Calculo IIIProyecto 2Santiago Mancheno 1052948 de mayo de 20121. Parte 1: Familia de Supercies1. Utilice un software de gracacin para investigar la familia de super-cies:z = _ax2+ by2_ex2y2Cmo depende la forma de la grca de los nmeros a y b?Para analizar la dependencia de la grca a los nmeros a y b, se pro-cedi a realizar un anlisis por separado para determinar la inuenciade cada uno de estos nmeros y sus valores con la forma de la grca.Para el nmero a se tiene que:Figura 1: Inuencia de a1Cuando se utilizan valores de a > 0, la altura de la supercie, as comola altura de los picos de la supercie crecen con respecto al eje z, esdecir, la grca se abre ms para el eje z positivo. De la misma mane-ra, cuando se utilizan valores de a < 0, la supercie se abre ms parael eje z negativo. En base a la grca, la supercie roja es la funcinoriginal, la supercie azul representa el cambio con la utilizacin denmeros a positivos y la supercie verde representa el uso de nmerosa negativos. De manera general, cuando se utiliza cualquier valor de a,los picos se encuentran distribuidos a lo largo del eje x, sin embargo, elestiramiento de la supercie ocurre a lo largo del eje y.Para el nmero b se tiene que:Figura 2: Inuencia de bCuando se utilizan valores de b > 0, la altura de la supercie, as comola altura de los picos de la supercie crecen con respecto al eje z, esdecir, la grca se abre ms para el eje z positivo. De la misma manera,cuando se utilizan valores de b < 0, la supercie se abre ms para el ejez negativo. En base a la grca, la supercie roja es la funcin original,la supercie azul representa el cambio con la utilizacin de nmeros bpositivos y la supercie verde representa el uso de nmeros b negativos.De manera general, cuando se utiliza cualquier valor de b, los picos seencuentran distribuidos a lo largo del eje y, sin embargo, el estiramientode la supercie ocurre a lo largo del eje x.2. Utilice un software de gracacin para investigar la familia de super-2cies:z = x2+ y2+ cxyEn particular, determine los valores de transcicin de c para los que lasupercie cambia de un tipo cuadrtico a otro.Para determinar la inuencia de c en esta familia de supercies se ana-lizaronloscasosdevalorespositivosdecporunladoylosvaloresnegativos de c por el otro lado. Para los dos casos se obtuvo:Figura 3: Valores c positivosFigura 4: Valores c negativosPara las dos grcas, la funcin verde claro (slido) es la funcin origi-nal. Se puede ver que con la utilizacin de varios valores de c la grca3va cambiando su forma hasta convertirse en otro tipo de funcin cua-drtica. En base a los dos grco se determin que:a) En el intervalo de c con valores entre: (, 3] la funcin se com-porta como una silla de montar.b) En el intervalo de c con valores entre: (3, 0), la funcin se comportacomo una supercie cilndrica de transicin entre el paraboloide y lasilla de montar.c) En el intervalo de c con valores entre: [0, 1] la funcin se comportacomo un paraboloide.d) En el intervalo de c con valores entre: (1, 3) la funcin se comportacomo una supercie cilndrica de transicin entre el paraboloide y lasilla de montar.e) En el intervalo de c con valores entre: [3, ) la funcin se comportacomo una silla de montar.3. Algunos miembros de la familia de supercies, dados en coordenadasesfricas por la ecuacin: = 1 + 0,2 sin m sin nhansidosugeridoscomomodelosparatumoresysellamanesferasirregulares o esferas arrugadas. Utilice un software de gracacin parainvestigar esta familia de supercies, suponiendo que m y n son enterospositivos. Cmo modican los valores de m y n la forma de la super-cie?Para analizar la dependencia de la grca a los nmeros m y n, se pro-cedi a realizar un anlisis por separado para determinar la inuenciade cada uno de estos nmeros y sus valores con la forma de la grca.Para el nmero m se tiene que:4Figura 5: Inuencia de mEn la grca, la supercie roja del fondo es la funcin original, las demssupercies (azul, cyan y verde) son diferentes funciones con diferentesvalores de m. Con la utilizacin de cualquier valor de m, presenta unadeformacin con respecto al ngulo (cuando se barre el ngulo) enlos intervalos de valores de m: [1, 12]. Se puede concluir con ayuda de lagrca que, los valores de m coinciden numricamente con las puntasde deformacin que tiene la esfera a lo largo de . Se debe recalcar que,cuandom =x12 (dondex = 1, 2, 3, ...), no presenta ninguna defor-macin y la esfera se presenta normalmente (supercie color cyan).Para el nmero n se tiene que:Figura 6: Inuencia de nEn la grca, la supercie roja del fondo es la funcin original, las demssupercies (azul, cyan y verde) son diferentes funciones con diferentes5valores de n. Con la utilizacin de cualquier valor de n, presenta unadeformacin con respecto al ngulo (cuando se barre el ngulo) enlos intervalos de valores de n: [1, 24]. Se puede concluir con ayuda dela grca que, los valores de n coinciden numricamente con las puntasde deformacin que tiene la esfera a lo largo de. Se debe recalcarque, cuandon =x24 (dondex = 1, 2, 3, 4, ...), no presenta ningunadeformacin y la esfera se presenta normalmente (supercie color cyan).2. Parte 2: Aproximaciones Cuadraticas y Pun-tos CrticosLa linealizacin de una funcin f(x,y) de dos variables en un punto (a,b)est dada por la expresin:L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x a) + fy(a, b)(y b)Esta linealizacin L se conoce como polinomio de Taylor de primer grado def en (a,b).1. Siftiene derivadas parciales continuas de segundo orden en (a,b), elpolinomio de segundo grado de Taylor de f en (a,b) es:Q(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x a) + fy(a, b)(y b)+12fxx(a, b)(x a)2+ 12fxy(a, b)(x a)(y b) + 12fyy(a, b)(y b)2y la aproximacin f(x,y)Q(x,y) se denomina aproximacin cuadrtica a fen (a,b). Verique que Q tenga las mismas derivadas parciales de primero yde segundo orden que f en (a,b). Se tiene que:Q(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x a) + fy(a, b)(y b)+12fxx(a, b)(x a)2+ 12fxy(a, b)(x a)(y b) + 12fyy(a, b)(y b)2por lo tanto: ,Q(x, y) = f(a, b) + 12fxx(a, b)(2)(x a) + 12fyy(a, b)(2)(y b)Q(x, y) = f(a, b) + fxx(a, b)(x y) + fyy(a, b)(y b)Evaluando en el punto (a,b):Qx(a, b) = fx(a, b) + fxx(a, b)(a a) + fyy(a, b)(b b) = fx(a, b)6lo mismo para:Qy(a, b) = fy(a, b) + fxy(a, b)(x a) + fyy(a, b)(y b)Qy(a, b) = fy(a, b) + fxy(a, b)(a a) + fyy(a, b)(b b) = fy(a, b)Para el caso de las segundas derivadas parciales se tiene que:Qxx(x, y) =x [fx(a, b) + fxx(a, b)(x a) + fyy(a, b)(y b) = fxx(a, b)]Qxx(a, b) = fxx(a, b)Qxy(x, y) =y [fx(a, b) + fxx(a, b)(x a) + fyy(a, b)(y b) = fxy(a, b)]Qxy(a, b) = fxy(a, b)Qyy(x, y) =y [fy(a, b) + fxy(a, b)(x a) + fyy(a, b)(y b) = fyy(a, b)]Qyy(a, b) = fyy(a, b)As se demuestra que Q tiene las mismas derivadas parciales de primer ysegundo orden que f en (a,b).2. a) Encuentre los polinomios de Taylor L y Q, de primero y segundogrado def(x, y) = ex2y2en (0,0).Para encontrar el polinomio de Taylor L de primer grado se necesitan encon-trar las primeras derivadas parciales y evaluar en el punto (0,0).f(x, y) = ex2y2fx(x, y) = 2xex2y2fy(x, y) = 2yex2y2Evaluando se tiene:7f(0, 0) = 1fx(0, 0) = 0fy(0, 0) = 0El mismo procedimiento se realiza para las derivadas de segundo orden.fxx(x, y) = (4x22)ex2y2fxy(x, y) = 4xyex2y2fyy(x, y) = (4y22)ex2y2Evaluando se tiene:fxx(0, 0) = 2fxy(0, 0) = 0fyy(0, 0) = 2En resumen, el polinomio de Taylor de primer grado en el punto (0,0) es:L(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0)(x 0) + fy(0, 0)(y 0) = 1 + (0)(x) + (0)y = 1El polinomio de Taylor de segundo grado en el punto (0,0) es:Q(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0)(x 0) + fy(0, 0)(y 0) + 12fxx(0, 0)(x 0)2+12fxy(0, 0)(x 0)(y 0) + 12fyy(0, 0)(y 0)2Q(x, y) = 1 x2+ (0)xy y2= 1 x2y28b) Trace la grca de f, L y Q . Comente que tan bien aproximan L y Qa fFigure 7: Grca de f, L y QEn la grca la supercie verde es el plano L(x, y) = 1, la supercie azul esla funcin f(x, y) = ex2y2y la naranja es la supercie Q(x, y) = 1x2y2.En base a la grca, se puede ver que la supercie L aproxima bastante bienalasuperciefenel punto(0,0). Sinembargo, lasupercieQtieneunalto grado de aproximacin en todos los puntos cercanos al origen ademsdel punto (0,0) debido a que tiene una forma muy similar a la de f en estospuntos.3. a) Encuentre los polinomios de Taylor L y Q, de primero y segundogrado paraf(x, y) = xeyen (1,0).Para encontrar el polinomio de Taylor L de primer grado se necesitan encon-trar las primeras derivadas parciales y evaluar en el punto (1,0)f(x, y) = xeyfx(x, y) = eyfy(x, y) = xeyEvaluando en el punto se tiene:f(1, 0) = 1fx(1, 0) = 19fy(1, 0) = 1El mismo procedimiento se realiza para las derivadas de segundo orden.fxx(x, y) = 0fxy(x, y) = eyfyy(x, y) = xeyEvaluando se tiene:fxx(1, 0) = 0fxy(1, 0) = 1fyy(1, 0) = 1En resumen, el polinomio de Taylor de primer grado en el punto (1,0) es:L(x, y) = f(1, 0)+fx(1, 0)(x1)+fy(1, 0)(y0) = 1+(1)(x1)+(1)y = 1+x1+y = x+yEl polinomio de Taylor de segundo grado en el punto (1,0) es:Q(x, y) = f(1, 0) + fx(1, 0)(x 1) + fy(1, 0)(y 0) + 12fxx(1, 0)(x 1)2+12fxy(1, 0)(x 1)(y 0) + 12fyy(1, 0)(y 0)2Q(x, y) = 12y2+ 12xy + 12y + xb) Compare los valores L, Q y f en (0.9 , 0.1). )En resumen se tiene:f(x, y) = xeyL(x, y) = x + yQ(x, y) = 12y2+ 12xy + 12y + xReemplazando en (0,9 , 0,1) :f(0, 9, 0, 1) = 0, 994710L(0, 9, 0, 1) = 1Q(0, 9, 0, 1) = 1Se puede ver que tanto L como Q aproximan f a 1. Lo cual es una conclusinvlida porque el valor de f en el punto (0,9 , 0,1) es muy cercano a uno.c) Trace la grca de f, L y Q. Comente que tan bien aproximan L y Qa f .Figure 8: Grca de f, L y QEn la grca la supercie azul es la funcinL(x, y) =x + y, la super-cie verde es la funcinf(x, y)=xeyy la roja es la supercieQ(x, y)=12y2+12xy +12y + x. En base a la grca, se puede concluir que las aproxi-maciones L y Q se acercan a los valores de f cercanos al punto (1,0). Comose puede ver, la aproximacin Q tiene mayor rango de validez que L ya queQ tiene una forma similar a f en la vecindad de (1,0).4. En este problema analizamos el comportamiento del polinomio f(x, y) =ax2+bxy +cy2(sin usar la prueba de las segundas derivadas), al identicar lagrca como un paraboloide.a) Completando el cuadrado demuestre que si a =0, entonces:f(x, y) = ax2+ bxy + cy2= a___x +b2ay_2+_4ac b24a2_y2__Para completar el cuadrado se realiza:f(x, y) = a_x2+baxy +cay2_11f(x, y) = a__x2+baxy +b24a2y2_ +cay2b24a2y2_f(x, y) = a_(x +b2ay)2+cay2b24a2y2_f(x, y) = a___x +b2ay_2+_4ac b24a2_y2__Queda comprobado que:f(x, y) = ax2+ bxy + cy2= a___x +b2ay_2+_4ac b24a2_y2__b) SeaD = 4ac b2. Demuestre que si D > 0y a >0, entonces f tiene unmnimo local en (0,0).SeaD= 4ac b2,reemplazando en el resultado del literal anterior setiene:f(x, y) = a___x +b2ay_2+_D4a2_y2__Si D > 0, entonces:_D4a2_y2 0y_x +b2ay_2 0Por lo tanto,___x +b2ay_2+_D4a2_y2__ 0Sia > 0 entonces:f(x, y) = a___x +b2ay_2+_D4a2_y2__ 0Evaluando f en (0,0) se tiene:f(0, 0) = 0 f(0, 0) f(x, y) para todo (x, y)Por lo tanto, por denicin f tiene un mnimo local en (0,0).c) Demuestre que si D > 0 y a < 0, entonces f tiene un mximo local en(0,0).12Como se demostro en el literal anterior:___x +b2ay_2+_D4a2_y2__ 0Si a < 0, entonces:f(x, y) = a___x +b2ay_2+_D4a2_y2__ 0Evaluando f en (0,0) se tiene:f(0, 0) = 0 f(0, 0) f(x, y) para todo (x, y)Por lo tanto, por denicin f tiene un mximo local en (0,0).d) Demuestre que si D < 0, entonces (0,0) es un punto de ensilladura.Supongamos que nos acercamos al origen a lo largo del eje x, entoncesy = 0:Sea:f(x, y) = ax2+ bxy + cy2f(x, 0) = ax2ax2conserva el mismo signo de a. Si logramos encontrar por lo menos unatrayectoriaal origendondef (x, y)devaloresconel signoopuestodea,quedara demostrado que (0,0) es un punto de ensilladura. Entonces:Sea:f(x, y) = a___x +b2ay_2+_D4a2_y2__Si nos acercamos al origen a lo largo de la lneax = b2a, entonces tenemosque:f_b2ay, y_ = a___b2ay +b2ay_2+_D4a2_y2__ =D4a2y2SiD < 0,estos valores tienen signos contrarios que los valores de a, entoncesqueda demostrado que f tiene un punto silla en (0,0).5. a) Suponga que f es cualquier funcin con derivadas parciales continuasde segundo orden, tal que f(0, 0) = 0 y (0,0) es un punto crtico de f. Escribauna expresin para el polinomio de segundo grado de Taylor Q de f en (0,0).Como f es una funcin diferenciable y (0,0) es un punto crtico, sabemosque:fx(0, 0) = 013fy(0, 0) = 0Por lo que el polinomio de segundo grado de Taylor (Q) de f en (0,0) puedeexpresarse como:Q(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0)(x 0) + fy(0, 0)(y 0) + 12fxx(0, 0)(x 0)2+12fxy(0, 0)(x 0)(y 0) + 12fyy(0, 0)(y 0)2Q(x, y) = 12fxx(0, 0)x2+ 12fxy(0, 0)xy + 12fyy(0, 0)y2b) Qu puede concluir acerca deQ, del problema 4?Q(x, y) = 12fxx(0, 0)x2+ 12fxy(0, 0)xy + 12fyy(0, 0)y2Y f(x,y) es:f(x, y) = ax2+ bxy + cy2Entonces Q representa la forma de la funcin polinomial con constantes:a = 12fxx(0, 0),b = 12fxy(0, 0),c = 12fyy(0, 0)En base al literal anterior se sabe queQ es un paraboloide y queQ tiene unmximo local, un mnimo local y un punto silla en (0,0).SiD = 4acb2= 4_12fxx(0, 0)12fyy(0, 0)__12fxy(0, 0)_2= fxx(0, 0)fyy(0, 0)_12fxy(0, 0)_2Se puede concluir que:Si D > 0 y a =12fxx(0, 0) > 0; sabemos del problema anterior que Q tieneun mnimo local en (0,0).De la misma manera si D > 0 y a < 0. Q tiene un mximo local en (0,0)Finalmente, si D < 0, Q tiene un punto silla en (0,0).c) Teniendo en cuenta la aproximacin cuadrticaf(x, y)Q(x, y),Qusugiere el inciso (b) acerca def?Como:f(x, y) Q(x, y) cerca de (0, 0)14Enel literal anteriorsepudoconcluirquepara: D=fxx(0, 0)fyy(0, 0) _12fxy(0, 0)_2Si D > 0 ya > 0 : f tiene un mnimo local en (0,0).Si D > 0ya < 0: ftiene un mximo local en (0,0)Si D < 0f tiene un punto silla en (0,0).15