. Per esempio il problema a coefficiente variabile

0)( =+ xt UxAU non è in forma conservativa e U non si conserva, ma un algoritmo

efficace a risolverlo può essere ottenuto comunque usando la forma di propagazione

delle onde. Ciò si fa in acustica e nel caso di mezzi eterogenei.


54

4.4 Programma di calcolo in Fortran

Esso consiste di un insieme di subroutines FORTRAN atte a risolvere dei sistemi

di equazioni iperboliche derivanti dalle leggi di conservazione, in una dimensione

spaziale, in assenza di termini produttivi. Si utilizzano dei metodi di discretizzazione, su

griglie spaziali uniformi. Si adotta un algoritmo di “splitting” che utilizza la

propagazione traversale delle onde per l’estensione al caso multidimensionale, valido

per l’aria ritenuta gas reale anche allo stato di plasma.

Di seguito vengono riportate la maggior parte delle istruzioni che consentono lo

studio dell’evoluzione temporale della velocità, della pressione, della densità e

dell’energia in ogni sezione del tubo d’urto. Chiaramente bisogna definire le condizioni

iniziali a destra e a sinistra del diaframma ed il tempo di fine simulazione. Quest’ultimo

viene stimato calcolando il tempo necessario affinché l’onda d’urto arrivi all’estremità

del tubo. La velocità dell’onda d’urto, considerando un gas perfetto, dipende dalla

velocità del suono e dal rapporto delle pressioni [10] come mostrato dalla seguente

espressione

112

1

1

21 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

ppaW

γγ (4.25)


55

con 11 RTa γ= .

Per stimare il tempo basta dividere lo spazio percorso dall’onda per la sua velocità

media

WLtOUT = (4.26)

in cui L rappresenta la distanza del diaframma dall’estremità del tubo.

4.4.1 Program Main Dopo aver definito le variabili, la prima operazione effettuata è la lettura dei file:

pressione.txt, chi.txt, kappa.txt, densità.txt, energia.txt che contengono i valori delle

variabili termodinamiche dell’aria anche allo stato di plasma.

! shock tube problem using 1D fluctuation splitting implicit real*8 (a-h,o-z) integer ndof parameter (ndof=3) real *8 mdc parameter(nmax=1024) ! nodal stuff dimension x(0:nmax),du(ndof,0:nmax),mdc(0:nmax),

dx(nmax), z(ndof,0:nmax) ! cell based stuff real*8 phi(ndof,nmax),al(ndof,nmax),dw(ndof,nmax),xc(nmax) real*8 cfl real*8 df(3),sumdf(3) common /abc/df common /def/sumdf data df,sumdf/6*0.d0/ logical lstop,lflag character*1 answ include 'aria.inc' ! initialize data and re-define grid ! open(1,file='pressione.txt') do j=1,Nr read(1,*) (p(j,i),i=1,Ne) enddo close(1) open(1,file='chi.txt') do j=1,Nr read(1,*) (chi(j,i),i=1,Ne) enddo close(1) open(1,file='kappa.txt') do j=1,Nr read(1,*) (kappa(j,i),i=1,Ne) enddo close(1) open(1,file='densita.txt') read(1,*) (rho(i),i=1,Nr) close(1)


56

open(1,file='energia.txt') read(1,*) (ei(i),i=1,Ne) close(1) it = 0 nx = nmax call init(z,x,xc,dx,mdc,ndof,nx,tmax) call plot(z,x,ndof,0,nx,it) ! 7 write(6,*)' Preconditioning (Y/N) ' read(5,FMT="(A1)")answ if( answ .EQ. "Y" .OR. answ .EQ. "y" )then lflag = .TRUE. elseif( answ .EQ. "N" .OR. answ .EQ. "n" )then lflag = .FALSE. else goto 7 endif write(6,*)' Enter CFL [0<CFL<=1] & # of ITS ' read(5,FMT=*)cfl,niter time = 0.d0 lstop = .FALSE. do 1000 it = 1,niter ! do 1 i = 0,nx do 1 j = 1,ndof du(j,i) = 0.d0 1 continue do 3 j = 1,ndof sumdf(j) = 0.d0 3 continue ! ! loop over cells ! dt = 1.e38 do i = 1,nx if(lflag)then call he(z(1,i-1),z(1,i),dx(i),dt,du(1,i-

1),du(1,i),phi(1,i),al(1,i),dw(1,i),i) else call splitw(z(1,i-1),z(1,i),dx(i),dt,du(1,i-

1),du(1,i), phi(1,i),al(1,i),dw(1,i),i) endif enddo ! dt = cfl * dt if((time+dt).GE.tmax)then dt = tmax-time lstop = .TRUE. endif time = time + dt call bcs(z,du,ndof,nx,dt) ! applica condizioni al

contorno call parm2cons(z,ndof,nx) ! trasforma Z in U call update(z,du,ndof,mdc,time,dt,nx) ! aggiorna U call cons2parm(z,ndof,nx) ! trasforma U in Z if(lstop)goto 2000 ! ! compute error ! call fd(u,du,x,dt,nx,phi) ! write(6,*)it,phi ! 1000 continue 2000 continue write(6,*)time,tmax ! call w(phi,xc,ndof,nx,"fluct.dat")


57

! call w(dw,xc,ndof,nx,"strength.dat") ! call w(al,xc,ndof,nx,"speed.dat") write(6,*)'Dumping solution at iteration ',it call plot(z,x,ndof,0,nx,it) call plot2(z,x,ndof,0,nx,it) call check(z,mdc,ndof,nx) write(22,*)(df(j),j=1,ndof) stop 9900 format(i3,6(2X,e12.7)) end

4.4.2 Subroutine Init Questa routine inizializza i valori delle variabili conservative a destra e a sinistra

della discontinuità situata nella metà del tubo d’urto, suddividendo l’intera lunghezza

del tubo in 800 intervalli equispaziati.

subroutine init(z,x,xc,dx,mdc,ndof,nx,timeout) include 'paramt.h' integer nx,ndof,je include 'aria.inc' real*8 x(0:nx),z(ndof,0:nx),xc(nx),dx(nx),mdc(0:nx) real*8 zz(3,2),flx(3,2),df(3) integer ix real*8 DOMLEN,DIAPH,TIMEOUT,DL,UL,PL,DR,UR,PR,MPA real*8 DD,Z1R,Z2R,Z3R,Z1L,Z2L,Z3L,ML,MR,HELP real*8 v1,v2,checksum(3),epsl,epsr double precision peps(Ne) C OPEN(UNIT=1,FILE='exact.ini',STATUS='UNKNOWN') C C nmax = nx C READ(1,*)DOMLEN READ(1,*)DIAPH READ(1,*)NX if( NX .GT. nmax )THEN WRITE(6,*)'Must increase NX up to ',nx CALL EXIT(1) endif READ(1,*)HELP IF(HELP.NE.GAM)THEN STOP 'must change GAMMA' ENDIF READ(1,*)TIMEOUT ! READ(1,*)ML READ(1,*)DL READ(1,*)UL READ(1,*)PL READ(1,*)DR READ(1,*)UR READ(1,*)PR READ(1,*)MPA C CLOSE(1) ! MR = am2(ML) ! write(6,*)'Mach(L) ',ML


58

! write(6,*)'Mach(R) ',MR ! EL = 1.d0/(GAM*GM1*ML*ML)+0.5d0 ! EL = PR/(GM1*DR)+0.5d0*UR*UR ! DL = 1.d0 ! UL = 1.d0 ! PL = 1.d0/(GAM*ML*ML) ! PR = PJUMP(ML)*PL ! DR = DJUMP(ML)*DL ! UR = (DL/DR)*UL dd = domlen/real(nx) write(6,*)'Mach(L) check ',UL/sqrt(GAM*PL/DL) write(6,*)'Mach(R) check ',UR/sqrt(GAM*PR/DR) z1l = sqrt(dl) z3l = z1l * ul ! z2l = gogm1 * pl/dl + 0.5d0*(ul*ul) call Pepsilon(peps,dl) je=0 do j=1,Ne if( peps(j) .LT. pl )then je=je+1 endif enddo epsl=ei(je)+(ei(je+1)-ei(je))/(peps(je+1)-peps(je))*(pl-

peps(je)) z2l = epsl+pl+0.5d0*(ul*ul) z2l = z2l/z1l z1r = sqrt(dr) z3r = z1r * ur ! z2r = gogm1 * pr/dr + 0.5d0*(ur*ur) call Pepsilon(peps,dr) je=0 do j=1,Ne if( peps(j) .LT. pr )then je=je+1 endif enddo epsr=ei(je)+(ei(je+1)-ei(je))/(peps(je+1)-peps(je))*(pr-

peps(je)) z2r = epsr+pr+0.5d0*(ur*ur) z2r = z2r/z1r write(6,*)' Z(L) = ',z1l,z2l,z3l write(6,*)' Z(R) = ',z1r,z2r,z3r zz(1,1)=z1l zz(2,1)=z2l zz(3,1)=z3l zz(1,2)=z1r zz(2,2)=z2r zz(3,2)=z3r call flux(flx(1,1),zz(1,1),ndof) call flux(flx(1,2),zz(1,2),ndof) do j =1,ndof df(j) = flx(j,2)-flx(j,1) enddo write(6,*)(flx(j,1),j=1,ndof) write(6,*)(flx(j,2),j=1,ndof) write(6,*)(df(j),j=1,ndof) do 1 ix = 0,nx


59

x(ix) = ix*dd if( x(ix) .LT. DIAPH )then z(1,ix) = z1l z(2,ix) = z2l z(3,ix) = z3l elseif( x(ix) .GT. DIAPH )then z(1,ix) = z1r z(2,ix) = z2r z(3,ix) = z3r else z(1,ix) = z1r z(2,ix) = z2r z(3,ix) = z3r z(1,ix) = 0.25*(z1r+z1l) z(2,ix) = 0.25*(z2r+z2l) z(3,ix) = 0.25*(z3r+z3l) endif 1 continue c c compute cell size and cell centers c do 3 ix = 1,nx dx(ix) = x(ix)-x(ix-1) xc(ix)=0.5d0*(x(ix)+x(ix-1)) 3 continue c c compute median dual cell c do 5 ix = 1,nx-1 mdc(ix) = xc(ix+1)-xc(ix) 5 continue mdc(0) = xc(1)-x(0) mdc(nx) = x(nx)-xc(nx) c v1 = 0.d0 do 7 ix = 1,nx v1 = v1 + dx(ix) 7 continue v2 = 0.d0 do 9 ix = 0,nx v2 = v2 + mdc(ix) 9 continue write(6,*)'Check volumes ',v1,v2,' should be equal!' open(22,file='test') call check(z,mdc,ndof,nx) return end subroutine check(z,mdc,ndof,nx) c c computed the amount of mass, energy and momentum being

stored c in the system c on entry z must be the parameter vector c real*8 z(ndof,0:nx),mdc(0:nx) real*8 checksum(3) integer ix,j call parm2cons(z,ndof,nx) do j = 1,ndof checksum(j) = 0.d0 enddo do ix = 0,nx do j = 1,ndof checksum(j) = checksum(j) + z(j,ix)*mdc(ix) enddo


60

enddo call cons2parm(z,ndof,nx) write(22,*)(checksum(j),j=1,ndof) return end

4.4.3 Subroutine splitw In queste righe viene applicato il metodo di Roe generalizzato valido per l’aria

considerata non come un gas perfetto, bensì come gas reale. Sostanzialmente vengono

implementate le relazioni riportate nel capitolo 3.

subroutine splitw(zleft,zright,dx,dt,fleft,fright, &phiw,al,dw,ncell) implicit none integer ndof,ncell parameter (ndof=3) include 'paramt.h' double precision zleft(ndof),zright(ndof) double precision fleft(ndof),fright(ndof) double precision uleft(ndof),uright(ndof) double precision fl(ndof),fr(ndof),df(ndof) double precision dt,dx double precision al(*),eigen(ndof,ndof),zavg(ndof) double precision dz(ndof),dw(*),phiw(*),help(ndof) double precision ravg,Havg,uavg,asqr,aavg,ra,drho,dp,du,Mach double precision toler,temp,helpme,dru,drE,druH,dH,dr,cost double precision dpdrho,dpde,dpdm,PIM,PIE,PIR,eps double precision pavg,chiavg,kappaavg,deltp,esse,DD,chic,kappac double precision rleft,epsleft,pleft,chileft,kappaleft double precision hmedio,hleft,hright,alpha,deltau,zero double precision rright,epsright,pright,chiright,kapparight parameter (TOLER=1.e-12) integer k,j,i logical lflag double precision sumdf(3) common /def/ sumdf c dt = 1.e38 c c gradient of the parameter vector and averaged state c do 1 i = 1, ndof zavg(i) = 0.5d0 *(zright(i)+zleft(i)) dz(i) = (zright(i)-zleft(i))/dx 1 continue c c Roe averaged c Havg = zavg(2)/zavg(1) uavg = zavg(3)/zavg(1) ravg = zavg(1)*zavg(1) alpha=zleft(1)/(zleft(1)+zright(1)) hleft=zleft(2)/zleft(1)-1/2*(zleft(3)/zleft(1)) &*(zleft(3)/zleft(1)) hright=zright(2)/zright(1)-1/2*(zright(3)/zright(1)) &*(zright(3)/zright(1)) deltau=zright(3)/zright(1)-zleft(3)/zleft(1) hmedio=alpha*hleft+(1-alpha)*hright &+1/2*alpha*(1-alpha)*deltau*deltau


61

c cost=zavg(3)*zavg(3)/2-zavg(1)*zavg(2) c destra cost=zright(3)*zright(3)/2-zright(1)*zright(2) rright = zright(1)*zright(1) call epsi(cost,rright,epsright) call pchikappa(rright,epsright,pright,chiright,kapparight) c sinistra cost=zleft(3)*zleft(3)/2-zleft(1)*zleft(2) rleft = zleft(1)*zleft(1) call epsi(cost,rleft,epsleft) call pchikappa(rleft,epsleft,pleft,chileft,kappaleft) chic=(chiright+chileft)/2 kappac=(kapparight+kappaleft)/2 deltp=(pright-pleft)-chic*(rright-rleft)-kappac*(epsright-

epsleft) esse=chic+kappac*hmedio DD=(esse*(rright-rleft))*(esse*(rright-rleft)) &+(pright-pleft)*(pright-pleft) if ((rright-rleft).eq.0)then chiavg=chic else chiavg=(DD*chic+esse*esse*(rright-rleft)*deltp)/(DD-(pright-

pleft) &*deltp) endif if ((epsright-epsleft).eq.0)then kappaavg=kappac else kappaavg=DD*kappac/(DD-(pright-pleft)*deltp) endif c zero=chiavg*(zright(1)*zright(1)-zleft(1)*zleft(1)) c &+kappaavg*(epsright-epsleft)-(pright-pleft) c if (abs(zero).gt.toler)then c write(*,*)ncell c write(*,*)zero c write(*,*)chiavg,chic c write(*,*)kappaavg,kappac c pause c endif dpdrho=pir(uavg,chiavg,kappaavg) dpde=pie(uavg,chiavg,kappaavg) dpdm=pim(uavg,chiavg,kappaavg) ! dpdrho=pir(uavg) ! dpde=pie(uavg) ! dpdm=pim(uavg) c asqr = dpdrho+(Havg-uavg*uavg)*dpde if( asqr .LT. 0.d0 )then write(6,*)'Negative a^2 ',asqr,' in cell no. = ',ncell stop endif aavg = sqrt(asqr) Mach = uavg/aavg ra = ravg*aavg c gradient of the primitive drho = 2.*zavg(1)*dz(1)


62

dp = 1/(1+dpde)*((2*zavg(1)*dpdrho+zavg(3)*dpdm+zavg(2)*dpde)

&*dz(1)+zavg(1)*dpdm*dz(3)+zavg(1)*dpde*dz(2)) du = (-zavg(3)/zavg(1)*dz(1)+dz(3))/zavg(1) c c characteristic jumps (gradient) c dw(1) = (asqr*drho-dp) dw(2) = 0.5*(dp+ra*du) dw(3) = 0.5*(dp-ra*du) c c autovalori c al(1) = uavg al(2) = uavg+aavg al(3) = uavg-aavg c c fluttuazione delle variabili caratteristiche c do i = 1,ndof phiw(i) = -al(i)*dw(i)*dx enddo c c right eigenvector (entropy) c eigen(1,1) = 1.d0/asqr eigen(2,1) = Havg/asqr-1/dpde eigen(3,1) = uavg/asqr c c right eigenvector (fast wave) c eigen(1,2) = 1.d0/asqr eigen(2,2) = (Havg/asqr+uavg/aavg) eigen(3,2) = (uavg/asqr+1./aavg) c c right eigenvector (slow wave) c eigen(1,3) = 1.d0/asqr eigen(2,3) = (Havg/asqr-uavg/aavg) eigen(3,3) = (uavg/asqr-1./aavg) c c compute minimum dt c do k = 1, ndof dt = min( dt, dx/abs(al(k)) ) enddo c do j = 1, ndof help(j) = 0.0 enddo c do 20 k = 1, ndof do j = 1, ndof help(j) = help(j) + eigen(j,k) * phiw(k) enddo if( al(k) .GT. 0.0 )then do j = 1, ndof fright(j) = fright(j) + eigen(j,k) * phiw(k) enddo elseif( al(k) .LT. 0.0 )then do j = 1, ndof fleft(j) = fleft(j) + eigen(j,k) * phiw(k) enddo else goto 20 endif


63

20 continue do j = 1, ndof sumdf(j) = sumdf(j) + help(j) enddo c c test the decomposition: c check that f_R-f_L = \sum ... c the sum is stored in help c call flux(fl,zleft,ndof) call flux(fr,zright,ndof) lflag = .FALSE. do j = 1, ndof c temp normalizes temp = abs(0.5*(fl(j)+fr(j))) if(temp.LE.TOLER)temp = 1.d0 df(j) = -(fr(j)-fl(j)) if(abs(help(j)-df(j))/abs(temp) .GT. TOLER)lflag= .true. enddo if(lflag)then write(6,*)"cell no. ",ncell do j = 1, ndof write(6,*)j,df(j),help(j) enddo write(6,*)"dw",(dw(j),j=1,ndof) write(6,*)"al",(al(j),j=1,ndof) write(6,*)"phiw",(phiw(j),j=1,ndof),du write(6,*)"u,a,",uavg,aavg c pause endif 12 continue caldo return caldo temp = (2.+gm1*Mach*(Mach-2.))/(2.*gm1) do j = 1,ndof uleft(j) = zleft(j) uright(j) = zright(j) enddo call parm2cons(uleft,ndof,0) call parm2cons(uright,ndof,0) c c jumps in ru, rE, ruH, ru^2+p H c dr = dp/asqr dru = ravg*(1-Mach)*du drE = temp*dp druH = aavg*(Mach-1)*temp*dp c helpme = (0.5*gm1*uavg*uavg-Havg)*dr+gam*drE-gm1*uavg*dru helpme = helpme/ravg c return if(ncell.EQ.51)then write(36,*)fr(1)-fl(1),dru write(37,*)uright(2)-uleft(2),drE write(38,*)fr(2)-fl(2),druH write(39,*)fr(3)-fl(3),dp*(Mach-1)**2 dH = zright(2)/zright(1)-zleft(2)/zleft(1) write(40,*)dH,(1.d0-Mach)*dp/ravg,helpme write(41,*)Mach,dp endif c return


64

end !derivata della pressione rispetto all'energia double precision function PIE(uavg,chi,kappa) double precision uavg,chi,kappa ! double precision function PIE(uavg) ! double precision uavg ! include 'paramt.h' ! PIE = gam1 PIE = kappa return end !derivata della pressione rispetto alla quantità di moto double precision function PIM(uavg,chi,kappa) double precision uavg,chi,kappa ! double precision function PIM(uavg) ! double precision uavg ! include 'paramt.h' ! PIM = -gam1*uavg PIM = -uavg*kappa return end !derivata della pressione rispetto alla densità double precision function PIR(uavg,chi,kappa) double precision uavg,chi,kappa ! double precision function PIR(uavg) ! double precision uavg ! include 'paramt.h' ! PIR = gam1/2*uavg*uavg PIR = chi + 0.5*uavg*uavg*kappa return end

4.4.4 Subroutine epsi subroutine epsi(cost,rhos,zero) !dichiarazione variabili include 'aria.inc' double precision toll, zero, cost,rhos double precision press(Ne) external funz toll=1d-6 !cost=-3.05d5*1.17 !rhos=1.17 call Pepsilon(press,rhos) call fzero(toll,zero,cost,press) !write(*,*) zero return end


65

4.4.5 Funzione esterna La funzione qui creata è la seguente

2123 2/)( zzzpF −++= εε

REAL FUNCTION funz(x,cost,press,eii) include 'aria.inc' integer je double precision x, cost,pressx double precision press(*),eii(*) !pressx è da calcolare con interpolazione capendo in che

intervallo si trova je=0 do j=1,Ne if( (eii(j) .LT. x).or. (eii(j) .eq. x))then je=je+1 endif enddo pressx=press(je)+(press(je+1)-press(je))/(eii(je+1)-eii(je))*(x-

eii(je)) funz=x+cost+pressx END FUNCTION funz

4.4.6 Subroutine fzero Adottando l’algoritmo di bisezione viene calcolato lo zero della funzione

precedentemente definita.

subroutine fzero(toll,zero,cost,press) include 'aria.inc' double precision cost,err, toll, zero, a, b, m double precision press(*) external funz a=ei(1) b=ei(Ne-1) if ((funz(a,cost,press,ei)*funz(b,cost,press,ei)).gt.0d0) then write(*,*) 'intervallo non valido' stop endif err=1d0 do while (err.gt.toll) m=.5d0*(a+b)


66

err=b-a if (funz(b,cost,press,ei)*funz(m,cost,press,ei).lt.0) then a=m else b=m endif enddo zero=a return end

4.4.7 Subroutine interp1D Questa routine calcola per mezzo di una serie di interpolazioni lineari, la funzione

)(εp a partire dalla griglia nota ),( ερp conoscendo il valore di densità.

subroutine interp1D(jr,je,rho,p,rhos,peps) integer Nr,Ne,jr,je parameter (Nr=80) parameter (Ne=100) double precision p(Nr,Ne),rho(Nr),rhos,peps peps=p(jr,je)+(p(jr+1,je)-p(jr,je))/(rho(jr+1)-rho(jr))*(rhos-

rho(jr)) return end

4.4.8 Subroutine interp2D In queste righe di codice viene calcolato il valore della pressione dati i valori di

densità ed energia interna per mezzo di una doppia interpolazione lineare, a partire dalla

griglia dei valori ),( ερp .

subroutine interp2D(jr,je,rho,ei,p,rhos,es,press) integer Nr,Ne,jr,je parameter (Nr=80) parameter (Ne=100) double precision p(Nr,Ne),ei(Ne),rho(Nr) real*8 rhos,es,press1,press2,press press1=p(jr,je)+(p(jr+1,je)-p(jr,je))/(rho(jr+1)-rho(jr))*(rhos-

rho(jr)) press2=p(jr,je+1)+(p(jr+1,je+1)-p(jr,je+1))/(rho(jr+1)-

rho(jr))*(rhos-rho(jr)) press=press1+(press2-press1)/(ei(je+1)-ei(je))*(es-ei(je))


67

return end

4.4.9 Subroutine pchikappa Questa routine calcola i valori della pressione, della derivata della pressione

rispetto alla densità ed all’energia interna, per mezzo di varie interpolazioni

bidimensionali, noti i valori di densità ed energia interna. subroutine pchikappa(rhos,es,press,chis,kappas) !dichiarazione variabili include 'aria.inc' integer jr,je !logical var1(Nr),var2(Ne) real*8 rhos,es,press,chis,kappas !valori di densità ed energia interna nelle condizioni standard !rhos=1.2 !es=2.1837e+005 !write (*,*) ' Density??? ' !read (*,*) rhos !write (*,*) ' Internal Energy (epsilon)??? ' !read (*,*) es jr=0 do j=1,Nr if( rho(j) .LT. rhos )then jr=jr+1 endif enddo !var1=(rho .LT. rhos) !jr=sum(var1) je=0 do j=1,Ne if( ei(j) .LT. es )then je=je+1 endif enddo !var2=(ei .LT. es) !je=sum(var2) call interp2D(jr,je,rho,ei,p,rhos,es,press) call interp2D(jr,je,rho,ei,chi,rhos,es,chis) call interp2D(jr,je,rho,ei,kappa,rhos,es,kappas) return end


68

4.4.10 Subroutine Pepsilon Facilmente ci si può render conto che in queste istruzioni viene calcolata la

pressione in funzione dell’energia interna conoscendo la densità.

subroutine Pepsilon(press,rhos) !dichiarazione variabili integer jr,je include 'aria.inc' double precision press(*) double precision rhos jr=0 do j=1,Nr if( rho(j) .LT. rhos )then jr=jr+1 endif enddo do je=1,Ne call interp1D(jr,je,rho,p,rhos,press(je)) enddo return end


69

4.5 Risultati delle simulazioni numeriche

La prima fase dell’applicazione del metodo di Roe, per un tubo d’urto 1D, è il

calcolo del tempo di fine simulazione per mezzo delle Eq. (4.25)-(4.26) seguito dalla

stima del numero di punti per la discretizzazione del dominio spaziale. Questa scelta è

stata condotta effettuando diverse simulazioni relative a differenti valori di Nx e

valutandone la convergenza per la pressione. Come mostrato dal grafico riportato nella

Fig. 4.8 è sufficiente suddividere l’asse delle x in 800 intervalli.

Fig. 4.8. Risultati ottenuti per diversi valori di Nx.

L’applicazione del metodo e la sperimentazione del codice di calcolo sono stati

condotti per due casi molto differenti tra loro. Il primo test effettuato ha come

condizioni iniziali quelle riportate nella Fig.4.9 da cui risulta sec105 4−⋅=OUTt .

Fig. 4.9. Condizioni iniziali GAS NON IONIZZATO e PLASMA.


70

Quando il diaframma viene rotto (per esempio, dalla corrente elettrica o da azioni

meccaniche), un’onda d’urto si propaga nel ramo destro e un’onda di espansione si

propaga invece in quello sinistro.

Fig. 4.10. Andamento della densità lungo il tubo d’urto.

Mentre l’onda d’urto si propaga verso destra alla velocità mostrata dalla Fig. 4.11,

la pressione del gas dietro di essa aumenta (Fig. 4.12). La superficie di contatto si

muove alla stessa velocità del gas.

Fig. 4.11. Andamento della velocità lungo il tubo d’urto.


71

Attraverso la discontinuità di contatto 7.06.0 << x la densità cambia in modo

quasi discontinuo (Fig. 4.10), mentre la pressione e la velocità si mantengono costanti.

L’onda di espansione si propaga verso sinistra, riducendo progressivamente e

gradualmente la pressione.

Fig. 4.12. Andamento della pressione lungo il tubo d’urto.

I risultati ottenuti sono stati adimensionalizzati nel seguente modo: la pressione, la

densità e l’energia interna sono stati normalizzati ai rispettivi valori iniziali del ramo di

alta pressione contenente il plasma; la velocità è stata rapportata a quella del suono

relativa, anche, alle condizioni iniziali.

Per questo caso test, non si osservano sostanziali differenze di comportamento

considerando l’aria come gas perfetto non ionizzato rispetto allo stato di plasma e la

spiegazione di ciò sta nelle condizioni iniziali.


72

Il secondo test [11] effettuato ha come condizioni iniziali quelle riportate nelle

Fig. 4.13 e 4.14 da cui è possibile dedurre sec105,1 4−⋅=OUTt .

Si può facilmente notare, data l’elevata temperatura e pressione nel ramo sinistro,

che le condizioni iniziali sono differenti a seconda che l’aria venga considerata come

gas non ionizzato o come plasma.

Fig. 4.13. Condizioni iniziali GAS NON IONIZZATO.

Fig. 4.14. Condizioni iniziali PLASMA.

Questa iniziale differenza trova spiegazione nelle diverse equazioni di stato

utilizzate per calcolare tali valori come mostrato nel capitolo 1.

Fig. 4.15. Andamento della densità lungo il tubo d’urto.


73

Le figure 4.15-4.18 mostrano le differenze di comportamento dell’aria considerata

come gas perfetto e come gas reale (stato di plasma). Il salto attraverso la discontinuità è

piuttosto elevato, circa un ordine di grandezza per la densità e l’energia. L’onda d’urto e

di espansione nel plasma viaggiano ad una velocità maggiore.

Fig. 4.16. Andamento della velocità lungo il tubo d’urto.

Questo caso risulta essere molto complicato da studiare anche perché la

temperatura iniziale del gas contenuto nel ramo di alta pressione è 30 volte quella del

ramo destro. Di conseguenza la composizione dell’aria è completamente diversa.

Fig. 4.17. Andamento della pressione lungo il tubo d’urto.


74

Nel gas allo stato di plasma avvengono dissociazioni e ionizzazioni significative

ad alte temperature. Ciò comporta un’energia specifica maggiore e una densità minore

rispetto al gas non ionizzato. Infine i risultati ottenuti sono confrontabili con quelli di

Van Leer [11].

Fig. 4.18. Andamento dell’energia interna lungo il tubo d’urto.

Le pompe ioniche ad ultra alto vuoto

75

Capitolo 5

5. Le pompe ioniche ad ultra alto vuoto

5.1 Introduzione

Tutte le pompe il cui meccanismo dipende, almeno in parte, dalla produzione di

particelle cariche elettricamente (o ioni), vengono chiamate pompe ioniche.

Le pompe ioniche (sputter-ion pumps) sono degli strumenti comunemente

utilizzati in molte applicazioni tecnologiche, dove sono richieste condizioni di ultra-alto

vuoto. Il meccanismo di pompaggio di questo tipo di pompe è sostanzialmente diverso

da quello di qualunque altro tipo di pompe. Infatti non è prevista alcuna parte mobile: il

principio di funzionamento su cui si basano è la ionizzazione, da parte di elettroni, degli

atomi di gas o di molecole, che poi vengono rimossi grazie all’azione di campi elettrici

opportunamente studiati. La nube elettronica, confinata nell’anodo cilindrico, in virtù

del suo movimento spazza fuori dal volume del sistema ad un tasso costante le molecole

ionizzate, in modo analogo al rotore di una pompa meccanica. Le pressioni tipiche di

utilizzo di queste pompe sono comprese nell’intervallo 10-4-10-11 Torr [12].

Fig. 5.1. Schema della pompa ionica

L’architettura classica è basata sulla cella di Penning, che consiste in due elettrodi

e un magnete (Fig. 5.1). L’anodo cilindrico, generalmente in acciaio inossidabile, è

inserito tra due piastre in titanio, che formano il catodo. Tra i due elettrodi viene

mantenuta una differenza di potenziale di qualche kV (3-7 kV), con l’anodo al


76

potenziale di terra. La cella è immersa in un campo magnetico esterno di circa 0.1 T,

parallelo all’asse dell’anodo e generalmente creato da magneti permanenti.

Gli elettroni vengono generati nel sistema, solitamente provocando l’emissione dal

catodo per effetti di campo, creando una scarica grazie alla quale gli atomi di gas e le

molecole vengono ionizzati. Gli ioni prodotti vengono poi accelerati verso il catodo e

quindi rimossi quasi istantaneamente dal sistema. Gli elettroni, al contrario, vengono

confinati all’interno della cella dall’azione combinata del campo magnetico e do quello

elettrico, così da indurre nuove ionizzazioni. In questo modo, mentre gli atomi di gas

vengono rimossi, la popolazione elettronica cresce, fino a raggiungere valori di 1010-

1011 elettroni, introducendo una forte distorsione della buca di potenziale imposta dagli

elettroni. Siccome il profilo spaziale del potenziale elettrostatico è di primaria

importanza per determinare il trasporto radiale degli elettroni, gli effetti autoconsistenti

giocano un ruolo fondamentale nella dinamica della popolazione elettronica [13]. Si può

assumere che all’interno della cella ci sia un plasma puramente elettronico.

Il titanio è comunemente usato sotto forma di film metallico, depositato sulla

superficie del catodo, perché esso è chimicamente reattivo con la maggior parte dei gas.

Le collisioni degli ioni con il catodo provocano l’emissione sia di elettroni che di atomi

di titanio: i primi sono necessari per sostenere la scarica mentre i secondi sono

importanti per aumentare l’effetto di pompaggio, grazie alla ricombinazione con gli

atomi di gas [15].

Le pompe ioniche hanno molti vantaggi: esse sono dei sistemi chiusi per produrre

il vuoto; non sono necessarie valvole di interblocco; non hanno parti in movimento e

questo vuol dire assenza di vibrazioni.

Contrariamente alla sua apparente semplicità costruttiva, i fenomeni fisici

coinvolti in una pompa ionica sono molto vari e complicati. Ancora oggi il

funzionamento di questi strumenti è in gran parte fenomenologico e basato su una

comprensione qualitativa di tali processi.

La maggior parte degli studi risalgono agli anni ’60, quando si cominciò ad usare

le simulazioni numeriche nella fisica dei plasmi: per questa ragione gli studi si basavano

su dei calcoli analitici fatti su modelli molto semplificati del sistema.


77

5.2 La trappola di Penning, condizioni operative e parametri caratteristici

La trappola di Penning (Fig. 5.2) è un dispositivo che confina particelle cariche in

una regione di spazio limitata, mediante l'applicazione di un campo magnetico uniforme

e di un campo elettrostatico; il primo produce il confinamento radiale, vale a dire, evita

che le particelle prendano la direzione dei "raggi" del contenitore cilindrico; il secondo

garantisce il confinamento assiale, cioè evita che esse sfuggano lungo le linee di forza

del campo magnetico.La cella di Penning è costituita da un cilindro cavo che

rappresenta l’anodo e da due dischi, posizionati ad una certa distanza dalle basi del

cilindro, che rappresentano i catodi (Fig. 5.2).

Fig. 5.2. Trappola atomica di Penning.

Si consideri adesso una cella di Penning per pompe ioniche al cui interno si

realizza il confinamento degli elettroni, mentre gli ioni vengono allontanati grazie

all’azione dei campi. Si suppone che gli elettroni abbiano minore energia del potenziale

applicato, in modo tale che essi non possono raggiungere i catodi.

Il campo magnetico è così forte che le orbite circolari nel piano trasversale sono

molto più piccole rispetto al diametro dell’anodo (Fig. 5.3), così da impedire il

raggiungimento dell’anodo [15].


78

Fig. 5.3. Moto degli elettroni nella cella di Penning

Si supponga che una molecola neutra entri nel sistema: tale molecola sarà

eventualmente ionizzata dalla nube elettronica energetica. L’elettrone ionizzante

recupererà l’energia che ha perso muovendosi più vicino all’anodo, mentre lo ione viene

guidato dal forte campo elettrico verso uno dei catodi dove sarà responsabile di una

emissione secondaria di elettroni che sarà responsabile dell’ulteriore crescita della

popolazione elettronica.

Le celle cilindriche, che rappresentano l’anodo (Fig. 5.1), sono elettricamente

isolate dal corpo della pompa e sono ad un potenziale positivo, mentre le due piastre che

rappresentano il catodo, composte da titanio, sono al potenziale di terra. Gli elettrodi

sono contenuti nel corpo della pompa e il campo magnetico viene creato da magneti

permanenti esterni. È possibile una diversa configurazione in cui l’anodo è al potenziale

di terra mentre ai catodi viene applicato un potenziale negativo.

La portata smaltita della cella dipende da molti parametri come ad esempio il

diametro della cella stessa, la lunghezza, il campo magnetico ed elettrico [14]. Questi

parametri sono stati ottimizzati grazie a molti studi teorici ed esperimenti. Il design

delle pompe ioniche è comunemente caratterizzato da diametri delle celle di Penning

comprese tra 15-25 mm, il campo magnetico viene scelto nell’intervallo 1-1.5 kGauss,

mentre il campo elettrico conviene che appartenga all’intervallo 3-7 kV.

Il rapporto tra la corrente elettrica assorbita dalla pompa e la pressione (I/P), che è

il parametro più importante della cella di Penning, deve assumere valori compresi tra 3

e 25 Ampere/mbar, mentre nella stessa configurazione, la portata tipica per una singola

cella è compresa tra 0.3 e 2 litri/secondo.


79

Le pompe ioniche hanno portate elevate per tutti i tipi di gas ad eccezione di quelli

nobili. Per l’argon, il gas nobile più comune (1% nell’aria), la portata è solo il 2-5% di

quella nominale. Quando si ha a che fare con un gas nobile si osserva il seguente

meccanismo. Alcuni ioni del gas nobile che bombardano le superfici del catodo

vengono neutralizzati e rimbalzano conservando una parte della loro energia. Essi

possono poi raggiungere, senza essere condizionati dal campo magnetico ed elettrico,

l’anodo oppure le pareti della pompa o altre zone del catodo. Una soluzione

all’instabilità dell’argon risulta essere quella di incrementare il numero di ioni del gas

rispetto a quelli neutri e fare in modo che essi vengano intrappolati nell’anodo o nel

corpo della pompa, dove ci rimangono permanentemente. La probabilità di riflessione è

funzione del rapporto in massa tra le specie ioniche e il materiale di cui è composto

l’anodo e dipende anche dall’angolo di incidenza tra gli ioni e la superficie del catodo.

Quando uno ione bombarda la superficie del catodo in titanio e viene

neutralizzato, esso perde gran parte dell’energia cinetica. Per questo tipo di pompe

vengono osservate portate per gas nobili del 20% rispetto a quelle viste per l’aria sotto

le condizioni di stabilità.

La portata elaborata da una pompa ionica varia con la pressione. La pressione

operativa è inferiore a 10-4 mbar mentre la massima portata smaltita, anche chiamata

portata nominale (SN = 100 l/s), viene raggiunta in corrispondenza di una pressione di

circa 10-6 mbar (Fig. 5.4).

Fig. 5.4. Portata smaltita dalla pompa in funzione della pressione.


80

L’ultimo range di pressione 10-11-10-10 mbar può essere raggiunto solo dopo il

danneggiamento della pompa ionica stessa [14].

La corrente misurata in una pompa ionica nelle condizioni operative, risulta essere

proporzionale alla pressione (Fig. 5.5).

Fig. 5.5. Corrente assorbita in funzione della pressione.


81

5.3 Moto di particella singola

In questa parte della tesi, verrà studiato il moto di particelle cariche in presenza di

campi elettromagnetici come in funzione della posizione e del tempo [16]. Così, sia il

campo magnetico che quello elettrico vengono prestabiliti e non influenzati dalle

particelle cariche. In particolare i campi elettromagnetici sono considerati costanti nel

tempo, ma non nello spazio.

Lo studio del moto di particelle cariche in specifici campi è importante in quanto

provvede a esaminare meglio i processi dinamici che avvengono in un plasma.

L’equazione del moto per una particella di carica q, sotto l’azione della forza di Lorentz

F causata dal campo elettrico E e magnetico B, può essere scritta come

( )BvEqFdtdp

×+== (5.1)

dove p rappresenta la quantità di moto della particella e v la sua velocità.

Questa equazione è corretta dal punto di vista relativistico se si assume per p

mvp γ= (5.2)

in cui m è la massa della particella e γ è il fattore di Lorentz definito da

22 /11

cv−=γ (5.3)

c rappresenta la velocità della luce nel vuoto. In molti casi di interesse pratico,

comunque, il termine 22 / cv è trascurabile rispetto ad 1, cioè 1/ 22 <<cv e quindi

1≅γ . Di conseguenza la massa della particella può essere considerata costante

(indipendente dalla velocità) e l’equazione del moto diventa

( )BvEqdtdvm ×+= (5.4)

5.3.1 Campo elettrostatico uniforme Il moto di una particella carica in un campo elettrico tenuto costante nel tempo e

nello spazio obbedisce alla seguente equazione differenziale [16]

qEdtdvm = (5.5)

che può essere direttamente integrata ottenendo


82

0pqEtmv += (5.6)

in cui )0(0 == tpp denota la quantità di moto all’istante iniziale. Poiché la

velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo dtdrv = , integrando nuovamente

si ha l’espressione della posizione della particella in funzione del tempo

002

21)( rtvt

mqEtr ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.7)

dove 0r denota la posizione iniziale della particella mentre 0v la sua velocità

iniziale. Perciò, la particella si muove con accelerazione costante, mqE , nella direzione

del campo elettrico se 0>q , altrimenti nella direzione opposta se 0<q . Nella

direzione ortogonale al campo elettrico non vi è alcuna accelerazione.

5.3.2 Campo magnetostatico uniforme Per una particella di carica q e massa m, che si muove con velocità v in presenza di

un campo magnetico costante nel tempo e nello spazio [16], l’equazione del moto è

( )Bvqdtdvm ×= (5.8)

Risulta conveniente separare v nelle componenti parallela //v e perpendicolare ⊥v

al campo magnetico

⊥+= vvv // (5.9)

In questo modo si ottiene

( )Bvmq

dtdv

dtdv

×=+ ⊥⊥// (5.10)

Poiché il termine ( )Bv ×⊥ è perpendicolare a B, la componente parallela

dell’equazione può essere scritta come

0// =dt

dv (5.11)

Questa equazione mostra che la velocità della particella nella direzione di B non

cambia ed il suo valore è uguale a quello iniziale della velocità della particella.


83

La componente ortogonale dell’equazione, invece, vale

( )Bvmq

dtdv

×= ⊥⊥ (5.12)

che può essere riscritta

⊥⊥ ×Ω= v

dtdv

c (5.13)

in cui cΩ è il vettore definito dalla seguente relazione

mqB

c −=Ω (5.14)

Così, cΩ punta verso la direzione di B per una particella con carica negativa

( 0<q ) e nella direzione opposta per una particella con carica positiva ( 0>q ). Poiché

cΩ è costante e, per la conservazione dell’energia cinetica, ⊥v è anche costante,

l’equazione del moto nella direzione ortogonale al campo magnetico mostra che

l’accelerazione della particella è costante in modulo e la sua direzione è perpendicolare

sia a ⊥v che a B. Perciò, questa accelerazione comporta la rotazione della particella nel

piano ortogonale a B con velocità angolare costante cΩ . Integrando l’equazione

differenziale del moto si ricava

cc rv ×Ω=⊥ (5.15)

in cui il vettore cr rappresenta la posizione della particella rispetto al centro di

rotazione nel piano perpendicolare a B. Poiché la velocità ⊥v è costante, il modulo di cr

è anche costante.

Fig. 5.6. Traiettoria di una particella carica.


84

La traiettoria della particella può essere ottenuta dalla sovrapposizione di un moto

uniforme lungo B, con velocità costante //v , e di un moto circolare nel piano normale al

campo magnetico, con velocità tangenziale costante ⊥v . In definitiva, la particella

descrive un’elica come mostrato nella Fig. 5.6.

Il modulo della velocità angolare cΩ è conosciuto come frequenza di ciclotrone o

frequenza di Larmor. Per l’elettrone Cq 1910602.1 −⋅= ed kgm 3110109.9 −⋅= tale

frequenza vale

Belectronc111076.1)( ⋅=Ω )/( srad (5.16)

con B in tesla ( o in weber/m2). In modo analogo per il protone la cui massa vale

kgm 2710673.1 −⋅= si ha

Bprotonc71058.9)( ⋅=Ω )/( srad (5.17)

5.3.3 Campo magnetostatico uniforme ed elettrostatico non uniforme Il campo magnetico in una cella di Penning è mantenuto costante nel tempo e può

anche essere ritenuto uniforme. Per quanto riguarda il campo elettrico, facendo

riferimento a quello dovuto ai soli elettrodi, esso viene considerato essere costante nel

tempo, ma non è affatto uniforme.

In questa parte viene descritto il codice che studia il moto delle particelle

all’interno di una cella di Penning (Fig. 5.7) per pompe ioniche ad ultra alto vuoto.

Fig. 5.7. Moto di una particella carica nella cella di Penning.


85

Di seguito viene riportato il main del codice che studia il moto delle particelle

all’interno della cella.

global omega_c dr dz Nr Nz E_r E_z

B=.1;

DeltaV=3000;

e=1.6e-19;

m=9.10e-31;

omega_c=e*B/m;

Nr=80;

Nz=100;

% R = radius of the trap

% La = semilength of anode

% Lv = gap between anode and cathode

La = .01;

Lv = .005;

R = .005;

Lz = La+Lv;

[A,BC]=pua(La,Lv,Lz,R);BC=BC*DeltaV;

phi=A\BC;

phi=reshape(phi,Nz,Nr);

E_r=E_radial(phi)./B;

E_z=E_axial(phi)./B;

Y0=[0,R/2,Lz,0,0,0];

tspan=[0 1e-7];

[t, Y]=ode45(@moto_cella,tspan,Y0);

%plot(t,Y(:,1:3))

%legend('x','y','z')

plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'b')

Si può facilmente osservare che la prima operazione effettuata è la definizione

delle variabili, l’assegnazione della geometria della cella, del campo magnetico e della

differenza di potenziale applicata agli elettrodi.


86

Per il calcolo del campo elettrico viene risolta l’equazione di Poisson nel vuoto.

Noto il campo elettrico, il campo magnetico, la posizione e la velocità iniziale di una

particella carica, che in questo caso risulta essere l’elettrone, è possibile risolvere le

equazioni del moto di seguito riportate.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

zz

xry

yrx

Emq

dtdv

BvryE

mq

dtdv

BvrxE

mq

dtdv

(5.18)

La posizione iniziale viene scelta sul catodo ad una distanza radiale pari alla metà

del raggio totale, mentre è stata assunta nulla la velocità iniziale. La risoluzione delle

equazioni del moto viene affidata all’istruzione ode45 di MATLAB che adotta un

algoritmo numerico per l’integrazione di tali equazioni così implementate:

function yp=moto_cella(t,y)

global omega_c

yp=zeros(6,1);

r=sqrt(y(1)^2+y(2)^2);

yp(1)=y(4);

yp(2)=y(5);

yp(3)=y(6);

Eradial=Er(r,y(3));

yp(4)=-omega_c*(y(5)+Eradial*y(1)/r);

yp(5)=-omega_c*(-y(4)+Eradial*y(2)/r);

yp(6)=-omega_c*Ez(r,y(3));

Nelle Fig. 5.8 e 5.9 sono riportati i risultati ottenuti imponendo che l’elettrone si

trovi inizialmente su uno dei catodi ad una distanza radiale pari alla metà del raggio

dell’anodo. È possibile osservare che la posizione dell’elettrone varia con una frequenza

e un’ampiezza maggiore rispetto all’asse z. Infatti, poiché la distanza fino al catodo è di

0.015 m, l’elettrone sfiora i due catodi all’interno della cella.

Inoltre la particella ruota attorno all’asse z ad una distanza pari alla metà del

raggio totale della cella.


87

Fig. 5.8. Posizione dell’elettrone nella cella di Penning al variare del tempo.

La traiettoria dell’elettrone in una trappola di Penning risulta essere caratterizzata

da una sorta di moto elicoidale lungo z ad una certa distanza radiale e da una rotazione

attorno all’asse z.

Fig. 5.9. Traiettoria dell’elettrone nella cella di Penning.


88

5.4 Modellizzazione numerica della cella di Penning

Il progetto di cui fa parte questa descrizione, è stato condotto nell’ambito del

contratto di ricerca tra la VARIAN ed il Dipartimento di Energetica del Politecnico di

Torino. Il codice in linguaggio MATLAB sviluppato dal gruppo di ricerca del Prof.

Coppa permette lo studio numerico di una cella di penning per pompe ioniche ad ultra

alto vuoto. Tale codice numerico, ancora in fase di affinamento, ha come obiettivo

quello di fornire una descrizione affidabile del comportamento della popolazione

elettronica contenuta nella cella di Penning.

Sfruttando la simmetria della cella di Penning è possibile ridurre il dominio di

analisi ad un solo quarto di cella come mostrato nella Fig. 5.10.

Fig. 5.10. Dominio di studio della cella.

La prima fase della modellizzazione è l’inserimento delle costanti fisiche, delle

caratteristiche geometriche della trappola, delle frequenze di ciclotrone degli elettroni e

degli ioni e delle variabili termodinamiche.

COSTANTI FISICHE

e=1.60217733e-19 (carica elettrone) [C]

m=9.1093897e-31; (massa elettrone) [kg]

kB=1.380658e-23; (costante Boltzmann) [J/K]

massa_ion=m*1836.127*39.213; (massa ione) [kg]


89

gamma=0.01; (coefficiente emissione secondaria)

e_ion_ev=15.8; (soglia energia ionizzazione) [eV]

e_ion=e*e_ion_ev; (soglia energia ionizzazione) [joule]

CARATTERISTICHE DELLA TRAPPOLA

B=0.1; (campo magnetico) [tesla]

DeltaV=3000; (differenza di potenziale) [volt]

La = 0.0127; (semilunghezza dell'anodo) [m]

Lv = 0.0122; (gap tra anodo e catodo) [m]

R = 0.01; (raggio) [m]

Lz = La+Lv; (lunghezza complessiva) [m]

FREQUENZE DI CICLOTRONE

omega_c=e*B/m; (elettroni) [s^-1]

omega_c_ion=e*B/massa_ion; (ioni) [s^-1]

DENSITA’ DEL GAS

p_gas_mbar=1e-6; (pressione) [mbar]

p_gas_MKS=100*p_gas_mbar; (pressione) [Pa]

T_gas=273.15+20; (temperatura) [K]

n_gas=p_gas_MKS/(kB*T_gas); (densità particelle) [m^-3]

A questo punto viene discretizzato il dominio di interesse creando una griglia nel

piano r-z il cui numero di punti è di seguito riportato.

DATI DISCRETIZZAZIONE

Nr=20; (numero punti lungo asse r)

Nz=70; (numero punti lungo asse z)

dz = Lz/Nz; (ampiezza intervallo spaziale) [m]

dr = R/Nr; (ampiezza intervallo spaziale) [m]

Prima di entrare nel dettaglio del codice, si può vedere come è strutturato dal

seguente schema.


90

Lo schema sopra riportato rappresenta, sostanzialmente, quello che viene

effettuato nel main del programma per lo studio della cella di Penning che viene di

seguito riportato.

PROGRAMMA PRINCIPALE PER LO STUDIO DI UNA POMPA IONICA

clear all; close all; clc

global gamma NP

profile on -timer 'real'

data_trap

data_num

calcolo_campo

config_iniziale

t=0;

while t<1e5

nu_c=calcolo_freq_collisione;

[alpha,tipo]=scelta_pod;

switch lower(tipo)

case 'elas'


91

collisione_elastica(alpha)

case 'ioni'

[r_coll,z_coll]=ionizzazione(alpha);

if rand<gamma

emissione_secondaria(r_coll,z_coll)

end

end

t=t+1/nu_c;

plot(t,NP,'.'); hold on; drawnow

end

Dopo aver inizializzato tutti i dati e dopo aver discretizzato il dominio di interesse,

si passa al primo calcolo vero e proprio che consiste nel ricavare il campo elettrico. Tale

calcolo viene effettuato trascurando il potenziale autoconsistente e considerando

esclusivamente il campo generato dagli elettrodi.

La distribuzione del potenziale all’interno della cella si ottiene risolvendo

l’equazione di Poisson

02 =∇ φ (5.19)

utilizzando il metodo numerico dei volumi finiti. In realtà bisognerebbe risolvere

l’equazione di Poisson 02 /)( εφρφ =∇ in cui è presente anche la densità di carica come

funzione non lineare del potenziale stesso. Questo rappresenta un importante

affinamento del codice per il giusto studio della popolazione elettronica e ionica

all’interno della cella di Penning.

Si consideri l’equazione di Poisson della forma 02 =∇ φ , in cui φ è il campo

scalare che rappresenta il potenziale elettrico. Sfruttando la seguente proprietà

φφ ∇⋅∇=∇ 2 (5.20)

Facendo riferimento al volume di controllo generico della Fig. 5.11 ed integrando

nel dominio di interesse si ottiene

dVdVVV∫∫ ∇⋅∇=∇ φφ2 (5.21)

Applicando il teorema della divergenza è possibile trasformare l’integrale di

volume in uno di superficie

dSndVVV∫∫∂

⋅∇=∇⋅∇ ˆφφ (5.22)


92

A questo punto è possibile spezzare l’integrale nella somma degli integrali

calcolati sulle superfici dell’elemento di volume dV.

∫∫∫∫∫ ⋅∇+⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅∇∂ 4

43

32

21

1 ˆˆˆˆˆSSSSV

dSndSndSndSndSn φφφφφ (5.23)

Fig. 5.11. Schematizzazione volumi finiti.

Facendo riferimento alla figura 5.11 ciascun integrale vale

drdrdz

dSnS

PN ⋅⋅⋅−

=⋅∇∫ ϑφφ

φ1

1ˆ (5.24)

dzddrrdr

dSnS

PE ⋅⋅+⋅−

=⋅∇∫ ϑφφ

φ )2/1(ˆ2

2 (5.25)

drdrdz

dSnS

PS ⋅⋅⋅−

=⋅∇∫ ϑφφ

φ3

3ˆ (5.26)

dzddrrdr

dSnS

PW ⋅⋅−⋅−

=⋅∇∫ ϑφφ

φ )2/1(ˆ4

4 (5.27)

Fig. 5.12. Elemento di volume dV in coordinate cilindriche.


93

Infine tenendo presente la geometria cilindrica e dividendo per il valore del

volumetto dV (Fig. 5.12) si ottiene la discretizzazione dell’equazione di Poisson

WESNP drrdrr

drrdrr

dzdzdrdzφφφφφφ 222222

2 2/12/11122⋅

−+

⋅+

+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=∇ (5.28)

Tale equazione è valida per ogni volumetto della griglia del dominio considerato.

L’equazione di Poisson viene scritta quindi come un sistema lineare

BCA =⇒=∇ φφrˆ02 (5.29)

in cui A è la matrice dei coefficienti, φr

è il vettore che rappresenta il potenziale

in ogni nodo della griglia, mentre BC è il vettore che tiene conto delle condizioni al

contorno. Risolvendo tale sistema di equazioni lineari si ottiene il potenziale in ogni

nodo della griglia. Bisogna notare che i nodi sono stati ordinati per colonne in φr

partendo dal basso verso l’alto come mostrato nella seguente figura.

Fig. 5.13. Esempio di griglia: Nr=5, Nz=6.

Per quanto riguarda le condizioni al contorno bisogna prestare particolare

attenzione. Siccome il dominio considerato è solo un quarto della cella, le condizioni al

contorno da applicare sono:

0=∂∂

rφ lungo l’asse z (r = 0) (5.30)

0=∂∂

zφ lungo l’asse r (z = 0) (5.31)

0=φ all’anodo (r = R, Laz ≤≤0 ) (5.32)


94

0V−=φ al catodo ( Rr ≤≤0 , z = Lz) (5.33)

LaLzLazV−−

−= 0φ tra anodo e catodo (r = R, LzzLa ≤< ) (5.34)

Tali condizioni vengono riassunte nella Fig. 5.14.

Fig. 5.14. Condizioni al contorno.

Infine, dalla risoluzione dell’equazione di Poisson discretizzata, si ottiene il

potenziale ),( zrφ prendendo in considerazione esclusivamente il campo generato dagli

elettrodi.

Fig. 5.15. Potenziale elettrico nei punti del dominio.

La fase successiva dello studio è concentrata nel definire la configurazione

iniziale, cioè nel distribuire gli elettroni nella cella di Penning. Il programma adoperato


95

è un codice alle superparticelle, secondo il quale ogni superparticella, denominata

baccello, descrive statisticamente il comportamento dinamico di un insieme di elettroni.

La prima fase del codice è quella di assegnare i valori di posizione e velocità

iniziali. Vengono considerati 2000 baccelli per un totale di 107 elettroni la cui velocità

iniziale è nulla, posizionati tutti sul catodo (z = Lz) e a diverse distanze radiali secondo

la legge 2000/7.0 kRr = in cui k è l’indice del baccello.

NP=2000; (numero baccelli)

N_el_totale=1e7; (numero totale di elettroni)

N_el_pod=N_el_totale/NP; (numero elettroni per baccello)

for k=1:NP

z=Lz;

r=R*sqrt(k/NP)*.7;

(assegno costanti del moto ad ogni baccello)

[L_star(k),e_tot(k)]=crea_pod(r,z,0,0,0);

end

Come mostrato dal codice sopra riportato, per ogni baccello vengono calcolate le

costanti del moto in base alla posizione e alle componenti di velocità. Considerando una

particella carica in un campo elettromagnetico uniforme, il potenziale generalizzato è

[ ]vAzrqU ⋅−= ),(φ (5.35)

in cui q è il valore della carica elettrica, ),( zrφ è il valore del potenziale, A è il

potenziale vettore e v è la velocità della particella. Il potenziale vettore, nel caso di

campo magnetico uniforme, si può esprimere come

ϑerBrBA ˆ21

21 =×= (5.36)

essendo

( ) ( ) BrBrBrB 2=∇⋅−⋅∇=××∇ (5.37)

La Lagrangiana della particella è

( ) UzrrmUTL −++=−= 2222

2&&& ϑ (5.38)

Siccome ϑ è una coordinata ciclica o ignorabile il momento generalizzato

coniugato si conserva, ovvero nel caso di elettrone

( ) mkrrvmrmqBrvmvAqmrLp c =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅

∂∂

−=∂∂

= 222

21

21 ω

ϑϑ

ϑ ϑϑϑ &&

& (5.39)


96

Altra costante del moto è l’Hamiltoniana

∑ −= LqpH ii & (5.40)

con

ii q

Lp&∂∂

= (5.41)

momento canonico, che sostituito nell’espressione dell’Hamiltoniana e facendo

uso della relazione tra ϑv e k porta a

( )

( ) ( ) ),(22

12

),(2

2),(

2),(2

#222

22

222

zruvvmrrkmzrqvvm

vmzrqvvmzrqTLvqATH

zrczr

zr

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=

=+++=+=−⋅+=

ωφ

φφ ϑ

(5.42)

dove 2

#

21

2),(),( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= r

rkmzrqzru cωφ (5.43)

Vengono riportate di seguito le istruzioni che permettono il calcolo delle costanti

del moto:

CALCOLO DELLE COSTANTI DEL MOTO DEL BACCELLO

function [L_star,e_tot]=crea_pod(r,z,vr,vtheta,vz)

global e m omega_c

L_star=r*vtheta-omega_c/2*r^2; (momento angolare)

e_tot=m/2*(vr^2+vz^2+vtheta^2)-e*Fi(r,z); (energia totale)

Dopo aver ben definito la configurazione iniziale, può avere inizio la simulazione

vera e propria. Viene stabilito un tempo di fine simulazione e viene subito calcolata la

frequenza di collisione totale. Quest’ultima non è altro che la somma delle frequenze di

collisione elastica e di ionizzazione di ciascun baccello, il cui reciproco è necessario per

stabilire il passo temporale di osservazione.

Nel dettaglio vengono effettuate le seguenti operazioni: per ciascun baccello k

viene calcolato il potenziale generalizzato u# in ogni nodo della griglia; si verifica la

condizione di esistenza del baccello in tutti i nodi della griglia, cioè se totEu ≤# allora il

baccello esiste nel nodo considerato. In pratica, quello che viene fatto è essenzialmente

vedere la forma del baccello (Fig. 5.16) all’interno del dominio della cella.


97

Fig. 5.16. Esempio di baccello: la zona gialla indica l’esistenza del baccello.

Vengono riportate di seguito le istruzioni che permettono il calcolo della

frequenza totale di collisione:

function nu_c=calcolo_freq_collisione

global E_pot r

global n_gas m omega_c

global Nr Nz

global NP e_tot L_star N_el_pod

global nu_el nu_ion

global dens_N

(inizializzazione delle variabili)

nu_el=zeros(NP,1); %% frequenza collisione elastica

nu_ion=zeros(NP,1); %% frequenza ionizzazione

dens_N=zeros(Nz,Nr); %% densità elettroni

for k=1:NP

(condizione di esistenza del baccello)

U_dies=E_pot+m/2*(L_star(k)./r+omega_c/2.*r).^2;

pod=(U_dies<=e_tot(k));


ke=zeros(Nz,Nr); %% energia cinetica

v=zeros(Nz,Nr); %% velocità

(assegnazione energia cinetica e velocità ad ogni cella del

baccello)

ke(pod)=e_tot(k)-E_pot(pod);%kinetic(E_pot(pod),e_tot(k));

v(pod)=sqrt(2/m*ke(pod));

N_celle_pod=sum(pod(:)); %%% numero di celle nel baccello


98

(calcolo frequenze del baccello)

nu_el(k)=n_gas*sum(v(pod).*sigma_el(ke(pod)))/N_celle_pod;

nu_ion(k)=n_gas*sum(v(pod).*sigma_ion(ke(pod)))/N_celle_pod;

(densità elettroni nel baccello)

dens_N(pod)=dens_N(pod)+N_el_pod/N_celle_pod;

end

nu_c=sum(nu_el+nu_ion);

Il passo successivo consiste nel calcolare l’energia cinetica e la velocità in ogni

cella in cui il baccello esiste, per poi calcolare le frequenze di collisione elastica e di

ionizzazione relative a ciascun baccello. La frequenza di collisione elastica dipende

dalla densità del gas e dalla sezione d’urto elastica che a sua volta è funzione

dell’energia cinetica. Allo stesso modo, la frequenza di ionizzazione dipende dalla

densità del gas e dalla sezione d’urto di ionizzazione che a sua volta è funzione

dell’energia cinetica al di sopra di un’energia minima affinché si verifichi la

ionizzazione. La sezione d'urto può essere definita come il rapporto tra il numero di

particelle che vengono deviate nell'angolo solido dΩ in 1 secondo e il numero di

particelle che in 1 secondo attraversano l'unità di superficie.Quindi la sezione d'urto ha

le dimensioni di quest'ultima.

La definizione precisa di tale quantità è:

erficietempoincidentiparticelledinumero

tempodneldeviateparticelledinumero

dd

sup___

_____

),(),(

⋅

Ω

=Ω= ϕϑσϕϑσ (5.44)

dove Ω è l'angolo solido, ϑ e ϕ sono, rispettivamente, l'angolo rispetto all'asse x

e rispetto all'asse z. La sezione d'urto è una misura della probabilità che una collisione

possa avvenire o meno ed infatti è utilizzata per il calcolo della frequenza di collisione.

A questo punto può essere scelto il baccello che subirà la collisione ed anche il

tipo di collisione: questo viene effettuato applicando il metodo Monte Carlo. Tale

metodo è usato per trarre stime attraverso simulazioni. Si basa su un algoritmo che

genera una serie di numeri tra loro incorrelati, che seguono la distribuzione di

probabilità che si suppone abbia il fenomeno da indagare. L'algoritmo Monte Carlo è un

metodo numerico che viene utilizzato per trovare le soluzioni di problemi matematici,

che possono avere molte variabili e che non possono essere risolti facilmente.


99

Di seguito vengono riportate le righe di codice che applicano l’algoritmo di MC

per la scelta del tipo di collisione e del baccello che la subisce.

FUNCTION CHE SCEGLIE IL BACCELLO E IL TIPO DI COLL. function [k,tipo]=scelta_pod

global nu_el nu_ion

y=cumsum(nu_el+nu_ion); y=y/y(end);

k=sum(y<rand)+1;

aa=rand;

if nu_el(k)*aa>=nu_ion(k)*(1-aa)

tipo='elas';

else

tipo='ioni';

end

Avendo a disposizione le frequenze di collisione elastiche e di ionizzazione di tutti

i baccelli, viene creato un vettore contenente la frequenza totale cumulata normalizzato

ad 1. Generando un numero casuale con distribuzione uniforme di probabilità è

possibile decidere quale baccello subisce la collisione. Successivamente, sempre

utilizzando l’algoritmo MC, viene deciso il tipo di collisione semplicemente vedendo in

quale intervallo cade il numero casuale come mostrato dalla figura seguente.

Fig. 5.17. Algoritmo MC per il tipo di collisione.

Se il baccello scelto subisce una collisione elastica, la prima cosa da fare è quella

di ricercare la cella appartenente al baccello in cui avviene la collisione. Anche questa

scelta avviene in modo casuale generando un numero (rand). A questo punto vengono

costruite le componenti di velocità post-collisione necessarie per il calcolo delle nuove

costanti del moto. È importante verificare che il baccello non tocchi l’anodo, altrimenti

verrebbe eliminato semplicemente annullando i valori delle costanti del moto del

baccello stesso. Tutto ciò è eseguito dalle seguenti istruzioni:


100

function collisione_elastica(k)

global E_pot r z

global m omega_c

global Nr Nz

global NP e_tot L_star

(campo di esistenza del baccello )

U _dies=E_pot+m/2*(L_star(k)./r+omega_c/2.*r).^2;

U_dies=U_dies(:);

(si selezionano le celle con energia sufficiente)



ke=zeros(Nz*Nr,1); %%% energia cinetica

v=zeros(Nz*Nr,1); %%% velocità

ke(pod)=e_tot(k)-E_pot(pod);%kinetic(E_pot(pod),e_tot(k));


(frequenza collisione elastica in funzione dell'energia cinetica)

probability=zeros(Nz*Nr,1);

probability(pod)=v(pod).*sigma_el(ke(pod));

(selezione cella che subisce la collisione)

y=cumsum(probability); y=y/y(end);

n=sum(y<rand)+1;

r2=r(:); z2=z(:);

r_coll=r2(n);

z_coll=z2(n);

v_coll=v(n);

(costruzione nuova velocità post-collisione)

mu=-1+2*rand; %% Monte Carlo

vz_coll=v_coll*mu;

v_p=v_coll*sqrt(1-mu^2);

beta=2*pi*rand; %% Monte Carlo

vr_coll=v_p*cos(beta);

vtheta_coll=v_p*sin(beta);

(costruzione nuove costanti del moto post-collisione)

[L_star(k),

e_tot(k)]=crea_pod(r_coll,z_coll,vr_coll,vtheta_coll,vz_coll);

(controllo che il baccello non tocchi l'anodo)

tocca=AT(e_tot(k),L_star(k));

if tocca

NP=NP-1;

L_star(k)=[];

e_tot(k)=[];

end


101

Se il baccello scelto subisce una ionizzazione, viene ricercata la cella appartenente

al baccello in cui avviene la collisione. Questa scelta avviene adottando l’algoritmo MC

e allo stesso modo vengono create le componenti di velocità post-collisione necessarie

per il calcolo delle nuove costanti del moto. È importante verificare che il baccello non

tocchi l’anodo, altrimenti verrebbe eliminato semplicemente annullando i valori delle

costanti del moto del baccello stesso.

Di seguito vengono riportate le righe di codice che applicano l’algoritmo di MC

per la ionizzazione.

function [r_coll,z_coll]=ionizzazione(k)

global E_pot r z

global m omega_c

global Nr Nz

global NP e_tot L_star

global e_ion

(campo di esistenza del baccello)

U_dies=E_pot+m/2*(L_star(k)./r+omega_c/2.*r).^2; U_dies=U_dies(:);

(seleziono baccelli con energia sufficiente)


(inizializzo variabili)

ke_ion=zeros(Nz*Nr,1);%%energia cinetica+energia persa nella

ionizzazione

ke=zeros(Nz*Nr,1); %%energia cinetica netta

v_ion=zeros(Nz*Nr,1); %% velocità lorda

v=zeros(Nz*Nr,1); %% velocità netta

ke_ion(pod)= e_tot(k)-E_pot(pod);%kinetic(E_pot(pod),e_tot(k));

v_ion(pod)=sqrt(2/m*ke_ion(pod));

ke(pod)=ke_ion(pod)-e_ion;


(frequenza ionizzazione in funzione dell'energia cinetica)

probability=zeros(Nz*Nr,1);

probability(pod)=v_ion(pod).*sigma_ion(ke_ion(pod));

y=cumsum(probability); y=y/y(end);

n=sum(y<rand)+1;

(seleziono la cella che subisce la collisione)

r2=r(:); z2=z(:);

r_coll=r2(n);

z_coll=z2(n);

v_coll=v(n);

(costruisco nuova velocità post-collisione)

mu=-1+2*rand; %% Monte Carlo


102

vz_coll=v_coll*mu;

v_p=v_coll*sqrt(1-mu^2);

beta=2*pi*rand; %% Monte Carlo

vr_coll=v_p*cos(beta);

vtheta_coll=v_p*sin(beta);

(costruisco nuove costanti del moto post-ionizzazione)

[L_star(k),

e_tot(k)]=crea_pod(r_coll,z_coll,vr_coll,vtheta_coll,vz_coll);


tocca_1=AT(e_tot(k),L_star(k));

if tocca_1

L_star(k)=[];

e_tot(k)=[];

NP=NP-1;

end

(costruisco nuovo baccello nato dalla ionizzazione)

NP=NP+1;

[L_star(NP), e_tot(NP)]=crea_pod(r_coll,z_coll,0,0,0);


tocca_2=AT(e_tot(NP),L_star(NP));

if tocca_2

L_star(NP)=[];

e_tot(NP)=[];

NP=NP-1;

end

La ionizzazione è responsabile della nascita di un nuovo baccello la cui posizione

è la stessa in cui è avvenuta la collisione, mentre le componenti di velocità vengono

considerate essere nulle. Anche per il nuovo baccello vanno calcolate le costanti del

moto e va verificato che non siano tali da fargli toccare l’anodo, condizione che lo

annullerebbe così come è nato.

La ionizzazione è un fenomeno su cui bisogna prestare particolare attenzione,

perché gli ioni di Argon che si sono creati, in un campo elettromagnetico come quello

della cella di Penning, sono spinti verso il catodo. Proprio l’impatto con il catodo può

essere la causa di una emissione secondaria, stabilita sempre con l’ausilio del metodo

MC in base al coefficiente di emissione secondaria γ. Come detto precedentemente, gli

ioni possono raggiungere il catodo per effetto dei campi elettromagnetici.

Conoscendo la posizione iniziale, cioè il punto (r, z) in cui è avvenuta la

ionizzazione, e risolvendo le equazioni del moto è possibile ricavare la posizione di


103

impatto sul catodo. Quest’ultima è necessaria per creare il nuovo baccello attribuendogli

le giuste costanti del moto. Chiaramente vengono assunte nulle tutte le componenti di

velocità del nuovo baccello ed allo stesso modo ne viene verificata l’esistenza.

Queste operazioni vengono eseguite dalle seguenti istruzioni:

function emissione_secondaria(r_0i,z_0i)

(va a prendere gli ioni generati dalle le ionizzazioni)

global Lz NP L_star e_tot

r_c = raggio_catodo(r_0i,z_0i) %#ok<NOPRT> %% distanza dal catodo

%%% nuovo baccello in posizione r_c sul CATODO

NP=NP+1;

[L_star(NP),e_tot(NP)]=crea_pod(r_c,Lz,0,0,0);

%%% controllo che il baccello non tocchi l'anodo %%%

tocca=AT(e_tot(NP),L_star(NP));

if tocca

L_star(NP)=[];

e_tot(NP)=[];

NP=NP-1;

end


104

Conclusioni

105

6. Conclusioni

In questa tesi sono stati sviluppati e analizzati due metodi numerici per lo studio di

gas ionizzati: il primo riguarda l’analisi dell’aria, in condizioni tali da non poter essere

considerata come un gas perfetto, contenuta in un tubo d’urto; il secondo studia il

comportamento di un plasma non neutro all’interno di una cella di Penning per pompe

ioniche ad ultra alto vuoto.

L’algoritmo utilizzato per la valutazione delle proprietà termo-chimiche dell’aria

nelle condizioni di equilibrio, implementando funzioni fittate delle variabili di stato, è

risultato efficiente e abbastanza robusto. L’accoppiamento con il metodo di Roe per gas

reale, applicato al tubo d’urto, permette di effettuare simulazioni in tempi maggiori

rispetto al caso di gas perfetto, ma comunque accettabile. La generalizzazione del

metodo di Roe, per un gas reale, è stata eseguita per mezzo di una formulazione del

tutto generale. Questa estensione del metodo ha permesso di: (i) dimostrare che la scelta

della tecnica algebrica, usata per definire lo stato medio di Roe, non influenza la

definizione formale dello stato medio stesso; (ii) sviluppare la generalizzazione dello

schema di Roe proposta da Vinokur e Montagné. Questa analisi ha permesso di

accertare l’influenza dell’equazione di stato considerata sulla definizione dello stato

medio. L’accuratezza e l’efficienza numerica dipende dalla giusta scelta dell’equazione

di stato. La scelta dell’energia interna per unità di volume e della densità come variabili

termodinamiche indipendenti è molto vantaggiosa, perché minimizza il numero di

variabili definite per lo stato medio.

Dai risultati numerici, ottenuti effettuando delle simulazioni sul tubo d’urto, è

chiaro che il vincolo sulla discontinuità di contatto è più severa per un gas reale rispetto

a un gas ideale. Il salto attraverso la discontinuità è piuttosto elevato, circa un ordine di

grandezza per la densità e l’energia. Questo caso risulta essere molto complicato da

studiare anche perché la temperatura iniziale del gas contenuto nel ramo di alta

pressione è 30 volte quella del ramo destro. Di conseguenza la composizione dell’aria è

completamente diversa. Nel gas reale avvengono dissociazioni e ionizzazioni

significative ad alte temperature. Ciò comporta un’energia specifica maggiore e una

Conclusioni

106

densità minore rispetto al gas ideale. L’onda d’urto e di espansione nel plasma

viaggiano ad una velocità maggiore. La forza dell’urto ed il salto attraverso la

discontinuità di contatto appaiono più deboli nel caso di gas ideale.

Le pompe ioniche sono dei sistemi chiusi per produrre il vuoto e, non avendo parti

in movimento, sono caratterizzate dall’assenza di vibrazioni. Contrariamente alla sua

apparente semplicità costruttiva, i fenomeni fisici coinvolti in una pompa ionica sono

molto vari e complicati. Ancora oggi il funzionamento di questi strumenti è in gran

parte fenomenologico e basato su una comprensione qualitativa di tali processi.

Il codice in linguaggio MATLAB sviluppato dal gruppo di ricerca del Prof.

Coppa, del Dipartimento di Energetica del Politecnico di Torino, permette lo studio

numerico di una cella di penning per pompe ioniche ad ultra alto vuoto. Tale codice

numerico, ancora in fase di affinamento, ha come obiettivo quello di fornire una

descrizione affidabile del comportamento della popolazione elettronica contenuta nella

cella di Penning.

La distribuzione del potenziale all’interno della cella si ottiene risolvendo

l’equazione di Poisson 02 =∇ φ utilizzando il metodo numerico dei volumi finiti, come

è stato ampliamente discusso. In realtà bisognerebbe risolvere l’equazione di Poisson

02 /)( εφρφ =∇ in cui è presente anche la densità di carica come funzione non lineare

del potenziale stesso. Questo rappresenta un importante affinamento del codice per il

giusto studio della popolazione elettronica e ionica all’interno della cella di Penning.

Infine, è stato analizzato il moto di una particella carica, ad esempio l’elettrone,

all’interno di una cella di Penning risolvendo numericamente le equazioni differenziali

del moto. Dai risultati ottenuti è stato possibile osservare che l’elettrone descrive una

traiettoria molto complicata.

Bibliografia

107

Bibliografia

[1] R. Goldston e P.H.Rutherford, Introduction to plasma physics, Institute of Physics

Publishing, Philadelphia, 1995, p.2.

[2] G. L. Rogoff, Ed., IEEE Transactions on Plasma Science, vol. 19, p. 989, Dec.

1991.

[3] L. Mottura, L. Vigevano, M. Zaccanti, An Evaluation of Roe’s Scheme

Generalizations for Equilibrium Real Gas Flows, Journal of Computational

Physics 138, 1997

[4] P. Kaurinkoski, Development of Equation of State fora n Arbitrary Misture of

Thermally Perfect Gases to the FINFLO Flow Solver, HUT Laboratory of

Aerodynamics, 1995

[5] A. D’Angola, G. Colonna, C. Gorse, M. Capitelli, Thermodynamic and transport

properties in equilibrium air plasmas in a wide pressure and temperature range,

The European Physical Journal, 2008

[6] J. C. Tannehill and P. H. Mugge, Improved Curve Fits for the Thermodynamic

Properties of Equilibrium Air Suitable for Numerical Computation using Time-

Dependent or Shock-Capturing Method, Nasa contractor report, October 1974

[7] E. F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics,

Springer, 1999

[8] Aldo Bonfiglioli, A 2D/3D unstructured code for solving the compressible and

incompressible Euler and Navier-Stokes Equations, Dipartimento di Ingegenria e

Fisica dell’Ambiente, Università degli Studi della Basilicata

[9] M. Vinokur and J. L. Montagnè, Generalized Flux-Vector Splitting and Roe

Average for an Equilibrium Real Gas, Journal of Computational Physics 89, 1990

[10] M. Napolitano, Gasdinamica unidimensionale non stazionaria, Gasdinamica,

Capitolo 8

[11] M. S. Liou, B. Van Leer, J. S. Shuen, Splitting of Inviscid Fluxes for Real Gases,

Journal of Computational Physics 87, 1990

Bibliografia

108

[12] Contratto n. 580/2004 tra il Dipartimento di Energetica del Politecnico di Torino e

la società VARIAN di Leinì, Studio Teorico-Numerico della caratteristica

elettrica e dello sputtering ionico in una singola cella (Trappola di Penning) di

pompa ionica (Sputter ion pump)

[13] F. Bottos, Modellazione Numerica di una Cella di Penning per Pompe Ioniche ad

Ultra Alto Vuoto, Politecnico di Torino, 2007

[14] L. Schulz, Sputter-Ion Pumps, Paul Scherrer Institut, Villigen, Switzerland

[15] J. C. Helmer and R. L. Jepsent, Electrical Characteristics of a Penning Discharge,

Proceedings of the Ire.

[16] J. A. Bittencourt, Fundamentals of Plasma Physics, Third Edition, Springer, 2007

Appendice A

109

Appendice A

Coefficienti per il calcolo della massa molare media.

function y=dens(mT,mp)

mp=log(mp);

R=8.314472; % J mol-1 K-1

catm_pascal=1.01325e5;

sa1=([0.028811 ]);

sa2=(fliplr([ -5.452539e+000 -2.762076e-002 -3.327630e-003 -2.453118e-004 -

6.332107e-006 ]));

sc2=(fliplr([ 8.170734e+000 5.708244e-002 1.293374e-003 ]));

sd2=(fliplr([ 6.380594e+000 1.046470e-001 8.553860e-004 -1.572857e-004

]));

sa3=(fliplr([ -4.595514e+000 1.328152e-002 9.294096e-004 -8.243998e-005 -

9.490079e-006 ]));

sc3=(fliplr([ 8.805680e+000 5.468057e-002 1.121881e-003 ]));

sd3=(fliplr([ 7.080690e+000 1.142540e-001 6.869247e-004 -2.257365e-004

]));

sa4=(fliplr([ -4.971377e+000 -1.668833e-002 -2.409638e-003 -2.840529e-004 -

2.934495e-005 ]));

Appendice A

110

sc4=(fliplr([ 9.525862e+000 6.639994e-002 7.836529e-004 -2.447910e-004 -

2.415297e-005 ]));

sd4=(fliplr([ 7.888211e+000 9.954169e-002 -1.327510e-004 -2.926560e-004 -

4.717532e-005 ]));

sa5=(fliplr([ -6.720756e+000 7.203127e-002 6.766486e-003 -1.019894e-003

9.196578e-005 ]));

sc5=(fliplr([ 1.055726e+001 8.397717e-003 9.849480e-004 3.539965e-004 -

4.236150e-005 ]));

sd5=(fliplr([ 8.707609e+000 3.713173e-002 -1.670186e-002 -5.094908e-004

4.248200e-004 ]));

sa6=(fliplr([ -6.218117e+000 -7.145834e-002 6.529894e-004 1.599394e-003

1.981881e-005 ]));

sc6=(fliplr([ 1.020784e+001 2.553473e-002 -3.549988e-003 ]));

sd6=(fliplr([ 8.422438e+000 1.125955e-001 -3.204629e-003 -1.655103e-003 -

2.051312e-004 ]));

sa7=(fliplr([ -6.611171e+000 8.990124e-002 -5.418532e-003 ]));

sc7=(fliplr([ 1.096136e+001 2.887564e-002 -3.621097e-004 ]));

sd7=(fliplr([ 9.253817e+000 1.341329e-002 -6.004835e-003 1.860800e-003 -

1.229602e-004 ]));

conc=sa1-exp(polyval(sa2,mp)).*sgm(mT,exp(polyval(sc2,mp)),exp(polyval(sd2,mp)))...

-exp(polyval(sa3,mp)).*sgm(mT,exp(polyval(sc3,mp)),exp(polyval(sd3,mp)))...




-exp(polyval(sa7,mp)).*sgm(mT,exp(polyval(sc7,mp)),exp(polyval(sd7,mp)));

mpp=exp(mp)*1.01325e5;

y=conc/R.*mpp./mT;

Appendice B

111

Appendice B

Coefficienti per il calcolo dell’entalpia specifica.

function y=ei(mT,mp)

mp=log(mp);

sa0=fliplr([ 2.350912e-001 -1.120236e-003 -2.508755e-005 ]);

sa1=fliplr([ 1.542966e-005 6.556647e-007 ]);

sa2=(fliplr([ 6.587335e+000 -6.112145e-002 -9.108114e-003 -9.569561e-004 -

1.128838e-004 -8.757988e-006 ]));

sc2=(fliplr([ 8.164839e+000 5.283021e-002 4.741812e-004 -1.276598e-004 -

9.877950e-006 ]));

sd2=(fliplr([ 6.513247e+000 1.040239e-001 -8.104042e-004 -2.991537e-004

4.348437e-005 6.258153e-006 ]));

sa3=(fliplr([ 8.740885e+000 3.050736e-003 1.599171e-003 -2.859059e-004 -

5.371695e-005 ]));

Appendice B

112

sc3=(fliplr([ 8.856133e+000 5.964702e-002 1.745638e-003 2.343688e-005 -

3.102821e-006 ]));

sd3=(fliplr([ 6.981907e+000 1.119408e-001 4.185626e-003 -2.499247e-004 -

5.209456e-005 ]));

sa4=(fliplr([ 1.014496e+001 -1.833015e-002 -4.265166e-003 -8.321612e-004 -

6.481810e-005 ]));

sc4=(fliplr([ 9.593196e+000 7.089945e-002 1.640521e-003 -1.055407e-004 -

1.510653e-005 ]));

sd4=(fliplr([ 7.910995e+000 1.006930e-001 -1.608832e-003 -2.526731e-004 ]));

sa5=(fliplr([ 1.082665e+001 -4.777223e-002 -4.682547e-003 ]));

sc5=(fliplr([ 1.030572e+001 6.607308e-002 1.512694e-003 -5.009486e-005 -

5.192881e-006 1.116840e-006 ]));

sd5=(fliplr([ 8.320951e+000 7.474585e-002 1.789257e-003 5.273341e-004

3.755570e-005 3.425485e-006 ]));

sa6=(fliplr([ 1.145937e+001 5.122940e-004 -8.805300e-003 -1.193042e-003 ]));

sc6=(fliplr([ 1.076031e+001 6.404003e-002 9.621465e-004 -1.883920e-005 ]));

sd6=(fliplr([ 8.846750e+000 1.307197e-001 -2.943134e-004 -6.425060e-004 ]));

sa7=(fliplr([ 1.172458e+001 -5.461477e-002 3.413385e-003 7.407737e-004 -

1.644220e-004 -1.878043e-005 ]));

sc7=(fliplr([ 1.109244e+001 6.026294e-002 1.125935e-003 -2.170126e-005 -

3.141895e-006 ]));

sd7=(fliplr([ 8.942747e+000 8.687938e-002 1.554323e-002 3.584506e-005 -

2.447405e-004 ]));

sa8=(fliplr([ -1.011841e+001 -2.295953e+001 -1.220667e+001 -3.504472e+000 -

4.373233e-001 1.127311e-002 6.598926e-003 -2.119755e-004 -1.369506e-004 -

8.311253e-006]));

sc8=(fliplr([ 1.314544e+001 2.079129e+000 9.992304e-001 2.223931e-001

1.963954e-002 -1.622592e-004 -1.094608e-005 2.304744e-005 1.817656e-006 ]));

sd8=(fliplr([ -1.743314e+000 -1.807206e+001 -1.393980e+001 -5.232064e+000 -

7.607736e-001 8.529592e-002 4.967101e-002 7.733746e-003 5.507513e-004

1.527569e-005]));

y0=polyval(sa0,mp).*mT+polyval(sa1,mp).*mT.^2 ...

+exp(polyval(sa2,mp)).*sgm(mT,exp(polyval(sc2,mp)),exp(polyval(sd2,mp)))...






+exp(polyval(sa8,mp)).*sgm(mT,exp(polyval(sc8,mp)),exp(polyval(sd8,mp)));

y0=y0*4.1868*1e3;

mp=exp(mp);

y=y0-mp*1.01325e5/dens(mT,mp);

Appendice C

113

Appendice C

Coefficienti per il calcolo della pressione ),( ρεpp = .

Appendice C

114

load tabella.txt

%T=100:100:25000;

%p=([1.0e-2 2.0e-2 5.0e-2 1.0e-1 2.0e-1 5.0e-1 1.0e0 2.0e0 5.0e0]);

Nrho=80;

Ne=100;

%rho_g=linspace(1e-2,17.5548,Nrho);

rho_g=exp(linspace(log(1e-2),log(18),Nrho));

ep_g=linspace(2e3,3e6,Ne);

%ep_g=exp(linspace(log(8.83e3),log(2.98e6),Ne));

[ep,rr]=meshgrid(ep_g,rho_g);

Y=log10(rr/1.292);

Z=log10(ep./rr./78408.4);

%YL=[-Inf -7 -4.5 -0.5 +Inf];

YL=[-7 -4.5 -0.5 +Inf];

ZL=[-Inf .65 1.5 1.54 1.68 2.2 2.22 2.46 2.9 3.05 3.38 +Inf];

%%costruiamo matrice coefficienti

a1=zeros(Nrho,Ne);

a2=zeros(Nrho,Ne);

a3=zeros(Nrho,Ne);

a4=zeros(Nrho,Ne);

a5=zeros(Nrho,Ne);

a6=zeros(Nrho,Ne);

a7=zeros(Nrho,Ne);

a8=zeros(Nrho,Ne);

a9=zeros(Nrho,Ne);

a10=zeros(Nrho,Ne);

a11=zeros(Nrho,Ne);

a12=zeros(Nrho,Ne);

a13=zeros(Nrho,Ne);

a14=zeros(Nrho,Ne);

a15=zeros(Nrho,Ne);

a16=zeros(Nrho,Ne);

%matrice info riga

%matr=zeros(length(ZL)-1,length(YL)-1);

matr=[10 5 1

11 6 2

12 6 2

12 7 2

12 7 3

13 7 3

13 8 3

13 8 4

13 9 4

14 9 4

15 9 4];

for jy=1:length(YL)-1

for jz=1:length(ZL)-1

Appendice C

115

%c1=((YL(jy)<Y<YL(jy+1))&(ZL(jz)<Z<ZL(jz+1)));

c1=(Y>YL(jy)&Y<YL(jy+1)&Z>ZL(jz)&Z<ZL(jz+1));

a1(c1)=tabella(matr(jz,jy),1);

% keyboard
















end

end

gamma=a1+a2.*Y+a3.*Z+a4.*Y.*Z+a5.*Y.^2+a6.*Z.^2+a7.*Y.*Z.^2+a8.*Z.^3+...

(a9+a10.*Y+a11.*Z+a12.*Y.*Z)./(1+exp((a13+a14.*Y).*(Z+a15.*Y+a16)));

p=ep.*(gamma-1);

[kappa,chi] = GRADIENT(p,ep_g,rho_g);

%catm_pascal=1.01325e5;

%p=p/catm_pascal;

save densita.txt rho_g -ASCII

save energia.txt ep_g -ASCII

save pressione.txt p -ASCII

save chi.txt chi -ASCII

save kappa.txt kappa -ASCII

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