Alma Mater Studiorum · Universita di Bologna

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALICorso di Laurea Triennale in Matematica

TEOREMADI

PREPARAZIONE

Tesi di Laurea in Istituzioni di Geometria Superiore I

Relatore:Chiar.mo Prof.SALVATORE COEN

Presentata da:ALESSANDRA TOSI

II SessioneAnno Accademico 2006/2007

Introduzione

Peu des theoremes ont connu une celebrite analogue a celle du’Vorbereitungssatz’ ainse nomme par Weierstrass. Elle est justifiee, car cetheoreme est un outil indispensable dans les developpements contemporainsdes mathematiques, aussi bien en ’geometrie analytique’ qu’en geometriedifferentielle. Queste parole pubblicate in un articolo [9] del 1966 di H.Cartan spiegano perche il teorema di preparazione continui ad essere studi-ato mediante successive generalizzazioni, dimostrazioni nuove e, soprattuttosuo impiego in situazioni diverse.

Il teorema afferma che localmente una qualsiasi funzione analitica si puofattorizzare con uno pseudopolinomio distinto in maniera unica, a meno diuna funzione analitica mai nulla nell’intorno considerato.

Questo risultato e lo strumento fondamentale per preparare lo studio lo-cale degli insiemi di zeri di funzioni analitiche (insiemi analitici) e rispondead una visione che potremmo definire algebrizzante della geometria analit-ica, cioe di quella che studia gli insiemi analitici. Non meraviglia, quindi,che questo sia frutto dell’atmosfera matematica in cui vivevano verso fineottocento-inizi novecento i matematici della scuola tedesca. Il teorema sitrova la prima volta enunciato e dimostrato dallo stesso Weierstrass nel1886,ma e noto che Weierstrass avesse l’abitudine di anticipare i proprio risultatiagli studenti nellesue lezioni e di pubblicarli poi dopo anni o anche di farlipubblicare in lavori di allievi. Il teorema cosı sembra riferirsi a note del 1879ed a ricerche del 1860. Allafine del secolo, nel 1893, nel Traite d’Analyse diE. Borel appare una dimostrazione dovuta a Simart, un poco diversa e chedoveva poi avere molta fortuna, visto che a tutt’oggi e forse quella cui ci siriferisce piu frequentemente. L’estensione al caso formale appare, senzadi-mostrazione adeguata, in un lavoro di Lasker [8] del 1905. A questa seguironolavori di Brill (1910) e di Wirtinger (1927) che furono in grado di chiarire itermini del teorema ’formale’. Per vedere una formulazione del teorema didivisione si dovette attendere un lavoro di Sp?th del 1933.

Nella presente tesi propongo una dimostrazione dei teoremi dipreparazione e di divisione, basata su quella di Simart, comee sposta nelle

1

2

note di Range [1] e di Coen [2].Nel testo ricordo e dimostro i risultati su cui la prova e basata, cioe una

formulazione particolare del teorema dell’indicatore logaritmico e leuguaglianze di Newton perle funzioni simmetriche elementari, in modo che ladimostrazione necssiti solo delle conoscenze di base della teoria delle funzionidi una sola variabile complessa.

Faccio, poi, seguire alcune classiche applicazioni quali la dimostrazionedella fattorialita dell’anello delle serie di potenze formali convergenti a coef-ficienti complessi e ricordo qualche estensione piu recente del teorema. Com-pare anche un cenno ai risulati di Malgrange [7] per il caso differenziabile.Le dimostrazioni sono parte della letteratura. Ho cercato, pero, di illustrarequalcuno dei risultati con esempi e controesempi originali al fine di renderepiu espliciti i risultati.

Indice

Introduzione 1

1 Preliminari 51.1 Teorema dell’indicatore logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Funzioni simmetriche delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Nozione di germe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Teorema di Preparazione di Weierstrass 132.1 zn-regolarita e zeri di una funzione analitica . . . . . . . . . . 132.2 Teorema di preparazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Teorema di divisione 21

4 Applicazioni 254.1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Proprieta dell’anello dei germi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Altre dimostrazioni 295.1 Dimostrazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Dimostrazione con stime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Estensione al caso differenziabile reale . . . . . . . . . . . . . . 32

Bibliografia 33

3

4 INDICE

Capitolo 1

Preliminari

1.1 Teorema dell’indicatore logaritmico

Teorema 1.1.1 (Teorema dell’indicatore logaritmico). Sia f una funzioneanalitica in un intorno aperto del compatto a bordo K ⊂ C. Sia mεN. Sia fsenza zeri sul bordo di K. Allora, essendo α1, . . . , αn gli zeri di f nella parteinterna di K ripetuti con le loro molteplicita, vale:

1

2πi

∫∂K

zm f ′(z)

f(z)dz = αm

1 + · · ·+ αmn

Dimostrazione. Siano β1, . . . , βp gli zeri di f , rinominati in modo tale chesiano diversi due a due. Indicando con kj la molteplicita di zero di f in βj,vale k1 + · · ·+ kp = n e vale anche

αm1 + · · ·+ αm

n = k1βm1 + · · ·+ kpβ

mp (1.1)

Fissato j, con jε{1, . . . , p}, attorno a bj si ha:

zm f ′(z)

f(z)=

(m∑

s=0

(m

m− s

)(z − βj)

m−sβsj

)(kj

z − βj

+ g(z)

)che si ottiene sviluppando in somma finita zm = ((z−βj)+βj)

m ed utilizzandole proprieta della derivata logarirmica, la quale ha un polo semplice in βj ede tale che il suo residuo sia kj, con g(z) opportuna funzione analitica intornoa bj. Si vede subito che per s < m, sviluppando i prodotti, si ottiene ancorauna funzione analitica; per s = m, invece, il primo fattore risulta uguale ad1, quindi si ha:

zm f ′(z)

f(z)=

kjβmj

z − βj

+ l(z)

5

6 CAPITOLO 1. PRELIMINARI

con l(z) funzione analitica intorno a βj.Si presentano ora diversi casi. Se tutti gli zeri βj sono non nulli, oppure se unβj = 0 e m = 0, con jε{1, . . . , p}, allora i residui della funzione integrandasono nei punti βj, con jε{1, . . . , p}, e solo in questi; si puo cosı applicare ilteorema dei residui ottenendo:

1

2πi

∫∂K

zm f ′(z)

f(z)dz = k1β

m1 + · · ·+ kpβ

mp

Dalla 1.1 si ottiene l’enunciato.Se uno dei βj e nullo, ad esempio βp = 0, con m > 0, allora i residui dellafunzione integranda sono nei punti βj, con jε{1, . . . , p− 1}, e solo in questi;pertanto vale:

1

2πi

∫∂K

zm f ′(z)

f(z)dz = k1β

m1 + · · ·+ kp−1β

mp−1

Nel caso m = 0, il teorema e una naturale generalizzazione del teoremadell’indicatore logaritmico.

1.2 Funzioni simmetriche delle radici

Definizione 1.1. Sia R un anello commutativo e si consideri l’anello deipolinomi R[X1, . . . , Xn] in n variabili a coefficienti in R. Un polinomiop(X1, . . . , Xn) εR[X1, . . . , Xn] si dice simmetrico se per ogni permutazioneπ(1, . . . , n) −→ (1, . . . , n) vale

p(X1, . . . , Xn) = p(Xπ(1), . . . , Xπ(n))

Esempio 1. Il polinomio

p(X) = (X31+X3

2+X33 )+5(X2

1X2+X21X3+X2

2X3+X22X1+X2

3X2+X23X1)−X1X2X3

e simmetrico di terzo grado in tre variabili.

Definizione 1.2. Per ogni n > 0 i seguenti polinomi simmetrici a coefficientiinteri sono detti funzioni simmetriche elementari :

S1(X1, . . . , Xn) = X1 + X2 + · · ·+ Xn

S2(X1, . . . , Xn) = X1X2 + X1X3 + · · ·+ Xn−1Xn =∑j1<j2

uj1uj2

S3(X1, . . . , Xn) =∑

j1<j2<j3

Xj1Xj2Xj3

...

Sn(X1, . . . , Xn) = X1X2 · · ·Xn

1.2. FUNZIONI SIMMETRICHE DELLE RADICI 7

Generalizzando:

Sm(X1, . . . , Xn) =∑

1≤j1<···<jm≤n

Xj1 · · ·Xjm ∀mε{1, . . . , n}

Osservazione 1. Si consideri il polinomio

p(X) = a0Xn + a1X

n−1 + · · ·+ an−1X + an

con n radici u1, . . . , unεC. Allora nella scrittura

p(X1, . . . , Xn) = a0(u1, . . . , un)Xn + a1(u1, . . . , un)Xn−1 + · · ·++ · · ·+ an−1(u1, . . . , un)X + an(u1, . . . , un)

i coefficienti sono esprimibili come valori delle funzioni simmetriche elemen-tari calcolati nelle radici u1, . . . , un ripetute con le loro molteplicita:

am(u1, . . . , un) = (−1)ma0

∑1≤j1<...<jm≤n

uj1 · · ·ujm (1.2)

= (−1)ma0Sm(X1, . . . , Xn) (1.3)

per 1 ≤ m ≤ n.Di piu, come si vedra in seguito, tali coefficienti sono valori delle funzionipolinomiali delle somme di potenze intere di esponente m = 1, . . . , n delleradici u1, . . . , un ripetute con le loro molteplicita. Precisamente, esistono npolinomi F1(x1), . . . , Fn(x1, . . . , xn) tali che:

am = Fm(S1(X1, . . . , Xn), . . . , Sm(X1, . . . , Xn)) ∀mε{1, . . . , n}

Esempio 2.

p(x) = a0(x− u1)(x− u2)(x− u2)(x− u4) =

= a0(x4 − u3x

3 − u4x3 + u3u4x

2 − u1x3 + u1u3x

2 +

+u1u4x2 − u1u3u4x− u2x

3 + u2u3x2 + u2u4x

2 − u2u3u4x +

+u1u2x2 − u1u2u3x− u1u2u4x + u1u2u3u4) =

= a0x4 − a0(u1 + u2 + u3 + u4)x

3

+a0(u1u2 + u1u3 + u1u4 + u2u3 + u2u4 + u3u4)x2

−a0(u1u2u3 + u1u2u4 + u1u3u4 + u2u3u4)x + a0(u1u2u3u4)

= a0x4 − a0S1(u1, . . . , u4)x

3 + a0S2(u1, . . . , u4)x2

−a0S3(u1, . . . , u4)x + a0S4(u1, . . . , u4)

8 CAPITOLO 1. PRELIMINARI

Proposizione 1.2.1. Si consideri il polinomio a coefficienti complessi

p(z) = a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an−1z + an

con a0 6= 0.Siano S1, . . . , Sn : Cn −→ C

Sm(z1, . . . , zn) = zm1 + · · ·+ zm

n ∀mε{1, . . . , n}

Se le radici di p(z) ripetute con le loro molteplicita sono u1, . . . , un, alloravalgono le seguenti relazioni, dette di Newton:

a1 = −a0S1(u1, . . . , un)

a2 = −1

2(a1S1(u1, . . . , un) + a0S2(u1, . . . , un))

...

an−1 = − 1

n− 1(an−2S1(u1, . . . , un) + an−3S2(u1, . . . , un) + · · ·+

a1Sn−1(u1, . . . , un) + a0Sn−1(u1, . . . , un))

Dimostrazione. Da 1.3 si sa che i coefficienti am del polinomio p(z) sono es-primibili come valori delle funzioni simmetriche elementari delle radici con-siderate con le loro molteplicita. Si calcoli in modo diretto la derivata dip(z)

p′(z) = na0z(n− 1) + (n− 1)a1z

n−2 + · · ·+ an−1 (1.4)

Considerando ora p(z) = a0(z − u1)(z − u2) · · · (z − un), si scriva la derivata

p′(z) = a0

∑1≤k≤n

[ ∏1≤j≤n,j 6=k

(z − uj)

]= (1.5)

=∑≤k≤n

(p(z)

z − uk

)(1.6)

Eguagliando i coefficienti di 1.4 e 1.6, segue l’enunciato.

1.3 Nozione di germe

Definizione 1.3. Sia X uno spazio topologico, sia AεX e si consideri lospazio delle funzioni a valori complessi definite su un intorno di A in X.Siano ora fU e gV due funzioni definite rispettivamente negli intorni apertiU e V del punto A in X.. Se esiste un intorno aperto W del punto A, conW ⊆ U ∩ V , e vale fU |W = gV |W allora si puo definire una relazione diequivalenza nello spazio di tali funzioni. Una singola classe di equivalenza edetta germe della funzione nel punto A.

1.3. NOZIONE DI GERME 9

Ogni funzione a valori complessi f definita in un qualche intorno apertodel punto A appartiene ad una qualche classe in A; tale classe verra chiama-ta germe della funzione f in A e denotata con fA. Si puo anche notare, inparticolare, che il germe di una funzione nel punto A dipende dal compor-tamento della funzione nell’intero intorno aperto, non solamente dal valoredella funzione in A. Ad esempio, i polinomi z e z2 hanno lo stesso valorenell’origine del piano complesso, ma determinano nell’origine germi diversi.Tutte le funzioni in una classe di equivalenza (tutte le funzioni che rappre-sentano lo stesso germe) nel punto A devono, quindi, avere lo stesso valorenel punto A; tale valore viene chiamato valore del germe nel punto A.

Osservazione 2. Lo spazio dei germi delle funzioni a valori complessi definitenell’intorno aperto di un punto AεCn puo essere dotato in modo naturaledella struttura di anello.

Dimostrazione. Considero due germi qualsiasi, fA e gA, scegliendo rispetti-vamente i rappresentanti fU e gV . Se W e un intorno aperto di A tale cheW ⊆ U∩V , il germe della funzione fU |W +gV |W e la somma di (f+g)A, ed ilgerme della funzione (fU |W ) ·(gV |W ) e il prodotto (f ·g)A. Queste operazionisono ben definite, nel senso che sono indipendenti dalla scelta rappresentante;inoltre impongono all’insieme delle funzioni a valori complessi la struttura dianello. Di piu, questo e un anello commutativo unitario con lo zero rap-presentato dalla funzione identicamente nulla e l’unita rappresentata dallafunzione identicamente uguale ad uno.

Si noti che nel definire lo spazio dei germi non sono state imposte con-dizioni sulla continuita delle funzioni. Si consideri da ora lo spazio dei germif z0 delle funzioni olomorfe definite in un intorno di z0εCn, denotandolo con

nOz0 . Nel caso in cui z0 = 0 si scrivera piu brevemente: f ε nO.

Teorema 1.3.1. L’anello nOw dei germi delle funzioni olomorfe in n vari-abili e isomorfo all’anello C{X1, . . . , Xn} delle serie di potenze convergentiin n variabili.

Dimostrazione. Si definisce

φ : nOw −→ C{X1, . . . , Xn}

come segue. Sia fw ε nOw. Si pone

φ(fw) =∞∑

k=0

f (k)(w)

k!Xk

10 CAPITOLO 1. PRELIMINARI

L’applicazione e ben definita perche, scelti due rappresentanti f1, f2 ε fw, es-sendo f1 = f2 in un intorno aperto del punto w si ha che per il Principio delprolungamento analitico vale

f(k)1 (w) = f

(k)2 (w) ∀k

Questa applicazione e iniettiva, infatti presi due germi fw 6= gw e due lororappresentanti fεfw, gεgw; allora, per il Principio del prolungamento analiticoesiste un certo ordine k per il quale le derivate k-esime delle due funzioni sonodiverse, quindi:

∞∑k=0

f (k)(w)

k!Xk 6=

∞∑k=0

g(k)(w)

k!Xk

L’applicazione e anche suriettiva:

∀∞∑

j=0

ajXj ε C{X1, . . . , Xn} ∃ fw ε nOw t.c. φ(fw) =

∞∑j=0

ajXj

in cui i coefficienti aj corrispondono a (f (k)(w)/k!) per una certa fεfw, ∀j > 0.Infine, e un isomorfismo di anelli

φ(fwgw) = φ(fw)φ(gw)

per le proprieta delle serie formali.

Corollario 1.3.2. Per tutti i punti wεCn, gli anelli nOw sono canonicamenteisomorfi tra loro.

Dimostrazione. Considero due anelli nOw1 , nOw2 . Si vuole provare che l’ap-plicazione

Ψ : nOw1 −→n Ow2

e un isomorfismo di anelli.Sia ora π : Cn −→ Cn la traslazione π(z) = w = z − w1 + w2. Si hache π−1(w) = z + w1 − w2. L’applicazione Ψ associa al germe fw1 il germe(f ◦ π−1)π(w1) = gw2

. Studiando le derivate, si vede che

g(w2) = (f ◦ π−1)(w2) = f(w1)

g(1)(w2) = (f ◦ π−1)(1)(w2) = f (1)(w1)...

g(k)(w2) = f (k)(w1)

1.3. NOZIONE DI GERME 11

Si definiscono

φ : nOw1 −→ C{X1, . . . , Xn} ϕ : nOw2 −→ C{X1, . . . , Xn}

come nella dimostrazione del teorema precedente. L’applicazione Ψ si puovedere come la composizione di due isomorfismi, come segue

nOw1

φ−→ C{X1, . . . , Xn}ϕ−1

−→ nOw2

Si ha

φ(fw1) =∞∑

k=0

f (k)(w1)

k!Xk

e, da quanto appena visto sulle derivate k-esime

ϕ−1

(∞∑

k=0

f (k)(w1)

k!Xk

)= gw2

in cui

g(w) =∞∑

k=0

f (k)(w1)

k!(w − w2)

k

12 CAPITOLO 1. PRELIMINARI

Capitolo 2

Teorema di Preparazione diWeierstrass

2.1 zn-regolarita e zeri di una funzione ana-

litica

Definizione 2.1. Una funzione analitica intorno al punto b = (b1, . . . , bn)εCn

e zn-regolare di ordine k > 0 in b quando la funzione in una variabile g(zn) =f(b1, . . . , bn−1, zn), analitica intorno a bn, ha uno zero di moltepilcita k inzn = bn.

Si noti che la definizione di zn-regolarita equivale a chiedere che g(zn) sianon identicamente nulla intorno a bn.

Esempio 3. Sia f : C3 −→ C

f(z) = z1z2z3 + z1z3 + z21 + z2

3 .

f e analitica intorno a b = (0, 0, 0) ε C3.La funzione g : C −→ C

g(z3) = f(0, 0, z3) = z23

ha uno zero di molteplicita uguale a 2 intorno a z3 = 0. La funzione f risultaz3-regolare di ordine 2 in b = (0, 0, 0).

Esempio 4. La funzione f : C2 −→ C

f(z) = z1z2 + z61

non e z2-regolare, infatti: g : C −→ C

g(z3) = f(0, z2) ≡ 0

13

14 CAPITOLO 2. TEOREMA DI PREPARAZIONE DI WEIERSTRASS

Tuttavia, effettuando il cambiamento di coordinate

w1 = z2 w2 = z1

f(w1, w2) diventa w2 regolare di ordine 6 in 0εC2

Tale cambiamento di coordinate esiste sempre, come mostra la seguenteproposizione.

Proposizione 2.1.1. Sia f analitica e non identicamente nulla intorno abεCn, f(b) = 0. Allora ∃U : Cn → Cn unitaria tale che, posto B = U(b),per wn intorno a Bn la funzione g(wn) := f ◦ U−1(B1, . . . , Bn−1, wn) e nellaforma

ck(wn −Bn)k + ck+1(wn −Bn)k+1 + · · ·

con ck 6= 0, kεN, k < 0.

Dimostrazione. Certo f e definita e non identicamente nulla in una pallaaperta I di centro b in Cn. Sia pεI, f(p) 6= 0.Sia U : Cn → Cn una trasformazione unitaria tale che

U(p− b) = (0, . . . , 0, ‖p− b‖), ‖p− b‖ = r > 0

Sia B = U(b). Si consideri f ◦ U−1 definita ed analitica su U(I). Certo edefinita su U(p).U(p− b) = U(p)− U(b) = (0, . . . , 0, r)U(p) = B + (0, . . . , 0, r) = (B1, . . . , Bn−1, Bn + r) ε U(I)

f ◦ U−1(B1, . . . , Bn−1, Bn + r) = f ◦ U−1 ◦ U(p) = f(p) 6= 0

Cosı g(wn) = f ◦ U−1(B1, . . . , Bn−1, wn) non e identicamente nulla intorno aBn, dunque e wn-regolare.

Esempio 5. Si consideri f : C2 → C, f(z1, z2) = z1z2. Tale f non e unafunzione z2-regolare in b = 0. Si scelga p con f(p) 6= 0, ad esempio p = (1, 1),e lo si normalizzi: p

‖p‖ = ( 1√2, 1√

2). La matrice

U−1 =

(1√2

1√2

− 1√2

1√2

)

reppresenta una trasformazione unitaria.

U−1(w1, w2) =

(1√2w1 +

1√2w2,−

1√2w1 +

1√2w2

)

2.1. ZN-REGOLARITA E ZERI DI UNA FUNZIONE ANALITICA 15

Applicandola alla funzione f

f ◦ U−1(w1, w2) =

(1√2w1 +

1√2w2

)(− 1√

2w1 +

1√2w2

)=

= −1

2w2

1 +1

2w1w2 −

1

2w1w2 +

1

2w2

2 =

= −1

2w2

1 +1

2w2

2

si ottiene una funzione z2-regolare.Il nuovo sistema di riferimento ortonormale e determinato dai vettori

U(1, 0) =

(1√2,

1√2

)U(0, 1) =

(− 1√

2,

1√2

)in cui U e la matrice trasposta coniugata di U−1.

Osservazione 3. La proposizione precedente puo essere rienunciata comesegue:Sia f analitica e non identicamente nulla intorno a bεCn, f(b) = 0. Allorapuo assumere un nuovo sistema di riferimento di Cn avente ancora 0 comeorigine e riferito alle coordinate (w1, . . . , wn) in modo tale che f sia wn -regolare in b.

Lemma 2.1.2. Sia f analitica intorno a b in Cn, zn-regolare di ordine k inb, f(b) = 0, n > 1. Allora:∀ε > 0,∃δ = δ(ε) > 0 : ∀(z0

1 , . . . , z0n−1)εP ((b1, . . . , bn−1), δ) la funzione

zn 7→ f(z01 , . . . , z

0n−1, zn)

ha esattamente k zeri contati con le loro molteplicita nel disco B(bn, ε).

Dimostrazione. La funzione f e analitica intorno al policilindro

P ((b1, . . . , bn), (r1, . . . , rn))

con rj > 0 per jε{1, . . . , n}. Cosı, per ε abbastanza piccolo e ε < r, la

funzione g(zn) = f(b1, . . . , bn−1, zn) ha nel disco B(zn, ε) uno ed un solo zerodi molteplicita k.Sia µ := inf{|g(zn)|/|zn − bn| = ε} > 0. Sul policilindro compatto

C = P ((b1, . . . , bn−1), (r1, . . . , rn−1))×B(zn, ε) =

= P ((b1, . . . , bn−1, zn), (r1, . . . , rn−1, ε))

16 CAPITOLO 2. TEOREMA DI PREPARAZIONE DI WEIERSTRASS

la funzione f e continua e quindi uniformemente continua. Allora per

|zj − wj| ≤ δ < rj, |zn − wn| ≤ δ < ε

vale |f(z)− f(w)| < µ.In particolare, fissato (z0

1 , . . . , z0n−1) ε P ((b1, . . . , bn−1), δ), si ha che

∀zn ε B(bn, ε) per i punti z = (z01 , . . . , z

0n−1, zn) e w = (b1, . . . , bn−1, zn) vale:

|f(z01 , . . . , z

0n−1, zn)− f(b1, . . . , bn−1, zn)| < µ < |g(zn)| = |f(b1, . . . , bn−1, zn)|

Applicando il Teorema di Rouche alle funzioni di variabile zn in B(bn, ε) siha che gli zeri di f(b1, . . . , bn−1, zn) e di f(z0

1 , . . . , z0n−1, zn) calcolati con le

loro molteplicita sono nello stesso numero, cioe k.

E’ interessante aggiungere il seguente teorema, anche se non sar´a fun-zionale ai fini del nostro discorso.

Teorema 2.1.3. Sia f una funzione analitica intorno al punto b ε Cn, n > 1.Sia f(b) = 0. Allora esiste in Cn una successione di punti {zj}j≥1, zeri di fdistinti da b, la quale converge a b.In particolare, f non ha seri isolati.

Dimostrazione. Si puo supporre f non identicamente nulla intorno a b e,dalla proposizione 2.1.1, anche zn-regolare di un opportuno ordine k > 0.Come nel lemma precedente, si scelga ε > 0 e si ponga

εj :=ε

2j, ∀j

e ∀j sia δ(j) una costante scelta in corrispondenza di εj tale che

limj→∞

δ(j) = 0, δ(j) <δ

2j

Si scelga una successione di punti {(zj1, . . . , z

jn−1)}j≥1 di Cn−1 convergente

a (b1, . . . , bn−1) e con (zj1, . . . , z

jn−1) ε P ((b1, . . . , bn−1), δ

(j)), (zj1, . . . , z

jn−1) 6=

(b1, . . . , bn−1) ∀j. Dal lemma precedente segue che

∀j ∃zjn t.c. f(zj

1, . . . , zjn−1, z

jn) = 0, |zj

n − bn| < εj

Si osservi che la successione {zj}j≥1 = {(zj1, . . . , z

jn−1, z

jn)}j≥1 converge al

punto b, senza essere la successione costante.

L’ultimo risultato evidenzia una grande differenza tra funzioni analitichein piu variabili complesse e funzioni analitiche in una sola variabile; in questeultime, infatti, gli zeri sono sempre isolati, per il principio del prolungamentoanalitico.

2.2. TEOREMA DI PREPARAZIONE 17

2.2 Teorema di preparazione

Lemma 2.2.1. Sia f analitica intorno a O in Cn, con n > 1. Sia f zn-regolare di ordine k ≥ 1 in O. Allora ∃ δ1, . . . , δn−1, δn > 0 tali che, fissato(z1, . . . , zn−1) con |zj| < δj per j ε{1, . . . , n−1} e ∀zn con |zn| < δn, si abbia:

f(z1, . . . , zn) = (zkn + ak−1(z1, . . . , zn−1)z

k−1n + · · ·+

+ · · ·+ a1(z1, . . . , zn−1)zn + a0(z1, . . . , zn−1))u(z1, . . . , zn)

con aj(z1, . . . , zn−1) ε C e zn 7−→ u(z1, . . . , zn−1, zn) funzione a valori comp-lessi definita su B(0, δn).Al variare di (z1, . . . , zn−1) nel policilindro P (0, (δ1, . . . , δn−1)) ⊂ Cn−1 lefunzioni aj(z1, . . . , zn−1) sono univocamente determinate per j ε {1, . . . , n−1}e la funzione u(z1, . . . , zn), per (z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)) fissato, epure univocamente determinata e mai nulla sul policilindro.Di piu, aj(0, . . . , 0) = 0 per j ε {1, . . . , n−1} e la funzione zn 7−→ u(z1, . . . , zn)e olomorfa su B(0, δn)

Dimostrazione. Per il lemma precedente si ha che, fissato δn = ε > 0 picco-lo, ∃ δ1, . . . , δn−1 > 0 tali che, fissato (z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)), lafunzione zn 7−→ f(z1, . . . , zn−1, zn) e analitica ed ha esattamente k zeri neldisco B(0, δn) contati con le loro molteplicita.Siano φ1(z1, . . . , zn−1), . . . , φk(z1, . . . , zn−1) tali zeri. Considero il polinomiomonico:

w(z1, . . . , zn) = (zn − φ1(z1, . . . , zn−1))(zn − φ2(z1, . . . , zn−1)) · · ·· · · (zn − φk(z1, . . . , zn−1))

che ha esattamente k zeri su B(0, δn) come li ha f(z1, . . . , zn). Considero:

u(z1, . . . , zn) =f(z1, . . . , zn)

w(z1, . . . , zn)

e questa e analitica nella variabile zn e mai nulla su B(0, δn).Posso scrivere:

w(z1, . . . , zn−1, zn) = zkn + ak−1(z1, . . . , zn−1)z

k−1n + · · ·+

+ · · ·+ a0(z1, . . . , zn−1)

dove le aj(z1, . . . , zn) sono funzioni simmetriche delle radiciφj(z1, . . . , zn−1), jε{1, . . . , k}. L’esistenza e cosı dimostrata.

18 CAPITOLO 2. TEOREMA DI PREPARAZIONE DI WEIERSTRASS

Supponiamo ora di avere una fattorizzazione come sopra∀(z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)). Allora, se si definisce

w(z1, . . . , zn−1, zn) = zkn + ak−1(z1, . . . , zn−1)z

k−1n + · · ·+

+ · · ·+ a0(z1, . . . , zn−1)

Cosı w e un polinomio monico che deve avere zeri inφ1(z1, . . . , zn−1), . . . , φk(z1, . . . , zn−1) e solo in questi punti; di conseguenza,dato che u(z1, . . . , zn) non e mai nulla, risulta che w e univocamente deter-minato. Essendo un polinomio monico, con φj(z1, . . . , zn−1), j = 1, . . . , kzeri fissati, le funzioni aj(z1, . . . , zn−1), j = 1, . . . , k sono univocamentedeterminate e w si scrive in modo unico come

(zn − φ1(z1, . . . , zn−1))(zn − φ2(z1, . . . , zn−1)) · · · (zn − φk(z1, . . . , zn−1))

Anche la funzione zn 7−→ u(z1, . . . , zn−1, zn), essendo olomorfa, e univoca-mente determinata su tutto B(0, δn), infatti si estende olomorficamente inquei punti dove non e definita, che sono gli zeri di f .Si osservino infine i valori delle funzioni aj(0, . . . 0), j = 1, . . . , k: poiche f ezn-regolare in 0, la funzione

zn 7−→ (zkn + ak−1(0, . . . , 0)zk−1

n + . . . + a0(0, . . . , 0))u(0, . . . , 0, zn)

e analitica intorno a 0, ove ha uno zero di molteplicita k. Cosı, essendou(0, . . . , 0, zn) mai nulla su B(0, δn), allora il polinomio

zkn + ak−1(0, . . . , 0)zk−1

n + . . . + a0(0, . . . , 0)

ha uno zero di molteplicita k in zn = 0 e aj(0, . . . , 0) = 0, ∀j = 1, . . . , k.

Ci proponiamo ora di verificare l’analiticita delle funzioni a0, . . . , an−1

nelle variabili z1, . . . , zn−1. E’ utile premettere la seguente definizione.

Definizione 2.2. Uno pseudopolinomio nelle zn in 0 e una funzione definitain un intorno di 0 in Cn, n > 1 che si puo rappresentare nella forma:

zkn + ak−1(z1, . . . , zn−1)z

k−1n + · · ·+ a1(z1, . . . , zn−1)zn + a0(z1, . . . , zn−1)

con k ≥ 1, ove le funzioni aj(z1, . . . , zn−1) con j ε {1, . . . , k−1} sono olomorfeintorno a 0 in Cn−1.Si dice che lo pseudopolinomio e distinto (o che e un polinomio di Wierstrass)quando vale aj(0, . . . , 0) = 0 per j ε {1, . . . , k − 1}

2.2. TEOREMA DI PREPARAZIONE 19

Teorema 2.2.2 (Teorema di preparazione di Weierstrass). Sia f analitica inun intorno di 0 in Cn, n > 1, zn - regolare di ordine k ≥ 1. Allora si ha inun intorno I di Cn:

f(z1, . . . , zn−1, zn) = (zkn + ak−1(z1, . . . , zn−1)z

k−1n + · · ·+

+ · · ·+ a1(z1, . . . , zn−1)zn + a0(z1, . . . , zn−1))u(z1, . . . , zn−1, zn)

ove le aj(z1, . . . , zn−1) per j ε {1, . . . , k − 1} sono analitiche in un intornodello 0 in Cn−1 e vale aj(0, . . . , 0) = 0 per j ε {1, . . . , k − 1} e u(z1, . . . , zn) euna funzione olomorfa e mai nulla su I.

Dimostrazione. Si definiscano le funzioni aj(z1, . . . , zn−1) per j ε {1, . . . , k −1}, u(z1, . . . , zn), W (z1, . . . , zn−1, zn) e le costanti δ1, . . . , δn−1, δn > 0 comenella dimostrazione del lemma precedente. Si tratta ora di provare che sonotutte funzioni olomorfe.Si suppone che δn > 0 sia cosı piccolo che ∀(z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)) ⊂Cn−1 lo pseudopolinomio W (z1, . . . , zn−1, zn) non abbia zeri sul bordo diB(0, δn). Sul policilindro P (0, (δ1, . . . , δn−1)) si considerino

Sm(z1, . . . , zn−1) =1

2πi

∫|w|=δn

wm ∂f(z1, . . . , zn−1, w)

∂zn

1

f(z1, . . . , zn−1, w)dw

con m naturale. Queste funzioni sono analitiche nelle variabili z1, . . . , zn.Ora, per il teorema dell’indicatore logaritmico 1.1.1, vale:

Sm(z1, . . . , zn−1) = φm1 (z1, . . . , zn−1) + · · ·+ φm

k (z1, . . . , zn−1)

quando φk(z1, . . . , zn−1) sono gli zeri della funzione zn 7→ (z1, . . . , zn−1) con-tati con le loro molteplicita. Per quanto gia visto sulle funzioni simmetrichedelle radici di un polinomio, si sa che i suoi coefficienti aj(z1, . . . , zn−1) sonofunzioni polinomiali delle Sm(z1, . . . , zn−1) e pertanto sono analitiche nelle(z1, . . . , zn−1). Per ogni (z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)) la funzione f

We

olomorfa in zn su B(0, δn); di piu, sul bordo di B(0, δn) la funzione W nonha zeri. Si puo, dunque, applicare il teorema di rappresentazione di Cauchyin una variabile:

f(z1, . . . , zn−1, zn)

W (z1, . . . , zn−1, zn)=

1

2πi

∫|w|=δn

f(z1, . . . , zn−1, w)

W (z1, . . . , zn−1, w)

1

(w − zn)dw

su B(0, δn). Ora la funzione

f(z1, . . . , zn−1, w)

W (z1, . . . , zn−1, w)

20 CAPITOLO 2. TEOREMA DI PREPARAZIONE DI WEIERSTRASS

e olomorfa nelle (z1, . . . , zn−1) per |w| = δn fissato. Si puo applicare il teoremadel passaggio del limite sotto il segno di integrale, ottenendo che

u(z1, . . . , zn−1, zn) =f(z1, . . . , zn−1, zn)

W (z1, . . . , zn−1, zn)

e olomorfa sia nelle (z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)) che nelle zn con|zn| ≤ δn. Ora

f(z1, . . . , zn−1, w)

W (z1, . . . , zn−1, w)

e continua in |w| = δn per |zj| ≤ δj, j ε {1, . . . , n − 1}, cosı e limitata suP (0, (δ1, . . . , δn−1))× {w : |w| = δn}.Considerando (z1, . . . , zn) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1, δn)) con |w| < δn, per il princi-pio del massimo la funzione u(z1, . . . , zn) e limitata su P (0, (δ1, . . . , δn)). Per-tanto, essendo una funzione limitata ed analitica in ogni variabile, u(z1, . . . , zn)e olomorfa sul policilindro, come si voleva.

Capitolo 3

Teorema di divisione

Teorema 3.0.3 (Teorema di divisione). Sia h uno pseudopolinomio di Weier-strass di grado k. Allora ogni funzione f analitica in un intorno di 0εCn sipuo scrivere in maniera unica come:

f = gh + r

ove r un polinomio nelle zn di grado minore di k a coefficienti nelle z1, . . . , zn−1,g e una funzione analitica in un intorno di 0εCn.

Dimostrazione. Le funzioni f ed h sono olomorfe attorno ad un polidiscochiuso centrato nell’origine. Si scelga tale polidisco conδn > 0 e δ1, . . . , δn−1 > 0 tali che per |zj| < δj jε{1, . . . , n}, zn = δn, per

z0 = (z1, . . . , zn−1) ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)) fissato, il polinomioh = zν

n + aν−1(z1, . . . , zn−1)zν−1n + · · ·+ a1(z1, . . . , zn−1)zn + a0(z1, . . . , zn−1)

nella variabile zn non abbia zeri sul bordo di B(0, δn) ed abbia esattamenteν − 1 zeri nel suo interno.La funzione

g(z0, zn) = g(z1, . . . , zn−1, zn) =1

2πi

∫|ξ|=δn

f(z0, ξ)

h(z0, ξ)

dξ

ξ − zn

e olomorfa in P (0, (δ1, . . . , δn)) e lo e anche la funzione r = f − gh. Dalteorema di rappresentazione integrale si ha:

r(z0, zn) =1

2πi

∫|ξ|=δn

[f(z0, ξ)− h(z0, zn)

f(z0, ξ)

h(z0, ξ)

]dξ

ξ − zn

=1

2πi

∫|ξ|=δn

f(z0, ξ)

h(z0, ξ)

h(z0, ξ)− h(z0, zn)

ξ − zn︸ ︷︷ ︸(∗)

dξ

21

22 CAPITOLO 3. TEOREMA DI DIVISIONE

in cui (∗) e raccoglie i fattori in cui la appare la variabilezn. Se il polinomiodi Weierstrass h e nella forma

zνn + aν−1(z1, . . . , zn−1)z

ν−1n + · · ·+ a1(z1, . . . , zn−1)zn + a0(z1, . . . , zn−1)

allora si ricava

(∗) =(ξν − zν

n) +(∑ν−1

j=0 aj(z1, . . . , zn−1)(ξj − zj

n))

ξ − zn

Per zn = ξ il numeratore di questa espressione si annulla; quindi, dividendoloper il fattore ξ− zn, si ottiene un polinomio in zn di grado minore o uguale aν − 1. Di conseguenza, anche r(z0, zn) e un polinomio in zn di grado minoreo uguale a ν − 1.Si dimostra ora l’unicita. Se, per assurdo, ci fossero due diverse rappresen-tazioni

f = g1h + r1 = g2h + r2

allora si avrebbe anche

r1(z)− r2(z) = (g1(z)− g2(z)) h(z)

in cui, da un lato, la funzione h ha, per ogni punto z0 ε P (0, (δ1, . . . , δn−1)) fis-sato, ν zeri nel disco B(0, δn) e dall’altro lato la funzione r1(z0, zn)−r2(z0, zn)e un polinomio di grado minore di ν. Da qui

r1 − r2 = 0 ⇒ g1 − g2 = 0

ovvero

g1 − g2 = 0 ⇒ r1 − r2 = 0

Corollario 3.0.4 (Generalizzazione). Sia ` una funzione analitica zn-regolaredi ordine ν. Allora una funzione f analitica in un intorno di 0εCn si puoscrivere in maniera unica come:

f = g` + r

ove r e uno pseudopolinomio nelle zn di grado minore di k a coefficienti nellez1, . . . , zn−1, g e una funzione olomorfa in un intorno di 0εCn.

23

Dimostrazione. Dal teorema di preparazione 2.2.2, la funzione ` si puo scri-vere in maniera unica come prodotto

` = hu

in cui h e uno pseudopolinomio distinto di grado ν ed u e una funzione olo-morfa mai nulla in un intorno di 0εCn. Si applica ora il risultato precedente:

h =`

u=⇒ f = gh + r = g

`

u+ r =

g

u` + r

La funzione g = gu

e ancora olomorfa e cio conclude la dimostrazione.

Si enunciano ora due lemmi connessi alla divisibilita dei polinomi diWeierstrass.

Lemma 3.0.5. Siano F, G, W funzioni analitiche in un intorno di 0εCn. SiaF = GW . Se F e un polinomio in zn e W e un polinomio di Weierstrass inzn, allora anche G e un polinomio in zn.

Dimostrazione. Considero W come polinomio in zn, come posso fare essendoW monico. Si puo applicare l’algoritmo di divisione per i polinomi in zn

ottenendoF = G1W + H

in cui H e un polinomio in zn di grado inferiore a quello di W . Dall’unicitaposta dal teorema di preparazione 2.2.2, deve esere

G1 = G H = 0

Dal fatto che G1 e un polinomio, segue il lemma.

Esempio 6 (Controesempio). Se W fosse uno pseudopolinomio non distintoin zn, il lemma risulterebbe falso. Se W fosse, ad esempio, un polinomio chenon si annulla in 0εC2 nella forma

W (z1, z2) = z2 + (1 + z1)

si potrebbe scegliere F = 1, quindi

F =1

W·W G =

1

W=

1

z2 + (1 + z1)

SeG fosse uno pseudopolinomio avrebbe la forma

G(z1, z2) = zk2 + ak−1(z1)z

k−12 + · · ·+ a1(z1)z2 + a0(z1)

24 CAPITOLO 3. TEOREMA DI DIVISIONE

Pongo z1 = −1:

zk2 + ak−1(−1)zk−1

2 + · · ·+ a1(−1)z2 + a0(−1) =1

z2

zk+12 + ak−1(−1)zk

2 + · · ·+ a1(−1)z22 + a0(−1)z2 ≡ 1

che e assurdo.

Lemma 3.0.6. Siano F, G, W funzioni analitiche in un intorno di 0εCn.Siano W un polinomio di Weierstrass in zn, F e G polinomi in zn. SeW = FG, allora anche F e G risultano essere polinomi di Weierstrass, ameno di un fattore moltiplicativo q, con q : Cn → C olomorfa in un intornodell’origine e tale che q(0 . . . , 0) 6= 0.

Dimostrazione. Siano k il grado del polinomio W , ν e µ i gradi di F e G.Sara allora k = ν + µ. Vale

zkn = W (0, zn) = F (0, zn)G(0, zn)

Di conseguenzaF (0, zn)

zνn

6= 0G(0, zn)

zµn

6= 0

e cio significa che i coefficienti direttori di F e G non si annullano in(z1, . . . , zn−1) = (0, . . . , 0), mentre tutti gli altri coefficienti si annullano.

Capitolo 4

Applicazioni

4.1 Richiami

Si rienunciano di seguito i risultati precedenti usando la nozione di germe:

Definizione 4.1. Un germe f ε nO e zn-regolare di ordine ν in 0εCn se lo equalche suo rappresentante.

Definizione 4.2. Un polinomio di Weierstrass di grado ν > 0 in zn e unelemento h ε n−1O[zn] nella forma

h = zνn + a1z

ν−1n + · · ·+ aν−1zn + aν

in cui i coefficienti ajεn−1O sono non unita per 1 ≤ j ≤ ν.

Se h e una funzione olomorfa in un intorno aperto dell’origine in Cn erappresenta un polinomio di Weierstrass h di grado ν in zn, allora h ha laforma

h(Z) = zνn+a1(z1, . . . , zn−1)z

ν−1n +· · ·+aν−1(z1, . . . , zn−1)zn+aν(z1, . . . , zn−1)

in cui aj sono funzioni olomorfe in n - 1 variabili intorno all’origine in Cn−1

e aj(0, . . . , 0) = 0 per 1 ≤ j ≤ ν; di conseguenza, h(0, . . . , 0, zn) = zνn e h e

regolare di ordine ν in zn.Un polinomio di Weierstrass puo essere visto come la forma generica di unelemento di nO che e regolare in zn.

Teorema 4.1.1 (Teorema di preparazione di Weierstrass). Se f ε nO e re-golare di ordine ν in zn, allora c’e un unico polinomio di Weierstrass hεn−1O[zn] di grado ν in zn tale che f = uh, con u unita in nO.

25

26 CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

Teorema 4.1.2 (Teorema di divisione di Weierstrass). Se h εn−1O[zn] e unpolinomio di Weierstrass di grado ν, allora qualsiasi f εnO puo essere scrittain modo unico nella forma f = g·h + r in cui g εnO ed r εn−1O[zn] e unpolinomio in zn di grado < ν.Inoltre, se f εn−1O[zn], allora g εn−1O[zn].

4.2 Proprieta dell’anello dei germi

Definizione 4.3. Un elemento f ε nO che non sia un’unita e detto riducibilesu nO se puo essere scritto come un prodotto f = g1g2 in cui g1 e g2 sonoelementi non unitari di nO; un elemento f ε nO che non sia un’unita e chenon sia riducibile su nO e detto irriducibile su nO.

Definizioni analoghe sono date per f ε n−1O[zn]; in tal modo per gli ele-menti di n−1O[zn] ci sono due nozioni di riducibilita e irriducibilita che sonogeneralmente piuttosto differenti. Ad esempio, le unita di ε n−1O[zn] sonosolamente le unita di ε n−1O; cosı il polinomio z2 − 1 ε 1O[z2] non e un’unitadi 1O[zz] ma lo e in 2O.Tuttavia per i polinomi di Weierstrass queste nozioni sono equivalenti nelsenso che segue.

Lemma 4.2.1. Un polinomio di Weierstrass h ε n−1O[zn] e riducibile su

n−1O[zn] se e solo se e riducibile su nO. Se il polinomio di Weierstrass h eriducibile, i suoi fattori sono ancora polinomi di Weierstrass a meno di unitadell’anello nO.

Dimostrazione. Se h e riducibile su n−1O[zn], allora h = g1·g2 e g1, g2

non sono unita di n−1O[zn]. Se g1, ad esempio, fosse unita di nO, allorag2 = g−1

1 ·h + 0. Applicando il teorema di divisione di Weierstrass 4.1.2,segue che g−1

1 ε n−1O[zn], ma cio implica che g1 sia unita din−1O[zn], in con-traddizione con l’ipotesi. Dunque, h deve essere riducibile su nO.Ora, il germe h e regolare in zn e lo devono essere anche g1 e g2. Ora, dalteorema di preparazione di Weierstrass refgdiv, gj = ujhj con ujε nO sonounita e hjε n−1O[zn] sono polinomi di Weierstrass, j = 1, 2. Quindi h =u1u2h1h2; ma, dato che il prodotto h1h2 e ancora un polinomio di Weier-strass, segue dall’unicita del teorema di preparazione che u1u2 = 1 e h =h1·h2. Da cio, h e riducibile su n−1O[zn] ed anche i fattori h1, h2 sonopolinomi di Weierstrass.

Enunciamo ora due importanti risultati algebrici, le cui dimostrazionisono date per note.

4.2. PROPRIETA DELL’ANELLO DEI GERMI 27

Teorema 4.2.2. Sia D un dominio. Se D e a fattorizzazione unica, alloraanche il dominio D[X] dei polinomi a coefficienti in D e a fattorizzazioneunica.

Definizione 4.4. Un anello commutativo unitario R si dice Noetheriano seogni ideale di R e finitamente generato.

Teorema 4.2.3 (Teorema della base di Hilbert). Se un anello R e Noethe-riano, anche l’anello dei polinomi R[z] lo e.

Seguono ora due importanti proprieta algebriche dell’anello dei germi.

Teorema 4.2.4 (Proprieta 1). L’anello nO e un dominio a fattorizzazioneunica.

Dimostrazione. Si tratta di vedere che nO e un dominio di integrita contenetel’identita e nel quale ogni elemento puo essere scritto, in maniera unica ameno di un’unita e dell’ordine dei fattori, come prodotto finito di elementiirriducibili. Si dimostri l’enunciato per induzione su n:Per n = 0, nO = C, segue banalmente.Si assuma ora n−1O dominio a fattorizzazione unica. Sia f ε nO, Per laproposizione 2.1.1 si puo supporre f zn-regolare senza perdere di generalita.Applicando il teorema di preparazione 4.1.1, f = uh, con u unita di nO edh polinomio di Weierstrass appartenente a n−1O[Zn]. Segue dal Teoremadi Gauss 4.2.2 che se n−1O e un dominio a fattorizzazione unica, allora loe anche il dominio dei polinomi in zn a coefficienti in n−1O, cioe n−1O[Zn].Dunque, h puo essere scritta in modo unico a meno dell’ordine dei fattori edi unita in n−1O[zn] come prodotto di polinomi irriducibili. Segue dal lemmaprecedente che che tale fattorizzazione e unica anche in nO.

Teorema 4.2.5 (Proprieta 2). L’anello nO e Noetheriano.

Dimostrazione. Si tratta di vedere che nO e un anello commutativo con-tenente l’identita tale che ogni ideale e finitamente generato. Si dimostril’enunciato per induzione su n:Per n = 0, nO = C, segue banalmente.Si assuma ora n−1O Noetheriano. Sia I ⊆ nO ideale non banale, sia g ε I, g6= 0. Per la proposizione 2.1.1 si puo supporre g zn-regolare senza perdere digeneralita. Dal teorema di preparazione, si puo assumere che g εI ∩n−1O[zn]sia un polinomio di Weierstrass a meno di un’unita dell’anello. Dal teoremadella base di Hilbert 4.2.3, risulta che se n−1O e Noetheriano, allora lo eanche n−1O[zn]; da cio, l’ideale I ∩n−1 O[zn] in n−1O[zn] ha una base finitag1, . . . , gv. Applicando ora il teorema di divisione, per ogni elemento f εI si

28 CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

ha f = g·h + r per un qualche h εnO, in cui r εn−1O[zn]. Ma, poiche r εI,segue anche che si puo scrivere:

f = gh +v∑

j=1

gjhj

con hj εn−1O[zn]. Quindi, gli elementi g, g1, . . . , gv generano l’ideale I.

L’anello nO ha anche la proprieta che tutti gli elementi che non sonounita formano un ideale. L’ideale delle non unita e l’unico ideale massimale

nM⊆ nO, costituito da tutti i germi in nO che si annullano nell’origine. Laclasse residua nO/nM e isomorfa al campo C dei numeri complessi, attraversol’isomorfismo indotto da ρ :n O → C che associa ad ogni germe f εnO il valoref(0)εC, in cui f e un qualsiasi rappresentante di f.

Capitolo 5

Altre dimostrazioni

I teoremi di preparazione e di divisione di cui mi sono occupata in questa tesi,sono stati dimostrati in modi diversi. Seguiranno ora due risultati classici edun terzo piu recente.

5.1 Dimostrazione algebrica

Raghavan Narasimhan si propone di dimostrare il teorema di preparazionedi Weierstrass in modo puramente algebrico. Tale risultato si puo trovare nelCapito 2 del libro, Introduction to the Theory of Analytic Spaces [5].

Teorema 5.1.1. Sia f ε K{x1, . . . , xn} e si supponga che l’elementog(xn) = f(0, . . . , 0, xn) ε K{xn} non sia identicamente nullo; allora

g(xn) = xpn

conp ≥ 0 ed h unita di K{xn}. Valgono le seguenti affermazioni:

1. Per ogni elemento φ ε K{x1, . . . , xn} esistono a ε K{x1, . . . , xn} eb1, . . . , bn ε K{x1, . . . , xn−1} tali che

φ = a · f +

p∑ν=1

bν · xp−νn

2. Esiste un elemento unitario u ε K{x1, . . . , xn} ed esistonoa1, . . . , an ε K{x1, . . . , xn−1} tali che vale aν = 0, ∀ν ε {1, . . . , p} e

f = u ·

(xp

n +

p∑ν=1

aν · xp−νn

)Di piu, gli elementi a e bν in (1), u e aν in (2), sono univocamente determi-nati.

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30 CAPITOLO 5. ALTRE DIMOSTRAZIONI

5.2 Dimostrazione con stime

La dimostrazione proposta da Lars Hormander utilizza delle stime e puoessere trovata nel sesto capitolo del libro An Introduction to Complex Analysisin Several Variables [4]. In questo caso il Teorema di Preparazione vieneposto come corollario al Teorema di Divisione.

Teorema 5.2.1. Sia f una funzione analitica in un intorno aperto W di0εCn e si assuma che (f(0, zn)/zp

n), con p ≥ 0, sia analitica e non nullanell’origine. Allora esiste un polidisco ∆ ⊂ W tale che ogni funzione ganalitica e limitata in ∆ puo essere scritta nella forma

g = qf + r (5.1)

dove q ed r sono funzioni analitiche in ∆, r e un polinomio in zn di gradominore di p con i coefficienti che dipendono dalle variabili z′ = (z1, . . . , zn−1)e vale che

sup∆|q| ≤ C sup

∆|g|

in cui C e una costante che non dipende dalla funzione g. Di piu, la rapp-resentazione 5.1 e unica. I coefficienti degli sviluppi in serie delle funzioni qed r sono combinazioni lineari finite dei coefficienti dello sviluppo di g.

Dimostrazione. Dalle ipotesi, la funzione f puo essere scritta nella forma

f = f1 + zpnf2

in cui f1 ed f2 sono funzioni analitiche in un intorno di 0εCn−1, f2(0) 6= 0 eff1 e un polinomio in zn di grado minore di p che si annulla in z′ = 0. Datoche 1/f2 e analitica in un intorno dello zero, si possono introdurre le funzionia valori complessi h = f1f2 e s = f2q. Si ha che h(0, zn) = 0 identicamente esi vuole dimostrare

g = (zpn + h)s + r (5.2)

Si pone∆ = {z : |zj| < Rj, j = 1, . . . , n}

con le costanti Rj scelte abbastanza piccole da rendere le funzioni f1, f2, f−12

analitiche e limitate in ∆. Sia

c = sup∆|h|

Si noti che, essendo h(0, zn) = 0, per ogni Rn fissato si possono sceglieteR1, . . . , Rn−1 abbastanza piccoli da avere la costante c piccola a piacere.

5.2. DIMOSTRAZIONE CON STIME 31

Si dimostra ora la 5.2 con il metodo delle approssimazioni successive. Si ponequindi s0 = 0 e si definiscono le funzioni sk, rk per k ≥ 1 con la seguenteformula ricorsiva:

g = zpnsk + +hsk−1 + rk (5.3)

in cui rk devono essere polinomi in zn di grado minore di p.Si osservi che se ϕ e una funzione analitica nel policilindro ∆ e si puo scrivereϕ = zp

nϕ1 + ϕ2, in cui ϕ e un polinomio in zn e ϕ1 e una funzione analitica,allora deve valere anche

ϕ2(z) =

p−1∑j=0

∂jϕ(z′, 0)

∂zjn

zjn

j!

Se |ϕ| < M in ∆, segue dalla disuguaglianza di Cauchy che |ϕ2(z)| ≤ pMper zε∆. Quindi vale anche |ϕ1(z)zp

n| ≤ (p + 1)M e, dallemma di Schwarz,viene

|ϕ1(z)| ≤ (p + 1)M

Rpn

Di conseguenza, tornando alla formula ricorsiva 5.3, le successioni sk ed rk

sono univocamente determinate e, dal fatto che vale

zpn(sk+1 − sk) + rk+1 − rk = −h(sk − sk−1)

si ottiene, con |h| ≤ c, che vale

sup∆|sk+1 − sk| ≤ c(p + 1)r−p

n sup∆|sk − sk−1|

Se il policilindro ∆ e scelto in maniera tale che

c(p + 1) <Rp

n

2

si ottiene che

sup∆|sk+1 − sk| ≤

1

2ksup∆|s1|

Quindi il limite

s = limk→∞

sk =∞∑

k=1

(sk − sk−1)

esiste per la convergenza uniforme nel policilindro ∆ e

|s| ≤ 2 sup∆|s1| ≤ 2(p + 1)

1

Rpn

sup∆|g|

Da qui e da 5.3 si ricava anche la convergenza dellasuccessione rk. Di piu,dato che la 5.2 converge alla 5.3 per valori di k che tendono all’infinito, sipuo dire di aver trovato la soluzione di 5.2. Tale soluzione e unica.

32 CAPITOLO 5. ALTRE DIMOSTRAZIONI

Corollario 5.2.2. Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema 5.2.1, allora lafunzione f si puo scrivere in maniera unica nella forma

f = hW

in cui h e W sono funzioni analitiche in un intorno dell’origine e vale h(0) 6=0, con W polinomio di Weierstrass.

5.3 Estensione al caso differenziabile reale

Piu recentemente, negli anni ’60 del secolo scorso, Bernard Malgrange edaltri hanno esteso il teorema al caso differenziabile reale.Se E(X1, . . . , Xn) e l’anello dei germi delle funzioni C∞ in 0εRn, vale ilseguente:

Teorema 5.3.1 (Teorema di divisione di Malgrange). Sia F ε E(X1, . . . , Xn)tale che

F (0, . . . , 0) = 0, F (0, . . . , 0, Xn) = Xpn ·G(Xn)

con G germe differenziabile, G(0) 6= 0, p ≥ 0. Allora, per ogni A ε E(X1, . . . , Xn)esiste uno ed un solo elemento Qε E(X1, . . . , Xn) tale che

A− F ·Q = R

in cui R e un polinomio in Xn di grado minore di p, i cui coefficientiappartengono a E(X1, . . . , Xn−1)

Nel quinto capitolo del testo Ideals of Differentiable Functions [7], Mal-grange propone alcune interessanti applicazioni ai Teoremi di Preparazionee Divisione. Ne cito di seguito una:

Corollario 5.3.2 (Applicazione). Ogni germe di una funzione differenziabileche sia simmetrica puo essere espresso come una funzione differenziabile dellefunzioni simmetriche elementari.

Bibliografia

[1] R. Michael Range Holomorphic Functions and Integral Representationsin Several Complex Variables, Springer-Verlag, New York, 1986

[2] Salvatore Coen, Note didattiche al corso di Variabili Complesse I A.A2006/2007

[3] Robert C. Gunning, Introduction to Holomorphic Functions of SeveralVariables - Volume II: Local theory, Wadsworth, Belmont, 1990

[4] Lars Hormander, An Introduction to Complex Analysis in SeveralVariables, D.Van Nostrand company, New York, 1966, (144-156)

[5] Raghavan Narasimhan, Introduction to the Theory of Analytic Spaces,Springer-Verlag, New York, 1966, (2-30)

[6] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979

[7] Bernard Malgrange, Ideals of Differentiable Functions, Oxford UniversityPress, 1966, (66-81)

[8] E. Lasker, Zur theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann, 60, 1905,(20-116)

[9] H. Cartan, Sur le theoreme de preparation de Weierstrass, FestschriftWeierstrass, 33, (155-168), 1966

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