Bazat e Elektrotekniks

Ligjrata: 12

Metodat e zgjidhjes s rrjetave

Akademik Alajdin Abazi e-mail: a.abazi@seeu.edu.mk , Tel: (044)356-110

Struktura e rrjetave elektrike Topologjia konfiguracioni i rrjets q prshkruan pozitat dhe mnyrat e ndrlidhjes s elementeve t rrjets elektrike.

Kuptime themelore nga topologjia e rrjetave elektrike:

Deg pjes e rrjetit ku rrjedh rryma e njejt.

Nyje vendi (pika) ku takohen tre ose m tepr deg.

Kontur rruga e mbyllur prmes degve t rrjetitRruga e mbyllur rruga npr degt e rrjetit q fillon nga nj nyje (duke mos kaluar m tepr se nj her n t njejtn nyje) dhe mbaron n po t njejtn nyje.

Kontura t pavarura konturat q dallojn nga njra tjetra s paku pr nga nj deg.

Prshkrimi i rrjetave prmes ligjeve t KirhofitRrjeta elektrike q ka:d degn nyje dhek kontura t pavarura

Mund t prshkruhet si sistem i d=k+n-1 barazimeve t pavarura, nga t cilat:

k jan barazime t Kirhofit pr tensione (LIIK) dhen-1 jan barazime t Kirhofit pr rryma (LIK).

Madhsit e rezistencave dhe burimeve t rrjetit jan parametra t ktij sistemi t barazimeve dhe me zgjidhjen e tij, fitohen rrymat e panjohura t t gjitha degve (elementeve) t rrjetit elektrik.

Metoda e potencialeve (tensioneve) t nyjeveNqoftse rrymat (n k barazimet LIIK) e degve shprehen prmes tensioneve t degve (t shprehura si diferenc e potencialit t nyjeve) ata shndrohen n barazime t LIK, dhe fitohet sistemi me n-1 barazime, n t cilat t panjohura jan potencialet e n-1 nyjeve (pr njrn prej tyre (referente) supozohet se sht =0).

Sistemi i fituar i barazimeve prshkruan rrjetin elektrik njlloj sikurse ligjet burimore t Kirhofit, mirpo sht m i leht pr zgjidhje, ngase prmban numr m t vogl (vetm n-1 n vend t d t barazimeve.

Nga tensionet e llogaritura t degve (si dallim potenciali mes nyjeve) mund t llogariten pastaj edhe rrymat e t gjitha degve. Andaj, kjo metod e zgjidhjes s rrjetave quhet metoda e potencialeve (tensioneve) t nyjeve.

Aplikimi i metods s potencialeve t nyjeveNj nyje zgjedhet si referente (me potencial =0)

Pr t gjitha nyjet tjera n-1 shkruhen ekuacionet e forms:

ku, i nyja pr t ciln shkruhet ekuacioni; i , k , deri n potencialet e nyjeve fqinje t cilat me nyjen e i-t kan s paku nj deg t prbashkt; Gi prueshmria e t gjitha degve q vijn nnyjen i; Gij prueshmria e degs s prbashkt mes nyjeve i dhe j. Ils rrymat e lidhjes s shkurt t t gjtha degve (aktive) q hyjn n nyjen iDeg aktive jan degt me burime. Rrymat e lidhjes s shkurt t degve prmbajn parashenj + nse hyjn n nyje, kurse - kur dalin nga nyja.

Zgjidhet sistemi i ekuacioneve dhe fitohen potencialet e nyjeve. Nga dallimet e potencialeve (tensionet e degve) pastaj mund t llogariten rrymat e t gjitha degve t rrjetit.

Ekuacionet e potencialeve t nyjeveN rrjetin elektrik:

Nyjen e katrt e zgjedhim si nyje referente, dmth 4=0:

ku: Gi=1/Ri , i=0, 1, .5 , prueshmria e degve t veanta

Vetit e ekuacioneve t potencialeve t nyjeveEkuacionet e potencialeve t nyjeve mund t shkruhen edhe n form matricore:

Matrica e prueshmris G sht matric diagonale simetrike dhe simetria shrben pr verifikim t korektsis s ekuacioneve t shtruara pr rrjetn e dhn. Nnkuptohet se verifikimi sht vetm formal, ngase pr verifikim detal, duhet patur kujdes t gjitha elementet e rrjetit.

Teorema e MillmanitRrjeta me dy nyje mund t prshkruhet me vetm nj ekuacion t potencialit t nyjeve. Pr b=0, sht:

ku, G sht prueshmria e degve, kurse Ils rrymat e lidhjes s shkurt t degve aktive.

Kur b=0, a=Uab, andaj tensioni Uab mund t njehsohet si:

Kjo shprehje sht e njohur si Teorema e Millmanit

Teorema e Millmanit Vrtetimi (1)N qarqet elektrike me dy nyje, a dhe b, Tensioni Uab prcaktohet nga shuma algjegrike e t gjitha rrymave n nyjen a, e pjestuar me shumn e prueshmrive t t gjitha degve mes a dhe b.

Teorema e Millmanit Vrtetimi (2)Kur n qarkun elektrik me dy nyje, burimet e tensionit ekuivalentohen me burrime rrymore, fitohet:

Teorema e Millmanit Vrtetimi (3)

,q edhe duheshte t vrtetohet!

Rrjeta elektrike nga kndvshtrimi i nj elementiKur na intereson vetm nj element i rrjetit (p.sh. rezistenca R mes pikave a dhe b n rrjet), pjesn tjetr t mbetur t rrjetit mund ta trajtojm si kuti t zez

A - rrjeta aktive lineare

Rrjeta aktive lineare = Burim realPo t largohet rezistenca R, mes pikave a dhe b do t egziston tensioni Uab , gjegjsisht tensioni i lidhjes s hapur

Po t zvendsohet rezistenca R me lidhje t shkurt, mes lidhjes s shkurt t pikave a dhe b do t rrjedh rryma Iab e lidhjes s shkurt.

Rrjeta aktive lineare A, e shiquar nga dy pika (a dhe b), sillet si burim real!

Raporti mes tensionit t lidhjes s hapur dhe rryms s lidhjes s shkurt paraqet rezistencn e brendshme t rrjetit Rab

Teorema e TevenenitPoqse nj element vshtrohet nga dy pikat kyse, ather rrjeta aktive lineare mund t zvendsohet me modelin e tensionit t burimit real (Burimi i Tevenenit) me parametrat ET dhe RT.

Forca elektromotore e Burimit ekuivalent t Tevenenit (ETTensioni i Tevenenit) sht e barabart me tensionin e lidhjes s hapur mes dy pikave t vshtruara.

Rezistenca e brendshme e burimit ekuivalent t Tevenenit (RTRezistenca e Tevenenit) sht e barabart me rezistencn e prgjithshme t rrjetit mes dy pikave t vshtruara.

Aplikimi i Teorems s TevenenitPrcaktohen pikat kyse (p.sh. a dhe b) t elementit t rrjetit t cilit dshirojm tia prcaktojm rrymn (ose tensionin) dhe ai element largohet (kyqet) nga rrjeti (lidhja e hapur mes pikave a dhe b)

Prcaktohet tensioni i lidhjes s hapur Uab, me ka prcaktuar tensioni i Tevenenit: UT= Uab.

Prcaktohet rezistenca e prgjithshme e rrjetit t mbetur Rab mes pikave a dhe b, ashtuq shuhen t gjitha burimet, me ka prcaktohet edhe rezistenca e Tevenenit RT=Rab.

Pjesa e mbetur e rrjetit ekuivalentohet me burimin e Tevenenit, n t cilin kyqet srish elementi i kyqur dhe llogaritet rryma dhe tensioni prkats.

Teorema e Tevenenit Vrtetimi (1)Rryma n cilndo deg a-b t qarkut (rrjets) elektrik, ku mes pikave a dhe b ndodhet rezistenca R, prcaktohet duke zvendsuar pjesn tjetr t qarkut me burim ekuivalent t tensionit.

Forca elektromotore e burimit (ET) sht e barabart me tensionin n skajet e degs a-b kur ajo sht e hapur.

Rezistenca e brendshme e rezistencs ekuivalente (RT) sht e barabart me rezistencn e prgjithshme t qarkut pasiv vshtruar nga skajet e hapura a dhe b.

Qarku pasiv fitohet nga qarku (rrjeta) real, pasi t jen shuar t gjitha burimet!

Teorema e Tevenenit Vrtetimi (2)Qarku aktiv:

Me shuarjen e burimeve n A fitohet qarku pasiv:

Teorema e Tevenenit Vrtetimi (3)Marim dy burime tensioni E1 dhe E2, E1= E2=Uab, dhe i lidhim n degn a-b, si vijon:

Sipas parimit t superpozicionit, po ta shuajm E2 dhe ta lm E1 dhe t gjitha burimet tjera n qarkun aktiv A, ather npr rezistencn R do t rrjedh rryma Ie cila sht e barabart me zero (ngase E1=Uab).

Teorema e Tevenenit Vrtetimi (4)Sipas parimit t superpozicionit, n hapin e dyt, i shuajm t gjitha burimet n A dhe E1, kurse e lm aktiv vetm burimin E2. Tani n rrjet rrjedh vetm rryma I.Meq I=I+I :

Andaj:

,q edhe duheshte t vrtetohet!

Teorema e NortonitPoqse nj element vshtrohet nga dy pikat kyse, ather rrjeta aktive lineare mund t zvendsohet me modelin rrymor t burimit real (Burimi i Nortonit) me parametrat IN dhe RN.

Rryma e burimit ekuivalent t Nortonit (IN Rryma e Nortonit) sht e barabart me rrymn e lidhjes s shkurt mes dy pikave t shqyrtuara.

Rezistenca e brendshme e burimit ekuivalent t Nortonit (RN Rezistenca e Nortonit) sht e barabart me rezistencn e prgjithshme t rrjets mes atyre dy pikave.

Aplikimi i Teorems s NortonitPrcaktohen pikat kyse (p.sh. a dhe b) t elementit t rrjetit t cilit dshirojm tia prcaktojm rrymn (ose tensionin) dhe ai element largohet (kyqet) nga rrjeti kurse pikat a dhe b lidhen shkurt.

Prcaktohet rryma e lidhjes s shkurt Iab, me ka n fakt prcaktohet rryma e Nortonit: IN= Iab.

Hapet lidhja e shkurt dhe prcaktohet rezistenca e prgjithshme e rrjetit t mbetur Rab mes pikave a dhe b, ashtuq shuhen t gjitha burimet, me ka prcaktohet edhe rezistenca e Nortonit RN=Rab.

Pjesa e mbetur e rrjetit ekuivalentohet me burimin e Nortonit, n t cilin kyqet srish elementi i kyqur dhe llogaritet rryma dhe tensioni prkats.

Teorema e Nortonit Vrtetimi (1)Rryma n cilndo deg a-b t qarkut (rrjets) elektrik, ku mes pikave a dhe b ndodhet rezistenca R, prcaktohet duke zvendsuar pjesn tjetr t qarkut me burim ekuivalent t rryms.

Rryma e burimit ekuivalent t rryms (IN) sht e barabart me rrymn n degn a-b kur ajo sht e lidhur shkurt.

Rezistenca e brendshme e burimit ekuivalent t rryms (RN) prcaktohet n t njejtn mnyr sikurse te teorema e Tevenenit (prej ku rrjedh q RN=RT).

Teorema e Nortonit Vrtetimi (2)Nga Teorema e Tevenenit dhe nga ekuivalentimi i burimit real t tensionit n burim real t rryms:

N mnyr alternative munt t praktikohet parimi i superpozicionit pr bashkangjitjen e dy burimeve rrymore me rryma t njejta (IN), por me kahje t kundrta, n mnyr paralele me degn a-b.

Teorema e Nortonit Vrtetimi (3)

N qarqet e rryms njkahore, teorema e Tevenenit dhe e Nortonit jan ekuivalente n zvendsimin (por me parametra t ndryshm) e rrjets aktive lineare A.

N qarqet e rryms s ndryshueshme nuk vlen n t gjitha rastet ekuivalentimi mes ktyre dy teoremave. N fakt, egzistojn qarqe t rryms s ndryshueshme te t cilat mund t praktikohet vetm njra nga kta dy teorema, andaj edhe arsyetohet formulimi n veanti i ktyre dy teoremave.

Pyetje!